Matematika by Zavod za udžbenike

за шести разред основне школе

МАТЕМАТИКА 8 600262 025531

www.zavod.co.rs k.b. 16210

Ђорђе Дугошија Војислав Андрић Вера Јоцковић Владимир Мићић

МАТЕМАТИКА

за шести разред основне школе

Ђорђе Дугошија Војислав Андрић Вера Јоцковић Владимир Мићић

MАТЕМАТИКA за шести разред основне школе

ПРЕДГОВОР Poπtovani ËitaoËe! Ovaj uxbenik je napisan prema novom nastavnom programu predmeta „Matematika za πesti razred osnovne πkole“ i predstavqa naπe viewe wegove realizacije. Nastojali smo da wime doprinesemo ostvarivawu programom propisanih ciqeva i zadataka nastave matematike sjediwujuÊi naizgled protivureËne zahteve: kvalitet matematiËkog izlagawa s jedne strane i sposobnosti proseËnog uËenika s druge strane. Rezultat je pred Vama! Nadamo se da Êe wime svi biti zadovoqni: ●

●

nastavnici jer dobijaju kvalitetan model za pripremu i izvoewe nastave, uËenici jer dobijaju savremen, kratak i jasan tekst koji Êe ih motivisati da uz zabavu ovladaju matematikom, roditeqi, ukoliko æele da pomognu svojoj deci u tome.

Da bi se ovo ostvarilo mi smo koristili reËi, slike i boje. Gradivo je razloæeno na metodske jedinice srazmerne πkolskom Ëasu. Izlagawe poËiwe motivacijom, pa nastavqa kratkom i jasnom teorijom ilustrovanom vodeÊim primerima. Vaæne stvari ‡ zakquËci istaknuti su bojom ili drugim pismom i ilustrovane slikom. Istorijski i zabavni komentari nalaze se u rubrici „Da li znate“. Na kraju su „Kontrolna pitawa“ koja ne dozvoqavaju da se preko lekcije pree povrπno. Potom slede zadaci za veæbe na Ëasu i eventualno za domaÊi rad. VeÊi broj zadataka iz gradiva nalazi se u prateÊoj Zbirci od istih autora i izdavaËa, a za one koji æele i mogu viπe spremili smo posebnu Zbirku zadataka, koja se moæe koristiti i za dodatnu nastavu. U kompletu se nalazi i „PriruËnik za nastavnike“ sa detaqnijom analizom nastavnih tema. Zahvaqujemo se svima koji su nam u ovom poslu pomogli: recenzentima dr Arifu ZoliÊu, Miloradu VujaniÊu i Peri CvetinoviÊu, radnicima Zavoda za uxbenike, uredniku Æarku JoviÊu, ilustratorima i slagaËima. U Beogradu, aprila 2008. godine

Autori

Садржај ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

1.1. Појам негативног броја. Скуп целих бројева Z. Приказивање на бројевној правој .................................................................................................................. 1.2. Супротни бројеви. Апсолутна вредност ............................................................ 1.3. Упоређивање целих бројева ......................................................................................... 1.4. Сабирање у скупу Z ....................................................................................................... 1.5. Одузимање целих бројева ............................................................................................ 1.6. Закони сабирања ..............................................................................................................

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

ТРОУГАО

Појам троугла .................................................................................................................. Странице троугла ......................................................................................................... Углови троугла ................................................................................................................. Однос између страница и углова троугла ......................................................... Конструкције неких углова ........................................................................................

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

7 11 14 16 19 22

26 28 30 34 36

3.1. Множење целих бројева................................................................................................. 38 3.2. Дељење целих бројева ................................................................................................... 42

ТРОУГАО

4.1. Подударност троуглова ............................................................................................... 4.2. Прво и друго правило о подударности троуглова .......................................... 4.3. Треће и четврто правило о подударности троуглова ................................ 4.4. Основне конструкције троуглова ............................................................................ 4.5. Описана и уписана кружница троугла ................................................................. 4.6. Ортоцентар троугла .................................................................................................. 4.7. Тежиште троугла ...........................................................................................................

45 47 50 54 58 60 61

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Скуп рационалних бројева Q ....................................................................................... Рационални бројеви у децималном запису ........................................................... Упоређивање рационалних бројева ........................................................................... Сабирање и одузимање у скупу Q........................................................................... Закони сабирања рационалних бројева ..................................................................

ЧЕТВОРОУГАО

6.1. Појам четвороугла .......................................................................................................... 6.2. Врсте четвороуглoва .................................................................................................... 6.3. Углови четвороугла ......................................................................................................... 6.4. Паралелограм – својства ............................................................................................ 6.5. Врсте паралелограма ................................................................................................... 6.6. Конструкције паралелограма ................................................................................... 6.7. Трапез ..................................................................................................................................... 6.8. Конструкције трапеза ................................................................................................. 6.9. Делтоид................................................................................................................................

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

63 65 66 69 72

74 75 77 78 82 84 85 87 88

7.1. Множење и дељење ........................................................................................................ 89 7.2. Изрази са рационалним бројевима .......................................................................... 93

8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5.

9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.

ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА И ТРОУГЛА

Једначине у вези са сабирањем и одузимањем ................................................ 95 Неједначине у вези са сабирањем и одузимањем ............................................ 99 Једначине у вези са множењем и дељењем .......................................................103 Неједначине у вези са множењем и дељењем ...................................................107 Проценти .............................................................................................................................112

Појам површине. Површина правоугаоника..........................................................116 Површина паралелограма ............................................................................................119 Површина троугла ..........................................................................................................121 Површина трапеза ..........................................................................................................122 Површинa четвороугла ..................................................................................................123

РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

125

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ 2.1. 1.1. Појам Питагорина негативног теорема броја. Скуп целих бројева Z. Приказивање на бројевној правој

пример

U prethodnom razredu upoznali smo skup N0, koga Ëine prirodni brojevi i nula. Sada Êemo ovaj skup proπiriti uvoewem negativnih celih brojeva Z. Razloga za to ima mnogo. Pogledajmo primere.

