Antología cal 1 iop

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UPAEP NO ESCOLARIZADA

LICENCIATURA EN INGENIERIA DE PROYECTOS INDUSTRIALES

ASIGNATURA:

CALCULO I

ANTOLOGÍA

Antología Calculo I Temas y subtemas 1. Funciones exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas 1.1 Funciones exponenciales 1.2 Funciones logarítmicas 1.3 Funciones hiperbólicas 1.4 Funciones hiperbólicas inversas 2. Límites y continuidad 2.1. Definiciones informal y formal de límite 2.2. Propiedades de los límites 2.3. Solución de límites 2.3.1 Límites Algebraicos 2.3.2 Límites Trigonométricos 2.3.3 Límites logarítmicos, exponenciales e hiperbólicos 2.4. Límites infinitos y límites al infinito 2.5. Continuidad de una función 3. Derivación de funciones 3.1 Definición de la derivada 3.2 Reglas de derivación 3.2.1 Derivada de las funciones algebraicas 3.2.2 Regla de la cadena 3.2.3 Derivada de las funciones trascendentes 3.2.4 Derivada de las funciones paramétricas 3.2.5 Derivación logarítmica 4. Aplicaciones de la derivada 4.1 Valores extremos 4.2 Concavidad y puntos de inflexión 4.3 Gráfica de funciones 4.4 Problemas de aplicación 4.4.1 Optimización 4.4.2 Razones de cambio 4.4.3 Diferenciales 4.4.4 Regla de L´Hôpital 4.4.5 Polinomios de Taylor y Maclaurin

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Antología Calculo I 5. Introducción al cálculo integral 5.1 Antiderivada 5.1.1 Interpretación geométrica de la antiderivada 5.1.2 Aplicación de la antiderivada 5.2 Área 5.3 La integral definida 5.4 Teorema fundamental del cálculo 5.5 La integral indefinida y cambio de variable 6. Aplicaciones de la integral 6.1 Cálculo del área entre 2 curvas 6.2 Cálculo de volúmenes 6.2.1 Sólidos de revolución 6.2.3 Envolventes cilíndricos

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AntologĂ­a Calculo I

1.

Funciones Exponenciales, LogarrĂ­tmicas e hiperbĂłlicas

Una funciĂłn se define como una relaciĂłn en la cual a cada elemento del conjunto de partida denominado Dominio le corresponde un sĂłlo elemento en el conjunto de llegada denominado Co dominio. El Rango corresponde a los valores del Co dominio que estĂĄn relacionados con los elementos del Dominio.

Funciones trascendentales Se refieren a las funciones exponenciales y logarĂ­tmicas

1.1 Funciones exponenciales Son de la forma đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ž đ?‘Ľ ďƒ˜ Dominio đ?‘Ľ ∈ â„? ďƒ˜ Rango đ?‘Ś ∈ (0, ∞) ďƒ˜ Corte en y đ?‘Ľ = 0

(0,1)

ďƒ˜ Corte en x no existe ďƒ˜ No presenta ningĂşn tipo de simetrĂ­a

Ejemplos 1 đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ) = ( ) 2 ďƒ˜ Dominio đ?‘Ľ ∈ â„? ďƒ˜ Rango đ?‘Ś ∈ (0, ∞) ďƒ˜ Corte en y đ?‘Ľ = 0

(0,1)

ďƒ˜ Corte en x no existe No presenta ningĂşn tipo de simetrĂ­a

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AntologĂ­a Calculo I

g(đ?‘Ľ) = (3)đ?‘Ľ ďƒ˜ Dominio đ?‘Ľ ∈ â„? ďƒ˜ Rango đ?‘Ś ∈ (0, ∞) ďƒ˜ Corte en y đ?‘Ľ = 0

(0,1)

ďƒ˜ Corte en x no existe No presenta ningĂşn tipo de simetrĂ­a

1.2 Funciones logarĂ­tmicas Son de la forma đ?‘“(đ?‘Ľ) = log đ?‘Ž đ?‘Ľ ďƒ˜ Dominio đ?‘Ľ ∈ (0, ∞) ďƒ˜ Rango đ?‘Ś ∈ â„? ďƒ˜ Corte en y no existe ďƒ˜ Corte en x đ?‘Ś = 0

(1,0)

No presenta ningĂşn tipo de simetrĂ­a

Ejemplo đ?‘“(đ?‘Ľ) = log 2 đ?‘Ľ ďƒ˜ Dominio đ?‘Ľ ∈ (0, ∞) ďƒ˜ Rango đ?‘Ś ∈ â„? ďƒ˜ Corte en y no existe ďƒ˜ Corte en x đ?‘Ś = 0

(1,0)

No presenta ningĂşn tipo de simetrĂ­a

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AntologĂ­a Calculo I đ?‘“(đ?‘Ľ) = log (1) đ?‘Ľ 3

ďƒ˜ Dominio đ?‘Ľ ∈ (0, ∞) ďƒ˜ Rango đ?‘Ś ∈ â„? ďƒ˜ Corte en y no existe ďƒ˜ Corte en x đ?‘Ś = 0

(1,0)

No presenta ningĂşn tipo de simetrĂ­a

Inversa de una funciĂłn Toda funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) que sea uno a uno posee una funciĂłn inversa đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) tal que el dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ) es igual al rango de đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) y viceversa Ejemplo: halle la inversa de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ 2 , đ?‘Ľ ∈ [0, ∞) Esta funciĂłn es uno a uno ya que para el dominio especificado existe un Ăşnico valor de đ?‘“(đ?‘Ľ) para cada valor de đ?‘Ľ ďƒ˜ Su rango es đ?‘Ś ∈ [0, ∞) Para hallar la funciĂłn inversa se cambia la đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘Ľ y se despeja a đ?‘“(đ?‘Ľ) entonces: 2

đ?‘Ľ = 4(đ?‘“(đ?‘Ľ))

đ?‘Ľ

Despejando se tiene đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) = √

4

Al graficar simultĂĄneamente a đ?‘“(đ?‘Ľ) y đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) se tiene:

đ?‘“(đ?‘Ľ)

đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ)

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AntologĂ­a Calculo I Funciones trigonomĂŠtricas inversas Para este tipo de funciones es necesario restringir su dominio para que sean uno a uno y se analizan para los siguientes intervalos: đ?œ‹

đ?œ‹

2

2

ďƒ˜ đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘– − ≤ đ?‘Ľ ≤ Su grafica y su inversa corresponden a:

ďƒ˜ đ?‘”(đ?‘Ľ) = cos đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘– 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?œ‹ Su grafica y su inversa corresponden a:

đ?œ‹

ďƒ˜ â„Ž(đ?‘Ľ) = tan đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘– − ≤ đ?‘Ľ ≤ 2 Su grafica y su inversa corresponden a:

đ?œ‹ 2

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AntologĂ­a Calculo I

SoluciĂłn de problemas 1) Para proteger un terreno rectangular se precisaron 2.000 m de alambre. Si una dimensiĂłn es X exprese el ĂĄrea A en funciĂłn de X

Y X

El ĂĄrea A es đ??´ = đ?‘Œđ?‘‹ el perĂ­metro es 2000 đ?‘š = 2đ?‘‹ + 2đ?‘Œ

Al despejar a Y en funciĂłn de X se obtiene: đ?‘Œ = 1.000 − đ?‘‹ Y al remplazar dicha expresiĂłn en la funciĂłn de ĂĄrea A se tiene: đ??´ = đ?‘Œđ?‘‹ = (1000 − đ?‘‹)đ?‘‹ Simplificando se obtiene: đ?‘¨(đ?‘ż) = −đ?‘żđ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?‘ż 2) Exprese la longitud de la cuerda L de una circunferencia de 8 cm de radio en funciĂłn sus distancia X al centro de la misma đ??ż 2

o

8

X o

Del triangulo formado por el radio de 8 cm, la distancia de la cuerda al centro X y la mitad de la longitud de la cuerda L que es rectĂĄngulo y la hipotenusa es el radio de la circunferencia. Entonces: đ??ż 2

82 = đ?‘‹ 2 + ( ) Despejando a L se tiene: 2

đ?‘ł(đ?‘ż) = √(đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;” − đ?&#x;’đ?‘żđ?&#x;? ) 3) En cada uno de los vĂŠrtices de una placa cuadrada de 12 cm de lado se cortan pequeĂąos cuadrados de X cm de lado. Expresa el volumen V de la caja sin tapa que se puede formar en funciĂłn de X X X

12

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AntologĂ­a Calculo I De la figura se puede observar que el volumen de la caja viene dado por el ĂĄrea de la base (12 − 2đ?‘‹)2 y la altura X đ?‘‰ = đ?‘‹(12 − 2đ?‘‹)2 Simplificando se tiene: đ?‘˝(đ?‘ż) = −đ?&#x;’đ?‘żđ?&#x;‘ − đ?&#x;’đ?&#x;–đ?‘ż + đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’ 4) El nĂşmero de bacterias en un cultivo en funciĂłn del tiempo T ( en horas) se modela con la expresiĂłn đ??š(đ?‘‡) = 500đ?‘’ đ?‘‡ Determina: a) La poblaciĂłn inicial b) La poblaciĂłn despuĂŠs de 2 horas c) El tiempo necesario para que la poblaciĂłn se triplique a) La poblaciĂłn inicial corresponde cuando T=0 y en este caso đ??š(0) = 500đ?‘’ 0 = 500 đ?‘?đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘ b) L a poblaciĂłn despuĂŠs de dos horas cuando T= 2 horas es: đ??š(2) = 500đ?‘’ 2 = 3694,5 đ?‘?đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘ c) El tiempo necesario para triplicar la poblaciĂłn se halla despejando el tiempo de la siguiente expresiĂłn 3(500) = 500đ?‘’ đ?‘‡ O bien 3 = đ?‘’ đ?‘‡ Aplicando logaritmo natural se tiene que: đ?‘‡ = đ??żđ?‘›(3) = 1,0986 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ = 1 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž 5 đ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ 55 đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘‘đ?‘œđ?‘ 5) El costo de producir X kg de un producto viene dado por la funciĂłn đ??ś(đ?‘‹) = 3đ?‘‹ 2 + 5 Halle la funciĂłn de utilidad U de dicho producto si cada kg se vende a 15 U$ La funciĂłn de utilidad U se determina hallando la diferencia de los ingresos menos los costos. Luego: đ?‘ˆ = 15đ?‘‹ − (3đ?‘‹ 2 + 5 ) Simplificando se tiene: đ?‘ź(đ?‘ż) = −đ?&#x;‘đ?‘żđ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?‘ż − đ?&#x;“ 6) Determina el ĂĄrea A de un triangulo isĂłsceles en funciĂłn de su altura X si se quiere que su perĂ­metro sea de 5000m y sus ĂĄngulos congruentes son de 25° El ĂĄrea del triangulo es đ??´ = 2( đ?‘‹đ?‘Œ) El perĂ­metro es 5.000 đ?‘š = 2đ??ż + đ?‘Œ luego: L

L X

25 Y

đ?‘Œ = 5000 − 2đ??ż Del triangulo rectĂĄngulo đ?‘‹ P ĂĄ g i n a 9 | 73 đ?‘ đ?‘’đ?‘› 25° = đ??ż

AntologĂ­a Calculo I Despejando a L en la Ăşltima expresiĂłn se tiene: đ??ż=

đ?‘‹ đ?‘ đ?‘’đ?‘› 25°

đ?‘Œ = 5000 −

de esta forma se remplaza en la expresiĂłn de Y asĂ­: 2đ?‘‹

Finalmente se remplaza en la expresiĂłn del ĂĄrea y se obtiene:

đ?‘ đ?‘’đ?‘› 25°

đ??´ = 2( đ?‘‹đ?‘Œ) = 2(đ?‘‹ (5000 − đ?‘¨(đ?‘ż) = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?‘ż −

2đ?‘‹ đ?‘ đ?‘’đ?‘› 25°

)) Simplificando se tiene que:

đ?&#x;’đ?‘żđ?&#x;? đ?’”đ?’†đ?’? đ?&#x;?đ?&#x;“°

Algebra de funciones Las funciones se pueden operar mediante las operaciones de suma, resta, multiplicaciĂłn, divisiĂłn y composiciĂłn Mediante un ejemplo se explicarĂĄ dichas operaciones Sean las funciones đ?‘“(đ?‘Ľ) =

2 √đ?‘Ľ

đ?‘”(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 − 25 determine el dominio de las siguientes

funciones a) b) c) d) e) f) g)

đ?‘“(đ?‘Ľ) + đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘“(đ?‘Ľ). đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘“(đ?‘Ľ) á đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘”(đ?‘Ľ) á đ?‘“(đ?‘Ľ) (đ?‘“ °đ?‘”)(đ?‘Ľ) (đ?‘” °đ?‘“)(đ?‘Ľ) (đ?‘” °đ?‘”)(đ?‘Ľ)

SoluciĂłn a)

đ?‘“(đ?‘Ľ) + đ?‘”(đ?‘Ľ ) =

b) đ?‘“(đ?‘Ľ). đ?‘”(đ?‘Ľ) =

2 √đ?‘Ľ

c) đ?‘“(đ?‘Ľ) á đ?‘”(đ?‘Ľ) = d) đ?‘”(đ?‘Ľ) á đ?‘“(đ?‘Ľ) = e) (đ?‘“ °đ?‘”)(đ?‘Ľ) =

2 √đ?‘Ľ

(đ?‘Ľ 2 − 25)

2 √đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 −25

đ?‘Ľ 2 −25 2 √đ?‘Ľ

2

√đ?‘Ľ 2 −25 2

+ đ?‘Ľ 2 − 25

2

= (đ?‘Ľ 2 =

dominio đ?‘Ľ ∈ (0, ∞) dominio đ?‘Ľ ∈ (0, ∞)

2 −25)√đ?‘Ľ

(đ?‘Ľ 2 −25)√đ?‘Ľ 2

dominio đ?‘Ľ ∈ â„? − {−5, 0, 5} dominio đ?‘Ľ ∈ [0,∞)

dominio đ?‘Ľ ∈ (−∞, −5) âˆŞ (5, ∞) 4

f) (đ?‘” °đ?‘“)(đ?‘Ľ) = ( ) − 25 = − 25 dominio đ?‘Ľ ∈ (−∞, 0) âˆŞ (0, ∞) √đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

g) (đ?‘” °đ?‘”)(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ľ 2 − 25)2 − 25 dominio đ?‘Ľ ∈ â„?

