Faktor
atiinknket Mauntgedm omstr
9
Faktor
for
på Komponenter 8.u–n1nb0ok. tOrpipnganve: Gr
Bokmål
Lærerens bok pgavebok
Alternativ op
Faktor Ddigui.ntaol) (faktor.c
nenter: Tilleggskompo Eksamensforberedende hefte
Temahefter
Regelhefte
ma Faktora
d) (nettste
Faktor
te
Grunnbok
Fordypningshef
9
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen
Grunnbok ISBN 978-82-02-45663-4 ISBN 978-82-02-45663-4
9 788202 456634 www.cdu.no
Matematikk for ungdomstrinnet
Bokmål
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner
Faktor
9 Grunnbok Bokmål
Dette er Faktor 9 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som følger deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet:
Hvert kapittel i grunnboka består av fire deler:
Noen oppgaver er merket med disse symbolene:
Lærestoff og oppgaver
Kalkulator
Prøv deg selv
Finn ut
Noe å lure på Oppsummering
Faktor 9
Hei til deg som skal bruke Faktor!
?
Frioppgave Digitale verktøy Utfordrende oppgave
Bakerst i boka finner du en liten manual for bruk av kalkulator, regneark og GeoGebra. I oppgaveboka finner du øvingsoppgaver i tre vanskelighetsgrader til hvert kapittel. Alle kapitler har også et oppgavesett med repetisjonsoppgaver. Kategori 1 Litt av hvert
Kategori 2 Kategori 3 Øvingsoppgaver for digitale verktøy
Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennende å lære! Vi har lagd en bok som vil hjelpe deg med å nå målene for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet!
Hilsen forfatterne Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen
3
Innhold
Innhold 1 Tall og tallforståelse ................. 7 Potenser........................................... 8 Kvadrattall...................................... 16 Regning med fortegnstall ............. 20 Forhold........................................... 23 Figurtall og tallrekker .................... 27 Prøv deg selv .................................. 30 Noe å lure på ................................. 32 Oppsummering ............................... 34
2 Algebra..................................... 37 Bokstavuttrykk ............................... 38 Likninger ........................................ 47 Ulikheter ........................................ 57 Prøv deg selv .................................. 59 Noe å lure på ................................. 61 Oppsummering ............................... 63
3 Geometri................................... 67 Mangekanter.................................. 68 Omkrets og areal av mangekanter............................. 72 Omkrets og areal av en sirkel ....... 84 Pytagoras-setningen ...................... 88 Konstruksjon og beregninger ....... 96 Geometri i natur og kunst .......... 102 Det gylne snitt og det gylne rektangel ..................... 107 Prøv deg selv ................................ 113 Noe å lure på ............................... 117 Oppsummering ............................. 119
4
4 Statistikk og sannsynlighetsregning .......... 123 Relativ frekvens ........................... 124 Sektordiagram ............................. 130 Andre diagrammer ...................... 135 Kritisk bruk av diagrammer......... 140 Sentralmål og variasjonsbredde.. 143 Antall mulige utfall...................... 148 Å finne sannsynligheten.............. 151 Å finne sannsynligheten ved flere hendelser............................. 155 Like stor sannsynlighet hver gang?................................... 162 Prøv deg selv ................................ 164 Noe å lure på ............................... 167 Oppsummering ............................. 169
5 Måling og beregninger ......... 173 Målenøyaktighet .......................... 174 Målestokk..................................... 177 Volum og overflate...................... 185 Prøv deg selv ................................ 196 Noe å lure på ............................... 198 Oppsummering ............................. 199
6 Funksjoner ............................. 201 Koordinatsystemet....................... 202 Formler og funksjoner................. 207 Grafen til en funksjon ................. 211 Mer om funksjoner...................... 215 Prøv deg selv ................................ 218 Noe å lure på ............................... 220 Oppsummering ............................. 222
Innhold
7 Økonomi................................. 225 Prosent og promille..................... 226 Merverdiavgift.............................. 231 Rabatt........................................... 234 Tilbud ........................................... 236 Renteregning ............................... 239 Kredittkort.................................... 246 Prøv deg selv ................................ 249 Noe å lure på ............................... 251 Oppsummering ............................. 253 Manual for digitale verktøy ...... 254 Kalkulatoren................................. 255 Regneark ...................................... 258 GeoGebra..................................... 262 Fasit ............................................. 270 Stikkord ....................................... 291
5
Det er 384 000 km til m책nen. Alpha Kentauri er 40 000 000 000 000 km unna jorda.
Er det 400 000 000 000 eller 40 000 000 000 stjerner i v책r galakse, Melkeveien?
Et romskip flyr med ca. 40 000 km/h. Hvor lang tid ville det tatt 책 reise dit?
1
Tall og tallforståelse
Noen ganger har vi bruk for å skrive svært store tall, for eksempel i forbindelse med avstander i verdensrommet. For å få bedre oversikt kan vi skrive tallene som produkter av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens: 384 000 = 3,84 105
Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . .
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0
tall på standardform faktorer, potenser, kvadratrot og forhold mellom størrelser i beregninger fortegnstall tallmønstre
Mange nuller å holde orden på!
Tall og tallforst책else
Potenser To i femte er en potens.
25
Hva betyr to i femte? 25 er en potens med 2 som grunntall og 5 som eksponent. 25 uttales to i femte. 25 = 2 2 2 2 2 = 32 Regel
Et produkt der alle faktorene er like, kan vi skrive som en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Oppgaver 1.1
1.2
8
Skriv som potens. a) 2 2 2 2 b) 3 3 3 3
c) 10 10 10 d) 7 7 7 7 7
e) 5 5 5 5 5 5 f) 9 9 9 9
Regn ut potensen. a) 23 b) 35
c) 53 d) 105
e) 55 f ) 210
Skriv av tabellen og fyll inn det som mangler. Grunntall
Eksponent
3
2
Potens
64
6
35
5 1
8 2,34
4 1.4
Regn ut. a) 3 4 4 4 b) 5 23
Tall og tallforståelse
1.3
c) 24 33 d) 52 + 42
e) 103 -- 101 f ) 35 -- 53
Multiplikasjon og divisjon av potenser Når vi skal multiplisere to potenser som har samme grunntall, lar vi grunntallet stå og summerer eksponentene. 2 2 = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 3
4
3+4
7
=2
Husk! 2 = 21 , 3 = 31 osv.
Når vi skal dividere en potens med en potens som har samme grunntall, lar vi grunntallet stå og subtraherer eksponentene. 56 = 56 : 52 = 56 -- 2 = 54 52
Regel
Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og summerer eksponentene. Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og subtraherer eksponentene.
9
Tall og tallforståelse
Hvis vi dividerer to like potenser med hverandre, blir svaret lik 1 fordi telleren og nevneren er like store. Hvis vi bruker regelen for divisjon av potenser, får vi 53 = 53 -- 3 = 50 53 Det betyr altså at 50 = 1. Regel
For alle tall a er a0 = 1. Når vi skal multiplisere eller dividere to potenser som ikke har samme grunntall, må vi regne ut potensene hver for seg. Eksempel 1:1
Regn ut. Skriv svaret som én potens hvis det mulig. a) 22 25 b) 46 : 42
c) 32 43 d) 44 : 23
Løsning a) 22 25 = 22 + 5 = 27 b) 46 : 42 = 46 -- 2 = 44
c) 32 43 = 9 64 ¼ 576 d) 44 : 23 = 256 : 8 = 32
Oppgaver 1.5
1.6
1.7
? 10
Skriv svaret som én potens. c) 22 23 a) 32 35 b) 52 52 d) 52 54
e) 102 103 f ) 72 73
Skriv svaret som én potens. a) 132 133 c) 122 123 b) 52 5 d) 102 104
e) 100 105 f ) 70 73
Skriv svaret som én potens. c) 22 26 a) 32 3 2 2 b) 15 15 d) 102 104 102
e) 103 105 10 f ) 7 73 70 72
Hvordan kan vi skrive tallet 189 som en sum av to potenser?
