Faktor
atiinknket Mauntgedm omstr
9
Faktor
for
på Komponentar ne: 8.u–n1nb0ok. tOrpipn gåv Gr
Nynorsk
Lærarens bok åvebok
pg Alternativ op
l a t i g i D r o t k a F du.no) (faktor.c
Ar: komponent s illegg T Eksamensførebuande hefte
Temahefter
Regelhefte
ttstad)
ma (ne Faktora
Faktor
te
Grunnbok
Fordjupingshef
9
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen
Grunnbok ISBN 978-82-02-45665-8 ISBN 978-82-02-45665-8
9 788202 456658 www.cdu.no
Matematikk for ungdomstrinnet
Nynorsk
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner
Faktor
9 Grunnbok Nynorsk
Dette er Faktor 9 Grunnbok. Til grunnboka høyrer det ei oppgåvebok. Her ser du ungdommane som følgjer deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet:
Kvart kapittel i grunnboka består av fire delar:
Nokre oppgåver er merkte med desse symbola:
Lærestoff og oppgåver
Kalkulator
Prøv deg sjølv
Finn ut
Noko å lure på Oppsummering
Faktor 9
Hei til deg som skal bruke Faktor!
?
Frioppgåve Digitale verktøy Utfordrande oppgåve
Bakarst i boka finn du ein liten manual for bruk av kalkulator, rekneark og GeoGebra. I oppgåveboka finn du øvingsoppgåver i tre vanskegrader til kvart kapittel. Alle kapittel har også eit oppgåvesett med repetisjonsoppgåver. Kategori 1 Litt av kvart
Kategori 2 Kategori 3 Øvingsoppgåver for digitale verktøy
Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennande å lære! Vi har laga ei bok som vil hjelpe deg med å nå måla for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet!
Helsing forfattarane Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen
3
Innhald
Innhald 1 Tal og talforståing .................... 7 Potensar ........................................... 8 Kvadrattal....................................... 16 Rekning med forteiknstal .............. 20 Forhold........................................... 23 Figurtal og talrekkjer ..................... 27 Prøv deg sjølv ................................. 30 Noko å lure på ............................... 32 Oppsummering ............................... 34
2 Algebra..................................... 37 Bokstavuttrykk ............................... 38 Likningar ........................................ 47 Ulikskapar ...................................... 57 Prøv deg sjølv ................................. 59 Noko å lure på ............................... 61 Oppsummering ............................... 63
3 Geometri................................... 67 Mangekantar.................................. 68 Omkrins og areal av mangekantar............................. 72 Omkrins og areal av ein sirkel ...... 84 Pytagoras-setninga ........................ 88 Konstruksjon og utrekningar......... 96 Geometri i natur og kunst .......... 102 Det gylne snittet og det gylne rektangelet.................. 107 Prøv deg sjølv ............................... 113 Noko å lure på ............................. 117 Oppsummering ............................. 119
4
4 Statistikk og sannsynsrekning .................... 123 Relativ frekvens ........................... 124 Sektordiagram ............................. 130 Andre diagram............................. 135 Kritisk bruk av diagram ............... 140 Sentralmål og variasjonsbreidd... 143 Talet på moglege utfall ............... 148 Å finne sannsynet........................ 151 Å finne sannsynet ved fleire hendingar ........................... 155 Like stort sannsyn kvar gong? ................................... 162 Prøv deg sjølv ............................... 164 Noko å lure på ............................. 167 Oppsummering ............................. 169
5 Måling og berekningar ......... 173 Målenøyaktigheit ......................... 174 Målestokk..................................... 177 Volum og overflate...................... 185 Prøv deg sjølv ............................... 196 Noko å lure på ............................. 198 Oppsummering ............................. 199
6 Funksjonar ............................. 201 Koordinatsystemet....................... 202 Formlar og funksjonar ................. 207 Grafen til ein funksjon................. 211 Meir om funksjonar ..................... 215 Prøv deg sjølv ............................... 218 Noko å lure på ............................. 220 Oppsummering ............................. 222
Innhald
7 Økonomi................................. 225 Prosent og promille..................... 226 Meirverdiavgift............................. 231 Rabatt........................................... 234 Tilbod ........................................... 236 Renterekning ............................... 239 Kredittkort.................................... 246 Prøv deg sjølv ............................... 249 Noko å lure på ............................. 251 Oppsummering ............................. 253 Manual for digitale verktøy ...... 254 Kalkulatoren................................. 255 Rekneark ...................................... 258 GeoGebra..................................... 262 Fasit ............................................. 270 Stikkord ....................................... 291
5
Det er 384 000 km til månen. Alpha Kentauri er 40 000 000 000 000 km unna jorda.
Er det 400 000 000 000 eller 40 000 000 000 stjerner i vår galakse, Mjølkevegen?
Eit romskip flyg med ca. 40 000 km/h. Kor lang tid ville det ha teke å reise dit?
1
Tal og talforståing
Somme gonger har vi bruk for å skrive svært store tal, for eksempel i samband med avstandar i verdsrommet. For å få betre oversikt kan vi skrive tala som produkt av eit desimaltal mellom 1 og 10 og ein tiarpotens: 384 000 = 3,84 105
Mål I dette kapittelet skal du få lære om . . . .
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0
tal på standardform faktorar, potensar, kvadratrot og forhold mellom storleikar i berekningar forteiknstal talmønster
Mange nullar å halde orden på!
Tal og talforstĂĽing
Potensar To i femte er ein potens.
25
Kva betyr to i femte? 25 er ein potens med 2 som grunntal og 5 som eksponent. 25 blir uttala to i femte. 25 = 2 2 2 2 2 = 32 Regel
Eit produkt der alle faktorane er like, kan vi skrive som ein potens. Eksponenten fortel kor mange gonger vi skal multiplisere grunntalet med seg sjølv. Oppgüver 1.1
1.2
8
Skriv som potens. a) 2 2 2 2 b) 3 3 3 3
c) 10 10 10 d) 7 7 7 7 7
e) 5 5 5 5 5 5 f) 9 9 9 9
Rekn ut potensen. a) 23 b) 35
c) 53 d) 105
e) 55 f ) 210
Skriv av tabellen og fyll inn det som manglar. Grunntal
Eksponent
3
2
Potens
64
6
35
5 1
8 2,34
4 1.4
Rekn ut. a) 3 4 4 4 b) 5 23
Tal og talforståing
1.3
c) 24 33 d) 52 + 42
e) 103 -- 101 f ) 35 -- 53
Multiplikasjon og divisjon av potensar Når vi skal multiplisere to potensar som har same grunntal, beheld vi grunntalet og summerer eksponentane. 2 2 = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 3
4
3+4
7
=2
Hugs! 2 = 21 , 3 = 31 osv.
Når vi skal dividere ein potens med ein potens som har same grunntal, beheld vi grunntalet og subtraherer eksponentane. 56 = 56 : 52 = 56 -- 2 = 54 52
Regel
Når vi multipliserer potensar som har same grunntal, beheld vi grunntalet og summerer eksponentane. Når vi dividerer potensar som har same grunntal, beheld vi grunntalet og subtraherer eksponentane.
9
Tal og talforståing
Dersom vi dividerer to like potensar med kvarandre, blir svaret lik 1 fordi teljaren og nemnaren er like store. Dersom vi brukar regelen for divisjon av potensar, får vi 53 = 53 -- 3 = 50 53 Det betyr altså at 50 = 1. Regel
For alle tal a er a0 = 1. Når vi skal multiplisere eller dividere to potensar som ikkje har same grunntal, må vi rekne ut potensane kvar for seg. Eksempel 1:1
Rekn ut. Skriv svaret som éin potens dersom det mogleg. a) 22 25 b) 46 : 42
c) 32 43 d) 44 : 23
Løysing a) 22 25 = 22 + 5 = 27 b) 46 : 42 = 46 -- 2 = 44
c) 32 43 = 9 64 ¼ 576 d) 44 : 23 = 256 : 8 = 32
Oppgåver 1.5
1.6
1.7
? 10
Skriv svaret som éin potens. c) 22 23 a) 32 35 b) 52 52 d) 52 54
e) 102 103 f ) 72 73
Skriv svaret som éin potens. a) 132 133 c) 122 123 b) 52 5 d) 102 104
e) 100 105 f ) 70 73
Skriv svaret som éin potens. a) 32 3 c) 22 26 2 2 b) 15 15 d) 102 104 102
e) 103 105 10 f ) 7 73 70 72
Korleis kan vi skrive talet 189 som ein sum av to potensar?
