.3اتصال دالة. fمتصلة في النقطة . lim f (x ) = f (a ) ⇔ a x →a
fمتصلة على اليمين في النقطة . lim f (x ) = f (a ) ⇔ a
fمتصلة على اليسار في النقطة . lim f (x ) = f (a) ⇔ a
الدوال العددية .1
مجموعة التعريف. مجموعة تعريف دالة فيھا كسر.
x →a + −
مجموعة تعريف دالة فيھا جذر.
.4
fقابلة لالشتقاق على المجموعة ⇔ A fتقبل االشتقاق في جميع نقط . A جميع الدوال ،باستثناء الدوال المجزئة و الدوال الالجذرية ،قابلة لالشتقاق على مجموعة تعريفھا.
x →a
}D u = {x ∈ : /u ≥ 0 مجموعة تعريف دالة فيھا اللوغاريتم.
fتناقصية
([a, b ]) = f (a ) , f (b )
}D ln(u ) = {x ∈ : /u > 0
([a, b ]) = f (b ) , f (a )
f
f ([a , b [ ) = f ( a ) , lim f ( x ) − x →b
مجموعة تعريف دالة فيھا . tan
π D tan(u ) = x ∈ : /u ≠ + k π 2
lim f ( x ) , f (b ) + x →a
( ]a,b ]) =
مجموعة تعريف باقي الدوال ،الغير مجزئة ،ھي: حساب النھايات. حساب النھايةlim f (x ) :
.8الخواص الجبرية للدوال اللوغريتمية و الدوال األسية : الدالة exp الدالة ln
صورة مجال بدالة متصلة. fتزايدية
f
f ( ]a,b[ ) = lim f ( x ) , lim f ( x ) + − x →b x →a
ln1 = 0
f
f ([a , b [ ) = lim f ( x ) , f ( a ) − x →b lim f ( x ) + x →a
( ]a,b ]) = f (b ) ,
x →a
ثم نناقش حسب الحاالت التالية:
f
] [a,bو f ( a ) × f (b ) < 0فإن
المعادلة f ( x ) = 0تقبل حال في المجال. [a,b ] :
إذا كانت fمتصلة و رتيبة قطعا على المجال ] [a,b f ( a ) × f (b ) < 0فإن المعادلة f ( x ) = 0تقبل حال وحيدا في المجال. [a,b ] : و
b
0 0
انتھى األمرر
نعمل البسط و المقام ثم نختزل ب:
b 0
x −a
أو نلجأ إلى بعض النھايات المعروفة
ندرس إشارة المقام
.6الدالة العكسية: إذا كانت fمتصلة و رتيبة قطعا على مجال Iفإنھا تقبل
حساب النھايةlim f ( x ) :
lim fنعوض xب ∞ ∞→ x
.7 bأو ∞
انتھى األمرر
0 ∞ أو ∞× 0أو أو ∞ 0
)∞( ±∞) −( ±
نعمل البسط و المقام ثم نختزل بأكبر درجة ل x أو نلجأ إلى بعض النھايات المعروفة
ندرس إشارة المقام
)
( ∀x ∈ J )( ∀y ∈ I ) : y
(
) (Cfو Cf −1متماثلين بالنسبة للمحور . y = x
r . ∀r ∈ : ln a = r ln a ⇔ ln a = ln b a=b
. ⇔ ln a < ln b a<b . ln x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
) (
∀x ∈ ℜ : ln e x = x
=0
و العدد αيسمى العدد المشتق ل fفي aو نرمز له بf ′ ( a ) :
= ea × eb ex ey 1 ex
x− y
=
.e
= e− x b
= eab
) (
a =b
⇔
b
e =e
a<b
⇔
ea < eb
x
. ∀x ∈ℜ : e > 0
∀x ∈ ]0, +∞[ : eln x = x
. ea a
نھايات الدالة exp
∞lim e x = +
∞x →+
)f (x ) − f (a fتقبل االشتقاق في النقطة = α ∈ ⇔ a . lim x −a x →a ) f ( x ) − f (a fتقبل االشتقاق في النقطة = α ∈ ⇔ a + x −a
.9النھايات األساسية: نھايات الدالة ln ∞lim ln x = +
ل fو f −1نفس الرتابة على كل من Iو Jعلى التوالي. االشتقاق
ثم نناقش حسب الحاالت التالية:
b 0
) = f −1 ( x ) ⇔ x = f ( y
a +b
.e
. ∀x ∈ ℜ, ∀y ∈ ]0, +∞[ : y = e x ⇔ x = ln y
إذا كانت fتقبل دالة عكسية f −1فإن:
∞→ x
لحساب ) ( x
e 0 = 1و e1 = e ليكن aو bمن ℜلدينا :
a . ln = ln a − ln b b 1 ln = − ln a a
دالة عكسية f −1معرفة على مجال Jحيث. J = f ( I ) :
من
[∞]0, +
لدينا . ln ( ab ) = ln a + ln b
x →a
لحساب ) lim f (xنعوض xب a
ln e = 1
و
ليكن aو b
f ( ]a,b[ ) = lim f ( x ) , lim f ( x ) − + x →a x →b
.5مبرھنة القيم الوسيطية. إذا كانت fمتصلة على المجال
x →a −
العدد αيسمى العدد المشتق ل fفي aو نرمز له بf g′ ( a ) :
fمتصلة على المجموعة f ⇔ Aمتصلة في جميع نقط . A جميع الدوال ،الغير مجزئة ،متصلة على مجموعة تعريفھا.
}D u = {x ∈ : /v ≠ 0 v
.2
) f (x ) − f (a fتقبل االشتقاق في النقطة = α ∈ ⇔ a − x −a
lim
lim
x →a +
و العدد αيسمى العدد المشتق ل fفي aو نرمز له بf d′ ( a ) :
ln x n
lim
∞x→+
∞x →+
∀n ∈ * :
∞= +
x ∞lim ln x = − +
x→+∞ xn x
lim e = 0
x→0
∀n ∈ * : lim xn ln x = 0− x→0+ ln x = lim =1 x →1 x − 1
ex
∀n ∈ : lim
) ln (1 + x x
lim
x→0
∞x→−
∀n ∈ : lim xn e x = 0 ∞x→−
x
e −1 lim =1 x →0 x
.11الفروع االنھائية :
.10الدوال المشتقة : .aمشتقات الدوال االعتيادية:
f′
f
0 a −1 x2
k 1 x
nx n−1
)xn (n ≥ 1
ax
1
x
2 x
) a cos ( ax + b
) sin ( ax + b
) −a sin ( ax + b
) cos ( ax + b
1 + tan2 x ex
tan x
1 x
.12دراسة الوضع النسبي لمستقيم و تمثيل مبياني لدالة : لدراسة الوضع النسبي للمستقيم ) ∆ ( ذا المعادلة:
ex ln x
y = ax + bو ) (Cfندرس إشارة الفرق ) . f ( x ) − (ax + b
.bالعمليات على الدوال المشتقة :
f′ ku′ u′ + v′ u′v + uv′ u′ − 2 u u′v − uv′ v2
ru′u r −1 u′ 2 u
f
ur u
u′ cos u −u′ sin u
sin u cos u
u′ u
) ln ( u
u′eu
eu
إذا كان :
f ( x ) − ( ax + b ) > 0
إذا كان :
f ( x ) − ( ax + b ) < 0
فإن (Cf ) :فوق ) ∆ ( فإن (Cf ) :تحت ) ∆ (
.13دراسة تقاطع تمثيل مبياني لدالة و محور األفاصيل: لتحديد نقط تقاطع ) (Cfو ) (Oxنحل المعادلة . f ( x ) = 0
ku u+v u×v
1 u u v
.14محور تماثل و مركز تماثل ) : (Cf حالة خاصة: إذا كان: lim f ( x ) − ( ax + b ) = 0
النقطة ) A ( a, bمركز تماثل ل ) (Cfإذا وفقط إذا كان لكل y = ax + bمقارب مائل جوار ∞
∞→ x
x ∈ Dfلدينا 2a − x ∈ Dfو ) . f ( 2a − x ) = 2b − f ( x المستقيم ذا المعادلة y = aمحور تماثل ل ) (Cfإذا وفقط إذا كان لكل x ∈ Dfلدينا 2a − x ∈ Df :و ) . f ( 2a − x ) = f ( x
إنشاء التمثيل المبياني لدالة قبل البدأ في اإلنشاء يجب استحضار ما يلي: • جدول تغيرات الدالة. • نتائج دراسة الفروع الالنھائية. • نتائج دراسة الوضع النسبي للتمثيل المبياني مع المقاربات • نتائج دراسة التقعر و التحدب و نقط االنعطاف )إن تمت التطرق لھا في األسئلة السابقة(.