Skriv svaret som én potens. 27 24 65 b) 2 6 a)
1.9
106 102 312 d) 8 3 c)
Skriv svaret som én potens. c) 35 : 34 a) 55 : 52 d) 74 : 73 b) 105 : 103
55 52 35 f) 4 3 e)
Tall og tallforståelse
1.8
e) 155 : 153 f ) 109 : 103
1.10 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. a) 95 : 92 c) 26 -- 24 e) 124 : 123 4 3 4 3 f ) 34 + 24 b) 3 + 3 d) 10 + 10 1.11 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. a) 32 35 c) 122 23 e) 82 8 b) 52 53 d) 52 102 f ) 5 43 1.12 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. a) 136 : 134 c) 5 42 -- 16 b) 84 -- 44 d) 3 52 + 5 32
Potenser med 10 som grunntall Nedenfor ser du noen eksempler på potenser med 10 som grunntall. 100 101 102 103 104 105 106
= = = = = = =
1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000
Vi bruker tallene 1, 10, 100 osv. når vi skriver naturlige tall på utvidet form: 3456 = 3 1000 + 4 100 + 5 10 + 6 1 Ettersom 10, 100, 1000 osv. kan skrives som potenser med 10 som grunntall, får vi: 3456 = 3 103 + 4 102 + 5 101 + 6 100
11
Tall og tallforståelse
Eksempel 1:2
Skriv 1 205 604 på utvidet form ved å bruke potenser av 10. Løsning 1 205 604 = 1 1 000 000 + 2 100 000 + 0 10 000 + 5 1000 + 6 100 + 0 10 + 4 1 1 205 604 = 1 106 + 2 105 + 5 103 + 6 102 + 4 100 Oppgaver 1.13 Skriv tallene som potenser med 10 som grunntall. a) 100 c) 100 000 e) Ti millioner b) 1000 d) 1 000 000 f ) En milliard 1.14 Skriv tallene på utvidet form ved å bruke potenser av 10. a) 6543 c) 12 675 e) 2 450 565 b) 3409 d) 125 308 f ) 2 907 530 1.15 Skriv tallene på vanlig måte. a) 5 103 + 4 102 + 1 101 + b) 3 104 + 4 103 + 5 102 + c) 7 105 + 4 104 + 5 103 + d) 2 105 + 4 103 + 5 102 + e) 1 106 + 4 105 + 5 103 + f ) 3 105 + 4 102 + 9 101 +
6 100 6 101 + 5 100 6 102 + 3 101 + 4 100 6 100 6 102 + 1 101 + 2 100 1 100
1.16 Skriv 7 milliarder på vanlig måte og deretter ved å bruke tierpotens. Det er over 7 milliarder mennesker på jorda.
12
For å få bedre oversikt over et stort tall, kan vi skrive tallet som et produkt av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens. 150 000 000 km kan vi skrive slik: 1,5 108 km Tierpotens Desimaltall mellom 1 og 10
Tall og tallforståelse
Tall på standardform
Når vi skriver om store tall på denne måten, flytter vi desimaltegnet og setter det mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Ovenfor har vi flyttet desimaltegnet åtte plasser. Derfor blir tierpotensen 108 . Skrivemåten 1,5 108 kaller vi standardform.
Sola, vår egen stjerne
Avstanden fra jorda til sola er ca. 150 000 000 km!
13
Tall og tallforståelse
Regel
Vi skriver store tall på standardform ved å plassere desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Eksponenten i tierpotensen svarer til antallet plasser vi har flyttet desimaltegnet. Eksempel 1:3
Skriv tallet 340 000 000 på standardform. Løsning 340 000 000 = 3,4 108 Oppgaver 1.17 Skriv tallene på standardform. a) 25 000 c) 24 000 000 b) 14 000 d) 910 000
e) 4 500 000 f ) 4 500 000 000
1.18 Skriv avstandene fra sola til planetene på standardform. a) Sola – Venus 108 000 000 km b) Sola – Jorda 150 000 000 km c) Sola – Jupiter 778 000 000 km
14
e) 1,05 107 f ) 4,08 109
1.20 Massen til månen har blitt beregnet til ca. 73 500 000 000 000 000 000 tonn. Skriv tallet ved å bruke tierpotens.
Tall og tallforståelse
1.19 Skriv tallene på vanlig måte. c) 9,1 105 a) 4,5 103 4 b) 2,7 10 d) 4,5 106
Landingsmodulen The Eagle (Apollo 11) var det første romfartøyet som landet på månen, 20. juli 1969.
1.21 Finn ut hvor mye jorda veier. Skriv tallet både på vanlig måte og ved å bruke tierpotens.
Massen til månen er ca. 0,0123 av massen til jorda!
15
Tall og tallforståelse
Kvadrattall Alle tallene er kvadrattall!
4
9
16
25
Hva mener vi med kvadrattall? Vi kan legge ut brikker i kvadratform på denne måten:
&& &&
&
&&& &&& &&&
&&&& &&&& &&&& &&&&
Se på regnestykkene nedenfor. 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
= = = = =
12 22 32 42 52
= = = = =
1 4 9 16 25
Tallene 1, 4, 9, 16, 25 osv. kaller vi kvadrattall fordi vi kan illustrere disse tallene i et kvadratisk mønster som ovenfor. Regel
Hvis x er et helt tall, er x x = x 2 et kvadrattall.
16
1.22 Hvilke av disse tallene er kvadrattall? 4 9 7 8
16
1.23 Lag en tegning som illustrerer kvadrattallene. a) 4 b) 9 c) 16
25
d) 25
Tall og tallforst책else
Oppgaver
1.24 Hvilke kvadrattall illustrerer disse figurene? a)
b)
1.25 Regn ut kvadrattallet x 2 n책r x er a) 5 c) 10 b) 8 d) 15
c)
e) 20 f ) 100
1.26 81 brikker blir lagt ut som et kvadrat. Hvor mange brikker er det langs sidene av kvadratet? 1.27 Stolene i en kinosal er plassert som et kvadrat. Det er 625 plasser i salen. Hvor mange stoler er det i hver rad?
?
Plasser tallene fra 1 til 6 i trekanten slik at summen langs hver av sidene blir den samme.
17
Tall og tallforståelse
Kvadratrot Når vi multipliserer to like tall med hverandre, får vi et kvadrattall. 3 3 = 9 Det vil si at 9 er et kvadrattall. Motsatt sier vi at 3 er kvadratroten av 9. pffiffiffi . Vi kan skrive kvadratroten av 9 slik:
Tegnet for kvadratrot er pffiffiffi 9=3 På samme måte er pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25: Regel
Vi finner kvadratroten av et bestemt tall ved å finne det positive tallet som multiplisert med seg selv, gir det bestemte tallet. Eksempel 1:4
Finn kvadratroten av 36. Løsning Ettersom 6 6 = 36, er
pffiffiffiffiffi 36 = 6.
Oppgaver 1.28 Finn kvadratroten av a) 9 b) 25 c) 16 d) 36 e) 81 f ) 100
18
Vi må bruke kalkulator for å regne ut kvadratroten av tall som ikke er kvadrattall.
pffiffiffiffiffiffiffiffi c) 144 pffiffiffiffiffiffiffiffi d) 400
pffiffiffiffiffi e) 85 pffiffiffiffiffiffiffiffi f ) 128
1.30 Regn ut. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 25 + 81 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi b) 36 + 100
pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi c) 25 + 16 pffiffiffi pffiffiffiffiffi d) 9 + 36
pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi e) 81 -- 36 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi f ) 100 -- 121
?
Tall og tallforståelse
1.29 Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 25 pffiffiffiffiffi b) 36
Finn tallet! . . .
Tallet har to faktorer som også er primtall. Kvadratroten av tallet er mindre enn 10. Tallet har tverrsummen 13.
1.31 a) Sidene i et kvadrat er 6,5 cm. Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 23,04 cm2 . Hvor lang er siden? 1.32 En håndballbane har form som et rektangel som er dobbelt så langt som det er bredt. Arealet av håndballbanen er 800 m2 . Regn ut lengden og bredden av håndballbanen. Håndballcup i Ski
19
Tall og tallforståelse
Regning med fortegnstall Hm ... 5–3=2 5–2=3 5–1=4 5–0=5 5–(–1) = ? 5–(–2) = ?