Skriv svaret som éin potens. 27 24 65 b) 2 6 a)
1.9
106 102 312 d) 8 3 c)
Skriv svaret som éin potens. c) 35 : 34 a) 55 : 52 d) 74 : 73 b) 105 : 103
55 52 35 f) 4 3 e)
Tal og talforståing
1.8
e) 155 : 153 f ) 109 : 103
1.10 Skriv svaret som éin potens dersom det er mogleg. Viss ikkje, rekn ut. a) 95 : 92 c) 26 -- 24 e) 124 : 123 4 3 4 3 f ) 34 + 24 b) 3 + 3 d) 10 + 10 1.11 Skriv svaret som éin potens dersom det er mogleg. Viss ikkje, rekn ut. a) 32 35 c) 122 23 e) 82 8 b) 52 53 d) 52 102 f ) 5 43 1.12 Skriv svaret som éin potens dersom det er mogleg. Viss ikkje, rekn ut. a) 136 : 134 c) 5 42 -- 16 b) 84 -- 44 d) 3 52 + 5 32
Potensar med 10 som grunntal Nedanfor ser du nokre eksempel på potensar med 10 som grunntal. 100 101 102 103 104 105 106
= = = = = = =
1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000
Vi brukar tala 1, 10, 100 osv. når vi skriv naturlege tal på utvida form: 3456 = 3 1000 + 4 100 + 5 10 + 6 1 Ettersom 10, 100, 1000 osv. kan skrivast som potensar med 10 som grunntal, får vi: 3456 = 3 103 + 4 102 + 5 101 + 6 100
11
Tal og talforståing
Eksempel 1:2
Skriv 1 205 604 på utvida form ved å bruke potensar av 10. Løysing 1 205 604 = 1 1 000 000 + 2 100 000 + 0 10 000 + 5 1000 + 6 100 + 0 10 + 4 1 1 205 604 = 1 106 + 2 105 + 5 103 + 6 102 + 4 100 Oppgåver 1.13 Skriv tala som potensar med 10 som grunntal. a) 100 c) 100 000 e) Ti millionar b) 1000 d) 1 000 000 f ) Ein milliard 1.14 Skriv tala på utvida form ved å bruke potensar av 10. a) 6543 c) 12 675 e) 2 450 565 b) 3409 d) 125 308 f ) 2 907 530 1.15 Skriv tala på vanleg måte. a) 5 103 + 4 102 + 1 101 b) 3 104 + 4 103 + 5 102 c) 7 105 + 4 104 + 5 103 d) 2 105 + 4 103 + 5 102 e) 1 106 + 4 105 + 5 103 f ) 3 105 + 4 102 + 9 101
+ + + + + +
6 100 6 101 + 5 100 6 102 + 3 101 + 4 100 6 100 6 102 + 1 101 + 2 100 1 100
1.16 Skriv 7 milliardar på vanleg måte og deretter ved å bruke tiarpotens. Det er over 7 milliardar menneske på jorda.
12
For å få betre oversikt over eit stort tal, kan vi skrive talet som eit produkt av eit desimaltal mellom 1 og 10 og ein tiarpotens. 150 000 000 km kan vi skrive slik: 1,5 108 km
Tal og talforståing
Tal på standardform
Tiarpotens Desimaltal mellom 1 og 10 Når vi skriv om store tal på denne måten, flyttar vi desimalteiknet og set det mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med ein tiarpotens. Ovanfor har vi flytta desimalteiknet åtte plassar. Derfor blir tiarpotensen 108 . Skrivemåten 1,5 108 kallar vi standardform.
Sola, vår eiga stjerne
Avstanden frå jorda til sola er ca. 150 000 000 km!
13
Tal og talforståing
Regel
Vi skriv store tal på standardform ved å plassere desimalteiknet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med ein tiarpotens. Eksponenten i tiarpotensen svarar til talet på plassar vi har flytta desimalteiknet. Eksempel 1:3
Skriv talet 340 000 000 på standardform. Løysing 340 000 000 = 3,4 108 Oppgåver 1.17 Skriv tala på standardform. a) 25 000 c) 24 000 000 b) 14 000 d) 910 000
e) 4 500 000 f ) 4 500 000 000
1.18 Skriv avstandane frå sola til planetane på standardform. a) Sola – Venus 108 000 000 km b) Sola – Jorda 150 000 000 km c) Sola – Jupiter 778 000 000 km
14
e) 1,05 107 f ) 4,08 109
1.20 Massen til månen har blitt berekna til ca. 73 500 000 000 000 000 000 tonn. Skriv talet ved å bruke tiarpotens.
Tal og talforståing
1.19 Skriv tala på vanleg måte. c) 9,1 105 a) 4,5 103 4 b) 2,7 10 d) 4,5 106
Landingsmodulen The Eagle (Apollo 11) var det første romfartøyet som landa på månen, 20. juli 1969.
1.21 Finn ut kor mykje jorda veg. Skriv talet både på vanleg måte og ved å bruke tiarpotens.
Massen til månen er ca. 0,0123 av massen til jorda!
15
Tal og talforståing
Kvadrattal Alle tala er kvadrattal!
4
9
16
25
Kva meiner vi med kvadrattal? Vi kan leggje ut brikker i kvadratform på denne måten:
&& &&
&
&&& &&& &&&
&&&& &&&& &&&& &&&&
Sjå på reknestykka nedanfor. 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
= = = = =
12 22 32 42 52
= = = = =
1 4 9 16 25
Tala 1, 4, 9, 16, 25 osv. kallar vi kvadrattal fordi vi kan illustrere desse tala i eit kvadratisk mønster som ovanfor. Regel
Dersom x er eit heilt tal, er x x = x 2 eit kvadrattal.
16
1.22 Kva for nokre av desse tala er kvadrattal? 4 9 7 8
16
1.23 Lag ei teikning som illustrerer kvadrattala. a) 4 b) 9 c) 16
25
d) 25
Tal og talforst책ing
Oppg책ver
1.24 Kva for kvadrattal illustrerer desse figurane? a)
b)
1.25 Rekn ut kvadrattalet x 2 n책r x er a) 5 c) 10 b) 8 d) 15
c)
e) 20 f ) 100
1.26 81 brikker blir lagde ut som eit kvadrat. Kor mange brikker er det langs sidene av kvadratet? 1.27 Stolane i ein kinosal er plasserte som eit kvadrat. Det er 625 plassar i salen. Kor mange stolar er det i kvar rad?
?
Plasser tala fr책 1 til 6 i trekanten slik at summen langs kvar av sidene blir den same.
17
Tal og talforståing
Kvadratrot Når vi multipliserer to like tal med kvarandre, får vi eit kvadrattal. 3 3 = 9 Det vil seie at 9 er eit kvadrattal. Motsett seier vi at 3 er kvadratrota av 9. pffiffiffi . Vi kan skrive kvadratrota av 9 slik:
Teiknet for kvadratrot er pffiffiffi 9=3 På same måte er pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25: Regel
Vi finn kvadratrota av eit bestemt tal ved å finne det positive talet som multiplisert med seg sjølv, gir det bestemte talet. Eksempel 1:4
Finn kvadratrota av 36. Løysing Ettersom 6 6 = 36, er
pffiffiffiffiffi 36 = 6.
Oppgåver 1.28 Finn kvadratrota av a) 9 b) 25 c) 16 d) 36 e) 81 f ) 100
18
Vi må bruke kalkulator for å rekne ut kvadratrota av tal som ikkje er kvadrattal.
pffiffiffiffiffiffiffiffi c) 144 pffiffiffiffiffiffiffiffi d) 400
pffiffiffiffiffi e) 85 pffiffiffiffiffiffiffiffi f ) 128
1.30 Rekn ut. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 25 + 81 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi b) 36 + 100
pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi c) 25 + 16 pffiffiffi pffiffiffiffiffi d) 9 + 36
pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi e) 81 -- 36 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi f ) 100 -- 121
?
Tal og talforståing
1.29 Rekn ut. pffiffiffiffiffi a) 25 pffiffiffiffiffi b) 36
Finn talet! . . .
Talet har to faktorar som også er primtal. Kvadratrota av talet er mindre enn 10. Talet har tverrsummen 13.
1.31 a) Sidene i eit kvadrat er 6,5 cm. Kor stort er arealet? b) Arealet av eit kvadrat er 23,04 cm2 . Kor lang er sida? 1.32 Ein handballbane har form som eit rektangel som er dobbelt så langt som det er breitt. Arealet av handballbanen er 800 m2 . Rekn ut lengda og breidda av handballbanen. Handballcup i Ski
19
Tal og talforståing
Rekning med forteiknstal Hm ... 5–3=2 5–2=3 5–1=4 5–0=5 5–(–1) = ? 5–(–2) = ?
