Abril 27/ 2015
GEOM E-TIC LOSSÓLIDOS PLATÓNICOS GEOMTERÍAESPACIAL
Geomet r IA 3 ESO
La geometría y sus aplicaciones básicas, vista como una asignatura de estudio obligatoria, posibilita a los estudiantes el desarrollo de habilidades de visualización y orientación espacial. Y luego observada en sus múltiples escenarios de la vida cotidiana como la POLIEDROS naturaleza, la industria Pol iedros (y sus ramas), el diseño, el arte plástico, la Un poliedro es una región del arquitectura, la espacio limitada por topografía etc., crea la polígonos. necesidad de su estudio Elementos: Sierra Nevada Santa Marta- Colombia y comprensión y así Caras: polígonos que limitan poder ver el entorno en todas sus formas. al poliedro. Por lo tanto, para introducir al estudiante en el ambiente tridimensional y Aristas: lados de las caras del el contexto de las representaciones del espacio, se dará inicio al estudio poliedro de los poliedros y en este caso particular los poliedros regulares. En el desarrollo de la unidad el estudiante podrá visualizar y manipular Vértices: puntos donde objetos físicos y virtuales que le permitan determinar las características concurren varias aristas. de estos cuerpo geométricos y luego aplicarlo a otros objetos de su Ángulos diedros: Los ángulos entorno. diedrosestán formados por cadados carasy tienen unaaristaen común. Ángulos poliédricos: Los ángulos poliédricosestán formados por tres o más carasdel poliedroy tienen unvértice común. 1
Tipos de pol iedros Poliedros Cóncavos: Es el que tiene alguna car a cuyo plano atr aviesa a la figur a, o sea, existe alguna car a que, al pr olongar la, cor ta al poliedr o o su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.
Pol iedros Regul ares: Un poliedr o r egular tiene todos sus ángulos diedr os y todos sus ángulos poliedr os iguales y sus car as son polígonos r egular es iguales. Sólo son cinco:
Pol iedros irregul ares:
Pol iedros Convexos: Un poliedr o convexo si todo él está en el m ism o sem i espacio r especto al plano de cada una de sus car as, es decir, al pr olongar cualquier a de sus car as, éstas no cor tan al poliedr o, una r ecta sólo pueda cor tar a su super ficie en dos puntos.
Un poliedr o ir r egular está lim itado por car as políedr icas, que pueden pr esentar difer entes for m as. En este tipo de poliedr os, el núm er o de car as no pr esenta lím ites com o ocur r e con los poliedr os r egular es. Los poliedr os ir r egular es m ás com unes son los pr ism as, las pir ám ides y todas sus var iedades
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Basilica of lisieux Francia
Basilica de Lisieux - Francia
LOSSÓLIDOS PLATÓNICOS
Denominados cuerpos platónicos,cuerpos cósmicos, sólidos: Los sólidos platónicos o regularessonpoliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son iguales. Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón, a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como pitagóricos,sólidos perfectos,poliedros de Platóno, en base a propiedades geométricas,poliedros regulares convexos. Tomado de wikipedia.org 1
PROPIEDADES REGULARIDAD Todas las car as de un sólido platónico son polígonos r egular es iguales. En todos los vér tices de un sólido platónico concur r en el m ism o núm er o de car as y de ar istas. Todas las ar istas de un sólido platónico tienen la m ism a longitud. Todos los ángulos diedr os que for m an las car as de un sólido platónico entr e sí son iguales. Todos sus vér tices son convexos a los del icosaedr o.
SI M ETERÍ A Los sólidos platónicos se car acter izan por tener todos los tipos de sim etr ías que existen en el espacio, veam os: Air Force Academy - USA
Monte Everest - Himalaya
Respecto a un punto: La sim etr ía centr al r especto a un punto es un caso par ticular de r otación (gir o) cuando éste es de 180º. Par a cada uno de los 5 sólidos existe un punto, que es siem pr e el punto centr al del poliedr o que es el centr o de sim etr ía en la sim etr ía puntual Respecto a un eje: Sim etr ía axial, todos los sólidos tienen adem ás var ios ejes de sim etr ía. Par a cada poliedr o la cantidad var ía; per o en todos ellos el eje de sim etr ía pasa por el centr o de sim etr ía. Respecto a l pla no: Sim etr ía de plano, de nuevo todos los sólidos platónicos pr esentan sim etr ías r especto a planos, en las que los planos de sim etr ía contienen al centr o de sim etr ía, y a com binaciones de los ejes de sim etr ía.
Una esfer a inscr ita, tangente a todas sus car as en su centr o. Una segunda esfer a tangente a todas las ar istas en su centr o.
