Sinus 1YT Kapittel 3 by Cappelen Damm

Formler og likninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster • bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder • regne med potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform, bokstavuttrykk, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver, og bruke kvadratsetningene til å faktorisere algebraiske uttrykk • omforme en praktisk problemstilling til en likning, ulikhet eller et likningssystem, løse dette og vurdere gyldigheten av løsningen

3.1 Likninger Å løse likningen

x+2=7

er det samme som å finne verdier for tallet x slik at høyre og venstre side av likhetstegnet får samme verdi. Det er det samme som å finne ut hvilket tall som passer i den tomme ruta her:

+2=7

Tallet 5 er det eneste som passer.

5 +2=7

Likningen x + 2 = 7 har dermed løsningen x = 5. Mange enkle likninger kan vi løse på denne måten uten å bruke regneregler for likninger.

Eksempel Løs likningene uten å bruke regneregler for likninger. a) 3x = 12 b) 2x + 1 = 5

Løsning: a) Vi lager en rute og ser hvilket tall som passer. b)

3x = 12 3 · 4 = 12 x=4 2x + 1 = 5 2· 2 +1=5 x=2

Oppgave 3.10 Løs likningene uten å bruke regnereglene for likninger. a) x + 5 = 12 b) x – 3 = 5 c) 2x = 8 d) –4x = 12 Oppgave 3.11 Løs likningene uten å bruke regnereglene for likninger. a) 2x – 1 = 3 b) 3x + 1 = 10 c) 5x – 1 = 14 d) 6x – 4 = 20

90 90

Sinus 1YT > Formler og likninger

Likningen

x+2=7

kan vi også løse på denne måten: Ettersom tallene på begge sidene av likhetstegnet skal være like, må vi kunne trekke fra 2 på hver side av likhetstegnet og fortsatt ha to like tall.

x+2–2=7–2 x=7–2

Vi ser at å trekke fra 2 på hver side i likningen x + 2 = 7 svarer til å flytte 2 over på høyre side og samtidig skifte fortegn på tallet. På tilsvarende måte kan vi flytte alle ledd over på motsatt side av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddene. Når vi løser likninger, kan vi bruke disse regnereglene:

Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. a)

x+2=7 x=7–2 x=5

3x = 2x + 5 3x – 2x = 5 x=5

Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. 1 c)  __   x = 2 2 1 2 · __      x = 2 · 2 2 x = 4 d)

2x = 4

2x 4        ___   = __ 2 2 x = 2

Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da løsningen inn i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi.

Eksempel Løs likningene og sett prøve på svaret i oppgave a. a) 5x + 3 = –2x – 11 3 1 b) __      x + 3 = __      x – 1 2 4

Løsning: a) Vi bruker regnereglene for likninger. 5x + 3 = –2x – 11 Flytt alle ledd med x over på venstre side og alle tall over på høyre side. 5x + 2x = –11 – 3 Trekk sammen leddene på hver side. 7x = –14 – 7x 14  ___   = ____       Divider med tallet foran x. 7 7 x = –2

Vi kontrollerer løsningen x = –2 ved å sette prøve.

Venstre side: Høyre side:

5x + 3 = 5 · (–2) + 3 = –10 + 3 = –7 –2x – 11 = –2 · (–2) – 11 = 4 – 11 = –7

Venstre og høyre side er like. Løsningen er altså riktig. 1

__ b) Fellesnevneren for brøkene  __    og      er 4. Vi multipliserer med 4 2 4 på begge sidene av likhetstegnet for å få bort brøkene. 3 1  __   x + 3 = __      x – 1 2 4 1 2 3 1 Multipliser alle leddene med      x – 4 · 1 4 ·  __   x + 4 · 3 = 4 · __ fellesnevneren, som her er 4. 21 41 2x + 12 = 3x – 4 Flytt over ledd og trekk sammen 2x – 3x = –4 – 12 leddene på hver side. –x = –16 Når –x = –16, er x = 16. x = 16

Oppgave 3.12 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) x + 3 = 7 b) 2x + 3 = 11 c) 2x = x + 3 d) 4x – 1 = 2x + 7 Oppgave 3.13 Løs likningene. a) 3x – 1 = x + 4 c) –2x + 1 = x + 7

92 92

Sinus 1YT > Formler og likninger

b) 5x + 1 = 2x – 3 d) 2,5x + 2 = 5x – 8

3.2 Likninger med brøker Når vi skal løse en likning som inneholder brøker, kan det ofte svare seg å bruke denne framgangsmåten:

1 Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 2 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 3 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 4 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 5 Finn løsningen ved å dividere med det tallet som står foran den ukjente.

Eksempel Løs likningen og sett prøve på svaret. 7 x x  __   –  __   = –x + __       2 3 6

Løsning: Tallene viser til numrene i 7 x x framgangsmåten foran.  __   –  __   = –x + __        2 3 6 1 7 x 3 x 2  __   · 6 –  __   · 6 = –x · 6 + __      · 6 ➀ Fellesnevneren er 6. 21 31 61 3x – 2x = –6x + 7 x = –6x + 7 ➁ x + 6x = 7 ➂ 7x = 7 ➃ 7x 7  ___   = __ ➄ Vi dividerer med 7.        7 7 x = 1 x x __ 1 1 3 – __ 2 1 Venstre side: __      – __      =      –  __   = __            = __       2 3 2 3 6 6 6 7 6 7 __ 7 1      = –  __   + __      =       Høyre side: –x + __      = –1 + __ 6 6 6 6 6

Venstre og høyre side er like. Løsningen er altså riktig.

Oppgave 3.20 Løs likningene og sett prøve på svaret. 1 1 1 1 a) __      x + 2 = __      x – __        b) 2x – 2 =  __   x – 1 3 2 3 3 3 ______ 4 + 2x 2–x 1 – 2x – __ x – 2 _____ _____ ______  =                 d)        =      c)      5 5 3 2 3

I noen likninger finner vi den ukjente i nevneren. I slike tilfeller bruker vi regnereglene slik vi har gjort foran, men da må vi alltid kontrollere den løsningen vi kommer fram til. Noen ganger kan den gi null i en nevner. Da kan vi ikke bruke løsningen.

Eksempel Løs likningene. 5 1 a) __  x   + 3 = __  x   + 1

x – 1 __ 2 1   b)  _____ =      – __       x    3 x

Løsning: a) Vi multipliserer med x på begge sidene av likhetstegnet. 5 1 __      + 3 = __      + 1 | · x

x = –2 gir ikke null i noen nevner og er dermed en løsning.

x x 5 1 __  __ x   · x + 3x =  x   · x + x 5 + 3x = 1 + x 3x – x = 1 – 5 2x = –4 x = –2

b) Fellesnevneren er 3x. Vi multipliserer derfor med 3x på begge sidene av likhetstegnet. x – 1 __ 2 1  _____   =      – __      | · 3x x    3 x x–1 2 1   · 3x = __      · 3x – __  x   · 3x  _____ x    3 (x – 1) · 3 = 2x – 3 3x – 3 = 2x – 3 3x – 2x = –3 + 3 x=0

94 94

x = 0 gir null i to av nevnerne i likningen i oppgaven. Da kan vi ikke sette inn x = 0.

Likningen har ingen løsning.

Oppgave 3.21 Løs likningene. 2 a) __  x   + 3 = 0 x–1 1   + 2 = – __  x     c) _____   x    Sinus 1YT > Formler og likninger

5 – 8 __ b)  __ x    3 =  x    3 1     + 2 = _____ d)  _____   –     x–2 x 2

Generell

3.3 Formler Marit arbeider i en forretning som er åpen hver dag. Hun får 120 kr timen på hverdagene og 150 kr timen på søndagene. Hvis Marit ei uke arbeider x timer på hverdagene og y timer på søndagen, blir lønna L i kroner L = 120x + 150y Dette er en formel for lønna L. Vi kan bruke den til å regne ut lønna når vi vet hvor mye hun har arbeidet på hverdager og på søndager. Hvis hun arbeider 10 timer på hverdagene og 4 timer på søndagen, blir lønna i kroner L = 120 · 10 + 150 · 4 = 1800 Lønna blir 1800 kr. Lønna L har vi funnet ved å sette inn i formelen.

Eksempel Otto har en mobiltelefon med et kontantkort og betaler 0,79 kr per tekstmelding. Hvis han en måned sender x tekstmeldinger, er prisen P i kroner for tekstmeldingene gitt ved formelen

P = 0,79 · x

a) Hvor mye betaler Otto for 200 tekstmeldinger? b) Hvor mye betaler han for 400 meldinger?

Løsning: a) Vi setter inn tallet 200 i stedet for x i formelen og får

P = 0,79 · 200 = 158

Otto betaler 158 kr for 200 tekstmeldinger. b) Nå setter vi x = 400 og får

P = 0,79 · 400 = 316

Otto betaler 316 kr for 400 tekstmeldinger.

Eksempel Otto har skaffet seg et abonnement for mobiltelefonen sin. Prisen P i kroner for x tekstmeldinger per måned er

P = 0,69x + 49

a) Hvor mye betaler Otto nå for 200 tekstmeldinger? b) Hvor mye betaler han for 400 meldinger?

Løsning: a) Vi setter inn x = 200 i formelen og får

P = 0,69 · 200 + 49 = 187

Otto betaler 187 kr for 200 tekstmeldinger. b) Med x = 400 får vi

P = 0,69 · 400 + 49 = 325

Otto betaler 325 kr for 400 tekstmeldinger.

