Problemas de Derivadas by Miguel Perez

Analysis Derivadas. Problemas

OpenUepc.com 1.1.4.6.1

Ver 01:03/02/2010

NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.6.1 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.4

ANALYSIS

1.1.4.6 .1

DIFERENCIACION

COPYLEFT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 22/01/2010

TABLA DE DERIVADAS Funci贸n

Derivada

Ejemplos

Constante y=k

y'=0

y=8

y'=0

y'=1

y=x

y'=1

Identidad y=x

Funciones potenciales

Funciones exponenciales

Funciones logar铆tmicas

Funciones trigonomĂŠtricas

Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones

COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS Presento a continuación una colección de 20 derivadas resueltas que de saberlas hacer todas, es presumible que estas perfectamente preparado en lo que respecta al cálculo de derivadas. 1.- Calcular la derivada de la función f(x)= x – cos x

f '( x )   x  cos x  '  x ' cos' x  1  ( sin x)  1  sin x

 2 3 ' 1  1 3 2 4 4     f '( x)   x 4  sin x  ln x   4 x3  cos x  ; f '    4    cos     x 2  2  2 2 2 2  3.- Calcular la derivada de la función f ( x )  x ln x x   Al estar definido x>0 ya no tenemos problemas con la definición de la función, pues sólo tendríamos problemas si apareciesen neperianos de números negativos 2.- Calcular la derivada de la función f ( x)  x 4  sin x  ln x

en x=

1 f '( x )   x ln x  '  x 'ln x  x  ln x  '  1  ln x  x    ln x  1  x 4.- Calcular la derivada de la función f ( x)  x 2 sin x f '( x )   x 2 sin x  '   x 2  'sin x  x 2  sin x  '  2 x  sin x  x 2 cos x

x sin x  1 x3  x 'sin x  x  sin x  ' 0  x 3   x sin x  1 x 3

5.- Calcular la derivada de la función f ( x)  '

 x sin x  1  f '( x )     x3   sin x  x cos x  x sin x  1 ...  x3



 sin x  x cos x  x 3  x 4 sin x  x3 x6

x tan x  cos x ln x  x ' tan x  x  tan x  '  cos x  ' ln x   x tan x  cos x  ln x  '

6.- Calcular la derivada de la función f ( x )  '

 x tan x  cos x  f '( x )     ln x  

 tan x  x tan ... 

ln 2 x

x  sin x  ln x   x tan x  cos x 

 ...

1 x

ln 2 x

7.- Calcular la derivada de la función f ( x )  cos x 2 '

f '( x )   cos x 2    sin x 2  2 x   2 x sin x 2

| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 1

 ...

8.- Calcular la derivada de la función f ( x)  ln cos x ' 1 f '( x)   ln cos x     sin x    tan x cos x 9.- Calcular la derivada de la función f ( x)  e x sin x '

f '( x)   3 x cos x   3 x cos x ln 3  x cos x  '  3 x cos x ln 3  cos x  x sin x 

10.- Calcular la derivada de la función f ( x )  ln(ln x ) 1 1 1 ' f '( x)   ln(ln x)     ln x x x ln x 11.- Calcular la derivada de la función f ( x )  sen 2 ( x 2 ) '

f '( x )   sin 2 ( x 2 )   2  sin x 2  cos x 2   2 x 

12.- Calcular la derivada de la función f ( x)  x 3  lg 2 x 2 ' 1  2 1  f '( x )  x 3  lg 2 x 2  3 x  2 lg 2 e  2 x   x  2 x 3  lg 2 x 2 





x 1  13.- Calcular la derivada de la función f ( x )  3    x  '

1

 x  1 2  2 x  1 3 1 x  ( x  1) 2 x  1 3 1 2        f '( x)   3     2      2 2   x   3 x  x 3 x  x 3x  

14.- Calcular la derivada de la función f ( x )  arctan

x x 1

x x 1

2 '   x  1  x   x  1  1 x  1  f '( x)   arctan       x  12  x 2   x  1 2  x  1 2 x  1   x 2        1  x 1 

15.- Calcular la derivada de la función f ( x)  arc sec '

 ln x     x 

 1  2  2 x  x  1 

ln x x

1  ln x x2

ln x   f '( x )   arc sec    2 x  ln x  ln x 2  ln x  ln x    1   1 x  x  x  x 

16.- Calcular la derivada de la función f ( x )  x x Este tipo de derivadas en las que aparecen variables en la base y en el exponente se resuelven tomando previamente logaritmos neperianos en la expresión a derivar, para posteriormente aplicar la Regla de la Cadena de la siguiente forma | COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 2

f ( x )  x x  ln f ( x )  x ln x   ln f ( x )  '   x ln x  ' 

