Modern Mathematics TeorĂa de Conjuntos
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NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.6.2 correspondiente a 1
SCIENCE
1.1
MATHEMATICS
1.1.6
MODERN MATHS
1.1.6.2
SETS
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INDICE AUTORES Miguel Pérez Fontenla
Orden de introducción 7/1/2010
TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3 http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos ................................................ 3 Historia................................................................................................................................... 3 Aplicaciones ........................................................................................................................... 4 CONCEPTOS BÁSICOS .......................................................................................................... 6 Conjunto................................................................................................................................. 6 Definición de conjuntos por extensión y por comprensión ............................................... 6 Simbolos usados en notación conjuntista .......................................................................... 6 Conjunto vacio ∅ ............................................................................................................... 7 Conjunto Universal U ........................................................................................................ 7 Diagramas de Venn-Euler ...................................................................................................... 7 Igualdad de conjuntos ............................................................................................................ 8 Subconjuntos .......................................................................................................................... 8 Conjunto de partes ............................................................................................................... 10 Conjuntos disjuntos.............................................................................................................. 10 Conjuntos comparables ........................................................................................................ 10 Partición de un conjunto ...................................................................................................... 11 Recubrimientos .................................................................................................................... 11 Conjunto producto ............................................................................................................... 11 Conjuntos finitos o infinitos............................................................................................. 12 OPERACIONES CON CONJUNTOS .................................................................................... 13 Unión de conjuntos A ⋃ B ................................................................................................. 13 Intersección de conjuntos A ⋂ B ........................................................................................ 14 Diferencia de conjuntos A \ B .............................................................................................. 14 Conjunto complementario Ac............................................................................................... 14 Diferencia simétrica de conjuntos A △ B ........................................................................... 15 ALGEBRA DE CONJUNTOS ................................................................................................ 16 Leyes del álgebra de conjuntos ............................................................................................ 16 RELACIONES ......................................................................................................................... 18 Relaciones binarias .............................................................................................................. 18 Representación gráfica de las relaciones ............................................................................. 20 Relaciones de equivalencia .................................................................................................. 22 Clase de equivalencia ........................................................................................................... 23 Conjunto cociente ................................................................................................................ 23 WikiMaths | INTRODUCCIÓN 1
CORRESPONDENCIAS ......................................................................................................... 26 Definiciรณn ................................................................................................................................ 26 Una correspondencia f entre un conjunto de partida รณ inicial A y un conjunto de llegada รณ final B, que denotaremos por ................................................................................................... 26 Cualquier subconjunto C de ..................................................................................................... 26 APLICACIONES ..................................................................................................................... 29 Aplicaciones inyectivas ....................................................................................................... 29 Aplicaciones sobreyectivas .................................................................................................. 31 Aplicaciones biyectivas ....................................................................................................... 33 Operaciones con aplicaciones. Composiciรณn....................................................................... 33 Funciones ............................................................................................................................. 35
WikiMaths | INTRODUCCIร N 2
INTRODUCCIÓN
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente. Georg Cantor Un conjunto es un saco lleno de elementos. Dentro del saco puede haber números, letras, plantas, personas, mastodontes,..., practicamente cualquier cosa. Julius Wilhelm Richard Dedekind
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo. http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos
Historia Mathematical topics typically emerge and evolve through interactions among many researchers. Set theory, however, was founded by a single paper in 1874 by Georg Cantor: "On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers".[1][2] Beginning with the work of Zeno around 450 BC, mathematicians had been struggling with the concept of infinity. Especially notable is the work of Bernard Bolzano in the first half of the 19th century. The modern understanding of infinity began 1867-71, with Cantor's work on number theory. An 1872 meeting between Cantor and Richard Dedekind influenced Cantor's thinking and culminated in Cantor's 1874 paper. WikiMaths | INTRODUCCIÓN 3