Oppgave 3.30 G La U være prisen i kroner uten merverdiavgift på en vare, og la P være prisen med merverdiavgift. Hvis merverdiavgiften er på 25 %, er P = 1,25 · U Finn prisen med merverdiavgift når prisen uten merverdiavgift er 350 kr.

Oppgave 3.31 G Grete Grønn kjøper en plante som hun planter i hagen. Etter x uker er høyden av planten målt i centimeter gitt ved

h = 2x + 5

a) Hvor høy er planten etter 5 uker? b) Hvor høy er planten etter 20 uker? c) Hva forteller tallene 2 og 5 i formelen ovenfor?

Oppgave 3.32 G Vi ser nå på hele telefonregningen til Otto. Hvis han en måned sender x tekstmeldinger og har y telefonsamtaler som varer i til sammen z minutter, er beløpet B i kroner gitt ved

B = 0,69x + 0,59y + 1,59z + 49

a) Hvor stor blir regningen hvis Otto sender 250 tekstmeldinger og ringer 40 ganger og snakker i til sammen 120 minutter? b) Hva blir regningen for 180 meldinger og 100 samtaler som varer i til sammen 240 minutter? c) Hva forteller tallene 0,69, 0,59, 1,59 og 49 om dette abonnementet?

96 96

Sinus 1YT > Formler og likninger

I de eksemplene vi nå har hatt, fikk vi oppgitt den formelen vi skulle bruke. Noen ganger må vi lage formelen selv.

Eksempel Mona Mo kjøper en moped som koster 18 000 kr. Hun regner med at verdien minker med 300 kr per måned. a) Finn en formel for verdien V av mopeden om t måneder. b) Bruk formelen til å finne verdien om 2 år. Mona har i alt 4200 kr i faste utgifter til mopeden per år. I tillegg regner hun med at det går 2 kr per mil til bensin. c) Finn en formel for utgiftene U kroner når hun kjører x mil per år. d) Finn utgiftene når hun et år kjører 2000 km.

Løsning: a) På t måneder synker verdien med 300 · t kroner. Verdien i kroner er da

V = 18 000 – 300t

b) Ettersom 2 år er

2 · 12 = 24

måneder, er verdien i kroner

V = 18 000 – 300 · 24 = 10 800

Verdien om 2 år er 10 800 kr. c) Bensinutgiftene i kroner for x mil er

2 · x = 2x

De samlede utgiftene er da

U = 2x + 4200

d) Ettersom 2000 km er det samme som 200 mil, blir utgiftene

U = 2 · 200 + 4200 = 4600

Utgiftene er 4600 kr dette året.

Eksempel I skihopping er det en fordel å være lett. I 2005 ble det innført regler som skulle hindre at hoppere slanket seg for mye. Reglene bygger på kroppsmasseindeksen. Dette tallet blir ofte kalt BMI etter engelsk body mass index. BMI-verdien regner vi ut slik:

vekt BMI = ____________         høyde · høyde

der høyden er i meter. Vekten er i kilogram, og da er hopputstyret med regnet. For å få hoppe i konkurranser må hopperne ha en BMI over 20. a) Skriv formelen med vanlige matematiske symboler. b) Sverre Sletta er 178 cm høy og veier 64 kg medregnet hopputstyret. Finn BMI-verdien hans. c) Får Sverre Sletta hoppe?

Løsning: a) Vi lar h være høyden i meter, v er vekten i kilogram, og BMI-verdien kaller vi b. Da er v v b = _____       = ___       h · h h2 b) Vi setter v = 64 og h = 1,78. BMI-verdien er da 64 v b = ___   2   = ______    2   = 20,2 h 1,78 c) Ettersom BMI-verdien er over 20, får Sverre Sletta lov til å hoppe.

Oppgave 3.33 G Martin har mobiltelefon. Han betaler 250 kr i abonnementsavgift per måned og i tillegg 0,89 kr per minutt når han ringer. Det er ingen startpris for samtalene. a) Finn en formel for utgiftene U i kroner per måned når han ringer i x  minutter. b) Hvor mye må han betale hvis han en måned ringer i 300 minutter? Martin sender i tillegg tekstmeldinger og betaler 0,80 kr per melding. c) Finn en formel for utgiftene U i kroner per måned når han ringer i x  minutter og sender y tekstmeldinger. d) Hvor mye må han betale hvis han en måned ringer i 150 minutter og sender 120 tekstmeldinger?

98 98

Sinus 1YT > Formler og likninger

Oppgave 3.34 G Kåre Kulen er 180 cm høy og veier 64 kg medregnet hopputstyret. a) Bruk formelen for kroppsmasseindeksen og vis at Kåre Kulen ikke får lov til å delta i hopprenn. b) Kåre Kulen legger på seg 1 kg. Får han nå lov til å hoppe? Det er regler for hvor lange ski hoppere kan bruke. I avisene finner vi denne regelen for største skilengde i centimeter: skilengde = 146 × høyde + 0,675 × (BMI – 20) der høyden til hopperen er regnet i meter. c) Skriv formelen for skilengden l uttrykt ved høyden h og BMI-verdien b. d) Hvor lange ski kan Kåre Kulen bruke når BMI-verdien er 20? e) Finn en formel for skilengden l uttrykt ved høyden h og vekten v. f) Bruk formelen i oppgave e til å finne den største skilengden for en hopper som er 185 cm høy og veier 72 kg.

Generell

3.4 Praktisk bruk av likninger Noen ganger bruker vi likninger til å løse praktiske problemer. Vi skal vise noen eksempler på det.

Eksempel Kristian har en mobiltelefon med et kontantkort. Hvis han en måned sender x tekstmeldinger, er prisen P for tekstmeldingene gitt ved formelen

P = 0,79 · x

Hvor mange tekstmeldinger kan han sende for 250 kr?

Løsning: Her er P = 250. Det gir denne likningen:

P = 250 0,79 · x = 250 0,79 · x _____ 250 _______            =   0,79 0,79 250     x = _____   0,79 x = 316,5

Kristian kan sende 316 meldinger.

Eksempel Mona har nettopp fylt tanken på mopeden med bensin. Når hun har kjørt x mil, er antallet liter bensin på tanken gitt ved

b = 6 – 0,2x

a) Hvor langt har hun kjørt når det er 2 liter bensin igjen på tanken? b) Hvor langt kan hun kjøre før tanken er tom?

Løsning: a) Vi får denne likningen:

b=2 6 – 0,2x = 2 –0,2x = 2 – 6 –0,2x = –4 –0,2x _____ –4  ______     =       –0,2 –0,2 –4 x = _____        –0,2 x = 20

Hun har kjørt 20 mil. b) Tanken er tom når det er 0 liter bensin igjen. Det gir denne likningen:

b=0 6 – 0,2x = 0 –0,2x = 0 – 6 –0,2x = –6 –0,2x _____ –6  ______     =       –0,2 –0,2 –6 x = _____       –0,2 x = 30

Hun kan kjøre 30 mil.

100 100

Sinus 1YT > Formler og likninger

Eksempel Marit arbeider i en forretning som er åpen hver dag. Hun får 120 kr timen på hverdagene og 150 kr timen på søndagene. Hvis Marit ei uke arbeider x timer på hverdagene og y timer på søndagen, blir lønna L i kroner

L = 120x + 150y

Ei uke arbeidet hun 5 timer på søndagen. Hun fikk 3630 kr i lønn for hele uka. Hvor mange timer arbeidet hun på hverdagene?

Løsning: Her er y = 5 og L = 3630. Det gir denne likningen:

120x + 150y = L 120x + 150 · 5 = 3630 120x + 750 = 3630 120x = 3630 – 750 120x = 2880 120x _____ 2880 _____    =           120 120 x = 24

Marit arbeidet 24 timer på hverdagene.

Eksempel En skihopper har kroppshøyden h = 1,75 m. Når v er vekten i kilogram, er BMI-verdien (kroppsmasseindeksen) gitt ved v b = ___   2    h Den må være minst 20 for dem som skal delta i hopprenn. Finn den laveste lovlige vekten v for denne hopperen inkludert utstyr.

Løsning: Vi snur formelen og setter inn de størrelsene vi kjenner. v    = b  ___ h2 v      = 20  ______ 1,752

101

v  _______      = 20 3,0625 v      · 3,0625 = 20 · 3,0625  _______ 3,0625 v = 20 · 3,0625 = 61 Hopperen må veie minst 61 kg.

Oppgave 3.40 G En vare koster U kroner uten merverdiavgift. Hvis merverdiavgiften er 25 %, er prisen P med merverdiavgift gitt ved formelen

P = 1,25 · U

Bruk formelen til å finne prisen uten merverdiavgift når prisen med merverdiavgift er 1062,50 kr.

Oppgave 3.41 G Einar har mobiltelefon. Hvis han en måned ringer i x minutter, er utgiftene U i kroner gitt ved

U = 0,89x + 250

Hvor mange minutter ringte Einar når han betalte 712,80 kr?

Oppgave 3.42 G Ivan betaler 150 kr per måned for abonnementet på mobiltelefonen sin. Hvis han en måned ringer i x minutter og sender y tekstmeldinger, er utgiftene U i kroner gitt ved

U = 1,20x + 0,75y + 150

En måned var telefonregningen på 486 kr. Han hadde da sendt 264 tekst meldinger. Hvor mange minutter ringte han?

Oppgave 3.43 G Sølvi Storbakke er 160 cm høy. Bruk formelen for BMI-verdien

v     b =  ___ h2

til å finne hvor mye Sølvi Storbakke må veie medregnet hopputstyr for at BMI-verdien skal bli 20.

102 102

Sinus 1YT > Formler og likninger

Til nå har vi fått oppgitt den likningen vi skal bruke når vi løser en oppgave. Noen ganger må vi først lage likningen før vi kan løse oppgaven.

