933r
1.1
Apa yang akan kamu pelajari? Membedakan dua bangun datar sebangun atau tidak seba ngun, dengan menye but syaratnya.
SS Bangun Datar Sebangun Syarat Dua
Menghitung panjang sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang sebangun.
Kata Kunci: • •
Sebangun Faktor skala
Amatilah bangun-bangun berikut ini. a. b.
ee Jikall kamu amati uang pecahan Rp.ii 50,00 dan Rp. 100,00 yang terbuat dari logam aluminium akan dd tampak bahwa gambar burung Garuda ii k di kdua uang logam itu sama tetapi ukurannya berbeda. ii aa pp aa kk aa hh ∆∆ DDGambar 1.1 AA CC
kk oo c. d. nn gg rr uu Dari gambar bangun-bangun tersebut, kalian ee dapat melihat ada 2 bangun yang bentuknya berbeda dan ada 2 bangun yangnnbentuknya sama tetapi ukurannya berbeda. Gambar a dan d merupakan gambar 2 bangun yang bentuknya sama tetapi ukurannya berbeda. dd ee nn Matematika SMP Kelas IX/ 1 gg aa n
∆∆ BB AA Dua bangun yang mempunyai bentuk samaCCtetapi ukurannya berbeda disebut .. sebangun. Bagaimana dua bangun datar dikatakan sebangun? DD di bawah ini sebangun? Apakah segiempat ABCD dan segiempat EFGH aa 12 cm n En F 9 cm A B aa8 cm 8 cm p 6 cm 6 cm p aa C H G D 7,5 cm Gambar 1.2kk 10 cm aa Sudut-sudut yang bersesuaian dari ABCD dan hh EFGH sama besar yaitu: ∠ A = ∠ E , ∠ B = ∠ F , ∠ C = ∠ G , ∠ D = ∠ H. Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama yaitu : aa kk EH = EF = FG = HG = 4 . atau AD AB BC DC 3 ii Karena sudut-sudut yang bersesuaian sama dan sisi-sisi yang seletak bb sebanding maka segiempat ABCD sebangun dengan segiempat EFGH. Menurut aa kamu, apakah syarat dua bangun datar sebangun? Apakah sudut-sudut yang tt bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding nn yy aa Dua bangun datar dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang ? bersesuaian sama dan sisi-sisi yang ? bersesuaian sebanding AD AB BC DC 3 = = = = EH EF FG HG 4
PP ee rr hh aa Apakah dua persegipanjang yang masing-masing berukuran 12 cm x 8 cm dan tt 6 cm x 4 cm sebangun? ii Jawab : kk 12 cm aa 6 cm nn 4 cm 8 cm
2
/ Buku Siswa –
∆∆ DD AA CC Kesebangunan dan Kekongruenan
dd
nn ∆∆ BB AA Gambar 1.3 CC Semua sudut persegipanjang masing-masing siku-siku dengan demikian sudut.. sudut yang bersesuaian besarnya sama yaituS90 o . S 12 =2 . Perbandingan panjang = ee 6 ll 8 =2 . Perbandingan lebar = ii 4 Karena sudut yang bersesuaian sama besar dd dan sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama maka ii kedua persegipanjang tersebut sebangun. kk Dari contoh dan penjelasan di ii depan diperoleh bahwa untuk menunjukkan apakah dua bangun itu sebangun perlu dicari terlebih dahulu sudut-sudut yang bersesuaian sama besar aa dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. pp aa kk a bawah? Bentuk apakah kedua segitiga pada gambar adi h Selidiki sisi-sisinya yang bersesuaian (sisi hterpanjang, sedang, dan terpendek) apakah sebanding?
Apakah kedua segitiga pada gambar di bawah ∆∆ sebangun? DD R AA 13 CC L 3 M 5 kk 4 oo 5 12 nn P K gg rr Sisi yang Menghitung Panjang Salah satu uu dari Dua Bangun yang Sebangun ee nn
Q
belum diketahui
Segibanyak ABCDE sebangun dengan segibanyak RSTUV dengan panjang sisi dd seperti gambar berikut. ee nn gg aa nn Matematika SMP Kelas IX/ 3 ∆∆
AA CC .. DD aa nn
A x 9 E
D
R
aa pp B aa kk V aa hh
y C
4 6
5 U
S
T
aa 1.4 Gambar kk a Hitunglah faktor skala dari segibanyak ABCDE terhadap segibanyak RSTUV ii b Hitung nilai dari x dan y. bb aa Penyelesaian : tt a Faktor skala adalah perbandingan panjang nn dua sisi yang bersesuaian yaitu : AE 9 3 yy = = . RV 6 2 aa b Gunakan perbandingan sisi yang bersesuaian yang sudah diketahui ?? panjangnya pada RSTUV dan yang dinyatakan dengan variabel x pada PP ABCDE. ee VR RS 6 4 = ⇔ = ⇔ 6xrr= 36 ⇔ x = 6. EA AB 9 x hh Gunakan perbandingan sisi yang bersesuaian yang sudah diketahui aa panjangnya pada RSTUV dan yang dinyatakan dengan variabel y pada tt ABCDE. ii VR UT = EA DC
⇔
6 5 = 9 y
kk ⇔ ⇔ 6y = 45 aa nn
∆∆ DD AA CC
4
dd aa / Buku Siswa – Kesebangunan dan Kekongruenan nn
y = 7,5.