• نتائج دراسة تقاطع التمثيل المبياني مع محور األفاصيل. • نتائج دراسة االشتقاق في نقطة. ثم نبدأ اإلنشاء حسب المراحل التالية: .1ننشئ المقاربات إن وجدت. .2ننشئ النقط المھمة و ھي: • النقط التي انعدمت فيھا المشتقة )و تتوفر على مماس موازي لمحور األفاصيل(. • النقط التي تمت دراسة االشتقاق فيھا مع مماساتھا )إن تم ذلك(. • نقط االنعطاف )إن وجدت(. • نقط تقاطع التمثيل المبياني مع المحورين. .3و في األخير نمرر التمثيل المبياني للدالة مع استحضار رتابة الدالة حسب كل مجال و الوضع النسبي له مع المقاربات.
الطريقة الثانية :إذا تمت دراسة تغيرات الدالة ) g ( x
يمكن في بعض الحاالت تحديد إشارتھا إنطالقا من جدول تغيراتھا. إذا كان ل gقيمة دنوية mموجبة فإن : g ( x ) ≥ 0
إذا كان ل gقيمة قصوية Mسالبة فإن : g ( x ) ≤ 0
إذا كانت ) (U nم.ح أساسھا rفإن : • حدھا العام يكتب : . U n = nr + U 0 • المجموع: Sn = U p + U1 + ... + U k
أساسھا qفإن :
2
و
إذا وجد عدد aحيث g ( a ) = 0يمكن استنتاج جدول الحالة األولى:
• حدھا العام يكتب : U n = U0 qn • المجموع: S n = U p + U1 + ... + U k
=
1 − q k − p +1 =Up 1− q
تأطير متتالية. إذا كان f ( I ) ⊂ I :و U 0 ∈ Iفإن∀n ∈ : U n ∈ I :
.3
إشارة ) g ( xحسب الحالتين التاليتين:
⇔ U n +1 = qU n إذا كانت ) (U nم.ھـ
) ( k − p + 1) (U p + U k
الطريقة األولى :إذا كانت الدالة ) g ( xجذاء أو خارج
بعض العوامل التالية ax + b :و ax + bx + c a ln x + bو ، ae x + bنستعمل جداول اإلشارة التالية: جدول إشارة الدالة التآلفية:
.2
⇔ U n +1 − U n = r
دراسة إشارة دالة لدراسة إشارة الدالة ) g ( xيمكن اتباع إحدى الطرق التالية: 2
المتتاليات العددية المتتالية الحسابية و المتتالية الھندسية. المتتالية الھندسية المتتالية الحسابية ) (U nم.ھندسية ) (U nم.حسابية
.4دراسة رتابة متتالية. ندرس إشارة الصيغةU n +1 − U n :
إذا كان U n +1 − U n > 0 :فإن (U n ) : إذا كان U n +1 − U n < 0 :فإن (U n ) : في حالة ما تمت دراسة إشارة الصيغة f ( x ) − x :نتبع
جدول إشارة ثالثية الحدود: الحالة الثانية:
الخطوات التالية: إذاكان f ( x ) − x ≥ 0 :فإنUn+1 −Un = f (Un ) −Un ≥ 0 :
إذاكان f ( x ) − x ≤ 0 :فإنUn+1 −Un = f (Un ) −Un ≤ 0 : .5حساب نھاية متتالية. الطريقة األولى :إذا كانت المتتالية معرفة بحدھا العام أي ) U n = f ( nفإن ) . lim U n = lim f ( n
جدول إشارة الدالة : x a ln x + b
∞n→+
_b جدول إشارة الدالة x ae x + bحيث > 0 a
:
الطريقة الثالثة : تعتمد ھذه الطريقة على حل إحدى المتراجحتين : g ( x ) ≥ 0أو g ( x ) ≤ 0
الطريقة الرابعة :و ھي الطريقة المبيانية و التي تعتمد على ) (Cgلتحديد إشارة ) . g ( xحيث أن :
g ( x ) ≥ 0حينما يكون ) (Cgفوق محور األفاصيل. g ( x ) ≤ 0حينما يكون ) (Cgتحت محور األفاصيل.