–1∙3=–3 –1∙2=– 2 –1∙1 = –1 –1∙0= 0 –1∙(–1) = ? –1∙(–2) = ?
Kva blir svaret på oppgåvene? Vi kan leggje til og trekkje frå negative tal. Jo mindre tal vi legg til, desto mindre tal får vi til svar. Jo mindre tal vi trekkjer frå, desto større tal får vi til svar. 5+3 5+2 5+1 5+0 5 + ð--1Þ 5 + ð--2Þ 5 + ð--3Þ
= = = = = = =
8 7 6 5 4 3 2
5 -- 3 5 -- 2 5 -- 1 5 -- 0 5 -- ð--1Þ 5 -- ð--2Þ 5 -- ð--3Þ
= = = = = = =
2 3 4 5 6 7 8
Regel
Å trekkje frå eit negativt tal er det same som å leggje til det tilsvarande positive talet. Å leggje til eit negativt tal er det same som å trekkje frå det tilsvarande positive talet. Dersom vi multipliserer eller dividerer to negative tal med kvarandre, blir svaret eit positivt tal: --6 ð--3Þ = 18 --3 ð--3Þ = 9
20
--6 : ð--3Þ = 2 --3 : ð--3Þ = 1
Når vi multipliserer eller dividerer eit positivt tal med eit negativt tal, blir svaret eit negativt tal. Når vi multipliserer eller dividerer to negative tal med kvarandre, blir svaret eit positivt tal.
Tal og talforståing
Regel
Minus minus = pluss! Minus pluss = minus!
Eksempel 1:5
Rekn ut. a) 10 + ð--12Þ b) 10 -- ð--12Þ c) 5 ð--4Þ
d) --5 ð--4Þ e) --20 : 4 f ) --20 : ð--4Þ
Løysing a) 10 + ð--12Þ = 10 -- 12 = --2 b) 10 -- ð--12Þ = 10 + 12 = 22 c) 5 ð--4Þ = --20
d) --5 ð--4Þ = 20 e) --20 : 4 = --5 f ) --20 : ð--4Þ = 5
Oppgåver 1.33 Rekn ut. a) 5 -- ð--4Þ
b) 9 -- ð--9Þ
c) 10 -- ð--5Þ
d) 50 -- ð--100Þ
1.34 Rekn ut. a) 5 + ð--2Þ b) 20 + ð--12Þ
c) 13 + ð--12Þ d) 25 + ð--20Þ
e) --5 + ð--2Þ f ) --5 -- ð--2Þ
g) --10 + ð--8Þ h) --10 -- ð--8Þ
21
Tal og talforståing
1.35 Rekn ut. a) 12 + ð--3Þ b) 12 -- ð--3Þ
c) 12 -- ð+3Þ d) 12 + ð+3Þ
e) 12 + ð--15Þ f ) --20 -- ð--20Þ
g) --9 + ð--17Þ h) --14 -- ð--6Þ
1.36 Kva for eit av svara er rett? A 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 1 B 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 9
C 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 11 D 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = --1
1.37 Rekn ut. a) 5 ð--6Þ
b) --4 6
c) --3 ð--7Þ
d) 5 ð--10Þ
1.38 Rekn ut. a) 25 : ð--5Þ
b) --25 : 5
c) --30 : ð--6Þ
d) --42 : 7
1.39 Rekn ut. a) 2,5 ð--6Þ
b) 4 ð--2,5Þ
c) --3 1,5
d) --10 ð--3,7Þ
1.40 Rekn ut. a) 4 + ð--3Þ -- ð--4Þ b) 5 -- ð--3Þ + ð--4Þ
c) 10 + ð--4Þ -- ð--15Þ d) 50 + ð+50Þ -- ð--100Þ
1.41 Rekn ut. a) 15 -- ð+17Þ b) --2 -- ð+2Þ
c) 50 -- ð--50Þ + ð--25Þ d) --100 -- ð+100Þ -- ð--100Þ + ð--100Þ
1.42 Skriv av og set dei rette tala inn i rutene. a) 5 ð--7Þ = & c) & ð--8Þ = --80 b) --3 & = 21 d) --10 ð--10Þ = &
?
Til ein teltplass på ei øy kom det 10 gjester den første dagen teltplassen var open for sesongen. 2 gjester drog tilbake den same kvelden. Den andre dagen kom det 12 gjester, men 3 drog tilbake same kveld. Dette mønsteret heldt fram. Kor mange gjester var det på teltplassen ved slutten av den sjuande dagen?
22
Vi blandar i forholdet éin til fem!
Tal og talforståing
Forhold
Kva vil det seie å blande i forholdet éin til fem? Når vi blandar saft og vatn i forholdet éin til fem, blandar vi éin del saft med fem delar vatn. Det kan for eksempel vere 1 dL saft og 5 dL vatn. Ettersom 10 dL er fem gonger så mykje som 2 dL, kan vi også blande 2 dL saft og 10 dL vatn. Forholdet mellom mengda av saft og mengda av vatn blir også då éin til fem. Forholdet éin til fem kan vi skrive slik: 1 : 5 eller
1 5
Brøkstreken er her det same som eit divisjonsteikn. Når vi skal finne forholdet mellom to storleikar, forkortar vi brøken så mykje som mogleg. Regel
Vi finn forholdet mellom to tal ved å dividere tala med kvarandre.
23
Tal og talforståing
Eksempel 1:6
Hanna bur 12 km frå skulen, mens Simen bur 3 km frå skulen. Kva er forholdet mellom 12 km og 3 km? Løysing 12 km 12 4 = = 3 km 3 1
Hugs! I nokre av oppgåvene må du gjere om til den same nemninga.
Forholdet er 4 : 1 Oppgåver 1.43 Finn forholdet mellom storleikane. a) 2 km og 10 km b) 3 bytter og 12 bytter c) 500 kr og 250 kr e) 2 cm og 20 cm d) 15 kg og 45 kg f ) 4 cm og 80 000 cm 1.44 Finn forholdet mellom storleikane. a) 500 kr og 125 kr d) 12 km og 3 cm b) 4 cm og 1 m e) 50 øre og 50 kr c) 3 g og 12 kg f ) 500 km og 5 cm 1.45 Simen blandar 2 dL iste med 16 dL vatn. Sara blandar 3 dL iste med 27 dL vatn. Kven lagar den sterkaste blandinga? 1.46 Martin tener 360 kr på 4 timar. Hanna arbeider i 5 timar. Kor mykje må Hanna få i lønn dersom ho skal tene like mykje per time som Martin? 1.47 Elevane i 9A selde vaflar for 375 kr. Det er 25 elevar i gruppa. I 9B er det 28 elevar. Kor mykje må elevane i 9B selje vaflar for dersom dei skal selje like mykje i forhold til elevtalet?
24
Vi reknar med forhold i mange samanhengar, for eksempel – når vi blandar saft og vatn – når vi blandar sement og sand – når vi får lønn i forhold til den tida vi arbeider
Tal og talforståing
Rekning med forhold
Martin og Lotte hjelpte naboen med å måle huset. Martin arbeidde i 10 timar og Lotte i 8 timar. For dette fekk Martin 750 kr og Lotte 600 kr. Vi reknar ut timelønna: Martin: Lotte:
750 kr : 10 = 75 kr 600 kr : 8 = 75 kr
Det betyr at forholdet mellom 750 og 10 er det same som forholdet mellom 600 og 8. Martin og Lotte har derfor fått like mykje betalt i forhold til dei timane dei har arbeidd, sjølv om dei har fått forskjellige kronebeløp. Eksempel 1:7
Herman arbeider i 3 timar, og Sara arbeider i 4 timar. Dei får 770 kr til saman for dette arbeidet. Kor mykje får kvar av dei? Løysing Herman arbeider: Sara arbeider: Til saman:
3 timar 4 timar 7 timar
Lønna for éin time blir: 770 kr : 7 = 110 kr Herman får: 3 110 kr = 330 kr Sara får: 4 110 kr = 440 kr Vi kontrollerer svaret: 330 kr + 440 kr = 770 kr
25
Tal og talforståing
Oppgåver 1.48 Martin og Lotte skal dele 450 kr i forholdet 4 : 5. Kor mykje får kvar av dei? 1.49 Sara og Herman skal dele eit overskot frå eit loddsal. Sara selde 50 lodd, og Herman selde 75 lodd. Overskotet var 150 kr. a) Rekn ut forholdet mellom kor mange lodd Sara og Herman selde. b) Kor stor del av overskotet fekk kvar av dei? 1.50 Simen skal fylle 2 dL olje og 48 dL bensin på mopeden. Hanna skal fylle olje og bensin i det same forholdet.
a) Rekn ut forholdet mellom mengda av olje og mengda av bensin. b) Kor mange desiliter bensin må Hanna fylle dersom ho brukar 1 dL olje? 1.51 Sara skal blande iste og vatn i forholdet 1 : 9. Ho vil bruke 2 dL iste i blandinga. Kor mange desiliter ferdigblanda iste får ho? 1.52 I ei oppskrift på hasselnøttbrød står det blant anna at vi skal bruke 7 dL grovt rugmjøl og 6 dL kveitemjøl. Herman skal lage ein brøddeig med 9 dL kveitemjøl. Kor mykje rugmjøl må Herman bruke dersom forholdet mellom mengda av kveitemjøl og mengda av rugmjøl framleis skal vere det same?