BB AA CC .. 7,5 F 1. Tiga persegipanjang pada gambar di samping sebangun. Hitunglah x dan y B
8
C
G
x
3 A
D E
H
y
10
1. Untuk masing-masing pernyataan di bawah, tulis B jika pernyataan selalu benar, K jika pernyataan kadangkala benar dan S jika pernyataan selalu salah. a. Dua persegipanjang sebangun. b. Dua persegi sebangun. c. Segitiga sebangun dengan segiempat. d. Dua jajargenjang sebangun. e. Dua segitiga samasisi sebangun. f. Dua belahketupat sebangun. g. Dua segilima beraturan sebangun. h. Dua segitiga samakaki sebangun i. Dua layang-layang sebangun 2. Segiempat RSTV sebangun dengan segiempat LMNO. Panjang sisi-sisi dari RSTV berturut-turut 6 cm, 10 cm, 12 cm dan 14 cm. Panjang sisi terpendek dari LMNO adalah 9 cm. a Tentukan faktor skala (perbandingan panjang sisi-sis yang sesuai) dari RSTV ke LMNO. b Hitunglah panjang sisi yang lain pada segiempat LMNO. c Hitunglah keliling LMNO. Matematika SMP Kelas IX/
5
3.
d Hitunglah perbandingan keliling RSTV dan LMNO. Diketahui trapesium ABCD sebangun dengan trapesium AEFG. Besar ∠ AGF = 108 o , GF = 14, AD = 12, DG = 4,5, EF = 8 dan AB = 26. Tentukan faktor skala ABCD terhadap AEFG. Tentukan : a. (i) AG (ii) DC (iii) besar ∠ADC
A
E
G
B
F
(iv) BC
D C b. Keliling ABCD c. Keliling AEFG d. Perbandingan keliling ABCD dan keliling EFGA. 4. Pasangan segibanyak dalam gambar berikut adalah sebangun. Tentukan nilai x dan y. 12 15 Q A P B 12
15
E
24
y
T
x 16
S
R
C
D
5. Penalaran. Dapatkah kamu memberi contoh dua segiempat yang perbandingan sisi-sisi bersesuaiannya adalah sama, tetapi kedua segiempat itu tidak sebangun? 6. Penalaran. Dapatkah kamu memberi contoh dua segiempat yang sudutsudut bersesuaiannya adalah sama, tetapi kedua segiempat itu tidak sebangun? 7. Penalaran . Selidiki apakah dua segitiga yang perbandingan sisi-sisinya yang bersesuaian sama adalah sebangun? 8. Soal
terbuka.
Lukisan
dan
bingkainya pada gambar di samping adalah sebangun. Jika panjang lukisan 80 cm, panjang bingkai 100 cm dan lebar lukisan 60 cm, tentukan lebar bingkainya.
6
/ Buku Siswa –
Kesebangunan dan Kekongruenan
9.. 3 cm
6 cm x
y
4 cm 6 cm Jika ketiga gambar di atas sebangun, tentukan x dan y. 10. Segiempat ABCD dan segiempat RSTU gambar di bawah sebangun. Tentukan x, y, dan z. D
z
U
C
4 T
5
3
y A
R
B
6
2 x
S
11. Segiempat RSTU dan segiempat WXYZ gambar di bawah sebangun. Tentukan a, b, c, dan d. R
108˚
10 S
W
95˚
6
4 85˚
U
a˚
108˚
b
c
d T
Z
X
95˚ 3 6
85˚ Y
12. Soal terbuka. Sebuah pigura foto berbentuk persegipanjang 40 cm x 60 cm dan sebuah foto berbentuk persegipanjang berukuran 30 cm x 40 cm. Apakah bentuk pigura dan foto sebangun? Ubahlah salah satu ukuran pigura agar pigura dan foto sebangun. Berapakah ukurannya? 13. Sebuah map berukuran persegipanjang dengan ukuran 25 cm x 35 cm dan kertas berukuran 21 cm x 32 cm. Apakah bentuk map dan kertas sebangun? Ubahlah salah satu ukuran kertas agar bentuk map dan kertas sebangun?