1 1 f '( x )  1ln x  x  f '( x )  x x  ln x  1 f ( x) x

17.- Calcular la derivada de la función f ( x )  x l n x 1 2 ln x  2 ln x  f ( x)  x ln x  ln f ( x)  ln x  ln x  ln 2 x  f '( x)   f '( x )  x ln x   f ( x) x  x  18.- Calcular la derivada de la función f ( x )  x tan x 1 1 1 tan x   ln x f ( x)  x tan x  ln f ( x)  tan x ln x  f '( x )  ln x  tan x  f '( x)  x tan x    2 2 f ( x) cos x x x   cos x

1 1 x 19.- Calcular la derivada de la función f ( x )  ln 2 1 x f '( x) 

1 1 11  x   1  x  1 1  x  2  x  x 1 1    2 2 2 1 x 2 1  x 1  x  1  x 1  x  1  x 2 1  x  1 x

20.- Calcular la derivada de la función f ( x )  ln x  x 2  1

f '( x) 

1 x  x2 1

1

2x 2 x2  1



x2 1  x

x  x2 1

x2 1



1 x2 1

Ejercicios Propuestos Calcular la derivada de la función f ( x )  ln x  x 2  1

1 1 x Calcular la derivada de la función f ( x )  ln 2 1 x

| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 3

BOLETÍN DE TRABAJO nº 1 Calcula las derivadas de las siguientes funciones 1. 2.

f ( x) 3x 5  2 x 4  5 x 3  3x  1 f ( x ) (2 x 3 )(4 x 2 )

3x 2 3. f ( x) 3 2x 4. f ( x ) (2 x 3 )(2 x ) x 1 5. f ( x ) x 1 lg x 6. f ( x) 2 ln x cos x 7. f ( x) senx 3x 8. f ( x) 3 x 1 9. f ( x) 3 x 1 10. f ( x) ln x

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 1 4

BOLETÍN DE TRABAJO nº 2 Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. 2.

f ( x ) x

f ( x) x 2

x 2 x3 4. f ( x) 2 x 3  3 x 2 1 5. f ( x) 2 x 1 6. f ( x ) senx  cos x senx  cos x 7. f ( x ) senx  cos x 1  ln x 8. f ( x ) 1  ln x 1 x2 9. f ( x ) 1  x 2 x  2x 10. f ( x) 1 2x 3.

f ( x)

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 2 5

BOLETÍN DE TRABAJO nº 3 Calcula las derivadas de las siguientes funciones e 1 ln e f ( x ) xe x  x ln x

f ( x )

2. 3.

f ( x ) e x  ln x

4. 5. 6. 7. 8.

ex ln x 1 ex f ( x ) 1  ln x f ( x) (1  ln x )( x  e x ) f ( x ) x e f ( x ) x e  e x f ( x)

1 ex 1 ex ln x  e x 10. f ( x) ln x  e x 9.

f ( x )

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 3 6

BOLETÍN DE TRABAJO nº 4 Calcula las derivadas de las siguientes funciones

f ( x ) x 3  3 x

f ( x)

3x lg 3 x

3 x  lg 3 x 3 x  lg 3 x 4. f ( x) senx  tgx senx 5. f ( x) tgx x  senx 6. f ( x) x  cos x cos x  senx 7. f ( x ) tgx  cos x cos x  senx 8. f ( x) tgx  cos x cos x  1 9. f ( x ) tgx  x x  senx 10. f ( x) x  cos x 3.

f ( x )

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 4 7

BOLETÍN DE TRABAJO nº 5 Calcula las derivadas de las siguientes funciones

f ( x) x 3  3 x  3 x

f ( x)

4. 5. 6. 7.

 x 3  x

lg 3 x 3x ln x f ( x) 3 3 x3  3x f ( x ) lg 3 x 3 x

1  x3 1  3x 1  ln x f ( x ) 1  lg 3 x f ( x )



f ( x ) x 3  3 x

f ( x ) 3





x  ln x x  lg 3 x

10. f ( x) 3 3 x

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 5 8

BOLETÍN DE TRABAJO nº 6 Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. 2. 3. 4. 5. 6.

f ( x ) 3x 5 f ( x) x 15  x 1 f ( x) 2 x x3 f ( x) 5 x x 1 f ( x ) 5 x

f ( x ) 5 x 4

f ( x ) 4 x 5 1 8. f ( x ) 4 x5 1 9. f ( x ) 5 x4 x 10. f ( x ) x 7.