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AntologĂ­a Calculo I

2.

LĂ­mites y continuidad

2.1 Definiciones de lĂ­mite Se entiende por lĂ­mite de una funciĂłn a la tendencia que esta experimenta al ser evaluada en un valor que se encuentre lo mĂĄs cerca posible de la vecindad de un nĂşmero especĂ­fico del dominio de dicha funciĂłn. đ?‘Ľ

Por ejemplo si evaluamos a la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = siguiente: Acercamiento

Por la izquierda de 4

Por la derecha de 4

đ?‘Ľâˆ’1

para đ?‘Ľ cercanos al valor de 4 se tiene lo

Valor de x đ?‘Ľ = 3,9

EvaluaciĂłn 3,9 3,9 − 1

resultado

đ?‘Ľ = 3,99

3,99 3,99 − 1

1,33

đ?‘Ľ = 3,999

3,999 3,999 − 1

1,33

đ?‘Ľ = 4,1

4,1 4,1 − 1

1,32

đ?‘Ľ = 4,01

4,01 4,01 − 1

1,33

đ?‘Ľ = 4,001

4,001 4,001 − 1

1,33

1,34

4

Al observar los resultados se puede concluir que la funciĂłn tiende a 1,33 = si x se acera al valor 3 de 3 y se escribe de la forma lim

�→3

đ?‘Ľ 4 = đ?‘Ľâˆ’1 3

Este lĂ­mite se pudo obtener directamente sustituyendo el valor de x = 3 en la funciĂłn. Sin embargo existen casos en los que al remplazar el valor se obtiene una indeterminaciĂłn matemĂĄtica. La cual puede ser resuelta con procedimientos especĂ­ficos como se muestra a continuaciĂłn

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AntologĂ­a Calculo I 2.3 SoluciĂłn de LĂ­mites

Formas indeterminadas de los lĂ­mites Forma indeterminada

đ?&#x;Ž đ?&#x;Ž

Para eliminar esta indeterminaciĂłn se debe utilizar factorizaciĂłn, racionalizaciĂłn o algĂşn teorema. 1−đ?‘Ľ 2

Ejemplo1 lim

đ?‘Ľâ†’−1 đ?‘Ľ+1

si se sustituye directamente el valor de x = -1 en la funciĂłn se obtiene la

forma indeterminada lim

(1−đ?‘Ľ)(1+đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’−1

đ?‘Ľ+1

đ?&#x;Ž đ?&#x;Ž

AsĂ­ que en este caso se debe factorizar

= lim (1 − đ?‘Ľ) = 1 + 1 = 2 đ?‘Ľâ†’−1

Ejemplo2 lim

�→3

2đ?‘Ľ 2 −5đ?‘Ľâˆ’3 3−đ?‘Ľ

forma indeterminada

đ?&#x;Ž đ?&#x;Ž

si se sustituye directamente el valor de x = 3 en la funciĂłn se obtiene la AsĂ­ que en este caso se debe factorizar

2đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ľ − 3 lim = lim đ?‘Ľâ†’3 đ?‘Ľâ†’3 3−đ?‘Ľ

(4đ?‘Ľ 2 − 5(2đ?‘Ľ) − 6) (2đ?‘Ľ + 1)(đ?‘Ľ − 3) 2 = lim = đ?‘Ľâ†’3 3−đ?‘Ľ 3−đ?‘Ľ

lim(−1)(2đ?‘Ľ + 1) = (−1)(2(3) + 1) = −7

�→3

Ejemplo3 lim

�→2

√4−đ?‘Ľâˆ’√2 đ?‘Ľâˆ’2

si se sustituye directamente el valor de x = 2 en la funciĂłn se obtiene la đ?&#x;Ž

forma indeterminada AsĂ­ que en este caso se debe racionalizar usando la conjugada del đ?&#x;Ž numerador y despuĂŠs factorizar (4 − đ?‘Ľ) − 2 √4 − đ?‘Ľ − √2 √4 − đ?‘Ľ + √2 Ă— = lim đ?‘Ľâ†’2 đ?‘Ľâˆ’2 √4 − đ?‘Ľ + √2 đ?‘Ľâ†’2 (đ?‘Ľ − 2)(√4 − đ?‘Ľ + √2) lim

= lim

�→2 (�

(−1)(đ?‘Ľ − 2) − 2)(√4 − đ?‘Ľ + √2)

Ejemplo4 lim1 �→

2

2đ?‘Ľ 3 −đ?‘Ľ 2 +2đ?‘Ľâˆ’1 1 đ?‘Ľâˆ’ 2

= lim

đ?‘Ľâ†’2 (√4

−1 − đ?‘Ľ + √2)

=

−1 2√2

=−

√2 4 1

si se sustituye directamente el valor de x = en la funciĂłn se obtiene la 2

đ?&#x;Ž

1

forma indeterminada AsĂ­ que en este caso se debe hacer una divisiĂłn por đ?‘Ľ − en el numerador đ?&#x;Ž 2 para eliminar la indeterminaciĂłn asĂ­:

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AntologĂ­a Calculo I 1

Se toman los coeficientes del polinomio del numerador y se divide por x = usando la regla de 2 Ruffini 2

-1 1 0

2

2 0 2

1 2

-1 1 0

El polinomio del numerador queda factorizado asĂ­: 1 (đ?‘Ľ − ) (2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ) 2 El limite queda entonces: 1 (đ?‘Ľ − ) (2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ) (2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ) 1 2 1 1 3 2 lim = lim = 2( ) + 2( ) = + 1 = 1 1 1 1 2 2 2 2 đ?‘Ľâ†’ đ?‘Ľâ†’ (đ?‘Ľ − ) 2 2 2 Ejemplo5 lim 3

đ?‘Ľâˆ’2 3

đ?‘Ľâ†’2 √đ?‘Ľ − √2

si se sustituye directamente el valor de x = 2 en la funciĂłn se obtiene la đ?&#x;Ž

forma indeterminada AsĂ­ que en este caso se debe racionalizar el denominador por lo que le đ?&#x;Ž falta para convertirlo en una diferencia de cubos perfectos đ?‘Ľâˆ’2

lim đ?‘Ľâ†’2 3√đ?‘Ľ

3

− √2

3

2

Ă—

3

2

3

3

2

3

2

3

3

2

3

2

(( √đ?‘Ľ ) + √2đ?‘Ľ + ( √2) )

2

= lim

3

3

2

3

2

(đ?‘Ľ − 2)

�→2

(( √đ?‘Ľ ) + √2đ?‘Ľ + ( √2) )

3

(đ?‘Ľ − 2) (( 3√đ?‘Ľ ) + √2đ?‘Ľ + ( √2) )

3

3

2

3

lim (( √đ?‘Ľ ) + √2đ?‘Ľ + ( √2) ) = (( √2) + √2(2) + ( √2) ) = 3 √4

�→2

Forma indeterminada

∞ ∞

Para solucionar esta indeterminaciĂłn se recomienda dividir todos los miembros de la expresiĂłn por el tĂŠrmino que tenga el grado mayor. 2√đ?‘Ľâˆ’2 đ?‘Ľâ†’∞ 5 √đ?‘Ľ −3√đ?‘Ľ ∞

Ejemplo1 lim+

3

forma indeterminada el grado mayor

∞

si se sustituye directamente el valor de x = ∞ en la funciĂłn se obtiene la AsĂ­ que en este caso se debe dividir cada tĂŠrmino entre √đ?‘Ľ ya que tiene

2 2 √đ?‘Ľ − 2− đ?‘Ľ √đ?‘Ľ √đ?‘Ľ = 2 − 0 = − 2 lim+ 3√ = lim+ đ?‘Ľâ†’∞ 3 √đ?‘Ľ 3√đ?‘Ľ đ?‘Ľâ†’∞ 5 − 3 0 − 3 6 5 − đ?‘Ľ √ √đ?‘Ľ √đ?‘Ľ 2

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AntologĂ­a Calculo I

Ejemplo2 lim

đ?‘Ľ 2 −5đ?‘Ľ 4 +3

đ?‘Ľâ†’∞ đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ 2 +5 ∞

forma indeterminada grado mayor

∞

si se sustituye directamente el valor de x = ∞ en la funciĂłn se obtiene la AsĂ­ que en este caso se debe dividir cada tĂŠrmino entre đ?‘Ľ 4 ya que tiene el

1 3 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ4 3 −5 4+ 4 4 2 − 5 + đ?‘Ľ4 0 − 5 + 0 −5 đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ lim = lim = = =∞ 2 1 5 đ?‘Ľâ†’∞ đ?‘Ľ đ?‘Ľâ†’∞ 1 đ?‘Ľ 5 0 − 0 + 0 −0 − + − + đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ4 Como los grados de los tĂŠrminos mayores tanto en el numerador y denominador son pares la funciĂłn no experimenta cambio de signos al tender al infinito tanto por la derecha como por la izquierda, asĂ­ que su tendencia estĂĄ definida por la divisiĂłn de los signos de los coeficientes de dichos tĂŠrminos. Ejemplo3 lim

2đ?‘Ľ 4 +20

đ?‘Ľâ†’∞ đ?‘Ľ 6 +4đ?‘Ľ

si se sustituye directamente el valor de x = ∞ en la funciĂłn se obtiene la ∞

forma indeterminada grado mayor

∞

AsĂ­ que en este caso se debe dividir cada tĂŠrmino entre đ?‘Ľ 6 ya que tiene el

đ?‘Ľ 4 20 1 20 2 2+ 6 0+0 6 + đ?‘Ľ6 đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ = lim = lim =0 1 đ?‘Ľâ†’∞ đ?‘Ľ 6 đ?‘Ľâ†’∞ đ?‘Ľ 1+0 1 + 4 + 4 5 đ?‘Ľ đ?‘Ľ6 đ?‘Ľ6 2

Ejemplo4 lim

2đ?‘Ľ 4

đ?‘Ľâ†’∞ 1+4đ?‘Ľ

si se sustituye directamente el valor de x = ∞ en la funciĂłn se obtiene la ∞

forma indeterminada grado mayor 2 lim

đ?‘Ľâ†’∞

đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ4

1 đ?‘Ľ +4 4 đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ

∞

= lim

đ?‘Ľâ†’∞

AsĂ­ que en este caso se debe dividir cada tĂŠrmino entre đ?‘Ľ 4 ya que tiene el

2 2 = = đ?‘›đ?‘œ đ?‘’đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘–đ?‘Ąđ?‘’ 1 4 0+0 + đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ3

En este caso el lĂ­mite no existe ya que la funciĂłn sufre cambio de signos al acercarse al infinito tanto por derecha como por la izquierda. Esto se debe a que el grado tĂŠrmino con mayor exponente en el denominador es impar Forma indeterminada ∞ − ∞ Este tipo de indeterminaciĂłn se debe convertir a la forma Ejemplo 1 lim+ ( đ?‘Ľâ†’1