الطريقة الثانية :إذا كانت المتتالية ترجعية )أي تكتب على الشكل ) ( U n +1 = f (U nفإننا نلجأ إلحدى
الطريقتين التاليتين) :حسب األسئلة التمھيدية( توظيف خاصيات النھايات و الترتيب )طريقة الشطابة نموذجا(. إذا كانت fمتصلة على المجال Iو f ( I ) ⊂ Iو U 0 ∈ Iو ) (U nمتقاربة فإن lim U nھي حل للمعادلة f ( x ) = xعلى المجال . I
.1
حساب الكامل جدول الدوال األصلية:
0 a −1 x2
ax
1 x
xn+1 n +1
n
2 x
ex 1 ax e a
eax 1 x
العمليات على الدوال األصلية:
U +V
f ku u +v u′ − 2 u
u n+1 n +1
u′un
F kU
1 u
u′ 2 u u′ u
u
) ln ( u
u′eu
eu
.3الخاصية األساسية لحساب التكامل: لتكن Fدالة أصلية للدالة fعلى المجال ] [a , bلدينا : b
) . ∫ f ( x )dx = F (b ) − F ( a a
P ( ∅ ) = 0و . P ( Ω) = 1
.5خطية التكامل: b
b
b
a
a
) (
) . P A = 1− P (A
. ∫ (α f ( x ) + β g ( x ) )dx = α ∫ f ( x )dx + β ∫ g ( x )dx a
.6المكاملة باألجزاء: b
b
b
. ∫ u′ ( x ) v ( x )dx = u ( x ) v ( x ) a − ∫ u ( x ) v′ ( x )dx a
.2
a
.7التكامل و الترتيب :إذا كان لدينا f ≤ g :على المجال b
b
a
a
] [a , bفإن . ∫ f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx : .8حساب المساحة :مساحة الجزء المحدد ب C fو محور األفاصيل و المستقيمين x = aو x = bتكتب على b
الشكل. Α = ∫ f ( x ) dx :
التعـــــــــــداد للتعامل مع أي وضعية تعدادية يمكن إتباع الخطوات التالية: تنظيم المعلومات .يمكن تنظيم معطيات الوضعية على شكل جدول أو أي شكل آخر يتيح سھولة استقراء المعلومات. فھم الوضعية بدقة .لفھم الوضعية التعدادية المطروحة يجب طرح األسئلة التالية: ما ھو عدد العناصر المسحوبة؟ ھل الترتيب مھم؟ ھل عناصر السحبة تتكرر؟ لإلجابة عن ھذه األسئلة يمكن إرجاع الوضعية المدروسة إلى نموذج السحب من الصندوق حسب الجدول التالي: السحب تآنيا )معامل الترتيب غير مھم(
السحب بالتتابع )معامل الترتيب مھم(
!n = Cnp ! ) p !( n − p
.3المتغير العشوائي: المتغير العشوائي Xھو عبارة عن دالة تربط كل سحبة بعدد . xi
بدون إحالل الترتيبات بدون تكرار !n = Anp !) ( n − p
الترتيبات بتكرار p
حساب االحتماالت .1خاصيات االحتماالت: CardA = )P ( A Card Ω ) . P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∩ B
نرمز ب ) X ( Ωلمجموعة قيم المتغير العشوائي X
نعبر عن أحداث المتغير العشوائي Xبمعادالت و متراجحات مثل " " X = 1و "" X ≤ 1 قانون احتمال المتغير العشوائي Xھو جميع االحتماالت ) P ( X = xiللقيم التي يأخذھا . X نعتبر قانون احتمال المتغير العشوائي Xالتالي:
1
xk
iii
x2
x1
xi
pk
iii
p2
p1
) P ( X = xi
األمل الرياضي للمتغير العشوائي Xھو العدد: E ( X ) = p1 x1 + p2 x2 + ⋅⋅⋅ + pk xk مغايرة المتغير العشوائي Xھو العدد: 2
(
)
) ) V ( X ) = p1 x12 + p2 x22 + ⋅⋅⋅ + pk xk 2 − ( E ( X
االنحراف الطرازي للمتغير العشوائي Xھو العدد:
بإحالل
التاليفات
