Faktor
10
atiinknket Mauntgedm omstr
Faktor
for
på r e t n e n o p m o K : n n i r t . 0 1 – . 8 unnbok Oppgave
Lærerens bok
Gr
Faktor Ddigui.ntaol) (faktor.c
Fordypningshef
te
Temahefter
Regelhefte
Alternativ oppgavebok
PONENTER: TILLEGGSKOM Eksamensforberedende hefte ttsted)
ma (ne Faktora
10
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen
Faktor
Bokmål
pgavebok
Alternativ op
Alternativ oppgavebok ISBN 978-82-02-47561-1
ISBN 978-82-02-47561-1
9 788202 475611 www.cdu.no
Matematikk for ungdomstrinnet
Bokmål
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner
Faktor
10 Alternativ oppgavebok BokmĂĽl
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 1
06.07.15 11.26
© CAPPELEN DAMM AS, Oslo 2015 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Boka er laget med støtte fra Utdanningsdirektoratet. Faktor dekker alle målene i Kunnskapsløftet etter revidert plan 2013 i faget matematikk og er lagd til bruk på grunnskolens ungdomstrinn. Illustratør: Line Jerner Omslagsdesign: Line Jerner Omslagsfoto: Hanna Kristin Hjardar Ombrekking: Framnes Tekst & Bilde AS Forlagsredaktør: Berit Rogstad Trykking/innbinding: Livonia Print SIA, Latvia 2015 Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-47561-1 cdu.no faktor.cappelendamm.no Fotografier: Samfoto: © Mimsy Møller s. 32, © Leif Rustand / NN s. 32 GV Press: © Renaud Visage s. 34, J. D. Dallet s. 34, © Ove Bergersen / NN s. 89 Scanpix: © Russel Cheyne / Reuters / Corbis s. 113, © PoodlesRock / Corbis s. 121, © Per Eide s. 130
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 2
06.07.15 11.26
1 2 3 4 5 6 7 8
Innhold Tall og algebra s. 4 Geometri og beregninger s. 17 Funksjoner s. 36 Likninger og ulikheter s. 51 Romgeometri og massetetthet s. 62 Statistikk, kombinatorikk og sannsynlighet s. 82 Økonomi s.103 Repetisjonsoppgaver s.115
Hei til deg som skal bruke Faktor! Denne alternative oppgaveboka inneholder oppgaver til hvert kapittel i grunnboka. Hvert kapittel starter med en liten innledning. Alle nye oppgavetyper er vist med eksempler. I venstre marg står det henvisning til tilsvarende fagstoff i grunnboka. Når du er ferdig med et kapittel, kan du fortsette med oppgaver i grunnboka eller oppgaver i Kategori 1 i den ordinære oppgaveboka. Lykke til med arbeidet! Hilsen forfatterne Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen
3
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 3
06.07.15 11.26
Tall og algebra
Tall og algebra
1
Tall og
Hm. Hvordan kan jeg skrive avstanden til månen på en lur måte...
algebra
GB s. 8 Tallsystemer Fakta Vi skriver store tall på standardform ved å plassere desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. 4500 = 4,5 · 103 54 000 = 5,4 · 104 101 = 1 og 100 = 1
1.1 Skriv tallene på vanlig måte.
a) 5 · 102 =
5
·
b) 7 · 102 =
7
·
=
c) 4 · 103 =
4
·
=
d) 8 · 104 =
1.2
Skriv tallene på vanlig måte.
a) 4,5 · 102 =
b) 2,5 · 103 =
·
=
c) 5,2 · 103 =
·
=
d) 4,3 · 104 =
·
100
= 102 = 100 103 = 1000 104 = 10 000
·
4,5
=
·
100
=
=
4
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 4
06.07.15 11.26
Skriv tallene på standardform.
a) 400 =
4
·
b) 500 =
5
·
c) 5000 =
·
d) 6000 =
·
10
Eksponenten forteller deg antall plasser du har flyttet desimaltegnet!
