Пусть на плоскости α имеется вписанный в окружность n-угольник (не обязательно правильный n-угольник); т. О – центр описанной окружности. Рассмотрим ∆A1OS, ∆A2OS, …, ∆AnOS. Они – прямоугольные, ОА1 = ОА2 = … = =ОАn – как радиусы окружности, SО – общий катет. Все треугольники равны, поэтому наклонные SA1, SA2, …, SАn тоже равны. Это суть утверждение задачи. 201. Решение: 1. Проведем РМ ⊥ α и QN ⊥ α; через середину АВ – точку О – проведем отрезки OQ и ОР, соединим точки О и N, О и М. OQ ⊥ AB – по свойству медианы в равнобедренном ∆ABQ. OP ⊥ АВ – по свойству медианы в равнобедренном ∆АВР. РМ ⊥ АВ, PQ ⊥ AB, то МО ⊥ АВ по теореме, обратной к теореме о 3-х перпендикулярах; OQ ⊥ AB, QN ⊥ AB, то NO ⊥ АВ по теореме, обратной к теореме о 3-х перпендикулярах. В α через т. О к отрезку АВ можно провести единственный перпендикуляр, поэтому точки М, О, N лежат на одной прямой MN. PM || QN, через них можно провести единственную плоскость MPQN, АВ ⊥ пл. MPQN. Рассмотрим два случая: Случай I. PQ || a. Тогда РМ = QN, MN || PQ и угол между PQ и АВ равен углу между MN и АВ. А угол между MN и АВ равен 90о. Случай II. Продолжение PQ пересекает плоскость α. Тогда MN есть проекция продолженного отрезка PQ на пл. α. MN ⊥ AB, PM ⊥ АВ, то (PNM) ⊥ AB и PQ ⊥ АВ ⇒ АВ ⊥ PQ. Ответ: 90о. 202. Дано: ∆АВС, АС⊥ВС, SA = SB = =SC = 10 см; СМ = 5 см – медиана. 105
www.5balls.ru