–1∙3=–3 –1∙2=– 2 –1∙1 = –1 –1∙0= 0 –1∙(–1) = ? –1∙(–2) = ?
Hva blir svaret på oppgavene? Vi kan legge til og trekke fra negative tall. Jo mindre tall vi legger til, desto mindre tall får vi til svar. Jo mindre tall vi trekker fra, desto større tall får vi til svar. 5+3 5+2 5+1 5+0 5 + ð--1Þ 5 + ð--2Þ 5 + ð--3Þ
= = = = = = =
8 7 6 5 4 3 2
5 -- 3 5 -- 2 5 -- 1 5 -- 0 5 -- ð--1Þ 5 -- ð--2Þ 5 -- ð--3Þ
= = = = = = =
2 3 4 5 6 7 8
Regel
Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. Hvis vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall: --6 ð--3Þ = 18 --3 ð--3Þ = 9
20
--6 : ð--3Þ = 2 --3 : ð--3Þ = 1
Når vi multipliserer eller dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. Når vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall.
Tall og tallforståelse
Regel
Minus minus = pluss! Minus pluss = minus!
Eksempel 1:5
Regn ut. a) 10 + ð--12Þ b) 10 -- ð--12Þ c) 5 ð--4Þ
d) --5 ð--4Þ e) --20 : 4 f ) --20 : ð--4Þ
Løsning a) 10 + ð--12Þ = 10 -- 12 = --2 b) 10 -- ð--12Þ = 10 + 12 = 22 c) 5 ð--4Þ = --20
d) --5 ð--4Þ = 20 e) --20 : 4 = --5 f ) --20 : ð--4Þ = 5
Oppgaver 1.33 Regn ut. a) 5 -- ð--4Þ
b) 9 -- ð--9Þ
c) 10 -- ð--5Þ
d) 50 -- ð--100Þ
1.34 Regn ut. a) 5 + ð--2Þ b) 20 + ð--12Þ
c) 13 + ð--12Þ d) 25 + ð--20Þ
e) --5 + ð--2Þ f ) --5 -- ð--2Þ
g) --10 + ð--8Þ h) --10 -- ð--8Þ
21
Tall og tallforståelse
1.35 Regn ut. a) 12 + ð--3Þ b) 12 -- ð--3Þ
c) 12 -- ð+3Þ d) 12 + ð+3Þ
e) 12 + ð--15Þ f ) --20 -- ð--20Þ
g) --9 + ð--17Þ h) --14 -- ð--6Þ
1.36 Hvilket av svarene er riktig? A 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 1 B 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 9
C 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 11 D 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = --1
1.37 Regn ut. a) 5 ð--6Þ
b) --4 6
c) --3 ð--7Þ
d) 5 ð--10Þ
1.38 Regn ut. a) 25 : ð--5Þ
b) --25 : 5
c) --30 : ð--6Þ
d) --42 : 7
1.39 Regn ut. a) 2,5 ð--6Þ
b) 4 ð--2,5Þ
c) --3 1,5
d) --10 ð--3,7Þ
1.40 Regn ut. a) 4 + ð--3Þ -- ð--4Þ b) 5 -- ð--3Þ + ð--4Þ
c) 10 + ð--4Þ -- ð--15Þ d) 50 + ð+50Þ -- ð--100Þ
1.41 Regn ut. a) 15 -- ð+17Þ b) --2 -- ð+2Þ
c) 50 -- ð--50Þ + ð--25Þ d) --100 -- ð+100Þ -- ð--100Þ + ð--100Þ
1.42 Skriv av og sett de riktige tallene inn i rutene. a) 5 ð--7Þ = & c) & ð--8Þ = --80 b) --3 & = 21 d) --10 ð--10Þ = &
?
Til en teltplass på en øy kom det 10 gjester den første dagen teltplassen var åpen for sesongen. 2 gjester dro tilbake den samme kvelden. Den andre dagen kom det 12 gjester, men 3 dro tilbake samme kveld. Dette mønsteret fortsatte. Hvor mange gjester var det på teltplassen ved slutten av den syvende dagen?
22
Vi blander i forholdet én til fem!
Tall og tallforståelse
Forhold
Hva vil det si å blande i forholdet én til fem? Når vi blander saft og vann i forholdet én til fem, blander vi én del saft med fem deler vann. Det kan for eksempel være 1 dL saft og 5 dL vann. Ettersom 10 dL er fem ganger så mye som 2 dL, kan vi også blande 2 dL saft og 10 dL vann. Forholdet mellom mengden av saft og mengden av vann blir også da én til fem. Forholdet én til fem kan vi skrive slik: 1 : 5 eller
1 5
Brøkstreken er her det samme som et divisjonstegn. Når vi skal finne forholdet mellom to størrelser, forkorter vi brøken så mye som mulig. Regel
Vi finner forholdet mellom to tall ved å dividere tallene med hverandre.
23
Tall og tallforståelse
Eksempel 1:6
Hanna bor 12 km fra skolen, mens Simen bor 3 km fra skolen. Hva er forholdet mellom 12 km og 3 km? Løsning 12 km 12 4 = = 3 km 3 1
Husk! I noen av oppgavene må du gjøre om til samme benevning.
Forholdet er 4 : 1 Oppgaver 1.43 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 2 km og 10 km b) 3 bøtter og 12 bøtter c) 500 kr og 250 kr e) 2 cm og 20 cm d) 15 kg og 45 kg f ) 4 cm og 80 000 cm 1.44 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 500 kr og 125 kr d) 12 km og 3 cm b) 4 cm og 1 m e) 50 øre og 50 kr c) 3 g og 12 kg f ) 500 km og 5 cm 1.45 Simen blander 2 dL iste med 16 dL vann. Sara blander 3 dL iste med 27 dL vann. Hvem lager den sterkeste blandingen? 1.46 Martin tjener 360 kr på 4 timer. Hanna arbeider i 5 timer. Hvor mye må Hanna få i lønn hvis hun skal tjene like mye per time som Martin? 1.47 Elevene i 9A solgte vafler for 375 kr. Det er 25 elever i gruppa. I 9B er det 28 elever. Hvor mye må elevene i 9B selge vafler for hvis de skal selge like mye i forhold til elevtallet?
24
Vi regner med forhold i mange sammenhenger, for eksempel – når vi blander saft og vann – når vi blander sement og sand – når vi får lønn i forhold til den tiden vi arbeider
Tall og tallforståelse
Regning med forhold
Martin og Lotte hjalp naboen med å male huset. Martin arbeidet i 10 timer og Lotte i 8 timer. For dette fikk Martin 750 kr og Lotte 600 kr. Vi regner ut timelønnen: Martin: Lotte:
750 kr : 10 = 75 kr 600 kr : 8 = 75 kr
Det betyr at forholdet mellom 750 og 10 er det samme som forholdet mellom 600 og 8. Martin og Lotte har derfor fått like mye betalt i forhold til de timene de har arbeidet, selv om de har fått forskjellige kronebeløp. Eksempel 1:7
Herman arbeider i 3 timer, og Sara arbeider i 4 timer. De får 770 kr til sammen for dette arbeidet. Hvor mye får hver av dem? Løsning Herman arbeider: Sara arbeider: Til sammen:
3 timer 4 timer 7 timer
Lønnen for én time blir: 770 kr : 7 = 110 kr Herman får: 3 110 kr = 330 kr Sara får: 4 110 kr = 440 kr Vi kontrollerer svaret: 330 kr + 440 kr = 770 kr
25
Tall og tallforståelse
Oppgaver 1.48 Martin og Lotte skal dele 450 kr i forholdet 4 : 5. Hvor mye får hver av dem? 1.49 Sara og Herman skal dele et overskudd fra et loddsalg. Sara solgte 50 lodd, og Herman solgte 75 lodd. Overskuddet var 150 kr. a) Regn ut forholdet mellom antallet lodd Sara og Herman solgte. b) Hvor stor del av overskuddet fikk hver av dem? 1.50 Simen skal fylle 2 dL olje og 48 dL bensin på mopeden. Hanna skal fylle olje og bensin i samme forhold.
a) Regn ut forholdet mellom mengden av olje og mengden av bensin. b) Hvor mange desiliter bensin må Hanna fylle hvis hun bruker 1 dL olje? 1.51 Sara skal blande iste og vann i forholdet 1 : 9. Hun vil bruke 2 dL iste i blandingen. Hvor mange desiliter ferdigblandet iste får hun? 1.52 I en oppskrift på hasselnøttbrød står det blant annet at vi skal bruke 7 dL grovt rugmel og 6 dL hvetemel. Herman skal lage en brøddeig med 9 dL hvetemel. Hvor mye rugmel må Herman bruke hvis forholdet mellom mengden av hvetemel og mengden av rugmel fortsatt skal være det samme?