Neka je potroπeno elektriËne energije za 1 000 dinara. Ako smo uplatili unapred 1 500 dinara, Elektrodistribucija Êe stawe naπeg raËuna za potroπenu struju oznaËiti brojem 500 (preplaÊeno 500 dinara). ©ta bi bilo da smo uplatili samo 500 dinara? Tada bismo Elektrodistribuciji dugovali 500 dinara, pa ona ne bi mogla ovakvo stawe raËuna ponovo da oznaËi brojem 500, veÊ mora i da naglasi da je u pitawu dug. Zato Êe tom broju pridruæiti znak ‡ (minus) i stawe raËuna zapisati novim brojem negativnim brojem ‡500.

пример 2

Za merewe temperatura koristi se æivin termometar (sl. 1). слика 1 Pri rastu temperature æiva u termometru se πiri, a pri padu skupqa, dostiæuÊi neki nivo u stubu termometra. Stub je u vidu skale, tj. izdeqen je na jednake razmake, od kojih svaki odgovara promeni temperature za jedan Celzijusov stepen. Brojem 0 oznaËena je taËka na stubu koja odgovara temperaturi na kojoj voda poËiwe da mrzne, a brojem 100 ona na kojoj voda poËiwe da kquËa. Ako se temperatura spusti ispod nule, æiva Êe pokazivati neku taËku skale sa strane suprotne od taËaka oznaËenih prirodnim brojevima. Za opis takvih temperatura pogodno je ponovo upotrebiti negativne brojeve, brojeÊi koliko se crtica (jediniËnih duæi) æiva pomerila ispod taËke oznaËene nulom i pridruæujuÊi tom broju znak ‡ („minus“). Na primer, temperatura koju pokazuje termometar prikazan na slici 1 iznosi ‡4 („minus Ëetiri“).

Kao πto se iz ovih primera vidi, brojevi koje smo do sada upoznali nisu dovoqni da se opiπu neke pojave, pa izlaz nalazimo u uvoewu negativnih celih brojeva ‡1, ‡2, ‡3,... Wihov skup oznaËavamo sa Z‡. Sa prirodnim brojevima i nulom oni grade skup Z celih brojeva: Z = {..., ‡3, ‡2, ‡1, 0, 1, 2, 3,...} Da bi svaki ceo broj (osim nule) imao znak, ponekad i prirodnim brojevima pridruæujemo znak + (plus), pa ih nazivamo i pozitivni celi brojevi. Dakle, +1 = 1, +2 = 2, +3 = 3 itd. Skup pozitivnih celih brojeva oznaËavamo sa Z+. Zato je Z+ = N. Pozitivne cele brojeve i nulu zovemo i nenegativni celi brojevi. CELI BROJEVI NA BROJEVNOJ PRAVOJ Prirodne brojeve i nulu predstavqali smo taËkama na brojevnoj polupravoj. Podsetimo se kako je to raeno.

слика 2

Na polupravoj Ëiji je poËetak taËka O izabrali smo neku drugu taËku I. Tim taËkama pridruæili smo redom brojeve 0 i 1. Duæ OI nazvali smo jediniËna duæ. Neka je n ma koji prirodan broj. NanoseÊi jediniËnu duæ od taËke O n-puta, dolazimo do neke taËke A poluprave kojoj smo pridruæili broj n. Tako smo svakom prirodnom broju pridruæili po jednu taËku poluprave OI. Termometarska skala daje nam ideju da i svakom negativnom celom broju M O I pridruæimo po taËku koja pripada pravoj OI. Broju ‡1 pridruæimo taËku M tako da je taËka O srediπte duæi MI (za taËke I i M kaæe se da su simetriËne u odnosu na taËku O), broju ‡2 pridruæimo taËku simetriËnu taËki koja je pridruæena broju 2 itd. Negativnom celom broju ‡n, pridruæimo taËku simetriËnu taËki koja odgovara prirodnom broju n u odnosu na taËku O. Primetimo da do iste taËke dolazimo ako od taËke O nanesemo n puta jediniËnu duæ u smeru od I ka O. Pravu OI na koju su na opisani naËin „naneseni“ celi brojevi nazivamo brojevna (koordinatna) prava ili brojevna osa. Poluprava OI je wena pozitivna poluosa, woj simetriËna poluprava u odnosu na taËku O je negativna poluosa. Smer od O ka I je pozitivan, a smer od I ka O je negativan smer na brojevnoj pravoj OI. Pozitivan smer na koordinatnoj pravoj oznaËava se na wenoj slici strelicom. TaËka O se naziva koordinatni poËetak. Svaka prava moæe postati brojevna prava izborom koordinatnog poËetka O, duæine jediniËne duæi i pozitivnog smera. Svakom celom broju m tada odgovara taËno jedna taËka M te brojevne prave. Broj m nazivamo koordinata taËke M i piπemo: M(m) (Ëitaj: M ima koordinatu m). Koordinatni poËetak O ima koordinatu 0.

TaËke kojima su pridruæeni celi brojevi nazivamo celobrojne taËke brojevne prave. Svakoj celobrojnoj taËki brojevne prave odgovara taËno jedan ceo broj ‡ wena koordinata.

пример

слика 3

Na brojevnoj pravoj (sl. 3) nai taËke A(‡3) i B(+5).

‡3

‡2

‡1

A(‡3)

Da bi se naπla taËka A, jediniËnu duæ treba naneti tri puta od taËke O(0) u negativnom smeru, tj. u smeru od I(1) ka O(0). TaËka B dobija se nanoπewem jediniËne duæi pet puta od taËke O(0) u pozitivnom smeru, tj. u smeru od O ka I.

Koju koordinatu ima srediπte C duæi AB u primeru 3? Od taËke A do taËke B ima 8 jediniËnih duæi u pozitivnom smeru. Do srediπta C ima zato 4 jediniËne duæi u pozitivnom smeru. Dakle, srediπte C nalazi se na pozitivnoj poluosi udaqeno jednu jediniËnu duæ od taËke O(0). Otuda C ima koordinatu +1.

Да ли знaте? Negativni brojevi pomiwu se u Kini u drugom veku pre nove ere. U Indiji se sreÊu u 7. veku nove ere, i tumaËeni su kao „veliËina duga“. U Egiptu, Vavilonu i antiËkoj GrËkoj nisu poznavali negativne brojeve. U Evropi su negativni brojevi koriπÊeni mnogo kasnije nego ostali brojevi, a postali su sa wima ravnopravni tek u 17. veku, kada je brojevna poluprava proπirena u brojevnu pravu.

Контролна питања

Opiπi skup celih brojeva. Kako oznaËavamo skup celih brojeva? Kako oznaËavamo skup negativnih celih brojeva? Kako oznaËavamo skup pozitivnih celih brojeva? Kako se od proizvoqne prave moæe napraviti brojevna prava? ©ta je pozitivan, a πta negativan smer na brojevnoj pravoj? Kako se svakom celom broju pridruæuje odgovarajuÊa taËka brojevne prave? ©ta je koordinata celobrojne taËke na brojevnoj pravoj? Kako se zapisuje da taËka M brojevne prave ima koordinatu m?

Задаци слика 4

1. Koji ceo broj nije ni pozitivan ni negativan? 2. Izdvoji negativne brojeve iz skupa {0, ‡1, 2, ‡3, 4, ‡5}. 3. ProËitaj temperature koje pokazuju termometri prikazani na slici 4. 4. ProËitaj koordinate taËaka A, B, C na brojevnoj pravoj prikazanoj na slici 5. 5. Nacrtaj brojevnu pravu. Odredi taËke M (‡5), N (+3) na woj. Koliko jediniËnih duæi su one meusobno udaqene? Odredi koordinatu srediπta duæi MN.

‡

6. Voz na relaciji Beograd‡Uæice nalazi se u stanici Vaqevo. KreÊe se brzinom 45 kilometara na Ëas. Gde Êe se voz nalaziti za dva Ëasa (sl. 6) ako ne mewa smer kretawa?

‡

слика 6

Strana 8

7. Koliko taËaka sa celim koordinatama ima na brojevnoj pravoj izmeu taËaka A (‡4) i B (3)?

слика 7

8. Dato je A (‡1), B (+3), C (‡4), D (‡7). UoËi duæi AB i CD. Koja je duæa?

300 200

9. Kako se negativni brojevi koriste prilikom merewa 0 1 vodostaja (sl. 7)?

100 0 –100 – 200

10. OËitaj na datoj skali pribliæno visine planina i dubine mora.

Tara

‡ ‡ ‡ ‡ ‡

слика 8

11. Nacrtaj brojevnu pravu Ëija je jediniËna duæ 2 cm. Obeleæi na woj taËke A (2), B (‡3), C (0). 12. Nacrtaj temperaturnu skalu od ‡70° do 50° i obeleæi na woj taËke koje odgovaraju: a) normalnoj telesnoj temperaturi Ëoveka; b) temperaturi zamrzavawa benzina (‡60°). 13. Zgrada ima 28 spratova i prizemqe iznad zemqe i 5 spratova ispod zemqe. Lift pree jedan sprat za 10 sekundi. Za koje vreme Êe lift da stigne sa desetog sprata na treÊi sprat ispod zemqe? 14. U toku dana vodostaj se promenio od ‡5 cm na +17 cm. Koliko je porastao vodostaj?

1.2. Супротни бројеви. Апсолутна вредност Neka je n prirodan broj. Brojevi n i ‡n Ëine par suprotnih brojeva. Wima pridruæene taËke brojevne prave simetriËne su u odnosu na koordinatni poËetak. Iz tog razloga uzimamo i da je broju 0 suprotan broj 0. Tako svaki ceo broj m ima wemu suprotan broj koji se obeleæava ‡m. Tako je ‡(‡1) broj suprotan broju ‡1, dakle, jednak +1. Na isti naËin zakquËujemo da za svaki ceo broj m vaæi: ‡ (‡m) = m.

пример

Odredi broj suprotan broju: a) 2; b) ‡4; v) ‡(‡1); g) ‡(‡(‡2)); d) ‡(‡m), m ! Z. a) Broj suprotan broju 2 je ‡2; b) Broj suprotan broju ‡4 je ‡(‡4) = 4. v) Kako je ‡(‡1) = 1, broj suprotan broju ‡(‡1) je ‡1. g) SliËno ‡(‡(‡2))) = ‡2 , pa je suprotan broj jednak 2. d) Broj suprotan broju ‡ (‡m) je ‡ (‡ (‡m)) = ‡ m.

пример

Koliko su taËke A (‡6) i B (+4) udaqene od koordinatnog poËetka? Saglasno naËinu odreivawa tih taËaka, taËka A udaqena je 6, a taËka B 4 jediniËne duæi od koordinatnog poËetka. Rastojawe celobrojne taËke Ëija je koordinata m do koordinatnog poËetka zovemo apsolutna vrednost broja m i oznaËavamo sa |m|. Dakle, | ‡ 6 | = 6 i | + 4| = 4. Kako je koordinatni poËetak udaqen nula jediniËnih duæi od samog sebe, vaæi i |0| = 0.

ТРОУГАО Да ли знaте? Geometrija je deo matematike u kojem se izuËavaju geometrijske figure i wihovi odnosi. Sama reË „geometrija“ je grËkog porekla i u prevodu znaËi „merewe zemqe“. Geometrija je stara koliko i qudska civilizacija. O tome svedoËe ostaci kulture Maja, Vavilonaca, egipatske piramide i dr. Prva saËuvana kwiga o geometriji ima naziv „Elementi“. Napisao ju je antiËki matematiËar Euklid na prelasku iz IV u III vek pre n.e. U woj su sabrana i sistematizovana sva znawa iz geometrije do toga doba. Geometrija zasnovana na wegovim postavkama naziva se euklidska geometrija.