5

−

đ?‘Ľ 2 −1 ∞

convertir a la forma

∞

2

∞ ∞

) al sustituir por1 se obtiene la indeterminaciĂłn ∞ − ∞ y se debe

đ?‘Ľ 3 −1

haciendo la sustracciĂłn algebraica

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AntologĂ­a Calculo I

lim+

�→1

5 2 5(đ?‘Ľ 3 − 1) − 2(đ?‘Ľ 2 − 1) 5đ?‘Ľ 3 − 5 − 2đ?‘Ľ 2 + 2 − = lim = lim đ?‘Ľâ†’1+ (đ?‘Ľ 2 − 1)(đ?‘Ľ 3 − 1) đ?‘Ľ 2 − 1 đ?‘Ľ 3 − 1 đ?‘Ľâ†’1+ (đ?‘Ľ 2 − 1)(đ?‘Ľ 3 − 1) 5đ?‘Ľ 3 −5−2đ?‘Ľ 2 +2

lim+ (đ?‘Ľ 2

�→1

−1)(đ?‘Ľ 3 −1)

0

= En este caso es necesario factorizar el numerador para solucionar esta 0

nueva indeterminaciĂłn lim+

�→1

5(đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 1) − 2(đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ + 1) 5đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ + 3 = lim (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ + 1)(đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 1) đ?‘Ľâ†’1+ (đ?‘Ľ 2 − 1)(đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 1)

5+3+3 =∞ 0 En el numerador y denominador el grado es par asĂ­ que no se presentan cambios de signo en la funciĂłn al acercarse a 1 por la derecha. Ejemplo 2 lim √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ al sustituir por ∞ se obtiene la indeterminaciĂłn ∞ − ∞ y se debe đ?‘Ľâ†’∞

convertir a la forma

lim √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ Ă—

đ?‘Ľâ†’∞

∞ ∞

mediante racionalizaciĂłn

√đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ

= lim

đ?‘Ľâ†’∞

(đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 ) √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ

= lim

đ?‘Ľâ†’∞ √đ?‘Ľ 2

đ?‘Ľ +đ?‘Ľ+đ?‘Ľ

=

∞ ∞

Se divide cada tĂŠrmino por x que tiene el grado mayor

lim

đ?‘Ľâ†’∞

đ?‘Ľ đ?‘Ľ

đ?‘Ľâ†’∞

2 √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ

Ejemplo 3

lim+ (

đ?‘Ľâ†’∞

1

= lim

đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ 2 +1

convertir a la forma

∞ ∞

√1 +

1 +1 đ?‘Ľ2

=

1 1 = 1+1 2

− đ?‘Ľ) al sustituir por ∞ se obtiene la indeterminaciĂłn ∞ − ∞ y se debe

mediante sustracciĂłn algebraica

đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ3 − 1 −1 1 ( ) lim+ ( 2 − đ?‘Ľ) = lim+ ( ) = lim = − =0 đ?‘Ľâ†’∞ đ?‘Ľâ†’∞ đ?‘Ľâ†’∞+ đ?‘Ľ 2 + 1 đ?‘Ľ +1 đ?‘Ľ2 + 1 ∞

Forma indeterminada 1∞ Esta indeterminaciĂłn se resuelve utilizando el nĂşmero irracional đ?‘’ = 2,71828 ‌ lim [đ?‘“(đ?‘Ľ)−1]đ?‘”(đ?‘Ľ)

Si lim (đ?‘“(đ?‘Ľ))đ?‘”(đ?‘Ľ) = 1∞ Entonces đ?‘’ đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž

P ĂĄ g i n a 15 | 73

AntologĂ­a Calculo I

Ejemplo 1 lim (

5đ?‘Ľâˆ’3 2đ?‘Ľ+8

đ?‘Ľâ†’∞ 5đ?‘Ľ+3

)

al sustituir x =∞ se obtiene la forma indeterminada 1∞ entonces

usando nĂşmero irracional đ?‘’ se tiene:

lim [

5đ?‘Ľâˆ’3 −1]2đ?‘Ľ+8

đ?‘’ đ?‘Ľâ†’∞ 5đ?‘Ľ+3

48 −12− đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľâ†’∞ 5+ đ?‘Ľ đ?‘’ lim

=đ?‘’

lim [

= đ?‘’ đ?‘Ľâ†’∞

−12 5

5đ?‘Ľâˆ’3−5đ?‘Ľâˆ’3 ]2đ?‘Ľ+8 5đ?‘Ľ+3

−6(2đ?‘Ľ+8) lim [ ] 5đ?‘Ľ+3

= đ?‘’ đ?‘Ľâ†’∞

−12đ?‘Ľ −48 − đ?‘Ľ đ?‘Ľ 5đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľâ†’∞ + đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘’ lim

=

1

=

12

đ?‘’5

1

Ejemplo 2 lim (1 + đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ)đ?‘Ľ al sustituir x =∞ se obtiene la forma indeterminada 1∞ entonces đ?‘Ľâ†’0

usando nĂşmero irracional đ?‘’ se tiene: lim [1+đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľâˆ’1]

� �→0

1 đ?‘Ľ

lim [đ?‘ đ?‘’đ?‘Ľ]

= � �→0

1 đ?‘Ľ

= đ?‘’1 = đ?‘’

Continuidad de una funciĂłn en un punto Para que una funciĂłn sea continua en un valor debe cumplir las siguientes condiciones: 1) Que exista en dicho valor 2) Que exista el lĂ­mite de la funciĂłn en dicho valor 3) Que el resultado de las condiciones 1 y 2 sea el mismo Ejemplo 1: analice la continuidad de la funciĂłn en x = 2 y x = 5 −3đ?‘Ľ + 10 đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ ≤ 2 đ?‘Ľ2 − 4 đ?‘“(đ?‘Ľ) = { đ?‘ đ?‘– 2 < đ?‘Ľ ≤ 5 đ?‘Ľâˆ’2 −0.5đ?‘Ľ 2 + 25 đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ > 5 AnĂĄlisis para x = 2 1) đ?‘“(2) = −3(2) + 10 = −6 + 10 = 4 lim (−3đ?‘Ľ + 10) = 4

2) lim �(�) = { �→2

lim

đ?‘Ľâ†’2− đ?‘Ľ 2 −4

đ?‘Ľâ†’2+ đ?‘Ľâˆ’2

= lim+ �→2

(đ?‘Ľâˆ’2)(đ?‘Ľ+2) đ?‘Ľâˆ’2

=4

3) Como los resultados en las condiciones 1 y 2 son iguales la funciĂłn es continuas en x = 2 AnĂĄlisis para x = 5

P ĂĄ g i n a 16 | 73

AntologĂ­a Calculo I 1) đ?‘“(5) =

25−4 5−2

=7

2) lim �(�) = { �→5

lim−

�→5

đ?‘Ľ 2 −4 đ?‘Ľâˆ’2

=

25−4 5−2

=7

2

lim − 0.5đ?‘Ľ + 25 = lim+ −0.5(5)2 + 25 = 12.5

�→5+

�→5

El lĂ­mite no existe La funciĂłn es discontinua en x = 5

Observemos su grafica

En x = 5 se tiene un discontinuidad no removible ya que no existe el lĂ­mite en dicho valor

Ejemplo 2: Analiza la continuidad de la siguiente funciĂłn en x = -3 2 { } đ?‘“(đ?‘Ľ) = {−đ?‘Ľ + 10 đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ ∈ â„? − −3 5 đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ = −3

1) đ?‘“(3) = 5 2)

lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = lim − đ?‘Ľ 2 + 10 = −(−3)2 + 10 = 1

đ?‘Ľâ†’−3

đ?‘Ľâ†’−3

3) Como đ?‘“(3) ≠lim đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘Ľâ†’−3

P ĂĄ g i n a 17 | 73

Antología Calculo I

La función no es continua en x = -3 y corresponde a una discontinuidad removible Observemos su grafica

P á g i n a 18 | 73

AntologĂ­a Calculo I

3.

DerivaciĂłn de Funciones

1.1 DefiniciĂłn de la derivada La recta tangente (o tangente) a una curva en el punto M es la posiciĂłn lĂ­mite de las rectas secantes PM, cuando P se acerca a M a lo largo de la curva. La pendiente de la tangente en M se llama pendiente de la curva en M. đ?‘šđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘› =

đ?‘“(đ?‘Ľ + ∆đ?‘Ľ) − đ?‘“(đ?‘Ľ) ∆đ?‘“(đ?‘Ľ) = ∆đ?‘Ľ ∆đ?‘Ľ

Incrementos El incremento ∆x de una variable x es el aumento o disminuciĂłn que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variaciĂłn. AsĂ­, pues, o bien Si se da un incremento ∆x a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 + ∆x), la funciĂłn y = f (x) se verĂĄ incrementada en ∆y = f (x0 + ∆x) - f (x0) a partir del valor y = f (x0). El cociente

recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la funciĂłn en el intervalo comprendido entre x = x0 a x = x0 + ∆x. DefiniciĂłn derivada La tasa de cambio instantĂĄnea de una funciĂłn se nombra la derivada de la funciĂłn. đ?‘‘đ?‘Ś ∆đ?‘“(đ?‘Ľ) = lim đ?‘‘đ?‘Ľ ∆đ?‘Ľâ†’0 ∆đ?‘Ľ La operaciĂłn de calcular la derivada de una funciĂłn se denomina diferenciaciĂłn. La derivada de una funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) tambiĂŠn se denota con el sĂ­mbolo đ?’‡´(đ?’™). DERIVADA En general, si đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ), la derivada de đ?‘“ en đ?‘Ľ es la funciĂłn definida por el lĂ­mite đ?‘“´(đ?‘Ľ) de la ecuaciĂłn

DefiniciĂłn.- La derivada de una funciĂłn f en el punto a es

df (a) f ( a  h)  f ( a ) f ( x)  f (a )  f ' (a)  lim  lim h  0 x  0 dx h xa Si el límite existe, se dice que la función es diferenciable o derivable en a. Ejemplo: sea f(x)=ln (x)

P ĂĄ g i n a 19 | 73

AntologĂ­a Calculo I 1 ďƒŚ ďƒś f (2  h)  f (2) ln( 2  h)  ln( 2) 1 ďƒŚ2hďƒś ďƒ§ďƒŚ 2  h ďƒś h ďƒˇ f ' (2)  lim  lim  lim ln ďƒ§ ďƒˇ  lim ln ďƒ§ ďƒ§ ďƒˇ ďƒˇď€˝ h ď‚Ž0 h ď‚Ž0 h ď‚Ž0 h h h ďƒ¨ 2 ďƒ¸ hď‚Ž0 ďƒ§ ďƒ¨ 2 ďƒ¸ ďƒˇ ďƒ¨ ďƒ¸ 1 ďƒŚ 2 2 ďƒś 2 ďƒ§ďƒŚ ďƒˇ ďƒś ďƒŚ ďƒś h ďƒˇ h ďƒˇ h h 1 ďƒ§ ďƒ§ ďƒŚ ďƒś ďƒŚ ďƒś ďƒ§ ďƒˇ  lim ln ďƒ§ ďƒ§1  ďƒˇ ďƒˇ  lim ln ďƒ§ ďƒ§1  ďƒˇ ďƒˇ  h ď‚Ž0 ďƒ§ ďƒ§ ďƒ¨ 2 ďƒ¸ ďƒˇ ďƒˇ h ď‚Ž0 ďƒ§ ďƒ¨ 2 ďƒ¸ ďƒˇ 2 ďƒ¸ ďƒˇ ďƒ¨ ďƒ¸ ďƒ§ďƒ¨ ďƒ¨ ďƒ¸

Derivada por definiciĂłn Al calcular la derivada por definiciĂłn, el paso clave consiste en expresar el cociente diferencial de tal manera que se elimine h / h (o k / k) de manera apropiada, de modo que resulte un lĂ­mite libre de la indeterminaciĂłn 0 / 0. Se puede demostrar que tambiĂŠn puede definirse la derivada como sigue: , en la cual existe un acercamiento simĂŠtrico por ambos lados de la pendiente de la recta secante a la pendiente de la recta tangente y sirve de base para la derivaciĂłn numĂŠrica. Del modo mĂĄs general, se define la derivada de una funciĂłn como: , en la que el acercamiento es tambiĂŠn por ambos lados y puede ser simĂŠtrico o asimĂŠtrico segĂşn sea h igual o distinta de k respectivamente. Esta Ăşltima expresiĂłn constituye la aproximaciĂłn mĂĄs veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultĂĄnea, pero es mĂĄs laboriosa de calcular algebraicamente por la regla de los cuatro pasos. TambiĂŠn puede definirse alternativamente la derivada de una funciĂłn en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera: , la cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda segĂşn el signo de h, en la cual es posible cancelar siempre el factor " x h " en lugar de solo h. El aspecto de este lĂ­mite estĂĄ relacionado mĂĄs con la velocidad instantĂĄnea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva. No obstante su aparente diferencia, el cĂĄlculo de la derivada por definiciĂłn con cualquiera de los lĂ­mites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado. El estudiante debe utilizar el que le resulte mĂĄs conveniente. En particular, se tiene que la derivada de la funciĂłn en el punto x = a (varios autores prefieren utilizar la notaciĂłn "đ?‘Ľđ?‘œ " en lugar de a) se define como sigue: ,