26
1
3
Tall og tallforståelse
Figurtall og tallrekker
6
Hvilke tall får vi videre etter dette mønsteret? Hvis vi fortsetter å legge ut brikker etter det samme mønsteret, får vi følgende figurer og tall: & & && & && &&& & && &&& &&&& & && &&& &&&& &&&&& 1 3 6 10 15 osv. Antall brikker er: 1 brikke 3 brikker ð1 + 2Þ 6 brikker ð1 + 2 + 3Þ 10 brikker ð1 + 2 + 3 + 4Þ 15 brikker ð1 + 2 + 3 + 4 + 5Þ osv.
Husk! 1, 4, 9, 16 osv. kaller vi kvadrattall.
Tallene 1, 3, 6, 10, 15 osv. kaller vi trekanttall fordi vi kan illustrere disse tallene i et geometrisk trekantet mønster. Tallene 1, 3, 6, 10 og 15 er de fem første trekanttallene.
27
Tall og tallforståelse
Vi kan lage andre tallrekker ved å bruke et bestemt system eller mønster. Systemet vi bruker, kan være addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon mellom leddene i rekken. Her er noen eksempler på hvordan vi kan bygge opp tallrekker: Ved addisjon: 1 3 +2
5 +2
Ved subtraksjon: 12 7 –5
7 +2
–5
–5
:2
–5
3
16
81 3
8
:2
:2
Ved summering av ledd: 1 1 2 1+1
–8
27
3
Ved divisjon: 64 32
+2
–3
2
Ved multiplikasjon: 1 3 9 3
9
1+2
4 :2
3
5 2+3
Vær oppmerksom på at tallrekker også kan være lagd etter flere enn ett mønster. Prøv å finne ut hvordan tallrekkene er bygd opp når du løser oppgavene på neste side. Oppgaver
28
1.53 Hvilke av tallene er kvadrattall? A 9 C 50 B 36 D 81
E 20 F 144
G1 H 169
1.54 Hvilke av tallene er trekanttall? A 10 C 20 B 15 D 25
E 21 F 100
G 28 H 50
Tall og tallforståelse
1.55 Hvilke av tallene er ikke kvadrattall? A 16 C 14 E 20 B 8 D 18 F 24
G 36 H 38
1.56 Se på regnestykkene nedenfor. Fortsett fire linjer til etter det samme systemet. Skriv en regel ut fra den sammenhengen du ser. 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1.57 De seks første trekanttallene er 1, 3, 6, 10, 15 og 21. Legg sammen a) det første og det andre trekanttallet b) det andre og det tredje trekanttallet. c) det tredje og det fjerde trekanttallet d) Hva slags tall får du i oppgave a, b og c? 1.58 Skriv de tre neste tallene i tallrekkene. & & a) 1 4 9 b) 1 2 4 7 11 & c) 2 4 8 16 & d) 2 6 18 54
& & & &
1.59 Skriv av og sett inn tallene som mangler i tallrekkene. & & & a) 2 4 8 & & b) 1 4 8 13 & & & c) 1 9 25
?
& & &
&
128 34 169
Hva kan differansen mellom to negative tall bli?
1.60 Se på regnestykkene nedenfor: 1 1 = 12 = 1 11 11 = 112 = 121 111 111 = 1112 = 12321 Ser du et system som gjør at du raskt kan finne ut hvilket tall 11 1112 er?
29
Tall og tallforståelse
Prøv deg selv 1
2
3
4
c) 2 2 2 2 2 d) 7 7 7
Regn ut potensen. b) 33 a) 103
c) 54
d) 28
Skriv svaret som én potens. a) 103 102 b) 43 44
c) 53 52
d) 102 10
Skriv svaret som én potens. a) 55 : 52 b) 106 : 102
c) 74 : 72
d) 25 : 24
5
Skriv tallene på utvidet form ved å bruke potenser av 10. a) 3563 b) 12 875 c) 20 456 d) 120 503
6
Skriv tallene på standardform. a) 24 000 b) 540 000
c) 760 000 000 d) 50 100 000 000
7
Regn ut arealet av et kvadrat når sidene i kvadratet er a) 4 cm b) 9 cm c) 7 cm d) 3,6 cm
8
Regn ut x 2 . a) x = 2
b) x = 7
Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 64
b)
9
30
Skriv som én potens. a) 3 3 b) 5 5 5 5
pffiffiffiffiffi 81
c) x = 1
c)
10
a) Sidene i et kvadrat er 4,5 cm Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 12,96 m2 . Hvor lange er sidene?
11
Regn ut. a) 4 -- ð--2Þ + 3 b) 15 + ð--5Þ -- 10 c) --20 -- ð--30Þ -- 2
pffiffiffiffiffiffiffiffi 121
d) x = 0,5
d)
pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 16 + 49
d) 23 -- ð12 -- 5Þ e) ð12 -- 4Þ -- ð15 -- 2Þ f ) ð7 -- 4 + 23Þ -- 3 + ð6 -- 3Þ
Regn ut. a) --2 3 b) 5 ð--10Þ
c) --4 ð--8Þ d) --32 : ð--8Þ
e) 45 : ð--9Þ f ) --45 : 9
13
Lotte blander 2 dL iste med 10 dL vann. a) Hvor mange desiliter ferdigblandet iste får Lotte? b) Regn ut forholdet mellom volumet av iste og volumet av vann.
14
Murer Sand blander sement og sand i forholdet 1 : 5. Han har 6 skuffer sement i blandemaskinen.
Tall og tallforståelse
12
a) Hvor mange skuffer sand har mureren i blandemaskinen? b) En annen gang har mureren 20 skuffer sand i blandemaskinen. Hvor mange skuffer sement og sand har han da til sammen i blandemaskinen?
Pantheon i Roma (bygd i år 118–125) har en selvbærende kuppel av betong.
15
16
Hvilke tall mangler a) 1 4 b) 1 1 c) 1 3
i tallrekkene? & 9 2 3 & 6
& & &
36 & 21
13
Hvilke av tallene er kvadrattall, og hvilke av tallene er trekanttall? 16 4 21 25 10 36 6
31
Tall og tallforståelse
Noe å lure på 1
En flaske inneholder 6 dL saft. Simen skal blande saft og vann ved å bruke 1 del saft og 9 deler vann. På flasken står det at det kan bli 6 liter ferdigblandet saft. Forklar hvorfor det er riktig.
2
Se på utregningene nedenfor. 1 = 13 3 + 5 = 23 7 + 9 + 11 = 33 Hvordan fortsetter dette mønsteret?
3
Avstanden fra jorda til månen er ca. 380 000 km, og avstanden fra jorda til sola er ca. 150 000 000 km. Månens diameter er ca. 3480 km, og solas diameter er ca. 1 400 000 km. Regn ut forholdet mellom a) avstanden fra jorda til sola og avstanden fra jorda til månen b) diameteren til månen og diameteren til sola c) Hva har svarene i a) og b) å si for en solformørkelse?
32
5
pffiffiffi Sidene i et kvadrat er 5 cm. Regn ut arealet av kvadratet. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pp ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffi Regn ut 256.
6
Vi vet at 2,5 106 = 2 500 000. Men hva er 2,5 10 -- 6 ?