Cantor's work initially polarized the mathematicians of his day. While Karl Weierstrass and Dedekind supported Cantor, Leopold Kronecker, now seen as a founder of mathematical constructivism, did not. Cantorian set theory eventually became widespread, due to the utility of Cantorian concepts, such as one-to-one correspondence among sets, his proof that there are more real numbers than integers, and the "infinity of infinities" ("Cantor's paradise") the power set operation gives rise to. The next wave of excitement in set theory came around 1900, when it was discovered that Cantorian set theory gave rise to several contradictions, called antinomies or paradoxes. Bertrand Russell and Ernst Zermelo independently found the simplest and best known paradox, now called Russell's paradox and involving "the set of all sets that are not members of themselves." This leads to a contradiction, since it must be a member of itself and not a member of itself. In 1899 Cantor had himself posed the question: "what is the cardinal number of the set of all sets?" and obtained a related paradox. The momentum of set theory was such that debate on the paradoxes did not lead to its abandonment. The work of Zermelo in 1908 and Abraham Fraenkel in 1922 resulted in the canonical axiomatic set theory ZFC, which is thought to be free of paradoxes. The work of analysts such as Henri Lebesgue demonstrated the great mathematical utility of set theory. Axiomatic set theory has become woven into the very fabric of mathematics as we know it today. http://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory
Aplicaciones La teoría de conjuntos es fundamental en Matemáticas para formalizar los conceptos que se van desarrollando a lo largo de todas las teorías que la componen. Es impensable el desarrollo que ha tenido el Álgebra Moderna y el Cálculo Infinitesimal y, en general, todas las Matemáticas, sin la ayuda de la notación conjuntista. Además, esta teoría y sUnotación es comprendido por cualquier científico del planeta sea del origen que sea y use el idioma que use, de ahí que el lenguaje de las matemáticas, sea gracias a ellos, universal Incluso conceptos tan asentados entre los siglos XVII a XIX como el de Probabilidad, a través de Pascal y Laplace, tuvieron un desarrollo impensable al dotarle Kolmogorov, ya en el siglo XX, de la capacidad lógica que le dotó la teoría de conjuntos a través de la definición axiomática y toda el Álgebra de Conjuntos. Set theory is also a promising foundational system for much of mathematics. Since the publication of the first volume of Principia Mathematica, it has been claimed that most or even all mathematical theorems can be derived using an aptly designed set of axioms for set theory, augmented with many definitions, using first or second order logic. For example, properties of the natural and real numbers can be derived within set theory, as each number system can be identified with a set of equivalence classes under a suitable equivalence relation whose field is some infinite set. Set theory as a foundation for mathematical analysis, topology, abstract algebra, and discrete mathematics is likewise uncontroversial; mathematicians accept that (in principle) theorems in these areas can be derived from the relevant definitions and the axioms of set theory. Few WikiMaths | INTRODUCCIÓN 4
full derivations of complex mathematical theorems from set theory have been formally verified, however, because such formal derivations are often much longer than the natural language proofs mathematicians commonly present. One verification project, Metamath, includes derivations of more than 10,000 theorems starting from the ZFC axioms and using first order logic. http://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory
WikiMaths | INTRODUCCIĂ“N 5
CONCEPTOS BÁSICOS Conjunto Igual que punto, recta o plano, la definición de conjunto es intuitiva. Un conjunto es una colección de objetos bien definidos. Pueden ser personas, números, letras, ciudades, paises, montañas, etc. Puede ser cualquier cosa. A los miembros que componen un conjunto se les denomina elementos o miembros del conjuntos. Denotaremos por letras mayúsculas A, B, C, D, ... a los conjuntos y por letras minúsculas a sus elementos a, b, c, d, ... Definición de conjuntos por extensión y por comprensión Para definir un conjunto de forma extensiva se escriben todos y cada uno de los elementos que lo componen entre usan las llaves. Por ejemplo el conjunto de las letras vocales es A = {a, e, i, o, u} Pero también se puede usar la denominada forma comprensiva que consiste en dar una definición que describa los elementos que contiene el conjunto, así, el conjunto A anterior se podría escribir también como A = {x / x es una vocal} Ejemplo A = {x | x es un impar menor que 10} = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = {x | x es solución de la ecuación y = x2 – 3x - 10} = {5, -2} C = {países miembros de la CEE} = {Francia, Inglaterra, Alemania, Italis, ... } E = {planetas} = { Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Jupiter, Saturno, Neptuno, Urano} F = {dias de la semana} = { Lun, Mar, Mie, Jue, Vie, Sab, Dom} También se pueden escribir de forma más precisa o menos, sin dejar de significar lo mismo, por ejemplo B = {x | y = x2 – 3x - 10} = {5, -2} E = {x | x es un planeta} Simbolos usados en notación conjuntista Para expresar que un elemento pertenece o no a un conjunto se usan los símbolos ∈ y ∉, así diremos que España ∈ C e Islandia ∉ C, siendo C = {países miembros de la CEE} Ejemplos 3 ∉ {x | x es par} 3 ∈ {x | x es primo} 3 ∉ B = {x | y = x2 – 3x - 10} 5 ∈ B = {x | y = x2 – 3x - 10}
WikiMaths | CONCEPTOS BÁSICOS 6
Pero hay más símbolos de uso muy frecuente en matematicas que es necesario que conozcas a partir de ahora. Vamos a enumerar los principales en la siguiente tabla: Se lee como Símbolo Ejemplo ∈ Pertenece a a∈A ∉ No pertenece a a∉A | Tal que x| x∈A ∀ Para todo x| x∈A ∃ Existe algún ∃x| x∈A ∃· ∃·x| x∈A Existe un único Conjunto vacio ∅ El conjunto vacio, que se denota por ∅ es el conjunto que no tiene ningún elemento. Por analogía, podríamos pensar en él como el 0 es al conjunto de números. De hecho, aunque hoy en día nos parezca algo trivial la existencia del cero, ésta fue negada en Europa, más bien por la Iglesia Católica, durante siglos por haber sido introducido a través de la cultura musulmana y ser considerado por lo tanto infiel. Conjunto Universal U Otro concepto intuitivo pero necesario es el conjunto universal, que denotaremos por la letra algo gótica U, que se define como el conjunto de todos los elementos de todos los posibles conjuntos que se están tratando. Ejemplo Cuando hablamos de geometría plana, el conjunto U lo componen todos los puntos del plano. Cuando hablamos de personas, el conjunto universal sería toda la población mundial. Cuando hablamos de números, dependiendo que clase de números, podremos estar hablando de un U que coincida con , , , , .
Diagramas de Venn-Euler Para representar conjuntos nada mejor que los denominados diagramas de Venn-Euler o simplemente Venn, consistente en representar conjuntos por figuras geométricas cerradas como círculos, ovoides ó incluso cuadriláteros, pero siempre figuras cerradas. Todas las operaciones que vamos a definir y todos los símbolos ya estudiados tienen sUadecuada representación gráfica con diagramas de Venn. Así, en el diagrama adjunto, se puede ver un conjunto A sdentro del conjunto universal U de todos los conjuntos donde tenemos un elemento a∈A y un elemento b∉A WikiMaths | CONCEPTOS BÁSICOS 7
Ejemplo Consideremos los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B= {d, e, f, g }, representados en un diagrama de Venn sería
Igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se escribe A = B, cuando tienen los mismos elementos. En lenguaje formal A = B ⇔ [ A ⊂ B ∧ B ⊂ A] Ejemplo Los conjuntos B = {x | y = x2 – 3x - 10} y G = {5, -2} son tales que B = G.
