เล่มที่ 5
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41
1
เล่มที่ 5
คานา ข้าพเจ้าได้จัดทาชุดการสอนวิชาคณิต ศาสตร์ เ รื่ อ งล าดั บ และอนุ ก รม ส าหรั บ นั ก เรี ย น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 โดยศึ ก ษาหลั ก สู ต รแกนกลางการศึ ก ษาขั้ น พื้ น ฐานพุ ท ธศั ก ราช 2551 ซึ่งมีหลักการ ข้อหนึ่งคือเป็ น หลั ก สู ต รการศึ ก ษาที่ เ น้ น ผู้ เ รี ย นเป็ น ส าคั ญ ข้ า พเจ้ า จึ ง ก าหนด จุดประสงค์การเรียนรู้ และกิจกรรมการเรี ย นรู้ ที่ เ น้ น ให้ ผู้ เ รี ย นมี โ อกาสได้ ส ร้ า งองค์ ค วามรู้ ด้วยตนเองผ่านความคิด พิจารณาจากสื่อการเรียนรู้ ที่ ข้ า พเจ้ า ออกแบบขึ้ น ในการจั ด กิ จ กรรม การเรียนรู้เน้นการทางานร่วมกัน เพื่อฝึกผู้เรียนให้เรียนรู้ วิ ธี ก ารท างานร่ ว มกั บ ผู้ อื่ น บนวิ ถี ท าง ประชาธิปไตย ข้าพเจ้าได้เริ่มพัฒนาชุดการสอนนี้เพื่อทดลองใช้แ ละปรับปรุ งตั้งแต่ ปีการศึก ษา 2557 ทาให้นักเรียนบรรลุผลตามจุดประสงค์การเรียนรู้ในระดับที่น่าพอใจ ทั้งนี้ ข้าพเจ้าขอขอบคุณ รองผู้อานวยการฝ่ายวิชาการ หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ และผู้เชี่ยวชาญทุกท่าน ได้แก่ ดร.วิชัย เสวกงาม ประธานหลักสูตรและการสอน คณะครุศาสตร์จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย นางสาวสุภาพร ธรรมสอน ศึกษานิเทศก์ สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาเขต 41 ดร.วิมลรัตน์ ศรีสุข นายสุพัฒน์ มีสกุล และนายโภคิน ศรีสุวรรณ ครูชานาญการพิเศษ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม ที่ได้กรุณาแนะนา และเป็น ที่ปรึกษาในการจัดทาชุดการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่องลาดับและอนุกรม สาหรับนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ชุดนี้ ตลอดจนแก้ไข ตรวจสอบความถูกต้องทางวิชาการ
ข้าพเจ้าหวังเป็นอย่างยิ่งว่า ชุดการสอนนี้จะเป็นประโยชน์ต่อครูผู้สอนวิชาคณิต ศาสตร์ และผู้สนใจทั่วไป นายจเร หินแก้ว ครู ชานาญการ โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41
2
เล่มที่ 5
สารบัญ เรื่อง คานา สารบัญ คาชี้แจงในการใช้ชุดการสอน คาแนะนาสาหรับครู คาชี้แจงสาหรับนักเรียน แบบทดสอบก่อนเรียน กระดาษคาตอบ แบบทดสอบก่อนเรียน คาแนะนาในการใช้ชุดการสอนแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 15 ใบความรู้ที่ 5.1 เรื่องผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต แบบฝึกหัดที่ 5.1 เรื่อง ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต แบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.1 เรื่อง ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คาแนะนาในการใช้ชุดการสอนแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 16 ใบความรู้ที่ 5.2 เรื่องการแก้โจทย์ปัญหาอนุกรมเรขาคณิต แบบฝึกหัดที่ 5.2 เรื่องการแก้โจทย์ปัญหาอนุกรมเรขาคณิต แบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.2 เรื่องการแก้โจทย์ปัญหาอนุกรมเรขาคณิต แบบทดสอบหลังเรียน กระดาษคาตอบ แบบทดสอบก่อนเรียน แบบบันทึกคะแนนแบบฝึกหัดและแบบฝึกทักษะเสริ มประสบการณ์ เรื่อง ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต แบบบันทึกคะแนนแบบฝึกหัดและแบบฝึกทักษะเสริ มประสบการณ์ เรื่อง การแก้โจทย์ปัญหาอนุกรมเรขาคณิต แบบบันทึกคะแนนพัฒนา ชุดที่ 5 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและหลังเรียน เฉลยแบบฝึกหัดที่ 5.1 เฉลยแบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.1 เฉลยแบบฝึกหัดที่ 5.2 เฉลยแบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.2 บรรณานุกรม
หน้า 2 3 4 5 7 8 10 11 15 20 22 25 29 31 33 35 37 38 39 40 42 56 59 63 65 67
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41
3
เล่มที่ 5
คาชี้แจงในการใช้ชุดการสอน ชุดการสอน เรื่องลาดับและอนุกรม จัดทาขึ้นเพื่อใช้ประกอบการจัดกิจกรรม การเรียนการสอนในรายวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม จัดทาขึ้นทั้งหมด 5 ชุด ดังนี้
ชุดการสอนที่ 1 ชุดการสอนที่ 2 ชุดการสอนที่ 3 ชุดการสอนที่ 4 ชุดการสอนที่ 5
ลาดับ ลาดับเลขคณิต ลาดับเรขาคณิต อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเรขาคณิต
การใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ 1. ชุดการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เป็นชุดกิจกรรม การเรียนรู้ที่ครูจะให้นักเรียนได้ฝึกทา หลังจากที่ครูสอนตามแผนการจัดการเรียนรู้ในเรื่องนั้น ๆ เสร็จเรียบร้อยแล้ว โดยกาหนดเวลาให้นักเรียน ทาประมาณ 25 นาที และให้ทาแบบทดสอบ หลังเรียน ใช้เวลาประมาณ 5 นาที 2. หลังจากทาเสร็จแล้วตรวจคาตอบจากบัตรเฉลยคาตอบ แล้วบันทึ กคะแนน ของแบบทดสอบย่อยที่ได้ลงตารางบันทึกคะแนนความก้าวหน้าของแต่ละคน 3. เมื่อนักเรียนมีปัญหาในการทากิจกรรม หรือไม่เข้าใจ ครูอาจจะต้องอธิบาย เพิ่มเติมเป็นรายบุคคล 4. เวลาที่กาหนด ยืดหยุ่นได้ตามความสามารถของนักเรียน แต่ละคน
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41
4
เล่มที่ 5
คาชี้แจงสาหรับครู ก่อนนาชุดสอนเรื่องลาดับและอนุกรม เนื้อหาย่อยที่ 5 เรื่องอนุกรมเรขาคณิตไปใช้ จัดการเรียนการสอนควรศึกษารายละเอียดต่าง ๆ ดังนี้ 1. ครูต้องศึกษาหลักสูตร เนื้อหาวิชาและแผนการจัดการเรียนรู้ให้เข้าใจก่อนทาการสอน และต้องเตรียมวัสดุ อุปกรณ์ต่าง ๆ เพื่อใช้ในการเรียนการสอนตามระบุไว้ในแผนการจัดการเรียนรู้ แต่ละแผนการจัดการเรียนรู้ 2. ครูต้องดาเนินการสอนตามแผนการจัดการเรียนรู้อย่างเคร่งครัด 3. การจัดกิจกรรมการเรียนการสอน แบ่งออกเป็นขั้นตอนดังนี้ 3.1 ทดสอบก่อนเรียน (Pre – test) 3.2 จัดการเรียนรู้ตามแผนการจัดการเรียนรู้ตามขั้นตอนที่กาหนดไว้ดังนี้ให้ครบ ทั้ง 5 เล่ม (16 แผนการจัดการเรียนรู้) ขั้นที่ 1 นาเสนอบทเรียนต่อชั้นเรียน เป็นขั้นที่ครูแจงจุดประสงค์การเรียนรู้ บรรยาย อภิปรายประกอบการใช้สื่อเพาเวอร์พ้อย ขั้นที่ 2 การเรียนกลุ่มย่อย เป็นขั้นที่ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด โดยให้นักเรียน แต่ละกลุ่มที่ครูจัดไว้ประกอบด้วยนัก เรียนที่มีผลการเรียนระดับ เก่ง 1 คน ปานกลาง 2 คน และอ่อน 1 คน ช่วยเหลือกันในกรณีที่มีเพื่อนในกลุ่ม ทาไม่ได้หรือมีข้อสงสัย ขั้นที่ 3 ทดสอบย่อยเป็นขั้นที่นักเรียนทาแบบฝึกหัดเสริมประสบการณ์ ด้วยตนเอง ในขณะที่ครูต้องกระตุ้นและคอยตรวจสอบให้นักเรียนทาแบบฝึกทัก ษะ เสริมประสบการณ์ด้วยตนเอง เพื่อตรวจสอบความเข้าใจและปรับปรุง หรือตรวจสอบความเข้าใจของตนเอง 3.3 ทดสอบหลังเรียน