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 6 9

BOLETÍN DE TRABAJO nº 7 Calcula las derivadas de las siguientes funciones

f ( x ) x x

f ( x ) x 5 x

f ( x )

f ( x ) x 3 3 x 2

f ( x )

10. f ( x )

x 5

x x5

x 1

x3 x x x3 x x3 3 x2 x3 4

x3 4 x5 x5 5 x4

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 7 10

BOLETÍN DE TRABAJO nº 8 Calcula las derivadas de las siguientes funciones

f ( x) 3 x 5  5 x 3 

f ( x )

f ( x) 3

f ( x)

f ( x )

10. f ( x )

 x  x  3

1 x4

x5 5

x5  5 x3

x5  5 x3

1  3 x5 1  5 x3 5

x3 1 x4 1

x3 1

x5 x4

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 8 11

BOLETÍN DE TRABAJO nº 9 Calcula las derivadas de las siguientes funciones

f ( x) 3

 1 f ( x) 3  5 3  x

f ( x ) 3

x

f ( x) 5

f ( x)

   

1 x 1 x

f ( x ) 3

f ( x) 3 e

f ( x) e

f ( x) 3 5 x 3

10. f ( x) 5

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 9 12

BOLETÍN DE TRABAJO nº 10 Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. 2.

f ( x ) ln 3 x f ( x) lg 3 3 x

f ( x ) lg 3 x 3

f ( x) lg 3 3 x

f ( x) 3 lg3 x

f ( x ) 3

f ( x) lg 3 3 3 x

f ( x ) 3lg3

f ( x) 3 lg 3 3 x

10. f ( x) 3 ln x 3

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 10 13

BOLETÍN DE TRABAJO nº 11 Calcula las derivadas de las siguientes funciones 1.

f ( x) ln x  e x  3 x 2

f ( x ) ln x   e x ln x f ( x) x e ln(  x) f ( x) 3 x2 x e  e x f ( x) ln x 3 x 2

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.







1 ex 1 ex 1  ln x f ( x ) 1  ln x 2  3x  3 x 2 f ( x ) ln x f ( x )

 

f ( x ) 3

1  ln x 1  ln x

 

10. f ( x) 3 e x

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 11 14

BOLETÍN DE TRABAJO nº 12 Calcula las derivadas de las siguientes funciones



f ( x) 3 ln e x

f ( x ) 3 e ln x

f ( x) ln 3 x 2

f ( x) ln e

f ( x) ln 3 e x

f ( x ) 3

7. 8. 9.



ln e x ex 1 x f ( x) 3 x 3

f ( x) e e f ( x ) e ln x

10. f ( x) e ln

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 12 15

BOLETÍN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones)

Deriva: 1 x2 1. y  arcsen  2  x

  

  2. y  e  x · sen   log x  4   2 3. y    x

tg x

 2 5 3 x   4. y  ln   cos x 

5. y 

tg 2 x 3 e sen x

6. y  3 x · arccos x   7. y  10 cos  7 x   2 



8. y  ln 2 2 3 9. y 



1 x e  ex x

10. y  arctg 1  x

| BOLETÍN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones) 16

EJERCICIOS VARIOS Fuente Ana Fraga Vila

1) Deriva las siguientes funciones:

sen x

y = ln (3x2  5x)

y = e2x · cos x

y = cos3 x · cos x2

 1+ x  y = ln   1  x 

y = arcsen x

y = ( tg x ) x

y  sen 3 x · sen x 3

 1  2x  y = cos    1  2x 

x y= 3

y = x2 · e3x

y = ln (sen 2 x)

y = xcos x

y = tg

9x 2  3 x3

sen x x

y = xsen x

y = ex · sen3 x  9x 2  3   y  ln  3 x  

y = xsen x

y = ln (ex + cos x)

y  (3 x 2 ) tg x

y = log ( cos x + 1  3 x 2 )

y = L sen (7 x  x 2 ) 3

 1  2x  y = cos    1  2x 

 y = tg3   x

y = arctg (1  x 2 )

x + -x y = e x e- x e -e

y = cos (sen x 3 )

y = x3 x

y = sen 2 x  ( x 2  1) 3

y = arctg 6 x 3

 1  y = ln  + tg x   cos x 

y = e 2  sen 3 ( x 2 )

y

x2  3 5

35 x 2

x 1  4x

| EJERCICIOS VARIOS 17

y = arctg x

y = ln

 x

2 x + 2 2 ( x  1) x 4

y  (e x  1) 3 x

1 y = 2 tg3   x

y = e  x  (cos x  sen x)

y = tg2 (6x)

2) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Determina los puntos de la curva y = x3 en los que la recta tangente es paralela a la recta y = 3x + 14

3) Halla la ecuación de la tangente a la hipérbola y =

1 en el punto x = 3. x

4) Halla la ecuación de la tangente a la curva y = 2x3  6x2 + 4 en su punto de inflexión.

