Medidas de Ángulos by Modesto Ramos

MEDIDAS DE ÁNGULOS

Para obtener la medida de un ángulo se divide el círculo en 360 partes iguales (Grados), cada parte equivale a un grado. Así, un círculo completo representa un ángulo de 360° llamado Perígono, la mitad de ese círculo tiene 180°, el cuál se llama ángulo llano. Un cuarto del mencionado círculo tendrá un ángulo de 90° conocido como ángulo recto.

Clasificación de los ángulos Los ángulos son nombrados de acuerdo a su abertura de la siguiente manera: a) Los menores de 90° se llaman agudos.

b) Los mayores de 90° y menores de 180° les llamamos obtusos.

c) Los mayores de 180° y menores de 360° se llaman entrantes.

Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

d). Los รกngulos que tienen una abertura de 90ยบ, se llaman rectos.

e). Los รกngulos que tienen una abertura de 180ยบ, se llaman llanos.

Facilitador: Modesto Ramos Sรกnchez

f). Ángulos complementarios: son aquellos que sumados nos dan 90º.

AOJ es complemento de JOB y son complementarios entre si

g). Complemento de un ángulo: es aquel que sumado con otro nos da 90º

53° es complemento de 37°

h). Ángulos suplementarios, son aquellos que sumados nos dan 180º

AOJ es suplemento de JOB y son suplementarios entre sí

i). Suplemento de un ángulo: es aquel que sumado con otro nos da 180º. Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

143° es complemento de 37°

j). Ángulos adyacentes: son aquellos que tiene un lado común, y los otros dos forman parte de una misma recta.

AOJ es adyacente a JOB AOJ = 114 

JOB = 66

k). Ángulos opuestos por el vértice: son aquellos en que los lados de un ángulo son prolongación del otro ángulo; y son iguales entre sí.

BEC = 127

B CEA = 53

DEB = 53

AED = 127

BEC es opuesto a AED

Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

DEB es opuesto a AEC

l). Ángulos consecutivos: son aquellos que tienen un lado común.

B BAC = 129

DAB = 91

CAD = 140

DAB es consecutivo de BAC BEC es consecutivo de AED CDA es consecutivo de DAB

NOTA: Se debe considerar que los ángulos se pueden generar en sentido contrario a las manecillas del reloj (que se considera +) o sentido de las manecillas del reloj (que se considera -).

Ejemplos: 1.- Si  AOC es recto y  AOB y  BOC están en relación de 2:4. Hallar sus valores A B 2x 4x O

AOB   BOC  90º 2 x  4x  90º

Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

6 x  90º 90º x  15º 6 AOB  30º BOC  60º

2.- Si AOD  , DOC  5  y COB  2  , según la figura ¿Cuánto mide cada ángulo? D C 5X A

AOD  DOC  COB  180  5  2  180 8 x  180 180  8   22.5  22 30

 AOD = 22°30’  DOC = 112°30’  COB = 45°

3.- Hallar los complementos de los siguientes ángulos: a) 27º b) 42º 25′ c) 37º 12’ 15″

Las soluciones a dichos ejercicios son:

B a) X +27º = 90º X = 90º - 27º X = 63º

C X 27º 0

Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

b) X +42º 25` = 90º X = 90º - 42º 25` X = 47º 35′ X

42º 25`

B c) X +37º 12`15’’ = 90º X = 90º - 37º 12`15`` X = 52º 47`45``

C X 37º 12`15`` O

4.- Hallar los suplementos de los siguientes ángulos. a) 75º b) 147º 25` c) 120º 30’ 42`` Las soluciones son: B a) X +75º = 180º X = 180º - 75º X = 105º

75º

C 0

C b) X +147º 25` = 180º X = 180º - 147º 25` X = 32º 35` A

147º 25` 0

Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

C c) X +120º 30`42’’ = 180º X = 180º -120 º 30`42`` X = 59º 29`18`` X

120º 30`42 ``

5.- Si  AOC = 3x y el  AOB = x ; hallar el valor de los ángulos de la figura. 3X

X B

 AOB + 3  AOB =  BOC 4  AOB = 180º 1800  450  AOB  4 . :  AOB = 45º  AOC = 135º

6.- Si  AOB = 3X y  BOC = 8X; ver figura. ¿Cuánto vale cada ángulo? A

3X 5X O

Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

 AOB +  BOD = 180º 3X + 5X = 180º 8X = 180º 180º X= = 22°30’ 8 . :  AOB = 67º30’  BOD = 112º30’  COD = 67º30’  AOC = 112º30’

