Faktor
atiinknket Mauntgedm omstr
8
Faktor
for
på Komponentar ne: 8.u–n1nb0ok. tOrpipn gåv Gr
Nynorsk
Lærarens bok åvebok
pg Alternativ op
l a t i g i D r o t k a F du.no) (faktor.c
Ar: komponent s illegg T Eksamensførebuande hefte
Temahefte
Regelhefte
ttstad)
ma (ne Faktora
Faktor
te
Grunnbok
Fordjupingshef
8
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen
Grunnbok ISBN 978-82-02-44130-2 ISBN 978-82-02-44130-2
9 788202 441302 www.cdu.no
Matematikk for ungdomstrinnet
Nynorsk
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner
Faktor
8 Grunnbok Nynorsk
Dette er Faktor 8 Grunnbok. Til grunnboka høyrer det ei oppgåvebok. Her ser du ungdommane som skal følgje deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet:
Faktor 8
Hei til deg som skal bruke Faktor!
Lotte Hanna Herman Sara Simen Martin
Kvart kapittel i grunnboka består av fire delar:
Nokre av oppgåvene er merkte med desse symbola:
Lærestoff og oppgåver
Kalkulator
Prøv deg sjølv
Finn ut
Noko å lure på Oppsummering
?
Frioppgåve Digitale verktøy Utfordrande oppgåve
Bakarst i boka finn du ein liten manual for bruk av kalkulator, rekneark og GeoGebra. I oppgåveboka finn du øvingsoppgåver i tre vanskegrader til kvart kapittel. Alle kapitla har også eit oppgåvesett med repetisjonsoppgåver. Kategori 1 Litt av kvart
Kategori 2 Kategori 3 Øvingsoppgåver for digitale verktøy
Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennande å lære! Vi har laga ei bok som vil hjelpe deg med å nå måla for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet!
Helsing forfattarane Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen
3
Innhald
Innhald 1 Tal og talforståing .................... 7 Naturlege tal.................................... 8 Hovudrekning ................................ 17 Desimaltal ...................................... 19 Overslagsrekning ........................... 28 Negative tal ................................... 31 Potensar ......................................... 35 Reknerekkjefølgje .......................... 37 Prøv deg sjølv ................................. 41 Noko å lure på ............................... 43 Oppsummering ............................... 44
2 Brøk .......................................... 47 Kva er brøk?................................... 48 Utviding og forkorting av brøkar.. 53 Addisjon og subtraksjon av brøkar med lik nemnar ................. 58 Addisjon og subtraksjon av brøkar med ulik nemnar ............... 61 Uekte brøk og blanda tal.............. 66 Brøk og desimaltal......................... 70 Brøk og multiplikasjon .................. 74 Brøk og divisjon ............................ 77 Prøv deg sjølv ................................. 79 Noko å lure på ............................... 81 Oppsummering ............................... 82
3 Prosent ..................................... 85 Prosentomgrepet........................... 86 Prosent som brøk .......................... 90 Prosent og desimaltal.................... 94 Prosent av eit tal ........................... 96 Å finne prosenten ......................... 99 Prøv deg sjølv ............................... 102 Noko å lure på ............................. 104 Oppsummering ............................. 105
4
4 Geometri................................. 107 Linjer og punkt............................ 108 Vinklar .......................................... 110 Trekantar...................................... 114 Firkantar....................................... 118 Omkrins........................................ 122 Teikning og konstruksjon av normalar ................................. 128 Konstruksjon av vinklar ............... 134 Konstruksjon av trekantar ........... 141 Prøv deg sjølv ............................... 144 Noko å lure på ............................. 147 Oppsummering ............................. 149
5 Statistikk ................................ 153 Frekvens....................................... 154 Stolpediagram ............................. 157 Ulike sentralmål og variasjonsbreidd........................... 161 Linjediagram ................................ 168 Gjennomføre ei undersøking ...... 172 Prøv deg sjølv ............................... 173 Noko å lure på ............................. 176 Oppsummering ............................. 178
6 Tal og algebra ....................... 181 Taluttrykk ..................................... 182 Uttrykk med variablar.................. 185 Setje tal inn i uttrykk................... 188 Rekning med bokstavuttrykk ...... 190 Likningar ...................................... 193 Prøv deg sjølv ............................... 200 Noko å lure på ............................. 202 Oppsummering ............................. 204
Innhald
7 Måling og einingar................ 207 Lengd........................................... 208 Målestokk..................................... 211 Areal............................................. 216 Volum........................................... 220 Masse ........................................... 226 Tid ................................................ 229 Veg, fart, tid ................................. 233 Prøv deg sjølv ............................... 237 Noko å lure på ............................. 240 Oppsummering ............................. 242 Manual for digitale verktøy ...... 244 Kalkulatoren................................. 245 Rekneark ...................................... 248 GeoGebra..................................... 252 Fasit ............................................. 260 Stikkord ....................................... 283
5
Jippi!
Utruleg! Han bruker eit symbol for ingenting! Om eg berre hadde visst!
1
Tal og talforståing
Ca. 600 år før vanleg tidsrekning hende det noko rart i India. Ein kjøpmann sat ein dag og rekna då han oppdaga noko lurt. Med hjelp av sifferet 0 og eit plassverdisystem kunne han skrive store tal på ein enkel måte. Det titalsystemet vi brukar i dag, byggjer på denne oppdaginga.
Mål I dette kapittelet skal du få lære om . . . . . . .
titalsystemet med heiltal og desimaltal rekning med potensar primtal og sammensette tal dei fire reknemåtane rekkjefølgja på rekneoperasjonar avrunding av heile tal og desimaltal sortering av tal
Eg forstår. Ingen tiarar i 102 ...
Tal og talforståing
Naturlege tal Ja, vi har eit plassverdisystem.
555
Kan like siffer ha ulik verdi?
Kva meiner vi med eit plassverdisystem?
Dei første tala vi lærer om, er naturlege tal. Det er dei heile tala frå og med 1 og oppover: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Vi deler dei naturlege tala opp i partal og oddetal. Partal: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Oddetal: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... Regel
Dersom vi kan dele eit tal med 2, er det eit partal. Dersom vi ikkje kan dele talet med 2, er det eit oddetal. Talsystemet vårt er bygd opp slik at vi kan skrive alle tal med hjelp av desse ti siffera: 0
1
2
3
4
5
6
Det er derfor talsystemet vårt heiter titalsystemet.
8
7
8
9
Regel
Dess fleire siffer det er i eit naturleg tal, dess større er talet.
Tal og talforståing
Talet 7 er skrive med eitt siffer. Då er 7 eit einsifra tal. Talet 1234 er skrive med fire siffer. Då er 1234 eit firesifra tal.
Eksempel 1:1
Kva for eit er det største talet av 1001 og 999? Løysing 1001 er sett saman av fire siffer. 999 er sett saman av tre siffer. Difor er 1001 større enn 999. Oppgåver 1.1
1.2
1.3
Skriv eit tal som er a) tresifra b) femsifra
c) einsifra
d) sekssifra
Kor mange siffer har tala? a) 15 b) 105
c) 8
d) 1001
Skriv tala med hjelp av siffer. a) Femtisju b) Eitt hundre og tjue fem
c) Fire hundre og nitti d) Nitten tusen og fire
1.4
Skriv tala etter storleik. Start med det minste talet. a) 14 3 4 21 17 71 8 b) 111 99 101 909 1111 c ) 7320 7230 7032 7023 1111 er større enn
1.5
Skriv talet som er a) 3 større enn 98 b) 37 mindre enn 136 c) 300 større enn 701 d) 2 mindre enn 10 000
1.6
Bruk siffera 5, 7, 1 og 9 til å skrive eit tal som kjem så nær som mogleg til a) 10 000 b) 7000 c) 1000
999!
9
Tal og talforståing
1.7
Skriv det største og det minste talet som det er mogleg å skrive med desse siffera: 6
8
1
1
7
Plassverdi og utvida form Den plassen eit siffer har i eit tal, bestemmer kva verdi sifferet har.
5 9 4 6
TUSENARAR HUNDRARAR
TIARAR
EINARAR
Vi seir at sifferet 5 har plassverdi tusen, sifferet 9 plassverdi hundre, sifferet 4 plassverdi ti og sifferet 6 plassverdi éin. Vi kan også sjå korleis tala er sette saman om vi skriv dei på utvida form. 254 = 200 + 50 + 4 = 2 100 + 5 10 + 4 1 Utvida form
Vi les talet 254 slik: to hundre og femtifire. Avstanden frå jorda til månen er ca. 384 000 km. Dette talet les vi slik: «tre hundre og åttifire tusen». 384 000 = 3 100 000 + 8 10 000 + 4 1000 Jordoppgang teken frå Apollo 8 24. desember 1968.
10
Hundretusenarar
Titusenarar
Tusenarar
Hundrarar
Tiarar
Einarar
3
8
4
0
0
0
Tal og talforståing
Skriv vi siffera inn i ein tabell, ser vi lettare kva dei betyr:
Eksempel 1:2
Skriv 4097 på utvida form. Løysing 4097 = 4000 + 90 + 7 = 4 1000 + 0 100 + 9 10 + 7 1 = 4 1000 + 9 10 + 7 1
Oppgåver 1.8
1.9
Skriv tala med ord. a) 97 b) 347
c) 5451
Kva plassverdi har sifferet 7 i desse tala? a) 107 b) 1709 c) 7609
1.10 Kva plassverdi har sifferet 5 i desse tala? a) 25 b) 250 c) 1562
d) 450 800
d) 1 278 005
d) 225 700
1.11 Lag ein tabell som den du ser øvst på sida, og plasser siffera på rett plass. a) 457 c) 6406 e) 59 067 b) 3659 d) 12 978 f ) 104 007 1.12 Skriv tala på utvida form. a) 245 c) 5064 b) 527 d) 45 489
e) 70 809 f ) 2 001 097
1.13 Skriv tala på vanleg måte. a) 2 1000 + 3 100 + 4 10 + 5 1 b) 7 1000 + 6 10 + 5 1 c) 9 10 000 + 8 100 + 7 10 + 1 1 d) 5 10 000 + 4 1000 + 5 10
11
Tal og talforståing
1.14 I august 2012 landa roveren Curiosity på planeten Mars. Avstanden frå jorda til Mars er rekna ut til å vere ca. 500 millionar km. Skriv talet 500 millionar på utvida form.
