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CONCEPCIÓN ARENAL Ferrol
SUBJECT: Mathematics
THEME: Linear Algebra
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1
− 1 3 , 1.- (Galicia Logse. Junio 1999) Dada una matriz P = 2 1 a) ¿Existe una matriz Q, tal que el producto P · Q, o bien el producto Q · P, sea una matriz de una sola fila? b) Calcular la matriz M = P2 − 3P − 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 1 0 − 1 2 ; B = 2.- (Galicia Logse. Junio 1999) Dadas las matrices A = Resuelve la − 1 1 − 3 1 ecuación 2A = AX + B. 3.- (Galicia Logse. Junio 1995) Calcular la matriz inversa de I − A, siendo: 1 0 0 0 1 0 I = 0 1 0 A = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 4.- (Galicia Logse. Junio 1996) Hallar el rango da siguiente matriz segun los valores del parámetro α 2 α 1 1 2 2 α α 1 2 1 1 2 5.- (Galicia, Septiembre 1994) Calcular el valor del determinante 1
0
0
a
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
6.- (Galicia, Septiembre 1997) Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones lineales: 3x − 2y + z = m 5x − 8y + 9z = 3 2x + y − 3z = −1 7.- (Galicia Prueba previa Selectividad 1998) Se considera el sistema de ecuaciones lineales m 1 3 3 x 1 − 1 . + − 1.z = 0 5 − 3 y 2 6 a) Discutirlo según los valores de m b) Resolverlo en el caso de m = 2
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2
1. (Galicia Loxse. Setembro 1995) Resolver a ecuación matricial 1 −1 x 1 y 2 = 1 1 y x −1 1 2. (Galicia Loxse. Setembro 2001) Calcule os valores do parámetro α para os que a matriz M non ten inversa. Calcule a matriz inversa de M para α = 2, se é posible. 1 0 − 1 M = 0 α 3 4 1 − α 3. (Santillana Matematicas II) Calcula el rango de A según los valores del parámetro a 1 a 1 2 A = 2 0 −1 1 −1 1 1 0 4. (Galicia Selectividad Septiembre 1999). Hallar, en función de a, el valor del determinante a a a a 2 a a a 3 2 a a 4 3 2 a 5. (Galicia Selectividad Septiembre 1999) a) Estudiar, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones:
(a + 1) x + 2 y + z = a + 3 ax + y = a ax + 3 y + z = a + 2 b) Resolver el sistema en los casos en que resulte ser compatible determinado
6. (Galicia Selectividad Junio 1998) Se considera el sistema de ecuaciones x + 2y + z = 0 y + 2z + t = 0 2 x + 2λy − t = 0 a) Encontrar los valores de λ para los que el rango de la matriz de los coeficientes del sistema es 2. b) Resolver el sistema anterior para λ = 0
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0
1. (Galicia Septiembre 1995) Sea dada la matriz M =
s
2
3
4
que r,s ≠ 1. Calcular M , M , M y M
2k
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3
r , siendo r y s dos números reales tales 0
para k ∈ N.
0 m 0 m a) estudia, según los valores de 2. (Galicia, CN Septiembre 2007) Dada la matriz A = 0 0 0 −1 m + 1 m el rango de A. b) para m = -1, calcula la matriz X que verifica X·A + A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 3.
0 0 2 3. (Santillana, Matemáticas II) Dada la matriz A = 0 2 0 , calcula A2000. 2 0 0 4. (Galicia CN Junio 2003) Calcular por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrous), y justifica los pasos, el determinante
2+a b 2+b a a
b
c c 2+c
5. (Santillana Matemáticas II) Discute el sistema siguiente según los valores del parámetro m: (m − 2) x + y = 0 x + (m − 2) y = 0 6. (Galicia Selectividad Junio 2000) Se considera el sistema de ecuaciones ax + y + z = (a − 1)(a + 2) 2 x + ay + z = (a − 1) (a + 2) 3 x + y + az = (a − 1) (a + 2) a) Comprobar que es compatible para todo valor de a b) Describir en términos geométricos el conjunto de soluciones para a = 1 y a = -2 c) Resolverlo para a = -2.
