Olimpiada o Diamentowy Indeks AGH. Fizyka by Wydawnictwo JAK

CMYK

10.

Janusz Wolny Łucjan Pytlik Paweł Armatys Radosław Strzałka

2008/09 – 2022/23

OLIMPIADA O DIAMENTOWY INDEKS AGH OGÓLNOPOLSKA

ISBN 978-83-67115-11-7

9 788367 115117

CMYK

OLIMPIADA O DIAMENTOWY INDEKS AGH

Oddajemy w ręce czytelników podręcznik zawierający rozwiązania zadań z fizyki, jakie pojawiły się w ostatnich 15 edycjach Olimpiady. Rozwiązania uzupełnione są stosownymi komentarzami pozwalającymi na pełne zrozumienie rozważanego problemu fizycznego. Praca z tym podręcznikiem stanowi doskonałe przygotowanie do kolejnych olimpiad oraz do rozpoczęcia studiów technicznych. Zawiera on obszerny materiał z mechaniki, termodynamiki, elektromagnetyzmu, optyki wraz z elementami fizyki współczesnej, pozwalający na samodzielne powtórzenie całego zakresu materiału szkoły średniej.

OGÓLNOPOLSKA

Olimpiada objęta jest patronatem Ministerstwa Edukacji i Nauki. Jej organizatorem jest Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Laureaci Olimpiady przyjmowani są na studia w AGH z pominięciem procedury rekrutacyjnej. Największą wartością, którą wynosi się z aktywnego uczestnictwa w Olimpiadzie „O Diamentowy Indeks AGH”, jest dobre przygotowanie do studiów na kierunkach przyrodniczo-technicznych prowadzonych w uczelniach wyższych.

rozwiązania zadań z lat 2008/09 – 2022/23

Wydanie 10.

Recenzent: prof. dr hab. inż. Wojciech Łużny © Copyright by Janusz Wolny, Łucjan Pytlik, Paweł Armatys, Radosław Strzałka Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie

Projekt okładki: Studio Kozak Zdjęcie na okładce: © iStockphoto.com/derrrek

ISBN 978-83-67115-11-7 Wydanie X

www.wydawnictwojak.pl Kraków 2023

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 2

15.05.2023 13:37:34

OD AUTORÓW

Ogólnopolska Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” jest to trzystopniowy konkurs realizowany w zakresie pięciu przedmiotów: matematyki, informatyki, fizyki, chemii i geografii z elementami geologii. Szczegółowy regulamin konkursu znajduje się na stronie http://www. diament.agh.edu.pl/. Olimpiada objęta jest patronatem Ministerstwa Edukacji i Nauki. Jej organizatorem jest Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Laureaci Olimpiady przyjmowani są na studia w AGH z pominięciem procedury rekrutacyjnej (pełny wykaz kierunków studiów podany jest w stosownej corocznej uchwale Senatu AGH w sprawie zasad przyjmowania na studia laureatów oraz finalistów olimpiad stopnia centralnego). Jest ona organizowana od roku akademickiego 2007/2008 i cieszy się ogromnym zainteresowaniem młodzieży. Startuje w niej corocznie kilka tysięcy uczniów szkół ponadgimnazjalnych z całej Polski. Zdecydowana większość uczestników i laureatów Olimpiady mieszka poza Krakowem, nierzadko w małych miejscowościach rozsianych po całym kraju. Główną ideą Olimpiady „O Diamentowy Indeks AGH” jest merytoryczne przygotowanie kandydatów do studiów przyrodniczo-technicznych, co zasadniczo odróżnia ten konkurs od innych olimpiad przedmiotowych. W myśl powyższej idei premiowani są wszyscy uczestnicy dobrze przygotowani z wybranego przedmiotu. Laureatami są osoby, które przekroczyły pułap 70% możliwych do zdobycia punktów. Największą wartością, jaką wynosi się z aktywnego uczestnictwa w Olimpiadzie „O Diamentowy Indeks AGH”, jest dobre przygotowanie do studiów na kierunkach przyrodniczo-technicznych prowadzonych w wyższych uczelniach. Studiowanie w uczelni technicznej wymaga sprawnego rozwiązywania zadań, z czym wielu początkujących studentów ma poważny problem, który często powoduje nawet rezygnację ze studiów. Przygotowanie do Olimpiady i sam udział w niej zdecydowanie zwiększają szanse na pokonanie trudnej drogi prowadzącej do uzyskania stopnia inżyniera. Oddajemy w ręce czytelników podręcznik zawierający rozwiązania zadań z fizyki, jakie pojawiły się w 15 ostatnich edycjach Olimpiady w latach 2008–2023. Rozwiązania uzupełnione są stosownymi komentarzami pozwalającymi na pełne zrozumienie rozważanego problemu fizycznego. Praca z tym podręcznikiem stanowi doskonałe przygotowanie do kolejnych olimpiad. Zawiera on obszerny materiał z mechaniki, termodynamiki, elektromagnetyzmu, optyki wraz z elementami fizyki współczesnej, pozwalający na samodzielne powtórzenie całego zakresu materiału szkoły średniej. Spora część materiału może też być

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 3

15.05.2023 13:37:34

wykorzystywana na zajęciach przygotowujących do matury z fizyki, kursach wyrównawczych i początkowych zajęciach na studiach technicznych. Wiadomości potrzebne do rozwiązania zadań można znaleźć w ogólnodostępnych podręcznikach, w tym podręcznikach, które powstały na AGH: J. Wolny, Podstawy fizyki w zadaniach, wyd. 5, Wydawnictwo JAK, Kraków 2020, https://www.wydawnictwojak.pl/podstawy-fizyki-w-zadaniach; oraz Z. Kąkol, Fizyka, https:// open.agh.edu.pl/zasob/fizyka-podrecznik/. Janusz Wolny Łucjan Pytlik Paweł Armatys Radosław Strzałka J. Wolny Podstawy fizyki w zadaniach

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 4

Z. Kąkol Fizyka

15.05.2023 13:37:34

SPIS TREŚCI Zadania z lat 2008/2009

Zadania z lat 2013/2014

etap I

..............................

etap I

..............................

etap II ..............................

etap III ..............................