Reafirmación del aprendizaje: Contesta cada pregunta, y al terminar analiza tus respuestas con tus compañeros de tu grupo.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

¿Cuánto mide un ángulo entrante? ¿Cómo se llama al ángulo de 180°? ¿Cuál es el suplemento del  90°? ¿Cuál es el complemento del  20°? Si el suplemento del  A es 100° ¿Cuánto mide el  A? ¿Cuánto mide el ángulo Perígono? ¿Cómo se llama a cada una de las 360 partes en que se divide el círculo? ¿Cómo se llaman los ángulos menores de 90°? Si el complemento del  A mide 35° ¿Cuánto mide el ángulo A? ¿A cuantos grados equivale 3/6 de un círculo? ¿Son ángulos que tiene un lado común y los otros dos lados forman parte de una misma recta? 12) ¿Son ángulos en los cuales los lados de uno son prolongación de los lados del otro? 13) ¿Son ángulos que tienen un lado común? 14) Hallar el ángulo que es igual ala mitad de su suplemento. 15) Un ángulo y su complemento están en relación de 6:1 Hallar el valor de los ángulos. 16) Hallar los complementos de los siguientes ángulos a) 37º b) 17º 25` c) 62º 32`16`` 17) Hallar los suplementos de los siguientes ángulos. a) 20º b) 45º 17` c) 150º 32`19`` Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

RESPUESTAS: 1. 2. 3. 4. 5.

Más de 180º y menos de 360º. Colineal o llano. 90º. 70º. A = 80 º

6. 360 º. 7. Grados. 27`44”. 8. Agudos. 41” 9.  A = 55 º.

10.- 180º. 11.- Adyacentes. 12.- Opuestos por el vértice. 13.- Consecutivos. 14.- 60º. 1 6 15.- 77 ;. y.12 . 7 7 16.- a) 53º , b) 72 º 35` c) 27º 17.- a) 160º b) 134º 43` c) 29º 27`

Unidades de medición de ángulos

Medición de ángulos: Para medir ángulos se utiliza un instrumento llamado transportador, el cual representa una semicircunferencia, si sabemos que la circunferencia mide 360° entonces el transportador tendrá una medida de 180°. 90°

180°

0°

La mayoría de los transportadores tienen una línea impresa en el lado recto, normalmente es una línea que cruza un orificio pequeño, o en su defecto alguna marca o punto medio. Observa esto en tu transportador. Para usar el transportador, primero se alinea un lado del ángulo con la línea recta, luego desplaza el transportador por el lado del ángulo hasta que la marca Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

pequeña del punto medio coincida con el vértice del ángulo. Luego observa donde el segundo lado del ángulo cruza el borde del transportador y lee la medida de dicho ángulo. Observa el ejemplo:

90° 50°

0°

Con tu transportador, mide cada uno de los ángulos mostrados a continuación, y escribe dentro de su abertura, la medida de cada uno.

Trazo de ángulos Para trazar un ángulo debemos observar los siguientes pasos:  

Para trazar un ángulo de 70°, primero dibujamos una semirrecta que es uno de los lados del ángulo. Marcamos un punto en esta línea para representar el vértice.

Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

 

Hacemos una marca pequeña con el lápiz al lado del transportador que indica el ángulo de 70°. Tracemos una línea recta a partir de la marca de los 70° hasta el punto que representa el vértice del ángulo. Las semirrectas que hemos dibujado representan el ángulo de 70°.

Ahora en tu cuaderno, sigue el procedimiento descrito en el ejemplo anterior y dibuja ángulos que contenga las siguientes medidas:     

25° 75° 125° 80° 150°

Para medir ángulos aparte del sistema sexagesimal que hemos expuesto en donde la circunferencia mide 360° (grados), y que cada grado a su vez tiene una medida de 60’ (minutos), y cada minuto consta de 60” (segundos); Existe otro sistema llamado circular en el cual la circunferencia tiene una medida de 2 radianes, en donde un radian es un ángulo cuyo vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, y cuyos lados contienen un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Ejemplo: Si el radio AB = 10 cm, entonces la longitud del arco AC = 10 cm por lo tanto la recta AB = arc AC, esto es un radián.

Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

Como hemos expuesto en este sistema la circunferencia tiene una medida de 2 radianes, entonces podemos hacer la siguiente comparación:  radianes = 180°

por lo tanto:

2 radianes = 360°

y si  = 3.1416, tenemos que 2 radianes = 6.2832 Por lo que al dividir 360° entre 6.2832 obtenemos: es decir:

57.29

1Rad= 360°/6.2832 = 57.29°

Este valor representa la medida de un radian expresado en grados sexagesimales. Construir la tabla de relación entre grados sexagesimal y circular. Sistema circular

Sistema sexagesimal

Sistema circular

Sistema sexagesimal

Conversión de sistemas de unidades de medidas de ángulos. Sea S un ángulo cualquiera medido en grados sexagesimales y R un ángulo cualquiera medido en radianes; así tenemos la siguiente relación: S R  0 360 2 rad .

S

R  3600 2 rad.

S  2 rad 3600

R

S   rad 1800

R

Ejemplos: Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

S

R  1800  rad.

a).- Convertir 38º a rad. Sea S=38º

R = 38º  rad / 180º = 0.6632 rad

b).- Convertir 72º 15’ 40” a rad. Sea S=72º 15’ 40”

R = 72º 15’ 40”  rad. / 180º = 1.2612 rad

c).- Convertir 1.83 rad a grados sexagesimales. Sea R=1.83 rad

S = 1.83 rad 180º /  rad = 104º 51’ 04”

d).-Convertir 3/5 rad a grados sexagesimales Sea R=(3/5)rad

S = (3/5)rad 180º /  rad = 108º

Partiendo de la base que:  rad. = 180°, convierte las siguientes expresiones a radianes o viceversa. a).87°15’02”

R= 1.5228 rad.

f) /2 Rad

R= 90°

b) 175°30’07”

R= 3.0631 rad

g) 1.5 Rad

R= 85° 56´ 37”

c) 420°

R= 7.3304 rad

h) 3.2 Rad

R= 183° 20´ 47”

d) 30°

R= 0.5236 rad

i) 3/9  Rad

R = 60°

e) 250°50’10”

R = 4.3779 rad.

j) 0.7 Rad

R = 40° 06´ 25”

Contesta cada pregunta y al terminar analiza tus respuestas con las de tus compañeros. 

¿Cuánto mide un ángulo entrante?



¿Cómo se llama el ángulo de 180°?



¿Cuál es el suplemento del ángulo de 90°?



¿Cuál es el complemento de 20°?

Facilitador: Modesto Ramos Sánchez



Si el suplemento del ángulo A es 100° ¿Cuánto mide el ángulo A?



¿Cuánto mide el ángulo Perígono?



¿En cuántas partes llamadas grado se divide al círculo?



¿Cómo se llaman los ángulos menores de 90°?



Si el complemento de A mide 35° ¿Cuánto mide el ángulo A?



¿A cuántos grados equivale 3/6 de un círculo? Relación: 1º = 60 ‘

1‘ = 60 “

90 º = 89º 60‘

Los símbolos para estas unidades son:

Grado (°), minuto (‘), y segundo ( “)

90°

180°

90º = 89º 59’ 60”

0°

270°

Teoremas Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

Antecedentes:

a) Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales cada uno de 90º y su símbolo es  La notación es:

AB  CD

b) Se dice que dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarlas no tienen ningún punto en común y su símbolo es ║ La notación es:

AB ║ CD

DADAS DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE, SE GENERA LA RELACIÓN SIGUIENTE CON SUS ÁNGULOS:

Sea AB ║ CD las rectas paralelas y QQ´, la secante. Q 1

4 5 C

8

2 3

6 7

Como se puede observar en la figura anterior se generan 8 ángulos, 4 en cada punto de intersección, los cuales se relacionan de la siguiente forma:

Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

1 3

4 5

2 6

S’

Internos 3, 4, 5, 6 Externos 1, 2, 7, 8 Alternos Internos 3 y 5 ; 4 y 6 Alternos Externos 1 y 7 ; 2 y 8 Correspondientes 1 y 5, 4 y 8 ; 2 y 6 ; 3 y 7 Conjugados Internos Conjugados Externos

1.- Si AB ángulos

4 + 5 = 180° ; 2 + 6 = 180° 1 + 8 = 180° ; 2 + 7 = 180°

CD y QQ´, es secante y  M = 70º, encontrar el valor de los demás

I A

K

L  M L

N O

J

P

Facilitador: Modesto Ramos Sánchez

2.- Si AB II CD y MN  PQ y  PFB = 110°, hallar el  NGH. M

H N

3.- Si MN II PQ, AB es secante, OL es bisectriz del  MOG y  MOL = 25º ¿Cuánto vale  BGQ? A O

M L

Q B

4.- De la figura. AB  MN y  AOC = 138°. ¿Cuánto vale el  NMC?

Facilitador: Modesto Ramos Sánchez