Eksempel Mona har i alt 4200 kr i faste utgifter til mopeden sin per år. I tillegg regner hun med at det går 0,20 kr per kilometer til bensin. Hvor langt kan Mona kjøre på ett år for 5000 kr?

Løsning: Å kjøre x km koster henne 0,20 · x kr i bensin og 4200 kr i faste utgifter. Utgiftene i kroner per år blir da U = 0,20 · x + 4200. Vi setter utgiftene U = 5000 og finner x:

U = 5000 0,20 · x + 4200 = 5000 0,20 · x = 5000 – 4200 0,20 · x = 800 800 x = _____      = 4000 0,20

Mona kan kjøre 4000 km for 5000 kr.

Oppgave 3.44 G Hans Martin betaler 50 kr per måned i abonnementsavgift for mobiltelefonen sin. Han betaler 1,39 kr for hvert minutt han ringer. a) Hvor mange minutter per måned kan Hans Martin ringe for 1500 kr? b) Hvor mange timer kan han ringe for 1800 kr? Oppgave 3.45 G Mona kjøper en ny moped for 18 000 kr. Hun regner med at verdien minker med 300 kr per måned. a) Sett opp en formel for verdien v i kroner om x måneder. b) Når er verdien 13 500 kr? c) Når er verdien av mopeden halvert? Oppgave 3.46 G Faren til Ole er dobbelt så gammel som Ole. Søstera til Ole er 4 år yngre enn Ole. Til sammen er de tre like gamle som bestefaren, som er 80 år. Finn ut hvor gammel Ole er, ved å sette opp en likning der x er alderen til Ole.

103

Generell

3.5 Omforming av formler Vi kan bruke en formel til å lage nye formler. Vi bruker da regnereglene for likninger. La U være salgsprisen uten merverdiavgift for en vare. Hvis merverdiavgiften er 25 %, er prisen P med merverdiavgift P = 1,25 · U Vi skal finne en formel for prisen U uten merverdiavgift. Da lar vi først de to sidene i formelen bytte plass. Deretter deler vi med 1,25 på begge sidene av likhetstegnet: 1,25 · U = P 1,25 · U _____ P ________        =        1,25 1,25 P      U =  _____ 1,25 Hvis prisen med merverdiavgift er 1062,50 kr, er prisen uten merverdiavgift 1062,50 kr   U =  __________    = 850 kr 1,25

Eksempel Guri har mobiltelefon. Hvis hun en måned ringer i x minutter, er utgiftene U i kroner gitt ved formelen

U = 1,39x + 50

a) Finn en formel for ringetida x. b) Hvor mange minutter kan Guri ringe for 1000 kr?

Løsning: a) Først snur vi formelen, og deretter bruker vi regnereglene.

1,39x + 50 = U 1,39x = U – 50 1,39x _______ U – 50  ______       =      1,39 1,39 U – 50           x = _______ 1,39 =

b) Vi setter U = 1000 inn i formelen og får

U – 50 _________ 1000 – 50 _____ 950        = 683    =      =   x =  _______ 1,39 1,39 1,39

For 1000 kr kan Guri ringe i 683 minutter.

104 104

Sinus 1YT > Formler og likninger

Oppgave 3.50 G Hvis Jens kjører x mil med mopeden på ett år, er utgiftene i kroner gitt ved

U = 3x + 3500

a) Finn en formel for x uttrykt ved utgiftene U. b) Bruk formelen til å finne hvor mange mil han kan kjøre på ett år for 5000 kr. Hva blir utgiftene per mil da?

Oppgave 3.51 G Med et mobilabonnement er prisen P i kroner for x meldinger per måned

P = 0,69x + 49

a) Finn en formel for x uttrykt ved prisen P. b) Bruk formelen til å finne hvor mange meldinger vi kan sende for 250 kr.

Eksempel En familie betaler 500 kr i fast avgift per kvartal for strømmen. I tillegg betaler de 0,60 kr per kilowattime (kWh). a) Finn en formel for utgiftene U per kvartal når forbruket er x kWh. b) Hva blir utgiftene når de et kvartal bruker 6400 kWh? c) Finn en formel for x. d) Hvor mye strøm har de brukt når regningen er på 5000 kr?

Løsning: a) For x kilowattimer betaler de 0,60 · x kroner. I tillegg betaler de 500 kr i fast avgift. Utgiftene blir

U = 0,60 · x + 500

b) Når forbruket er 6400 kWh, er x = 6400. Da er

U = 0,60 · 6400 + 500 = 4340

Utgiftene blir 4340 kr. c) Vi snur formelen i oppgave a og finner x:

0,60 · x + 500 = U 0,60x = U – 500 0,60x ________ U – 500  ______       =      0,60 0,60 U – 500            x = ________ 0,60 =

105

d) Når regningen er på 5000 kr, er U = 5000. Vi bruker nå formelen på forrige side.

U – 500 x = ________        0,60 4500 5000 – 500 _____        =      = 7500 x =  __________ 0,60 0,60

Strømforbruket er på 7500 kWh.

Oppgave 3.52 G Joakim arbeider i en butikk. Lønna inneholder et fast beløp på 500 kr per dag. I tillegg får han 5 % av det han selger for. a) Finn en formel for lønna L per dag når han selger for x kroner. b) Hva blir lønna når han en dag selger for 6000 kr? c) Finn en formel for x. d) Hvor mye må han selge for hvis lønna skal bli 900 kr? Oppgave 3.53 G Gro betaler 120 kr i abonnementsavgift per måned for mobiltelefonen. Dessuten betaler hun 1,20 kr for å ringe i ett minutt og 0,60 kr per tekstmelding. a) Finn en formel for utgiftene U i kroner når hun ringer i x minutter og sender y tekstmeldinger per måned. b) Finn utgiftene når hun ringer i 140 minutter og sender 160 tekstmeldinger. c) Finn en formel for ringetida x. d) Hvor mange minutter ringte Gro når hun sendte 180 tekstmeldinger og betalte 390 kr? e) Finn en formel for tallet y på tekstmeldinger. f) Hvor mange tekstmeldinger sendte Gro når hun ringte i 160 minutter og betalte 516 kr? Oppgave 3.54 G v BMI-verdien b til en person er gitt ved formelen b = __  h2    der v er vekten i kilogram og h høyden i meter. a) Finn en formel for vekten v uttrykt ved høyden h og BMI-verdien b. b) Bruk formelen til å finne vekten til en person som er 183 cm høy når BMI-verdien er 25.

106 106

Sinus 1YT > Formler og likninger

TIP

3.3 Formler En konus er ei avkappet, rett kjegle. Begge endeflatene er sirkler.

Konisiteten forteller hvor mye konusen skrår mellom endeflatene. Vi regner ut konisiteten K ved hjelp av denne formelen:

D–d K = ______         L

Her er D diameteren i den største endeflaten, d er diameteren i den minste endeflaten, og L er lengden av konusen. D, d og L må her måles med den samme enheten.

Eksempel Finn konisiteten til en konus der den største diameteren er 40 mm, den minste er 30 mm, og lengden av konusen er 100 mm.

Løsning: Vi setter D = 40 mm, d = 30 mm og L = 100 mm inn i formelen. Vi får da 1 10 mm 10 40 mm – 30 mm ________ D – d _______________ 1 K = ______                 =      = ____      = ___       =   L 100 mm 100 mm 100 10 10 Konisiteten er 1 : 10.

Legg merke til at vi skriver konisiteten som et forhold (et delingsstykke) og ikke som en brøk.

Oppgave 3.30 TIP Finn konisiteten til en konus der den største diameteren er 80 mm, den minste er 70 mm, og lengden av konusen er 200 mm. Oppgave 3.31 TIP Finn konisiteten til en konus der den største diameteren er 48 mm, den minste er 36 mm, og lengden av konusen er 60 mm.

107

En sylinder med et stempel inneholder en gass eller en væske. Vi trykker på stempelet med en kraft K. Trykket p i gassen eller væsken er da gitt ved formelen K p =  ___    A

der A er arealet av stempelet. Hvis vi måler arealet i kvadratmeter (m2) og kraften i newton (N), blir trykket i pascal (Pa). 1 Pa er et veldig lavt trykk. Vi bruker ofte enheten bar i stedet, der

1 bar = 100 000 Pa A p

Eksempel Arealet av stempelet i en sylinder er 12 cm2. Finn trykket p i sylinderen målt i bar når vi bruker en kraft på 600 N.

Løsning: Først regner vi arealet om til kvadratmeter.

12 cm2 = 0,12 dm2 = 0,0012 m2

Deretter regner vi ut trykket i pascal.

600 N K     = 500 000 Pa p = ___      = __________   A 0,0012 m2

Ettersom 100 000 Pa = 1 bar, er

p = 500 000 Pa = 5 bar

Trykket i sylinderen er 5 bar.

Oppgave 3.32 TIP Arealet av stempelet i en sylinder er 0,2 dm2. Finn trykket p i sylinderen målt i bar når vi bruker en kraft på 800 N. Oppgave 3.33 TIP Arealet av stempelet i en sylinder er 3,2 cm2. Finn trykket p i sylinderen målt i bar når vi bruker en kraft på 1200 N.

108 108

Sinus 1YT > Formler og likninger

Når vi borer, er skjærefarten den farten sponen har idet den forlater arbeidsstykket. Vi finner skjærefarten v målt i meter per minutt (m/min) ved hjelp av formelen ·d·n v = ________        1000 der d er diameteren i millimeter og n er tallet på omdreininger per minutt (r/min).