Roveren Curiosity landa på Mars 6. august 2012.
Primtal og samansette tal Vi kan skrive talet 24 som eit produkt på fleire måtar: 8 3
6 4
12 2
24 1
Dette kan vi vise med å teikne opp eit rektangel for kvart av stykka: 8 3 = 24
6 4 = 24
12 2 = 24
24 1 = 24
Talet 13, derimot, kan vi berre skrive som eit produkt på éin måte: 13 1 = 13
Vi kan dele 24 med fleire tal enn seg sjølv og 1. Derfor er 24 eit samansett tal. Vi kan berre dele 13 med seg sjølv og 1. Derfor er 13 eit primtal.
12
Tal og talforståing
Regel
Eit samansett tal kan delast med fleire tal enn seg sjølv og 1. Eit primtal kan berre delast med seg sjølv og 1.
2 er det einaste talet som er både primtal og partal.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Oppgåver 1.15 Kva for nokre av tala er primtal? 12 13 14
15
1.16 Vis kva for tal som er samansette tal. 4 7 11 15
21
42
23
61
95
1.17 Skriv primtala mellom 20 og 40. 1.18 Dei ti første primtala er 2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
Skriv dei ti neste primtala.
?
Eit rektangel består av 48 like ruter. På kor mange ulike måtar kan du teikne dette rektanglet?
13
Tal og talforståing
Faktorisering
Faktor faktor = produkt
Når vi faktoriserer eit tal, finn vi kva for faktorar talet er sett sammen av. Er alle faktorane primtal, kallar vi faktoriseringa for primtalsfaktorisering. 30 = 2 15 30 = 5 6 30 = 2 3 5
Alle faktorane er primtal
Vi kan dele opp tal i fleire og fleire faktorar, heilt til alle faktorane er primtal. Dette kan vi gjere slik med for eksempel tala 42 og 45: 42
2
42 er deleleg med 2
45
3
45 er deleleg med 3
21
3
21 er deleleg med 3
15
3
15 er deleleg med 3
7
7
7 er deleleg med 7
5
5
5 er deleleg med 5
1
1
Vi kan skrive 42 og 45 som eit produkt av primtalsfaktorar på denne måten: 42 = 2 3 7 |fflfflffl{zfflfflffl}
45 = 3 3 5 |fflfflffl{zfflfflffl}
Alle faktorane er primtal.
Oppgåver 1.19 Skriv tala som produkt av primtal. a) 10 c) 12 e) 15 b) 16 d) 24 f) 14
?
14
Finn talet! . . .
Talet har tre primtalsfaktorar. To av faktorane er 2 og 3. Talet har tverrsummen 6.
g) 25 h) 21
d) 24
e) 30
f ) 36
1.21 Skriv tala som produkt av primtal. a) 40 b) 50 c) 63
d) 75
e) 81
f ) 100
1.22 Kva for nokre av desse tala er primtal? 36 51 71 91
Tal og talforståing
1.20 Skriv tala som produkt av primtal. a) 6 b) 9 c) 20
101
1.23 Skriv av og set inn dei rette primtala i rutene: a) 15 = & & c) 28 = & & & b) 49 = & & d) 16 = & & & & 1.24 Skriv tala frå 1 til 60 i seks kolonnar. Start slik: 1 2 3 4 7 8 9 10 13 14 ...
5 11
6 12
a) Set ein ring rundt alle primtala Kor finn du primtala? b) Er det nokon partal som også er primtal?
Avrunding av heile tal Til ein konsert blei det selt 23 245 billettar. I avisa dagen etter stod det at det hadde vore ca. 23 000 tilskodarar på konserten. Det betyr at talet i avisene er runda av til det nærmaste tusentalet. Eksempel 1:3
Rund av 23 245 til a) det nærmaste titalet b) nærmaste hundretalet Løysing a) Vi rundar av oppover til nærmaste titalet dersom det er 5 einarar eller fleire. Her er det 5 einarar. Avrundinga blir derfor slik: 23 245 23 250 b) Vi rundar av nedover til det nærmaste hundretalet dersom det er 4 tiarar eller færre. Her er det 4 tiarar. Avrundinga blir derfor slik: 23 2 4 5 23 200 Konsert i Stockholm
15
Tal og talforståing
Oppgåver 1.25 Rund av til nærmaste tital. a) 86 b) 124 c) 235
d) 2468
1.26 Rund av til nærmaste hundretal. a) 178 b) 2467 c) 943
d) 12 869
1.27 Rund av til nærmaste tusental. a) 8563 b) 976
c) 9555
d) 29 589
1.28 Her ser du ein modell av solsystemet vårt. Rund av avstandane til nærmaste millionar kilometer.
16
Sola – Mars
227 900 000 km
Sola – jorda
149 600 000 km
Sola – Venus
108 210 000 km
Sola – Merkur
57 910 000 km
Eg reknar oppover frå 38. 60 – 38
Tal og talforståing
Hovudrekning
38 + 46
Det er fleire måtar å rekne på.
Korleis vil du rekne ut stykka på tavla?
Når vi reknar i hovudet, brukar vi ulike metodar. Her er forslag til korleis vi kan rekne ut stykka på tavla:
38 + 46 = 30 + 40 + 8 + 6 = 70 + 14 = 84
38 + 46 = 38 + 2 + 44 = 40 + 44 = 84
Legg saman tiarar og einarar kvar for seg
Fyll opp til nærmaste tiar
60 -- 38 = 62 -- 40 = 22 Legg til like mykje til kvart ledd
60 -- 38 = 60 -- 30 -- 8 = 30 -- 8 = 22
Trekk frå tiarane først
17
Tal og talforståing
Ledd + ledd = sum Ledd – ledd = differanse
Oppgåver 1.29 Rekn ut i hovudet. a) 19 + 49 b) 18 + 32 c) 153 + 106 d) 416 + 81 1.30 Rekn ut i hovudet. a) 48 – 22 b) 67 – 35
c) 101 – 63
d) 500 – 368
1.31 Rekn ut i hovudet. a) 48 + 29 b) 158 + 138
c) 451 – 147
d) 400 – 256
1.32 Under ein skuletur til Danmark budde 27 norske elevar saman med 38 danske elevar. Rekn ut i hovudet kor mange elevar det var til saman. 1.33 Ein fiskar fekk 57 fiskar før lunsj og 132 fiskar etter lunsj. Rekn ut i hovudet kor mange fiskar han fekk i alt. 1.34 Rekn ut i hovudet. a) Sara har 178 kr. Herman har 29 kr meir enn Sara. Kor mange kroner har Herman? b) Martin har 37 kr meir enn Lotte. Lotte har 247 kr. Kor mange kroner har Martin? c) Ei gruppe med elevar skal på skitur. Eit heiskort kostar 255 kr, og bussen kostar 86 kr per elev. Kor mykje kjem turen på per elev? d) Den romerske hærføraren og herskaren Julius Cæsar var fødd i år 100 før vanleg tidsrekning. Han blei drepen då han var 56 år gammal. I kva år blei han drepen?
?
18
2 vaflar og 4 koppar buljong kostar til saman 78 kr. Kor mykje kan ein vaffel og ein buljong koste?
Tal og talforståing
Desimaltal Kva for eit tal er størst? 0,9
0,10
Kor mange desimaltal er det mellom 0 og 1?
Når vi skal telje, brukar vi dei naturlege tala. Men i det daglege får vi ofte bruk for desimaltal.
15
59
22
9,9
0
,90
Her er ei tallinje frå 1 til 2:
3,5
0
Du ser dei for eksempel på prislappar i butikkane.
1
2
1,1
1,23
1,5
1,81
Det finst uendeleg mange tal mellom 1 og 2. Regel
Når vi skriv eit tal som ikkje er eit heilt tal, brukar vi desimalar. Siffera bak desimalteiknet i eit desimaltal kallar vi desimalar.
19
Tal og talforståing
Desimalane har plassverdiane tidelar, hundredelar, tusendelar osv. Talet 4,156 er sett saman av 4 einarar, 1 tidel, 5 hundredelar og 6 tusendelar. Dersom Lotte og Martin skal dele 75 kr, blir det 37,50 kr på kvar. Dette reknar vi ut slik: 75 kr : 2 = 37,50 kr Talet 37,50 kan vi skrive på utvida form slik: 37,50 = 3 10 + 7 1 + 5 0,1 + 0 0,01 Vi kan skrive siffera inn i ein tabell på den sama måten som på side 11. Tiarar
Einarar
Tidelar
Hundredelar
3
7,
5
0
Dei mest bruka plassverdiane i talsystemet vårt er: tusen – hundre – ti – éin – tidel – hundredel – tusendel
6 4,3 2 5
Desimalteiknet skal alltid stå mellom einarane og tidelane.
TIARAR EINARAR TIDELAR HUNDREDELAR
TUSENDELAR
I tabellen under ser du fleire eksempel: Tal
Tusenarar Hundrarar Tiarar Einarar Tidelar
30,672
Tusendelar 2
3
0,
6
7
129,56
1
2
9,
5
6
308,065
3
0
8,
0
6
5
4,
6
0
4,
6
54,6 2304,6
20
Hundredelar
2
3
5
1.35 Teikn same tabell som den som er vist på side 20, og set tala inn i tabellen. a) 13,4 b) 16,31 c) 27,32 d) 20,03 e) 7312,308 1.36 Skriv eit tal som er a) større enn 5 og mindre enn 6 b) større enn 7,9 og mindre enn 8 c) større enn 2,99 og mindre enn 3 d) større enn 4,97 og mindre enn 4,98 e) større enn 5,69 og mindre enn 5,70 f ) større enn 0 og mindre enn 0,001
Tal og talforståing
Oppgåver
1.37 Skriv av og set inn dei tala som manglar. a) 1,0 1,5 2,0 & & & & & 5,0 b) 1,0 1,1 & & & 1,5 c) 1,95 1,96 & & 1,99 & & 1.38 Rekn ut. a) 6,5 + 10,15 b) 45,7 + 10,42
c) 89,21 + 10,8 d) 45,6 -- 23,8
e) 100 -- 34,5 f ) 123,1 -- 97,8
10 10
32,4 – 16,8 = 6
Hugs desimalteikn under kvarandre!
