∠SA1O – линейный угол двугранного угла SBCA (по определению). ∆ОВ1S = ∆OC1S = ∆OA1S – по двум катетам (ОВ1 = ОС1 = ОА1 = r, r – радиус вписанной окружности в ∆АВС, SO – общий катет), ∠SB1O = ∠SC1O = ∠SA1O (из равенства треугольников). Раз все ребра тетраэдра равны, то доказанное выше справедливо и для всех двугранных углов. Поэтому все двугранные углы равны. Отыщем один из линейных углов двугранного угла, например, ∠SA1O двугранного угла SBCA. Пусть а – ребро тетраэдра, то имеем ∆BSC: SA1 = a sin 60 o = a ⋅ ∆АВС: OA1 =
3 a 3 = ; 2 2
a 1 1 a 3 ; AA1 = ⋅ = 3 3 2 2 3
∆SA1O: cos ϕ =
OA1 a a 3 1 = . ; cos ϕ = : SA1 2 3 2 3
ϕ – острый угол. 1 3
Отсюда: ϕ = arccos . 1 3
Ответ: ϕ = arccos . 176. Дано: ABCD – ромб; ∠(BADM) = 60о; ∠BAD = 45о; ρ(В; (ADM)) = 4 3 .
89
www.5balls.ru