Eksempel Når vi borer i kopper med et hurtigstålbor, skal skjærefarten være mellom 30 m/min og 70 m/min. Vi borer nå med et bor der diameteren d = 30 mm og tallet på omdreininger n = 750 r/min. Gir dette en passe stor skjærefart?

Løsning: Vi regner ut skjærefarten i meter per minutt:

 · 30 · 750  · d · n ___________     v = ________      =      = 71 1000 1000

Skjærefarten er 71 m/min. Skjærefarten er litt for høy.

Oppgave 3.34 TIP Når vi borer med et hardmetallbor i herdet stål, må skjærefarten være 8 –12 m/min. Vi bruker et hardmetallbor der diameteren er 8 mm. Omdreiningstallet er 400 r/min. a) Finn skjærefarten. b) Er dette en passende skjærefart? Oppgave 3.35 TIP Når vi borer med et hurtigstålbor i sprø messing, må skjærefarten være 70–120 m/min. Vi bruker et hurtigstålbor der diameteren er 25 mm. Omdreiningstallet er 750 r/min. a) Finn skjærefarten. b) Gir dette en passe stor skjærefart?

109

TIP

3.4 Praktisk bruk av likninger Noen ganger bruker vi likninger til å løse praktiske problemer. Vi skal vise noen eksempler på det. Når vi sender en strøm I gjennom en motstand med resistansen R, finner vi spenningen ved hjelp av Ohms lov U = RI. Når strømmen I er i ampere (A) og resistansen R i ohm (), blir spenningen U i volt (V). Hvis vi kjenner to av disse størrelsene, kan vi regne ut den tredje.

Eksempel Anne har en motstand med resistansen R = 22  som hun kopler til en spenningskilde. Hun måler strømmen I = 0,5 A. a) Finn spenningen U. b) Hvor stor blir strømmen når hun kopler en motstand med resistansen R = 25  til denne spenningskilden.

Løsning: a) Spenningen U er gitt ved

U = RI = 22  · 0,5 A = 11 V

b) Her kjenner vi resistansen R = 25  og spenningen U = 11 V. Strømmen I er ukjent. Vi snur da først formelen slik at vi får den ukjente på venstre side. Vi regner uten enheter. RI = U 25I = 11 25I 11  ____   = ___      = 0,44 25 25 I = 0,44 Strømmen er I = 0,44 A.

Oppgave 3.40 TIP Vi kopler en motstand til en spenningskilde. Når resistansen er på 1,2 , får vi en strøm på 20 A. a) Finn spenningen U. b) Hvor stor må resistansen være for at strømmen skal bli 4,8 A? Oppgave 3.41 TIP Vi kopler en motstand med resistansen R til en spenningskilde på 60 V. a) Finn strømmen I når resistansen er på 24 . b) Finn resistansen når strømmen er på 4,8 A.

110 110

Sinus 1YT > Formler og likninger

Vi trykker på et stempel med en kraft K. Trykket p i gassen eller væsken er da gitt ved formelen

K p = ___       A A

der A er arealet av stempelet. I denne formelen må vi måle arealet p av stempelet i kvadratmeter og kraften K i newton. Vi får da trykket i pascal. Kvadratmeter er en lite praktisk enhet for stempelareal, og pascal er en veldig liten enhet for trykk. Hvis vi regner stempelarealet A i kvadratcentimeter og kraften K i newton, får vi trykket p målt i bar hvis vi bruker formelen

K p = _____        10A

Kan du forklare hvorfor dette blir riktig?

Eksempel Stempelet i en sylinder har radien r = 2 cm. Væsketrykket i sylinderen K er 23,9 bar. Bruk formelen p = ____  10A    til å finne stempelkraften K.

Løsning: Ettersom sylinderen er sirkulær, er arealet av stempelet

A = r2 =  · (2 cm)2 = 12,57 cm2

Nå snur vi formelen for p slik at vi får den ukjente på venstre side av likhetstegnet, og setter inn trykket i bar og arealet i kvadratcentimeter. K  _____    = p 10A K      = 23,9  _________ 10 · 12,57 K      = 23,9 | ·125,7  ______ 125,7 K = 23,9 · 125,7 = 3004 Kraften er ca. 3000 N.

Oppgave 3.42 TIP Stempelet i en sylinder har radien 4 cm. Væsketrykket i sylinderen er 10 bar. K Bruk formelen p = ____  10A    til å finne stempelkraften K. Oppgave 3.43 TIP Væsketrykket i en sylinder er på 15 bar når stempelkraften er på 5000 N. Finn arealet av stempelet.

111

Når vi dreier, borer eller freser, er skjærefarten v målt i meter per minutt (m/min) gitt ved formelen

·d·n v = ________        1000

der d er diameteren i millimeter og n er omdreiningene per minutt (r/min).

Eksempel Vi skal frese en stålplate med en fres som har diameteren 25 mm. Skjærefarten skal være 20 m/min. Finn det omdreiningstallet som vi må stille inn fresen på.

Løsning: Først snur vi formelen for skjærefarten for å få det ukjente omdreiningstallet n på venstre side av likhetstegnet. Deretter setter vi inn v = 20, d = 25 og  = 3,14. ·d·n  ________  v    = 1000 3,14 · 25 · n      = 20 | ·1000  ___________ 1000 78,5 · n      · 1000 = 20 · 1000  _______ 1000 78,5 · n = 20 000 78,5 · n _______ 20 000      _______    =      78,5 78,5 n = 255 Vi stiller inn fresen på 255 r/min.

Oppgave 3.44 TIP Vi skal bore et hull i en kopperplate. Diameteren i hullet skal være 12 mm, og skjærefarten bør være 50 m/min. Hvilket omdreiningstall må vi stille inn boret på? Oppgave 3.45 TIP Vi skal bore i en hard treplate med et bor som har omdreiningstallet 5000 r/min. Skjærefarten bør være mellom 100 m/min og 150 m/min. a) Finn diameteren på det største boret vi kan bruke. b) Finn diameteren på det minste boret vi kan bruke.

112 112

Sinus 1YT > Formler og likninger

TIP

3.5 Omforming av formler Når vi har en formel, kan vi lage nye formler ved hjelp av regnereglene for likninger. Vi skal vise med noen eksempler hvordan vi gjør det.

Eksempel a) Bruk Ohms lov

U = RI

til å finne en formel for strømmen I. b) Bruk formelen i oppgave a til å finne strømmen når spenningen U = 110 V og resistansen R = 44 .

Løsning: a) Først snur vi formelen for å få den ukjente strømmen I på venstre side av likhetstegnet. Deretter dividerer vi med R på begge sidene av likhetstegnet.

RI = U RI U  ___   =  ___    R R U I = ___       R

2,5 A

110

V O LT 90

100 110 120

80 70 60

130 140 150 160

170

40 30

200

180 190

b) Vi setter U = 110 V og R = 44  inn i formelen.

U 110 V         = 2,5 A I = ___      = ______ R 44 

Oppgave 3.50 TIP a) Lag en formel for resistansen R uttrykt ved spenningen U og strømmen I. b) Finn hvor stor resistans R vi må ha for at strømmen I skal bli 5,5 A når spenningen U er 220 V.

113

I en hydraulisk presse er oljetrykket mot pumpestempelet gitt ved formelen K1 p = ___       A1 der K1 er kraften mot pumpestempelet og A1 er arealet av dette stempelet. Oljetrykket mot trykkstempelet er gitt ved K2 p = ___       A2 15 D A

E NG R

10 5

der A2 er arealet av trykkstempelet og K2 er presskraften. Oljetrykket er det samme mot begge stemplene. Dermed er K1 K2  ___   =  ___    A1 A2 Denne formelen er riktig uansett hvilke enheter vi bruker for kraft og areal, så lenge vi bruker de samme enhetene på begge sidene av likhetstegnet.

Eksempel K1

a) Bruk formelen ___  A    = ___  A     til å finne en formel for presskraften K2. 1 2 b) I en hydraulisk presse har pumpestempelet arealet 10 cm2 og trykkstempelet arealet 80 cm2. Finn presskraften når pumpekraften er 600 N.

Løsning: K2 K1 a)  ___   = ___      | · A2 A2 A1 K2 K1  ___   · A2 = ___      · A2 A2 A1 K1 · A2 K2 = _______        A1

Først snur vi formelen slik at den ukjente kraften K2 kommer på venstre side.

b) Vi setter inn i formelen ovenfor og finner presskraften

? 114 114

600 N · 80 cm2         = 4800 N K2 = _____________ 10 cm2

Oppgave 3.51 TIP Bruk formelen i eksempelet ovenfor til å finne presskraften i en presse der pumpekraften er 400 N, radien i pumpestempelet er 2,0 cm, og radien i trykkstempelet er 4,5 cm. Sinus 1YT > Formler og likninger

Oppgave 3.52 TIP K1 K2 a) Bruk formelen ___  A    = ___  A     til å finne en formel for pumpekraften K1. 1 2 b) I en hydraulisk presse har pumpestempelet arealet 8,0 cm2 og trykk stempelet arealet 64 cm2. Hvor stor pumpekraft må vi bruke for at presskraften skal bli 1000 N? c) I en annen presse har pumpestempelet radien 1,2 cm og trykkstempelet radien 6 cm. Hvor stor pumpekraft må vi bruke for at presskraften skal bli 5000 N?

Eksempel Konisiteten til en konus er gitt ved formelen

D–d   K = ______       L

der D er diameteren i den største endeflaten, D d er diameteren i den minste endeflaten og L er lengden av konusen. a) Finn en formel for den store diameteren D. b) Finn den store diameteren når den lille er 1,5 cm, lengden av konusen er 10 cm og konisiteten er 1 : 5.