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1. (Galicia, Selectividad Septiembre 1996) Obtener las matrices A y B tales que cumplen las siguientes condiciones 8
3 5 4 1 2 = −1 −6
3A + 2B = 2A - 3B
2. (Santillana, Matemáticas II) Calcula el determinante y la inversa de la matriz 2a a a a a 2a a a A= a a 2a a a a a 2a 3. (Galicia, Prueba previa Selectividad 2001) a) Discutir en función de los valores de k y resolver cuando tenga mas de una solución el sistema
x + y + 2z = 3 2 x − y + kz = 9 x − y − 6z = 5 2 3 1 1 b) Si el rango de la matriz A = 2 − 1 k 9 es 2, determinar una combinación lineal nula de los 1 − 1 − 6 5 vectores fila F1 , F2 y F3, así como una combinación lineal nula de los vectores columna C1, C2, C3 y C4. 4. Sea el sistema
− x + λy + 2 z = λ 2 x + λy − z = 2 λx − y + 2 z = λ a) Discutir la compatibilidad del sistema según los diversos valores de λ b) Resolver el sistema para λ = 1 c) Resolver el sistema para λ = -1 5. (Galicia, Selectividad Junio 1994) Dado el sistema de ecuaciones lineales ax + y + z = 1 x + ay + z = b x + y + az = 1
a) discutir el sistema en función de a y b b) resolver el sistema para a = b = -2
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5
1. (Asturias, Septiembre 2007) Sea la matriz
−1 −2 −2 A= 1 2 1 0 − 1 −1 a) Comprueba que A3 – I = 0, donde I es la identidad y 0 la matriz nula b) Calcula A13. c) Basándose en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas, halla una matriz X que verifique la igualdad A2X + I = A 2. (Castilla la Mancha, septiembre 2001) Dadas las matrices
− 1 −1 3 1 0 0 −1 2 A = −1 0 −3 ; B = −1 2 ; C = −2 1 −1 −1 2 1 0 1 a) Halla la inversa de A- BC b) Resuelve la ecuación matricial AX – BCX = A 3. (Cantabria Setiembre 2000) Resuelve la ecuación en c :
x2 a a a
a x2 a a
a a x2 a
a a =0 a x2
4.- (Extremadura, Junio 2006) Discute el sistema de ecuaciones lineales según los valores de b
x + 2y − z = 2
x + (1 + b) y − bz = 2b x + by + (1 + b) z = 1 5.- (Castilla y Leon, Septiembre 2006) Discute según los valores del parámetro k, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resolviéndolo cuando sea posible
kx + 3 y = 0 3x + 2 y = k 3x + ky = 0
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1 2 λ B = 1. (Galicia Junio 1999)Se consideran las matrices A = 1 − 1 − 1
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6
1 3 λ 0 donde λ es un 0 2
número real a) Encontrar los valores de λ para os que AB es invertible b) Determinar los valores de λ para los que BA es invertible
x a c) Dados a y b, número reales cualesquiera, ¿puede el sistema A y = ser compatible z b determinado? 2.- (Galicia, Septiembre 2007) Dada la matriz
0 m 0 A=0 0 m 0 −1 m + 1 a) Estudia, según los valores de m, el rango de A
b) Para m = -1, calcula la matriz X que verifica XA + A = 2I, siendo I la matriz identidad. 3.- (La Rioja, Junio 2007) Halla dos raices del polinomio P(x) de grado 4 definido mediante el determinante
P( x) =
x 1 1 1 1 x 1 1 3 3 x 3 3 3 3 x
4.- (Navarra, Junio 2006) Discute según los valores del parámetro α, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resolviéndolo cuando sea posible x− y−z =0 x + (α 2 − α − 1) y = −1 x + (α 2 − α − 1) y + (α − 2 ) z = 1 − α 2 5.- (Madrid, Junio 2001) Discute según los valores del parámetro λ, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resolviéndolo cuando λ = -3 y cuando λ = 1. 1 1 1 λ x 1 1 λ y = 1 1 λ 1 1 z λ 1 1 1
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7
1 −1 1.- (Galicia, Junio 2007) Dadas las matrices A = −1 −1 2 1 Calcular los valores de a, b y c para que se verifique
2 1 1 0 0 −1 −3 2 ; B = a b c ; C = −2 −5 −3 , 0 1 −1 3 6 2 −1 t la ecuación matricial A·B =C −1 1 0 2.- (Galicia Septiembre 2005) Razona si existe matriz inversa de A = 0 1 0 , y en caso 2 0 −1 afirmativo, calcúlala. Resuelve la ecuación matricial AX + 2A = I, donde X es una matriz de orden 3 e I es la matriz identidad. 3.- (SM, Matemáticas 2) 2 −1 1 0 1 1 A= 0 0 1 0 0 0
Calcula el rango de la siguiente matriz 2 2 3 1 8 9 1 4 6 1 8 9
4.- (Santillana, Matemáticas II) Calcula el valor del siguiente determinante: 1 −2 1 −1 −2 2 −1 2 A= 2 −3 1 −2 3
−2
1
−2
5.- (Pais Vasco, Septiembre 2003) Dado el sistema de ecuaciones x + 2 y + z = A x+ y+ z = B x + y − z = C Demostrar que es compatible determinado para cualquier valor de A, B y C y encontrar la solución en función de dichos valores 6.- (Madrid Junio 2008) Dado el sistema de ecuaciones x − ay = 2 ax − y = a + 1 Determinar para que valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = 2.
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1 1.- (Andalucía, 2005) Sean las matrices A = 1 3 Calcular los números reales x, y, z para matrices: E - x·A·B = y·C + z·D
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Worksheet
8
0 0 1 −2 1 −2 1 0 ; B = 2 ; C = −5 ; D = 2 ; E = −5 1 0 1 2 −3 5 que se verifique la siguiente igualdad entre
1 2. (Tebar flores) Halla la potencia n-ésima de la matriz A = 0 0
1
n
1 0
0 1
1
n
0 1 - 2 2 0 3. (Galicia, Septiembre 1998) Siendo las matrices A = 1 − 1 y B = 3 -1 1 − 2 2 a) ¿Se cumple la igualdad rango (A.B) = rango (A).rango(B) ¿ Justificar la respuesta. a b c tales que X.A = I, donde I es la matriz b) Encontrar todas las matrices X = d e f identidad de orden 2. c) ¿Existe alguna matriz Y, cuadrada de orden 2, tal que traspuesta de B). Justificar la respuesta.
A.Y = Bt (Bt es la matriz
4.- (Madrid, 2005) Sea el sistema de ecuaciones lineales dependientes del parámetro a a 3 + a 2 x + ay + z = 0 b3 + b 2 x + by + z = 0 c 3 + c 2 x + cy + z = 0 a) Discutir el sistema para los diferentes valores del parámetro a b) Resolver el sistema en el caso que tenga infinitas soluciones c) Resolver el sistema para a = 2. 5. (PREU ) Discutir y resolver el sistema a 3 + a 2 x + ay + z = 0 b3 + b 2 x + by + z = 0 c 3 + c 2 x + cy + z = 0
Worksheet 8