Aو Bمستقلين ⇔ ) P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B
االحتمال الشرطي: احتمال و قوع الحدث Bعلما أن الحدث Aقد وقع ھو: ) P ( A ∩ B ) Card ( A ∩ B = )PA ( B ) = P ( B A = )P ( A )Card ( A
a
ex
ln x .2
x
1
x
b
a
.4عالقة شال. ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx :
f
F k
c
b
c
a
. ∀A ⊂ Ω, 0 ≤ P ( A ) ≤ 1
n
) σ (X ) = E(X .4القانون الحداني: ليكن Aحدث في تجربة عشوائية .عند تكرار التجربة n فإن احتمال ظھور الحدث k , Aمرة ھو:
n−k
) Cnk pk (1 − p
حيثp = P ( A) : المعادالت التفاضلية .1المعادالت التفاضلية من الدرجة األولى. حلول المعادلة التفاضلية ( E ) : y / = ay + b :يكتب على الشكل :
b a
. y ( x ) = Ke ax −
.2المعادالت التفاضلية من الدرجة الثانية.
لتحديد حلول المعادلة التفاضلية:: حيث a ≠ 0نحل في ℜالمعادلة المميزة: ( C ) : ar 2 + br + c = 0ثم نحدد حلول ) ( Eحسب الحاالت التالية: ليكن ∆ = b 2 − 4acمميز المعادلة ) (Cلدينا: a y′′ + by / + cy = 0
المميز ∆>0 ∆=0
∆<0
( E) :
r2 x
+ K 2e
y ( x ) = K 1e
y ( x ) = ( K 1x + K 2 ) e rx
حيث r1و
r2
حيث rالحل الوحيد ل
.5
األشكال المثلثية الرئيسية.
ش.ج
1
i
1+ i
1 + 3i
3+i
ش.م
][1, 0
π 1, 2
π 2, 4
π 2, 3
π 2, 6
الشكل األسي. ] . eiθ = cos θ + i sin θ = [1, θ π
ei 0 = 1و eiπ = −1و = i
األعداد العقدية .1
الشكل الجبري. يوجد عدد خيالي iحيث i 2 = −1 الكتابة z = a + ib :مع a, b ∈ℜتسمى الشكل الجبري
للعدد العقدي . z z = a + ib ⇔ Re ( z ) = a et Im ( z ) = b
.2
) (a + ib )(α − i β α2 + β2
=
a + ib
مرافق عدد عقدي.
المسافةAB :
z = a + ib ⇔ z + z = 2a et z − z = 2ib z ∈ i ℜ ⇔ Re ( z ) = 0 n
) (
zn = z
a + ib = a 2 + b 2 = a2 + b 2
z + z′ ≤ z + z ′و z × z ′ = z × z ′و .4
الشكل المثلثي لعدد عقدي. الشكل المثلثي. ) z = [ r ,θ ] = r ( cos θ + i sin θ r = a 2 + b 2 a + ib = [ r , θ ] ⇔ a = r cos θ b = r sin θ
] . z = [ r ,θ ] ⇒ arg ( z ) ≡ θ [ 2π
iθ
الزاوية:
)
AB , AC
z z = zn = zو z′ z′
.
تعبيره العقدي لحقھا= a + ib :
zM
zB −zA
(
)
z B − z A = k (z D − z C
z −zA arg C zB −zA
Aو Bو Cنقط مستقيمية
zC − z A ∈ℜ zB −zA
ABCق.ز في A
zC − z A ∈ iℜ zB − z A
z ×z = z n
eو = −i
2
i
العالقة المتجھيةAB = k CD :
2
i
π
−i
() (
z = a + ib ⇔ z = a − ib
z
التعبيره الھندسي MM ′ = u
z′−z =a
ΩM ′ = k ΩM
التحاكي hذا المركز ) Ω (ωو
) z′ − zΩ = k ( z − zΩ
النسبة k
eiθ − e− iθ eiθ + e−iθ = cos θو صيغتي أولر: = sin θ 2i 2
z ∈ i ℜ ⇔ Re ( z ) = 0
z
.3
= r n × einθ
n
) ) . ( re θ
التعبيره العقدي
.e
re r ′ ′ ) reiθ × r ′eiθ ′ = r × r ′ × ei (θ +θو ) iθ ′ = × ei (θ −θو r′ r ′e
.6التمثيل الھندسي: المفھوم الھندسي النقطة ) M ( a, b
= و z + z ′ = z + z ′و z ×z ′ = z ×z ′و z ′ z′ معيار عدد عقدي.
