Faktor eksamensforb blabok

Faktor

Matematikk

for ungdomstrinnet

Faktor

Komponenter på

8.–10. trinn:

Grunnbok Oppgave

Lærerens bok Alternativ oppgavebok

Bokmål

Faktor Digital (faktor.cdu.no) TILLEGGSKOMPONENTER:

– med løsningsforslag

Eksamensforberedende hefte Eksamensforberedende hefte

Fordypingshefte Regelhefte Temahefter Faktorama (nettsted)

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen

Faktor Eksamensforberedende hefte Matematikk for ungdomstrinnet

Bokmål ISBN 978-82-02-40551-9

ISBN 978-82-02-40551-9

9 788202 405519 www.cdu.no

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner

Faktor Eksamensforberedende hefte BokmĂĽl

© Cappelen Damm AS, Oslo 2013 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk.

Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Faktor følger læreplanene for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er lagd til bruk på grunnskolens ungdomstrinn.

Illustratør: Line Jerner Omslagsdesign: Line Jerner Omslagsillustrasjon: Line Jerner Grafisk formgiving: Jakob Thyness Ombrekking: PrePress Arnvid Moholt Sats og repro: PrePress Arnvid Moholt Forlagsredaktør: Espen Skovdahl / Berit Rogstad Trykking/innbinding: AIT Oslo AS, 2016 Utgave 2 Opplag 4 ISBN 978-82-02-40551-9

cdu.no faktor.cdu.no

Fotografier: Getty Images / Thinkstock: Chad Baker s. 14, Ivary s. 22, Jeffrey Hamilton s. 23, MichalZajac s, 25, Image Source Pink s. 27, volgariver s. 48 GVPress: © SPL s. 19, © alessandro villa s. 23, © NASA/SPL s. 24, © Gary Crabbe s. 37, © Nils-Johan Norenlind s. 29, © Science photo library s. 35 Samfoto: © Per Eide s. 11, © Annelise Jackbo s. 34 Scanpix: © PoodlesRock/Corbis s. 6, © Alberto Garcia/Corbis s. 16, © 2000 Credit: Topham/PA s. 24, © Reuters/Corbis s. 33, akg-images s. 43, Hinrich Bäsemann/DPA s. 44

Innledning Dette heftet inneholder repetisjonsoppgaver fra Faktor 8–10 i tre kategorier og en samlet oppsummering av lærestoffet fra 8. til 10. trinn. Innenfor hver kategori er det også tatt med et utvalg av tidligere eksamensoppgaver og oppgaver med fullstendige løsningsforslag.

Kategori 1 Oppgaver som gir trening i det grunnleggende lærestoffet Kategori 2 Sammensatte og varierte oppgaver Kategori 3 Oppgaver som byr på større utfordringer Oppgaver som løses med digitale verktøy Oppgaver der du kan bruke pc er merket med dette symbolet: Heftet kan brukes til repetisjon, eksamensforberedelse og som oppslagsverk over emner som har blitt behandlet på ungdomstrinnet.

Fra venstre: Lotte, Hanna, Simen, Herman, Martin, Platon og Sara

Lykke til med arbeidet!

Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

Innledning 3

Innhold Repetisjonsoppgaver Faktor 8–10 Kategori 1.................................. 6 Kategori 2.................................. 17 Kategori 3.................................. 31 Oppgaver som løses med digitale verktøy .................... 46 Regneark ................................... 46 Graftegner ................................. 51 Dynamisk geometriprogram..... 52 Fasit ............................................... 54

Innhold

Oppsummering Faktor 8–10

4

Tall og algebra.............................. 84 Naturlige tall.............................. 84 Partall og oddetall .................... 84 Primtall og sammensatte tall.... 84 Faktorisering.............................. 84 Desimaltall................................. 85 De fire regneartene................... 85 Potenser .................................... 85 Tall på standardform og på utvidet form ......................... 86 Kvadrattall ................................. 86 Kvadratrot.................................. 86 Trekanttall.................................. 86 Negative tall .............................. 87 Regning med fortegnstall ......... 87 Flere regnearter på en gang .... 87 Totallssystemet.......................... 88 Brøk ........................................... 88 Uekte brøk og blandet tall ....... 88 Utviding og forkorting av brøk .. 89 Addisjon og subtraksjon av brøker .............................. 89 Brøk og desimaltall ................... 89