5) Halla la ecuación de la tangente a la curva y = 2 x  1 en el punto de abscisa 12.

6) En qué puntos de la curva y = x 3 

9 2 x  6 x  1 la recta tangente es paralela al eje OX? 2

7) Calcula a y b para que y = ax + b +

8 tenga en el punto (2, 8) una tangente horizontal. x

8) Halla p y q sabiendo que la función f (x) = x3 + px2 + q tiene un mínimo relativo en el punto (2, 3).

9) Halla la ecuación de las tangentes a la curva y = x4  6x2 en sus puntos de inflexión.

10) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva inflexión.

y = 2x3  6x2 + 4 en su punto de | EJERCICIOS VARIOS 18

11) Dada la parábola y = x2  x a) Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x0 = 1. b) ¿En qué punto de la parábola la recta tangente es paralela a la recta y = x + 3?

2x3 12) Halla las asíntotas de la función y = 2 x 4 13) Asíntotas de la curva y =

2 x  3x  2 2 x  5x  4

14) Halla las asíntotas de f ( x ) =

x2  x  5 x

15) Halla los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de y =

x x 1 2

16) Calcula los máximos, mínimos y puntos de inflexión, si existen de la función y =

x x 1 2

x3 17) Calcula las asíntotas de la función y = ( x  4) 2

18) Halla las asíntotas de la curva de ecuación y =

x 2 x  10 x  9

2 + x 1 19) Estudia el crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de la función: y = x x 1

20) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad de la función y = x2(3  2x).

21) Estudia el crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de f ( x ) = x 3  3 x 2  1 . Representarla gráficamente.

| EJERCICIOS VARIOS 19

22) Representa gráficamente la función y = Calculando intervalos de

el dominio

2 x 1 2 x 1

de definición, puntos de corte con los ejes, asíntotas,

crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos.

23) Esboza la gráfica de y  3 x 2  6 x

24) Dada la función f ( x ) = x 3  3 x  7. a) Calcula máximos, mínimos y puntos de inflexión b) Esboza su gráfica c) Escribe la ecuación de la recta tangente en su punto de inflexión.

25) Representa gráficamente

f ( x) = 

1 3 x  x 2 , hallando: puntos de corte con los ejes, 6

monotonía (crecimiento y decrecimiento), máximos, mínimos, curvatura y puntos de inflexión.

x2 26) Estudia y representa gráficamente y = 2 x 1

27) Halla b, c y d para que la función f ( x)  x 3  bx 2  cx  d tenga un punto de inflexión en x = 3, pase por el punto (1, 0) y tenga un extremo en x = 5. 28) Representa gráficamente la función y = (2  x)2 calculando previamente: a) Dominio de definición. b) Puntos de corte con los ejes. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

| EJERCICIOS VARIOS 20

29) Dada la función f ( x) =

x 1 x2

a) Calcula: Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. b) Halla sus asíntotas. c) Esboza su gráfica

| 21

| 22

Fuente: IES Rego da auga

| 23

SOLUCIONES BOLETIN 1

1. 2.

f ( x ) 3x 5  2 x 4  5 x 3  3 x  1  f ' ( x)  15 x 4  8 x 3  15 x 2  3 f ( x) (2 x 3 )(4 x 2 )  f ' ( x )   6 x 2 (4 x 2 )  (2 x 3 )(8 x )  24 x 4  16 x 4  40 x 4

f ( x)

f ( x) (2 x 3 )(2 x )  f ' ( x)  (6 x 2 )(2 x )  (2 x 3 )(2 x ln 2) x 1 1 x  1  ( x  1)1 2 f ( x )  f ' ( x)   2 x 1 x  1 x  12

6. 7. 8.