Еуклид, око 320. г. пре нове ере

Mi se tom geometrijom i bavimo. Joπ od Euklida potiËe ideja da se geometrija izuËava po nekim pravilima. Prvo se uvode osnovni geometrijski pojmovi (objekti), a preko wih sloæeniji. Zatim se razmatraju osobine tih objekata i veze meu wima. To su nekad vrlo jasne osobine ili veze, pa ih samo iskazujemo. Na primer, za dve razliËite taËke postoji jedna prava koja ih sadræi. Meutim, nije sve uvek oËigledno. Postoje osobine ili odnosi meu geometrijskim objektima koje detaqnije razmatramo oslawajuÊi se na veÊ poznate Ëiwenice i logiËko rasuivawe i na taj naËin se uveravamo u wihovu taËnost. Tako dokazujemo te osobine ili odnose.

2.1. Појам троугла

слика 1

U prethodnim razredima upoznali smo neke geometrijske figure, wihova svojstva i meusobne odnose (sl. 1). U ovoj temi detaqnije Êemo upoznati jednu od najvaænijih i najjednostavnijih geometrijskih figura ‡ trougao. Upoznavawe svojstava

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ 2.1. Множење 3.1. Питагорина целих теорема бројева

»etiri dana temperatura je opadala po tri stepena dnevno. Ukupna promena temperature je: (‡3) + (‡3) + (‡3) + (‡3). To bi se skraÊeno moglo napisati kao proizvod 4 · (‡3). Dakle: 4 · (‡3) = (‡3) + (‡3) + (‡3) + (‡3) = ‡12. U opπtem sluËaju, mnoæewe prirodnog broja m i negativnog celog broja ‡n, n !N uvodimo kao „ponovqeno sabirawe“: m pu ta

6 4444 7 4444 8 m $ (- n) = (- n) + f + (- n) =- (m $ n) . Ako æelimo da saËuvamo komutativnost proizvoda, moralo bi biti: (‡3) · 4 = 4 · (‡3). Zato, u opπtem sluËaju, za prirodne brojeve m i n usvajamo: (‡ m) · n = n · (‡ m) = ‡ (m · n).

Moglo bi se reÊi da je ovaj rezultat dobijen „izdvajawem znaka minus iz Ëinioca (faktora)“. Zato je i: (‡4)(‡3) = ‡((‡4) · 3) = ‡(‡(4 · 3)) = 4 · 3. U opπtem sluËaju, mnoæewe dva negativna cela broja ‡m i ‡n uvodimo pravilom: (‡ m) · (‡n ) = m · n.

Specijalno za m = 1 dobijamo (‡1)a = ‡a, za svako a !Z Za mnoæewe celog broja a ! Z i nule vaæi: 0 · a = a · 0 = 0.

Za mnoæewe vredi: a) proizvod dva cela broja istih znakova je pozitivan ceo broj; b) proizvod dva cela broja razliËitih znakova je negativan ceo broj; v) apsolutna vrednost proizvoda jednaka je proizvodu apsolutnih vrednosti Ëinilaca. Na osnovu ovih pravila moæemo izraËunati proizvod dva cela broja odreivawem wegovog znaka i wegove apsolutne vrednosti.

Задаци 1. IzraËunaj vrednosti: (‡2) · 3; 3 · (‡4); (‡5) · (‡6). 2. IzraËunaj vrednost izraza: ‡4x za x ! {0, 1, ‡1, ‡3}. 3. IzraËunaj vrednost izraza: (‡1) · (‡2) + 3 · (‡5) + (‡2) · 4 ‡ (‡3) · 0 ‡ 5 · (‡2). 4. IzraËunaj (‡3) · 4 + (‡3) · (‡2) koristeÊi zakon distribucije. 5. IzraËunaj 5 · (‡4) + (‡4) · 3 koristeÊi zakon komutacije i distribucije. 6. IzraËunaj 2 · (‡3) + (‡3 · 2) · 5 koristeÊi zakone komutacije, asocijacije i distribucije. 7. PrimewujuÊi zakone mnoæewa izraËunaj: a) (‡3) · 4 + (‡3) · (‡2) ‡ 2 · (‡3) + (‡6) · 2; b) 3x ‡ 5x + 2x; v) ‡4 a ‡ 3a + 7a. 8. Stavi znak 1, 2, G, H ili = umesto * da se dobije taËna relacija: a) ‡6 · 0 * 0; b) ‡5 · 4 * 0; v) 7 · (‡8) * 7; g) (‡7) · (‡8) * (‡8); d) ‡7 · (‡7) * 0. 9. Napiπi kao proizvod zbir: a) x + x + x; b) ‡x ‡ x ‡ x; v) 2x + 2x + 3x; g) 3x ‡ 2x ‡ x. 10. IzraËunaj: a) x + 2 + x + 2 + x + 2, ako je x = ‡3; b) ‡ a + 2a ‡ 3a, ako je a = ‡ 4; v) b ‡ 1 + b ‡ 1, ako je b = 8. 11. IzraËunaj: 3 · (‡2) ‡ (‡5) · 7 + (‡3) · (‡4). 12. IzraËunaj: ‡4 · 1 + (‡3) · (‡4). 13. IzraËunaj: a) (2 ‡ 6) · (4 ‡7); b) (‡2) · 5 + (3 ‡ 4) · (5 ‡ 7). 14. IzraËunaj: a) x2, ako je x = 0; b) x = ‡3. 15. IzraËunaj: y3 ako je y = (3 ‡5)(2 ‡3). 16. IzraËunaj: ‡48 · 15, ‡4 · 5; (‡5)2. 17. Reπi jednaËine: a) (‡2) · (3 ‡ x) = 0; b) x · (x + 1) = 0; v) (2 ‡ x) · (x + 5) = 0. 18. Dokaæi da je za svaki ceo broj a, a2 = a · a H 0. 19. Dokaæi pravila: a) ako je a · b 2 0, onda je (a 2 0 i b 2 0) ili (a 1 0 i b 1 0) i obrnuto; b) ako je: a · b 1 0, onda je (a 2 0 i b 1 0) ili (a 1 0 i b 2 0) i obrnuto. 20. Nai sve cele brojeve x za koje vaæi: a) (‡3)x 2 0; b) 5x 1 0; v) 4(‡x) 2 0.

