Den første matematikken: Bla-i-bok by Cappelen Damm

Camilla Björklund

Den første matematikken Matematikk 3–5 år

Oversatt av Ingvill Christina Goveia

© CAPPELEN DAMM AS 2014 Denne boken er en oversettelse av Vad räknas i förskolan? Matematik 3–5 år 1. utgave, 2013. © Studentlitteratur AB, Sverige ISBN 978–82–02–43420–5 1. utgave, 1. opplag Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Omslagsdesign: Tonic Design AS Sats: Laboremus Oslo AS Trykk og innbinding: Livonia Print SIA, Latvia 2014 www.cda.no akademisk@cappelendamm.no

Forord Denne boken har blitt til ut fra et spørsmål om og en interesse for hva vi gjør, og hva vi kan gjøre, med matematikken i barnehagen. Min erfaring er at barn får mulighet til å arbeide med mange spennende aktiviteter i barnehagen, der matematiske evner og ferdigheter testes og utvikles, og der lek og læring også integreres på en naturlig måte. Det ser derimot ikke alltid ut til at matematikk får være i oppmerksomhetens sentrum, som et læringsobjekt. Mange barn interesserer seg for matematiske sammenhenger og spørsmål av seg selv, og de tar selv initiativ til å undre seg over hvordan begreper, uttrykk og prinsipper kan forstås og brukes. De barna som ikke viser den samme interessen for matematikk, vil imidlertid ha behov for støtte fra en oppmerksom lærer som har opparbeidet seg kunnskap om hvilke evner som legger grunnlaget for at matematikkferdighetene skal utvikle seg, slik at alle barn skal få muligheter til å oppdage og utvikle egne matematikkferdigheter. Min intensjon med denne boken har vært både å beskrive de grunnleggende evnene som utvikler seg i mange av de vanlige aktivitetene som barn inviteres til å delta i, å problematisere lærerens tilnærmingsmåte til matematikklæringen og å diskutere hvordan målrettet matematikkundervisning kan gjøres mulig på barnehagens premisser, der leken må få ha en selvskreven plass. Formålet er å gi barnehagelærere en bedre utrustning til å kunne tilrettelegge for meningsfull og målrettet læring for hvert enkelt barn i barnehagen.

forord

Denne boken er basert på den store mengden internasjonal forskning som har tatt for seg barns matematiske evner og hvordan disse evnene utvikler seg. Forskningen på lærernes tilnærmingsmåter til små barns matematikklæring er derimot mer begrenset, men – til tross for at den er kontekstbundet – er også denne forskningen interessant å trekke frem og relatere til egen virksomhet. Drøftingen av målrettet læring i barnehagen er basert på min personlige erfaring som lærerutdanner og på flere praksisnære forskningsprosjekter. I boken er det mange eksempler fra barnehagevirksomhet. Disse eksemplene er hovedsakelig hentet fra forskningsprosjektet «Att skapa rum för matematiklärande», som ble gjennomført i 2009. Barna som beskrives i eksemplene er hovedsakelig tre–fem år gamle, og både barnas og lærernes navn har blitt endret etter forskningsetiske retningslinjer. Jeg retter et varmt takk til alle de barna og barnehagelærerne som har samarbeidet med meg, og som har gitt meg uvurderlig innsikt i barnehagenes arbeid med matematikk. Dette har bidratt til økt kunnskap om barnehagens muligheter til å støtte barns læring og utvikling. Med denne boken håper jeg å nå ut med denne innsikten og kunnskapen, til nytte for enda flere barnehagelærere. Alafors, februar 2013 Camilla Björklund

Kapittel 1

Grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene Hva er viktig i barnehagen? Barns møte med matematikk de første årene er ekstremt viktig for videre læring, men det store spørsmålet er hva slags og hvilke erfaringer av matematikk som spiller en rolle for utvikling og motivasjon. Både den reviderte læreplanen for førskolen i Sverige (Lpfö 98, 2010) og rammeplan for barnehagens innhold og oppgaver (2012) legger tydelig vekt på matematikk som innhold i barnehagen. Samtidig er det opp til hver enkelt barnehagelærer å tolke innholdet og hvordan virksomheten skal organiseres for at barna skal få mulighet til å styrke egen innholdskunnskap. Barnehagens oppdrag forutsetter at også barnehagelæreren har en utvidet innholdskunnskap, der grunnleggende matematikk må være problematisert og forankret i planlagt virksomhet og i lærernes tilnærmingsmåter.

Formålet med denne boken er å bidra til utvidet resonnement når det gjelder grunnleggende matematikk i barnehagen, med vekt på hva som har betydning for barns læring og utvikling i matematikk. Vi vil derfor drøfte autentiske eksempler fra barnehager og fra samhandling mellom barn og voksne opp mot de teoriene og den

kapittel 1

forskningen som vi kan støtte oss til å bruke i praksis i barnehagen, der matematikken er et mål og et innhold. Som leser vil du oppdage at grunnleggende matematikk er basert på mer enn tallkunnskap. Å tilegne seg grunnleggende matematikkferdigheter er dessuten en prosess som kan være hensiktsmessig å tolke opp mot både kognisjon og interaksjon med omgivelsene, der det viser seg at barnehagelæreren har en svært sentral rolle. Spørsmålet «Hva er viktig i barnehagen?» innebærer med andre ord å gi svar på hva man arbeider med når det gjelder matematikk som et innhold i barnehagen, der også normer og verdier spiller inn. Spørsmålet vil også bli besvart med eksempler fra pedagogisk virksomhet, der matematikken har blitt bearbeidet målbevisst, som et innhold og et læringsobjekt. For 150 år siden mente Fröbel at kunnskaper i matematikk var avgjørende for å forstå verden. I den aller første barnehagen, den såkalte Kindergarten, var matematikken derfor et naturlig innhold. Av ulike årsaker har matematikken kommet i skyggen, for så å bli hentet frem igjen som et viktig innhold i barnehagens virksomhet i løpet av 2000-tallet. Hvorfor mener vi så at det er nødvendig å undervise i matematikk og lære bort matematiske prosedyrer i vår tid? Matematisk tenkning er mer enn å pugge gangetabeller, og den kompetente barnehagelæreren bør ha kjennskap til matematikk, både for å kunne stimulere og utfordre barns matematiske tenkning og for å styrke egen identitet som profesjonell barnehagelærer. I denne boken problematiseres barnas første matematikklæring og hvordan barnehagelærernes tilnærmingsmåter og arbeidsmetoder har betydning for barnas muligheter til å utvikle grunnleggende matematikkferdigheter. Den matematiske tenkningen spiller en viktig rolle i dagliglivet, og matematikklæring i barnehagen er dermed så mye mer enn en forberedelse til formell matematikkundervisning. Lærere som arbeider med små barn, må ha kunnskaper i matematikk, men det betyr ikke at han eller hun må utdanne seg til matema-

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

tiker. Det handler i stedet om å ha kunnskaper som gjør at læreren kan støtte og stimulere barnas livslange læring i matematikk i det pedagogiske arbeidet. Derfor vil tyngdepunktet i denne boken være på lærerens profesjonalitet og hvordan den kommer til uttrykk i den pedagogiske virksomheten, der man forventer at barn skal lære og utvikle grunnleggende ferdigheter. Kunnskaper om matematikk inkluderer både kunnskap om matematiske prosedyrer og prinsipper og kunnskap om hvordan man lærer seg disse prosedyrene og prinsippene.

Matematikk overalt – og ingen steder? På en konferanse der 2 500 matematikklærere og forskere i matematikkdidaktikk fra alle skolestadier deltok, ble det holdt tre velkomstforedrag: ett av prorektoren for universitetet, ett av kommunesekretæren i byen der konferansen ble holdt, og ett av to lærere som arbeider med barn på de laveste skoletrinnene. Formålet med disse innledende foredragene var naturligvis å åpne konferansedeltakernes sinn og bevissthet og stimulere til nysgjerrighet og kreative møter i løpet av konferansedagene. Hver enkelt foredragsholder beskrev sitt syn på matematikk med utgangspunkt i den virksomheten der de hadde sitt daglige virke. Uavhengig av hverandre la alle foredragsholderne frem en påstand: «Matematikk finnes overalt.» Så bra! Det betyr at alle dører er åpne, og at det ikke burde være så vanskelig å ta til seg denne matematikken! Når sant skal sies, kan det imidlertid neppe være så enkelt. Dessuten innebærer denne påstanden at vi legger et stort ansvar på det lærende individet. Dersom matematikken finnes overalt, betyr det at hun eller han som opplever matematikkvansker kanskje ikke har åpnet øynene sine ennå eller rett og slett er for lat til å ta for seg av matematikken som åpenbart bare ligger der, overalt? Kan vi virkelig gi barn ansvaret for egen læring på denne måten?

kapittel 1

Jeg vil drøfte denne påstanden om at matematikk finnes overalt og problematisere betydningen av at vi prøver å beskrive matematikk som noe så allmenngyldig og enkelt. Hvordan kan det ha seg at så mange mennesker opplever matematikk som noe vanskelig, og at enkelte barn utvikler matematikkvansker? Det finnes en rekke studier som har sett på barns begrepsdannelse, matematiske utvikling og kognitive evner, og disse studiene viser at miljøet og hvilke tilnærmingsmåter barna møter de første årene når det gjelder matematikk og læring, i stor grad virker inn på hvilke forutsetninger barna får til å utvikle allerede eksisterende matematikkferdigheter. Lærere som mener at matematikk finnes overalt, har et stort ansvar for å synliggjøre matematikken for barna og for å vise hvordan matematiske sammenhenger, prosedyrer og prinsipper utgjør en del av omgivelsene og handlingene våre i hverdagen. Da er det også mulig å bygge opp en tilnærmingsmåte til matematikk hos barna som gjør at de ser på matematikk som et nyttig verktøy, og å oppmuntre dem til å bruke, teste ut og utvikle de matematikkferdighetene som han eller hun allerede har. Meningsfull matematikk blir anvendelig og også mulig å utvikle. Hva er så denne matematikken, som mange mener finnes overalt? Matematikken kunne kanskje like gjerne vært «ingenting», spesielt dersom man forsøker å forstå matematikken som et håndgripelig fenomen. Matematikk er ikke noe håndfast: Det vi kaller matematikk, er imidlertid bare prosedyrer og prinsipper for å håndtere hverdagen. Matematiske prinsipper fungerer som en støtte for at vi skal kunne si noe om hvordan saker og ting forholder seg til hverandre, og matematiske prosedyrer hjelper oss til å finne ut hvordan disse prinsippene forholder seg til hverandre. Vi bruker dessuten mange matematiske uttrykk for å beskrive hvordan saker og ting forholder seg til hverandre. Matematikk som et håndgripelig fenomen er imidlertid vanskelig å finne. Kanskje det er nettopp dette som gjør at matematikk kan oppleves som vanskelig å forstå? Vi bruker

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

matematiske prosedyrer, prinsipper og uttrykk i det daglige, men i svært ulike sammenhenger. Det er for eksempel mye lettere å bestemme og beskrive en farge og hvilken nyanse fargen har, enn å forstå matematikk. I uttrykket «rød som en tomat» er det en tydelig kobling til noe konkret, og det er mulig å oppleve egenskapen farge visuelt. Matematikk er derimot mer abstrakt, ettersom matematikk handler om å håndtere relasjoner, for eksempel å vurdere om en kurv med blåbær inneholder flere eller færre bær enn en kurv med tyttebær. Fargen, smaken eller størrelsen på bærene spiller ingen rolle: Vi kan sammenlikne hvor mange deler som inngår i en bestemt helhet, og på den måten kan vi sammenlikne «mangeheten». Det er imidlertid vanligere at vi sammenlikner «hvor mye» bær som finnes i hver kurv, og da er det ikke lenger antallet som er i søkelyset, men hvor stor mengde bær vi oppfatter at kurvene rommer. Fortsatt har fargen og smaken ingen betydning for svaret på spørsmålet. Derimot er det mengdens størrelse, som er en annen dimensjon av antall, som er det viktige. Dersom matematikken er abstrakt og vanskelig å få begrep om, hvordan kan man da påstå at barn er matematiske og resonnerer over matematikk? En fireåring ville neppe hevde at hun tenker matematisk eller «matematiserer» når hun legger et puslespill eller ordner dyrefigurer på rekke og rad (Reis 2011; Freudenthal 1968). Erfaringene og leken blir derimot «matematikk» idet barnet forsøker å skape en mening i noe hun eller han opplever og utforsker, og når det oppstår et behov for å sortere, sette i rekkefølge og organisere for å oppdage sammenhenger som er nødvendige å se for å kunne gjennomføre nettopp den aktiviteten (Björklund 2008). Derfor kan vi også påstå at barn er matematiske og resonnerer matematisk i tidlig alder, og at de uttrykker denne kunnskapen på ulike måter. Barn kan imidlertid ikke tilegne seg det matematiske språket med symboler, uttrykk og verbale begreper, isolert. Språk og uttrykk handler om betydninger og utvikler seg når barnet møter andre

kapittel 1

barn og voksne som kan beskrive og stille spørsmål om relasjoner mellom ting og hendelser. Begreper, uttrykk og beskrivelser retter søkelyset mot det vi kan kalle matematikk. Derfor kan vi ikke si at barn oppdager matematikk på egen hånd. Det de oppdager, er derimot hvordan verden er organisert, og dette kan vi undersøke og beskrive med matematiske termer. En solrik høstdag er barna ute og går tur. Lyktestolpene lager lange skygger, tvers over det asfalterte fortauet. Vidar stanser. Han stiller seg med ryggen mot solen og med én fot på hver side av skyggen fra lyktestolpen. «Se, jeg har tre ben!» utbryter han. Han går til siden og ser på sin egen skygge på bakken. «Bare to», sier han, før han snur seg med ansiktet vendt mot solen og plasserer bena bredt på hver side av skyggen fra lyktestolpen. «Og nå bare én», sier han forundret. «Se bak deg», sier barnehagelæreren. Vidar snur på hodet og ler høyt når han nok en gang ser skyggene av bena sine på hver side av den lange skyggen fra lyktestolpen. De går videre. Neste gang de stopper, stiller Vidar seg foran læreren, som står med ansiktet vendt fra solen. Vidar ser strålende opp på læreren. «Fire», sier Vidar. På bakken kan han nå se fire skygger: to lange skygger av lærerens ben og to korte skygger av sine egne ben ved siden av lærerens.

Er denne erfaringen, som Vidar gjør seg i dette eksemplet, matematikk? Både ja og nei. Det er en undersøkelse av skygger, altså et naturvitenskapelig fenomen, som følger naturvitenskapelige lover,

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

og som det er mulig å undersøke på en høsttur. I eksemplet ser vi samtidig hvor viktig matematikken er for at undersøkelsen skal være mulig å gjennomføre og gi mening. Det er nemlig oppdagelsen av ulikheter i antall som gjør at barnet begynner å undersøke når og hvordan skyggene faller. Vi kan derfor si at matematisk resonnering er helt nødvendig for kunne å legge merke til hendelser som vekker nysgjerrigheten på ulike fenomener i omgivelsene, slik som i dette eksemplet. Oppmerksomheten og undersøkelsen i seg selv er kanskje ikke alltid rettet mot det som skjer rent matematisk, noe som i dette tilfellet kan være forandringen i antall. I eksemplet ser det imidlertid ut til å være desto mer interessant å utforske hva som skaper forandringene, det vil si skyggefenomenet. Samtidig kan vi se at det er mulig å utvikle det matematiske aspektet i undersøkelsen, for eksempel dersom barnehagelæreren går inn og synliggjør hvordan man kan forme tallet «tre» på ulike måter. I arbeidet med å utfordre barns matematikklæring må barnehagelæreren stadig håndtere denne balansegangen. Matematiske prinsipper og uttrykk inngår i måten vi erfarer omgivelsene på, og ofte handler det pedagogiske arbeidet med matematikk om å ta utgangspunkt i den matematiske kunnskapen barna har og bruke denne kunnskapen i utforskingen av omgivelsene. På den måten blir matematikken meningsfylt og nyttig og et grunnlag for livslang læring.