1.39 Skriv tala etter storleik. Start med det minste talet. a) 4,52 3,96 15 4,09 b) 130,7 15,75 131 159,96 c) 4,502 4,052 4,250 4,520 d) 0,9 0,10 0,09 0,15 e) 0,02 0,019 0,021 0,018
21
Tal og talforståing
1.40 Seks elevar sprang 60 m i ein kroppsøvingstime. Resultatet blei: Arve 9,2 s Berit 8,7 s Cecilie 9,1 s Doris 10,0 s Espen 8,5 s Fredrik 9,0 s Sorter resultata i stigande rekkjefølgje. 1.41 Her ser du lengda til nokre insekt: Blomsterfluge 0,012 m Grashoppe 0,020 m Tege 0,008 m Sandveps 0,018 m Sorter tala i stigande rekkjefølgje. 1.42 Her ser du høgda til somme av dei høgaste byggverka i verda: Kheopspyramiden 146,5 m Notre Dame i Paris 141,0 m Empire State Building 381,9 m Domkyrkja i Köln 156,0 m Eiffeltårnet 300,5 m a) Sorter tala i fallande rekkjefølgje. b) Kor mykje høgare er Eiffeltårnet enn Domkyrkja i Köln? Eiffeltårnet sto ferdig til verdsutstillinga i Paris i 1889.
22
0,87
0,91
0,19
a) Rekn ut summen av det minste og det største talet. b) Rekn ut differansen mellom det største og det minste talet.
Multiplikasjon og divisjon med 10
Tal og talforståing
1.43 Sjå på desse tala: 0,9 0,12
Vi kan multiplisere eit tal med 10, 100, 1000 osv. ved å flytte desimalteiknet like mange plassar til høgre som det er nullar i talet vi multipliserer med. 4,5 10 = 45
4,35 100 = 435
0,3256 1000 = 325,6
Vi kan dividere eit tal med 10, 100, 1000 osv. ved å flytte desimalteiknet like mange plassar til venstre som det er nullar i talet vi dividerer med. 45 : 10 = 4,5
435 : 100 = 4,35
456 : 1000 = 0,456
Regel
Når vi multipliserer eit tal med 10, 100, 1000 osv., flyttar vi desimalteiknet like mange plassar til høgre som det er nullar i talet vi multipliserer med. Når vi dividerer eit tal med 10, 100, 1000 osv., flyttar vi desimalteiknet like mange plassar til venstre som det er nullar i talet vi dividerer med. Oppgåver 1.44 Teikn av og set inn tala som manglar i tabellen. Tal
10
862
8620
8,62
100
862
0,123 1.45
1000
123
Teikn av og set inn tala som manglar i tabellen. Tal
: 10
: 100
: 1000
5382 423 81
23
Tal og talforståing
1.46 Rekn ut i hovudet. a) 6,5 10 c) 10 0,52 b) 5,87 10 d) 100 4,8
e) 46,5 : 10 f ) 3,8 : 10
1.47 Skriv dei tala som manglar. a) & 3,6 = 36 c) 708 = & 100 b) 4,7 & = 470 d) 75 : & = 7,5
g) 3,8 : 100 h) 0,23 : 10
e) 835 : & = 8,35 f ) 6,07 = & : 1000
1.48 10 kg kveitemjøl kostar 73,50 kr. Kor mykje kostar 1 kg kveitemjøl? 1.49 Ein skrue kostar 0,15 kr. Kor mykje kostar 100 skruar? 1.50 Sara kjøper 1000 skruar og betalar 120 kr. Simen kjøper 100 skruar og betalar 15 kr. Kor mange øre meir betalar Simen per skrue enn Sara?
Rekning med desimaltal Nedanfor ser du eit eksempel på korleis vi multipliserer to desimaltal med kvarandre. To desimala
1
1
Faktor faktor = produkt
1 3, 4 2 ∙ 2, 3 4 0 2 6 2 6 8 4 3 0, 8 6 6 Tre desimalar
Regel
Når vi multipliserer desimaltal, er talet på desimalar i svaret (produktet) lik summen av talet på desimalar i faktorane.
24
3 1, 5 0 : 6 = 5, 2 5 3 0
Dividend : divisor = kvotient
1 5 1 2 3 0
Hundredelar Tidelar Einarar
Tal og talforståing
Skal vi dividerer 31,50 med 6, reknar vi slik:
3 0 0 I eksemplet ovanfor har vi dividert med eit heilt tal. Om vi skal dividere med eit desimaltal, må vi først gjere om divisoren til eit heilt tal ved å multiplisere han med 10, 100 eller 1000. Regel
Skal vi dividere eit tal med eit desimaltal, må vi først multiplisere både dividenden og divisoren med 10, 100 eller 1000, slik at divisoren blir eit heilt tal. Eksempel 1:4
Rekn ut: 2,94 : 1,4 Løysing 2,94 : 1,4 = ð2,94 10Þ : ð1,4 10Þ = 29,4 : 14 No kan vi utføre divisjonen: 29,4 : 14 = 2,1 28 14 14 0 Det vil altså seie at 2,94 : 1,4 = 2,1
25
Tal og talforståing
Oppgåver 1.51 Rekn ut og kontroller svara med kalkulatoren. a) 2,3 4 c) 2,2 3,4 e) 0,25 16,4 b) 8,5 7 d) 8,5 6,4 f ) 0,08 0,92 1.52 Rekn ut og kontroller svara med kalkulatoren. a) 27,5 : 11 c) 1,56 : 1,2 e) 79,5 : 15 b) 24,0 : 15 d) 48,3 : 0,21 f ) 0,72 : 0,09 1.53 Ein pose med 5 kg poteter kostar 31,50 kr. Kor mykje kostar 1 kg poteter? 1.54 Eit moteblad kjem ut med 13 nummer per år. Bladet kostar 49,50 kr i butikken. Kor mykje kostar det å kjøpe alle nummera av motebladet i eitt år?
1.55 1,5 kg eple kostar 30,60 kr. Kor mykje kostar a) 2,5 kg eple b) 3,2 kg eple
?
Hanna, Sara og Lotte kjøper tyggegummi og pastillar. Tyggegummien kostar 12 kr, og pastillane kostar 16 kr. Alle kjøper det same, og til saman betalar dei 120 kr. Kva kan dei ha kjøpt?
26
c) 7,8 kg eple d) 0,9 kg eple
Når vi reknar med desimaltal, får vi ikkje alltid eit endeleg tal med desimalar i svaret. Derfor rundar vi av til så mange desimalar som vi ønskjer. Avrunding til éin desimal: 4,03 cm 4,0 cm 4,08 cm 4,1 cm 4,16 cm 4,2 cm 4,25 cm 4,3 cm
Tal og talforståing
Avrunding av desimaltal
Når desimalen etter avrundingssifferet er 5 eller større, rundar vi av oppover. Avrunding til to desimalar: 2,433 cm 2,43 cm 1,245 cm 1,25 cm 0,597 cm 0,60 cm 1,995 cm 2,00 cm
Oppgåver 1.56 Rund av til ein desimal. a) 2,34 b) 4,65
c) 7,86
d) 5,46
1.57 Rund av til to desimalar. a) 4,567 b) 6,367
c) 6,777
d) 2,224
1.58 Rund av til tre desimalar. a) 1,5555 b) 4,8996
c) 0,0005
d) 7,9995
1.59 Rund av til eit heilt tal. a) 14,49 b) 5,50
c) 9,51
d) 99,62
1.60 Rund av til to desimalar. a) 5,586 b) 5,596
c) 5,895
d) 5,995
27
Tal og talforståing
Overslagsrekning 89,90 kr per kg
Vi har 500 kr. Har vi råd til å kjøpe heile fisken?
5,2 89,90 kr = ?
Korleis kan vi finne ut om lag kor mykje fisken kostar? I mange tilfelle treng vi ikkje å rekne ut nøyaktige svar. Til dagleg har vi ofte meir bruk for å rekne ut svar som er nokså rette, for eksempel når vi gjer eit overslag over kor mykje vi skal betale for varer i butikken. Ved overslagsrekning rundar vi av eitt eller fleire tal før vi reknar i hovudet. Lotte og Simen vil kjøpe ein fisk som veg 5,2 kg. Prisen per kilogram er 89,90 kr. For å finne ut om lag kor mykje dei må betale, rundar vi av 5,2 kg til 5 kg og 89,90 kr til 90 kr. 5,2 89,90 kr 5 90 kr = 450 kr Dei må altså betale ca. 450 kr. Nøyaktig utrekning: 5,2 89,90 kr = 467,48 kr Regel
I multiplikasjon blir overslaget best når vi rundar av det eine talet oppover og det andre talet nedover. I divisjon blir overslaget best når vi rundar av begge tala oppover, eller når vi rundar av begge tala nedover.
28
Onkel Jens kjøper 12,5 liter bensin til motorsykkelen sin. Han betalar 136,74 kr. Gjer eit overslag for å finne literprisen. Løysing 136,74 kr : 8,6 150 kr : 10 = 15 kr
Tal og talforståing
Eksempel 1:5
Literprisen er ca. 15 kr. Nøyaktig utrekning: 136,74 kr : 8,6 = 15,90 kr
Oppgåver 1.61 Gjer overslag. a) 9,2 4,3 b) 6,1 11,9
c) 19,1 12,1 d) 0,9 5,9
e) 97,5 12,3 f ) 106,9 93,7
1.62 Gjer overslag. a) 26,1 : 5,8 b) 103,2 : 11,1
c) 19,5 : 0,9 d) 41,1 : 6,7
e) 63,1 : 7,3 f ) 198,3 : 48,7
1.63 Martin kjøper 3,2 kg pølser til 48 kr per kilogram. Gjer eit overslag over kor mykje Martin må betale for pølsene. 1.64 Hanna arbeider i skobutikken om laurdagane. Ho tener 469,50 kr på 6 timar. Gjer eit overslag over kor mykje ho tener per time.
29
Tal og talforståing
1.65 Simen kjøper desse varene i butikken: 1,8 kg skinke til 160,50 kr per kilogram 2 hg kjøtpålegg til 11,50 kr per hektogram 1,8 kg appelsinar til 16,50 kr per kilogram 2 kartongar iste til 9,30 kr per kartong a) Lag eit overslag over kor mykje Simen må betale for kvart vareslag. b) Om lag kor mykje må Simen betale for alle varene? c ) Bruk kalkulatoren til å rekne ut nøyaktig kor mykje Simen må betale. 1.66 Sara og Simen er i butikken og handlar inn for klassen. Dei kjøper desse varene: 9 pakker pølser til 47,90 kr per stk. 4 pakker lomper til 7,90 kr per stk. 2 sekkar grillkol til 9,90 kr per stk. 1 flaske tennvæske til 8,90 kr a) Om lag kor mykje må dei betale for varene? b) Bruk kalkulatoren til å rekne ut nøyaktig kor mykje dei skal betale. 1.67 a) 3,8 kg pærer kostar 81,70 kr. Om lag kor mykje kostar 2 kg pærer? b) 3 hg smågodt kostar 34,50 kr. Om lag kor mykje kostar 2 hg smågodt? c) 35,0 L diesel kostar 542,50 kr. Om lag kor mykje kostar 50 L diesel?
30
Tal og talforståing
Negative tal No viser termometeret -4 °C.
I dag tidleg var temperaturen 3 °C.
Kor mange grader har temperaturen gått ned? Vi finn dei negative tala til venstre for 0 på tallinja, og kjenner dei igjen på termometeret. --4 er eit eksempel på eit negativt tal. På tallinja blir tala større dess lenger til høgre vi går. –7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 >-3 -5 <-4 Oppgåver 1.68 Skriv av og set < eller > mellom tala. a) 3 & 7 d) --10 & 0 b) --3 &--7 e) --1000 & --1001 c) 0 &--5 f ) --1000 & --2
31
Tal og talforståing
?
Finn ti tal mellom –5 og –1. Kva for eit av tala du har funne er størst, og kva for eit er minst?
1.69 Skriv tala etter storleik. Start med det minste talet først. a) --3 --5 0 1 --7 b) --999 --1000 --998 --1001 --1003 1.70 Kva for tre feilar finn du? A: --6 < -- 1 C: --6,2 > --2,8 B: --3 < -- 5 D: --10 > 0
E: --1,6 < --1,5 F: --100 > --101
1.71 Finn to eksempel frå dagleglivet der vi brukar negative tal.
Rekning med negative tal Ein ettermiddag viste termometeret 5°C. Om natta gjekk temperaturen ned med åtte grader. Morgonen etter var temperaturen --3°C. Dette kan vi setje opp som eit reknestykke slik: 5 -- 8 = --3 Vi kan også vise det på ei tallinje: –6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
–8
På same måte er --3 + 8 = 5 –6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
+8
32
5 -- 2
3
4 -- 2
2
3 -- 2
1
2 -- 2
0
1 -- 2
--1
0 -- 2
--2
--1 -- 2
--3
Kor mykje blir -2 - 2? Kva med -3 - 2?
Tal og talforståing
Sjå på tabellen nedanfor. Oppdagar du systemet?
--2 -- 2 --3 -- 2
Lotte vil kjøpe ein genser til 170 kr, men ho har berre 150 kr. Kor mykje manglar ho? Vi kan rekne slik: 170 kr – 150 kr = 20 kr
Eg manglar 20 kr.
Lotte manglar altså 20 kr. Det vil seie at 150 kr – 170 kr = –20 kr
Oppgåver 1.72 Rekn ut. a) 2 -- 10 b) --2 -- 3
c) --23 -- 17 d) 10 -- 25
e) --10 -- 15 f ) 100 -- 109
g) 72 -- 89 h) --58 -- 58
1.73 Rekn ut. a) 20 -- 10 b) --2,5 -- 4,0
c) --7,8 + 2,9 d) 2,5 -- 4,0
e) --20 + 40 f ) --40 -- 20
g) --2,5 + 2,5 h) --1,7 -- 2,6
33
Tal og talforståing
1.74 Eit termometer viser --8°C. Kva viser termometeret dersom temperaturen stig med a) ni grader b) tre grader c) åtte grader d) tolv grader 1.75 Mount Everest i Nepal er 8848 m høgt. Challengerdjupet i Stillehavet er 11 034 m djupt. Kor stor er forskjellen i meter?
T. Norgay og sir E. Hillary var i 1953 dei første som klatra til topps på Mount Everest.
1.76 Herman vil kjøpe ei lommelykt til 86 kr. Han har berre 70 kr. Kor mykje manglar han? 1.77 Augustus, den første romerske keisaren, døydde i år 14. Han blei 77 år gammal. Når var han fødd?
34
35
Vi les: tre i femte
Tal og talforståing
Potensar
Kva betyr uttrykket på tavla? Dersom vi multipliserer fleire like store tal med kvarandre, kan vi bruke ein kortare skrivemåte: 3 3 3 3 3 = 35 Uttrykket 35 kaller vi ein potens. Vi les «tre i femte potens» eller ofte berre «tre i femte». I potensen er 3 grunntalet og 5 eksponenten.
Grunntal
35
Eksponent
Eksponenten fortel kor mange gonger vi skal multiplisere grunntalet med seg sjølv.
Oppgåver 1.78 Skriv rekneuttrykka som potensar. a) 6 6 6 c) 5 5 5 5 b) 3 3 d) 10 10 10 10 1.79 Skriv som potens. a) 4 4 4 4 4 4 b) 7 7 7 7 7
e) 2 2 2 2 2 2 f ) 12 12 12
c) 8 8 8 8 8 8 8 8 d) 23 23 23 23
35
Tal og talforståing
1.80 Rekn ut potensane. a) 23 b) 103
c) 32 d) 28
e) 44 f ) 82
Hugs dette! 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4 = 20 5
4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4 = 1024
1.81 Skriv reknestykka ved å bruke ein kortare skrivemåte, anten som potens eller som multiplikasjon. a) 4 4 4 4 4 c) 3 3 e) 7 + 7 + 7 + 7 b) 6 + 6 + 6 d) 2 2 2 f) 10 10 10 10 1.82 Skriv uttrykka som vanleg multiplikasjon og rekn ut. c) 25 e) 53 g) 104 a) 23 b) 45 d) 92 f ) 1002 h) 10002 1.83 Skriv potensane med tal. a) To i tredje b) Fem i fjerde
c) Sju i andre
1.84 Skriv potensane med tal. a) Ti i sjette b) Ni i tiande
c) Sju i sjuande d) Tolv i femtande
d) Fire i åttande
1.85 Forklar kva eksponenten fortel oss. 1.86 Skriv svaret som éin potens dersom det er mogleg. Viss ikkje, rekn ut. a) 3 5 5 5 c) 25 53 e) 42 + 42 g) 104 : 102 5 4 2 3 b) 6 2 f) 3 3 d) 5 5 h) 1002 -- 102
36
Kanskje det er slik: 30 + ffl3} 50 = 1650 |fflfflfflffl{zfflfflffl 30 + 3 ∙ 50
33
Tal og talforståing
Reknerekkjefølgje
50 – 40 : 4
Eg reknar slik: 30 + |fflffl 3ffl {zfflffl 50 ffl} = 180 150
Kven har rekna rett? Når vi skal rekne ut 30 + 3 50, multipliserer vi dei to siste tala før vi adderer: 30 + 3 50 = 30 + 150 = 180 På same måten reknar vi ut 50 -- 40 : 4 slik: 50 -- 40 : 4 = 50 -- 10 = 40 Regel
Når det er fleire reknemåtar i eit uttrykk, reknar vi i denne rekkjefølgja: 1) multiplikasjon og divisjon 2) addisjon og subtraksjon Eksempel 1:6
Rekn ut: 100 -- 4 20 Løysing 100 -- 4 20 = 100 -- 80 = 20
37
Tal og talforståing
Dersom du brukar kalkulator, kan du multiplisere først og subtrahere til slutt:
NB! Minnetastane på ulike kalkulatorar kan verke på ulike måtar. Sjå bak i boka.
4 20 = 80 100 -- 80 = 20 Dersom du brukar minnetastane, kan du rekne slik: 100
4 20
Oppgåver 1.87 Rekn ut. a) 12 + 3 50 b) 80 -- 5 7
c) 24 + 12 : 3 d) 36 -- 42 : 7
e) 20 -- 4 3 f ) 13 + 15 : 3
Slik reknar eg! 3 ∙5 + 2 ∙6 = (3 ∙ 5) + (2 ∙ 6) = 15 + 12 = 27
1.88 Rekn ut. a) 3 5 + 2 6 b) 8 5 -- 4 6 1.89 Rekn ut. a) 4 5 -- 5 3 + 125 : 5 b) 6 5 : 3 + 8 7
38
c) 36 : 2 -- 6 2 d) 4 17 + 12 26
e) 126 4 -- 126 : 9 f ) 120 : 4 + 120 : 5
c) 16 : 4 -- 2 + 3 8 d) 3 2 -- 4 + 6 : 2 -- 3 + 4 + 4 3 -- 2
c) 23 -- 42 2 -- 1 3 + 33 d) ð17 -- 2Þ -- 2 4 + 4 52
1.91 Rekn ut. a) 54 : 6 + 33 -- 8 8 + 102 b)
36 : 6 -- 42 4 + 11 3 -- 7 7 6
c) 4 + 23 -- 5 7 --
81 + 42 9
Tal og talforståing
1.90 Rekn ut. a) 2 52 -- 15 : 3 + 20 : 22 b) 75 -- 3 15 -- 42 + 15 -- 2
d) 1002 -- 103 + 5 5 -- 24 : 3
1.92 På ei mobiltelefonrekning står det at 85 ringjeminutt kostar 41,65 kr. Kor mykje kostar 10 ringjeminutt? 1.93 Berit kjøper 5 liter bensin og 1 liter olje. Bensinen kostar 74,50 kr, og olja kostar 89,00 kr. Kor mykje kostar 8 L bensin og 1 L olje? 1.94 Reisebyrået Platonreiser har dette tilbodet på ein 2-vekers chartertur til Thailand: Vaksne 7990 kr, barn 5890 kr. a) Kva blir prisen for 2 vaksne? b) Lag eit rekneuttrykk som viser prisen for 2 vaksne og 3 barn. c) Kva blir prisen for 2 vaksne og 2 barn? Long Beach på Ko Phi Phi Don (Thailand)
39
Tal og talforståing
Ein kingfisher fangar fisk ved Lake Naivasha, Kenya.