Matematika SMP Kelas IX/
7
1.2
Syarat Dua Segitiga Sebangun Sejarah
Apa yang akan kamu pelajari?
hli matematika Yunani, Thales, adalah orang pertama yang mengukur tinggi piramida menggunakan sifat geometri. Dia menunjukkan bahwa perbandingan antara tinggi piramida dengan pekerja sama dengan perbandingan antara tinggi masing-masing bayangannya.
Syarat dua segitiga sebangun. Menentukan perbandingan sisi dua segitiga yang sebangun dan menghitung panjangnya Memecahkan masalah yang melibatkan konsep kesebangunan
Kata Kunci: • •
Segitiga sebangun Sisi yang bersesuaian Tinggi pekerja EF = 5 kaki
Ti ng g i pir ami da AB = ?
Bayangan piramida BC = 576 kaki
Bayangan pekerja FD = 6 kaki
Gambar 1.5 Dengan menggunakan keterangan di atas, dapatkah kamu mencari tinggi piramida? (Kamu akan ditugasi menyelesaikan masalah ini pada Latihan 1.2). Segitiga-segitiga yang sebangun dapat membantumu menyelesaikan masalah-masalah seperti di atas. Bagaimana kamu dapat mengetahui dua segitiga sebangun? Pada pelajaran sebelumnya kamu sudah belajar menentukan apakah dua segibanyak sebangun. Sekarang akan dipelajari caracara untuk menentukan apakah dua segitiga sebangun.
8
/ Buku Siswa –
Kesebangunan dan Kekongruenan
Pemodelan Matematika Dengan bantuan penggaris dan busur derajat : gambarlah ∆DEF dengan besar ∠ D = 35°, besar∠ F = 80°, dan DF = 4cm gambarlah ∆TRS dengan besar ∠ T = 35°, besar ∠ S = 80°, dan ST = 7cm ukurlah panjang EF , ED , RS dan RT . hitunglah perbandingan FD , EF dan ED .
ST
RS
RT
Catat hasil-hasil yang kamu peroleh di atas pada tabel berikut. Panjang sisi pada ∆ DEF EF
ED
Panjang sisi pada ∆ RST RS
RT
Nilai Perbandingan FD ST
EF RS
ED RT
Apakah ∆DEF dan ∆TRS sebangun? Apakah hasil yang kamu peroleh menunjukkan bahwa jika pada dua segitiga sudut-sudut bersesuaian sama besar maka sisi-sisi yang bersesuaian sebanding? Ini berarti bahwa : Jika pada dua segitiga sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua segitiga itu sebangun.
Gunakanlah penggaris dan busur derajat. Gambarlah segitiga ABC dengan AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan AC = 7 cm. Gambarlah segitiga PQR dengan PQ = 4 cm, QR = 3 cm dan PR = 3,5 cm. Ukurlah besar ∠ A, ∠ B, ∠ C, ∠ P, ∠ Q, ∠ R. Apakah besar ∠ A = ∠ P, ∠ B = ∠ Q , ∠ C = ∠ R. Apakah ∆ABC dan ∆PQR sebangun? Apakah hasil yang kamu peroleh menunjukkan bahwa jika pada dua segitiga sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, maka sudutsudut yang bersesuaian sama besar? Ini berarti :
Matematika SMP Kelas IX/
9
Jika pada dua segitiga perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama maka kedua segitiga tersebut sebangun.
Selidiki apakah ∆PQR sebangun dengan ∆MNO. Bagaimana dengan sudut yang bersesuaian? N Q 10
7 R Jawab :
30
21
15
P
O
PR 15 1 = = MO 45 3 PQ 10 1 = = MN 30 3 RQ 7 1 = = ON 21 3
M
45
PR PQ RQ 1 = = = MO MN ON 3
Jadi ∆PQR sebangun dengan ∆MNO.
Akibatnya besar ∠ R = besar ∠ O, besar ∠ P = besar∠ M dan besar ∠ Q = besar ∠ N
a Selidiki apakah ∆UTV dan ∆USR pada gambar di bawah sebangun b Tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. U
V
R
10
/ Buku Siswa –
> >
Kesebangunan dan Kekongruenan
T
S
Gambar di samping
AB // DE
A
a Tunjukkan bahwa ∆ABC dan
B
∆EDC sebangun. b Tuliskan perbandingan sisisisi yang bersesuaian.
