RESUMEN DE MATRICES Y DETERMINANTES

CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES

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Hacer cero los elementos por encima de la diagonal en la u ´ltima columna usando la u ´ltima ďŹ la. Luego, hacer cero los elementos por encima de la diagonal en la pen´ ultima columna usando la pen´ umtima ďŹ la, y as´Ĺ sucesivamente. En nuestro caso:

1 2 1 0 3¡F1 −2¡F2 3 0 1 −2 −−−−−−→ 0 3 1 1 0 3 1 1 iv) Ya tenemos una matriz diagonal. Lo u ´nico que falta es dividir a cada ďŹ la entre el n´ umero adecuado para obtener unos en la diagonal principal, es decir, para obtener la matriz identidad en la parte izquierda:

F1 F2 , 3 1 0 13 −2 3 0 1 −2 3 3 − − − − → 0 1 31 13 0 3 1 1 v) Una vez se tiene la matriz identidad en la parte de la izquierda, la parte derecha es la matriz inversa, es decir, llegamos a:

1 −2

1 1 −2 1 0 13 −2 −1 3 3 3 (I2 , A−1 ) = ¡ =⇒ A = 1 1 = 1 1 0 1 31 13 3 3 3 matriz que hab´Ĺamos obtenido antes por el m´etodo directo.

Si al realizar el m´etodo de Gauss-Jordan en alg´ un momento alguna ďŹ la es de ceros, la matriz no tiene inversa.

Cuanto mayor sea el orden de la matriz, mejor es este m´etodo frente al directo.

Veamos otro ejemplo:   1 1 0 Calcular la inversa de la matriz B = ďŁ­âˆ’1 1 2 por el m´etodo de Gauss-Jordan.

1 0 1 Siguiendo los pasos anteriores:

      1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 F +F1 F3 −F1 0 2 2 1 1 0 − −−−→ 0 2 2 1 1 0 (B|I3 ) = ďŁ­âˆ’1 1 2 0 1 0 −−2−−→

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 −1 1 −1 0 1

    1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 2¡F +F2 2¡F2 −F3 4¡F −F2 0 2 2 1 1 0 − −−−3−−→ −−−−→ 0 4 0 3 1 −2 −−−1−−→

0 0 4 −1 1 2 0 0 4 −1 1 2

    2 4 0 0 1 −1 2 1 0 0 14 −1 F1 F2 F3 4 4 , , 4¡F −F2 4 4 1 −2  0 4 0 3 −−−1−−→ 1 −2 −− −− −−4→ 0 1 0 43 = (I3 |B −1 ) 4 4

2 0 0 4 −1 1 2 0 0 1 −1 14 4  1 −1 1  4 =⇒ B −1 = 

4 3 4 −1 4

4 1 4 1 4

2 −1  2 1 2

Tambi´en se puede expresar, sacando factor com´ un:   1 −1 2 1 1 −2 B −1 = ¡  3 4 −1 1 2

1 1 Si calculamos por este m´etodo la inversa de A = resulta: 2 2

1 1 1 0 F2 −2¡F1 1 1 1 0 −−−−−→ (A|I2 ) = 2 2 0 1 0 0 −2 1

es la inversa de B.

Como aparece una ďŹ la de ceros, la matriz A no tiene inversa.

Ejercicios: