Péndulo Físico 11th September 2008 Abstract En nuestra práctica de laboratorio descrita a continuación, analizamos las oscilaciones armónicas del péndulo físico, determinando experimentalmente los períodos de oscilación y los momentos de inercia. El período de oscilación se calcula mediante gráficas de posición angular contra tiempo obtenidas con ayuda del software Data Studio y un montaje que consiste en un sensor de movimiento rotacional conectado a una interfaz y fijado en la parte superior de un soporte universal, al cual se le va atornillando una varilla homogénea con orificios igualmente espaciados, comenzando desde el primer orificio, siguiendo con el segundo y así sucesivamente hasta completar 12 ensayos. La gráfica se genera al colocar a oscilar la varilla un ángulo pequeño, aproximadamente 15º. Con esta experiencia se pudo ver claramente una característica importante del péndulo como lo es la dependencia funcional del valor del período con la distancia entre el eje de rotación y el centro de masa.
Introducción Un péndulo Físico es un cuerpo de masa m, suspendido de un eje de rotación que está a una distancia d de su centro de gravedad, capaz de pivotear sin fricción alrededor de dicho eje, como se ilustra en la siguiente figura.
Figure 1: Péndulo Físico
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El momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación es I. En la posición de equilibrio, el centro de gravedad está directamente abajo del pivote; en la posición mostrada en la figura, el cuerpo se ha desplazado un ángulo θ respecto a la posición de equilibrio. Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra, el peso causa un momento de torsión de restitución que tiende a hacer girar el péndulo en dirección contraria a su desplazamiento angular θ y de ésta forma llevar al péndulo de nuevo a su posición de equilibrio, posición que no logra obtener debido a su inercia. La ecuación de movimiento que describe ésta situación física es la siguiente: P τo = −(mg)(d sin θ) = Iα Esta ecuación la podemos expresar en forma de ecuación diferencial: d2 θ dt2
+
mgd I
sin θ = 0
Esta ecuación diferencial no es lineal , por lo que no corresponde a la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple. Pero, si θ es pequeño, podemos aproximar sin θ → θ , con θ en radianes y el movimiento es aproximadamente armónico simple. Entonces, d2 θ mgd + θ=0 (1) dt2 I La frecuencia angular ω, está dada porr mgd ω= (2) I La frecuencia f es 1/2π veces esto, y el s período T es T = 2π
I mgd
(3)
La ecuación (3), permite calcular el momento de inercia I del cuerpo alrededor de un eje del cual es suspendido para que oscile libremente, a partir de T , la masa del cuerpo m y la distancia d del eje al centro de gravedad. En nuestra experiencia, utilizamos una varilla delgada , homogénea, larga en comparación con su anchura y grosor como péndulo físico, como la mostrada en la figura 3. en la que tiene pequeños orificios a lo largo de su eje de simetría a intervalos regulares.
Figure 2: El momento de inercia de una varilla delgada de masa M y longitud L respecto a 1 un eje perpendicular que pase por su centro de masa es ( 12 )M L2 . Ésto se puede demostrar fácilmente tomando un elemento de longitud dx, como se ilustra en la figura 2. La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x + dx es: 2
Figure 3: Varilla delgada de longitud L. (a) Vista frontal. (b) Vista lateral. La distancia entre el punto de suspensión y el extremo superior es a. La distancia entre el punto de suspensión y el centro de masa es d. dm =
M L dx
Luego, el momento de inercia de la varilla es: L
R2 −L 2
M 2 L x dx
=
1 12
M L2
1 Io = ( 12 )M L2
Aplicando el teorema de los ejes paralelos (teorema de Steiner), podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de cualquier otro eje perpendicular a la misma. Si d es la separación entre los dos ejes, 1 )M L2 + M d2 (4) 12 Así, el momento de inercia cuando la varilla está suspendida de un punto O situado a una distancia a de su extremo es: I = Io + M d2 = (
I=
M L2 12
+ M ( L2 − a)2
Resolviendo el cuadrado, simplificando y organizando términos tenemos: 2 I = M L3 + a(a − L) Se puede demostrar que el período teórico de una varilla suspendida en la forma indicada en la figura 3 oscilando con pequeñas amplitudes está dada por: q L2 T = 2π g1 12d +d Éste último resultado se obtiene al sustituir la ecuación (4) en (3), simplificar y organizar términos. Esto puede escribirse en forma similar a la ecuación que nos dá el período de un péndulo simple: 3
T = 2π
q
k g
Donde hemos llamado k=
L2 12d
+d
A k se le denomina longitud del péndulo simple equivalente.
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Análisis de resultados 3 Calcule teóricamente el período de oscilación para un brazo de giro específico y compárelo con el correspondiente valor experimental.¿Cuál es la diferencia porcentual? Si remplazamos los valores de masa, 0.1542 kg, gravedad, 9.8 sm2 y brazo de giro, 46.2 cm, en la ecuación 5 , tendremos el valor que esperariamos obtendrer de las gráficas, este valor es: s 0.0458kg · m2 T = 2π = 1.6123s (0.1542kg) 9.8 sm2 (0.46m) , mientras que tomando los valores de la gráfica de datastudio haciendo un ajuste sinusoidal obtenemos un valor para el período de T = 1.63. 4 ¿Cómo cambia el período de oscilación cuando aumentamos el brazo de giro d? De la ecuación 5 se puede ver claramente que el período depende de forma inversa del brazo de giro, es decir, si aumentamos el brazo de giro haremos que el tiempo que demore cada ciclo sea menor. • 5 ¿El período del péndulo se incrementa si aumentamos la masa? No, por el contrario disminuye. La relacion entre la masa y el periodo es inversamente proporcional, es decir, si la masa aumenta el periodo disminuirá, esto se puede ver de una forma fácil observando que si la masa aumenta el peso de la barra sera mayor, por tanto aumentara el torque y la barra tenderá a oscilar más rapidamente.
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