Домашняя работа по алгебре за 9 класс к задачнику «Алгебра 9 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений» А.Г. Мордкович и др. М.: «Мнемозина», 2000 г.
учебно-практическое пособие
2
Содержание Задачи на повторение ..........................................................................................4 Глава 1. Неравенства и системы неравенств
§ 1. Линейные и квадратные неравенства .......................................... 20 § 2. Рациональные неравенства........................................................... 27 § 3. Системы рациональных неравенств ............................................ 42 Домашняя контрольная работа ........................................................... 68 Глава 2. Системы уравнений
§ 5. Основные понятия ......................................................................... 75 § 6. Методы решения систем уравнений ............................................ 89 § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций ............................................................................................ 115 Глава 3. Числовые функции § 9. Определение числовой функции. Область определения, область значений функции........................................ 132
§ 10. Способы задания функций........................................................ 142 § 11. Свойства функций ..................................................................... 146 § 12. Четные и нечетные функции .................................................... 154 § 13. Функции у = хn (n ∈ N), их свойства и графики...................... 160 § 14. Функции у = х –n (n ∈ N), их свойства и графики.................... 171 § 15. Как построить график функции у = mf(x), если известен график функции у = f(x) ....................................... 180 Домашняя контрольная работа ......................................................... 186 Глава 4. Прогрессии
§ 17. Определение числовой последовательности и способы ее задания .................................................................... 189 § 18. Арифметическая прогрессия .................................................... 197 § 19. Геометрическая прогрессия...................................................... 208 Глава 5. Элементы теории тригонометрических функций
§ 21. Числовая окружность ................................................................ 219 § 22. Числовая окружность в координатной плоскости.................. 223 § 23. Синус и косинус. Тангенс и котангенс .................................... 227 § 24. Тригонометрические функции числового аргумента............. 235 § 25. Тригонометрические функции углового аргумента ............................ 241 § 26. Функции y = sin x, y = cos x, их свойства и графики............................. 245 Домашняя контрольная работа ........................................................................ 253
3
Задачи на повторение 1.
а) (8
7 17 1 103 89 27 13 − 2 ) ⋅ 2,7 − 4 : 0,65 = − − × 3 12 36 12 36 10 3
100 220 27 20 22 ⋅ 3 20 59 = = ⋅ − = − . 65 36 10 3 4 3 6 8 35 13 144 8 11 13 б) 1 + ⋅1,44 − ⋅ 0,5625 = + ⋅ − × 15 24 36 100 15 24 36 ×
×
5625 131 ⋅ 2 15 232 = 2,32. = − = 10000 100 50 100
2.
а) 3х( х − 5) − 5 х( х − 3) = 3х 2 − 15 х − 5 х 2 + 15 х = −2 х 2 ; б) 2 y ( x − y ) + y (3 y − 2 x) = 2 yx − 2 y 2 + 3 y 2 − 2 yx = y 2 . 3.
а) 2 x 2 − x(2 x − 5) − 2(2 x − 1) − 5 = 0 , 2 x 2 − 2 x 2 + 5 x − 4 x + 2 − 5 = 0 , x −3 = 0 , x = 3; б) 6 x( x + 2) − 0,5(12 x 2 − 7 x) − 31 = 0 , 6 x 2 + 12 x − 6 x 2 + 3,5 x − 31 = 0 , 15,5 x = 31 , x = 2 . 4. (b + c − 2a )(c − b) + (c + a − 2b)(a − c) − (a + b − 2c)(a − b) =
= bc + c 2 − 2ac − b 2 − bc + 2ab + ac + a 2 − 2ab − c 2 − ac + 2bc − − a 2 − ab + 2ac + ab + b 2 − 2bc = 0 . 5.
а) (a + x) 2 = a 2 + 2ax + x 2 ;
б) (6b − 3) 2 = 36b − 36b + 9 ;
в) (8 x + 3 y ) 2 = 64 x 2 + 48 xy + 9 y 2 ; г) (9 p − 2q) 2 = 81 p 2 − 36 pq + 4q 2 . 6.
а) (3a − 1)(3a + 1) = 9a 2 − 1 ; б) ( x − 1)( x 2 + x + 1) = x 3 − 1 ; в) (10 x 3 − 5 y 2 )(10 x 3 + 5 y 2 ) = 100 x 6 − 25 y 4 ; г) ( x + 4)( x 2 − 4 x + 16) = x 3 + 64 . 7.
а) При a = −0,8 : (a − 1)(a − 2) − (a − 5)(a + 3) = a 2 − 3a + 2 − a 2 + 2a + 15 = = − a + 17 = −(−0,8) + 17 = 17,8 ; 4
б) При m = −0,5 : (m + 3) 2 − (m − 9)(m + 9) = m 2 + 6m + 9 − ( m 2 − 81) = 6m + 90 = 6(−0,5) + 90 = −3 + 90 = 87 ; 1 в) При a = − : 6 (a − 3)(a + 4) − ( a + 2)(a + 5) = a 2 − 3a + 4a − 12 − a 2 − 2a − 1 −5a − 10 = −6a − 22 = (−6) − − 22 = 1 − 22 = 21 ; 6
г) При c = −0,25 : (c + 2)2 − (c + 4)(c − 4) = c 2 + 4c + 4 − c 2 + 16 = 4c + 20 = = (−0,25) ⋅ 4 + 20 = 19 . 8.
а) 53 2 − 43 2 = (53 − 43)(53 + 43) = 10 ⋅ 96 = 960 ; б)
910 137 2 − 1232
=
1 910 910 = = ; (137 − 123)(137 + 123) 14 ⋅ 260 4
1442 − 182
(144 − 18)(144 + 18) 126 ⋅162 4 = = = ; 3 1532 − 902 (153 − 90)(153 + 90) 63 ⋅ 243 7,8 ⋅ 8,7 + 7,8 ⋅ 1,3 7,8(8,7 + 1,3) 7,8 ⋅ 10 г) = 0,78 . = = 100 100 100
в)
9. а) ax 2 + 3ax = ax( x + 3) ;
б) 15 x 3 y 2 + 10 x 2 y − 20 x 2 y 3 = 5 x 2 y (3xy + 2 − 4 y 2 ) ; в) 5a 2 b − 6a 2 b 2 = a 2 b(5 − 6b) ; г) 195c 6 p 5 − 91c 5 p 6 + 221c 3 p10 = 13c 3 p 5 (15c 3 − 7c 2 p + 17 p 5 ) . 10.
а) ax + bx + ac + bc = (a + b) x + (a + b)c = (a + b)( x + c) ; б) 4a + by + ay + 4b = 4(a + b) + 4(a + b) = (4 + y )(a + b) ; в) 9m 2 − 9mn − 5m + 5n = 9m(m − n) − 5(m − n) = (9m − 5) × ×(m − n) ; г) 16ab 2 + 5b 2 c + 10c 3 + 32ac 2 = 16a(b 2 + 2c 2 ) + 5c(b 2 + 2c 2 ) = = (16a + 5c)(b 2 + 2c 2 ) . 11.
а) 17 6 + 17 5 = 17 5 (17 + 1) = 17 5 ⋅ 18 — кратно 18; б) 317 + 315 = 315 (32 + 1) = 315 ⋅ 10 = 313 ⋅ 90 — кратно 90; в) 42 8 + 42 7 = 42 7 (421 + 1) = 42 7 ⋅ 43 — кратно 43; г) 223 + 220 = 220 (23 + 1) = 220 ⋅ 9 = 217 ⋅ 72 — кратно 72. 5
12.
а) 2,7 ⋅ 6,2 − 9,3 ⋅1,2 + 6,2 ⋅ 9,3 − 1,2 ⋅ 2,7 = 2,7(6,2 − 1,2) + +9,3(6,2 − 1,2) = 5 ⋅ 2,7 + 9,3 ⋅ 5 = 5(9,3 + 2,7) = 5 ⋅12 = 60 ; б) 125 ⋅ 48 − 31⋅ 82 − 31⋅ 43 + 125 ⋅ 83 = 125(48 + 83) − 31(82 + +43) = 125 ⋅131 − 31 ⋅125 = 125 ⋅ (131 − 31) = 125 ⋅100 = 12500 ;
в) 109 ⋅ 9,17 − 5,37 ⋅ 72 − 37 ⋅ 9,17 + 1,2 ⋅ 72 = 9,17(109 − 37) − −72(5,37 − 1,2) = 9,17 ⋅ 72 − 72 ⋅ 4,17 = 72(9,17 − 4,17) = 72 ⋅ 5 = 360 ; г) 19.9 ⋅18 − 19.9 ⋅16 + 30,1⋅18 + 30,1⋅16 = 19,9(18 − 16) + +30,1(18 − 16) = 2 ⋅19,9 + 30,1 ⋅ 2 = 2(30,1 + 19,9) = 100 . 13.
а) m 2 − 49 = (m − 7)(m + 7) ; б) a 2 c 2 − 9 = (ac) 2 − 3 2 = (ac − 3)(ac + 3) ; в) 64 p 2 − 81q 2 = (8 p − 9q)(8 p + 9q) ; г) 10 x 2 + 10 y 2 = 10( x 2 − y 2 ) = 10( x − y )( x + y ) . 14.
а) c3 − 64 = c3 − 43 = (c − 4)(c 2 + 4c + 16) ; б) 25a 4 − 20a 2 b + 4b 2 = (5a 2 ) 2 − 2 ⋅ 5a ⋅ 2a + (2b) 2 = (5a 2 − 2b 2 ) 2 ; в) 5a 2 + 10ab + 5b 2 = 5(a 2 + 2ab + b 2 ) = 5(a + b) 2 ; г) 15a 3 + 15d 3 = 15(a 3 + d 3 ) = 15(a + d )(a 2 − ad + d 2 ) . 15.
а) x 3 − x 2 y − xy 2 + y 3 = x 2 ( x − y ) − y 2 ( x − y ) = ( x − − y )( x 2 − y 2 ) = ( x − y ) 2 ( x + y ) ;
б) d 2 − 16d + 55 = d 2 − 16d + 64 − 9 = (d − 8) 2 − 3 2 = (d − −8 − 3)(d − 8 + 3) = (d − 11)(d − 5) ; в) m 2 − 2n − m − 4n 2 = m 2 − 4n 2 − (2n + m) = (m + 2n)(m − −2n) − (2n + m) = ( 2n + m)(m − 2n − 1) ; г) n 2 + 16n + 39 = n 2 + 16n + 64 − 25 = (n + 8) 2 − 25 = = (n + 8 − 5)(n + 8 + 5) = (n + 3)(n + 13) . 16. 6a + 6b 6(a + b) 6 а) = ; = 7 a + 7b 7 ( a + b ) 7
б)
ma 2 − m 2 a 2
m − ma
=
ma(a − m) a(m − a) = −a ; =− m( m − a ) m−a 6
в) г)
2 p − 4q 2( p − 2q ) ( 2q − p ) 1 =− ; =− = 16q − 8 p 8(2q − p) 4(2q − p ) 4 xy 4 − zy 4 3
Zy − xy
3
y 4 ( x − z)
=
y3 ( z − x)
=−
y ( z − x) = −y . z−x
17.
а) б) в) г)
b−7 y 2 − x2 2
x − 2 xy + y 125 y + 1
=
1 − 5 y + 25 y 2 3
8t + 1
=
(b − 7) 2
=
2
3
4t 2 − 2t + 1
b−7
=
b 2 − 14b + 49
1 ; b−7
( y − x)( y + x) ( x − y)
2
(5 y ) 3 + 1 25 y 2 − 5 y + 1
=−
(5 y + 1)(25 y 2 − 5 y + 1)
=
25 y 2 − 5 y + 1
4t 2 − 2t + 1
=
x+ y ; x− y
2
(2t + 1)(4t − 2t + 1)
=
= 5y +1 ;
1 . 2t + 1
18.
а) б)
27 5 − 27 4 8
7
9 +9 +9
=
6
811 − 810 − 8 9 4
15
−4
14
−4
13
27 4 (27 − 1) 6
2
9 (9 + 9 + 1) =
=
(33 ) 4 ⋅ 26 (3 ) ⋅ 91
8 9 (8 2 − 8 − 1) 13
2
2 6
4 (4 − 4 − 1)
=
=
312 ⋅ 2 312 ⋅ 2
(2 3 ) 9 ⋅ 55 2 13
(2 )
⋅11
=
=
2 ; 7
2 27 ⋅ 5 2 26
= 10 .
19. x − 2 x 2 − 2 x + 1 ( x − 1) 2 ; = = x x2 x2 x2 3 5 3 x − 3 y + 5 x + 5 y 2(4 x + y ) + = = 2 б) ; (x + y )(x − y ) x+ y x− y x − y2
а)
1
+
1 − 5d 2
d −5
а) б)
6
−
4
20. 3c + 2
c 2 − 4c + 4 y2 + 4 3
y +8
−
−
+
1
1 − 5 d 2 − d 3 + 5d 2 + d 3
1 ; = d d d d6 d6 5c 3c 5c 3c 35c + 18c 53c + = + = = г) . 6c + 6 7c + 7 6(c + 1) 7(c + 1) 42(c + 1) 42(c + 1)
в)
3
=
5 3c + 2 − 5(c − 2) 2(6 − c) = = ; c−2 (c − 2) 2 (c − 2)2
y2 + 4 − y2 + 2y − 4 2y 1 = ; = y + 2 ( y + 2)(Y 2 − 2 y + 4) y 3 + 8
7
в)
3a (16 − 3a )2 2
9a − 4
+
3 + 6a 2 − 9a − = 2 − 3a 3a + 2
48a − 9a 2 − (3 + 6a )(3a + 2) − (2 − 9a)(3a − 2) = = (3a − 2)(3a + 2) =
48a − 9a 2 − 9a − 6 − 18a 2 − 12a − 6a + 4 + 27 a 2 − 18a 1 = . (3a − 2)(3a + 2) 3a + 2
(Опечатка в ответе задачника). г) = =
2mn 3
m +n
3
+
2m 2
m −n
−
2
1 = m−n
2mn(m − n) + 2m(m 2 − mn + n 2 ) − (m + n)(m 2 − mn + n 2 ) (m + n)(m 2 − mn + n 2 )(m − n)
m3 − n 3 (m3 + n3 )(m − n)
=
(m − n)(m 2 + mn + n 2 ) (m − n)(m3 + n3 )
=
=
m 2 + mn + n 2 m3 + n 3
.
21.
(x − y )(x + y )3 y = x + y ; x2 − y 2 3 y ⋅ = а) 3 xy 3 xy ( x − y ) x− y x б)
(c − 7) c 2 − 49 2c + 14 (c − 7)(c + 7) 5d : ; = ⋅ = 10cd 5d 10cd 2(c + 7) 4c
в)
x 2 − 10 x + 25 2 x − 10 ( x − 5) 2 ( x − 4)( x + 4) ( x − 5)( x − 4) : 2 = ⋅ = ; 3 x + 12 3 ( + 4 ) 2 ( 5 ) − x x 6 x − 16
г)
t3 +8 2
⋅
4t + 9 2
12t + 27t t − 2t + 4
=
(t + 2)(t 2 − 2t + 4) (4t + 9) t+2 ⋅ = . 3t (4t + 9) 3t t 2 − 2t + 4
22.
( a + b) 2 − 2ab a 2 + b2 2b a+b а) ⋅ ( a + b) = ; − ⋅ ( a + b) = a+b a ( a + b) a a mn m n m n × + = − n 2 − mn) m 2 − mn m + n n( n − m) m(n − m)
б) ×
(m − n)(m + n) mn m2 − n2 mn = −1 . = ⋅ = m + n mn(n − m) m + n (n − m)(m + n) 23.
1 a
ab b−a 1 b2 − a2 b − a 1 = ⋅ = = ; b ab ab b 2 − a 2 (b − a )(b + a) b + a
а) − :
8
( a − 5)(a + 5) 1 1 a 2 − 25 a+5 ⋅ − ⋅ − = a+3 a (a + 5) a + 3 a 2 + 5a a 2 − 3a (a − 5)(a − 3) − (a + 5)(a + 3) a+5 16 − = = − 2 . a (a − 3) a (a + 3)(a − 3) a −9
б)
24. 5 x − 3 y = 14, 5 x − 3 y = 14, 5 x − 30 + 6 x = 14, 11x = 44, x = 4 а) y = 10 − 2 x; y = 2; 2 x + y = 10; y = 10 − 2 x; y = 10 − 2 x; a b a a a 3 + 4 = 55 , 3 + 28 − 224 = 55 , = 9 , б) b = 7; 7 a − b = 56; b = 7 a − 56; 4 x − 7 y = 30, 4 x = 30 + 7 y, 4 x = 30 + 7 y, x = 60, в) y = 30; 4 x − 5 y = 90; 30 + 7 y − 5 y = 90; 2 y = 60;
−2a + 4b = −11, 4b = 2a − 11, г)
4b = 2a − 11, 4a + 2a − 11 = 1; 6a = 12;
4a + 4b = 1;
a = 2, b = − 7 ; 4
25. 4 x + 5 y = 1, а) Умножим второе уравнение на 2. 2 x + 2,5 y = 5;
4 x + 5 y = 1, 4 x + 5 y = 10; чего, очевидно, быть не может. Решений нет. 3⋅ 4 x + 12 = 12, 0 ⋅ x = 0, 4 x − 3 y = 12, 4 x − 3 б) 4 y = 4 x − 4; 4 x y − = 4 ; 3 y = x − 4; 3 3 4 Решением будет пара ( x; x − 4) , где х – любое действительное 3
число. 26.
а) 5 − б)
165 2 − 124 2 = 164
в) 4 − г)
13 196 13 14 13 27 1 = 5− = 5− ⋅ = 3; 7 169 7 169 7 13
(165 − 124)(165 + 124) = 164
11 7 7 5 = 4− 4 49 4
145,5 2 − 96,5 2 2
193,5 − 31,5
2
=
289 17 = = 8,5 ; 4 2
256 7 16 = 4− ⋅ = 4−4 = 0 ; 49 4 7
(145,5 − 96,5)(145,5 + 96,5) = (193,5 − 31,5)(193,5 + 31,5)
9
49 ⋅ 242 7 ⋅11 77 = = . 162 ⋅ 225 9 ⋅15 135
=
27.
а) 12 = 4 ⋅ 3 = 2 3 ; 8 z 2 = 4 z 2 ⋅ 2 = 2Z 2 ;
в)
б)
54a 3 = 9a 2 ⋅ 6a = 3a 6a ;
г)
49d = 7 d .
28.
а) 2 5 = 5 ⋅ 4 = 20 ;
б) b 3 = − 3b 2 , b > 0 ;
в) 7 3a = 49 ⋅ 3a = 147 a ;
г) − a 2 = − 2a 2 , a > 0 .
29.
а) 2 125 + 2 20 − 2 80 = 2 ⋅ 5 5 + 2 ⋅ 2 5 − 2 ⋅ 4 5 = 6 5 ; б) 9a − 25a − 36a = 3 a − 5 a − 6 a = − 8 a ; в) 5 12 − 2 48 + 2 27 = 5 ⋅ 2 3 − 2 ⋅ 4 3 + 2 ⋅ 3 3 = 8 3 ; г) 0,1 5m − 0,45m + 2 80m = 0,1 5m − 0,3 5m + 2 ⋅ 4 5m = 7,8 5m . 30.
( 7 − 2) 2 + ( 7 − 3) 2 =
а)
7 − 2 + 7 − 3 = = 7 − 2 − 7 + 3 = 1,
т.к. 2 < 7 < 3 ; ( 12 − 4) 2 − 2 (2 − 3 ) 2 = 12 − 4 + 2 2 − 3 ,
б)
т.к. 12 < 4, то
12 − 4 = − 12 + 4 ,
т.к. 2 > 3 , то 2 − 3 = −2 − 3 , 12 − 4 − 2 2 − 3 = − 12 + 4 − 4 + 2 3 = −2 3 + 2 3 = 0 . 31.
а) 0,4a 2 b
25 2 2
a b
= 0,4a 2 b ⋅
5 , ab
т.к. a > 0, то a = a; т.к. b < 0, то b = −b , 0,4a 2 b ⋅ a б) b
5 5 = 0,4ab ⋅ = −2a ; ab ab
b6 a2
b − a
a6 b2
3 3 a b b a = − , b = b, b 3 = b 3 , т.к. b > 0 , b a a b
a = −a, a 3 = − a 3 , т.к. a < 0 ,
10
3 3 a b b a a b2 b (−a 3 ) − = ⋅ − ⋅ = −b 2 + a 2 = a 2 − b 2 . b a a b b (−a) a b
32.
а) (2 + 6 )(3 2 − 2 3 ) = 6 2 − 4 3 + 3 12 − 2 18 = = 6 2 −4 3 +6 3 −6 2 = 2 3 ;
б) ( 2a − 3b )( 2a + 3b ) = 2a − 3b ; в) (2 5 − 3 )( 3 + 3 5 ) = 2 15 + 6 ⋅ 5 − 3 − 3 15 = 27 − 15 ; г) (c + d )(c 2 + c d + d ) = (c + d )(c 2 − c ⋅ d + ( d ) 2 ) = = c3 + ( d )3 = c 2 + d d . 33.
а) б) в) =
г)
1− a 2 a −4
−
d +2 cd + d
3− a 3 a −6 c −3
−
1− a 4 a +8 b
cd + c
⋅
=
3−3 a −6+ 2 a 6( a − 2)
=
− a −3 6( a − 2)
cd + 2 c − cd + 3 d
=
cd ( c + d )
a + 4 ab + 4b
3−3 a
=
(1 − a )(1 + a ) ⋅ ( 4( a + 2 b )
=
;
2 c +3 d cd ( c + d )
a + 2 b )2
3(1 − a )
;
=
(1 + a )( a + 2 b ) ; 12 x 2 + x 2 x 2 x( x + 2 ) × = − 2 x + 2 x − 2 x + 2 x2 + 2
x2 + x 2 − x 2 + 2 x ⋅ ( x 2 + 2) x = = . ( x − 2 )( x + 2 ) ( x 2 + 2)( x − 2 ) x − 2 34.
а) ( x − 2 − y − 2 ) : ( x −1 − y −1) = =
( x −1 − y −1 )( x −1 + y −1 ) x
−1
−y
−1
=
б) (c − 2 − d − 2 ) ⋅ (d − c) − 2 =
( x −1 ) 2 − ( y −1 ) 2 x −1 − y −1
=
1 1 x+ y ; + = x y xy (c −1 − d −1 )(c −1 + d −1 ) (d − c) 2
=
11
=
1 1 1 1 − + c d c d (d − c) 2 −2
в) (k − l ) ⋅ (k
−1
=
(d − c)(d + c) c 2 d 2 (d − c) 2
d +c c 2 d 2 (d − c) 2
;
1 1 − 1 k c = l−k = −l ) = ; 2 2 kl (l − k ) (k − l ) kl (k − l ) −1
г) (a −1 − b −1 ) : (b −3 − a −3 ) = =−
=
a −1 − b −1
(b −1 − a −1 )(b − 2 + a −1b −1 + a − 2 )
=
1 a 2b 2 . =− 2 1 1 1 a + ab + b 2 + + b 2 ab a 2
35. −2
−2n − y −2n + x −2n + y −2n = x x − 2 n − y − 2n 1 3 При x = 3, y = , n = имеем 2 4 x − 2 n + y − 2n 1 + x −2n − y −2n
2 ⋅ 3 −1 −1 3 −1 − 3 4
−2
36. а) 2 x 2 + 3x + 1 = 0
2 = 3 1 4 − 3 3
−2
2 = 3 −1
−2
2x −2n = = x −2n − y −2n
−2
−2 2
9 −3 = = = 2,25 . 4 2
б) 5 x 2 − 8 x + 3 = 0
D = 16 − 5 ⋅ 3 = 1 D = 9−8 =1 4 1 4 −1 3 − 3 +1 x1 = = x1 = =− 4 2 5 5 − 3 −1 4 +1 x2 = = −2 x2 = =1 4 5 в) 3x 2 + 5 x − 2 = 0 г) 14 x 2 − 5 x − 1 = 0 D = 25 − 4 ⋅ 3(−2) = 49 D = 25 − 4 ⋅14 ⋅ (−1) = 81 5 − 81 4 1 − 5 + 49 2 1 =− =− x1 = = = x1 = 6 6 3 7 28 28 5 + 9 14 −2 − 5 − 49 12 = = x2 = x2 = = − = −2 28 282 1 6 6
12
37.
а) (a 2 − 5) 2 − (2a + 3) 2 = 0 a 2 − 5 = 2a + 3, a 2 − 5 = 2a + 3 ⇒ 2 a − 5 = −2a − 3
Решим первое уравнение:
Решим второе уравнение
2
a 2 + 2a − 2 = 0 D = 1+ 2 = 3 4
a − 2a − 8 = 0
по теореме Виета: a1 = 4 a2 = −2
−1+ 3 = −1 + 3 1 −1− 3 a2 = = −1 − 3 1 a3 =
Опечатка в ответе задачника. б) (3x − 1)(2 x − 2) = ( x − 4)2 + 7 6 x 2 − 6 x − 2 x + 2 = x 2 + 16 − 8 x + 7 21 x 2 = , x = ± 4,2 5
в) (d 2 − 13) 2 − (d − 77) 2 = 0 , (d 2 − 13) 2 = (d − 77) 2 , d 2 − 13 = d − 77, d 2 − 13 = d − 77 ⇒ 2 d − 13 = 77 − d
Решим первое уравнение: d 2 − d + 64 = 0 , D = 1 − 4 ⋅1 ⋅ 64 < 0 Решений нет. Решим второе уравнение d 2 + d − 90 = 0 , D = 1 + 90 ⋅ 4 = 361 , d1 =
−1 + 19 −1 − 19 = 9 , d2 = = −10 ; 2 2
г) 2 x − ( x + 1) 2 = 3x 2 − 5 , 2 x − x 2 − 2 x − 1 = 3x 2 − 5 , x 2 = 1 ⇒ x = ±1 . 38.
а) x 2 − 17 x + 60 . По теореме Виета: x1 = 12; x 2 = 5 ; x 2 − 17 x + 60 = ( x − 12)( x − 5) ; б) 3x 2 + 35 x − 38 ; D = 35 2 + 12 ⋅ 38 = 1225 + 456 = 1681 = 412 ; x1 =
38 −35 − 41 −35 + 41 ; = 1; x2 = =− 6 3 6
13
3x 2 + 35 x − 38 = 3( x − 1)( x +
38 ); 3
в) 2 x 2 − 297 x + 295 ; D = 297 2 − 8 ⋅ 295 = 88209 − 2360 = 85849 = (293) 2 ; x1 =
297 + 293 297 − 293 = 147,5; x 2 = =1 ; 4 4
2 x 2 − 297 x + 295 = 2( x − 147,5)( x − 1) = (2 x − 295)( x − 1) ; D г) x 2 + 26 x + 105 ; = 13 2 − 105 = 169 − 105 = 64 ; 4 −13 + 8 −13 − 8 x1 = = −5; x 2 = = −21 ; x 2 + 26 x + 105 = ( x + 5)( x + 21) . 1 1 39.
а)
б) в)
г)
3 x 2 − 10 x + 3x x2 − 9 5x 2 + x − 4 x2 + x
4 5( x + 1)( x − ) 5x − 4 5 = = ; x( x + 1) x
2x 2 − 9x + 4 x 2 − 16 2x 2 + 5x − 3 x2 −9
1 3( x − 3)( x − ) 3 = 3x − 1 ; = x+3 ( x − 3)( x + 3)
=
2( x 2 − 4,5 + 2) 2( x − 4)( x − 0,5) 2 x − 1 ; = = ( x − 4)( x + 4) ( x − 4)( x + 4) x+4
5 3 x− ) 2 2 = 2( x + 3)( x − 0,5) = 2 x − 1 . = ( x − 3)( x + 3) ( x + 3)( x − 3) x−3 2( x 2 +
40. 2 10 1 + 2x 2 10 1+ 2x = а) + 2 , + =0, − x x( x − 2) x − 2 x x − 2x x − 2 2 − 2x2 + x + 6 2 x − 4 + 10 − x − 2 x 2 = 0, = 0 ⇒ − 2 x + x + 6 = 0, x( x − 2) x( x − 2) x( x − 2) ≠ 0;
Решим первое уравнение: 2 x 2 − x − 6 = 0 , D = 1 + 48 = 49 , x1 =
1+ 7 1− 7 = 2 ; x2 = = −1,5; 4 4
Но при x = 2 второе уравнение системы обращается в 0. Следовательно, x = 2 - не решение. Отвте: x = −1,5. б)
2 2
x − 3x
−
1 12 2 1 12 , = − − =0, x( x − 3) x + 3 x( x − 3)( x + 3) x + 3 x 3 − 9x
14
x2 − 5x + 6 = 0 − x 2 + 5 x − 6 = 0 2 x + 6 − x 2 + 3 x − 12 =0, ⇒ x ≠ 0 x( x − 3)( x + 3) x( x − 3)( x + 3) ≠ 0 x ≠ 3 x ≠ −3 −5 + 1 −5 − 1 D = 25 − 24 = 1 , x1 = = 2 , x1 = =3; −2 −2 x = 3 не удовлетворяет 2-му условию системы. Значит решением будет лишь x = 2. В задачнике приведен неверный ответ. 14 − ( x + 3)( x − 2) 5 14 5+ x−2 14 , , =0, в) = +1 = 2 2 x−2 x−2 x − 4x + 4 ( x − 2) 2 ( x − 2) 14 − x 2 − x + 6 ( x − 2) 2
− x 2 − x + 20 = 0, x 2 + x − 20 = 0, = 0, D = 1 + 80 = 81 ( x − 2) 2 ≠ 0; x ≠ 2;
−1 + 9 −1 − 9 = 4 , x2 = = −5 . 2 2
x1 =
Ответ: -5; 4. Опечатка в ответе задачника. г)
x −3 x − 5 − 10 + x 2 − 3 x x −3 1 10 1 10 , =0, − = =0, − + x x( x − 5) x − 5 x( x − 5) x x 2 − 5x 5 − x
x 2 − 2 x + 15 = 0 ( x − 5)( x + 3) = 0 ⇒ x = −3. x( x − 5) ≠ 0 x( x − 5) ≠ 0
Опечатка в ответе задачника. 41.
а) x 4 − 17 x 2 + 16 = 0 . по теореме Виета: x 2 = 1 или x 2 = 16 x = ±1 6
x = ±4 3
б) x − 9 x + 8 = 0 По теореме Виета: x 3 = 8 или x 3 = 1 x=2
x =1
D = 400 − 144 = 256 = 16 2 4 20 − 16 4 20 + 16 x2 = = 4 или x 2 = = 9 9 9 2 x = ±2 x=± 3 4
в) 9 x − 40 x 2 + 16 = 0 ,
г) x 6 − 7 x 3 − 8 = 0 15
По теореме Виета: x 3 = 8 или x 3 = −1 x=2
x = −1
42.
Пусть v км/ч – скорость пешехода, Sкм – длина пути, тогда S = 1,2v v = −1 + S v = 5 S = v + 1 S = −1,2 + 1,2 S S = 6
Ответ: 5 км./ч. 43.
Пусть v км/ч – скорость лодок, тогда 45 3 45 3 = , = ⇒ v = 15 (км/ч). 2v 2 (v + 3) + (v − 3) 2
Ответ: 15 км/ч. 44.
Пусть v км/ч – скорость велосипедиста, тогда 80 36 ⋅v + 7 = (v + 30) , 80v + 420 = 36v + 1080 , 60 60 44v = 660, v = 15 (км/ч).
Ответ: 15 км/ч. 45.
Пусть v км/ч – скорость автомобиля, тогда 1 2v + (3 − 2 − )(v + 10) = 3v , 10v + 4v + 40 = 15v , v = 40 (км/ч). 5
Ответ: 40 км/ч. 46.
Пусть на одно платье требуется х м ткани, а на один сарафан у м, тогда x + 3y = 9 x = 9 − 3 y y = 2 3 x + 5 y = 19 27 − 9 y + 5 y = 19 x = 3
Ответ: 2м.; 3м. 47.
Пусть v км/ч – скорость велосипедиста, тогда 15 6 3 3 9 + = , 15v − 45 + 6v = v 2 − v , v 2 − 17v + 30 = 0 , v v −3 2 2 2
D = 289 − 120 = 169 = 13 2 , 17 − 13 17 + 13 v1 = = 2 ; v2 = = 15 . 2 2
16
По смыслу задачи v > 0 и v − 30 > 0, поэтому v = 15. Ответ: 15 км/ч и 12 км/ч. 48.
Пусть v км/ч – скорость лодки, тогда 2 2 7 7 , 2v − 2 + 2v + 2 = (v 2 − 1) , 7v 2 − 48v − 7 = 0 , + = v + 1 v − 1 12 12 D 24 + 25 2 = 576 + 49 = 625 = 25 , v1 = =7; 4 7
v2 < 0 — не пожходит по смыслу задачи. Ответ: 7 км/ч. 49.
Пусть завод по плану должен был выпускать n станков в день, тогда: 180n + 360 − n 2 − 2n = 180n , n 2 + 2n − 360 = 0 , D 180 180 = 1 + 360 = 361 = 192 , n1 = 18, n 2 < 0 , −1 = − 1 = 9 (дней). 4 n 18
50.
Пусть первая машинистка печатала в день х страниц, тогда получим: 320 − 5 x ( y + 5)( x) = 320 xy = 320 − 5 x y = y ( x + 2) = 270 xy = 270 − 2 y x xy = 270 − 2 y
320 x − 5 x 2 = 270 x − 640 + 10 x , x 2 − 8 x − 128 = 0 , D = 16 + 128 = 144 = 122 , x1 = 4 + 12 = 16, x 2 < 0 , 4
Ответ: 16 стр. первая, и 18 – вторая. 51.
Пусть грузоподъемность машины х тонн, тогда 30 30 , 30 x + 60 − 4 x 2 − 8 x = 30 x , 4 x 2 + 8 x − 60 = 0 , − 4 = x x + 2 x 2 + 2 x − 15 = 0 , D1 = 1 + 15 = 16 = 4 2 , x1 = −1 + 4 = 3,
x1 < 0 ,
30 = 6 (рейсов). 3+ 2
52.
Пусть токарь должен был сделать работу за х дней, тогда 39( x − 6) − 24 x = 21 , 15 x = 255 , x = 17 , 39(17 − 6) = 429 . Ответ: 429 деталей. 17
53.
Пусть первоначально в 1-й школе было х учеников, а во второй – у, тогда x + y = 1500 x + y = 1500 1,1x + 1,2 y = 1720 11x + 12 y = 17,200 x = 1500 − y y = 700 16.500 − 11 y + 12 y = 17.200 x = 800
Ответ: 800 и 700 человек соответственно. 54.
Пусть швея в день шила х сумок, тогда 60 − (
60 − 4) x = 4 , 56( x − 2) − (60 − 4 x + 8) x = 0 , x−2
x 2 − 3 x − 28 = 0 , x1 = 7, x2 = −4 — не подходит по смыслу задачи.
Ответ: 7 сумок в день. 55.
Пусть v – скорость второго велосипедиста, тогда получим: 120 120 − = 2 , 120v + 360 − 120v = 2v 2 + 6v , v 2 + 3v − 120 = 0 , v v+3 3 + 27 D = 9 + 720 = 729 = 27 2 , v1 = − = 12, v 2 < 0 . 2
Ответ: 12 км/ч и 15 км/ч. 56.
Пусть v – скорость легкового автомобиля, тогда 30 30 1 − = , 120v − 120v + 2400 = v 2 − 20v , v 2 − 20v − 2400 = 0 , v − 20 v 4 D2 = 100 + 2400 = 1500 = 50 2 , v1 = +10 + 50 = 60, v 2 < 0 .
Ответ: 60 км/ч. 57.
Пусть n и v – скорости первого и второго туриста соответственно, тогда 50 =1 n + v 50 = n + v 50 50 5 60n − 60v = nv − = n 6 v 60(50 − v) − 60v = nv(50 − v) , v 2 − 170v + 3000 = 0 , D = 7225 − 3000 = 4225 = 652 , v1 = 85 − 65 = 20 , v 2 = 85 + 65 = 150 , 4 18
n 2 = 30 , n 2 < 0 .
Ответ: 30 км/ч и 20 км/ч. 58.
Пусть v км/ч – скорость катера, тогда 36 18 (v + 6) − = 36 , (v + 6)(36 − 0,3v) = 36v. v 60 (v + 6)(360 − 3v) = 360v , − 18v + 360v + 3v 2 − 360v + 2160 = 0 , v 2 + 6v − 720 = 0 , D = 9 + 720 = 729 = 27 2 , v1 = −3 + 27 = 24 (км/ч), v 2 = −3 − 27 < 0, что нас не устраивает. Ответ: 24 км/ч. Опечатка в ответе задачника.
59.
Пусть асм и bсм – длина катетов, тогда a − b + 37 = 84 a = 47 − b 2 2 2 2 a + b = 1369 a + b = 1369
2209 − 1369 + 2b 2 − 94b = 0 , b 2 − 47b − 420 = 0 , D = 2209 − 1680 = 529 = 23 2 47 − 23 47 + 23 b1 = = 12 ; b2 = = 35 . 2 2 Для b1 = 12 см, a1 = 35 см ⇒ S = 210 см2.
Для b2 = 35 см, a1 = 12 см ⇒ S = 210 см2. S=
1 2 ab = 210 см . 2
Ответ: 210 см2. Опечатка в ответе задачника.
19
ГЛАВА 1. § 1. Линейные и квадратные неравенства 1.
а) a = −1 −2 − 5 > 9 - неверно. a = −1 не является решением. a = 3 6 − 5 = 1 > 9 - неверно. a = 3 не является решением. б) a = −2 2 + 12 = 14 < −10 - неверно. Не является решением. a = 4 2 − 24 = −22 < 10 - верно. Является решением. в) a = −15 7 + 45 = 52 < 13 - неверно. Не является решением. a = 4 7 − 12 = −5 < 13 - верно. Является решением. г) a = −2 −8 + 5 > 17 - неверно. Не является решением. a = 5 20 + 5 > 17 - верно. Является решением. 2.
а) 4a − 11 < a + 13
б) 6 − 4c > 7 − 6c
3a < 24
2c > 1
a <8
в) 8b + 3 < 9b − 2 b>5 3. 5 − a 3 − 2a а) − <0 3 5 25 − 5a − 9 + 6a < 0 a < −16
1 2 г) 3 − 2 x < 12 − 5 x 3x < 9 x<3 c>
b + 4 13 − 4b + <0 2 5 5b + 20 + 26 − 8b < 0
б) 3b > 46
46 3 6− y y+6 г) < 7 5 30 − 5 y < 7 y + 42 12 y > −12 b>
x + 7 5 + 4x > 4 3 3x + 21 > 20 + 16 x 1 > 13x 1 x< 13
в)
y > −1
4.
а) a(a − 2) − a 2 > 5 − 3a , a 2 − 2a − a 2 > 5 − 3a , a > 5 ; б) 5 y 2 − 5 y ( y + 4) ≥ 100 , 5 y 2 − 5 y 2 − 20 y ≥ 100 , y ≤ −5 ; 20
в) 3x(3x − 1) − 9 x 2 ≤ 2 x + 6 , 9 x 2 − 3x − 9 x 2 ≤ 2 x + 6 , 5x + 6 ≥ 0 , x ≥ −
6 ; 5 1 5
г) 7c(c − 2) − c(7c + 1) < 3 , 7c 2 − 14c − 7c 2 − c < 3 , −15c < 3 , c > − . 5.
а) x 2 − 6 x − 7 ≥ 0 по теореме Виета: x1 = 7, x2 = −1
+
( x − 7)( x + 1) ≥ 0 x ≤ 1, x ≥ 7
б) − x 2 + 6 x − 5 < 0
– –1
+
+
х
+
х
+
х
+
х
7 –
2
x − 6x + 5 > 0
по теореме Виета: x1 = 5, x2 = 1 , x < 1, x > 5
1 +
5 –
2
в) x + 2 x − 48 ≤ 0 по теореме Виета: x1 = 6, x2 = −8 , −8 ≤ x ≤ 6 г) − x 2 − 2 x + 8 > 0 x 2 + 2x − 8 < 0
по теореме Виета: x1 = 2, x2 = −4 , −4 < x < 2 6. D = 4 + 12 = 4 2 4 3 −2 − 4 −2 + 4 1 x1 = = , x1 = =− 4 2 4 2 1 3 x≥ , x≤− 2 2
а) 4 x 2 + 4 x − 3 ≥ 0 ,
б) 12 x 2 + x − 1 < 0 , D = 1 + 48 = 49 1 −1 + 7 1 −1 − 7 = , x2 = =− 24 3 24 4 1 1 − <x< 3 4 x1 =
–8
+
6
– -4
2
+
–
−
–
−
в) 6 x − 7 x − 20 ≤ 0
−
– 4 3
+
х
+
х
1 4
1 3
–
2
х
1 2
3 2
+
+
5 2 21
D = 49 + 480 = 529 = 23 2 4 5 7 − 23 4 7 + 23 5 x1 = = , x2 = =− , − ≤x≤ ; 3 2 12 3 12 2
г) 15 x 2 − 29 x − 2 > 0 2
D = 841 + 120 = 961 = 31 29 + 31 29 − 31 1 x1 = = 2, x 2 = =− 30 30 15 1 x > 2, x < − 15
+
+
–
−
х
2
1 15
7.
а) 3x 2 + x + 2 > 0 , D = 1 − 24 = −23 < 0 . Следовательно −∞ < x + ∞ (т.к. первый коэффициент положителен). б) − 3x 2 + 2 x − 1 ≥ 0 ,
D = 1 − 12 = −11 < 0 . 4
Следовательно, решений нет. в) 5 x 2 − 2 x + 1 < 0 ,
D = 1 − 5 = −4 < 0 . 4
Следовательно, решений нет. г) − 7 x 2 + 5 x − 2 ≤ 0 , D = 25 − 28 = −3 < 0 . −∞ < x < +∞ (т.к. старший коэффициент положителен). 8.
Выражение имеет смысл когда: а) (3 − x)( x + 7) ≥ 0 , −7 ≤ x ≤ 3 ;
–
+ –7
– –1
–
+ −
х
+
х
+
х
–4
– 9 2
– 6
–9
г) 2 x 2 + 7 x − 9 ≥ 0 D = 49 + 72 = 121 = 112 9 −7 + 11 −7 − 11 x1 = = 1, x1 = =− ; 4 2 4
+
+
х
3
б) 5 x − x 2 + 6 ≥ 0 D = 25 + 24 = 49 −5 + 7 −5 − 7 x1 = = −1, x 2 = =6 +2 −2 −1 ≤ x ≤ 6 в) ( x + 4)( x + 9) ≥ 0 x ≥ −4, x ≤ −9
–
1
22
x ≥ 1, x ≤ −
9 . 2
9.
f(х) Определено, если подкоренное выражение неотрицательно. а) x 2 − 18 x + 77 ≥ 0 + х + – D = 81 − 77 = 4 4 x1 = 9 + 2 = 11, x 2 = 9 − 2 = 7 , x ≥ 11, x ≤ 7 ;
б) 10 x 2 − 11x − 6 ≥ 0 ,
+
D = 121 + 240 = 361 = 19 2 , 11 − 19 2 11 + 19 3 x1 = = , x2 = =− 20 2 20 5 2 3 x≥ , x≤− ; 2 5
в) x 2 + 9 x − 36 ≥ 0 ,
11
7
– −
2 5
+
–
+
х
+
х
+
х
3 2
–12 D = 81 + 144 = 225 = 15 2 , −9 + 15 −9 − 15 x1 = = 3, x 2 = = −12 , x ≥ 3, x ≤ −12 ; 2 2
г) 12 x 2 − 13x − 4 ≥ 0
+
3
–
2
D = 169 + 192 = 361 = 19 1 13 + 19 4 13 − 19 1 − x1 = = , x2 = =− 4 24 3 24 4 4 1 x ≥ , x ≤ − . В задачнике приведен неверный ответ. 3 4
4 3
10.
f(x) определено тогда, когда подкоренное выражение строго больше нуля. + х + – а) − x 2 − x + 2 > 0 , x 2 + x − 2 < 0 , по теореме Виета: –2 1 x1 = 1, x1 = −1 , −2 < x < 1 ;
б) x 2 − 9 > 0 , x 2 > 9 ⇔ x > 3 , x > 3, x < −3 ; в)
7 2
14 − 2 x − 3 x
=
7 14 − 2 x 2 − 3 x
14 − 2 x 2 − 3x > 0 , 2 x 2 + 3x − 14 < 0 D = 9 + 112 = 121 = 112
+
+
– −
7 2
х
2
23
x1 =
7 7 −3 + 11 −3 − 11 = 2, x 2 = =− , − <x<2; 4 2 4 2
г) 25 − x 2 > 0 , x 2 < 25 ⇔ x < 5 , −5 < x < 5 . 11.
Квадратное уравнение имеет 2 корня, при D > 0, 1 корень при D = 0 и не имеет корней при D < 0 . D = p 2 + ( p − 6) ⋅ 3 = p 2 + 3 p − 18 4
+
–
–6
а) p 2 + 3 p − 18 > 0 по теореме Виета: p1 = 3, p 2 = −6 , p > 3, p < −6 ; б) p = 3, p = −6 ; в) −6 < p < 3 .
+
х
+
х
3
12.
а) 3x − 2 > 7 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3 . Число (-3) – решение второго неравенства, но не первого. Неравенства не равносильны. б) 4 x − 3 ≤ 9 ⇔ 4 x ≤ 12, x ≤ 3 ,
1 ≤ 0 ⇔ x −3< 0 ⇔ x < 3 . x−3
Неравенства не равносильны. в) 2 x + 1 ≥ 5 ⇔ 2 x ≥ 4 ⇔ x ≥ 2 ,
1 ≥0⇔ x−2>0⇔ x>2. x−2
Неравенства не равносильны. г) − x + 7 > 5 ⇔ x < 2 , ( x − 2)( x + 3) < 0 ⇔ −3 < x < 2 . Неравенства не равносильны. 13.
x − 2 ≤ 5, x ≤ 7, ⇔ − 2 ≥ − 5 ; x x ≥ −3;
−3 ≤ x ≤ 7 ;
1 − x > 2, x < −1 ⇔ 1 − x < −2; x > 3
x < −1, x > 3 ;
а) x − 2 ≤ 5 ⇔ б) 1 − x > 2 ⇔
3 − x ≥ 3, x ≤ 0 ⇔ 3 − x ≤ −3; x ≥ 6
в) 3 − x ≥ 3 ⇔
3 + x < 4, x < 1 ⇔ 3 + > − 4 ; x x > −7
г) 3 + x < 4 ⇔
x ≤ 0, x ≥ 6 ;
−7 < x < 1 .
14.
а) 2 x 2 + x < 2 , 2 x 2 + x − 2 < 0 D = 1 + 16 = 17
+ − 1− 17 4
–
− 1+ 17 4
24
x1 =
− 1 + 17 − 1 − 17 , x1 = 4 4
− 1 − 17 − 1 + 17 <x< ; 4 4
б) 3 − x 2 ≤ x , x 2 + x − 3 ≥ 0
+
D = 1 + 12 = 13 x1 = x≥
х
− 1− 13 2
− 1− 13 2
− 1 + 13 − 1 − 13 , x1 = 2 2
+
–
− 1− 13 − 1+ 13 , x≤ ; 2 2
в) x 2 − 4 x + 2 ≥ 0 , x 2 − 4 x + 4 ≥ 2 x − 2 ≥ 2 , x ≥ 2 + 2 ( x − 2) 2 ≥ 2 ⇔ ⇔ x − 2 ≥ − 2 ; x ≤ 2 − 2
г) x + 1 > x 2 , x 2 − x − 1 < 0 , D = 1+ 4 = 5 , x1 =
x ≥ 2 + 2, x ≤ 2 − 2 ;
+
1+ 5 1− 5 , x1 = 2 2
+
–
х
1− 5 2
1+ 5 2
1− 5 1+ 5 <x< . 2 2 15.
x − 1 x 2 + x − 4 0,5 x 2 + 1 + > а) 2 4 3
+ –11
x 2 + 9 x − 22 >0 12 x 2 + 9 x − 22 > 0 ,
б)
x1 = 2, x1 = −11 ,
+
х
+
х
+
х
2
x > 2, x < −11 ;
x 2 − 5 x +1 x 2 − 5 + 2x + 2 + ≥2, ≥2, 6 3 6
x 2 + 2 x − 15 ≥ 0 , x1 = 3, x2 = −5 ,
–
+
–
–5
3
x ≥ 3, x ≤ −5 ;
в)
x 2 + 3x x − 1 3 − 2 x < + ; 8 4 2
x 2 + 3 x − 2 x + 2 − 12 + 8 x <0; 8
+ –10
– 1
25
x 2 + 9 x − 10 < 0 , x1 = −10, x 2 = 1 , −10 < x < 1 ;
г)
x 2 +1 7x − 3 + 3x > 15 3
x 2 + 1 + 45 x > 35 x − 15 , x 2 + 10 x + 16 > 0
по теореме Виета: x1 = −2 , x1 = −8
+ –8
x > −2, x < −8
+
х
–
х
–
х
– –2
16.
а) 4 x + 3 > 5 , 1 4 x + 3 > 5, 4 x > 2, x > 2 , x > 1 , x < −2 ; ⇔ ⇔ 4 x + 3 < −5; 4 x < −8; x < −2; 2 б) 6 − 3x + 1 > 0 , 3x + 1 < 6 , 5 x < 3 , 7 5 3 x < 5, 3 x + 1 < 6, − <x< ; 3 x + 1 > −6; ⇔ 3 x > −7; ⇔ 7 3 3 x > − ; 3 в) 3 − 2 x ≥ 9 , 3 − 2 x ≥ 9, 2 x ≤ −6, x ≤ −3, 3 − 2 x ≤ −9; ⇔ 2 x ≥ 12; ⇔ x ≥ 6; x ≤ −3; x ≥ 6 ; г) 4 − 3 + 2 x ≤ 0 , 3 + 2 x ≥ 4 , 1 x ≥ 2 , 3 + 2 x ≥ 4, 2 x ≥ 1, 3 + 2 x ≤ −4; ⇔ 2 x ≤ −7; ⇔ x ≤ − 7 . 2
x≥
1 7 , x≤− . 2 2
В задачнике приведен неверный ответ. 17.
Сначала решим это неравенство. ( x + 2)( p − x) ≥ 0 Пусть p ≥ −2 −2 ≤ x ≤ p При p < −2 p ≤ x ≤ −2 а) p = 1, p = −5 ; б) p = 2 ;
–
+
2
– р
р
+ –2
26
в) p = −1 , p = −3 ; г) p = −2 . 18. ( x − 8)( x + p ) ≤ 0 При p ≥ −8 −p ≤ x ≤8 При p < −8 а) p = 1 ; б) p = 2 ; в) p = 3 ;
+
–
–р
х
+
х
8
+
–
8
г) решений нет.
+
–р
19. (7 − x)( p − x) < 0 , ( x − 7)( x − p) < 0 . При p > 7 7 < x < p ; При p < 7 p < x < 7 ; При p = 7 решений нет. а) p = 11, p = 3 ; б) p = 8, p = 6, p = 7 .
Опечатка в ответе задачника.
§ 2. Рациональные неравенства 20.
а) ( x + 2)( x + 3) > 0
+
–
x > −2, x < −3 б) ( x + 3)( x − 0,5) < 0 −3 < x < 0,5
–3 +
–
1 в) ( x − )( x + 4) > 0 4 1 x > , x < −4 4 4 1 г) ( x − )( x − ) < 0 9 3 1 4 <x< 3 9
+
–3
–2
х
+
х
0,5
–
+
х
+
х
+
х
1 4
–4 +
+
– 4 9
1 3
21.
а) t (t − 1) < 0 0 < t <1
+
– 0
1
27
1 4 1 0 ≤ t ≤ , t ≥ 12 4 в) t (t + 3) > 0 t > 0, t < −3
б) t (t − )(t − 12) ≥ 0
+
–
г) t (t + 8)(t − 1,2) ≤ 0
12
1 4
1 +
+
–
–3
–
t ≤ −8, 0 ≤ t ≤ 1,2
t
+
–
t
0
+ –8
–
+
t
+
x
+
x
1,2
0
22.
а) x 2 − x > 0 , x( x − 1) > 0 , x > 1, x < 0 ; б) 2 x + x 2 ≤ 0 , x( x + 2) ≤ 0 , −2 ≤ x ≤ 0 ; в) x 2 − 3x ≥ 0 , x( x − 3) ≥ 0 , x ≥ 3, x ≤ 0 ; г) 5 x + x 2 < 0 , x( x + 5) < 0 , −5 < x < 0 . 23.
а) x 2 − 4 > 0 , x 2 > 4 ⇔ x > 2 ⇔ x > 2 , x < −2 ; б) x( x 2 − 9) ≤ 0
–
x( x − 3)( x + 3) ≤ 0 x ≤ −3, 0 ≤ x ≤ 3
+ –3
– 3
0
в) x 2 − 25 ≥ 0 , x 2 ≥ 25 , x ≥ 5 , x ≥ 5, x ≤ −5 ; г) x( x 2 − 64) > 0
–
x > 8, −8 < x < 0
+ –8
– 0
8
24.
а) a 2 > 225 , a > 15 , a > 15, a < −15 ; б) b 2 ≤ 16 , b ≤ 4 , 4 ≤ b ≤ 4 ; 1 2 c ≥ 1 , c 2 ≥ 4 , c ≥ 2 , c ≥ 2, c ≤ −2 ; 4 1 г) z 2 < 0 . Решений нет. 9
в)
28
25.
а) ( x + 2)( x + 4)( x − 1) > 0
–
x > 1; −4 < x < −2
б) ( x − 3)( x − 6)( x + 6) < 0
–
x > 3; −1 > x > −5
+
–
–
1 1 ( x − 4)( x + )( x + 1) > 0 , x > 4, − 1 < x < − ; 3 3 б) (2 x + 3)( x + 1)( x − 1) > 0 ,
3 3 x + ( x + 1)( x − 1) < 0 , x < − , −1 < x < 1 ; 2 2 в) (4 x − 1)( x − 2)( x + 2) < 0 , 1 1 <x<2; x − ( x − 2)( x + 2) < 0 , x < −2, 4 4 г) ( x + 5)( x + 1)(2 x − 1) > 0 ,
27.
а) (2 − x)(3x + 1)(2 x − 3) > 0 , 1 3 ( x − 2) x + x − < 0 , 3 2 1 3 x<− , <x<2; 3 2
–
–
–
+ –1
–
+
x
+
x
−
3 2
–
1 3
1 4
1 3
1 2
+
– 3 2
x
+
–
+
x
+ 2
–1
–5
–
1 –
+
x
+
–1
–2 –
4 –
+
x
+
–
+
−
x
3
–1
−
+
2
–1 +
–5
x
6
+
26. а) ( x − 4)(3x + 1)( x + 1) > 0 ,
1 ( x + 5)( x + 1) x − > 0 , 2 1 x > , −5 < x < −1 . 2
– 3
–3
+ 1
–2
–6
x < −3; −1 < x < 2
г) ( x + 5)( x + 1)( x − 3) > 0
–
–4
x < −6, 3 < x < 6
в) ( x − 2)( x + 3)( x + 1) < 0
+
x
2
29
б) (2 x + 3)(1 − 2 x)( x − 1) < 0 ,
–
3 1 x + x − ( x − 1) > 0 , 2 2 3 1 x > 1, − < x < ; 2 2 в) (3x − 2)( x − 4)(3 − 2 x) < 0 ,
−
2 3
–
(x + 7 ) x + 3 x − 1 < 0 , x < −7, −
4
+
–7
2
1
– 3 2
+
x
+
– 1 2
3 2
–
2 3 x − (x − 4) x − > 0 , 3 2 3 2 x > 4, > x > ; 2 3 г) ( x + 7)(4 x + 3)(1 − 2 x) > 0 ,
+
+
x
+
x
4
– 3 − 4
1 2
–
+
x
+
x
+
x
+
x
+
х
3 1 <x< 4 2
28. x ( x − 2) а) >0, x+3 x > 2, 0 > x > −3 ; x( x + 1) б) ≥0, x −9 x > 9, −1 ≤ x ≤ 0 ; x ( x + 6) x 2 + 6x <0, <0, x−2 x−2 x < −6, 0 < x < 2 ; x −5 x−5 ≤ 0; ≤0, г) 2 x( x + 7) x + 7x
в)
0 < x ≤ 5, x < −7 . 29. 3x − 2 3x − 2 − 6 x + 9 а) >3⇔ >0 2x − 3 2x − 3 7 x− − 3x + 7 3 <0, 3 < x< 7 ; >0⇔ 3 2x − 3 2 3 x− 2
–
+ 0
–3 –
+
– 0
–1
–
+
9
– 0
–6 –
2
+
2 –
0
–7
+
5
– 3 2
7 3
30
x+3 x +3− x + 2 5 <1⇔ <0⇔ <0, x−2 x−2 x−2 x−2<0, x<2; 7x − 4 7x − 4 − x − 2 6x − 6 в) ≥1⇔ ≥0⇔ ≥ 0; x+2 x+2 x+2 x −1 ≥ 0 , x ≥ 1, x < −2 x+2 5x − 7 5 x − 7 − 7 x + 35 г) <7⇔ <0 x −5 x−5 −2 x + 28 x − 14 <0⇔ >0 x−5 x −5 x < 5, x > 14
б)
+
–
–2
+
x
+
x
1
+
– 5
14
30.
а) x 2 + 4 x + 3 ≤ 0 по теореме Виета:
+
x1 = −1, x2 = −3
–3
−3 ≤ x ≤ −1
б) 8 − 2 x ≥ x 2 , x 2 + 2 x − 8 ≤ 0 , по теореме Виета: x1 = 2, x2 = −4 , −4 ≤ x ≤ 2 ;
+
в) − x 2 − 10 ≤ 7 x , x 2 + 7 x + 10 ≥ 0 , по теореме Виета: x1 = −2, x1 = −5 , x ≥ −2, x ≤ −5 ;
+
г) x 2 − 6 x + 5 ≥ 0 , по теореме Виета: x1 = 5, x2 = 1 , x ≥ 5, x ≤ −1 .
+
– –4
x
+
– –1 +
x
+
x
+
x
2 –
–5
–2 –
1
5
31.
а) x 2 + 6 x + 9 ≥ 0 , ( x + 3) 2 ≥ 0 , −∞ < x < +∞ ; б) − 4 x 2 + 20 x > 25 , 4 x 2 − 20 x + 25 < 0 , (2 x − 5) 2 < 0 — решений нет; 1 7
в) 49 x 2 + 14 x + 1 ≤ 0 , (7 x + 1) 2 ≤ 0 ⇔ 7 x + 1 = 0 , x = − ; г) − x 2 + 8 x ≥ 16 , x 2 − 8 x + 16 ≤ 0 , ( x − 4) 2 ≤ 0 ⇔ x − 4 = 0 , x = 4 . 32.
а) 4 x 2 + x + 1 > 0 , D = 1 − 16 = −15 < 0 . Решением будут все −∞ < x < +∞ . 31
б) 7 x 2 + 3 ≤ 2 x , 7 x 2 − 2 x + 3 ≤ 0 ,
D = 1 − 21 = −20 < 0 . 4
Решений нет. в) 3x 2 + 4 < x , 3x 2 − x + 4 < 0 , D = 1 − 48 = −47 < 0 . Решений нет. D = 9 − 65 = −64 < 0 . 4 Решение – все −∞ < x < +∞ .
г) 5 x 2 + 6 x + 13 ≥ 0 , 33.
а) − 2 x 2 + x − 3 < 0 , 2x 2 − x + 3 > 0 ,
б) − 4 x 2 + x − 1 ≥ 0 , 4x 2 − x +1 ≤ 0 , D = 1 − 16 = −15 < 0 , Решений нет; г) − 3x 2 + 4 x − 5 ≤ 0 , 3x − 4 x + 5 ≥ 0 ,
D = 1 − 24 = −23 < 0 , −∞ < x < +∞ ;
в) − 6 x 2 + 5 x − 6 > 0 , 6x 2 − 5x + 6 < 0 ,
D = 4 − 15 = −11 < 0 , 4 Решения: −∞ < x < +∞ .
D = 25 − 4 ⋅ 6 ⋅ 8 < 0 ,
Решений нет; 34. –
+ −
5 2
–
+ –1
−
2
2 3
–
+ 5 2
3 4
х
2 2 5 3 x − x + x + x − < 0 , 3 3 3 2 5 2 2 3 <x< , − <x<− ; 3 3 3 2 б) (2 x + 1)(1 − 2 x)( x − 1)(2 − 3x) > 0 ,
х
1 1 2 x + x − (x − 1) x − > 0 , 2 2 3 2 1 1 x<− , < x < , x >1; 2 2 3 в) (3x − 2)(5 − x)( x + 1)(2 − x) < 0 ,
5
+
–
+ −
+
–
+
а) (2 − 3x)(3x + 2)(5 + 3x)(2 x − 3) > 0 ,
1
2 3
1 2
1 2
+
–
+
х
3 2
2 3
2 3
–
+ −
−
+
–
+
3
7 2
х
2 x − (x − 5)(x − 1)(x − 2) < 0 , 3 2 2 < x < 5; − 1 < x < ; 3 г) (2 x + 5)(4 x + 3)(7 − 2 x)( x − 3) < 0 , 5 3 7 x + x + x − (x − 3) > 0 , 2 4 2 32
x>
3 3 7 5 ; − < x< ; x<− . 2 2 4 2
35. –
+ –3
–2 –
+ –4
2 + +
–3 –
+ –13
–12
0 3
–10
10 +
+ –7
+ х
0
+ х 13
– 7
2
≥0,
( x − 2)( x + 2) ≥0 ( x − 3)( x + 3)
б)
x 2 ( x 2 − 16)
<0,
x 2 ( x − 4)( x + 4) <0, ( x − 3)( x + 3)
x2 − 9 3 < x < 4; −4 < x < −3 ;
4 –
x2 − 4
а)
x −9 x > 3, 2 ≥ x ≥ −2, x < −3 ;
3 –
+
–
+
+ х
–
+
+ х
x 2 − 169
в)
2
( x − 13)( x + 13) ≤0, ( x − 10)( x + 10)
≤0,
x − 100 −13 ≤ x < −10; 10 < x ≤ 13 ;
г) x 2 − 49
12 2
x ( x 2 − 144)
>0⇔
( x − 7)( x + 7) x 2 ( x − 12)( x + 12)
>0
x > 12; 0 < x < 7; −7 < x < 0; x < −12 . 36.
–
3
а) x − 64 x > 0 , x( x − 8)( x + 8) > 0 , x > 8; 0 > x > −8 ;
б) x 3 ≤ 2 x ⇔ x 3 − 2 x ≤ 0 ⇔ x( x 2 − 2) ≤ 0
–8 –
x( x − 2 )( x + 2 ) ≤ 0 ,
+ х
–
+ 0
8 + х
–
+ 0
− 2
2
x ≤ − 2; 0 ≤ x ≤ 2 ;
в) x 3 ≥ x ⇔ x( x 2 − 1) ≥ 0 , x( x − 1)( x + 1) ≥ 0 , x ≥ 1; 0 ≥ x ≥ −1 ;
–
г) x 3 − 100 x < 0 ,
–
−1
x( x − 10)( x + 10) < 0 , 0 < x < 10; x < −10 . 37.
0
–
0
+ х 10
+ х
–
+ 2 3
1
–
+ −10
+ х
–
+
1
5 2 33
2 ( x − 1) x − 3 <0 5 x−
( x − 1)(3 x − 2) а) >0, 5 − 2x
2
2 5 x < ; 1< x < ; 3 2 ( 2 x + 3)(2 x + 1) ≥0, б) ( x − 1)( x − 4)
−
3 1 x + x + 2 2 ≥0, ( x − 1)( x − 4) 1 3 ; x≤− ; 2 2 ( x + 1)( x + 2)( x + 3) в) ≤0 ( 2 x − 1)( x + 4)(3 − x)
+
–
+ 3 2
−
+ х
–
1 2
1
4
+
– +х
x > 4; 1 > x ≥ −
( x + 1)( x + 2)( x + 3) ≥0 1 x − ( x + 4)( x − 3) 2 x > 3;
г)
–
+
+ –3
–4
– –2
–1
3
1 2
1 > x ≥ −1; −3 ≤ x ≤ −2; x < −4 2
7−x <0, (3 x − 2)(2 x + 1)( x − 4) x−7
>0,
x − 2 x + 1 ( x − 4) 3 2 1 2 x > 7; 4 > x > ; x < − . 2 3
–
+ −
1 2
2 3
+ х
–
+ 4
7
38.
а) x + –
( x − 4)( x − 2) x 2 − 6x + 8 8 ≤0, ≤6, ≤0, x x x
–
+ 0
2
4 ≥ x ≥ 2; x < 0 ;
б) x +
+
х
4
( x − 1)( x − 2) x 2 − 3x + 2 2 ≥ 0, ≥ 3, ≥0, x x x
34
–
–
+ 0
1
+
х
2
x ≥ 2, 0 < x ≤ 1 ; ( x + 3)( x + 1) x 2 + 4x + 3 3 ≤0, ≤ −4 , ≤0, x x x
в) x + –
–
+ –3
–1
+
х
0
−1 ≤ x < 0, x ≤ −3 ; ( x − 4)( x + 2) x 2 − 2x − 8 8 >0, >2, >0, x x x
г) x − –
–
+ –2
0
+
х
4
x > 4, −2 < x < 0 . 39.
а) ( x − 1)( x 2 − 3x + 8) < 0 . Рассмотрим x 2 − 3x + 8 D = 9 − 32 = −23 < 0 , следовательно x 2 − 3 x + 8 > 0 при любых х. Разделим обе части на x 2 − 3x + 8 , x − 1 < 0 ⇔ x < 1 ; б) ( x + 5)( x 2 + x + 6) ≥ 0 . Рассмотрим x 2 + x + 6 , D = 1 − 24 = −23 < 0 , следовательно x 2 + x + 6 > 0 при любых х. Разделим обе части на x 2 + x + 6 , x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ −5. в) ( x − 7)(− x 2 − 3x − 18) > 0 , ( x − 7)( x 2 + 3x + 18) < 0 , x 2 + 3 x + 18 > 0 при любых х (т.к. D = 9 − 72 = −63 < 0 ). Разделим обе части на этот множитель; x − 7 < 0 ⇔ x < 7 .
г) ( x + 1,2)( x 2 + 5 x + 14) ≤ 0 , x 2 + 5 x + 14 > 0 при любых х (т.к. D = 25 − 56 = −29 < 0 ). Разделим обе части на этот множитель; x + 1,2 ≤ 0 ⇔ x ≤ −1,2 . 40.
а) ( x − 1) 2 ( x 2 + 4 x − 12) < 0 , 2
( x − 1) ( x − 2)( x + 6) < 0 , −6 < x < 1; 1 < x < 2 ;
+
–
– –6
1
+
х
2 35
б) ( x + 2)( x 2 − 6 x − 16) > 0 , ( x + 2)( x − 8)( x + 2) > 0 ,
– –2
( x + 2) 2 ( x − 8) > 0 , x > 8 ;
8
( x + 3) 2 ( x − 7)( x − 3) ≥ 0 , x ≤ 3; x ≥ 7 ;
–3
г) ( x − 1)( x 2 − 7 x + 6) ≥ 0 , ( x − 1)( x − 6)( x − 1) ≥ 0 ,
–
+
+
в) ( x + 3) 2 ( x 2 − 10 x + 21) ≥ 0 ,
7
х
+
– –1
х
+
3
–
( x − 1) 2 ( x − 6) ≥ 0 , x = 1; x ≥ 6 ;
х
+
–
6
41. x2 − 5x + 6
>0, x 2 − 12 x + 35 ( x − 2)( x − 3) >0, ( x − 7)( x − 5)
а)
–
+
3
2
+ х
–
+ 5
7
x > 7; 3 < x < 5; x < 2 ;
б)
x 2 − 2x + 3 2
x + 9x + 8
< 0 , x 2 − 2 x + 3 > 0 при любых х (т.к.
D = 1 − 3 = −2 < 0 ). 4
Разделим обе части на это положительное выражение 1 1 + х + – <0, <0, –8
в)
x2 + x +8 −8 < x < −1 ;
–1
x 2 − 4 x + 12 9 − x2
( x + 1)( x + 8)
<0.
Числитель x 2 − 4 x + 12 > 0 при любых х (т.к.
D = 4 − 12 = = −8 < 0). 4
Разделим на него обе части. 1 9− x
2
+
<0⇔
1 >0 ( x + 3)( x − 3)
+
– –3
х
3
x > 3; x < −3
г)
x 2 + 7 x + 12 25 − x 2
>0,
( x + 3)( x + 4) ( x + 3)( x + 4) <0, >0, (5 − x)( x + 5) ( x − 5)( x + 5)
36
–
+
+ х
–
+
–3 5 −4 −5 −5 < x < −4, −3 < x < 5 . 42.
а)
2 x 2 + 18 x − 4
2 x 2 + 18 x − 4 − 2 x 2 − 18 x − 16
>2,
x 2 + 9x + 8 x 2 + 9x + 8 −20 1 >0⇔ <0, ( x + 1)( x + 8) x 2 + 9x + 8
+
х
+
– –8
>0,
–1
−8 < x < −1 ;
б)
2 x 2 + x − 16
≤1,
x2 + x
2 x 2 + x − 16 − x 2 − x
x2 + x
≤0,
( x − 4)( x + 4) x 2 − 16 ≤ 0, ≤0⇔ x( x + 1) x( x + 1)
+
–
+
0
−1
−4
+ х
– 4
0 < x ≤ 4, −4 ≤ x < −1 ;
в)
1− x 2
1− x 2 + x 2 + 2x − 8
x 2 + 2x − 8 7 x− 2x − 7 2 ≥0⇔ ≥0, ( x − 2)( x + 4) x 2 + 2x − 8 7 x ≥ , −4 < x < 2 ; 2
г)
x 2 + 2x − 8
≥ −1 ⇔
x 2 + 3 x + 10 x2 −9
<0,
x −9 2
− x + 3 x + 28 2
<0⇔
<0,
–
+
– –4
−4
7 2
+ −3
х
+
2
–
+
x 2 + 3 x + 10 − 2 x 2 + 18 2
≥0,
+ х
– 3
7
( x − 7)( x + 4) x 2 − 3 x − 28 >0, >0, ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3)
x −9 x > 7, −3 < x < 3, x < −4 .
37
43.
x3 + x 2 + x
а)
9 x 2 − 25
≥0⇔
x( x 2 + x + 1) ≥0, (3 x − 5)(3x + 5)
x 2 + x + 1 > 0 (т.к. D = 1 − 4 = −3 < 0, следовательно можно разделить
обе части на ( x 2 + x + 1). x x ≥0, ≥0 3 3 (3 x − 5)(3 x + 5) ( x − )( x + ) 5
5
−
5 5 < x ≤ 0, x > ; 3 3
−
б)
–
+
– 5 3
+
0
х
5 3
x 2 ( x − 1) + ( x − 1) ( x 2 + 1)( x − 1) x 3 − x 2 + x −1 ≤0⇔ ≤0, ≤0. x +8 x+8 x +8
Разделим обе части на строго положительное выражение x 2 + 1 . x −1 ≤ 0 ⇔ −8 < x ≤ 1 . x +8 x 4 + x 2 +1
в)
x 2 − 4x − 5
<0
Числитель всегда строго положителен. Разделим на него обе части. 1 2
x − 4x − 5 −1 < x < 5 ;
г)
4
<0⇔
2
x − 2x − 8 x 2 + x +1
1 <0, ( x − 5)( x + 1)
+
+
– –1
х
5
<0.
Знаменатель строго положителен ( D < 0 ). Умножим обе части неравенства на него. x 4 − 2 x 2 − 8 < 0 , y = x 2 , y 2 − 2 y − 8 < 0 , y1 = 4, y2 = −2 , ( y − 4)( y + 2) < 0 . Вернемся к х: ( x 2 − 4)( x 2 + 2) < 0 , x 2 − 4 < 0 , x 2 < 4 ⇔ x < 2 ⇔ −2 < x < 2 . 44.
Выражение имеет смысл тогда, когда то, что стоит под корнем неотрицательно. – ( x + 2) 2x + 4 + – + х ≥0, ≥0, а) −12
–2
4
( x − 4)( x + 12) x 2 + 8 x − 48 x > 4, −12 < x ≤ −2 ;
38
б)
x −3
≥0,
2
x −3 1 ≥ 0, x ≠ 3 , ≥ 0, x ≠ 3 , ( x − 3)( x + 8) x+8
x + 5 x − 24 x + 8 > 0, x ≠ 3 , x > −8, x ≠ 3 , то есть −8 < x < 3, x > 3 ;
–
+
– −5
–2
−2
х
в)
+
х
г)
6
–
+
–
( x + 2)( x + 5) x 2 + 7 x + 10 ≥0, ≤0, x−6 6− x −2 ≤ x < 6, x ≤ −5
+
–1
7
–
+
( x − 7)( x + 2) 14 − x 2 + 5 x ≥0, ≤0, x +1 x +1 x ≤ −2, −1 < x ≤ 7 .
45.
+ –3
х
2
x2 −9
≥0, x − 5x + 6 ( x − 3)( x + 3) ≥ 0, x ≠ 3 , ( x − 2)( x − 3)
а)
2
x > 2, x ≤ −3, x ≠ 3, то есть x ≤ −3, 2 < x < 3, x > 3 ;
+
+
– 1
х
2
2 − x − x2
≥0, x2 − 4 ( x − 1)( x + 2) ≤ 0 , x ≠ −2 , ( x − 2)( x + 2)
б)
2 > x ≥1 ;
в)
2x 2 − 5x + 2
1 2( x − 2) x − 2 ≥0, ≤ 0, ( x − 3)( x − 2)
+
5x − 6 − x 2 1 x ≠ 2 , ≤ x < 3, x ≠ 2 , 2 1 ≤ x < 2, 2 < x < 3 ; 2
1 3 x + ( x + 3) 3 ≥0, ≥ 0, г) 2 ( 3 )( x + 5) x + x + 8 x + 15 1 x ≠ −3 , x ≥ − x < −5 . 3,
3 x 2 + 10 x + 3
– 0,5
+
х
+
х
3
– –5
+
−
1 3
46. 1 2 3 а) , + > x +1 x + 3 x + 2
39
( x + 3)( x + 2) + 2( x + 1)( x + 2) − 3( x + 1)( x + 3) >0, ( x + 1)( x + 2)( x + 3) x 2 + 5 x + 6 + 2 x 2 + 6 x + 4 − 3 x 2 − 12 x − 9 >0, ( x + 1)( x + 2)( x + 3)
−x +1 >0, ( x + 1)( x + 2)( x + 3)
+
1 > x > −1, −2 > x > −3 ; 2 1 б) − > −3 , x −1 x +1 2 x + 2 − x + 1 + 3( x + 1)( x − 1) >0, ( x − 1)( x + 1)
+
–
+
–1
−2
−3
–
+
−3
−
+ х
– 1
+ х
– 0
1 3
1
1 x x + x + 3 + 3x 2 − 3 3 >0, >0, ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1)
1 < x < 0 , x >1; 3 3 1 x +1 в) >− − , x−2 x−2 2 3( x + 2) 2x + 2x + 6 + x − 2 >0 >0, 2( x − 2) 2( x − 2)
x < −1, −
+
+
– –2
х
2
x > 2, x < −2 ;
–
+
– 3
x < 3,
7 2
+
х
г)
x − 4 x − 3 ( x − 4) 2 − ( x − 3) 2 , >0, > ( x − 3)( x − 4) x −3 x−4
x− 7 2 −2 x + 7 >0, <0, ( x − 3)( x − 4) ( x − 3)( x − 4)
4
7 <x<4. 2
47.
а) (16 − x 2 )( x 2 + 4)( x 2 + x + 1)( x 2 − x − 12) ≤ 0 , ( x 2 + 4) и ( x 2 + x + 1) строго положительны. Разделим обе части на
них. –
+ −4
+ −3
+ 4
х
(16 − x 2 )( x 2 − x − 12) ≤ 0 , (4 − x)( x + 4)( x − 4)( x + 3) ≤ 0 , 40
( x − 4) 2 ( x − 4)( x + 3) ≥ 0 , x ≥ −3, x ≤ −4 . (опечатка в ответе задачника). x − 1 + 2x + 2 − 1 + 2x
+
–
−1
–
0
б)
х
+
x2 − 1
≤0,
5x ≤ 0 , x < −1, 0 ≤ x < 1 ; ( x − 1)( x + 1)
1
в) ( x 2 + 12 x + 35)(2 x + 10)( x 2 + 14 x + 49) > 0 , –
+
<0,
x( x + 8) < 0 , 0 < x < 5, −8 < x < −5 . ( x − 5)( x + 5)
–5
– −5
−8
x 2 + 5 x + 3x x 2 − 25
( x + 7)( x + 5)( x + 5)( x + 7) 2 > 0 ,
( x + 7) 3 ( x + 5) 2 > 0 , −7 < x < −5, −5 < x ; x 3x <4, – + х г) 4 − 5 − x + 2 x − 25 x 3x 0 5 + < 0, x − 5 x 2 − 25
–7
+
х
+
+
48.
+
– −5
– 0
−1 2
+ х
+ 2
f ( x) = x( x − 2) 2 ( x + 1)3 ( x + 5) ;
а) x( x − 2)2 ( x + 1)3 ( x + 5) > 0 , −5 < x < −1; 0 < x < 2, x > 2 ;
3
б) x( x − 2) ( x + 1) ( x + 5) < 0 , x < −5, −1 < x < 0 ; в) x( x − 2) 2 ( x + 1) 2 ( x + 5) ≥ 0 , −5 ≤ x ≤ −1, x ≥ 0 ; г) x( x − 2) 2 ( x + 1) 2 ( x + 5) ≤ 0 , x ≤ −5, −1 ≤ x ≤ 0 . 49.
( x + 2) 2 ( x − 1)(2 x + 3) = f ( x) = x(2 x + 1) ( x + 2)2 ( x − 1) x + = 1 x x + 2 а) f ( x) > 0 ,
2( x + 2)2 ( x − 1) x + 1 2 x x + 2
3 2
=
3 2
+
+ –2
+
– −
3 2
−
1 2
+
– 0
х
1 41
x > 1, −
1 3 < x < 0, − 2 < x < − , 2 2
x < −2 ; 3 1 < x < − , 0 < x <1; 2 2 1 3 в) f ( x) ≥ 0 , x ≥ 1, 0 > x > − , x ≤ − . 2 2
б) f ( x) < 0 , −
(опечатка в ответе задачника). г) f ( x) ≤ 0 , 0 < x ≤ 1, −
3 1 ≤ x < − , x = −2 . 2 2
50. 2
x ( x + 2)( p − x) ≥ 0 , x 2 ( x + 2)( x − p ) ≤ 0 . При p ≥ 0 : −2 ≤ x ≤ p ; При р −2 < p < 0 , x ≥ p, x ≤ −2 ; При p ≤ −2 , p ≤ x ≤ −2, x = 0 ; а) p = −2 , б) p = 1, p = −4 , в) p = 0, p = −3, p = −1 , г) p = 2 p = −5 .
–
+ −2
+
– p
−2
–
+ p
х
–
х
+
х
p
0
+
–
–
0
+ −2
0
§ 3. Системы рациональных неравенств 51. 20 − 3 < 10 + 10 а) — второе неравенство неверно. 7 − 10 > 5 + 11
Ответ: не является. 10 + 5 < 35 − 8 — оба неравенства верны. б) 12 − 5 > 15 − 11
Ответ: является. 10 − 30 < 40 − 40 — второе неравенство неверно. в) 20 − 1 > 25 − 3
Ответ: не является. 42
8 + 5 < 15 + 2 г) — верно. 19 − 10 > 5 + 3
Ответ: является. 52.
−6 − 22 < 0 х= –2 — второе неверно. − 4 − 1 > 3
0 − 22 < 0 — второе неверно. х= 0 0 − 1 > 3
15 − 22 < 0 — верно. x=5 10 − 1 > 3
18 − 22 < 0 — верно. x= 6 12 − 1 > 3
Ответ: Числа 5 и 6 являются решениями. x
53. x > 5 а) x>7 x > 7
5
x ≤1 x≤1 б)
x < 5 x ≥ 0 1 в) 1 x > > x 2 2 x<8 г) x ≥ 12
0
нет решений
8
54. 7 y ≤ 42 y ≤ 6 а) 2 y < 4 y < 2
y<2 y < 6 − 3 y < 12 y > −4
7
1
5 1 2
y>6
x
y 2
6 y
-4
6
3 y − 18 > 0 y > 6 в) 4 y > 12
x
12
8 y < 48 б)
–4 < y < 6
x
y
y > 3
3
6
43
7 x − 14 ≥ 0 x ≥ 2 г) 2 x ≥ 8
x
x ≥ 4
x≥4
2
4
55.
t
7 t ≤ 2 5t − 20 < 0 t < 4
7 − 2t ≥ 0 а)
7 2
7 t≤ 2
4 t
t < 4 3 2t − 3 ≥ 0 t ≥ 2
2t − 8 < 0 б)
3 2
3 ≤t<4 2 t ≤ −2 4 4 − 3t > 0 t < 3 t < −2 1 5t − 1 > 0 t > г) 5 3t − 6 ≥ 0 t ≥ 2 t≥2
4
t
2t + 4 ≤ 0 в)
-2
t 1 5
56.
4 3
2
5
x
0,4 x − 1 ≤ 0 x ≤ а) 2 2,3 x ≥ 4,6
x ≥ 2
5 2≤ x≤ 2 40 x > 3 0,2 x + 1 < 6 x < 25
2
5 2
0,3x > 4 б)
40 < x < 25 3 1,5t + 4,5 ≤ 0 t ≤ −3 в) 1 t ≥ 9 t ≥ 1 9
нет решений.
x 40 3
25 t
-3
9 x
4 9
12
44
5 z − 10 ≤ 0 г) 6 3 z ≤ 1 1 3 4 x≤ 9
x ≤ 12 x ≤ 4 9
57. 5 x − 7 > −14 + 3x а) − 4 x + 5 > 29 + 2 x
x
7 2 x > −7 x > − 6 x < −24 2 x < −4
-4
−
7 2
Решений нет
x
б) 3x + 3 ≤ 2 x + 1
3x − 2 ≤ 4 x + 2
-4
x ≤ −2 x ≥ −4 −4 ≤ x ≤ −2
-2 x
1 − 12 x < 3 x + 1 в) 2 − 6 x > 4 + 4 x
0
-0,2
15 x > 0 x > 0 10 x < −2 x < −0,2
Решений нет 4 x + 2 ≥ 5x + 3 г) 2 − 3 x < 7 − 2 x
x
x ≤ −1 x > −5
-5
-1
−5 < x ≤ −1 58. 2 x − 4 ≥ 0 а) 2 x − 7 x + 12 < 0
+
–
+
3
x1 = 3 , x 2 = 4
x
4
x ≥ 2 (x − 3)(x − 4) < 0 x ≥ 2 3 < x < 4 3 < x < 4
x 2
3
4
45
3x − 1 < 0 2 x − 3x + 2 ≥ 0
б)
+
–
по теореме Виета: x1 = 2 , x 2 = 1 1 x < 3 (x − 1)(x − 2) ≥ 0
+
1
1 x < 3 x ≥ 2, x ≤ 1
x
2 x 1
1 3
1 3 5 x − 10 > 15 x − 2 > 3 в) 2 2 x x + − 6 ≤ 0 x + x − 6 ≤ 0 по теореме Виета: x1 = 2 , x 2 = −3 ; x<
+
2
–
+
x
2
-3
x − 2 > 3 (x − 2 )(x + 3) ≤ 0
x
x > 5 − 3 ≤ x ≤ 2
2
-3
5
Решений нет г) 3 x − 10 > 5 x − 5
+
–
+
x
2
x + 5 x + 6 < 0
-2
2 x < −5 2 x + 5x + 6 < 0
-3
по теореме Виета: x1 = −2 , x 2 = −3 ; 5 x < − 2 (x + 2)(x + 3) < 0 −3< x < −
5 x < − 2 − 3 < x < −2
x
5 . 2
-3
59. 7 x 2 − x + 3 ≤ 0 7 x 2 − x + 3 ≤ 0 а) 2 x + 3 > 7 2 x + 3 > 7
−
5 2
-2
D = 1 – 83 = –81 < 0.
Первое неравенство не имеет решений (т.к. D = < 0). Следовательно, и вся система не имеет решений. 2 2 б) − 3x + 2 x − 1 ≤ 0 3 x − 2 x + 1 ≥ 0
6 x > 3(x + 1) − 1
6 x > 3x + 2
D = 4 – 12 < 0. 4
Следовательно, решениями первого неравенства будут все –∞ < x < +∞. 46
2 −∞ < x < +∞ x> ; 3x > 2 3 2 в) 5 x − 2 x + 1 ≤ 0
2( x + 3) − ( x − 8 ) < 4
D = 1 – 5 = –4 < 0. 4
Первое неравенство не имеет решений (т.к. D = < 0). Следовательно, и вся система не имеет решений. 2 2 г) − 2 x + 3 x − 2 < 0 2 x − 3x + 2 > 0
D = 9 – 16 = –7 <
− 3(6 x − 1) − 2 x < x − 18 x + 3 − 2 x < x
0. Поэтому решениями первого неравенства будут все –∞ < x < +∞. −∞ < x < +∞ 1 −∞ < x < +∞ x> . x > 1 21x > 3 7 7
60. 3 x 2 + x + 2 > 0 а) 2 x < 9
3 x 2 + x + 2 > 0 x < 3
D = 1 – 24 = –23 < 0.
Решениями первого неравенства будут все –∞ < x < +∞. −∞ < x < +∞ −3 < x < 3 ; − 3 < x < 3 − 7 x 2 + 5 x − 2 > 0 7 x 2 − 5 x + 2 < 0 2 x ≤ 5 x ≤ 25
D = 25 – 56 < 0.
б)
Первое неравенство не имеет решений, значит решений не имеет и вся система. 2 x 2 + 5 x + 10 > 0 x 2 ≥ 16
в)
2 x 2 + 5 x + 10 > 0 x ≥ 4
D = 25 – 80 = –55
< 0. Решениями первого неравенства будут все –∞ < x < +∞. x ≥ 4, x ≤ −4 − 5 x 2 + x − 1 > 0 5 x 2 − x + 1 < 0 2 2 x > 81 x > 81
г)
D = 1 – 20 = –19 < 0.
Первое неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся система решений не имеет. 61. x2 −9 а) x ≥ 0 2 x − 1 ≥ 0
(x − 3)(x + 3) ≥0 x 2 x − 1 ≥ 0
–
-3
+
–
+
-3
0
3
0
1 2
3
x x 47
x ≥ 3,−3 ≤ x ≤ 0 x ≥ 1 2
x≥3
(x + 5)(x − 1) ≥0 x 10 x − 1 < 0
б)
–
+
(x + 5)(x − 1) ≥0 x 10 x < 1
-5
–
+
0
x
1 x
x ≥ 1,−5 ≤ x ≤ 0 x < 1 10
-5
1 10
0
–5 ≤ x < 0 25 − x 2 ≤0 x 5 x − 10 ≥ 35
1
в)
–
+
(5 − x )(5 + x ) ≤0 x 5 x ≥ 45
-5
–
+
0
x
5 x
(x − 5)(x + 5) ≥0 x x ≥ 9
-5
0
5
9
x≥9
(x − 2)(x + 3) <0 x(x + 7 ) 20 x ≥ 20 (x − 2 )(x + 3) <0 x(x + 7 ) x ≥ 1
г)
0 < x < 2,−7 < x < −3 x ≥ 1 1≤ x < 2. 62. x 2 − 16 ≥ 0 а) 2 x − 7 x + 12 ≥ 0
+
–
-7
+
-3
–
+
0
x
2
x -7
-3
0
1 +
2 –
-4
+
x
4 48
(x − 4 )(x + 4) ≥ 0 2 x − 7 x + 12 ≥ 0
+
–
+
x
x1 = −3 x 2 = −4
-4
x ≥ 4, x ≤ −4 (x − 4)(x + 4 ) ≥ 0
x
x ≥ 4, x ≤ −4 x ≥ −3, x ≤ −4 x ≤ −4, x ≥ 4
-4
-3
9 x 2 − 1 < 0 2 x − 3 x + 2 ≥ 0
+
, x2 = 2
1 3
–
+
x
x
2 x
−
1 1 <x< 3 3 x 2 − 6 x + 8 < 0 2 x − 36 ≥ 0
+
1 3
1
1 1 − < x < 3 3 x ≥ 2, x ≤ 1
в)
–
−
1 1 3 x − x + < 0 3 3 x 2 − 3x + 2 ≥ 0
−
4
+
б)
x1 = 1
-3
1 3
1 3
x 2 − 6 x + 8 < 0 2 x ≥ 36
1
+
2
–
2
по теореме Виета:
+
x
4
x1 = 4 x1 = 2
x
(x − 2)(x − 4) < 0 2 < x < 4 x ≥ 6, x ≤ −6 x ≥6
-6
2
4
+
–
6
Решений нет 49 x 2 − 1 < 0 x 2 + 5 x + 6 ≥ 0
г)
(7 x )2 < 1 2 x + 5 x + 6 ≥ 0
по теореме Виета: x1 = −2 x1 = −3
-3
7x < 1 (x + 2)(x + 3) ≥ 0
+
x
-2 x
-3
-2
−
1 7
1 7
49
1 1 − < x < 7 7 x ≥ −2; x ≤ −3 −
1 1 <x< 7 7
63. x 2 − 5 x + 4 ≥ 0 а) 2 2 x − 5 x + 2 ≤ 0
x 2 − 5 x + 4 ≥ 0 2 2 x − 5 x + 2 ≤ 0
+
–
по теореме Виета:
+
1
x1 = 1 x2 = 4
x
4
D = 25 – 16 = 9. 5−3 1 = 4 2 5+3 x2 = =2 4 (x − 1)(x − 4) ≥ 0 2 x − 1 (x − 2 ) ≤ 0 2
+
x1 =
–
x 1 2
1 ≤ x ≤1 2
x
2
1 2
x ≥ 4, x ≤ 1 1 ≤ x ≤ 2 2
+
x 2 − 8 x + 15 ≥ 0 x 2 − 8 x + 15 ≥ 0 2 2 x − 6 x + 8 ≥ 0 x − 6 x + 8 ≥ 0
1
2
4
б)
+
по теореме Виета: x1 = 5 x2 = 3
3
по теореме Виета:
+
x1 = 4 x2 = 2
(x − 3)(x − 5) ≥ 0 (x − 2 )(x − 4 ) ≥ 0
x ≥ 5, x ≤ 2
–
x
5 –
+
2
x ≥ 5, x ≤ 3 x ≥ 4, x ≤ 2
+
x
4 x
2
3
4
5
50
x 2 − 9 x + 14 < 0 x 2 − 7 x − 8 ≤ 0
в)
x 2 − 9 x + 14 < 0 2 x − 7 x − 8 ≤ 0
+
по теореме Виета:
–
+
2
x1 = 7 x2 = 2
+
по теореме Виета: x1 = 8 x2 = −1
x
7 –
+
-1
x
8
(x − 7 )(x − 2 ) < 0 (x + 1)(x − 8) ≤ 0
x
2 < x < 7 − 1 ≤ x ≤ 8 2< x<7
-1
2
2 x 2 + 4 x + 3 ≤ 0 x + 4 x + 3 ≤ 0 г) 2 5 2 x + 5 x < 0 2 x x + 2 < 0
7
+
8
–
+
x
по теореме Виета: x1 = −1 x2 = −3
-3
(x + 1)(x + 3) ≤ 0 x x + 5 < 0 2
-1
+
–
−
−3 ≤ x ≤ −1 − 5 < x < 0 2 5 − < x ≤ −1 2
5 2
+
x
8 x
-3
−
5 2
-1
0
64.
а) −2 ≤ 3x ≤ 6 , −
2 ≤x≤2; 3
в) 6 < −6 x < 12 , −1 > x > −2 ;
б) − 1 < г) 0 ≤
x < 1 , −6 < x < 6 ; 6
x ≤ 2, 0≤ x≤8. 4
65.
а) 3 < x + 1 < 8 , 2 < x < 7 ; б) −2 ≤ 1 − 2 x ≤ 2 , −3 ≤ −2 x ≤ 1 ,
3 1 ≥x≥− ; 2 2
51
5x + 2 8 < 1 , −6 < 5 x + 2 < 2 , − < x < 0 ; 2 5 6 − 2x г) − 1 ≤ ≤ 0 , −4 ≤ 6 − 2 x ≤ 0 , 5 ≥ x ≥ 3 . 4
в) − 3 <
66. 9 3 >x> ; 5 5 2x + 1 11 1 б) − 4 ≤ ≤ 0 , −12 ≤ 2 x + 1 ≤ 0 , − ≤ x ≤ − . 3 2 2
а) −6 < 3 − 5 x < 6 , −9 < −5 x < 3 ,
67. 1 0 < 1 + 4 x < 17 , − < x < 4 . 4
Наименьшее целое – 0; Наибольшее целое – 3. 68.
а) y = 12 − 3x + x + 2 12 − 3 x ≥ 0 x ≤ 4 x + 2 ≥ 0 x ≥ −2 −2 ≤ x ≤ 4 ;
–2
4
–4
5
2
4
–1
3
–11
3
б) y = 15 − 3x + x + 4 15 − 3x ≥ 0 x ≤ 5 x + 4 ≥ 0 x ≥ −4
−4 ≤ x ≤ 5 ;
в) y = 15 x − 30 + 4 − x 15 x − 30 ≥ 0 4 − x ≥ 0
x ≥ 2 x ≤ 4 2 ≤ x ≤ 4 ;
г) y = 6 x − 18 + x + 1 , 6 x − 18 ≥ 0 x ≥ 3 x + 1 ≥ 0 x ≥ −1 x ≥ 3 . 69. 7 x + 3 ≥ 5(x − 4) + 1 а) 4 x + 1 ≤ 43 − 3(7 + x )
7 x + 3 ≥ 5 x − 19 4 x + 1 ≤ 43 − 3(7 + x ) x ≥ −11 x ≤ 3 −11 ≤ x ≤ 3
2 x ≥ −22 7 x ≤ 21
52
3(x + 8) ≥ 4(7 − x ) б)
(x + 2 )(x − 5) > (x + 3)(x − 4 )
1
4 7 4 7 x ≥ 4 x ≥ 2 x < 2 7 x < 1
−
3x + 24 ≥ 28 − 4 x 2 2 x − 3 x − 10 > x − x − 12 4 ≤ x <1 7
5(x + 1) − x > 2 x + 2 в)
0
3 2
3 x > − 2 x ≤ 0
−
x
4(x + 1) − 2 ≤ 2(2 x + 1) − x
2 x > 3 4 x + 5 > 2 x + 2 4 x + 2 − 2 ≤ 3 x + 2 x ≤ 0
3 <x≤0 2
(x + 2)(x − 6) ≤ (x + 2)(x + 1) + 4 г) 2(6 x − 1) ≥ 7(2 x − 4)
−
18 7
13
x 2 − 4 x − 12 > x 2 + 3 x + 6 12 x − 2 ≥ 14 x − 28
18 18 7 x ≥ −18 x ≥ − ≤ x ≤ 13 . 2 x ≤ 26 7 − 7 x ≤ 13
53
70. x x + < 7 а) 3 4 1 − x > 0 6
4 x + 3x <7 12 7 x < 84 x < 12 6 − x 6 − x > 0 x < 6 >0 6
6 x<6; x 1− > x б) 4 x − x − 4 > 1 5
12 4 − x >x 4 4 − x > 4 x 5x − x − 4 4 x − 4 > 5 >1 5
1/4
x −1 x − 2 > 1 г) x < 5 3
4x − x 4 ≥ 2 3x − 3 + 2 x − 4 >1 6
8/3
x≥
3x ≥ 8 5 x − 7 > 6
8 ; 3
2x − x + 1 > 1 x + 1 > 2 x > 1 x < 15 x < 15 2 x < 15
15 1 71.