P ĂĄ g i n a 20 | 73

Antología Calculo I si este límite existe, de lo contrario, f '(a) no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática. Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, para lo cual se tendría que ser muy hábil en el cálculo de límites indeterminados de la forma 0 sobre 0 (lo cual sería muy laborioso), existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de una función de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite y hacer los cuatro pasos cada vez. Tales reglas se deducen sucesivamente de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal. El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de derivada, y con ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial. Definición.- La derivada de la función f (x ) es una función f ' ( x) definida como

df ( x) f ( x  h)  f ( x )  f ' ( x)  lim h 0 dx h Ejemplo: f(x)= 2 x 2  1

f ( x  h)  f ( x ) 2( x  h) 2  1  (2 x 2  1) 2 x 2  4 xh  2h 2  1  2 x 2  1  lim  lim  h 0 h 0 h 0 h h h = lim 4 x  2h  4 x f ' ( x)  lim h0

Interpretación geométrica de la derivada Sea una función f (x ) , queremos calcular la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)), es decir:

La recta que pasa por los puntos ( x0 , f ( x0 )) y ( x1 , f ( x1 )) es

y  f ( x) 

f ( x1 )  f ( x0 )  x  x0  x1  x0

Pendiente de la recta. Podemos tomar x 0 = a y x1  ( a  h)

P á g i n a 21 | 73

m

0

Antología Calculo I

y  f (a) 

La recta tangente se obtendrá cuando

f ( a  h)  f ( a ) x  x0  h

h  0 , es decir

f (a  h)  f (a)   y  f (a)   lim x  x0   f ' (a)x  x0  h  h0  Pendiente de la recta tangente a f (x ) en (a, f(a)). Ejemplo: Dada la función f ( x)  x  2 x  1 encontrar la ecuación de la recta tangente a f(x) en x =1 3

y  f (1)  f ' (1)(x  1) , y  2  f ' (1)(x  1)

f ' (1)  lim

h 0

f 1  h   f (1) 1  3h  3h 2  h 3  2  2h  1  2 h 5  3h  h 2  lim  lim 5 h 0 h 0 h h h

f 1  h   f (1) 1  3h  3h 2  h 3  2  2h  1  2 h 5  3h  h 2  lim  lim 5 h 0 h 0 h h h

h 3  2  2h  1  2 h 5  3h  h 2  lim 5 h 0 h h Solución

y  2  5( x  1)  y  5 x  3 Teorema Si f es derivable en x = a entonces f es continua en x = a Notación.

f ' ( x)  Dxf 

df f  dx x

P á g i n a 22 | 73

Antología Calculo I f ' (a)  Dxf a  

df a   f a  dx x

DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN

f ( x)  x 2  1

(1) Sea  

2

f es continua siempre que x  1  0 , por lo tanto, es continua en todo su dominio. 2

f ' ( x) 

 

Dom ( f )  x  , x  1   ,1  1, 

2x 2 x 1 2

x

x 1 2

f es derivable si x  1  0  x   ,1  1,  , f es derivable en 2

 ,1  1,  .

(2) f ( x)  ln( x) 

Dom ( f )  x   : x  0  (0, )

f es continua si x>0, es decir, en (0,)

(3)

f ' ( x) 

1 esta definida si x  0 x

f no es derivable en  ,0   0,  , (no esta en el dominio, no es continua ahí.

f es derivable en 0,  .

 x  2 si x  2 f ( x)  x  2   2  x si x  2 

Dom ( f )  x  

f ( x)  x  2  x  2  f ( x) es continua en

x  2(es

polinomio)

f ( x)  2  x  x  2  f ( x) es continua en

x  2(es

polinomio)

lim f ( x)  lim x  2  0

x 2 

x 2

lim f ( x)  lim 2  x  0

x 2

entonces f es continua en x=2.

x 2

f es continua en todos los reales.

En x>2 f ( x)  x  2  f ' ( x)  1 bien definida, f es derivable en x>2.

En x<2 f ( x)  2  x  f ' ( x)  1 bien definida, f es derivable en x<2.

P á g i n a 23 | 73

Antología Calculo I

f (2  h)  f (2) ( 2  h)  2  0  lim  lim 1  1 h 0 h 0 h h En x=2 h0 f (2  h)  f (2) 2  ( 2  h)  0 lim  lim  lim  1  1 h 0 h 0 h 0 h h lim

 f es no es derivable en x=2 por tanto GRÁFICAS DE f(x) y f ’(x)

 ,2  2, 

Dada la gráfica de una función f(x), podemos tener una idea de la gráfica de f ’(x) Ejemplo:

(1) f (x ) 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

2

-f es reciente en (-infinito,-2) U(2,+8), por tanto f’ será positiva en esos intervalos

f ' ( x) 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

2

(2) f ' ( x)  sen( x) 2

 2

 2

3  2

2

P á g i n a 24 | 73

Antología Calculo I

f ' ( x)  cos(x) 2

 2

 2

3  2

2

Dada la gráfica de f ‘ (x) y el valor de la función es un punto, podemos tener una idea de la gráfica de f(x) Ejemplo: f ' ( x) f (4)  2 2

1

2

3

4

5

f(x) es de decreciente en  ,2  1,3 , creciente en  2,1  3, 

1.2 Reglas de derivación Encontrar derivadas a partir de su definición, no es un proceso sencillo. Esta tarea puede simplificarse usando ciertas fórmulas estándar que permiten efectuar la diferenciación en forma completamente mecánica y eficiente. Con ellas se evita el uso directo de límites.

Derivada de las funciones algebraicas

P á g i n a 25 | 73

AntologĂ­a Calculo I

EJEMPLO Determine la derivada de đ?‘Ś = đ?‘Ľ 7 đ?‘‘(đ?‘Ľ 7 ) = 7đ?‘Ľ 7−1 = 7đ?‘Ľ 6 đ?‘‘đ?‘Ľ EJEMPLO Halle đ?‘“´(đ?‘Ą) si đ?‘“(đ?‘Ą) = đ?‘“(đ?‘Ą) = −1

1 1 đ?‘Ą2

=đ?‘Ą

Aplicando la regla 5

1 √đ?‘Ą −1 2

đ?‘‘(đ?‘Ą 2 ) 1 1 1 3 = − đ?‘Ą −2−1 = − đ?‘Ą −2 đ?‘‘đ?‘Ą 2 2 đ?‘‘(đ?‘“(đ?‘Ą)) 11 1 1 1 =− 3=− =− đ?‘‘đ?‘Ą 2 2 2 √đ?‘Ą 3 2√đ?‘Ą 3 đ?‘Ą

Reescribiendo la funciĂłn aplicando leyes de los exponentes

Aplicando la regla 5

Reescribiendo como un polinomio (sin exponentes negativos ni fraccionarios) mediante leyes de los exponentes

P ĂĄ g i n a 26 | 73

AntologĂ­a Calculo I

EJEMPLO Encuentre la derivada de đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ 4 − 5đ?‘Ľ 3 + 7đ?‘Ľ + 2 đ?‘‘đ?‘Ś = 3(4đ?‘Ľ 3 ) − 5(3đ?‘Ľ 2 ) + 7(1đ?‘Ľ 0 ) + 0 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś = 12đ?‘Ľ 3 − 15đ?‘Ľ 2 + 7 đ?‘‘đ?‘Ľ

Aplicando las regla 4 se calcula la derivada de la funciĂłn como la suma de las derivadas.

EJEMPLO . Determine la derivada de đ?‘Ś=

5đ?‘Ą 4 +7đ?‘Ą 2 −3

Simplificando la fracciĂłn aplicando la propiedad distributiva de la divisiĂłn

2đ?‘Ą 2

đ?‘Ś=

5đ?‘Ą 4 7đ?‘Ą 2 3 + 2− 2 2 2đ?‘Ą 2đ?‘Ą 2đ?‘Ą

đ?‘Ś=

5đ?‘Ą 2 7 3 −2 + − đ?‘Ą 2 2 2

đ?‘‘đ?‘Ś 10đ?‘Ą 6đ?‘Ą −3 = +0+ đ?‘‘đ?‘Ľ 2 2 đ?‘‘đ?‘Ś 3 = 5đ?‘Ą + 3 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ą

Derivando la expresiĂłn reducida

Simplificando la expresiĂłn resultante y reescribiendola como un polinomio.

EJEMPLO . DeterminaciĂłn de una derivada Encuentre la derivada de đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ(đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ľ + 2) cuando đ?‘Ľ = 2 SoluciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ 3 − 10đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ

Realizando la multiplicaciĂłn

đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘“´(đ?‘Ľ) = 6đ?‘Ľ 2 − 20đ?‘Ľ + 4 đ?‘‘đ?‘Ľ

Derivando la funciĂłn resultante Evaluando đ?‘“´(đ?‘Ľ) đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ľ = 2

đ?‘“´(2) = 6(2)2 − 20(2) + 4 đ?‘“´(2) = −12

EJEMPLO . DeterminaciĂłn de una ecuaciĂłn de una recta tangente Encuentre una ecuaciĂłn de la recta tangente a la curva đ?‘Ś =

3đ?‘Ľ 2 −2 đ?‘Ľ

cuando x=1

SoluciĂłn Primero se encuentra la derivada de la funciĂłn que expresa la pendiente de la recta tangente en cualquier punto 3đ?‘Ľ 2 2 − đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ − = 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ −1 đ?‘Ľ đ?‘Ś=

P ĂĄ g i n a 27 | 73

AntologĂ­a Calculo I đ?‘‘đ?‘Ś 2 = đ?‘“´(đ?‘Ľ) = 3 + 2 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ La pendiente de la recta tangente en x=1, se obtiene al sustituir dicho valor en đ?‘“´(đ?‘Ľ) đ?‘“´(1) = 3 +

2 =5 (1)2

La coordenada en y del punto tangente sobre la curva se determina evaluando la funciĂłn para x=1 đ?‘Ś=

3(1)2 − 2 =1 1

Coordenadas del punto sobre la curva donde toca la tangente (1,1). La ecuaciĂłn de la recta tangente se obtiene sustituyendo los valores de la pendiente y el punto en la ecuaciĂłn puntopendiente de la recta. đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 ) đ?‘Ś − 1 = 5(đ?‘Ľ − 1) Realizando las operaciones y despejando se obtiene la forma pendiente-ordenada al origen đ?‘Ś = 5đ?‘Ľ − 5 + 1 đ?‘Ś = 5đ?‘Ľ − 4 Regla del Producto y del cociente. Cuando se presentan expresiones expresadas como la multilicaciĂłn o la divisiĂłn de dos expresiones y no es posible desarrollar dichas operaciones a travĂŠs de las operaciones algebraicas o utilizar alguna tĂŠcnica de simplificaciĂłn, se emplean las reglas especiales del producto y el cociente (reglas 7 y 8 de la tabla) EJEMPLO. AplicaciĂłn de la regla del producto Si đ?‘“(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ)(4đ?‘Ľ + 5), đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘“´(đ?‘Ľ) Se considera đ?‘“(đ?‘Ľ) como el producto de dos funciones đ?‘˘ y đ?‘Ł. đ?‘˘ = đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ 2

�´ = 3� + 3

� = 4� + 5 �´ = 4

Empleando la fĂłrmula 7 đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘˘đ?‘ŁÂ´ + đ?‘Łđ?‘˘Â´ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘“´(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ)(4) + (4đ?‘Ľ + 5)(3đ?‘Ľ 2 + 3) Realizando operaciones y simplificando đ?‘“´(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ 3 + 12đ?‘Ľ + 12đ?‘Ľ 3 + 15đ?‘Ľ 2 + 12đ?‘Ľ + 15 đ?‘“´(đ?‘Ľ) = 16đ?‘Ľ 3 + 15đ?‘Ľ 2 + 24đ?‘Ľ + 15 EJEMPLO 14. AplicaciĂłn de la regla del cociente Si đ?‘“(đ?‘Ľ) =

4đ?‘Ľ 2 +3 2đ?‘Ľâˆ’1

, encuentre đ?‘“´(đ?‘Ľ)

P ĂĄ g i n a 28 | 73

Antología Calculo I Se considera �(�)como el cocientede dos funciones � y �. � = 4� 2 + 3