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41
5
เล่มที่ 5
คาชี้แจงสาหรับครู(ต่อ) 4. การสรุ ปบทเรียนเป็ นกิจ กรรมร่ วมระหว่างครู กบั นักเรียน หรือจะเป็ นกิจกรรมของ นักเรียนทังหมดก็ ้ ได้ 5. เนื่องจากชุดการสอนนี ้เป็ นชุดการสอนสาหรับครู ซึ่งครู ผ้ ู สอนเป็ นผู้ ดาเนินการโดยให้ นักเรียนปฏิบตั ิกิจกรรมตามขัน้ ตอนของการจัดกิจ กรรมการเรี ยนรู้ ในแต่ละครังซึ ้ ง่ มีทงการให้ ั้
ความรู้ ในภาพรวม การปฏิบตั ิกิจกรรมเป็ น กลุ่ มและการปฏิ บตั ิกิจ กรรมเป็ นรายบุคคล ครู ต้อง ดูแลควบคุม หรืออานวยความสะดวกให้ 5.1 นักเรียนปฏิบตั ิกิจกรรมตามคาแนะนาของครู ครบทุกกิจ กรรม 5.2 นักเรียนลงมือทาแบบฝึ กหัด/แบบฝึ กหัดเสริม ประสบการณ์ ขณะเรียนอย่างเต็มความสามารถ
อ่านคาชี้แจงให้เข้าใจ ก่อนนาชุดการสอนไปใช้ นะครับ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41
6
เล่มที่ 5
คำชีแ้ จงสำหรับนักเรียน 1. นักเรียนอ่านคาชี้แจงและคาแนะนาในการทาชุดการสอน ให้เข้าใจก่อนทากิจกรรมทุกครั้ง 2. นักเรียนอ่านจุดประสงค์การเรียนรู้ของชุดการสอน เพื่อให้ทราบว่า เมื่อเรียนจบแล้วนักเรียน ควรจะมีความรู้ ความสามารถในเรื่องใดบ้าง 3. นักเรียนศึกษาสาระการเรียนรู้ของชุดการสอน ให้เข้าใจ แล้วลงมือ ทาแบบฝึกใน ชุดการสอนที่ตามลาดับ 4. เมื่อนักเรียนมีปัญหาหรือไม่เข้าใจในส่วนของเนื้อหา หรือแบบฝึก ในชุดการสอน ให้กลับไปอ่านสาระการเรียนรู้ หรือศึกษาตัวอย่างอีกครั้ง หรือปรึกษาครูผู้สอน 5. การเขียนคาตอบในชุดการสอน ให้นักเรียนทาด้วยความรอบคอบ ให้ผลงาน มีความถูกต้อง สะอาดเรียบร้อย 6. ฝึกปฏิบัติตามชุดการสอน แล้วตรวจสอบคาตอบตามเฉลย ถ้าทาได้น้อยกว่า 70% ให้กลับไปทบทวนจากใบความรู้ใหม่ 7. นักเรียนทาแบบทดสอบหลังเรียน ตรวจให้คะแนนตามเฉลย ถ้าได้ต่ากว่า 70% ให้กลับไปทบทวนจากใบความรู้ใหม่ 8. สรุปผลการเรียนรู้ ประเมิน ปรับปรุงและพัฒนาตนเอง
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41
7
เล่มที่ 5
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่องอนุกรมเรขาคณิต กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์
เวลา 10 นาที 10 คะแนน รหัส ค 32101 ภาคเรียนที่ 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
จุดประสงค์การเรียนรู้ : นักเรียนสามารถ 1. บอกได้ว่าอนุกรมที่กาหนดให้เป็นอนุกรมเรขาคณิต 2. บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 3. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 4. ใช้รูปแบบของอนุกรมเรขาคณิตคิดคานวณแก้ปัญหาโจทย์ที่กาหนดให้ได้ คาชี้แจง ให้นักเรียนเลือกกาเครื่องหมาย x ข้อที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว 1. ข้อใดเป็นอนุกรมเรขาคณิต ก. 15 12 9 6 ...
ข. 1 - 4 + 9 - 16 + 25 + … ค. 2 + 4 + 6 + 8 + … ง. 1 1 1 1 ... 2 4 8 16 2. ข้อใดคือผลบวก 12 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 11 + 22 + 44 + ... ก. 22,157 ข. 22,528 ค. 45,045 ง. 45,056 3. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิ ต 1 1 1 ... 16 คือข้ อใด 32 16 8 ก. 31 31 ข. 31 1 32 32 ค. 30 31 ง. 30 29 32 32 4. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิ ต a5 48 และ a12 6,144 ตรงกับข้ อใด ก. 6n 1 ข. 6n 3 ค. 3 2n 1
ง. 3 2n 1
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41
8
เล่มที่ 5
5. อนุกรม 1 1 ... 1n ... แล้วผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมมีค่าเท่ากับ 3 9 3 ก. 2186 ข. 1093 2187 2187 ค. 1023 ง. 728 2187 2187 6. อนุกรมเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 และอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 5 และ –2 ตามลาดับ เมื่อผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมชุดนี้มีค่าเท่ากับ 215 แล้ว n มีค่าเท่ากับ ก. 5 ข. 6 ค. 7 ง. 8 7. อนุกรม 1 – 2 + 4 – 8 + … + 256 มีผลบวกเท่ากับ ก. 171 ข. 85 ค. -85 ง. -171 8. วัฒน์ต้องการฝากกับธนาคารเงินทุกเดือน โดยเดือนแรกฝาก 100 บาท เดือนที่สองฝาก 200 บาท เดือนที่สาม 400 บาท เช่นนี้เรื่อยไปเป็นลาดับเรขาคณิตจนครบ 7 เดือน วัฒน์จะเงินฝากในธนาคาร ทั้งหมดกี่บาท ก. 6,300 บาท ข. 6,400 บาท ค. 8,900 บาท ง. 12,700 บาท 9. หนังสือเล่มหนึ่งมี 250 หน้า ถ้าสมศักดิ์จะเริ่มอ่านหนังสือทุกวัน โดยวันแรกอ่าน 2 หน้า วันที่สอง อ่าน 6 หน้า วันที่สามอ่าน 18 หน้า เช่นนี้เรื่อยไปเป็นลาดับเรขาคณิตจนจบ สมศักดิ์ จะใช้เวลาอ่าน อย่างน้อยที่สุดกี่วัน ก. 8 วัน ข. 7 วัน ค. 6 วัน ง. 5 วัน 10. ถ้าสุดาเข้าทางานในบริษัทแห่งหนึ่ง โดยได้รับเงินเดือนเริ่มต้นเดือนละ 10,000 บาท และเพิ่มขึ้น 10% ทุกปี แล้วสุดาจะได้รับเงินเดือนๆละเท่าไรเมื่อ เข้าปีที่ 5 (ถ้ามีเศษทศนิยมให้ปัดทิ้ง) ก. 16,105 บาท ข. 14,641 บาท ค. 13,310 บาท ง. 12,100 บาท
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41
9
เล่มที่ 5
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่ อ นเรี ยน เล่ ม ที่ 5
เรื่อง อนุกรมเรขาคณิต ชื่อ..............................................................ชัน................เลขที ้ ่..............
ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุด และทาเครื่องหมาย (x) ลงในกระดาษคาตอบ
ทดสอบก่อนเรียน ข้อ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ก
ข
ค
ง
รวมคะแนน
คะแนนทดสอบก่อนเรียน เต็ม 10 คะแนน คะแนนที่ได้ ..................คะแนน
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 10
เล่มที่ 5
คาแนะนาในการใช้ชุดการสอนแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 15 เรื่อง ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิ ต มาตรฐานการเรียนรู้ช่วงชั้นที่ 4 สาระที่ 4 พีชคณิต มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟและแบบจาลองทาง คณิตศาสตร์อื่น ๆ แทนสถานการณ์ต่าง ๆ ตลอดจน แปลความหมาย และนาไปใช้แก้ปัญหาได้
ตัวชี้วัด ม. 4 – 6/6 เข้าใจความหมายของผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและ อนุกรมเรขาคณิต หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและ อนุกรมเรขาคณิตโดยใช้สูตรและนาไปใช้
เป้าหมาย มีไว้ให้ พุ่งชน
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 11
เล่มที่ 5 จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. ด้านความรู้ : นักเรียนสามรถ 1.1 บอกได้ว่าอนุกรมที่กาหนดให้เป็นอนุกรมเรขาคณิต 1.2 บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 1.3 หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 2. ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ : นักเรียนสามารถ 2.1 เลือกใช้วิธีการแก้ปัญหาได้อย่างเหมาะสม 2.2 ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจและสรุปผลได้อย่างเหมาะสม 2.3 ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการ นาเสนอได้อย่างถูกต้องและชัดเจน 3. ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ : นักเรียน 3.1 มีวินัย 3.2 มีความรับผิดชอบ
สาระการเรียนรู้ อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมที่ได้จากลาดับเรขาคณิตเรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของ ลาดับเรขาคณิตจะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต ด้วย บทนิยาม ถ้า หรือ ที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ r แล้วอนุกรม
เป็นลาดับเรขาคณิต
หรือ เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนเท่ากับ r
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 12
เล่มที่ 5
กิจกรรมการจัดการเรียนรู้ ขั้นที่ 1 ขั้นนาเสนอข้อมูลต่อนักเรีย นทั้งชั้นเรีย น 1. ทดสอบก่อนเรียน 2. นักเรียนนั่งกลุ่มเดิม กลุ่มละ 5 – 6 คน ครูแจ้งจุดประสงค์การเรียนรู้และวิธีการเรียน ในแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 15 3. ทบทวนความรู้เรื่องลาดับเรขาคณิตโดยการถามตอบ โดยใช้เพาเวอร์พ้อย 4. ครูใช้เพาเวอร์พ้อยแสดงอนุกรมเรขาคณิต ให้นักเรียนพิจารณาลักษณะที่เหมือนกันของ แต่ละอนุกรม 5. ครูและนักเรียนร่วมกันบอกที่มาจากตัวอย่างที่ 1 และสรุปความหมายอนุกรมเรขาคณิต 6. ครูใช้เพาเวอร์พ้อยประกอบการอธิบายตัวอย่างที่ 2 – 4 7. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปวิธีการผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ขั้นที่ 2 ขั้นเรียนเป็นกลุ่มย่อย 8. นักเรียนแต่ละกลุ่มทาโจทย์ในแบบฝึกหัดที่ 5.1 เรื่องการหาผลบวก n พจน์แรกของ อนุกรมเรขาคณิต จานวน 5 ข้อ โดยให้สมาชิกในกลุ่มช่วยกันอธิบายเพื่อสร้างความเข้าใจ ในกรณีที่มี เพื่อนในกลุ่มไม่สามารถทาแบบฝึกหัดได้ ขั้นที่ 3 การทดสอบเป็นรายบุ คคล 9. นักเรียนทาแบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.1 เรื่องการหาผลบวก n พจน์แรก ของอนุกรมเรขาคณิต จานวน 5 ข้อ 10. ครูเฉลยแบบทดสอบและให้นักเรียนคานวณคะแนนพัฒนาการของแต่ล ะบุค คล ด้วยตนเองแล้วนาคะแนนพัฒนาการมาหาค่าเฉลี่ย ขั้นที่ 4 ขั้นยกย่อง 11. ครูประกาศรายชื่อกลุ่มที่มีคะแนนพัฒนาการเฉลี่ยสูงสุ ด ให้นักเรียนในชั้นเรียนร่วมกัน แสดงความยินดีด้วยการปรบมือ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 13
เล่มที่ 5
สื่อการเรียนรู้
1. 2. 3. 4.
เพาเวอร์พ้อยเรื่องหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต แบบฝึกหัดที่ 5.1 เรื่อง ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต แบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.1 เรื่อง ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ใบความรู้ที่ 5.1 เรื่องผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 14
เล่มที่ 5
ใบความรู้ที่ 5.1
นักเรียนสามรถ 1. บอกได้ว่าอนุกรมที่กาหนดให้เป็นอนุกรมเรขาคณิต 2. บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 3. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้
อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมที่ได้จากลาดับเรขาคณิตเรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลาดับ เรขาคณิตจะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้ วย
บทนิยาม ถ้า a1,a2,a3,…,an หรือ a1,a2,a3,…,an,… เป็นลาดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม เท่ากับ r แล้วอนุกรม a1 + a2 + a3 +… + an หรือ a1 + a2 + a3 +… + an +… เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนเท่ากับ r
ตัวอย่าง อนุกรมเรขาคณิต 1. 2 8 32 ... 8192 เป็นอนุกรมเรขาคณิต มีอัตราส่วนร่วม r = 4 2. 3, 3 , 3 , 3 ,... เป็นลาดับเรขาคณิต มีอัตราส่วนร่วม r = 1 2 4 8 2 3. 5 + 10 + 20 + 40 + … เป็นอนุกรมเรขาคณิต มีอัตราส่วนร่วม r = 2
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 15
เล่มที่ 5
ตัวอย่างที่ 1
n สมมุติให้ an a1rn1 เป็นพจน์ที่ n ของอนุกรมเลขคณิต ak ในการหาผลรวมของอนุกรม k1 โดยการคูณตลอดด้วยอัตราส่วนร่วม r เพื่อสร้างสมการใหม่ ให้ S n แทนผลรวม n พจน์แรก จะได้ Sn a1 a2 a3 ...,an --------------(1) Sn a1 a1r a1r2 ...,a1rn 1 นา อัตราส่วนร่วม r เมื่อ r 1 และ r 1 คูณตลอดสมการ (1) --------------(2) Snr a1r a1r2 a1r3 ...,a1rn นาสมการ (1) ลบ (2) จะได้ Sn Snr a1 a1r n Sn (1 Snr) a1(1 r n ) a1(1 r n ) Sn 1 r หรือจาก Sn Snr a1 a1rn Sn (1 r) a1 a1r n1 r Sn (1 r) a1 an r a a r Sn 1 n 1 r ถ้า นา อัตราส่วนร่วม r เมื่อ r 1 และ r 1 คูณตลอดสมการ (1) --------------(3) Snr a1r a1r2 a1r3 ... a1rn นาสมการ (3) ลบ (1) จะได้ Snr Sn a1r n a1 Sn (r 1) a1(r n 1) a1(r n 1) Sn r 1
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 16
เล่มที่ 5 Snr Sn a1r n a1 Sn (r 1) a1r n1 r a1 Sn (r 1) an r a1 a r a1 Sn n r 1
หรือจาก
ดังนั้น การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต หาได้จากสูตรดังนี้
สูตร 1.