3x 2 2x 3

  6 x 2 x   3 x 6 x   12 x  18 x  f ' ( x)  4x 2 x  3

3 2



 6x 4 3  2 6 4x 2x

1  1  lg 2 e ln x   lg 2 x   lg x x   x f ( x) 2  f ' ( x)   2 ln x ln x  cos x 1  senx  cos x  cos x  cos x  sen 2 x  cos 2 x f ( x )  ctgx  f ' ( x)   f ' ( x )   senx sen 2 x sen 2 x sen 2 x 3 x ln 3  x  3 x 1 3x 3 x ln 3  x 3  3 x 3 x 2 3 x x 2 ln 3  x  3 x 1 f ( x) 3  f ' ( x)   2 x x6 x4 x3









 

1 3  x 3  f ' ( x)  3x  4  4 3 x x 1 0  ln x  1 1 x  1 10. f ( x )  f ' ( x)  2 ln x ln x x ln 2 x

f ( x)

| 24

SOLUCIONES BOLETIN 2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1

1 2 1 1 2 1 1 x  x  1  2 2 2 x 2x 2 2 f ( x) x  2  f ' ( x )  2 x  21  2 x 3  3 x x 2 5 f ( x) 3  x 5  f ' ( x )  5 x 51  5 x 6  6 x x 3 2 3 f ( x) 2 x  3 x  f ' ( x)  6 x  6 x 1 f ( x ) 2  x 2  f ' ( x)  2 x x 1 0senx  cos x   1cos x  senx   cos x  senx  f ( x)  f ' ( x)   senx  cos x senx  cos x 2 senx  cos x 2 senx  cos x cos x  senx senx  cos x   senx  cos x cos x  senx  f ( x)  f ' ( x)  senx  cos x senx  cos x 2 f ( x ) x  x 2  f ' ( x ) 

1 1  1  ln x   1  ln x  1  ln x 2 x  f ( x )  f ' ( x)  x 2 2 1  ln x 1  ln x  x1  ln x 

1 x2   2 x  1  x 2  1  x 2 2 x 3 f ( x )  f ' ( x)  2 1  x 2 1  x 2



10. f ( x )



x2 1 2  f ' ( x ) x 1 2

 



  ln 21  2   x  2 2 1  2  x

 x

ln 2



x 2

| 25

SOLUCIONES BOLETIN 3

e 1 0  ln e  (e  1)  0  f ' ( x)  0 ln e ln e2

f ( x)

f ( x) xe x  x ln x  f ' ( x)  1  e x  xe x  1 ln x  x

f ( x) e x  ln x  f ' ( x)  e x  ln x  e x 

ex f ( x)  f ' ( x)  ln x

e x  ln x  e x 

1 x

ln 2 x

 e 1  ln x   1  e  1x  x

5. 6. 7. 8. 9.

f ( x)

1  e x  xe x  ln x  1 x

1 e  f ' ( x)  1  ln x

 

1  ln x 

1 f ( x) (1  ln x )( x  e x )  f ' ( x )  ( )( x  e x )  (1  ln x)(1  e x ) x e e 1 f ( x) x  f ' ( x)  ex

f ( x ) x e  e x  f ' ( x)  ex e1  e x  x e  e x f ( x )

 

 



1 ex ex 1 ex  1 ex  ex  f ' ( x )  2 1 ex 1 ex





1 x x x 1 x    e  ln x  e  ln x  e   e  ln x  e x  x  10. f ( x)  f ' ( x)   x 2 x ln x  e ln x  e x



 





| 26

SOLUCIONES BOLETIN 4

f ( x) x 3  3 x  f ' ( x )  3x 2  3 x  x 3  3 x ln 3 1  3 x ln 3lg 3 x   3 x  lg 3 e  x 3 x  f ( x )  f ' ( x)  2 lg 3 x lg 3 x 

1 1  x  x  x  x  3 ln 3  lg 3 e  3  lg 3 x  3  lg 3 x  3 ln 3  lg 3 e  3  lg 3 x x x    f ( x ) x  f ' ( x)   2 x 3  lg 3 x 3  lg 3 x

f ( x) senx  tgx  f ' ( x )  cos x  tgx  senx  (1  tg 2 x )

f ( x)



6. 7.

 





senx  (1  tg 2 x)  cos x   f ' ( x)  cos x  tgx  senx  ....   senx tgx tg 2 x x  senx 1  cos x x  cos x   x  senx 1  senx  f ( x )  f ' ( x)  x  cos x x  cos x 2 f ( x )



cos x  senx  senx  cos x tgx  cos x   cos x  senx  (1  tg 2 x)  senx  f ' ( x)  tgx  cos x tgx  cos x 2

cos x  senx f ( x)  f ' ( x)  tgx  cos x

f ( x)

10. f ( x )

 sen



 1 x  cos 2 x tgx  cos x   cos x  senx   cos x  tg 2 x  ( senx 2  cos x 2 tgx  cos x 







cos x  1  senx  1tgx  x   cos x  1 1  tg 2 x  1  f ' ( x)  tgx  x tgx  x 2

x  senx 1  cos x x  cos x   x  senx 1  senx   f ' ( x)  x  cos x x  cos x 2

| 27

SOLUCIONES BOLETIN 5

f ( x ) x 3  3 x  3 x  f ' ( X )  3 x 2  3 x ln 3 

f ( x )

3. 4.

