Faktor
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen
8
Grunnbok
Matematikk for ungdomstrinnet
Bokm책l
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner
Faktor
8 Grunnbok Bokmål
Dette er Faktor 8 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som skal følge deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet:
Faktor 8
Hei til deg som skal bruke Faktor!
Lotte Hanna Herman Sara Simen Martin
Hvert kapittel i grunnboka består av fire deler:
Noen oppgaver er merket med disse symbolene:
Lærestoff og oppgaver
Kalkulator
Prøv deg selv
Finn ut
Noe å lure på Oppsummering
?
Frioppgave Digitale verktøy Utfordrende oppgave
Bakerst i boka finner du en liten manual for bruk av kalkulator, regneark og GeoGebra. I oppgaveboka finner du øvingsoppgaver i tre vanskelighetsgrader til hvert kapittel. Alle kapitler har også et oppgavesett med repetisjonsoppgaver. Kategori 1 Litt av hvert
Kategori 2 Kategori 3 Øvingsoppgaver for digitale verktøy
Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennende å lære! Vi har lagd en bok som vil hjelpe deg med å nå målene for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet! Hilsen forfatterne Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen
3
Innhold
Innhold 1 Tall og tallforståelse ................. 7 Naturlige tall .................................... 8 Hoderegning.................................. 17 Desimaltall ..................................... 19 Overslagsregning........................... 28 Negative tall .................................. 31 Potenser......................................... 35 Regnerekkefølge ............................ 37 Prøv deg selv .................................. 41 Noe å lure på ................................. 42 Oppsummering ............................... 44
2 Brøk .......................................... 47 Hva er brøk? .................................. 48 Utviding og forkorting av brøker.. 53 Addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner................... 58 Addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner ................ 61 Uekte brøk og blandet tall............ 66 Brøk og desimaltall........................ 70 Brøk og multiplikasjon .................. 74 Brøk og divisjon ............................ 77 Prøv deg selv .................................. 79 Noe å lure på ................................. 81 Oppsummering ............................... 82
3 Prosent ..................................... 85 Prosentbegrepet ............................ 86 Prosent som brøk .......................... 90 Prosent og desimaltall................... 94 Prosent av et tall ........................... 96 Å finne prosenten ......................... 99 Prøv deg selv ................................ 102 Noe å lure på ............................... 104 Oppsummering ............................. 105
4
4 Geometri................................. 107 Linjer og punkter......................... 108 Vinkler .......................................... 110 Trekanter...................................... 114 Firkanter....................................... 118 Omkrets ....................................... 122 Tegning og konstruksjon av normaler ................................. 128 Konstruksjon av vinkler ............... 134 Konstruksjon av trekanter ........... 141 Prøv deg selv ................................ 144 Noe å lure på ............................... 147 Oppsummering ............................. 149
5 Statistikk ................................ 153 Frekvens....................................... 154 Stolpediagram ............................. 157 Ulike sentralmål og variasjonsbredde ......................... 161 Linjediagram ................................ 168 Gjennomføre en undersøkelse.... 172 Prøv deg selv ................................ 173 Noe å lure på ............................... 176 Oppsummering ............................. 178
6 Tall og algebra ...................... 181 Talluttrykk .................................... 182 Uttrykk med variabler.................. 185 Sette tall inn i uttrykk ................. 188 Regning med bokstavuttrykk ...... 190 Likninger ...................................... 193 Prøv deg selv ................................ 200 Noe å lure på ............................... 202 Oppsummering ............................. 204
Innhold
7 Måling og enheter................. 207 Lengde......................................... 208 Målestokk..................................... 211 Areal............................................. 216 Volum........................................... 220 Masse ........................................... 226 Tid ................................................ 229 Vei, fart, tid .................................. 233 Prøv deg selv ................................ 237 Noe å lure på ............................... 240 Oppsummering ............................. 242 Manual for digitale verktøy ...... 244 Kalkulatoren................................. 245 Regneark ...................................... 248 GeoGebra..................................... 252 Fasit ............................................. 260 Stikkord ....................................... 283
5
Jippi!
Utrolig! Han bruker et symbol for ingenting! Hadde jeg bare visst!
1
Tall og tallforståelse
Ca. 600 år før vanlig tidsregning hendte det noe rart i India. En kjøpmann holdt på med dagens regnskap da han oppdaget noe lurt. Ved hjelp av sifferet 0 og et plassverdisystem kunne han skrive store tall på en enkel måte. Titallssystemet vi bruker i dag, bygger på denne oppdagelsen.
Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . . . . .
titallssystemet med heltall og desimaltall regning med potenser primtall og sammensatte tall de fire regningsartene rekkefølgen på regneoperasjoner avrunding av hele tall og desimaltall sortering av tall
Jeg forstår. Ingen tiere i 102 ...
Tall og tallforståelse
Naturlige tall Ja, vi har et plassverdisystem.
555
Kan like siffer ha ulik verdi?
Hva mener vi med et plassverdisystem?
De første tallene vi lærer om, er naturlige tall. Det er de hele tallene fra og med 1 og oppover. 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Vi deler de naturlige tallene opp i partall og oddetall. Partall: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Oddetall: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... Regel
Hvis et tall er delelig med 2, er det et partall. Hvis tallet ikke er delelig med 2, er det et oddetall. Tallsystemet vårt er bygd opp slik at vi kan skrive alle tall ved hjelp av disse ti sifrene: 0
1
2
3
4
5
6
Det er derfor tallsystemet vårt heter titallssystemet.
8
7
8
9
Regel
Jo flere siffer det er i et naturlig tall, desto større er tallet. Eksempel 1:1
Tall og tallforståelse
Tallet 7 er skrevet med ett siffer. Da er 7 et ensifret tall. Tallet 1234 er skrevet med fire siffer. Da er 1234 et firesifret tall.
Hvilket er det største tallet av 1001 og 999? Løsning 1001 består av fire siffer. 999 består av tre siffer. 1001 er derfor større enn 999. Oppgaver 1.1
1.2
1.3
Skriv et tall som er a) tresifret b) femsifret
c) ensifret
Hvor mange siffer inneholder tallene? a) 15 b) 105 c) 8 Skriv tallene ved hjelp av siffer. a) Femtisju b) Ett hundre og tjue fem
d) sekssifret
d) 1001
c) Fire hundre og nitti d) Nitten tusen og fire
1.4
Skriv tallene etter størrelse. Start med det minste tallet. a) 14 3 4 21 17 71 8 b) 111 99 101 909 1111 c ) 7320 7230 7032 7023
1.5
Skriv tallet som er a) 3 større enn 98 b) 37 mindre enn 136 c) 300 større enn 701 d) 2 mindre enn 10 000
1.6
Bruk sifrene 5, 7, 1 og 9 til å skrive et tall som er nærmest mulig a) 10 000 b) 7000 c) 1000
1111 er større enn 999!
9
Tall og tallforståelse
1.7
Skriv det største og det minste tallet som det er mulig å skrive ved hjelp av disse sifrene: 6
8
1
1
7
Plassverdi og utvidet form Den plassen et siffer har i et tall, er avgjørende for hvilken verdi sifferet har.
5 9 4 6 TUSENER
HUNDRERE
TIERE
ENERE
Vi sier at sifferet 5 har plassverdi tusen, sifferet 9 plassverdi hundre, sifferet 4 plassverdi ti og sifferet 6 plassverdi en. Vi kan også se hvordan tallene er satt sammen ved å skrive dem på utvidet form. 254 = 200 + 50 + 4 = 2 100 + 5 10 + 4 1 Utvidet form
Vi leser tallet 254 slik: to hundre og femtifire Avstanden fra jorda til månen er ca. 384 000 km. Dette tallet leser vi «tre hundre og åttifire tusen». 384 000 = 3 100 000 + 8 10 000 + 4 1000 Jordoppgang tatt fra Apollo 8 den 24. desember 1968.
10
Hundre tusener
Ti tusener
Tusener
Hundrere
Tiere
Enere
3
8
4
0
0
0
Eksempel 1:2
Tall og tallforståelse
Hvis vi skriver sifrene inn i en tabell, ser vi hva de betyr:
Skriv 4097 på utvidet form. Løsning 4097 = 4000 + 90 + 7 = 4 1000 + 0 100 + 9 10 + 7 1 = 4 1000 + 9 10 + 7 1
Oppgaver 1.8
1.9
Skriv tallene med ord. a) 97 b) 347
c) 5451
d) 450 800
Hvilken plassverdi har sifferet 7 i tallene nedenfor? a) 107 b) 1709 c) 7609 d) 1 278 005
1.10 Hvilken plassverdi har sifferet 5 i tallene nedenfor? a) 25 b) 250 c) 1562 d) 225 700 1.11 Lag en tabell som vist øverst på siden og sett sifrene på riktig plass. a) 457 c) 6406 e) 59 067 b) 3659 d) 12 978 f ) 104 007 1.12 Skriv tallene på utvidet form. a) 245 c) 5064 b) 527 d) 45 489
e) 70 809 f ) 2 001 097
1.13 Skriv tallene på vanlig måte. a) 2 1000 + 3 100 + 4 10 + 5 1 b) 7 1000 + 6 10 + 5 1 c) 9 10 000 + 8 100 + 7 10 + 1 1 d) 5 10 000 + 4 1000 + 5 10
11
Tall og tallforståelse
1.14 I august 2012 landet roveren Curiosity på planeten Mars. Avstanden fra jorda til Mars er beregnet til ca. 500 millioner km. Skriv tallet 500 millioner på utvidet form.
Roveren Curiosity landet på Mars 6. august 2012.