Subconjuntos Diremos que A es un subconjunto propio de B, y lo escribiremos A ⊂ B, si todos los elementos de A son también elementos de B. En lenguaje más formal: A ⊂ B ⟺ [∀x | x ∈A ⟹ x ∈B] Fíjate que al decir subconjunto propio estamos excluyendo el igual, es decir, el conjunto: {Lun, Mar, Mie, Jue, Vie, Sab, Dom} ⊄ { días de la semana} dado que son iguales. (el símbolo ⊄ se lee “no es un subconjunto propio”) Existe un símbolo de subconjunto ⊆ (que se lee subconjunto de, a secas) que engloba también el igual , pero no se le incluye la palabra propio. Así sí que podríamos decir: { Lun, Mar, Mie, Jue, Vie, Sab, Dom} ⊆ { días de la semana} WikiMaths | CONCEPTOS BÁSICOS 8
Pero en este punto hay disparidad de criterios según los autores. Hay autores y universidades que con el signo ⊂ incluyen también la posibilidad de igualdad, es decir, sería lo que nosotros hemos definido como ⊆. Nosotros vamos a seguir el éste acuerdo, que creemos está mucho más generalizado, que es usar el símbolo ⊂ como si fuese el ⊆, es decir, que si al hablard e un subconjunto no mencionamos la palabra propio supondremos que se puede dar la igualdad y usaremos el mismo símbolo. Creo recordar que no se va a presentar ningún caso de confusión en todo el desarrollo teórico que estamos haciendo y si lo hubiese, mencionaríamos que A ⊂ B se trata de un subconjunto propio y añadiríamos A ≠ B. Por otra parte, también podemos usar el símbolo en la dirección contraria ⊃ que se lee “incluye a“ por lo que podríamos decir {días de la semana} ⊃ { Sab, Dom }
En resumen, son válidos todos estos símbolos con respecto a la inclusión Se lee como Símbolo Ejemplo A está contenido en B A⊂B ⊂ A incluye ó contiene a B A⊃B ⊃ A no está contenido en B A⊄B ⊄ A no contiene o no está incluído en B A⊅B ⊅ A está contenido o igual que B ⊆y⊇ A⊆B A ni incluye ni es igual a B ⊈y⊉ A⊉B Teorema La inclusión de conjuntos verifica las propiedades • • • •
Para todo conjunto A se tiene que ∅⊂A⊂ Propiedad Reflexiva: A⊂A ∀A∊ Propiedad Antisimétrica: Si [A⊂B y B⊂A] ⇒ A = B Propiedad Transitiva: [A⊂B y B⊂C] ⇒ A ⊂ C
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Conjunto de partes o Conjunto Potencia La familia de todos los posibles subconjuntos de un conjunto dado A se llama conjunto de partes de A o conjunto potencia, y se denota por (A) (ó también por por 2A). Nota que un conjunto de n elementos va a tener un conjunto de partes de 2n elementos. Este resultado se estudia en combinatoria dado que el número de subconjuntos viene dado por Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ... + Cn,n-1 + Cn,n = 2n Ejemplo Si A = { 1,2 } el conjunto potencia de A, vendrá dado por: (A) = { {1,2},{1},{2},{∅}} que son 22 = 4 elementos
Conjuntos disjuntos Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si no tienen ningún elemento común A y B disjuntos ⟺ ∀x | x ∈A ⟹ x ∉B ó ∀x | x ∈B ⟹ x ∉A , ó equivalentemente A y B disjuntos ⟺ A ⊄ B y B ⊄ A
Conjuntos comparables Dos conjuntos A y B se dicen comparables si o bien A⊂B o bien B⊂A, esto es, si uno de ellos es subconjunto del otro. Análogamente, dos conjuntos A y B se dicen no comparables si ni A⊄B ni B⊄A, esto es, si ninguno de ellos es subconjunto del otro. Observa que si A y B son no comparables, entonces hay al menos un elemento a∈A tal que a∉B y al menos uno también b∈B tal que b∉A. Gráficamente no comparables serían:
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Partición de un conjunto Decimos que los subconjuntos A1, A2, A3, ... ,An representan una partición del conjunto B, si: a) Ai ∩ Aj = φ ; ∀i ≠ j . k
b)
∪A = B. i
i =1
En otras palabras, que los conjuntos tienen que ser disjuntos dos a dos y la unión de todos ellos debe de dar el conjunto B.
Recubrimientos Decimos que los subconjuntos A1, A2, A3, ... ,An de (B) representan un recubrimiento de B si:
k
∪A = B. i
i =1
Conjunto producto Sean A y B dos conjuntos, se llama conjunto producto de A y B ( o también producto cartesiano de A y B) y se denota por A⨯B al conjunto formado por las parejas de pares ordenados dados por A⨯B = { (x,y) / x∊A,y∊B} Ejemplo Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B= {d, e, f, g } Entonces A⨯B = { (a,d), (a,e), (a,f), (a,g), (b,d), (b,e), (b,f), (b,g), (c,d), (c,e), (c,f), (c,g), (d,d), (d,e), (d,f), (d,g), (e,d), (e,e), (e,f), (e,g) }
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Conjuntos finitos o infinitos Intuitivamente, un conjunto se dice finito si tiene un número finito de elementos. Otra manera más rigurosa de decirlo es (por aquello de que hemos usado dos veces la palabra finito): “Un conjunto A es finito si tiene exactamente n elementos distintos donde n es un número natural” Un conjunto se dice infinito si tiene un número infinito de elementos, o bien, si no verifica la definición anterior. Ejemplo Los conjuntos D = {números primos} = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ....} N = {números naturales } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....} = Son infinitos pues en ambos casos no se puede encontrar es número n de la definición de conjunto finito.