C
E
D
Menghitung Salah Satu Sisi Segitiga yang Belum Diketahui dari Dua Segitiga Sebangun A
Perhatikan gambar di samping. BC // DE
p D
Kamu sudah dapat
x
membuktikan bahwa ∆ADE sebangun dengan ∆ABC. Misal panjang AD = p dan DB = q.
E y
q
Karena ∆ADE sebangun dengan ∆ABC maka :
B
C Gambar 1.6
AD AE = . AB AC p x = . p +q x +y
p(x + y) = x(p + q). px + py = px + qx. py = qx. p x = q y
.
Jadi perbandingan ruasgaris-ruasgaris pada kedua kaki segitiga ABC adalah :
Matematika SMP Kelas IX/
11
p x = q y
Ini menunjukkan bahwa: Jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga tersebut, maka garis sejajar tersebut membagi kedua sisi lainnya pada segitiga itu atas dua ruas garis dengan perbandingan yang sama
Perhatikan gambar di samping, a.
DE // AB
Buktikan ∆ABC sebangun C
∆DEC.
x
b. Hitung x dan y.
3 y
D
E 3
2 10
A
Perhatikan gambar di samping. a. b.
12
Tunjukkan bahwa ∆PQR sebangun UVW. Tentukan pasangan sisi yang bersesuaian yang mempunyai perbandingan yang sama.
/ Buku Siswa –
B
R
W
40° 70° U P
Kesebangunan dan Kekongruenan
Q
V
C
E
2.
8
9
15
A
10
D 6
Perhatikan gambar di samping
a. Tunjukkan ∆ABC sebangun ∆EFD. b. Tentukan pasangan ukuran sudut yang sama.
F
12 B
C
3. Tuliskan pasangan-pasangan segitiga pada gambar di samping yang sebangun. Beri alasan mengapa pasangan segitiga itu sebangun. Petunjuk: Urutkan sudut-sudut yang sama besar pada segitiga yang sebangun.
D
A
B
4. Pada gambar di samping kanan
G
AB // CD // EF
Lengkapi pernyataan berikut : AC CE = BD ..... CE ..... = b. IE HI GH ..... = c. GE GF
a.
A
C
H I
>
B
> >
E
D F
Hitung a,b, c, dan d dari gambar no. 5 – 9 berikut ini. 5.
Matematika SMP Kelas IX/
13
6.
7.
8.
9.
A
D
10. A, B dan C adalah berturut-turut titik tengah dari sisi DF , DE , dan FE . a. Jika BC = 11, AC = 13, dan AB =
F
C
B
15, hitung keliling ∆ DEF b. Jika DE = 18, DA = 10, dan FC = 7 hitung AB, BC dan AC. 11. Perhatikan gambar di kanan.
E B
Jika besar ∠B = 90 0 c
a. Tunjukkan ∆ADB sebangun dengan ∆ABC dan c = p.b.
a
t
2
b. Tunjukkan ∆BDC sebangun dengan ∆ABC dan a 2 = q.b.
A
12. Jika pada Gambar 1.5 tentang piramida, BC = 576 kaki, FD = 6 kaki ( ingat 1 kaki = 30,48 cm), dengan menggunakan kesebangunan hitung tinggi piramida (dalam kaki).
14
/ Buku Siswa –
Kesebangunan dan Kekongruenan
q
p D
b
C
13. Pada saat upacara bendera, kamu dan bendera mendapat sinar matahari, sehingga panjang bayanganmu 200 cm dan bayangan tiang bendera 700 cm. Jika tinggimu 160 cm, tentukan tinggi tiang bendera. 14.
E A
G
Jika ED // AB , AB = 10, BC = 6, AC = 8, CD = 5 dan GE = 3. Hitung EC, GC, dan EF.
C
D
F B
Matematika SMP Kelas IX/
15
1.3 Apa yang akan kamu pelajari? Mengenali dua bangun datar yang kongruen atau tak kongruen, dengan menyebut syaratnya. Menentukan segitiga yang kongruen. Membuktikan dua segitiga kongruen Menentukan perbandiingan sisi-sisi dua segitiga yang kongruen dan menghitung panjangnya. Menyatakan akibat dari dua segitiga kongruen Membedakan pengertian sebangun dan kongruen
Syarat Dua bangun Datar Kongruen Amati permukaan dua lembar uang seribu rupiah bergambar Kapitan Patimura maka akan tampak permukaan kedua uang itu sama bentuk maupun ukurannya. Kedua permukaan uang itu dikatakan sama dan sebangun atau sering disebut kongruen. Sekarang perhatikan bangun segiempat di bawah ini. C Q D S A
Kata Kunci:
B
R P
Gambar 1.7 a.
b.
c. d. e.