26
1
3
Tal og talforståing
Figurtal og talrekkjer
6
Kva for tal får vi vidare etter dette mønsteret? Dersom vi held fram å leggje ut brikker etter det same mønsteret, får vi følgjande figurar og tal: & & && & && &&& & && &&& &&&& & && &&& &&&& &&&&& 1 3 6 10 15 osv. Talet på brikker er: 1 brikke 3 brikker ð1 + 2Þ 6 brikker ð1 + 2 + 3Þ 10 brikker ð1 + 2 + 3 + 4Þ 15 brikker ð1 + 2 + 3 + 4 + 5Þ osv.
Hugs! 1, 4, 9, 16 osv. kallar vi kvadrattal.
Tala 1, 3, 6, 10, 15 osv. kallar vi trekanttal fordi vi kan illustrere desse tala i eit geometrisk trekanta mønster. Tala 1, 3, 6, 10 og 15 er dei fem første trekanttala.
27
Tal og talforståing
Vi kan lage andre talrekkjer ved å bruke eit bestemt system eller mønster. Systemet vi brukar, kan vere addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon mellom ledda i rekkja. Her er nokre eksempel på korleis vi kan byggje opp talrekkjer: Ved addisjon: 1 3 +2
5 +2
Ved subtraksjon: 12 7 –5
7 +2
–5
–5
:2
–5
3
16
81 3
8
:2
:2
Ved summering av ledd: 1 1 2 1+1
–8
27
3
Ved divisjon: 64 32
+2
–3
2
Ved multiplikasjon: 1 3 9 3
9
1+2
4 :2
3
5 2+3
Merk at talrekkjer også kan vere laga etter fleire enn eitt mønster. Prøv å finne ut korleis talrekkjene er bygde opp når du løyser oppgåvene på neste side. Oppgåver
28
1.53 Kva for nokre av tala er kvadrattal? A 9 C 50 E 20 B 36 D 81 F 144
G1 H 169
1.54 Kva for nokre av tala er trekanttal? A 10 C 20 E 21 B 15 D 25 F 100
G 28 H 50
Tal og talforståing
1.55 Kva for nokre av tala er ikkje kvadrattal? A 16 C 14 E 20 B 8 D 18 F 24
G 36 H 38
1.56 Sjå på reknestykka nedanfor. Hald fram fire linjer til etter det same systemet. Skriv ein regel ut frå den samanhengen du ser. 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1.57 Dei seks første trekanttala er 1, 3, 6, 10, 15 og 21. Legg saman a) det første og det andre trekanttalet b) det andre og det tredje trekanttalet. c) det tredje og det fjerde trekanttalet d) Kva slags tal får du i oppgåve a, b og c? 1.58 Skriv dei tre neste tala i talrekkjene. & a) 1 4 9 b) 1 2 4 7 c) 2 4 8 16 d) 2 6 18 54 1.59 Skriv av og set inn tala som a) 2 4 8 b) 1 4 8 c) 1 9 25
?
manglar & 13 &
& 11 & &
& & & &
i talrekkjene. & & & & & &
& & &
&
128 34 169
Kva kan differansen mellom to negative tal bli?
1.60 Sjå på reknestykka nedanfor: 1 1 = 12 = 1 11 11 = 112 = 121 111 111 = 1112 = 12321 Ser du eit system som gjer at du raskt kan finne ut kva for eit tal 11 1112 er?
29
Tal og talforståing
Prøv deg sjølv 1
2
3
4
c) 2 2 2 2 2 d) 7 7 7
Rekn ut potensen. b) 33 a) 103
c) 54
d) 28
Skriv svaret som éin potens. a) 103 102 b) 43 44
c) 53 52
d) 102 10
Skriv svaret som éin potens. a) 55 : 52 b) 106 : 102
c) 74 : 72
d) 25 : 24
5
Skriv tala på utvida form ved å bruke potensar av 10. a) 3563 b) 12 875 c) 20 456 d) 120 503
6
Skriv tala på standardform. a) 24 000 b) 540 000
c) 760 000 000 d) 50 100 000 000
7
Rekn ut arealet av eit kvadrat når sidene i kvadratet er a) 4 cm b) 9 cm c) 7 cm d) 3,6 cm
8
Rekn ut x 2 . a) x = 2
b) x = 7
Rekn ut. pffiffiffiffiffi a) 64
b)
9
30
Skriv som éin potens. a) 3 3 b) 5 5 5 5
pffiffiffiffiffi 81
c) x = 1
c)
10
a) Sidene i eit kvadrat er 4,5 cm. Kor stort er arealet? b) Arealet av eit kvadrat er 12,96 m2 . Kor lange er sidene?
11
Rekn ut. a) 4 -- ð--2Þ + 3 b) 15 + ð--5Þ -- 10 c) --20 -- ð--30Þ -- 2
pffiffiffiffiffiffiffiffi 121
d) x = 0,5
d)
pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 16 + 49
d) 23 -- ð12 -- 5Þ e) ð12 -- 4Þ -- ð15 -- 2Þ f ) ð7 -- 4 + 23Þ -- 3 + ð6 -- 3Þ
Rekn ut. a) --2 3 b) 5 ð--10Þ
c) --4 ð--8Þ d) --32 : ð--8Þ
e) 45 : ð--9Þ f ) --45 : 9
13
Lotte blandar 2 dL iste med 10 dL vatn. a) Kor mange desiliter ferdigblanda iste får Lotte? b) Rekn ut forholdet mellom volumet av iste og volumet av vatn.
14
Murar Sand blandar sement og sand i forholdet 1 : 5. Han har 6 skuffer sement i blandemaskinen.
Tal og talforståing
12
a) Kor mange skuffer sand har muraren i blandemaskinen? b) Ein annan gong har muraren 20 skuffer sand i blandemaskinen. Kor mange skuffer sement og sand har han då til saman i blandemaskinen?
Pantheon i Roma (bygd i år 118–125) har ein sjølvberande kuppel av betong.
15
16
Kva for nokre tal manglar i talrekkjene? & & a) 1 4 9 & b) 1 1 2 3 & & c) 1 3 6
36 & 21
13
Kva for nokre av tala er kvadrattal, og kva for nokre av tala er trekanttal? 16 4 21 25 10 36 6
31
Tal og talforståing
Noko å lure på 1
Ei flaske inneheld 6 dL saft. Simen skal blande saft og vatn ved å bruke 1 del saft og 9 delar vatn. På flaska står det at det kan bli 6 liter ferdigblanda saft. Forklar kvifor det er rett.
2
Sjå på utrekningane nedanfor. 1 = 13 3 + 5 = 23 7 + 9 + 11 = 33 Korleis held dette mønsteret fram?
3
Avstanden frå jorda til månen er ca. 380 000 km, og avstanden frå jorda til sola er ca. 150 000 000 km. Diameteren til månen er ca. 3480 km, og diameteren til sola er ca. 1 400 000 km. Rekn ut forholdet mellom a) avstanden frå jorda til sola og avstanden frå jorda til månen b) diameteren til månen og diameteren til sola c) Kva har svara i a) og b) å seie for ei solformørking?
32
5
pffiffiffi Sidene i eit kvadrat er 5 cm. Rekn ut arealet av kvadratet. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi Rekn ut 256.
6
Vi veit at 2,5 106 = 2 500 000. Men kva er 2,5 10--6 ?
7
a) Korleis held dette mønsteret fram?
Tal og talforståing
4
1 1 1 1 1
1 2
3 4
1 3
6
1 4
1
b) Kva kjenneteiknar tala du finn?