Zadania z lat 2009/2010

Zadania z lat 2014/2015

etap I

..............................

etap I

..............................

etap II ..............................

etap II .............................. 104

etap III ..............................

etap III .............................. 109

Zadania z lat 2010/2011

Zadania z lat 2015/2016

etap I

..............................

etap I

.............................. 115

etap II ..............................

etap II .............................. 120

etap III ..............................

etap III .............................. 125

Zadania z lat 2011/2012

Zadania z lat 2016/2017

etap I

..............................

etap I

.............................. 130

etap II ..............................

etap II .............................. 135

etap III ..............................

etap III .............................. 140

Zadania z lat 2012/2013

Zadania z lat 2017/2018

etap I

..............................

etap I

etap II ..............................

etap II .............................. 150

etap III ..............................

etap III .............................. 155

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 5

.............................. 145

15.05.2023 13:37:34

Zadania z lat 2018/2019

Zadania z lat 2021/2022

etap I

.............................. 160

.............................. 200

etap II .............................. 165

etap II .............................. 206

etap III .............................. 170

etap III .............................. 211

Zadania z lat 2019/2020

Zadania z lat 2022/2023

etap I

.............................. 175

etap II .............................. 180

.............................. 216

etap II .............................. 222 etap III .............................. 227

Zadania z lat 2020/2021 etap I

.............................. 185

etap II .............................. 190 etap III .............................. 195

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 6

15.05.2023 13:37:34

Z ADAN IA Z L AT 2008/ 2009

2008/2009-I-1 Na równi pochyłej o zmiennym kącie nachylenia umieszczamy na tej samej wysokości walec i kulkę. Współczynnik tarcia o powierzchnię równi dla obu ciał jest taki sam i wynosi 0,1. Porównaj czasy, po których oba ciała dotrą do podstawy równi (oblicz ich stosunek). Rozważ dwa przypadki: a) dla małych kątów nachylenia równi, kiedy ruch obu ciał odbywa się bez poślizgu, b) dla dużych kątów nachylenia równi, kiedy toczeniu się obu ciał po równi towarzyszy poślizg. Wyznacz, dla jakiego zakresu kątów nachylenia równi realizowane są odpowiednio rozpatrywane przypadki (a) i (b). ROZWIĄZANIE ω

Dane: f = 0,1, Ik = 2/5 mR2, Iw = 1/2 mR2 Szukane: tw /tk

F α

α Q

a) Ruch bez poślizgu (a ≤ α1) Zapisujemy równania dynamiki i obliczamy przyspieszenia odpowiednio walca i kuli: 2   F − T = ma aw = 3 ⋅ g sin a  (T ≤ f ⋅ N ) T ⋅ R = I ⋅ e ⇒  a = 5 ⋅ g sin a a = e ⋅ R k  7  Ruch środka masy kuli i walca możemy traktować jak ruch jednostajnie przyspieszony: l=

at 2

⇒ t=

2l a

(1)

(2)

Określamy stosunek czasów ruchu walca i kuli: tw = tk

ak 15 = ≈ 1, 035 aw 14

(3)

b) Ruch z poślizgiem (a ≥ α2) W tym przypadku równania ruchu przyjmują postać:  F − T = ma a = g (sin a − f cos a ) ⇒  ⇒  cos a T f N f mg = ⋅ =  aw = ak = a

tw =1 tk

(4)

Określamy wartości kątów granicznych:  tg a gr,w = 3 f ⇒ a gr,w ≈ 16, 7° a1 = a gr,w ≈ 16, 7°  ⇒   7  tg a gr,k = f ⇒ a gr,k ≈ 19, 3° a 2 = a gr,k ≈ 19, 3° 2 

2008/2009 • etap I

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 7

(5)

15.05.2023 13:37:50

2008/2009-I-2 Kra lodowa o jednorodnej grubości unosi się na spokojnej wodzie jeziora. Po wprawieniu jej w drgania pionowe o niewielkiej amplitudzie zmierzono, że oscyluje ona z częstotliwością 1 Hz. Oblicz grubość tej kry. Do obliczeń przyjmij stosunek gęstości masy lodu do gęstości masy wody równy 0,9. Pomiń efekty związane z napięciem powierzchniowym, lepkością i rozmiarami zbiornika. ROZWIĄZANIE Fw0

Dane: rl /rw = 0,9, f = 1 Hz ⇒ T = 1 s Szukane: h x0

∆x Q

h Q

Siłę ciężkości działającą na krę obliczymy z warunku równowagi: (6)