а) x −1 x − 2 x − 3 −x − ≥ 3 4 2 1 − x > 0,5 x − 4
62
4 5 1 4
4/5
1 4 <x< ; 4 5 x x − ≥ 2 в) 4 x 1 x 2 − + − >1 2 3
13/5
x< x >
1 < x < 15 .
8 x ≥ 3 x > 13 5
11x ≥ −11 6 x − 6 − 4 x + 8 ≥ 3 x − 9 − 12 x 1,5 x < 5 x < 10 3
x ≥ −1 x < 10 3
−1 ≤ x <
10 ; 3
2x −1 x + 2 x − 8 + − > x-1 | Умножим на 6 3 2 2 − 2 x > 0,5 x + 0,5
б) 6
2 x − 1 + 2 x + 4 − 3 x + 24 > 6 x − 6 2,5 x < 1,5 33 5 x < 33 x < 5 x< 3 ; x < 3 3 5 5 x < 5
3/5
5 x + 7 3 x 11x − 7 − < 4 12 в) 6 1 − 3 x − 1 − 4 x ≥ x − 1 2 3 6
33/5
21/10 7/2
10 x + 14 − 9 x < 11x − 7 10 x > 21 3 − 9 x − 2 + 8 x ≥ x − 6 2 x ≤ 7
x > 21 21 7 <x≤ ; x ≤ 7 10 2 2
8x + 1 4x + 9 x − 1 > − 2 3 г) 3 39/5 5 x − 2 < 2 x + 13 − x + 2 3 2 3 27 x> 16 x + 2 > 12 x + 27 − 2 x + 2 6 x > 27 6 10 x − 4 < 6 x + 39 − 2 x − 4 6 x < 39 x < 39 5 27 39 <x< ⇔ 4,5 < x < 6,5 . 6 6
27/6
72. 2x + 1 <1 а) x − 2 3x + 2 > 2 2 x − 3
x+3 <0 x − 2 − x +8 >0 2 x − 3
2x + 1 − x + 2 <0 x−2 3x + 2 − 4 x + 6 >0 2x − 3 x+3 x−2 < 0 x −8 < 0 3 x− 2
−3 < x < 2 3 < x < 8 2 3 <x<2 2
63
+ –3 –3
х
+
–
+ 3/2
2
8
3/2 2
8
7 − 3x ≤2 б) 2 − 5 x 2x + 1 > 4 3x − 3
7 − 3x − 4 + 10 x ≤0 2 − 5x 2 x + 1 − 12 x + 12 >0 3x − 3
7x + 3 ≤0 2 − 5 x − 10 x + 13 >0 3x − 3
3 x + 7 ≥0 x− 2 5 13 x − 10 < 0 x −1
3 2 x < − , x > 7 5 1 < x < 1,3
1 < x < 1,3 ;
1,25
х
+
–
1,6
3
x
1,25
16 7
x
1,6
16 7
3
x
−
−
2 5
1
13/10
5x − 8 <0 3 − x − 7 x + 16 >0 4 x − 5
x
3 7 2 5
3x − 2 <2 в) 3 − x 5x + 1 > 3 4 x − 5
x
3 7
1
13 10
3x − 2 − 6 + 2 x <0 3− x 5 x + 1 − 12 x + 15 >0 4x − 5 x − 1,6 x−3 > 0 x − 16 7 <0 x − 1,25
x > 3, x < 1,6 1,25 < x < 16 1,25 < x < 1,6 ; 7
x+3 ≤1 г) 3x − 1 2x + 5 ≥ 2 x − 4 − 2x + 4 3x − 1 ≤ 0 13 ≥0 x − 4
64
x + 3 − 3x + 1 ≤0 3 x − 1 2x + 5 − 2x + 8 ≥0 x−4 x−2 ≥0 1 x− 3 x − 4 > 0
+
–
+
2
1 3
1 3
2
x
4
x
1 x ≥ 2, x < 3 x > 4
x > 4.
73.
3x − 4 1 6 x − 8 − 5 + x ≥0 ≥ а) 5 − x 2 2(5 − x ) x ≥4 x 2 ≥ 16 13 7
7 x − 13 ≥0 5− x x ≥ 4, x ≤ −4
13 x − 7 ≤0 x −5 x ≥ 4, x ≤ −4
x
5
13 <x<5 7 x ≥ 4, x ≤ −4
13 7
–4
4
x
5
4≤ x<5;
4 x 2 ≤ 49 б) 2 x + 5 >1 1 − 6x
−
7 − 2
1 2
1 − 2
x −1 1 ≥ 2 x 2 ≤ 25
в) 3 − 2 x
2x ≤ 7 2x + 5 − 1 + 6x >0 1 − 6x
x
1 6
1 6
7 7 − 2 ≤ x ≤ 2 − 7 ≤ 2 x ≤ 7 1 8x + 4 > 0 x + 2 <0 1 − 6 x x− 1 6
7 2
x
7 − ≤x≤ 2 1 − < x < 2
2(x − 1) − 3 + 2 x ≥0 2(3 − 2 x ) x ≤5
7 2 1 6
−
+
1 1 <x< ; 2 6
–
5 4
+
3 2 65
4x − 5 ≥0 2(3 − 2 x ) − 5 ≤ x ≤ 5
5 x− 4 ≤0 3 x − 2 − 5 ≤ x ≤ 5
x
3 5 ≤x< 4 2 − 5 ≤ x ≤ 5 5 3 ≤x< ; 4 2
−5 2
2 x − 17 ≥0 5 4 x + 2 9 x ≥ 2 x ≥ 8,5;
-5
8,5
x
x − 8,5 ≥0 5 x+ 2 9 9 x ≥ , x ≤ − 2 2
9 x≤− 2
5
3 2
8 x − 2 − 6 x − 15 ≥0 2(2 x + 5) x 2 ≥ 81 4
4x −1 3 ≥ г) 2 x + 5 2 2 4 x ≥ 81
5 x ≥ 8,5; x < − 2 x ≥ 9 , x ≤ − 9 2 2
−
74. (x + 2 )(x − 1) ≥0 а) 2x x 2 − 7 x + 12 ≥ 0
5 4
9 2–
−
x
5 2+
8,5
9 2 –
–2
+
0
x
1
по теореме Виета: x1 = 4 x2 = 3
+
x ≥ 1;−2 ≤ x < 0 (x − 3)(x − 4) ≥ 0 x ≥ 1;−2 ≤ x < 0 x ≥ 4, x ≤ 3
–
+
3
x
4 x
–2
0
1
3
4
−2 ≤ x < 0; 1 ≤ x ≤ 3; x ≥ 4 x 2 − 10 x + 9 ≤ 0 ≥0 2x
б) (x + 3)(x − 2)
–
по теореме Виета:
–3
66
+
–
0
+
2
x
x1 = 9 x2 = 1
x
(x − 1)(x − 9) ≤ 0 x ≥ 2;−3 ≤ x < 0 1 ≤ x ≤ 9 x ≥ 2;−3 ≤ x < 0 2≤ x≤9
–3
0
1
2
+
–
+
3 x2 − 4x + 3 ≤ 0 ≤0 5x
–
+
по теореме Виета:
–4
–2
–
+
x
0
+
(x − 1)(x − 3) ≤ 0 − 2 ≤ x < 0, x ≤ −4 1 ≤ x ≤ 3 x ≤ −4;−2 ≤ x < 0 Нет решений.
x
4
в) (x + 2)(x + 4)
x1 = 3 x2 = 1
9
–
+
1
x
3 x
–4
–2
x 2 − 12 x + 20 ≤ 0 ≤0 3x
0
г) (x − 3)(x + 1)
–
по теореме Виета:
–1
x1 = 0 x2 = 2
1
+
–
0 +
+
x
3
–
2
(x − 2 )(x − 10 ) ≤ 0 x ≤ −1,0 < x ≤ 3
3
+
x
10
2 ≤ x ≤ 10 x ≤ −1;0 < x ≤ 3
x 2≤ x≤3
–1
0
2
3
10
67
75.
2 x 2 + 18 x − 4 − 2 x 2 − 18 x − 16 >0 x2 + 9x + 8 2 x + 8 − 6x ≤ 0 x
2 x 2 + 18 x − 4 >2 2 а) x + 9 x + 8 x + 8 ≤ 6 x 2 x 2 x
− 20
20 > 0 <0 8 ( )(x + 1) x + + 9x + 8 (x − 2)(x − 4) ≤ 0 + 8 − 6x ≤ 0 x x +
–
+
–8
–
x
+
–1
0
–
+
2
x
4
−8 < x < 1 x < 0;2 ≤ x ≤ 4
x –8 −8 < x < −1
–1
0
2
4
В ответе задачника ошибка.
3 x + ≤ −4 б) x x−4 > x−3 x − 3 x − 4
x 2 + 4x + 3 ≤0 x 2 2 (x − 4) − (x − 3) > 0 (x − 3)(x − 4 )
(x + 3)(x + 1) ≤0 x (x − 4 − x + 3)(x − 4 + x − 3) >0 (x − 3)(x − 4)
–
+
–3
x ≤ −3,−1 ≤ x < 0 7 x− 2 <0 (x − 3)(x − 4 )
–
–
–1 +
x ≤ −3,−1 ≤ x < 0 x < +3, 7 ≤ x < +4 2
–3 68
x
+
x
0 –
7 2
3
+
0
x –1
0
3
7 2
4
x ≤ −3,−1 ≤ x < 0 x 3 − x 2 + x −1 ≤0 2x + 3 в) 1 + 2 > 3 x + 1 x + 3 x + 2 x 2 (x − 1) + (x − 1) ≤0 3 2 x + 2 (x + 2)(x + 3) + 2(x + 1)(x + 2 ) − 3(x + 1)(x + 3) >0 (x + 1)(x + 2)(x + 3)
(
)
(x − 1) x 2 + 1 ≤0 2 x + 3 2 − x +1 >0 (x + 1)(x + 2 )(x + 3)
Разделим первое неравенство на положительное выражение x −1 ≤0 3 x+ 2 x −1 <0 (x + 1)(x + 2 )(x + 3)
+
–
3 2
− +
3 − < x ≤ 1 2 − 3 < x < −2, − 1 < x ≤ 1
–
–3
+
x 2 +1 . 2
x
1 +
–2
–
–1
+
x
1 x
–3
–2
−
3 2
–1
1
−1 < x ≤ 1 — ошибка в ответе задачника. x x2 + x +1 x3 + x2 + x ≥0 ≥0 2 (3x − 5)(3 x + 5) г) 9 x − 25 x −1 + 2x + 2 −1 + 2x ≤ 0 1 + 2 ≤ 1 − 2x x + 1 x − 1 x 2 − 1 x 2 −1
(
)
Разделим первое неравенство на положительное выражение x 2 + x + 1 (оно положительно, т.к. D = 1 – 4 =–3 < 0).
69
x (3 x − 5)(3 x + 5) ≥ 0 5x ≤0 (x − 1)(x + 1) –
+
−5 3
–
0
+
–
x
+
–
–1
5 3
+
0
1
5 5 x > , − < x ≤ 0 3 3 x < −1, 0 ≤ x < 1
x −
x = 0, −
x
5 3
–1
0
1
5 3
5 < x < −1 3
76.
Выражение определено, если стоящее под корнем выражения неотрицательны. + – + x
(x − 3)(x − 5) ≥ 0 а) (1 − x )(7 − x ) ≥ 0
3
5
x ≥ 5, x ≤ 3 x ≥ 7, x ≤ 1
+
1
x 1 б)
3x + 2 4− x + 5− x 7 − 2x
3
5
+
7
7 +
–
−
70
–
2 3
+
5
x
x
2 x+ 3 3x + 2 ≤0 ≥0 x−5 5 − x x−4 4− x ≥0 ≥0 7 − 2 x −7 x 2
+
–
−
2 3
x 4
7 2
(x − 2)(x − 3) ≥ 0 в)
+
5
–
(5 − x )(6 − x ) ≥ 0
+
2
x ≥ 3, x ≤ 2 x ≥ 6, x ≤ 5 x ≤ 2, 3 ≤ x ≤ 5, x ≥ 6
x
5
7 2
2 − ≤ x<5 3 x ≥ 4, x < 7 2 2 7 − ≤ x< , 4≤ x<5 3 2
2
+
x
3
x 3
1 x+ 4 4x +1 ≥0 ≥0 x+2 г) x + 2 + 2x +1 1 ≥ 0 x+ x − 7 2 ≥0 5 x − 7 1 x < −2, x ≥ − 4 x ≤ − 1 , x > 7 2
5
6
+
–
+ –2
–
6
+
x
+
−
–
−
x
1 4 +
x
7
1 2
x –2 x > 7, x < −2
−
1 2
77. x 2 − 16 ≥ 0 x 2 ≥ 16 а) 7 x − x 2 ≥ 0 x(7 − x ) ≥ 0
−
7
1 4
x ≥ 4, x ≤ −4 0 ≤ x ≤ 7
x -4
0
4
7
71
4≤ x≤7 x 2 − 3x + 2 ≥ 0 9 − x 2 ≥ 0
б)
по теореме Виета: (x − 2 )(x − 1) ≥ 0 2 x ≤ 9
+
x1 = 2 x2 = 1
по теореме Виета:
x
2
−3 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ x ≤ 3
x
–3
x 2 − 5 x + 6 ≥ 0 2 x − 1 ≥ 0
+
1
x ≤ 1, x ≥ 2 x ≤ 1, x ≥ 2 ⇔ x ≤3 − 3 ≤ x ≤ 3
в)
–
1
2
3
+
x1 = 2 x2 = 3
–
+
2
(x − 2 )(x − 3) ≥ 0 x ≥ 3, x ≤ 2 2 x ≥ 1, x ≤ −1 x ≥ 1
x
3 x
-1
1
2
3
x ≤ −1, 1 ≤ x ≤ 2, x ≥ 3 x 2 + 8 x + 7 ≥ 0 2 25 − x ≥ 0
г)
+
x = −1 по теореме Виета: 1 x2 = −7
–
-7
(x + 1)(x + 7 ) ≥ 0 x ≥ −1, x ≤ −7 2 - 5 ≤ x ≤ 5 x ≤ 25
x -7 −1 ≤ x ≤ 5
72
-5
-1
5
+
-1
x
78. 13 3x x − 1 7 ≤ − − + 4 8 а) 4 4 2 ≥ x + 3 − 2 x 4 3
19 2 x + 1 ≤ 2 − 5 x − 12 ≤ 0
3x − x + 1 26 − 7 ≤ 4 8 3x + 12 − 8 x ≤2 12
2 x + 1 19 4 ≤ 8 − 5 x − 12 ≤0 12
17 x ≤ 4 12 17 − ≤ x ≤ . Серединой промежутка 12 5 4 x ≥ − 5 17
12
− a+b . В данном случае 4 5 2 2 x x x x − − + − − + + 3 3 1 2 6 3 1 4 2 3 + ≥ − 0,3 ≥0 5 10 б) 5 10 1 ≥ x − 1 + 0,5(x + 3) x − 1 + 1,5 x + 4,5 − 3 ≤ 0 3 3
[a, b] будет число
37 40 x 5 +4 ≥0 10 2,5 x + 0,5 ≤0 3 =
4 1 a+b 5 x ≥ −4 . 2,5 x ≤ −0,5 − ≤ x ≤ − . Середина [a, b] – это 2 5 5
−
4 1 − 5 5 = − 1.
2
2
79. 3 − 7 x x + 1 7 − 8x + < 13 − 10 2 2 7(3 x − 5) + 4(17 − x ) > 18 − 5(2 x − 6 ) 2 130 − 3 + 7 x + 5 x + 5 − 35 + 40 x <0 10 21x − 35 + 68 − 4 x − 18 + 5 x − 15 > 0 52 x + 97 < 0 52 x + 97 < 0 10 11x > 0 22 x > 0
97 x < − 52 Решений нет. x > 0
80. x 3x − 1 2 − x x + 1 3 − 6 < 12 − 2 + 3 x > 5 x − 4 − 3 x − 1 − 2,5 10 5
4 x − 6 x + 2 − 2 + x + 6 x + 6 − 36 <0 12 5 x − 4 − 6 x + 2 − 25 − 10 x <0 10
73
5 x − 30 <0 12 5 x < 30 11x > −27 − 11x − 27 <0 10
x < 6 27 < x < 6. x > − 27 − 11 11
6 – наибольшее целое, удовлетворяющее системе. 81. 0,2 x > −1 а) x − 3 ≥ 1
−5 < x ≤ −3 .
Целые числа: –4, -3. 1 − 0,5 x ≥ 0
0,5 x ≤ 1 б) x + 5 x + 5 > 5 0 < x ≤ 2 ; 1, 2 1 − < −
5 x − 1 x 3x − 3 − 2 x x −3 <0 < 0 x < 3 2 < 3 6 6 в) x ≥ − 5 5x + 5 − 2x 3x + 5 x x + 1 ≥ ≥0 ≥ 0 3 2 2 5 10 5 − ≤ x < 3 –1, 0, 1, 2. 3 x − 1 x 5x − 5 − 4 x x−5 ≤ ≤0 ≤0 4 20 x ≤ 5 5 20 г) x > 3 3 < x ≤ 5 ; 4, 5. + 4 x x 4 12 7 − 3 − 12 − x x x > >0 >0 21 3 7 21
82. x − 1 ≤ 2 − 2 ≤ x − 1 ≤ 2 а) x − 4 ≥ 5 x − 4 ≥ 5, x − 4 ≤ −5 −1 ≤ x ≤ 3 x ≥ 9, x ≤ −1 x = −1 ;
x -1
3
9
x − 5 ≤ 3 − 3 ≤ x − 5 ≤ 3 б) x − 4 ≥ 2 x − 4 ≥ 2, x − 4 ≤ −2 2 ≤ x ≤ 8 x ≥ 6, x ≤ 2 x = 2,
x
6 ≤ x ≤8;
2
6
8
x + 5 < 3 − 3 < x + 5 < 3 в) x − 1 ≥ 4 x − 1 ≥ 4, x − 1 ≤ −4 −8 < x < −2 x ≥ 5, x ≤ −3 -8 < x ≤ −3 74
x -8
-3
-2
5
x − 3 < 5 − 5 ≤ x − 3 ≤ 5 г) x + 2 ≥ 1 x + 2 ≥ 1, x + 2 ≤ −1 −2 < x < 8 x ≥ −1, x ≤ −3 -1 ≤ x < 8
x
-3
2
-1
8
83. 2 x + 4 < 6 − 6 ≤ 2 x + 4 ≤ 6 а) 3 − 2 x > −1 4 > 2 x
x
−10 < 2 x < 2 −5 < x < 1 x < 2 x < 2 -5 < x < −1
-5
1
2
5 x + 4 < 29 5 x < 25 б) 5 x − 4 ≥ 21 5 x − 4 ≥ 21, 5 x − 4 ≤ −21
x
x < 5 x ≥ 5, x ≤ − 17 5
x≤−
−17 5
5
17 5 3x + 1 < 10 − 10 < 3x + 1 < 10 4 x + 3 < 11 4 x < 8
в) −
-
11 3
2
x
3
11 − 11 < 3x < 9 − < x < 3 x < 2 3 x < 2
11 < x < −2 ; 3 2 x − 1 < 7 2 x < 8 г) 2 x − 3 ≥ 9 2 x − 3 ≥ 9, 2 x − 3 ≤ −9
x -3
4
6
x < 4 x ≥ 6, x ≤ −3 x ≤ −3 .
84. 3 x − 2 < 7 − 7 < 3 x − 2 < 7 − 5 < 3 x < 9 x > 2, x < −2 x >2 x 2 > 4
а)
5 − < x < 3 3 x > 2, x < −2
x 75
-2
5 − 3
2
3
2< x<3 x 2 < 25 x <5 −5 < x < 5 x ≥ 1, x ≤ −2 2 x + 1 ≥ 3 2 x + 1 ≥ 3, 2 x + 1 ≤ −3
б)
x
-5
-2
1
5
−5 < x ≤ −2, 1 ≤ x < 5 ; 2 x − 4 > 0 2 x − 4 ≠ 0 x ≠ 2 x <6 − 6 < x < 6 2 x < 36
в)
x
2 < x < 6, - 6 < x < 2
-6
x 2 ≥ 1 x ≥1 5 x − 1 < 29 − 29 < 5 x − 1 < 29
г)
x ≥ 1, x ≤ −1 − 28 < x < 6 5 28 − < x ≤ −1, 1 ≤ x < 6 5
85. x < 3 а) x > p
2
6 x
−
28 5
-1
1
x 3
р
р
Изобразим на рисунке различные положения точки p Видно, что при р < 3 решения есть. При р ≥ 3 решений нет. x ≤ 7 б) 7 р x ≥ p При р > 7 решений нет. При р ≤ 7 решения есть. x≤5 в)
x > p
При р ≥ 5 решений нет. При р ≤5 решения есть.
76
6
р
5
x р
x р
x ≤ p г) x ≥ 2 При р ≥ 2 решения есть. При р < 2 решений нет.
x p
2
p
86. x > 3 x > p ;
а) р = 5; б) Таких р нет. в) р ≤ 3. Ответ в задачнике не верен. г) Таких р нет. 87.
( p − 2)x 2 − ( p − 4)x + (3 p − 2) > 0 а) 1. Неравенство не имеет решений, если первый (старший) коэффициент отрицателен и дискриминант меньше либо равен 0. 2. Оно также может не иметь решений, если и первый и второй коэффициент равны 0, а свободный член меньше либо равен 0. p − 2 < 0 ⇔ 2 ( p − 4 ) − 4( p − 2)(3 p − 2 ) ≤ 0
1.
p − 2 < 0 2 2 p − 8 p + 16 − 12 p + 16 p − 16 ≤ 0
p < 2 p < 2 p p − 8 ≥ 0 2 − 11 + 8 ≤ 0 p p 11
x 0
p < 2 8 ≤ p<2; p ≥ 8 , p ≤ 0 p ≤ 0, 11 11 p − 2 = 0 Решений нет. 2. p − 4 = 0 3 p − 2 ≤ 0
8 11
2
Итак p ≤ 0,
8 ≤ p<2 11
б) 1. Неравенство выполняется при любых х, если первый коэффициент положителен и дискриминант отрицателен. 2. Неравенство выполняется при любых х, если и первый и второй коэффициент нулевые, а свободный член положителен. p > 2 p > 8 , 11
p −2 > 0 2 − 11 p + 8 p < 0
1.
p<0
x 0
8 11
2
77
p>2 p − 2 = 0
2. p − 4 = 0
Решений нет.
3 p − 2 > 0
Итак, p > 2. Ответы решебника неверны.
§ 4. Домашняя контрольная работа ВАРИАНТ 1.
4 − 27 − 15 < 3 2 x 2 3 18 1. 5 x < 3 + , x = −3 , − 15 < 3 − , 9 2 − 15 < − 23 - верно. 9 2 6
Является. 6 2 − 3x , ≤ 7 14 70 x + 12 − 2 + 3 x ≤ 0, 14 3. 2 x + 4 ≤ 7 ,
2. 5 x +
73 x + 10 10 ≤ 0, x ≤ − . 14 73
− 7 ≤ 2 x + 4 ≤ 7, − 11 ≤ 2 x ≤ 3, −
11 3 ≤x≤ ; 2 2
4. Выражение определено, если D = 1 + 15 = 16; 4 −1 + 4 3 −1− 4 x1 = = ; x2 = = −1; 5 5 5 3 3 5 x − (x + 1) ≥ 0, x − (x + 1) ≥ 0 5 5 3 x ≥ , x ≤ −1. 5
5 x 2 + 2 x − 3 ≥ 0,
5.
+
–
+
–1
x
3 5
x 2 + 2,5 x − 18 x 2 + 2,5 x − 18 − 1,5 x + 6 x 2 + x − 12 > 1, > 0, >0 1,5 x − 6 1,5 x − 6 1,5(x − 4)
по теореме Виета: x1 = 3 x1 = −4
78
–
+
–4
–
3
+
4
x
(x − 3)(x + 4) > 0
x−4 x > 4, − 4 < x < 3 6. а) f (x ) > 0 2
1 3 9 x − ⋅ 2 x + (x − 5) (3x − 1) (2 x + 3)(5 − x ) > 0, 3 2 < 0, x(x − 1) x(x − 1) 2
2
1 3 x − ⋅ x + ( x − 5 ) 3 2 <0 x(x − 1) +
1 < x < 5, −
б) f (x ) ≥ 0
–
3 <x<0 2
−3 2
+
0
+
–
1
1 3
+
x
+
x
5
(3x − 1)2 (2 x + 3)(5 − x ) ≥ 0 x(x − 1) 2
1 3 x − ⋅ x + ( x − 5) 3 2 ≤0 x(x − 1) +
1 < x ≤ 5, −
в) f (x ) < 0
–
−3 2
3 ≤ x<0; 2
+
0
+
–
1
1 3
5
2
1 3 x − ⋅ x + ( x − 5 ) (3x − 1)2 (2 x + 3)(5 − x ) < 0, 3 2 >0 x(x − 1) x(x − 1) +
–
−3 2
+
0
+
1 3
–
1
+
x
5
3 1 1 x<− , 0<x< , < x < 1, x > 5 2 3 3 г) f (x ) ≤ 0
79
2
1 3 x − ⋅ x + ( x − 5 ) (3x − 1) (2 x + 3)(5 − x ) ≤ 0, 3 2 ≥0 x(x − 1) x(x − 1) 2
+
–
+
−3 2
0
+
–
+
1
1 3
x
5
3 1 1 , 0< x< , < x < 1, x ≥ 5 2 3 3 3− x 3x + 2 > 2− 7. 4 2 4(5 − x ) ≤ 5 x − x 2 x≤−
3x + 2 − 8 + 6 − 2 x >0 4 2 20 − 4 x ≤ 5 x − x
x >0 x > 0 4 2 x − 9 x + 20 ≤ 0 (x − 5)(x − 4 ) ≤ 0
по теореме Виета:
+
x1 = 5 x1 = 4
x > 0 4 ≤ x ≤ 5 4≤ x≤5
x 0
4
–
4
+
x
5
5
−5 + 9 2 x 2 + 5 x − 7 > 0 x1 = =1 4 D = 25 + 56 = 81 8. 3 x − 4 7 −5−9 2x + 6 ≤ 1 x2 = =− 4 2 7 2(x − 1) x + > 0 2 3x − 4 − 2 x − 6 ≤ 0 2x + 6 7 x > 1, x < − 2 x − 10 ≤0 2(x + 3) 7 x > 1, x < − 2 − 3 < x ≤ 10 1 < x ≤ 10.
80
+
–
− +
x
+
x
1
7 2 –
–3
+
10 x
−7 2
–3
1
10
5 + 3x ≤ −1 4 −12 ≤ 5 + 3x ≤ −4 17 − ≤ x ≤ −3 3 2 x − 11 19 − 2 x + < 2x 2 10. 4 2 x + 15 > 1 (x − 1) + x 9 5 3
9. − 3 ≤
−10 x + 27 <0 10 x > 27 4 − 14 x + 84 14 x < 84 >0 45 2,7 < x < 6
2 x − 11 + 38 − 4 x − 8 x <0 4 10 x + 75 − 9 x + 9 − 15 x >0 45 27 x > = 2,7 10 x < 6
Целые 3, 4, 5. ВАРИАНТ 2. 3 ⋅ 0,5 + 7,8 1. ≥ 2 ⋅ 0,5; 2 12,3 ≥ 2 — верно.
3 x + 7,8 4,5 + 7,8 ≥ 2 x; x = 0,5 ; ≥1; 2 2
Является. 11x + 8 8 4 − 5x x x + 16 − 8 + 10 x ≥ 0, ≥ 0, 8 + 11x ≥ 0, x ≥ − ≤ 2+ ; 4 8 8 8 11 3. 4 − 3x ≥ 6
2.
4 − 3x ≥ 6, 4 − 3x ≤ −6 3x ≤ −2, 3x ≥ 10 2 10 x≤− , x≥ . 3 3
4. Выражение определено, если 8 x − 15 x 2 − 1 ≥ 0; 15 x 2 − 8 x + 1 ≤ 0 D = 16 − 15 = 1 4 4 +1 1 4 −1 1 x1 = = ; x2 = = 15 3 15 5 1 1 15 x − x − ≤ 0 3 5 1 1 ≤x≤ 5 3
5.
+
–
1 5
+
x
1 3
x2 − 2 x − 8 x 2 − 4,5 x − 3 x 2 − 4,5 x − 3 + 2,5 x − 5 ≤1; ≤0; ≥ 0, 5 − 2,5 x − 2,5(x − 2 ) x−2 81
по теореме Виета: x1 = 4 x2 = −2
x−2 −2 ≤ x < 2,
6. а) f (x ) > 0
+
–
(x − 4)(x + 2) ≥ 0
−2
– 2
+
х
4
x≥4 2
3 1 x − ⋅ x + (x − 3) 2 3 <0 x(x − 2 )
(2 x − 3) (3x + 1)(x − 3) > 0; x(2 − x ) 2
+
–
−
+
+
0
1 3
–
2
3 2
+
x
3
1 < x < 0, 2 < x < 3 3 б) f (x ) ≥ 0 −
2
3 1 x − ⋅ x + (x − 3) (2 x − 3)2 (3x + 1)(x − 3) ≥ 0; 2 3 ≤0 x(2 − x ) x(x − 2 ) +
2 < x ≤ 3, −
в) f (x ) < 0
1 ≤x<0; 3
–
−
+
0
1 3
+
–
+
2
3 2
3
2
3 1 x − ⋅ x + (x − 3) (2 x − 3) (3x + 1)(x − 3) < 0; 2 3 >0 x(2 − x ) x (x − 2 ) 2
+
–
−
1 3
+
0
+
3 2
3 3 1 < x < 2, 0 < x < , x < − 2 2 3 г) f (x ) ≤ 0 x > 3,
82
–
2
+
3
x
x
x− (2 x − 3) (3x + 1)(x − 3) ≤ 0; x(2 − x ) 2
+
–
−
1 3
2
3 1 ⋅ x + (x − 3) 2 3 ≥0 x(x − 2 ) +
0
+
3 2
–
+
2
x
3
1 x ≤ - , 0 < x < 2, x ≥ 3. 3 5 − 2 x 3x + 5 9 x + 15 + 6 − 10 + 4 x ≤ +1 ≥0 7. 3 2 6 2 2 4 x ≥ 2(x − 4 ) + x x + 2x − 8 − 4x ≤ 0 13x + 11 ≥0 6 x 2 − 2x − 8 ≤ 0 x1 = 4 x 2 = −2
+
–
–2
+
x
4
13x + 11 ≥ 0 (x − 4 )(x + 2) ≤ 0 11 x ≥ − 13 − 2 ≤ x ≤ 4 11 − ≤x≤4 13
x –2
−11 13
3 x 2 − 7 x − 10 ≤ 0 D = 49 + 120 = 169 = 13 2 > 3 2 − 3x 7 + 13 10 x1 = = 6 3 7 − 13 x2 = = −1 6 10 10 3 x − (x + 1) ≤ 0 − 1 ≤ x ≤ + – 3 3 11x − 7 2x −1 − 6 + 9x > 0 >0 − 1(3x − 2 ) –1 2 − 3x
4
8. 2 x − 1
+
x
10 3
83
10 − 1 ≤ x ≤ 3 7 x− 11 >0 x− 2 3 7 2 <x< 11 3
10 −1 ≤ x ≤ 3 7 2 <x< 11 3
+
–
7 11
+
x
2 3
x −1
17 2 10 11 3 3 4x − 7 9. 2 ≤ ≤4 5 10 ≤ 4 x − 7 ≤ 20 17 ≤ 4 x ≤ 27 17 27 ≤x≤ 4 4 x+5 x −1 2x + 3 x − + < 2− , 2 3 6 2 10. 1 − x + 5 + 4 − x < 3 x − x + 1 8 2 4
3x − 3 − 4 x − 6 + x − 12 + 3x + 15 <0 6 8 − x − 5 + 16 − 4 x − 24 x + 2 x + 2 <0 8
3x − 6 <0 6 3 x < +6 3x − 6 < 0 − 27 x + 21 − 27 x + 21 < 0 27 x > 21 <0 8 7 <x<2 9
Целое: 1.
84
x < +2 x > 7 9
ГЛАВА 2. Системы уравнений § 5. Основные понятия 88.
а) 2 x + y = 5 — является (по определению); б)
3 2
x +y
2
−
x 2
y −1
= 7 xy — не является (по определению);
в) x 2 + ( y − 5)2 = 100 — является (по определению); г)
12 12 + = 1 — является (по определению). x y
89. а) -2⋅2 + 1 = 5 — неверно. б) 3⋅4 – 1 = 1 — неверно. в) 5⋅4 – 1 = 19 — верно. г)
2 + 2 = −1 — неверно. 1
Не является. Не является. Является. Не является.
90.
а) 3⋅3 + 1 = 4 б) 9 - 2⋅1 = 1 — неверно. в) 5⋅27 – 1 = 134 — верно. г)
3 + 2 = −1 — неверно. 1
Не является Не является Является Не является
91. 2
2x − y 2 = 1
а) (1; 1);
(
)
2⋅1 – 1 = 1 — верно. Эта пара является решением.
( )
б) 2; 7 ; 2 ⋅ 4 − 7 1 2
в) ;4 ;
2⋅
2
= 1 — верно. Эта пара является решением.
1 − 16 = 1 — неверно. Эта пара не является 4
решением. г)
( 3; 5 ) ; 2 ⋅ ( 3 ) − ( 5 ) 2
2
= 1 — верно. Эта пара является решением.
92.
а) 2x + 3y = 6
85
б) 4x – 5y = 20
в) 6x – y = 12
г) 7x + 2y =14
93.
а) 2y – x2 = 0
в) y +
86
x2 =0 3
б)
3 −y=0 x
г)
1 y − =0 x 4
94.
а) x 2 + y 2 = 25
б) x 2 + y 2 = 9
в) x 2 + y 2 = 4
г) x 2 + y 2 = 1
87
95.
а) (x + 1)2 + ( y − 3)2 = 25 , (x − (− 1))2 + ( y − 3)2 = 5 2 . Центр (–1; 3). Радиус 5. б) (x + 5)2 + ( y + 7 )2 = 1 , (x − (− 5))2 + ( y − (− 7 ))2 = 12 . Центр (–5; –7). Радиус 1.
( )
2
в) (x − 10)2 + ( y + 1)2 = 17 , (x − 10)2 + ( y − (− 1))2 = 17 . Центр (+10; –1). Радиус 17 . г) (x − 4)2 + ( y − 5)2 = 144 , (x − 4)2 + ( y − 5)2 = 122 . Центр (4; 5). Радиус 12. 96.
а) ( x + 2) 2 + ( y + 1)2 = 16
б) ( x − 3) 2 + ( y + 5)2 = 1
в) ( x − 4) 2 + ( y − 1)2 = 9
г) ( x + 1)2 + ( y − 3) 2 = 4
88
97.
а) x 2 + ( y − 3) 2 = 36
б) ( x + 2)2 + y 2 = 9
в) x 2 + ( y + 6)2 = 4
г) ( x − 4) 2 + y 2 = 25
98.
а) (x − 0)2 + ( y − 0)2 = 5 2 , x 2 + y 2 = 25 ; б) (x − 0)2 + ( y − 0)2 =
( 3) , 2
1 2
x2 + y2 = 3 ;
2
в) (x − 0)2 + ( y − 0)2 = , x 2 + y 2 =
1 ; 4
г) (x − 0)2 + ( y − 0)2 = 1 , x 2 + y 2 = 1 . 89
Если (a, b) – центр и R – радиус, то уравнение имеет вид: ( x − a )2 + ( y − b ) 2 = R 2 ; а) (x − 1)2 + ( y − 2)2 = 9 ; б) (x − (− 3))2 + ( y − 8)2 = 112 , (x + 3)2 + ( y − 8)2 = 121 ; в) (x − 0)2 + ( y − (− 10))2 = 7 2 , x 2 + ( y + 10)2 = 49 ; г) (x − (− 5))2 + ( y − (− 2))2 = 4 2 , (x + 5)2 + ( y + 2)2 = 16 . 100.
а) Окружность с центром (0; 0). Радиус ее 2.
(x − 0)2 + ( y − 0)2 = 22 ,
x2 + y 2 = 4
б) Окружность с центром (0; 0). Радиус ее
(x − 0 ) + ( y − 0 ) 2
2
=
( 3) , 2
2
3.
2
x +y =3
в) Окружность с центром (0; 0). Радиус 1,5.
(x − 0)2 + ( y − 0)2 = (1,5)2 ,
x 2 + y 2 = 2,25
г) Окружность с центром (0; 0). Радиус
(x − 0)2 + ( y − 0)2 = 1 2
2
, x2 + y2 =
1 . 2
1 . 4
101.
а) Окружность с центром (–2; 2). Радиус 1.
(x − (− 2))2 + ( y − 2)2 = 1, (x + 2)2 + ( y − 2)2 = 1
б) Окружность с центром (–3; –1). Радиус 2.
(x − 3)2 + ( y − (− 1))2 = 22 , (x − 3)2 + ( y + 1)2 = 4
в) Окружность с центром (1; 4). Радиус 2.
(x − 1)2 + ( y − 4)2 = 22 , (x − 1)2 + ( y − 4)2 = 4
г) Окружность с центром (–3; –2). Радиус 1.
(x − (− 3))2 + ( y − (− 2))2 = 12 , (x + 3)2 + ( y + 2)2 = 1 102.
а) Окружность с центром (0; –2). Радиус 2.
(x − 0)2 + ( y − (− 2))2 = 22 ,
x 2 + ( y + 2 )2 = 4
б) Окружность с центром (–3; 0). Радиус 3.
(x − (− 3))2 + ( y − 0)2 = 32 , (x + 3)2 + y 2 = 9
в) Окружность с центром (0; 3). Радиус 3.
(x − 0)2 + ( y − 3)2 = 32 ,
x 2 + ( y − 3)2 = 9
г) Окружность с центром (1; 0). Радиус 1. 90
(x − 1)2 + ( y − 0)2 = 12 , (x − 1)2 + y 2 = 1 Опечатка в ответе учебника. 103.
(2; 3) 4 + 9 = 13 а) – верны оба уравнения.
Является
4+3= 5 б)
Не является
2 ⋅ 2 + 3 = 7 3 ⋅ 2 − 1 = 3
– неверны оба уравнения.
4 + 3 ⋅ 3 = 13 в) – второе неверно. 3 + 2 = 1
Не является
4+9 = 4 г) – первое неверно.
Не
10 − 6 = 4
является 104. x + y 2 = 1 y − 2x = 1 2
0 +1 = 1 а)
1 − 2 ⋅ 0 = 1
– оба верны.
Является 1+1 = 1 б) – первое неверно. − 1 − 2 ⋅ (− 1) = 1
Не
является 1+ 0 = 0 в)
0 − 2 ⋅1 = 1
– второе неверно.
Не
– оба неверны.
Не
является 1+1 = 1 г)
1 − 2 ⋅ 0 = 1
является 105.
а)
б)
91
Ответ : (-1;3). в)
Ответ : (-3;6) ; (3;6). 3) .
Ответ : (-2;-1) ; (1;2) . г)
Ответ : (-3;5) ; (1;-
106.
а)
Ответ : (-3;1) ; (1;-3). (2;2). в)
92
б)
Ответ : (-1;-4) ; г)
Ответ : (-2;4) ; (4;-2). (2;3).
Ответ : (-2;-3) ;
107.
2 1 1 1 2 2 2 ; а) x + y = 1 2 x = 1 x = 2 , = y x y = x y = x 2 2 Два решения.
− 1 ,− 1 2 2
y = 2x −1 y = 2x −1 2 2 2 2 − 1 + + 2 = 9 ( x ) ( y ) (x − 1) + (2 x − 1 + 2) = 9 y = 2x −1 y = 2x −1 2 2 2 x x x x − 2 + 1 + 4 + 4 + 1 = 9 5 x + 2 x − 7 = 0
б)
D = 1 + 35 = 36 = 6 2 4 −1+ 6 5 = =1 x1 = 5 5 −1− 6 7 x2 = =− 5 5
Нашли два значения х, для каждого есть соответствующее y. 2 решения. x 2 + y 2 = 4 y = (x − 1)2
в)
2 x 2 − 2 x + 1 = 4 y = (x − 1)2
x 2 + (x − 1)2 = 4 y = (x − 1)2
2 x 2 − 2 x − 3 = 0 D 2 = 1+ 6 = 7 > 0 y = (x − 1) 4
Так как D > 0, то существует два различных х и соответствующее y для каждого. Два решения. (x + 2 )2 + ( y − 2 )2 = 1 y = x + 1
г)
Построим графики для обоих уравнений 93
Нет точек пересечения, следовательно нет решений. 108.
а)
Ответ : (-1;0) . б)
Ответ : (1;1) (1; –5). г)
Ответ : (2;2) . 94
в)
Ответ : (0;-1) ; (6;-1).
109.
Точка пересечения – точка, координаты которой удовлетворяют уравнениям обеих кривых. x 2 + y 2 = 36 y = x 2 + 6
а)
x 4 + 13 x 2 + 36 = 36 y = x 2 + 6
x 2 = 0 2 x + 13 = 0 2 y = x + 6
(
)
2 2 x + x 2 + 6 = 36 y = x 2 + 6
(
)
x 2 x 2 + 13 = 0 y = x 2 + 6
x 2 = 0 2 x = −13 - решений нет. 2 y = x + 6
Точка пересечения (0; 6); x 2 + y 2 = 16 y 2 = 16 − x 2 2 2 2 2 (x − 2 ) + y = 36 (x − 2) + 16 − x = 36
б)
y 2 = 16 − x 2 y 2 = 16 − x 2 x − 4 + 20 = 36 x = −4 y 2 = 0 Точка пересечения (-4; 0). x = −4
110.
а)
б)
в)
г)
95
111.
а)
б)
в)
г)
112.
а)
в) 96
б)
г)
113.
а)
б)
в)
г)
114. y − x 2 = 0 а) y = x
Точки пересечения (0; 0), (1; 1)
97
x 2 + y 2 = 4 y = 0,5 x 2 + 2
б)
Точка пересечения (0; 2)
x 2 + 4 x − y = 1 y = x + 2 − 5
в)
Точки пересечения (-2;-5), (–1;– 14). Опечатка в ответе задачника. x + y = 4 2 2 x + y = 1
г)
Решений нет.
115. 2 2 а) (x − 2 ) + ( y − 3) = 4 2 y = 6 − 2 x
Решения (0; 3), (2; 1)
98
2 x = y − 2 2 2 (x + 3) + ( y − 2) = 1
б)
Решений нет.
2 2 в) (x + 1) + ( y − 1) = 9
y +1 = x
Решения (2; 1), (-1; -2)
2 2 г) (x − 1) + ( y + 4) = 16
x + y = 1
Решения (1; 0), (5; -4)
116. y = x а) 2 x + y = 2
Решения (-1; -1), (1; 1)
x 2 + y 2 = 1 y = x − 1
б)
Решения (-1; 0), (0; -1); (1; 0).
99
x 2 − y = 3 − 2 x y = x + 1 − 4
x 2 + y 2 = 9 y = x − 3
в)
г)
y = x 2 + 2 x − 3 y = x + 1 − 4
Решения (-2; -3), (-1; -4), (0; -3) 0)
Решения (0; -3), (-3; 0), (3;
117. 2 Подставим (1; -2) в уравнения: p − 2 = 2
p2 = 4 1 + 4 = p + 3 p = 2
При p = 2 . 118. y − x2 = 4 y + px = 4
y = x 2 + 4 y = x2 + 4 2 x + 4 + px = 4 x(x + p ) = 0
Для того, чтобы система имела одно решение, второе уравнение должно иметь одно решение. Оно имеет решения х = 0 и х = -р. Чтобы они совпали, р должно быть равно 0. р = 0. 119. x 2 + y 2 = 4 y − x 2 = p
x 2 + y 2 = 4 y = x 2 + p
Рассмотрим графики обоих уравнений. 100
График первого – окружность с центром (0; 0) и радиусом 2. График второго – парабола y = x 2 , сдвинутая вверх на величину р. а) Для того, чтобы было 3 решения, парабола должна иметь вершину в точке (0; -2). То есть р = –2. б) Для того, чтобы было 1 решение, парабола должна касаться окружности. Это может быть только если ее вершина – (0; 2). То есть р = 2.