Primtall og sammensatte tall Tallet 24 kan skrives som et produkt på flere måter: 8 3
6 4
12 2
24 1
Dette kan vi vise ved å tegne opp rektangler: 8 3 = 24
6 4 = 24
12 2 = 24
24 1 = 24
Tallet 13 derimot, kan bare skrives som et produkt på e´n måte: 13 1 = 13
24 er delelig med flere tall enn seg selv og 1. Derfor er 24 et sammensatt tall. 13 er bare delelig med seg selv og 1. Derfor er 13 et primtall.
12
Tall og tallforståelse
Regel
Et sammensatt tall er delelig med flere tall enn seg selv og 1. Et primtall er bare delelig med seg selv og 1.
2 er det eneste tallet som er både primtall og partall.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Oppgaver 1.15 Hvilke av tallene er primtall? 12 13 14
15
21
1.16 Vis hvilke tall som er sammensatte tall. 4 7 11 15 42
23
61
95
1.17 Skriv primtallene mellom 20 og 40. 1.18 De ti første primtallene er 2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
Skriv de ti neste primtallene.
?
Et rektangel består av 48 like ruter. På hvor mange ulike måter kan du tegne dette rektanglet?
13
Tall og tallforståelse
Faktorisering
Faktor faktor = produkt
Når vi faktoriserer et tall, finner vi hvilke faktorer tallet er satt sammen av. Hvis alle faktorene er primtall, kaller vi faktoriseringen for primtallsfaktorisering. 30 = 2 15 30 = 5 6 30 = 2 3 5
Alle faktorene er primtall
Vi kan dele opp tall i flere og flere faktorer, helt til alle faktorene er primtall. Dette kan vi gjøre slik med for eksempel tallene 42 og 45: 42
2
42 er delelig med 2
45
3
45 er delelig med 3
21
3
21 er delelig med 3
15
3
15 er delelig med 3
7
7
7 er delelig med 7
5
5
5 er delelig med 5
1
1
Vi kan skrive 42 og 45 som et produkt av primtallsfaktorer på denne måten: 42 = 2 3 7 |fflfflffl{zfflfflffl}
45 = 3 3 5 |fflfflffl{zfflfflffl}
Alle faktorene er primtall.
Oppgaver 1.19 Skriv tallene som produkt av primtall. a) 10 c) 12 e) 15 b) 16 d) 24 f) 14
?
14
Finn tallet! . . .
Tallet har tre primtallsfaktorer. To av faktorene er 2 og 3. Tallet har tverrsummen 6.
g) 25 h) 21
e) 30
f ) 36
1.21 Skriv tallene som produkt av primtall. a) 40 b) 50 c) 63 d) 75
e) 81
f ) 100
1.22 Hvilke av tallene er primtall? 36 51 71
101
91
Tall og tallforståelse
1.20 Skriv tallene som produkt av primtall. a) 6 b) 9 c) 20 d) 24
1.23 Skriv av og fyll inn riktige primtall i rutene: a) 15 = & & c) 28 = & & & b) 49 = & & d) 16 = & & & & 1.24 Skriv tallene fra 1 til 60 i seks kolonner. Start slik: 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 13 14 ...
6 12
a) Sett ring rundt alle primtallene. Hvor finner du primtallene? b) Finnes det partall som også er primtall?
Avrunding av hele tall Til en konsert ble det solgt 23 245 billetter. I avisen dagen etterpå sto det at det hadde vært ca. 23 000 tilskuere på konserten. Det betyr at tallet i avisen er rundet av til nærmeste tusentall. Eksempel 1:3
Rund av 23 245 til a) nærmeste titall
b) nærmeste hundretall
Løsning a) Vi runder av oppover til nærmeste titall hvis det er 5 eller flere enere. Her er det 5 enere. Avrundingen blir derfor slik: 23 245 23 250 b) Vi runder av nedover til nærmeste hundretall hvis det er 4 eller færre tiere. Her er det 4 tiere. Avrundingen blir derfor slik: 23 2 4 5 23 200 Konsert i Stockholm
15
Tall og tallforståelse
Oppgaver 1.25 Rund av til nærmeste titall. a) 86 b) 124 c) 235
d) 2468
1.26 Rund av til nærmeste hundretall. a) 178 b) 2467 c) 943
d) 12 869
1.27 Rund av til nærmeste tusentall. a) 8563 b) 976
c) 9555
d) 29 589
1.28 Her ser du en modell av solsystemet vårt. Rund av avstandene nedenfor til nærmeste millioner kilometer.
16
Sola – Mars
227 900 000 km
Sola – jorda
149 600 000 km
Sola – Venus
108 210 000 km
Sola – Merkur
57 910 000 km
Jeg regner oppover fra 38. 60 – 38
Tall og tallforståelse
Hoderegning
38 + 46
Det er flere måter å regne på.
Hvordan vil du regne ut stykkene på tavla?
Når vi regner i hodet, bruker vi ulike metoder. Her er forslag til hvordan vi kan regne ut stykkene på tavla:
38 + 46 = 30 + 40 + 8 + 6 = 70 + 14 = 84
38 + 46 = 38 + 2 + 44 = 40 + 44 = 84
60 -- 38 = 62 -- 40 = 22
Legger sammen tiere og enere hver for seg
Fyller opp til nærmeste tier
Legger like mye til hvert
60 -- 38 = 60 -- 30 -- 8 = 30 -- 8 = 22
Trekker fra tierne først
17
Tall og tallforståelse
Ledd + ledd = sum Ledd – ledd = differanse
Oppgaver 1.29 Regn ut i hodet. a) 19 + 49 b) 18 + 32 c) 153 + 106 d) 416 + 81 1.30 Regn ut i hodet. a) 48 – 22 b) 67 – 35
c) 101 – 63
d) 500 – 368
1.31 Regn ut i hodet. a) 48 + 29 b) 158 + 138
c) 451 – 147
d) 400 – 256
1.32 Under en skoletur til Danmark bodde 27 norske elever sammen med 38 danske elever. Regn ut i hodet hvor mange elever det var til sammen. 1.33 En fisker fikk 57 fisker før lunsj og 132 fisker etter lunsj. Regn ut i hodet hvor mange fisker han fikk i alt. 1.34 Regn ut i hodet. a) Sara har 178 kr. Herman har 29 kr mer enn Sara. Hvor mange kroner har Herman? b) Martin har 37 kr mer enn Lotte. Lotte har 247 kr. Hvor mange kroner har Martin? c) En gruppe elever skal på skitur. Et heiskort koster 255 kr og bussen koster 86 kr per elev. Hvor mye kommer turen på per elev? d) Den romerske hærfører og hersker Julius Cæsar ble født i år 100 før vanlig tidsregning. Han ble drept 56 år gammel. I hvilket år ble han drept?
?
18
2 vafler og 4 kopper buljong koster til sammen 78 kr. Hvor mye kan en vaffel og en buljong koste?
Tall og tallforståelse
Desimaltall Hvilket tall er størst? 0,9
0,10
Hvor mange desimaltall er det mellom 0 og 1?
Når vi skal telle, bruker vi de naturlige tallene. Men i dagliglivet får vi ofte bruk for desimaltall.
9,9
0
,90
15
59
22
Her er en tallinje fra 1 til 2:
3,5
0
Du ser dem for eksempel på prislapper i butikkene.
1
2
1,1
1,23
1,5
1,81
Det finnes uendelig mange tall mellom 1 og 2. Regel
Når vi skriver et tall som ikke er et helt tall, bruker vi desimaler. Sifrene bak desimaltegnet i et desimaltall, kaller vi desimaler.
19
Tall og tallforståelse
Desimalene har plassverdiene tideler, hundredeler, tusendeler osv. Tallet 4,156 består av 4 enere, 1 tidel, 5 hundredeler og 6 tusendeler. Hvis Lotte og Martin skal dele 75 kr, blir det 37,50 kr på hver. Dette regner vi ut slik: 75 kr : 2 = 37,50 kr Tallet 37,50 kan vi skrive på utvidet form slik: 37,50 = 3 10 + 7 1 + 5 0,1 + 0 0,01 Vi kan skrive sifrene inn i en tabell på tilsvarende måte som på side 11. Tiere
Enere
Tideler
Hundredeler
3
7,
5
0
De mest brukte plassverdiene i vårt tallsystem er: tusen – hundre – ti – en – tidel – hundredel – tusendel
Desimaltegnet skal alltid stå mellom enerne og tidelene.
6 4,3 2 5 TIERE
ENERE
TIDELER HUNDREDELER
TUSENDELER
I tabellen nedenfor ser du flere eksempler: Tall
Tusener Hundrere
30,672
Enere
Tideler
Hundredeler
Tusendeler
3
0,
6
7
2
129,56
1
2
9,
5
6
308,065
3
0
8,
0
6
5
4,
6
0
4,
6
54,6 2304,6
20
Tiere
2
3
5
1.35 Tegn en tilsvarende tabell som vist på side 20 og sett tallene inn i tabellen. a) 13,4 b) 16,31 c) 27,32 d) 20,03 e) 7312,308 1.36 Skriv et tall som er a) større enn 5 og mindre enn 6 b) større enn 7,9 og mindre enn 8 c) større enn 2,99 og mindre enn 3 d) større enn 4,97 og mindre enn 4,98 e) større enn 5,69 og mindre enn 5,70 f ) større enn 0 og mindre enn 0,001
Tall og tallforståelse
Oppgaver
1.37 Skriv av og fyll inn tallene som mangler. a) 1,0 1,5 2,0 & & & & & 5,0 b) 1,0 1,1 & & & 1,5 c) 1,95 1,96 & & 1,99 & & 1.38 Regn ut. a) 6,5 + 10,15 b) 45,7 + 10,42
c) 89,21 + 10,8 d) 45,6 -- 23,8
e) 100 -- 34,5 f ) 123,1 -- 97,8
10 10
32,4 – 16,8 = 6
1.39 Skriv tallene a) 4,52 b) 130,7 c) 4,502 d) 0,9 e) 0,02
etter størrelse. 3,96 15,75 4,052 0,10 0,019
Husk desimaltegn under hverandre!