Matematikklæringens kompleksitet Innledningsvis i denne boken blir livslang matematikklæring nevnt flere ganger, og dette leder tankene kanskje først og fremst til at matematikkunnskaper er kumulative, det vil si at man bør ha grunnleggende regneferdigheter før man begynner å løse logaritmelikninger, osv. Det er riktig at matematikkferdigheter og -kunnskaper bygger på hverandre, og for å kunne bruke og generalisere aritmetiske lover er det en forutsetning at man har en god grunnleggende forståelse

kapittel 1

for eksempelvis tallenes del–helhetsrelasjon. Når man snakker om livslang læring, bør man imidlertid se på matematikkferdigheter og -kunnskaper som sammensatte ferdigheter, der ulike former for evner spiller sammen og styrker hverandre. Matematisk tenkning er mer enn å sjonglere med tall. Riktignok er det å bale med matematikk og eksperimentering med tall, antall og mengder en stor del av dagliglivet, men også andre evner enn de rent numeriske har betydning når det gjelder menneskets matematiske resonnering. Når du bygger sandslott, resonnerer du for eksempel i stor grad over romlige proporsjoner og dimensjoner, på samme måte som en arkitekt tar hensyn til både proporsjoner og dimensjoner, linjer, vinkler, overflater og volum. I sandslottbyggingen skjer resonneringen sannsynligvis mer intuitivt, men den er allikevel en viktig del av det å planlegge, gjennomføre og vurdere om det ble slik man hadde tenkt seg. Rommet og romlige fenomener er i aller høyeste grad matematiske, og disse fenomenene kan ofte knyttes til numeriske resonnementer, målinger og beregninger. Matematisk tenkning er også en del av kommunikasjonen med andre, der vi tolker, kategoriserer og uttrykker forståelse, enten muntlig eller med skriftlige symboler. I dette kapitlet redegjør vi for matematikkferdigheter og -evner som inngår i generell matematisk tenkning, ettersom disse stadig er til stede i barns aktiviteter. Derfor bør også alle lærere gjøres oppmerksomme på disse ferdighetene og evnene.

Matematikkferdigheter Hvordan skal man forstå matematikk? Og hva innebærer det å utvikle matematikkferdigheter? Dersom matematikk begrenses til prosedyrer, tabeller, formler og grafer, kan matematikkundervisning i barnehagen virke meningsløst. Dersom man i stedet anser matematikk som en beskrivelse av forhold mellom ting og hendelser i omgivelsene, vil matematikken få en relevant betydning, også for

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

de aller yngste barna, og tabeller og grafer kan da også bli objekter for læring i barnehagen. Man kan til og med strekke det så langt som å påstå at matematikk handler om å oppfatte hendelser og forandringer i omgivelsene og om å bearbeide inntrykk for å gjøre hverdagen lettere å håndtere. Matematiske begreper beskriver altså i stor grad målbare relasjoner mellom fenomener og hendelser når det gjelder rom, tid og kvantiteter som vi opplever med sansene våre. Dersom vi ser på matematikkferdigheter som en beredskap for å kunne håndtere hendelser når det gjelder rom og tid og kvantiteter, bør disse ferdighetene også inkludere evnen til å skille ting fra hverandre, logisk resonneringsevne og tolkningsevne. For å utvikle matematikkferdighetene er det også til god hjelp å ha prosedurale ferdigheter, det vil for eksempel si å kunne utføre prosedyren med å telle oppover fra tallet én og kunne stoppe når alle objektene i en avgrenset mengde er nevnt med et tallord. Å kunne utføre prosedyren i seg selv behøver imidlertid ikke å bety at man har en begrepsmessig forståelse, det vil si å forstå at det sist nevnte tallordet betyr det totale antallet på alle objektene som er talt opp. Minne kapasitet er også til god hjelp for å utvikle matematikkferdighetene, både når det gjelder å huske hvilke objekter man allerede har talt, men også for å forenkle problemløsingsprosessen ved å huske på at 5 + 5 vanligvis blir 10, uten at man må telle fem og fem fingre hver gang. Uten grunnleggende begrepsforståelse for matematiske sammenhenger og prinsipper blir imidlertid matematikkunnskaper ikke særlig nyttige. I sin mest grunnleggende form er «å måle» det samme som «å sammenlikne». Man kan sammenlikne hva som helst, men hvordan man beskriver tingene man sammenlikner, og med hvilke begreper, henger enten sammen med tingenes utstrekning i rommet, med varighet eller med mengde. I løpet av oppveksten har voksne tatt til seg og lært seg å bruke kulturelt formidlede enheter, som meter, kilogram eller minutter, og de angir antall enheter med symboler,

kapittel 1

som sifre eller tallbegreper. Det er viktig gi symbolene og de verbale uttrykkene mening, ettersom de gjør det mulig å dokumentere for fremtiden, kommunisere med andre om hvordan man oppfatter relasjoner i omgivelsene og å strukturere daglige gjøremål, enten det dreier seg om å dekke bord eller skjære brød. Det er altså viktig å kunne skille mellom og sette ord på målbare egenskaper. Selve konseptet med å måle vil på sin side sette den logiske slutningsevnen og den numeriske resonneringen på prøve, for eksempel når det gjelder å resonnere over «avstand» ved å bruke føtter som måleenhet. Føtter er et svært godt måleredskap, men det er selvsagt nødvendig at man bruker den samme foten til å måle med. Dersom både læreren og barna bruker sine egne føtter, blir antallet føtter forskjellig. Hva kommer det av? Innebærer store føtter at det er plass til et større antall føtter på en bestemt strekning, eller er det omvendt? Å forestille seg et visst antall barneføtter og sammenlikne dette antallet med et færre antall voksenføtter, for så å skulle trekke en rimelig konklusjon, er en tankeprosess som ikke er helt enkel. På samme måte kan det være en reell utfordring å resonnere over antall kopper vann som må til for å fylle en bøtte sammenliknet med en lav balje, der vannivået stiger betydelig raskere i bøtten, enn i den lave baljen. Her må nemlig tankeprosessen inkludere flere aspekter samtidig for at det skal være mulig å forstå sammenhengene og resonnere logisk. Volum handler om forholdet mellom høyde, bredde og dybde, og derfor påvirkes vannivået i bøtten og baljen forskjellig, til tross for at man bruker den samme måleenheten når man fyller på vann. Det blir ansett at en medfødt evne til å kunne oppfatte likheter, ulikheter og endringer er utgangspunktet for å kunne tenke matematisk og utvikle numeriske ferdigheter. Evnen til å skille ting fra hverandre kan dreie seg om størrelser, overflater og diffuse mengder, men også om eksakte antall. Selv om små barn ennå ikke kan sette ord på ulikheter og forandringer som de legger merke til rent