§ 6. Методы решения систем уравнений 120. y = x −1 y = x −1 а) 2 2 2 26 x − y = x − 2 x − 24 = 0 по теореме Виета: x1 = 6 ; x2 = −4
y = x −1 x = 6, x = 4
Решения (6; 5), (-4; -5). x = y 2 2 x + y = 6 y + y − 6 = 0
2 б) x = y
по теореме Виета: x1 = 2 ; x2 = −3 x = y 2 y = 2, y = −3
Решения (4; 2), (9; -3). x = y + 3 x = y + 3 x = y + 3 x = y + 3 2 2 2 y − 2 x = 9 y − 2 y − 6 = 9 y − 2 y − 15 = 0 y = 5, y = −3 y1 = 5 ; y2 = −3
в)
Решения (8; 5), (0; -3). y = x 2 y = x 2 2 2 x − y = 6 x − x + 6 x − x − 6 = 0 по теореме Виета: x1 = 3; x2 = −2 2 г) y = x
Решения (-2; 4), (3; 9). 121. y − y 2 = −2 y 2 − y − 2 = 0 x = 1 − y x = 1 − y по теореме Виета: y1 = 2 ; y2 = −1
xy = −2 а) x + y = 1
101
y = 2, y = −1 x = 1 − y
Решения (-1; 2), (2; –1). 2 2 2 б) 5 x + 2 y = −3 5( y + 5) + 2 y = −3 5 y + 52 y + 128 = 0
x − y = 5
x = y + 5
x = y + 5
D = 262 − 5 ⋅ 128 = 676 − 640 = 36 4 − 26 + 6 − 26 − 6 32 y1 = = −4 ; y2 = =− = −6,4 5 5 5 y = −4, y = −6,4 Решения (1; -4), (-1,4; -6,4). x = y + 5 x = 11 − 3 y x + 3 y = 11 x = 11 − 3 y 2 2 2 x y y y − + = 2 + = 14 22 6 14 y − 6y + 8 = 0
в)
y1 = 4 y2 = 2
x = 11 − 3 y y = 2, y = 4
Решения (5; 2), (-1; 4). x + y = 8 x = 8 − y г)
xy = 12
(8 − y )y = 12
x = 8 − y 2 y − 8 y + 12 = 0
по теореме Виета: y1 = 6 ; y2 = 2` x = 8 − y y = 2, y = 6
Решения (6; 2), (2; 6). 122. y 2 − xy = 12 а) 3 y − x = 10
y 2 − (3 y − 10 ) y = 12 x = 3 y − 10 по теореме Виета: y1 = 3 ; y2 = 2`
y2 − 5 y + 6 = 0 x = 3 y − 10
y = 2, y = 3 x = 3 y − 10
Решения (-4; 2), (-1; 3). 2 2 б) 2 x − y = 32
2 x − y = 8
2 x 2 − (2 x − 8)2 = 32 y = 2x − 8
по теореме Виета: x1 = 12 ; x2 = 4` x = 4, x = 12 y = 2x − 8
Решения (4; 0), (12; 16). 102
x 2 − 16 x + 48 = 0 y = 2x − 8
2 x 2 − x(4 x − 17 ) = 33 y = 4 x − 17
2 в) 2 x − xy = 33
4 x − y = 17 D = 289 − 264 = 25 17 + 5 11 17 − 5 x1 = = ; x2 = =3 4 2 4 11 11 x = , x = 3 Решения ( ; 5), (3; -5). 2 2 y = 4 x − 17
2 x 2 − 17 x + 33 = 0 y = 4 x − 17
2 2 2 2 2 г) x − y = 24 (2 y + 7 ) − y = 24 3 y + 28 y + 25 = 0
2 y − x = −7
x = 2 y + 7
x = 2 y + 7
D = 196 − 75 = 121 = 112 4 −14 + 11 −14 − 11 25 y1 = = −1 ; y2 = =− 3 3 3 25 y = −1, y = − 3 x = 2 y + 7
29 25 ;− 3 3
Решения (5; -1), −
123. x 2 + xy − y 2 = 11 (2 y + 1)2 + (2 y + 1) y − y 2 = 11 y 2 + y − 2 = 0 а) x − 2 y = 1 x = 2 y + 1 x = 2 y +1 по теореме Виета: y1 = 1 ; y2 = −2
y = 1, y = −2 x = 2 y + 1
Решения (3; 1), (-3; -2). 2 2 б) xy + y + x − 3 y = 15 y (− y + 5) + y − y + 5 − 3 y = 15
x + y = 5
y = 10 x = − y + 5
x = − y + 5
y = 10 x = −5
Решение (-5; 10). 2 2 2 в) x + xy − x − y = 2 x + x(x − 2 ) − x − x + 2 = 2 2 x − 4 x = 0 y = x − 2
y = x − 2
y = x − 2
x = 0, x = 2 y = x − 2
Решения (0; -2), (2; 0). 103
2 2 2 г) x + y + 3 xy = −1 y = 1
x + 2 y = 0
y = 1, y = −1 x = −2 y x = −2 y
Решения (-2; 1), (2; -1). 124. 1 1 5 + = а) x y 6 2 y − x = 1
− 10 y 2 + 23 y − 6 =0 6 y (2 y − 1) x = 2 y − 1
1 5 1 + = 2 y −1 y 6 x = 2 y − 1
Решим первое уравнение. 2 10 y 2 − 23 y + 6 = 0 ⇔ 10 y − 23 y + 6 = 0 6 y (2 y − 1) 6 y (2 y − 1) ≠ 0
D = 529 − 240 = 289 23 + 17 23 − 17 y1 = = 2 ; y2 = = 0,3 20 20 y = 2, y = 0,3 6 y (2 y − 1) ≠ 0 ⇔ y = 2, y = 0,3 Для y = 2, x = 2 ⋅ 2 − 1 = 3 Для y = 0,3, x = 2 ⋅ 0,3 − 1 = −0,4
Решения (3; 2), (-0,4; 0,3). x + y = 6 б) 1 − 1 = 1 x y 4
y = 6 − x 1 − 1 = 1 x 6 − x 4
Решим второе уравнение.
y = 6 − x 2 − x + 14 x − 24 =0 4 x (x − 6 )
2 x 2 − 14 x + 24 = 0 ⇔ x − 14 x + 24 = 0 4 x(x − 6 ) 4 x ( x − 6 ) ≠ 0 по теореме Виета: x1 = 12 ; x2 = 2 x = 2, x = 12 4 x(x − 6) ≠ 0 ⇔ x = 2, x = 12 Для x = 2, y = 6 − 2 = 4 Для x = 12, y = 6 − 12 = −6
Решения (2; 4), (12; -6). Ответ в задачнике неверен. 1 1 1 − = в) y x 3 x − 2 y = 2
1 1 1 − =0 − y 2( y + 1) 3 x = 2( y + 1)
Решим первое уравнение. 2 2y2 − y − 6 = 0 ⇔ 2 y − y − 6 = 0 6 y ( y + 1) 6 y ( y + 1) ≠ 0
104
− 2 y2 + y + 6 =0 6 y ( y + 1) x = 2( y + 1)
D = 1 + 48 = 49 ; y1 =
1+ 7 1− 7 3 = 2 ; y2 = =− 4 4 2
3 3 y = 2, y = − 2 ⇔ y = 2, y = − 2 6 y ( y + 1) ≠ 0 3 Решения (6; 2), (-1; − ). 2 4 12 3 + =1 − г) x xy y x − y = 1
12 3 4 − + =1 y + 1 y ( y + 1) y x = y + 1
Решим первое уравнение:
7y − 9 − y2 − y =0 y ( y + 1) x = y + 1
2 2 − y2 + 6y − 9 = 0 ⇔ − y + 6 y − 9 = 0 − ( y − 3) = 0 ⇔ y = 3 y ( y + 1) y ( y + 1) ≠ 0 y ( y − 1) ≠ 0
Решение (4; 3). 125. a + b = 3 а) a − b = 1
Заменим первое уравнение суммой первого и второго. 2a = 4 a = 2 a − b = 1 b = a − 1
Решение (2; 1). a + 2b = 5 б)
− a + 7b = 13
Заменим второе уравнение суммой первого и второго. a + 2b = 5 a = 5 − 2b 9b = 18 b = 2
Решение (1; 2). 2a + 3b = 3 в) 2a − 3b = 9
Заменим первое уравнение суммой первого и второго. 4a = 12 a = 3 a = 3 2a − 3b = 9 6 − 3b = 9 b = −1
Решение (3; –1). 3a + 5b = 8 г)
− 3a + b = −2
Заменим первое уравнение суммой первого и второго.
105
6b = 6 b = 1 b = 1 − 3a + b = −2 − 3a + b = −2 a = 1
Решение (1; 1). 126. 40m + 3n = −10 а) 20m − 7n = −5
Умножим второе уравнение на (–2), заменим второе уравнение суммой первого и второго. 1 1 40m + 3n = −10 40m + 3n = −10 m = − 17n = 0 n = 0 4 Решение − ;0 . 4 n = 0
3m + 2n = 0,5 б) 2m + 5n = 4
3 2
Умножим второе уравнение на − , и заменим второе уравнение суммой первого и второго. 3m + 2n = 0,5 3m + 2n = 0,5 m = −0,5 Решение (−0,5;1) . − 11 n = −5,5 − 11n = −11 n = 1 2 5m + 2 n = 1 в)
15m + 3n = 3
Умножим первое уравнение на (–3), и заменим первое уравнение суммой первого и второго. n = 0 1 − 3n = 0 n = 0 15m + 3n = 3 15m = 3 m = 1 Решение ;0 . 5 5 7 4m + 7 n = 11 г) Умножим второе уравнение на
5m − 2n = 3 4m + 7 n = 11 35 m − 7 n = 21 2 2 Решение (1;1) .
2
4m + 7 n = 11 4m + 7 n = 11 n = 1 m = 1 43 m = 43 m = 1 2 2
127. x 2 + y 2 = 61 а) 2 x − y 2 = 11
Заменим первое уравнение суммой первого и второго. 106
2 x 2 = 72 2 x − y 2 = 11
x 2 = 36 x = ±6 36 − y 2 = 11 y = ±5
Решения (6; –5), (6; 5), (–6; –5), (–6; 5). 2 x 2 − y 2 = 41 2 x 2 + y 2 = 59
б)
Заменим второе уравнение суммой первого и второго. 2 x 2 − y 2 = 41 2 4 x = 100
2 x 2 − y 2 = 41 50 − y 2 = 41 y = ±3 x = ±5 2 x = 25 x = ±5
Решения (5; –3), (5; 3), (–5; –3), (–5; 3). x 2 − 3 y 2 = 22 x 2 + 3 y 2 = 28
в)
Заменим первое уравнение суммой первого и второго. 2 x 2 = 50 x 2 = 25 x = ±5 2 2 2 x + 3 y = 28 25 + 3 y = 28 y = ±1
Решения (5; –1), (5; 1), (–5; –1), (–5; 1). x 2 − 2 y 2 = 14 2 2 x + 2 y = 18
г)
Заменим первое уравнение суммой первого и второго. 2 x 2 = 32 2 x + 2 y 2 = 18
x 2 = 16 x = ±4 x = ±4 2 16 + 2 y 2 = 18 2 y = 2 y = ±1
Решения (4; –1), (4; 1), (–4; –1), (–4; 1). 128. x 2 y 2 + xy = 2 а) 2 x + y = 3
Введем переменную t = xy . Первое уравнение примет вид t 2 + t − 2 = 0 по теореме Виета: t1 = 1; t2 = −2 Решим по отдельности две системы xy = 1 2 x + y = 3 x(3 − 2 x ) = 1 y = 3 − 2x 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 y = 3 − 2x
xy = −2 2 x + y = 3 x(3 − 2 x ) = −2 y = 3 − 2x 2 x 2 − 3 x − 2 = 0 y = 3 − 2x 107
D = 9 + 16 = 25 3+5 x1 = =2 4 3−5 1 x2 = =− 4 2 1 x = 2, x = − 2 y = 3 − 2 x
D = 9−8 =1 3 +1 =1 x1 = 4 3 −1 1 = x2 = 4 2 1 x = 1, x = 2 y = 3 − 2 x 1 2
Решения (1; 1), ( ; 2), (2; –1), ( −
1 ; 4). 2
2 б) 3(x − y ) − 2(x − y ) = −2
2 x + 7 y = −5
Введем переменную p = x − y . Первое уравнение примет вид 3 p − 2 p 2 = −2 Решим его: 2 p2 − 3p − 2 = 0 D = 9 + 6 = 25 3+5 3−5 1 = 2 ; p2 = =− p1 = 4 4 2
Решим отдельно две системы: x − y = 2 2 x + 7 y = −5 x = y + 2 2 y + 4 + 7 y = −5 x = y + 2 9 y = −9
1 x − y = − 2 2 x + 7 y = −5 1 x = y − 2 2 y − 1 + 7 y = −5
x = y + 2 y = −1 x = 1, y = −1
1 x = y − 2 9 y = −4 x=−
17 4 ;− . 18 9
Решения (1; –1), − x
x
2
в) 5 y + y = 14 5 x + 3 y = 13
Введем новую переменную g = 108
x . y
17 4 , y=− 18 9
Первое уравнение примет вид: 5 g + g 2 = 14 ; g 2 + 5 g − 14 = 0 D = 25 + 56 = 81 −5+9 −5−9 g1 = = 2; g2 = = −7 2 2 x x То есть = 2 или = −7 y y
Решим отдельно две системы: x =2 y 5 x + 3 y = 13
x = −7 y 5 x + 3 y = 13
x = 2 y, y ≠ 0 10 y + 3 y = 13
x = −7 y, y ≠ 0 − 35 y + 3 y = 13 91 , y≠0 x= 32 y = − 13 32
x = 2, y ≠ 0 y = 1
91 13 ;− . 32 32
Решения (2; 1),
2 г) 4(x + y ) − 7(x + y ) = 15
5 x − 2 y = 1
Введем переменную p = x + y . Первое уравнение примет вид 4 p 2 − 7 p − 15 = 0 D = 49 + 240 = 289 = 17 2 7 − 17 5 7 + 17 p1 = = − ; p2 = =3 8 4 8 5 То есть x + y = − или x + y = 3 4
Решим отдельно две системы:
109
x + y = 3 5 x − 2 y = 1 x = 3 − y 15 − 5 y − 2 y = 1
5 x + y = − 4 5 x − 2 y = 1 5 x = − 4 − y 25 − − 5y − 2y = 1 4 5 x=− −y 4 − 7 y = 29 4
x = 1 y = 2
3 x=− 14 y = − 29 28
3 29 ;− , (1; 2). 14 28
Решения −
129. xy(x + y ) = 6 а) xy + (x + y ) = 5
Введем новые переменные p = xy и t = x + y . Система примет вид pt = 6 (5 − t )t = 6 p + t = 5 p = 5−t по теореме Виета: t1
5t − t 2 = 6 t 2 − 5t + 6 = 0 p = 5−t p = 5−t = 3; t2 = 2
при t = 3 : p = 5 − 3 = 2 при t = 2 : p = 5 − 2 = 3 x+ y =3 x+ y = 2 То есть (1) или (2)
xy = 2
xy = 3
Решим первую систему: x = 3 − y x + y = 3 x = 3 − y xy = 2 ⇔ (3 − y )y = 2 ⇔ 2 y − 3y + 2 = 0 по теореме Виета: y1 = 2 ; y2 = 1 при y = 3 : x = 3 − 2 = 1; при y = 1 : x = 3 − 1 = 2
Для первой системы решения (1; 2), (2; 1) Решим вторую систему: x = 2 − y x + y = 2 x = 2 − y xy = 3 ⇔ (2 − y )y = 3 ⇔ 2 y − 2y + 3 = 0
110
D = 1 − 3 = −2 < 0 Решений нет. 4
Решениями исходной системы будут решения системы (1). Решения (1; 2), (2; 1). 2 2 2 2 б) 3(x − y ) + 2(x + 2 y ) = 5 3(x − y ) + 2(x + 2 y ) = 5
2( x + 2 y ) − x + y = 1
2( x + 2 y ) − ( x − y ) = 1
Введем новые переменные p = x − y и t = x + 2 y . 2 2 2 2 2 Система примет вид: 3 p + 2t = 5 3(2t − 1) + 2t = 5 7t − 6t − 1 = 0
2t − p = 1 p = 2t − 1 3+ 4 3− 4 1 D = 9 + 7 = 16 ; t1 = = 1; t2 = =− 4 7 7 7 1 2 9 при t = 1 : p = 2 − 1 = 1; при t = − : p = − − 1 = − 7 7 7 9 x− y = − x − y = 1 7 То есть (1) или (2) x + 2 y = 1 x + 2 y = − 1 7
p = 2t − 1
Решим первую систему: x − y = 1 x = y + 1 x = 1 x + 2 y = 1 y + 1 + 2 y = 1 y = 0
Решим вторую систему: 9 x− y = − 7 x + 2 y = − 1 7
9 x= y− 7 y − 9 + 2y = − 1 7 7
9 x= y− 7 3 y = 8 7
19 x=− 21 y = 8 21
19 8 ; . 21 21
Решения: (1; 0), −
5(x + y ) + 4 xy = 32 в) xy (x + y ) = 12
Введем переменные t = x + y и p = xy . Система примет вид 5t + 4 p = 32 4 p = 32 − 5t pt = 12 pt = 12
5 p = 8 − 4 t 5 8 − t t = 12 4
5 p = 8 − 4 t 5 t 2 − 8t + 12 = 0 4
4 +1 D 4 − 1 12 = 16 − 15 = 1; t1 = = 4; t2 = = 5 5 4 5 4 4 111
5 12 12 5 ⋅ 4 = 3; при t = : p = 8− ⋅ = 5 5 5 4 4 12 x+ y = 4 Итак, имеем (1) или (2) x + y = 5 xy = 3 xy = 5 при t = 4 : p = 8 −
x + y = 4 x = 4 − y Решим систему (1):
(4 − y ) y = 3
xy = 3
x = 4 − y 2 y − 4y + 3 = 0
y1 = 3 y2 = 1
x = 4− y по теореме Виета:
y = 1, y = 3
Для y = 1 : x = 4 − 1 = 3 ; Для y = 3, x = 4 − 3 = 1 ; Решения системы (1) (3; 1), (1; 3) Решим систему (2): 12 x + y = 5 xy = 5 D=
12 x = 5 − y 12 − y y = 5 5
12 −y x= 5 y 2 − 12 y + 5 = 0 5
144 144 − 500 − 20 = <0 25 25
Решений нет. Решениями исходной системы будут решения системы (1). Решения: (3; 1), (1; 3). 2 г) 2(x + y ) + 3(x + 2 y ) = 5
3(x + 2 y ) − 2(x + y ) = 5 Введем переменные t = x + y и p = x + 2 y .
2 p 2 + 5 + 2 p = 5 2 2 Система примет вид: 2 p + 3t = 5 2 p + 3t = 5 5 2 3t − 2 p = 5
3t = 5 + 2 p
2 p ( p + 1) = 0 t = 5 + 2 p 3 3
t = 3 + 3 p
p = 0, p = −1 t = 5 + 2 p 3 3 5 5 5 2 при p = 0 : t = + 0 = ; при p = −1 : p = − = 1 3 3 3 3 x + y = 0 x + y = −1 То есть (1) 5 или (2) x + 2 y = 1 x + 2 y = 3 x + y = 0
− x − y = 0
Решим систему (1): 5 5 x + 2 y = x + 2 y =
112
3
3
Заменим второе уравнение суммой первого и второго − x − y = 0 y = 5 3
5 x = − 3 y = 5 3
x + y = −1 − x − y = 1 Решим систему (2):
x + 2 y = 1 x + 2 y = 1
Заменим второе уравнение на сумму первого и второго − x − y = 1 x = −3 y = 2 y = 2 5 5 Решения: − ; , (–3; 2). 3 3 130. x + y = 6 x + y = 6 x + y = 6 x + y = 6 а) 2 (x + y )(x − y ) = 12 6(x − y ) = 12 x − y = 2 2 x y − = 12
Заменим первое уравнение на сумму первого и второго 2 x = 8 x = 4 x − y = 2 y = 2
Решение: (4; 2). x = y + 1 x − y = 1 2 2 2 2 x + y = 5 ( y + 1) + y = 5
б)
x = y + 1 2 y + y − 2 = 0
по теореме Виета:
y1 = 1 y2 = −2
при y = 1 : x = 1 + 1 = 2 при y = −2, x = −2 + 1 = −1
Решения (2; 1), (–1; –2) x − y = 2 x − y = 2 x − y = 2 2 2 x − y = 8 (x − y )(x + y ) = 8 2(x + y ) = 8
в)
x − y = 2 x + y = 4
Заменим первое уравнение на сумму первого и второго 2 x = 6 x = 3 x + y = 4 y = 1
Решение (3; 1). x = 5 − y x + y = 5 2 2 2 2 x + y = 17 (5 − y ) + y = 17 x = 5 − y y1 = 4 по теореме Виета: 2 y − 5 y + 4 = 0 y2 = 1
г)
113
при y = 1 : x = 5 − 1 = 4 при y = 4, x = 5 − 4 = 1
Решения (1; 4), (4; 1). 131. x 2 − y 2 = 3 а) 4 4 x − y = 15
x 2 − y 2 = 3 2 x − y 2 x 2 + y 2 = 15
(
)(
)
x − y = 3 x − y = 3 x = 3 + y 2 x 2 = 3 + y 2 2 3 x + y 2 = 15 x 2 + y 2 = 5 2 y 2 + 3 = 5 y 2 = 1 2
2
(
)
2
2
2
x = 4 x = ±2 2 y = 1 y = ±1 2
Решения (2; 1), (2; –1), (–2; 1), (–2; –1). x 2 − 2 y 2 = 1 x 2 = 2 y 2 + 1 2 2 4 4 4 x + 3 y = 129 2 y + 1 + 3 y = 129
б)
(
)
x 2 = 2 y 2 + 1 4 7 y + 4 y 2 − 128 = 0 - биквадратное уравнение. D = 4 + 896 = 900 4 − 2 + 30 y2 1 = =4 7 − 2 − 30 32 y2 2 = =− , чего быть 7 7 не может, тт.к y 2 ≥ 0
( ) ( )
x 2 = 2 y 2 + 1 y 2 = 4
Итак
x 2 = 9 x = ±3 2 y = 4 y = ±2
Решения (3; 2), (3; –2), (–3; 2), (–3; –2). 2 3 y 2 + 15 x = 2 x 2 − 3 y 2 = 15 2 2 в) 4 2 4 x − y = 80 3 y + 15 − y 4 = 80 2 2 3 y 2 + 15 x = 2 4 2 9 y + 90 y + 225 − y 4 = 80 4
114
2 3 y 2 + 15 x = 2 4 2 4 9 y + 90 y + 225 − 4 y − 320 = 0 4
2 3 y 2 + 15 x = 2 y 4 + 18 y 2 − 19 = 0 - биквадратное уравнение
( )
( )
D −9 + 10 = 81 + 19 = 100; y 2 1 = = 1; y 2 4 1
2
= −9 − 10 = −19,
чего быть не может, т.к. у2 ≥ 0. 2 3 y 2 + 15 Итак x = 2 y 2 = 1
x 2 = 9 x = ±3 2 y = 1 y = ±1
Решения (3; 1), (3; –1), (–3; 1), (–3; –1). x 2 + y 2 = 10 x 2 = 10 − y 2 2 x 4 + y 4 = 82 10 − y 2 + y 4 = 82
г)
(
)
x = 10 − y 4 y − 10 y 2 + 9 = 0 - биквадратное уравнение 2
2
( )
( )
по теореме Виета: y 2 1 = 9; y 2 2 = 1 Рассмотрим две системы
2
(1) x 2 = 10 − y y = 9 x 2 = 1 2 y = 9 x = ±1 y = ±3
2
x 2 = 10 − y 2 и (2 ) 2 y = 1 x 2 = 9 2 y = 1 x = ±3 y = ±1
Решения (1) Решения (2) (1; 3), (1; –3), (–1; 3), (–1; –3). (3; 1), (-3; 1), (3; -1), (–3; –1). Решения исходной системы (1; 3), (1; –3), (–1; 3), (–1; –3), (3; 1), (-3; 1), (3; -1), (–3; –1). Ответ, приведенный в задачнике, неверен. 132. 2 2 x 2 − y 2 = 9 x − y = 9 а) 20 xy = 20 y = x ; x ≠ 0
2 400 x − 2 = 9 x y = 20 x
x 4 − 9 x 2 − 400 =0 x2 y = 20 ; x ≠ 0 x
115
D = 81 + 1600 = 1681 = (41)2 9 + 41 = 25 x2 1 = 2 9 − 41 32 x2 2 = =− < 0, 2 2
x 4 − 9 x 2 − 400 = 0 20 y = x ; x ≠ 0
( ) ( )
чего быть не может, т.к. х2 ≥ 0. x 2 = 25 20 y = x
x = ±5 y = 20 x x=5 y=
при
20 20 = 4 ; при x = −5 y = = −4 . 5 −5
Ответ: (5; 4), (–5; –4). 2 y = x , x ≠ 0 xy = 2 б) 2 2 9 x + y = 13 9 x 2 + 4 = 13 x2
2 y = x , x ≠ 0 4 2 9 x − 13x + 4 = 0 x2
2 y = x 9 x 4 − 13x 2 + 4 = 0, x ≠ 0
( )
D = 169 − 144 = 25; x 2 1 =
( )
13 + 5 = 1; x 2 18
2
=
13 − 5 4 = 18 9
2 2 y = x y = x x 2 = 1 или x 2 = 4 x = 1, x = −1, x = 2 , x = − 2 3 3 9 при x = 1 , y = 2 ; при x = −1 , y = −2 ; 2 при x = , y = 3 ; 3 2 при x = − , y = −3 ; 3 2 2 Решения (1; 2), (–1; –2), ( ; 3), (– ; –3). 3 3
Опечатка в ответе задачника. x 2 + y 2 = 20 в) x + y = 20 8 xy = 8 x = y , y ≠ 0 2
116
2
2 64 y + 2 − 20 = 0 y 8 x = y
y 4 − 20 y 2 + 64 =0 y2 x = 8 y
y 4 − 20 y 2 + 64 = 0, y 2 ≠ 0 D = 100 − 64 = 36 y 2 1 = 10 + 6 = 16 8 x = y y 2 2 = 10 − 6 = 4
( ) ( )
y 2 = 16 или y 2 = 4 y = 4, y = −4, y = 2, y = −2 8 x = 8 = x y y при y = 4; x = 2 при y = −4; x = −2
при y = 2; x = 4 при y = −2; x = −4 Решения (2; 4), (–2; –4), (4; 2), (–4; –2). Опечатка в ответе задачника. 2 2 г) 2 x − y = 34 xy = 20
2 400 2 x − 2 = 34 x y = 20 , x ≠ 0 x
2 x 4 − 34 x 2 − 400 =0 x2 y = 20 , x ≠ 0 x
x 4 − 17 x 2 − 200 = 0, x 2 ≠ 0 20 y = x
D = 289 + 800 = 1089 = 332 17 + 33 x2 1 = = 25 2 17 − 33 x2 2 = < 0, 2
( ) ( )
что не верно, т.к. х2 ≥ 0. x 2 = 25 x = ±5 20 20 y = x y = x при x = 5, y = 4 при x = −5, y = −4
Решения: (5; 4), (–5; –4) x 2 − 2 y = 3 x 2 = 3 + 2 y x 2 y = 27 (3 + 2 y ) y − 27 = 0
а)
D = 9 + 216 = 225 = 152 9 y1 = 3; y2 = − 2
x 2 = 3 + 2 y 2 2 y + 3 y − 27 = 0
x 2 = 3 + 2 y 9 y = 3; y = − 2 117
при
y = 3; x 2 = 9; x = ±3
при
9 2 y = − ; x 2 = −6 < 0, – не верно, т.к. х ≥ 0. 2
Решения (3; 3), (–3; 3). x 2 + y = 10 y = 10 − x 2 y = 10 − x 2 y = 1 x = ±3 2 4 2 4 2 2 x + x y = 90 x + x 10 − x = 90 x = 9
(
б)
)
Решения (3; 1), (–3; 1). x + y 2 = 2 y 2 = 2 − x y 2 = 2 − x y 2 = 2 − x 2 2 2 2 2 2 y + x = 3 4 − 2 x + x = 3 x − 2 x + 1 = 0 (x − 1) = 0
в)
y 2 = 1 y = ±1 x = 1 x = 1
Решения (1; 1), (1; –1). x 2 + y 4 = 5 г) 2 xy = 2
x2 + y4 = 5 2 2 y = x , x ≠ 0
x 4 − 5 x 2 + 4 = 0, x 2 ≠ 0 2 2 y = x
( )
2 4 x + 2 = 5 x 2 y = 2 , x ≠ 0 x
x4 − 5x2 + 4 =0 x2 y2 = 2 x
( )
по теореме Виета: x 2 1 = 4; x 2 2 = 1 x 2 = 4, x 2 = 1 2 2 y = x
Рассмотрим 4 системы x = 2 2 y = 1
1.
x = −2 2 y = −1
2.
x = 1 2 y = 2
3.
x = −1 2 y = −2
4.
Вторая и четвертая системы решений не имеют. Решения первой: (2; 1), (2; –1) третьей: 1; 2 , 1;− 2
( )(
)
( )(
)
Решения: (2; 1), (2; –1), 1; 2 , 1;− 2 . 134. x 2 + y 2 + x + y = 2 а) 2 2 x − y 2 + 2 x − y = 4
Заменим первое уравнение суммой первого и второго 118
3 x 2 + 3x = 6 2 2 x − y 2 + 2 x − y = 4
x 2 + x = 2 2 2 x + x − y 2 − y = 4
(
)
по теореме Виета: x 2 + x − 2 = 0 4 − y 2 − y = 4
x1 = 1 x = 1; x = −2 x = 1; x = −2 x2 = −2 y ( y + 1) = 0 y = 0; y = −1
Решения: (1; 0), (1; –1), (–2; 0), (–2; –1). x 2 + y 2 − 2 x + 3 y = 31 x 2 + y 2 − 2 x − y = 15
б)
Умножим первое уравнение на (–1) и заменим суммой полученного и второго. −4 y = −16 y = 4 2 2 2 + − 2 − = 15 x y x y x − 2x − 3 = 0 x =3 по теореме Виета: 1 x2 = −1
y = 4 x = −1, x = 3
Решения: (–1; 4), (3; 4). x 2 + y 2 − 5 x + y = 2 5 x 2 + 5 y 2 + x + 5 y = 36
в)
Умножим первое уравнение на –5. − 5 x 2 − 5 y 2 + 25 x − 5 y = −10 2 5 x + 5 y 2 + x + 5 y = 36 x 2 + y 2 − 5 x + y = 2 ; 2 2 5 y + 5 x + x + 5 y = 36
в)
x 2 + y 2 = 2 + 5x − y ; 10 + 25x − 5 y + x + 5 y = 36 3x 2 + y 2 + 3 x + y = 18 ; x 2 − y 2 + x − y = 6
г)
x 2 + y 2 = 2 + 5 x − y ; 2 5( x + y 2 ) + x + 5 y = 36
26x = 26 ; 2 2 x + y = 2 + 5x − y
4 x 2 + 4 x = 24 ; 2 x − y 2 + x − y = 6
x = 2 2 4 − y + 2 − y = 6
или
x = 2 y ( y + 1) = 0
x = −3 или
x = 2 y = 0
x = 1 x =1 ; . 2 1 + y = 2 + 5 − y y = −3 x 2 + x − 6 = 0 ⇒ 2 x − y 2 + x − y = 6
x = −3 2 9 − y − 3 − y = 6
y ( y + 1) = 0
x=2 или
y = −1
x = −3 x = −3 или или .
y = 0
y = −1
119
Ответ: (2; 0); (2; –1); (–3; 0); (–3; –1). 135. 2 а) ( x + y ) − ( x − y ) − 8 = 0
( x + y ) 2 + ( x − y ) − 10 = 0
Введем новые переменные t=x+y, p=x−y t 2 − p − 8 = 0 2 t + p − 10 = 0
Заменим второе уравнение суммой первого и второго t 2 − p − 8 = 0 p = t 2 − 8 p = 1 2 2 t = ±3 2t = 18 t = 9 x + y = 3 x = 3 − y x = 2 Для пары (3; 1): . x − y = 1 3 − 2 y = 1 y = 1
x + y = −3 x = −3 − y Для пары (−3; 1):
x − y = 1
x = −1 − 3 − 2 y = 1 y = −2
Решения (2; 1); (−1; −2). x y 10 + = x 3 x − y = 6
б) y
Пусть р= р+
x . Первое уравнение примет вид: y
1 10 3 р 2 − 10 р + 3 D = ; =0; 3р2−10р+3=0; р≠0; =25−9=16; р 3 3р 4
р1=
5+4 5−4 1 =3; р2= = . 3 3 3
x =3
x = 3 y, y ≠ 0 x = 9 y = 3 x − y = 6 2 y = 6
при р=3: y 1 3
x 1 = y = 3 x, y ≠ 0 x = −9 3 y = −3 x − y = 6 − 2 x = 6
при р= : y
Решения (9; 3), (−3; −9). 2 x + y + ( x − 2 y ) 2 = 3 x 2 − 4 xy + 4 y 2 = 9 − 3(2 x + y )
в)
Пусть р=2х+у, t=х−2у 120
(2 x + y ) + ( x − 2 y ) 2 = 3 ( x − 2 y ) 2 = 9 − 3(2 x + y )
p + t 2 = 3 t 2 = 9 − 3 p
Тогда система примет вид:
p = 3 − t 2 p = 3 2 t = 9 − 9 + 3t 2 t = 0
y= 2 x + y = 3 2 x + y = 3 5 y = 3 Возвращаясь к х и у: x − 2 y = 0 x = 2 y x = 2 y x =
3 5 6 5
Решение (1,2; 0,6) x y 17 x + = 4 Пусть =р. Первое уравнение примет вид: x y x + y = 10 1 17 р+ = . р 4
г) y
Решим его. 4 р 2 + 4 − 17 р =0, 4р2−17р+4=0, р≠0, D=289−64=225, р 17 + 15 17 − 15 1 =4; р2= = ; 8 8 4 x =4 x = 4 y, y ≠ 0 x = 8 Для р=4: y y = 2 x + y = 10 5 y = 10
р1=
1 4
x 1 = y = 4 x, y ≠ 0 y = 8 4 x = 2 x + y = 10 5 x = 10
Для р= : y
Решения (8; 2); (2; 8).
121
136. x 2 − 3x − 2 y = 4 а) 2 x + x − 3 y = 18
x2 3 − x−2 y = 2 2 2 x 2 + x − 3 x + 9 x + 6 = 18 2 2
x2 3 − x−2 y = 2 2 2 − x + 11 x − 12 = 0 2 2
x2 3 11 + 5 11 − 5 y = − x−2 D=121−96=25, х1= =8, х2= =3, 2 2 2 2 x 2 − 11x + 24 = 0 64 3 ⋅ 8 9 9 − −2=18. при х=3, у= − −2=−2. 2 2 2 2 Решения (8; 18); (3; −2). xy + x = 56 б) xy + y = 54 Умножим второе на (−1) xy + x = 56 − xy − y = −54 Заменим второе уравнение суммой первого и второго. xy + x = 56 x( x − 2) + x = 56 x 2 − x − 56 = 0 y = x − 2 y = x − 2 y = x − 2
при х=8, у=
1 + 15 1 − 15 =8, х2= =−7. 2 2 при х=8; у=8–2=6; при х=−7; у=–7−2=−9. Решения (8; 6); (−7; −9). x 2 + 2 x + 3 y = 3 в) 2 x + x + 2 y = 4
D=1+224=225, х1=
Умножим второе уравнение на (−1) и заменим его суммой первого и 2 2 2 второго: x + 2 x + 3 y = 3 x + 2 x − 3 − 3 x = 3 x − x − 6 = 0 x + y = −1 y = −1 − x y = −1 − x по теореме Виета: х1=3; х2=−2. при х=3: у=−4; при х=−2: у=1. Решения (3; −4); (−2; 1). 3 x − xy = 10 г) y + xy = 6 Заменим первое уравнение суммой первого и второго. y = 16 − 3 x 3 x + y = 16 y = 16 − 3 x y + xy = 6 16 − 3 x + x(16 − 3 x) = 6 2 3 x − 13 x − 10 = 0 108
2 13 + 17 13 − 17 =5, х2= =− ; 6 6 3 2 2 при х=5; у=1; при х=− ; у=18. Решения (5; 1); (− ; 18). 3 3 x + y = −2 x + y = −2 x + y = −2 137. а) 2 2 2 x + 2 xy + y = 1 − xy ( x + y ) = 1 − xy xy = −3
D=169+120=289, х1=
x = −2 − y x = −2 − y 2 2 − 2 y − y = −3 y + 2 y − 3 = 0 по теореме Виета: у1=1, у2=−3, при у=−3; х=−2+3=1, при у=+1; −2−1=−3. Решения (−3; 1); (1; −3). 2 x − y = 3 2 x − y = 3 2 x − y = 3 б) 2 2 x + 3 y = 9 2 2 4 x − 4 xy + y = 2 x + 3 y ( 2 x − y ) = 2 x + 3 y
9 x = 4 y = 3 2 9 3 Решение ( ; ). 4 2 2 x = y + 3 4 y = 6
2 2 2 x − y = 1 в) x − 6 xy + 9 y = x − y ( x − 3 y ) = x − y x − 3 y = −1 x − 3 y = −1 ( x − 3 y ) = −1
x = y + 1 x = y + 1 y + 1 − 3 y = −1 − 2 y = −2 Решение (2; 1). x + 2 y = 2 г) 2 2 x + 4 y + 4 y = 2 y + 4x
y= 2 y = 2 − x 3 x = 2 x =
2 3 2 3
x = 2 y = 1 x + 2 y = 2 x + 2 y = 2 2 y + 4 x = 4 2 ( x + 2 y ) = 2 y + 4 x
Ответ: (
2 2 ; ). 3 3
138.
xy − 2 x + 3 y = 6 xy − 2 x + 3 y = 6 y 2 − y − 2 y + 2 + 3 y = 6 а) 2 xy − 3x + 5 y = 11 x − y = −1 x = y − 1 y2 = 4 при у=2, х=2−1=1, при у=−2, х=−2−1=−3. x = y − 1 Решения (1; 2), (−3; −2).
109
y 2 + 3 x − y = 1 3 x = 1 + y − y 2 б) 2 y + 6 x − 2 y = 1 y 2 + 2 + 2 y − 2 y 2 − 2 y = 1 1 1 при у=1; х= ; при у=−1; х=− . 3 3 1 1 Решения ( ; 1); (− ; −1). 3 3 x 2 + 3 x − 4 y = 20 в) 2 x − 2 x + y = −5
3 x = 1 + y − y 2 2 y = 1
x 2 + 3 x − 8 x + 4 x 2 + 20 = 20 y = 2 x − x 2 − 5
5 x 2 − 5 x = 0 y = 2 x − x 2 − 5
x( x − 1) = 0 при х=0; у=−5; при х=1; у=2−1−5=−4. 2 y = 2x − x − 5 Решения (0; −5); (1; −4). x + xy + y = 5 ( x + y ) = 5 − xy ( x + y ) = 5 − xy г) xy − 2 x − 2 y + 4 = 0 xy − 2( x + y ) + 4 = 0 xy − 10 + 2 xy + 4 = 0
( x + y ) = 5 − xy x + y = 3 x = 3 − y 2 xy = 2 xy = 2 y − 3y + 2 = 0 по теореме Виета: у1=2, у2=1. при у=2; х=3−2=1; при у=1; х=3−1=2. Решения (1; 2); (2; 1). 139. ( x − 2)( y − 3) = 1 ( x − 2) 2 = 1 x − 2 = ±1 ( x − 2)( y − 3) = 1 а) x − 2 =1 x − 2 = y − 3, y ≠ 3 y − 3 = x − 2 y = x + 1 y − 3 при х−2=1; х=3; у=3+1=4; при х−2=−1; х=1; у=1+1=2. Решения (3; 4), (1; 2). ( x − 3)( y − 2) = 3 3( x − 3) 2 = 3 x − 3 = ±1 ( x − 3)( y − 2) = 3 б) y − 2 y = 3x − 7 ( y − 2) = 3( x − 3), x ≠ 3 y = 3 x − 7 x − 3 = 3 при х-3=1; х=4; у=12−7=5; при х−3=−1; х=2; у=6−7=−1. Решения (4; 5), (2; −1). x +1 x + 1 = y − 3, y ≠ 3 x = y − 4 =1 в) y − 3 y − 3 = ±2 2 ( x + 1)( y − 3) = 4 ( y − 3) = 4
при у−3=2; у=5; х=5−4=1; при у−3=−2; у=1; х=−3. Решения (1; 5), (−3; 1). ( x + 3)( y − 1) = 8 ( y − 1) 2 = 4 ( x + 3)( y − 1) = 8 г) x + 3 ( x + 3) = 2( y − 1), y ≠ 1 =2 x + 3 = 2( y − 1), y ≠ 1 y − 1 110
y − 1 = ±2 x = 2 y − 5 при у−1=2; у=3; х=1; при у−1=−2; у=−1; х=−7. Решения (1; 3), (−7; −1). 140. 2 2 а) ( x + 2 y ) + ( y − 2 x) = 90 x y y x ( + 2 ) + ( − 2 ) = 12
Пусть х+2у=t, у−2х=р. Система примет вид: t 2 + p 2 = 90 t 2 + 144 + t 2 − 24t = 90 t 2 − 12t + 27 = 0 t + p = 12 p = 12 − t p = 12 − t t1=9, t2=3, при t=9; р=3 (1); при t=3; р=9 (2); Рассмотрим первую пару x + 2 y = 9 x = 9 − 2 y x = 0,6 y − 2 x = 3 5 y = 21 y = 4,2 Рассмотрим вторую пару x + 2 y = 3 x = 3 − 2 y x = −3 y = 3 y − 2 x = 9 5 y = 15 Решения (−3; 3), (0,6;4,2). x x + y + y = 15 б) ( x + y ) x = 56 y p + t = 15 p = 15 − t Пусть х+у=р, x =t. Система примет вид: 2 pt = 56 y t − 15t + 56 = 0 по теореме Виета: t1=8, t2=7, при t=8; р=7 (1), при t=7; р=8 (2). Рассмотрим (1) 56 x x= =8 x = 8 y, y ≠ 0 9 y 9 y = 7 7 x + y = 7 y = 9 Рассмотрим (2) x =7 x = 7 y, y ≠ 0 x = 7 y = 1 y x + y = 8 8 y = 8
111
56 7 ; ), (7; 1). 9 9 x x + y + y = 9 x в) Пусть х+у=р, =t. Система примет вид: ( x + y ) x y = 20 y
Решения: (
p + t = 9 p = 9 −t pt = 20 2 t − 9t + 20 = 0 по теореме Виета: t1=5, t2=4, при t=5, p=4 (1), при t=4, р=5 (2). рассмотрим (1) 10 x x= =5 x = 5 y, y ≠ 0 3 y 2 x + y = 4 6y = 4 y = 3 Рассмотрим (2) x =4 x = 4 y x = 4 y x + y = 5 5 y = 5 y = 1 Решения: (
10 2 ; ); (4; 1). 3 3
1 1 y−x y−x 1 x − y = 2 xy = 2 xy = 2 x − г) ( y − x)( y + x) x+ y 1 1 1 − = 16 = 16 =8 + 2 2 xy x xy ⋅ xy x y Заменим первое уравнение суммой первого и второго 2 1 1 = 10 = 5 x = x x 5 1 1 1 + = 8 = 3 y = 1 x y y 3 1 1 Решение ( ; ). 5 3
141. ( x + y ) 2 + 2 x = 35 − 2 y а) ( x − y ) 2 − 2 y = 3 − 2 x ( x + y ) 2 + 2( x + y ) − 35 = 0 ( x − y ) 2 + 2( x − y ) − 3 = 0
112
( x + y ) 2 + 2 x = 35 − 2 y ( x − y ) 2 + 2 x = 3 + 2 y
1 =2 y 1 =8 y
Пусть х+у=р, х−у=t;
p 2 + 2 p − 35 = 0 2 t + 2t − 3 = 0
p = 5, p = −7 по теореме Виета: р1=5, р2=−7, t1=1, t2=−3; t = 1, t = −3 Всевозможные пары: (5, 1) (1), (−7; 1) (2), (5; −3) (3), (−7; −3) (4). x + y = 5 x = 5 − y x = 3 1. x − y = 1 − 2 y = −4 y = 2 x + y = −7 x = −7 − y x = −3 2. x − y = 1 − 2 y = 8 y = −4 x + y = 5 x = 5 − y x = 1 3. x − y = 1 − 2 y = −8 y = 4 x + y = −7 x = −7 − y x = −3 4. x − y = −3 − 2 y = 4 y = −2 Решения (3; 2), (−3; −4), (1; 4), (−5; −2). 12( x + y ) 2 + x = 2,5 − y 12( x + y ) 2 + ( x + y ) − 2,5 = 0 б) 6( x − y ) 2 + x = 0,125 + y 6( x − y ) 2 + ( x − y ) − 0,125 = 0 Пусть р=х+у, t=х−у. Система примет вид 12 р 2 + р − 2,5 = 0 2 6t + t − 0,125 = 0 Найдем р: D=1+120=121 1 −1 + 11 5 −1− 11 р1= = ; р2= =− 24 12 24 2 Найдем t: D=1+3=4 −1 + 2 1 −1 − 2 1 t1= = ; t2= =− 12 12 12 4 5 1 p = 12 , p = − 2 t = − 1 , t = 1 4 12 Получим 4 случая: 1 1 5 x = 12 x + y = 12 2 x = 6 1) ; 2) x − y = − 1 y = x + 1 y = 1 3 4 4
5 x + y = 12 x − y = 1 12
1 2 x = 2 y = x − 1 12
x = y =
1 4 1 6
113
1 x+ y = − 2 3) x − y = − 1 4
3 2x = − 4 y = x + 1 4
3 x=− 8 ; 4) y = − 1 8
1 x+ y = − 2 x − y = 1 12
5 2x = − 12 y = x − 1 12
5 x=− 24 y = − 7 24
1 5 7 1 1 1 1 3 Решения: ; , ; , − ; − , − ; − 8 24 24 12 3 4 6 8 142. 4 1 5 + =− 2 6 x − xy y 2 − xy 7 3 6 − = x 2 − xy y 2 − xy 5 1 1 =р, 2 =t. Пусть 2 x − xy y − xy Система примет вид 1 1 4 1 4 5 р + 4t = − 6 p = − 30 − 5 t p = − 30 − 5 t 7 p − 3t = 6 − 7 − 28 t − 3t = 6 − 43 t = 43 5 5 30 5 30 5
1 p = 10 t = − 1 6
x 2 − xy = 10 ( x − y )( x − y ) = 4 x − y = ±2 То есть 2 y( x − y) = 6 y − xy = −6 y ( x − y ) = 6
x − y = 2 x = 5 1) ; y ⋅ 2 = 6 y = 3 Решения (5; 3); (−5; −3). 4 5 x + y − 1 − 2 x − y + 3 + б) 3 1 + + x + y − 1 2 x − y + 3 Пусть а=
x − y = −2 x = −5 2) y ( −2) = 6 y = −3 5 =0 2 7 =0 5
1 1 , b= . Система примет вид: x + y −1 2x − y + 3
5 4a − 5b + 2 = 0 3a + b + 7 = 0 5
7 5 4a − 5(−3a − 5 ) = − 2 b = −3a − 7 5
19 19a = − 2 b = −3a − 7 5
x + y − 1 = −2 Значит, 2 x − y + 3 = 10 Заменим первое уравнение суммой первого и второго:
114
1 a = − 2 b = 1 10
3 x = 6 x = 2 y = 2 x − 7 y = −3 Решение (2; −3).
§ 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций 143. Пусть скорости поездов равны u и v соответственно, тогда скорость их 700 =5. сближения равна u+v, значит u+v Если 2-й поезд отправится на 7 часов раньше первого, то в момент начала движения 1-го поезда между ними будет 700−7v километров, отсюда 700 − 7v 2-е уравнение: =2. Получим систему: u+v 700 u + v = 5 700 = 5u + 5v u = 140 − v 700 − 7v 700 = 2v + 9v 700 = 2u + 9v =2 u + v 700=280−2v+9v, 7v=420 ⇒ v=60⇒ u=80. Ответ: 60 км/ч, 80 км/ч. 144. Пусть u −скорость лодки, v − скорость течения реки, тогда имеем 14 =2 14 = 2u + 2v u = 7 − v систему: u + v 70 = 144 − 14v 70 = 144 − 14v 14 = 2,8 u − v 70=98−14v−14v, 28v=28⇒ v=1⇒u=6. Ответ: 6 км/ч, 1 км/ч. 145. Пусть u − скорость лодки 5 10 u − v = 4 Получим систему: 9 =3 u + v 4 Ответ: 10 км/ч, 2 км/ч.
в стоячей воде, v − скорость течения реки. 8 = u − v 2u = 20 u = 10 12 = u + v v = 4 − 8 v = 2
146.
a + b = 12 a = 12 − b Пусть a и b искомые числа, тогда: ab = 35 ab = 35 115
(12−b)b=35, b2−12b+35=0 по теореме Виета: b1=5, b2=7. Т. к. а=12−b, то а1=7, а2=5. Ответ: 5 и 7. 147. a + b = 46 a = 46 − b Пусть а и b − искомые числа, тогда: 2 2 2 2 a + b = 1130 a + b = 1130 2 2 2 2 (46−b) +b =1130, 2b −92b+2116−1130=0. b −46b+493=0.
D = (−46) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 493 = 144 , 46 + 12 46 − 12 b1= =29, b2= =17. 2 2 a1 = 46 − 29 = 17; a2 = 46 − 17 = 29 Ответ: 17 и 29. 148.
a − b = 24 a = 24 + b Пусть а и b − искомые числа, тогда: a ⋅ b = 481 a ⋅ b = 481 2 b +24b−481=0. D1=144+481=625. b1=−12−25=−37, b2=−12+25=13. Т. к. по условию задачи b натуральное число, то b1 не подходит, значит b=13⇒а=37. Ответ: (37, 13). 149. Пусть а и b − искомые натуральные числа, тогда: a − b = 16 a = 16 + b 2 2 2 2 + = + ab 553 a b ab + 553 = a + b
b2+16b=256+b2+32b+b2−553. b2+16b−297=0. D1=64+297=361. b1=−8−19=−27, b2=−8+19=11. Т. к. b∈N, то b=11⇒а=27. Ответ: (27, 11). 150. Пусть а и b − искомые натуральные числа, тогда: a + b = 50 a = 50 − b 2 2 2 2 2 + = − ab 11 a b 50b − b + 11 = 2500 + b − b − 100b
b2−150b+2489=0. D1=752−2489=3136=562. b1=75−56=19, b2=75+56=131. Тогда а1=31, а2<0⇒а=31, b=19. 151. Пусть a b − искомое 2-значное число, тогда b = 2a b = 2a 10a + b = 4( a + b) 6a − 3b = 0 10a + b = 3ab 10a + b − 3ab = 0 2 2 10a + 2a − 6a = 0 2a = a
116
Решениями полученной системы является пара чисел (0, 0), (2, 4), но поскольку число 0 не принято считать двузначным, то ответом задачи является число 24. Ответ: 24. 152. Пусть a b − искомое 2-значное число, тогда
10a + b = 6a + 6b 4a = 5b 10a + b − ab = 34 40a + 4b − 4ab − 136 = 0 50b+4b−5b2−136=0. 5b2−54b+136=0. D=729−680=49=72. 27 − 7 20 27 + 7 39 b1= = =4, b2= = . 5 5 5 5 По смыслу задачи b∈N⇒b=4⇒а=5. Ответ: 54. 153. Пусть a b − искомое 2-значное число, тогда
a + b = 12 a = 12 − b 10a + b + 36 = 10b + a 9a + 36 = 9b 108−9b+36=9b. 18b=144. b=8⇒а=4. Ответ: 48. 154. a − искомая дробь, тогда b a +1 1 = 2a + 2 = b + 1 b = 2a + 1 2 2 b +1 2 2 2 2 2 a + b = 136 a + b = 136 a + b = 136 a2+4a2+4a+1−136=0. 5a2+4a−135=0. D1=16–4⋅5(–135)=2716. В условии задачи опечатка.