หรือ
,
เมื่อ
2.
หรือ
,
เมื่อ ตัวอย่างที่ 2
จงหาผลบวกแปดพจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1+2+4+8+… วิธีทา อนุกรมที่กาหนดให้มี a1 1 และ r = 2 สูตร
a1(r n 1) Sn r 1 8 S 8 1(2 1) 2 1 8 2 1 225
,
a (1 r n ) Sn 1 1 r
,
a (1 r n ) Sn 1 1 r
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 17
เล่มที่ 5 ตัวอย่ ำงที่ 3
จงหาผลบวกสี่พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 6 และ r = 4 วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี a1 6 และ r = 2 สูตร
a (r n 1) Sn 1 r 1 4 S 4 6(2 1) 2 1 6(24 1) 90
,
a (1 r n ) Sn 1 1 r
,
a (1 r n ) Sn 1 1 r
ตอบ ตัวอย่ ำงที่ 4
อนุกรมเรขาคณิตมี a1 729 , r 1 และ Sn 1089 จงหาค่าของ n 3 วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี a1 729 , r 1 และ Sn 1089 3 n a (r 1) Sn 1 สูตร , r 1 ( 31)n 1089 729(1 ) 1 1 3 n 1 729(1 ) 3 1089 2 3 n 1 2 1089 729(1 ) 3 3 n 1 726 729 729 3 n 1 729 3 3 a (1 r n ) Sn 1 1 r
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 18
เล่มที่ 5 1 3 1 3 1 3
ดังนั้น
n
n n
1 243
1 243
1 3
n = 5
5 ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 19
เล่มที่ 5 ชื่อ.............................................ชั้น.........เลขที่..........
แบบฝึกหัดที่ 5.1
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1. บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 2. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาหาคาตอบแต่ละข้อต่อไปนี้
(ข้อละ 3 คะแนน)
1. จงหาผลบวกห้าพจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 3+6+12+24+… วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี.............................................................................................. สูตร.......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................
2. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 -2 และ r = -1 วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี................................................................................................ สูตร.......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 20
เล่มที่ 5 3. ถ้าอนุกรมเรขาคณิตชุดหนึ่งมี a1 2 , r = 3 และ Sn 242 จงหาค่า n วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี................................................................................................ สูตร............................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................
4. อนุกรม 2 + 10 + 50 + ... บวกกันกี่พจน์จึงจะได้ 312 วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี................................................................................................ สูตร............................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................
5. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1 3 3 27 ... วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี................................................................................................ สูตร............................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 21
เล่มที่ 5
แบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.1 ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1. บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 2. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้
ชื่อ........................................................................ชั้น ..............เลขที่ ............. คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาหาคาตอบแต่ละข้อต่อไปนี้ (ข้อละ 3 คะแนน)
1. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 2 , r = 4 และ an 2 243 วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี................................................................................................ สูตร............................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................
2. จงผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต (-3) + (-6) + (-12) + (-24) + ... วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี.................................................................................................. สูตร............................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 22
เล่มที่ 5 3. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 5 + 25 + 125 + 625 + ... วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี................................................................................................ สูตร.............................................................................................................................................................. ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................
4. ถ้าอนุกรมเรขาคณิตชุดหนึ่งมี a1 8 , r 3 และ an 81 จงหาผลบวก n พจน์แรก 2 2 ของอนุกรมชุดนี้ วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี................................................................................................ สูตร............................................................................................................................................................. ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 23
เล่มที่ 5 5. อนุกรมเรขาคณิตมี Sn 781
,
r 1 และ n = 5 จงหาค่าของ a1 5
วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี................................................................................................ สูตร.............................................................................................................................................................. ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................
แบบฝึกทักษะเสริม ประสบการณ์ที่ 5.1 (คะแนนเต็ม 15 คะแนน) เกณฑ์การผ่าน คะแนนที่ได้จากการทาแบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.1 ตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไปถือว่าผ่านเกณฑ์ เกณฑ์การประเมิน แบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ เกณฑ์การให้คะแนน : ระดับคะแนน 3 หมายถึง ระดับคะแนน 2 หมายถึง ระดับคะแนน 1 หมายถึง ระดับคะแนน 0 หมายถึง
5.1 เป็นแสดงวิธีทา ตรวจสอบคาตอบได้จากเฉลย แสดงวิธีทาได้ถูกต้องสมบูรณ์ และคาตอบถูกต้อง แสดงวิธีทาได้บางส่วน และคาตอบถูกต้อง แสดงวิธีทาได้บางส่วน และคาตอบไม่ถูกต้อง ไม่แสดงวิธีทา และไม่มีคาตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 24
เล่มที่ 5
คาแนะนาในการใช้ชุดการสอนแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 16 เรื่อง การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิต มาตรฐานการเรียนรู้ช่วงชั้น ที่ 4 สาระที่ 4 พีชคณิต มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟและแบบจาลองทาง คณิตศาสตร์อื่น ๆ แทนสถานการณ์ต่าง ๆ ตลอดจน แปลความหมาย และนาไปใช้แก้ปัญหาได้ ตัวชี้วัด ม. 4 – 6/6 เข้าใจความหมายของผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและ อนุกรมเรขาคณิต หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและ อนุกรมเรขาคณิตโดยใช้สูตรและนาไปใช้
เป้าหมาย มีไว้ให้ พุ่งชน
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 25
เล่มที่ 5 จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. ด้านความรู้ : นักเรียนสามารถ 1.1 บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 1.2 ใช้รูปแบบของอนุกรมเรขาคณิตคิดคานวณแกปัญหาโจทย์ที่กาหนดให้ ได้ 2. ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ : นักเรียนสามารถ 2.1 เลือกใช้วิธีการแก้ปัญหาได้อย่างเหมาะสม 2.2 ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจและสรุปผลได้อย่างเหมาะสม 2.3 ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อ ความหมายและการนาเสนอได้อย่างถูกต้องและชัด เจน 3. ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ : นักเรียน 3.1 มีวินัย 3.2 มีความรับผิดชอบ
สาระการเรียนรู้ อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมที่ได้จากลาดับเลขคณิตเรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลาดับ เลขคณิต จะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย
บทนิยำม ถ้ า
หรือ
เป็ นลาดับเรขาคณิ ตที่มี
อัตราส่ วนร่วมเท่ากับ r แล้ วอนุกรม หรือ
เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิ ต ที่มีอตั ราส่ วนเท่ากับ r
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 26
เล่มที่ 5 การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต หาได้จากสูตรดังนี้ a an r a a r สูตร 1. หรือ Sn 1 , Sn 1 n 1 r 1 r เมื่อ r 1 a r a1 a (r n a1) 2. หรือ Sn 1 , Sn n r 1 r 1 เมื่อ r 1
a (1 r n ) Sn 1 1 r
a (1 r n ) Sn 1 1 r
กิจกรรมการจัดการเรียนรู้ ขั้นที่ 1 ขั้นนาเสนอข้อมูลต่อนักเรีย นทั้งชั้นเรีย น 1. นักเรียนนั่งกลุ่มเดิม กลุ่มละ 5 – 6 คน ครูแจ้งจุดประสงค์การเรียนรู้และวิธีการเรียน การ เรียนรู้ประจาแผนการจัดการที่ 16 ให้นักเรียนทราบว่าเมื่อเรียนจบแผนการจัดการเรียนรู้นี้แล้ว นักเรียนสามารถแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้รูปแบบโดยสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ อย่างถูกต้อง 2. ทบทวนความรู้เดิมว่า อนุกรมที่ได้จากลาดับเรขาคณิตเรียกว่ า อนุกรมเรขาคณิต และ อัตราส่วนร่วมของลาดับเรขาคณิต จะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย 3. ครูยกตัวอย่างเพิ่มเติม โดยใช้เพาเวอร์พ้อย ดังนี้ ขั้นที่ 2 ขั้นเรียนเป็นกลุ่มย่อย 4. นักเรียนแต่ละกลุ่ม ร่วมกันศึกษาใบความรู้ที่ 5.2 เรื่องอนุกรม เกี่ยวกับการแก้โจทย์ ปัญหาอนุกรมเรขาคณิต 5. นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันศึกษาทาความเข้าใจ ทาโจทย์ในแบบฝึกหัดที่ 5.2 เรื่องการแก้โจทย์ปัญหาอนุกรมเรขาคณิต โดยให้สมาชิกในกลุ่มช่วยกันอธิบาย เพื่อสร้าง ความเข้าใจ ในกรณีที่มีเพื่อนในกลุ่มไม่สามารถทาแบบฝึกทักษะได้ ครูคอยชี้แนะให้คาปรึกษา และเฉลยแบบฝึกหัดที่ 5.2 ร่วมกัน ขั้นที่ 3 การทดสอบเป็นรายบุ คคล 6. นักเรียนทาแบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.2 เรื่องอนุกรม เกี่ยวกับการแก้โจทย์ ปัญหาอนุกรมเรขาคณิต 7. ทดสอบหลังเรียน 8. ครูเฉลยแบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ ที่ 5.2 และแบบทดสอบหลังเรียน และให้นักเรียนคานวณคะแนนพัฒนาการของแต่ละบุคคลด้วยตนเอง แล้วนาคะแนนพัฒนาการ มาหาค่าเฉลี่ย
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 27
เล่มที่ 5 ขั้นที่ 4 ขั้นยกย่อง 9. ครูประกาศรายชื่อกลุ่มที่มีคะแนนพัฒนาการเฉลี่ยสูงสุ ด ให้นักเรียนในชั้นเรียนร่วมกัน
แสดงความยินดีด้วยการปรบมือ
สื่อกำรเรี ยนรู้ 1. 2. 3. 4.
เพาเวอร์พ้อยเรื่องการแก้โจทย์ปัญหาอนุกรมเรขาคณิ ต แบบฝึกหัดที่ 5.2 เรื่องการแก้โจทย์ปัญหาอนุกรมเรขาคณิต แบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.2 เรื่องการแก้โจทย์ปัญหาอนุกรมเรขาคณิต ใบความรู้ที่ 5.2 เรื่องการแก้โจทย์ปัญหาอนุกรมเรขาคณิต
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 28
เล่มที่ 5
ใบความรู้ที่ 5.2 การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิต นักเรียนสามรถ 1. บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 2. ใช้รูปแบบของอนุกรมเรขาคณิตคิดคานวณแก้ปัญหาโจทย์ที่ กาหนดให้ไ ด้
อนุกรมที่ได้จากลาดับเลขคณิตเรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลาดับเลขคณิต จะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย
บทนิยาม ถ้า a1,a2,a3,…,an หรือ a1,a2,a3,…,an,… เป็นลาดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม เท่ากับ r แล้วอนุกรม a1 + a2 + a3 +… + an หรือ a1 + a2 + a3 +… + an +… เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนเท่ากับ r
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 29
เล่มที่ 5
การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต หาได้จากสูตรดังนี้ a an r a a r สูตร 1. หรือ Sn 1 , Sn 1 n 1 r 1 r เมื่อ r 1 an r a1 a1(r n a1) 2. หรือ Sn , Sn r 1 r 1 เมื่อ
a (1 r n ) Sn 1 1 r
a (1 r n ) Sn 1 1 r
a (r n a1) Sn 1 r 1
ตัวอย่าง
กรตั้งใจว่าจะออมเงินไว้เพื่อซื้อเครื่ องกีฬา โดยวันแรกจะออมไว้ 20 บาท วันที่สอง 40 บาท วันที่สาม 80 บาท เช่นนี้เรื่อยไปจนครบ 7 วัน เมื่อครบ 7 วัน เขาจะมีเงินเท่าไร วิธีทา จานวนที่ออมแต่ละวัน แทนด้วยลาดับเรขาคณิตดังนี้ 20 , 40 , 80 , … มี a1 20 , r 40 หรือ r = 2 20 หาจานวนเงินทั้งหมดที่กรเก็บได้ 7 วัน a1(r n 1) สูตร Sn , r 1 7 S 7 20(2 1) , 2 1 20(128 1) 20(127) 2,540 a (1 r n ) Sn 1 1 r
a (1 r n ) Sn 1 1 r
ดังนั้นเมื่อครบ 7 วัน กรจะมีเงิน 2,540 บาท
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 30
เล่มที่ 5
ชื่อ....................................................ชั้น ..............เลขที่ .............