1.95 På ei reise til Kenya dreg ein familie på båttur. Båtturen kostar 15 dollar for vaksne og 8 dollar for barn. I tillegg kjem ei eventuell utgift til guide på 20 dollar. a) Kor mange dollar betalar to vaksne og to barn for ein båttur med guide? b) Kor mange dollar betalar to vaksne og tre barn for ein båttur utan guide? 1.96 I tre matboksar er det til saman 20 brødskiver. I den første boksen er det 2 fleire enn i den andre boksen. I den andre boksen er det 3 fleire enn i den tredje boksen. Kor mange brødskiver er det i kvar av dei tre matboksane? 1.97 F. Laks kjøper to typar lodd. Den eine typen kostar 25 kr per lodd, og den andre typen kostar 40 kr per lodd. a) Kor mykje må han betale for 5 av de billigaste lodda og 4 av dei dyraste? b) Ein annan gong kjøper F. Laks 8 av dei billigaste lodda, og no betalar han 320 kr til saman. Kor mange av dei dyraste lodda har han kjøpt denne gongen?
?
Ein møbelsnikkar lagar krakkar med 3 bein og bord med 4 bein. På ein dag monterer ho totalt 35 bein. Kor mange krakkar og kor mange bord kan ho ha laga?
40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Kva for plassverdi har sifferet 5 i desse tala? a) 125 b) 152 c) 512
d) 15 807
Skriv tala på utvida form. a) 459 b) 1034
d) 15 000
c) 265 006
Skriv tala som produkt av primtal. a) 12 b) 16 c) 34
d) 35
e) 91
Rund av tala til nærmaste heile tal. a) 2,9 b) 2,5 c) 2,4
d) 0,7
e) 4,49
Kva betyr sifferet 8 i desse tala? a) 8,23 b) 2,83
c) 2,38
d) 2,038
Rekn ut i hovudet. a) 4,5 10 b) 2,035 100
c) 2,54 : 100
d) 15,09 : 1000
Still opp og rekn ut. a) 3,7 + 1,36 c) 4,2 1,5 b) 49,1 -- 34,54 d) 14,3 3,5
e) 34,3 : 7 f ) 12,1 : 0,16
Rund av tala til éin desimal. a) 4,55 b) 23,64 c) 12,849
d) 20,951
Tal og talforståing
Prøv deg sjølv
e) 99,97
Før ein tur til Trolltunga kjøper Simen med seg 9 småposar med nøtter. Kvar pose kostar 11,50 kr. Lag eit overslag som viser om lag kva Simen må betale. Trolltunga i Odda ligg 700 m over Ringedalsvatnet.
41
Tal og talforståing
10
11
12
13
42
Rekn ut. a) 25 -- 30 b) --30 + 45
c) --3,4 -- 2,3 d) --65 + 45
e) 6,5 -- 9,6 f ) --2,5 + 5,3
Rekn ut. a) 52
b) 32
c) 23
d) 106
Rekn ut. a) 4 + 5 4
b) 7 8 -- 45
c) 5 3 -- 2 5
d) 101 -- 27 : 3
Martin kjøper 4 posar potetgull, 5 flasker brus og 4 pizzaer til ein fest. Brusen kostar 18,50 kr per flaske, potetgullet kostar 87,20 kr til saman, og pizzaene kostar 480,00 kr til saman. Det er til saman 8 personar på festen. a) Kor mykje kostar alle varene til saman? b) Kor mykje kostar éin pose potetgull? c) Kor mykje må kvar person betale dersom dei skal dele likt på utgiftene?
1
To fedrar og to søner drog på fisketur. Dei fekk tre fiskar. Etter at dei hadde delt fiskane mellom seg, hadde alle fått éin fisk kvar. Korleis kunne dette gå til?
2
Legenda fortel: Keisar Luo oppdaga for meir enn 3000 år sidan ei skjelpadde med eit underleg mønster på skalet. Han såg at mønsteret var forma som eit magisk kvadrat med ni felt. Kvart felt var fylt med prikkar på ein bestemt måte. Uansett om keisaren summerte prikkane loddrett, vassrett eller diagonalt, så fekk han den same summen. Etter dette har det magiske kvadratet fått namnet Luo Shu etter den kinesiske keisaren.
Teikn same a) b) c) d)
Tal og talforståing
Noko å lure på
av og set inn tala i det magiske kvadratet. Summen skal bli den vassrett, loddrett eller diagonalt. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3 5 7 9 11 13 15 17
43
Tal og talforståing
Oppsummering Naturlege tal Naturlege tal er heile tal som er større enn 0. 1
2 3
4 5
6
...
Vi kan skrive naturlege tal på utvida form. 1234 = 1 1000 + 2 100 + 3 10 + 4 1
Partal og oddetal Partal er heile tal som er delelege med 2. 2
4 6
8 10 ...
Oddetal er heile tal som ikkje er delelege med 2. 1
3 5
7 9
11
...
Primtal og samansette tal Primtal er naturlege tal som er delelege berre med 1 og seg sjølv. 2
3 5
7 11 13
17 ...
Vi kan skrive samansette tal som eit produkt av naturlege tal som er større enn 1. 42 = 2 3 7
Faktorisering Når vi faktoriserer eit tal, skriv vi talet som eit produkt med fleire faktorar. 24 = 3 8
24 = 4 6
24 = 2 12
Primtalsfaktorisering: 24 = 2 2 2 3
44
Alle faktorane er primtal
Eit desimaltal er sett saman av eit heilt tal og desimalar. Tallet 64,325 har tre desimalar.
6 4,3 2 5
TIARAR EINARAR TIDELAR HUNDREDELAR
Den plassen eit siffer har i eit tal, bestemmer kva for verdi sifferet får.
TUSENDELAR
Tal og talforståing
Desimaltal
Dei fire reknemåtane Addisjon Ledd + ledd = sum
Subtraksjon Ledd – ledd = differanse
Multiplikasjon Faktor . faktor = produkt
Divisjon Dividend : divisor = kvotient
Når det er fleire reknemåtar i eit uttrykk, reknar vi i denne rekkjefølgja: 1 multiplikasjon og divisjon 2 addisjon og subtraksjon
Negative tal Negative tal er alle tal som er mindre enn 0. –4
–3
–2
–1
Negative tal
0
1
2
3
4
Positive tal
Potensar Når vi multipliserer tal som er like store, kan vi skrive dei som ein potens. 6 6 6 6 = 64
Fleire rekneartar på éin gong Når det er fleire rekneartar i eit uttrykk, reknar vi i denne rekkjefølgja: 1) multiplikasjon og divisjon 2) addisjon og subtraksjon 7 -- 8 6 + 24 : 3 = 7 -- 48 + 8 = --33
42 : 6 -- 3 7 + 33 = 7 -- 21 + 27 = 13
45
1 1 + =1 2 2
Seier du det!
2Brøk Ein brøk fortel oss kor stor del vi har av heilskapen. Det kan for eksempel vere eit halvt brød eller eit kvart kilogram kaffi.
I det daglege brukar vi brøk i mange praktiske situasjonar: Vi har sykla halvparten av vegen. Songen går i tre firedels takt. Kakeboksen er tre kvart full.
Mål I dette kapittelet skal du få lære om . . . .
rekning med brøk utviding og forkorting av brøk samanhengen mellom brøk og desimaltal uekte brøk og blanda tal
Best å lære seg addisjon av brøk med ein gong!
Brøk
Kva er brøk? No har vi gått to tredelar av vegen. Eg har ete halvparten av nista mi. Eg har drukke tre firedelar av kakaoen.
Når brukar vi brøk?
To tredelar, éin todel og tre firedelar er alle eksempel på brøk. I figuren nedanfor er tre av fire ruter, tre firedelar, skraverte. 3
3 4
Teljar Brøkstrek Nemnar
4
Teljaren fortel kor mange delar det er, og nemnaren kor mange delar det er i alt. Brøkstreken er det same som eit divisjonsteikn. Oppgåver 2.1
48
Skriv som brøk. a) Åtte nidelar b) Sju tidelar
c) Seks tolvdelar d) Trettifem hundredelar
Sjå på pizzaene og finn ut kor mange brøkdelar som er etne. a) b) c)
2.3
Kor stor del av kvar figur er fargelagd? a)
b)
Brøk
2.2
c)
2.4
Om lag kor stor brøkdel av bygningen ligg a) under bakken b) over bakken
2.5
a) Kor stor brøkdel av dropsa er blå?
b) Kor stor brøkdel av sjokoladen er oppeten?
c) Om lag kor stor brøkdel av safta er drukken?
49
Brøk
2.6
a) Korleis vil du gå fram for å finne ut om lag kor stor brøkdel av kroppen som er vatn? b) Korleis vil du gå fram for å finne ut om lag kor stor brøkdel av eit isfjell som er under vatn?
Større eller mindre enn ein heil Ein brøk kan vere mindre enn 1, lik 1 eller større enn 1. Mindre enn 1
3 4 Teljaren er mindre enn nemnaren.
Lik 1
4 4 Teljaren og nemnaren er like store.
Større enn 1
5 4 Teljaren er større enn nemnaren.
Regel
Dersom teljaren er mindre enn nemnaren, er brøken mindre enn 1. Dersom teljaren og nemnaren er like store, er brøken lik 1. Dersom teljaren er større enn nemnaren, er brøken større enn 1.