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OPERACIONES CON CONJUNTOS Como habitualmente se hace en todas las teoría matemáticas, una vez definidos los conceptos básicos de una nueva estructura, ya sea numérica, algebráica o estructural, el siguiente paso es dotarla de las operaciones necesarias para construir un álgebra. Recuerda que la palabra álgebra en Matemáticas, aparte de la rama que engloba a los polinomios, las ecuaciones, etc. tioene también la acepción de “Estructura que consiste en un conjunto de elementos junto con una o más operaciones y las reglas que las definen”, por eso en probabilidad una vez definidos los conjuntos y sus operaciones hablamos de álgebra de conjuntos, en lógica cuando hemos definido las proposiciones y las operaciones conjunción, disyunción y negación, hablamos de álgebra de proposiciones , con los números, ya sean naturales, enteros, racionales, reales o complejos, una vez definidos se aprende a sumar, restar, multiplicar, dividir, etc,. y todo ello constituye un álgebra. Así, en general, venimos haciendo con todas las teorías. Pues bien, los conjuntos forman el álgebra más básica de todas, la primera de ellas, porque todas las demás se desarrollarán utilizando nomenclatura conjustista. Veamos pues las operaciones que podemos definir con conjuntos. Sean A y B dos conjuntos del Conjunto Universal U
Definimos las siguientes operaciones básicas entre conjuntos
Unión de conjuntos A ⋃ B Sean A, B ∊ U, se define unión de A y B, y se escribe A ⋃ B, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A ó a B ó a ambos
A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B} Ejemplo Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B= {d, e, f, g } Entonces A ⋃ B = { a, b, c, d, e, f, g}
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Intersección de conjuntos A ⋂ B Sean A, B ∊ U, se define intersección de A y B, y se escribe A ⋂ B, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B pero no a ambos simultáneamente.
A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B} Ejemplo Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B= {d, e, f, g } Entonces A ⋂ B = { d, e }
Diferencia de conjuntos A \ B Sean A, B ∊ U, se define diferencia de A y B, y se escribe A \ B, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A pero no a B.
A \ B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B} Ejemplo Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B= {d, e, f, g } Entonces A \ B = { a, b, c }
Conjunto complementario Ac Dado el conjunto A ∊ U, se define el conjunto complementario de A, y se escribe Ac, como el conjunto formado por los elementos de Uque no pertenecen a A.
Ac = { x / x ∈U
∧ x ∉ A}
Es decir, que también podemos interpretarlo como Ac = U \A
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Ejemplo Sea U = ℕ y sean A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13} y sea B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} entonces A⋃B = { 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} A⋂B = { 3, 5, 7, 11, 13} A\B = { 2} Ac = { 1, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ....} ={ 1 } ⋃ {pares a partir del 4}
Diferencia simétrica de conjuntos A △ B Sean A, B ∊ U, se define diferencia simétrica de A y B, y se escribe A △ B , como la unión de los conjunto (A \ B) y el (B \ A).
A△ B = ( A \ B ) ∪ ( B \ A) Ejemplo Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B= {d, e, f, g } Entonces A △ B = { a, b, c, f, g }
Ejercicio Demostrar el siguiente Teorema • Si A ⊂ B entonces A⋂B = A • Si A ⊂ B entonces A⋃B = B • Si A ⊂ B entonces Ac ⊂ Bc • Si A ⊂ B entonces A⋃(B\A)=B
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ALGEBRA DE CONJUNTOS Definición: Algebra de Conjuntos Sea U el conjunto universal. Consideramos el conjunto universal U y axiomáticamente le exigimos: 1. El conjunto imposible ⌀∈U. 2. Si un conjunto está en U también lo está su contrario: A ⊂ U => Ac ⊂ U 3. Si la sucesión numerable de conjuntos {A1, A2, ..., An}⊂ U entonces su unión ⊂ U.
∪ni=1 Ai
Pues bien, a la cuaterna {U, ⌀, ⋂, ⋃} que verifique estos tres axiomas le llamamos álgebra de conjuntos.
Leyes del álgebra de conjuntos Sean A, B, C conjuntos de un conjunto universal U
Idempotencia Asociativa Conmutativa Distributiva Identidad
Ley
Ley dual
A⋃A=A (A ⋃ B) ⋃ C A⋃B=B⋃A
A⋂A=A A ⋂ (B ⋂ C) A⋂B=B⋂A
A ⋃ (B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C) A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)
A⋃⌀=A A⋃U=U Complemento A ⋃ Ac = U (Ac )c = A Morgan (A ⋃ B) c = A c ⋂ B c
A⋂U=A A⋂⌀=⌀ A ⋂ Ac = ⌀ Uc = ⌀ y ⌀c = U (A ⋂ B) c = A c ⋃ B c
Todas estas leyes son leyes del álgebra de conjuntos y están ya demostradas en lógica al estudiar el álgebra de proposiciones, luego omitimos aquí su demostración. Definición: Ley dual La ley dual de una ley dada se obtienen se obtienen cambiando en la ley original las uniones ⋃ por intersecciones ⋂ y permutando los conjuntos universal U y vacio ⌀ entre si. Teorema: Principio de dualidad El dual de cualquier teorema que sea consecuencia de los axiomas es también consecuencia de los axiomas Demostración El razonamiento seguido para probar el teorema original está basado en los axiomas y leyer básicas , que tanto están todas demostradas junto con sus duales. Como el teorema dual sigue WikiMaths | ALGEBRA DE CONJUNTOS 16
el mismo razonamiento que el original, pero usando las leyes duales, entonces será también cierto. Ejemplo Demostrar que (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ Bc) = A Solución Por la ley distribuitiva se tiene que (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ Bc) = A ⋃ (B ⋂ Bc) Por la ley de complemento B ⋂ Bc = ⌀ => (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ Bc) = A ⋃ (⌀) Por la ley de identidad A ⋃ ⌀ = A => (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ Bc) = A Ejemplo Demostrar que (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ Bc) = A Solución Como el primer ejemplo es el dual de éste, y ya está demostrado, también lo está éste.