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

intuitivt, er det av stor betydning at barnet får mulighet til å forbedre denne evnen til å skille ting fra hverandre og til å oppdage hvordan ting og hendelser forholder seg til hverandre. Sarama og Clements (2009) mener at faktakunnskap og verbale matematiske uttrykk bare er en del av det innholdet som bør belyses i den første fasen av matematikkundervisningen. I stedet er det viktigere å synliggjøre de matematiske prosessene som barna engasjerer seg i. Sarama og Clements snakker om to matematiske prosesser: generelle og spesifikke. Generelle matematiske prosesser er problemløsning, å trekke konklusjoner og å kommunisere og representere på ulike måter. Disse generelle prosessene gjelder ikke nødvendigvis bare i matematiske sammenhenger, men omfatter i like stor grad språklige og spatiale evner. Spesifikke matematiske prosesser, som å organisere og strukturere informasjon, skape mønstre og konstruere, er på den andre siden prosesser som, ut fra sin egenart, omfatter matematisk resonnering. Disse prosessene medfører også at man bør legge vekt på andre egenskaper og ferdigheter, som nysgjerrighet, kreativitet, nytenkning og risikovurdering, vilje til å undersøke og eksperimentere og en sensitivitet for systemer og mønstre. Ifølge Sarama og Clements bør begge disse prosessene inkluderes i en høykvalitativ pedagogisk virksomhet for at barnas læring skal utfordres på en effektiv måte. Naturligvis vil ulike former for matematiske problemer sette ulike evner på prøve. For eksempel er det i første rekke den numeriske evnen som styrer regneferdighetene, mens oppramsing og å tolke navnet på et siffer er en mer språklig evne. På den andre siden er det å beregne og argumentere for hvor mye melk man orker å drikke, en ferdighet som forutsetter numerisk resonnering når det gjelder økning i mengder, og spatiale vurderinger av om melkenivået i glasset tilsvarer ønsket mengde. I tillegg kreves språklig argumentasjon dersom man ønsker «mer» melk eller – kanskje mer nyansert – «et halvt glass, takk».

kapittel 1

Numeriske evner Det finnes i dag et oppkomme av studier som beskriver barns begynnende numeriske evner. Numerisk evne handler altså om å identifisere og oppfatte antall, mengder, mengders størrelse og endringer i kvantiteter. Mange mener at disse evnene er medfødte, noe som viser seg ved at spedbarn reagerer med ansikts- og kroppsuttrykk når de opplever plutselige forandringer i antall eller mengder.1 Når man arbeider med små barn, kan man altså regne med at barna har evnen til å oppfatte endringer i små mengder. Hvordan disse evnene utvikler seg og nyanseres, henger imidlertid sammen med det miljøet som barnet er en del av og hvilke begreper, verdier og forventninger som dominerer i dette miljøet. Den numeriske evnen kommer til uttrykk i mange situasjoner i løpet av en dag. Å oppfatte det numeriske i en sammenheng innebærer at man – ofte intuitivt – er oppmerksom på endringer i antall og mengder. Man kan for eksempel raskt slå fast om alle barna har kommet ut på gårdsplassen, ved å summere de gruppene som barna har dannet når de leker: «Albin og Benny er ved huskene. Connor, David og Elias er i sandkassen. Fia, Greta og Hella er på trappen og Isak er ved klatretreet.» Dette omformes raskt til 2 + 3 + 3 + 1, og dette kan man for eksempel summere som «2, 5, 8, 9». Dermed kan man konstatere at tre av de tolv barna som satt i ring i fruktstunden litt tidligere, ennå ikke har kommet ut på gårdsplassen. I nettopp denne situasjonen er det ikke hvilke barn som har kommet ut, som er det viktige, men antallet barn, altså hvor mange. I en annen sammenheng kan det imidlertid være mindre viktig å vite hvor mange barn som er ute eller inne, men å vite om nettopp barnet Albin er ute eller inne. Dessuten er det sjelden nødvendig for de voksne å

Man antar at subitizing og aritmetiske forventninger er medfødte evner som gjør at en person umiddelbart kan oppfatte et eksakt antall objekter og har en følelse for at noe bør skje med den opprinnelige mengden dersom deler legges til eller fjernes.

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

telle hvert objekt som «én, to, tre, fire, fem, seks, sju, åtte, ni». Ofte grupperer vi i stedet og «hopper» oppover på tallrekken etter hvert som vi lynraskt oppfatter de små mengdene, i dette tilfellet gruppene der to eller tre barn er sammen. Her møter altså den intuitive evnen til å oppfatte små mengder en innlært strategi, og til sammen blir de et kraftig verktøy som vi kan bruke for å løse hverdagens små og store numeriske problemer. Det er imidlertid ingen selvfølge at alle utvikler slike bærende strategier, selv om forutsetningene sannsynligvis er til stede. Dagmar Neuman (1989) påpekte dette i en avhandling der hun fulgte barns utvikling av telleferdigheter, og hun konstaterte at tellingen av og til kan havne i et blindspor i de tilfellene der hensiktsmessige strategier som underletter tankeprosessen ikke utvikler seg. Det handler da ikke om hvilke konkrete hjelpemidler som finnes tilgjengelige. Det som er viktig, er kognitive tenkestrategier og en evne til å kunne «se» tall som deler og helheter. Det finnes også nyere studier som støtter denne tanken, altså at barn som oppfatter helheten som det primære, og at delene inngår i denne helheten, har en tendens til å kunne eksperimentere med forandringer i kvantiteter på en lettere og tryggere måte. Det er denne tryggheten som er ettertraktet i arbeidet med små barns matematikklæring. Den numeriske evnen omfatter også evnen til å kunne estimere om mengder er like eller ulike store, og om det er flere eller færre deler i en helhet. I mange situasjoner er det viktig å oppdage om en del har blitt borte eller har blitt lagt til. Det er trolig denne typen behov som har forårsaket at mennesket har utviklet strategier og systemer for å holde orden på større mengder. Når det er mengdens størrelse som er det viktige, og ikke hvilke enkeltdeler den består av, fungerer altså tallbegreper aldeles utmerket både for å beskrive størrelsen på en mengde og for hukommelsen. Det er for eksempel mye lettere å huske på at 22 barn skal spise lunsj i barnehagen, enn å ramse opp hvert enkelt navn for å beregne mange nok porsjoner.

kapittel 1

Aritmetikk innebærer å telle og regne med de fire regneartene. Aritmetiske ferdigheter bygger i stor grad på numerisk resonnering, der individets følelse for hva som skjer med grupperte enheter, avgjør hvilken aritmetiske strategi som er hensiktsmessig i en bestemt situasjon. Å være god i aritmetikk betyr at man behersker regneprinsippene og har tilegnet seg ideen om at regning er en måte å bestemme antall i en avgrenset mengde på. Det handler altså om å «forstå seg på kvantiteter». Dette kan for eksempel komme til uttrykk i ferdigheten til å bevege seg på tallrekken på en dyktig måte, det vil si at man er i stand til å telle oppover og nedover, at man kan begynne fra hvilket som helst tall og fortsette, at man forstår ideen med titallssystemet i skoleårene, og at man er i stand til å overføre generaliserte strategier, for eksempel at 5 + 3 = 8 innebærer at 15 + 3 må være 18. Å utvikle numeriske evner forutsetter at barnet eksperimenterer med mengder, tall og tallenes del—helhetsrelasjoner for å bli trygg på hvordan man håndterer tallene. Vilhelm har tegnet en tegning og henter flere tegneark. «Jeg skal bruke tre ark til», sier han. «Da har jeg fire stykker. To og to blir fire, og tre pluss én blir fire. Det er flere måter å få fire på!»