đ?‘Ł = 2đ?‘Ľ − 1

�´ = 8�

�´ = 2

Aplicando la fĂłrmula 8 đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Łđ?‘˘Â´ − đ?‘˘đ?‘ŁÂ´ = đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ł2 đ?‘‘đ?‘Ś (2đ?‘Ľ − 1)(8đ?‘Ľ) − (4đ?‘Ľ 2 + 3)(2) = đ?‘‘đ?‘Ľ (2đ?‘Ľ − 1)2 Realizando operaciones y simplificando đ?‘“´(đ?‘Ľ) =

16đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ − 8đ?‘Ľ 2 − 6 8đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ − 6 = (2đ?‘Ľ − 1)2 (2đ?‘Ľ − 1)2

Factorizando el numerador đ?‘“´(đ?‘Ľ) =

2(2đ?‘Ľ + 1)(2đ?‘Ľ − 3) (2đ?‘Ľ − 1)2

Regla de la cadena y de la potencia. La regla de la cadena es la mĂĄs importante para obtener derivadas. Implica una situaciĂłn en la que đ?‘Ś es una funciĂłn de una variable đ?‘˘, pero đ?‘˘ es una funciĂłn de đ?‘Ľ, y se desea encontrar la derivada de đ?‘Ś con respecto a đ?‘Ľ. EJEMPLO 15. Uso de la regla de la cadena Si đ?‘Ś = 2đ?‘˘2 − 3đ?‘˘ − 2

đ?‘Ś

đ?‘˘ = đ?‘Ľ 2 + 4, đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Śâ „đ?‘‘đ?‘Ľ

Por la regla de la cadena (Regla 10) đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘˘ = ∙ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘ŚÂ´ =

đ?‘‘đ?‘Ś = 4đ?‘˘ − 3 đ?‘‘đ?‘˘

�´ =

�� = 2� ��

Sustituyendo đ?‘‘đ?‘Ś = (4đ?‘˘ − 3)(2đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ Sustituyendo u para dejar la expresiĂłn resultante en tĂŠrminos de x đ?‘‘đ?‘Ś = (4(đ?‘Ľ 2 + 4) − 3)(2đ?‘Ľ) = (4đ?‘Ľ 2 + 16 − 3)(2đ?‘Ľ) = (4đ?‘Ľ 2 + 13)(2đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś = 8đ?‘Ľ 3 + 26đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ EJEMPLO 16. Uso de la regla de la potencia Si đ?‘Ś = √(4đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 2)2 , encuentre đ?‘‘đ?‘Śâ „đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ đ?‘Ľ = −2

P ĂĄ g i n a 29 | 73

AntologĂ­a Calculo I Reescribiendo la funciĂłn đ?‘Ś = [(4đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 2)2 ]1â „3 Aplicando las leyes de los exponentes đ?‘Ś = (4đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 2)2â „3 Empleando la regla 6 đ?‘‘(đ?‘Ł đ?‘› ) đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘›đ?‘Ł đ?‘›âˆ’1 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ł = 4đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 2 đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘ŁÂ´ = 8đ?‘Ľ + 3 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ś 2 = (4đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 2)3−1 (8đ?‘Ľ + 3) đ?‘‘đ?‘Ľ 3 đ?‘‘đ?‘Ś 2 = (4đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 2)−1â „3 (8đ?‘Ľ + 3) đ?‘‘đ?‘Ľ 3 đ?‘‘đ?‘Ś 2(8đ?‘Ľ + 3) = 3 đ?‘‘đ?‘Ľ 3 √4đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 2

Entonces, sustituyendo x=-2 en đ?‘‘đ?‘Śâ „đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś 2(−13) 13 = =− 3 đ?‘‘đ?‘Ľ 3 3 √8

Derivada de las funciones trascendentes 1. f x   c ďƒŽ ďƒ‚ ďƒž f ' ( x)  0

x ďƒŽ ďƒ‚

n ďƒŽ ďƒ‚ entonces f ' ( x)  nx n 1

2.

f ( x)  x n

3.

f ( x)  ln( x) ďƒž f ' ( x) 

4.

f ( x)  a x

5.

f ( x)  e x ďƒž f ' ( x)  e x

6.

f ( x)  sen( x) ďƒž f ' ( x)  cos(x)

x ďƒŽ ďƒ‚

7.

f ( x)  cos(x) ďƒž f ' ( x)  sen( x)

x ďƒŽ ďƒ‚

8.

f ( x)  tg ( x) ďƒž f ' ( x)  1  tg 2 x 

9.

f ( x)  arctg ( x) ďƒž f ' ( x) 

1 x

x ďƒŽ ďƒ‚

x  0

a  0 ďƒž f ' ( x)  a x ln( a)

x ďƒŽ ďƒ‚

x ďƒŽ ďƒ‚

1 1 x2

10. f ( x)  arctsen( x) ďƒž f ' ( x) 

1 cos2 x

x ďƒŽ ďƒ‚ cos ď‚Ž x ď‚š 0

x ďƒŽ ďƒ‚

1 1 x2

x ďƒŽ  1,1

P ĂĄ g i n a 30 | 73

Antología Calculo I Ejemplo. Con n=3

f ' ( x)  lim f

f ( x)  x 3

h 0

= lim

h 0

( x  h)  f ( x ) ( x  h) 3  x 3  lim  h 0 h h

x 3  3x 2 h  3 xh 2  h 3  x 3  lim 3 x 2  3 xh  h 2  3 x 2 h 0 h

Propiedades de la derivada 1) Si f ( x)  g ( x)  h( x)  f ' ( x)  g ' ( x)  h' ( x) 2) Si f ( x)  g ( x)  h( x)  f ' ( x)  g ' ( x)h( x)  g ( x)h( x)

h( x ) h' ( x ) g ( x )  h ( x ) g ' ( x )  f ' ( x)  g ( x) ( g ( x)) 2

f ( x) 

3) Si

g ( x)  0 Regla de la cadena con trascendentes

g  f  x   g  f x   f x  Ejemplo.

f x   x 4  2x

3

g x   x 4  2 x h x   x 3 f x   h  g x 

f x   hg x   g x 

h  x   3x 2

g  x   4 x 3  2

 

f x   3 x 4  2 x  4 x 3  2 2

     2x  1  Ejemplo. f  x   ln  1 x       

   1  21  x    12 x  1  3   f x    2 2    2 x  1  1  x    2x  x  1    1 x  Ejemplo: ¿Es derivable

4 f ( x)   2 x

Si x<2 Si x>= 2

en x=2?

P á g i n a 31 | 73

AntologĂ­a Calculo I Como la funciĂłn tiene distintas definiciones a la izquierda y derecha de x=2 hay que hacer la derivada por el limite

 lim

h ď‚Ž0

f (2  h)  f (2) h

f (2  h)  f (2) 2(2  h)  4  lim 2 h  0 h h f (2  h)  f (2) 44 lim  lim  lim 0  0 h 0 h 0 h 0 h h lim

h 0 

 lim

h ď‚Ž0

f (2  h)  f (2) , por lo tanto, f no es derivable en x=2 h

EJEMPLO. Diferencie đ?‘Ś = ln(đ?‘Ľ 2 + 1) SoluciĂłn El argumento de la funciĂłn logaritmo es đ?‘Ł = đ?‘Ľ 2 + 1 đ?‘‘đ?‘Ł = 2đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ Aplicando la fĂłrmula para ln đ?‘Ł đ?‘“´(đ?‘Ľ) = đ?‘“´(đ?‘Ľ) =

đ?‘Ľ2

1 đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ľ

1 2� (2�) = 2 +1 � +1 1+� 2

EJEMPLO . Encuentre đ?‘“´(đ?‘Ľ) đ?‘ đ?‘– đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™đ?‘›âˆš

đ?‘¤ 2 −1

P ĂĄ g i n a 32 | 73

Antología Calculo I Solución Reescribiendo la función aplicando leyes de los exponentes �(�) = ��

(1 + � 2 )

1â „ 2

(đ?‘¤ 2 − 1)

1â „ 2

đ?‘Ž

Aplicando las propiedades de los logaritmos ln = ln đ?‘Ž − ln đ?‘?

đ?‘Ś

đ?‘?

�(�) = ln(1 + � 2 ) �(�) =

1â „ 2

− ln(đ?‘¤ 2 − 1)

ln đ?‘Ł đ?‘› = đ?‘› ln đ?‘Ł

1â „ 2

1 1 ln(1 + đ?‘¤ 2 ) − ln(đ?‘¤ 2 − 1) 2 2

Derivando la expresiĂłn resultante aplicando la fĂłrmula para ln đ?‘Ł đ?‘“´(đ?‘Ľ) =

1 2đ?‘¤ 1 2đ?‘¤ ( )− ( 2 ) 2 2 1+đ?‘¤ 2 đ?‘¤ −1

Simplificando las fracciones đ?‘“´(đ?‘Ľ) = ( EJEMPLO Halle đ?‘“´(đ?‘Ľ)

đ?‘ đ?‘–

đ?‘¤ đ?‘¤ )−( 2 ) 2 1+đ?‘¤ đ?‘¤ −1

đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘’ đ?‘Ľ

2 +3đ?‘Ľ

SoluciĂłn Aplicando la formula para derivar una funciĂłn exponencial del tipo đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘’ đ?‘Ł đ?‘Ł = đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ł = 2đ?‘Ľ + 3 đ?‘‘đ?‘Ľ Empleando la fĂłrmula đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ł 2 = đ?‘’đ?‘Ł = đ?‘’ đ?‘Ľ +3đ?‘Ľ (2đ?‘Ľ + 3) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

Derivadas de Orden Superior. Dada una función f x  , sabemos que su derivada se denota por f '  x  . Se llama derivada segunda de f x  , y se denota f ' '  x  es decir,

d2 f d ďƒŚ df ďƒś f ' ' x  =  ďƒ§ ďƒˇ 2 dx ďƒ¨ dx ďƒ¸ dx AnĂĄlogamente se puede definir la derivada de cualquier orden

f 4  x  

d4 f d ďƒŚ d ďƒŚ d ďƒŚ df ďƒś ďƒś ďƒś  ďƒ§ďƒ§ ďƒ§ďƒ§ ďƒ§ ďƒˇ ďƒˇďƒˇ ďƒˇďƒˇ 4 dx ďƒ¨ dx ďƒ¨ dx ďƒ¨ dx ďƒ¸ ďƒ¸ ďƒ¸ dx

Ejemplo

f x   3x 4  2 x 2  1 f '  x   12 x 3  4 x

f ' '  x   36 x 2  4 ,

f ' ' '  x   72 x ,

f 4   x   72 ,

f 5   x   0

P ĂĄ g i n a 33 | 73

Antología Calculo I Derivación Implícita 2 Si tenemos la ecuación de una curva x  y  3  0 y queremos saber la pendiente de la recta 2 tangente a la curva en algún punto, basta despejar y, y  x  3 en función de “x” y derivar dicha 2 función y  x   x  3 , es decir,

y ' x   2 x

2 Esto se puede hacer por que y está de manera explícita respecto de x, y  x  3

Supongamos ahora que tenemos x  y  y  3 No esta tan claro que se pueda despejar “y” en función de “x”, por ello se dice que y está definida 2 2 de manera implícita por la ecuación x  y  y  3 2

2

Como suponemos que y es función de “x” podemos escribir y  y  x  y, por lo tanto,

x 2   yx  yx  3 2

Si queremos calcular la pendiente de la recta tangente en el punto de la curva 1,1 12  12  1  3 podemos derivar a ambos lados de la ecuación teniendo en cuenta que y(x) es una función de “x”

d 2 d 2 x   yx   yx   3 dx dx 2 x  2 yx   y ' x   y' x   0 2 x  2 y x   1 y ' x   0  2x y ' x   A esto se le llama derivación implícita. 2 yx   1 2 2  Como queremos saber y ' 1 , sabemos que x  1 y  1 por tanto y ' 1  2 1  1 3 2 2 1 La recta tangente a la curva en el punto 1,1 será y  1   x  1 y  x  3 3 3 Derivación logarítmica En ocasiones si tenemos que derivar una función y  f (x) , conviene tomar logaritmo natural en ambos lados de la expresión y posteriormente derivar. Ejemplo: g ( x) Si tenemos y  f ( x) , podemos tomar logaritmos.

ln( y )  ln( f ( x) g ( x ) )  g ( x) ln( f ( x)) y luego derivar implícitamente.