Start med det minste tallet. 15 4,09 131 159,96 4,250 4,520 0,09 0,15 0,021 0,018
21
Tall og tallforståelse
1.40 Seks elever løp 60 m i en kroppsøvingstime. Resultatet ble: Arve 9,2 s Berit 8,7 s Cecilie 9,1 s Doris 10,0 s Espen 8,5 s Fredrik 9,0 s Sorter tallene i stigende rekkefølge. 1.41 Her ser du lengden til noen insekter: Blomsterflue 0,012 m Gresshoppe 0,020 m Tege 0,008 m Sandveps 0,018 m Sorter tallene i stigende rekkefølge. 1.42 Her ser du høyden til noen av verdens høyeste byggverk: Kheopspyramiden 146,5 m Notre Dame i Paris 141,0 m Empire State Building 381,9 m Domkirken i Ko¨ln 156,0 m Eiffeltårnet 300,5 m a) Sorter tallene i synkende rekkefølge. b) Hvor mye høyere er Eiffeltårnet enn Domkirken i Ko¨ln? Eiffeltårnet sto ferdig til verdensutstillingen i Paris i 1889.
22
0,87
0,91
0,19
a) Regn ut summen av det minste og det største tallet. b) Regn ut differansen mellom det største og det minste tallet.
Multiplikasjon og divisjon med 10
Tall og tallforståelse
1.43 Se på disse tallene: 0,9 0,12
Vi kan multiplisere et tall med 10, 100, 1000 osv. ved å flytte desimaltegnet like mange plasser til høyre som det er nuller i tallet vi multipliserer med. 4,5 10 = 45
4,35 100 = 435
0,3256 1000 = 325,6
Vi kan dividere et tall med 10, 100, 1000 osv. ved å flytte desimaltegnet like mange plasser til venstre som det er nuller i tallet vi dividerer med. 45 : 10 = 4,5
435 : 100 = 4,35
456 : 1000 = 0,456
Regel
Når vi multipliserer et tall med 10, 100, 1000 osv., flytter vi desimaltegnet like mange plasser til høyre som det er nuller i tallet vi multipliserer med. Når vi dividerer et tall med 10, 100, 1000 osv., flytter vi desimaltegnet like mange plasser til venstre som det er nuller i tallet vi dividerer med. Oppgaver 1.44 Tegn av og fyll ut tallene som mangler i tabellen. Tall 862
10
100
1000
8620
8,62
862
0,123
123
1.45 Tegn av og fyll ut tallene som mangler i tabellen. Tall
: 10
: 100
: 1000
5382 423 81
23
Tall og tallforståelse
1.46 Regn ut i hodet. a) 6,5 10 c) 10 0,52 b) 5,87 10 d) 100 4,8
e) 46,5 : 10 f ) 3,8 : 10
1.47 Skriv tallene som mangler. a) & 3,6 = 36 c) 708 = & 100 b) 4,7 & = 470 d) 75 : & = 7,5
g) 3,8 : 100 h) 0,23 : 10
e) 835 : & = 8,35 f ) 6,07 = & : 1000
1.48 10 kg hvetemel koster 73,50 kr. Hvor mye koster 1 kg hvetemel? 1.49 En skrue koster 0,15 kr. Hvor mye koster 100 skruer? 1.50 Sara kjøper 1000 skruer og betaler 120 kr. Simen kjøper 100 skruer og betaler 15 kr. Hvor mange øre mer betaler Simen per skrue enn Sara?
Regning med desimaltall Nedenfor ser du et eksempel på hvordan vi multipliserer to desimaltall med hverandre. To desimaler
1
En desimal
1
Faktor faktor = produkt
1 3, 4 2 ∙ 2, 3 4 0 2 6 2 6 8 4 3 0, 8 6 6 Tre desimaler
Regel
Når vi multipliserer to tall, er antall desimaler i svaret (produktet) lik summen av antall desimaler i faktorene.
24
3 1, 5 0 : 6 = 5, 2 5 3 0
Dividend : divisor = kvotient
1 5 1 2 3 0
Hundredeler Tideler Enere
Tall og tallforståelse
Hvis vi skal dividere 31,50 med 6, regner vi slik:
3 0 0 I eksemplet ovenfor har vi dividert med et helt tall. Hvis vi skal dividere med et desimaltall, må vi først gjøre om divisoren til et helt tall ved å multiplisere med 10, 100 eller 1000. Regel
Hvis vi skal dividere et tall med et desimaltall, må vi først multiplisere dividenden og divisoren med 10, 100 eller 1000 slik at divisoren blir et helt tall. Eksempel 1:4
Regn ut: 2,94 : 1,4 Løsning 2,94 : 1,4 = ð2,94 10Þ : ð1,4 10Þ = 29,4 : 14 Deretter utfører vi divisjonen: 29,4 : 14 = 2,1 28 14 14 0 Det vil altså si at 2,94 : 1,4 = 2,1
25
Tall og tallforståelse
Oppgaver 1.51 Regn ut og kontroller svarene med kalkulatoren. a) 2,3 4 c) 2,2 3,4 e) 0,25 16,4 b) 8,5 7 d) 8,5 6,4 f ) 0,08 0,92 1.52 Regn ut og kontroller svarene med kalkulatoren. a) 27,5 : 11 c) 1,56 : 1,2 e) 79,5 : 15 b) 24,0 : 15 d) 48,3 : 0,21 f ) 0,72 : 0,09 1.53 En pose med 5 kg poteter koster 31,50 kr. Hvor mye koster 1 kg poteter? 1.54 Et moteblad kommer ut med 13 nummer per år. Bladet koster 49,50 kr i butikken. Hvor mye koster det å kjøpe alle numrene av motebladet i ett år?
1.55 1,5 kg epler koster 30,60 kr. Hvor mye koster a) 2,5 kg epler b) 3,2 kg epler
?
Hanna, Sara og Lotte kjøper tyggegummi og pastiller. Tyggegummien koster 12 kr, og pastillene koster 16 kr. Alle kjøper det samme, og til sammen betaler de 120 kr. Hva kan de ha kjøpt?
26
c) 7,8 kg epler d) 0,9 kg epler
Når vi regner med desimaltall, får vi ikke alltid et endelig antall desimaler i svaret. Vi runder derfor av til ønsket antall desimaler. Avrunding til e´n desimal: 4,03 cm 4,0 cm 4,08 cm 4,1 cm 4,16 cm 4,2 cm 4,25 cm 4,3 cm
Tall og tallforståelse
Avrunding av desimaltall
Når desimalen etter avrundingssifferet er 5 eller større, runder vi av oppover. Avrunding til to desimaler: 2,433 cm 2,43 cm 1,245 cm 1,25 cm 0,597 cm 0,60 cm 1,995 cm 2,00 cm
Oppgaver 1.56 Rund av til en desimal. a) 2,34 b) 4,65
c) 7,86
d) 5,46
1.57 Rund av til to desimaler. a) 4,567 b) 6,367
c) 6,777
d) 2,224
1.58 Rund av til tre desimaler. a) 1,5555 b) 4,8996
c) 0,0005
d) 7,9995
1.59 Rund av til et helt tall. a) 14,49 b) 5,50
c) 9,51
d) 99,62
1.60 Rund av til to desimaler. a) 5,586 b) 5,596
c) 5,895
d) 5,995
27
Tall og tallforståelse
Overslagsregning 89,90 kr per kg
Vi har 500 kr. Har vi råd til å kjøpe hele fisken?
5,2 89,90 kr = ?
Hvordan kan vi finne ut omtrent hvor mye fisken koster? I mange tilfeller trenger vi ikke å regne ut nøyaktige svar. I dagliglivet har vi ofte mer bruk for å regne ut svar som er omtrent riktig. Slik er det for eksempel når vi gjør et overslag over hvor mye vi skal betale for varer i butikken. Ved overslagsregning runder vi av ett eller flere tall før vi regner i hodet. Lotte og Simen vil kjøpe en fisk som veier 5,2 kg. Prisen per kilogram er 89,90 kr. For å finne ut omtrent hvor mye de må betale, runder vi av 5,2 kg til 5 kg og 89,90 kr til 90 kr: 5,2 89,90 kr 5 90 kr = 450 kr De må altså betale ca. 450 kr. Nøyaktig utregning: 5,2 89,90 kr = 467,48 kr Regel
Ved multiplikasjon blir overslaget best når vi runder av det ene tallet oppover og det andre tallet nedover. Ved divisjon blir overslaget best når vi runder av begge tallene oppover, eller når vi runder av begge tallene nedover.
28
Onkel Jens kjøper 8,6 liter bensin til motorsykkelen sin. Han betaler 136,74 kr. Gjør et overslag for å finne literprisen. Løsning 136,74 kr : 8,6 150 kr : 10 = 15 kr
Tall og tallforståelse
Eksempel 1:5
Literprisen er ca. 15 kr. Nøyaktig utregning: 136,74 kr : 8,6 = 15,90 kr
Oppgaver 1.61 Gjør overslag. a) 9,2 4,3 b) 6,1 11,9
c) 19,1 12,1 d) 0,9 5,9
e) 97,5 12,3 f ) 106,9 93,7
1.62 Gjør overslag. a) 26,1 : 5,8 b) 103,2 : 11,1
c) 19,5 : 0,9 d) 41,1 : 6,7
e) 63,1 : 7,3 f ) 198,3 : 48,7
1.63 Martin kjøper 3,2 kg pølser til 48 kr per kilogram. Gjør et overslag over hvor mye Martin må betale for pølsene. 1.64 Hanna arbeider i skobutikken på lørdager. Hun tjener 469,50 kr på 6 timer. Gjør et overslag over hvor mye hun tjener per time.