7
a) Hvordan fortsetter dette mønsteret?
Tall og tallforståelse
4
1 1 1 1 1
1 2
3 4
1 3
6
1 4
1
b) Hva kjennetegner tallene du finner?
8
Tegn av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2 3Þ inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i en rad, kolonne eller en boks.
4 5
1 4
1
2
3 5
2
1 6 3
Sudoku
33
Tall og tallforståelse
Oppsummering Potenser Når vi multipliserer tall som er like store, kan vi skrive dem som en potens. 5 5 5 5 5 5 = 56 x x x = x3 Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentene i de potensene vi multipliserer. 23 24 = 23 + 4 = 27 x3 x2 = x3 + 2 = x5 Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i telleren minus eksponenten i nevneren. 56 = 56 -- 2 = 54 52 x 6 : x 2 = x 6 -- 2 = x 4
Tall på standardform Tall kan skrives på vanlig form eller på standardform. Vanlig form: 450 000 000 Standardform: 4,5 108
Kvadrattall Hvis x er et helt tall, kaller vi x 2 et kvadrattall. 5 5 = 52 = 25 25 er et kvadrattall.
Kvadratrot Kvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir tallet x. pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25
34
Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. 10 + ð--7Þ = 10 -- 7 = 3
Tall og tallforståelse
Regning med fortegnstall
Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. 10 -- ð--7Þ = 10 + 7 = 17 Når vi multipliserer et positivt tall og et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 ð--5Þ = --125 Når vi dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 : ð--5Þ ¼ --5 Når vi multipliserer to negative tall, blir svaret et positivt tall. --25 ð--5Þ = 125 Når vi dividerer et negativt tall med et negativt tall, blir svaret et positivt tall. --25 : ð--5Þ = 5
Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved å dividere tallene med hverandre. Forholdet mellom 5 og 25 er 5 : 25 = 1 : 5
Trekanttall Vi får trekanttall ved å summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover. 1+2=3 1+2+3=6
3 er et trekanttall 6 er et trekanttall
35
2xei + xei + 5 = 3xei + 5
2x + x + 5 = 3x + 5
2Algebra
Det var araberne som først begynte å regne med bokstaver. De brukte ordet «sai» når de regnet med ukjente tall. I middelalderen ble mange bøker oversatt fra arabisk til spansk av spanske munker. De oversatte ordet «sai» med «xei», og etter hver gikk man over til å bruke bare den første bokstaven i ordet «xei», nemlig x, når man regnet med ukjente tall. Derfor er det vanlig å bruke bokstaven x når vi regner med ukjente tall i dag.
Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . . .
enkle algebraiske uttrykk regning med parenteser likninger med en ukjent løsning av ulikheter praktiske problemer med tall og regnemetoder
Han bruker x i stedet for den ukjente!
Algebra
Bokstavuttrykk Hm, det blir 2x + 7y. Jeg vil gjerne ha to x-er og sju y-er.
Hva kaller vi et regneuttrykk som inneholder bokstaver? Talluttrykk inneholder bare tall. Uttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstavene står da i stedet for tall. Hver bokstav kaller vi en variabel. En variabel er noe som varierer, det betyr at den kan ha forskjellig verdi. 2 5 + 7 10 er et talluttrykk. 2x + 7y
er et bokstavuttrykk.
Eksempel 2:1
Familien til Hanna skal på bilferie. De skal kjøre y kilometer. Lag et bokstavuttrykk som viser utgiftene dersom de må beregne 4 kr per kilometer. Løsning Utgiftene i kroner blir: 4y
38
2.1
Forklar forskjellen på talluttrykk og bokstavuttrykk.
2.2
Hvilke av regneuttrykkene er talluttrykk, og hvilke er bokstavuttrykk? A 235 -- 34 B 3x 5 C 15 -- y D 2ð5 + 4Þ
2.3
I en kiosk koster en brus 15 kr og et skolebrød 19 kr. Sara handler 3 flasker brus og 2 skolebrød. Hvilket talluttrykk viser hvor mye Sara må betale? A 15 + 3 + 19 + 2 C 15 3 19 2 B 15 3 + 19 + 2 D 15 3 + 19 2
2.4
Skriv et bokstavuttrykk som viser a) x multiplisert med 3 b) summen av 2x og 3y c) differansen mellom 2x og 3
2.5
Lotte kjøper smågodt til 99 kr per kg. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Lotte må betale for x kg.
2.6
Sara leser n blader hver uke. Hvilket av disse regneuttrykkene viser hvor mange blader Sara leser på 6 uker? A 6 n B 6+n C n -- 6 D n + n 6
Algebra
Oppgaver
39
Algebra
2.7
Herman sykler 2 km hver vei til skolen. Han sykler i x dager. Hva står bokstavuttrykket 4x for?
2.8
Lag et bokstavuttrykk som viser hva som finnes i sirkelen. x
x z
x
z
x y
z x
2.9
x
y
y
z z
Lag et bokstavuttrykk som viser omkretsen av figurene. a) b) c) b
2b
b
a
a
b
a b
a b
a
2.10 Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Simen må betale for x liter melk, y liter jus og z liter brus til sammen.
14,90 per liter
15,90 per liter
13,90 per liter
2.11 Martin svømmer to ganger i uka. Prisen for buss tur–retur svømmehallen er 50 kr, og det koster 60 kr i inngangspenger. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Martin må betale for n uker med svømming.
40
Vi regner ut verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn verdien til variablene.
Algebra
Sette tall inn i bokstavuttrykk
2x + 7y = ?
Hva blir svaret når x = 4 og y = 2?
Hvis x = 4 og y = 2 i bokstavuttrykket 2x + 7y, setter vi inn verdien til variablene og regner ut. 2x + 7y = 2 4 + 7 2 = 8 + 14 = 22 Eksempel 2:2
Regn ut 3a + 2b når a = 5 og b = 6
Løsning 3a + 2b = 3 5 + 2 6 = 15 + 12 = 27
Oppgaver 2.12 Sett inn x = 8 og y = 7. Regn ut. a) x + y b) 2x + 6y c) 4y – 4x
?
d) 4x + 3y
Martin har færre enn åtte mynter i lomma. Til sammen har han 60 kroner. Hvilke mynter kan Martin ha i lomma?
41
Algebra
2.13 a) Lag et bokstavuttrykk for omkretsen av figuren. b) Regn ut omkretsen av figuren når 1 a = 2, b = 3 og c = 1 2 a = 4, b = 6 og c = 2 a 3 a = 8, b = 12 og c = 4
c
b
2.14 Sara er x år eldre enn Aurora, som er 13 år. a) Skriv et bokstavuttrykk som viser hvor gammel Sara er. b) Hvor gammel er Sara hvis x = 4? 2.15 Regn ut omkretsen O av figurene når a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm, d = 4 cm, g = 4 cm og h = 3 cm. c) O = g + h + c a) O = 2a + 2b b) O = d
d
a
c
h
b
g
2.16 Sett inn x = 3, y = 4 og z = 2 og regn ut. y 4x 2x + y b) a) c) z y z
d)
2x + 2y x z
Regning med bokstavuttrykk Vi kan regne med variabler på samme måte som vi regner med tall. Vi vet at 2 + 2 + 2 = 3 2 6 + 6 + 6 = 3 6 På samme måte er x + x + x = 3 x a + a + a = 3 a 3 a = 3a
42
Husk! Vi sløyfer vanligvis gangetegnet mellom tall og bokstaver (variabler).
Vi ordner bokstavleddene i svaret etter alfabetet. 4x + 2y -- 2x + 3y = 4x -- 2x + 2y + 3y = 2x + 5y
Algebra
Når vi har bokstavuttrykk med flere variabler, trekker vi sammen ledd med for eksempel x og y hver for seg.