Brøk og multiplikasjon.............. 90 Brøk og divisjon ........................ 90 Forhold ...................................... 90 Prosent ...................................... 90 Sammenhengen mellom prosent, brøk og desimaltall....................... 90 Prosenten av et tall................... 91 Å finne prosenten ..................... 91 Promille ..................................... 91 Utregning av talluttrykk............ 91 Bokstavuttrykk........................... 91 Sette inn tall i bokstavuttrykk .. 92 Regning med bokstavuttrykk ... 92 Bokstavuttrykk og parenteser... 92 Multiplikasjon av to parentesuttrykk .................... 93 Kvadratsetningene .................... 93 Faktorisering.............................. 93 Sammentrekking av brøkuttrykk med ett ledd i nevner ................................ 93 Sammentrekking av brøkuttrykk med flere ledd i nevner........................ 94 Likninger og ulikheter .................. 94 Løsing av likninger.................... 94 Regneregler for likninger.......... 95 Å sette prøve på likninger........ 95 Kvadratiske likninger................. 96 Likninger med brøk .................. 96 Grafisk løsing av likninger ........ 96 Likninger med to ukjente ......... 97 Ulikheter .................................... 98 Omforming av formler.............. 99 Økomomi ....................................... 99 Merverdiavgift ........................... 99 Rabatt ........................................ 99

Rente ....................................... 100 Avbetaling ............................... 100 Lønn ........................................ 100 Skatt ........................................ 100 Serielån.................................... 101 Annuitetslån ............................ 101 Forsikringer.............................. 101 Budsjett og regnskap.............. 101 Geometri ...................................... 102 Linjer og punkter .................... 102 Vinkler ..................................... 102 Konstruksjon............................ 103 Trekanter ................................. 104 Firkanter .................................. 104 Sirkelen.................................... 105 Vinkelsummen i mangekanter 105 Regulær mangekant................ 105 Figurer og mønstre ................. 105 Det gylne snitt og det gylne rektangel .................. 106 Pytagoras-setningen ............... 106 Spesielle trekanter og Pytagoras-setningen .......... 106 Formlikhet ............................... 107 Kongruens ............................... 108 Kongruensavbildninger........... 108 Perspektivtegning med ett eller to forsvinningspunkter....... 110 Måling og enheter ...................... 110 Omkretsen og arealet til mangekanter.................. 110 Omkretsen og arealet til en sirkel.......................... 111 Omkretsen og arealet til en sirkelsektor .................... 111 Enheter for lengde.................. 111 Målestokk ................................ 112 Enheter for areal ..................... 112 Enheter for volum................... 113 Vei, fart og tid ......................... 113

Romgeometri og massetetthet................................ 114 Volumet og arealet av overflaten til et prisme ...... 114 Volumet og arealet av overflaten til en sylinder.... 114 Volumet til en pyramide......... 114 Volumet til en kjegle .............. 114 Volumet og arealet av overflaten til en kule.......... 115 Masse....................................... 115 Massetetthet............................ 115 Statistikk...................................... 116 Frekvens og relativ frekvens... 116 Gjennomsnitt........................... 116 Median .................................... 117 Typetall.................................... 117 Variasjonsbredde..................... 117 Stolpediagram ......................... 118 Linjediagram ........................... 118 Sektordiagram ......................... 119 Sannsynlighet.............................. 119 Kombinatorikk ......................... 119 Sannsynlighet.......................... 120 Sannsynlighet ved flere utfall 120 Sannsynlighet bestemt ved forsøk .......................... 120 Funksjoner ................................... 121 Koordinatsystem ..................... 121 Koordinater.............................. 121 Funksjon .................................. 121 Grafen til en funksjon ............. 122 Lineære funksjoner ................. 123 Kvadratiske funksjoner............ 123 Proporsjonale størrelser .......... 124 Omvendt proporsjonale størrelser............................. 124 Tabeller.................................... 126