ТРОУГАО 2.1. Подударност 4.1. Питагорина теорема троуглова U prethodnom razredu smo uËili o osnoj simetriji. Figura i wena slika dobijena primenom osne simetrije mogu se dovesti (na primer, presavijawem papira po osi simetrije) do poklapawa. Na slici 1 prikazani su 9ABC i 9A1B1C1 koji se primenom simetrije u odnosu na pravu p („preklapawem preko“ prave p) mogu dovesti do poklapawa.

слика 1 1

Ako se jedna geometrijska figura moæe kretawem (prenoπewem), pri kojem se ne mewaju meusobna rastojawa taËaka na figuri, dovesti do meusobnog poklapawa s drugom geometrijskom figurom, kaæemo da su te figure podudarne.

пример

Dakle, trouglovi ABC i A1B1C1 su podudarni. Na slici 2 je predstavqeno nekoliko trouglova. Prekopiraj ove trouglove, pa utvrdi da li se neki od wih mogu dovesti do meusobnog poklapawa? (Da li su podudarni?)

слика 2

Trougao ABC je podudaran sa trouglom MNP, u oznaci: 9ABC , 9MNP, ako se trougao ABC nekim prenoπewem moæe dovesti do poklapawa sa trouglom MNP, pri Ëemu taËka A prelazi u taËku M, taËka B u taËku N i taËka C u taËku P. Samim tim se poklapaju odgovarajuÊe stranice i odgovarajuÊi uglovi, pa vaæi: AB = MN, BC = NP, CA = PM i

Pслика 3

\CAB = \PMN, \ABC = \MNP, \BCA = \NPM. Da bismo izbegli nedoumice pri odreivawu odgovarajuÊih elemenata (stranica, uglova) podudarnih trouglova, obeleæavamo odgovarajuÊa temena istim redosledom.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ 2.1. Скуп 5.1. Питагорина рационалних теорема бројева Q

PRIKAZIVAWE RACIONALNIH BROJEVA NA BROJEVNOJ PRAVOJ

Do sada smo upoznali skup celih brojeva Z. Cele brojeve moæemo sabirati, oduzimati i mnoæiti i kao rezultat dobiti ceo broj. To ne vaæi uvek i za deqewe. Naπ ciq je stoga da proπirimo skup Z u skup u kome Êe i deqewe (osim sa nulom) biti uvek izvodqivo, zadræavajuÊi pri tom vaæewe ranije utvrenih zakona za raËunske operacije. SliËan postupak proπirivawa upoznali smo u prethodnom razredu, kada smo skup nenegativnih celih brojeva proπirili u skup razlomaka, tj. brojeva m oblika (m ! N0, n ! N) . Svakom razlomku odgovarala je taËno jedna taËka bron jevne prave, dobijena nanoπewem m puta n-tog dela jediniËne duæi OI brojevne prave od taËke O(0) u smeru taËke I(1). Ukoliko nanoπewe obavimo u negativnom smeru, dolazimo do taËke kojoj m pridruæujemo broj - suprotan m n (sl. 1). broju n m m Svi brojevi oblika ili kad m uzima vrednosti iz skupa N0, a n iz n n skupa N, Ëine skup Q racionalnih brojeva.

слика 1

Pozitivni razlomci drugaËije se nazivaju pozitivni racionalni brojevi, a wihov skup oznaËava sa Q+. Wima suprotni racionalni brojevi Ëine skup negativnih racionalnih brojeva, u oznaci Q‡, a skup racionalnih brojeva Q je unija skupova Q+, Q‡ i nule. Ukoliko se deqewe prirodnih brojeva proπiri na deqewe celih brojeva po pravilima: -m m m -m m i = == n -n n -n n

(m ! N0, n ! N),

vidimo:

p , q ! 0 dva cela broja p i q. q p Broj p je brojilac, a q ‡ imenilac racionalnog broja . q Prema uvedenom pravilu deqewa dva cela broja, svaki racionalan broj se moæe napisati tako da mu imenilac bude prirodan broj (uz eventualno proπi5 $ (- 1 ) 5 -5 . = = rivawe razlomka sa ‡1). Na primer, (- 2 ) $ (- 1 ) -2 2 Po definiciji je takoe: racionalni brojevi su koliËnici

-` -

m m j= . n n

1 пример

Odgovor:

1 -2 . ; 2 3

-1 2 i , tako da im imenilac bude prirodan broj. -2 -3

слика 2

Predstavi na brojevnoj pravoj racionalne brojeve: 2 -5 - , , 3 3 -5 5 -4 =- , = 3 3 -3

пример

4 пример

-4 2 0 . , , -3 -3 -3 4 2 2 0 , =0. =- , 3 -3 3 -3

Da bi se ovi brojevi predstavili na brojevnoj pravoj, jediniËnu duæ OI treba najpre podeliti na tri jednaka dela, zatim treÊinu jediniËne duæi naneti u odgovarajuÊem smeru potreban broj puta (sl. 2).

пример

Napiπi racionalne brojeve

Napiπi brojeve suprotne brojevima: 1 2 3 To su brojevi: - , , . 3 3 2

1 2 3 . ,- , 3 3 -2

Da li su celi brojevi racionalni? Kako se svaki ceo broj z moæe napisati u obliku

Контролна питања

z , odgovor je potvrdan. 1

a , a ! Z, b ! N ? b U kakvom su poloæaju taËke na brojevnoj pravoj pridruæene suprotnim racionalnim brojevima u odnosu na koordinatni poËetak?

Koji je broj suprotan racionalnom broju r =

ЧЕТВОРОУГАО 2.1. Појам 6.1. Питагорина четвороугла теорема Podseti se U petom razredu smo nauËili: слика 1

‡ figuru u ravni Ëine prosta zatvorena linija i unutraπwa oblast odreena tom linijom; ‡ mnogougao je figura u ravni odreena prostom zatvorenom izlomqenom linijom ‡ mnogougaonom linijom; ‡ mnogougaona linija sa tri nadovezane duæi odreuje trougao, sa Ëetiri duæi Ëetvorougao, sa pet petougao itd.

