Observe que f ( x ) = e x = lim
n
∑ e3
(x − 3)k
, al tomar n como un número finito, se k! obtiene una aproximación de f(x), ya que la suma infinita (o serie infinita), se reemplaza por una suma finita, incurriendo en un error, representado por Rn(x) que se llama ERROR TRUNCAMIENTO. n +1 n +1 f n + 1 (ξ )( x − 3) e ξ ( x − 3) = con ξ ∈ [3, x] En este caso R n ( x ) = (n + 1)! (n + 1)! No se sabe cual es el valor de ξ sólo se sabe que está entre x y 3. Note que e x ≈ Pn ( x ) Grado Polinomio Comentarios x 3 Para La cual es una e ≈e aproximación n=0 muy burda para ex, ya que supone que ex es una función constante x 3 3 Aproxima a ex Para e ≈ e + e ( x − 3) n=1 como una línea recta. 2 3 Para Aproxima a ex e ( x − 3) x 3 3 ( ) e ≈ e +e x−3 + n=2 como una 2 parábola 2 3 Para Aproxima a ex e 3 ( x − 3) e 3 ( x − 3) x 3 3 e ≈ e + e ( x − 3) + + n=3 como un 2 3! polinomio cúbico 2 3 k 3 3 3 Para Aproxima a ex e ( x − 3) e ( x − 3) e ( x − 3) 3 3 x ( ) e ≈ e + e x − 3 + + + ... + n=k como un 2 3! k! polinomio de grado k n→∞
k =0
A medida que n crece la gráfica del polinomio Pn(x) se acerca a la gráfica de la función ex. Por ejemplo si se desea estimar el valor de e3.5, con estas aproximaciones, se tiene lo siguiente, x = 3.5, el valor verdadero de e3.5= 33.115452 con 8 cifras significativas. Para n=0, ex=e3, por lo tantoe3.5= e3= 20.0855369 Error absoluto(Ea)=| 33.115452-20.0855369|=13.03(error de truncamiento) x 3 3 3.5 3 3 Para n=1, e =e +e (x-3) → e = e +e (3.5-3)= 30.128305
Error absoluto(Ea)=| 33.115452-30.128305|=2.987(error de truncamiento) 3 e3 x 3 3 (x − 3)2 → e 3.5 ≈ e 3 + e 3 (3.5 − 3) + e (3.5 − 3)2 = Para n=2, e ≈ e + e ( x − 3) + 2 2 32.638998 Error absoluto(Ea)=| 33.115452-32.638998|=0.4764(error de truncamiento)
Como se puede apreciar el error de truncamiento disminuye a medida que n aumenta y el valor estimado para e3.5 se acerca al verdadero.