DUALI DAD Es el poliedr o cuyos vér tices se cor r esponden con el centr o de las car as del otr o poliedr o dado. El poliedr o dual del dual es sim ilar al or iginal. El dual de un poliedr o con vér tices equivalentes es uno con car as equivalentes, y el de uno con ar istas equivalentes es otr o con ar istas equivalentes. El tetr aedr o es dual a sí m ism o, el cubo y el octaedr o son duales entr e sí y el dodecaedr o con el icosaedr o.
Com o consecuencia geom étr ica de lo anter ior, se pueden tr azar en todo sólido platónico tr es esfer as par ticular es, todas ellas centr adas en el centr o de sim etr ía del poliedr o: 1
SÓLIDOSYEL ARTE Antoni Gaudí (1852-1926)
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Cornet
Ar quitecto español con una habilidad natur al par a la geom etr ía y el volum en cr ea un estilo pr opio a par tir de las for m as de la natur aleza utilizando par a ello super ficies r egladas com o el par aboloide hiper bólico, el hiper boloide, el helicoide y el conoide y for m as poliédr icas. Utilizó dodecaedr os en la cr ipta de la sagr ada fam ilia y en la catedr al de Palm a de M allor ca. En los cuatr o pináculos de los cam panar ios de la fachada de la Glor ia están pr esentes dodecaedr os r egular es
Basilica La sagrada Familia - Gaudí
M aurits Cornelis Escher (1698-1792) Ar tista holandés, se destaca por sus gr abados xilogr áficos y litogr áficos. Su obr a se basa en exper im entar a tr avés de var ios m étodos la r epr esentación en dibujos bidim ensionales y tr idim ensionales. Usa poliedr os com o pr otagonistas en las obr as Gr avitación, Or den Cascada- Escher y caos, Planetoide, Salvador Dalí (1904-1989) Estr ellas, Cr istal . Pintor, escultor, gr abador, escenógr afo y escr itor español. A la hor a de cr ear sus obr as Dalí se apoyaba en la r azón áur ea, y esto se hace visible en su obr a ?la últim a cena? en ésta usa la pr opor ción áur ea en la r azón de sus dim ensiones y en las dim ensiones que for m a la línea r ecta de la m esa y usa el dodecaedr o com o escenar io que envuelve la escena, son doce car as y doce apóstoles. Su r elación con el núm er o áur eo está en que al unir los centr os de las car as del dodecaedr o entr e sí, se for m an 3 r ectángulos cuyas pr opor ciones son las del núm er o áur eo. Crucifixión - Dalí
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M ETODOLOGÍ A SAM R
Catedral Palma de Mallorca
RECURSOS Los r ecur sos TIC usados par a el desar r ollo de la pr esente unidad son las siguientes: Platafor m a educativa del centr o Platafor m a par a cr ear W ix.com Aplicación par a Goconqr.com
cr ear
sitios w eb gr atuitos: m apas
m entales:
Pr ogr am a par a cr ear vídeo tutor iales y editar videos: Debut vídeo captur e y M ovie M aker, Vim eo, Youtube Pr ogr am a: Sketch Up, Debut vídeo captur e Pr ogr am a de m odelación 3D: Sketch Up M edios: Pizar r a digital, Tablet, Pc por tátil
Paso2. Los estudiantes pr ofundizan en los tem as, con base en la explicación y fuentes sum inistr adas por el docente y constr uyen un m apa m ental con su nuevo m ater ial. Desar r ollo Pr ocedim ental TRANSFORM ACI ÓN M odificación Paso 3. Docente en el aula, hace uso de la pizar r a digital y del pr ogr am a de diseño gr áfico y m odelado 3D Sketch Up par a la constr ucción de los sólidos platónicos. Los estudiantes en el aula constr uyen dichos sólidos de m aner a vir tual y física par a establecer difer encias entr e un pr oceso y otr o. Redefinición
ACTIVIDADES Desar r ollo Conceptual
Paso 4. Los estudiantes cr ean una r éplica de un m odelo ar quitectónico que tenga sólidos platónicos en su estr uctur a, y la exponen a sus
M EJORA Sustitución: Paso 1. El docente r ealiza una explicación de los nuevos tem as: Poliedr os, Sólidos platónicos y sus aplicaciones en el ar te y la ar quitectur a a tr avés de un vídeo y una página w eb infor m ativa, dónde adem ás pr ovee algunas fuentes de r efer encia. Am pliación (enr iquecim iento) Modelo Sketch Up Catedral Palma de Mallorca 1
EVIDENCIAS Wix http:/ / monikrodriguez005.wix.com/ apuntesmoni
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Equipo Editor Elena Cubilla Ada Freitas M贸nica Rodr铆guez 1