50
2.7
Kva for nokre av brøkane er større enn 1? 4 5
2.8
7 3
12 11
2 3
3 2
3 7
3 3
Kva for nokre av brøkane er mindre enn 1? 5 4
2.9
Brøk
Oppgåver
4 5
1 2
8 7
3 3
7 8
2 1
Kva for nokre av brøkane er lik 1? 4 4
1 3
11 11
3 1
7 7
7 6
6 7
Likeverdige brøkar To ulike brøkar kan ha lik verdi. Figuren nedanfor viser at som
1 er det same 4
2 . 8
1 4
=
2 8
Vi seier at brøkane er likeverdige. Desse brøkane har også like stor verdi, og derfor er dei likeverdige:
1 3
=
2 6
=
4 12
=
8 24
51
Brøk
Oppgåver 2.10 Sjå på figurane og bestem a) kor stor brøkdel av kvar figur som er fargelagd b) kva for nokre av brøkane som er likeverdige
A
C
E
B
D
F
2.11 Finn med hjelp av å teikne kva for nokre av brøkane som er likeverdige. 6 8
2 4
9 12
4 8
3 4
2.12 Finn ein annan brøk som er likeverdig med 1 2 1 a) b) c) 2 3 8 2.13 Skriv av og set inn dei tala som manglar. 2 & 4 8 3 & a) = b) = c) = 3 6 5 & 4 8
6 12
d)
2 10
d)
2 & = 6 12
2.14 Lotte og Sara går på kino. Dei kjøper kvar sin pose med popkorn. 4 6 Halvvegs i filmen har Sara ete opp av popkornet og Lotte har ete opp . 6 9 Har dei ete opp like mykje? Forklar. Modell av Millenium Falcon frå filmen Star Wars
52
Brøk
Utviding og forkorting av brøkar
1 = 4 8
Korleis kan vi gjere om
1 til ein brøk med åttedelar? 4
1 2 1 og har lik verdi ved å utvide brøken med 2. 4 8 4 Det gjer vi med å multiplisere teljaren og nemnaren med 2.
Vi kan vise at brøkane
1 1 2 2 = = 4 4 2 8
På same måten kan vi forkorte
2 1 til . Det gjer vi med å dividere teljaren og 8 4
nemnaren med 2. 2 2:2 1 = = 8 8:2 4
53
Brøk
Regel
Vi utvidar ein brøk med å multiplisere teljaren og nemnaren med det same talet. Brøken endrar ikkje verdi. Vi forkortar ein brøk med å dividere teljaren og nemnaren med det same talet. Brøken endrar ikkje verdi. Eksempel 2:1
a) Utvid brøken
2 med 3. 4
b) Forkort brøken
4 med 2. 6
Løysing a)
2 2 3 6 = = 4 4 3 12
b)
4 4:2 2 = = 6 6:2 3
Oppgåver 2.15 Utvid brøkane med 5. 1 1 c) a) 3 4 b)
2 3
d)
2 4
2.16 Forkort brøkane med 2. 2 6 a) c) 4 10 b)
4 6
d)
4 12
e)
3 5
f)
5 13
e)
10 20
f)
24 6
2.17 Forkort brøkane så mykje som mogleg. 4 4 20 c) a) e) 4 16 30 b)
54
21 49
d)
16 24
f)
64 128
Når vi forkortar eller utvidar brøkar, blir ikkje verdien endra!
Årstrinn
Elevar
8
24
9
12
10
28
Brøk
2.18 Til høgre ser du elevtalet ved Granli skule. Ein dag er åtte elevar på kvart årstrinn sjuke. Kor stor brøkdel av elevane på kvart trinn er sjuke? Forkort svara så mykje som mogleg.
2.19 Til ein fotballkamp er det selt 6000 av i alt 8000 billettar. Kor stor brøkdel av billettane er a) seld b) ikkje seld Forkort svara så mykje som mogleg. Fredrikstad–Stabekk, NM i fotball 2013
55
Brøk
Vi samanliknar brøkar Når vi samanliknar brøkar, kan vi gjere nemnarane like store gjennom å utvide 2 3 éin eller fleire av brøkane. For å finne ut kva for ein brøk som er størst av og , 3 4 utvidar vi brøkane slik at dei får den same nemnaren. 2 2 4 8 = = 3 3 4 12 Vi ser at
3 2 > 4 3
3 3 3 9 = = 4 4 3 12 fordi
9 8 > 12 12
Regel
Når to brøkar har like nemnarar, er brøken med den største teljaren størst. Eksempel 2:2
Kva for ein av desse brøkane er størst:
1 2 og ? 3 5
Løysing 1 1 5 5 = = 3 3 5 15
2 2 3 6 = = 5 5 3 15
2 1 6 5 > fordi > 5 3 15 15
Oppgåver 2.20 Kva for ein av brøkane er størst? 3 5 a) eller 5 4 b)
6 11 eller 7 14
c)
3 3 eller 6 5
d)
3 2 eller 8 6
2.21 Kva for brøkar er minst eller like kvarandre? 3 6 3 4 a) eller c) eller 4 8 4 5 b)
56
5 6 eller 6 8
d)
10 9 eller 11 10
2.23 Sara og Hanna deler ei flaske brus. Hanna drikk 1 av brusen. 4 Kven drikk minst?
Brøk
2.22 Sara, Lotte, Simen og Herman skal dele ein premie slik: 1 1 4 1 Lotte skal ha av premien, Herman , Sara og Simen . 2 8 12 24 Kven får mest?
1 av brusen, og Sara 2
drikk
2 1 av ei kake, og Hanna et . 8 6 Kven et mest?
2.24 Martin et
2.25 Under stafetten på idrettsdagen spring Simen
2 av distansen, Herman 5
1 3 og Martin spring . 10 6 Kven spring den lengste distansen? spring
?
To ulike butikkar sel blyantar på tilbod. Butikk A sel 20 blyantar for 21 kr, og butikk B sel 15 blyantar for 16 kr. Finn to ulike måtar for å avgjere kva for ein butikk som har det beste tilbodet.
57
Brøk
Addisjon og subtraksjon av brøkar med lik nemnar Eg har ete
1 . 5 Eg har ete
3 . 5
Kor stor brøkdel av kaka har Martin og Hanna ete til saman?
Kaka er delt i fem like store stykke. Hanna har ete eitt stykke og Martin tre 1 3 stykke. Vi seier at Hanna har ete av kaka og Martin . Til saman har dei ete 5 5 4 fire stykke, som er av kaka. 5
1 5
+
3 5
=
4 5
Regel
Når vi legg saman brøkar med like nemnarar, legg vi saman teljarane og beheld nemnaren. Når vi subtraherer brøkar med like nemnarar, subtraherer vi teljarane og beheld nemnaren.
58
Brøk
Eksempel 2:3
Rekn ut. a)
3 1 + 7 7
Løysing 3 1 3+1 4 a) + = = 7 7 7 7
b)
3 1 -7 7
b)
3 1 3 -- 1 2 -- = = 7 7 7 7
Oppgåver 2.26 Set opp reknestykka som figurane viser, og rekn ut. a)
+
b)
+ c)
+ d)
+
–
59
Brøk
2.27 Rekn ut. 2 1 a) + 4 4 b)
3 1 -7 7
c)
3 2 -8 8
e)
2 1 4 + + 9 9 9
d)
1 1 + 3 3
f)
3 4 3 + -11 11 11
2.28 Simen har ei full brusflaske. Kor mykje brus har han igjen om han drikk a) to femdelar b) tre seksdelar c) fire trettendelar d) åtte ellevedelar
3 2.29 Sara har ei korg med jordbær som er full 4 1 og Herman ei korg som er full. 4 Kor mykje jordbær har dei til saman?
? 60
Grunngi kvifor éin av brøkane ikkje passar inn. 3 7
2 4
2 6
4 11
Brøk
Addisjon og subtraksjon av brøkar med ulik nemnar Korleis gjer eg dette? 1 1 + = 2 4
2 1 + = 5 3
Korleis kan vi leggje saman brøkar med ulike nemnarar?
Dersom vi skal addere eller subtrahere brøkar med ulike nemnarar, må vi først gjere nemnarane like store. Det kallar vi å finne ein samnemnar til brøkane. 1 1 + ser vi at den minste nemnaren går opp i den største. 2 4 Vi utvidar då den minste brøken slik at begge brøkane får nemnaren 4. I reknestykket
1 1 1 2 1 2 1 2 + 1 3 + = + = + = = 2 4 2 2 4 4 4 4 4 2 1 + ser vi at begge nemnarane er primtal. Då multipliserer vi 5 3 nemnarane med kvarandre for å finne ein samnemnar. I reknestykket
2 1 2 3 1 5 6 5 6 + 5 11 + = + = + = = 5 3 5 3 3 5 15 15 15 15 Regel
Når vi skal addere eller subtrahere brøkar med ulike nemnarar, må vi først utvide eller forkorte brøkane slik at dei får samnemnar.
61
Brøk
Eksempel 2:4
Rekn ut. a)
1 1 + 3 6
b)
2 1 + 7 3
Løysing a)
1 1 1 2 1 2 1 2 + 1 3 1 + = + = + = = = 3 6 3 2 6 6 6 6 6 2
b)
2 1 2 3 1 7 6 7 6 + 7 13 + = + = + = = 7 3 7 3 3 7 21 21 21 21
Oppgåver 2.30 Finn samnemnaren og rekn ut. Forkort svaret dersom det er mogleg. 1 2 4 5 2 1 1 4 b) -c) -d) + a) + 4 8 7 14 3 9 3 6 2.31 Finn samnemnaren og rekn ut. Forkort svaret dersom det er mogleg. 2 1 3 1 9 2 1 2 a) + b) + c) -d) -3 5 7 2 11 3 3 7 2.32 Finn samnemnaren og rekn ut. Forkort svaret dersom det er mogleg. 1 1 1 3 2 2 1 1 1 2 4 1 a) + + b) + -c) + -d) + -4 2 4 5 10 5 2 3 5 3 7 2 2.33 Finn samnemnaren og rekn ut. Forkort svaret dersom det er mogleg. 1 1 2 5 1 7 13 3 3 1 5 3 a) + + b) + -c) -- -d) -+ 4 8 8 6 3 18 14 7 7 6 12 6 2.34 Herman kjøper tre flasker brus. 3 1 1 Kor mykje brus kjøper han når flaskene inneheld liter, liter og liter? 4 2 4
62
Det er lettast å rekne med ein liten samnemnar. Dette talet kan vi finne med hjelp av gongetabellen eller primtalsfaktorisering.