Vilhelm gir uttrykk for at han forstår tallbegrepet «fire» på begrepsnivå. Med andre ord forstår han tallets del–helhetsrelasjon og tallets kardinale betydning. I tillegg kan han uttrykke forståelsen sin på flere måter. Han kan også sette ord på denne numeriske resonneringen («Det er flere måter å få fire på»), og dette vil bli en svært god støtte for ham i utviklingen av aritmetiske og algebraiske ferdigheter. Numerisk evne består altså av evnen til å forstå eksakte antall, men også å kunne vurdere mer diffuse mengder (for eksempel at én haug ser ut til å inneholde flere objekter enn en annen haug) og å kunne estimere hvor mange objekter som kan tenkes å inngå i

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

en mengde. Denne evnen blir stadig mer presis jo oftere man retter oppmerksomheten mot mengder og mengdenes størrelse. Det har vist seg at det å ha evnen til å resonnere omkring mengder i tidlig alder er en indikator på hvor godt barn utvikler aritmetiske ferdigheter når de begynner på skolen. Mazzocco mfl. (2011) viser dette i en studie av barns evne til å estimere omtrentlige mengder i treårsalderen, og de følger barnas utvikling når de nærmer seg skolestart. De barna som viser at de har en god beregningsevne allerede i treårsalderen, utvikler også større fleksibilitet når det gjelder å løse aritmetiske oppgaver i skoleårene. Slike resultater er viktige å ta med i betraktningen når man arbeider med barn i barnehagen. De viser nemlig at barn som er oppmerksomme på numeriske sammenhenger, har en tendens til å utvikle grunnleggende regneferdigheter før de begynner med matematikkundervisning på skolen. Den matematikkundervisningen som skjer i barnehagen, der man ivaretar barnas interesser og anerkjenner barnas egne initiativ, vil derfor også ha betydning for hvordan regneferdighetene utvikler seg. Det er også svært sannsynlig at barn som viser interesse for å sammenlikne og snakke om kvantiteter som de møter i hverdagen, vil bli oppmuntret til å utvikle egne ideer og initiativer. De barna som ikke viser denne egne interessen, og som kanskje ikke legger merke til kvantiteter og numeriske sammenhenger i hverdagen, vil imidlertid heller ikke utfordre seg selv på samme måte i møtet med matematikken. Dersom disse barna, som ikke tar egne initiativ til å resonnere over kvantiteter, aldri blir oppmuntret av voksne til å sammenlikne og eksperimentere med mengder, deler og helheter, vil disse barna også ha en mer begrenset erfaringsbakgrunn å relatere matematiske begreper og prinsipper til. Ifølge Mattinen (2006) og Hannula (2005) er det vanligere enn man skulle tro at barn i treårsalderen ikke viser interesse for numeriske sammenhenger. Siegler og Ramani (2009) synliggjør også denne mangelen på interesse hos barn som vokser opp i sosioøkonomisk fattige miljøer, men viser også – på

kapittel 1

samme måte som i Mattinens prosjekt – at tidlig pedagogisk innsats har positive effekter og gjør at barna tar igjen erfaringene og oppnår tilsvarende kompetanse som jevnaldrende barn. Det er ingen tvil om at barn i barnehagealder generelt tar raskt til seg matematikkerfaringer når de møter ulike matematiske fenomener i omgivelsene. Mange av aktivitetene som foregår i barnehagen, er aktiviteter som inngår i numeriske sammenhenger på en naturlig måte.

Spatiale evner Mennesket lever i en fysisk verden som hovedsakelig oppfattes visuelt. Hvordan vi oppfatter verden og beskriver den, henger altså sammen med hvordan vi ser den. Selvsagt bidrar også andre sanser enn synssansen til denne opplevelsen, men for de fleste mennesker er visuelle inntrykk viktige. Romoppfatning handler om hvordan vi oppfatter rommet, der avstand, overflater, posisjoner og størrelse oppleves og oppfattes på ulike måter. I generelle trekk inkluderer spatiale evner også evner som bidrar til at vi oppfatter omgivelsene, som forhold mellom overflater, linjer og rom. Når vi leter etter en bok i bokhyllen, søker vi med blikket etter en spesiell farge, form, tykkelse eller høyde på bokryggene, det vil si hvordan boken vi leter etter, ser ut i forhold til de andre bøkene. Et eksempel på en viktig spatial evne kan altså være å kunne oppfatte høyde- og breddeforhold. Visuell spatial evne spiller også en viktig rolle når vi for eksempel vil gjenskape tredimensjonale objekter, for eksempel i form av en tegning eller i leire. Denne evnen innebærer altså å kunne manipulere objekter mentalt og å kunne forestille seg gjenstander fra ulike perspektiver. Romlige dimensjoner, perspektiv og forhold og avstand i rommet er aspekter som må tas hensyn til og tolkes og uttrykkes på ulike måter. Spatial evne kommer blant annet også til uttrykk ved at man kan gjenskape objekters plassering, noe som naturligvis også har

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

med minnekapasitet å gjøre. Mange kan sikkert kjenne seg igjen i fenomenet at man har lest en interessant avisartikkel, men ikke kan huske detaljer i innholdet eller hvordan artikkelen var utformet. Derimot kan man «føle» at artikkelen var plassert oppe i høyre hjørne i den siste delen av avisen. I en svært interessant studie viser LeFevre mfl. (2010) at den spatiale evnen hos barn i barnehagealder virker inn på både språklige og ikke-språklige matematikkferdigheter. Det betyr at den numeriske evnen, som for eksempel er koblet til å tolke tallsymboler, har å gjøre med hvordan man oppfatter rommet, og hvordan man kan kjenne igjen former og bestemme retning. Det er for eksempel viktig å være oppmerksom på retning og form for å kunne tolke tallene 9 og 6, som er identiske, bortsett fra når det gjelder retning og numerisk betydning. Det viser seg imidlertid at den numeriske evnen ikke spiller noen avgjørende rolle når det gjelder ferdigheter i geometri. Kart, grafer og skjemaer er eksempler på representasjoner som støtter menneskets visualiseringevne, og som også støtter tolkningen av ulike fenomener i omgivelsene. Ved at vi gjenskaper numeriske relasjoner eller geografiske posisjoner i bilder, bruker vi den spatiale evnen til å se sammenhenger og til å sammenlikne for å finne mønstre og regelmessigheter. Dersom vi vil undersøke hvor varme dagene har vært i løpet av en ukes tid, er det naturlig å notere den høyeste temperaturen hver dag, ofte symbolisert i form av grader på en akse, der høyere temperaturer når høyere opp på aksen eller tallinjen. I løpet av en uke får vi sju noteringer. Det blir da mulig å se på lang avstand hvilken dagtemperatur som kommer høyest opp på aksen, og som altså har vært varmest. En spatial representasjon støtter oppunder tolkningen, spesielt dersom tall og siffersymboler kan være vanskelige å få begrep om. Informasjon som kan være vanskelig å tolke, støttes altså av billedlige uttrykk som forteller en historie. Å bruke grafer og diagrammer er derfor en utmerket metode for å fange opp fenomener og

kapittel 1

representere dem på en oversiktlig måte, enten det handler om å føre statistikk over hvor mange tenner man har mistet, antall leste bøker eller temperatur på varme sommerdager. Her blir det enda tydeligere hva meningen med matematikk er, nemlig å beskrive relasjoner. Det spiller altså ikke noen stor rolle om jeg har lest to eller tolv bøker i løpet av en bestemt periode, men i forhold til de andre verdiene, altså hvor mange bøker de personene jeg sammenlikner meg med, har lest, kan det bli interessant å diskutere antall. Sammenlikningen og verdien i forhold til andre verdier synliggjøres ofte bedre med grafiske uttrykk. Mange matematiske uttrykk, ikke minst de algebraiske, kan uttrykkes geometrisk og dermed bli lettere å forstå. Arcavi (2003) gir en interessant beskrivelse av matematiske sammenhenger og tenkestrategier i grafiske uttrykk, der blant annet omfattende historiske hendelser blir oversiktlige og begripelige når de gjengis i grafisk form. Flere forskere (Butterworth 1999; Siegler og Ramani 2009) mener at evnen til å bevege seg langs tallrekken også har et spatialt aspekt som støtter menneskets resonnering når det gjelder tallfølger og tallenes forhold til hverandre. Tallene følger hverandre i en bestemt rekkefølge, og ofte har man sitt eget svært personlige «bilde» av hvordan enertall, titall og hundretall følger etter hverandre: Man ser det for seg som en rett linje, som en uregelmessig kurve eller som en stigende linje. Det «landskapet» som tallrekken danner, kan fungere som en utmerket støtte for aritmetisk resonnering. På liknende måte ser man ofte for seg problemløsning som et kart eller en punktliste, det vil si at vi har svært individuelle forestillinger som hjelper oss å holde orden på hva vi har gjort, og hva som gjenstår å gjøre før problemet er løst. Mange enklere oppgaver understøttes også av et billedlig skjema eller billedlig resonnering, for eksempel når man skal lære seg å knytte skolisser: «En løkke – lissen rundt – igjennom – og dra til.» Denne sekvensen kan være vanskelig å beskrive med ord, men rytmen og bevegelsen i knyttingen, det vil si den