2
Tall og algebra
1.3
1.4 Skriv tallene på standardform.
a) 4500 =
4,5
·
10
b) 7500 =
7,5
·
10
c) 25 000 =
2,5
·
c) 75 000 =
7,5
·
1.5
Skriv tallene på standardform.
a) 35 000 =
·
b) 15 000 =
·
c) 630 000 =
·
d) 850 000 =
·
3
1.6 Skriv tallene på utvidet form.
a) 345 =
3
·
b) 568 =
5
·
c) 4275 =
·
+
d) 4672 =
·
+
100
+
4
·
+
5
·
+
6
·
+
8
·
·
+ ·
+
· ·
1
+
·
+
·
5
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 5
06.07.15 11.26
Tall og algebra
1.7 Skriv tallene på utvidet form.
4
5
b) 2049 =
·
c) 7203 =
d) 3720 =
1.8
Skriv tallene på utvidet form.
a) 749 =
b) 4692 =
c) 8705 =
1.9
Skriv tallene på vanlig måte.
a) 3 · 100 + 4 · 10 + 3 · 1 =
b) 8 · 100 + 7 · 10 + 6 · 1 =
c) 2 · 1000 + 7 · 100 + 4 · 10 + 3 · 1 =
+
+
+
=
d) 7 · 1000 + 5 · 100 + 0 · 10 + 5 · 1 =
+
+
+
=
7 4
+
+
·
·
+
·
+
7
+
a) 4527 =
·
2
·
·
+
4
·
+
+
·
+
·
·
+
·
+
·
·
+
·
+
·
10
·
100
9
+
1
·
·
+
6
·
·
1000 +
7
·
300
+
40
+
3
=
800
+
70
+
6
=
·
+
9
·
+
+
0
·
+
2
· ·
1.10 Skriv tallene på vanlig måte.
a) 3 · 101 + 5 · 100 =
b) 5 · 101 + 3 · 100 =
c) 7 · 1002 + 4 · 101 + 3 · 100 =
d) 3 · 1002 + 4 · 101 + 7 · 100 =
6
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 6
06.07.15 11.26
Problemløsing Fakta Vi kan løse oppgaver ved å sette opp en likning.
Tall og algebra
GB s. 15
Eksempel Far er 25 år eldre enn Lotte. De er 55 år til sammen. Hvor gammel er Lotte? Hvis alderen til Lotte er x år, så er alderen til Far (x + 25) år. Da får vi denne likningen: x + (x + 25) = 55 x + x + 25 = 55 2x = 55 – 25 2x = 30 2x 30 = 2 2 x = 15 Lotte er 15 år.
1.11 Mor er 35 år eldre enn Sara. De er 65 år til sammen.
Hvor gammel er Sara?
Sara er x år gammel. Da er Mor (x + 35) år gammel. Sara og Mor er til sammen x år + (x + 35) år. Vi får denne likningen:
x
+(
x
+
x
+
x
+
35
)=
65
35
=
65
2x
=
65
–
=
2x 2
=
= Sara er
år gammel.
7
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 7
06.07.15 11.26
Tall og algebra
1.12 Lotte har 50 kr mer enn Martin. De har 150 kr til sammen.
Hvor mye penger har Martin?
Martin har x kr. Lotte har da (x + 50) kr. Da kan vi sette opp denne likningen:
x
+(
x
+
x
+
x
+
50
)=
150
50
=
150
=
=
x
–
=
kr.
Martin har
1.13 Simen kjøpte to bokser pærer og 1 kg epler. Eplene kostet 20 kr per kg.
Simen betalte 38 kr til sammen. Hvor mye kostet en boks pærer? Vi får denne likningen:
2x
+
20
=
=
=
=
En boks pærer koster
–
kr.
8
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 8
06.07.15 11.26
Proporsjoner
Tall og algebra
GB s. 19
Fakta En proporsjon er et uttrykk som viser at to forhold er like store.
x
6
=
3
9
er en proporsjon.
Vi kan finne x i proporsjonen slik:
x 3 x·3 3
6
=
=
9 6·3
x=
x=
x=2
9 6·3 9 18 9
1.14 Regn ut x i proporsjonene.
a)
x 2
=
x·2 2
=
x
=
b)
x 10
x · 10 10
x
=
=
=
10 4
x
c)
10 · 2 4
2
x·
=
2 x
4 5
x
d)
5
x·
4· 5
=
5 x
8 4
8· 4
=
=
=
4 10
10
=
9
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 9
06.07.15 11.26
Tall og algebra
1.15 I en saftblanding er det 2 dL saft og 10 dL vann. I en like sterk saftblanding er
det 4 dL saft. Hvor mange desiliter vann er det i denne blandingen?
4 dL saft er dobbelt så mye som 2 dL saft. Da må det være dobbelt så mye vann i den andre blandingen.