слика 2

Takoe smo videli da je svaka zatvorena izlomqena linija sastavqena od tri duæi prosta, te dakle odreuje jedan jedini trougao. A kako je, kada zatvorenu izlomqenu liniju Ëine viπe od tri duæi, na primer Ëetiri? Mora li takva zatvorena linija uvek biti prosta? Ukoliko je prosta, da li odreuje jedan jedini Ëetvorougao? Da bismo odgovorili na ova pitawa, izvedimo sledeÊi ogled. Od ËvrπÊeg papira izreæi modele duæi razliËitih duæina d kao πto je prikazano na slici 3. Ove „duæi“ Êemo nadovezivati Ëiodama sa πirokom glavom tako da se duæi slobodno mogu okretati oko Ëioda. Na slici 4 prikazana je konstrukcija jedne takve izlomqene linije sastavqene od nadovezanih duæi Ëije su duæine redom 3, 4, 10 i 2 centimetara.

слика 4

Moæe li se ova izlomqena linija zatvoriti, tj. mogu li joj se poËetak i kraj dovesti do poklapawa? Probawem se uveravamo da to nije moguÊe! слика 3

Proveri da se od nadovezanih duæi duæina 12 cm, 10 cm, 7 cm i 6 cm moæe sastaviti zatvorena linija koja nije prosta (sl. 5). Od istih duæi moæe se sastaviti i viπe prostih zatvorenih linija (sl. 6).

6.3. Углови четвороугла Primetimo da se Ëetvorougao jednom od svojih dijagonala razlaæe na dva trougla, kojima je ta dijagonala zajedniËka stranica (sl. 16). A Znamo da je zbir uglova svakog trougla 180°.

D слика 16 C

A B

Posmatrajmo Ëetvorougao ABCD na slici 16 i podelimo ga dijagonalom BD na dva trougla. Vaæi \DAB + \ABD + \BDA = 180° (zbir uglova trougla ABD), \DBC + \BCD + \CDB = 180° (zbir uglova trougla BCD). BuduÊi da je \ABC = \ABD + \DBC, \CDA = \CDB + \BDA, nalazimo da je zbir uglova Ëetvorougla ABCD: \DAB + \ABC + \BCD + \CDA = = \DAB + \ABD + \DBC + \BCD + \CDB + \BDA = = \DAB + \ABD + \BDA + \DBC + \BCD + \CDB = 180° + 180° = 360°. Dakle, vaæi sledeÊe: Zbir uglova Ëetvorougla je 360°.

пример

Ako je svaki ugao Ëetvorougla mawi od 180°, Ëetvorougao je konveksan.

Tri ugla Ëetvorougla imaju redom 80°, 65°, 85°. Koliki je Ëetvrti ugao? Da li je taj Ëetvorougao konveksan? »etvrti ugao iznosi: 360° ‡ (80° + 65° + 85°) = 130°. Kako su svi uglovi Ëetvorougla mawi od 180°, Ëetvorougao je konveksan.

Imenuj Ëetvorougao Ëiji su svi uglovi jednaki. Kako je zbir svih uglova 360°, svaki ugao tog Ëetvorougla je prav. Dakle, to je pravougaonik (i kvadrat je pravougaonik).

Kod kojeg Ëetvorougla su naspramni uglovi jednaki? Ako su naspramni uglovi jednaki, onda je zbir svaka dva susedna ugla jednak 180°. Otuda sledi da su naspramne stranice tog Ëetvorougla paralelne. Dakle, to mora biti paralelogram.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ 2.1. Множење 7.1. Питагорина и дељење теорема

пример

U 5. razredu smo nauËili kako se mnoæe i dele razlomci. Mnoæewe i deqewe racionalnih brojeva u koliËniËkom zapisu definiπemo na isti naËin. a c Ako su i racionalni brojevi, tada je: b d a c ac $ = b d bd i a c ad (pod uslovom c ≠ 0). : = b d bc c U stvari, ako definiπemo reciproËan broj racionalnog broja razliËitog d d od nule kao , deqewe se svodi na mnoæewe deqenika sa reciproËnom vrednoπÊu delioca. c

-1 4 . $ 2 -5 (- 1 ) $ 4 -4 2 = = . Po definiciji, proizvod je jednak 2 $ (- 5 ) - 10 5 IzraËunaj

1 2 IzraËunaj c - m : c m . 2 3 1 2 1 3 3 Po definiciji je c - m : c m = c - m $ =- . 2 3 2 2 4 Ponekad koliËnik racionalnih brojeva piπemo u obliku dvojnog razlomka (koliËnika): a b = a : c = ad . c b d bc d Odavde sledi sledeÊe pravilo. Dvojni razlomak se izraËunava tako πto se proizvod „spoqaπwih brojeva“ (brojioca deqenika i imenioca delioca) podeli proizvodom „unutraπwih brojeva“ (imenioca deqenika i brojioca delioca). Isto pravilo je vaæilo i za pozitivne razlomke.

пример

Zapiπi dvojni razlomak:

u obliku razlomka. Reπewe:

-2 3 4 9 -2 3 = (- 2) $ 9 = - 1 $ 3 =- 3 . 1$2 2 4 3$4 9

U primeru 1 oba Ëinioca su bila negativna, a proizvod je bio pozitivan. U primeru 2 deqenik i delilac su bili razliËitih znakova, a koliËnik negativan. Da li to vaæi i u opπtem sluËaju? Odgovor je potvrdan. Ako su dva racionalna broja istog znaka, wihov je proizvod (i koliËnik) pozitivan. Ako su ti brojevi razliËitog znaka, wihov je proizvod (i koliËnik) negativan. Vaæi i obratno.