Løsning: a) Først snur vi formelen. Deretter ganger vi med L på begge sidene av likhetstegnet. D–d  ______       = K | · L L D–d       · L = K · L  ______ L D–d=K·L D=K·L+d b) Her er d = 1,5 cm, L = 10 cm, og konisiteten 1 K = 1 : 5 = __       5 Den store diameteren er 1 D = K · L + d = __      · 10 cm + 1,5 cm = 2 cm + 1,5 cm = 3,5 cm 5

115

Oppgave 3.53 TIP a) Lag en formel for lengden L i en konus uttrykt ved de to diametrene og konisiteten. b) Bruk formelen i oppgave a til å finne lengden av en konus der den lille diameteren er 15 mm, den store diameteren er 20 mm og konisiteten er 1 : 10.

Eksempel a) Bruk formelen for skjærefarten v til å finne en formel for omdreiningstallet n når vi kjenner diameteren d og skjærefarten v. b) Finn omdreiningstallet når vi bruker et bor på 8 mm og skjære farten skal være 40 m/min.

Løsning: a) Først snur vi formelen for skjærefarten og deretter ganger vi med 1000 på begge sidene av likhetstegnet. ·d·n  ________   v | · 1000    = 1000 ·d·n      · 1000 = v · 1000  ________ 1000  · d · n = 1000v 1000v  · d · n ______        ________   =       · d ·d 1000v      n = ______   d b) Når diameteren d = 8 mm og skjærefarten v = 40 m/min, må tallet på omdreininger per minutt være

1000v _________ 1000 · 40       n = ______     =       = 1592 ·8 d

Oppgave 3.54 TIP Vi skal bore et hull i en kopperplate. Diameteren i hullet skal være 8 mm, og skjærefarten bør være 50 m/min. Finn det omdreiningstallet vi må stille inn boret på. Oppgave 3.55 TIP a) Bruk formelen for skjærefarten til å finne en formel for diameteren d. b) Når vi borer i manganstål med et hardmetallbor, må skjærefarten være mellom 10 m/min og 20 m/min. Vi borer med 1000 r/min. Finn diameteren på det minste og på det største boret vi da kan bruke.

116 116

Sinus 1YT > Formler og likninger

3.3 Formler Hvis ei trapp skal være god å gå i, må det være en sammenheng mellom inntrinnet i og opptrinnet o.

o i

Vi kan bruke en formel som gir størrelsen på inntrinnet når vi kjenner opptrinnet. Det fins flere slike formler. En formel som er mye brukt, er trappeformelen

i = 620 – 2o

Når opptrinnet o er i millimeter, gir denne formelen inntrinnet i i millimeter.

Eksempel Bruk trappeformelen til å finne inntrinnet når opptrinnet er a) 150 mm b) 17 cm

Løsning: a) Her er o = 150 mm. Inntrinnet i millimeter blir da

i = 620 – 2o = 620 – 2 · 150 = 620 – 300 = 320

Inntrinnet bør være 320 mm.

b) Vi må først gjøre opptrinnet om til millimeter.

Inntrinnet i millimeter blir da

o = 17 cm = 170 mm

i = 620 – 2o = 620 – 2 · 170 = 620 – 340 = 280

Inntrinnet bør være 28 cm.

117

Oppgave 3.30 BA a) Hvor stort bør inntrinnet i ei trapp være når opptrinnet er 160 mm? b) Hvor stort bør inntrinnet i ei trapp være når opptrinnet er 1,3 dm? Oppgave 3.31 BA Du skal lage ei rettløpstrapp som skal være 3200 mm lang (alle inntrinnene skal være 3200 mm til sammen). Etasjehøyden er 2600 mm (alle opptrinnene skal være 2600 mm til sammen). a) Lag en skisse av ei slik trapp. Legg merke til at det blir ett opptrinn mer enn det er inntrinn. b) Finn ut hvor mange opptrinn du må ha for at opptrinnet o og inntrinnet i skal passe best mulig med trappeformelen. Prøv deg fram.

I alle hus er det varmetap gjennom ytter vegger og vinduer. La Q være den varmemengden som i løpet av ett sekund passerer gjennom 1 m2 av en vegg eller et vindu. Målenheten for Q er watt per kvadratmeter (W/m2). Varmemengden Q er avhengig av forskjellen t mellom innetemperaturen og utetemperaturen. Vi har denne formelen:

Q=u·t

Tallet u kaller vi u-verdien til veggen eller vinduet. Denne u-verdien forteller hvor godt isolert veggen eller vinduet er. Tallet Q er varmetapet per kvadratmeter vegg. Hvis veggen har arealet A, er samlet varmetap P gjennom veggen gitt ved formelen

P=Q·A

Varmetapet P har målenheten watt (W).

Eksempel I et rom er det en yttervegg på 10 m2 og et vindu på 1,0 m2. Veggen har en u-verdi på 0,25 W/(m2 · grad), og vinduet har en u-verdi på 2,0 W/(m2 · grad). Innetemperaturen er 21 °C, og utetemperaturen er –7 °C.

118 118

Sinus 1YT > Formler og likninger

a) Finn varmetapet gjennom veggen. b) Finn varmetapet gjennom vinduet. c) Hvor mye varme må vi bruke for å holde romtemperaturen på 21 °C? Vi regner ikke med noen varmegjennomgang gjennom innervegger, tak og golv.

Løsning: a) Temperaturforskjellen i grader er

t = 21 – (–7) = 21 + 7 = 28

Varmetapet Q gjennom veggen målt i watt per kvadratmeter er

Q = u · t = 0,25 · 28 = 7

Varmetapet gjennom veggen er 7 W/m2. Samlet varmetap P gjennom veggen blir

P = Q · A = 7 W/m2 · 10 m2 = 70 W

b) Varmetapet Q gjennom vinduet målt i watt per kvadratmeter er

Q = u · t = 2,0 · 28 = 56

Det er 56 W/m2. Samlet varmetap P gjennom vinduet blir

P = Q · A = 56 W/m2 · 1,0 m2 = 56 W

c) Det samlede varmetapet fra rommet er 70 W + 56 W = 126 W. Hvis ikke temperaturen skal synke, må vi tilføre rommet 126 W.

Vi trenger 126 W for å holde temperaturen på 21 °C.

Oppgave 3.32 BA I ei stue er det 30 m2 yttervegg og 8,0 m2 vindu. Veggene har en u-verdi på 0,20 W/(m2 · grad), og vinduene har en u-verdi på 2,5 W/(m2 · grad). Inne temperaturen er 20 °C, og utetemperaturen er –15 °C. a) Finn varmetapet gjennom ytterveggene. b) Finn varmetapet gjennom vinduene. c) Hvor mye varme må vi bruke for å holde temperaturen i stua på 20 °C? Vi regner ikke med noen varmegjennomgang gjennom innervegger, tak og golv.

119

Når vi borer, er skjærefarten den farten sponen har idet den forlater arbeidsstykket. Vi finner skjærefarten v målt i meter per minutt (m/min) ved hjelp av formelen

·d·n v = ________        1000

der d er diameteren i millimeter til boret og n er tallet på omdreininger per minutt (r/min).

Løsning: Vi regner ut skjærefarten i meter per minutt:

 · 30 · 750  · d · n ___________     v = ________      =      = 71 1000 1000

Skjærefarten er 71 m/min. Skjærefarten er litt for høy.

Oppgave 3.33 BA Når vi borer med et hardmetallbor i herdet stål, må skjærefarten være 8 –12 m/min. Vi bruker et hardmetallbor der diameteren er 8 mm. Omdreiningstallet er 400 r/min. a) Finn skjærefarten. b) Er dette en passende skjærefart? Oppgave 3.34 BA Når vi borer med et hurtigstålbor i sprø messing, må skjærefarten være 70–120 m/min. Vi bruker et hurtigstålbor der diameteren er 25 mm. Omdreiningstallet er 750 r/min. Gir dette en passe stor skjærefart?

120 120

Sinus 1YT > Formler og likninger

3.4 Praktisk bruk av likninger Trappeformelen gir denne sammenhengen mellom inntrinnet i og opptrinnet o:

i = 620 – 2o

Når vi setter inn opptrinnet o i millimeter, gir denne formelen inntrinnet i i millimeter.

Eksempel Snekker Andersen skal lage ei trapp der inntrinnet skal være 300 mm. Hvor stort bør opptrinnet være?

Løsning: Formelen for inntrinnet i millimeter er

i = 620 – 2o

Vi setter i = 300 og regner ut o. 300 = 620 – 2o 300 + 2o = 620 2o = 620 – 300 2o = 320 2o 320  ___   = ____       2 2 o = 160

Opptrinnet bør være 160 mm.

Oppgave 3.40 BA Tor M. Hammeren skal lage ei trapp der inntrinnet skal være 34 cm. Finn opptrinnet i centimeter. Oppgave 3.41 BA Snekker Tom E. Stokken lager ei trapp der inntrinnet er 0,12 m. a) Hvor stort opptrinn bør det være i denne trappa? b) Hva mener du om denne trappa?

121

Eksempel I et lagerrom uten vinduer er det i alt 56 m2 yttervegg. Det er ikke noe varmetap gjennom taket og golvet. En vinterdag er utetemperaturen –12 °C. Vaktmesteren finner ut at han må tilføre rommet 370 W varme for å holde innetemperaturen på 18 °C. a) Finn varmetapet Q per kvadratmeter vegg. b) Finn u-verdien til veggen.