8
Teikn av og plasser tala 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonnar og boksar (2 3Þ inneheld desse tala. Same tal kan ikkje opptre to gonger i ei rad, ein kolonne eller ein boks.
4 5
3 1 1 4
2 5
2
1 6 3
Sudoku
33
Tal og talforståing
Oppsummering Potensar Når vi multipliserer tal som er like store, kan vi skrive dei som ein potens. 5 5 5 5 5 5 = 56 x x x = x3 Når vi multipliserer potensar som har same grunntal, blir svaret ein potens med det same grunntalet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentane i dei potensane vi multipliserer. 23 24 = 23 + 4 = 27 x3 x2 = x3 + 2 = x5 Når vi dividerer potensar som har same grunntal, blir svaret ein potens med det same grunntalet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i teljaren minus eksponenten i nemnaren. 56 = 56 -- 2 = 54 52 x 6 : x 2 = x 6 -- 2 = x 4
Tal på standardform Tal kan skrivast på vanleg form eller på standardform. Vanleg form: 450 000 000 Standardform: 4,5 108
Kvadrattal Dersom x er eit heilt tal, kallar vi x 2 eit kvadrattal. 5 5 = 52 = 25 25 er eit kvadrattal.
Kvadratrot Kvadratrota av eit tal x er det positive talet som multiplisert med seg sjølv gir talet x. pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25
34
Å leggje til eit negativt tal er det same som å trekkje frå det tilsvarande positive talet. 10 + ð--7Þ = 10 -- 7 = 3
Tal og talforståing
Rekning med forteiknstal
Å trekkje frå eit negativt tal er det same som å leggje til det tilsvarande positive talet. 10 -- ð--7Þ = 10 + 7 = 17 Når vi multipliserer eit positivt tal og eit negativt tal, blir svaret eit negativt tal. 25 ð--5Þ = --125 Når vi dividerer eit positivt tal med eit negativt tal, blir svaret eit negativt tal. 25 : ð--5Þ ¼ --5 Når vi multipliserer to negative tal, blir svaret eit positivt tal. --25 ð--5Þ = 125 Når vi dividerer eit negativt tal med eit negativt tal, blir svaret eit positivt tal. --25 : ð--5Þ = 5
Forhold Forholdet mellom to tal finn vi ved å dividere tala med kvarandre. Forholdet mellom 5 og 25 er 5 : 25 = 1 : 5
Trekanttal Vi får trekanttal ved å summere naturlege tal fortløpande frå 1 og oppover. 1+2=3 1+2+3=6
3 er eit trekanttal 6 er eit trekanttal
35
2xei + xei + 5 = 3xei + 5
2x + x + 5 = 3x + 5
2Algebra
Det var arabarane som først begynte å rekne med bokstavar. Dei bruka ordet «sai» når dei rekna med ukjende tal. I middelalderen blei mange bøker omsette frå arabisk til spansk av spanske munkar. Dei omsette ordet «sai» med «xei», og etter kvar gjekk ein over til å bruke berre den første bokstaven i ordet «xei», nemleg x, når ein rekna med ukjende tal. Derfor er det vanleg å bruke bokstaven x når vi reknar med ukjende tal i dag.
Mål I dette kapittelet skal du få lære om . . . . .
enkle algebraiske uttrykk rekning med parentesar likningar med ein ukjend løysing av ulikskapar praktiske problem med tal og reknemetodar
Han brukar x i staden for den ukjende!
Algebra
Bokstavuttrykk Hm, det blir 2x + 7y. Eg vil gjerne ha to x-ar og sju y-ar.
Kva kallar vi eit rekneuttrykk som inneheld bokstavar? Taluttrykk inneheld berre tal. Uttrykk som inneheld bokstavar, kallar vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstavane står då i staden for tal. Kvar bokstav kallar vi ein variabel. Ein variabel er noko som varierer, det betyr at han kan ha forskjellig verdi. 2 5 + 7 10 er eit taluttrykk. 2x + 7y
er eit bokstavuttrykk.
Eksempel 2:1
Familien til Hanna skal på bilferie. Dei skal køyre y kilometer. Lag eit bokstavuttrykk som viser utgiftene dersom dei må rekne med 4 kr per kilometer. Løysing Utgiftene i kroner blir: 4y
38
2.1
Forklar forskjellen på taluttrykk og bokstavuttrykk.
2.2
Kva for nokre av rekneuttrykka er taluttrykk, og kva for nokre er bokstavuttrykk? A 235 -- 34 B 3x 5 C 15 -- y D 2ð5 + 4Þ
2.3
I ein kiosk kostar ein brus 15 kr og eit skulebrød 19 kr. Sara handlar 3 flasker brus og 2 skulebrød. Kva for eit taluttrykk viser kor mykje Sara må betale? A 15 + 3 + 19 + 2 C 15 3 19 2 B 15 3 + 19 + 2 D 15 3 + 19 2
2.4
Skriv eit bokstavuttrykk som viser a) x multiplisert med 3 b) summen av 2x og 3y c) differansen mellom 2x og 3
2.5
Lotte kjøper smågodt til 99 kr per kg. Lag eit bokstavuttrykk som viser kor mykje Lotte må betale for x kg.
2.6
Sara les n blad kvar veke. Kva for eit av desse rekneuttrykka viser kor mange blad Sara les på 6 veker? A 6 n B 6+n C n -- 6 D n + n 6
Algebra
Oppgåver
39
Algebra
2.7
Herman syklar 2 km kvar veg til skulen. Han syklar i x dagar. Kva står bokstavuttrykket 4x for?
2.8
Lag eit bokstavuttrykk som viser kva som finst i sirkelen. x
x z
x
z
x y
z x
2.9
x
y
y
z z
Lag eit bokstavuttrykk som viser omkrinsen av figurane. a) b) c) b
2b
b
a
a
b
a b
a b
a
2.10 Lag eit bokstavuttrykk som viser kor mykje Simen må betale for x liter mjølk, y liter jus og z liter brus til saman. MJØLK
MJØLK
14,90 per liter
15,90 per liter
13,90 per liter
2.11 Martin sym to gonger i veka. Prisen for buss tur–retur symjehallen er 50 kr, og det kostar 60 kr i inngangspengar. Lag eit bokstavuttrykk som viser kor mykje Martin må betale for n veker med symjing.
40
Vi reknar ut verdien av eit bokstavuttrykk ved å setje inn verdien til variablane.
Algebra
Setje tal inn i bokstavuttrykk
2x + 7y = ?
Kva blir svaret når x = 4 og y = 2?
Dersom x = 4 og y = 2 i bokstavuttrykket 2x + 7y, set vi inn verdien til variablane og reknar ut. 2x + 7y = 2 4 + 7 2 = 8 + 14 = 22 Eksempel 2:2
Rekn ut 3a + 2b når a = 5 og b = 6
Løysing 3a + 2b = 3 5 + 2 6 = 15 + 12 = 27
Oppgåver 2.12 Set inn x = 8 og y = 7. Rekn ut. a) x + y b) 2x + 6y
?
c) 4y – 4x
d) 4x + 3y
Martin har færre enn åtte myntar i lomma. Til saman har han 60 kroner. Kva for myntar kan Martin ha i lomma?
41
Algebra
2.13 a) Lag eit bokstavuttrykk for omkrinsen av figuren. b) Rekn ut omkrinsen av figuren når 1 a = 2, b = 3 og c = 1 2 a = 4, b = 6 og c = 2 a 3 a = 8, b = 12 og c = 4
c
b
2.14 Sara er x år eldre enn Aurora, som er 13 år. a) Skriv eit bokstavuttrykk som viser kor gammal Sara er. b) Kor gammal er Sara dersom x = 4? 2.15 Rekn ut omkrinsen O av figurane når a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm, d = 4 cm, g = 4 cm og h = 3 cm. c) O = g + h + c a) O = 2a + 2b b) O = d
d
a
c
h
b
g
2.16 Set inn x = 3, y = 4 og z = 2 og rekn ut. y 4x 2x + y b) a) c) z y z
d)
2x + 2y x z
Rekning med bokstavuttrykk Vi kan rekne med variablar på same måten som vi reknar med tal. Vi veit at 2 + 2 + 2 = 3 2 6 + 6 + 6 = 3 6 På same måten er x + x + x = 3 x a + a + a = 3 a 3 a = 3a
42
Hugs! Vi sløyfar oftast gongeteiknet mellom tal og bokstavar (variabler).