3 x2

 x 3  3  x 3 x ln 3 2  3  3 x  1  x x  lg 3 e 3   lg 3 x 3 ln 3 lg x x  f ( x ) 3x  f ' ( x )   3 3 x 2 ln x 1 f ( x ) 3  f ' ( x)  3 3 3 x

f ( x )

 x 3   f ' ( x)  

1 3

3x

x3  3x

lg 3 x 3

 f ' ( x) 

   



 1  1   3 x ln 3 lg 3 x 3 x  x 3  3 x   lg 3 e 3 x  lg 3 x   x 3 2   3 x 



 



lg

 

 



1  x3 3 x 2 1  3 x  1  x 3 3 x ln 3  f ' ( x )  2 1  3x 1  3x



f ( x)

1 1   1  lg 3 x   1  ln x  lg 3 e  1  ln x x x  f ( x )  f ' ( x)    2 1  lg 3 x 1  lg 3 x 

f ( x ) x 3  3 x

f ( x) 3



x 3 x



  2  3 3  x    1  1   1   x  lg 3 x    x  ln x 1  lg 3 e   x  ln x 1  x   x  f ' ( x)  2  2  x  lg 3 x x  lg 3 x   x  ln x      33   x  lg x  3 



 x   f ' ( x)  3x  3  x  x  3 3

 x  x  3 

ln 3

x  x  1 10. f ( x) 3 3 x  3 3  f ' ( x)   3 3 ln 3     3

| 28

   

SOLUCIONES BOLETIN 6

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

f ( x ) 3x 5  f ' ( x)  15 x 4 f ( x ) x15  x  f ' ( x )  15 x 14  1 1 2 f ( x) 2  x  2  f ' ( x )  2 x 3  3 x x 3 x 2 f ( x) 5  x 2  f ' ( x )  2 x 3  3 x x x 1 4 5 f ( x) 5  x  4  x 5  f ' ( x)  4 x 5  5 x 6  5  6 x x x 1 4 4  5 f ( x ) 5 x 4  x 5  f ' ( x)  x 5  5 5 5 x 5 4

5 54 x f ( x) x  x  f ' ( x)  x 4  4 4 5 9 1 5 4 5 f ( x)  x 4  f ' ( x)  x  4 4 x5 44 x 9 5

f ( x)

10. f ( x)

1 5

x x

x

4 5

1

1 2

9

4 5 4  f ' ( x)  x  5 55 x 9 1

 x 2  f ' ( x) 

1 2 x

| 29

SOLUCIONES BOLETIN 7

1. 2. 3. 4.

f ( x )

f ( x)

7. 8.

x5 x 1 3

x

x x

1

5

x

x x3 x

 x 2  f ' ( x) 

1 2

9 2

1

x

9 1 9 9 7  x  f ' ( x)  x 2  x 2  x 2 2 2 1 3

x

1 3

1 2

4 3

4

 4 3 1  4  f ' ( x)  x  x 3 3 5

5

 x 2  f ' ( x) 

2 3

7 3



4 3 x7 3

7

 5 2 1  5 2 5 x  x  2 2 22 x 7

11 3

11 1 11 11 f ( x ) x x  x  x  f ' ( x)  x 3  x 3  3 x 8 3 3 3 2 3 22  9 13 13 7 33 2 3  x x 13 1 13 56 7 f ( x)  x 3 2  x 6  x 6  f ' ( x)  x 6  x 6  x 3 6 6 2 x 33

1 2

3 2 1 3 2 3 x  x  x 2 2 2 1 11 11 9 5 11 2 1 11 2 11 9 5 2 2 f ( x ) x x  x  x  f ' ( x)  x  x  x 2 2 2 1 9 9 11 5 x  9 2 1  9 2 9 f ( x ) 5  x 2  x 2  f ' ( x )  x  x  2 2 x 2 x 11 f ( x) x x  x

f ( x)

10. f ( x)

x5 x4

3

5 4  5

 x4

x3 4 x5 x5 5 x4

x

25 16 20

5 4 3  5  4 5

 x 20  f ' ( x ) 

x

 2

25 16 20

x

 39 20

11

9 20 1 9 20 9 x  x  20 20 2020 x 11

 39  f ' ( x)  x 20

 39 1 20

 39  x 20

59 20



 39 2020 x 59

| 30

SOLUCIONES BOLETIN 8

f ( x) 3 x 5  5 x 3 

f ( x)

1 5 3  x 3  x 5  x  4  f ' ( x)  x 3  x 4 3 5 x

2 5

 4 x 5 

52 x 3 3 4   5 3 55 x 2 x

34 19  53  35  34 15 3415 x 34 15     x   x  x   x  f ' ( x)  x  15 15   

 x   3

f ( x )



x3 x

3 5

f ( x) 3

f ( x)

8. 9.