Regel
Når vi skal trekke sammen et bokstavuttrykk, adderer eller subtraherer vi ledd med like variabler. Eksempel 2:3
Regn ut. a) 7y + 3y -- y b) 4a + 6b -- 2a + 3b Løsning a) 7y + 3y -- y = 9y b) 4a + 6b -- 2a + 3b = 4a -- 2a + 6b + 3b = 2a + 9b
Oppgaver 2.17 Regn ut. a) x + x + x + x b) b + b + b
c) a + a + a + a d) xy + xy + xy
2.18 Regn ut. a) 2b + 2b b) 4x + 7x c) 11a -- 7a
d) 4y + 2y + 3y e) 2a + b + a + 4c -- 3b f ) 3x + y + z -- 4x + 3z
2.19 Regn ut. a) x + y + 3x + 5y b) 5b + 2a + 4a – 2b c) 3ab – 2ab + 3ab + 3ab
d) 3a + 4b + 4a – 6b e) 2xy + 4ab + 6xy -- 8ab f ) 12ab -- 9xy -- 9ab + 3xy
43
Algebra
Potenser og bokstavuttrykk På samme måte som vi kan skrive tall som potens, kan vi også gjøre det med variabler. 4 4 4 = 43 x x x = x3 Vi multipliserer og dividerer potenser med samme variabel på samme måte som med tall. 53 54 = 53 + 4 = 57 a3 a4 = a3 + 4 = a7 76 : 74 = 76 -- 4 = 72 y 6 : y 4 = y 6 -- 4 = y 2 Eksempel 2:4
Regn ut. d) ab ab
a) a6 a2 b) 2y 3y 3
2
e) 2x 3 + x + x
c) x 7 : x 5 Løsning a) a6 a2 = a6 + 2 = a8
d) ab ab = ðabÞ2
b) 2y 3 3y 2 = 2 3 y 3 + 2 = 6y 5
e) 2x 3 + x + x = 2x 3 + 2x
c) x 7 : x 5 = x 7 -- 5 = x 2
(ab )² = a²b ²
Oppgaver 2.20 Skriv svaret som én potens. a) y y b) a a a a c) x x x x x x d) ab ab ab
44
2.21 Skriv svaret som én potens. b) a2 a8 a) y 4 y 3
c) b4 b3 b2
d) x x 6 x 3
2.22 Skriv svaret som én potens. a) a4 : a2 b) x 8 : x 4
c) y 5 : y 5
d) ð2aÞ9 : ð2aÞ5
c) 7ðabÞ2 8ab d) 3x 2x 2 4x 3
2.24 Trekk sammen. a) y 4 + y 2 + y 2 b) 3x -- 2x 2 + x þ 2x 2
c) 3a + 3a2 + a -- 2a2 d) 3x + 2x 2 + 4x 3
2.25 Regn ut. a) 2ab 6ab b) 4b : 4b
c) 5z 2 4yz 3 d) 3y x 4 3y 3 2x 5
x ¹= x¹ˉ¹ = x˚ =1 x¹
Algebra
2.23 Regn ut. a) 3b 5b b) 3x 2 5x 3
Parenteser og bokstavuttrykk Når vi skal trekke sammen bokstavuttrykk som inneholder parenteser, løser vi opp parentesene på denne måten: Positivt fortegn: +ð4x + 3xÞ = 4x + 3x = 7x +ð4x -- 3xÞ = 4x -- 3x = x Negativt fortegn: --ð4x + 3xÞ = --4x -- 3x = --7x --ð4x -- 3xÞ = --4x + 3x = --x Legg merke til at når vi løser opp en parentes, bytter vi fortegn inne i parentesen om det står et minustegn foran parentesen. Regel
Når vi løser opp parenteser med plusstegn foran, forandrer vi ikke fortegnene inne i parentesen. Når vi løser opp parenteser med minustegn foran, forandrer vi fortegnet foran hvert ledd inne i parentesen. Hvis det står et tall eller bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi dette med hvert ledd inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi også forandre fortegn. Positivt fortegn: 5ð2a + 4aÞ = 5 2a + 5 4a = 10a + 20a = 30a Negativt fortegn: --5ð2a + 4aÞ = --5 2a -- 5 4a = --10a -- 20a = --30a
45
Algebra
Regel
Vi multipliserer et tall eller bokstavuttrykk med en parentes ved å multiplisere med hvert ledd inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi også forandre fortegn. Eksempel 2:5
Regn ut. Skriv svaret så enkelt som mulig. a) -- ð3a -- aÞ Løsning a) --ð3a -- aÞ = --3a + a = --2a
b) 4xð2x--3Þ
c) --2að2a--3aÞ
b) 4xð2x -- 3Þ = 4x 2x -- 4x 3 = 8x 2 -- 12x
c) --2að2a -- 3aÞ = --2a 2a -- 2a ð--3aÞ = --4a2 + 6a2 = 2a2
Oppgaver
Vi skriver bokstavuttrykk før talluttrykk i svaret.
2.26 Løs opp parentesene og regn ut. a) +ð3x + 4xÞ c) --ð4y + 4yÞ b) +ð5a -- 3aÞ d) --ð--4b -- 2bÞ
2+a =a +2
2.27 Løs opp parentesene og regn ut. a) 2ða + bÞ c) --3ð2 + xÞ b) 4ð2x -- yÞ d) --4ða + bÞ 2.28 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3að2a + aÞ c) --xðx + 2Þ b) 2xð3x -- 2xÞ d) --3aða -- 3aÞ
?
Hver rute skal inneholde summen av uttrykkene i de to rutene under. Forklar hvordan du vil gå fram for å fylle ut alle rutene i algebrapyramiden.
x
–3x 2x
2.29 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3ð5 + 6Þ + 4ð2 -- 5Þ c) 3xð2x + 4xÞ + 2xðx + 3xÞ b) 2að3 -- 5Þ -- 3að2 + 3Þ d) --að--4 -- 5aÞ -- 3að2 + aÞ
46
Algebra
Likninger Lurer på hva x kan være ...
Hvordan løser vi likningen 2x = 9? Vi kan løse likninger ved å legge til eller trekke fra like mye på hver side av likhetstegnet. Vi kan også multiplisere eller dividere alle leddene med det samme tallet. Når vi løser en likning vil vi vanligvis at den ukjente skal stå alene på venstre side av likhetstegnet, men den ukjente kan også stå alene på høyre side. Vi bruker ofte x for den ukjente i en likning, men vi kan også bruke andre bokstaver, som for eksempel a, t eller y. Regel
Husk at pluss, minus og er lik skiller de ulike leddene!
Vi kan løse en likning ved å legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet. Vi kan også løse en likning ved å multiplisere eller dividere alle leddene med det samme tallet.
47
Algebra
Eksempel 2:6
Løs likningene. a) 7 + x = 12
c) 3x = 18 z d) =8 12
b) 15 = a -- 6 Løsning a) 7 + x = 12 7 + x -- 7 = 12 -- 7 x=5 b)
Trekker fra 7 på begge sider
15 = a -- 6 15 + 6 = a -- 6 + 6 21 = a a = 21
c)
Legger til 6 på begge sider
Ettersom 21 = a, er også a = 21
3x = 18 3x 18 = 3 3 x=6
d)
Dividerer alle ledd med 3
z =8 12
z 12 = 8 12 12 z = 96
Multipliserer alle ledd med 12
Oppgaver 2.30 Løs likningene. a) x + 3 = 13
b) x – 5 = 17
c) 56 = x – 22
d) 11 = x + 7
2.31 Løs likningene. a) 2x = 42
b) 7x = 28
c) 3a = 15
d) 100 = 5x
2.32 Løs likningene. x a) = 6 7
48
b)
x =3 5
c) 12 =
x 2
d)
a = 10 12
a) 9 = 3 -- x
b) 2x + x = 12
c)
3x =6 2
d) 3x =
3 2
Algebra
2.33 Løs likningene.
Addere og subtrahere med x Vi kan legge til og trekke fra samme tall eller bokstavuttrykk på begge sider av likhetstegnet i en likning. Vi løser likningen 2x = 9 + x slik: 2x = 9 + x 2x -- x = 9 + x -- x x=9
Trekker fra x på begge sider
Eksempel 2:7
Løs likningene. a) 4x = 3x + 9 b) x = 10 -- 4x Løsning a) 4x = 3x + 9 4x -- 3x = 3x + 9 -- 3x
Trekker fra 3x på begge sider
1x = 9 x=9 b)
x = 10 -- 4x x + 4x = 10 -- 4x + 4x 5x = 10 5x 10 = 5 5 x=2
Legger til 4x på begge sider
Dividerer alle leddene med 5
Husk! Likningen må alltid balansere!