29
Tall og tallforståelse
1.65 Simen kjøper disse varene i butikken: 1,8 kg skinke til 160,50 kr per kilogram 2 hg kjøttpålegg til 11,50 kr per hektogram 1,8 kg appelsiner til 16,50 kr per kilogram 2 kartonger iste til 9,30 kr per kartong a) Lag et overslag over hvor mye Simen må betale for hvert vareslag. b) Omtrent hvor mye må Simen betale for alle varene? c ) Bruk kalkulatoren til å regne ut nøyaktig hvor mye Simen må betale. 1.66 Sara og Simen er i butikken og handler inn for klassen. De kjøper disse varene: 9 pakker pølser til 47,90 kr per stk. 4 pakker lomper til 7,90 kr per stk. 2 sekker grillkull til 9,90 kr per stk. 1 flaske tennvæske til 8,90 kr a) Omtrent hvor mye må de betale for varene? b) Bruk kalkulatoren til å regne ut nøyaktig hvor mye de skal betale. 1.67 a) 3,8 kg pærer koster 81,70 kr. Omtrent hvor mye koster 2 kg pærer? b) 3 hg smågodt koster 34,50 kr. Omtrent hvor mye koster 2 hg smågodt? c) 35,0 L diesel koster 542,50 kr. Omtrent hvor mye koster 50 L diesel?
30
Tall og tallforståelse
Negative tall Nå viser termometeret -4 C. I dag tidlig var temperaturen 3 C.
Hvor mange grader har temperaturen sunket? Vi finner de negative tallene til venstre for 0 på tallinja, og kjenner dem igjen på termometeret. --4 er eksempel på et negativt tall. På tallinja blir tallene større jo lenger mot høyre vi går. –7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 >-3 -5 <-4 Oppgaver 1.68 Skriv av og sett < eller > mellom tallene. a) 3 & 7 d) --10 & 0 b) --3 &--7 e) --1000 & --1001 c) 0 &--5 f ) --1000 & --2
31
Tall og tallforståelse
?
Finn ti tall mellom –5 og –1. Hvilket av tallene du har funnet er størst, og hvilket er minst?
1.69 Skriv tallene etter størrelse. Start med det minste tallet først. a) --3 --5 0 1 --7 b) --999 --1000 --998 --1001 --1003 1.70 Hvor finner du tre uttrykk som er feil? A: --6 < -- 1 C: --6,2 > --2,8 B: --3 < -- 5 D: --10 > 0
E: --1,6 < --1,5 F: --100 > --101
1.71 Finn to eksempler fra dagliglivet der vi bruker negative tall.
Regning med negative tall En ettermiddag viste termometeret 5 C. I løpet av natta sank temperaturen åtte grader. Morgenen etter var temperaturen --3 C. Dette kan vi sette opp som et regnestykke slik: 5 -- 8 = --3 Vi kan også vise det på en tallinje: –6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
–8
På samme måte er --3 + 8 = 5 –6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
+8
32
5 -- 2
3
4 -- 2
2
3 -- 2
1
2 -- 2
0
1 -- 2
--1
0 -- 2
--2
--1 -- 2
--3
Hvor mye blir -2 - 2? Hva med -3 - 2?
Tall og tallforståelse
Se på tabellen nedenfor. Oppdager du systemet?
--2 -- 2 --3 -- 2
Lotte vil kjøpe en genser til 170 kr, men hun har bare 150 kr. Hvor mye mangler hun? Vi kan regne slik: 170 kr – 150 kr = 20 kr
Jeg mangler 20 kr.
Lotte mangler altså 20 kr. Det vil si at 150 kr – 170 kr = –20 kr
Oppgaver 1.72 Regn ut. a) 2 -- 10 b) --2 -- 3
c) --23 -- 17 d) 10 -- 25
e) --10 -- 15 f ) 100 -- 109
g) 72 -- 89 h) --58 -- 58
1.73 Regn ut. a) 20 -- 10 b) --2,5 -- 4,0
c) --7,8 + 2,9 d) 2,5 -- 4,0
e) --20 + 40 f ) --40 -- 20
g) --2,5 + 2,5 h) --1,7 -- 2,6
33
Tall og tallforståelse
1.74 Et termometer viser --8 C. Hva viser termometeret hvis temperaturen stiger a) ni grader b) tre grader c) åtte grader d) tolv grader 1.75 Mount Everest i Nepal er 8850 m høyt. Challengerdypet i Stillehavet er 11 034 m dypt. Hvor stor er forskjellen i meter?
Mount Everest ble besteget første gang i 1924 av T. Norgay og Sir E. Hillary.
1.76 Herman vil kjøpe en lommelykt til 86 kr. Han har bare 70 kr. Hvor mye mangler han? 1.77 Augustus, den første romerske keiseren, døde i år 14. Han ble 77 år gammel. Når ble han født?
34
35
Vi leser: tre i femte
Tall og tallforståelse
Potenser
Hva betyr uttrykket på tavla? Hvis vi multipliserer flere like store tall med hverandre, kan vi bruke en kortere skrivemåte: 3 3 3 3 3 = 35 Uttrykket 35 kaller vi en potens. Vi leser «tre i femte potens» eller ofte bare «tre i femte». I denne potensen er 3 grunntallet og 5 eksponenten.
Grunntall
35
Eksponent
Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv.
Oppgaver 1.78 Skriv regneuttrykkene som potenser. a) 6 6 6 c) 5 5 5 5 b) 3 3 d) 10 10 10 10 1.79 Skriv som potens. a) 4 4 4 4 4 4 b) 7 7 7 7 7
e) 2 2 2 2 2 2 f ) 12 12 12
c) 8 8 8 8 8 8 8 8 d) 23 23 23 23
35
Tall og tallforståelse
1.80 Regn ut potensene. a) 23 b) 103
c) 32 d) 28
e) 44 f ) 82
Husk dette! 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4 = 20 5
4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4 = 1024
1.81 Skriv regnestykkene ved å bruke en kortere skrivemåte, enten som potens eller som multiplikasjon. a) 4 4 4 4 4 c) 3 3 e) 7 + 7 + 7 + 7 b) 6 + 6 + 6 d) 2 2 2 f) 10 10 10 10 1.82 Skriv uttrykkene som vanlig multiplikasjon og regn ut. c) 25 e) 53 g) 104 a) 23 b) 45 d) 92 f ) 1002 h) 10002 1.83 Skriv potensene med tall. a) To i tredje b) Fem i fjerde
c) Sju i andre
1.84 Skriv potensene med tall. a) Ti i sjette b) Ni i tiende
c) Sju i sjuende d) Tolv i femtende
d) Fire i åttende
1.85 Forklar hva eksponenten forteller oss. 1.86 Skriv svaret som e´n potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. a) 3 5 5 5 c) 25 53 e) 42 + 42 g) 104 : 102 5 4 2 3 b) 6 2 f) 3 3 d) 5 5 h) 1002 -- 102
36
Kanskje det er slik: 30 + ffl3} 50 = 1650 |fflfflfflffl{zfflfflffl 30 + 3 ∙ 50
33
Tall og tallforståelse
Regnerekkefølge
50 – 40 : 4
Jeg regner slik: 30 + 3 50 |fflfflffl {zfflffl ffl} = 180 150
Hvem har regnet riktig? Når vi skal regne ut 30 + 3 50, multipliserer vi de to siste tallene før vi adderer: 30 + 3 50 = 30 + 150 = 180 På tilsvarende måte regner vi ut 50 -- 40 : 4 slik: 50 -- 40 : 4 = 50 -- 10 = 40 Regel
Når det er flere regnearter i et uttrykk, regner vi i denne rekkefølgen: 1) multiplikasjon og divisjon 2) addisjon og subtraksjon Eksempel 1:6
Regn ut: 100 -- 4 20 Løsning 100 -- 4 20 = 100 -- 80 = 20
37
Tall og tallforståelse
Hvis du bruker kalkulator, kan du multiplisere først og subtrahere til slutt: 4 20 = 80
NB! Minnetastene på kalkulatorer kan virke forskjellig. Se bak i boka.
100 -- 80 = 20 Hvis du bruker minnetastene, kan du regne slik: 100
4 20
Oppgaver 1.87 Regn ut. a) 12 + 3 50 b) 80 -- 5 7
c) 24 + 12 : 3 d) 36 -- 42 : 7
e) 20 -- 4 3 f ) 13 + 15 : 3
Slik regner jeg! 3 ∙5 + 2 ∙6 = (3 ∙ 5) + (2 ∙ 6) = 15 + 12 = 27
1.88 Regn ut. a) 3 5 + 2 6 b) 8 5 -- 4 6 1.89 Regn ut. a) 4 5 -- 5 3 + 125 : 5 b) 6 5 : 3 + 8 7
38
c) 36 : 2 -- 6 2 d) 4 17 + 12 26
e) 126 4 -- 126 : 9 f ) 120 : 4 + 120 : 5
c) 16 : 4 -- 2 + 3 8 d) 3 2 -- 4 + 6 : 2 -- 3 + 4 + 4 3 -- 2
c) 23 -- 42 2 -- 1 3 + 33 d) ð17 -- 2Þ -- 2 4 + 4 52
1.91 Regn ut. a) 54 : 6 + 33 -- 8 8 + 102 b)
36 : 6 -- 42 4 + 11 3 -- 7 7 6
c) 4 + 23 -- 5 7 --
81 + 42 9
d) 1002 -- 103 + 5 5 -- 24 : 3
Tall og tallforståelse
1.90 Regn ut. a) 2 52 -- 15 : 3 + 20 : 22 b) 75 -- 3 15 -- 42 + 15 -- 2
1.92 På en mobiltelefonregning står det at 85 ringeminutter koster 41,65 kr. Hvor mye koster 10 ringeminutter? 1.93 Berit kjøper 5 liter bensin og 1 liter olje. Bensinen koster 74,50 kr, og oljen koster 89,00 kr. Hvor mye koster 8 liter bensin og 1 liter olje? 1.94 Reisebyrået Platonreiser har dette tilbudet på en 2-ukers chartertur til Thailand: Voksne 7990 kr, barn 5890 kr. a) Hva blir prisen for 2 voksne? b) Lag et regneuttrykk som viser prisen for 2 voksne og 3 barn. c) Hva blir prisen for 2 voksne og 2 barn? Long Beach på Ko Phi Phi Don (Thailand)
39
Tall og tallforståelse
En kingfisher fanger fisk ved Lake Naivasha, Kenya.