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RELACIONES Relaciones binarias Definición: Relación binaria Sean A y B conjuntos. Una relación binaria R de A en B es la que asigna a cada pareja (a,b)∊A⨯B uno de los siguientes enunciados
a esta relacionado con b aRb a R b a no esta relacionado con b Si A y B son el mismo conjunto , se llama una relación en A^. Como aquí solo vamos a tratar las relaciones binarias, omitiremos esta segunda palabra y sobreentenderemos que siempre que diga relación me refiero a una relación binaria. Ejemplos • • • • •
La inclusión ⊂ es una relación entre conjuntos, pues dada una pareja de conjuntos (A,B) ∊⨯ o bien A⊂B o bien A⊄B. La operación < es una relación en los números ℕ ( ó tambien en ℤ,ℚ,ℝ) pues dada una pareja (a,b)∊ℕ⨯ℕ o bien a<b o bien a≮b. La operación / “divide a” en el conjunto de números enteros ℤ es una relación pues dado un par (a,b)∊ℤ⨯ℤ o bien a/b o bien a∼/b (a no divide a b). En el conjunto H de toda la humanidad, la paternidad es una relación pues dados dos hombres (h1,h2) ∊H⨯H o bien uno es padre del otro o no lo es El paralelismo y la perpendicularidad son dos relaciones en el conjunto de las rectas en el plano ℝ2, pues dadas dos rectas cualquiera o bien son paralelas o bien no lo son (lo mismo con perpendiculares).
Proposición Todo subconjunto de A⨯B posee una correspondencia biunívoca con una relación R entre A y B. Demostración Una relación R entre A y B define de una manera única un subconjunto R*⊂A⨯B siguiente R*={(a,b)∊A⨯B/ a R b } Y, recíprocamente, si tenemos un subconjunto R*⊂A⨯B define la relación R entre A y B siguiente: a R b ⇔ (a,b)∊R*
WikiMaths | RELACIONES 18
Definición: Dominio Dada una relación R y el conjunto R*={(a,b)∊A⨯B/ a R b }, se llama dominio al conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados (a,b) Definición: Recorrido ( o imagen) Dada una relación R y el conjunto R*={(a,b)∊A⨯B/ a R b }, se llama recorrido al conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados (a,b) Ejemplo • •
•
Supongamos A = { los cuatro primeros números primos} = { 2, 3, 5, 7 }. Definimos en A⨯A la relación R = {(2,3), (3,5), (5,3)}. Como R⊂A⨯A es una relación cuyo dominio es {2, 3, 5} y el recorrido {3, 5} Consideramos A={huevos, leche, miel} y B={vaca,cabra,abeja} y definimos la relación R de forma que aRb si “a es producido por b”. Entonces esta relación es R={(leche,vaca), (leche,cabra), (miel,abeja)} por lo que el dominio de R es {leche, miel} y el recorrido {vaca, cabra, abeja} Sea P el conjunto de países del mundo y sea R la relación “tener frontera común”. R es una relación entre países bien definida pues dados dos países a y b, se tiene que (a,b)∊R si tienen frontera común y (a,b)∉R si no la tienen. Así (Francia, España)∊R y (Alemania,España)∉R
Definición: Inverso. Sea R una relación de A en B. Denominsmos relación inversa R-1 de B en A a la formada por aquellos pares ordenados (a,b) que cuando son invertidas sus componentes, el nuevo par pertenece a R. R-1 = { (b,a) / (a,b)∊R } Ejemplo En el primer ejemplo anterior teníamos A = { 2, 3, 5, 7 } y definimos en A⨯A la relación R = {(2,3), (3,5), (5,3)}. Entonces R-1 = {(3,2), (5,3),(3,5)} Es obvio que en cualquier relación R se verifica que (R-1)-1=R.
WikiMaths | RELACIONES 19
Representación gráfica de las relaciones Supongamos el ejemplo previo con A = { 2, 3, 5, 7 } y la relación R = {(2,3), (3,5), (5,3)} Vamos a representarla de tres maneras. La más habitual es con diagramas de Venn:
Pero también podríamos hacerlo con un diagrama cartesiano donde en el eje horizontal ponemos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B, que en este ejemplo coinciden.