4x + 2y -- 2x + 3y = 4x -- 2x + 2y + 3y = 2x + 5y
Vi ordnar bokstavledda i svaret etter alfabetet.
Algebra
Når vi har bokstavuttrykk med fleire variablar, trekkjer vi saman ledd med for eksempel x og y kvar for seg.
Regel
Når vi skal trekkje saman eit bokstavuttrykk, adderer eller subtraherer vi ledd med like variablar. Eksempel 2:3
Rekn ut. a) 7y + 3y – y b) 4a + 6b – 2a + 3b Løysing a) 7y + 3y – y = 9y b) 4a + 6b -- 2a + 3b = 4a -- 2a + 6b + 3b = 2a + 9b
Oppgåver 2.17 Rekn ut. a) x + x + x + x b) b + b + b
c) a + a + a + a d) xy + xy + xy
2.18 Rekn ut. a) 2b + 2b b) 4x + 7x c) 11a – 7a
d) 4y + 2y + 3y e) 2a + b + a + 4c -- 3b f ) 3x + y + z -- 4x + 3z
2.19 Rekn ut. a) x + y + 3x + 5y b) 5b + 2a + 4a – 2b c) 3ab – 2ab + 3ab + 3ab
d) 3a + 4b + 4a – 6b e) 2xy + 4ab + 6xy -- 8ab f ) 12ab -- 9xy -- 9ab + 3xy
43
Algebra
Potensar og bokstavuttrykk På same måten som vi kan skrive tal som potens, kan vi også gjere det med variablar. 4 4 4 = 43 x x x = x3 Vi multipliserer og dividerer potensar med same variabel på same måten som med tal. 53 54 = 53 + 4 = 57 a3 a4 = a3 + 4 = a7 76 : 74 = 76 -- 4 = 72 y 6 : y 4 = y 6 -- 4 = y 2 Eksempel 2:4
Rekn ut. d) ab ab
a) a6 a2 b) 2y 3y 3
2
e) 2x 3 + x + x
c) x 7 : x 5 Løysing a) a6 a2 = a6 + 2 = a8
d) ab ab = ðabÞ2
b) 2y 3 3y 2 = 2 3 y 3 + 2 = 6y 5
e) 2x 3 + x + x = 2x 3 + 2x
c) x 7 : x 5 = x 7 -- 5 = x 2
(ab )² = a²b ²
Oppgåver 2.20 Skriv svaret som éin potens. a) y y b) a a a a c) x x x x x x d) ab ab ab
44
2.21 Skriv svaret som éin potens. b) a2 a8 a) y 4 y 3
c) b4 b3 b2
d) x x 6 x 3
2.22 Skriv svaret som éin potens. a) a4 : a2 b) x 8 : x 4
c) y 5 : y 5
d) ð2aÞ9 : ð2aÞ5
c) 7ðabÞ2 8ab d) 3x 2x 2 4x 3
2.24 Trekk saman. a) y 4 + y 2 + y 2 b) 3x -- 2x 2 + x þ 2x 2
c) 3a + 3a2 + a -- 2a2 d) 3x + 2x 2 + 4x 3
2.25 Rekn ut. a) 2ab 6ab b) 4b : 4b
c) 5z 2 4yz 3 d) 3y x 4 3y 3 2x 5
x ¹= x¹ˉ¹ = x˚ =1 x¹
Algebra
2.23 Rekn ut. a) 3b 5b b) 3x 2 5x 3
Parentesar og bokstavuttrykk Når vi skal trekkje saman bokstavuttrykk som inneheld parentesar, løyser vi opp parentesane på denne måten: Positivt forteikn: +ð4x + 3xÞ = 4x + 3x = 7x +ð4x -- 3xÞ = 4x -- 3x = x Negativt forteikn: --ð4x + 3xÞ = --4x -- 3x = --7x --ð4x -- 3xÞ = --4x + 3x = --x Legg merke til at når vi løyser opp ein parantes, byter vi forteikn inne i parentesen om det står eit minusteikn framfor parentesen. Regel
Når vi løyser opp parentesar med plussteikn framfor, endrar vi ikkje forteikna inne i parentesen. Når vi løyser opp parentesar med minusteikn framfor, endrar vi forteiknet framfor kvart ledd inne i parentesen. Dersom det står eit tal eller bokstavuttrykk framfor parentesen, multipliserer vi dette med kvart ledd inne i parentesen. Dersom talet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi også endre forteikn. Positivt forteikn: 5ð2a + 4aÞ = 5 2a + 5 4a = 10a + 20a = 30a Negativt forteikn: --5ð2a + 4aÞ = --5 2a -- 5 4a = --10a -- 20a = --30a
45
Algebra
Regel
Vi multipliserer eit tal eller bokstavuttrykk med ein parentes ved å multiplisere med kvart ledd inne i parentesen. Dersom talet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi også endre forteikn. Eksempel 2:5
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg. a) -- ð3a -- aÞ Løysing a) --ð3a -- aÞ = --3a + a = --2a
b) 4xð2x--3Þ
c) --2að2a--3aÞ
b) 4xð2x -- 3Þ = 4x 2x -- 4x 3 = 8x 2 -- 12x
c) --2að2a -- 3aÞ = --2a 2a -- 2a ð--3aÞ = --4a2 + 6a2 = 2a2
Oppgåver
Vi skriv bokstavuttrykk før taluttrykk i svaret.
2.26 Løys opp parentesane og rekn ut. a) +ð3x + 4xÞ c) --ð4y + 4yÞ b) +ð5a -- 3aÞ d) --ð--4b -- 2bÞ
2+a =a +2
2.27 Løys opp parentesane og rekn ut. a) 2ða + bÞ c) --3ð2 + xÞ b) 4ð2x -- yÞ d) --4ða + bÞ 2.28 Løys opp parentesane og rekn ut. a) 3að2a + aÞ c) --xðx + 2Þ b) 2xð3x -- 2xÞ d) --3aða -- 3aÞ
?
Kvar rute skal innehalde summen av uttrykka i dei to rutene under. Forklar korleis du vil gå fram for å fylle ut alle rutene i algebrapyramiden.
x
–3x 2x
2.29 Løys opp parentesane og rekn ut. a) 3ð5 + 6Þ + 4ð2 -- 5Þ c) 3xð2x + 4xÞ + 2xðx + 3xÞ b) 2að3 -- 5Þ -- 3að2 + 3Þ d) --að--4 -- 5aÞ -- 3að2 + aÞ
46
Algebra
Likningar Lurar på kva x kan vere ...
Korleis løyser vi likninga 2x = 9? Vi kan løyse likningar ved å leggje til eller trekkje frå like mykje på kvar side av likskapsteiknet. Vi kan også multiplisere eller dividere alle ledda med det same talet. Når vi løyser ei likning vil vi vanlegvis at den ukjende skal stå aleine på venstre side av likskapsteiknet, men den ukjende kan også stå aleine på høgre side. Vi brukar ofte x for den ukjende i ei likning, men vi kan også bruke andre bokstavar, som for eksempel a, t eller y. Regel
Hugs at pluss, minus og er lik skil dei ulike ledda!
Vi kan løyse ei likning ved å leggje til eller trekkje frå det same talet på begge sider av likskapsteiknet. Vi kan også løyse ei likning ved å multiplisere eller dividere alle ledda med det same talet.
47
Algebra
Eksempel 2:6
Løys likningane. a) 7 + x = 12
c) 3x = 18 z d) =8 12
b) 15 = a -- 6 Løysing a) 7 + x = 12 7 + x -- 7 = 12 -- 7 x=5 b)
Trekkjer frå på begge sider
15 = a -- 6 15 + 6 = a -- 6 + 6 21 = a a = 21
c)
Legg til 6 på begge sider
Ettersom 21 = a, er også a = 21
3x = 18 3x 18 = 3 3 x=6
d)
Dividerer alle ledda med 3
z =8 12
z 12 = 8 12 12 z = 96
Multipliserer alle ledda med 12
Oppgåver 2.30 Løys likningane. a) x + 3 = 13 b) x – 5 = 17
c) 56 = x – 22
d) 11 = x + 7
2.31 Løys likningane. a) 2x = 42 b) 7x = 28
c) 3a = 15
d) 100 = 5x
2.32 Løys likningane. x x b) = 3 a) = 6 7 5
48
c) 12 =
x 2
d)
a = 10 12
a) 9 = 3 -- x
b) 2x + x = 12
c)
3x =6 2
d) 3x =
3 2
Algebra
2.33 Løys likningane.
Addere og subtrahere med x Vi kan leggje til og trekkje frå same tal eller bokstavuttrykk på begge sider av likskapsteiknet i ei likning. Vi løyser likninga 2x = 9 + x slik: 2x = 9 + x 2x -- x = 9 + x -- x x=9
Trekkjer frå x på begge sider
Eksempel 2:7
Løys likningane. a) 4x = 3x + 9 b) x = 10 -- 4x Løysing a) 4x = 3x + 9 4x -- 3x = 3x + 9 -- 3x
Trekkjer frå 3x på begge sider
1x = 9 x=9 b)
x = 10 -- 4x x + 4x = 10 -- 4x + 4x 5x = 10 5x 10 = 5 5 x=2
Legg til 4x på begge sider
Dividerer alle ledda med 5
Hugs! Likninga må alltid balansere!