1.95 På en reise til Kenya drar en familie på båttur. Båtturen koster 15 dollar for voksne og 8 dollar for barn. I tillegg kommer en eventuell utgift til guide på 20 dollar. a) Hvor mange dollar betaler to voksne og to barn for en båttur med guide? b) Hvor mange dollar betaler to voksne og tre barn for en båttur uten guide? 1.96 I tre matbokser er det til sammen 20 brødskiver. I den første boksen er det to flere enn i den andre boksen. I den andre boksen er det tre flere enn i den tredje boksen. Hvor mange brødskiver er det i hver av de tre matboksene? 1.97 F. Laks kjøper to typer lodd. Den ene typen koster 25 kr per lodd, og den andre typen koster 40 kr per lodd. a) Hvor mye må han betale for fem av de billigste loddene og fire av de dyreste? b) En annen gang kjøper F. Laks fire av de billigste loddene, og nå betaler han 320 kr til sammen. Hvor mange av de dyreste loddene har han kjøpt denne gangen?
?
En møbelsnekker lager krakker med 3 bein og bord med 4 bein. I løpet av en dag monterer hun totalt 35 bein. Hvor mange krakker og hvor mange bord kan hun ha lagd?
40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Hvilken plassverdi har sifferet 5 i disse tallene? a) 125 b) 152 c) 512
d) 15 807
Skriv tallene på utvidet form. a) 459 b) 1034
d) 15 000
c) 265 006
Skriv tallene som produkter av primtall. a) 12 b) 16 c) 34
d) 35
e) 91
Rund av tallene til nærmeste hele tall. a) 2,9 b) 2,5 c) 2,4
d) 0,7
e) 4,49
Hva betyr sifferet 8 i disse tallene? a) 8,23 b) 2,83 c) 2,38
d) 2,038
Regn ut i hodet. a) 4,5 10 b) 2,035 100
c) 2,54 : 100
d) 15,09 : 1000
Still opp og regn ut. a) 3,7 + 1,36 c) 4,2 1,5 b) 49,1 -- 34,54 d) 14,3 3,5
e) 34,3 : 7 f ) 12,1 : 0,16
Rund av tallene til e´n desimal. a) 4,55 b) 23,64 c) 12,849
d) 20,951
Tall og tallforståelse
Prøv deg selv
e) 99,97
Før en tur til Trolltunga kjøper Simen med seg 9 småposer med nøtter. Hver pose koster 11,50 kr. Lag et overslag som viser omtrent hva Simen må betale. Trolltunga i Odda ligger 700 m over Ringedalsvatnet.
41
Tall og tallforståelse
10
11
12
13
42
Regn ut. a) 25 -- 30 b) --30 + 45
c) --3,4 -- 2,3 d) --65 + 45
e) 6,5 -- 9,6 f ) --2,5 + 5,3
Regn ut. a) 52
b) 32
c) 23
d) 106
Regn ut. a) 4 + 5 4
b) 7 8 -- 45
c) 5 3 -- 2 5
d) 101 -- 27 : 3
Martin kjøper 4 poser potetgull, 5 flasker brus og 4 pizzaer til en fest. Brusen koster 18,50 kr per flaske, potetgullet koster 87,20 kr til sammen, og pizzaene koster 480,00 kr til sammen. Det er til sammen 8 personer på festen. a) Hvor mye koster alle varene til sammen? b) Hvor mye koster e´n pose potetgull? c) Hvor mye må hver person betale hvis de skal dele likt på utgiftene?
1
To fedre og to sønner dro på fisketur. De fikk tre fisker. Etter at de hadde delt fiskene mellom seg hadde alle fått en fisk hver. Hvordan var dette mulig?
2
Legenden forteller: Keiser Luo oppdaget for mer enn 3000 år siden en skilpadde med et merkelig mønster på skallet. Han så at mønsteret var formet som et magisk kvadrat med ni felter. Hvert felt var fylt med prikker på en bestemt måte. Hvis keiseren summerte prikkene loddrett, vannrett eller diagonalt, fikk han uansett den samme summen. Siden har det magiske kvadratet fått navnet Luo Shu etter den kinesiske keiseren.
Tall og tallforståelse
Noe å lure på
Tegn av og fyll inn tallene i det magiske kvadratet. Summen skal bli den samme vannrett, loddrett og diagonalt. a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 c) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d) 1 3 5 7 9 11 13 15 17
43
Tall og tallforstĂĽelse
Oppsummering Naturlige tall Naturlige tall er hele tall som er større enn 0. 1
2 3
4 5
6
...
Vi kan skrive naturlige tall pĂĽ utvidet form. 1234 = 1 1000 + 2 100 + 3 10 + 4 1
Partall og oddetall Partall er hele tall som er delelige med 2. 2
4 6
8 10 ...
Oddetall er hele tall som ikke er delelige med 2. 1 3 5 7 9 11 ...
Primtall og sammensatte tall Primtall er naturlige tall som bare er delelige med 1 og seg selv. 2
3 5
7 11 13
17 ...
Sammensatte tall kan skrives som et produkt av naturlige tall som er større enn 1. 42 = 2 3 7
Faktorisering NĂĽr vi faktoriserer et tall, skriver vi tallet som et produkt med flere faktorer. 24 = 3 8
24 = 4 6
24 = 2 12
Primtallsfaktorisering: 24 = 2 2 2 3
44
Alle faktorene er primtall
Et desimaltall består av et helt tall og desimaler. Tallet 64,325 har tre desimaler.
6 4,3 2 5 TIERE
ENERE
Den plassen et siffer har i et tall, er avgjørende for hvilken verdi sifferet får.
TIDELER HUNDREDELER DELER
TUSENDELER
Tall og tallforståelse
Desimaltall
De fire regneartene Addisjon Ledd + ledd = sum
Subtraksjon Ledd – ledd = differanse
Multiplikasjon Faktor . faktor = produkt
Divisjon Dividend : divisor = kvotient
Når det er flere regnearter i et uttrykk, regner vi i denne rekkefølgen: 1 multiplikasjon og divisjon 2 addisjon og subtraksjon
Negative tall Negative tall er alle tall som er mindre enn 0. –4
–3
–2
–1
Negative tall
0
1
2
3
4
Positive tall
Potenser Når vi multipliserer tall som er like store, kan vi skrive dem som en potens. 6 6 6 6 = 64
Flere regnearter på e´n gang Når det er flere regnearter i et uttrykk, regner vi i denne rekkefølgen: 1) multiplikasjon og divisjon 2) addisjon og subtraksjon 7 -- 8 6 + 24 : 3 = 7 -- 48 + 8 = --33
42 : 6 -- 3 7 + 33 = 7 -- 21 + 27 = 13
45
1 1 + =1 2 2
Sier du det!
2Brøk En brøk forteller oss hvor stor del av helheten vi har. Det kan for eksempel være et halvt brød eller et kvart kilogram kaffe.
I dagliglivet bruker vi brøk i mange praktiske situasjoner: Vi har syklet halvparten av veien. Sangen går i tre firedels takt. Kakeboksen er tre kvart full.
Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . .
regning med brøk utviding og forkorting av brøk sammenhengen mellom brøk og desimaltall uekte brøk og blandet tall
Best å lære seg addisjon med brøk med en gang!
Brøk
Hva er brøk? Nå har vi gått to tredeler av veien. Jeg har spist halvparten av nisten min. Jeg har drukket tre firedeler av kakaoen.
Når bruker vi brøk?
To tredeler, en todel og tre firedeler er alle eksempler på brøk. I figuren nedenfor er tre av fire ruter, tre firedeler, skravert. 3
3 4
Teller Brøkstrek Nevner
4
Telleren forteller hvor mange deler det er, og nevneren hvor mange deler det er i alt. Brøkstreken er det samme som et divisjonstegn. Oppgaver 2.1
48
Skriv som brøk. a) Åtte nideler b) Sju tideler
c) Seks tolvdeler d) Trettifem hundredeler
Se på pizzaene og bestem hvor mange brøkdeler som er spist. a) b) c)
2.3
Hvor stor brøkdel av hver figur er skravert? a)
b)
Brøk
2.2
c)
2.4
Omtrent hvor stor brøkdel av bygningen ligger a) under bakken b) over bakken
2.5
a) Hvor stor brøkdel av dropsene er blå?
b) Hvor stor brøkdel av sjokoladen er spist opp?
c) Omtrent hvor stor brøkdel av saften er drukket opp?
49
Brøk
2.6
a) Hvordan vil du gå fram for å finne ut omtrent hvor stor brøkdel av kroppen som er vann? b) Hvordan vil du gå fram for å finne ut omtrent hvor stor brøkdel av et isfjell som er under vann?
Større eller mindre enn en hel En brøk kan være mindre enn 1, lik 1 eller større enn 1. Mindre enn 1
Lik 1
3 4
4 4
Telleren er mindre enn nevneren.
Telleren og nevneren er like store.
Større enn 1
5 4 Telleren er større enn nevneren.
Regel
Hvis telleren er mindre enn nevneren, er brøken mindre enn 1. Hvis telleren og nevneren er like store, er brøken lik 1. Hvis telleren er større enn nevneren, er brøken større enn 1.