1 1  y '  g ' ( x)  ln( f ( x))  g ( x)   f ' ( x) y f ( x) Por tanto

  g ( x) f ' ( x)  g ( x) f ' ( x)    f ( x) g ( x )  ( g ' x) ln( f ( x))   y'  y g ' ( x) ln f ( x)  f ( x)  f ( x)   

P á g i n a 34 | 73

Antología Calculo I Ejemplo: a) y  (cos(x)) x

2

ln( y )  ln cos(x)   x 2 ln(cos(x)) derivamos 1 1 y '  2 x ln(cos(x))  x 2 ( sen ( x)) y cos(x) x2

Por tanto 2  x 2 sen( x)   y '  (cos(x)) x   (2 x ln(cos(x))  cos( x )  

3

x 4 x2 1 b) y  (3x  2) 5

ln( y )  ln( x

3

4

x 2  1)  ln((3x  2) 5 ) 

3 ln( x)( x 2  19  5 ln(3x  2) 4

derivando 1 3 1 1 2x 3 y'    5 2 y 4 x 2 x 1 3x  2 por tan to 3

x 4 x2 1  3 x 15  y'   2   5  (3x  2)  4 x x  1 3x  2 

P á g i n a 35 | 73

Antología Calculo I

4.

Aplicaciones de la derivada

4.1 Valores extremos 4.2 Concavidad y puntos de inflexión 4.3 Gráfica de funciones

DEFINICIÓN. Sea una función f definida en un conjunto A y a  A .

1.

f (a ) es un máximo absoluto o global de f en A si f (a)  f ( x)  x  A

2.

f (a ) es un mínimo absoluto o global de f en A si f (a)  f ( x)  x  A

Un máximo o mínimo absoluto se llama extremo absoluto. Habiendo estudiado los valores extremos, es posible trazar con mayor exactitud la gráfica de una función, además podemos valernos también del comportamiento creciente y decreciente de una función. Crecimiento y decrecimiento de Funciones DEFINICION. Se dice que una función f (x ) es creciente (estrictamente creciente) en un intervalo

a, b  si para todo

x1 , x2  a, b  con x1  x2 se tiene f ( x1 )  f ( x2 ) ( f ( x1 )  f ( x2 )) .

Se dice que es decreciente (estrictamente decreciente) en a, b  si para todo x1 , x2  a, b  con

x1  x2 se tiene f ( x1 )  f ( x2 ) ( f ( x1 )  f ( x2 )) .

f (x ) es creciente (estrictamente creciente) en un intervalo

a, b 

f (x ) es decreciente (estrictamente decreciente) en un intervalo a, b 

f (x ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x1 ) f ( x4 )

a

x1

x2

b

x3

x4

c

a TEOREMA 5

b

f es creciente en (a,b)

Suponemos que f es diferenciable en ( a, b) 1. si f ' ( x)  0 x  a, b  , entonces f es estrictamente creciente en ( a, b)

P á g i n a 36 | 73

Antología Calculo I 2. si f ' ( x)  0 x  a, b  , entonces f es estrictamente decreciente en ( a, b) EJEMPLO: 1.

f ( x)  x 2  2 x  1  ( x  1) 2

f ' ( x)  2( x  1)  0  x  1 f es creciente en  1, 

f ' ( x)  2( x  1)  0  x  1 f es decreciente en  ,1 2.

f ( x)  2 x 3  9 x 2  24 x  10

f ' ( x)  6 x 2  18 x  24  6( x 2  3 x  4)  6( x  1)( x  4) (x-1)

-

-

+

(x+4)

-

+

+

+

-

+

-4

1

f es creciente en  ,4  1,  f es decreciente en (-4,1) 2 2 EJEMPLO: f ( x)  x  2 x  1  ( x  1)  2

f (x )

f(1)=-2 es un mínimo absoluto de f en los reales.

f ( x)  f (1)  x  

1

TEOREMA 6 Una función continua f definida en un intervalo a, b alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en el intervalo si f ( x) 

1 x 1

x  0,2

-1

P á g i n a 37 | 73

AntologĂ­a Calculo I 1.

f (a ) es un mĂĄximo local de f si f (a) ď‚ł f ( x) para todo x en un intervalo abierto que contiene a “aâ€?.

2.

f (a ) es un mĂ­nimo local de f si f (a) ď‚Ł f ( x) para todo x en un intervalo abierto que contiene a “aâ€?.

f ( x3 )

f (x ) f ( x1 )

f ( x2 )

x1

x2

x3

f ( x1 ) es un måximo local, la curva es cóncava hacia abajo o positiva en ese punto. �(�2 ) es un mínimo local , la curva es cóncava hacia arriba o negativa en ese punto �(�3 ) es un måximo global DEFINICIÓN. Un número a en el dominio de f(x) es un número (o punto) crítico de f si f ' (a)  0 o f ’ no estå definida en x= a. TEOREMA 7 (TEOREMA DE FERMAT) Supongamos que f (a ) es un extremo local (måximo o mínimo local). Entonces a debe ser un punto crítico de f. 3 2 EJEMPLO: f ( x)  2 x  3 x  12 x  5

f ' ( x)  6 x 2  6 x  12  6( x 2  x  2)  6( x  2)( x  1) números críticos x=2, x=-1. x-2

-

-

+

X+1

-

+

+

f es creciente en (,1) ďƒˆ (2,) f es decreciente en (-1,2)

-1

2

f (2)  16  12  24  5  15, f (1)  2  3  12  5  12

P ĂĄ g i n a 38 | 73

Antología Calculo I

f (-1) es un máximo local f (2) es un mínimo local 15 10

-2

-1

5

EJEMPLO: f -5( x)  13x 2 1

2

3

-10 -15

f ' ( x) 

2 1 0 3 (3x  1) 13

1 f ' ( x) no está definida en x    Dom( f ) , por lo tanto x= - 1/3 es un número crítico. 3

f ' ( x)  0  3 x  1  0  x   f es creciente si x  

1 3

1 3

f es decreciente si x  

1 2

2  1 f     0  f ( x)x  (3x  1) 3  3

 1 f    es un mínimo global.  3 3 EJEMPLO: f ( x )  x

f ' ( x)  3 x 2  0  x  0 Pero f ' ( x)  0

pto

critico

x  0  f es siempre creciente. x=0 no es un extremo

P á g i n a 39 | 73

Antología Calculo I

EJEMPLO: f ( x)  3 x  x

f ' ( x) 

1

3

1 1 , no está definida en x=0. Punto critico. 3 3 x2

pero f ' ( x)  0

x  0  f ( x) es siempre creciente.

f ( x)  3 x EJEMPLO: f ( x ) 

2x2 x2

4 x( x  2)  2 x 2 2 x 2  8 x 2 x( x  4) f ' ( x)    ( x  2) 2 ( x  2) 2 ( x  2) 2 f ' ( x)  0

en

x0

x  4

y

f ' ( x) no está definida en x  2  Dom( f ) . Por tanto, los únicos puntos críticos son x=0, x= -4 x

-

X+4

+

-

+

+

-4

+

+

0

-

+

f es creciente en  ,4   0,  f es decreciente en  4,2   2,0, f (0)  0, f (4)  16 f tiene una asintota en x=-2

2x2 lim   x  2  x  2 2x2 lim    x  2 x  2 2x2 8  2x  4  x2 x2

15 10

-4

-3

-2

-1

-5

5

1

2

3

4

5

-10 -15

2x2 8 lim  lim 2 x  4    x   x  2 x   x2

P á g i n a 40 | 73

Antología Calculo I

lim

x  

2x2 8  lim 2 x  4    x  2 x   x2

x2  x  4 EJEMPLO: f ( x )  x 1

f ' ( x) 

(2 x  1)(x  1)  ( x 2  x  4) x 2  2 x  3 ( x  1)(x  3)   ( x  1)2 ( x  1)2 ( x  1)2

Puntos críticos en: x=-1, x=3 (x=1 no está en el dominio) x+1

-

x-3

-

-1

+

f (1) 

+

+

-

3 + +

-

f es creciente en  ,1  3,  f decreciente en  1,1  1,3

11 4  3 2

f (3) 

93 4 5 2

lim f ( x)  

x  1

lim f ( x)  

x  1 15 10

-4

-3

-2

-1

-5

5

1

2

3

4

5

-10 -15

EJEMPLO: f ( x)  sen( x)  cos(x)

x  0,2 

f ' ( x)  cos(x)  sen( x)  0  cos(x)  sen( x)  5 x , 4 4     5  f ' ( x)  0  cos(x)  sen( x)  x  0,    ,2   4  4    5  f ' ( x)  0  cos(x)  sen( x)  x   ,  4 4  P á g i n a 41 | 73

Antología Calculo I

Sen(x) cos(x)

 2

 4

3 4

5 4

3 2

2

    5     ,2   4  4 

f es creciente en 0,

  5  ,  4 4 

f es decreciente en 

f (0)  1  f (2 )

f( ) 4

1 1 2 1 1  5     2, f       2 2 2 2 2 2  4 

cos(x)

 4

 2

3 4

5 4

3 2

2

TEOREMA. (TEST DELA PRIMERA DERIVADA) Supongamos que f es continua en el intervalo a, b y c  a, b  es un punto crítico. 1. Si f ' ( x)  0 máximo local.

x  a, c 

y

f ' ( x)  0

x  c, b   f (c) es un

2. Si f ' ( x)  0 local.

x  a, c 

y

f ' ( x)  0

x  c, b   f (c) es un mínimo

3. Si f ' ( x) tiene el mismo signo en (a, c) y en (c,b), entonces f (c) no es un extremo local.

P á g i n a 42 | 73

Antología Calculo I 3 2 EJEMPLO: f ( x)  2 x  9 x  24 x  10

f ' ( x)  6 x 2  18 x  24  6( x 2  3 x  4)  6( x  1)( x  4) Puntos críticos en x=1, x=-4 f es creciente en  ,4   1,  x-1

-

-

+

X+4

-

+

+

+

-

+

-4

1

EJEMPLO: f ( x)  x

f ' ( x) 

5x-6

f es decreciente en (4,1)

5

3

 3x

2

3

5 23 5x  6 1 x  2x 3  1 3 3x 3 -

-

+

-

+

+

+

-

+

0

f es creciente en

 ,0   6 , 5

f es decreciente en (0,6/5)

6/5

f (0)  0 es un máximo local 5

2

6 6 6 6 6 f    3    33       5 5 5 5 5

2

3

6  3  5

2

3

2

9 36  6  3 6       3   5 25 5 5 

es un mínimo local.

4.4 Problemas de aplicación 4.4.1 Optimización EJEMPLO 1: Construcción de una caja de máximo volumen. Una lámina cuadrada de cartón de 18” de un lado esta hecha dentro en una caja abierta de los cuales están cortados cuadros de igual tamaño en cada esquina y doblando hacia arriba los laterales según indican las líneas. Encuentra las dimensiones de la caja con el máximo volumen. Solución:

P á g i n a 43 | 73

Antología Calculo I Remarcando que el volumen de un paralelepípedo rectangular (una caja) esta dado por:

V  l  w h De la figura 3.74b podemos ver que la altura es h  x , mientras que el largo y ancho son l  w  18  2x . Así, podemos escribir el volumen en términos de una variable x como

V  V ( x)  (18  2 x) 2 ( x)  4 x(9  x) 2 Una vez más, no multipliques esto, solo por hábito o costumbre. Nota que ya que x es una distancia, tenemos x  0 . Además, tenemos x  9 , ya que cortando cuadros de 9 en cada esquina entonces cortaríamos la lámina entera de cartón. Así, nos encontramos con el máximo absoluto de una función continua:

V ( x)  4 x(9  x) 2 En el intervalo cerrado de 0  x  9 Este debe ser un simple problema. La grafica de y  V (x) en el intervalo 0,9 se ve en la figura 3.75. De la grafica, el volumen básico parece ser una cantidad superior a 400y parece ocurrir alrededor de x=3. Ahora, resolvamos el problema precisamente. Tenemos

V ' ( x)  4(9  x) 2  4 x(2)(9  x)(1) regla del

producto

 4(9  x)9  x   2 x  factorizando 49  x   49  x 9  3x 

y regla de la cadena

Así es que, V tiene dos números críticos: 3 y 9 y ambos están en el intervalo en consideración. Ahora necesitamos comparar el valor de la función y los puntos finales en los números críticos. Tenemos:

V (0)  0 , V (9)  0 , y V (3)  432 . Obviamente, el volumen máximo posible es 432 pulgadas cuadradas. Podemos realizar este volumen si cortamos cuadros de 3” en cada esquina. Deberás notar que esto corresponde con lo que esperamos de la gráfica y  V (x) en figura 3.75. Finalmente observa que las dimensiones de la caja óptima son 12” de largo por 12” ancho y 3” de alto o profundo. Ejemplo 2: Minimización del costo para la construcción de una carretera. El estado quiere construir un nuevo tramo de carretera para unir un puente existente con un pico de retorno de un crucero, localizado 8 millas al este y ocho millas al sur del puente. Hay un tramo de 5 millas de ancho de pantano adyacente al puente que debe ser cruzado (ver figura 3.83). Dado esto, el costo de la carretera por milla es de 10 millones de dólares para construir sobre el pantano y solamente 7 millones de dólares para construir sobre el desierto, ¿que tan lejos del este del puente deberá la carretera estar cuando cruza el pantano? Solución: Imaginaras que la carretera debe cortar directamente a través del pantano, así como minimizar la cantidad construida sobre el espacio del pantano. Utilizaremos el cálculo para decidir estas cuestiones. Dejemos que la x represente la distancia en cuestión (ver figura 3.83). Entonces, el crucero cae (8-x) millas al este del punto donde la carretera deja el pantano. Así, el costo total (en millones de dólares) es

P á g i n a 44 | 73

Antología Calculo I Costo= 10(distancia a través del pantano)+7(distancia a través del desierto). Usando el Teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos que se ven en la figura 3.83, tenemos la función del costo:

C ( x )  10 x 2  25  7 (8  x ) 2  9 De la figura 3.83, puedes ver que 0  x  8 . (Haciendo que x<0 significa que va hacia fuera del crucero y haciendo x>8 significa que la carretera deberá estar mas allá del crucero en el punto en el cual existe el pantano.). Así que, tenemos un problema cotidiano de minimización de de una función continua C(x) sobre el intervalo cerrado y obligado 0,8 . ¿O, eso es realmente la rutina? Primero, dibujemos la grafica de y  C (x) sobre el intervalo en cuestión para obtener la idea de una posible respuesta (ver figura 3.84). De la gráfica, el mínimo valor parece estar ligeramente por debajo de 100 y ocurre al rededor de x=4. Para resolver el problema más precisamente, necesitamos realizar la derivada.