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

spatiale sammenhengen, fungerer som støtte for hukommelsen og for å kunne løse problemer som kan oppstå underveis i knyttingen. Spatiale evner handler altså i stor grad om å ordne, organisere og strukturere for å gjøre verden forståelig og håndterlig. Å organisere og forstå systemer er en viktig spatial evne som utgjør grunnlaget for å kunne tolke og bruke algebraiske uttrykk. Algebra, eller såkalt bokstavregning, innebærer å uttrykke en matematisk sammenheng på et overordnet plan, det vil si at en bokstav kan byttes ut med et hvilket som helst tall uten at forbindelsene endrer seg. I denne sammenhengen pleier man også å poengtere likhetstegnets betydning. Barnehagebarn stifter også bekjentskap med forbindelser i omgivelsene som kan sies å bygge på algebraiske ideer, blant annet når de oppfatter og skaper mønstre – annenhver blå og annenhver gul – og innser at mønstret kan fortsette i det uendelige. Tanken bak likhetstegnet blir for eksempel synlig når man deler en mengde og problematiserer delmengdenes forhold til hverandre: «Du har to og jeg har fire. Hvis du får én av meg, da har vi like mange.»

Språklige evner Matematikk og språk hører sammen, kanskje mer enn vi aner. Når vi kommuniserer med andre, uttrykker vi oss ved hjelp av språket for å formidle oppfatningene og argumentene våre. De vanligste språklige uttrykkene som vi forbinder med matematikkferdigheter, er tallrekken, å kjenne igjen og navngi tallsymboler og å sammenlikne symboler med hverandre. Språket understøtter imidlertid også evnen til å resonnere over matematiske fenomener. Av og til kan man få anledning til å delta i denne resonneringen, selv om det språklige uttrykket ikke var ment som en dialog: Valdemar står foran huskene på gårdsplassen. Det er fire husker ved siden av hverandre. Han setter seg på husken lengst til høyre.

kapittel 1

«Den går fortere», sier han og peker på husken ved siden av. Han lener seg frem og ser på huskene som er lenger bort. «Den går enda fortere, og den går enda-enda fortere», sier han. Valdemar går til husken lengst til venstre. «Nå skal jeg huske på den enda-enda fortere», sier Valdemar.

Valdemar snakker med seg selv. Det ser ikke ut til at han henvender seg til noen. I Valdemars språklige uttrykk kan vi tolke at han skaper et skille mellom huskene: en slags rekkefølge av hvor fort man kan huske (eller hvor høyt). Et eldre barn eller en voksen ville trolig nyansere beskrivelsene, som «rask», «raskere», «enda raskere» og «raskest», men Valdemar nyanserer ordene på sin egen måte og lykkes aldeles utmerket, ved å bruke begrepene «fort», «fortere», «enda fortere» og «enda-enda fortere». Det har vist seg at ordforråd og fonologisk bevissthet har betydning for barns evne til å kjenne igjen tall. Denne evnen henger sammen med hvordan individet lykkes med å tolke et verbalt eller skriftlig symbol som en representasjon for et spesifikt antall (LeFevre mfl. 2010). Tallbegrepene og tallrekken henger også tett sammen med telleferdighetene, ettersom det er nødvendig å være fortrolig med tallenes sammensatte betydning for å kunne telle. I denne sammenhengen er det Gelmans og Gallistels fem prinsipper (1978) som blir mest brukt, og som oftest er det disse man refererer til (Cirino 2011; Koponen mfl. 2007). Studier av små barns ordforråd og evne til å kategorisere viser at det å sette språklige etiketter på saker og ting, støtter barnets tankeprosess. Å sette navn på ting blir en måte å ordne verden inn i forståelige helheter på, der det er mulig å finne nyanser og perfeksjonere uttrykkene innenfor én og samme kategori. Vi kan se at språket også fungerer som en støtte for tankene når barnet ordner

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

figurer systematisk etter størrelse, og ofte kaller barnet den største figuren for «pappa», den mellomstore figuren for «mamma» og den minste figuren for «baby» (Björklund 2013). Resultatene fra omfattende studier som tar barns sosioøkonomiske bakgrunn med i betraktningen (Cirino 2011; Jordan mfl. 2009) viser ofte at barns matematikkferdigheter i barnehagealder er forskjellige. Dette gjelder imidlertid språklige og symboliske ferdigheter, og ikke de rent numeriske. Det er vanlig å tolke slike resultater som at et sosioøkonomisk trygt hjemmemiljø også i større grad bidrar med stimulerende erfaringer, for eksempel ved at barn deltar i hverdagssysler, at man snakker om dagens hendelser og gjøremål, at man leser bøker sammen med barna, at man tilbyr barna mange muligheter til å resonnere over ting og hendelser, og at man skaper anledninger til å øke ordforrådet deres (Clements og Sarama 2008). Sylva mfl.s (2010) longitudinelle studie av britiske barns tidlige skolegang viser den samme tendensen, nemlig at forholdene i hjemmet de første årene i barnas liv er ekstremt viktige for barnas skolefremgang, i både språk og matematikk. Det er altså viktig å ta det språklige miljøet som barna tar del i, med i betraktningen, ettersom dette miljøet også har innvirkning på barnas øvrige kognitive evner. Matematiske begreper har presise betydninger, og når de brukes for å beskrive fenomener i omgivelsene, fylles de også med mening, akkurat som andre beskrivende begreper. Mange bruker uttrykket «rund» for å beskrive det man med matematiske termer kaller en «sirkel». Faktum er imidlertid at når man beskriver en ball, er ordet «rund» en svært upresis betegnelse. Dersom vi tegner et bilde av ballen på et stykke papir, blir formen sannsynligvis en sirkel. Når vi holder ballen fremfor oss og studerer den ytre formen, kan vi også skjelne en sirkel. Dersom vi håndterer ballen ved å kjenne på den med hendene og kanskje også ruller den langs bakken, merker vi at den faktisk er mer enn bare rund: Den er formet som en kule. Kulen er altså den tredimensjonale

kapittel 1

formen som vi får øye på når vi studerer ballen fra ulike vinkler. En kule pleier imidlertid å være fylt: Den har et volum. Dersom vi vil presisere begrepet ytterligere, kan vi derfor snakke om sfæren, det vil si den overflaten som vi ser av ballen. Innholdet vet vi ingenting om, og det spiller ingen rolle. En såpeboble er et utmerket eksempel på en sfære. Når boblen sprekker, blir det ingenting igjen av boblen: Boblen er sfæren. Når man blir oppmerksom på betydningen i ulike begreper som beskriver én og samme gjenstand, blir man også oppmerksom på at det finnes ulike aspekter av en gjenstand som er mulig å ta for seg som et utforskningsobjekt. I en doktoravhandling beskrev Stenhag (2010) en sammenlikning av svenske skolebarns grunnskolekarakterer i matematikk, og hensikten var å skape et bilde av hvilke kunnskaper som ser ut til å understøtte hverandre, eller som rett og slett er en forutsetning for å kunne tilegne seg annen kunnskap. I studien viste det seg at mange elever som presterer bra i matematikkfaget, også har gode karakterer i andre akademiske og praktiske fag. Stenhag testet en hypotese: at gode matematikkprestasjoner henger sammen med god språklig evne, for eksempel leseforståelse, ettersom en stor del av matematikkundervisningen er basert på å kommunisere og tolke tekster. Det var ikke mulig å påvise det motsatte i samme utstrekning, det vil si at gode prestasjoner i leseforståelse ikke er en indikator på hvor godt en elev presterer i matematikk. I klartekst betyr resultatene av denne studien at dersom du har gode matematikkferdigheter, er sannsynligheten også større for at du har utviklet ferdigheter som hjelper deg med språktilegnelse og leseforståelse. Det er ikke spesielt vanskelig å tenke seg årsaken til denne koblingen, ettersom språk er logisk bygget opp og vanligvis følger tydelige mønstre, det vil si grammatikkregler. Jo flere språk man lærer seg, desto raskere har man en tendens til å snappe opp det spesifikke mønstret som karakteriserer språket, eller til å kjenne igjen likheter med andre språk, noe som gjør det lettere å lære seg enda mer. Leseforståelse