แบบฝึกหัดที่ 5.2
นักเรียนสามรถ 1. บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 2. ใช้รูปแบบของอนุกรมเรขาคณิตคิดคานวณแกปัญหาโจทย์ที่กาหนดให้ได้
คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาหาคาตอบแต่ละข้อต่อไปนี้ (ข้อละ 5 คะแนน) 1. แนนตั้งใจจะออมเงินโดยวันแรกเขาเก็บไว้ 1 บาท วันที่สอง 2 บาท วันที่สาม 4 บาท วันที่สี่ 8 บาท เช่นนี้เรื่อยไปจนครบ 15 วัน แนนจะมีเงินออมทั้งหมดเท่าไร วิธีทา จากโจทย์จะได้......................................................................................................... สูตร........................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 31
เล่มที่ 5 2. ผลบวกของพจน์ที่ 1 และพจน์ที่ 2 ของอนุกรมเรขาคณิตเท่ากับ -8 และ ผลบวก ของพจน์ที่ 4 และ 5 มีค่าเท่ากับ 64 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมนี้ วิธีทา จากโจทย์จะได้......................................................................................................... สูตร........................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 32
เล่มที่ 5
แบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.2
นักเรียนสามรถ 1. บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 2. ใช้รูปแบบของอนุกรมเรขาคณิตคิดคานวณแก้ปัญหาโจทย์ที่ กาหนดให้ไ ด้
ชื่อ.............................................................................ชั้น..............เลขที่............. คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาหาคาตอบแต่ละข้อต่อไปนี้ (ข้อละ 5 คะแนน) 1. ดิวเป็นคนงานในโรงงานแห่งหนึ่ง เธอฝากเงินกับโรงงานเป็นรายเดือนเดือนละ 100 บาท ในแต่ละปีต่อมาดิวมีรายได้มากขึ้น จึงฝากเงินเพิ่มขึ้นอีก 20% ของจานวนเงินที่เธอฝากตลอดปีที่ ผ่านมา เมื่อสิ้นปีที่ 6 ดิวมีความจาเป็นต้องลาออกจากงานเธอจึงขอถอนเงิน ที่เธอฝากไว้ ดิวจะมีเงิน ฝาก(ไม่รวมดอกเบี้ย)เป็นเงินกี่บาท วิธีทา จากโจทย์จะได้......................................................................................................... สูตร........................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 33
เล่มที่ 5 2. แบคทีเรียกลุ่มหนึ่งขยายพันธุ์โดยเพิ่มขึ้น 20% ในแต่ละชั่วโมง ถ้าเดิมมีแบคทีเรีย 1,000 ตัว จงหาสูตรที่ใช้ในการหาจานวนแบคทีเรียในเวลา t ชั่วโมง และเมื่อเวลาผ่านไป 10 ชั่วโมง จะมีแบคทีเรียทั้งหมดกี่ตัว วิธีทา จากโจทย์จะได้......................................................................................................... สูตร........................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................
แบบฝึกทักษะเสริม ประสบการณ์ที่ 5.2 (คะแนนเต็ม 10 คะแนน) เกณฑ์การผ่าน คะแนนที่ได้จากการทาแบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.2 ตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไปถือว่าผ่านเกณฑ์ เกณฑ์การประเมิน แบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ เกณฑ์การให้คะแนน : ระดับคะแนน 5 หมายถึง ระดับคะแนน 4 หมายถึง ระดับคะแนน 3 หมายถึง ระดับคะแนน 2 หมายถึง ระดับคะแนน 1 หมายถึง ระดับคะแนน 0 หมายถึง
5.2 เป็นแสดงวิธีทา ตรวจสอบคาตอบได้จากเฉลย แสดงวิธีทาได้ถูกต้องสมบูรณ์ และคาตอบถูกต้อง แสดงวิธีทาได้ถูกต้องสมบูรณ์ และคาตอบไม่ถูกต้อง แสดงวิธีทาได้บางส่วน และคาตอบถูกต้อง แสดงวิธีทาได้บางส่วน และคาตอบไม่ถูกต้อง ไม่แสดงวิธีทา และคาตอบถูกต้อง ไม่แสดงวิธีทา และไม่มคี าตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 34
เล่มที่ 5
แบบทดสอบหลังเรียน เรื่องอนุกรมเรขาคณิต กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์
เวลา 10 นาที 10 คะแนน รหัส ค 32101 ภาคเรียนที่ 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
จุดประสงค์การเรียนรู้ : นักเรียนสามรถ 1. บอกได้ว่าอนุกรมที่กาหนดให้เป็นอนุกรมเรขาคณิต 2. บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 3. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 4. ใช้รูปแบบของอนุกรมเรขาคณิตคิดคานวณแก้ปัญหาโจทย์ที่ กาหนดให้ไ ด้ คาชี้แจง ให้นักเรียนเลือกกาเครื่องหมาย x ข้อที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว 1. ข้อใดเป็นอนุกรมเรขาคณิต ก. 1 1 1 1 ... 16 8 4 2 ค. 1 1 1 2 4 ... 4 2
ข. 1 10 1 1 ... 100 100 10 ง. 6 + 9 + 12 + 15 + …
2. ข้อใดคือผลบวก 11 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 11+ 22 + 44 + ... ก. 22,157 ข. 22,517 ค. 45,045 ง. 45,056 3. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 1 1 ... 16 คือข้อใด 32 16 8 ก. 30 29 ข. 30 31 32 32 ค. 31 1 ง. 31 31 32 32 4. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต a5 96 และ a12 12,288 ตรงกับข้อใด ก. 6n 1 ข. 6n 3 ค. 3 2n 1 ง. 3 2n 1
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 35
เล่มที่ 5 5. อนุกรม 1 + 1 +...+ 1n-1 +... แล้วผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมมีค่าเท่ากับ 2 2 3 23 ก. 2186 ข. 1093 2187 2187 ค. 1093 ง. 729 1458 1458 6. อนุกรมเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 และอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 5 และ -2 ตามลาดับ เมื่อผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมชุดนี้มีค่าเท่ากับ 855 แล้ว n มีค่าเท่ากับ ก. 9 ข. 10 ค. 11 ง. 12 7. อนุกรม 1 + 2 + 4 + 8 + … + 256 มีผลบวกเท่ากับ ก. 512 ค. 256
ข. 511 ง. 255
8. สุต้องการฝากกับธนาคารเงินทุกเดือน โดยเดือนแรกฝาก 50 บาท เดือนที่สองฝาก 100 บาท เดือนที่สาม 200 บาท เช่นนี้เรื่อยไปเป็นลาดับเรขาคณิตจนครบ 8 เดือน สุจะเงินฝากในธนาคาร ทั้งหมดกี่บาท ก. 11,750 บาท ข. 12,100 บาท ค. 12,750 บาท ง. 13,100 บาท 9. หนังสือเล่มหนึ่งมี 720 หน้า ถ้าสมเดชจะเริ่มอ่านหนังสือทุกวัน โดยวันแรกอ่าน 2 หน้า วันที่สอง อ่าน 6 หน้า วันที่สามอ่าน 18 หน้า เช่นนี้เรื่อยไปเป็นลาดับเรขาคณิตจนจบ สมเดชจะใช้เวลาอ่าน อย่างน้อยที่สุดกี่วัน ก. 8 วัน ข. 7 วัน ค. 6 วัน ง. 5 วัน 10. ถ้าสุดาเข้าทางานในบริษัทแห่งหนึ่ง โดยได้รับเงินเดือนเริ่มต้นเดือนละ 5,000 บาท และ เพิ่มขึ้น 10% ทุกปี แล้วสุดาจะได้รับเงินเดือนๆละเท่าไรเมื่ อเข้าปีที่ 5 (ถ้ามีเศษทศนิยมให้ปัดทิ้ง) ก. 7,320 บาท ข. 6,715 บาท ค. 6,655 บาท ง. 6,050 บาท
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 36
เล่มที่ 5
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลั ง เรี ย น เล่ ม ที่ 5
เรื่อง อนุกรมเรขาคณิต ชื่อ........................................................ชั้น................เลขที่..............
ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุด และทาเครื่องหมาย (x) ลงใน กระดาษคาตอบ
ทดสอบหลังเรียน ข้อ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ก
ข
ค
ง
รวมคะแนน
คะแนนทดสอบหลังเรียน เต็ม 10 คะแนน คะแนนที่ได้ ..................คะแนน
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 37
เล่มที่ 5
แบบบันทึกคะแนนแบบฝึกหัดและแบบฝึก ทักษะเสริมประสบการณ์ เรื่อง ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ชื่อกลุ่ม........................................................................................................................................................... กลุ่มที่ ................... ชั้น ม. 5/............... วัน/เดือน/ปี ที่ประเมิน.................................................. คะแนน แบบฝึกหัด ที่ 5.1
ชื่อ - สกุล
คะแนนแบบฝึก ทักษะเสริม ประสบการณ์ ที่ 5.1
สรุปผลการประเมิน ผ่าน เกณฑ์
ไม่ผ่าน เกณฑ์
1. .................................................................... 2. .................................................................... 3. .................................................................... 4. .................................................................... 5. .................................................................... คะแนนรวม คะแนนเฉลี่ย แบบฝึกทักษะเสริม ประสบการณ์ที่ 5.1 (คะแนนเต็ม 15 คะแนน) เกณฑ์การผ่าน คะแนนที่ได้จากการทาแบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.1 ตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไปถือว่าผ่านเกณฑ์
เกณฑ์การประเมิน แบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ เกณฑ์การให้คะแนน : ระดับคะแนน 3 หมายถึง ระดับคะแนน 2 หมายถึง ระดับคะแนน 1 หมายถึง ระดับคะแนน 0 หมายถึง
5.1 เป็นแสดงวิธีทา ตรวจสอบคาตอบได้จากเฉลย แสดงวิธีทาได้ถูกต้องสมบูรณ์ และคาตอบถูกต้อง แสดงวิธีทาได้บางส่วน และคาตอบถูกต้อง แสดงวิธีทาได้บางส่วน และคาตอบไม่ถูกต้อง ไม่แสดงวิธีทา และไม่มีคาตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 38
เล่มที่ 5
แบบบันทึกคะแนนแบบฝึกหัดและแบบฝึก ทักษะเสริมประสบการณ์ เรื่อง การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิต ชื่อกลุ่ม........................................................................................................................................................... กลุ่มที่ ................... ชั้น ม. 5/............... วัน/เดือน/ปี ที่ประเมิน .................................................. คะแนน แบบฝึกหัด ที่ 5.2
ชื่อ - สกุล
คะแนนแบบฝึก ทักษะเสริม ประสบการณ์ ที่ 5.2
สรุปผลการประเมิน ผ่าน เกณฑ์
ไม่ผ่าน เกณฑ์
1. .................................................................... 2. .................................................................... 3. .................................................................... 4. .................................................................... 5. .................................................................... คะแนนรวม คะแนนเฉลี่ย แบบฝึกทักษะเสริม ประสบการณ์ที่ 5.2 (คะแนนเต็ม 10 คะแนน) เกณฑ์การผ่าน คะแนนที่ได้จากการทาแบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.2 ตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไปถือว่าผ่านเกณฑ์
เกณฑ์การประเมิน แบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ เกณฑ์การให้คะแนน : ระดับคะแนน 3 หมายถึง ระดับคะแนน 2 หมายถึง ระดับคะแนน 1 หมายถึง ระดับคะแนน 0 หมายถึง
5.2 เป็นแสดงวิธีทา ตรวจสอบคาตอบได้จากเฉลย แสดงวิธีทาได้ถูกต้องสมบูรณ์ และคาตอบถูกต้อง แสดงวิธีทาได้บางส่วน และคาตอบถูกต้อง แสดงวิธีทาได้บางส่วน และคาตอบไม่ถูกต้อง ไม่แสดงวิธีทา และไม่มีคาตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 39
เล่มที่ 5
แบบบันทึกคะแนนพัฒนา ชุดที่ 5 เรื่อง อนุกรมเรขาคณิต
คะแนนพัฒนาการ
ผลต่างของคะแนนทดสอบ ก่อนเรียนกับคะแนน ทดสอบหลังเรียน
คะแนนทดสอบหลังเรียน
ชื่อ - สกุล
คะแนนฐาน(ได้คะแนนจาก ทดสอบก่อนเรียน)
ชื่อกลุ่ม......................................................................................................................................................... กลุ่มที่ ................... ชั้น ม. 5/............... วัน/เดือน/ปี ที่ประเมิน..................................................
1. .......................................................... 2. .......................................................... 3. .......................................................... 4. ............................................................ 5. ............................................................ ผลรวมคะแนนพัฒนา คะแนนพัฒนาเฉลี่ยของกลุ่ม ระดับของกลุ่ม
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 40
เล่มที่ 5 เกณฑ์การคิดคะแนนพั ฒนา คะแนนพัฒนา หมายถึง คะแนนที่ได้จากการนาผลต่างของคะแนนฐานกับคะแนนทดสอบหลังเรียนที่ คิดเป็นร้อยละเทียบกับเกณฑ์ ดังนี้ ผลต่างของคะแนนที่ได้จากคะแนนฐานกับคะแนนแบบทดสอบหลังเรียน ต่ากว่าคะแนนฐานมากกว่า 10 คะแนน ต่ากว่าคะแนนฐานไม่เกิน 10 คะแนน เท่ากับหรือมากกว่าคะแนนฐานไม่เกิน 10 คะแนน มากกว่าคะแนนฐาน 10 คะแนนขึ้นไป
คะแนนพัฒนา 0 10 20 30
เกณฑ์การตัดสินกลุ่มที่ ได้รั บการยกย่ องหรือยอมรับ นาคะแนนพัฒนาของสมาชิกแต่ละกลุ่มรวมกัน แล้วนามาหาค่าเฉลี่ยคะแนนที่ได้จะเป็นคะแนนพัฒนา เฉลี่ยของกลุ่ม แล้วเปรียบเทียบระดับพัฒนากับเกณฑ์เพื่อกาหนดระดั บกลุ่มดังนี้ คะแนนพัฒนาเฉลี่ยของกลุ่ม 15 – 19 คะแนน 20 – 24 คะแนน 25 – 30 คะแนน
ระดับกลุ่ม เก่ง เก่งมาก ยอดเยี่ยม
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 41
เล่มที่ 5
เฉลยแบบทดสอบก่อ น - หลัง เรีย น เล่ม ที่ 5 เรื่อง อนุกรมเรขาคณิต ก่อนเรียน