Una tercera forma es con una tabla poniendo verticales los elementos de A y horizontales los de B, de la siguiente manera A⨯A 2 3 5 7 2 0 1 0 0 3 0 0 1 0 5 0 1 0 0 7 0 0 0 0 No obstante, en general, usaremos la primera forma para conjuntos finitos y el diagrama cartesiano para cuando usemos números reales. Otra forma más de representación, pero válida solo en el caso que B = A y A es finito es mediante un diagrama que se llama grafo dirigido. Para ello, dibujamos todos los elementos del conjunto A y, a continuación, un segmento orientado (flecha) de x en y por cada elemento (x,y) de la relación
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Ejemplo Consideramos A={huevos, leche, miel} y B={vaca,cabra,abeja} y la relaci贸n R={(leche,vaca), (leche,cabra), (miel,abeja)}. Las representaciones en este caso ser铆an: Mediante los diagramas de Venn
El producto cartesiano
Y mediante la tabla:
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A⨯B Huevos Leche Miel
vaca 0 1 0
cabra 0 1 0
abeja 0 0 1
Ejemplo Consideremos el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y la relación R en A⨯A definida por R = { (1,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (4,1), (4,4) }, el grafo que se corresponde a esta relación es
Relaciones de equivalencia Una relación ∼ en un conjunto A se llama relación de equivalencia si tiene las siguientes propiedades • • •
Propiedad Reflexiva: Propiedad Simétrica: Si Propiedad Transitiva:
a∼a ∀a∊A a∼b ⇒ b∼a Si a∼b y b∼c ⇒ a∼c
La idea que buscamos con una relación de equivalencia es la de clasificar el conjunto A en todos sus elementos, llamémosles semejantes Ejemplos La relación de equivalencia más trivial en un conjunto A es la relación de igualdad “=”. Esta relación cumple las tres propiedades: Reflexiva: a=a ∀a∊A Simétrica: Si a=b ⇒ b=a Transitiva: Si a=b y b=c ⇒ a=c En zoología la clasificación de todos los animales en especies (aunque también por clase, orden o familia), constituyen cada una de ellas una relación de equivalencia. (Recuerda que dos animales de la misma especie son aquellos capaces de reproducirse entre sí) La relación de inclusión entre conjuntos no es una relación de equivalencia porque, aunque verifica las propiedades reflexiva y transitiva, no verifica la simétrica ya que A⊂B ⇏ B⊂A WikiMaths | RELACIONES 22
Ejercicio Dados los números enteros positivos ℤ+ y sea m∊ℤ+, se dice que a,b∊ℤ+ son congruentes módulo m, y se escribe a ≡ b (mod m), si m divide a (a - b). Por ejemplo, 10 ≡ 2 (mod 4) pues 4 divide a (10- 2) = 8 Demuestra que la relación de congruencia ≡ es una relación de equivalencia. Solución Veamos que verifica las tres propiedades: Reflexiva: a≡a (mod m) ∀a∊A pues m divide siempre a 0 Simétrica: Si a≡b (mod m) ⇔ m divide a (a-b) ⇔ m divide a (b-a) ⇒ b≡a (mod m) Transitiva: Si a≡b (mod m) y b≡c (mod m) ⇒ m divide a (a-b) y m divide a (b-c). Si m divide a (a-b) ⇒∃k1 ℤ+ / (a-b) = k1·m Si m divide a (b-c) ⇒∃k2 ℤ+ / (b-c) = k2·m Restando ambas expresiones nos queda que (a-c)= (k1–k2)·m ⇒ a≡c (mod m)
Clase de equivalencia Sea ∼ una relación de equivalencia en un conjunto A y sea a∊A. Llamamos clase de equivalencia de a, y lo denotamos por [a], al conjunto de todos los elementos de A que están relacionados con a: [a] ={ x∊A / x ∼ a}
Conjunto cociente Si lo has asimilado bien, comprenderás que una clase de equivalencia tiene la virtud de descomponer el conjunto sobre el que está definida en una partición (conjuntos disjuntos cuya unión es todo A). Esto se formaliza mediante la siguiente definición y el posterior teorema. Definición: Conjunto cociente Se llama conjunto cociente de la relación de equivalencia ∼ en el conjunto A, y se denota por A/∼, al conjunto de todas las clases de equivalencia de elementos de A. Teorema Sea ∼ una relación de equivalencia en un conjunto A y sea el conjunto cociente A/∼. Se verifica que A/∼ es una partición de A, es decir, verifica las propiedades • • •
∀a∊A, a∊[a] [a] = [b] ⇔ a∼b [a] ≠ [b] ⇒ [a] y [b] son disjuntos. [a] ⋂ [b] = ∅ Ejemplo
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Sea el ℤ conjunto de los números enteros donde definimos la relación de equivalencia x ≡ y (mod 5). Esta relación divide a ℤ en un conjunto cociente ℤ/≡ de 5 clases de equivalencia que constituyen una partición de ℤ que son: ℤ 0 = [x] 0 = {x∊ℤ / x dividido por 5 da resto 0} = { ..., -10, -5, 0, 5, 10, 15, ...} ℤ 1 = [x] 1 = {x∊ℤ / x dividido por 5 da resto 1} = { ..., -9, -4, 1, 6, 11, 16, ...} ℤ 2 = [x] 2 = {x∊ℤ / x dividido por 5 da resto 2} = { ..., -8, -3, 2, 7, 12, 17, ...} ℤ 3 = [x] 3 = {x∊ℤ / x dividido por 5 da resto 3} = { ..., -7, -2, 3, 8, 13, 18, ...} ℤ 4 = [x] 4 = {x∊ℤ / x dividido por 5 da resto 4} = { ..., -6, -1, 4, 9, 14, 19, ...} ℤ sí construido, el conjunto cociente verifica que ℤ = ℤ0⋃ℤ1⋃ℤ2⋃ℤ3⋃ℤ4
Relaciones de orden Definición: Orden parcial Una relación ≲ en un conjunto A se llama relación de orden parcial si cumple las siguientes propiedades • • •
Propiedad Reflexiva: a≲a ∀a∊A Propiedad Antisimétrica: Si a≲b y b≲a ⇒ b=a Propiedad Transitiva: Si a≲b y b≲c ⇒ a≲c
Decimos de orden parcial porque pueden existir elementos en A no comparables, es decir, elementos a,b∊A tales que a≴b y b≵a Definición: Conjunto parcialmente ordenado Un conjunto A junto con una relación de orden parcial (A, ≲) se le llama conjunto parcialmente ordenado. En estos casos, • cuando a≲b decimos “a precede a b” • cuando a≳b decimos “a sigue a b” • cuando a<b decimos “a precede estrictamente a b” • cuando a>b decimos “a sigue estrictamente a b” Definición: Conjunto totalmente ordenado Un conjunto A junto con una relación de orden (A, ≲) se le llama conjunto totalmente ordenado si ∀a,b∊A entonces ó a≲b ó b≲a. En estos casos al conjunto A se le denomina cadena. Ejemplo Sea una colección de conjuntos. La relación de inclusión ⊂ es una relación de orden parcial en pues dados A, B, C ∊ se verifican las tres propiedades, • Propiedad Reflexiva: A⊂A ∀A∊ • Propiedad Antisimétrica: Si A⊂B y B⊂A ⇒ A=B • Propiedad Transitiva: Si A⊂B y B⊂C ⇒ A⊂C WikiMaths | RELACIONES 24