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

handler videre om å se en tekst som en helhet der man kan se en rød tråd eller et bærende budskap og mønstre som bidrar til en holistisk forståelse. Evnen til å oppdage regelmessigheter og mønstre er i høy grad en matematisk evne, og denne evnen knytter dermed en spatial evne sammen med en språklig dimensjon. Stenhags studie viser også at høye karakterer i matematikk og leseforståelse har sammenheng med fremgang i alle fag, både naturvitenskapelige og samfunnsorienterte. Et viktig aspekt å ta med i betraktningen når man diskuterer kunnskap, ferdigheter og fremgang i matematikk, er at mange kan utvise gode matematiske evner som gir utslag i at man lykkes i matematikkfaget, men evnen til å bruke matematikkunnskapen i andre sammenhenger enn de rent matematiske, det vil si å ta kunnskapene i bruk for å løse ulike problemer, er en ferdighet som må synliggjøres i større grad. Det ser nemlig ut til å være en fordel å utvikle logisk evne i kombinasjon med tolkningsevne for å kunne lære og utvikle seg innen alle fagområder.

Å bli matematisk kompetent «Hva er forskjellen mellom 8 og 11?» Hvordan skal man svare på det spørsmålet? Vel, det avhenger av hvordan man tolker ordet «forskjell» i sammenhengen. I dagligtalen tolker man sannsynligvis ordet forskjell som at man observerer tallenes utforming og kjenne tegn, og denne tolkningen ville trolig gitt svaret «11 har to sifre og 8 har bare ett» eller «8-tallet er rundt mens 1-tallene er rette». Den matematiske betydningen av ordet forskjell, det vil si differansen mellom to tall, er altså ingen selvfølge. Likevel forventer man at barn lærer seg å tolke og bruke slike matematiske uttrykk. Denne evnen til å tilpasse tolkningene i ulike sammenhenger, kalles litterasitet. Å bli en litterær person kan innebære flere ting. I dag er litterasitet et vanlig læringsmål innen vestlig utdanning, men det interessante spørsmålet er selvsagt hvordan dette tolkes og forstås i den praktiske

kapittel 1

pedagogiske virksomheten. Å bli litterær kan for det første bety at personen kan tolke og kommunisere med symboler og uttrykk, noe som i høyeste grad er aktuelt når det gjelder matematikk: Innenfor hvilket annet kunnskapsområde er det like viktig å tyde symboler på en funksjonell måte? Den andre betydningen som bør drøftes, er en evne til å tyde hvilken mening og betydning symboler og uttrykk har i spesifikke sammenhenger. Litterasitet er altså et viktig aspekt av å bli en reflektert og deltakende medborger. For å utvikle litterasitet må barn få mulighet til å avlese – i betydningen å tolke – symboler og uttrykk som de møter i dagliglivet. Det kan like gjerne handle om stolpediagram og sirkeldiagram som måleenhetene liter og desiliter, som for eksempel kan uttrykkes som 1 eller 0,1. Verken den norske rammeplanen eller læreplanen for den svenske førskolen nevner at sifre er et mål man skal arbeide med i barnehagen. I ulike sammenhenger, og som én av flere ulike måter å uttrykke numeriske eller spatiale forhold på, er likevel sifre noe som barn tar del i, og som de også av og til aktivt undersøker og forsøker å skape mening i. Å stimulere barn til å utvikle matematisk litterasitet innebærer altså å gjøre barna oppmerksomme på symbolene og uttrykkene som de kommer i kontakt med, og forme en mening sammen med barna som de evner å håndtere og bruke i daglige aktiviteter. Ett eksempel der matematisk litterasitet har betydning, kan være når man skal mestre et terningspill. To prikker på terningen tilsvarer å flytte en brikke to plasser. Antallet plasser uttrykkes som «to», og ved at man raskt gjenkjenner mønstret som prikkene danner, kan man tolke dette som at det både betyr det sammenlagte antallet prikker på terningen og det sammenlagte antallet plasser man skal flytte brikken. Et annet eksempel på uttrykk som barn møter i daglige aktiviteter, kan være femkroner og kronestykker. Én femkrone og fem kronestykker er forskjellige uttrykk for den samme verdien: «fem kroner.» Uttrykkene er forskjellige – men har samme nume-

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

riske betydning – og er en svært sentral del av dagliglivet, der matematisk litterasitet spiller en viktig rolle. Barn kan også møte andre uttrykk, for eksempel ½, 0,5 og «halv», som også uttrykk for den samme numeriske verdien, men som vanligvis blir brukt på ulike måter i ulike sammenhenger og kan være utfordrende å få begrep om, også i senere matematikkundervisning. I dag snakker man gjerne om situert læring, og dette blir spesielt viktig når det gjelder å støtte og stimulere matematisk litterasitet. Matematikk som synliggjøres og gis mening i sammenhenger der matematikken kan brukes og fungere som støtte for forståelsen, fører også i høyere grad til begrepsmessig forståelse og generaliserbarhet. Jablonka (2003) mener at matematisk litterasitet innebærer at en person er kunnskapsrik innen matematikk, noe som innebærer å kunne benytte og ta i bruk matematisk kunnskap i ulike sammenhenger. Denne måten å nærme seg matematikkundervisning på er slett ikke ny, men har blant annet blitt beskrevet av Freudenthal (1968), som mener at man skal undervise i matematikk på en slik måte at kunnskapen blir mulig å bruke i praksis.

Å «eie» sin egen læringsprosess Det er ikke mange hendelser i livet som er så sterke og varige som når man oppdager at man har lært noe. Enten det er å lære seg å svømme, å sykle, å fatte meningen med klokken eller multiplikasjonstabellene, er dette innsikter som bokstavelig talt forandrer livet. Mange ganger skjer læringen suksessivt, og kunnskapen utvikler seg i både dybden og bredden over lang tid. Læring kan også ta form som en innsikt, og det kan virke som om den kommer plutselig, men forut for denne innsikten er det et mangfold av erfaringer som har blitt bearbeidet på ulike måter. Læringsøyeblikket – eller den plutselige innsikten – går raskt over, men effektene består. Å oppnå en innsikt og forstå et fenomen og kunne bruke denne kunnska-

kapittel 1

pen ved senere anledninger kan sammenliknes med at brikkene i et puslespill faller på plass. Til tross for at kunnskapen neppe er fullstendig, er den høyst personlige følelsen av å kunne noe, forstå noe og kunne bruke kunnskapen i praksis, verdifull og tyder på begrepsmessig læring. Å komme til det punktet i læringsprosessen der man mestrer et fenomen, en kunnskap eller en ferdighet, forutsetter ofte øving over lengre tid og prøving og utforsking for å finne de forbindelsene og sammenhengene som til sammen danner kunnskapen. Samtidig som barna inviteres til å delta i denne læringsprosessen i form av ulike aktiviteter og samspillssituasjoner i barnehagen, er begrepsmessig læring en svært individuell prosess. Hvordan prosessen skrider frem, kan i mange tilfeller også henge sammen med hvilke rammer som er satt i sammenhengen, det vil si hvilke muligheter barna får tilbud om for å teste ut og bearbeide ideer, og i hvilken grad barnet opplever miljøet, aktiviteten eller samspillet som meningsfylt, sett fra eget perspektiv. En viktig del av det vi kaller meningsfull læring, kan derfor være barnets følelse av å «eie» læringsprosessen og altså oppleve at oppdagelsen og innsikten kommer fra barnet selv. Dette betyr på ingen måte at lærerens rolle reduseres. I stedet blir lærerens støttende rolle desto viktigere for at barnets eget resonnement skal bære og ha potensial til å utvikle seg. Følgende beskrivelse er et utdrag av en samtale med en barnehagelærer som snakker om barns matematiske uttrykk og læring i en barnehagegruppe med barn i fire–fem-årsalderen. Jakob, ja. For hans del føles det som at han faktisk har begynt å se materialet. Han har ikke tatt frem klossene på egen hånd tidligere. Det var jeg som tok frem en kasse med klosser og spurte om han ville bli med inn på det lille rommet og bygge med klosser. Og det var jo ikke nødvendig at jeg var med på byggingen, for da vi gikk inn på rommet og skulle bygge, begynte han å bygge selv. I forhold til de første gangene, da han bare satt og rotet rundt i kassen, har byggingen hans blitt veldig systematisk.