التالية: التحويل
المتجھة ) u ( a
1 reiθ = r × e−iθو ) −reiθ = r × ei (π +θو . iθ = × e−iθ r re
α +iβ
z ∈ℜ ⇔ Im ( z ) = 0و
2
.7الكتابة العقدية لبعض التحويالت الھندسية. نعتبر النقطة ) M ( zو ) M ′ ( z ′صورتھا بتحويل من التحويالت
اإلزاحة Tذات
1
a + ib = 0 ⇔ a = 0 et b = 0 a + ib = a′ + ib ′ ⇔ a = a′ et b = b ′
z ∈ℜ ⇔ Im ( z ) = 0و
1
] [r ,θ
.
] ∀k ∈ℜ+ : k [ r ,θ ] = [ kr , θو ] ∀k ∈ℜ− : k [ r ,θ ] = [ −kr , π + θ
حلي ) (C
) (C ) y ( x ) = K 1 cos(α x ) + K 2 sin( β xحيث r = α + i β و r = α − i βالحلين المترافقين ل ) (C
] . [ r ,θ
1 ] [ r , θ ] = [ r , −θو ] − [ r , θ ] = [ r , π + θو = , −θ r
حلول ) ( E r1x
العمليات على الشكل المثلثي. ] [ r ,θ ] × [ r ′,θ ′] = [ r × r ′,θ + θ ′و = r n , nθ [ r , θ ] = r , θ − θ ′ . [ r ′, θ ′] r ′
n
ABCم.س في A ABCم.س و ق.ز في A ABCمتساوي األضالع
zC − z A =1 zB − z A
zC − z A π = 1, ± z B − z A 2 zC − z A π = 1, ± z B − z A 3
الدوران ذا المركز ) Ω (ωو
ΩM ′ = ΩM ] ΩM ′, ΩM = α [ 2π
)
(
) z′ − zΩ = eiα ( z − zΩ
الزاوية α
.8المعادالت من الدرجة الثانية: لحل في المعادلة ، ( E ) : az + bz + c = 0 :حيث a,b ,c ∈ℜ 2
،نتبع الخطوات التالية : نحسب مميز المعادلة . ∆ = b2 − 4ac : ثم نناقش حسب الجدول التالي: حلول ) ( E المميز ) ( Eتقبل حلين حقيقيين ھما: ∆>0
∆=0 ∆<0
∆ −b − ∆ −b + = z1و 2a 2a
= z2
−b ) ( Eتقبل حل حقيقي وحيد ھو: 2a ) ( Eتقبل حلين عقديين مترافقين ھما: =z
∆−b − i − ∆−b + i − = z1و 2a 2a
= z2
مجموع الجذرين و جذائھما ھما: −b a
= z1 + z2
و
c a
= z1 × z2
لتكن Pحدودية و z 0عدد عقدي .إذا كان P ( z 0 ) = 0فإن ) P ( zتقبل القسمة األقليدية على . z − z 0و لدينا: ) P ( z ) = ( z − z 0 )Q ( z
الھندسة الفضائية .1المستقيم في الفضاء. تمثيل بارمتري للمستقيم ) ( Dالموجه ب ) u ( a , b , cو المار من ) A ( x 0 , y 0 , z 0يكتب على الشكل :
مركزھا Ωمركز الفلكة و شعاعھا Rالفلكة.