Brøk
Minste sams multiplum
Eg vil heller faktorisere nemnaren.
Eg brukar gongetabellen. 1 2 + 6 9
Metode 1: Gongetabellen Vi set opp gongetabellen og finn kva for tal som begge nemnarane går opp i: 6
6 12
18 24 30
9
9
27
18
36 ...
36 45 54 ...
Vi ser at 6 og 9 går opp i 18 og 36. Vi vel det minste talet, 18, som samnemnar for brøkane. Metode 2: Primtalsfaktorisering Først faktoriserer vi nemnarane 6 og 9. Så multipliserer vi faktorane og finn samnemnaren. Alle faktorane frå begge nemnarane må vere med. Vi kallar samnemnaren for minste sams multiplum . 6 = 2 3 2 · 3 · 3
= 18
9 = 3 3 Når vi har funne samnemnaren, reknar vi ut stykket:
1 2 1 3 2 2 3 4 7 + = + = + = 6 9 6 3 9 2 18 18 18
63
Brøk
Eksempel 2:5
Rekn ut
1 2 + . 5 3
Finn samnemnaren med hjelp av gongetabellen. Løysing 5
5 10
3
3
6
15 9 12
15
Samnemnaren = 15 1 2 1 3 2 5 3 10 13 + = + = + = 5 3 5 3 3 5 15 15 15 Eksempel 2:6
Rekn ut
1 5 + . 8 6
Finn samnemnaren med hjelp av primtalsfaktorisering. Løysing 8¼2 2 2 2 · 2 · 2 · 3 = 24
6 = 2 3 Samnemnaren = 24 1 5 1 3 5 4 3 20 23 + = + = + = 8 6 8 3 6 4 24 24 24 Oppgåver 2.35 Finn samnemnaren og rekn ut. Forkort svaret dersom det er mogleg. 1 4 5 2 1 5 1 3 b) -c) + d) -a) + 4 6 6 9 10 6 4 14 2.36 Finn samnemnaren og rekn ut. Forkort svaret dersom det er mogleg. 3 4 2 2 8 1 13 3 a) + b) + c) -d) + 5 20 9 4 9 4 28 7
64
Brøk
2.37 Finn samnemnaren og rekn ut. Forkort svaret dersom det er mogleg. 1 1 1 1 2 3 3 1 5 a) + + b) + + c) + + 6 4 8 4 5 10 9 6 12 2.38 Kor stor brøkdel er igjen på kvar av flaskene? a)
b)
c)
d)
2 1 km frå skolen. Herman bur km lenger borte enn Hanna. 5 4 Kor lang veg har Herman til skolen?
2.39 Hanna bur
Vi kan skrive alle heile tal som brøk på denne måten.
3=
3 1
7=
7 1
1=
1 1
13 =
13 1
2.40 Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg. 3 2 1 3 b) 3 -c) + 2 + a) + 2 4 5 4 4 2.41 Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg. 3 7 2 4 1 2 a) + -- 1 b) 4 + -- 3 c) -- + 5 -4 8 16 9 3 6
65
Brøk
Uekte brøk og blanda tal Eg har berre drukke ein og ein halv liter.
No har eg drukke tre halvliterar med vatn!
Kven har drukke mest?
Sara har drukke tre halvlitersflasker med vatn. Det kan vi skrive slik:
3 2
Herman har drukke éi literflaske og éi halvlitersflaske med vatn: Det kan vi skrive slik: 1
1 2
Set vi brøkane inn på ei tallinje, 3 1 ser vi at er det same som 1 . 2 2 1 2
2 2
3 2
4 2
5 2
6 2
Vi kallar 0
66
1 2
1
1
1 2
2
2
1 2
3
og 1
3 for ein uekte brøk 2
1 for eit blanda tal. 2
Ein brøk som er større enn 1, kan vi skrive som uekte brøk eller blanda tal. I ein uekte brøk er teljaren større enn nemnaren. Eit blanda tal er sett saman av eit heilt tal pluss ein brøk.
Brøk
Regel
Vi skal sjå på samanhengen mellom uekte brøk og blanda tal.
5 = 2
2
1 1 1 1 1 1 1 + + + + =2+ =2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 5 er altså det same som 2 + = + + = 2 2 2 2 2 2
Vi ser at
5 1 =2 2 2
Vi brukar vanlegvis ein raskare måte når vi gjer om eit blanda tal til ein uekte brøk. Då multipliserer vi nemnaren med det heile talet og adderer teljaren. 2
1 ð2 2Þ + 1 4 + 1 5 = = = 2 2 2 2
Eksempel 2:7
a) Gjer om
7 til blanda tal. 3
b) Gjer om 5
3 til uekte brøk. 4
Løysing a)
7 3 3 1 1 1 = + + =2+ =2 3 3 3 3 3 3
b) 5
3 ð4 5Þ + 3 20 + 3 23 = = = 4 4 4 4
67
Brøk
Oppgåver 2.42 Sjå på tallinja nedanfor og skriv dei uekte brøkane som blanda tal. 4 7 8 a) b) c) 3 3 3 3 3
4 3
1
1
1 3
5 3
6 3
2 3
2
1
7 3
8 3
1 3
2
2
2.43 Gjer om til blanda tal. 5 8 a) c) 3 3 b)
11 5
d)
12 7
2.44 Gjer om til uekte brøk. 1 3 a) 1 c) 7 3 4 b) 5
2 5
d) 9
1 2
9 3
2 3
3
e)
35 4
f)
66 7
e) 11
1 3
f ) 20
3 10
2.45 Gjer dei blanda tala om til uekte brøkar og rekn ut. Hugs å finne samnemnaren før du adderer eller subtraherer. 1 1 2 1 1 4 c) 3 -- 2 e) 3 -- 1 a) 1 + 2 3 3 5 5 7 7 b) 2
68
1 2 +3 4 3
d) 4
3 1 -- 2 6 2
f) 2
1 3 +3 3 4
Brøk
1 3 liter kakao. På ein tur drikk ho opp liter. 2 4 Kor mykje kakao har ho igjen?
2.46 Sara har 1
2.47 Rekn ut. Skriv svaret som blanda tal. 4 1 3 + + 5 3 15 1 b) 5 + -- 2 3 a)
21 1 +1 -- 2 7 14 1 5 d) -- + 2 + 2 4 c)
2.48 Kor mange kilogram bær er det i alt? kg
?
Lag ei brøkoppgåve som passar til figuren.
69
Brøk
Brøk og desimaltal
Korleis kan vi skrive 3 som desimaltal? 4
3 = 4 0
0,75
Korleis kan vi gjere om brøk til desimaltal?
Når vi skal gjere om ein brøk til desimaltal, dividerer vi teljaren med nemnaren. 3 = 3 : 4 = 0,75 4
Eksempel 2:8
Gjer om til desimaltal. a)
1 2
b)
9 4
b)
9 = 9 : 4 = 2,25 4
Løysing a)
1 = 1 : 2 = 0,5 2
Dersom nemnaren er 10, 100 eller 1000, flyttar vi desimalteiknet like mange plassar til venstre som det er nullar i nemnaren. 3 = 3 : 10 = 0,3 10
70
Brøk
Eksempel 2:9
Gjer om til desimaltal. a)
1 10
b)
33 100
c)
1234 1000
b)
33 = 0,33 100
c)
1234 = 1,234 1000
Løysing a)
1 = 0,1 10
Oppgåver 2.49 Gjer om til desimaltal. 2 3 a) b) 4 8 2.50 Gjer om til desimaltal. 1 3 a) b) 10 4 2.51 Gjer om til desimaltal. 13 15 a) c) 4 8 b)
2 8
d)
9 12
2.52 Gjer om til desimaltal. 1 12 a) c) 10 10 b)
312 100
d)
401 1000
c)
2 5
d)
6 4
c)
3 6
d)
1 5
e) 3
1 2
f) 7
4 10
e)
50 100
f)
40 1000
2.53 Forkort eller utvid brøkane slik at nemnarane blir 10, 100 eller 1000. Gjer deretter om til desimaltal. a)
6 50
c)
60 300
e)
12 25
b)
26 200
d)
4 5
f)
25 500
71
Brøk
Dersom divisjonen ikkje går opp Dersom divisjonen ikkje går opp når vi dividerer teljaren med nemnaren, rundar vi av svaret til så mange desimalar som vi vil ha. 6 = 0,857142 . . . 0; 857 7
1 = 0,333333 . . . 0,33 3
~ betyr tilnærma lik
2 = 0,181818 . . . 0,2 11
Eksempel 2:10
Gjer om
8 til desimaltal. Rund av svaret til to desimalar. 9
Løysing 8 = 8 : 9 = 0,888 . . . 0,89 9
Oppgåver 2.54 Gjer om brøkane til desimaltal med hjelp av kalkulator. Rund av svara til to desimalar. 7 2 8 a) c) e) 11 3 3 b)
1 6
d) 2
8 9
f) 1
11 23
2.55 Gjer om brøkane til desimaltal. Rund av til éin desimal.
72
a)
1 3
c)
6 7
e)
3 11
g)
5 11
b)
2 3
d)
1 9
f)
4 11
h)
1 6
Brøk
2.56 Ein time er det same som 60 minutt. Eitt minutt er det same som éin 1 sekstidels time . 60 Gjer om til timar. a) 20 minutt b) 15 minutt c) 50 minutt
Frå desimaltal til brøk Når vi skal gjere om eit desimaltal til brøk, ser vi på kor mange desimalar talet har. Har talet berre éin desimal, gjer vi om til tidelar. 0,2 =
2 10
3,4 = 3
4 10
Har talet to desimalar, gjer vi om til hundredelar, osv. 0,23 =
23 100
3,18 = 3
18 100
Eksempel 2:11
Gjer om til brøk. a) 0,5
b) 0,06
c) 0,234
d) 2,45
Løysing a) 0,5 =
5 10
b) 0,06 =
6 100
c) 0,234 =
234 1000
d) 2,45 = 2
45 100
Oppgåver 2.57 Gjer om til brøk. Forkort svara dersom det er mogleg. a) 0,2 b) 0,05 c) 0,004 d) 0,12 e) 0,45 2.58 Kva for nokre av desse tala er sju hundredelar? 7 7 0,07 700 0,7 10 100 2.59 Kva for nokre av desse tala er tolv tidelar? 12 12 1,2 0,012 100 10 2.60 Sorter tala i stigande rekkjefølgje. 6 3 0,45 0,85 7 4
0,60
0,12
7 6
0,70
73
Brøk
Brøk og multiplikasjon
Hm. Lurar på kor mykje flaskene inneheld i alt?