Пусть
155. Пусть а и b − стороны прямоугольника, тогда a + b = 14 a = 14 − b 2 2 2 2 + = 100 a b a + b = 100
196+b2−28b+b2=100. b2−14b+48=0. D1=49−48=1. b1=6, b2=8, тогда а1=8, а2=6. Ответ: 6 и 8 см. 156. Пусть а и b − катеты, тогда
117
a + b = 49 a = 49 − b 2 2 2 2 a + b = 1681 a + b − 1681 = 0 2 2 2b −98b+2401−1681=0. b −49b+360=0. D=2401−1440=961=312. b1=49−31=18, b2=49+31=60. 49 + 31 49 − 31 b1 = = 40 ; b2 = =9; 2 2 a1 = 49 − 40 = 9 ; a2 = 49 − 9 = 40 ; 1 ⋅ 40 ⋅ 9 = 180 (м2). 2 Ответ: 180 см2. S=
157. Пусть а и b −катеты, с – гипотенуза, тогда: a − b = 23 a = 23 + b 2 2 2 2 + = 1369 a b a + b − 1369 = 0
529+2b2+46b−1369=0. b2+23b−420=0. D=529+1680=2209=472. −23 + 47 b1 = = 12 ; 2 −23 − 47 b2 = = −35 – не подходит по смыслу задачи; 2 a = 23 + 12 = 35 ; c = 352 + 122 = 37 ; р=12+35+37=84 (дм). Ответ: 84 дм. 158. Пусть а и b − катеты, тогда a + b + 37 = 84 a = 47 − b 2 2 2 2 a + b = 1369 a + b − 1369 = 0
2209+2b2−94b−1369=0. b2−47b+420=0. D=2209−1680=529=232. 47 − 23 47 + 23 =12, b2 =35. a1=35, a2=12. b1= 2 2 1 1 S= ab= ⋅35⋅12=210 (см2). 2 2 Ответ: 210 см2. 159. Пусть u − скорость лодки в стоячей воде и v − скорость течения реки, 20 20 + =7 u − v u + v тогда 2 = 5 u − v u + v
118
По смыслу задачи на u−v и u+v не равны нулю. поэтому можно умножить обе части каждого из уравнений на u2−v2, получаем: 20u + 20v + 20u − 20v = 7u 2 − 7v 2 7u 2 − 7v 2 − 40u = 0 2u + 2v = 5u − 5v 7v = 3u 7 7 ⋅ 40v 73 v 2 u = v =0. −7v2− 3 9 3 2 2 7u − 7v − 40u = 0 49v2−9v2−120v=0. v(v−3)=0. По смыслу задачи v≠0⇒v=3. Ответ: 3 км/ч. 160. Пусть u − скорость первого пешехода, v − второго, тогда имеем систему: 24 24 u = v − 2 24 24 = −2 u + 2 v + 1 По смыслу задачи ни один из знаменателей не равен нулю, поэтому умножим 1-е уравнение на uv, и 2-е на (u+2)(v+1), получим равносильную 24v − 24u + 2uv = 0 систему: 24v + 24 − 24u − 42 + 24v + 24 + 4v + u = 0 Учитывая 1-е уравнение системы, 2-е можно переписать в виде: 24−42+24+4v+4=0, т. е. получим систему: 24v − 24u + 2uv = 0 u = 10 − 2v 4v + 2u − 20 = 0 24v − 24u + 2uv = 0
24v−240+48v+20v−4v2=0; v2−23v+60=0; D=529−240=289=172; 23 + 17 40 = =20; u1=4, u2<0. v1= 23 − 17 = 6 =3, v2= 2 2 2 2 Ответ: 4 км/ч, 3 км/ч. 161. Пусть в первом зале х мест в ряду, а во втором − у, тогда имеем систему: 350 480 = +5 y x y = x + 10 По смыслу задачи и х и у отличны от нуля, поэтому: 350 y − 480 x − 5 xy = 0 y = x + 10
350х+3500−480х−5х2−50х=0; х2+36х−700=0; D = 1296 + 2800 = 642 ;
119
−36 + 64 = 14 ; 2 −36 − 64 x2 = = −50 – не подходит по смыслу задачи. 2 y = 14 + 10 = 24 . Ответ: 14 и 24 места. x1 =
162. Пусть в красном зале х рядов, а в синем − у, тогда получим систему: x = y + 2 320 360 x = y + 2 = − 4 320 y − 360 x + 4 xy = 0 x y D =16+180=196=142; 320у−360у−720+4у2+8у=0; у2−18у−180=0; 4 у1=4+14=18, у2<0; х1=20. Ответ: 20 − в красном, 18 − в синем. 163. Пусть х человек должно было сдавать экзамен по математике, тогда 400 листов бумаги, получили каждому человеку предполагалось выдать x 400 400 +1= . уравнение: x x − 20 D 400х−8000+х2−20х−400х=0; х2−20х−8000=0; =100+8000=8100=902. 4 х1=10+90=100, х2<0. Так как отсеялось 20 человек, то экзамен по математике сдавало 100 – 20 = 80 человек. Ответ: 80 человек. 164. Пусть 1-й комбайн работая один может выполнить задание за х часов, а второй за у, примем объем всей работы за 1, тогда получим систему: 1 1 1 = 6 xy = 6 xy = 6 x + 6 y x+ y x+ y x = y − 5 y = x + 5 x = y − 5 х2+5х=6х+6х+30; х2−7х−30=0; D=49+120=169=132; 7 + 13 =10, х2<0. х1 2 Ответ: за 10 часов.
120
165. Пусть 1-я бригада может выполнить работу за х часов, а вторая − за у. Примем весь объем работы за 1. Получим систему: 1 =8 1 1 xy = 8 x + 8 y y = x + 12 x+ y x = y − 12
х2+12х=8х+8х+96; х2−4х−96=0; D1=4+96=102; х1=2+10=12, х2<0. Ответ: 12 часов. 166. Пусть 1-му экскаватору требуется х часов, а 2-му − у часов. Приняв весь объем работы за 1 получим систему уравнений: 15 1 1 1 = 4 4 xy = 15 x + 15 y y = x − 4 x+ y x = y − 4
4 x 2 − 16 x − 15 x − 15 x + 60 = 0 , 2 x 2 − 23x + 30 = 0 , D = 529 − 4 ⋅ 2 ⋅ 30 = 289 23 + 17 23 − 17 3 x1 = = 10; x2 = = 4 4 2 3 y1 = 10 − 4 = 6; y2 = − 4 < 0 – не подходит по смыслу задачи. 2 Ответ: за 10 ч. и 6 ч. 167. Пусть 1-й кран наполняет чан за х часов, а 2-й − за у, тогда x = 2 y x = 2 y 1 x = 2 y 1 1 = 1 xy = 1 xy = x + y x + y + x y 3 3 2у2=3у; у(2у−3)=0; у= =2х=3. x = 2 ⋅ = 3 2 2 3 Ответ: первый − за 3, второй − за часа. 2 168. Пусть х часов потребовалось бы 1-й машинистке и у ч. − второй. Примем весь объем работ за 1 и получим систему уравнений:
121
20 1 = 1 1 3 3 xy = 20 x + 20 y y = x − 3 x+ y x = y − 3 3у2−9у=20у−60+20у; 3у2−49у+60=0; D=2401−720=1681=412; 49 − 41 4 49 + 41 = , у2= =15; х1<0, х2=12. у1= 5 3 6 Ответ: 12 часов − первой, 15 − второй. 169. Пусть 1-й тракторист вспахивает поле за х часов, а второй − за у. Приняв весь объем работы за 1, получим: 1 1 1 = 48 + x y xy = 48 x + 48 y xy = 9600 1 1 x + y = 200 x + y = 200 2 2 + = 100 1 1 y x 200у−у2−9600=0; у2−200у+9600=0; D1=10000−9600=400=202; у1=100−20=80, у2=120; х1=120, х2=80. Ответ: 120 часов: 80 часов. 170. Пусть первый рабочий может выполнить задание за х часов, а второй − за у. Приняв весь объем работ за 1 получим систему уравнений: 1 1 1 = 2 + x y 2 xy = 4 x + 4 y 20 y − 3 y 2 = 40 − 6 y + 4 y 2 3 2 x + 3 y = 20 2 x = 20 − 3 y 5 5 1 + 1 =4 y x 3у2−22у+40=0; D = 484 − 4 ⋅ 3 ⋅ 40 = 4 22 − 2 10 22 + 2 = 4 , у2= = ; х1=4, х2=5. у1= 6 6 3 Т. к по условию задачи х≠у, то ответ: 5 ч., 3ч. 20 мин. 171. Пусть a b − искомое 2-е число, тогда получим: a 2 + b 2 = 13 9a − 9b = 9 a = 1 + b 2 2 2 2 a + b − = b + a 10 9 10 a + b = 13 a + b = 13
122
1+b2+2b+b2=13; 2b2+2b−12=0; b2+b−6=0. По т. Виета b1=−3, b2=2. По смыслу задачи b>0⇒b=2⇒а=3, искомое число 10 ⋅ 3 + 2 = 32 . Ответ: 32. 172. Пусть a b − искомое 2-е число, тогда получим систему: 10a + b + 10b + a = 143 11a + 11b = 143 a = 13 − b 2 2 2 2 2 2 a + b = 97 a + b = 97 169 + b − 26b + b = 97
b2−13b+36=0 по теореме Виета: b1=4, b2=9; a1=9, a2=4. Ответ: 94; 49. 173. Пусть a b − искомое 2-е число, тогда a − b = 5 b(10a + b) = 376 10a + b − 10b − a = 45 2 10ab + b − 376 = 0 D 50b+11b2−376=0; =625+4136=4761=692; 4 −25 + 69 =4, b2<0; a1=9. b1= 11 Ответ: 94.
174. Пусть a b − искомое число, тогда a = b − 2 3ab = 10a + b a − b = −2 10a + b + 18 = 10b + a 3ab = 10a + b 2 3b − 6b = 10b − 20 + b 3b2−17b+20=0; D=289−240=49=72; 17 − 7 5 = , b2=4; b1= 6 3 a1<0, a2=2. Ответ: 24.
175.
ab = 720 Пусть а и b − искомые натуральные числа, тогда: a = 3b + 3 3b2+3b−720=0; b2+b−240=0; D=1+960=961=312 −1 + 31 b1= =15, b2<0; a1=48. 2 Ответ: 48 и 15.
123
176. Пусть m и n − искомые натуральные числа, тогда имеем систему: m 2 − n 2 = 1000 m = 2 n + 5
4n2+20n+25−n2−1000=0; 3n2+20n−975=0; D1=100+2925=3025=552 10 + 55 n1= =15, n2<0; m1=35. 3 Ответ: 35 и 15. 177. Пусть a b − искомое 2-е число, тогда b = 2a − 1 10a + b = 4(a + b) + 3 6a − 3 = 3b 10a + b = 3ab + 5 10a + b = 3ab + 5 2 10a + 2a − 1 = 6a − 3a + 5 2 2 2 2a −5a+2=0; D=25−16=9 −3 5−3 1 a1= = , a2=2; b2=3. 4 2 Ответ: 23.
178. Пусть a b − искомое 2-е число, тогда
10a + b = 7(a + b) + 6 3a − 6b = 6 a = 2 + 2b = 8 10a + b = 3ab + a + b 9a = 3ab b = 3 Ответ: 83. 179. Пусть имеется х рельсов по 25 м и у рельсов по 12,5 м, тогда y 25 x + 2 ⋅ 12,5 = 20000 100 x + 25 y = 80000 12,5 y + 2 x ⋅ 25 = 20000 75 y + 100 x = 120000 3
80000 − 25 y x= 100 x = 80000 − 25 y 100 75 y + 80000 − 25 y = 12000 y = 40000 50 x = 600 y = 800 Общее количество: 600 + 800 = 1400 (штук) Ответ: 1400 штук. 180. Пусть u − скорость велосипедиста, v − скорость мотоциклиста, тогда
124
1 1 v− u = 0,60 u = v − 36 60 v − u = 36 60 40v = 40u + uv 120 120 2 40v = 40v − 1440 + v − 36v = +3 u v v2−36v−1440=0; D = 1296 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−1440) = 842 ; 36 + 84 v1 = = 60; v2 < 0 – не подходит по условию задачи. 2 u = 60 − 36 = 24 (км/ч). Ответ: 60 км/ч, и 24 км/ч. 181. Пусть u м/с − скорость 1-й модели, v м/с − 2-й, тогда имеем систему: 20 = 7u + 12 − 34 u = 2 60 = 21u + 6v 20 = 7u + 2v v = 3 45u + 30v = 180 12 − 3u = 2v v = 12 − 34 2 Ответ: 2 м/с, 3 м/с. 182. Пусть u и v − скорости лыжников, тогда: 2 2 u = v + 0,1 v = 2u 2v = 2u + 0,1uv 4 2 = v u
4u = 2u + 0,1 ⋅ 2u 2 ; u 2 − 10u = 0 ; u1 = 0 – не подходит по смыслу задачи. u2 = 10 (км/ч); v = 2 ⋅ 10 = 20 (км/ч). Ответ: 10 и 20 км/ч.
183. Пусть скорость велосипедиста v км/ч и t − время, через которое из А выехал мотоциклист, тогда получим систему 20 20 1 1 v = 50 + t t = 20( − ) v 50 10 70 6 70 − 3 v 10 50t + 70 + 30 + 70 − 10 v = 100 + + = 3 3 t + 50 3 50 10 300 15t−v+1=0; −6−v+1=0; v2+5v−300=0; D=25+1200=1225=352; v −5 + 35 −5 − 35 v1 = = 15 (км/ч), v2 = = −20 – не подходит по смыслу 2 2 задачи. Ответ: 15 км/ч.
125
184. Пусть вторая встреча произошла на расстоянии а км. от пункта А. Тогда расстояние от места второй встречи до пункта В – (а + 4) км. ⇒ a Скорость 1-го пешехода v1 = = a (км/ч). 1 a + 4 2( a + 4) (км/ч). = Скорость 2-го пешехода v2 = 2,5 5 АВ = 2а + 4 2-й пешеход пришел в пункт В на 1,5 ч. позже, чем 1-й пешеход в пункт 2 AB 2 AB А, поэтому − = 1,5 ч., т.е. v2 v1
2(2a + 4) ⋅ 5 2(2a + 4) − = 1,5 ⇒ 9a 2 − 20a − 64 = 0 2(a + 4) a 16 – не подходит по смыслу задачи. 9 2( a + 4) v1 = a = 4 (км/ч); v2 = = 3,2 (км/ч). 5 Отвте: v1 = 4 (км/ч), v2 = 3,2 (км/ч). ⇒ a1 = 4; a2 = −
185. Пусть v км/ч − скорость поезда, выходящего из А и S км − расстояние между А и В, тогда 4 S S S= 1 1 2v = 2(v + 40) + 2 − v v + 40 15 S = 15 S = v + (v + 40) 4 2v + 40 4 4 v(v + 40) 15 15 40 10 = = v(v + 40) 4 2v + 40 4 2v + 40 4v(v+40)=150(2v+40); 4v2+160v−300v−6000=0; 4v2−140v−6000=0; D1=702+24000=4900+24000=28900=1702 70 + 170 240 v1= = =60 км/ч, v2<0. 4 4 15(v + 20) 15 ⋅ (60 + 20) v+40=100 км/ч. S = = = 600 (км). 2 2 Ответ: 60 и 100 км/ч, 600 км.
126
186. Пусть х м/с и у м/с − скорость точек. x > y Примем за начальный момент времени − совпадения точек. тогда через 1 минуту, точка с большей скоростью пройдет на 1 круг больше, т.е. получили систему 60 60 =5 − 12 x − 12 y = xy 12 y + 12 − 12 y = y ( y + 1) x x = y + 1 y 60 x = 60 y + 60 x = y + 1 y 2 + y − 12 = 0 y = 3, y = −4 x = 3 + 1 = 4 x = y + 1 y = −4 – не подходит. Ответ: 3м/с и 4 м/с.
187. Пусть на реке он плыл х часов, а пешком шел у часов, тогда получим: x − y = 4 x = y + 4 9y y+4 90 10 = ( ) — = ( ) x 9 y = x y + 4 y x x y y 9у2=у2+8у+16; у2−у−2=0. По т. Виета у1=2, у2=−1. По смыслу задачи у>0, поэтому у=2⇒х=6. Ответ: 6 часов по реке и 2 − пешком. 188. Пусть у км/ч − скорость катера, х км/ч − скорость течения, тогда получим: 96 96 x + y + y − x = 14 48( y − x) + 48( x + y ) = 7( y − x)( y + x) 4 ( x + y ) = 4 ( y − x) ( x + y ) = 3 ( y − x) 3
28 48( y − x) + 64( y − x) = ( y − x) 2 3 ( x + y ) = 4 ( y − x) 3
y − x = 12 y + x = 4 ( y − x) 3
y − x = 12 y = 14 y + x = 16 x = 2 Теперь нетрудно вычислить расстояние до места встречи по формуле: 96 − столько времени был катер в пути до поворота. x+ y 96 ⋅х − столько за это время проплыл катер. x+ y 127
96−
96 ⋅ x − такое расстояние между ними. x+ y
96 −
96 x x+ y
y 96 + ( x+ y
− они проплывут его за столько времени. 96 −
96 x x+ y
y
)х − то, что надо найти.
96⋅2 96 − 96 2 +14 + 14 2 + 14 Ответ: 24 км.
⋅ 2 = 24 (км)
189. пусть 1-му для уборки требуется х часов, а второму − у часов. Тогда x − y = 4 2 4 4 x = y + 4 + + = 1 6 y + 4 x = xy x x y 6у+4у+16=у2+4у; у2−6у−16=0. По т. Виета у1=8, у2=−2. По смыслу задачи у>0, поэтому у=8⇒х=12. Ответ: 12 часов и 8 часов. 190. Пусть бригаде учеников требуется х часов, тогда бригаде слесарей − у часов. Примем весь объем работ за 1, получим: x − y = 15 y = x − 15 18 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 = 0,6 18 y + 6 x = 0,6 xy x y
18х−270+6х=0,6х2−9х; х2−55х+450=0; D = 552 − 4 ⋅ 450 = 352 55 + 35 55 − 35 x1 = = 45 ; x2 = = 10 ; 2 2 y1 = 45 − 15 = 30 (ч); y2 = 10 − 15 < 0 – не подходит по смыслу задачи. Ответ: 45 часов.
191. Пусть 1-му требуется х дней, а 2-му − у. Приняв весь объем работ за 1, получим систему уравнений:
128
x − y = 3 1 x = 3 + y x − y = 3 7 ⋅ + (7 − 3 ) 1 = 1 14 y + 14 x − 3 x = 2 xy 14 y + 11x = 2 xy x 2 y 14у+33+11у=5у+2у2; 2у2−19у−33=0; D=361+466=625=252 19 + 25 у1= =11, у2<0, х1=14. 4 Ответ: 14 дней − первому, 11 дней − второму. 192. Пусть для выполнения работы 1-й бригаде требуется х дней, а 2-й − у дней, тогда, приняв всю работу за 1, получим: 18 18 x + y =1 2 2 1 3 ⋅ + (40 − 3 ) ⋅ 1 = 1 1 1 x y x x 1 − часть работы, которую 1-я бригада выполняет за 1 день. x 18 y + 18 x = xy 18 y + 18 x = xy 2 2 x 1 + (40 − ) = 1 2 + 40 − 2 x = 1 3 3 y 3 y 3 y 18 y + 18 x = xy 18 y + 18 x = xy 2 y + 120 − 2 x = 3 y y = 120 − 2 x 2160−36х+18х=120х−2х2; 2х2−138х+2160=0; х2−69х+1080=0; 69 − 21 69 + 21 D=4761−4320=441=212; х1= =24, х2= =45. 2 2 у1=72, у2=30. Ответ: 24 − первой и 72 − второй или 45 − первой и 30 − второй. Опечатка в ответе задачника. 193. Пусть бассейн наполняется за х часов, а опустошается за у часов, тогда x − y = 2 x − y = 2 1 xy x − y = 2 x = 2 + y = 8 1 1 = 8 xy = 48 xy = 48 3( − ) 3( x − y ) y x
у2+2у−48=0; D1=1+48=49=72; у1=−1+7=6, у2<0⇒х=8. Ответ: за 8 − наполняет, за 6 − опустошает. 194. Пусть u и v − скорости точек, тогда имеем систему:
129
(60 − 3u ) 2 + (80 − 3v) 2 = 4900 (60 − 5u ) 2 + (80 − 5v) 2 = 2500 3600 + 9u 2 + 9v 2 − 360u − 480v + 6400 − 4900 = 0 25u 2 + 25v 2 − 600u − 800v + 7500 = 0 9(u 2 + v 2 − 40u − 40v) − 120v + 5100 = 0 2 u + v 2 − 40u − 40v = −16u − 8v − 300 −144u − 72v − 2700 − 120v + 5100 = 0 2 2 u + v − 40u − 40v = −16u − 8v − 300 −144u − 192v + 2400 = 0 2 2 u + v − 40u − 40v = −16u − 8v − 300 3u + 4v = 50 2 2 u + v − 40u − 40v = −16u − 8v − 300
50 − 4v u = 3 u 2 + v 2 − 24u − 32v + 300 = 0 2500+16v2−400v+9v2−3600+288v−288v+2700=0; 25v2−400v+1600=0; v2−16v+64=0; (v−8)2=0⇒v=8⇒u=6. Ответ: 6 и 8 м/с. 195. Пусть вкладчик первоначально положил х рублей под у% . Тогда получим x 100 ⋅ y = 200 ( x + xy + 1800)( y + 100) 100 = 4400 100
xy = 20000 20000 + 200 y + 1800 y + 100 x + 20000 + 180000 = 440000 x = 2200 − 20 y xy = 20000 20 y + x = 2200 xy = 20000 D =2025=452 4 у1=55−45=10, у2=55+45=100. х1=2000, х2=200. Ответ: 2000 р. под 10%/год или 200 р. под 100%/год. Опечатка в ответе задачника.
−20у2+2200у−20000=0; у2−110у+1000=0;
130
196. Пусть взяли х г. 40% раствора и у г. 10%-го, тогда x + y = 800 x ⋅ 40 + y ⋅ 10 = 800 ⋅ 21,25 100 100 100
x = 300 3 x = 920 x + y = 800 4 x + y = 1700 y = 800 − x y = 500 Ответ: 300г − 40%-го раствора и 400 − 10%. 197. Пусть было х л 40%-го и у л 60%-го раствора, тогда: y x+ y+5 x ⋅ 40 + ⋅ 60 = ⋅ 20 100 100 100 x y x+ y+5 5 ⋅ 40 + ⋅ 60 + ⋅ 80 = ⋅ 70 100 100 100 100
2 x + 3 y = x + y + 5 x = 5 − 2 y x = 5 − 2 y x = 1 4 x + 6 y + 40 = 7 x + 7 y + 35 3 x + y − 5 = 0 15 − 6 y + y − 5 = 0 y = 2 Ответ: 1 литр 40%-го и 2 л 60%-го раствора. 198. Пусть m кг − масса 3-го слитка, и ω − %-е содержание в нем меди, тогда m 5+m 5 100 ⋅ 30 + 100 ⋅ ω = 100 ⋅ 56 150 + ωm = 280 + 56m 3 90 + ωm = 180 + 60m m 3+ m ⋅ 30 + ⋅ω = ⋅ 60 100 100 100
ωm = 130 + 56m m = 10(ђ‹) 90 + 130 + 56m = 180 + 60m ω = 69(%) Процентное содержание меди в сплаве всех трех слитков вычислим по 5 3 10 ⋅ 30 + ⋅ 30 + ⋅ 69 2 100 100 = 51 % . формуле: 100% 100 5 + 3 + 10 3
131
Глава 3. Числовые функции § 9. Определение числовой функции. Область определения, область значений функции 199. а) (−∞; +∞); б) [0; +∞); в) (−∞; +∞); г) (−∞; 0)∪(0; +∞). 200. а) (−∞; +∞); б) (−∞; +∞); в) (−∞; +∞); г) (−∞; +∞). 201. а) Знаменатель не нулевой при любых х (−∞; +∞); б) Знаменатель не равен 0 ни при каких х. (−∞; +∞); в) Из тех же соображений (−∞; +∞); г) (−∞; +∞). 202.
а) х≠7, т. е. (-∞; 7)∪(7; +∞); б) 4х+1≠0⇔х≠−
1 1 1 ; (−∞; − )∪( ; +∞); 4 4 4
в) х+3≠0⇔х≠−3; (−∞; −3)∪(−3; +∞); 8 8 8 г) 8+5х≠0⇔5х≠−8⇔х≠− ; (−∞; − )∪(− ; +∞). 5 5 5 203. а) х−2≠0, т. е. х≠2. (−∞; 2)∪(2;+∞); 1 1 1 б) 2х+1≠0, т. е. х≠− . (−∞; − )∪(− ; +∞); 2 2 2 в) 3−х≠0, т. е. х≠3. (−∞; 3)∪(3;+∞); 2 2 2 г) 2+3х≠0, т. е. х≠− . (−∞;− )∪(− ; +∞). 3 3 3 204. а) х(х+1)≠0, т. е. х≠0, х≠−1. (−∞;−1)∪(−1; 0)∪(0; +∞); б) х2(х−5)≠0, т. е. х≠0, х≠5. (−∞;0)∪(0; 5)∪(5;+∞); в) х(7−х)≠0, т. е. х≠0, х≠7. (−∞; 0)∪(0; 7)∪(7; +∞); г) х2(6+х)≠0 ⇔х≠0, х≠−6. (−∞; −6)∪(−6; 0)∪(0; +∞). 205. а) (х−1)(х+2)≠0, т. е. х≠1, х≠−2. (−∞; −2)∪(−2; 1)∪(1; +∞); 7 7 7 б) (х+50)(2х+7)≠0, т. е. х≠−50, х≠− . (−∞; −50)∪(−50; − )∪( − ; +∞). 2 2 2 1 1 1 в) (х+12)(6х−3)≠0, т. е. х≠−12, х≠ . (−∞; −12)∪(−12; )∪( ; +∞); 2 2 2 4 4 4 г) (5х−4)(х−13)≠0, т. е. х≠ , х≠13. (−∞; )∪( ; 13)∪(13; +∞). 5 5 5
132
206. а) х2−5х+4≠0 по теореме Виета: х1=4, х2=1. х≠4, х≠1. (−∞; 1)∪(1; 4) ∪ (4; +∞); б) х2+2х−3≠0 по теореме Виета: х1=1, х2=−3. х≠1, х≠−3, (−∞; −3)∪(−3; 1)∪(1; +∞); 9+5 7 9−5 в) 2х2−9х+7≠0, D=81−56=25 х1 = ; х2= =1 4 2 4 7 х≠1, х≠ 2 7 7 (−∞; 1) ∪ (1; )∪( ; +∞); 2 2 г) 3х2−х−10≠0, D=1+120=121 5 1 + 11 1 − 11 х1= =2; х2= =− 6 6 3 5 5 5 х≠2; х≠ (−∞; − )∪(− ; 2) ∪ (2; +∞). 3 3 3 207. Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно. а) х−3≥, х≥3; б) х+11≥0, х≥−11; в)x+4≥0, x≥-4; г) 2−х≥0, х≤2 208. а) х2+13>0 всегда; в) х2+24>0 всегда; а)−г) (−∞; +∞).
б) х2+1>0 всегда; г) 22+х2>0 всегда.
209. а) х2−9≥0, х2≥9, |х|≥3, х≥3, -3≥x. (−∞; −3]∪[3; +∞);
б) 7−х2≥0, х2≤7, |х|≤ 7 , − 7 ≤х≤ 7 ; в) х2−144≥0, х2≥144, |х|≥12, х≥12, х≤−12; г) 20−х2≥0, х2≤20, |х|≤ 20 , − 20 ≤х≤ 20 . 210. а) 2х−х2≤0, х2−2х≤0, х(х−2)≤0, 0≤х≤2 1 б) х2−3≥0, х2−9≥0, х≥3, х≤−3 (см. 209а) 3 в) х2−5х≥0, х(х−5)≥0, х≥5, х≤0 1 г) х2−5≥0, х2≥25, х≥5, х≤−5 5 211. а) х2−6х+5≥0 по теореме Виета:
+
– 0
+
2
– 0
+
х
+
х
+
х
5
– 1
+
5 133
х1=5, х2=1, (х−5)(х−1)≥0, х≥5, х≤1; б) −х2+3х+4≥0 х2−3х−4≤0 по теореме Виета: х1=4, х2=−1, (х−4)(х+1)≤0, −1≤х≤4; в) х2−5х+6≥0 по теореме Виета: х1=3, х2=2, (х−2)(х−3)≥0, х≥3, х≤2; г) −2+х+х2≥0 х2+х−2≥0 по теореме Виета: х1=1, х2=−2, (х−1)(х−2)≥0, х≥1, х≤−2. 212. а)x-2>0, x>2; б) х2−6х+8>0 по теореме Виета: х1=4, х2=2, (х−2)(х−4)>0 х>4, x<2; в) х+3>0, x>−3; г) х2−8х+15>0 по теореме Виета: х1=5, х2=3, (х−3)(х−5)>0, х>5, х<3.
+
– –1
х
+
х
+
х
4
+
– 2
3
+
– –2
+
+
1
х
+
– 2
4
+
х
+
– 3
5
213.
а) у=
2− x
2 − x ≥ 0 x ≤ 2 ; −2<x≤2; x + 2 x + 2 > 0 x > −2 4x + 6
4 x + 6 ≥ 0 б) у= ; 3 x + 4 3 x + 4 > 0 в) y =
г) у=
3 x ≥ − 2 4 х>− ; 4 3 x > − 3
x + 1 x + 1 ≥ 0 x ≥ −1 х≥−1; x + 3 x + 3 > 0 x > −3 5 5 − 3 x 5 − 3 x ≥ 0 5 3 x ≤ 5 x ≤ 4 x + 8 > 0 ⇔ 4 x > −8 3 −2<х≤ . 3 4x + 8 x > −2
214.
а) у=
2− x 3x + 2
+ −
134
+
– 2 3
2
х
x−2 2− x 2 ≤0; − <x≤2 ≥0; 2 3 3x + 2 x+ 3
3x + 6 б) у= 2x + 1 x+2 3x + 6 1 ≥0; х>− , х≤−2 ≥0; 1 2 2x + 1 x+
+ –2
2
+
1 2x + 1 2x + 1 2 ≥0 ; ≥0; x+3 x+3 x+3 x+
в) у= х≥−
– −
1 , х<−3; 2
+
5 3( x − ) 5 − 3x 5 − 3x 3 ≤0; г) у= ; ≥0; 2x + 8 2x + 8 2( x + 4) 5 x− 3 ≤0; −4<x≤ 5 . x+4 3
−
+
х
+
х
1 2
– –4
х
1 2
– –3
+
5 3
215.
а) у=х2; б) у=
1 x
; в) у=
1 −x
; г) у=
1 x + 10
.
216.
а) у=
1 3 − x x −1
;
в) у= x(3 − x) ; 217. а) у=х;
б) у= ( x + 1)(6 − x) ; г) у= (−5 − x)( x + 2) .
б) у=х2.
218. а)
135
219. 2 − , если ≤ -1 f (х)= x x − 1, если − 1 < x ≤ 3 а) D (f)=(−∞; 3]; б) f(−2)=1, f(−1)=2, f(8)=−1, f(3)=2, f(7) − не существует. в)
г) Е(f)=(−2; 2]. 220.
1 − , если x < 0 f(x)= х − 3x 2 + 6 x − 4, если ≤ x ≤ 2 1 а) D(f)=(−∞; 2]; б) f(−3)= ; f(−1)=1; f(0)=−4; f(2)=−3⋅4+12−4=−4; 3 f(5) − не существует. в)
г) Е(f)=[−4; −1]∪(0; +∞). 221. 2 а) f(x)= x , если − 2 ≤ x ≤ 1 . Найдем f(1). С одной стороны f(1)=1, с x + 1, если 0 < x < 3 другой − 2. Задание некорректно. x , если 0 ≤ x ≤ 4 б) f(x)= 2 x , если x ≥ 4 Подозрения вызывает только точка х=4. С одной стороны f(4)=2, с другой − 16. Задание некорректно.
136
222.
1 ; (х+1)(х2−7х−8)≠0; ( x + 1)( x 2 − 7 x − 8) по теореме Виета: х1=8, х2=−1, (х+1)2(х−8)≠0, х≠−1, х≠8; x +1 ; (х2−9)(х2+х−2)≠0; б) у= 2 ( x − 9)( x 2 + x − 2) по теореме Виета: х1=1, х2=−2, (х−3)(х+3)(х−1)(х+2)≠0. (−∞; −3)∪(−3; −2)∪(−2; 1)∪(1; 3)∪(3; +∞); x ; (х2−1)(х2−2х−15)≠0; в) у= 2 ( x − 1)( x 2 − 2 x − 15) а) у=
по теореме Виета: х1=5, х2=−3, (х−1)(х+1)(х+3)(х−5)≠0, (−∞; −3)∪(−3; −1)∪(−1; 1)∪(1; 5)∪(5; +∞); 3 ; (х+5)(х2-5х-6)≠0; г) у= 2 ( x + 5)( x − 5 x − 6) по теореме Виета: х1=6, х2=−1, (х+5)(х−6)(х+1)≠0, х≠−5, х≠−1, х≠6. 223.
а) у=
б) у=
3 x − 2 ≥ 0 2 x − x + 2 x − x + 2 ≠ 0 3x − 2
2
2 2 x ≥ D=1−8=−7<0; х≥ ; 3 3 (−∞;+∞)
x 2 − 3x − 4 x 2 − 3x − 4 ≥ 0 16 − x 2 ≠ 0 16 − x 2
+
по теореме Виета:, х1=4, х2=−1 –1 ( x − 4)( x + 1) ≥ 0 x ≤ −1, x ≥ 4 x ≠ ±4 x ≠ ±4 х<−4, −4<x≤−1, x>4; x ≥ −2 x + 2 x + 2 ≥ 0 3 3 в) у= ; 3 −2≤х< ; <х; 3 − 2 x ≠ 0 x ≠ 2 2 3 − 2x 2 г) у=
4 − x 2 4 − x 2 ≥ 0 1 − 2 x 1 − 2 x ≠ 0
| x |≤ 2 x ≠ 1 2
+
–
х
4
−2 ≤ x ≤ 2 1 1 −2≤х≤ , <x<2. x ≠ 1 2 2 2
224.
3 − 2x
2 ; 5х+2>0; х>− ; 5 5x + 2 4 − 3x в) у= ; х+3>0; х>−3; x+3
а) у=
4x + 5
1 ; 2−4х>0; х< ; 2 2 − 4x x +1 г) у= ; 4−х>0; х<4. 4− x
б) у=
137
225.
а) у=
3 x − 4 ≥ 0 ; 2 x2 − 1 x − 1 > 0
3x − 4
4 x ≥ 3 x2 > 1
4 4 x ≥ х≥ ; 3 3 x > 1, x < −1
1
–1 х
–3
–2
б) у=
2
4 3
x2 − 4 x+3
x − 4 ≥ 0 x2 ≥ 4 x + 3 > 0 x > −3 2
| x |≥ 2 x ≥ 2, x ≤ −2 −3<x≤−2, x≥2; x > −3 x > −3 в) у=
х –4
–3
2x + 6 16 − x 2
2 x + 6 ≥ 0 x ≥ −3 2 16 − x > 0 | x |< 4
4
x ≥ −3 − 4 < x < 4 −3≤х<4; г) у=
х –5
2x − 3
2 2 x 2 − 50 ≥ 0 x ≥ 25 3 2 x − 3 > 0 x > 2
5
3 2
2 x 2 − 50
x ≥ 5, x ≤ −5 х≥5. x > 3 2
226.
+
+
– –1
х
а) у=
2
x 2 − 36 x2 − x − 2
х 138
–6
–1
2
6
x 2 − 36 ≥ 0 2 x − x − 2 > 0
| x |≥ 6 ( x − 2)( x + 1) > 0 x ≥ 6, x ≤ −6 x > 2, x < −1 х≥6, х≤−6;
+
х
+
–
б) у=
5
1
по теореме Виета: х1=5, х2=+1 ( x − 1)( x − 5) ≥ 0 x ≤ 1, x ≥ 5 | x |< 5 − 5 < x < 5
x2 − 6x + 5 25 − x 2
x 2 − 6 x + 5 ≥ 0 ; 25 − x 2 > 0
х –5
1
5
−5<x≤1; в) у=
x2 − 4
+
6 − x − x2
x 2 − 4 ≥ 0 x 2 ≥ 4 2 6 − x − x > 0 x 2 + x − 6 < 0 по теореме Виета: х1=2, х2=−3 | x |≥ 2 x ≥ 2, x ≤ −2 ( x − 2)( x + 3) < 0 − 3 < x < 2 −3<x≤−2;
г) у=
x2 + 7 x − 8
9 − x2 по теореме Виета: х1=1, х2=−8 ( x − 1)( x + 8) ≥ 0 | x |< 3
2
–3
х –3
x 2 + 7 x − 8 ≥ 0 ; 9 − x 2 > 0
x ≥ 1, x ≤ −8 − 3 < x < 3 1≤х<3.
х
+
–
–2
+
2
х
+
– 1
–8
х –8
–3
1
3
227. 7x + 1 ; x2 − x − 2 по теореме Виета:
а) f(x)=
7 x + 1 ≥ 0 2 x − x − 2 ≠ 0 x1 = 2, x2 = −1
139
1 1 x ≥ − − ≤х<2, x>2; 7 x ≠ 2, x ≠ −1 7 3x + 7 3x + 7 ; ≥0 x+2 x+2
б) f(x)=
+
7 3 ≥0; x≤− 7 , x>−2. 3 x+2 Опечатка в ответе задачника. x+
в) f(x)=
+
– −
–2
7 3
x − 2 ≥ 0 ; 2 x − 5x + 4 x − 5x + 4 ≠ 0 x−2
2
x ≥ 2 по теореме Виета: х1=4, х2=1; ; 2≤х≤4, х>4; x ≠ 1, x ≠ 4 x−2 x−2 ; ≥0 5 − 2x 5 − 2x x−2 5 ≤0; 2≤х< . 5 2 x− 2
г) f(x)=
+
+
–
х
5 2
2
228.
а) f(x)=
б) f(x)=
1 2 x + 1 ≥ 0 x ≥ − ; 2 ; х>3; x − 3 x − 3 > 0 x > 3
2x + 1
3x + 1 3x + 1 ; ≥0 7x − 4 7x − 4
+
1 x+ 3 ≥0; х> 4 , x≤− 1 ; 4 7 3 x− 7
в) f(x)=
2x + 1 2x + 1 ; ≥0 x−3 x−3
1 2 ≥0; х>3, х≤− 1 ; 2 x−3
x+
г)
140
f(x)=
3x + 1 7x − 4
;
3 x + 1 ≥ 0 7 x − 4 > 0
– −
– −
1 2
х
+
х
4 7
1 3
+
+
3
х
1 x≥− 3 х> 4 . 4 7 x > 7 229.
а) у= x − 1 ⋅ 9 − x ⋅ ( x − 5)( x − 7) ; б) у= в) у= г) у=
x − 2 ⋅ 10 − x ⋅ ( x − 3)( x − 6) ; x−3 1 ; x + 2 ⋅ 2 − x ⋅ x2 − 1 x − 4 ⋅ ( x + 2)( x − 1) x + 5 ⋅ ( x + 2)
.
230. x, если x ≤ 0 у=f(x)= x 2 , если 0 < x < 2 4, если 2 ≤ x ≤ 4 а) D(f)=(−∞; 4]; б) f(−2)=−2; f(0)=0, f(2)=4, f(4)=4, f(8) − не существует; в)
г) Е(f)=(−∞; 4]. 231. 2 x 2 − 4 x + 1, если x ≤ 2 у=f(x)= − 3( x − 2) 2 + 1, если 2 < x ≤ 3 а) D(f)=(−∞; 3]; б) f(0)=1, f(2)=1, f(3)=−2, f(4), f(5) − не существует; в)
141
г) Е(f)=[−2; +∞). 232. x + 1, если − 3 ≤ x ≤ 0 у=f(x)= x 2 − 4 x + 1, если 0 < x ≤ 2 2 , если x > 2 x а) D(f)=[−3; +∞);
б) f(−5) − не существует; f(−2)=−1, f(0)=1, f(2)=−3, f(4)= в)
г) Е(f)=[−3; 1]. 233.
142
1 ; 2
234.
§ 10. Способы задания функций 235. а) Да, является. в) Да, является.
б) Да, является. На горизонтальной оси стоит у. г) Нет, не является.
236. б), в) и г). 237. а) Является, у=х+2; б) да, является. у=2|x|−2; | x−2|−| x+2| в) нет, не является; г) да, является. у= . 2 238. а) Задает. у=х2.
б) Не задает.
в) Задает. у= x + 4 .
г) Задает. у=−(х+2)2+4=−х2−4х.
239. а) f(x)=−2x−2; (опечатка в ответе задачника) б) f(x)=(х+2)2−2=х2+4х+2; 3 в) f(x)= х+2; (опечатка в ответе задачника) 2 г) f(x)=−(х−2)2+4=−х2+4х. 240.
а) f(x)=
2 ; x
б) f(x)=− x + 5 +2; в) f(x)= x + 2 −1; (опечатка в ответе задачника) 3 г) у=− . (опечатка в ответе задачника) x
143
241. а) S(1)=90 (км); S(2,5)=225 (км); S(4)=360 (км); б) 1800=90t; t=20 (ч); в) 15 мин.=0,25 ч. S=90⋅0,25=22,5 (км); г) 450 м=0,45 км; t=0,005 ч. 242.
а) t(36)=3; t(2,7)= б)
9 ; t(144)=12; 40
S =4,5; S=54; 12
0,15 0,05 5 = = ч.; 12 4 400 3 3 3 S 3 г) 45 с= мин.= ч. = . S= =0,15 (км)=150 м. 4 240 240 12 20
в) 150 м=0,15 км; t(0,15)=
243. а) −х2 +4=(х−2)2 Строим график правой и левой части.
Абсциссы точек пересечения: 0; 2. Решения: 0; 2. б) Строим график обеих частей.
Абсциссы точек пересечения: 0; 3. в) х2−4=−(х+2)2
Абсциссы точек пересечения: 0; −2. 144
г) х2−3= x − 1
Абсциссы точек пересечения: 2. 244. а) S(1)=6; S(2,5)=22,5; S(4)=48;
б) 240=2t2+4t; t2+2t−120=0; D = 4 − 4 ⋅ 1(−120) = 222 −2 + 22 −2 − 2 =10; t2= =−12 – не подходит по смыслу задачи. t1= 2 2 Итак, t = 10 (ч.) 1 3 3 18 9 в) 45 мин.=0,75 ч.= ч. S=2⋅ +4⋅ = +3=4 (км); 4 16 4 16 8 г) 350 м=0,35 км; 2t2+4t=0,35; 2t2+4t−0,35=0 D =4+0,7=4,7 4 t1=
− 2 + 4,7 − 2 − 4,7 (ч.); t2= (ч.) – не подходит по смыслу. 2 2
245. 1 3V 3V Sh; S= ; h= ; h S 3 1 2,8 3 б) V= ⋅2⋅1,4= м; 3 3 3 ⋅ 0,045 3 ⋅ 0,45 1,35 2 = = м; в) 45 дм3=0,045 м3; S= 0,4 4 4 3⋅5 =60. (м). г) 2500 см2=0,25 м2; h= 0,25
а) V=
246. а) у=2х2−1;
б) у=−3 (х+1)2;
247. а) f(1)=1; б) f(8)=2; Опечатка в ответе задачника.
в) у=−3х2+4;
г) у=3(х−2)2.
в) f(5)=2;
г) f(12)=3.
145
248. а) f(73)=9. Опечатка в ответе задачника. б) f(−6)=6; в) f(−3)=9; г) f(12)=4. 249. Область значений − множество {0, 1, 4, 5, 6, 9}, вследствие того, что квадраты целых чисел оканчиваются всегда на одну из этих цифр. 250.
4, если x ≤ −5 2 а) у= f(х)= ( x + 3) , если − 5 < x < −2 x + 3, если x ≥ −2
Опечатка в ответе задачника. ( x + 2)2 + 1, если -4 ≤ x ≤ −1 . б) у= f(х)= 2 | x |, если − 1 < x < 1 x − 1 + 2, если x ≥ 1 251.
252. а)
146
б)
§ 11. Свойства функций 253.
а) f(x)=у=5х. Возьмем произвольные х1, х2, такие что х1<х2. Тогда, умножая неравенство на 5, получаем: f(x1)=5х1<5х2= f(x2) f(x1)< f(x2). Функция возрастает. б) f(x)=у=2х+3. Возьмем произвольные х1, х2: х1<х2 ⇔ 2х1<2х⇔2х1+3<2х2+3. f(x1)< f(x2). Функция возрастает. в) f(x)=у=2х−3. Возьмем произвольные х1, х2: х1<х2 ⇔ 2х1<2х2⇔2х1−3<2х2−3. f(x1)< f(x2). Функция возрастает. г) f(x)=у=
x +4. 2
Для произвольных х1 и х2, таких что х1<х2, имеем: х1<х2⇔
x x1 x 2 x < ⇔ 1 +4< 2 +4 4 2 2 2
f(x1)< f(x2). Функция возрастает. 254.
а) f(x)=у=х3. Для произвольных х1 и х2, таких что х1<х2, имеем: х1<х2⇔х13<х23. f(x1)< f(x2). Функция возрастает. б) f(x)=у=2х3. Для произвольных х1 и х2, таких что х1<х2, имеем: х1<х2⇔х13<х23⇔2х13<2х23. f(x1)< f(x2). Функция возрастает. в) f(x)=у=х3+1. Для произвольных х1 и х2, таких что х1<х2, имеем: х1<х2⇔х13<х23⇔х13+1<х23+1. f(x1)< f(x2). Функция возрастает. г) f(x)=у=
x3 . Для произвольных х1 и х2, таких что х1<х2, имеем: 2
х1<х2⇔х13<х23⇔ 255.
x13 x23 < . f(x1)< f(x2). Функция возрастает. 2 2
а) f(x)=у=х2, х≥0. Для произвольных положительных (точнее неотрицательных) х1 и х2, из неравенства х1<х2 следует х12<х22. f(x1)< f(x2). Функция возрастает. 146
б) f(x)=у=−
1 , х<0. x
Для произвольных отрицательных х1 и х2, из неравенства х1<х2 следует, что в) f(x)=у=−
1 1 1 1 > ; − >− . f(x1)< f(x2). Функция возрастает. x1 x2 x1 x2
1 , х>0. x
Для произвольных положительных х1 и х2, из неравенства х1<х2 следует, что
1 1 1 1 > ; − <− . f(x1)< f(x2). Функция возрастает. x1 x2 x1 x2
г) f(x)=у=3х2, х≥0. Для произвольных неотрицательных х1 и х2, из неравенства х1<х2 следует х12<х22; 3х12<3х22. То есть f(x1)< f(x2). Функция возрастает. 256.