Innhold 5

Repetisjonsoppgaver Faktor 8–10 Kategori 1

Repetisjonsoppgaver kategori 1

101

6

Rund av tallene til én desimal. a) 3,39 b) 2,05 c) 0,15

d) 5,94

e) 0,04

102

Skriv tallene på vanlig måte. a) 5 1000 + 3 100 + 7 10 + 4 1 b) 9 1000 + 3 100 + 8 1 c) 8 1000 + 2 10 + 9 1 d) 5 10 000 + 3 1000 + 9 100 + 4 10 + 3 1

103

Den britiske vitenskapsmannen Isaac Newton er blant annet er kjent for teorien om tyngdekraften og oppdagelsen av at hvitt lys er satt sammen av mange farger. Han ble født i 1642 og døde i 1727.

Hvor gammel ble Isaac Newton?

Newton kom blant annet fram til loven om tyngdekraften.

104

Gjør om til brøk. Skriv brøkene så enkelt som mulig. a) 0,5 c) 0,80 e) 0,24 b) 0,6 d) 0,55 f) 0,12

105

Formelen for arealet A til et rektangel med lengde a og bredde b er A = a b.

b

a

Regn ut arealet når a) a = 8 cm og b = 5 cm

b) a = 12 cm og b = 8,5 cm

106

a) Konstruer ABC når AB = 6 cm, A = 90° og AC = 4,5 cm. b) Regn ut lengden til BC. c) Regn ut omkretsen til trekanten. d) Regn ut arealet til trekanten.

107

En dørmatte har form som en sirkel med radius 80 cm. a) Regn ut omkretsen til matten. b) Regn ut arealet til matten.

108

Hvor mange prosent er a) 50 kr av 100 kr b) 30 kg av 200 kg c) 8 dm av 25 dm

109

Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 3x – 2 = 10 c) 4x + 1 = 2x + 9 b) 5x – 1 = 4x + 2 d) 2(x – 1) = 6

Repetisjonsoppgaver kategori 1 7

Repetisjonsoppgaver kategori 1 8

110

En firkantet eske har lengden 20 cm, bredden 12 cm og høyden 6 cm. a) Regn ut volumet til esken. b) Regn ut arealet av overflaten til esken.

111

Regn ut uten å bruke kalkulator. a) 7,3 + 0,44 c) 4 2,4 e) 32 : 2 b) 5,6 – 0,73 d) 42 : 3 f) 5,7 4,9

g) 3 : 1,5 h) 12,8 : 64

112

En vanntank har form som en sylinder. Radien i grunnflaten er 50 cm, og høyden er 120 cm. a) Hvor mange desimeter er 50 cm? b) Hvor mange desimeter er 120 cm? c) Hvor mange liter (kubikkdesimeter) rommer tanken?

113

Sara undersøkte hvilken farge de bilene som kjørte forbi på veien i løpet av en time, hadde. Her ser du resultatet av undersøkelsen: Farge

Antall

Grå

8

Rød

2

Sort

4

Blå

3

Andre farger

3

Sum

20

Vis fordelingen av fargene i et a) stolpediagram b) sektordiagram c) Hvor mange brøkdeler av bilene var grå? d) Hvor mange prosent av bilene var grå?

114

Martin skal bestille en treretters middag. Menyen består av: Forrett Rekecocktail Fiskesuppe Salat

Hovedrett Pepperbiff Grillet laks Lammestek

Dessert Is Eplekake

Hvor mange mulige treretters middager kan Martin bestille?

115

Regn ut. Skriv svaret så enkelt som mulig.

3 1 7 3 1 3 a) + b) -c) + 6 6 8 8 3 9

d)

116

Lotte skal trekke en kule fra hver skål uten å se.