Q = Fw 0 = r w ⋅ S ⋅ x0 ⋅ g Obliczmy siłę wypadkową działającą na krę po wprawieniu jej w drgania pionowe: k F = Fw − Q = r w ⋅ S ⋅ g ⋅ ∆ x = k ⋅ ∆ x

(7)

Siła wypadkowa zależy wprost proporcjonalnie od wartości wychylenia, więc jest siłą harmoniczną. Obliczmy okres drgań: m k = r w Sg rl h = = 2p ⋅ m = rl Sh k rw g

T = 2p

(8)

Możemy już łatwo obliczyć grubość kry lodowej: h=

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 8

⋅

rw ⋅ g = 0, 28 m = 28 cm rl

(9)

2008/2009 • etap I

15.05.2023 13:38:01

2008/2009-I-3 Międzynarodowa Stacja Kosmiczna (ISS) o masie m krąży po prawie kołowej orbicie na wysokości H nad powierzchnią Ziemi. We wrześniu 2008 r. przybliżone wartości liczbowe wynosiły odpowiednio H = RZ/18 (RZ – promień Ziemi równy 6,38 Mm) oraz m = 300 t (aktualne parametry ISS znajdują się na stronach: http://spaceflight.nasa.gov/station/isstodate.html oraz http://spaceflight. nasa.gov/realdata/tracking/index.html). Oblicz energię kinetyczną tego obiektu kosmicznego. Jaką dodatkową energię musiałaby uzyskać Stacja, aby mogła ona opuścić strefę przyciągania ziemskiego? Jaką masę lodu można by stopić, gdyby wykorzystać taką energię do zamiany góry lodowej na zapasy słodkiej wody? Porównaj ten wynik z masą obserwowanych gór lodowych. Ciepło topnienia lodu wynosi 334 kJ/kg. ROZWIĄZANIE v

Dane: H = RZ /18, m = 300 t, L = 334 kJ/kg, RZ = 6,38 ·106 m Szukane: Ek, D E, ML

Fgr Z

Siła grawitacyjna pełni rolę siły dośrodkowej w ruchu po orbicie. Na tej podstawie obliczymy prędkość orbitalną stacji: Fgr = Fd

⇒ G

M Zm R

mv R

⇒ v=

GM Z = R

g RZ g RZ = ≈ 7, 70 km s 1 + H /RZ RZ + H 2

(10)

Liczymy energię kinetyczną i potencjalną stacji: Ek =

2 1 GM Z m 1 mv RZ = = mg = 8, 89 ⋅1012 J 2 2 2 1 + H /RZ R

Ep = −

GM Z m = −2 Ek R

(11)

Zatem całkowita energia mechaniczna oraz jej zmiana potrzebna na opuszczenie pola ziemskiego wynoszą: Ec = E k + E p = − E k ,

∆ E = E∞ − Ec = Ek = 8, 89 ⋅1012 J

(12)

Obliczamy masę lodu, jaki można by stopić, wykorzystując energię (12): ML =

∆E = 2, 66 ⋅10 7 kg L

(13)

Porównujemy wynik z masą obserwowanych gór lodowych (przyjmijmy masę góry lodowej: Mg ∼ 2 Mt – aktualne dane w internecie):

ML = 1, 3% Mg

(14)

2008/2009 • etap I

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 9

15.05.2023 13:38:15

2008/2009-I-4 Elektron wlatuje w jednorodne pole magnetyczne o indukcji 2⋅10-2 T, skierowane prostopadle do jego prędkości. Jakim napięciem został przyspieszony ten elektron, jeżeli w polu magnetycznym porusza się on po okręgu o promieniu 3 cm? Stosunek ładunku elektronu do jego masy wynosi 1,76⋅1011 C/kg. Ile wynosiłoby to napięcie w przypadku protonu (mp/me = 1836)? Wykonaj rysunki, oddzielnie dla elektronu i protonu, na których zaznacz wektory prędkości, indukcji magnetycznej oraz siły. ROZWIĄZANIE ve

−e

Dane: B = 2 ·10−2 T, Re = Rp = 3 cm, e/me = 1,76 1011 C/kg, mp/me = 1836 Szukane: Ue, Up

Fp +e

Siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej w ruchu po okręgu: FL = Fd

⇒ qvB =

mv R

⇒ v=

qBR m

(15)

Energię kinetyczną przyspieszanych naładowanych cząstek możemy obliczyć w następujący sposób: Ek = qU =

mv 2

⇒ U=

q B R m 2 2

(16)

Obliczamy napięcia przyspieszające dla elektronu i protonu, wykorzystując wzór (16): Ue =

e B Re ≈ 31, 7 kV me 2

(17)

Up =

e B Rp m = U e e ≈ 17, 2 V mp 2 mp

(18)

Uwaga! Prędkość elektronu przyspieszanego napięciem (17) wynosi ∼ 1/3 c, więc mogą się pojawić poprawki relatywistyczne.