а) f(x)=−5x. Для произвольных х1 и х2, х1<х2 имеем: х1<х2⇔−5х1>−5х2. f(x1)>f(x2). Функция убывает. б) f(x)=у=5−2x. Для произвольных х1 и х2, х1<х2 имеем: х1<х2⇔−2х1>−2х2. 5−2х1>5−2х2, f(x1)>f(x2). Функция убывает. в) f(x)=у=−7х+1. Для произвольных х1 и х2, х1<х2 имеем: х1<х2⇔−7х1>−7х2. −7х1+1>−7х2+1, f(x1)>f(x2). Функция убывает. x . Для произвольных х1 и х2, х1<х2 имеем: 3 x x x x х1<х2⇔− 1 >− 2 ⇔4− 1 >4− 2 . f(x1)>f(x2). Функция убывает. 3 3 3 3
г) f(x)=у=4−
257.
а) f(x)=у=−х3. Для произвольных х1 и х2, х1<х2 имеем: х1<х2⇔х13<х23⇔−х13>−х23. f(x1)>f(x2). Функция убывает. б) f(x)=у=−3х3. Для произвольных х1 и х2, х1<х2 имеем: х1<х2⇔х13<х23⇔−3х13>−3х23. f(x1)>f(x2). Функция убывает. в) f(x)=у=−
x3 . Для произвольных х1 и х2, х1<х2 имеем: 5
х1<х2⇔х13<х23⇔−
x13 x23 > . f(x1)>f(x2). Функция убывает. 5 5
г) f(x)=у=−х3+7. Для произвольных х1 и х2, х1<х2 имеем: 147
х1<х2⇔х13<х23⇔−х13>−х23⇔−х13+7>−х23+7, f(x1)>f(x2). Функция убывает. 258.
а) f(x)=у=х2, х≤0. Для отрицательных (точнее неположительных) х1 и х2, х1<х2 ⇔ х12<х22 f(x1) > f(x2). Функция убывает. б) f(x)=у=−2х2, х≥0. Для неотрицательных х1 и х2, из неравенства х1<х2 следует, что х12<х22⇔ −2х12>−2х22. f(x1)> f(x2). Функция убывает. в) f(x)=у=3х2, х≤0. Для неположительных х1 и х2 из неравенства х1<х2 следует, что х12>х22⇔3x12>3x22. f(x1)> f(x2). Функция убывает. г) f(x)=у=−3х2, х≥0. Для неотрицательных х1 и х2, из неравенства х1<х2 следует, что х12<х22⇔ −3х12>−3х22. f(x1)> f(x2). Функция убывает. 259.
а) Не ограничена ни сверху, ни снизу. б) Ограничена снизу, не ограничена сверху. в) Ограничена снизу, не ограничена сверху. г) Ограничена и сверху и снизу, то есть ограничена. 260.
а) Ограничена снизу, не ограничена сверху. б) Ограничена снизу, не ограничена сверху. в) Ограничена снизу, не ограничена сверху. г) Ограничена и сверху и снизу , то есть ограничена. 261.
а) Ограничена сверху, не ограничена снизу. б) Ограничена снизу, не ограничена сверху. в) Ограничена снизу, не ограничена сверху. г) Ограничена сверху, не ограничена снизу. 262.
а) Функция возрастающая, значит наименьшее значение будет при наименьшем значении аргумента, а наибольшее − при наибольшем значении аргумента. ymin = у(0)=3. ymax = у(1)=5. 148
б) ymin = −2 , ymax = 0 ; в) ymin = y (0) = 1 . Функция неограничена сверху. г) Наименьшего значения нет. ymax = y (2) = 2 . 263.
у= x а) х∈[0; +∞), ymin = y (0) = 0 . Наибольшего значения нет, так как функция сверху неограничена. б) х∈[0; 3]. ymin = y (0) = 0 , ymax = y (3) = 3 ; в) х∈[1; 4]. ymin = y (1) = 1 , y max = y (4) = 2 ; г) х∈(0; 2]. Наименьшего значения нет. y max = 2 . 264.
а) у= x − 4 . y min = 0 . Сверху функция неограничена. б) у=3− x . y max = 3 . Снизу функция неограничена. в) у= x +2. y min = y (0) = 2 . Сверху функция неограничена. г) у=4− x . y max = y (0) = 4 . Снизу функция неограничена. 265. 2 , если x < 0 f(x)= x . x , если x ≥ 0
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Убывает при х<0. Возрастает на [0; +∞). 3) Не ограничена ни снизу, ни сверху. 4) Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения. 5) Непрерывна на (−∞; 0). Непрерывна на (0; +∞). 6) Е(f) =(−∞; +∞). 149
7) На (−∞; 0) выпукла вверх. На [0; +∞) выпукла вверх. 266. 2 f(x)= 4 − 2 x , если − 1 ≤ x ≤ 1 x + 1, если 1 < x ≤ 3
1) D(f)=[−1; 3]. 2) Возрастает на [−1; 0] и на [1; 3]. Убывает на [0; 1]. 3) Ограничена. 4) Наибольшее значение f max = 4 . Наименьшее: f min = 2 5) Непрерывна на [−1; 3]. 6) Е(f)=[2; 4]. 7) Выпукла вверх на [−1; 1]. На [1; 3] функцию можно считать как выпуклой вверх, так и выпуклой вниз. 267.
а) у=х3+3х. Возьмем произвольные х1 и х2. Пусть х1<х2. х1<х2; 3х1<3х2, х13<х23. Сложим эти неравенства: х13+3х1<х23+3х2; f(x1)<f(x2). Функция возрастает. б) у=х4+3х, х≥0. Возьмем произвольные неотрицательные х1 и х2. Пусть х1<х2. Тогда х14<х24 и 3х1<3х2. Сложим эти неравенства. х14+3х1<х24+3х2. f(x1)<f(x2). Функция возрастает. в) у=2х3+х. Возьмем произвольные х1 и х2. Пусть х1<х2. Тогда х13<х23⇔ 2х13<2х23. Сложим последнее неравенство с неравенством х1<х2. 2х13+х1<2х23+х2. f(x1)<f(x2). Функция возрастает. г) у=2х4+х, x ≥ 0 . Возьмем произвольные неотрицательные х1 и х2. Пусть х1<х2. Тогда х14<х24⇔ 2х14<2х24. Сложим последнее неравенство с неравенством х1<х2. 2х14+х1<2х24+х2. f(x1)<f(x2). Функция возрастает. 150
268. x−5 x+3 8 8 а) у= = − =1− , х>−3. x+3 x+3 x+3 x+3
Для произвольных х1 и х2, х1<х2, из промежутка (−3; +∞) имеем: х1<х2 0<x1+3<x2+3 −
8 8 8 8 <− ⇔1− <1− . x1 + 3 x2 + 3 x1 + 3 x2 + 3
f(x1)<f(x2). Функция возрастает. б) у=
2 − x 1− x 1 1 = + =1− ; х<1. 1− x 1− x 1− x 1− x
Для произвольных х1 и х2, х1<х2, из промежутка (−∞; 1) имеем: 1−х1>1−х2 >0 1 1 1 1 < ; 1– <1− . 1 − x1 1 − x2 1 − x1 1 − x2
f(x1)<f(x2). Функция возрастает. в) у=
x +1 x −1 2 2 = + =1+ ; х>1. x −1 x −1 x −1 x −1
Для произвольных х1 и х2, х1<х2, из промежутка (1; +∞) имеем: 0<х1−1<х2−1 2 2 2 2 > ; 1– <1− . x1 − 1 x2 − 1 x1 − 1 x2 − 1
f(x1)>f(x2). Функция убывает. Задание некорректно. г) у=
6− x 2− x 4 = + , х<2. 2− x 2− x 2− x
Для произвольных х1 и х2, х1<х2, из промежутка (−∞; 2) имеем: 2−х1>2−х2>0 4 4 4 4 < ; 1+ <1+ . 2 − x1 2 − x2 2 − x1 2 − x2
f(x1)<f(x2). Функция возрастает. 269.
а) у=−х3−2х. Для произвольных х1 и х2, х1<х2 имеем: 1. х13<х23⇔ −х13<−х23 2. −2х1>−2х2 Складывая неравенства, получаем −х13−2х1>−х23−2х2; f(x1)>f(x2). Функция убывает. б) у=х6−0,5х, х≤0. 151
Для произвольных неположительных х1 и х2, х1<х2 имеем: х16>х26; −0,5х1>−0,5х2 Складывая эти неравенства, получаем х16−0,5х1>х26−0,5х2. f(x1)>f(x2). Функция убывает. в) у=х4−5х, х≤0. Для произвольных неположительных х1 и х2, х1<х2 имеем: х14>х24; −5х1>−5х2 Сложим эти неравенства. х14−5х1>х24−5х2; f(x1)>f(x2). Функция убывает. г) у=−3х5−х. Для произвольных х1 и х2, х1<х2 имеем: −3х15>−3х25; −х1>−х2 Сложим эти неравенства. −3х15−х1>−3х25−х2; f(x1)>f(x2). Функция убывает. 270. x−5 5− x 4− x 1 1 1 а) у= =−( )=−( + )=−1− =−1+ , х>4. 4− x 4− x 4− x 4− x 4− x x−4
Для произвольных х1 и х2, х1<х2 из промежутка (4; +∞) имеем: 0<х1−4<х2−4; 1 1 1 1 > ; −1+ >−1+ . f(x1)>f(x2). Функция убывает. x1 − 4 x2 − 4 x1 − 4 x2 − 4
б) у=
2 − 3x 3x − 2 3x + 6 8 8 =−( )=−( + )=−2+ , х<−2. 2+ x 2+ x x+2 x+2 x+2
Для произвольных х1 и х2, х1<х2 из промежутка (−∞;−2) имеем: х1+2<х2+2<0; 8 8 8 8 > ; −2+ >−2+ . x1 + 2 x2 + 2 x1 + 2 x2 + 2
f(x1)>f(x2). Функция убывает. в) у=
x+3 1− x 4 −3 − x −4 =−( )=−( + )=−1+ , х>1. 1− x 1− x 1− x 1− x 1− x
Для произвольных х1 и х2, х1<х2 из промежутка (1; +∞) имеем: 1 − x1 > 1 − x2
4 4 4 4 < −1 + ; −1+ ; < 1 − x1 1 − x1 1 − x2 1 − x2 f ( x1 ) < f ( x2 ) – функция возрастает задача некорректна.
Функция убывает. г) у= 152
6 − 3x 3x − 6 3x + 9 15 15 =−( )=−( − )=−3+ , х<−3. 3+ x 3+ x x+3 x+3 x+3
Для произвольных х1 и х2, х1<х2 из промежутка (−∞; −3) имеем: х1+3<х2+3<0; 15 15 15 15 > ; −3+ >−3+ . x1 + 3 x 2 + 3 x1 + 3 x2 + 3
f(x1)>f(x2). Функция убывает. 271.
а) у=х2+4х−3. Пусть (х0, у0) − вершина параболы. х0=−
4 =−2. ymin = у0=4−8−3=−7. Наибольшего не существует. 2
б) у=−4х2−12х+1. Пусть (х0, у0) − вершина параболы. х0=−
−12 3 9 3 =− . ymax = у0=−4⋅ +12⋅ +1=10. −8 2 4 2
Наименьшего не существует. в) у=9х2+6х−5. Пусть (х0, у0) − вершина параболы. х0=−
1 1 6 1 =− . ymin = у0=9⋅ −6⋅ −5=−6. 18 3 9 3
Наибольшего не существует. г) у=−х2+8х−12. Пусть (х0, у0) − вершина параболы. х0=−
−8 =4. ymax = у0=−16+32−12=4. ymin не существует. −2
272.
а) у=|x|+3, х∈[−5; 1]. у будет наименьшим (наибольшим) при |x| наименьшем (наибольшем) |x|наим=0; |x|наиб=5; унаим =3; унаиб=8. б) у=−|4x|+1, х∈(−6; 2]. у будет наибольшим (наименьшим) при |4x| наименьшем (наибольшем). |4x|наиб − не существует; |4x|наим=0 унаим − не существует; унаиб=1. в) у=−|2x|−1, х∈[−1; 1]. у будет наибольшим при |2x| наименьшем |2x|наим=0, унаим =−3. г) у=|x|+3, х∈[−5; 1). у будет наибольшим (наименьшим) при |x| наибольшем (наименьшем) |x|наиб=5, унаиб=8, |x|наим=0, унаим =3. 153
273. 2, если − 3 ≤ x ≤ 1 f(x) = x , если 1 < x ≤ 4 ( x − 5) 2 + 1, если 4 < x ≤ 6
1) D(f) =[−3; 6] 2) На [−3; −1] постоянна. На [3; 4] и на [5; 6] возрастает. На [4; 5] убывает. 3) Ограничена. 4) унаиб=2, унаим=1. 5) Непрерывна на [−3; 1). Непрерывна на (1; 6]. 6) Е(f)=[1; 2]. 7) На [1; 4] выпукла вверх. На [4; 6] выпукла вниз. На [−3; 1] можно считать выпуклой как вверх так и вниз. 274. 3 x , если x < 0 f(x)= − x 2 + 2 x + 2, если 0 ≤ x ≤ 2 x, если 2 < x ≤ 4
1) D(f) =[−∞; 4] 2) На [−∞; 0] и на [1; 2] убывает. На [0; 1] и на [2; 4] возрастает. 3) Ограничена сверху, неограничена снизу. 4) унаиб=4; унаим − не существует. 5) Непрерывна на (−∞; 0). Непрерывна на (0; 4]. 6) Е(f)=(−∞; 0)∪[2; 4]. 7) На [−∞; 0] и на [0; 2] выпукла вверх. На [2; 4] выпукла как вверх, так и вниз.
§ 12. Четные и нечетные функции 275.
а) Да, симметрично. в) Нет, не симметрично.
б) Да, симметрично. г) Нет, не симметрично.
276.
а) Нет, не симметрично. 154
б) Нет, не симметрично.
в) Нет, не симметрично.
г) Нет, не симметрично.
277.
а) f(x)=3x2+x4. D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. f(−x)=3(−х)2+(−х)4=3х2+х4=f(x). Функция четная. б) f(x)=4x6−x2. D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. f(−x)=4(−х)6−(−х)2=4х6−х2=f(x). Функция четная. в) f(x)=2x8−x6. D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. f(−x)=2(−х)8−(−х)6=2х8−х6=f(x). Функция четная. г) f(x)=5x2+x10. D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. f(−x)=5(−х)2+(−х)10=5х2+х10=f(x). Функция четная. 278.
а)f(x)=x2(2x2−х3). D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. f(−x)=(−х)2(2(−х)2−(−х)3)=х2(2х2+х3). В точке х=1 f(x)=1(2−1)=1; f(−x)=1(2+1)=3; f(x)≠ f(−x), f(−x)≠− f(x). Функция ни четная, ни нечетная. Задание не корректно. б) f(x)= f(−x)=
x4 + 1 2 x3
; D(f)=(−∞; 0)∪(0; +∞) − симметрично.
(− x) 4 + 1 2(− x)
3
=−
x4 + 1 2 x3
=−f(x). Функция нечетная.
в) f(x)=х(5−х2); D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. f(−x)=−х(5−(−х)2)=−х(5−х2)=−f(x). Функция нечетная. г) f(x)= f(−x)=
3x
; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.
x6 + 2 3( − x) 6
(− x) + 2
=−
3 6
x +2
=−f(x). Функция нечетная.
279.
f(x)=х2+х; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. f(−x)= (−х2)−х=х2−х, при x = 1 : f (1) = 2, f (−1) = 0 f(−x)≠ f(x)? f(−x)≠− f(x). Функция ни четная, ни нечетная. 280.
а) f(x)=у=х2; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. f(−x)= (−х)2=х2 =f(х). Функция четная. б) f(x)=у=х7; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. f(−x)= (−х)7=−х7=f(х). Функция нечетная. в) f(x)=у=х6; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. f(−x)= (−х)6=х6=f(х). Функция четная. г) f(x)=у=х3; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. 155
f(−x)= (−х)3=−х3=f(х). Функция нечетная. 281.
а) f(x)=у=|х|, х∈[−1; 1]; D(f)= [−1; 1] − симметрично. f(−x)= |−х|=|х|=f(х). Функция четная. б) f(x)=у=х5, х∈[−3; 3); D(f)= [−3; 3) − не симметрично. Функция ни четная, ни нечетная. в) f(x)=у=|х|, х∈[−2; 2); D(f)= (−2; 2) − не симметрично. Функция ни четная, ни нечетная. г) f(x)=х5, х∈[−4; 4]; D(f)= [−4; 4] − симметрично. f(−x)= (−х)5=−х5=−f(х). Функция нечетная. 282.
а) f(x)=у=2х3, х∈[−2; 2]; D(f)= [−2; 2] − симметрично. f(−x)=2(−x)3=−2x3=−f(x). Функция нечетная. б) f(x)=у=−х2, х∈[−1; 0]; D(f)= [−1; 0] − не симметрично. Функция ни четная, ни нечетная. в) f(x)=−х2, х∈(−∞; +∞); D(f)= (−∞; ∞) − симметрично. f(−x)=−(−x)2=−x2=−f(x). Функция четная. г) f(x)=у=2х3, х∈[−3; 3); D(f)= [−3; 3) − не симметрично. Функция ни четная, ни нечетная. 283.
а) Четная. в) Нечетная.
б) Нечетная. г) Четная.
284.
а) Нечетная. в) Четная.
б) Ни четная, ни нечетная. г) Ни четная, ни нечетная.
285.
а)
б)
в)
г)
156
286.
а) График f(x) симметричен относительно оси ординат. Значит направления монотонности при х>0 и х<0 противоположны. То есть при х<0 функция убывает. б) Из тех же соображений, что и в п. а) функция возрастает при х<0. в) Возьмем произвольные х1 и х2, х1<х2<0, и рассмотрим f(x1) и f(x2) f(x1)= −f(−x1); f(x2)= −f(−x2). Но 0<−х2<−х1, а функция возрастает при х >0. Значит, f(−x1)> f(−x2)⇔ −f(−x1)<−f(−x2)⇔ f(x1)<f(x2). Функция возрастает при х<0. г) Возьмем произвольные х1 и х2, х1<х2<0. Так как функция нечетная, то f(−x1)= −f(x1); f(−x2)= −f(x2). Так как 0<−х2<−х1, и функция убывает при х >0, то f(−x1)> f(−x2); −f(x1)< −f(−x2). f(x1)>f(x2). Функция убывает при х<0. 287.
а) Можно.
б) Нельзя.
288.
а) Можно.
б) Нельзя. Ответ в задачнике неверен.
289.
а) Нельзя. Ответ в задачнике неверен. б) Можно. 290.
а) Нельзя.
б) Можно.
291.
Четная.
157
292.
Ни четная, ни нечетная. 293.
Нечетная. 294.
а) f(x)=y= x + 1 ; D(f)=[−1; +∞) − не симметрично. Ни четная, ни нечетная. б) f(x)=y= f(−x)=
x−2
x2 − 1 −x − 2
(− x) 2 − 1
; D(f)=[−∞; −1)∪(−1; 1)∪(1; +∞) − симметрично.
=
−x − 2 x2 − 1
.
При х=2, f(−x)=−4, f(x)=0. f(−x)≠ f(x), f(−x)≠ −f(x). Ни четная, ни нечетная. в) f(x)=y= x − 5 ; D(f)=[5; +∞) − не симметрично. Ни четная, ни нечетная. г) f(x)=y=
x+2 x 2 − 16
; D(f)=[−∞; −4)∪(−4; 4)∪(4; +∞) − симметрично.
Возьмем х=2. f(2)=
4 1 =− . −8 2
f(−2)=0, f(2)≠ f(−2), f(−2)≠− f(2). Функция ни четная, ни нечетная. 295.
а) f(x)=4х−2х3+6х5. D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. f(−x)=4(−х)−2(−х)3+6(−х)5=−(4х−2х3+6х5)= −f(x). Функция нечетная. 158
б) f(x)=y=
x−2 x2 + 4
; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично. 4 8
Возьмем х=2. f(2)=0; f(−2)=− =−
1 . 2
f(−2)≠f(2), f(−2)≠− f(2). Функция ни четная, ни нечетная. в) f(x)= x ; D(f)=[0; +∞) − не симметрично. Функция ни четная, ни нечетная. г) f(x)=y= f(−х)=
x2 + 8 x2 − 9
(− x) 2 + 8 2
(− x) − 9
; D(f)=(−∞; −3)∪(−3; 3)∪(3; +∞) − симметрично. =
x2 + 8 x2 − 9
=f(x). Функция четная.
296.
f(x)=4х4−х3+2х2−х+5. f(x)= f1(x)+ f2(x), где f1(x)=4х4+2х2+5 − четная, f2(x)=−х3−х − нечетная. 297. 2 x + 4, если − 2 ≤ x ≤ −1 f(x)= 2 x 2 , если − 1 < x ≤ 1 − 2 x + 4, если 1 < x ≤ 2
1) D(f)=[−2; 2]. 2) Четная. 3) Возрастает на [−2; −1] и на [0; 1]. Убывает на [−1; 0] и на [1; 2]. 4) Ограничена. 5) унаим=0; унаиб=2. 6) Непрерывна. 7) Е(f)=[0; 2]. 8) На [−1; 1] выпукла вниз. На [−2; 1] и на [1; 2] функцию можно считать выпуклой как вверх, так и вниз. 298. 1, если − 2 ≤ x ≤ −1 f(x) 2 x 2 − 1, если − 1 < x ≤ 1 1, если 1 < x ≤ 2
1) D(f)=[−2; 2]. 2) Четная. 3) Возрастает на [0; 1]. Убывает на [−1; 0]. Постоянна на [−2, −1] и на [1; 2] 4) Ограничена. 159
5) унаим=−1; унаиб=1. 6) Непрерывна. 7) Е(f)=[−1; 1]. 8) На [−1; 1] выпукла вниз. На [−2; −1] и на [1; 2] функцию можно считать выпуклой как вверх, так и вниз. 299. 2, если x ≤ −1 f(x)= − 2 x3 − 1, если − 1 < x ≤ 1 − 2, если x > 1
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Убывает на [−1; 1]. На (−∞; −1] и на (1; +∞) функция постоянна. 4) Ограничена. 5) унаим=−3; унаиб=2. 6) Непрерывна на (−∞; −1), на (−1; 1) и на (1; +∞). 7) Е(f)=[−3; 1]∪{2}. 8) На (−1; 0) выпукла вниз. На (−∞; −1] и на [1; +∞) функцию можно считать выпуклой как вверх, так и вниз. 300.
а) Четная. h(−x)=f(−x) g2(−x)=f(x) (−g(x))2=f(x) g2(x)=h(x); б) h(−x)=f(−x)−g(−x)=f(x)− g(x)=h(x), четная; в) h(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)− g(x)=−h(x), нечетная; г) h(−x)=f(−x)⋅ g(−x)=−f(x)⋅(−g(x))=f(x)g(x)=h(x), четная. 301.
h(x)=3+х2. 302.
h(x)=−4−3х2. Ответ в задачнике неверен. 303.
а) h(x)=3−2х2. 304.
б) h(x)=−3+2х2.
а) h(x)=1+х2; б) не существует, т.к. f(0) должно быть равным 0 (в данном случае).
160
§ 13. Функции у = хn (n ∈N), их свойства и графики 305.
а) f(x)=у=х6. 1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Четная. 3) Возрастает на (0; +∞). Убывает на (−∞; 0). 4) Ограничена снизу, не ограничена сверху. 5) унаим=0, унаиб − не существует. 6) Функция непрерывна. 7) Е(f)=[0; +∞). 8) Выпукла вниз. б) f(x)=−х10. 1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Четная. 3) Возрастает на (−∞; 0). Убывает на (0; +∞). 4) Ограничена сверху, не ограничена снизу. 5) унаиб=0, унаим − не существует. 6) Функция непрерывна. 7) Е(f)=(−∞; 0]. 8) Выпукла вверх. в) f(x)=х8.
Свойства в точности такие же, что и в пункте а). г)у=х12.
Свойства в точности такие же, что и в пункте а). 306.
а) f(x)=y=−x3 1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Нечетная. 161
3) Убывает. 4) Не ограничена ни сверху, ни снизу. 5) унаиб, унаим − не существует. 6) Непрерывна. 7) Е(f)=(−∞; +∞). 8) Выпукла вниз на (−∞; 0]. Выпукла вверх на [0; +∞). б) f(x)=у=х7 1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Нечетная. 3) Возрастает. 4) Не ограничена ни сверху, ни снизу. 5) унаиб, унаим − не существует. 6) Непрерывна. 7) Е(f)=(−∞; +∞). 8) Выпукла вниз на (−∞; 0]. Выпукла вверх на [0; +∞). в) f(x)=у=х5
Свойства в точности те же. что и в предыдущем пункте. г) f(x)=у=−х9
Свойства в точности те же. что и в пункте а.
162
307.
а)
б)
в)
г)
308.
а)
б)
в)
г)
163
309. 1 , унаиб − не существует; 64
а) унаим=0, унаиб=1;
б) унаим=
в) унаим=0, унаиб=64;
г) унаим=729, унаиб − не существует.
310.
а) унаим=−1, унаиб=1; б) унаиб=0, унаим − не существует; в) унаим − не существует, унаиб=243; г) унаим=−1, унаиб − не существует. 311.
а)
б)
Точка пересечения (1; 1);
Точка пересечения (−1; −1);
в)
г)
Точка пересечения (0; 0).
Точка пересечения (0; 0) и (1; 1).
312.
а) Построим графики обеих частей уравнения.
Точка пересечения (−1; 1). х=−1; 164
б)
Точки пересечения (1; 1) и (−1; −1), х=1, х=−1; в)
Точки пересечения (1; 1), (−1; −1), х=1, х=−1; г)
х=1, х=−1, х=0. 313.
Будем определять количество решений по графикам. а) б)
2 решения.
1 решение.
165
в)
г)
Нет решений.
1 решение.
314.
а)
б)
2 решения.
1 решение.
в)
г)
1 решение.
1 решение.
166
315. x 4 , если x < 0 x , если x ≥ 0
а) f(x)=
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Убывает на (−∞; 0]. Возрастает на [0; +∞). 4) Не ограничена сверху, ограничена снизу. 5) унаим=0, унаиб − не существует.
6) Непрерывна. 7) Е(f)=[0; +∞). 8) Выпукла: вниз на (−∞; 0], вверх на [0; +∞).
− x , если x < 0 x5 , если x ≥ 0
б) f(x)=
1) D(f)=[0; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает. 4) Не ограничена сверху, ограничена снизу. 5) унаим=0, унаиб − не существует. 6) Непрерывна на области определения. 7) Е(f)=[0; +∞). 8) Выпукла вниз. x6 , если x ≤ 1 x , если x > 1
в) f(x)= 1
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на [0; 1]. Убывает на [−∞; 0] и на [1; +∞). 4) Не ограничена сверху, ограничена снизу. 5) унаим=0, унаиб − не существует. 6) Непрерывна. 7) Е(f)=[0; +∞). 8) Выпукла вниз на (−∞; 1] и на [0; +∞). 7 г) f(x)= x , если x ≤ −1
− 2 − x, если − 1 ≤ x ≤ 2
1) D(f)=(−∞; 2]. 167
2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на (−∞; −1]. Убывает на [−1; 2]. 4) Не ограничена снизу, ограничена сверху. 5) унаиб=−1, 6) Непрерывна на области определения. 7) Е(f)=(−∞; −1]. 8) Выпукла вверх на (−∞; −1]. На [−1; 2] можно считать выпуклой как вверх, так и вниз. 316.
Если точка принадлежит графику, то ее координаты удовлетворяют уравнению у=х2. а) 256=2n, n=8; б) −128=−2n, n=7; в) 243=3n, n=5; г) 256=−4n, n=4. 317.
Если график проходит через заданную точку, то ее координаты удовлетворяют уравнению у=хn. а) 1=(−1)n, n − четное. Функция четная. б) −1=(−1)n, n − нечетное. Функция нечетная. в) 1=1n, n −любое. Функция либо четная, либо нечетная. г) −1=1n, чего быть не может. Задание некорректно. 318.
p>Q. 319.
k=L. 320.
а)
168
б)
1 решение. в)
2 решения. г)
2 решения.
1 решение.
321.
а) х4≤ x
0≤х≤1;
б) х5<5−x.
х<1; 169
в) х3≥|x|−2.
г) −х4< x +1.
х≥−1.
х≥0.
322. | x |, если x ≤ 0 f(x)= x 7 , если 0 < x ≤ 1 1 , если x > 1 x
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на [0; 1]. Убывает на (−∞; 0] и на [1; +∞). 4) Не ограничена сверху, ограничена снизу. 5) унаим=0, унаиб − не существует. 6) Непрерывна. 7) Е(f)=[0; +∞). 8) Выпукла вниз на [0; 1] и на [1; +∞). На (−∞; 0] выпукла как вверх, так и вниз. 323. 1, если -3 ≤ x ≤ −1
f(x)= x6 , если - 1 < x ≤ 1 x, если x > 1
1) D(f)=[−3; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на [0; +∞). Убывает на [−1; 0]. Постоянна на [−3; −1] 4) Не ограничена сверху, ограничена снизу. 5) унаим=0, унаиб − не существует. 6) Непрерывна на области определения. 7) Е(f)=[0; +∞). 170
8) Выпукла вниз на [−1; 1]. На [−3; −1] и на [1; +∞) можно считать функцию выпуклой как вверх, так и вниз. 324. 1 x , если x < −1 f(x)= x11, если -1 ≤ x ≤ 1 ( x − 1) 4 + 1, если 1 < x ≤ 3
1) D(f)=(−∞; 3]. 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на [−1; +∞). Убывает на (−∞; −1]. 4) Ограничена снизу, ограничена сверху. 5) унаим=−1, унаиб =17. 6) Непрерывна на области определения. 7) Е(f)=[−1; 17]. 8) Выпукла вниз на [0;1] и на [1;3). Выпукла вверх на [−∞;−1] и на [−1;0]. 325. 2 − x , если x < 0 f(x)= x12 , если 0 ≤ x ≤ 1 1, если x > 1
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на (−∞; 0) и на [0; 1]. На [1; +∞) постоянна. 4) Ограничена снизу, неограничена сверху. 5) Непрерывна на (−∞; 0) и на (0; +∞). 6) унаим=0, унаиб − не существует. 7) Е(f)=[0; +∞). 8) Выпукла вниз на (−∞; 0] и на [0; 1]. На [1; +∞) можно считать функцию как выпуклой вверх, так и выпуклой вниз. 326.
а) х4+х2+1=0; х4=−х2−1. Правая часть отрицательна, левая − неотрицательна. Корней нет. б) х6−х+3=0; х6=х−3. Точек пересечения нет. Корней нет. в) х4+х2−2х+3=0 х4+1+(х−1)2=0 171
х4+1=−(х−1)2. Правая часть не положительна, левая − положительна. Корней нет. г) х6− x − 1 =0 х6= x − 1 . Точек пересечения нет. Корней нет.
327.
у=f(x), f(x)=x7; f(2x)⋅f(
x x )=(2x)7⋅( )7=x14=(x7)2=(f(x))2. 2 2
328.
у=f(х), f(x)=−x4; f(4x)⋅f(−
x −x 4 8 )=−(4x)4⋅ −( ) =x =(x4)2 =(f(x))2. 4 4
329.
у=f(x), f(x)=x10; f(x2)⋅f(x-1)=(x2)10⋅(x−1)10=x20⋅x−10=x10=f(x). 330.
y=f(x), f(x)=−x3; 1 2
1 2
(f(x))9: f(− x4)=(−x3)9: −(− x4)3=−x27:
x12 =−8x15=−(2x5)3=f(2x5). 8
§ 14. Функции у = х–n, (n ∈N), их свойства и графики 331. 1 2
а) f(x)=x−4, A( ; 16), B (−2;
1 ) 8
1 2
16=( )−4 − верно. А принадлежит графику. 1 =(−2)−4 − неверно. В не принадлежит графику. 8
б) f(x)=х−5. А (0; 0), В (−1; −1) 0=0−5 − неверно. А не принадлежит графику. −1=−1−5 − верно. Принадлежит графику. 1 8
1 2
в) f(х)=х−6, А ( 2 ; ), В ( ; 64) 172
1 =( 2 )−6 − верно. А принадлежит графику. 8 1 64=( )−6 − верно. В принадлежит графику. 2
г) f(x)=х−7. А(−1; 1), В (1; −1); 1=−1−7 − неверно; −1=1−7 − неверно. Ни А, ни В не принадлежат графику. 332.
а) f(x)=у=
1 x4
.
1) D(f)=(−∞; 0)∪(0; +∞). 2) Четная. 3) Возрастает на (−∞; 0). Убывает на (0; +∞). 4) Ограничена снизу, не ограничена сверху. 5) унаим, унаиб − не существуют. 6) Непрерывна на (−∞; 0) и на (0; +∞). 7) Е(f)=(0; +∞). 8) Выпукла вниз на (−∞; 0) и на (0; +∞). б) f(x)=у=х−3. 1) D(f)=(−∞; 0)∪(0; +∞). 2) Нечетная. 3) Убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞). 4) Не ограничена ни снизу, ни сверху. 5) унаим, унаиб − не существуют. 6) Непрерывна на (−∞; 0) и на (0; +∞). 7) Е(f)=(−∞; 0)∪(0; +∞). 8) Выпукла вверх на (−∞; 0), вниз на (0; +∞). в) f(x)=у=х−8. 1) D(f)=(−∞; 0)∪(0; +∞). 2) Четная. 3) Возрастает на (−∞; 0). Убывает на (0; +∞). 4) Ограничена снизу, не ограничена сверху. 5) унаим, унаиб − не существуют. 6) Непрерывна на (−∞; 0) и на (0; +∞). 7) Е(f)=(0; +∞). 173
8) Выпукла вниз на (−∞; 0) и на (0; +∞). г) f(x)=у=
1 x5
.
1) D(f)=(−∞; 0)∪(0; +∞). 2) Нечетная. 3) Убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞). 4) Не ограничена ни снизу, ни сверху. 5) унаим, унаиб − не существуют. 6) Непрерывна на (−∞; 0) и на (0; +∞). 7) Е(f)=(−∞; 0)∪(0; +∞). 8) Выпукла: вверх на (−∞; 0), вниз на (0; +∞). 333.
а)
б)
в)
г)
334.
а)
174
б)
в)
г)
335.
f(x)=у=х−4. 1 2
1 2
а) унаиб=f( )=16 на [− ; 1], унаим =1; б) на (−∞; −2] унаиб=
1 , унаим − не существует; 16
в) на (−3; −1] унаиб=1, унаим − не существует; г) на [3; +∞) унаиб=f(3) =
1 , унаим − не существует. 81
336.
f(x)=у=х−5 а) на [−2; −1] унаиб=f(−2)=−
1 , унаим =f(–1)=−1; 32
1 2
1 )=−32; 2 1 1 в) на ( ; 4] унаиб −не существует, унаим =f(4)= ; 2 1024
б) на (−∞; − ] унаиб− не существует, унаим =f(−
175
г) на [2; +∞) унаиб=f(2)=
1 , унаим − не существует. 32
337.
а) у=х и у=
1 x3
Точки пересечения (1; 1) и (−1; −1); б) у=х−4 и у=−2
Точек пересечения нет; в) у=х−7 и у=−х
Точек пересечения нет; 176
г) у=
1 x2
и у=|х|
Точки пересечения (1; 1) и (−1; 1);
338.
а) х−5=х
х=1, х=−1; в)
1 x
7
=х
х=1, х=−1; 339. 1 y = 5 а) x y = 2
б)
1 x4
=х2
х=1, х=−1; г) х−4= x
х=1. y = x −6 y = 3 − 2 x 2
б)
177
1 решение; 1 y = 8 x y = x4 − 1
4 решения; y = x −7 y = x
в)
г)
2 решения;
1 решение.
340. x −2 , если x < 0 2 2 x , если x ≥ 0
f(x)=
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная . 3) Возрастает на (−∞; 0) и на [0; +∞). 4) Ограничена снизу, не ограничена сверху. 5) унаим=0, унаиб − не существует. 6) Непрерывна на (−∞; 0) и на (0; +∞). 7) Е(f)=[0; +∞). 8) Выпукла вниз на (−∞; 0) и на (0; +∞). 341. | x |, если x ≤ 1 f(x)= −3 x , если x > 1
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на [0; 1]. Убывает на (−∞; 0) и на [1; +∞). 4) Ограничена снизу, не ограничена сверху. 5) унаим=0, унаиб − не существует. 6) Непрерывна на D(f). 178
7) Е(f)=[0; +∞). 8) Выпукла вниз на [1; +∞). На (−∞; 1] можно считать функцию выпуклой как вверх, так и вниз. 342. − 2( x + 1) 2 + 2, если -2 ≤ x ≤ 0 f(x)= −12 x , если x > 0
1) D(f)=[−2; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на [−2; −1]. Убывает на [−1; 0] и на (0; +∞). 4) Ограничена снизу, не ограничена сверху. 5) унаим=0, унаиб − не существует. 6) Непрерывна на (0; +∞) и на [−2; 0). 7) Е(f)=[0; +∞). 8) Выпукла: вверх на [−2; 0], вниз на (0; +∞). 343.
у=х−n
1 1 ); =2−n, n=8; 256 256 1 1 в) (7; ); =7−n, n=3; 343 343
а) (2;
1 1 ); − =−2−n, n=5; 32 32 1 1 г) ( ; 625); 625= −n, n=4. 5 5
б) (−2; −
344.
у=х−n а) (−1; 1); 1=−1−n, n − четное. Функция четная. б) (−1; −1); −1=−1−n, n − нечетное. Функция нечетная. в) (1; 1); 1=1−n, n −любое. Функция либо четная, либо нечетная. г) (1; −1); −1=1−n, таких n не существует. Задание некорректно. 345.
179
P=Q. 346. y = x −3 а) y = x 2 − 4
1 y = 2 б) x y = 2 − x2
3 решения.
2 решения.
y = x −4 4 y = 4 − x
в)
4 решения. решения. 347. − 1, если x ≤ −1 а) f(x)= x3 , если -1 < x ≤ 1 1 28 , если x > 1 x
180
1 y = 3 x y = x3 + 3
г)
2
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на [−1; 1]. Убывает на [1;+∞). На (−∞; −1] постоянна. 4) Ограничена. 5) унаим=−1, унаиб =1. 6) Непрерывна на D(f). 7) Е(f)=[−1; 1]. 8) Выпукла: вверх на [−1; 0], вниз на [0; 1] и на [1; +∞). На (−∞; −1) можно считать выпуклой как вверх, так и вниз. x −3 , если x ≤ −1 б) f(x)= − x 2 , если -1 < x ≤ 1 x 4 , если x > 1
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на [1; +∞) и на [1; 0]. Убывает на (−∞; −1] и на [0; 1]. 4) Ограничена снизу, не ограничена сверху. 5) унаим=−1, унаиб − не существует. 6) Непрерывна на (−∞; 1) и на (1; +∞). 7) Е(f)=[−1; 0]∪[1; +∞). 8) Выпукла: вверх на (−∞; −1] и на [−1; 1], вниз на (1; +∞). 348.
а)
б)
х<0, 0<x<1; в)
х≥1; г)
181
х≥1;
0<x<1.
349.
у=f(x), f(x)=х5; у=g(x), g(x)=х−10; ( f (2 x)) 2 ((2 x)5 ) 2 = =32⋅х10=32⋅(g(х))−1. 32 32 350.
у=f(x), f(x)=х−3; у=g(x), g(x)=х4; (f(x2))2=((х2)−3)2=(х−6)2=х−12=(х4)−3=g(x)−3. 351.
у=f(x), f(x)=х2; у=g(x), g(x)=х−4 16 2
f (x )
=
16 2 2
(x )
=
16 x
4
2 x
2 x
−1
= ( ) 4 = ( ) − 4 =(g(
2 −1 )) x
§ 15. Как построить график функции y = mf(x), если известен график функции y = f(x) 352.
у=f(x), f(x)= x а)
182
б)
в)
г)
353.
а)
б)
в)
г)
183
354.
а)
б)
в)
г)
355.
а)
184
б)
х=1.
х=1.
в)
г)
х=1;
х=−2, х=0.
Опечатка в ответе задачника а)
356. 0,1 x5
=3−2х.
2 решения.
б) 0,5 x =3х−1.
1 корень. 185
в) 3 x =5−4х.
г) 0,2х−4=2+х.
1 корень.
3 корня.
357.
у=3х4
1 2
а) на [− ; 1] унаим=0, унаиб=3; б) на [−1; 2) унаим=0, унаиб − не существует; 1 2
в) на [−1; − ] унаим=
3 , унаиб=3; г) на [−1; 2] унаим=0, унаиб=48. 16
358.
у=−2 x а) на отрезке [0; 4] унаим=−4, унаиб=0; б) на [0; 9] унаим − не существует, унаиб=0; 1 4
в) на [ ;
9 ] унаим=−3, унаиб=−1; 4
г) на (1; 1,96] унаим=−2,8, унаиб − не существует. 359. 2 x −2 , если x < 0 3 3 x , если x ≥ 0
f(x)=
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на (−∞; 0) и на [0; +∞). 4) Ограничена снизу, не ограничена сверху. 5) унаим=0, унаиб − не существует. 6) Непрерывна на (−∞; 0) и на (0; +∞). 7) Е(f)=[0; +∞). 186
8) Выпукла вниз на (−∞; 0) и на [0; +∞). 360.
2 | x |, если x ≤ 1 f(x)=
x + 1, если x > 1
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на [0; +∞). Убывает на (−∞; 0). 4) Ограничена снизу, не ограничена сверху. 5) унаим=0, унаиб − не существует. 6) Непрерывна на D(f). 7) Е(f)=[0; +∞). 8) Можно считать функцию как выпуклой вверх, так и выпуклой вниз на (−∞; +∞). 361. y = −3 x + 3 а) y = 1
4 б) y = 1 − x
Одно решение.
2 корня.
3 в) y = 3 x y = 5 − 2x
y = 3x − 2
y = 4 x 3 y = 5 − 2 x
г)
187
1 корень.
1 корень.
362. −2, если x ≤ −1 f(x)= 2 x3 , если -1 < x ≤ 1 x , если x > 1
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на [−1; 1] и на (1; +∞). На (−∞; −1] постоянна. 4) Ограничена снизу, не ограничена сверху. 5) унаим=−2, унаиб − не существует. 6) Непрерывна на (−∞; 1) и на (1; +∞). 7) Е(f)=[−2; +∞). 8) Выпукла: вверх на [−1; 0] и на (1; +∞), вниз на [0; 1]. На (−∞; −1] можно считать функцию выпуклой как вверх, так и вниз. 363. 3 | x |, если x ≤ −1 f(x)= 4 − x3 , если -1 < x ≤ 2 x − 2 , если x > 2
1) D(f)=(−∞; +∞). 2) Ни четная, ни нечетная. 3) Возрастает на [−1; 0] и на [2; +∞). Убывает на (−∞; −1] и на [0; 2]. 4) Ограничена снизу, не ограничена сверху. 5) унаим=0, унаиб − не существует. 6) Непрерывна на D(f). 7) Е(f)=[0; +∞). 8) Выпукла: вверх на [−1; 2] и на [2; +∞). 188
На (−∞; −1] можно считать функцию выпуклой как вверх, так и вниз. 364.
а) 2х3≥3−х; 2х3−2≥3−х−2; 2(х3−1)+(х−1)≥0; 2(х−1)(х2+х+1)+(х–1)≥0 ( x − 1)(2 x 2 + 2 x + 3) ≥ 0 ; 2 x 2 + 2 x + 3 > 0 , так как D=1−6=−5<0. Разделим обе части на это выражение (х−1)≥0; х≥1; б) −х4< x ; −х4≤0≤ x . Единственная точка, где x =−х4 − есть 0. В остальных точках, принадлежащих области определения, неравенство верно. х>0. 365. −1 − 2 x, если x ≤ −1
f(x)= 4 − x 2 , если -1 < x ≤ 2
3 x − 2 , если 2 < x ≤ 6
а) б) При а<0 нет корней. При а=0 или а>6 − 1 корень. При 0<a<1 или 4<a≤6 − 2 корня. При а=4 или 1≤а≤3 − 3 корня. При 3<а<4 − 4 корня.
Домашняя контрольная работа. ВАРИАНТ 1. 3
1. f(x)=y=
2
x + 4 x − 12
; х2+4х−12>0;
D =4+12=16; 4
x1 = −2 + 4 = 2 ; (х+6)(х−2)>0; х>2, х<−6. D(f)=(−∞; −6)∪(2; +∞). x2 = −6
2. у=f(x); f(x)=
2− x ⋅ x−7
x−4 ; x −5
3. Е(f)={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 4. f(x)=y=3х3+4х+5, х∈[0; +∞). Возьмем произвольные х1 и х2 из [0; +∞), такие, что х1<х2. Тогда х13<х23⇔3х13<3х23⇔3х13+4х1<3х23+4х2⇔3х13+4х1+5<3х2+4х2+5. f(x1)<f(x2). Функция возрастает. 5. h(x)=−2x−1. 6. х−2=4х+3. 189
Один корень. 7. f(x)=y=(x+2)4−2 на [−1; 4] унаим=f(−1)=−1; унаиб=f(4)=64−2=1294. 8.
а) х=1; б) 0<x≤1; в) х>1. 9. f(x)=х−2, g(х)=х4 f (4 x) 2
f (x )
=
( 4 x) −2 2 −2
(x )
=
x −2 16 x
−4
=
x2 1 = 16 4
x4 1 = 16 4
(
x2 4 1 ) = 4 2
| x |, если x < 2 2 (− x − 3) , если x ≥ 2
10. f(x)=
При р>3 − одно решение. При р=3 и р=0 − 2 решения. При 0<p<3 − 3 решения. При р<0 − одно решение. ВАРИАНТ 2.
1. f(x)=y=
6 2
− x + 5 x − 24
; −х2+5х−24>0; х2−5х+24<0;
D=25−24⋅4=25−96=−71<0. Таких х не существует. D(f)=∅.
190
x y( ) 2
2. у=f(x); f(x)=
3− x ⋅ x+4
x −1 x+2
3. Е(f)={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 4. f(x)=y=−х4−х2+8, х∈[0; +∞). Возьмем произвольные х1 и х2 из [0: +∞), такие, что х1<х2. Тогда х14<х24⇔−х14<−х24; х12<x22⇔−х12>−х22 Складывая два последних неравенства, получим: −х14−х12>−х24−х22; −х14−х12+8>−х24−х22+8; f(x1)>f(x2). Функция убывает. 5. h(x)=−(х+1)2+1 6. х−3=2−3х.
Корней нет. 7. f(x)=y=(1−х)3+3 на отрезке [2; 3] унаим=f(3)=−5; унаиб=f(2)= 2. 8.
а) х=3, х=−3; б) х>3, x<−3; в) 0<x≤3; −3≤х<0. 9. f(x)=х4, g(х)=х−1 При х<0,
−1
−1 −1
4 f ( x) +2(g(x)) =2 x 2 +2(x ) =2|x|+2x=−2x+2x=0.
2 10. f(x)= ( x + 4) + 2, если x < −3
| x |, если x ≥ −3
191
При р<0 корней нет. При р=0 − один корень. При 0<p<2 − 2 корня. При р=2 и р≥3 − 3 корня. При 2<р<3 − 4 корня.
192
Глава 4. Прогрессии § 17. Определение числовой последовательности и способы ее задания 366.
а) Нет, не является. в) Нет, не является.
б) Нет, не является. г) Да, является.
367.
а) Нет, не является. в) Нет, не является.
б) Нет, не является. г) Да, является.
368.
Пусть х − число минут, а у − число капель, упавших на землю. Тогда моделью задачи будет функция у=5х, х∈N. Эта математическая модель является числовой последовательностью. 369.
а) Да, уn=n2; y1=1, y2=4, y3=9, y4=16, y5=25. б) Да, уn=n3; y1=1, y2=8, y3=27, y4=64, y5=125. в) Да, уn=7; y1=7, y2=7, y3=7, y4=7, y5=7. г) Нет. 370.