 5 x5 x  3 5 x3  x 5 

 3  5 3  3  22  3 22 7 15 7   x 5    x 5   x 15  f ' ( x )  22 x 15  22 x       15 15       52 x 3  2 3 3  3 5 5 3 3 3 5 5 3 5 x   x  x  x  x  5 2 5    3 3 5 x  5 x2 x5  5 x3    f ' ( x)  2 3 x5  5 x3 x5  5 x3







1  3 x5 1  5 x3

 f ' ( x) 

  3  5 2  5 x







1  x 



 2 3  5 3  1  x  1  5 x3  5 x   3   5

16 15 1615 x x  15 15

 x 15  f ' ( x) 

   

x3 23 5 235 x 18 4 5 5 f ( x)  x x  x  f ' ( x)  x  1 5 5 4 x 3 8 1 3 5 3 f ( x )  x 5  f ' ( x)  x  5 5 x3 55 x 8 f ( x )

10. f ( x)

1 3

x4 5

x

5 3

4

8

5 3 5  f ' ( x)  x  3 3 3 x8 3 5

x

17 5

17 5 175 x 12  f ' ( x)  x  5 5

| 31

   

SOLUCIONES BOLETIN 9

 4 x x  3 5 x3  x 5  4

f ( x ) 3

 3  4 3  3  17  3 17 2 15 2   x 5    x 5   x 15  f ' ( x)  17 x 15  17 x       15 15      1

 1   f ( x ) 3  5 3   x 

 5 3  1    3   x 3  5 5  x 

1 3

 

 x 1  f ' ( x)   x  2 

1 x2

f ( x)

x 5

   x 3 

5 5

 

3   x  f ' ( x)  1 

f ( x ) 5

3  22  3 5 3 25 3 x 3   x 5   x 25  f ' ( x)  x  25 25 25 x 22  

 3 x x  1 x  2 x

5  5 5 1   x 2   x 2  x  f ' ( x)  1 f ( x ) 5     2 x     1   1  2   1  x  1  x     1 x  3  2 x  1  x 1 2 x    f ( x) 3  f ' ( x)   2  3 1 x  1 x 1 x 3



 





f ( x ) e  f ' ( x )  0

f ( x ) e

f ( x) 3 5 x  5 3  f ' ( x)  5 3  ln 5 

 f ' ( x)  e

53 2 x 3

1 3

1 5

10. f ( x) 5

 3   5 x 

4 3 9 9 5 5  ln 5  5   5 x  f ' ( x)  5 x ln 5  x 9  9 99 x 5  5

| 32

SOLUCIONES BOLETIN 10

f ( x) 3 lg 3 3 x  f ' ( x) 



33 lg 3 3 2.



x 2

f ( x ) 3 ln x 3  f ' ( x)  3



3 ln x

 1  x  x lg 3 e   3 ln 3 3 





 1  2  3  3x x 

 



3 2

 1  1   f ( x) lg 3 3 x  f ' ( x)   3 lg 3 e   x  3  3 x 2  1  4. f ( x) lg 3 3 x  f ' ( x)   x lg 3 e  3 x ln 3 3   1 5. f ( x) ln 3 x  f ' ( x)   x  3 x ln 3 3   1  6. f ( x) lg 3 x 3  f ' ( x )   3 lg 3 e  3x 2 x   1  1 7. f ( x ) lg 3 3 3 x  f ' ( x)   lg 3 e  3 3 x ln 3   3 x 3  3  1  8. f ( x ) 3lg3 x  f ' ( x )  3lg3 x ln 3  lg 3 e  x   1  3 3  9. f ( x ) 3 x  f ' ( x)  3 x ln 3  3 2   3 x  3 x 3 x  1  1 10. f ( x) 3lg3 3  f ' ( x )  3lg3 3 ln 3  lg 3 e  3 3 x ln 3   3 x  3  3  3.