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 10

2008/2009 • etap I

15.05.2023 13:38:27

2016/2017-II-1 Model karuzeli zbudowano przez przyklejenie puszki o promieniu R = 50 cm do kolistej podstawy mogącej się obracać wokół pionowej osi. Puszka ma w środku górnej pokrywy otwór, przez który przechodzi linka zamocowana do ciężarka o masie M = 200 g umieszczonego na osi obrotu. Linka ta przeprowadzona jest przez dwa bloczki obracające się bez oporów (patrz rysunek). Na drugim końcu linki, zwisającym na zewnątrz puszki, zamocowany został drugi ciężarek o masie m = 100 g. Część linki zwisająca na zewnątrz puszki ma długość L = 100 cm, liczoną do środka masy ciała m. Jaka jest prędkość kątowa obrotu karuzeli, w, jeżeli zwisająca część linki odchylona jest od pionu o kąt a = 30°? Przy jakiej prędkości kątowej linka spowoduje uniesienie ciężarka M w górę? ROZWIĄZANIE Dane: M = 200 g, m = 100 g, a = 30°, R = 0,5 m, L = 1 m Szukane: ω, w1

R α

L m

Fod α

Siła odśrodkowa:

Fod = mw2 (R + Lsina) tg a =

Fod Q1

g tg (a ) 1 ≈ 2, 4 R + L sin a s

⇒

(1) (2)

m w 2 ( R + L sin a ) = mg tg (a )

Stąd: (3)

Uniesienie ciężarka nastąpi, gdy N = Mg: Q1 = cos a 1 N

⇒

cos a 1 =

mg 1 = Mg 2

⇒

a 1 = 60°

Fod = N sina1 ⇒ mw12 (R + Lsina1) = Mg sina1

(4) (5)

Stąd: w1 =

Mg sin a 1 1 = 3, 55 m( R + L sin a 1 ) s

2016/2017 • etap II

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 135

(6)

135

15.05.2023 13:51:49

2016/2017-II-2 Cienka obręcz (Iobręczy = MR2 – względem środka masy) o promieniu R = 20 cm i masie M = 200 g, została zawieszona na gwoździu wbitym w pionową ścianę. Oblicz okres (T1) małych wahań obręczy. Następnie do tej obręczy przyczepiono masę punktową o wartości m = 100 g w punkcie naprzeciwległym do punktu zawieszenia. Oblicz okres (T2) małych wahań względem położenia równowagi obręczy wraz z dodatkową masą. Ile wynosi stosunek okresów (T2/T1)? Okres wahadła fizycznego wyraża się wzorem T = 2p I /(mgd ) , gdzie I jest momentem bezwładności, m – masą ciała, g – przyspieszeniem ziemskim, d – odległością środka masy od osi obrotu. ROZWIĄZANIE Dane: R = 0,2 m, M = 0,2 kg, m = 0,1 kg Szukane: T1, T2 , T2/T1

R x

I0 = MR 2; I1 = I0 + Md 2 = MR 2 + MR2 = 2MR 2

(7)

2MR 2R = T1 2= p 2p = 0= , 4p 1, 26 s MgR g 2

(8)

Po dołożeniu masy m:

I2 = I1 + m(2R)2 = 2MR 2 + 4mR 2

(9)

Położenie środka masy: x=

0⋅ M + m⋅ R m = R, M +m M +m

T2 = 2 p

136

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 136

d = R+x=

M + 2m ⋅R M +m

2 R ( M + 2m) 2R = 2p = T1; M + 2m g ⋅ R ( M + m) g M +m 2

T2 =1 T1

(10)

(11)

2016/2017 • etap II

15.05.2023 13:51:54

2016/2017-II-3 Oblicz gęstość powietrza w temperaturze t = 20°C pod ciśnieniem p = 1000 hPa. Załóż, że powietrze jest mieszaniną dwóch gazów: azotu (ma = 28 g/mol) i tlenu (mt = 32 g/mol) zmieszanych w stosunku wagowym 4:1, oraz że możemy je w przybliżeniu traktować jak gaz doskonały. Jaka jest masa powietrza zawartego w sali o powierzchni S = 200 m2 i wysokości h = 4 m? ROZWIĄZANIE Dane: T = 293 K, p = 105 Pa, ma = 28 g/mol, mt = 32 g/mol, ma/mt = 4/1, S = 200 m2, h = 4 m Szukane: rp, mp Z równania stanu gazu doskonałego: m pV m  = ( n t + n a ) ⋅ R =  t + a  ⋅ R, m T  t ma   1 pV 4  = mt R  +  T  mt ma 

mp V

mt =

pV  m t ⋅ m a   , RT  m a + 4m t 

(13)

(14)

5p mt ⋅ma kg = 1,18 3 RT m a + 4m t m

(15)

2016/2017 • etap II

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 137

V = S ⋅h

pV m t ⋅ m a = 943 kg RT m a + 4m t

m p = 5m t = 5

rp =

⇒

(12)

ma = 4 m t

137

15.05.2023 13:52:00

2016/2017-II-4 Dwanaście oporników, każdy o wartości R1 = 10 W, połączono w obwód elektryczny tak, że oporniki tworzą krawędzie sześcianu. Oblicz opór zastępczy układu liczony wzdłuż: a) głównej przekątnej sześcianu, b) boku tego sześcianu. ROZWIĄZANIE Dane: R1 = 10 W Szukane: RAG, RAE a) Połączenie do punktów A i G. Zwieramy punkty B, D i E oraz C, F i H H E

G F A

R AG =

R R R 5 50 + + = R= W 3 6 3 6 6

(16)

b) Połączenie do punktów A i E. Zwieramy punkty B i D oraz F i H H E

R/2

H F

R/2

H F

F R/2

D A

R/2

1 1 5 = + R AE R 7 R

138

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 138

⇒

R AE =

R R/2

B D

7 70 R= W 12 12

⇒

2 5R

R/2

B D

(17)