а) уn=n2. б) Последовательность четных чисел. в) у1=0, уn=уn−1+5. 371.
Последовательность натуральных чисел, кратных пяти: 5, 10, 15, 20, 25 ... у6=30, у21=105, уn=5n. 372.
Последовательность натуральных чисел, кратных семи: 7, 14, 21, 28, 35 ... у8=56, у10=70, у37=259, уn=7n. 373.
а1=1, а2=8, а3=27, а4=64, а5=125, аn=n3. 374.
с1=2, с2=4, с3=8, с4=16, сn=2n. 193
375.
а) За у31 следует у32, за уn − yn+1, за уn+9 − yn+10, за у2n − у2n+1; б) члену у91 предшествует у90, у639 − у638, уn−1 − yn−2, y3n − y3n−1. 376.
а) а639, а640, а641, а642, а643, а644; в) аn+4, an+5, an+6, an+7, an+8, an+9;
б) а1003, а1004, а1005, а1006, а1007; г) аn−1, an, an+1.
377.
а) an=4n+1; a1=5, a2=9, a3=13, a4=17, a5=21; б) сn=−7n+3; c1=−4, c2=−11, c3=−18, c4=−25, c5=−32; в) bn=5n+2; b1=7, b2=12, b3=17, b4=22, b5=27; г) an=−3n−7; a1=−10, a2=−13, a3=−16, a4=−19, a5=−22. 378. 1 1 1 1 1 1 ; а1= , а2= , а3= , а4= , а5= ; n+5 7 9 10 6 8 −2 б) dn= ; d1 = −1, d 2 = −2, d3 – не существует; d 4 = 2; d5 = 1 3−n 1 1 3 3 3 3 в) сn= ; с1= , с2= , с3= , с4= , с5= ; 2n + 4 2 10 4 14 8 3 1 3 3 −3 г) аn= ; а1=−1, а2=− , а3=− , а4=− , а5=− . 4n − 1 7 11 19 5
а) аn=
379.
а) хn=n2+1; х1=2, х2=5, х3=10, х4=17, х5=26; б) уn=−n3−10; y1=−11, y2=−18, y3=−37, у4=−74, у5=−135; в) zn=−n3+5; z1=4, z2=–3, z3=−22, z4=−59, z5=−120; г) wn=n2−15; z1=−14, z2=−11, z3=−6, z4=1, z5=10. 380.
а) yn=n; б) yn=n−3;
в) yn=n+5;
г) yn=−n.
381.
а) yn=2n−1;
б) yn=3n;
382.
а) yn=n2;б) yn=(n+1)2; в) yn=n2+1; г) yn=n3. 383.
а) х1=1, х2=4, х3=1, х4=4, х5=1, х6=4; б) х1=–5, х2=5, х3=15, х4=25, х5=35, х6=45; 194
в) yn=2n+2;
г) yn=4n.
в) х1=1, х2=3, х3=5, х4=7, х5=9, х6=11; г) х1=–3, х2=1, х3=−3, х4=1, х5=−3, х6=1. 384.
а) х1=1, х2=2, х3=6, х4=24, х5=120, х6=720; б) х1=–3, х2=3, х3=−3, х4=3, х5=−3, х6=3; в) х1=–512, х2=−256, х3=−128, х4=−64, х5=−32, х6=−16; г) х1=1, х2=10, х3=100, х4=1000, х5=10000, х6=100000. 385.
а) уn=3n+4; yn+1=3(n+1)+4=3n+4+3>3n+4=yn. Последовательность возрастающая. б) уn=5n−3; yn+1=5(n+1)−3=5n−3+5>5n−3=yn. Последовательность возрастающая. в) уn=7n−2; yn+1=7(n+1)−2=7n−2+7>7n−2=yn. Последовательность возрастающая. г) уn=4n−1; yn+1=4(n+1)−1=4n−1+4>4n−1=yn. Последовательность возрастающая. 386.
а) уn=−2n−3; yn+1=−2(n+1)−3=−2n−3−2<−2n−3=yn. Последовательность убывающая. б) уn=−3n+4; yn+1=−3(n+1)+4=−3n+4−3<−3n+4=yn. Последовательность убывающая. в) уn=4−5n; yn+1=4−5(n+1)=4−5n−5<4−5n=yn. Последовательность убывающая. г) уn=−n+8; yn+1=−(n+1)+8=−n+8−1<−n+8=yn. Последовательность убывающая. 387.
х1=4, х2=9, х3=25, х4=49, х5=121, х6=169, х7=289. 388.
а) хn=(−2)n; х1=−2, х2=4, х3=−8, х4=16, х5=−32; б) сn=(−1)n+1−(−1)n; х1=2, х2=−2, х3=2, х4=−2, х5=2; в) bn=2(−3)n−1; b1=2, b2=−6, b3=18, b4=−54, b5=162; г) dn=(−2)n+(−2)n+1; d1=−1, d2=2, d3=−4, d4=8, d5=−16. 389.
а) уn=(−1)n+(−2)n+1, y2=−7, y4=−31, y6=−127; б) хn=(−2)n+1−(−2)n−1, x2=−8+2=−6, x4=−32+8=−24, x6=−128+32=−96; в) zn=(−2)n−(−2)n+1, z2=4+8=12, z4=16+32=48, z6=164+128=192 − ответ в задачнике неверен; г) wn=(−1)n+1−(−2)n, w2=−1−4=−5, w4=−1−16=−17, 195
w6=−1−64=−65 − ответ в задачнике неверен. 390.
а) уn=(−1)n+2n, y1=1, y3=7, y5=31; б) хn=(−2)n+16, x1=14, x3=8, x5=−16; в) уn=(−2)n+4n, y1=2, y3=4 − ответ в задачнике неверен; y5=−12; г) уn=(−1)n−1, y1=−2, y3=−2, y5=−2. 391.
а) хn=
1 ; 2n − 1
б) хn=
1 1 n ; в) хn= 2 ; г) хn= . n +1 n( n + 10) n
392.
а) хn=(−1)n
n 2n − 1 n2 2n n+1 2 n ; б) хn= ; в) (−1) ; г) (−1) . 3n − 1 5n n(n + 1) ( 2 )n
393.
х1=−3, х2=−2, хn=2 (хn−2+xn−1); х3=−10, х4=−24, х5=−68, х6=−184. 394.
а) хn+1=xn, x1=2; б) xn=xn−1+2, x1=2; г) xn=−xn−1, x1=5. в) xn=xn−1 - 2, x1=9; 395.
а) xn =3xn-1, x1=2;б)xn=xn-1+7,x1=1; 1 2
1 2
в)xn= xn-1,x1= ;
г)xn= -3xn-1,x1=3;
396.
а) 1; 1,7; 1,73; 1,732;
б) 2, 1,8;1, 74; 1,733.
397.
an − последовательность а1+а2+а3+а4+а5+а6+а7=0,1+0,11+0,111+0,1111+0,11111+0,111111+0,1111 111= =0,7654321. 398. n +1 хn= ; 3n + 2 5 5 n +1 а) ; = ⇔15n+10=14n+14; n=4; 14 14 3n + 2 14 14 n +1 б) ; = ⇔42n+28=41n+41; n=13; 41 41 3n + 2
196
6 6 n +1 ; = ⇔18n+12=13n+13; 13 13 3n + 2 1 5n=1, т. е. n= , чего, очевидно, быть не может, так как n∈N; 5 8 n +1 8 г) ; = ; 23n+23=24n+16; n=7. 23 3n + 2 23
в)
399.
аn(2n−1)(3n+2) а) 0=(2n−1)(3n+2) n=
1 2 или n=− , чего, очевидно, быть не может, так как n∈N. 2 3
Такого n не существует, значит 0 − не член последовательности. б) 24=(2n−1)(3n+2) 6n2+n−26=0; D=1+624=625; −1 + 25 =2; 12 −1 − 25 n2= <0 − не подходит, так как n−натуральное. 2
n1=
Итак, n=2. 24 − второй член последовательности. в) 153=(2n−1)(3n+2); 6n2+n−155=0; D=1+3720=3721=612; −1 + 61 =5; 12 −1 − 61 n2= <0, не подходит, так как n∈N. 12
n1=
Итак, n=5. 153 − пятый член последовательности. г) −2=(2n−1)(3n+2) Оба множителя в правой части положительны (так как n∈N), а левая часть отрицательна. Такого быть не может. Таких n нет, (−2) − не член последовательности. 400.
а) х1=3, хn=xn−1+5; xn=3+5(n−1)=5n−2; б) х1=2, хn=3⋅xn−1; xn=2⋅3n−1; в) х1=11, хn=xn−1−4; xn=11−4(n−1)=15−4n;
197
г) х1=3, хn 401.
а)
б)
в)
198
x n −1 3 ; xn= ( n−1) . 2 2
г)
402.
а) хn=2n−5, A=10; 2n−5>10; 2n>15 n>
15 ; Начиная с n=8; 2
б) хn=3n−1, A=27, 3n−1>27, n−1>3, n>4. Начиная с n=5; в) хn=n2−17, A=−2 n2−17>−2, n2>15, n> 15 (n<− 15 отбрасываем, так как n∈N). Начиная с n=4; г) хn=2n−5, A=1,5, 2n−5>1,5, 3 2
2n−5> , 2n−4>3. Начиная с n=6. 403.
а) хn=3−2n, A=−9, 3−2n<−9, 2n<12, n>6. Начиная с n=7; б) хn=34−n, A=0,5, 199
34−n <0,5. Начиная с n=5. в) хn=2−3n2, A=−25, 2−3n2<−25, 3n2<28, n2>
28 . 3
Начиная с n=4; г) хn=25−n, A=1, 25−n<1, 5−n<0, n>5. Начиная с n=6. 404. 1 n −1 а) аn= =1− ; n n 1 1 an+1=1− >1− =an; n +1 n
an+1>an. Последовательность возрастает. 1 ; 2n 1 1 bn+1=1− >1− =bn; 2(n + 1) 2n
б) bn=1−
bn+1>bn. Последовательность возрастает. в) сn=1− сn+1=1−
1 2n 1
2 n +1
; >1−
1 2n
=сn;
сn+1>сn. Последовательность возрастает. 5n 5n + 5 − 5 5 = =5− ; n +1 n +1 n +1 5 5 dn+1=5− >5− =dn; n+2 n +1
г) dn=
dn+1>dn. Последовательность возрастает. 405. 1 а) аn= ; 2n 1 1 an+1= < =an; 2n + 2 2 n
200
an+1<an.. Последовательность убывает. б) сn=1+ an+1=
1 ; 3n
1 1 < =cn; 3n + 3 3n
cn+1<cn.. Последовательность убывает. 1 n +1 =1+ ; n n 1 1 bn+1=1+ <1+ =bn; n +1 n
в) bn=
bn+1<bn.. Последовательность убывает. г) dn= dn+1=
1 3n 1
;
3 n +1
<
1 3n
=dn;
dn+1<dn.. Последовательность убывает.
§ 18. Арифметическая прогрессия 406.
а) Да, является. б) Да, является. в) Да, является. г) Нет, не является. 407.
а) Да, является. б) Нет, не является. в) Нет, не является. г) Нет, не является. 408.
а) а1=3; d=−4; б) a1=7; d=−3; в) a1=0,7; d=0,2; г) a1=−1; d=0,1. 409.
а) а1=3; d=7, а1=3, а2=10, а3=17, а4=24, а5=31, а6=38; 201
б) a1=10; d=−2,5, а1=10, а2=7,5, а3=5, а4=2,5, а5=0, а6=−2,5; в) a1=−21; d=3, а1=−21, а2=−18, а3=−15, а4=−12, а5=−9, а6=−6; г) a1=−17,5; d=−0,5. а1=−17,5, а2=−18, а3=−18,5, а4=−19, а5=−19,5, а6=−20. 410.
а) a1=−2; d=4, n=5; −2; 2; 6; 10; 14; б) a1=1; d=−0,1, n=7; 1; 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5; 0,4; в) a1=2; d=3, n=6; 2; 5; 8; 11; 14; 17 г) a1=−6; d=1,5, n=4; −6; −4,5; −3; −1,5. 411. 3 1 а) a1= ; d= , n=5 7 7 3 4 5 6 ; ; ; ; 1; 7 7 7 7
б) a1=13; d=− 5 , n=4 13; 13− 5 ; 13−2 5 ; 13−3 5 ; в) a1=7,5; d=0,5, n=4 7,5; 8; 8,5; 9; г) a1=−1,7; d=0,15, n=5 −1,7; −1,55; −1,4; −1,25; −1,1. 411.
а) а1=
3 4 5 6 ; а2= ; а3= ; а4= ; а5=1; 7 7 7 7
б) а1=13, а2=13- 5 ; а3=13-2 5 ; а4=13-3 5 ; в) а1=7,5; а2=8; а3=8,5; а4=9; г) а1=-1,7; а2=-1,55; а3=-1,4; а4=-1,25; а5=-1,1. 412.
а) d=a2-a1=3-1=2; a10=a1+9d=1+9⋅2=19; б) d=a2-a1=6+ 5 - 5 =6; a10=a1+9d= 5 +9⋅6=54+ 5 ; в) d=a2-a1=90-100=-10; a10=a1+9d=100+9⋅(-10)=10; г) d=a2-a1=3- 2 -3=- 2 ; a10=a1+9d=3+9(- 2 )=3-9 2 . 413.
Такие натуральные числа, представляются в виде n=3+5k, где k=1, 2, 3 ... , так что они составляют арифметическую прогрессию: а1=3; d=5. Опечатка в ответе задачника. 202
414.
Такие натуральные числа, представляются в виде n=11k, где k=1, 2, 3 ... , так что они составляют арифметическую прогрессию: а1=11; d=11. 415.
Данные числа не являются арифметической прогрессией, так как а2-а1=32-31, а а3-а2=33-32=18, и 3≠18. 416.
а) х1=4; d=3; б) не является арифметической прогрессией; в) не является арифметической прогрессией; г) х1=1; d=4. 417.
а) an=2n+1; an=(n-1)⋅2+3=(n-1)⋅d+a1, где а1=3 и d=2; б) an=0,5n-4; an=(n-1)⋅0,5-3,5=(n-1)⋅d+a1, где а1=-3,5 и d=0,5; в) an=-3n+1; an=(n-1)⋅(-3)-2=(n-1)⋅d+a1, где а1=-2 и d=-3; 1 3
1 3
г) an=- n-1; an=(n-1)( - )-
4 4 1 =(n-1)⋅d+a1, где а1=- и d=- . 3 3 3
418.
а) аn=3n-1; б) an=n-0,5; в) an=-2n+9; г) an=-
n 6 - . 7 7
419.
а) аn=-6n+10; б) аn=-0,2n-0,5; в) аn=5n-12; г) аn= 5 n-3 5 . 420.
а6=а1+5d=4+5⋅3=19; б) а15=а1+14d=-15+14(-5)=-85; в) а17=а1+16d=-12+16⋅2=20; г) а9=а1+8d=101+8⋅
1 =105. 2
421.
a5 − a1 40 − 12 = =7; 4 4 30 − ( −30 ) a −a б) а16=а6+10d, d= 16 6 = =6; 10 10 a −a −28 − ( −8 ) в) а11=а1+10d, d= 11 1 = =-2; опечатка в ответе 10 10
а) а5=а1+4d, d=
задачника г) а36=а11+25d, d=
a36 − a11 54 ,6 − 4 ,6 = =2. 25 25 203
422.
а) а7=а1+6d, а1=а7-6d=9-6⋅2=-3; б) а37=а1+36d, а1=а37-36d=-69-36(-2,5)=21; в) а26=а1+25d, а1=а26-25d=-71-25(-3) =4; г) а14=а1+13d, а1=а14-13d=-6 5 -13(- 5 )=7 5 . 423.
а) а1=1; d=3; б) а1=-
4 1 ; d=- ; в) а1=2,9; d=-0,1; г) а1=3; d=-2. 3 3
424.
У данной прогрессии а1=9 и d=2, тогда если аn=29, то 29=9+2(n-1), 29=7+2n, n=11. 425.
а) а1=-1,5; d=0,5, так что 4,5=а1+12d, то есть 4,5 - 13-й член прогрессии; б) а1=7,5; d=3,5, так что если 43,5=а1+nd, то n=
43,5 − a1 36 72 = = , 3,5 7 d
так что 43,5 - не является членом прогрессии. 426.
41=-7+12⋅4=а1+12d, так что 41 - 13-й член данной прогрессии. 427.
23; 19; 15. 428.
а) аn=a1+(n-1)⋅d=1+10⋅2=21; 1 +20⋅(-3,75)=-76,5; 2 2 3 2 в) аn=a1+(n-1)⋅d= +16⋅ =12 ; 3 4 3 1 г) аn=a1+(n-1)⋅d=0,2+12⋅ =4,2. 3
б) аn=a1+(n-1)⋅d=-1
429.
an − a1 +1; d 5− 0 ( 67 − 1 ) ⋅ 3 а) n= +1=100; б) n= +1=11; 0,5 2 10,5 − ( −6 ) 100 − ( −4 ,5 ) в) n= +1=23; г) n= +1=20. 0,75 5,5
аn=a1+(n-1)⋅d, так что n=
204
430.
аn=a1+(n-1)⋅d; а1=аn-(n-1)d: а) а1=-10-14⋅2=-38; б) а1=10
1 1 -6⋅ =9; 2 4
в) а1=9,5-16⋅(-0,6)=19,1; г) а1=-2,94-14⋅(-0,3)=1,26. 431.
an − a1 : n −1 39 − 3 −18,4 − ( −0,2 ) а) d= =3,6; б) d= =-1,3; 11 − 1 15 − 1 1 5 1 −5 1 0 − 3,6 4 8 в) d= =- ; г) d= =-0,1. 8 37 − 1 36 − 1
аn=a1+(n-1)⋅d, d=
432.
b − a1 +1, если b - является членом прогрессии: d 21,2 − 5 0,65 − 3 +1=55; б) n= +1≈7,7 - так b - не является членом а) n= 0,3 − 0,35
b=a1+(n-1)d, n=
прогрессии; в) n=
44 − ( −7 ) −0,01 − ( −0,13 ) +1=11; г) n= +1=7. 51 0,02 ,
433.
а) an=a1+(n-1)d, an=2+(n-1)(-0,1)=2,1-0,1n, an<0 при 2,1-0,1<0, n>21, n=22; б) an=16,3-0,4n, an<0,9, при 16,3-0,4n<0,9, n>38,5, n=39; в) an=120-10n, an<15, при 120-10n<15, n>10,5, n=11; г) an=-0,25-0,75n, an<-16,3, при -0,25-0,75n<-16,3, n>21,4, n=22. 434.
а) an=-12+(n-1)⋅3=-15+3n, an>141, при -15+3n>141, n>52, n=53; 20 , n=2; 11 129 в) an=1,8+2,2n, an>14,7, при 1,8+2,2n>14,7, n> , n=6; 22
б) an=-10+5,5n, an>0, при -10+5,5n>0, n>
г) an=13,8+0,7n, an>22,9, при 13,8+0,7n>22,9 n>13, n=14.
205
435.
a + 2d = 7 a1 + a5 = 14 a1 + a1 + 4d = 14 , , 1 , a2a4 = 45 ( a1 + d )( a1 + 3d ) = 45 ( 7 − d )( 7 + d ) = 45 a1 = 7 − 2d a1 = 7 − 2d , , так как d>0 по условию, то d=2. 49 − d 2 = 45 d 2 = 4
Тогда а6=а1+5d=3+10=13. 436.
a2 + a5 = 18 a2 + a2 + 3d = 17 2a2 + 3d = 17 , , , a2 ⋅ a3 = 21 a2 ( a2 + d ) = 21 a2 ( a2 + d ) = 21
так как а2 - натуральное число, то а2=3 и d=4, тогда а1=-1 и прогрессия: -1, 3, 7, 11, 15 ... 437.
a1 + a2 + a3 = −21 , и а1, а2, а3, а4 - арифметическая прогрессия, так a2 + a3 + a4 = −6
что a1 + a1 + d + a1 + 2d = −21 a + d = −7 , 1 , а1=-12, d=5, a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d = −6 a1 + 2d = −2
эти числа: -12, -7, -2, 3. (опечатка в ответе задачника) 438.
a1 + an ⋅n: 2 −1 + 86 41 − 16 а) S30= ⋅30=1275; б) S20= ⋅20=250; 2 2 −13 − 5 17 + 31 в) S10= ⋅10=-90; г) S25= ⋅25=600. 2 2 2 + 147 0,5 − 97 ,5 439. а) S50= ⋅50=3725; б) S50= ⋅50=-2425; 2 2 −10 + 137 −1,7 − 8,1 в) S50= ⋅50=3175; г) S50= ⋅50=245. 2 2
Sn=
440.
Sn=
a1 + an 2a + ( n − 1 )d ⋅n= 1 ⋅n, S100=100a1+4950d: 2 2
а) S100=100⋅(-12)+4950⋅2=8700; б) S100=100⋅(1,5)+4950⋅0,5=262; в) S100=100⋅73+4950(-1)=2350; г) S100=100⋅(-1,7)+4950⋅(8,1)=-40265. 206
441.
2a1 + ( n − 1 )d ⋅n: 2 −3 ⋅ 2 + 15 ⋅ 15 , 2 ⋅ 121 + 24 ⋅ ( −31 , ) а) S16= ⋅16=132; б) S25= ⋅25=2095; 2 2 2 ⋅ ( −2 ,5 ) + 39 ⋅ ( −0,5 ) 2 ⋅ 4 ,5 + 99 ⋅ 0,4 в) S40= ⋅40=-490; г) S100= ⋅100=2430. 2 2
Sn=
442.
S30=
a1 + a30 ⋅30=15(а1+а30): 2
а) S30=15(4+3+4⋅30+3)=1950; б) S30=15(0,5-3+0,5⋅30-3)=142,5; в) S30=15(-2+8-2⋅30+8)=-690; г) S30=15(-2,5-6-2,5⋅30-6)=1342,5 443.
а1 7 2 56 2 9
d 4 2 -3 5 2
an 55 80 26 87 21
n 13 40 11 18 7
Sn 403 1640 451 801 105
444.
а4=10, а10=19, а10-а4=6d=9, d=1,5, а1=а4-3d=10-3⋅1,5=5,5, S10=
a1 + a10 5,5 + 19 ⋅10= ⋅10=122,5. 2 2
445.
a11 + a13 122 = =61; б) а18+а20=2⋅а19=2⋅5=10; 2 2 a +a −2 в)а6+а8=2а7=2⋅4=8; г) а16= 15 17 = =-1. 2 2
а) а12=
446.
а) а2+а19=а1+а20=64; б) а1+а19=а3+а17=-40; в) а1+а16=а2+а15=25; г) а10+а16=а1+а25=-10. 447.
а10+а20=
a9 + a11 a19 + a21 44 104 + = + =74. 2 2 2 2
207
448.
а15+а30=
a14 + a16 a29 + a31 −20 40 + = + =10. 2 2 2 2
449.
Если х, 2х-1,5х - члены прогрессии, то x + 5x =2х-1, то есть 3х=2х-1, х=-1. 2 450.
Если 2у+5, у, 3у-8 - члены прогрессии, то 2 y + 5 + 3y − 8 =у, 5у-3=2у, у=1. 2 451.
Если 5t+2, 7t=1, 3t-6 - образуют прогрессию, то
5t + 2 + 3t − 6 =7t+1, 2
4t-2=7t+1, t=-1. 452.
а) an=-
n +1 1 1 , a1=- ,d=- ; 4 2 4
б) an=
2 3 − 5n 2 3 −5 5 , a1= , d=- ; 3 3 3
в) an=
3n − 2 1 3 7n − 5 , a1= , d= ; г) an= , a1= 5 5 5 5
7 −5 5
, d=
7 5
453.
а) d1=
a12 − a5 29 − 15 = =2, а1=а5-4d=15-4⋅2=7, 7 7
an=а1+(n-1)d=7+(n-1)⋅2=2n+5; б) d=
a19 − a9 −4 ,5 − ( −30 ) = =-1,5, а1=а9-8d=-30-8(-1,5)=-18, 10 10
an=а1+(n-1)d=-18+(n-1)(-1,5)=-1,5n-16,5; в) d=
a15 − a7 40 − 20 = =2,5, а1=а7-6d=20-6⋅2,5=5, 8 8
an=а1+(n-1)d=5+(n-1)⋅2,5=2,5n+2,5; г) d=
a16 − a5 −7 ,5 − 0,2 = =-0,7, а1=а5-4d=-0,2–4(–0,7)=2,6, 11 11
an=а1+(n-1)d=2,6+(n-1)(-0,7)=-0,7n+3,3. 208
.
454.
a9 − a7 8 − ( −2 ) a +a 8 + ( −2 ) = =5, а8= 7 9 = =3; 2 2 2 2 a +a 4 + ( −4 ) б) а8= 9 7 = =0, d=а9-а8=-4; 2 2 a +a −7 + ( − 1 ) в) а8= 7 9 = =-4, d=а9-а8=-1-(-4)=3; 2 2 a +a −0,9 + ( −0,7 ) г) а8= 7 9 = =-0,8, d=а8-а7=-0,8-(-0,7)=-0,1. 2 2
а) d=
455.
а1=-8, а4=-35, тогда d=
a4 + a1 −35 − ( −8 ) = =-9 и 3 3
а2=а1+d=-17, а3=а4-d=-26. -8, -17, -26, -35, d=-9. 456. an=a1+(n-1)d: а) а7=- 2 +6⋅(1+ 2 )=5 2 +6; б) а15=3- 5 +14⋅2 5 =27 5 +3; в) а12=9 3 -2+11⋅(2- 3 )=20-2 3 ; г) а9=
5 3−7 3−2 -8⋅ =3- 3 . 3 3
457.
a −a n= n 1 +1: d
а) n=
в) n=
6− 3 −5 3 1− 3
+1=7; б) n=
13 − 5 5 − 5 + 5 2− 5
13 2 − 2 − 5 2 2 2 −1
+1=8;
5 3−7 3 +1=5; г) n= +1=6. 3−2 − 3 1−
458.
а1=аn-(n-1)d: а) а1=10 3 -4-23⋅ в) а1=2 3 +5-20
3 − 1 15 − 3 3 = ; б) а1=28+27q-27(1+q)=1; 2 2 3 =5-8 3 ; г) а1=l-21(1-3l)=64l-21. 2
459.
a −a d= n 1 : n −1 209
а) d=
m − 5 − 3 + 7m −2 3 +3− 2 3 −3 2 3 =; б) d= =m-1, 2 ⋅ 17 17 8
в) d=
0 − 5 +1 1− 5 2 p + 3 − 13 + 8 p = ; г) d= =р-1. 5 5 10
460.
а) 13-0,4n=4,6, n=21; б) 5n-104=21, n=25; в) 3n-5,7=69,4, n=
75,1 , так что b - не член прогрессии; 3
г) 21,3-1,7n=4,3, n=10. 461.
а) an<-41 при 12-3n<-41, n>
53 , n=18; 3 7
б) an<-7 при 3 3 -n 3 <-7, n>3+ в) an<-10 при 117-5,5n<10, n<
3
, n=8;
107 , n=20; 5,5
г) an<-1 при 15 2 -n( 2 -1)<-1, n>
15 2 + 1 2 −1
, n=49.
(опечатка в ответе задачника) 462.
а) an> 3 при 7n-121> 3 , n>
121 + 3 , n=18; 7
б) an>21 при n 2 -4 2 >21, n>
21 + 4 2 2
в) an>2+3 5 при 5n-17,7>2+3 5 , n> г) an>5 при n( 5 -1)-3 5 >5, n>
, n=19;
19,7 + 3 5 , n=6; 5
5+ 3 5 5 −1
, n=10.
463.
an=6n-306: а) an>-12 при 6n-306>-12, n>49, n=50; б) an>0 при 6n-306>0, n>51, n=52; в) an≥0 при 6n-306≥300, n≥101, n=101; г) an>-6 при 6n-306>-6, n>50, n=51. 464.
а1=42, d=-0,5, an=a1+(n-1)d=42+(n-1)(-0,5)=-0,5n+42,5: 210
а) an>0 при -0,5n+42,5>0, n<85, n=1, 2, ... , 84; б) an<0 при -0,5n+42,5<0, n>85, n=86, 87, ...; в) an∈(-∞, 3] при -0,5n+42,5≤3, n≥79, n=79, 80, 81…; г) an∈[-4,5, 5,5] при -4,5≤-0,5n+42,5≤5,5; -47≤-0,5n≤-37; 74≤n≤94, n=74, 75, ... , 93, 94. 465.
a9 a1 + 8d a1 + 8d a = 5 a +d =5 a +d =5 2 , 1 , 1 , a 5 a a + 12d − 5 5 − 13 13 = 2+ =2 1 =2 a6 a1 + d a6 a1 + d a1 + 8d = 5a1 + 5d a1 + 12d − 5 = 2a1 + 10d
d =4 4a1 = 3d , . a1 − 2d + 5 = 0 a1 = 3
,
466.
a1 + a2 + a3 + a4 = 16 4a1 + 6d = 16 , , − 2d = 4 a1 − a3 = 4
d = −2 . a1 = 7
а1=7, а2=5, а3=3, а4=1. Искомое число: 1357. 467.
а7=-100, а9=-78. Тогда d =
a9 − a7 −78 + 100 = =11 2 2
и а15=а7+8D=-100+8⋅11=-12. Далее а1=а7-6⋅d=-100=6⋅11=-166, а20=а15+5d=-12+5⋅11=43. Так что S20=
a1 + a20 −166 + 43 ⋅20= ⋅20=-1230. 2 2
468.
ak - число штрафных очков за k-й промах а1=1, а2=1,5, а3=2, ... Известно, что Sn=7, тогда
2 ⋅ a1 + ( n − 1 ) ⋅n=7, 2
n⋅(2+0,5(n-1))=14, 0,5n2+1,5n-14=0, n2+3n-28=0, n=4 (так как n>0). Так что стрелок совершил 4 промаха, а значит попал в цель 21 раз. 469.
ak - число капель, принятых в k-1 день: а1=5, а2=10, ... , аn=40, an+1=40, an+2=40, an+3=40, an+4=35, an+5=30, ... , am=5. 211
n=
an − a1 +1=8. 5
Тогда а1=5, а2=10, ... , а8=40, а9=40, а10=40, а11=40, а12=35, а13=30, ... , аm=5. m=11+
am − a11 , m=18. −5
Тогда общее число капель S=а1+а2+ ... +а8+3⋅40+а12+ ... +а18= =2(а1+ ... +а7)+4⋅40=(а1+а7)⋅7+4⋅40=40⋅7+4⋅40=440. Так что больной надо купить 2 пузырька с каплями. 470.
ak - количество сантиметров, пройденное за k-ю минуту. а1=30, а2=35, а3=40, ... Sn=525, тогда
2a1 + ( n − 1 )d ⋅n=525, 2
(60+5(n-1))⋅n=1050, 5n2+55n-1050=0, n2+11n-210=0, n=10 (так как n>0). Так что за 10 минут улитка достигнет вершины дерева. 471.
ak - количество метров, пройденных за k-й день. а1=1400, а2=1300, а3=1200, ... Sn=5000, тогда
2a1 + ( n − 1 )d ⋅n=5000, 2
n(2800+(n-1)(-100))=10000, 100n2-2900n+10000=0, n2-29n+100=0, n=4 (так как 4<25). Так что за 4 дня альпинисты покорили высоту. 472.
Пусть ak - количество у.е., заплаченных за k-е кольцо, тогда: а1=26, а2=24, а3=22, ... Общая сумма S=Sn+40= n2. По условию
2a1 + ( n − 1 )d ⋅n+40=n(26-(n-1))+40=40+24n2
S 4 40 + 27n − n2 4 =22 , =22 , 9n2-243n-360=-202n, n 9 n 9
9n2-243n-360=-202n, 9n2-41n-360=0, n=9 (так как n>0). Так что было установлено 9 колец. 473.
Если х-4, 212
x − 3 , х-6 образуют арифметическую прогрессию, то
x−4+ x−6 = x − 3 , х-5= x − 3 , х2-10х+25=х-3, х2-11х+28=0, 2
х=4 и х=7, но х-5>0, так что х=7. 474.
1 1 1 , , образуют прогрессию, то a b c 1 1 + 1 a+c 1 а) a c = , = , ab+bc=2ac, ab+bc+ac; b 2ac b 2 b b б) ab+bc=2ac|:ac, + =2. Что и требовалось доказать. c a
Если
475.
Если
1 1 1 , , - образуют арифметическую прогрессию, a +b a +c c+b
1 1 + a b c b = 1 , c+b+a+b = 1 , + + то 2 a + c 2(a + b)(c + b) a + c
(2b+a+c)(a+c)=2(a+b)(b+c), 2ab+a2+ac+2bc+ac+c2=2ab+2ac+2b2+2bc, то есть
a 2 + c2 =b2, так что а2, b2, с2 - также образуют прогрессию, 2
что и требовалось доказать.
§ 19. Геометрическая прогрессия 476
а) b1=-1, b2=-3, b3=-9, b4=-27, b5=-81, b6=-243; б) b1=-2, b2=1, b3=-
1 1 1 1 , b4= , b5=- , b6= ; 2 4 8 16
в) b1=-1, b2=3, b3=-9, b4=27, b5=-81, b6=243; г) b1=20, b2=20 5 , b3=100, b4=100 5 , b5=500, b6=500 5 . 477.
b1=3, b2=32=9, b3=33=27, ... Это геометрическая прогрессия со знаменателем q=3. 478.
b1=
1 1 1 , b2= , b3= , ... 10 100 1000
Это геометрическая прогрессия со знаменателем q=
1 . 10 213
479.
а), в) и г). 480.
а), в) и г). 481.
а) и г) - возрастающие, в) - убывающая. 482.
а) - возрастающая, б) - убывающая.. 483.
а) q=
1 2
3 1 7 ; в) q= ; г) q= . 4 3 2
; б) q=
484.
а) q=b3:b2=(-32):8=-4; b1=b2;q=-2; 1 1 1 ):1=- ; b1=b4;q3=1:(- )3=-8; 2 2 2 3 3 1 в) q=b3:b2= : = ; b1=b2;q=3; 4 2 2 1 1 г) q=b6:b5=3:6= ; b1=b5;q4=6:( )4=96. 2 2
б) q=b5:b4=(-
485.
а) b4=b1⋅q3=-2⋅(-
3 3 27 ) = ; б) b5=b1⋅q4= 6 ⋅( 2 )4=4 6 ; 2 4 1
в) b4=b1⋅q3=3⋅(-
− 3 3 81 1 ) =- ; г) b6=b1⋅q5=5 5 ⋅( 5 2 )5=5-1= . 4 64 5
486.
а) bn=5n-1, bn=b1⋅qn-1, b1=1, q=5; 3 5
6 5
6 5
б) bn= ⋅2n, bn= ⋅2n-1, b1= , q=2; 3 1 n-1 3 1 ⋅( ) , b1= , q= ; 2 4 2 4 5 5 1 5 1 г) bn= n +1 , bn= ( )n-1, b1= , q= . 4 2 4 2 2
в) bn=
487.
b1=18, b3=2, тогда b22 =b1⋅b3=36 и так как b2>0 (по условию), то b2=6. То есть 18, 6, 2. 214
488.
а) bn=5⋅2n-1, 640=5⋅2n-1, 2n-1=128, n=7, так что А=640 - член прогрессии; б) bn=-
7 7 ( 3 )n, -37,8=- ( 3 )n, ( 3 )n=27, n=6, так что А=-37,8 5 5
член прогрессии; n
n
n
в) bn=-2⋅ 5 2 , -1250=-2⋅ 5 2 , 5 2 =625, n=8, так что А=b8 - член прогрессии; г) bn=3,5(
1 2
)n+3, -0,218=3,5⋅(
1 2
)n+3, (- 2 )-n-3=
0,436 , n - не 7
является натуральным числом, так что А - не член прогрессии. 489.
а) bn=4⋅3n-1, bn>324 при 4⋅3n-1>324, 3n-1>81, n>5, n=6; б) bn=3,5⋅( 2 )n-2, bn>14 при 3,5⋅( 2 )n-2>14, ( 2 )n-2>4, n>6, n=7; в) bn=2⋅5n-1, b4>253 при 2⋅5n-1>253, 5n-1> г) bn=
253 , n=5; 2
2 2 ( 3 )n+3, bn>84 при ( 3 )n+3>210, n=7. 5 5
490.
а) bn=3⋅2n-1; б) bn=-2,5⋅(
1 2
)n-1; в) bn=2,5⋅(-0,2)n-1; г) bn=3 3 ⋅(
1 n-1 ) . 3
491.
1 n-1 1 1 1 ) ; б) bn=- ⋅(- )n-1=(- )n; 2 4 4 4 1 в) bn=4⋅( )n-1; г) bn= 2 ⋅( 2 )n-1=( 2 )n. 4
а) bn=8⋅(
492.
а) b5=b1⋅q4; б) b41=b1⋅q40; в) bk=b1⋅qk-1; г) b2n=b1⋅q2n-1. 493.
а) b4=b1⋅q3=128⋅(1 5
1 3 ) =-16; 2
в) b8=b1⋅q7= ⋅( 5 )7=25 5 ;
1 10 ; 3 3 1 1 г) b6=b1⋅q5=625⋅(- )5=- . 5 5
б) b5=b1⋅q4=270⋅( )4=
215
494.
bn=b1⋅qn-1: 1 1 1 ⋅(- )5=; 2 3 486 1 1 405 в) b5=b1⋅q4=8⋅ 4= ; г) b5=b1⋅q4=2,5⋅(1,5)4= . 2 2 32
а) b10=b1⋅q9=1⋅39=39; б) b6=b1⋅q5=
495.
1 1 1 1 1 = ⋅( )n-1, = ( )n, n=6; 729 3 3 729 3 1 n-1 1 n-1 1 б) 2=256⋅( ) , ( ) = , n=8; 2 2 128 1 1 1 в) 4⋅10-3=2,5⋅( )n-1, =( )n-1, n=5; 5 625 5 1 г) -2401= ⋅(-7)n-1, (-7)n-1=-823543, n=8. 343
а)
496.
а) bn=3n-1, 3n-1<729 при n≤7, n=1, 2, ... , 6, 7; 1 n-1 1 1 ) , 3( )n-1<0,003 при ( )n-1<0,001, n>10, n=11, 12, 13…; 2 2 2 1 n-1 1 n-1 1 0,1 в) bn=243⋅( ) , 243( ) <0,1 при ( )n-1< , n>8, n=9, 10, 11... ; 3 3 3 243 1 n-1 1 n-1 1 n-1 1
б) bn=3⋅(
г) bn=16⋅(
2
) , 16(
2
) <1 при (
2
) <
24
, n>9, n= 10, 11... .
497.
а) q2=
b7 192 = =4, q>0, так что q=2 и b1=b5:q4=48:16=3; 48 b5
81 27 3 3 = , q= и b1=b2:q=24: =16; 24 8 2 2 13 13 1 1 3 2 13 1 в) q =b6:b3=- : =- , q=- , b1=b3:q = : =13; 32 4 8 2 4 4
б) q3=b5:b2=
г) q2=b5:b3=48:12=4, q<0, так что q=-2 и b1=b3:q2=12:4=3. 498.
1 8
b1=1, b4= , тогда q= 3 b4 :b1 =
1 1 1 1 1 1 и b2= , b3= . То есть 1, , , . 2 2 4 2 4 8
499.
Рk - периметр k-го вписанного треугольника 216
Р1=3⋅32=96, Р2=3⋅
32 =48, Р3=24, ... 2
Так что Р1, Р2, Р3 ... - геометрическая прогрессия. Рn=96⋅(
1 n-1 ) . 2
500.
Sn=
b1 ( q n − 1) : q −1
3(44 − 1) 1(24 − 1) =15; б) S4= =255; 2 −1 4 −1 1 1 1(( ) 4 − 1) 4 ⋅ ((− )4 − 1) 4 ⋅ 2 ⋅ 15 5 3 80 40 3 2 в) S4= = ⋅ = ; г) S4= = = . 1 1 2 81 27 3 ⋅ 16 2 − −1 −1 2 3
а) S4=
501. 1 18 ⋅ (( )6 − 1) 18 ⋅ 3 ⋅ 728 728 3 а) S6= = = ; 1 2 ⋅ 729 27 −1 3 2 15 ⋅ (( )6 − 1) 15 ⋅ 3 ⋅ 665 3325 3 б) S6= = = ; 2 729 81 −1 3 1 − 12 ⋅ ((− ) 6 − 1) 12 ⋅ 2 ⋅ 63 63 2 в) S6= ==- ; 1 3 ⋅ 64 8 − −1 2
г) S6=
− 9 ⋅ (( 3 )6 − 1) 3 −1
=-
234 3 −1
.
502.
5(26 − 1) − 1((−1,5)8 − 1) 1261 =315; б) S8= = ; − 1,5 − 1 2 −1 128 1 1 − 4(( )13 − 1) 4,5(( )8 − 1) 1640 8191 2 3 в) S13= =; г) S8= = . 1 1 1024 243 −1 −1 3 2
а) S6=
217
503.
а) b1=3, q=2, S5=
3(2 5 − 1) =93; 2 −1
− 1((−2) 5 − 1) =-11; − 2 −1 1 − 3(( ) 5 − 1) 1 93 2 в) b1=-3, q= , S5= =- ; 1 2 16 −1 2
б) b1=-1, q=-2, S5=
г) b1= 2 , q=3, S5=
2 (35 − 1) =121 2 . 3 −1
504.
а) q=b5:b4=320:160=2, b1=b4:q3=160:8=20, S5=
20( 25 − 1 ) =620; 2 −1
б) q= b9 : b7 = 16:8 = 2 , b1=b7:q6=8:23=1, S5=
1(( 2 ) 5 − 1) 2 −1
=(4 2 -1)(
2 +1)=7+3 2 ; опечатка в ответе
задачника. в) q= b5:b3 =
1 2 1 1 2 : 1 = , b1=b3:q =1:( ) =9, 9 3 3
1 9 ⋅ (( )5 − 1) 9 ⋅ 3 ⋅ 242 121 3 S5= = = ; 1 2 ⋅ 243 9 −1 3
г) q= 3 b7 :b4 = 3 S5=
1(( 3 )5 − 1) 3 −1
9 3 = 3 3 = 3 , b1=b4:q3=3 3 :3 3 =1, 3
=
(9 3 − 1)( 3 + 1) =13+4 3 . 2
505.
218
b1 15
q
16-3 23
9 + 3 23 7
1 3
n 3
bn
Sn
2 1 3
21
3
18
25
2 3
1 3
1 3
1 2
6
3
4
9
4(3+ 3 )
2
17 32
6
89 96
15
1 3
6
5 81
22
b1
q
Sn
13 5 1
n 4
bn
15 169
39 25 1 3
10476 4225
2 6
4
6
38 81
7( 6 + 1 ) 3
506.
а) b4= b3 ⋅ b5 = 36 ⋅ 49 =42; б) b4=- b3 ⋅ b5 =- 36 ⋅ 49 =-42; в) b8= b7 ⋅ b9 = 16 ⋅ 25 =20; г) b8=- b7 ⋅ b9 =- 16 ⋅ 25 =-20. 507.
а) b3= b4 ⋅ b2 = 16 ⋅ 4 =8; q=b3:b2=8:4=2; б) b6=- b5 ⋅ b7 =- 3 ⋅ 12 =-6; q=b6:b5=-6:12=-
1 ; 2
в) b26=- b25 ⋅ b27 =- 7 ⋅ 21 =-7 3 ; q=b26:b25=- 3 ; г) b7= b6 ⋅ b8 = 15 ⋅ 5 =5 3 ; q=b8:b7=5: 5 3 =
3 . опечатка в ответе 3
задачника. 508.
Если t, 4t, 8 - члены прогрессии, то t⋅8=(4t)2, так что t=
1 . 2
509.
Если -81, 3у, -1 - члены прогрессии, то (-81)⋅(-1)=(3у)2, откуда у=±3. 510.
Если х-1,
3x , 6х - члены прогрессии, то 3 (х-1)6х=( 3x )2, (х-1)⋅6=3, х= . 2
219
511.
6 1 5 5 5 1 4 в) b1= , q= ; г) b1=- , q=2. 2 2 7
а) b1= , q=3; б) b1=0,3, q=(- );
512.
b1=4, b3+b5=80, q>1, тогда b3+b5=b1(q2+q4)=80, то есть q2+q4=20, так что q=2 и b10=b1⋅q9=4⋅29=211=2048. 513.
b1=1, b5=81, тогда q4=b5⋅b1=81, q=±3, так что b2=±3, b3=9, b4=±2⋅7. То есть 1, 3, 9, 27, 81 или 1, -3, 9, -27, 81. 514.
b2 − b3 = 18 1 , тогда b2=36, b3=18, q=b3:b2= и b1=b2:q=72. 54 + = b b 2 2 3 515.
b1 + b2 + b3 = 14 , b4 + b5 + b6 = 112
b1( 1 + q + q 2 ) = 14 , q3=8, q=2, b1=2. 3 2 b1q ( 1 + q + q ) = 112
Так что прогрессия: 2, 4, 8, 16, 32, 64.
516. b 1 ⋅ b2 ⋅ b3 = 216 , b1>0, b2>0, b3>0. 2 2 2 b1 + b2 + b3 = 364 b3q3 = 216 b1 ⋅ q = 6 Тогда 1 , , 2 4 2 4 b1 1 + q + q = 364 b1 1 + q + q = 2 91
b1=2, q=3, b2=6, b3=18. 517.
S6* = b12 + b22 + ... + b62 = b12 (1+q2+q4+q6+q8+q10)=
b12 ( q12 − 1 ) q2 − 1
9( 64 − 1 ) 5( 46656 − 1 ) =567; б) S6* = =46655; 1 5 1 243( − 1 ) 729 ⋅ 728 729 в) S6* = = =364; 1 2 ⋅ 729 −1 3
а) S6* =
220
:
г) S6* =
1 − 1) 24 ⋅ 63 189 64 = = . 1 64 8 −1 2
12(
518.
b1 ( q n − 1) n S n (q − 1) ,q= +1: b1 q −1 200(3 − 1) +1, 3n=81, n=4; а) 3n= 5 1 1 n − 127 ⋅ ( 2 − 1) 1 1 +1, ( )n= , n=7; б) ( ) = 64 ⋅ (−1) 2 2 128 189 ⋅ (2 − 1) +1, 2n=64, n=6; в) 2n= 3 1 121 ⋅ ( − 1) 1 n 1 1 3 г) ( ) = +1, ( )n= , n=5. 27 ⋅ 3 3 3 243
Sn=
519.
а) 1+2+22+ ... +28=S9=
b1 (q 9 − 1) 1 ⋅ ((2 9 − 1) = =511; q −1 2 −1 1
11
1 ⋅ (− ) − 1) 1 1 1 2049 ⋅ 2 683 b (q11 − 1) 2 б) 1- + 2 + 10 =S11= 1 = = = ; 1 q −1 2 2 3 ⋅ 2048 1024 2 − −1
2 1 6 1 ⋅ (( ) − 1) 1 1 1 728 ⋅ 3 364 b ( q 6 − 1) 3 = = = ; в) + 2 + ... + 6 =S6= 1 1 q −1 3 3 3 ⋅ 729 ⋅ 2 729 3 3( − 1) 3 10 10 − b ( q 1 ) ⋅ 1 ((−3)10 − 1) 3 − 1 = = =-14762. г) 1-3+32-33+ ... -39=S10= 1 q −1 − 3 −1 −4 520.