16
Bagaimana ukuran sisi-sisi segiempat ABCD dan segiempat PQRS? Periksalah dengan cara mengukur sisi-sisi yang bersesuaian dengan menggunakan penggaris. Bagaimana ukuran sudut-sudut segiempat ABCD dan segiempat PQRS? Periksalah dengan cara mengukur sudut-sudut yang bersesuaian dengan menggunakan busur derajat. Apakah kedua bangun itu kongruen? Jelaskan! Menurut kamu, apakah syarat dua poligon (segibanyak) kongruen? Jelaskan. Carilah benda-benda di sekitarmu yang permukaannya kamu anggap kongruen. Apakah syarat-syarat yang kamu berikan untuk dua bangun kongruen terpenuhi?
/ Buku Siswa –
Kesebangunan dan Kekongruenan
Dengan menggunakan syarat dua bangun kongruen yang telah kamu tetapkan, carilah pasangan-pasangan bangun berikut yang kongruen.
C A
D
B E
G
H
F Gambar 1.8 Pernahkah kamu melihat dasi ? Bermacam-macam warna dasi, ada yang polos, bermotif bunga, bermotif garis dan ada juga yang bermotif segitiga. Gambar 1.9(a) dan 1.9(b) di bawah ini merupakan dua contoh kain bahan untuk membuat dasi.
(a)
Gambar 1.9
(b)
Kedua kain di atas bermotif segitiga. Jika kamu perhatikan, bentuk dan ukuran segitiga-segitiga pada setiap kain tersebut adalah sama. Segitigasegitiga pada setiap kain di atas merupakan contoh dari segitiga-segitiga yang kongruen. Untuk lebih jelasnya tentang segitiga yang kongruen, simaklah uraian di bawah ini. Perhatikan Gambar 1.10. A B K L K
D
C
N
M
Gambar 1.10 Matematika SMP Kelas IX/
17
Jika persegipanjang ABCD digeser ke kanan sepanjang AK , maka titik A berimpit dengan K, titik B berimpit dengan L, titik C berimpit dengan M dan titik D berimpit dengan N. Sehingga persegipanjang ABCD tepat menempati (menutupi) persegipanjang KLMN. Dikatakan bahwa persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang KLMN dan disimbolkan dengan ABCD ≅ KLMN. Q
F
P
E
S
H R
G
Gambar 1.11 Jiplaklah bangun PQRS (lihat Gambar 1.11) pada kertasmu dan gunting. Jika model trapesium yang anda buat dan anda balik kemudian anda geser maka akan menempati EFGH. Sehingga PQRS ≅ EFGH. Jiplaklah ∆ABC (pada gambar 1.12) pada kertasmu dan gunting. . Jika model segitiga yang anda buat dan anda balik kemudian anda geser maka akan menempati ∆PQR, maka ∆ABC kongruen dengan ∆PQR ditulis ∆ABC ≅ ∆PQR. R
C
A
Q
B h
P
Gambar 1.12
Berikut ini adalah beberapa contoh segitiga-segitiga yang kongruen.
Pada gambar 1.13 berikut ini, segitiga manakah yang kongruen dengan ∆ABC? Kemudian sebutkan perlakuan yang dikenakan pada ∆ABC agar tepat menempati segitiga yang kongruen dengannya.
18
/ Buku Siswa –
Kesebangunan dan Kekongruenan
Penyelesaian : Segitiga yang kongruen de-ngan ∆ABC
adalah ∆JIH dan
∆MKL. ∆ABC tepat menempati ∆JIH jika ∆ABC digeser ∆ABC tepat menempati ∆MKL jika ∆ABC dibalik dan digeser
Gambar 1.13
Kaitan dengan dunia nyata Perhatikan foto sebuah tenda di bawah ini.
Matematika SMP Kelas IX/
19
Bagian depan tenda berbentuk segitiga seperti gambar berikut ini.
A
Apakah ∆ACP ≅ ∆AMP? (jelaskan). Penyelesaian : ∆ACP ≅ ∆AMP, karena ∆ACP dapat tepat menempati ∆AMP dengan cara
P
C
M
mencerminkan ∆ACP terhadap AP .
Sifat Dua Segitiga yang Kongruen Perhatikan gambar jembatan di samping. Supaya kuat, jembatan itu diberi besi yang bagian-bagiannya membentuk segitiga. Perhatikan ∆MPO dan ∆NQK. Jika digambar kembali dan diperbesar, akan tampak seperti gambar berikut ini.