2
Det er
·
dL =
dL
dL vann i denne blandingen.
1.16 Hanna hadde 1200 kr. Hun brukte
1 4
av pengene sine. Herman brukte
like mange kroner som Hanna, men det var
Hvor mange kroner hadde Herman?
1 3
av hans penger.
Hanna bruker
Herman hadde
1
· 1200 kr =
4
Herman brukte
kr
kr, som er like mye som det Hanna brukte.
3
·
kr =
kr. Løs opp parentesene først!
GB s. 23 Regning med variabler Fakta Vi kan trekke sammen bokstavuttrykk: 2x + 3x = 5x 2a + 3b + 2a – b = 4a + 2b (3x – 2y) – (x – y) = 3x – 2y – x + y = 2x – y
10
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 10
06.07.15 11.26
1.18 Trekk sammen.
a) 2x + 3x =
a) 7x – 3x =
b) 3x + 6x =
b) 6x – x =
c) 4x + 2x =
c) 8x – 2x =
d) 4x + x =
d) 4x – 3x =
1.19 Trekk sammen.
1.20 Trekk sammen.
a) 5x + 4x – 2x =
a) 2x + 2y + 3x + y =
b) 5x – 2x + 3x =
b) 3x + y – x + 2y =
c) 2x + x – 2x =
c) 4a – 2y – 2a + 4y =
d) 3x + x – 2x + 2x =
d) a – b + 5a – 2b =
Tall og algebra
Husk: 1x = x
1.17 Trekk sammen.
+ + + –
1.21 Løs opp parentesene og regn ut.
a) (2x – x) + 3x =
–
+
=
b) 4x + (x – 2x) =
+
–
=
c) 5x – (2x + x) =
–
–
=
d) 3x – (2x – 3x) =
–
+
=
1.22 Løs opp parentesene og regn ut.
a) (2a + 4a) + (5a – 2a) =
b) (2a – a) – (3a – 6a) =
c) 7a – (2a – 4a) =
d) 8a – (5a – 2a + 3a) =
2a
+
4a
– –
+ –
+ –
5a
–
2a
=
+
=
–
=
= +
11
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 11
06.07.15 11.26
Tall og algebra
GB s. 27
Fakta Vi kan faktorisere både tall og bokstavuttrykk: 12 = 2 · 2 · 3 6x = 2 · 3 · x 9x2y = 3 · 3 · x · x · y
1.23 Skriv tallene som produkt av primtall.
a) 6 =
b) 14 =
c) 9 =
2
· ·
3
·
d) 15 =
·
e) 22 =
·
f ) 18 =
·
11 ·
1.24 Faktoriser uttrykkene.
a) 6x =
·
·
b) 4y =
·
·
c) 14a =
·
·
d) 12a =
·
·
12x = 2 . 2 . 3 . x
·
1.25 Faktoriser uttrykkene.
a) 5xy =
5
·
b) 10xy = c) 9ab = d) 15ab =
· ·
·
· ·
·
· ·
·
·
12
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 12
06.07.15 11.27
a) 3x2 =
·
·
b) 6x2 =
·
·
·
·
·
c) 6x2y =
·
d) 4x2y2 = GB s. 30
·
·
Tall og algebra
1.26 Faktoriser uttrykkene.
· ·
·
·
Fakta Vi kan forkorte brøker ved å dividere teller og nevner med det samme tallet: 6
6:2
=
8
8:2
3
=
4
Når vi skal trekke sammen brøker, må brøkene ha samme nevner: 1
+
4
1 6
=
1·3
+
4·3
1·2 6·2
=
3 12
+
2
=
12
5 12
1.27 Forkort brøkene mest mulig.
a)
b)
4 10 6 9
=
=
4: 2 10 : 2
=
6: 9:
9
c)
=
12
d)
10 15
9: 12 :
=
=
10 : 15 :
=
5x : 15x2 :
=
=
1.28 Forkort brøkene mest mulig.
4x a) = 10x 3x2 b) = 9x
4x : 2x 10x : 2x 3x2 : 9x :
=
=
c)
d)
5x 15x2 10x2 12x
=
10x2 : 12x :
=
=
13
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 13
06.07.15 11.27
Tall og algebra
1.29 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.
a)
b)
1 6
2 9
+
+
1
=
6
4 9
1+1 6
=
=
:
6
=
:
=
9
1.30 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.
a)
b)
c)
d)
GB s. 33
7 12
2a 9
5x 12
7x 10
–
+
+
+
6 12
5a 9
3x 4
2x 5
–
=
12 +
=
=
=
=
9 5x 12
10
=
+
+
3x · 3 4 ·3
5 ·2
=
=
+
10
12
=
+
: :
5 ·2
=
=
Fakta Vi kan sette inn tallverdier for bokstavene i et bokstavuttrykk. Hvis x = 2 og y = 3, så er: x+y=2+3=5 2x – y = 2 · 2 – 3 = 4 – 3 = 1
14
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 14
06.07.15 11.27
A=a·b der A står for arealet, a for lengden og b for bredden i rektangelet.