C ' ( x) 

d 10 x 2  25  7 (8  x) 2  9 dx 1 1 7 2  5 x 2  25 2 (2 x)  8  x   9 2 (2)(8  x)(1) 2 10 x 7(8  x)   x 2  25 (8  x) 2  9

Primero, nota únicamente el número crítico son donde C ' ( x)  0 . (¿Por qué?). La única forma de encontrarlos es aproximándolos. Una gráfica de y  C ' ( x) se ven en la figura 3.85. El único cero de

C ' ( x) en el intervalo 0,8 aparentemente esta entre x=3 y x=4. Aproximamos este cero

numéricamente, para obtener el número critico aproximado.

x c  3.560052 Ahora, solamente necesitamos comparar el valor de C(x) en el punto final y este en el número crítico:

C (0)  $109.8millones C (8)  $115.3millones y C  xc   $98.9millones Así, usando un pequeño cálculo, podemos salvar del importe, mas de $10 millones de dólares cortando a través del pantano y más de $16 millones cortando diagonalmente a través del pantano. (No es un mal premio para unos minutos de trabajo).

4.4.2 Razón o tasa de cambio de una función La tasa de cambio de una función f (x ) de x1

x1

a

a

x2 es la variación que experimenta f de

x2 y se mide por la expresión

P á g i n a 45 | 73

Antología Calculo I f x2   f x1  x2  x1

Pendiente f x2   f x1  x2  x1

f ( x2 ) f ( x1 )

x1

x2

La tasa de cambio en el instante x será

lim

h 0

f ( x  h)  f ( x )  lim h 0 ( x  h)  x

f ( x  h)  f ( x )  f ' ( x) h

4.4.4 REGLA DE L’HôPITAL Supongamos que f y g son derivables en a, b  excepto, posiblemente, en un punto c  a, b  y

g ' ( x)  0 en a, b  c

Si lim f ( x)  lim g ( x)  0 y existe lim x c

x c

EJEMPLO 1: lim

x 0

xc

f ( x) f ' ( x) f ' ( x)  , entonces lim x  c g ( x) g ' ( x) g ' ( x)

sen( x) x

f ( x)  sen( x) , derivable en todo 

g ( x)  x , derivable en todo  g ' ( x)  1  0

sen( x) cos(x) 1  lim  1 x 0 x 0 x 1 1

lim f ( x)  0 lim x 0

L’HôPITAL

lim g ( x)  0 x 0

P á g i n a 46 | 73

Antología Calculo I

EJEMPLO 2: lim

x 0

1  cos(x) sen( x) cos(x) 1  lim  lim  2 x  0 x  0 x 2x 2 2 L’HôPITAL

x2 2x 0  lim x   0 x x 0 e  1 x 0 e 1

EJEMPLO 3: lim

L’HôPITAL

4.4.5 Polinomio de Taylor y Maclaurin Sea una función f (x ) n veces derivable en a, b  y c  a, b  . El polinomio de Taylor de grado n de f en c es

Pn1c ( x)  f (c) 

f ' (c ) f ' ' (c ) f n (c ) ( x  c)  ( x  c) 2    ( x  c) n 1! 2! n!

Si c=0, se llama polinomio de Maclaurin de grado n de f. Teorema Sea f n+1 veces derivable en a, b  y c  a, b  . Si x  a, b  con x  c entonces existe z entre x y c tal que

f ( x)  Pn1c  Rn ( x) Donde Rn ( x) 

f n1 ( z ) ( x  c) n1 (n  1)!

Recta de polinomio de Taylor ( o MacLwrin) El polinomio de Taylor en x=c es un polinomio que se aproxima bastante bien a la función f(x) en el punto x=c. Se aproxima mejor cuanto mayor sea el grado n. x Ejemplo: f ( x)  e

f ' (0) f ' ' (0) f n (0) ( x  0)  ( x  0) 2    ( x  0) n 1! 2! n! x2 x3 xn  1 x    2! 3! n! Pn1c ( x)  f (0) 

P á g i n a 47 | 73

Antología Calculo I

y  ex

1 x

P1, 0 ( x)  1  x P2, 0 ( x)  1  x  

1 1 ( x  1) 2  2 2

P3, 0 ( x)  1  x  Ejemplo: sea f ( x)  ln( x) a) calcular P3,1 ( x)

f ' ( x) 

x2  2

x2 x3  2 6

1 1 2 , f ' ' ( x)   2 , f ' ' ' ( x)  3 x x x

y R3,1 ( x)

b) Aproximar ln (1.1) y estima el error

f ' (1) f ' ' (1) f ''' (1) ( x  1)  ( x  1) 2  ( x  1) 3 1! 2! 3! 1 1  0  ( x  1)  ( x  1) 2  ( x  1) 3 2 3 1 1 P3,1 ( x)  (0.1)  (0.1) 2  (0.1) 3 2 3 6  4 4  x  1 4 z R3,1 ( x)  ( x  1)   z  entre x y 1 4! 4z 4 P3,1 ( x)  f (1) 

R3,1

4  0.1 (1.1)  

4z

4

R3,1 (1.1) 

0.14 4z

4

0.0001  0.000025 z  (1,1.1) 4

Ejercicio: a) encontrar el polinomio de Maclaurin P1 ( x), P2 ( x ), P3 ( x) y f ( x) b) Dibuja sobre los mismos ejes, las gráficas de P1 ( x), P2 ( x ), P3 ( x) y f ( x) c) aproxima f (a ) por P3 (a) y usa R 3 (a) para estimar el error a) f ( x)  sen( x)

a = 0.05

P á g i n a 48 | 73

Antología Calculo I f ' ( x)  cos(x), f ' ' ( x)   sen( x), f ' ' ' ( x)   cos(x), f P3 ( x)  0  1  x 

IV

( x)  sen( x)

0 2 x3 x3 x   x 2! 3! 6

P1 ( x)  x P2 ( x)  x b) g ( x)  x 

x3 x2 , g ' ( x)  1   0  x 2  2  x   2, 2 6 2

2 2 2  2 6 3 2 2 2 g ' ' ( 2 )  0 g ( 2 )   2   2 min 6 3

g ' ' ( x)   x

g''( 2)  0 g( 2)  2 

max

P1  P3

sen (x)

 2

c. arriba

 4

 2

3 4

5 4

c. abajo

P á g i n a 49 | 73

Antología Calculo I

5.

Introducción al cálculo integral

5.1 Antiderivada Una forma de ver la operación inversa de la derivación, clásicamente, se realiza de la siguiente forma: Encontrar la función f(x) de la cual derivada es conocida. Dada la diferencial de la función df(x) encontrar la función f(x)

La función que se pide se le conoce como integral de la diferencial dada y al procedimiento utilizado para encontrar la integral se le conoce como integración. Al igual que el símbolo de derivada, el símbolo de integración, cuyo operador nos indicara la operación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de rasgos históricos hasta llegar a símbolo

Concretamente diremos que aunque esta relación no es del todo general es correcta y nos será útil para incursionar el análisis de este concepto. Así por ejemplo podemos tener f1(x)= 3x y con ello f1´(x)dx=3dx por lo que pero podemos observar que si la función es f2(x)= 3x+5= f1(x)+5 entonces f2´(x)dx=3dx por lo que podemos entonces pensar que en general pudimos agregar a f1(x) cualquier constante y tener el mismo diferencial por lo que una expresión mas general a considerar es la siguiente: a la constante c que se agrega se le conoce como constante de integración. A la expresión anterior se le conoce como integral indefinida. Retomemos el ejemplo: que sucede si aplicamos el operador de derivadas en ambos miembros de la expresión:

lo que hace pensar que al aplicar el operador de derivada al operador de Integración obtenemos la función a integrar. De forma más general tendremos:

P á g i n a 50 | 73

Antología Calculo I

Como podemos observar el operador de derivada en un operador inverso al de integración, hemos concluido esto en base a la expresión anterior. Sin embargo, si el operador de integral antecede al símbolo de derivada la expresión no siempre será cierta, y en ocasiones, no siempre podremos obtener una solución.

FORMULAS DE INTEGRACIÓN Potencias 1

 v dv  ln v  c Exponente / Logaritmo

  v 

 cscvdv  ln cscv  ctgv  c  ln cscv  ctgv  c  ln  tg 2    c v



 secvdv  ln secv  tgv  c  ln tg 2  4   c Trigonométricas

Trigonométrica Inversa

P á g i n a 51 | 73

Antología Calculo I

5.1.1 Interpretación geométrica de la Antiderivada 5.2 Area bajo la curva Una de las nociones fundamentales de la integral representa el área bajo la curva.

Una noción principal podría generarse de la forma siguiente: Tratemos de cubrir toda el área debajo de la curva llenando con figuras geométricas de los cuales conocemos el área.

Resulta práctico calcular el área de un rectángulo, aunque han quedado algunas áreas sin llenar y algunos rectángulos han sobre pasado el margen de la curva.

P á g i n a 52 | 73

Antología Calculo I

Observamos que el área del rectángulo de lado

y f(x1) esta descrita como:

Para el segundo rectángulo tendríamos que el área, con lados

y f(x2) esta descrita como:

Si sumamos todas las áreas de los rectángulos tendremos:

A medida que hacemos crecer el número de rectángulos que cubren el área bajo la curva tendremos una mejor aproximación, al igual que sucedería con los círculos y los triángulos. Al hacer crecer el número de rectángulos implicara que los incrementos sean más pequeños a fin de obtener una mejor aproximación.

Recordemos del cálculo diferencial que los elementos diferenciales se generan a partir de incrementos pequeños por lo que podríamos pensar que a medida que hacemos crecer los rectángulos tendremos:

P á g i n a 53 | 73

Antología Calculo I

Esta fue la forma clásica en surge el concepto de integral, posteriormente a esta aproximación se fue modificando su notación hasta adquirir la simbología

por lo que una aproximación más acorde para el área bajo la curva lo podemos representar como:

éste símbolo es conocido como la integral.

5.3 La integral definida 5.4 Teorema fundamental del cálculo Integral definida La integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] se nota por

La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior. Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal [Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por

Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y [Una tal función f (x) se llama primitiva de f (x). [..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y F' = f ..., si f es continua..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función

Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal [Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces

Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral. Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (30) se acostumbra a escribir así:

P á g i n a 54 | 73

Antología Calculo I

Ejemplo: La igualdad:

Muestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2. Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz,

Propiedades de la integral definida [Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]: 1. 2. 3.

, siendo c una constante

4. 5. 6.

, cuando a < c < b Primer teorema del valor medio: , para al menos un valor x = x0 entre a y b.

7. Si

, se verifica

.

Ejemplos

1. Sea f (x) = c, una constante, y f (x) = cx; tendremos

2. Sea f (x) = x y f (x) = 1/2 x2; tendremos

P á g i n a 55 | 73

Antología Calculo I

3. Sea f (x) = x3 y f (x) = 1/4 x4; tendremos

5.5 La integral indefinida y cambio de variable Uno de los métodos más usuales para resolver las integrales es de la sustitución, realizado cuando se cambia una variable para regresar a la integral original. Este es un método principalmente usado cuando es difícil reconocer la integración de manera inmediata pero que parece intuitivo que se parece a una ya conocida, en ocasiones también es un buen recurso cuando el estudiante que inicia en el estudio de la solución de integrales aun le resulta difícil reconocer las fórmulas. Ejemplos: 1.