2016/2017 • etap II

15.05.2023 13:52:02

2016/2017-II-5 Dwie soczewki: skupiająca, o ogniskowej f1 = 10 cm, i rozpraszająca, o ogniskowej f2 = -1,5 f1, zostały ustawione na wspólnej osi optycznej w odległości wzajemnej d, spełniającej relację d = 5 f1. Przedmiot jest ustawiony w odległości x1 = 1,5 f1 od soczewki skupiającej, po zewnętrznej stronie rozpatrywanego układu soczewek. A. Oblicz położenie i powiększenie obrazu utworzonego po przejściu promieni przez soczewkę skupiającą. B. Oblicz położenie (względem soczewki rozpraszającej) i powiększenie obrazu jaki daje soczewka rozpraszająca. C. Oblicz powiększenie obrazu po przejściu promieni przez układ soczewek i określ jaki obraz powstaje w tym przypadku. D. Przedstaw na rysunku bieg promieni i zrób konstrukcję obrazu. ROZWIĄZANIE Dane: f1 = 10 cm, f2 = -1,5 f1, d = 5 f1, x1 = 1,5 f1 Szukane: y1, p1, y2, p2, p3 A. 1 1 1 + = x1 y1 f1 = p1 B.

y1 =

x1 ⋅ f 1 = 3 f1 x1 − f 1

(18)

3 f1 y1 = =2 x1 1, 5 f 1

1 1  1 =  + x y f  2 2 2 x = d − y = 2 f 1 1  2 p2 =

⇒

(19)

⇒

y2 =

x2 ⋅ f 2 6 = − f1 x2 − f 2 7

(20)

3 y 2 − 76 f 1 = =− 2 f1 7 x2

(21)

C. 6  3 p 3 = p1 ⋅ p 2 = 2  −  = − 7  7

powstaje obraz pozorny, pomniejszony odwrócony

(22)

d y1 x1

2016/2017 • etap II

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 139

139

15.05.2023 13:52:08

2016/2017-III-1 Kulkę ze sztucznego tworzywa wystrzeliwujemy z wyrzutni pionowo w górę, z prędkością początkową v1 = 20 m/s. Mamy do dyspozycji drugą wyrzutnię, która wystrzeliwuje takie same kulki z prędkością początkową v2 = 25 m/s. Jaki powinien być odstęp czasu Dt pomiędzy wystrzeleniem kulek z pierwszej i drugiej wyrzutni, aby kulki zderzyły się w najwyższym punkcie lotu pierwszej kulki? Załóż, że obie wyrzutnie znajdują się w tym samym miejscu. Siły oporu powietrza pominąć. ROZWIĄZANIE Dane: v1 = 20 m/s, v2 = 25 m/s Szukane: Dt

h v1 v2

Maksymalna wysokość pierwszej kulki: mgh =

mv1 2

⇒

v1 = 20 m 2g 2

(1)

Czas wznoszenia pierwszej kulki: t1 =

v1 =2s g

h = v2 ⋅ t 2 −

gt 2 = 20 m 2 2

(2)

W momencie zderzenia druga kulka musi się znaleźć na wysokości h: t1 =

v1 =2s g

h = v2 ⋅ t 2 −

gt 2 = 20 m 2 2

(3)

gdzie t2 – czas ruchu drugiej kulki do zderzenia z pierwszą. Stąd: g 2 t 2 − v2 ⋅ t 2 + h = 0 2

(4)

Rozwiązanie trójmianu kwadratowego: ∆ = v2 − 4 2

g v m 2 2 2 h = v 2 − 2 g ⋅ 1 = v 2 − v1 = 225 2 2 2g s 2

(5)

t 2' =

v 2 − ∆ 25 − 15 = =1s 10 g

(6)

t 2'' =

v 2 + ∆ 25 + 15 = = 4 s (odpada, bo większy od t1) 10 g

(7)

∆t = t1 − t 2' = 2 s − 1 s = 1 s

140

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 140

(8)

2016/2017 • etap III

15.05.2023 13:52:17

2021/2022-III-1 Piłka opada pionowo i odbija się niesprężyście od podłogi tracąc przy tym 20% energii kinetycznej. Jaką drogę pokona piłka do chwili osiągnięcia maksymalnej wysokości po czwartym odbiciu od podłogi, jeżeli opada z wysokości początkowej H0 = 1 m? Jaką drogę pokona piłka do chwili całkowitego zatrzymania się? ROZWIĄZANIE Dane: H = 1 m; strata energii przy odbiciu 20% Szukane: s4, scałkowite H

mghi = 0,8mghi−1 ⇒

hi = 0,8hi−1

(1)

Kolejne wysokości tworzą ciąg geometryczny o wyrazie początkowym H i ilorazie 0,8. h1 = H = 1 m h2 = 0,8 H = 0,8 m h3 = 0,82 H = 0,64 m h4 = 0,83 H = 0,512 m h5 = 0,84 H = 0,4096 m