Hva er sannsynligheten for at hun trekker a) to røde kuler b) to blå kuler

117

Skriv tallene som produkt av primtall. a) 6 c) 12 b) 8 d) 16

10 2 -12 3

e) 24 f) 36

Repetisjonsoppgaver kategori 1 9

119

Repetisjonsoppgaver kategori 1

120

10

Skriv som desimaltall. a) 13 % c) 80 % b) 75 % d) 8 % Herman selger aviser hver søndag. Han får 3,50 kr for hver avis han selger. En søndag selger han 60 aviser.

Hvor mye tjener han den søndagen?

«Platons tidende», kun kr 10,–!

n rde i ve kattikum ste Førd Jurid me

Regn ut. Skriv svaret så enkelt som mulig.

1 4

2 6 3 5 b) 5 10 a)

121

e) 100 % f) 25 %

1 3 : 4 4 8 2 d) : 14 3

c)

Første kat t med Juridi i verden kum

Hvor langt er det i luftlinje fra Ny Ålesund til Pyramiden på Svalbard?

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

118

122

123

Regn ut. a) 5 -- ð--3Þ

b)

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 56,25

c) --7 8

d) 32 : ð--4Þ C

a) Bruk hjelpefiguren til å konstruere trekanten. b) Hvor lang er AC? c) Regn ut BC.

45° A

124

5 cm

B

Martin har undersøkt hvor mange kroner elevene i gruppa hans hadde med seg under en skoletur til Prekestolen. Her ser du resultatet av undersøkelsen i kroner: 80 150 100

100 100 120

130 120 150

120 100

a) Regn ut variasjonsbredden. b) Regn ut gjennomsnittsverdien. c) Hva er typetallet? d) Finn medianen.

125

Trekk sammen. a) 4y + y – 2y + 1y b) a + 3b – 4a + 2b c) x + 3x – 2x + 2x

126

Tante Sofie låner 50 000 kr i banken.

Renten er 5 % per år.

Hvor mange kroner må tante Sofie betale i renter på a) ett år b) 6 måneder c) 100 dager

Prekestolen i Lysefjorden

Repetisjonsoppgaver kategori 1 11

127

a) Regn ut volumet og arealet av overflaten til prismet.

2 cm 10 cm

2 cm

r =4 cm

b) Regn ut volumet til sylinderen.

Repetisjonsoppgaver kategori 1

h = 3 cm

12

128

a) Hva blir gjennomsnittshastigheten for en bil som kjører 160 km på 2 timer? b) Hvor langt kjører en bil på 3 timer når gjennomsnittshastigheten er 75 km/h? c) Hvor lang tid bruker en bil på å kjøre 125 km når gjennomsnittshastigheten er 50 km/h?

129

Skriv som potens. a) 8 8 8 8 b) 7 7 7 7 7

130

c) a a a a a d) 3x 3x 3x

I funksjonen y = 2x + 2 kan vi sette inn forskjellige verdier. a) Skriv av tabellen, og regn ut verdien av y når x har verdiene -4, –1, 0, 3 og 4. x

–4

–1

0

y b) Tegn grafen til funksjonen: y = 2x + 2 c) Hva er funksjonens stigningstall? d) Hva er funksjonens konstantledd?

3

4

Tidligere eksamensoppgaver 131

a) Hår vokser med ca. 0,4 mm per døgn.

Hvor lang tid tar det før håret har vokst 2,0 cm? b) Sigrun var på ferietur i Frankrike og kjøpte et videokamera.

Hva ble prisen i norske kroner når hun betalte 240 euro og kursen var 8,30? c) Regn ut arealet av overflaten til terningen.

3,0 dm d) Regn ut volumet til terningen. e) Mads tjener 130 kr per time. Hvis han jobber om kvelden, får han et tillegg 3,0 dm 3,0 dm i lønna på 25 %.

Hvor mye tjener Mads hvis han en kveld jobber 4 timer? f) I en eske ligger det to grå og tre røde kuler.