Y no tiene porque ser totalmente ordenado pues puede haber conjuntos en A, B∊ tales que, o bien A⊄B, o bien B⊄A Ejemplo Sea ℤ el conjunto de los números enteros. La relación ≤ es una relación de orden parcial en ℤ pues dados a,b,c ∊ ℤ se verifican las tres propiedades, • Propiedad Reflexiva: a≤A ∀a∊ ℤ • Propiedad Antisimétrica: Si a≤b y b≤a ⇒ a=b • Propiedad Transitiva: Si a≤b y b≤a ⇒ a≤c Y ℤ es además totalmente ordenado pues ∀a,b∊ℤ se tiene que, o bien a≤b, o bien b≤a
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⊂
CORRESPONDENCIAS Definición Una correspondencia f entre un conjunto de partida ó inicial A y un conjunto de llegada ó final B, que denotaremos por f : A → B , es cualquier propiedad que asigne a cada elemento de A un subconjunto de B, aunque este subconjunto puede ser el conjunto vacio ∅. Cualquier subconjunto C de A⨯B define una correspondencia de A en B Ejemplo 1 Volvamos al ejemplo donde A = { 2, 3, 5, 7 } y la relación R = {(2,3), (3,5), (5,3)} ⊂A⨯A. Una relación es un subconjunto, así que también define siempre una correspondencia. Esta ejemplo ya vimos que se representaba mediante el diagrama
Ejemplo 2 Consideremos ahora otro caso donde A = { 2, 3, 5, 7 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11} y definimos el subconjunto de A⨯B, C = { (2,1), (3,5), (5,5), (5,11) }. Este subconjunto definiría la correspondencia f del siguiente gráfico:
Ejemplo 3 Consideremos ahora los mismos conjuntos A y B, pero cambiamos el subconjunto C por C = { (2,1), (3,5), (5,5), (7,11) }. En este caso la correspondencia tendría el gráfico siguiente: WikiMaths | RELACIONES 26
Definición: Elementos homólogos Dado cualquier par ordenado (x,y) perteneciente al subconjunto A⨯B que define la correspondencia se dice que x e y son homólogos entre si. Definición: Conjunto imagen Todos los elementos de y∊B homólogos de cada elemento de x∊A forman un subconjunto de B que se llama conjunto imagen de x por la correspondencia f Si X es el subconjunto de A que tienen algún homólogo en B, se llama imagen de X, y se denota por f(X), Ejemplo En el Ejemplo 2 previo se tiene que El 2∊A es el homólogo del 1∊B El 3∊A es el homólogo del 5∊B El 5∊A es homólogo con el 5 y el 11, ambos de B La imagen del elemento 2∊A por la correspondencia f es el subconjunto {5, 11} ⊂ B Dado el subconjunto X={2,3,5}⊂A el subconjunto de B imagen de X por la correspondencia f es f(X)={1,5,11} ⊂B En este caso f(A) también es f(A)={1,5,11}
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Definición: Correspondencia recíproca Ahora vamos a mirar la correspondencia en la dirección contraria, es decir desde B hacia A. → B se llama correspondencia recíproca de f, y se denota Dada la correspondencia f : A -1 −1 por f , a la correspondencia f : B → A que lleva cada elemento de B en su homólogo de A. Ejemplo Siguiendo con el mismo ejemplo previo
Por esta correspondencia recíproca se tendría que f -1(B) = { 2, 3, 5}
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APLICACIONES Una aplicación f de un conjunto A en un conjunto B, es una correspondencia que a todo elemento de A le hace corresponder un único elemento de B. Ejemplo 1 La correspondencia, ya vista, siguiente
No es una aplicación porque el 7∊A no le corresponde ningún elemento de B. Tampoco cumple la condición de que a cada elemento de A sólo le puede corresponder un elemento de B, pues al 5∊A le corresponden 2 elementos de B, el 5 y el 11. Ejemplo 2 Sin embargo, la correspondencia tamién vista anteriormente
Sí que es una aplicación, pues a cada elemento de A vemos que le corresponde uno y sólo uno de B. Definición: Aplicaciones iguales f g Sean A y B dos conjuntos y sean f y g dos aplicaciones entre A y B, A → B y A →B;
Decirmos que f = g si y solo si f(x) = g(x) ∀x∊A
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Definición: Aplicación Identidad Sean A un conjunto, se define la aplicación identidad en A, y se denota por 1A, a la aplicación 1A : A →A definida por es decir 1A(x) = x ∀x∊A x →1 x = x ; A
( )
Definición: Función característica Sean A un conjunto, A⊂. La aplicación
χ A : U → {0,1} 0 si x ∉ A x → χA ( x) = 1 si x ∈ A
Se denomina función característica del conjunto A. Proposición Se verifican las siguientes propiedades • • • • • •
Si A y B son dos conjuntos, A,B⊂; entonces: A = B si y solo si χA(x) = χB(x) ∀x∊. χ∅(x) = 0 ∀x∊. χ(x) = 1 ∀x∊. χA∩B (x) = χA(x) · χB(x) ∀x∊ χA∪B (x) = χA(x) + χB(x) - χA∩B (x) ∀x∊ Si ≠∅ entonces χ\A (x) = 1 - χA(x) ∀x∊
Demostración Ver [132] pag 41 y ejercicio 2 del tema
Aplicaciones inyectivas Una aplicación f : A → B es inyectiva cuando cada elemento de B es imagen de a lo sumo un elemento de A. La expresión formal para que una aplicación sea inyectiva es f : A → B inyectiva ⇔ f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2
∀x1 , x2
O equivalentemente, su enunciado contrarrecíproco: f : A → B inyectiva ⇔ x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ∀x1 , x2 Ejemplo 1 La aplicación WikiMaths | APLICACIONES 30
No es inyectiva porque el 5∊B es imagen de dos elementos de A, el 3 y el 5. Ejemplo 2 La aplicación
Sí que es inyectiva porque no hay ningún elemento en B que sea imagen de dos elementos distintos de A.