Gambar 1.14
N
M
O
P
Q
K
Gambar 1.15 Jika ∆MPO digeser sepanjang dan searah dengan
PQ ,
maka ∆MPO
tepat menempati ∆NQK. Oleh karena itu, dua segitiga pada Gambar 1.19 adalah kongruen. Jika ∆MPO digeser sepanjang dan searah PQ , maka PO berimpit dengan sisi QK , sisi PM berimpit dengan sisi QN dan sisi OM berimpit dengan sisi KN . Sisi-sisi yang berimpit itu disebut sisi yang bersesuaian (seletak). Jadi, sisi PO bersesuaian (seletak) dengan sisi QK , PM bersesuaian (seletak) dengan QN dan OM bersesuaian (seletak) dengan KN . Hal itu menunjukkan bahwa:
20
/ Buku Siswa –
Kesebangunan dan Kekongruenan
Dua Segitiga kongruen
Dua segitiga yang kongruen mempunyai sifat yaitu sisi-sisi yang seletak sama panjang.
Karena titik A berimpit dengan P, titik B berimpit dengan Q dan titik C berimpit dengan R, maka besar ∠CAB = besar ∠RPQ, besar ∠ABC = besar ∠PQR dan besar ∠ACB = besar ∠PRQ. Sehingga ∠CAB bersesuaian (seletak) dengan ∠RPQ,
∠ABC bersesuaian (seletak) dengan ∠PQR dan ∠ACB
bersesuaian (seletak) dengan ∠PRQ. Hal itu menunjukkan bahwa : Sifat dua segitiga yang kongruen
Dua segitiga yang kongruen mempunyai sifat yaitu sudut-sudut yang seletak sama besar.
∆UVW dan ∆DEF berikut adalah kongruen. Tentukan sisi-sisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar. D
U
Karena
V
W
Penyelesaian :
F
E
∆UVW
kongruen
dengan ∆DEF, menurut sifat dua segiti-ga yang kongruen maka sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Jadi :
UV = DE, UW = DF dan VW = EF. Di samping itu, sudut-sudut yang bersesuaian Gambar 1.16 juga sama besar. Jadi : besar ∠U = besar ∠D, besar ∠V= besar ∠E, dan besar ∠W = besar ∠F.
Matematika SMP Kelas IX/
21
Syarat Dua Segitiga yang Kongruen dan Akibatnya Perhatikan Gambar berikut. AB = PQ, AC = PR dan BC = QR. Jika ∆ABC digeser sepanjang dan searah AP , maka : titik A berimpit dengan P, titik B berimpit dengan Q, titik C berimpit dengan R,
R
C
Q
B
∆ABC
tepat
menutup
∆PQR. Dengan demikian ∆ABC ≅ ∆PQR.
P
A
sehingga
Gambar 1.17 Kesimpulannya adalah : Syarat dua segitiga yang kongruen
Dua segitiga akan kongruen jika ketiga sisi pada segitiga pertama sama panjang dengan ketiga sisi yang bersesuaian pada segitiga yang kedua (s, s, s)
C R Untuk mempermudah mengingatnya, maka syarat itu hanya ditulis (s, s, s) yang artinya bahwa dua segitiga akan kongruen jika ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang. Apakah akibatnya jika kedua segitiga itu kongruen menurut (s, s, s)? Perhatikan gambar di bawah P *
*
A 22
/ Buku Siswa –
Q B Kesebangunan dan Kekongruenan
Gambar 1.18
∆ABC dan ∆PQR mempunyai dua sisi yang sama panjang dan sudut yang diapitnya adalah sama besar, yaitu : AB = PQ, AC = PR dan ∠A = ∠P. Jika ∆ABC digeser sepanjang dan searah AP , maka titik A akan berimpit dengan P. Karena besar ∠A = besar ∠P, maka ∠A berimpit dengan
∠P. Karena AC = PR, maka titik C berimpit dengan R dan
karena AB = PQ, maka titik B berimpit dengan Q. Sehingga ∆ABC tepat menempati (berimpit) dengan ∆PQR. Oleh karena itu, ∆ABC kongruen dengan ∆PQR. Kesimpulannya adalah : Syarat dua segitiga yang kongruen
Dua segitiga akan kongruen jika dua sisi pada segitiga pertama sama panjang dengan dua sisi yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan kedua sudut apitnya sama besar (s, sd , s).