а) 1+х+х2+ ... +х100=S101= б) х+х3+х5+ ... +х35=S18= в) х2-х4+х6- ... -х20=S10=
b1 (q 101 − 1) 1( x101 − 1) x101 − 1 = = ; q −1 x −1 x −1
b1 (q 18 − 1) x( x36 − 1) = 2 ; q −1 x −1
b1 (q 10 − 1) x 2 ( x 20 − 1) x 2 (1 − x 20 ) = = ; q −1 − x 2 −1 1+ x2 221
1 1(( ) 40 − 1)
1 1 1 b (q 40 − 1) 1 − x 40 г) + 2 + ... + 40 =S40= 1 = x = 40 . 1 q −1 x x x x (1 − x) x ⋅ ( − 1) x
521. 4
а) 1+х+х2+х3=S4=
b1 ( q 4 − 1) 1( x 4 − 1) x − 1 = = , ч.т.д.; q −1 x −1 x −1
б) 1+х+х4+х6=S4=
b1 ( q 4 − 1) 1( x 8 − 1) x − 1 = 2 = 2 , ч.т.д.; q −1 x −1 x −1
в) 1-х+х2-х3=S4=
8
4
b1 ( q 4 − 1) 1((− x) 4 − 1) 1 − x = = , ч.т.д.; q −1 − x −1 1+ x
г) 1-х2+х4-х6=S4=
8
b1 ( q 4 − 1) 1((− x 2 ) 4 − 1) 1 − x = = 2 , ч.т.д.; q −1 x +1 − x 2 −1
522.
а) (х-1)(х4+х3+х2+х+1)=(х-1)⋅S5=(х-1)⋅
1( x 5 − 1) =х5-1, ч.т.д.; x −1
б) (х+1)(х4-х3+х2-х+1)=(х+1)⋅S5=(х+1)⋅ в) (х2+1)(х6-х4+х2-1)=(х2+1)⋅S4=(х2+1)⋅
1 ⋅ ((− x 5 ) − 1) =х5+1, ч.т.д.; − x −1 − 1((− x 2 ) 4 − 1) − x2 − 1
=х8-1,
значит утверждение х8+1=(х2+1)(х6-х4+х2-1) - неверно. г) ) (1-х2)(х4+х2+1)=(1-х2)⋅S3=(1-х2)⋅
1(( x 2 ) 3 − 1) x 2 −1
=1-х6, ч.т.д.;
523.
Дана прогрессия b, b2, ... , b2n. Тогда
b2 + b4 + ... + b2 n q (b + ... + b2 n −1 ) = 1 =q, ч.т.д.; b1 + b3 + ... + b2 n −1 b1 + ... + b2 n −1
524.
bk - число бактерий после 20⋅k-минут b1 = 1, b2 = 2, b3 = 4,..., bk = 2k −1
Тогда в сутках 20⋅3⋅24 - минут, то есть 20⋅k, где k=72 и Sk=
222
b1 (q k − 1) 1 ⋅ (272 − 1) = =272–1. q −1 2 −1
525.
bk - количество денег, отданных богачом в k-й день (копеек). Тогда b1=1, b2=2, b3=4,... b30=229. Тогда богач отдал S30=
b1 (q 30 − 1) 1 ⋅ (2 30 − 1) = =230-1 копеек q −1 2 −1
≈1070000000 коп.≈10 млн. руб. А получил богач S=30⋅100000=3000000=3 млн. руб. Так что богач проиграл. 526.
b1, ... , bn - геометрическая прогрессия. Тогда bk⋅bn-k+1=(b1⋅qk-1)⋅(bn:qn-(n-k+1)=b1⋅bn - что и требовалось доказать. 527.
b1, b2, b3 - геометрическая прогрессия. b1=9, b1 b2 ,b3-16 - арифметическая прогрессия. Тогда b1⋅b3= b22 , то есть 9b3= b22 и Так что 9b3=(
b1 + b9 − 16 b −7 =b2, то есть b2= 3 . 2 2
b3 − 7 2 ) , 36b3= b32 -14b3+49, 2
b32 -50b3+49=0, b3=1 или b3=49.
Тогда b2=-3 или b2=21. 528.
а1+а2+а3=24, а1, а2, а3 - арифметическая прогрессия. а1, а2+1, а3+14 - геометрическая прогрессия. Тогда поскольку а1+а3=2а2, то 3а2=24, а2=8. Далее, а1+а3=16 и а1(а3+14)=(а2+1)2=81. a1 + a3 = 16 , a1( a3 + 14 ) = 81
a1 = 16 − a3 , ( 16 − a3 )( a3 + 14 ) = 81
a1 = 16 − a3 a = 13 или a = −11 , 3 3
a3 = 13 , a1 = 3
a1 = 16 − a3 , 2 a3 − 2a3 − 143 = 0
a3 = −11 . a1 = 27
Так что 27, 8, -11 или 3, 8, 13. 529.
b1, b2, b3, ... - геометрическая прогрессия. b1+ b2+b3=91, b1+25, b2+27, b3+1 - арифметическая прогрессия. Тогда b1+25+b3+1=2(b2+27), причем b1+25>b2+27>b3+1. Тогда 3b2+28=91, b2=21. Так что b1+b3=70 и b1b3= b22 =441, так что b1=7, b3=63 или b2=7, b1=63. Так как b1+25>b3+1, то b1=63, а b3=7. 223
1 3
Тогда q=b2:b1= . и b7=b1⋅q6=63⋅
1 6
3
=
7 . 81
530.
b1, b2, b3 - геометрическая прогрессия. b1=a1, b2=a2, b3=a7, где a1, a2, ... , a7 - арифметическая прогрессия. b1+b2+b3=31. Тогда b1(1+q+q2)=31. d=a2-a1=b2-b1, a7=a1+6d, то есть b3=b1+6(b2-b1), b3=6b2-5b1, b1(5-6q+q2)=0. Тогда 5-6q+q2=0, q=1 или q=5. Тогда b1=
31 1+ q + q
2
, b1=
31 или b1=1. 3
31 или b2=5, b3=25. 3 31 31 31 Ответ: 1, 5, 25 или , , . 3 3 3
Тогда b2=b3=
224
Глава 5. Элементы теории тригонометрических функций § 21. Числовая окружность. 531.
Смотри рис. 1: а) точка А; б) точка В; в) точка С; г) точка D. 532.
Смотри рис. 2: а) точка А; б) точка В; в) точка С; г) точка D. 533.
Смотри рис. 3: а) точка А; б) точка В; в) точка С; г) точка D. 534.
Смотри рис. 4: а) точка А; б) точка В; в) точка С; г) точка D. 535.
Смотри рис. 5: а) точка А; б) точка В; в) точка С; г) точка D. 536.
Смотри рис. 6: а) точка А; б) точка В; в) точка С; г) точка D. 537.
Смотри рис. 7: а) точка А; б) точка В; в) точка С; г) точка D. 538.
Смотри рис. 8: а) точка А; б) точка В; в) точка С; г) точка D. 539.
Смотри рис. 9: а) точка А; б) точка В; в) точка С; г) точка D. 540.
3π 2π 7π 5π а) ; б) ; в) ; г) . 4 3 12 6
225
рис. 1
рис. 2
A
B
D
D,A
B,C
C рис. 3
рис. 4
A
B C D
B
A
C
D рис. 5
рис. 6 D
B
C
C
B
D
A
A рис. 8
рис. 7 B
D
A
C D
C
B
рис. 9 B A
D C
226
A
540. 3π ; 4 2π б) Длина ВК = ; 3 7π в) Длина МР = ; 12 5π г) Длина КА = . 6
а) Длина АМ =
541. π ; 4 2π б) Длина СК = ; 3 19π в) Длина МР = ; 12 7π г) Длина РС = . 6
а) Длина АМ =
542. 1 3
а) Нет, не совпадают, так как 12 π ≠
31π + 2πn , 3
n − целое. 1 6
б) Нет, не совпадают, так как 8 π ≠
19π + 2πn , n ∈ Z. 6
1 4
9 4 3 г) Нет, не совпадают., так как 19 π ≠ 6,75π + 2πn 4
в) Да, совпадают, так как 12 π = π + 10π .
543.
а) Симметрично относительно ОХ (диаметра, проходящего через точку О). б) Совпадают. в) Симметрично относительно центра. г) Совпадают. 544. π а) + 2πr , r ∈ Z. 4
б) 5 + 2πn , n ∈ Z. 227
в)
3π + 2πl , l ∈ Z. 4
г)-3 + 2πk ,k∈Z . 545.
а) Да, можно. б) Да, можно. в) Да, можно ( 6,2 < 2π). г) Нет, нельзя (6,3 > 2π). 546. 23π π а) . б) . 12 12 π 23π в) . г) . 12 12 547. 2π π 3π а) б) . = . 10 5 10 9π 17π в) . г) . 5 10 548. π 19π а) . б) . 12 12 23π 5π в) . г) . 12 12 549.
а) 2π , − 2π; в) π, − π; 550. 5π 7π а) , − ; 6 6 7π 5π в) . , − 6 6 551. π π а) , б) , 3 2
228
π 3π , − ; 2 2 3π π г) , − ; 2 2
б)
π , 6 π − . 6
б) г)
11π , 6
−
11π (в ответе задачника ошибка). 6
в)
7π π , г) . 6 3
552. 3π а) < 6 < 2π . В четвертой. 2 3π б) − < −5 < −2π . В первой. 2 π в) < 3 < π . Во второй. 2 3π г) −2π < −6 < − . В первой. 2 553. 5π а) < 8 < 3π . Во второй. 2 11π б) 5π < 17 < . В третьей. 2 19π в) < 31 < 10π . В четвертой. 2 61π г) 30π < 95 < . В первой. 2
§ 22. Числовая окружность в координатной плоскости 554.
а) М1 (
3 1 ; ). 2 2
б) М2 (
2 2 ; ). 2 2
в) М3 (
3 1 ; ). 2 2
г) М4 ( 0; 1). 555.
а) М1 (0;1). б) М2 (0; −1). в) М3 (0; 1). г) М4 (0; −1).
229
556.
а) М1 (1; 0). б) М2 (−1; 0). в) М3 (1; 0). г) М4 (1; 0). 557.
а) М1 (1; 0). б) М2 (0; 1). в) М3 (−1; 0). г) М4 (0; 1). 558.
а) М1 (
2 2 ; − ). 2 2
б) М2 (
3 1 ; − ). 2 2
в) М3 ( −
2 2 ; − ). 2 2 3 1 ; − ). 2 2
г) М4 ( − 559.
а) М1 (
3 1 ; ). 2 2
б) М2 (
2 2 ; − ). 2 2
в) М3 (
2 2 ; ). 2 2
г) М4 (
3 1 ; − ). 2 2
560.
а) 2π; −2π; π 3π ; − . 2 2
б)
в) π; −π. г)
3π π ; − . 2 2
230
561. π а) + 2πk , 4 π б) + 2πk , 6
3π + 2πk , k ∈ Z. 4 5π + 2πk , k ∈ Z. 6
в) πk , k ∈ Z. г)
а) б) в) г)
π 2π + 2πk , + 2πk , k ∈ Z. 3 3
562. π 2π − + 2πk , − + 2πk , k ∈ Z. 3 3 π + 2πk , k ∈ Z. 2 π 3π − + 2πk , − + 2πk , k ∈ Z. 4 4 π − + 2πk , k ∈ Z. 2
563. π π а) + 2πk , − + 2πk , k ∈ Z. 6 6 π π б) + 2πk , − + 2πk , k ∈ Z. 3 3
в) 2πk , k ∈ Z. г)
π π + 2πk , − + 2πk , k ∈ Z. 4 4
564. π а) + πk , k ∈ Z. 2 2π 2π б) + 2πk , − + 2πk , k ∈ Z. 3 3 5π 5π в) + 2πk , − + 2πk , k ∈ Z. 6 6
г) π + 2πk , k ∈ Z. 565.
а) |0,7| < 1. Да, имеется. π б) > 1 . Нет, не имеется. 3 231
π < 1 . Да, имеется. 4 г) |1,2| > 1. Нет, не имеется.
в)
566.
2 2 ; − ). 2 2
а) М (
2 2 ; ). 2 2
б) М ( − в) М (
− 2 2 ; − ) 2 2 2 2 ; ). 2 2
г) М ( 567.
1 2
а) М ( ; б) М ( − 1 2
3 ); 2 3 1 ; − ); 2 2
в) М ( ; − г) М ( −
а) б) в) г)
3 ); 2
3 1 ; − ). 2 2
568. π 7π ; − . 4 4 3π 5π ; − . 4 4 5π 3π ; − . 4 4 7π π ; − . 4 4
569. π 11π а) ; − . 6 6 2π 4π б) ; − . 3 3
232
5π π ; − . 3 3 7π 5π г) ; − . 6 6
в)
570. 5π а) + 2πk , k ∈ Z. 4 5π в) + 2πk ; k ∈ Z. 6
а) б) в) г)
π + 2πk ; k ∈ Z. 6 π г) − + 2πk , k ∈ Z. 3
б)
571. π + 2πk , k ∈ Z. 6 4π + 2πk , k ∈ Z. 3 5π + 2πk , k ∈ Z. 6 2π + 2πk , k ∈ Z. 3 572.
а) х < 0, у > 0. в) x > 0, y > 0.
б) х < 0, y < 0. г) x > 0, y < 0.
573.
а) x > 0, y < 0. б) x < 0, y > 0. в) x > 0, y < 0. г) x < 0, y < 0.
§ 23. Синус и косинус. Тангенс и котангенс 574.
а) sin t = 0, cos t = 1. б) sin t = 1, cos t = 0. в) sin t = −1, cos t = 0. г) sin t = −0, cos t = –1. 575.
а) sin t = 0, cos = 1. б) sin t = −1, cos t = 0. в) sin t = 1, cos t = 0. 233
г) sin t = 0, cos t = −1. 576.
а) sin t =
3 1 ; cos t = − . 2 2
б) sin t = −
3 1 ; cos t = − . 2 2
в) sin t =
3 1 ; cos t = − . 2 2
г) sin t =
3 1 ; cos t = . 2 2
577.
2 2 ; cos t = − . 2 2
а) sin t = − б) sin t =
2 2 ; cos t = . 2 2
в) sin t = −
2 2 ; cos t = . 2 2
г) sin t = −
2 2 ; cos t = − . 2 2
578.
а) "+". б) "−". в) "−". г) "−". 579.
а) "−". б) "−". в) "−". г) "+". 580.
π 4
а) sin − + cos π 2
π 2 1 3 π + cos − = − + + = 3 2 2 2 6 3π = −1 + 1 + 1 = 1 . 2
б) sin − − cos(−π) + sin −
234
3 +1− 2 . 2
581. π 2
π = 0 + 0 − 4 = −4 . 2 5 π 5π 3 б) 3 cos − + 2 cos(−π) − 5 sin − = − 2 + = 2 . 3 6 2 2
а) 2 sin 0 + 3 cos − 4 sin
582. π π π π а) cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos = 0 . 6 4 3 2
π 6
π 4
π 3
б) sin ⋅ sin ⋅ sin ⋅ sin
π 1 2 6 3 = ⋅ ⋅ ⋅1 = . 8 2 2 2 2
583. 3 sin t = 5 3 5
а) sin(t + 2π) = sin t = . 3 5
б) sin(t − π) = − sin t = − . 3 . 5 3 г) sin(t + π) = − sin t = − . 5
в) sin(t − 2π) = sin t =
584. cos t = −
4 5
4 . 5 4 б) cos(t − π) = − cos t = . 5 4 в) cos(t − 2π) = cos t = − . 5 4 г) cos(t + π) = − cos t = . 5
а) cos(t + 2π) = cos t = −
585. 5π а) tg = +1 . 4 2π б) tg =− 3. 3
235
π 1 = . 6 3 5π 1 г) tg = − . 6 3
в) tg
586. 4π 1 а) ctg =+ . 3 3
б) ctg 0 − не существует. в) ctg
7π = −1 . 4
г) ctg
2π 1 =− . 3 3
587. 2π 7π а) tg − = 3 .б) ctg − = 1 . 3 4
5π = 3 . 6
в) ctg −
4π =− 3. 3
г) tg −
588. π 5π а) tg + ctg = 1+1 = 2 . 4 4 1 1 π π б) ctg − tg = − =0. 3 6 3 3
1 2 π π − ctg = − 3=− . 6 6 3 3 9π π г) tg + ctg = 1 + 1 = 2 . 4 4
в) tg
589.
π 4
π 3
а) tg ⋅ sin ⋅ ctg
3 3 π = 1⋅ ⋅ 3= . 6 2 2
π 3
3 3 1 3 3 3− 3 π 1 π − tg = 2 ⋅ ⋅ − ⋅ 3= − = . 6 2 3 2 2 2 2 2 2 π в) 2 sin π + 3 cos π + ctg = 0 − 3 + 0 = −3 . 2
б) 2 sin cos
г) 2tg 0 + 8 cos
236
3π 3 π − 6 sin = 0 + 0 − 6 ⋅ = −3 3 . 2 3 2
590. π π а) tg ⋅ ctg = 1 . б) −4tg 2,3 ⋅ ctg 2,3 = −4 . 5 5 π π π π в) 3tg ⋅ ctg = 3 . г) 7tg ⋅ ctg = 7 . 7 7 12 12 591. 3 tgt = . 4 3 . 4 3 в) tg (t − 4π) = tg t = . 4
а) tg (t + π) = tg t =
3 . 4 3 г) tg (t + 2π) = tg t = . 4
б) tg (t − π) = tg t =
592.
а) sin t = 0 t = πk, k ∈ Z. 2 π 3π . t = + 2πk , k ∈ Z . t = + 2πk , k ∈ Z . 4 4 2 π в) sin t = 1 . t = + 2πk , k ∈ Z . 2
б) sin t =
г) sin t =
3 π 2π ; t = + 2πk , k ∈ Z . t = + 2πk , k ∈ Z . 3 3 2
593.
а) sin t = −1 t=−
π + 2πk , k ∈ Z . 2
3 π 2π . t = − + 2πk , k ∈ Z . t = − + 2πk , k ∈ Z . 3 3 2 π 5π в) sin t = −0,5 . t = − + 2πk , k ∈ Z . t = − + 2πk , k ∈ Z . 6 6
б) sin t = −
г) sin = −
2 π 3π . t = − + 2πk , k ∈ Z . t = − + 2πk , k ∈ Z . 4 4 2
594.
а) cos t = 0 ; t = б) cos t =
π + πk , k ∈ Z . 2
3 π ; t = ± + 2πk , k ∈ Z . 2 6 237
в) cos t = г) cos t =
π 1 ; t = ± + 2πk , k ∈ Z . 2 3 π 2 ; t = ± + 2πk , k ∈ Z . 2 4
595.
а) cos t = −0,5 ; t = ±
2π + 2πk , k ∈ Z 3
2 3π ; t = ± + 2πk , k ∈ Z . 4 2 в) cos t = −1 ; t = π + 2πk , k ∈ Z .
б) cos t = −
г) cos t = −
3 5π ; t = ± + 2πk , k ∈ Z . 2 6
596.
а) "+". б) "−". в) "+". г) "−". 597.
а) "−". б) "−". в) "−". г) "−". 598.
а) "−". б) "+". в) "+". г) "+". 599.
Выражение имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. а) sin 11,2π < 0. Нет, не имеет. б) cos 1,3π < 0. Нет, не имеет. в) sin (−3,4π) > 0. Да, имеет. г) cos (−6,9π) < 0. 238
Нет, не имеет. 600.
π π sin 2 (1,5 + 2πk ) + cos 2 1,5 + cos − + sin − = 4 4 = sin 2 (1,5) + cos 2 (1,5) +
2 2 − =1. 2 2
601.
π 3 3 π cos1 + cos(1 + π) + sin − + cos = cos1 − cos1 − + =0. 6 2 2 3 602.
π π sin 2 + sin( 2 + π) + cos 2 − + sin 2 = 12 12 π π =1. = sin 2 − sin 2 + cos 2 + sin 2 12 12 603. tg 2 ,5 ⋅ ctg 2 ,5 + cos 2 π − sin 2
π π − cos 2 = 1 + 1 − 1 = 1 . 8 8
604. 7π 5π , , b = sin 10 6 π 7 π 5π π a > b, так как < < < π , а функция sin x − убывает на ; π 2 10 6 2 б) a = cos 2 , b = sin 2 .
а) a = sin
a < b, так как a < 0, b > 0. π 8
π 3 π π a > b, так как < , а функция cos x убывает на 8 3
в) a = cos , b = cos
π 0; 2 .
г) a = sin 1, b = cos1 . π π b = cos 1 = sin − 1 , a > b, так как − 1 < 1 , а функция 2 2
π
у = sin x − возрастает на 0; . 2 Ответ, приведенный в задачнике, не верен. 239
605. 2π 4π 7π π π а) sin , sin , sin , sin , sin . 3 6 7 5 3 7π 5π 5π π π б) cos , cos , cos , cos , cos . 6 4 4 3 8 606. 5π 7π 5π 25π а) cos − tg , = cos − tg 9 18 9 18 5π 7π cos < 0, tg > 0 , значит наше выражение имеет знак "−". 9 18 б) tg1 − cos 2 tg1 > 0, cos 2 < 0 , значит наше выражение имеет знак "+". 7π 3π в) sin , − ctg 10 5 7π 3π sin > 0, ctg < 0 , значит выражение имеет знак "+". 10 5 г) sin 2 − ctg 5,5 sin 2 > 0, ctg 5,5 < 0, значит выражение имеет знак
"+". 607.
а) sin1 ⋅ cos 2 ⋅ tg 3 ⋅ ctg 4 sin1 > 0, cos 2 < 0, tg 3 < 0, ctg4 > 0. Выражение имеет знак "+". б) sin(−5) ⋅ cos(−6) ⋅ tg(−7) ⋅ ctg(−8), sin(−5) > 0, cos(−6) > 0, tg(−7) < 0, ctg(−8) > 0. Выражение имеет знак "−". 608.
40 sin t = 10 . π 5π 1 + 2πk , k ∈ Z. sin t = ; t = + 2πk , k ∈ Z. t = 6 6 2
а)
б) 2 sin t − 3 = 0 sin t =
3 π 2π ; t = + 2πk , k ∈ Z. t = + 2πk , k ∈ Z. 3 3 2
в) 6 sin t + 27 = 0 . 6 sin t = −3 3 ; sin t = −
г) 2sin t + 1 = 0 240
3 π 2π ; t = − + 2πk , k ∈ Z. t = − + 2πk , k ∈ Z. 3 2 3
sin t = −
π 5π 1 ; t = − + 2πk , k ∈ Z.; t = − + 2πk , k ∈ Z. 6 6 2
609.
50 cos t = 5 1 π ; t = ± + 2πk , k ∈ Z. cos t = 4 2
а)
б) 2 cos t + 3 = 0 cos t = −
3 5π ; t = ± + 2πk , k ∈ Z. 6 2
в) 4 cos = 12 3 π ; t = ± + 2πk , k ∈ Z. 6 2
cos t =
г) 2 cos t − 1 = 0. cos t =
π 1 ; t = ± + 2πk , k ∈ Z. 3 2
§ 24. Тригонометрические функции числового аргумента 610.
а) 1 − sin2 t = cos2 t. в) 1 − cos2t = sin2t.
б) cos2t − 1 = − sin 2t. г) sin2t − 1 = − cos2t.
611.
а) (1 − sin t )(1 + sin t) = 1 − sin2t = cos2t. б) cos2t + (1 − sin2t) = 2cos2t. в) (1 − cos t )(1 + cos t) = 1 − cos2t = sin2t. г) sin2t + 2cos2t − 1 =1+cos2t − 1 = cos2t. 612.
а) sin2t + cos2t + 1 = 2. б) 1 − sin2t + cos2t = 2cos2t. в) cos2t − (1 − 2sin2t) = cos2t + sin2t − 1 + sin2t = sin2t. г) 1 − (cos2t − sin2t) = sin2t + sin2t = 2sin2t. 613.
а) б)
1 cos 2 t
−1 =
1 − sin 2 t 2
cos t
=
1 − cos 2 t cos 2 t cos 2 t cos 2 t
= tg 2 t .
=1, t ≠
π + πk , k ∈ Z. 2
241
в) 1 − г)
1 2
sin t
1 − cos 2 t 1 − sin 2 t
=
sin 2 t − 1
=
2
sin t sin 2 t cos 2 t
=−
cos 2 t sin 2 t
= −ctg 2 t
= tg 2 t .
614. π sin t = sin t, t ≠ + πk , k ∈ Z. 2 cos t π б) sin t + cos t ⋅ tg t = sin t + sin t = 2 sin t , t ≠ + πk , k ∈ Z. 2 cos t в) sin t ⋅ ctg t = sin t ⋅ = cos t , t ≠ πk , k ∈ Z. sin t г) 2 sin t ⋅ ctg t + cos t = 3 cos t , t ≠ πk , k ∈ Z.
а) cost ⋅ tg t = cost ⋅
615.
а) sin t ⋅ cos t ⋅ ctg t − 1 = sin t ⋅
cos 2 t − 1 = cos 2 t − 1 = − sin 2 t , sin t
t ≠ πk , k ∈ Z.
б) sin 2 t + cos 2 t + tg 2 t = 1 + tg 2 t = 1 +
sin 2 t
1
=
.
cos 2 t πk в) sin 2 t − tg t ⋅ ctg t = sin 2 t − 1 = − cos 2 t , t ≠ , k ∈ Z. 2
г) tg t ⋅ ctg t + ctg 2 t = 1 + ctg 2 t =
2
cos t
sin 2 t + cos 2 t sin 2 t
t ≠ πk , k ∈ Z. 616. π < t < π , то есть cos t < 0, 2 3 cos t = − 1 − sin 2 t = − , 5 sin t 4 cos t 3 tg t = = − ; ctg t = =− . cos t 3 sin t 4 5 π б) sin t = , 0 < t < , то есть cos t > 0, 13 2 12 , cos t = 1 − sin 2 t = 13 sin t 5 cos t 12 ; ctg t = . tg t = = = cos t 12 sin t 5 4 5
а) sin t = ,
242
=
1 sin 2 t
,
в) sin t = −0,6; −
π < t < 0 , то есть cos t > 0, 2
cos t = 1 − sin 2 t = 0,8 , 3 4 tg t = − ; ctg t = − . 4 3
г) sin t = −0,28 ; π < t <
3π , то есть cos t < 0, 2
cos t = − 1 − sin 2 t = −0,96 , sin t 7 24 tg t = ; ctg t = . = cos t 24 7 617.
а) cos t = 0,8 , 0 < t <
π , то есть sin t > 0, 2
sin t = 1 − cos 2 t = 0,6 , sin t 3 4 tg t = = ; ctg t = . cos t 4 3 5 π б) cos t = − , < t < π , то есть sin t > 0 13 2 12 sin t = 1 − cos 2 t = 13 sin t 12 5 tg t = = − ; ctg t = − . cos t 5 12 3π в) cos t = 0,6 , < t < 2π , то есть sin t < 0, 2 sin t = − 1 − cos 2 t = −0,8 , sin t −0,8 4 3 tg t = = = − ; ctg t = − . Ошибка в ответе задачника. cos t 0,6 3 4 24 3π г) cos t = − , π < t < , то есть sin t < 0 25 2 7 , sin t = − 1 − cos 2 t = − 25 7 24 tg t = ; ctg t = . 24 7 618.
а) tg t =
3 π , 0 < t < , то есть cos t > 0. 4 2
243
1
cos 2 t =
; cos t =
1 + tg 2 t
1 1 + tg 2 t
=
4 ; 5
3 4 ; ctg t = . 5 3 3π б) tg t = 2,4 , π < t < , то есть cos t < 0, 2
sin t = tg t ⋅ cos t =
1
cos t = −
1 + tg t
1
cos t = −
=−
1 + tg 2 t 1 3
г) tg t = − ,
5 12 5 ; sin t = tg t ⋅ cos t = − ; ctg t = . 13 13 12
π < t < π , то есть cos t < 0. 2
3 4
в) tg t = − ,
cos t =
=−
2
4 3 4 ; sin t = tg t ⋅ cos t = ; ctg t = − . 5 5 3
3π < t < 2π , то есть cos t > 0. 2
1
3
=
1 + tg 2 t
10
; sin t = tg t ⋅ cos t = −
1 10
; ctg t = −3.
619.
а) ctg t =
1
sin t = −
1 + ctg t
1 2
1 + ctg t
244
24 7 24 ; cos t = ctg t ⋅ sin t = ; tg t= . 25 25 7
=
5 3π , < t < 2π , то есть sin t < 0, 12 2 1
1 + ctg 2 t
г) ctg t = − sin t =
5 12 5 ; cos t = ctg t ⋅ sin t = − ; tg t = . 13 13 12
7 π , 0 < t < , то есть sin t > 0, 24 2
в) ctg t = − sin t = −
=−
2
б) ctg t = sin t =
12 3π ,π<t< , то есть sin t < 0. 5 2
=−
12 5 12 ; cos t = ctg t ⋅ sin t = ; tg t = − . 13 13 5
8 π , < t < π , то есть sin t > 0, 15 2 1
1 + ctg 2 t
=
15 8 15 ; cos t = sin t ⋅ ctg t = − ; tg t = − . 17 17 8
620.
а) (sin t + cos t)2 − 2sin t cos t = = sin2t + cos2t + 2sin t cos t − 2sin t cos t = 1. б)
2 − sin 2 t − cos 2 t 3 sin 2 t + 3 cos 2 t
=
2 −1 1 = . 3 3
в) sin4t + cos4t + 2sin2t cos2t = (sin2t + cos2t)2 = 1. г)
sin 4 t − cos 4 t 2
2
=
(sin 2 t − cos 2 t )(sin 2 t + cos 2 t ) sin 2 t − cos 2 t
sin t − cos t π πk , k ∈ Z. t≠ + 4 2
=1,
621.
а) (sin t + cos t)2 + (sin t − cos t)2 = = sin2 t + cos2 t + 2sin t cos t + sin2t + cos2t − 2sin t cos t = 2. б) (tg t + ctg t)2 − (tg t − ctg t)2 = = tg2t + ctg2t + 2 − tg2t − ctg2t + 2 = 4. sin t cos t + = cos t sin t
в) sin t cos t ⋅ (tg t + ctg t) = sin t cos t = sin t cos t
sin 2 t + cos 2 t πk =1, t ≠ , k ∈ Z. sin t cos t 2
г) sin2t cos2t (tg2t + ctg2t + 2) = sin2t cos2t (tg t + ctg t)2 = 2
sin 2 t + cos 2 t = 1, t ≠ πk , k ∈ Z. = sin t cos t cos t sin t 2 2
2
622. 2 sin t 2 sin t sin t sin t (1 − cos t + 1 + cos t ) а) + = = = . 1 + cos t 1 − cos t sin 2 t sin t 1 − cos 2 t
б) (1 + tg t)2 + (1 − tg t)2 = 1 + tg2 t + 2 tg t + 1 + tg2 t − 2tg t = = 2(tg2 t + 1) =
2
.
cos 2 t cos t cos t cos t (1 − sin t + 1 + sin t ) 2 cos t 2 в) + = = = . 1 + sin t 1 − sin t cos t 1 − sin 2 t cos 2
г) (1 + ctg t)2 + (1 − ctg t)2 = 1 + ctg2t + 2ctg t + 1 + ctg2t − 2 ctg t = = 2(ctg2t + 1) =
2 sin 2 t
.
623.
а)
1 − sin 2 t 1 − cos 2 t
+ tg t ⋅ ctg t =
cos 2 t sin 2 t
+1 =
1 sin 2 t
. 245
б) ctg t + в)
1 sin t cos t sin t sin 2 t + cos t + cos 2 t = + = = . 1 + cos t sin t 1 + cos t sin t (1 + cos t ) sin t
cos 2 t − 1 2
sin t − 1
+ tg t ⋅ ctg t =
− sin 2 t 2
− cos t
+1 =
1 cos 2 t
.
cos t sin t cos t sin t + sin 2 t + cos 2 t = + = = 1 + sin t cos t 1 + sin t cos t (1 + sin t ) 1 + sin t 1 . = = cos t (1 + sin t ) cos t
г) tg t +
624. sin t sin t sin t (1 − cos t + 1 + cos t ) 2 sin t 2 + = = = . 1 + cos t 1 − cos t 1 − cos 2 t sin 2 t sin t
а) −16. б) 2 3 . 625.
1 − cos 2 t sin 2 t = = sin t = sin (t + 4π ) . sin t sin t cos t б) ctg t ⋅ sin t = ⋅ sin t = cos t = cos(t − 2π ) . sin t sin t в) tg t ⋅ cos(t + 6π) = ⋅ cos t = sin t = sin (t + 2π ) . cos t
а)
г) sin 2 (t + 4π) + cos 2 (t + 2π) − sin 2 (t − 2π) − cos 2 (t − 8π) = = sin 2 t + cos 2 t − sin 2 t − cos 2 t = 0 . 626. tg t tg t tg t а) = = = 2 sint cos t tg t + ctg t sin t + cos 2 t + cost sin t cos t sin t sin t = ⋅ cos t ⋅ sin t = sin 2 t . cos t 1 + tgt 1 + tg t tgt + 1 б) = tg t . = 1 + ctg t tgt
в)
cos t ctg t ctg t ctg t = = = ⋅ cos t ⋅ sin t = cos 2 t . 2 2 sin t cos t tg t + ctg t sin t sin t + cos t + cos t sin t cos t ⋅ sin t
246
1 − ctg t г) = 1 − tg t
sin t − cos t cos t cos t sin t sin t = =− = −ctg t . cos t − sin t sin t sin t 1− cos t cos t 1−
627. sin (4π + t ) =
3 π , 0 < t < , то есть cos t > 0, 5 2
3 3 sin t sin (4π + t ) tg (π − t ) = tg (− t ) = −tg t = − =− = − 5 =− . 4 cos t 2 4 1 − sin (4π + t ) 5
628. 12 3π , < t < 2π , то есть sin t < 0, 13 2 cos t cos(−t ) ctg (π − t ) = ctg (− t ) = −ctg t = − =− = sin t sin t 12 cos(2π − t ) 12 13 =− =− =+ . 2 5 144 − 1 − cos (2π − t ) − 1− 169
cos(2π − t ) =
629. 5 , 8,5 < t < 9π, то есть sin t > 0, 13 12 sin (− t ) = − sin t = − 1 − cos 2 t = − . 13 cos t = −
630. 4 9π < t < 5π , то есть cos t < 0. sin t = , 5 2
cos(− t ) + sin (− t ) = cos t − sin t = − 1 − sin 2 t − sin t = −
3 4 7 − =− . 5 5 5
§ 25. Тригонометрические функции углового аргумента 631. 11π 2π а) . б) . 9 3 5π 1 в) . г) 4 π . 4 3
247
632. 5π 7π а) . б) . 6 6 11π 11π в) . г) . 6 3 633. 128π 43π а) . б) . 45 36 35π 171π в) . г) . 18 36 634.
а) 135°. б) 660° . в) 216°. г) 920°. 635.
а) 480°. б) 315°. в) 324°. г) 555°. 636.
а) 300°. б) 675°. в) 375°. г) 280°. 637.
а) sin α б) sin α в) sin α г) sin α
= 1; cos α = 0; tg α − не существует ; ctg α = 0. = 1; cos α = 0; tg α − не существует ; ctg α = 0. = 0; cos α = 1; tg α = 0; ctg α − не существует. = −1; cos α = 0; tg α − не существует ; ctg α = 0.
638.
а) sin α =
2 2 ; cos α = − ; tg α = −1; ctg α = −1. 2 2
б) sin α = −
2 2 ; cos α = ; tg α = −1; ctg α = −1. 2 2
в) sin α = −
2 2 ; cos α = ; tg α = −1; ctg α = −1. 2 2
г) sin α =
2 2 ; cos α = − ; tg α = −1; ctg α = −1. 2 2
639.
а) sin α = −
3 1 1 ; cos α = ; tg α = − ; ctg α = − 3 . 2 2 3
б) sin α = −
1 3 1 ; cos α = − ; tg α = ; ctg α = 2 2 3
248
3.
в) sin α = −
3 1 1 ; cos α = ; tg α = − ; ctg α = − 3 . 2 2 3
г) sin α = −
1 3 1 ; cos α = − ; tg α = ; ctg α = 2 2 3
3.
640.
а) sin α =
1 3 1 ; cos α = − ; tg α = − 3 ; ctg α = − . 2 2 3
б) sin α =
3 1 1 ; cos α = − ; tg α = − 3 ; ctg α = − . 2 2 3
в) sin α = −
1 1 3 ; cos α = ; tg α = − 3 ; ctg α = − . 2 2 3
г) sin α = −
1 1 3 ; cos α = ; tg α = − 3 ; ctg α = − . 2 2 3
641.
а) х = 5 sin α .
б) x = 4 cos α .
3 . в) x = cos α
г) x =
1 = ctgα . tgα
642. 2 2 . = 4 . б) x = 1 ⋅ sin 45 = sin 30 2 2 4 5 = . г) x = 5 ⋅ cos 60 = . в) x = sin 60 2 3
а) x =
643.
3 1 = 6 3 , b = c cos α = 12 ⋅ = 6 . 2 2 ab 1 Площадь: S = = 18 3 , r = c = 6 . 2 2
а) Катеты: a = c sin α = 12 ⋅
б) Катеты: a = c sin α = 6 ⋅ Площадь: S =
2 2 = 3 2 , b = c cos α = 6 ⋅ =3 2 . 2 2
ab =9. 2 1 2
Радиус описанной окружности r = c = 3 .
249
в) Катеты: a = c sin α = 4 ⋅ Площадь: S =
1 3 =2 3 . = 2 . b = c cos α = 4 ⋅ 2 2
ab =2 3. 2 1 2
Радиус описаной окружности r = c = 2 г) Катеты: a = c sin α = 60 ⋅ Площадь: S =
3 1 = 30 3 . b = c cos α = 60 ⋅ = 30 . 2 2
ab = 450 3 . 2 1 2
Радиус описаной окружности r = c = 30 . 644.
sin 160, sin 40, sin 120, sin 80. 645.
cos 160, cos 120, cos 80, cos 40. 646.
sin 570, sin 210, cos 70, sin 110. 647.
∆АВС − прямоугольный (т.к. он вписан в окружность и одна его сторона является диаметром). Тогда АВ = АС cosα = 2R cos α . 648.
Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали АС и BD разбивают этот четырехугольник на четыре треугольника: ∆АВО, ∆ВСО, ∆CDO и ∆DAO, где О — точка пересечения диагоналей АС и BD. Пусть α — угол между диагоналями, т.е. ∠СОВ = ∠AOD = α (как вертикальные). 1 1 AO ⋅ OB ⋅ sin(180° – α) = AO ⋅ OB ⋅ sinα; 2 2 1 S∆BCO = BO ⋅ OC ⋅ sinα; 2 1 1 S∆CDO = CO ⋅ OD ⋅ sin(180° – α) = CO ⋅ OD ⋅ sinα; 2 2 1 S∆DAO = AO ⋅ OD ⋅ sinα; 2
S∆ABO =
SABCD = S∆ABO + S∆BCO + S∆CDO + S∆DAO = 250
1 sinα(AO ⋅ OB + BO ⋅ OC + CO ⋅ OD + AO ⋅ OD) = 2 1 = BD ⋅ AC ⋅ sinα (поскольку BO + OD = BD; AO + OC = AC). 2
=
Что и требовалось доказать. 649.
Из того, что сумма углов треугольника равна 180°, следует, что ∠В = 180° –∠А – ∠С = 180° – 45° – 30° = 105°. По теореме синусов имеем: AB AC BC 4 2 1 AB , откуда BC = ⋅ sin A = ⋅ = 8 (см). = = 1 sin C sin C sin B sin A 2
По теореме косинусов имеем: ВС2 = АВ2 + АС2 – 2 ⋅ АВ ⋅ АС ⋅ cosA; 1
64 = 32 + AC2 – 8 2 ⋅ AC ⋅ AC2 – 8AC – 32 = 0;
2
2
;
( )
2
D = 64 + 128 = 192 = 8 3 ; 8±8 3 , откуда АС = 4(1 + 3 ) (см). 2 1 1 1 S∆ABC = AC ⋅ BC ⋅ sin∠C = ⋅ 8 ⋅ 4((1 + 3 ) ⋅ = 8((1 + 3 ) (см2). 2 2 2 AC =
Ответ: АС = 4(1 + 3 ) см; S∆ABC = 8(1 + 3 ) см2.
§ 26. Функции y = sin x, y = cos x, их свойства и графики 650.
Боковая сторона данного треугольника, прилежащая к углу в 60°, равна
5 5 10 (см), а прилежащая к углу в 45° равна = = sin 60° 3 3 2
5 5 = = 5 2 (см). Угол при вершине треугольника, из 1 sin 45° 2
которой опущена высота, равен 180° – 45 ° – 60° = 75°. Следовательно, площадь треугольника равна:
251
25 2 (1 + 3 ) 25 3 ⋅ (1 + 3 ) 1 10 ⋅ ⋅ 5 2 ⋅ sin 75° = ⋅ = (см2). 6 2 3 3 2 2
Ответ:
25 3 ⋅ (1 + 3 ) см2. 6
651.
а) 0; б)
3 3 ; в) 0; г) − . 2 2
652.
π 6
а) y = 2 sin x − + 1 , x =
π 4
1 4π 4π , f =− . 3 3 2
π 2
π 2
б) y = − sin x + , x = − , f − =
1 y = 2 ⋅ − +1 = 0 2
2 . 2
653.
Точка принадлежит графику тогда и только тогда, когда ее координаты (х , у) удовлетворяют уравнению у = sin x. π 2
а) −1 = sin − − верно. Принадлежит. б)
1 π = sin − неверно. 2 2
Не принадлежит. в) 1 = sin π − неверно. Не принадлежит. г) −1 = sin
3π − верно. 2
Принадлежит. 654.
а)
б)
в)
252
г)
655.
а)
б)
в)
г)
656.
а)
б)
в)
253
г)
657.
а)
б)
в)
г)
658.
π 2
3 2 −3π 5π π ; г) ƒ − = = 0 ; в) ƒ = − 2 2 2 6 4
а) ƒ = 0 ; б) ƒ 659.
Точка (х, у) принадлежит графику тогда, кода y = cos x. π 2
а) −1 = cos − − неверно. Не принадлежит. б) − 254
5π 3 = cos − верно. Принадлежит. 6 2
в) −
1 2π − верно. Принадлежит. = cos 2 3
г) 1 = sin 2π − верно. Принадлежит. 660.
а)
б)
в)
г)
661.
а)
б)
в)
г)
255
662.
а)
б)
в)
г)
663.
а)
б)
в)
г) 256
664.
а)
б)
в)
г)
665.
а) sin x =
2 x, π
Решения: 0;
π π ; − . 2 2
б) cos x = x2 + 1.
Решение: 0. в) sin x = x + π.
257
Решение: x = −π. г) sin x = 3 −
4 x. π y 1 0
x
1
–3
Решение: x =
π . 2
666.
а) f (x ) = x 5 sin x Рассмотрим: f(−x) = (−x)5sin(−x) = x5sin x = f(x). Причем, D( f ) = (−∞; + ∞) . Функция четная. б) f (x ) =
sin 2 x
x 2 − cos x
Функция не определена в тех точках, где х2 = cos x. Очевидно, что корни этого уравнения симметричны относительно О. (т.к. если х − корень, то (−х) − тоже корень). Значит область определения симметрична относительно О. f (− x ) =
sin 2 (− x )
(− x )2 − cos(− x )
=
sin 2 (x )
x 2 − cos x
= f (x )
Функция четная. в) f (x ) =
cos 5 x + 1 , | x|
D( f ) = (−∞; 0)∪(0; + ∞) − симметрична относительно О. f (−x) =
cos(−5 x ) + 1 cos 5 x + 1 = = f (x ) , | −x | |x|
Функция четная. г) f (x) = sin2x − x4 + 3 cos 2 x . D ( f ) = (−∞; + ∞) − симметрична относительно О. f (−x) = sin2(−x) − (−x)4 + 3cos (−2x) = sin2x − x4 + 3cos 2x = 0. 258
667.
а) f (x ) = x − sin x D ( f ) = (−∞; + ∞) − симметрична относительно О. f (− x ) = − x + sin (− x ) = −(x + sin x ) = − f (x )
Функция нечетна. б) f (x ) = x 3 ⋅ sin x 2 D( f ) = (−∞; + ∞) − симметрична относительно О. f (− x ) = (− x )3 ⋅ sin (− x )2 = − x 3 sin x = − f (x ) . Функция нечетна.
(
в) f (x ) =
x 2 sin x x2 − 9
)
,
D( f ) = (−∞; −3)∪(−3; 3)∪(3; + ∞) − симметрична относительно О. f (− x ) =
(− x )2 sin (− x ) = − x 2 sin x = − f (x ) . x2 − 9 (− x )2 − 9
Функция нечетна. г) f (x ) =
x 3 − sin x , 2 + cos x
D( f ) = (−∞; + ∞) − симметрична относительно О. f (− x ) =
(− x )3 − sin (− x ) = − x 3 − sin x = − f (x ) . 2 + cos(− x ) 2 + cos(− x )
Функция нечетна. 668.
f (x) = 2x2 − 3x − 2, −f(cos x)=− 2cos2x + 3cos x + 2 = 2(1 − cos2x) + 3cos x= = 2sin 2x + 3 cos x. 669.
f (x) = 5x2 + x + 4, f (cos x)=5cos2x + cos x + 4 = −5 (1 − cos2x) + cos x + 9= = −5 sin2x + cos x + 9. 670.
f (x) = 2x2 − 5x + 1, f (2 sin x)=2⋅4sin2x−10 sin x+1 = 8 sin2 x − 10 sin x + 1= = 8(sin2x−1)−10 sin x+9=−8 cos2 x−10 sin x+9=9 − 10 sin x − 8 (1 + tg2 x).
259
Домашняя контрольная работа. ВАРИАНТ № 1.
1. 9 6 ; б) . 5 5
а)
2. а) Третьей; б) Третьей. 3. 11π π ; − 6 6
4. sin
2π 2 1 6 π π cos ctg = ⋅− 3 = − . 4 3 6 2 2 4
5. sin
12 3π , cos ; Знак "+". 7 8
6.
(sin t + cos t )2
1 + 2 sin t cos t
=
=
(sin t + cos t )2 (sin t + cos t )2
(sin t + cos t )2 2
cos t + 2 sin t cos t + sin 2 t
=1, t ≠
=
3π + πk , k ∈ Z. 4
7.
(sin t + cos t )2 + (sin t − cos t )2 = sin 2 t + 2 sin t cos t + cos 2 t + + sin 2 t − 2 sin t cos t + cos 2 t = 2 .
8. sin t =
12 π , < t < π , то есть cos t < 0, 13 2
cos t = − 1 − sin 2 t = − 1 −
tg t =
9. а)
260
−12 −5 ; ctg t = . 5 12
144 − 5 , = 169 13
б)
10.
f (x ) = x 2 − 5 x + 4 f (cos x ) = cos 2 x − 5 cos x + 4 = cos 2 x − 1 − 5 cos x + 5 =
= 5 − 5 cos x − sin 2 x . ВАРИАНТ №2.
1. а)
π 7π ; б) . 8 8
2. а) Четвертой. б) Третьей. 3. 4π 2π ; − 3 3
4. sin
5π 3π 2 6 π 1 . cos 3=− ⋅ tg = ⋅ − 6 4 3 2 2 4
5. cos
15 11π 15 11π , sin ; cos < 0 , sin > 0 . Знак "−". 8 15 8 15
6.
(sin t − cos t )2 = (sin t − cos t )2 1 − 2 sin t cos t (sin t − cos t )2
=1, t ≠
π + 2πk , k ∈ Z. 4
7. Доказать: (sin t + cos t )2 − (sin t − cos t )2 = 4 sin t cos t , Доказательство:
(sin t + cos t )2 − (sin t − cos t )2 = 1 + 2 sin t cos t − 1 + 2 sin t cos t =
4 sin t cos t .
8. cos t = −
5 3π , π<t < , то есть sin t < 0, 13 2
261
5 2 = − 12 , tg t = 12 , ctg t = 5 . sin t = − 1 − 13 13 12 5
9. а)
б)
10. f (x ) = − x 2 + 4 x + 3 , f (sin x ) = − sin 2 x + 4 sin x + 3 = 1 − sin 2 x + 2 + 4 sin x = = cos 2 x + 2 + 4 sin x .
262