(2)

s 4 = H + 2h2 + 2h3 + 2h4 + h5

(3)

s4 = 2



4

∑ 0,8 H − H − h = H  2 11−−00,,88 − 1 − 0,8  = 5, 31 m i −1

(4)

i =1

s całkowite calkowite = 2

∞





∑ h − H = H  2 1 −10,8 − 1 = 9 m i

(5)

i =1

2021/2022 • etap III

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 211

211

15.05.2023 13:57:35

2021/2022-III-2 Dwie poziome platformy znajdujące się na wysokościach różniących się o h = 1 m, połączone są doskonale gładką pochylnią. Po górnej platformie toczy się bez poślizgu walec ze stałą prędkością v0 = 10 m/s, który po natrafieniu na pochylnię przemieszcza się na dolną platformę. Ponieważ w trakcie ruchu walca po pochylni tarcie nie występuje ruch walca po dolnej platformie początkowo zachodzi z poślizgiem, by po pewnym czasie przejść do jednostajnego ruchu bez poślizgu. Oblicz prędkość walca na dolnej platformie po jej ustabilizowaniu się. ROZWIĄZANIE ω0

Dane: v0 = 10 m/s; h = 1 m; I = 21 mr2 dla walca Szukane: vk

v0 ω0 T

Ruch bez poślizgu na początku: w 1 = Ruch bez poślizgu na końcu: w k =

vk r

ωk

v0 r

W ruchu po pochylni nie występuje tarcie, więc energia mechaniczna jest zachowana: 1 1 1 1 2 2 2 2 I w + mv 0 + mgh = I w 0 + mv1 , stąd v1 = v 02 + 2 gh 2 0 2 2 2

(6)

Na dolnej platformie dla ruchu postępowego: ma = −T = − fmg ; a = − fg ; v = v1 + at = v1 − fgt

(7)

Dla ruchu obrotowego: e=

T ⋅ r 2 fg = I r

(8)

Poślizg ustaje gdy: v1 − fgt = w 0 r + 2 fgt ; t =

v1 − v 0 3 fg

(9)

Prędkość końcowa: v1 − v 0 2 v 0 + 2 gh + v 0 = = 10, 62 m/s 3 fg 3 2

v k = v1 − fg

212

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 212

(10)

2021/2022 • etap III

15.05.2023 13:57:44

2021/2022-III-3 Cykl silnika Carnota składa się z dwóch izoterm i dwóch adiabat. Przedstaw ten cykl na wykresie ciśnienia od objętości i oznacz ekstremalne punkty przecięcia odpowiednich izoterm i adiabat za pomocą współrzędnych: (pmin, Vmax, T2) oraz (pmax, Vmin, T1), gdzie wskaźniki min i max oznaczają minimalne i maksymalne wartości ciśnienia i objętości, a T1 > T2. Wiedząc, że gazem roboczym jest cząsteczkowy azot (N2), sprawność silnika wynosi 50%, stosunek objętości, Vmax/Vmin, wynosi 20 oraz pmin = 1000 hPa, oblicz ciśnienia gazu w pozostałych trzech punktach cyklu przecięcia się izoterm z adiabatami. ROZWIĄZANIE Dane: cykl Carnota; Vmax/Vmin = 20; η = 50%; pmin = 1000 hPa Szukane: wykres p(V ); pmax; pA; pB

h = 1−

T2 1 = T1 2

(11)

⇒ T1 = 2T2

p (pmax, Vmin, T1) (pA, VA, T1) (pB, VB, T2) (pmin, Vmax, T2)

Gaz dwuatomowy: κ = 1,4

Z równania Clapeyrona mamy: p maxV min p V p V p V = min max = B B = A A T1 T2 T2 T1

(12)

Z równania adiabaty mamy: k

p BV B = p maxV min ;

k p AV Ak = p minV max

(13)

Po przekształceniach: p max = p min

T1 V max = 40 p min = 4 MPa T2 V min

(14)

 T  k −1 = 1,13 MPa p A = p min  1   T2 

(15)

 T  k −1 = 0, 35 MPa p B = p max  2   T1 

2021/2022 • etap III

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 213

(16)

213

15.05.2023 13:57:52

2021/2022-III-4 Próżniowy kondensator płaski po naładowaniu do napięcia U0 = 20 V i po odłączeniu od źródła napięcia został zanurzony do połowy swojej objętości w dielektryku o względnej przenikalności dielektrycznej równej ε = 5. Rozważ dwa wzajemnie prostopadłe sposoby ułożenia kondensatora w stosunku do powierzchni płynnego dielektryka, dla których okładki kondensatora są ustawione: A) pionowo, B) poziomo. Ile wynosi napięcie na okładkach kondensatora w każdym z rozważanych przypadków? ROZWIĄZANIE Dane: U0 = 20 V, ε = 5 Szukane: UA; UB W przypadku A kondensator C0 możemy potraktować jako dwa równolegle połączone kondensatory o pojemności 21 C0 każdy. Po wypełnieniu jednego z tych kondensatorów dielektrykiem jego pojemność wyniesie 21 εC0, a pojemność całego kondensatora zmieni się na: CA =

(17)

1 (1 + e )C 0 2

W przypadku B kondensator C0 możemy potraktować jako dwa szeregowo połączone kondensatory o pojemności 2C0 każdy. Po wypełnieniu jednego z tych kondensatorów dielektrykiem jego pojemność wyniesie 2εC0, a pojemność całego kondensatora zmieni się na: CB =

2C 0 ⋅ 2eC 0 2e = C 2C 0 + 2eC 0 1 + e 0

(18)

W obu przypadkach po odłączeniu kondensatora od źródła napięcia ładunek zgromadzony na okładkach nie ulegnie zmianie i zostanie zachowany również po zanurzeniu kondensatora w dielektryku, stąd: Q = U0C0 = UACA = UBCB