Aplicaciones sobreyectivas Una aplicación f : A → B es sobreyectiva cuando todos los elementos de B son imagen de algún elemento de A. La expresión formal para que una aplicación sea sobreyectiva es f : A → B sobreyectiva ⇔ ∀y∊B ∃x∊A / f(x) = y Ejemplo 1 La aplicación,
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que ya sabemos que no es inyectiva, tampoco es sobreyectiva porque los elementos 3, 7, 9 de B no son imagen de ningún elemento de A Ejemplo 2 La aplicación
sí que es inyectiva pero tampoco es sobreyectiva, porque los elementos 3 y 9 de B no son imagen de ningún elemento de A. porque no hay ningún elemento en B que sea imagen de dos elementos distintos de A. Ejemplo 3 Sin embargo, la aplicación
Sí que es sobreyectiva porque todos los elementos de B son imagen de alguno de A, aunque no es inyectiva.
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Aplicaciones biyectivas Una aplicación f : A → B es biyectiva cuando (si y solo si) es inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo 1 La aplicación,
No es ni inyectiva, ni sobreyectiva y por lo tanto tampoco biyectiva. Ejemplo 2 La aplicación
Sí que es tanto inyectiva como sobreyectiva por lo tanto, es biyectiva
Operaciones con aplicaciones. Composición Consideremos tres conjuntos A, B y C, y dos aplicaciones f y g definidas f : A →B y
→ C composición de f y g, y se denota o bien g : B → C . Se define la aplicación h : A g f o bien f[g(x)], como la aplicación que a cada x∊A le hace corresponder f[g(x)]∊C Bueno, hay que reconocer que la primera vez que se estudia esta operación entre aplicaciones, no resulta nada fácil de comprende, así que la única solución que tienes, si es que estás en ese caso, es ver unos ejemplos claros que te muestro a continuación y hacer decenas de ejercicios. Ejemplo 1 Consideremos las aplicaciones f y g de la figura siguiente
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Donde podemos ver que: • la función f que es inyectiva, pero no sobreyectiva (el 9∊B no es imagen de ninún elemento de A). • La función g es sobreyectiva pero no inyectiva, pues los elementos distintos 7,9∊B tienen como imagen el mismo elemento 8∊C. • Y sin embargo, la función composición g f es biyectiva.
Propiedades de la composición de funciones Proposición La composición de aplicaciones no tiene la propiedad conmutativa: g f ≠ f g Contraejemplo Consideramos las funciones
f : ℕ →ℕ
n → f ( n) = n + 1 aplicaciones h1 = g f y h2 = f g . Se tiene que h1 = g f resulta
y
g : ℕ →ℕ n → g ( n) = n 2
consideramos las
f g ℕ → ℕ →ℕ f g n → n + 1 → h1 (n) = ( g f )( n ) = g [ f (n) ] = ( n + 1) = n2 + 2n + 1 2
Mientras que h2 = f g resulta g f ℕ → ℕ →ℕ g f n → n 2 → h2 (n) = ( f g )( n ) = f [ g (n) ] = n 2 + 1
Por lo que la composición no es conmutativa: g f ≠ f g
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Proposición →B , Sean A, B, C y D cuatro conjuntos y sean f, g, h tres aplicaciones definidas f : A g : B → C , h : C →D La composición de aplicaciones tiene la propiedad asociativa: ( h g ) f = h ( g f ) Demostración En efecto, para cada x∊A se tiene que
{ } h ( g f ) ( x) = h ( g f ) ( x) = h { g f ( x ) } ( h g ) f ( x) = ( h g ) [ f ( x)] = h g f ( x )
Por lo tanto ( h g ) f = h ( g f )
Funciones Función y apliacación son conceptos sinónimos, pero nosotros y muchísimos autores le damos un matiz al concepto de función. Diremos que una aplicación f : A → B es una función, si los conjutnos A y B son los conjuntos numéricos, más comúnmente los conjuntos ℝ de los números reales ó ℂ de los números complejos. Es decir, si tenemos una aplicación f : ℝ → ℝ le llamaremos función, y la imagen de un elemento del dominio x∊C, que es un subconjunto unitario {y}⊂ℝ, la denotaremos simplemente por y, es decir f(x) = y. Por el resto, todos los conceptos estudiados para las aplicaciones, son exactamente los mismos que para las funciones. A la hora de representar las funciones, al tratarse de números reales, no se suele utilizar el diagrama conjuntista de Venn sino que usamos el diagrama cartesiano, donde el dominio es el eje horizontal, llamado de las X, y el conjunto imagen es el eje vertical, llamado de las Y, o llamado también f(X) porque es la imagen de X. Ejemplo Dibujar con geogebra una parábola (clásica función real de variable real) Dibujar con geogebra una circunferencia ( que no es aplicación ni función ) porque un punto tiene dos imágenes.
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U⌀ℕℤℚℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥∀⇒∊∅⊂⟇·∃ ⊂A⨯B ·U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠ la
Bibliografía: [130] Matematicas Especiales para computación; J.Luis García Valle. McGraw Hill [162] Matemáticas para la computación. Seymour Lipschutz. McGraw Hill [163] Teoria de Conjuntos y Temas afines. Seymour Lipschutz. McGraw Hill [123] Problemas de Matematicas Comunes COU. Selectividad. E.Tebar Flores [132] Matematicas Especiales. Tomos I y II. Jesus Fernández Novoa. UNED 1987
U⌀ℕℤℚℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤ℕ≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊∅⊂⟇·∃ A⨯B χ·U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|
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