50
2.7
Hvilke av brøkene er større enn 1? 4 5
2.8
7 3
12 11
2 3
3 2
3 7
3 3
Hvilke av brøkene er mindre enn 1? 5 4
2.9
Brøk
Oppgaver
4 5
1 2
8 7
3 3
7 8
2 1
Hvilke av brøkene er lik 1? 4 4
1 3
11 11
3 1
7 7
7 6
6 7
Likeverdige brøker To forskjellige brøker kan ha lik verdi. Figurene nedenfor viser at samme som
1 4
1 er det 4
2 . 8
2 8
=
Vi sier at brøkene er likeverdige. Disse brøkene har også like stor verdi og er derfor likeverdige:
1 3
=
2 6
=
4 12
=
8 24
51
Brøk
Oppgaver 2.10 Se på figurene og bestem a) hvor stor brøkdel av hver figur som er skravert b) hvilke av brøkene som er likeverdige
A
C
E
B
D
F
2.11 Finn ved hjelp av tegning hvilke brøker som er likeverdige. 6 8
2 4
9 12
4 8
3 4
2.12 Finn en annen brøk som er likeverdig med 1 2 1 a) b) c) 2 3 8 2.13 Skriv av og fyll inn tallene som mangler. 2 & 4 8 3 & a) = b) = c) = 3 6 5 & 4 8
6 12
d)
2 10
d)
2 & = 6 12
2.14 Lotte og Sara går på kino. De kjøper hver sin pose popkorn. Halvveis i 4 6 filmen har Sara spist opp av popkornet og Lotte har spist opp . 6 9 Har de spist opp like mye? Forklar. Modell av Millenium Falcon fra filmen Star Wars
52
Brøk
Utviding og forkorting av brøker
1 = 4 8
Hvordan kan vi gjøre om
1 til en brøk med åttedeler? 4
1 2 1 og har lik verdi ved å utvide brøken med 2. 4 8 4 Det gjør vi ved å multiplisere telleren og nevneren med 2.
Vi kan vise at brøkene
1 1 2 2 = = 4 4 2 8
På samme måte kan vi forkorte
2 1 til . Det gjør vi ved å dividere telleren og 8 4
nevneren med 2. 2 2:2 1 = = 8 8:2 4
53
Brøk
Regel
Vi utvider en brøk ved å multiplisere telleren og nevneren med det samme tallet. Brøken forandrer ikke verdi. Vi forkorter en brøk ved å dividere telleren og nevneren med det samme tallet. Brøken forandrer ikke verdi. Eksempel 2:1
a) Utvid brøken
2 med 3. 4
b) Forkort brøken
4 med 2. 6
Løsning a)
2 2 3 6 = = 4 4 3 12
b)
4 4:2 2 = = 6 6:2 3
Oppgaver 2.15 Utvid brøkene med 5. 1 1 a) c) 3 4 b)
2 3
d)
2 4
2.16 Forkort brøkene med 2. 2 6 c) a) 4 10 b)
4 6
d)
4 12
e)
3 5
f)
5 13
e)
10 20
f)
24 6
2.17 Forkort brøkene så mye som mulig. 4 4 20 c) a) e) 4 16 30 b)
54
21 49
d)
16 24
f)
64 128
Når vi forkorter eller utvider brøker, blir ikke verdien forandret!
Årstrinn
Antall elever
8
24
9
12
10
28
Brøk
2.18 Til høyre ser du antall elever ved Granli skole. En dag er åtte elever på hvert årstrinn syke. Hvor stor brøkdel av elevene på hvert trinn er syke? Forkort svarene så mye som mulig.
2.19 Til en fotballkamp er det solgt 6000 av i alt 8000 billetter. Hvor stor brøkdel av billettene er a) solgt b) ikke solgt Forkort svarene så mye som mulig. Fredrikstad – Stabekk, NM i fotball 2013
55
Brøk
Vi sammenlikner brøker Når vi sammenlikner brøker, kan vi gjøre nevnerne like store ved å utvide e´n 2 3 eller flere av brøkene. For å finne ut hvilken brøk som er størst av og , 3 4 utvider vi brøkene slik at de får lik nevner. 2 2 4 8 = = 3 3 4 12 Vi ser at
3 2 > 4 3
3 3 3 9 = = 4 4 3 12 fordi
9 8 > 12 12
Regel
Når to brøker har like nevnere, er brøken med den største telleren størst. Eksempel 2:2
Hvilken brøk er størst av
1 2 og ? 3 5
Løsning 1 1 5 5 = = 3 3 5 15
2 2 3 6 = = 5 5 3 15
2 1 6 5 > fordi > 5 3 15 15
Oppgaver 2.20 Hvilken brøk er størst? 3 5 a) eller 5 4 b)
6 11 eller 7 14
c)
3 3 eller 6 5
d)
3 2 eller 8 6
2.21 Hvilke brøker er minst eller lik hverandre? 3 6 3 4 a) eller c) eller 4 8 4 5 b)
56
5 6 eller 6 8
d)
10 9 eller 11 10
2.23 Sara og Hanna deler en flaske brus. Hanna drikker 1 av brusen. 4 Hvem drikker minst?
Brøk
2.22 Sara, Lotte, Simen og Herman skal dele en premie slik: 1 1 4 1 og Simen . Lotte skal ha av premien, Herman , Sara 2 8 12 24 Hvem får mest?
1 av brusen og Sara 2
drikker
2 1 av en kake, og Hanna spiser . 8 6 Hvem spiser mest?
2.24 Martin spiser
2.25 Under stafetten på idrettsdagen løper Simen
2 av distansen, Herman 5
1 3 og Martin løper . 10 6 Hvem løper den lengste distansen?
løper
?
To ulike butikker selger blyanter på tilbud. Butikk A selger 20 blyanter for 21 kr, og butikk B selger 15 blyanter for 16 kr. Finn to ulike måter for å avgjøre hvilken butikk som har det beste tilbudet.
57
Brøk
Addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner Jeg har spist
1 . 5 Jeg har spist
3 . 5
Hvor stor brøkdel av kaka har Martin og Hanna spist til sammen?
Kaka er delt i fem like store stykker. Hanna har spist ett stykke og Martin tre 1 3 stykker. Vi sier at Hanna har spist av kaka og Martin . Til sammen har de 5 5 4 spist fire stykker, som er av kaka. 5
1 5
+
3 5
=
4 5
Regel
Når vi legger sammen brøker med like nevnere, legger vi sammen tellerne og beholder nevneren. Når vi subtraherer brøker med like nevnere, subtraherer vi tellerne og beholder nevneren.
58
Brøk
Eksempel 2:3
Regn ut. a)
3 1 + 7 7
Løsning 3 1 3+1 4 a) + = = 7 7 7 7
b)
3 1 -7 7
b)
3 1 3 -- 1 2 -- = = 7 7 7 7
Oppgaver 2.26 Sett opp regnestykkene som figurene viser og regn ut. a)
+
b)
+ c)
+ d)
+
–
59
Brøk
2.27 Regn ut. 2 1 a) + 4 4 b)
3 1 -7 7
c)
3 2 -8 8
e)
2 1 4 + + 9 9 9
d)
1 1 + 3 3
f)
3 4 3 + -11 11 11
2.28 Simen har en full brusflaske. Hvor mye av brusen har han igjen hvis han drikker a) to femdeler b) tre seksdeler c) fire trettendeler d) åtte ellevedeler
3 2.29 Sara har en kurv med jordbær som er full 4 1 og Herman en kurv som er full. 4 Hvor mye jordbær har de til sammen?
? 60
Begrunn hvorfor e´n av brøkene ikke passer inn. 3 7
2 4
2 6
4 11
Brøk
Addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner Hvordan gjør jeg dette? 1 1 + = 2 4
2 1 + = 5 3
Hvordan kan vi legge sammen brøker med ulike nevnere?
Hvis vi skal addere eller subtrahere brøker med ulik nevner, må vi først gjøre nevnerne like store. Det kaller vi å finne fellesnevner til brøkene. 1 1 + ser vi at den minste nevneren går opp i den største. 2 4 Vi utvider da den minste brøken slik at begge brøkene får nevneren 4. I regnestykket
1 1 1 2 1 2 1 2 + 1 3 + = + = + = = 2 4 2 2 4 4 4 4 4 2 1 + ser vi at begge nevnerne er primtall. Vi multipliserer da 5 3 nevnerne med hverandre for å finne en fellesnevner.
I regnestykket
2 1 2 3 1 5 6 5 6 + 5 11 + = + = + = = 5 3 5 3 3 5 15 15 15 15 Regel
Når vi skal addere eller subtrahere brøker med ulike nevnere, må vi først utvide eller forkorte brøkene slik at de får fellesnevner.
61
Brøk
Eksempel 2:4
Regn ut. a)
1 1 + 3 6
b)
2 1 + 7 3
Løsning a)
1 1 1 2 1 2 1 2 + 1 3 1 + = + = + = = = 3 6 3 2 6 6 6 6 6 2
b)
2 1 2 3 1 7 6 7 6 + 7 13 + = + = + = = 7 3 7 3 3 7 21 21 21 21
Oppgaver 2.30 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 2 4 5 2 1 1 4 a) + b) -c) -d) + 4 8 7 14 3 9 3 6 2.31 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 2 1 3 1 9 2 1 2 a) + b) + c) -d) -3 5 7 2 11 3 3 7 2.32 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 1 1 3 2 2 1 1 1 2 4 1 a) + + b) + -c) + -d) + -4 2 4 5 10 5 2 3 5 3 7 2 2.33 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 1 2 5 1 7 13 3 3 1 5 3 a) + + b) + -c) -- -d) -+ 4 8 8 6 3 18 14 7 7 6 12 6 2.34 Herman kjøper tre flasker brus. Hvor mye brus kjøper han når flaskene 3 1 1 inneholder liter, liter og liter? 4 2 4
62
Det er lettest å regne med en liten fellesnevner. Dette tallet kan vi finne ved hjelp av gangetabellen eller primtallsfaktorisering.