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

I begynnelsen bare undersøkte han materialet! Flere ganger plukket han klossene ut av kassen og så på dem og satte dem på rekke og rad, og i mine øyne var det ikke noe system i det, men han tok dem ut av kassen og kjente på dem, og så la han dem tilbake, og så var han ferdig, men nå har han begynt å sitte mye, mye lenger av gangen. De første gangene satt han bare en kort stund, mens nå utfordrer han seg selv hele tiden. Han har gått fra bare å undersøke materialet til å sitte lengre og lengre perioder av gangen, og ved en anledning la vi også merke til at han var veldig systematisk og bygget nøyaktig og symmetrisk. Så bygget han et stort gjerde – en mur – selv om det ikke var noe system i klossene. Det var ikke en bevisst repetisjon, men det bare ble sånn. Han tok én og én kloss ut av kassen, og etter hvert ble det en stor konstruksjon som så ut som en bymur eller en hage. Og gangen etter det da sa han selv at han bygget en by. Da hadde han også bygget en mur, og etterpå bygget han inni muren og så utenfor muren. Og da hadde han jo allerede en tanke bak byggingen: Han holdt ikke bare på med den plukkingen. Så begynte han å bygge klosser oppå hverandre. Den første gangen var det bare én lang rad med klosser, men så begynte det å bli høyere tårn på bestemte steder. Og etter dette har han utviklet byggingen hele tiden. Her en dag bygget han «Helsingfors»! Og alle klossene skulle være med. Til og med de to siste klossene, som han sto og studerte hvor han skulle plassere, ja, de var også med.

I dette eksemplet beskriver læreren et barn som får muligheten til å gjøre seg kjent med materialet på egne premisser, og som utfordrer seg selv til å konstruere og utvikle byggingen til stadig mer sammensatte og symmetriske konstruksjoner. Læreren gir også uttrykk for at hun ser barnets aktivitet som en prosess, der barnet får ta egne initiativ og følge dem, men får støtte av læreren dersom det er behov for det. En del barn er svært så selvstendige i utforskingen sin, mens andre barn trenger tydeligere støtte og oppmuntring for å kunne teste ut ideer og følge resonnementene hele veien.

kapittel 1

Hvilken rolle spiller barnehagen for barns livslange matematikklæring? Hva som skjer i barnehagen, har stor betydning for om barnet får muligheter til å fortsette å utvikle evnen til å lære om og forstå omgivelsene. I en omfattende studie viser Sylva mfl. (2010) at barn som går i en barnehage som kjennetegnes av høy kvalitet når det gjelder den pedagogiske og didaktiske tilnærmingsmetoden, også viser høyere akademiske og sosiale ferdigheter i sju- og elleveårsalderen. God eller høy kvalitet kjennetegnes av at de voksne som arbeider med barna, planlegger på en pedagogisk måte, har pedagogisk utdanning og har hyppig tilgang til videreutdanning og opplæring innen ulike områder som er relevante for arbeidet deres. Den pedagogiske tilnærmingsmåten kommer til syne ved at lærerne er oppmerksomme på barnas initiativ til å lese, skrive, sortere, ordne, telle og utforske omgivelsene. Videre kjennetegnes de høykvalitative virksomhetene av at barnas initiativer blir ivaretatt og forsterket i samspill og kommunikasjon med andre. Moderne forskning understreker betydningen av begrepsmessig kunnskap og grunnleggende evner, ettersom disse er nødvendige for å kunne bruke prosedyrer og faktakunnskap i ulike sammenhenger. Man ønsker altså at barn skal utvikle kompetanse til å bruke matematikk utenfor klasserommet, og at de også skal utvikle en fleksibilitet i måten å tenke på som gjør at generaliserte kunnskaper i matematikk kan tas i bruk i nye situasjoner og altså fungere som verktøy for problemløsning. I barnas livslange matematikklæring bør derfor barnehagen bidra med en stabil grunn å stå på, både i form av grunnleggende matematikkferdigheter og forståelse for basisbegreper og -prinsipper og i form av å gi barna en tro på seg selv som matematisk tenkende personer. Det sistnevnte er kanskje viktigere enn vi tror, og for barnehagelærere er dette noe som er vel verdt å reflektere over.

grunnleggende matematikk i de tidlige barneårene

Begrepsdannelse forutsetter at barn får mulighet til å teste ut betydninger i ulike sammenhenger, og at de får anledning til å tøye grensene for hvordan begreper og prinsipper skal tolkes, forstås og brukes. De fleste barn deltar i samtaler og aktiviteter der man kan teste ut begreper og prinsipper i en naturlig sammenheng. Imidlertid deltar ikke alle barn i dette, og disse barna trenger derfor støtte fra lærere og andre barn, både for å få øye på matematikken og for å våge å teste ut egne ideer. Gjennom problematiserende arbeidsmåter der begrepsbetydninger synliggjøres og speiles mot andre på en målbevisst måte, blir barna også stimulerte til å ta egne initiativ, og dermed utfordrer de også seg selv. Lærerens rolle er å være både inspirator, debattør og organisator. Hanna (lærer) deler ut fem isoporkuler til hvert barn. Hun gir barna noen kuler av gangen og spør hvor mange flere de trenger for å ha fem kuler. Isoporkulene tres på hyssingsnorer, slik at de ser ut som lenker av «snøfnugg». Når barna har tredd de fem isoporkulene på snorene, spør Hanna hvor mange kuler de har fått, om alle har like mange, og om lenkene deres har blitt like lange. Hanna trekker isoporkulene på én av snorene utover, slik at raden av kuler blir lengre enn på de andre barnas lenker, og sammen med barna undrer hun seg over hva som skjedde: Ble det flere kuler? «Det ser ut som sju», sier ett av barna. Deretter sammenlikner de hvor lang rad de ville fått med sju kuler. Barna ber om å få flere isoporkuler, og læreren gir dem fem kuler til. Når barna har tredd de fem nye kulene på snorene, teller de kulene slik at alle har brukt ti kuler, og sammenlikner igjen hvem som har lengst lenke. Igjen trekker læreren kulene på én av snorene utover, slik at raden blir lengre enn de andre, og barna resonnerer over hvor mange det ser ut til å være. Barna vil fortsette å tre flere kuler på snorene, og noen barn tar nå fem isoporkuler av gangen ut av skålen, mens andre tar hele never

kapittel 1

uten å telle antallet. Når det ikke er flere isoporkuler igjen, vil et par av barna fylle ut snorene sine og trekker raden med isoporkuler utover på egen hånd, slik at kulene blir jevnt fordelt utover snoren, mens noen av barna fordeler halvparten av kulene tett inntil hverandre i hver sin ende av hyssingsnoren.

I eksemplet ovenfor blir barna inspirert til både å sammenlikne og å argumentere for egne oppfatninger, noe som også viser seg å føre til at de tar initiativ og problematiserer læringsobjektet. På denne måten kan barnehagen, ved å bruke en problematiserende tilnærmingsmåte, skape et godt grunnlag for begrepsmessig kunnskap i matematikk. Forskningen har bevist at barn som deltar i aktiviteter der man streber etter å utvikle barnas evner til å ta initiativ, eksperimentere og ha en lyttende tilnærmingsmåte, er til fordel for både kognitiv og sosial kompetanse til langt opp i skolealder.