Untuk mempermudah mengingatnya, maka syarat itu hanya ditulis (s, sd, s) yang artinya bahwa dua segitiga akan kongruen jika panjang dua sisi dan sudut yang diapitnya sama besar. Apakah akibatnya jika kedua segitiga itu kongruen menurut (s, sd, s)? Kita sudah mendapatkan dua syarat dari dua segitiga yang kongruen. Yang ketiga, kita akan mengamati dua segitiga yang mempunyai satu R yang bersesuaian sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut C yang terletak pada sisi-sisi yang bersesuaian itu sama panjang. Untuk jelasnya, perhatikan gambar di bawah.
A
P
?
? x
x
Q
B Matematika SMP Kelas IX/
23
Gambar 1.19 Besar ∠A = besar ∠P, AB = PQ dan besar ∠B= besar ∠Q. AB adalah sisi pada besar∠A dan bsar ∠B. PQ adalah sisi pada besar ∠P dan besar ∠Q. Karena jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180°, maka : Besar ∠A + besar ∠B + besar ∠C = 180° dan Besar ∠P + besar ∠Q + besar ∠R = 180°. Sehingga diperoleh : Besar∠C = 180° - besar ∠A – besar ∠B dan besar ∠R = 180° besar ∠P – besar ∠Q. Karena besar ∠A =besar ∠P dan besar ∠B= besar ∠Q, maka besar∠R = 180° - besar ∠A - besar ∠B. Sehingga besar ∠C = besar ∠R. Akhirnya diperoleh hubungan : Besar ∠ A = besar∠ P, besar ∠ B = besar∠ Q, dan besar ∠ C = besar ∠ R. Dengan demikian ketiga sudut dua segitiga itu sama besar. Karena itu, dua segitiga itu sebangun. Karena dua segitiga itu sebangun, maka akibatnya perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama, yaitu : BC AB AC PQ = QR = PR .
Diketahui bahwa AB = PQ, maka akibatnya adalah BC AB AC PQ = QR = PR = 1.
Dengan demikian diperoleh hubungan AB = PQ, BC = QR dan AC = PR. Hal itu berarti ketiga sisi pada kedua segitiga tersebut adalah sama panjang. Berdasarkan syarat (s,s,s) seperti yang telah kita bahas, maka Apakah akibatnya?
24
∆ABC ≅ ∆PQR.
Kesimpulannya adalah : Syarat dua Dua segitiga akan kongruen jika dua sudut segitiga yang pada segitiga pertama sama besar dengan kongruen dua sudut yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan sisi yang merupakan kaki / Buku Siswa – Kesebangunanpersekutuan dan Kekongruenan kedua sudut sama panjang (sd, s, sd).
T
Selidiki apakah ∆RQT kongruen dengan ∆SQT.
6m
Pandang ∆RQT dan ∆SQT pada Gambar 1.24. Dan apakah akibatnya?
6m
Jawab
R Q2 m
2m
Karena : RT = ST, RQ = SQ dan TQ = TQ, maka ketiga sisi yang bersesuaian dari dua segi-tiga tersebut sama panjang. Berdasarkan syarat
S
Gambar 1.20
(s, s, s), ∆RQT ≅ ∆SQT. Akibatnya besar ∠R = ∠ S ∠RTQ = ∠STQ dan ∠TQR = ∠TQS
A
3 cm
∴
3 cm
O O
B
D
Selidiki apakah ∆DAC kongruen dengan ∆BAC. Dan apakah akibatnya? Jawab Perhatikan ∆DAC dan ∆BAC. Karena DA = BA, ∠DAC = ∠BAC dan AC = AC, maka berdasarkan syarat (s,sd,s), ∆DAC ≅ ∆BAC. Akibatnya
Gambar 1.21
C
CD = BC, ∠ADC = ∠ABC,
∠DCA ∠BCAdi samping diketahui bahwa ∠A = Pada = gambar ∠M dan ∠B = ∠L, maka ∆ABC ≅ ∆MLK. Alasan : ∠A = ∠M, ∠B = ∠L AB adalah sisi pada ∠A dan ∠B.
B
LM
4 cm
adalah sisi pada ∠M dan ∠L. AB = ML
Karena ∠A = ∠M, AB = ML, dan ∠B = ∠L,
A
maka
C
berdasarkan syarat
(sd, s, sd), ∆ABC
≅ ∆MLK. Akibatnya ∠B = SMP ∠K, Kelas BC =IX/KL, Matematika 25 AC = KM
K
4 cm M
Gambar 1.22 L
Perhatikan Jajargenjang ERIT di samping Tunjukkan bahwa TP = RO. Penyelesaian : Untuk menunjukkan bahwa TP = RO, coba kamu ikuti dan lengkapi titik-titik berikut ini.
I
T O P
R
R
E
Pernyataan
Alasan
1. IT = ER, ET = IR, EI = IE
1. Diketahui dari Gambar 1.22
2 a. ∆TIE ≅ ∆ . . .