Løsning: a) Varmetapet er 370 W. Varmetapet per kvadratmeter blir da 370 W      = 6,6 W/m2 Q = _______   56 m2 b) Forskjellen t mellom inne- og utetemperaturen målt i grader er

Formelen for varmetapet per kvadratmeter er

t = 18 – (–12) = 18 + 12 = 30

Q=u·t

Vi setter Q = 6,6 og t = 30. Det gir denne likningen:

6,6 = u · 30 u · 30 = 6,6 6,6 u · 30 ____  ______  =           30 30 u = 0,22

Vi lar uttrykkene bytte side.

Veggen har u-verdien 0,22 W/(m2 · grad).

Oppgave 3.42 BA I et lagerrom uten vinduer er det i alt 120 m2 yttervegg. Det er ikke noe varmetap gjennom taket og golvet. En vinterdag er utetemperaturen –3 °C. Vi må tilføre rommet 2400 W varme for å holde innetemperaturen på 22 °C. a) Finn varmetapet Q per kvadratmeter vegg. b) Finn u-verdien for veggen. Oppgave 3.43 BA I ei stue er det mange store vindusflater. Til sammen er det 12,0 m2 vinduer. Vi regner med at 80 % av varmetapet fra dette rommet er gjennom vinduene. Vinduene har u-verdien 2,5 W/(m2 · grad). En dag må vi bruke 1500 W med varme for å holde innetemperaturen på 22 °C. a) Finn varmetapet Q per kvadratmeter gjennom vinduene. b) Finn utetemperaturen denne dagen.

122 122

Sinus 1YT > Formler og likninger

På side 120 så vi at skjærefarten målt i meter per minutt er gitt ved formelen

·d·n v = ________        1000

der d er diameteren i millimeter og n er omdreiningene per minutt (r/min).

Eksempel Vi skal frese en stålplate med en fres som har diameteren 25 mm. Skjærefarten skal være 20 m/min. Finn det omdreiningstallet som vi må stille inn fresen på.

Løsning: Først snur vi formelen for skjærefarten for å få det ukjente omdreinings tallet n på venstre side av likhetstegnet. Deretter setter vi inn v = 20, d = 25 og  = 3,14 og finner omdreiningstallet n. ·d·n  ________  v    = 1000 3,14 · 25 · n      = 20 | ·1000  ___________ 1000 78,5 · n      · 1000 = 20 · 1000  _______ 1000 78,5 · n = 20 000 78,5 · n _______ 20 000      _______    =      78,5 78,5 n = 255 Vi stiller inn fresen på 255 r/min.

Oppgave 3.44 BA Vi skal bore et hull i en kopperplate. Diameteren i hullet skal være 12 mm, og skjærefarten bør være 50 m/min. Hvilket omdreiningstall må vi stille inn boret på? Oppgave 3.45 BA Vi skal bore i en hard treplate med et bor som har omdreiningstallet 5000 r/min. Skjærefarten bør være mellom 100 m/min og 150 m/min. a) Finn diameteren på det største boret vi kan bruke. b) Finn diameteren på det minste boret vi kan bruke.

123

3.5 Omforming av formler Trappeformelen gir denne sammenhengen mellom inntrinnet i og opptrinnet o:

i = 620 – 2o

Snekker Andersen vil gjerne ha en formel som kan gi opptrinnet o når han kjenner inntrinnet i. Han går fram på denne måten: i = 620 – 2o i + 2o = 620 2o = 620 – i 2o 620 – i  ___   = _______        2 2 620 – i      o =  _______ 2

o i

Andersen kan bruke formelen ovenfor når han skal regne ut opptrinnet.

Eksempel Finn opptrinnet i ei trapp der inntrinnet er 250 mm.

Løsning: Opptrinnet i millimeter blir

620 – i _________ 620 – 250 ____ 370  =     o = _______         =      = 185 2 2 2

Opptrinnet må være 185 mm.

Oppgave 3.50 BA Bruk formelen for opptrinnet o. a) Finn opptrinnet når inntrinnet er 320 mm. b) Finn opptrinnet når inntrinnet er 280 mm. Oppgave 3.51 BA Snekker Andersen har en mobiltelefon. Hvis han en måned ringer i x minutter, blir utgiftene i kroner U = 0,89 · x + 150. a) Finn telefonutgiftene når han en måned ringer 12 timer. b) Hvor mange minutter har Andersen ringt hvis utgiftene er 500 kr? c) Finn en formel for ringetida x. d) Bruk formelen i oppgave c til å kontrollere svaret i oppgave b.

124 124

Sinus 1YT > Formler og likninger

Eksempel a) Finn en formel som vi kan bruke til å finne u-verdien for en vegg når vi kjenner varmetapet Q per kvadratmeter og forskjellen t mellom inne- og utetemperaturen. b) Varmetapet gjennom en vegg på 140 m2 er 1680 W når utetemperaturen er 2 °C og innetemperaturen er 22 °C. Bruk blant annet formelen i oppgave a til å finne u-verdien for veggen.

Løsning: a) Formelen for varmetapet per kvadratmeter er

Q=u·t

der t er forskjellen på inne- og utetemperaturen. Vi lar uttrykkene skifte side:

u·t=Q Q u · t ___  ____ t    =   t    Q   t      u = ___ = b) Først finner vi varmetapet Q per kvadratmeter. 1680 W      = 12 W/m2 Q =  ________ 140 m2 Deretter finner vi forskjellen på inne- og utetemperaturen målt i grader.

t = 22 – 2 = 20

Vi setter inn Q = 12 og t = 20 i formelen i oppgave a. Q 12 u = ___   t   = ___      = 0,6 20

Veggen har u-verdien 0,6 W/(m2 · grad).

Oppgave 3.52 BA Varmetapet gjennom et vindu på 6,0 m2 er 480 W når innetemperaturen er 23 °C og utetemperaturen er –2 °C. Bruk formelen ovenfor til å finne u-verdien for dette vinduet.

125

Oppgave 3.53 BA a) Finn en formel for forskjellen t på innetemperaturen og utetemperaturen når vi kjenner varmetapet Q per kvadratmeter og u-verdien for veggen. b) I et lagerbygg uten vindu er det 240 m2 med tak og vegger. Både taket og veggene har u-verdien 0,50 W/(m2 · grad). I bygget er det en ovn som gir 3000 W. Finn innetemperaturen ti når utetemperaturen er –12 °C.

Løsning: a) Først snur vi formelen for skjærefarten, og deretter ganger vi med 1000 på begge sidene av likhetstegnet. ·d·n  ________   v | · 1000    = 1000 ·d·n      · 1000 = v · 1000  ________ 1000  · d · n = 1000v 1000v  · d · n ______        ________   =       · d ·d 1000v      n = ______   d b) Når diameteren d = 8 mm og skjærefarten v = 40 m/min, må tallet på omdreininger per minutt være

1000v _________ 1000 · 40       n = ______     =       = 1592 ·8 d

Oppgave 3.54 BA Bruk formelen ovenfor til å finne det omdreiningstallet vi må stille inn boret på når diameteren i hullet skal være 8 mm og skjærefarten bør være 50 m/min. Oppgave 3.55 BA a) Bruk formelen for skjærefarten til å finne en formel for diameteren d. b) Når vi borer i manganstål med et hardmetallbor, må skjærefarten være mellom 10 m/min og 20 m/min. Vi borer med 1000 r/min. Finn diameteren på det minste og på det største boret vi da kan bruke.

126 126

Sinus 1YT > Formler og likninger

3.3 Formler Når vi kjenner strømmen I gjennom en motstand med resistansen R, kan vi finne spenningen U ved hjelp av Ohms lov:

U=R·I

Når resistansen R er målt i ohm () og strømmen I er målt i ampere (A), får vi spenningen U i volt (V).

Eksempel Finn spenningen U når a) R = 11  og I = 20 A

b) R = 2,0 k og I = 3,2 μA

Løsning: a) Vi setter inn i Ohms lov.

U = R · I = 11  · 20 A = 220 V

b) Spenningen er

U = R · I = 2,0 k · 3,2 μA = 2,0 · 1000  · 3,2 · 0,000 001 A = 2,0 · 3,2 · 0,001 V = 6,4 mV

Oppgave 3.30 EL Finn spenningen U når a) R = 2,4  og I = 5,0 A c) R = 15 M og I = 12 mA

b) R = 32 k og I = 5,0 mA d) R = 2,4 k og I = 5,0 μA

Oppgave 3.31 EL Resistansen R i en metalltråd kan vi finne ved hjelp av formelen

l       R =  · ___ A

A l

der l er lengden av tråden målt i meter og A er arealet av tverrsnittet målt i kvadratmillimeter (mm2). Tallet  (gresk bokstav som vi uttaler ro) kaller vi resistiviteten. Den er avhengig av hvilket metall det er i tråden. Målenheten for resistiviteten er  · mm2/m. Finn resistansen i en koppertråd der  = 0,0175  · mm2/m når a) l = 15 m og A = 0,2 mm2 b) l = 250 m og A = 2,4 mm2 2 c) l = 5,2 km og A = 0,5 mm d) l = 1,5 m og A = 0,0012 mm2

127

Når vi sender strømmen I gjennom en motstand med resistansen R, er effekten gitt ved formelen

P = R · I2

Når vi måler resistansen R i ohm () og strømmen I i ampere (A), får vi effekten P i watt (W).

Eksempel Det går en strøm I = 0,2 A gjennom en motstand med resistansen R = 120 k. a) Finn effekten P. b) Finn energimengden per døgn. c) Hvor mye koster strømmen per døgn når prisen er 0,48 kr/kWh?