 

















| 33

SOLUCIONES BOLETIN 11

1 2  ex  3 x 3 x  2  1  f ' ( x )    e x  3 x 2  ln x  e x  3 x 2  ln x  e x  3    x 3 x 

f ( x) ln x  e x  3 x 2  f ' ( x ) 

f ( x) ln x   e x

1 x e  ln x  e x ln x f ( x) x  f ' ( x )  x 2 e ex







 

f ( x)

f ( x )

ln(  x) 3

e

 f ' ( x) 

  x 1  2   e ln x  x   x  e   x   ln x    3 x  x ln x x 

 2   1  (1)  3 x 2  ln(  x ) 3   x  3 x 

e

ln x 3

 ex

 e 1

 f ' ( x) 

e



   

 

1 ex  ex 1 ex  1 ex ex  f ' ( x )  2 1 ex 1 ex 1  1  2   1  ln x  1  ln x  2 2 x  1  ln x x x  f ( x )  f ' ( x )   2 2 2 1  ln x 1  ln x f ( x)





3  x



 

f ( x)

x ln x

  f ' ( x)

 x  3 ln 3 







1  1  ln x   f ( x) 3  f ' ( x)  3  1  ln x  1  ln x 1  ln x

 

10. f ( x ) 3 e x

 e 3  f ' ( x)  e 3 

  x  1x 

 2  x 2  3 x  3   ln x   3 x  3 x  ln x 2

 

2 3

 1 1   1 1      1  ln x  1  ln x     x 2 x   x 2 x  2   1  ln x      



 





2 3

| 34

SOLUCIONES BOLETIN 12

 f ' ( x) 





 3 x   x 3  f ' ( x) 

f ( x) 3 ln e x

3. 4.

x 1



1 ln e x 3



 2ln e   4 3

x 1

1

2 2

2 3 2 x  3 3 3 x

1 ln x 32 ln x 1 e e 3 x 1 1 2 3 2 2 2 f ( x ) ln 3 x 2  f ' ( x )   x    3 x2 3 33 x 2 3 x 33 x 3 3x f ( x ) 3 e ln x  f ' ( x) 

f ( x ) ln e

 

 f ' ( x)  e

2 3

  2ln e  e1 e





1 ln e x 3



f ( x) 3 ln e x

f ( x) ln 3 e x  f ' ( x) 

ln e x f ( x) 3 x  f ' ( x )  e

1 3

e 3

1

2  x3 3

ex 

1  ln e x  3  e x

  

1 3

2 3

2

1 x 1 1  x  3 7. f ( x) 3  f ' ( x)    x 3 x  3 x 3 x 1 8. f ( x) e e  f ' ( x)  e e 3 e x  3 1 9. f ( x ) e ln x  f ' ( x)  e ln x  x 3 2 3 2 1 10. f ( x ) e ln x  f ' ( x)  e ln x  3 x2

 1 x x x x  x  e  e  ln e  e e x 2  e  

 

  1  ln e x    3  e x  

2

3  

 1  ln e x  x  e

  x  1  x     x2  

1

2  x3 3

| 35

  

SOLUCION PROBLEMAS ANA FRAGA

(1, 1) , (1, 1)

y

y = 6(x  1)

y5=

(1, 3,5) , (2, 3)

a = 2, b = 0

p =3; q = 7

y + 5 = 8(x + 1), y + 5 = 8(x  1)

10)

y = 6(x  1)

11)

a) y = x  1

12)

x = 2,

x = 2,

13)

x = 4,

y=1

14)

x = 0,

y=x1

15)

(0, 0),

x = 1,

16)

Punto de inflexión (0, 0)

17)

x = 4, y = x + 8

18)

x = 1,

1 1 =  (x  3) 3 9

1 (x  12) 5

x = 9,

b) (0, 0) y = 2x

x = 1,

y=0

19) Creciente en ], 2[  ]0, +[. Decreciente en ]2,1[  ]1, 0[. Mínimo (0, 1). Máximo (2,3) 20) Creciente en ]0, 1[. Decreciente en ], 0[  ]1, +[. Convexa en ], 1 / 2 [. Cóncava ] 1 / 2 , + [

| 36

21)

Creciente en ],0[  ]2,+  [. Decreciente en ]0, 2[. Mínimo (2, 3). Máximo (0, 1) Convexa en ]1, +[. Cóncava ], 1[. Punto de inflexión (1, 1)

22)

24)

a) Mínimo (1, 5). Máximo (1, 9). Punto de inflexión (0, 7) b)

c) y  7 = 3x

25)

27)

26)

b = 9,

c = 15,

d = 7 | 37

28) a) D = R; Mínimo (2, 0)

b) (0, 4) (2, 0)

c) Decreciente en ] , 2[ ; Creciente en ]2, +[.

29) a) Creciente en ]1, 1[. Decreciente en ], 1[  ]1, +[. Máximo (1, 1 / 2 ), mínimo (1,  1 / 2 ) b) y = 0

| 38

U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεαβηθλμξσφφδεε ·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♫♯ ⨁⨂✘✔×



| 39