Brøk
Minste felles multiplum
Jeg vil heller faktorisere nevneren.
Jeg bruker gangetabellen. 1 2 + 6 9
Metode 1: Gangetabellen Vi setter opp gangetabellen og finner hvilke tall som begge nevnerne går opp i: 6
6 12
18 24 30
9
9
27
18
36 ...
36 45 54 ...
Vi ser at 6 og 9 går opp i 18 og 36. Vi velger det minste tallet, 18, som fellesnevner for brøkene. Metode 2: Primtallsfaktorisering Først faktoriserer vi nevnerne 6 og 9. Så multipliserer vi faktorene og finner fellesnevneren. Alle faktorene fra begge nevnerne må være med. Vi kaller fellesnevneren for minste felles multiplum. 6 = 2 3 2 · 3 · 3
= 18
9 = 3 3 Når vi har funnet fellesnevneren, regner vi ut stykket: 1 2 1 3 2 2 3 4 7 + = + = + = 6 9 6 3 9 2 18 18 18
63
Brøk
Eksempel 2:5
Regn ut
1 2 + . 5 3
Finn fellesnevner ved hjelp av gangetabellen. Løsning 5
5 10
3
3
6
15 9 12
15
Fellesnevner = 15 1 2 1 3 2 5 3 10 13 + = + = + = 5 3 5 3 3 5 15 15 15 Eksempel 2:6
Regn ut
1 5 + . 8 6
Finn fellesnevner ved hjelp av primtallsfaktorisering. Løsning 8¼2 2 2 2 · 2 · 2 · 3 = 24
6 = 2 3 Fellesnevner = 24 1 5 1 3 5 4 3 20 23 + = + = + = 8 6 8 3 6 4 24 24 24 Oppgaver 2.35 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 4 5 2 1 5 1 3 b) -c) + d) -a) + 4 6 6 9 10 6 4 14 2.36 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 3 4 2 2 8 1 13 3 a) + b) + c) -d) + 5 20 9 4 9 4 28 7
64
Brøk
2.37 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 1 1 1 2 3 3 1 5 b) + + c) + + a) + + 6 4 8 4 5 10 9 6 12 2.38 Hvor stor brøkdel er igjen på hver av flaskene? a)
b)
c)
d)
2 1 km fra skolen. Herman bor km lenger vekk enn Hanna. 5 4 Hvor lang vei har Herman til skolen?
2.39 Hanna bor
Alle hele tall kan skrives som brøk på denne måten.
3=
3 1
7=
7 1
1=
1 1
13 =
13 1
2.40 Regn ut. Skriv svaret så enkelt som mulig. 3 2 1 3 b) 3 -c) + 2 + a) + 2 4 5 4 4 2.41 Regn ut. Skriv svaret så enkelt som mulig. 3 7 2 4 1 2 b) 4 + -- 3 c) -- + 5 -a) + -- 1 4 8 16 9 3 6
65
Brøk
Uekte brøk og blandet tall Jeg har bare drukket en og halv liter.
Nå har jeg drukket tre halvlitere med vann!
Hvem har drukket mest?
Sara har drukket tre halvliterflasker med vann. Det kan vi skrive slik:
3 2
Herman har drukket en literflaske og en halvliterflaske med vann. Det kan vi skrive slik: 1
1 2
Hvis vi setter brøkene inn på en tallinje, 3 1 ser vi at er det samme som 1 . 2 2 1 2
2 2
3 2
4 2
5 2
6 2
Vi kaller 0
66
1 2
1
1
1 2
2
2
1 2
3
og 1
3 for en uekte brøk 2
1 for et blandet tall. 2
En brøk som er større enn 1, kan skrives som uekte brøk eller blandet tall. I en uekte brøk er telleren større enn nevneren. Et blandet tall består av et helt tall pluss en brøk.
Brøk
Regel
Vi skal se på sammenhengen mellom uekte brøk og blandet tall.
5 = 2
2
1 1 1 1 1 1 1 + + + + =2+ =2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 5 er altså det samme som 2 + = + + = 2 2 2 2 2 2
Vi ser at
5 1 =2 2 2
Vi bruker vanligvis en raskere måte når vi gjør om et blandet tall til en uekte brøk. Da multipliserer vi nevneren med det hele tallet og adderer telleren. 2
1 ð2 2Þ + 1 4 + 1 5 = = = 2 2 2 2
Eksempel 2:7
a) Gjør om
7 til blandet tall. 3
b) Gjør om 5
3 til uekte brøk. 4
Løsning: a)
7 3 3 1 1 1 = + + =2+ =2 3 3 3 3 3 3
b) 5
3 ð4 5Þ + 3 20 + 3 23 = = = 4 4 4 4
67
Brøk
Oppgaver 2.42 Se på tallinja nedenfor og skriv de uekte brøkene som blandete tall. 4 7 8 b) c) a) 3 3 3 3 3
4 3
1
1
1 3
5 3
6 3
2 3
2
1
7 3
8 3
1 3
2
2
2.43 Gjør om til blandet tall. 5 8 c) a) 3 3 b)
11 5
d)
12 7
2.44 Gjør om til uekte brøk. 1 3 a) 1 c) 7 3 4 b) 5
2 5
d) 9
1 2
9 3
2 3
3
e)
35 4
f)
66 7
e) 11
1 3
f ) 20
3 10
2.45 Gjør de blandete tallene om til uekte brøker og regn ut. Husk å finne fellesnevner før du adderer eller subtraherer. 1 1 2 1 1 4 a) 1 + 2 c) 3 -- 2 e) 3 -- 1 3 3 5 5 7 7 b) 2
68
1 2 +3 4 3
d) 4
3 1 -- 2 6 2
f) 2
1 3 +3 3 4
Brøk
1 3 liter kakao. På en tur drikker hun opp liter. 2 4 Hvor mye kakao har hun igjen?
2.46 Sara har 1
2.47 Regn ut. Skriv svaret som blandet tall. 4 1 3 + + 5 3 15 1 b) 5 + -- 2 3 a)
21 1 +1 -- 2 7 14 1 5 d) -- + 2 + 2 4 c)
2.48 Hvor mange kilogram bær er det i alt? kg
?
Lag en brøkoppgave som passer til figuren.
69
Brøk
Brøk og desimaltall
Hvordan kan vi skrive 3 som desimaltall? 4
3 = 4 0
0,75
Hvordan kan vi gjøre om brøk til desimaltall?
Når vi skal gjøre om en brøk til desimaltall, dividerer vi telleren med nevneren. 3 = 3 : 4 = 0,75 4
Eksempel 2:8
Gjør om til desimaltall. a)
1 2
b)
9 4
b)
9 = 9 : 4 = 2,25 4
Løsning a)
1 = 1 : 2 = 0,5 2
Hvis nevneren er 10, 100 eller 1000, flytter vi desimaltegnet like mange plasser til venstre som det er nuller i nevneren. 3 = 3 : 10 = 0,3 10
70
Brøk
Eksempel 2:9
Gjør om til desimaltall. a)
1 10
b)
33 100
c)
1234 1000
b)
33 = 0,33 100
c)
1234 = 1,234 1000
Løsning a)
1 = 0,1 10
Oppgaver 2.49 Gjør om til desimaltall. 2 3 b) a) 4 8 2.50 Gjør om til desimaltall. 1 3 b) a) 10 4 2.51 Gjør om til desimaltall. 13 15 c) a) 4 8 b)
2 8
d)
9 12
2.52 Gjør om til desimaltall. 1 12 a) c) 10 10 b)
312 100
d)
401 1000
c)
2 5
d)
6 4
c)
3 6
d)
1 5
e) 3
1 2
f) 7
4 10
e)
50 100
f)
40 1000
2.53 Forkort eller utvid brøkene slik at nevnerne blir 10, 100 eller 1000. Gjør så om til desimaltall. a)
6 50
c)
60 300
e)
12 25
b)
26 200
d)
4 5
f)
25 500
71
Brøk
Hvis divisjonen ikke går opp Hvis divisjonen ikke går opp når vi dividerer telleren med nevneren, runder vi av svaret til det antall desimaler vi ønsker. 6 = 0,857142 . . . 0; 857 7
1 = 0,333333 . . . 0,33 3
~ betyr tilnærmet lik
2 = 0,181818 . . . 0,2 11
Eksempel 2:10
Gjør om
8 til desimaltall. Rund av svaret til to desimaler. 9
Løsning 8 = 8 : 9 = 0,888 . . . 0,89 9
Oppgaver 2.54 Gjør om brøkene til desimaltall ved hjelp av kalkulator. Rund av svarene til to desimaler. 7 2 8 c) e) a) 11 3 3 b)
1 6
d) 2
8 9
f) 1
11 23
2.55 Gjør om brøkene til desimaltall. Rund av til e´n desimal.
72
a)
1 3
c)
6 7
e)
3 11
g)
5 11
b)
2 3
d)
1 9
f)
4 11
h)
1 6
Brøk
2.56 En time er det samme som 60 minutter. Ett minutt er det samme som 1 en sekstidels time . 60 Gjør om til timer. a) 20 minutter b) 15 minutter c) 50 minutter
Fra desimaltall til brøk Når vi skal gjøre om et desimaltall til brøk, ser vi på hvor mange desimaler tallet har. Hvis tallet har e´n desimal, gjør vi om til tideler. 0,2 =
2 10
3,4 = 3
4 10
Hvis tallet har to desimaler, gjør vi om til hundredeler osv. 0,23 =
23 100
3,18 = 3
18 100
Eksempel 2:11
Gjør om til brøk. a) 0,5
b) 0,06
c) 0,234
d) 2,45
Løsning a) 0,5 =
5 10
b) 0,06 =
6 100
c) 0,234 =
234 1000
d) 2,45 = 2
45 100
Oppgaver 2.57 Gjør om til brøk. Forkort svarene hvis det er mulig. a) 0,2 b) 0,05 c) 0,004 d) 0,12 e) 0,45 2.58 Hvilke av tallene er sju hundredeler? 7 0,07 700 0,7 10 2.59 Hvilke av tallene er tolv tideler? 12 1,2 0,012 100 2.60 Sorter tallene i stigende rekkefølge. 6 3 0,85 0,45 7 4
12 10
0,60
7 100
0,12
7 6
0,70
73
Brøk
Brøk og multiplikasjon
Hm. Lurer på hvor mye flaskene inneholder i alt?