49
Algebra
Oppgaver 2.34 Løs likningene. a) 2x = 9 + x
b) 5x = 15 + 2x c) 3x = 12 – x
2.35 Løs likningene. a) 2x – 4 = 11 – 3x b) 7x + 6 = 12 + 3x
?
d) x – 8 = –3x
c) 8 + 6x = 3x + 20 d) –7x – 6 = –6x – 5
Martin, Simen og Herman selger pizzabiter på skolefesten. Martin selger 20 flere biter enn Simen, og Simen selger 40 færre biter enn Herman. Hvor mange pizzabiter kan de ha solgt?
2.36 Løs likningene. a) 4ðx -- 3Þ = 8 b) xð2 + 3Þ = 10
c) 3ð2 + xÞ = 4ðx -- 3Þ d) 2ðx + 5Þ -- 3ðx -- 2Þ = 4x -- 4
Multiplisere med x På samme måte som vi kan multiplisere alle leddene i en likning med tall, kan vi også multiplisere alle leddene med en variabel (bokstav). For å løse likningen 2 =
4 må vi «fjerne» x
4 x i nevneren i brøken . Det gjør vi ved x å multiplisere alle leddene med x. 2= 2 x =
4 x 4 x x
2x 4 = 2 2 x=2
50
Multipliserer alle leddene med x
Dividerer alle leddene med 2
Husk! Vi skiller leddene fra hverandre med + tegn og – tegn.
Algebra
Hvis likningen består av flere ledd, må vi huske på å multiplisere eller dividere alle leddene med samme tall eller samme bokstavuttrykk.
3+ x 3 =9–x
Regel
Vi kan løse en likning ved å addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med det samme tallet eller bokstavuttrykket på begge sider av likhetstegnet. Eksempel 2:8
Løs likningene. 9 a) = 3 x
b)
4x =8+x 3
Løsning a) 9 =3 x 9 x = 3 x x
Multipliserer alle ledd med x
9 3x = 3 3
Dividerer alle ledd med 3
3=x x=3 b)
4x =8+x 3 4x 3 = 8 3 + x 3 3 4x = 24 + 3x 4x -- 3x = 24 + 3x -- 3x
Multipliserer alle ledd med 3
Trekker fra 3x på begge sider
1x = 24 x = 24
51
Algebra
Oppgaver 2.37 Løs likningene. 2 a) = 4 x
b)
x =4 2
c) 6 =
3 x
d)
4x =8 2
2.38 Løs likningene. 15 =3 a) x
b)
x = 100 5
c) 4 =
24 2x
d)
5x = 25 2
b)
4 +4=2 x
c) 3 +
x x x = 9 -- x d) + x = + 3 3 4 2
2.39 Løs likningene. 3 a) 6 + = 9 x
Kvadratiske likninger Hm, denne likningen har to løsninger ...
x ² = 16
Likninger av typen x 2 = 16 kaller vi kvadratiske likninger. Ettersom både 42 og ð--4Þ2 er lik 16, så vil både x = 4 og x = –4 være løsningen på likningen x 2 = 16: Det vil altså si at x = 4 og x = –4 er løsningen på likningen x 2 = 16: Regel
Kvadratiske likninger har alltid to løsninger.
52
Løs likningene. a) x 2 = 25 Løsning a) x 2 = 25 pffiffiffiffiffi x = 25 eller x=5
eller
b) x 2 + 5 = 55
Algebra
Eksempel 2:9
pffiffiffiffiffi x = -- 25 x = --5
x 2 + 5 = 55
b)
x 2 + 5 -- 5 = 55 -- 5
Trekker fra 5 på begge sider
2
x = 50 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = 50 eller x = -- 50 x 7,07 eller x --7,07
Oppgaver 2.40 Løs likningene. a) x 2 = 16 b) x 2 = 4
c) x 2 = 36 d) x 2 = 64
2.41 Løs likningene. a) x 2 = 62 b) x 2 = 9,5
c) x 2 = 121 d) x 2 = 30,25
2.42 Løs likningene. a) x 2 + 4 = 40 b) x 2 -- 5 = 76
c) x 2 + 17 = 66 d) 78 = x 2 -- 67
2.43 Løs likningene. a) 2x 2 = 50 b) 3x 2 -- 5 = 28
?
For å finne kvadratroten av et tall bruker jeg som regel kalkulatoren!
c) 4x 2 + 3 = 9 d) 5x 2 -- 7 = 3x 2 + 11
I et tegneprogram blir arealet av et kvadratisk bilde halvert to ganger. Hva vil da ha skjedd med lengden på sidene til bildet?
53
Algebra
Å sette prøve på likninger Vi kan sette prøve på en likning ved å undersøke om venstre og høyre side av likningen har samme verdi. Vi setter da inn verdien for x og regner ut venstre og høyre side av likningen hver for seg.
Jeg tror svaret blir 6! Jeg undersøker ved å sette prøve! Venstre side:
Høyre side:
5x 3
4+x
5x =4+x 3
5 6 3 30 3 10
4+ 6 10
Verdien av venstre side av likhetstegnet er lik verdien av høyre side. x = 6 er derfor en riktig løsning.
Oppgaver 2.44 Hvilken av likningene gir x = 6 til svar? A 45 = 2x B 3x = 18 C 21 = 4x 2.45 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 7x = 42 b) 5x = 50 c) 64 = 4x 2
d) x 2 + 4 = 125
2.46 Løs likningene og sett prøve på svaret. x a) 2x – 3 = x c) = 7 6 b) 2 -- 3x = 8 -- 5x d) 2x 2 -- 5 = x 2 + 31 2.47 Løs likningene og sett prøve på svaret. x 7x a) + 5 = 9 -- 3x b) + x = 30 2 3
54
c) 3x 2 + 8 = 2x 2 + 152
Vi kan løse mange ulike problemer ved hjelp av likninger. Noen ganger kan det være lurt å lage en hjelpefigur.
Omkretsen av den likebeinte trekanten er 30 cm.
Algebra
Problemløsing og likninger
Hvor lange er sidene?
2x
2x
x
I den likebeinte trekanten på tavla er de lengste sidene dobbelt så lange som den korte. Vi kaller den korte siden for x. De lange sidene blir da 2x. Vi får likningen 2x + 2x + x = 30, der x er den korte siden. 2x + 2x + x = 30 5x = 30 5x 30 = 5 5 x=6 De lange sidene finner vi slik: 2x = 2 6 = 12 De lange sidene er 12 cm, og den korte siden er 6 cm. Vi kan kontrollere svaret slik: Omkretsen er 12 cm + 12 cm + 6 cm = 30 cm.
55
Algebra
Oppgaver 2.48 I et rektangel er lengden dobbelt så stor som bredden. Omkretsen av rektangelet er 42 cm. a) Kall bredden for x cm og still opp en likning. b) Hvor lange er sidene i rektangelet? 2.49 Du trekker 23 fra et ukjent tall og får 71 til svar. a) Kall det ukjente tallet for x, og still opp likningen. b) Løs likningen. 2.50 Hanna kjøper 5 pizzaer og 10 brus til en klassefest. Det koster til sammen 650 kr. Hvor mye koster en pizza dersom brusen koster 18 kr per flaske? Løs oppgaven ved hjelp av likning.
2.51 Hanna og Herman vil dele en pose med 47 karameller slik at Hanna får 11 karameller mer enn Herman. Hvor mange karameller får de hver? Løs oppgaven ved hjelp av likning. 2.52 Simen har to søsken som heter Tone og Espen. Espen er to år eldre enn Simen, mens Tone er dobbelt så gammel som Simen. Til sammen er de 54 år. Hvor gamle er hver av dem?