2 a. (s,s,s)
Perhatikan ∆TIE dan ∆REI.
Gambar 1.22
b. besar ∠TIE = besar ∠ … dan besar ∠TEI = besar ∠ …
b. seletak (bersesuaian)
Sekarang perhatikan ∆TPE dan ∆ROI. 3. besar ∠TPE = besar ∠ …
3. keduanya 90 0
4. besar ∠TEP = besar ∠ …
4. berdasarkan 2b
5. besar ∠PTE = 90 0 - besar ∠TEP
5. jumlah ketiga sudut segitiga 180 0
6. besar ∠ORI = 90 0 - besar ∠ …
6. jumlah ketiga sudut segitiga 180 0
7. besar ∠PTE = besar ∠ORI
7. berdasarkan 5 dan 6
Karena besar ∠TEP = besar ∠RIO,
ET = RI dan besar ∠PTE = besar ∠ORI,
maka berdasarkan syarat (… ,
, … ),
…
(bersesuaian) dengan RO, maka
TP = RO. Dengan demikian kita sudah
menunjukkan yang diminta.
26
/ Buku Siswa –
∆TDE ≅ ∆ROI. Karena TP seletak
Kesebangunan dan Kekongruenan
Menyelidiki Dua segitiga sebangun apakah kongruen Perhatikan dua segitiga samasisi di bawah ini.
A
B
R
C P Gambar 1.23
Q
a. Apakah ∆ABC sebangun dengan ∆ PQR? Jelaskan! b. Apakah ∆ABC kongruen dengan ∆ PQR? Jelaskan! c. Apakah dua segitiga yang sebangun pasti kongruen? Jelaskan!
Menyelidiki: Segitiga yang kongruen adalah sebangun Perhatikan dua segitiga di bawah ini.
Matematika SMP Kelas IX/
27
B
P
Q
A
a. Apakah ∆ABC sebangun dengan ∆PQR? Jelaskan! b. Apakah ∆ABC kongruen dengan ∆PQR? Jelaskan! c. Apakah segitiga yang kongruen pasti sebangun? Jelaskan! R C
Gambar 1.24 Carilah pasangan-pasangan segitiga yang kongruen dan pasangan segitiga yang sebangun dari gambar di bawah ini.
2
1
4
3
8 5
6
9
7
10
Gambar 1.25
1. Dengan cara mengukur, tentukan apakah dua segitiga berikut kongruen ? Jika kongruen, kemukakan alasanmu dan tentukan sisi dan sudut yang bersesuaian. M a. b. A K U O 28
T / Buku Siswa –
C
V Kesebangunan dan Kekongruenan
L
W
R
B
2. Apakah pasangan segitiga berikut ini alasanmu ! Dan apakah akibatnya? a. A
G
kongruen ? Jika ya,
b.
kemukakan
3
T
7 7
N
5
3
5
R M G
c.
A
E D
d.
G
C A B
C
E
2. Pada gambar berikut ini, jelaskan mengapa ∆BDF ≅ ∆MKH, kemudian tentukan nilai m dan n. O
72
M
s
H
O
32
B
m
O
D
K
F
nO
t
9
8
8O n
72 O
t
4. Apakah ∆FKL kongruen dengan ∆KFG? Kemukakan alasanmu. Jika kongruen, tentukan sisi dan sudut yang seletak.
Matematika SMP Kelas IX/
29
F
G
L
K
5. PQRS adalah layang-layang. Sebutkan dua segitiga yang kongruen, kemudian sebutkan sisi yang sama panjang dan sudut yang sama besar. Q
P
R
S
Untuk soal 6 sampai 13, jelaskan dengan menggunakan syarat (s,s,s), (s,sd,s) atau (sd,s,sd) untuk membuktikan setiap pernyataan yang diberikan. 6. AB = CB
7. besar ∠OME = besar ∠ERO
B
M A
O
C
E
D
8. besar ∠TSP = besar ∠TOP S O T
R
9. KP =LM L
K
Y
P
P
10. besar ∠ORE = besar ∠OPE
30
/ Buku Siswa –
Kesebangunan dan Kekongruenan
M
11. CT = RP
O
R
P
C
E
R
N
T
12. Jika garis l tegak lurus
AB dan
P
CA = CB, tunjukkan bahwa PA=PB.
P
A
B C
13. Misalkan ABCD adalah jajargenjang. Dengan kongruensi, tunjukkan bahwa ∆ABC ≅ ∆CDA.
A
D
B
C
Matematika SMP Kelas IX/
31
32
/ Buku Siswa –
Kesebangunan dan Kekongruenan