Haciendo

observamos que

por lo que integraremos en realidad

Como podemos extraer las constantes de la integral tendremos:

Que regresando a la sustitución inicial tenemos:

2.- Integrar la función f(h)=cos ah mediante sustitución trigonométrica: se puede efectuar directamente reconociendo que el diferencial es adh, sin embargo hagámoslos por medio de la sustitución u=ah por lo que si despejamos h tendremos

utilizando esto en la integral tendremos:

como la constante

la podemos sacar de la integral tendremos:

Pero la integral

 cos udu  senu  c entonces

1

 cos ah dh  a senah c P á g i n a 56 | 73

Antología Calculo I Integrar las funciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

a. Por sustitución:

La integral es:

b. Por sustitución:

La integral es:

c. Por sustitución: Y la integral queda:

d. Por partes, haciendo:

Se tiene para la integral:

e. Por partes, haciendo:

P á g i n a 57 | 73

AntologĂ­a Calculo I

Se tiene:

f.

Por partes, haciendo:

Se tiene:

P ĂĄ g i n a 58 | 73

Antología Calculo I

6.

Aplicaciones de la integral

6.1 Cálculo del área entre dos curvas Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones. El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.

Gráfica 6.1. Como podemos ver en la Gráfica 6.1, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior. Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así: Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral Ejemplo 1 1. Dadas las parábolas

a. Hallar el área encerrada por ambas. b. La distancia entre sus vértices. Calculemos las coordenadas de los vértices:

P á g i n a 59 | 73

Antología Calculo I Determinemos los puntos de corte de ambas curvas resolviendo el sistema:

Se cortan pues en los puntos P(0,2) y Q(1,5/2) La gráfica sería:

Y, para el área tenemos:

En cuanto a la distancia entre los vértices V y V, será el módulo del vector

unidades de longitud. Ejemplo 2 Sea f(x)=x2+4x+4. Hallar el área encerrada por la curva y=f(x) y la recta y=1 El vértice de la parábola está en:

Y corta a la recta y=1 en P(-1, 1) y Q(-3, 1), siendo la gráfica:

P á g i n a 60 | 73

Antología Calculo I

Y el área: A = Ar - Ap = 2 - Ap

Ejemplo 3 1. Sea

¿Qué valor debe tener a para que el área encerrada por la curva y=f(x), y=2 y el eje vertical sea igual al área encerrada por la curva y=f(x), x=a y el eje horizontal? La gráfica de la función dada es como la siguiente:

Se ha de cumplir, según el enunciado que A1=A2+A3. Tenemos:

Entonces:

P á g i n a 61 | 73

Antología Calculo I Que es el valor de a pedido. Ejemplo 4 Las rectas y=x+1, y=-2x+10 e y=-x-1 determinan un triángulo del que queremos conocer su área. Gráficamente tenemos:

Los vértices del triángulo son los puntos P, Q y R de coordenadas: P(3,4); Q(11,-12) y R(-1,0) Que se obtienen sin más que resolver los sistemas de ecuaciones formados por las tres rectas dadas de dos en dos. La primera recta corta a los ejes en (-1, 0) y (0,1). La segunda los corta en (5,0) y (0,10) y la tercera en (-1,0) y (0, -1) El área pedida resultará del cálculo de las siguientes integrales: Cada una de las cuales representa una porción de la misma y, la parte en valor absoluto representa la porción por debajo del eje OY

6.2 Cálculo de volúmenes Notas tomadas de las fuentes citadas. 6.2.1 Sólidos de revolución (http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/aplicacionesintegral/ht ml/node6.html) 6.2.3 Envolventes cilíndricos (http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm\) Sólidos de Revolución Definicón: Sea una función definida en el intervalo . Recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje , la región limitada por la gráfica de , el eje y las gráficas de y . El eje simetría de dicho sólido y una sección recta perpendicular al eje es un círculo.

es un eje de

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Antología Calculo I

Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el ``volumen'' de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido. Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área de la base por el espesor (o altura).

Consideremos una partición

del intervalo

determinada por el conjunto de números

donde , con . Sea un aumento de . Consideremos ahora los discos circulares, cuyos sensores son

, y cuyas

bases tienen radios .

Volumen del

ésimo disco es:

La suma

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Antología Calculo I de los volúmenes de los discos nos da una aproximación al volumen del sólido de revolución. Podemos suponer que mientras más delgados sean los discos, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Se tiene entonces la siguiente definición: Si existe un número

tal que dada

exista

para la cual

para toda partición de y todo aumento de , y con , este número es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de Si es la función dada por

alrededor del eje . para

, entonces la suma de aproximación:

utilizada en la definición del volumen del sólido de revolución, puede escribirse como:

donde . Luego, de la definición de integral y de la definición de

Consideremos ahora dos funciones para

y

dada, se tiene que

continuas en el intervalo cerrado

, tales que

. Sea la región del plano limitada por las curvas con ecuaciones y las rectas con ecuaciones .

Deseamos determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región alrededor del eje (note que en este caso no giramos la región alrededor de una de sus fronteras). El sólido generado se muestra en la siguiente figura:

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Antología Calculo I

Sea

una partición del intervalo con

determinada por el conjunto de números para , y sea

un aumento de . En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares. Se muestra a continuación el ésimo rectángulo y el ésimo anillo circular generado al rotar aquel alrededor del eje .

Luego, el área del anillo circular es: por lo que el volumen del ésimo elemento sólido será: Entonces, la suma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es:

Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Definición: Si existe un número tal que dada exista para la cual

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Antología Calculo I

para toda partición

de

y todo aumento

de

, y con

, este número de

volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de , , , alrededor del eje . Si es la función dada por

para

es el

,

, entonces la suma de aproximación

utilizada en la definición 8, puede escribirse como:

donde , Luego se tiene que:

.

Ejemplo http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/aplicacionesintegral/ html/node7.html Ejemplo 1: Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje , la región limitada por la gráfica de Solución

.

ésimo rectángulo que al rotar alrededor del eje circular recto. El volumen del

genera un disco circular en forma de cilindro

ésimo disco circular es:

La suma de aproximación del volumen:

El volumen del sólido está dado por:

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Cebollas y troncos de madera. El método de cálculo integral que se explica a continuación, el de los casquetes cilíndricos, proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de revolución. En ciertos casos es el único método viable porque el de las secciones transversales puede resultar a veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.

Figura 1

Animación 2

Piénsese, por ejemplo, en el problema de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región que está comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3 A primera vista puede parecer que el método más adecuado para este cálculo consiste en hacer repetidas secciones transversales horizontales del sólido − tajarlo por decirlo así − y en integrar luego los volúmenes de todos los trozos. Sin embargo, se presentan varias dificultades. La primera está en que las secciones transversales son, en unas zonas del sólido, discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. Esto conduce a tener que dividir la región de integración en varias subregiones, lo que resulta algo engorroso. Pero por otra parte, para plantear la integral es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en función de la variable y, lo que no es fácil de lograr en este caso (Figura 1). En cambio, el método de los casquetes cilíndricos funciona muy bien en esta situación. Básicamente consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener el volumen total. En la Animación 2 se puede ver cómo se van agregando y se van retirando sucesivamente estos elementos y cómo se produce el sólido de revolución. Es por esto por lo que a este método se le conoce también como el método de las "capas", las "envolturas", las "envolventes" o los "cascarones" cilíndricos. Pero antes de entrar en detalles es importante entender bien la estructura geométrica que está involucrada en este método.

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Figura 2

Figura 3

Quizás resulte útil pensar en objetos cotidianos que presentan la misma configuración.. El primero que viene a la mente es posiblemente un trozo de cebolla pues es bien conocido el hecho de que en su interior los tejidos de un trozo de este vegetal están dispuestos en una serie de capas más o menos cilíndricas que, cuando se cortan transversalmente y se sirven en las ensaladas, forman los característicos "anillos" de la cebolla (Figura 2). También puede resultar útil pensar en la estructura interna de un tronco de árbol pues ésta consiste en una serie de casquetes, hechos de distintas clases de madera, aproximadamente cilíndricos, que en los cortes transversales se ven como una serie de anillos de diferente color (Figura 3). Según los biólogos, al contar estos anillos se puede establecer la edad de los árboles pues sus troncos no crecen a lo alto, excepto en su parte superior, sino a lo ancho. La única parte de los troncos encargada del crecimiento es una fina capa que los rodea, llamada cámbium. En los árboles de las zonas de clima templado, el crecimiento no es constante y como la madera que produce el cámbium en primavera y en verano es más porosa y de un color más claro que la producida en invierno, de ello resulta que el tronco del árbol está compuesto por un par de anillos concéntricos nuevos cada año, uno más claro que el otro.

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Antología Calculo I

Planteamiento general El método de los casquetes cilíndricos. Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la Figura 4. Naturalmente procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2 del cilindro exterior, así:

V  V2  V1 Figura 4

  r22 h   r12 h   (r22  r12 )h   (r2  r1 )(r2  r1 )h r r   2  2 1  (r2  r1 )h  2 

Animación 3

En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos r = 1/2 (r2 + r1), el radio medio de los cilindros, y si r = r2 − r1, el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen V de la forma siguiente:

V  2 rh r

Figura 5

Animación 4

Esta expresión puede recordarse fácilmente si se piensa en que el casquete cilíndrico se abre y se aplana convirtiéndose en un caja rectangular de escaso grosor como lo muestra la Animación 3. Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta horizontal y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b. La región aparece representada en la Figura 5 y el sólido de revolución que engendra en la Animación 4. Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1, xi], todos x = (b − a) / n. Sea xi* el punto medio del i-ésimo subintervalo. Consideremos el rectángulo Ri construido sobre el i-ésimo subintervalo con una altura de f (xi*) y hagámoslo girar en torno del eje y. Entonces se produce un casquete cilíndrico que tiene como radio medio xi*, como altura f (xi x = xi−1 − xi. (Véase Figura 6). Por lo tanto, el volumen Vi de este casquete cilíndrico está dado por:

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Antología Calculo I Vi  (2 xi *) f ( xi *) x Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución debemos poner n casquetes cilíndricos de éstos, unos dentro de los otros, como lo ilustra la Animación 5 y después sumar los volúmenes de todos ellos:

V   (2 x *) f ( x *) x n

V

n

i

i 1

Figura 6

i

i

i 1

Se puede probar que esta aproximación será mejor entre más grande sea n, el número de casquetes cilíndricos. Por eso, se puede poner:

 n

V  lim n 

Animación 5

(2 xi *) f ( xi *) x 

i 1

b

2 x f ( x) dx

a

Y de esta manera hemos llegado a formular una regla general para el cálculo de volúmenes con el método de los casquetes cilíndricos. Es la siguiente: Regla general: El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:

V

b

2 x f ( x) dx

a

En el Ejemplo 1 y en el Ejemplo 2 que aparecen a continuación se ilustra la aplicación directa de la regla general.. Los ejemplos siguientes sirven para ilustrar ciertos casos especiales en los que hay que hacer unas pequeñas modificaciones a la regla para ajustarla a una situación determinada. Puede pasar por ejemplo que la región que gira esté limitada por dos curvas (Ejemplo 3) o que gire alrededor de una recta vertical distinta al eje y (Ejemplo 4).

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Animación 6

Ejemplo 1 El problema del comienzo. Volvamos al problema planteado al comienzo de esta página, el de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3. Como los señalamos en la Introducción, este volumen no puede calcularse fácilmente con el método de las secciones transversales pero sí con el método de los casquetes cilíndricos. En este caso la región que gira está delimitada por la curva f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1, por el eje x y por las rectas verticales x = 0 y x = 3. La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función f(x) como lo muestra la Animación 6 y por eso, la integral para el volumen es:

3

2 x f ( x) dx  2

0

 2

 

3

x( x 3  4 x 2  3 x  1) dx

0 3

( x 4  4 x 3  3x 2  x) dx

0 3

 x5 x2  99  2    x 4  x3     2 0 5  5

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Antología Calculo I BIBLIOGRAFIA Stewart, J. (2010). Cálculo De Una Variable: Conceptos y Contextos (4ª Ed.). México: CengageLearning México. Larson, R. y Edwards, B. (2010). Cálculo 1 de una variable. (9ª Ed). México: McGraw-Hill Interamericana. Ortega, P. (2008). Problemas de Cálculo Diferencial: Cuestiones, Ejercicios y Tratamientos en Derive. (1ª Ed). México: Pearson Prentice Hall. Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable. (6ta Edición). México: Cengage Learning.

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