Løsning: a) Effekten er

P = R · I2 = 120 k · (0,2 A)2 = 120 · 1000  · 0,04 A2 = 120 000 · 0,04 W = 4800 W = 4,8 kW

b) Når effekten er 4,8 kW, blir energimengden på 24 timer

4,8 kW · 24 h = 115,2 kWh

c) Strømmen koster

0,48 kr/kWh · 115,2 kWh = 55,30 kr

Oppgave 3.32 EL Finn effekten P når a) R = 2,4  og I = 5,0 A c) R = 15 M og I = 12 mA

b) R = 32 k og I = 5,0 mA d) R = 2,4 k og I = 5,0 μA

Oppgave 3.33 EL Det går en strøm I = 200 mA gjennom en motstand med resistansen R = 1,1 k. a) Finn effekten P. b) Finn energimengden per døgn. c) Hvor mye koster strømmen per døgn når prisen er 0,54 kr/kWh?

128 128

Sinus 1YT > Formler og likninger

Resistansen i et metall øker ved oppvarming. La R1 være resistansen ved temperaturen t1. Resistansen R2 ved temperaturen t2 er da gitt ved formelen

R2 = R1(1 +  (t2 – t1))

Tallet  er avhengig av metallet.

Eksempel For kopper er  = 0,004 når temperaturen er målt i celsiusgrader. En koppertråd har resistansen R1 = 320  når temperaturen er 20 °C. a) Finn resistansen R2 når tråden er varmet opp til 100 °C. b) Hvor mange prosent har resistansen økt?

Løsning: a) Når vi skal finne resistansen R2, setter vi inn tallet  og temperaturene uten benevning.

R2 = R1(1 +  (t2 – t1)) = 320  · (1 + 0,004 · (100 – 20)) = 320  · (1 + 0,004 · 80) = 320  · (1 + 0,32) = 320  · 1,32 = 422 

Resistansen er 422 .

b) Utregningen ovenfor viser at økningen i resistansen er 422  – 320  = 102 . Prosentfaktoren til økningen er 102  ____    = 0,319 og prosenten er 0,32 · 100 % = 32 % 320 Resistansen øker med 32 %.

Oppgave 3.34 EL Glødetråden i ei lyspære er lagd av wolfram. For wolfram er  = 4,5 · 10–3. Glødetråden i ei lyspære har resistansen R1 = 50  når temperaturen er 20 °C. Når pæra lyser, er temperaturen 2000 °C. a) Finn resistansen R2 når pæra lyser. b) Hvor mange prosent har resistansen økt?

129

3.4 Praktisk bruk av likninger Når det går en strøm I gjennom en motstand med resistansen R, er spenningen U gitt ved formelen U = R · I. Effekten P er P = R · I2. Disse formlene kan vi også bruke til å finne resistansen R eller strømmen I. Da må vi løse en likning.

Eksempel a) Finn resistansen R i en motstand når spenningen U = 220 V og strømmen I = 1,1 A. b) Finn strømmen I når R = 50  og effekten P = 2,0 kW.

Løsning: a) Vi snur Ohms lov slik at den ukjente resistansen kommer på venstre side. R·I=U R ·1,1 A = 220 V R · 1,1 A ______ 220 V  ________        =      1,1 A 1,1 A R = 200 

b) Vi snur formelen P = R · I2 og bruker at 2,0 kW = 2000 W. R · I2 = P 50  · I2 = 2000 W 2000 W 50  · I2 ______  ______       =        50  50  W/ I2 = 40 _______ I = √  40 W/    = 6,3 A

Når vi har funnet I2, trekker vi ut kvadratrota for å finne I.

Oppgave 3.40 EL Finn resistansen R i en motstand når a) spenningen U = 220 V og strømmen I = 4,4 A b) spenningen U = 4,5 mV og strømmen I = 90 μA Oppgave 3.41 EL a) Finn resistansen R når strømmen I = 4,4 A og effekten P = 968 W. b) Finn strømmen I når resistansen R = 3,2 M og effekten P = 8,0 kW.

130 130

Sinus 1YT > Formler og likninger

Eksempel En koppertråd har resistansen 120  når temperaturen er 20 °C. Vi sender strøm gjennom tråden og finner ut at resistansen øker til 170 . Bruk formelen på side 129 til å finne temperaturen i tråden når  = 0,004.

Løsning: Vi setter R1 = 120 , R2 = 170  og t1 = 20. Deretter finner vi temperaturen t2 i celsiusgrader ved å løse en likning.

R1(1 +  (t2 – t1)) = R2 120 · (1 + 0,004 · (t2 – 20)) = 170 120 · (1 + 0,004t2 – 0,08) = 170 120 · (0,92 + 0,004t2) = 170 110,4 + 0,48t2 = 170 0,48t2 = 59,6 59,6 Divider med 0,48 på begge sidene.   t2 = _____      0,48 t2 = 124

Temperaturen er 124 °C.

Oppgave 3.42 EL Glødetråden i ei lyspære er lagd av wolfram. For wolfram er  = 4,5 · 10–3. Glødetråden i denne lyspæra har resistansen 25  når temperaturen er 20 °C. Når pæra lyser, er resistansen 240 . Finn temperaturen i glødetråden når pæra lyser. Oppgave 3.43 EL Resistansen R i en metalltråd kan vi finne ved hjelp av formelen

l R =  ·  ___    A

der l er lengden av tråden målt i meter, A er arealet av tverrsnittet målt i kvadratmillimeter og  er resistiviteten til metallet i tråden. I kopper er  = 0,0175  · mm2/m. a) Finn lengden av en koppertråd med resistansen R = 8,0  når arealet av tverrsnittet er 2,0 mm2. b) Finn arealet av tverrsnittet til en 1,5 km lang koppertråd med resistansen 0,12 k.

131

Eksempel Når vi parallellkopler to motstander med resistansene R1 og R2, kan vi finne resistansen R i parallellkoplingen ved hjelp av formelen 1 1 1  ___   = ___            + ___ R R1 R2

Vi parallellkopler to motstander med resistansene 4  og 8 . a) Finn resistansen i parallellkoplingen ved regning. b) Finn resistansen ved hjelp av lommeregneren.

Løsning: a) Vi setter R1 = 4 , og R2 = 8 . Vi regner uten enheter når vi løser likningen. 1 1 1  ___   = ___            + ___ R R1 R2 1 1 1 Vi multipliserer med fellesnevneren 8R.  ___   = __      + __       | · 8R R 4 8 1 1 1  ___   · 8R = __      · 81R      · 82R + __ R 4 8

8 = 2R + R

8 = 3R 3R = 8 8 R = __      = 2,7 3

Vi lar uttrykkene skifte side.

Resistansen er 2,7 .

b) På lommeregneren taster vi

ON off

132 132

4 x–1 + 8 x–1

x–1

og får svaret 2,666666667 når vi trykker på tasten

Resistansen er 2,7 .

Sinus 1YT > Formler og likninger

= .

Oppgave 3.44 EL Vi parallellkopler to motstander med resistansene 32 k og 48 k. Finn resistansen i parallellkoplingen. Oppgave 3.45 EL Vi har en motstand med resistans R1 = 75 . Vi vil parallellkople denne motstanden med en motstand med resistans R2 slik at resistansen i parallell koplingen blir 50 . Finn resistansen R2.

3.5 Omforming av formler Ved hjelp av Ohms lov U = RI kan vi regne ut strømmen I når vi kjenner spenningen U og resistansen R. Vi må da løse en likning. Men vi kan også finne en formel som vi kan bruke til å regne ut strømmen. Da går vi fram på denne måten:

U = RI RI = U RI U ___      =  ___    R R U ___ I =       R

Hvis spenningen U er 110 V og resistansen R er 44 , blir strømmen

U 110      = 2,5 I = ___      = ____ R 44

Strømmen er 2,5 A.

Oppgave 3.50 EL a) Finn hvor stor resistans R vi må ha i en motstand for at strømmen I gjennom motstanden skal bli 5,5 A når spenningen U = 220 V. b) Lag en formel for resistansen R når spenningen er U og strømmen er I. c) Bruk formelen til å kontrollere svaret i oppgave a. Oppgave 3.51 EL Når vi sender strømmen I gjennom en motstand med resistansen R, blir effekten P = R · I2. a) Finn en formel for resistansen R. b) Finn resistansen R når strømmen I = 4,4 A og effekten P = 968 W. c) Finn en formel for strømmen I. d) Finn strømmen I når resistansen R = 3,2 M og effekten P = 8,0 kW.

133

Oppgave 3.52 EL l Resistansen R i en metalltråd kan vi finne ved hjelp av formelen R =  ·  __     A der l er lengden av tråden målt i meter, A er arealet av tverrsnittet målt i kvadratmillimeter (mm2) og  er resistiviteten til metallet i tråden. I kopper er  = 0,0175  · mm2/m. a) Finn en formel for lengden l. b) Finn lengden av en koppertråd med resistansen R = 8,0  når arealet av tverrsnittet er 2,0 mm2. c) Finn en formel for arealet A. d) Finn arealet av tverrsnittet til en 1,5 km lang koppertråd med resistansen 0,12 k.

Eksempel Når vi parallellkopler to motstander med resistansene R1 og R2, kan vi finne resistansen R i parallellkoplingen ved hjelp av formelen 1 1 1  ___   = ___            + ___ R R1 R2 a) Finn en formel for resistansen R. b) Finn resistansen når vi parallellkopler to motstander med resistansene 4  og 8 . R1

Løsning: a) Vi skal finne R i formelen

1 1 1 R2        ___   = ___      + ___ R R1 R2 Vi multipliserer med fellesnevneren, som er R · R1 · R2.

(

)

1 1 1      + ___       · R · R1 · R2  ___   · R · R1 · R2 = ___ R R1 R2 1 1 1  ___   · R · R1 · R2 = ___      · R · R1 · R2 + ___      · R · R1 · R2 R R1 R2 R1 · R2 = R · R2 + R · R1

La uttrykkene skifte side:

Nå setter vi R utenfor en parentes.

134 134

R · R2 + R · R1 = R1 · R2 R · (R2 + R1) = R1 · R2

Sinus 1YT > Formler og likninger

Til slutt dividerer vi med R2 + R1 på begge sidene av likhetstegnet.

R1 · R2 R · (R2 + R1) _______      =         ___________ R2 + R1 R2 + R1 R1 · R2    R =  _______  R1 + R2 b) Når R1 = 4  og R2 = 8 , blir resistansen

R1 · R2 __________ 4  · 8  ______ 32 2      =     R = _______      =        = 2,7  R1 + R2 4  + 8  12 

Sammenlikn med svaret i eksempelet på side 132.

2,5 A

2 ,7

ohm

100 110 120

80 70 60

170

40 30

130 140 150 160

200

180 190

Oppgave 3.53 EL 1 1 1 a) Bruk formelen __  R  = ___  R    +  ___     til å finne en formel for R2. R2 1 b) Vi har en motstand med resistans R1 = 75 . Vi vil parallellkople denne motstanden med en motstand med resistans R2 slik at resistansen i parallellkoplingen blir 50 . Finn resistansen R2. Oppgave 3.54 EL Resistansen i metall øker ved oppvarming. La R1 være resistansen ved temperaturen t1. Resistansen R2 ved temperaturen t2 er da gitt ved formelen

R2 = R1(1 + (t2 – t1))

a) Finn en formel for t2. b) En koppertråd med  = 4,0 · 10–3 har resistansen 120  når tempera turen er 20 °C. Vi sender strøm gjennom tråden og finner ut at resistansen øker til 170 . Bruk formelen i oppgave a til å finne temperaturen i tråden.

135

3.6 Ulikheter I mange praktiske sammenhenger har vi bruk for å vite om en størrelse er større eller mindre enn en annen størrelse. I matematikken kaller vi slike problemer ulikheter. Vi har fire forskjellige ulikhetssymboler. Det er < (mindre enn), ≤ (mindre enn eller lik), > (større enn) og ≥ (større enn eller lik). Når vi skriver x < 3, betyr det at x er et tall som er mindre enn 3. Uttrykket x ≥ 5 forteller at x er et tall som er større enn eller lik 5. Vi legger merke til at åpningen i ulikhetstegnet alltid peker mot det største tallet. Ulikheter løser vi omtrent som likninger. Vi har disse regnereglene:

Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet.

Eksempel Løs ulikhetene. a) 3x + 4 < x + 8

b) x – 2(4 – x) ≥ 5x + 2

Løsning: a) 3x + 4 < x + 8 3x – x < 8 – 4 2x < 4 2x 4  ___   < __       2 2 x < 2 x – 2(4 – x) ≥ 5x + 2 x – 8 + 2x ≥ 5x + 2 x + 2x – 5x ≥ 2 + 8 –2x ≥ 10 –2x ___ 10  ____ –2   ≤  –2    x ≤ –5

136 136

Sinus 1YT > Formler og likninger

Vi dividerer med –2 på begge sidene av ulikhetstegnet. Da må vi snu tegnet.

Oppgave 3.60 Løs ulikhetene. a) 3x + 2 > 8 c) x – 3 < –3x – 1 Oppgave 3.61 Løs ulikhetene. a) 2x – 5 > 4x + 1 x c) 2 + 3x – 6(1 – __      ) > 0 2 7 9 5 1      > – __      + __      x e)  __   x – __ 2 6 6 2

b) –2x + 5 > x – 1 d) –2(x – 1) ≥ 3(x – 6)

b) 2(3 – x) < 2 + 3(x – 1) 1 2 5      x < __      – x d)  __   – __ 3 2 3

Til nå har vi arbeidet med ferdig oppsatte ulikheter. I praktiske oppgaver må vi stille opp ulikhetene selv.

Eksempel I Øverbygda er det 120 cm snø i påska. Etter påske minker snømengden med 4 cm per dag. Når er det mindre enn 40 cm snø i Øverbygda?

Løsning: Etter x dager er snømengden s målt i centimeter gitt ved formelen

s = 120 – 4x

Vi skal finne ut når snømengden er mindre enn 40 cm. Det er det samme som at

s < 40

Ettersom s = 120 – 4x, gir det ulikheten 120 – 4x < 40 –4x < 40 – 120 –4x < –80 –4x –80  ____   > ____       –4 –4 x > 20

Når det har gått mer enn 20 dager, er snømengden mindre enn 40 cm.

137

Oppgave 3.62 La x være lengden av en drosjetur målt i kilometer. Prisen U i kroner er gitt ved

U = 9,40x + 20

a) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være mindre enn 255 kr? b) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være større enn 302 kr?

Oppgave 3.63 Temperaturen i ei bestemt termosflaske er 86 °C og synker med 2,5 °C per time. a) Når er temperaturen over 61 °C? b) Når er temperaturen under 71 °C? Oppgave 3.64 Anne og Einar er ute og reiser. Anne har med seg 1200 kr og bruker 60 kr per dag. Einar har med seg 1000 kr og bruker 40 kr per dag. Når har Einar mer penger enn Anne? Oppgave 3.65 Løs ulikhetene. a 1 2 a) 8 –2 a –  __     < __      a – 3(2 – __      ) 2 3 3 2s + 1 – ______   4(2s – 1) < 1 c)      2

(

)

b) 6 – 4(t – 8) + 2t > 34 – 6t

3.7 Likningssett Mari har en mobiltelefon som hun bruker mye. Hun betaler 150 kr i fast avgift per måned og 0,89 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i x minutter, blir utgiftene y kroner, der

y = 0,89 · x + 150

Mari syns at telefonregningen blir stor. Hun vurderer derfor et annet abonne ment der hun betaler 50 kr per måned i fast avgift og 1,39 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i x minutter, blir utgiftene y i kroner

y = 1,39 · x + 50

Vi skal nå finne ut ved regning hvor mye hun må ringe for at de to abonne mentene skal koste like mye. Utgiftene y er like for de to abonnementene hvis

138 138

1,39x + 50 = 0,89x + 150 1,39x – 0,89x = 150 – 50 0,50x = 100 100 x = _____      = 200 0,50

Sinus 1YT > Formler og likninger

De to abonnementene koster like mye hvis Mari ringer i 200 minutter per måned. Når vi skal finne utgiftene, setter vi inn i en av likningene.

y = 1,39 · 200 + 50 = 328

Begge abonnementene koster da 328 kr. Vi har nå løst likningssettet

y = 0,89x + 150 y = 1,39x + 50

ved regning.

Å løse et likningssett med to ukjente er det samme som å finne verdier for x og y som passer i begge likningene samtidig.

Oppgave 3.70 Per er 140 cm høy og vokser 5 cm per år. Om x år er høyden i centimeter gitt ved formelen y = 5x + 140. a) Hvor høy er Per om 5 år? Høyden til Anne om x år er gitt ved formelen y = 2x + 155. b) Hvor høy er Anne nå, og hvor mye vokser hun per år? c) Finn ved regning når Per og Anne er like høye. Oppgave 3.71 Løs likningssettene. 1 a) y = 2x + 1 b) y = x + 4 c) y = __  2  x – 4 y = –x + 4 y = –2x – 2 3 y = – __  2  x

Vi skal nå løse likningssettet

5x – 2y = 4 x+y=5

ved regning. Da bruker vi en metode som vi kaller innsettingsmetoden. Først finner vi et uttrykk for enten x eller y i en av likningene og setter dette uttrykket inn i den andre likningen. Her velger vi å finne et uttrykk for x fra den andre likningen.

x+y=5 x=5–y

Deretter setter vi inn dette uttrykket for x i den første likningen:

5x – 2y = 4 5 · (5 – y) – 2y = 4 25 – 5y – 2y = 4

139

–7y = 4 – 25 –7y = –21 y=3

Divider med –7.

Til slutt finner vi x ved å sette inn i uttrykket x = 5 – y.

x=5–y=5–3=2

Løsningen blir x = 2 og y = 3.

Eksempel Løs likningssettet

2x – y = 8 3x + 4y = 1

Løsning: Vi velger å finne et uttrykk for y fra den første likningen.

2x – y = 8 –y = –2x + 8 y = 2x – 8

Multipliser alle leddene med –1.

Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen.

3x + 4y = 1 3x + 4(2x – 8) = 1 3x + 8x – 32 = 1 11x = 33 x=3

Vi finner y ved å sette x = 3 inn i uttrykket for y.

y = 2x – 8 = 2 · 3 – 8 = 6 – 8 = –2

Løsningen er x = 3 og y = –2.

Oppgave 3.72 Løs likningssettene ved regning. a) –x + 2y = 4 b) x + 2y = 5 2x + y = –3 –x + y = –2 Oppgave 3.73 Løs likningssettene ved regning. a) 3x + 4y = 1 b) x – 2y = –4 –6x + y = 7 3x – y = 3

140 140

Sinus 1YT > Formler og likninger

SAMMENDRAG Regneregler for likninger Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet.

Framgangsmåte når vi løser likninger 1 Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 2 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 3 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 4 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 5 Finn løsningen ved å dividere med det tallet som står foran den ukjente. Regneregler for ulikheter Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhets tegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet.

Innsettingsmetoden Når vi skal løse et likningssett ved regning, finner vi et uttrykk for x eller y i en av likningene. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen. Det gir oss én likning med én ukjent som vi løser.

141