Tall og algebra
1.31 Formelen for arealet av et rektangel er
b a
Regn ut arealet av rektangelet når
a) a = 10 cm og b = 8 cm b) a = 15 cm og b = 6 cm
10
a)A=a·b=
Arealet av rektangelet er
b)A=a·b=
Arealet av rektangelet er
cm ·
8
cm =
cm2
cm2.
cm ·
cm =
cm2
cm2.
1.32 Formelen for arealet av en trekant er:
A=
g·h 2
der A står for arealet, g for grunnlinja og h for høyden i trekanten.
h g
15
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 15
06.07.15 11.27
Tall og algebra
Regn ut arealet av trekanten når
a) g = 10 cm og h = 6 cm b) g = 8 cm og h = 5 cm
a) A =
2
=
10
cm · 6 cm = 2
Arealet av trekanten er
b) A =
g·h
g·h 2
cm · 2
=
cm2
cm2.
cm =
Arealet av trekanten er
cm2
cm2.
1.33 Sett x = 3 og y = 2 inn i uttrykkene, og regn ut.
a) x + y =
+
=
b) x – y =
–
=
c) x + 2y = d) 2x – y =
2
+
·
=
+
=
·
–
=
–
=
1.34 Sett a = 2 og b = 1 inn i uttrykkene, og regn ut.
a) a + b =
b) 2a – 2b =
+
2
= ·
–
c) 2a + 3b =
·
d) 5a – 3b =
·
2
·
=
–
=
+
·
=
+
=
–
·
=
–
=
16
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 16
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
og beregninger
Geometri og beregninger
2
Geometri
Pytagoras-setningen GB s. 44
Fakta Vi kan bruke Pytagoras-setningen til ĂĽ regne ut sidene i en rettvinklet trekant: katet
katet
Hypotenusen er alltid den lengste siden i en rettvinklet trekant.
hypotenus katet2 + katet2 = hypotenus2
Beregning av hypotenusen Fakta Eksempel
Løsning
Regn ut hypotenusen i trekanten.
katet2 + katet2 = hypotenus2 42 + 32 = x2 16 + 9 = x2 25 = x2 x2 = 25 x = 5
3 cm
x
4 cm
Hypotenusen er 5 cm.
17
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 17
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
2.1
a) Regn ut hypotenusen.
katet2 + katet2 = hypotenus2
52
+
122
=
x2
25
+
144
=
x2
=
x
x2
=
x
=
x 5 cm 12 cm
2
Hypotenusen er
cm.
b) Regn ut hypotenusen.
katet2 + katet2 = hypotenus2
82
+
152
+
=
x2
=
x2
=
x2
x2
=
x
=
8 cm
x
15 cm
Hypotenusen er
cm.
c) Regn ut hypotenusen. Regn her:
x 5 cm
5 cm
18
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 18
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
Beregning av katetene Fakta Vi finner den ukjente kateten i en rettvinklet trekant slik: katet2 + katet2 = hypotenus2 x2 + 42 = 52 x2 +16 = 25 x2 = 25 – 16 x2 = 9 x2 = 9 x = 3
5 cm
x
4 cm
Den ukjente kateten er 3 cm. 2.2 Regn ut den ukjente kateten.
a) katet2 + katet2 = hypotenus2
x2
+
62
=
102
x2
+
36
=
100
x2
=
100
x2
=
x2
=
x
=
10 cm
6 cm –
36 x
Den ukjente kateten er
cm.
b) katet2 + katet2 = hypotenus2
x2
+
x2
+
72
=
252
=
x2
=
x2
=
x2
=
x
=
Den ukjente kateten er
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 19
– 25 cm
x
cm.
7 cm
19
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
c) katet2 + katet2 = hypotenus2
x2
4,82
+
x2
+
=
x2
=
x2
6,02
=
–
=
x2
=
x
=
6 cm
x
4,8 cm
Den ukjente kateten er
cm.