.7مسافة نقطة عن مستوى :نعتبر المستوى ( P ) : ax + by + cz + d = 0و النقطة ) A ( x 0 , y 0 , z 0لدينا : ax 0 + by 0 + cz 0 + d
= )) . d ( A ,( P
a2 + b 2 + c 2
.8مسافة نقطة عن مستقيم .لدينا :
AM ∧u = )) . d ( M , ( D u
.9معادلة فلكة. معادلة الفلكة التي مركزھا ) Ω ( a ,b ,cو شعاعھا Rتكتب
.11الوضع النسبي لمستوى و فلكة. لتحديد الوضع النسبي بين المستقيم ) ( Dو الفلكة ) S ( Ω, Rنحسب أوال المسافة d = d ( Ω, ( D ) ) :ثم نقارنھا مع الشعاع R
على الشكل . ( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 = R 2 :
.
إذا كان : d > R :فإن ) ( Dال يقطع ) . ( S
مركز و شعاع الفلكة ذات المعادلة:
x = x 0 + at
) (t ∈ℜ
⇔ ni n′ = 0 . ( P ) / / ( P ′ ) ⇔ n ∧ n′ = 0
)( P ) ⊥ ( P′
إذا كان : d = 0 :فإن ) ( Pيقطع ) ( Sوفق دائرة كبرى ) ( C
x 2 + y 2 + z 2 + α x + β y + δ z + ϕ = 0ھما Ω −α , − β , −δ و
. y = y 0 + bt
2
z = z + ct 0
2
.2معادلة ديكارتية لمستوى.
معادلة للمستوى ) ( Pالمار من ) A ( x 0 , y 0 , z 0و ) n ( a, b , c
منظمية عليه تكتب على الشكل . ax + by + cz + d = 0 : إذا كان معرف بالمعادلة الديكارتية ax + by + cz + d = 0 :فإن
) n ( a, b , cمنظمية عليه. .3الجذاء السلمي في الفضاء:
2
2
2
2
α β δ R = + + −ϕ 2 2 2
.10الوضع النسبي لمستوى و فلكة. لتحديد الوضع النسبي بين المستوى ) ( Pو الفلكة ) S ( Ω, Rنحسب أوال المسافة d = d ( Ω, ( P ) ) :ثم نقارنھا مع الشعاع R
.
إذا كان : d > R :فإن ) ( Pال يقطع ) . ( S
. u iv = u v cos u الجداء السلمي ل uو vھو العدد,v :
) (
إذا كان : d = R :فإن ) ( Dمماس ل ) ( Sفي النقطة.
إذا كان ) u ( a , b , cو ) v ( a ′, b′, c′فإن. u iv = aa′ + bb ′ + cc ′ : . u ⊥ v ⇔ u iv = 0
.4الجداء المتجھي.
. u ∧ v = u v sin(u ) ,v a′ a j+ c′ b
a′ k
b′
b′ a i− c′ c
b c
= .u ∧ v
إذا كان n = u ∧ vفإن n ⊥ uو . n ⊥ v u ⇔ u ∧ v = 0و vمستقيميتين. ⇔ AB ∧ AC = 0النقط Aو Bو Cمستقيمية. نضع . n = AB ∧ ACإذا كانت n ≠ 0فإن النقط Aو Bو Cتكون مستوى ) ( ABCو nمنظمية عليه. 1 مساحة المثلث ABCھي. S = AB ∧ AC : 2 .5الوضع النسبي لمستقيم و مستوى .لتكن uموجھة للمستقيم ) ( Dو nمنظمية على المستوى ) . ( P
( D) ⊥ ( P) ⇔ u ∧ n = 0 . ( D ) // ( P ) ⇔ u in = 0
.6الوضع النسبي لمستويين .لتكن nمنظمية على المستوى ) ( Pو n′منظمية على المستوى ) . ( P′
إذا كان : d = R :فإن ) ( Pمماس ل ) ( Sفي النقطة H
المسقط العمودي ل Ωعلى ) . ( P
إذا كان : d < R :فإن ) ( Dيخترق ) ( Sفي نقطتين.
إذا كان : d < R :فإن ) ( Pيقطع ) ( Sوفق دائرة ) ( Cمركزھا H
المسقط العمودي ل Ωعلى ) ( Pو شعاعھا. r = R2 − d 2 : .12مستوى مماس لفلكة. ) ( Pمماس للفلكة ) . d ( Ω, ( P ) ) = R ⇔ S ( Ω, R A ∈ ( P ) ∩ ( S ) ) ( Pمماس للفلكة ) S ( Ω, Rفي النقطة ⇔ A AΩ ⊥ ( P )
.