Bestem sannsynligheten for at du tilfeldig trekker én rød kule. g) Gjør om.

A: 3,25 h = & min B: 2400 cm3 = & L C: 9,3 t = & kg

132

a) I en jakke skal det være 6 knapper. Det skal være 45 cm mellom første og siste knapp.

Hvor stor blir avstanden mellom hver knapp når det er samme avstand mellom knappene? b) Olsen har lånt 250 000 kr for å kjøpe en bil og skal betale 4 % i rente per år.

Hvor mye betaler Olsen i rente det første året? c) Sara begynner en dag på skolen kl. 08.30. Hun bruker 13 minutter på badet, 4 minutter til å kle seg, 3 minutter til å pakke sekken, 10 minutter til å spise frokost og 8 minutter på skoleveien.

Når må hun senest stå opp for å komme tidsnok til skolen? d) Av 6 kg epler lages det 36 dl eplesaft.

Hvor mange liter saft kan lages av 15 kg epler av samme sort? e) Gjør uttrykket så enkelt som mulig: 4x + 3y – 2x – 4y + 5y f) Konstruer en trekant ABC der g) Løs likningen 3x = x + 8.

A = 60°,

B = 45° og AB = 7 cm.

Repetisjonsoppgaver kategori 1 13

Oppgaver med løsningsforslag

Repetisjonsoppgaver kategori 1

133

14

Vi regner med at jorda har tilnærmet form som en kule.

Jordas diameter er ca. 12 800 km. a) Regn ut jordas radius og omkrets.

En gresk matematiker som het Eratosthenes (ca. 276–194 før vanlig tidsregning), beregnet jordas omkrets ut fra måling av skygger i to ulike byer, Aleksandria og Syene (Aswan). Avstanden mellom Aleksandria og Syene var 5000 egyptiske stadion. 1 stadion = 157,5 m. b) Regn ut hvor mange kilometer det var mellom Aleksandria og Syene.

134

135

136

137

Skriv så enkelt som mulig. a) 2ð2a -- 1Þ b) 2 -- 2ð2a + 1Þ

c) 2 -- 2að3a + 3Þ

Løs likningene. a) x + 4 = 8

b) 5x = 4x + 8

c) 7x = 5x + 10

Regn ut. a) 102 98

b) 81 : 0; 27

c) 32 : 0; 64

Regn ut

5 av 320 kr.

8

138

På en frøpose står det at spireevnen er 80 %. Det betyr at 8 av 10 sådde frø sannsynligvis vil spire.

Hvor mange frø vil sannsynligvis spire hvis det blir sådd 25 frø?

139

En sylinderformet gryte har innvendig diameter på 24 cm og innvendig høyde på 16 cm. Finn volumet av gryta.

140

En trekant ABC har målene AB = 6,5 cm, a) Tegn hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring.

141

Løs likningen: 3x -- 6 = 4 + x

142

Regn ut. Forkort svaret så mye som mulig.

1 3 + 4 6 1 1 5 b) 2 + -2 3 6

a)

A ¼ 60° og

B ¼ 45°.

4 4

6 5 3 3 d) : 8 6

c)

Repetisjonsoppgaver kategori 1 15

Repetisjonsoppgaver kategori 1 16

143

En kjole koster opprinnelig 1290 kr. Hanna kjøper kjolen for 900 kr.

Hvor mange prosent rabatt får hun?

144

Hvor mye får Simen i renter hvis han har 25 000 kr i banken i 255 dager til 2,75 % rente?

145

Avstanden mellom to punkter på et kart er 4 cm. Avstanden i virkeligheten er 20 km. Hva er målestokken til kartet?

146

Regn ut den ukjente siden x. a) x

b) 15 cm x

6 cm

8 cm 12 cm

147

a) Undersøk om 60 % av 50 kr er det samme som 50 % av 60 kr. b) Hva blir halvparten av halvparten? c) Hva er det dobbelte av 0,125 kg?