2.3 Regn ut den ukjente siden x i disse rettvinklede trekantene. a) katet2 + katet2 = hypotenus2
92
+
122
=
x2
81
+
144
=
x2
=
=
=
Den ukjente siden er
x
9 cm
12 cm
cm.
b) Vis utregningen her:
5 cm
3 cm
x
20
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 20
06.07.15 11.27
Den er 4,5 m dyp og 2,8 m bred. En stige settes på skrå ned i grøften som vist på tegningen. Hvor lang er stigen?
Geometri og beregninger
2.4 Graver G. Røft har gravd en grøft.
4,5 m
2,8 m
Vis utregningen her:
Konstruksjon og beregning GB s. 54
Fakta Når du skal konstruere mangekanter, kan du få bruk for disse konstruksjonene:
Konstruksjon av 90°
Konstruksjon av 60° P P P P
P
Nedfelling av en normal Halvering av en vinkel fra et punkt til en linje
Midtnormal
Når du skal gjøre beregninger, kan du få bruk for Pytagoras-setningen for å finne lengden på en ukjent side i en rettvinklet trekant.
21
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 21
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
2.5
Konstruer halveringsstrålen til vinklene.
a) b)
2.6
a) Konstruer en vinkel på 60°, og halver den. Konstruer her:
b) Hvor store er de to nye vinklene?
Vinklene er
2.7
°.
a) Konstruer en vinkel på 90°, og halver den. Konstruer her:
b) Hvor store er de to nye vinklene?
Vinklene er
°.
22
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 22
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
Konstruer midtnormalen til AB.
2.8
a) Konstruer her:
B
A
b) B
Konstruer her:
A Konstruer normalen til linja l i punktet P.
2.9
a) Konstruer her:
l
P b) l
Konstruer her:
P
23
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 23
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
2.10 Konstruer normalen fra punktet P til linja l.
a) Konstruer her:
P
l
b) Konstruer her:
l
P
2.11 Konstruer trekantene.
a) Konstruer her:
C
45 째 A
6,0 cm
B
24
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 24
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
b)
Konstruer her:
C 45 째 A
30 째 4,5 cm
B
2.12 a) Konstruer trekanten.
Konstruer her:
C
4 cm A
3 cm
B
b) Regn ut lengden av BC ved hjelp av Pytagoras-setningen.
Vis utregningen her:
katet2 + katet2 = hypotenus2
AB2
+
AC2
=
x2
32
+
42
=
x2
+
=
=
=
ViVikaller BC for forx!x! kaller BC
=
BC =
cm
25
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 25
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
c) Regn ut omkretsen og arealet av ∆ ABC.
Vis utregningen her:
2.13 a) Konstruer ∆ ABC. Konstruer deretter normalen fra C til AB som treffer AB i punktet D. Konstruer her:
C
A
60 ° D 60 ° 6 cm B
b) Hva slags trekant er ∆ABC? ∆ABC er en
c) Hvor lange er sidene AC og BC? De er
cm.
d) Hvor lange er sidene AD og DB? De er
cm.
trekant.
26
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 26
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
e) Regn ut lengden av CD ved hjelp av Pytagoras-setningen.
Vis utregningen her:
f ) Regn ut omkretsen og arealet av ∆ ABC.
Vis utregningen her: Arealet til en trekant er:
g·h 2
GB s. 60 Sirkelen Fakta
d = 6 cm
Vi finner omkretsen av en sirkel ved å multiplisere diameteren med 3,14. Dette tallet kaller vi pi. Vi skriver: π Vi finner arealet ved å regne ut: radius · radius · π
r = 3 cm
Vi bruker disse formlene: O = 3,14 · d = 3,14 · 6 cm = 18,84 cm A = 3,14 · r · r = 3,14 · 3 cm · 3 cm = 28,26 cm2
27
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 27
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
2.14 a) Regn ut omkretsen og arealet av sirklene. Vis utregningen her:
r = 5 cm
b) Vis utregningen her:
d = 12 cm
2.15 Finn sentrum i sirklene ved hjelp av
konstruksjon av midtnormaler.
a)
Konstruer midtnormalen til korden. En del av midtnormalen er diameteren. Halver diameteren for 책 finne sentrum i sirklene.
Det stiplede linjestykket kalles en korde.