Korleis kan vi multiplisere eit tal med ein brøk?
Multiplikasjon er det same som addisjon som er gjenteken. 2
3 3 3 3+3 6 = + = = 4 4 4 4 4
Vi ser at vi kan multiplisere det heile talet med teljaren og behalde nemnaren. 3 Vi kan skrive alle heile tal som brøk med nemnar lik 1, for eksempel 3 = . 1 4 Vi ser derfor at vi kan rekne ut 3 på denne måten: 5 4 3 4 3 4 12 3 = = = 5 1 5 1 5 5 Regel
Vi multipliserer eit heilt tal med ein brøk ved å multiplisere det heile talet med teljaren og behalde nemnaren. Vi multipliserer to brøkar med kvarandre ved å multiplisere teljaren med teljaren og nemnaren med nemnaren.
74
a) Rekn ut: 3
1 4
b) Rekn ut:
Brøk
Eksempel 2:12
1 2 3 7
Løysing a) 3
1 3 1 3 = = 4 4 4
b)
1 2 1 2 2 = = 3 7 3 7 21
Oppgåver 2.61 Rekn ut. Forkort svaret så mykje som mogleg. 1 4 2 a) 5 c) 3 5 3 b)
2 4 6
d)
2 2 3 4
2.62 Rekn ut. Forkort svaret så mykje som mogleg. 3 2 2 a) c) 3 5 8 8 b) 7
3 4
2.63 Rekn ut. 1 a) 100 4 b)
1 300 10
d)
7 2 8 6
c) 200 d) 50
3 4
1 2
e)
7 5 8 6
f)
2 11 1 13 2 3
e)
1 2 3 4 8 2
f)
2 2 2 6 7
e)
2 30 3
f)
4 400 5
Hugs at vi kan skrive alle heile tal som brøk med nemnaren 1!
75
Brøk
Brøkdelen av eit tal Vil vi rekne ut éin firedel av 8, multipliserer vi 1 1 8 1 8 8 8 = = = =2 4 4 1 4 1 4
1 med 8. 4
Éin firedel av 8 er 2. Regel
Vi finn brøkdelen av eit tal ved å multiplisere talet med brøken. Eksempel 2:13
Kor mykje er
2 av 12? 3
Løysing 2 2 12 2 12 24 12 = = = =8 3 3 1 3 1 3 2 av 12 er 8: 3
Oppgåver 2.64 Rekn ut. 3 a) av 400 4
b)
1 av 100 5
c)
5 av 60 6
3 av eit pattedyr er vatn. 5 Kor mange kilogram vatn inneheld ein bjørn som veg 800 kg?
2.65 Om lag
2.66 Eit tau er 100 m langt. Kor langt vil det vere dersom du tek bort 2 av tauet? 5 2 2.67 I reiret til eit hubropar var av fangsten 3 3 smågnagarar. av desse igjen var lemen. 5 Kor stor brøkdel av fangsten var lemen?
Lemen heiter Lemmus lemmus på latin.
76
d)
1 av 36 12
Brøk
Brøk og divisjon Hm, då må vi rekne ut 3 1 : 4 4 Korleis gjer vi det? Lurar på kor mange flasker vi treng ...
Korleis kan vi dividere ein brøk med ein brøk?
Når vi skal dividere ein brøk med ein brøk, multipliserer vi den første brøken med den omvende av den andre brøken. 3 1 3 4 12 : = = =3 4 4 4 1 4
Den omvende brøken av 1 4 er 4 1
Teljaren og nemnaren har bytt plass.
Martin treng altså tre flasker.
Regel
Når vi dividerer ein brøk med ein brøk, multipliserer vi den første brøken med den omvende av den andre brøken.
77
Brøk
Eksempel 2:14
Rekn ut. a)
Løysing
2 3 : 5 4
b) 3 :
a)
1 2
2 3 2 4 2 4 8 : = = = 5 4 5 3 5 3 15
b) 3 :
1 2 6 = 3 = = 6 2 1 1
Oppgåver 2.68 Rekn ut. Forkort svaret så mykje som mogleg. 1 1 4 4 c) : a) : 3 3 8 5 b)
2 2 : 6 4
d)
2 2 : 6 1
2.69 Rekn ut. Forkort svaret så mykje som mogleg. 1 5 a) 4 : b) : 3 4 6 2.70 Kor mykje er halvparten av
e)
1 2 : 8 6
f)
1 3 : 16 3
c)
23 :2 56
3 ? 6
2.71 Martin, Lotte, Sara og Herman skal dele brusen på bordet likt. Kor mykje får kvar av dei?
78
1
Kor stor del er fargelagd? Skriv svaret som brøk. a)
2
b)
Utvid brøken a) 2
3
Brøk
Prøv deg sjølv
Forkort
c)
3 med 7 b) 5
c) 7
6 med 24
a) 2
b) 3
c) 6
4
Avgjer med hjelp av utviding kva for ein av brøkane som er størst. 1 1 1 2 6 8 a) eller b) eller c) eller 2 3 3 7 7 11
5
Rekn ut. 2 1 a) + 5 5
6
7
8
9
b)
5 3 -7 7
Finn samnemnaren og rekn ut. 12 1 1 4 1 a) + + b) -14 2 7 14 10 Skriv som blanda tal. 22 81 a) b) 3 2 Skriv som uekte brøk. 5 1 a) 4 b) 13 6 3
c)
5 1 3 + -8 8 8
c)
3 4 1 2 + --2 5 10 20
c)
9 4
c) 2
3 4
Gjer om til desimaltal. Etterpå skriv du brøkane i stigande rekkjefølgje. 7 4 4 5 5 6 8 5 6 7 6 7
79
Brøk
10
Gjer om til brøk. Forkort svara dersom det er mogleg. a) 0,75 b) 0,8 c) 0,40 d) 1,20
11
Rekn ut. Forkort svara dersom det er mogleg. 5 2 2 8 1 a) b) 3 c) : 6 3 5 9 2
12
13
d)
6 :3 7
3 av 150 kr? 6 3 b) Kor mykje er av 800 kg? 4 a) Kor mykje er
a) Herman skal fylle 30 liter 1 saft på 1 literflasker. 2 Kor mange flasker treng han?
b) Bestefaren til Sara kjøper karbonadedeig i Sverige. Han kjøper 3 1 5 kg og pakkar dei i porsjonar à kg når han kjem heim. 4 2 Kor mange heile porsjonar får han? 1 av elevane på seg 2 2 olabukse, og av desse har også på 3 seg svart eller blå genser.
c) I ei klasse har
Kor stor brøkdel av klassen har på seg olabukse og svart eller blå genser?
80
Brøk
Noko å lure på 1
Fuglehandlar U.N. Dulat hadde tre barn. Då han døydde, testamenterte 1 han 12 papegøyar til barna sine. Den eldste skulle få , den mellomste 2 1 1 og den yngste av papegøyane. 4 6 Kva problem fekk barna når dei skulle dele dei 12 papegøyane mellom seg?
2
Kva blir svaret på desse oppgåvene? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) : : c) : : : a) : 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
Bruk kalkulatoren og divider 1, 2, 3 ... osv. på 11. Kva slags mønster finn du?
4
Dersom ein tredel av eit ukjent tal er 8, kva er då halvparten av talet?
5
Finn ut kor mange liter fritt ferskvatn det er på jorda. Ein femdel av dette vatnet er i Bajkalsjøen i Russland. Kor mange liter ferskvatn inneheld Bajkalsjøen?
Cappelens atlas for ungdomstrinnet
81
Brøk
Oppsummering Brøk Ein brøk er sett saman av teljar, nemnar og brøkstrek. Brøkstreken er det same som divisjonsteikn.
3 4
Teljar Brøkstrek Nemnar
Er teljaren og nemnaren like store, er brøken lik 1. 5 =1 5
Uekte brøk og blanda tal 3 2
=
Uekte brøk
1
1 2
Blanda tal
Utviding og forkorting av brøk Når vi utvidar ein brøk, multipliserer vi teljaren og nemnaren med det same talet. 1 1 3 3 = = 5 5 3 15 Når vi forkortar ein brøk, dividerer vi teljaren og nemnaren med det same talet. 4 4:4 1 = = 16 16 : 4 4
82
Når vi skal addere eller subtrahere to eller fleire brøkar som har lik nemnar, legg vi saman teljarane og beheld nemnarane.
Brøk
Addisjon og subtraksjon av brøkar
7 5 7 -- 5 2 -- = = 9 9 9 9 Har ikkje brøkane lik nemnar, må vi først finne samnemnaren. 2 1 2 4 1 3 8 3 8 + 3 11 + = + = + = = 3 4 3 4 4 3 12 12 12 12
Brøk og desimaltal Vi kan skrive brøkar som desimaltal. Då dividerer vi teljaren med nemnaren. 3 = 3 : 5 = 0,6 5 Vi kan skrive alle desimaltal som ein brøk med nemnaren 10, 100, 1000 osv. 0,12 =
12 100
Mange brøkar kan vi ikkje skrive som eit eksakt desimaltal. Då rundar vi av til så mange desimalar som vi ønskjer. 2 = 0,6666 . . . 0,67 3
Brøk og multiplikasjon Vi multipliserer eit heilt tal med ein brøk ved å multiplisere det heile talet med teljaren. 4
2 4 2 8 2 = = =2 3 3 3 3
Vi multipliserer to eller fleire brøkar med kvarandre ved å multiplisere teljaren med teljaren og nemnaren med nemnaren. 1 2 1 2 2 = = 3 3 3 3 9
Brøk og divisjon Vi dividerer ein brøk med ein brøk ved å multiplisere med den omvende brøken. 4 1 4 2 8 : = = 9 2 9 1 9
4:
2 4 3 12 = = =6 3 1 2 2
83