(19)

UA =U0

C0 2 U = 6, 67 V = CA 1+ e 0

(20)

UB =U0

C0 1+ e U = 12 V = 2e 0 CB

(21)

214

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 214

2021/2022 • etap III

15.05.2023 13:57:56

2021/2022-III-5 Przedmiot znajduje się w odległości równej podwójnej ogniskowej od soczewki rozpraszającej. W jakiej odległości od soczewki i po której jej stronie powstanie obraz obserwowanego przez soczewkę przedmiotu? Ile wynosi powiększenie tego obrazu? Przedstaw na rysunku konstrukcję obrazu dla rozważanego przypadku. ROZWIĄZANIE Dane: x = 2 | f | Szukane: y; p

y x

Jak widać z konstrukcji obraz powstaje po tej samej stronie soczewki co przedmiot. Równanie soczewki rozpraszającej: −

1 1 1 = + |f| x y

(22)

−

1 1 1 = + | f | 2| f | y

(23)

1 1 1 =− − y 2| f | | f |

(24)

2 |f| 3

(25)

y=−

Minus oznacza, że obraz będzie pozorny. p=

| y| 2 1 1 = | f |⋅ = x 3 2| f | 3

(26)

2021/2022 • etap III

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 215

215

15.05.2023 13:58:02

Z ADAN IA Z L AT 2022/ 2023

2022/2023-I-1 Dwa klocki, górny A i dolny B, są położone jeden nad drugim na równi pochyłej o kącie nachylenia a = 45° i połączone napiętą nieważką linką. Masy klocków wynoszą odpowiednio mA = 2 kg i mB = 1 kg, a współczynniki tarcia kinetycznego klocków o zbocze równi są dla każdego z klocków inne i wynoszą: fA = 0,5 i fB = 0,4. Oblicz wartość siły naciągu linki, N, podczas ruchu klocków w dół równi. ROZWIĄZANIE Dane: a = 45°; mA = 2 kg; mB = 1 kg; fA = 0,5; fB = 0,4 Szukane: siła naciągu N

Zapisujemy II zasadę dynamiki dla każdego z klocków:  Fw ,A = N + Q A sin a − TA   Fw ,B = Q B sin a − N − TB Równanie (1) przyjmuje postać: m A a = N + m A g sin a − f A m A g cos a   m Ba = m B g sin a − N − f Bm B g cos a

(1)

(2)

Rozwiązanie układu równań (2) ze względu na N jest następujące:

N = ( fA − fB )⋅

mAmB ⋅ g cosa mA + mB

(3)

Wynik liczbowy przy g = 9, 81 m /s : 2

m  N = 0, 46 N  przy g = 9, 81 2  s  

216

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 216

(4)

2022/2023 • etap I

15.05.2023 13:58:08

2022/2023-I-2 Kulka stacza się bez poślizgu z równi pochyłej o długości s i kącie nachylenia a (około 6°). Wyprowadź wzór na czas, po jakim kulka stoczy się (bez poślizgu) z równi. Na podstawie tego przypadku zaplanuj i przeprowadź pomiar przyspieszenia ziemskiego. Wybierz kilka odcinków zaznaczonych na zboczu równi (np. s = 25 cm, 50 cm, 75 cm, 100 cm, mierzonych wzdłuż równi od dolnego jej końca). Dla wybranego kąta a i każdej z dróg wykonaj po trzy pomiary czasu (t) ruchu kulki na równi pochyłej i zapisz wartość średnią. Zrób wykres zależności t 2 od s z zaznaczeniem punktów pomiarowych. Dopasuj linię prostą i wyznacz wartość przyśpieszenia ziemskiego. Uwaga: doświadczenie najlepiej przeprowadzić dla kulek o średnicy rzędu kilku centymetrów. ROZWIĄZANIE Dane: s; a Szukane: zależność t 2(s); wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego na podstawie dopasowania prostej. s=

1 2 at 2

⇒ t 2 (s) =

2 ⋅s a

(5)

ma = mg sin a − T  e I = r ⋅T 5  2 ⇒ a = g sin a  I = mr 2 ( kula ) 7 5   a poslizgu ) e = ( toczenie bez poślizgu r  Jeżeli a = 6° oraz g = 9, 81 m /s 2 , to b = 2, 7306… ≈ 2, 73

⇒ t 2 (s) =

14 ⋅s 5 g sin a

(6)

= wsp. kier . b

s . m

Przykładowa tabela z wynikami (dla a = 6°) oraz wykres t 2(s) z dopasowaniem prostej: s [cm]

t1 [s]

t2 [s]

t3 [s]

tśr [s]

tśr2 [s2]

0,81

0,8

0,85

0,82

0,67

1,19

1,17

1,16

1,17

1,38

1,47

1,39

1,43

2,04

100

1,65

1,67

1,63

1,65

2,72

Dopasowanie liniowe (np. metodą najmniejszych kwadratów; np. narzędzie REGLINP/LINEST w Excel-u; bez analizy niepewności) b = 2, 7274

s m

⇒

14 m ≈ 9, 82 2 b ⋅ 5 sin a s

2022/2023 • etap I

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 217

(7)