28
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 28
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
b)
2.16 a) Konstruer en tangent til sirkelen i P.
NĂĽr vi konstruerer en tangent, konstruerer vi en normal i skjĂŚringspunktet med sirkelen.
P
b) Konstruer en halvsirkel med radius 3,0 cm. Regn ut areal
og omkrets av halvsirkelen. Vis konstruksjon og utregning her:
29
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 29
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
Formlikhet og kongruens GB s. 64
Fakta
~ betyr «formlik»
Figurer som er formlike, har samme form, men de trenger ikke å være like store.
~ =betyr «kongruent
med»
C F ∆ABC ~ ∆DEF
A
B
E
D
Fakta Figurer som er kongruente, har samme form og er i tillegg like store. D
C
G
H
~ FGHE ABCD = A
B
E
F
2.17 Trekk linjer mellom figurer som er formlike.
A
B
1
2
C
3
4
D E
5
30
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 30
F 6
06.07.15 11.27
GB s. 71
Fakta Vi har mange eksempler pĂĽ geometriske former som er symmetriske. Vi arbeider med slike former i matematikkfaget, og vi finner dem igjen i naturen, kunsten og arkitekturen. En symmetriakse ÂŤdelerÂť figuren i to kongruente figurer.
1 symmetriakse
2 symmetriakser
Geometri og beregninger
Symmetri
4 symmetriakser 6 symmetriakser
Noen figurer har ingen symmetriakse, mens for eksempel en sirkel har et uendelig antall symmetriakser. Antall symmetriakser varierer fra figur til figur.
2.18 Tegn inn figurenes symmetriakser. a) b) c)
2.19 Tegn inn figurenes symmetriakser. a) b) c)
31
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 31
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
2.20 Også i naturen finner vi symmetri. Se på bildene, og tegn inn symmetriaksene på blomsten og sommerfuglen.
a) Stemorsblomst b) Keiserkåpe
GB s. 73 Speiling ved hjelp av et koordinatsystem Fakta
Tekstfarge plate (74,1)
Når vi speiler en figur om en linje, får vi to kongruente figurer. Vi sier at vi har foretatt en kongruensavbilding. Den opprinnelige figuren og speilbildet av denne er kongruente figurer. Vi kan speile figurer i et koordinatsystem. Da speiler vi figuren om førsteaksen eller andreaksen. Disse aksene blir da symmetriakser. Løsning Løsning
y Andreaksen Andreaksen y
B’ B’
C’ C’
C C
A’ A’
A A
BB xx
32
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 32
eregninger
Førsteaksen Førsteaksen
Hjørnet A(1, 1) blir A’(–1, 1) Hjørnet B(5, 1) blir B’(–5, 1) Hjørnet C(1, 4) blir C’(–1, 4) Trekker linjestykkene A’B’, B’C’ og A’C’. 4ABC ffi 4A0 B0 C 0 Oppgaver 2.36 Tegn av figuren og koordinatsystemet, og speil figuren om førsteaksen. a) 06.07.15 11.27 y
Tegn her:
Andreaksen y
Førsteaksen ligger
47 edis 3 kobnnuvannrett! rg arf nni tteS a63.2 evagppo i rugiF
x
Geometri og beregninger
2.21 a) Speil figuren om førsteaksen.
Førsteaksen
b) Hva er symmetriaksen her?
2.22 a) Speil figuren om andreaksen.
Tegn her:
Andreaksen y
Sett inn fra står grunnbok Andreaksen loddrett!3 side 75 Figur i oppgave 2.36b
x
Førsteaksen
b) Hva er symmetriaksen her?
33
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 33
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
2.23 a) Speil figuren om førsteaksen. b) Speil den nye figuren om andreaksen. Tegn her:
Andreaksen y
x
Førsteaksen
GB s. 81 Parallellforskyving Fakta Parallellforskyving er ogsĂĽ en form for kongruensavbildning. Under ser du to eksempler der parallellforskyving er blitt brukt.
Romersk mosaikk fra Andalusia, Spania
Veggmaleri fra gravkammeret til Ramses I, Egypt
34
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 34
06.07.15 11.27
Geometri og beregninger
2.24 Parallellforskyv firkanten 7 cm i pilens retning.
2.25 Parallellforskyv trekanten 7 cm i pilens retning.
2.26 Lag et eget mønster der du bruker parallellforskyving.
35
Faktor 10 oppgavebok BM.indd 35
06.07.15 11.27