49
Algebra
Oppgåver 2.34 Løys likningane. a) 2x = 9 + x b) 5x = 15 + 2x c) 3x = 12 – x 2.35 Løys likningane. a) 2x – 4 = 11 – 3x b) 7x + 6 = 12 + 3x
?
d) x – 8 = –3x
c) 8 + 6x = 3x + 20 d) –7x – 6 = –6x – 5
Martin, Simen og Herman sel pizzabitar på skulefesten. Martin sel 20 fleire bitar enn Simen, og Simen sel 40 færre bitar enn Herman. Kor mange pizzabitar kan dei ha selt?
2.36 Løys likningane. a) 4ðx -- 3Þ = 8 b) xð2 + 3Þ = 10
c) 3ð2 + xÞ = 4ðx -- 3Þ d) 2ðx + 5Þ -- 3ðx -- 2Þ = 4x -- 4
Multiplisere med x På same måte som vi kan multiplisere alle ledda i ei likning med tal, kan vi også multiplisere alle ledda med ein variabel (bokstav). For å løyse likninga 2 =
4 må vi «fjerne» x
4 x i nemnaren i brøken . Det gjer vi ved x å multiplisere alle ledda med x. 2= 2 x =
4 x 4 x x
2x 4 = 2 2 x=2
50
Multipliserer alle ledda med x
Dividerer alle ledda med 2
Hugs! Vi skil ledda frå kvarandre med + teikn og – teikn.
Algebra
Dersom likninga består av fleire ledd, må vi hugse på å multiplisere eller dividere alle ledda med det same talet eller det same bokstavuttrykket.
3+ x 3 =9–x
Regel
Vi kan løyse ei likning ved å addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med det same talet eller bokstavuttrykket på begge sider av likskapsteiknet. Eksempel 2:8
Løys likningane. 9 a) = 3 x
b)
4x =8+x 3
Løysing a) 9 =3 x 9 x = 3 x x
Multipliserer alle ledda med x
9 3x = 3 3
Dividerer alle ledda med 3
3=x x=3 b)
4x =8+x 3 4x 3 = 8 3 + x 3 3 4x = 24 + 3x 4x -- 3x = 24 + 3x -- 3x
Multipliserer alle ledda med 3
Trekkjer frå 3x på begge sider
1x = 24 x = 24
51
Algebra
Oppgåver 2.37 Løys likningane. x 2 b) = 4 a) = 4 2 x 2.38 Løys likningane. x 15 b) = 100 =3 a) 5 x 2.39 Løys likningane. 4 3 b) + 4 = 2 a) 6 + = 9 x x
c) 6 =
3 x
d)
4x =8 2
c) 4 =
24 2x
d)
5x = 25 2
c) 3 +
x x x = 9 -- x d) + x = + 3 3 4 2
Kvadratiske likningar Hm, denne likninga har to løysningar ...
x ² = 16
Likningar av typen x 2 = 16 kallar vi kvadratiske likningar. Ettersom både 42 og ð--4Þ2 er lik 16, så vil både x = 4 og x = –4 vere løysinga på likninga x 2 = 16: Det vil altså seie at x = 4 og x = –4 er løysinga på likninga x 2 = 16: Regel
Kvadratiske likningar har alltid to løysingar.
52
Løys likningane. a) x 2 = 25 Løysing a) x 2 = 25 pffiffiffiffiffi x = 25 eller x=5
eller
b) x 2 + 5 = 55
Algebra
Eksempel 2:9
pffiffiffiffiffi x = -- 25 x = --5
x 2 + 5 = 55
b)
x 2 + 5 -- 5 = 55 -- 5
Trekkjer frå 5 på begge sider
2
x = 50 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = 50 eller x = -- 50 x 7,07 eller x --7,07
Oppgåver 2.40 Løys likningane. c) x 2 = 36 a) x 2 = 16 b) x 2 = 4 d) x 2 = 64
For å finne kvadratrota av eit tal brukar eg som regel kalkulatoren!
2.41 Løys likningane. a) x 2 = 62 c) x 2 = 121 b) x 2 = 9,5 d) x 2 = 30,25 2.42 Løys likningane. a) x 2 + 4 = 40 c) x 2 + 17 = 66 b) x 2 -- 5 = 76 d) 78 = x 2 -- 67 2.43 Løys likningane. a) 2x 2 = 50 b) 3x 2 -- 5 = 28
?
c) 4x 2 + 3 = 9 d) 5x 2 -- 7 = 3x 2 + 11
I eit teikneprogram blir arealet av eit kvadratisk bilete halvert to gonger. Kva vil då ha skjedd med lengda på sidene til biletet?
53
Algebra
Å setje prøve på likningar Vi kan setje prøve på ei likning ved å undersøkje om den venstre og den høgre sida av likninga har same verdi. Vi set då inn verdien for x og reknar ut den venstre og den høgre sida av likninga kvar for seg.
Eg trur svaret blir 6! Eg undersøkjer ved å setje prøve! Venstre side:
Høgre side:
5x 3
4+x
5x =4+x 3
5 6 3 30 3 10
4+ 6 10
Verdien av den venstre sida av likskapsteiknet er lik verdien av den høgre sida. x = 6 er derfor ei rett løysing.
Oppgåver 2.44 Kva for ei av likningane gir x = 6 til svar? A 45 = 2x B 3x = 18 C 21 = 4x 2.45 Løys likningane og set prøve på svaret. a) 7x = 42 b) 5x = 50 c) 64 = 4x 2
d) x 2 + 4 = 125
2.46 Løys likningane og set prøve på svaret. x a) 2x – 3 = x c) = 7 6 b) 2 -- 3x = 8 -- 5x d) 2x 2 -- 5 = x 2 + 31 2.47 Løys likningane og set prøve på svaret. x 7x a) + 5 = 9 -- 3x b) + x = 30 2 3
54
c) 3x 2 + 8 = 2x 2 + 152
Vi kan løyse mange ulike problem ved hjelp av likningar. Somme gonger kan det vere lurt å lage ein hjelpefigur.
Omkrinsen av den likebeinte trekanten er 30 cm.
Algebra
Problemløysing og likningar
Kor lange er sidene?
2x
2x
x
I den likebeinte trekanten på tavla er dei lengste sidene dobbelt så lange som den korte. Vi kallar den korte sida for x. Dei lange sidene blir då 2x. Vi får likninga 2x + 2x + x = 30, der x er den korte sida. 2x + 2x + x 5x 5x 5 x
= 30 = 30 30 = 5 =6
Dei lange sidene finn vi slik: 2x = 2 6 = 12 Dei lange sidene er 12 cm, og den korte sida er 6 cm. Vi kan kontrollere svaret slik: Omkrinsen er 12 cm + 12 cm + 6 cm = 30 cm.
55
Algebra
Oppgåver 2.48 I eit rektangel er lengda dobbelt så stor som breidda. Omkrinsen av rektangelet er 42 cm. a) Kall breidda for x cm og still opp ei likning. b) Kor lange er sidene i rektangelet? 2.49 Du trekkjer 23 frå eit ukjent tal og får 71 til svar. a) Kall det ukjente talet for x, og still opp likninga. b) Løys likninga. 2.50 Hanna kjøper 5 pizzaer og 10 brus til ein klassefest. Det kostar til saman 650 kr. Kor mykje kostar ein pizza dersom brusen kostar 18 kr per flaske? Løys oppgåva ved hjelp av likning.
2.51 Hanna og Herman vil dele ein pose med 47 karamellar slik at Hanna får 11 karamellar meir enn Herman. Kor mange karamellar får dei kvar? Løys oppgåva ved hjelp av likning. 2.52 Simen har to sysken som heiter Tone og Espen. Espen er to år eldre enn Simen, mens Tone er dobbelt så gammal som Simen. Til saman er dei 54 år. Kor gamle er kvar av dei?