217

15.05.2023 13:58:15

2022/2023-I-3 Do zbiornika zawierającego V = 4 dm3 wody o temperaturze t1 = 20°C wrzucono rozgrzany kawałek żelaza o masie m = 5 kg, w wyniku czego 10% wody gwałtownie odparowało, a pozostała część wody nagrzała się do temperatury t2 = 80°C. Jaka była początkowa temperatura rozgrzanego żelaza? Ciepła właściwe wody i żelaza oraz ciepło parowania wody znajdź w tablicach materiałowych. ROZWIĄZANIE Dane: V = 4 dm3; t1 = 20°C; m = 5 kg; h = 0,1; t2 = 80°C Szukane: temperatura początkowa żelaza tx Dane z tablic: gęstość wody r w = 1

(8)

dm 3

J kg ⋅°C J (w źródłach dane w zakresie 444–490) ciepło właściwe żelaza cżz = ok. 450 kg ⋅°C kJ ciepło parowania wody L w = 2257 kg

(10)

temperatura parowania wody t100 = 100°C

(12)

ciepło właściwe wody c w = 4190

(9)

(11)

Równanie bilansu cieplnego:

Q w , t1→t100 + Q w , odpar. + Q w , t1→t 2 = Q zż,, t x →t 2

(13)

h ⋅ r wV ⋅ c w ⋅ ( t100 − t1 ) + h ⋅ r wV ⋅ L w + (1 − h) ⋅ r wV ⋅ c w ⋅ ( t 2 − t1 ) = m ⋅ c żz ⋅ ( t x − t 2 )

(14)

ALBO:

0,1m w ⋅ c w ⋅ (100 − t1 ) + 0,1m w ⋅ L w + 0, 9m w ⋅ c w ⋅ ( t 2 − t1 ) = m ⋅ c żz ⋅ ( t x − t 2 )

(15)

gdzie m w = r wV = 4 kg . Stąd:

tx = t2 +

r wV ⋅ 0,1⋅ ( c w ⋅ (100 − t1 ) + L w ) + 0, 9 ⋅ c w ⋅ ( t 2 − t1 )    m ⋅ cżz

(16)

ALBO

t x = 80 +

m w ⋅ 0,1⋅ ( 80c w + L w ) + 0, 9 ⋅ c w ⋅ 60  m ⋅ c żz

°C

(17)

Wynik liczbowy: tx ≈ 940°C (w zależności od przyjętych danych zakres (872–956)°C).

218

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 218

2022/2023 • etap I

15.05.2023 13:58:26

2022/2023-I-4 Dwie grzałki o mocach znamionowych, liczonych dla napięcia zasilającego równego 20 V i zerowej wartości oporu wewnętrznego baterii zasilającej, wynoszących P1 = 100 W i P2 = 200 W, użyto do konstrukcji czajnika elektrycznego zasilanego z baterii o sile elektromotorycznej e = 20 V i oporze wewnętrznym Rw = 0,1 W. Oblicz moc czajnika, w którym wykorzystano tylko jedną z grzałek lub obie grzałki połączone ze sobą szeregowo albo równolegle. Wskaż połączenia, dla których moc tak skonstruowanego czajnika osiąga wartości ekstremalne. ROZWIĄZANIE Dane: U0 = 20 V; P1 = 100 W; P2 = 200 W; e = 20 V; Rw = 0,1 W Szukane: Moce wydzielone w różnych konfiguracjach połączeń grzałek Pa; Pb; Pc; Pd (a) Połączenie z grzałką P1

U0 R1

Opór grzałki: P1 =

⇒ R1 =

U0 = Ra = 4 W P1 2

(18)

II prawo Kirchhoffa:

e ≈ 4, 9 A R1 + R w

Ia =

(19)

Zatem moc w połączeniu (a):

Pa = I a2 R1 =

  U 02 + Rw     P1 

⋅ 2

U0 = 95, 2 W P1 2

(20)

lub Pa = I a R1 = 95, 2 W 2

(b) Połączenie z grzałką P2

U0 =2W P2 e Ib = ≈ 9, 5 A R2 + Rw Rb =

Pb = I b2 R b =

  U 02 + Rw      P2

(21) (22)

⋅ 2

U0 = 181, 4 W P2 2

(23)

lub Pb = I b2 R 2 = 181, 4 W

2022/2023 • etap I

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 219

219

15.05.2023 13:58:36

1  2 1 Rc = R1 + R 2 = U 0  + =6W  P1 P2 

(24)

e ≈ 3, 3 A Rc + R w

Ic =

Pc = I c2 Rc =

(25)

 1 1  ⋅ U 02  +  = 64, 5 W   2 1  P1 P2  1   U 0  +  + R w     P1 P2  e

(26)

lub

Pc = I c2 ( R1 + R 2 ) = 64, 5 W (d) Połączenie z równolegle spiętymi grzałkami P1 i P2

Rd =

4 R1R 2 U0 = = W R1 + R 2 P1 + P2 3

Id =

e ≈ 14 A Rd + R w

Pd = I d Rd = 2

lub Pd = I d ⋅ 2

(27)

(28) 2

  U 02 + Rw      P1 + P2

⋅

U0 = 259, 6 W P1 + P2 2

(29)

R1R 2 = 259, 6 W R1 + R 2

Układ o największej mocy: połączenie równoległe grzałek (Pmax = Pd) Układ o najmniejszej mocy: połączenie szeregowe grzałek (Pmin = Pc )

220

Olimpiada Fizyka wyd_10 2023.indd 220

2022/2023 • etap I

15.05.2023 13:58:46