56
x
2x
Jeg er 13 år og større enn deg.
Algebra
Ulikheter
Ja, jeg er bare 8 år og mindre enn deg.
Hvordan kan vi lage et uttrykk som viser aldersforskjellen? Vi bruker symbolene < (mindre enn) og > (større enn) for å vise ulikheter. Vi skriver 13 > 8
13 er større enn 8
8 < 13
8 er mindre enn 13
Vi kan legge til eller trekke fra like mye på hver side i en ulikhet, som for eksempel: 13 > 8 13 + 3 > 8 + 3 16 > 11
Legger til 3 på begge sider
16 > 11 16 -- 3 > 11 -- 3
Trekker fra 3 på begge sider
13 > 8
57
Algebra
Eksempel 2:10
Løs ulikheten. x +4<8 Løsning x +4<8 x + 4 -- 4 < 8 -- 4
Trekker fra 4 på begge sider
x<4
Oppgaver 2.53 Løs ulikhetene. a) x + 3 < 9
b) x + 7 < 12
c) x -- 5 < 5
d) x + 3 > 11
2.54 Løs ulikhetene. a) x + 1,5 < 6,5 b) x + 3,5 > 6
c) --2,5 + x < 4
d) x + 11 > 3
2.55 Løs ulikhetene. a) 2x + 2 < x + 8 b) 3x + 5,5 > 2x + 6,5
c) --2,5 -- 5x < 3,5 -- 6x d) 5x -- 1,5 > 3x + 3,5
Vi kaller uttrykket for en ulikhet.
6> 3
? 58
Figurene er lagd av pinner. Finn et uttrykk for neste figur i mønsteret.
1
Hva er forskjellen på et talluttrykk og et bokstavuttrykk?
2
a) Lag et bokstavuttrykk som viser omkretsen av figuren.
Algebra
Prøv deg selv
b a b
a c c
b) Hanna kjøper kjøttdeig til 69 kr/kg. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Hanna må betale for x kg. 3
Skriv så enkelt som mulig. a) z + z + z + z b) 6a + 5a
c) 2r + 4r – r d) 7y + 2x – 3x + y
4
Sett inn x = 3 og y = 5 og regn ut. a) 2x + 3y c) 3x + 2y b) x + y d) x 2y
5
Skriv som potens. a) a a a b) x x x x x
c) z z d) 2b 2b 2b 2b
Regn ut. a) x 3 + x 3
b) a4 + a4
c) 2x 5 + 2x 5
d) 2y 2 + y 3
Regn ut. a) a4 a3
b) x 3 x 3
c) x 7 : x 2
d) 3a3 2a4
6
7
8
Løs opp parentesene og regn ut. a) 3ðx -- 5Þ c) --ð4x + 3xÞ b) 3ð4a + 3aÞ d) --ð2x -- 5xÞ
9
Løs likningene. a) 42 = 13 + x b) a – 9 = 0
c) x – 12 = 12 d) 22 + 2 = 14 + x
59
Algebra
10
Løs likningene. a) 2x = 16
11
12
Løs likningene. 3 a) 1 = x b) 4x -- 2 = 3x + 4
c)
x =4 4
d)
3x = 15 2
c) --x + 2 = 3x -- 8 x d) 3x = + 15 2
Løs likningene. a) x 2 = 49 b) x 2 = 64
60
b) 35 = 5x
8 x 2 d) 3x + 3 = x 2 + 27
c) 2x =
13
Sett prøve og vis hvilke av likningene som har løsningen x = 4. 4 A 6x = 24 B x 2 + 2 = 18 C =2 x
14
Fra vannkranen til badekaret kommer det 20 liter vann på ett minutt. Hvor lang tid vil du bruke på å fylle hele badekaret hvis det rommer 200 liter? Still opp en likning og finn svaret.
15
Løs ulikhetene. a) 9 + x > 10 b) x -- 50 < 145
c) x -- 8 > 2 d) x + 60 > 200
1
Algebra
Noe å lure på Matematikkgeniet Carl Friedrich Gauss (1777–1855) fant i ung alder en formel for å summere de hundre første naturlige tallene. Summen blir 5050, men hva er formelen?
Hva blir summen av de ti første naturlige tallene?
Carl Friedrich Gauss
2
Sara har like mange 10-kronestykker som Martin har 5-kronestykker. 10-kronestykkene til Sara er verdt 75 kr mer enn 5-kronestykkene til Martin. Hvor mange kroner har de til sammen?
3
En blomst med potte koster 260 kr. Blomsten koster 190 kr mer enn potta. Hvor mye koster blomsten, og hvor mye koster potta? Sett opp en likning og finn svaret.
61
Algebra
Gull- og sølvbarre
4
En gullbarre veier 4,5 kg mer enn en sølvbarre. Seks gullbarrer og to sølvbarrer veier like mye som tre gullbarrer og seks sølvbarrer. Hvor mye veier én gullbarre, og hvor mye veier én sølvbarre?
5
Her ser du en vekt som er i balanse. Hvilke tall skal stå i stedet for x og y?
x y 2kg
62
Algebra
Oppsummering Bokstavuttrykk Regneuttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven står da i stedet for et hvilket som helst tall. Bokstaven kaller vi en variabel. A = g h O = 2a + 2b
Sette inn tall i bokstavuttrykk Vi finner verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn tall for variablene og regne ut uttrykket som et talluttrykk. Hvis vi setter a = 4 og b = 6 inn i bokstavuttrykket 2a + 2b, får vi: 2a + 2b = 2 4 + 2 6 = 8 + 12 = 20
Regning med bokstavuttrykk Når vi regner med bokstavuttrykk, kan vi bare trekke sammen ledd som har den samme variabelen. Hvis vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med hverandre, multipliserer eller dividerer vi tall med tall og bokstavledd med bokstavledd. 5a + 3b + 2a -- 2b = 7a + b 3x 5y = 15xy 3a2 2a3 = 6a5 x7 : x3 = x4
Bokstavuttrykk og parenteser Når vi løser opp en parentes med plusstegn foran, endrer vi ikke fortegnene inne i parentesen. Vi løser opp en parentes med minustegn foran ved å endre fortegnene på alle leddene inne i parentesen. 4x + ð2x + 3Þ = 4x + 2x + 3 = 6x + 3 6x -- ð3x -- yÞ = 6x -- 3x + y = 3x + y
63
Algebra
Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi tallet eller bokstavuttrykket med alle leddene inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi bytte fortegn på alle leddene inne i parentesen. 2xð5 + 7Þ = 2x 5 + 2x 7 = 10x + 14x = 24x --2xð5 -- 7Þ = --2x 5 -- 2x ð--7Þ = --10x + 14x = 4x
Likninger Vi kan legge til eller trekke fra samme tall eller samme bokstavuttrykk på begge sider av likhetstegnet i en likning. Vi kan også multiplisere eller dividere alle leddene i en likning med det samme tallet eller det samme bokstavuttrykket. 6= 6 x = 6x 6x -- 4x 2x 2 x
= = = =
4 +4 x 4 x + 4 x x 4 + 4x 4 + 4x -- 4x 4 2 2
Likninger av typen x 2 = 25 kaller vi kvadratiske likninger. Kvadratiske likninger har alltid to løsninger. x 2 = 25 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = 25 eller x = -- 25 x=5
64
eller x = --5
Vi setter prøve på en likning ved å sette inn verdien for den ukjente og undersøke om venstre og høyre side av likhetstegnet får samme verdi.
Algebra
Å sette prøve på likninger
3x + 4 = 8 + 2x 3x -- 2x = 8 -- 4 x=4 Prøve: Venstre side:
Høyre side:
3x + 4 3 4 + 4 12 + 4 16
8 + 2x 8 + 2 4 8+8 16
Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 4 er derfor riktig løsning.
Ulikheter Vi løser ulikheter ved å legge til eller trekke fra samme tall på begge sider av ulikhetstegnet. Symbolet < betyr mindre enn, og symbolet > betyr større enn. x + 4 < 12 x + 4 -- 4 < 12 -- 4 x<8 x er mindre enn 8.
65