пример

a c a c Dovoqno je uveriti se da je ` - j $ =-` $ j . b d b d Zaista: (- a) c a c -a c ac a c =- $ . $ = =`- j $ = b d b d bd bd b d Prema ovome, do rezultata mnoæewa (deqewa) mogli bismo doÊi i na drugi naËin, odreujuÊi znak rezultata i mnoæeÊi (deleÊi) apsolutne vrednosti datih brojeva po pravilu mnoæewa (deqewa) razlomaka.

Pomnoæi ‡3,4 i 1,1. Znak proizvoda je ‡, jer su brojevi razliËitog znaka, a proizvod apsolutnih vrednosti je 3,4 · 1,1 = 3,74. Zato je rezultat mnoæewa ‡3,74.

3 IzraËunaj c - m $ (- 0, 2) . 5 Znak rezultata je +, jer su Ëinioci istog znaka, a apsolutna vrednost je: 3 2 3$2 3$1 3 . $ = = = 5 10 5 $ 10 5$5 25

Da li za ovako uvedeno mnoæewe u skupu Q vaæe sledeÊi zakoni: a$b=b$a a $ (b $ c) = (a $ b) $ c a $ (b + c ) = a $ b + a $ c 1$a=a 0$a=0

komutativnost asocijativnost distributivnost u odnosu na sabirawe mnoæewe jedinicom mnoæewe nulom,

koji su vaæili za mnoæewe u skupu Z? Odgovor je potvrdan i lako se moæe dokazati. Na primer, dokaæimo distributivnost:

пример

mps + mqr m (ps + qr) m p r m ps + qr = = c + m= c m= n q s n qs nqs n (qs) mqr mps mp mr m p m r + = + = $ + = $ . ns n q n s nqs nqs nq Pokuπaj da dokaæeπ ostale zakone, u skupu Q. 2 3 4 Proveri zakon asocijacije na izrazu c - m $ ; $ c - mE. 3 4 5 2 3$4 2 3 2 Direktni raËun daje vrednost c - m $ c m = $ = , dok je 3 4$5 3 5 5 2 3 4 2$3 4 2$4 2 = . ;c - m $ E $ c - m = c m $ c- m = 3 4 5 3$4 5 4$5 5 Rezultat je isti u oba sluËaja. PrimeÊujeπ da smo prvo skraÊivali razlomke, pa onda mnoæili. Taj redosled radwi uproπÊava rad sa razlomcima.

пример

KoriπÊewem navedenih zakona mogu se uprostiti neki izrazi i lakπe izraËunati wihova vrednost.

2 4 2 1 IzraËunaj c - m $ + $ c - m . 3 5 3 5 PrimewujuÊi distributivni zakon, izraz moæemo napisati kao: 2 4 1 2 2 $ ;- - E = $ (- 1) =- . 3 5 5 3 3

1 IzraËunaj - 3, 4 $ 1, 2 + 1, 6 $ c - 1 m . 5 1 1 6 Kako je - 1 =- c 1 + m =- =- 1, 2 izraz je jednak [(‡3,4) ‡ 1,6] · 1,2 = ‡5 · 1,2 = ‡6. 5 5 5

Контролна питања

Kako se mnoæe racionalni brojevi dati u obliku razlomka i decimalnog zapisa? Kako se odreuje znak proizvoda dva racionalna broja? Kako se deqewe racionalnim brojem razliËitim od nule svodi na mnoæewe? Kako se izraËunava vrednost proizvoda dva racionalna broja odreivawem wegovog znaka i apsolutne vrednosti? Kako glase zakoni komutacije, asocijacije, distribucije, mnoæewa jedinicom i nulom, za mnoæewe racionalnih brojeva?

Задаци 1 3 2 1 1 1. IzraËunaj: a) c - m $ 4 ; b) $ c - m ; v) $ c - 5 m . 2 4 5 5 5 2 1 2. Proveri zakon komutacije mnoæewa za a =- i b =- 1 . 3 2 3. Proveri zakone asocijacije i distribucije mnoæewa prema sabirawu za 2 1 3 a =- , b =- 2 i c = . 5 3 2 4. IzraËunaj tri Ëetvrtine od minus dve devetine. 2 da se dobije 1? 3 4 3 3 1 6. Koji znak ima koliËnik brojeva: a) - i ; b) - i - ? 5 8 7 9 2 3 7. IzraËunaj: a) 5 ; b) 8 . 3 1 2 4 4 3 5 . 8. IzraËunaj: : (‡0,25); (‡0,1) : (‡0,001); 8 - 0, 4 4 3 3 9. IzraËunaj: c - m : ; : c - mE. 5 4 5 1 1 10. IzraËunaj: 1 : c - m . 4 8 1 11. Kolika je πestina od - ? 3 2 3 5 12. IzraËunaj: c 2 - m : c - m . 5 4 6

5. Kojim brojem treba pomnoæiti broj -

2 1 2 : c - m. 3 2 3 14. Moæe li koliËnik dva racionalna broja da bude veÊi od wihovog proizvoda? Navedi primere.

13. IzraËunaj: - 1

15. IzraËunaj: a) c 4

1 7 13 13 - 2, 2 m $ c 1 - 4m $ c8 - 9 m. m ; b) c 2 3 15 23 16

ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ 2.1. Једначине 8.1. Питагорина у вези теорема са сабирањем и одузимањем

PODSETI SE U petom razredu smo jednaËinama po nepoznatoj (promenqivoj) x nazivali jednakosti koje sadræe nepoznatu x. Svaku vrednost nepoznate x koja datu jednaËinu pretvara u brojevnu jednakost, tj. za koju je leva strana jednakosti jednaka desnoj, nazivamo reπewe jednaËine.

Jednakosti 2x ‡ 4 = 10 i 7 + x = x + 7 su jednaËine sa nepoznatom x.

U jednaËini 3k ‡ 6 = 2k + 7, nepoznata je k.

Broj 5 je reπewe jednaËine x + 12 = 17, jer je 5 + 12 = 17, tj. kada se umesto nepoznate x zameni broj 5, dobije se taËna brojevna jednakost.

пример

Napomiwemo da se nepoznata najËeπÊe oznaËava sa x, ali da moæe biti oznaËena i nekim drugim slovom.