Hvordan kan vi multiplisere et tall med en brøk?
Multiplikasjon er det samme som gjentatt addisjon. 2
3 3 3 3+3 6 = + = = 4 4 4 4 4
Vi ser at vi kan multiplisere det hele tallet med telleren og beholde nevneren. 2
3 2 3 6 = = 4 4 4
Vi kan skrive alle hele tall som brøk med nevner lik 1, for eksempel 3 = 4 kan regnes ut slik: 5 4 3 4 3 4 12 3 = = = 5 1 5 1 5 5
3 . 1
Vi ser derfor at 3
Regel
Vi multipliserer et helt tall med en brøk ved å multiplisere det hele tallet med telleren og beholde nevneren. Vi multipliserer to brøker med hverandre ved å multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren.
74
a) Regn ut: 3
1 4
Brøk
Eksempel 2:12
1 2 3 7
b) Regn ut:
Løsning a) 3
1 3 1 3 = = 4 4 4
b)
1 2 1 2 2 = = 3 7 3 7 21
Oppgaver 2.61 Regn ut. Forkort svaret så mye som mulig. 1 4 2 a) 5 c) 3 5 3 b)
2 4 6
2.62 Regn ut. 3 2 a) 5 8 b) 7
3 4
2.63 Regn ut. 1 a) 100 4 b)
1 300 10
e)
7 5 8 6
d)
2 2 3 4
f)
2 11 1 13 2 3
c)
2 3 8
e)
1 2 3 4 8 2
d)
7 2 8 6
f)
2 2 2 6 7
e)
2 30 3
f)
4 400 5
c) 200 d) 50
3 4
1 2
Husk at alle hele tall kan skrives som brøk med nevneren 1!
75
Brøk
Brøkdelen av et tall Hvis vi vil regne ut e´n firedel av 8, multipliserer vi 1 1 8 1 8 8 8 = = = =2 4 4 1 4 1 4
1 med 8. 4
En firedel av 8 er 2. Regel
Vi finner brøkdelen av et tall ved å multiplisere tallet med brøken. Eksempel 2:13
Hvor mye er
2 av 12? 3
Løsning 2 2 12 2 12 24 12 = = = =8 3 3 1 3 1 3 2 av 12 er 8: 3
Oppgaver 2.64 Regn ut. 3 a) av 400 4
b)
1 av 100 5
c)
5 av 60 6
3 av et pattedyr består av vann. 5 Hvor mange kilogram vann inneholder en bjørn som veier 800 kg?
2.65 Omtrent
2.66 Et tau er 100 m langt. Hvor langt vil 2 det være hvis du tar bort av tauet? 5 2 2.67 I reiret til et hubropar besto av fangsten 3 3 av smågnagere. av disse igjen var lemen. 5 Hvor stor brøkdel av fangsten var lemen?
Lemen heter Lemmus lemmus på latin.
76
d)
1 av 36 12
Brøk
Brøk og divisjon Hm, da må vi regne ut 3 1 : : 4 4 Hvordan gjør vi det? Lurer på hvor mange flasker jeg trenger ...
Hvordan kan vi dividere en brøk med en brøk?
Når vi skal dividere en brøk med en brøk, multipliserer vi den første brøken med den omvendte av den andre brøken. 3 1 3 4 12 : = = =3 4 4 4 1 4
Den omvendte brøken av 1 4 er . 4 1
Telleren og nevneren har byttet plass.
Martin trenger altså tre flasker.
Regel
Når vi dividerer en brøk med en brøk, multipliserer vi den første brøken med den omvendte av den andre brøken.
77
Brøk
Eksempel 2:14
Regn ut. a)
Løsning
2 3 : 5 4
b) 3 :
a)
1 2
2 3 2 4 2 4 8 : = = = 5 4 5 3 5 3 15
b) 3 :
1 2 6 = 3 = = 6 2 1 1
Oppgaver 2.68 Regn ut. Forkort svaret så mye som mulig. 1 1 4 4 a) : c) : 3 3 8 5 b)
2 2 : 6 4
d)
2 2 : 6 1
2.69 Regn ut. Forkort svaret så mye som mulig. 1 5 a) 4 : b) : 3 4 6 2.70 Hvor mye er halvparten av
e)
1 2 : 8 6
f)
1 3 : 16 3
c)
23 :2 56
3 ? 6
2.71 Martin, Lotte, Sara og Herman skal dele brusen på bordet likt. Hvor mye får hver?
78
1
Hvor stor del er fargelagt? Skriv svaret som brøk. a)
2
b)
Utvid brøken a) 2
3
Brøk
Prøv deg selv
Forkort
c)
3 med 7 b) 5
c) 7
6 med 24
a) 2
b) 3
c) 6
4
Avgjør ved hjelp av utviding hvilken brøk som er størst. 1 1 1 2 6 8 a) eller b) eller c) eller 2 3 3 7 7 11
5
Regn ut. 2 1 a) + 5 5
6
7
8
9
b)
5 3 -7 7
Finn fellesnevner og regn ut. 12 1 1 4 1 a) + + b) -14 2 7 14 10 Skriv som blandet tall. 22 81 a) b) 3 2 Skriv som uekte brøk. 5 1 a) 4 b) 13 6 3
c)
5 1 3 + -8 8 8
c)
3 4 1 2 + --2 5 10 20
c)
9 4
c) 2
3 4
Gjør om til desimaltall. Skriv så brøkene i stigende rekkefølge. 7 4 4 5 5 6 8 5 6 7 6 7
79
Brøk
10
11
12
13
Gjør om til brøk. Forkort svarene hvis mulig. a) 0,75 b) 0,8 c) 0,40 Regn ut. Forkort svarene hvis mulig. 5 2 2 8 1 b) 3 c) : a) 6 3 5 9 2
d) 1,20
d)
6 :3 7
3 av 150 kr? 6 3 b) Hvor mye er av 800 kg? 4 a) Hvor mye er
a) Herman skal fylle 30 liter 1 saft på 1 literflasker. 2 Hvor mange flasker trenger han?
b) Bestefaren til Sara kjøper karbonadedeig i Sverige. Han kjøper 3 1 5 kg og pakker dem i kg porsjoner når han kommer hjem. 4 2 Hvor mange hele porsjoner får han? c) I en klasse har
1 av elevene på seg 2
2 av disse har også 3 på seg svart eller blå genser.
olabukse, og
Hvor stor brøkdel av klassen har på seg olabukse og svart eller blå genser?
80
Brøk
Noe å lure på 1
Fuglehandler U.N. Dulat hadde tre barn. Da han døde, testamenterte 1 han 12 papegøyer til barna sine. Den eldste skulle få , den mellomste 2 1 1 og den yngste av papegøyene. 4 6 Hvilket problem fikk barna når de skulle dele de 12 papegøyene mellom seg?
2
Hva blir svaret på disse oppgavene? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) : : c) : : : a) : 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
Bruk kalkulatoren og divider 1, 2, 3... osv. på 11. Hva slags mønster finner du?
4
Hvis en tredel av et ukjent tall er 8, hva er da halvparten av tallet?
5
Finn ut hvor mange liter fritt ferskvann det er på jorda. En femdel av dette vannet befinner seg i Bajkalsjøen i Russland. Hvor mange liter ferskvann inneholder Bajkalsjøen?
Cappelens atlas for ungdomstrinnet
81
Brøk
Oppsummering Brøk En brøk består av teller, nevner og brøkstrek. Brøkstreken er det samme som divisjonstegn.
3 4
Teller Brøkstrek Nevner
Hvis telleren og nevneren er like store, er brøken lik 1. 5 =1 5
Uekte brøk og blandet tall 3 2
=
Uekte brøk
1
1 2
Blandet tall
Utviding og forkorting av brøk Når vi utvider en brøk, multipliserer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 1 1 3 3 = = 5 5 3 15 Når vi forkorter en brøk, dividerer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 4 4:4 1 = = 16 16 : 4 4
82
Når vi skal addere eller subtrahere to eller flere brøker som har like nevnere, legger vi sammen tellerne og beholder nevneren.
Brøk
Addisjon og subtraksjon av brøker
7 5 7 -- 5 2 -- = = 9 9 9 9 Hvis brøkene ikke har lik nevner, må vi først finne fellesnevner. 2 1 2 4 1 3 8 3 8 + 3 11 + = + = + = = 3 4 3 4 4 3 12 12 12 12
Brøk og desimaltall En brøk kan skrives som desimaltall. Da dividerer vi telleren med nevneren. 3 = 3 : 5 = 0,6 5 Alle desimaltall kan skrives som en brøk med nevneren 10, 100, 1000 osv. 0,12 =
12 100
Mange brøker kan ikke skrives som et eksakt desimaltall. Da runder vi av til ønsket antall desimaler. 2 = 0,6666 . . . 0,67 3
Brøk og multiplikasjon Vi multipliserer et helt tall med en brøk ved å multiplisere det hele tallet med telleren. 4
2 4 2 8 2 = = =2 3 3 3 3
Vi multipliserer to eller flere brøker med hverandre ved å multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren. 1 2 1 2 2 = = 3 3 3 3 9
Brøk og divisjon Vi dividerer en brøk med en brøk ved å multiplisere med den omvendte brøken. 4 1 4 2 8 : = = 9 2 9 1 9
4:
2 4 3 12 = = =6 3 1 2 2
83