Повторяя проведенные выше рассуждения, заключаем, что RS и QN тоже пересекаются в точке О и делятся ей пополам. Таким образом, все три отрезка: RS, QN, MP – пересекаются в т. О и делятся в ней пополам. Утверждение доказано. 102. По теореме I пл. DNM || DC (MN – средняя линия ∆АВС, поэтому MN || BC). Если все ребра тетраэдра равны, тогда в ∆ADC отрезок DM – медиана, а значит и высота и биссектриса. Из ∆ADM: DM =
AD 2 − AM 2 ; DM = 300 = 10 3 (см).
∆AND = ∆AMD (они – прямоугольные, AD – общая гипотенуза, АМ = AN); из равенства треугольников DM = DN;
MN =
1 BC = 10 . 2
Рассмотрим ∆MDN.
Проведем в равнобедренном ∆MDN высоту DK. Из ∆MDK: DK = MD 2 − MK 2 = 300 − 25 = 5 11 (см); S MDN =
1 1 MN ⋅ DK = ⋅ 10 ⋅ 5 11 = 25 11 (см2); 2 2
(
)
P∆MDN = 10 1 + 2 3 см.
(
)
Ответ: 10 1 + 2 3 см и 25 11 см2. 52
www.5balls.ru