MATRICES DE DIAGONAL ESTRICTAMENTE DOMINANTE Se dice que una matriz cuadrada es de diagonal estrictamente dominante o que es estrictamente dominate diagonalmente(EDD) por filas, si y sólo si n
aii > ∑ aij , para cada i=1,2,..., n(la dimensión de la matriz) j=1 j≠ i
Es decir una matriz es estrictamente dominante diagonalmente cuando los elementos de la diagonal principal son mayores en valor absoluto, que la suma de los valores absolutos de los demás elementos de la fila correspondiente. EJEMPLO: − 4 Sea A = 2 1
2 −8 −1
1 4 6
3
a11 = − 4 = 4 > ∑ aij = a12 + a13 = 2 + 1 = 3 j=1 j≠1 3
a 22 = − 8 = 8 > ∑ aij = a 21 + a 23 = 2 + 4 = 7 j =1 j≠ 2
3
a33 = 6 = 6 > ∑ aij = a31 + a 32 = 1 + − 1 = 1 + 1 = 2 j =1 j≠3
Por lo tanto, la matriz A es estrictamente dominante diagonalmente 2 4 B = Sea 1
4 8 2
1 1 1
3
b11 = 2 = 2 < ∑ bij = b12 + b13 = 4 + 1 = 5 j =1 j ≠1
Como b11 en valor absoluto es menor que la suma de los otros elementos de la fila en valor absoluto, entonces se concluye que la matriz B no es estrictamente dominante diagonalmente. Observe que con un solo caso que no se verifique, es suficiente para afirma que una matriz no es estrictamente dominante diagonalmente. MATRIZ REAL, SIMÉTRICA Y DEFINIDA POSITIVA Una matriz A ∈Rn×n , simétrica, se dice que es definida positiva, si satisface una cualquiera de las siguientes condiciones( que son equivalentes): T a) x Ax > 0 , ∀x ∈R n , x ≠ 0 (Por definición) b)Todos los valores de A son positivos c)Todos los pivotes obtenidos en la eliminación gaussiana sobre A, sin inctercambio de filas, son positivos
d)Todas las submatrices principales de A tiene determinante positivo1 Ejemplo: 2 Sea A = −1 0
−1 2 −1
0 −1 . Determine si A es simétrica y definida positiva. 2
Visualmente se puede comprobar que la matriz A es simétrica(tiene simetría con respecto a la diagonal principal). Además, se verifica la condición dada en la definición: Una matriz A es simétrica, si y sólo si aij=aji, para i,j=1,2,...,n. Esto es equivalente a decir que una matriz A es simétrica si y sólo si, AT=A.
2 AT = −1 0
−1 2 −1
0 −1 , la cual es igual a A 2
Para determinar si la matriz A es definida positiva, sólo es necesario verificar uno de los cuatro criterios dados anteriormente, sin embargo como un ejercicio académico se comprobarán los cuatro criterios: a) x T Ax > 0, , con x ≠ 0
x T Ax = [ x1
x2
2 − 1 0 x1 x3 ] ⋅ − 1 2 − 1 ⋅ x 2 = [ x1 0 − 1 2 x3
x2
2 x1 − x 2 x3 ] ⋅ − x1 + 2 x 2 − x3 − x 2 + 2 x3
= 2 x12 − 2 x1 x 2 + 2 x 22 − 2 x 2 x3 + 2 x32
[
]
= x12 + ( x1 − x 2 ) + ( x 2 − x3 ) + x32 >0 2
2
Esta suma de cuadrados de números reales es mayor que cero, a menos que x1=x2=x3=0. 2 2 Por lo tanto, x T Ax = x12 + ( x1 − x 2 ) + ( x 2 − x3 ) + x32 > 0, ∀x ∈ R n , si x ≠ 0 , y se concluye que A es definida positiva b) Todos los valores propios de A deben ser positivos Se resuelve A −λI =0 2 −1 0
−1 2 −1
0 1 −1 −λ 0 2 0
0 1 0
0 0 =0 1
1
Las submatrices principales de una matriz A=(aij)nxn, son las matrices:
a11 Ak = a k1
a1k a kk , para k=1,2,...,n
2 − λ p ( λ) = −1 0 p ( λ) = ( 2 −λ)
−1 2 −λ −1 2 −λ −1
0 −1 = 0 ( el polinomio característico de A) 2 − λ −1 −1 +1 ⋅ 2 −λ −1
[ ] p( λ ) = ( 2 − λ ) [( 2 − λ ) − 1 − 1] = 0
0 =0 2 −λ
p( λ ) = ( 2 − λ ) ( 2 − λ ) − 1 − (2 − λ ) = 0 2
2
[
[ (
]
)] [ (
)]
p ( λ ) = ( 2 − λ ) λ2 − 4 λ + 2 = ( 2 − λ ) ⋅ λ − 2 + 2 ⋅ λ − 2 − 2 = 0 Resolviendo, se obtiene: λ1 = 2 > 0 , λ1 = 2 + 2 > 0 , λ1 = 2 − 2 > 0 Tal y como se esperaba, todos los valores de A son positivos, por lo tanto se confirma( aunque no era necesario) que la matriz A es definida positiva
c) Los pivotes obtenidos en la eliminación gaussiana sobre A, sin intercambios de filas, deben ser todos positivos: 2 −1 0
−1 2 −1
0 1 −1 F2 → F2 + 2 F1 2
2 − 1 0 0 3 − 1 F → F + 2 F 2 3 2 3 3 0 − 1 2
2 − 1 0 0 3 − 1 2 4 0 0 3
Como se puede observar, no se intercambian renglones y, además, todos los pivotes( los elementos de la diagonal en la matriz reducida:
2, 3 2 , 4 3 ) son todos positivos. De nuevo,
como se esperaba, se confirma que la matriz A es definida positiva. d) Todas las submatrices principales de A tienen determinante positivo: Las submatrices principales de A son: 2 A3= −1 0
−1 2 −1
0 2 −1 , A2= −1 2
−1 , A1= [2] 2
|A3|=4>0 |A2|=3>0 |A1|=2>0 Como el determinantes de las submatrices principales de A son positivos, se confirma, de nuevo que A es una matriz definida positiva. Teoremas relacionados:
1) Si A es una matriz de nxn estrictamente dominante diagonalmente, entonces A es no singular(es invertible). Además, se puede efectuar eliminación Gaussiana en cualquier sistema de la forma Ax=b para obtener su solución única sin intercambio de filas o columnas, y los cálculos son estables con respecto al crecimiento de los errores de redondeo 2) Si A es una matriz de nxn positiva definida, entonces A es no singular( es invertible). Además, la eliminación de gaussiana se puede aplicar a cualquier sistema lineal de la forma Ax=b, para obtener su solución única sin intercambio de renglones i de columnas y los cálculos son estables con respecto a los errores de redondeo.