Broj 3 nije reπewe jednaËine x · x = 4, jer je 3 · 3 = 9 ! 4, a brojevi 2 i ‡2 jesu reπewa date jednaËine, jer je 2 · 2 = 4 i (‡2) · (‡2) = 4.

5 пример

6 пример

JednaËina x ‡ x = ‡10 nema reπewa, jer je, ma kolika bila vrednost broja x, vrednost leve strane jednakosti uvek 0, a desne ‡10. ZnaËi da ne postoji nijedan broj x takav da je x ‡ x = ‡10.

Reπewe jednaËine 6 + (x + 3) = 9 + x je broj 4, jer je 6 + (4 + 3) = 13 i 9 + 4 = 13. Reπewe date jednaËine je i broj 0, zato πto je 6 + (0 + 3) = 9 i 9 + 0 = 9. Moæemo pokazati da je svaki racionalan broj reπewe date jednaËine. JednaËina ima beskonaËno mnogo reπewa.

U Ëetvrtom razredu jednaËine oblika x + a = b, x ‡ a = b i a ‡ x = b (x je nepoznat broj), reπavali smo u skupu N0, a u petom razredu u skupu nenegativnih razlomaka. JednaËine navedenih oblika reπavali smo koristeÊi svojstva sabirawa i oduzimawa. Nepoznati sabirak smo odreivali tako πto smo od zbira oduzimali poznati sabirak; nepoznati umawenik smo dobijali sabirawem razlike i umawioca, a nepoznati umawilac smo izraËunavali tako πto smo od umawenika oduzimali razliku. Pri tom smo videli da u skupu Q+ jednaËina x + a = b nema reπewa ako je a > b. Isto tako i jednaËina a ‡ x = b nema reπewa ako je a 1 b. Sada, kada smo upoznali skup racionalnih brojeva i wegova svojstva, naπe moguÊnosti su znatno veÊe. JednaËine navedenih oblika u skupu Q imaju reπewa.

пример

Reπi jednaËinu x + 7 = 18.

Ovu jednaËinu uspeπno smo reπavali u prethodnim razredima. Broj x je nepoznati sabirak i dobija se kada se od zbira 18 oduzme poznati sabirak 7. Dakle, x = 18 ‡ 7 = 11. Broj 11 jeste reπewe date jednaËine, jer je 11 + 7 = 18. Data jednaËina u skupu N ima reπewe, pa prema tome ima ga i u skupu Z, odnosno Q.

Koji broj treba sabrati sa 15, da bi se dobilo 6? Ako traæeni broj obeleæimo sa x, onda je 15 + x = 6. I u ovoj jednaËini broj x je nepoznati sabirak i koristeÊi vezu izmeu sabirawa i oduzimawa, dobijamo ga kada

ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА И ТРОУГЛА

2.1. Појам 9.1. Питагорина површине. теорема Површина правоугаоника

Jedan od najstarijih problema iz kojeg je i ponikla geometrija jeste problem uporeivawa zemqiπnih parcela po veliËini. Dve po obliku razliËite parcele mogu se uporediti po veliËini, na primer, po koliËini semena potrebnog za setvu na tim parcelama, s obzirom na to da je ta koliËina proporcionalna veliËini parcele. Kako zemqiπne parcele moæemo predstaviti geometrijskim figurama u ravni, razumno je oËekivati da svaka geometrijska figura u ravni ima veliËinu. Woj, na primer, odgovara koliËina boje potrebne da se ta figura oboji. VeliËinu figure nazivamo povrπina figure. Povrπina figure je nenegativan broj pridruæen figuri, tako da: ‡ dve podudarne figure imaju jednake povrπine; ‡ ako se figura rastavi na dve (ili viπe) figure, wena povrπina je jednaka zbiru povrπina delova; ‡ povrπina kvadrata Ëija stranica ima jediniËnu duæinu je 1. Ako neku figuru rastavimo na delove i od wih sastavimo drugu figuru, kaæemo da je prva figura prekrojena u drugu. Saglasno navedenim naËelima, jasno je da su te dve figure jednake po povrπini, iako se po obliku mogu potpuno razlikovati.

пример

Strana 127

116

Na slici 1 prikazano je prekrajawe jednakokrakog trougla Ëija je osnovica duæine 2 i visina duæine 3, u pravougaonik stranica 1 i 3. Prekopiraj sliku na poseban papir, razreæi trougao po visini i od dobijenih delova sastavi pravougaonik. Jednakost po povrπini dve figure moæe se utvrditi i ako se figure mogu „dopuniti“ figurama jednakih povrπina.

слика 1

9.3. Површина троугла Da bismo izraËunali povrπinu trougla, trougao se moæe dopuniti trouglom podudarnim polaznom do paralelograma (sl. 13). слика

Stoga je povrπina trougla jednaka polovini povrπine dobijenog paralelograma, pa vaæi sledeÊe tvrewe.

пример

Povrπina trougla jednaka je polovini proizvoda duæine jedne wegove stranice i duæine visine koja joj odgovara. 1 1 1 p = a $ ha = b $ hb = c $ hc . 2 2 2

IzraËunaj povrπinu trougla ako su duæine stranice a = 4 cm i woj odgovarajuÊe visine 5 cm. Povrπina je p =

1 a $ ha = 10 cm2. 2

Ako je za trougao ABC poznato: a = 4 cm, b = 3 cm i ha = 6 cm, odredi hb. a $ ha = 8 cm. Vaæi a · ha = b · hb = 2P. Otuda, hb = b

IzraËunaj povrπinu pravouglog trougla ako su duæine kateta 12 cm i 10 cm. Neka su katete trougla obeleæene sa a i b, tada je povrπina: P =

Контролна питања

a$b = 60 cm2. 2

Kako se izraËunava povrπina trougla?

121

за шести разред основне школе

МАТЕМАТИКА 8 600262 025531

www.zavod.co.rs k.b. 16210

Ђорђе Дугошија Војислав Андрић Вера Јоцковић Владимир Мићић

МАТЕМАТИКА

за шести разред основне школе