56
x
2x
Eg er 13 år og større enn deg.
Algebra
Ulikskapar
Ja, eg er berre 8 år og mindre enn deg.
Korleis kan vi lage eit uttrykk som viser aldersforskjellen? Vi brukar symbola < (mindre enn) og > (større enn) for å vise ulikskapar. Vi skriv 13 > 8
13 er større enn 8
8 < 13
8 er mindre enn 13
Vi kan leggje til eller trekkje frå like mykje på kvar side i ein ulikskap, som for eksempel: 13 > 8 13 + 3 > 8 + 3 16 > 11
Legg til 3 på begge sider
16 > 11 16 -- 3 > 11 -- 3
Trekkjer frå 3 på begge sider
13 > 8
57
Algebra
Eksempel 2:10
Løys ulikskapen. x +4<8 Løysing x +4<8 x + 4 -- 4 < 8 -- 4
Trekkjer frå 4 på begge sider
x<4
Oppgåver 2.53 Løys ulikskapane. a) x + 3 < 9 b) x + 7 < 12
c) x -- 5 < 5
d) x + 3 > 11
2.54 Løys ulikskapane. a) x + 1,5 < 6,5 b) x + 3,5 > 6
c) --2,5 + x < 4
d) x + 11 > 3
2.55 Løys ulikskapane. a) 2x + 2 < x + 8 b) 3x + 5,5 > 2x + 6,5
c) --2,5 -- 5x < 3,5 -- 6x d) 5x -- 1,5 > 3x + 3,5
Vi kallar uttrykket for ein ulikskap.
6> 3
? 58
Figurane er laga av pinnar. Finn eit uttrykk for neste figur i mønsteret.
1
Kva er forskjellen på eit taluttrykk og eit bokstavuttrykk?
2
a) Lag eit bokstavuttrykk som viser omkrinsen av figuren.
Algebra
Prøv deg sjølv
b a b
a c c
b) Hanna kjøper kjøttdeig til 69 kr/kg. Lag eit bokstavuttrykk som viser kor mykje Hanna må betale for x kg. 3
Skriv så enkelt som mogleg. a) z + z + z + z b) 6a + 5a
c) 2r + 4r – r d) 7y + 2x – 3x + y
4
Set inn x = 3 og y = 5 og rekn ut. a) 2x + 3y c) 3x + 2y b) x + y d) x 2y
5
Skriv som potens. a) a a a b) x x x x x
c) z z d) 2b 2b 2b 2b
Rekn ut. a) x 3 + x 3
b) a4 + a4
c) 2x 5 + 2x 5
d) 2y 2 + y 3
Rekn ut. a) a4 a3
b) x 3 x 3
c) x 7 : x 2
d) 3a3 2a4
6
7
8
Løys opp parentesane og rekn ut. a) 3ðx -- 5Þ c) --ð4x + 3xÞ b) 3ð4a + 3aÞ d) --ð2x -- 5xÞ
9
Løys likningane. a) 42 = 13 + x b) a – 9 = 0
c) x – 12 = 12 d) 22 + 2 = 14 + x
59
Algebra
10
Løys likningane. a) 2x = 16
11
12
Løys likningane. 3 a) 1 = x b) 4x -- 2 = 3x + 4
c)
x =4 4
d)
3x = 15 2
c) --x + 2 = 3x -- 8 x d) 3x = + 15 2
Løys likningane. a) x 2 = 49 b) x 2 = 64
60
b) 35 = 5x
8 x 2 d) 3x + 3 = x 2 + 27
c) 2x =
13
Set prøve og vis kva for nokre av likningane som har løysinga x = 4. 4 A 6x = 24 B x 2 + 2 = 18 C =2 x
14
Frå vasskranen til badekaret kjem det 20 liter vatn på eitt minutt. Kor lang tid vil du bruke på å fylle heile badekaret dersom det rommar 200 liter? Still opp ei likning og finn svaret.
15
Løys ulikskapane. a) 9 + x > 10 b) x -- 50 < 145
c) x -- 8 > 2 d) x + 60 > 200
1
Algebra
Noko å lure på Matematikkgeniet Carl Friedrich Gauss (1777–1855) fann i ung alder ein formel for å summere dei hundre første naturlege tala. Summen blir 5050, men kva er formelen?
Kva blir summen av dei ti første naturlege tala?
Carl Friedrich Gauss
2
Sara har like mange 10-kronestykke som Martin har 5-kronestykke. 10-kronestykka til Sara er verde 75 kr meir enn 5-kronestykka til Martin. Kor mange kroner har dei til saman?
3
Ein blom med potte kostar 260 kr. Blomen kostar 190 kr meir enn potta. Kor mykje kostar blomen, og kor mykje kostar potta? Set opp ei likning og finn svaret.
61
Algebra
Gull- og sølvbarre
4
Ein gullbarre veg 4,5 kg meir enn ein sølvbarre. Seks gullbarrar og to sølvbarrar veg like mykje som tre gullbarrar og seks sølvbarrar. Kor mykje veg éin gullbarre, og kor mykje veg éin sølvbarre?
5
Her ser du ei vekt som er i balanse. Kva for tal skal stå i staden for x og y?
x y 2kg
62
Algebra
Oppsummering Bokstavuttrykk Rekneuttrykk som inneheld bokstavar, kallar vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven står då i staden for kva tal som helst. Bokstaven kallar vi ein variabel. A = g h O = 2a + 2b
Setje inn tal i bokstavuttrykk Vi finn verdien av eit bokstavuttrykk ved å setje inn tal for variablane og rekne ut uttrykket som eit taluttrykk. Dersom vi set a = 4 og b = 6 inn i bokstavuttrykket 2a + 2b, får vi: 2a + 2b = 2 4 + 2 6 = 8 + 12 = 20
Rekning med bokstavuttrykk Når vi reknar med bokstavuttrykk, kan vi berre trekkje saman ledd som har den same variabelen. Dersom vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med kvarandre, multipliserer eller dividerer vi tal med tal og bokstavledd med bokstavledd. 5a + 3b + 2a -- 2b = 7a + b 3x 5y = 15xy 3a2 2a3 = 6a5 x7 : x3 = x4
Bokstavuttrykk og parentesar Når vi løyser opp ein parentes med plussteikn framfor, endrar vi ikkje forteikna inne i parentesen. Vi løyser opp ein parentes med minusteikn framfor ved å endre forteikna på alle ledda inne i parentesen. 4x + ð2x + 3Þ = 4x + 2x + 3 = 6x + 3 6x -- ð3x -- yÞ = 6x -- 3x + y = 3x + y
63
Algebra
Dersom det står eit tal eller eit bokstavuttrykk framfor parentesen, multipliserer vi talet eller bokstavuttrykket med alle ledda inne i parentesen. Dersom talet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi byte forteikn på alle ledda inne i parentesen. 2xð5 + 7Þ = 2x 5 + 2x 7 = 10x + 14x = 24x --2xð5 -- 7Þ = --2x 5 -- 2x ð--7Þ = --10x + 14x = 4x
Likningar Vi kan leggje til eller trekkje frå det same talet eller det same bokstavuttrykket på begge sider av likskapsteiknet i ei likning. Vi kan også multiplisere eller dividere alle ledda i ei likning med det same talet eller det same bokstavuttrykket. 6= 6 x = 6x 6x -- 4x 2x 2 x
= = = =
4 +4 x 4 x + 4 x x 4 + 4x 4 + 4x -- 4x 4 2 2
Likningar av typen x 2 = 25 kallar vi kvadratiske likningar. Kvadratiske likningar har alltid to løysingar. x 2 = 25 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = 25 eller x = -- 25 x=5
64
eller x = --5
Vi set prøve på ei likning ved å setje inn verdien for den ukjende og undersøkje om den venstre og den høgre sida av likskapsteiknet får same verdi.
Algebra
Å setje prøve på likningar
3x + 4 = 8 + 2x 3x -- 2x = 8 -- 4 x=4 Prøve: Venstre side:
Høgre side:
3x + 4 3 4 + 4 12 + 4 16
8 + 2x 8 + 2 4 8+8 16
Verdien av venstre side er lik verdien av høgre side. x = 4 er derfor rett løysing.
Ulikskapar Vi løyser ulikskapar ved å leggje til eller trekkje frå det same talet på begge sider av ulikskapsteiknet. Symbolet < betyr mindre enn, og symbolet > betyr større enn. x + 4 < 12 x + 4 -- 4 < 12 -- 4 x<8 x er mindre enn 8.
65