ข้อ ก ข 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 รวมคะแนน
หลังเรียน ค
ง
ข้อ ก ข 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 รวมคะแนน
ค
ง
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 42
เล่มที่ 5 เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อ นเรีย น 1. เฉลยข้อ ง แนวคิด จากบทนิยาม ถ้า a1, a 2 , a3 ,..., an หรือ a1, a 2 , a3 ,..., an ,... เป็นลาดับเรขาคณิตที่มี อัตราส่วนร่วมเท่ากับ r แล้วอนุกรม a1 a 2 a3 ...,an หรือ a1 a 2 a3 ... an ... เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนเท่ากับ r ก. มีผลต่างร่วม d = -3 ดังนั้น เป็นอนุกรมเลขคณิต ข. ไม่มีผลต่างร่วมและอัตราส่วนร่วมจึงไม่ เป็นอนุกรมเลขคณิต และอนุกรมเรขาคณิ ต ค. มีผลต่างร่วม d = 2 ดังนั้น เป็นอนุกรมเลขคณิต ง. มีอัตราส่วนร่วม r =
ดังนั้น เป็นอนุกรมเรขาคณิต
2. เฉลยข้อ ค แนวคิด อนุกรมเรขาคณิต 11 + 22 + 44 + ... มี a1 =11 , r = 2 และ n = 12 a1(r n 1) สูตร Sn r 1 12 S12 11(2 1) 2 1 S12 11(4096 1) S12 11(4095) S12 45,045 S12 45,045 ดังนั้น
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 43
เล่มที่ 5 3. เฉลยข้อ ค แนวคิด อนุกรมเรขาคณิต 1 1 1 ... 16 32 16 8 มี a1 1 , r 2 และ an =16 32
a r a1 Sn n r 1 1 16 (2) 32 Sn = 2-1
สูตร
ดังนั้น
Sn = 32 - 1 32 Sn = 1024 - 1 32 Sn = 1023 32 Sn = 31 31 32 Sn = 31 31 32
ตอบ
4. เฉลยข้อ ง แนวคิด
จาก a5 = 48 และ a12 = 6,144 จะได้ an =a1r n-1
a1r 4 = 48 a1r11 =6,144
(2)
(1) ;
................... (1) ................... (2)
a1r11 6,144 = 48 a1r 4
r 7 = 128 r =2
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 44
เล่มที่ 5 แทน r = 2 ใน (1) จะได้ a1 = 3 a1(rn 1) จาก Sn r 1
n Sn = 3(2 -1) 2-1 Sn = 3(2n -1) ดังนั้น Sn = 3(2n -1) 5. เฉลยข้อ ข. แนวคิด
ตอบ
a1 = 1 , r = 1 และ n = 7 3 3 a1(1 - rn ) สูตร Sn = 1-r 6 1 1 1 - 3 3 Sn = 1 13 1 1 1 3 2,187 Sn = 2
มี
3 1 2,186 3 Sn = × 3 2,187 2 Sn = ดังนั้น
Sn =
1,093
2,187 1,093 2,187
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 45
เล่มที่ 5 6. เฉลยข้อ ค. แนวคิด
a1 = 5 , r =- 2 และ Sn = 215 a (1 - rn ) สูตร Sn = 1 1-r n 5 1 - -2 215 = 1 - -2 n 5 1 - -2 215 = 1 +2 n 215 3 = 1- -2 5 n 129 = 1- -2 มี
- 128 =
7
-2
ดังนั้น
=
n = 7
n -2 n -2 ตอบ
7. เฉลยข้อ ก. แนวคิด อนุกรมเรขาคณิต 1 - 2 + 4 - 8 + ... + 256 มี a1 1 , r =-2 และ an = 256 สูตร
a -a r Sn = 1 n 1-r
Sn = 1 - 256×(-2) 1- (-2) Sn = 1- (-512) 1+2 Sn = 1+512 3
Sn = 513 3
Sn = 171 Sn = 171 ดังนั้น
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 46
เล่มที่ 5 8. เฉลยข้อ ง. แนวคิด ให้ Sn แทนจานวนเงินที่วัฒน์ฝากไว้ในแต่ละเดือน a1 = 100 a2 = 200 a3 = 400 เนื่องจาก
Sn = S7 = S7 = S7 =
a1(rn -1) r -1 100((2)7 -1) 2 -1 100(128-1) 100(127)
S7 = 12,700 ดังนั้น วัฒน์จะมีเงินฝาก 12,700 บาท
ตอบ
9. เฉลยข้อ ค. แนวคิด
จากโจทย์ จะเขียนอนุกรมเรขาคณิตได้ 2 + 6 + 18 + ... มี a1 = 2 , r =3
a1(rn -1) จาก Sn = r -1 2(3n -1) = 3n -1 จะได้ Sn = 3-1 ดังนั้น 3n - 1 250 3n 250 + 1
3n 251 36 = 729 และ 729 > 250 ถ้าให้ จะได้ n = 6 ดังนั้นอ่านจบภายใน 6 วัน ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 47
เล่มที่ 5 10. เฉลยข้อ ข. แนวคิด ให้ an แทนจานวนเงินเดือนที่สุดาได้รับเพิ่มขึ้นในแต่ละปี a1 =10,000 10 1 a2 =10,000+10,000× =10,000(1+ ) =10,000(1.1) 100 10 10 2 a3 =10,000(1.1)+10,000(1.1) =10,000(1.1)(1.1) =10,000(1.1) 100 มี a1 =10,000 , r = 1.1 และ n = 5 an =a1r n-1 เนื่องจาก a5 =10,000(1.1)5-1 a5 =10,000(1.4641) a5 =14,641 ดังนั้น สุดาจะได้รับเงินเดือนเข้าปีที่ 5 คือ 14,641 บาท
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 48
เล่มที่ 5 เฉลยแนวคิดแบบทดสอบหลังเรียน 1. เฉลยข้อ ก. แนวคิด จากบทนิยาม ถ้า a1, a 2 , a3 ,..., an หรือ a1, a 2 , a3 ,..., an ,... เป็นลาดับเรขาคณิตที่มี อัตราส่วนร่วมเท่ากับ r แล้วอนุกรม a1 a 2 a3 ...,an หรือ a1 a 2 a3 ... an ... เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนเท่ากับ r ก. มีอัตราส่วนร่วม r = 2 ดังนั้น เป็นอนุกรมเรขาคณิต ข. ไม่มีผลต่างร่วมและอัตราส่วนร่วมจึงไม่ เป็นอนุกรมเลขคณิต และอนุกรมเรขาคณิ ต ค. ไม่มีผลต่างร่วมและอัตราส่วนร่วมจึงไม่เป็นอนุ กรมเลขคณิ ตและอนุกรมเรขาคณิ ต ง. มีผลต่างร่วม d = 2 ดังนั้น เป็นอนุกรมเลขคณิต 2. เฉลยข้อ ข. แนวคิด อนุกรมเรขาคณิต 11 + 22 + 44 + ... มี a1 =11 , r = 2 และ n = 11 a1(r n 1) สูตร Sn r 1 11 1) 11(2 S11 2 1 S11 11(2048 1) S11 11(2047) S11 22,517 S11 22,517 ดังนั้น
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 49
เล่มที่ 5 3. เฉลยข้อ ง. แนวคิด อนุกรมเรขาคณิต 1 1 1 ... 16 32 16 8 มี a1 1 , r 2 และ an =-16 32 สูตร
a r a1 Sn n r 1 (-16) (-2)Sn =
1 - (-2) 32-
1 32
1 32
Sn = 1+ 2
1,024 - 1 Sn = 32 3
1,023 Sn = 32 3
Sn = Sn =
1,023 1 × 32 3 341 32
Sn = 10 ดังนั้น
21 32
Sn = 10
21 32
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 50
เล่มที่ 5 4. เฉลยข้อ ง แนวคิด
จาก a5 = 96 และ a12 =12,288 จะได้ an =a1r n-1
(2)
a1r 4 = 96
................... (1)
a1r11 =12,288
................... (2)
(1) ;
a1r11 12,288 = 4 96 a1r
r 7 = 128
r =2 แทน r = 2 ใน (1) จะได้ a1 = 6 จาก
a1(rn 1) Sn r 1
n Sn = 6(2 -1) 2-1 Sn = 6(2n -1) ดังนั้น
Sn = 6(2n -1)
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 51
เล่มที่ 5 5. เฉลยข้อ ค. แนวคิด
มี สูตร
a1 = 1 , r = 1 และ n = 7 2 3
a1(1 - rn ) Sn = 1-r 1
Sn =
1 1 - 2 3 1-
1
1 -
2 Sn =
6
1
3
1 2,187 2
3 1 2,186
Sn =
2 2,187 2
3 1 2,186 3 Sn = × 2 2,187 2 Sn = ดังนั้น
Sn =
1,093
1,458 1,093
1,458
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 52
เล่มที่ 5 6. เฉลยข้อ ก. แนวคิด
a1 = 5 , r =- 2 และ Sn = 855
มี สูตร
a1(1 - rn ) Sn = 1-r 855 =
n 5 1 - -2
855 =
1 - -2
n 5 1 - -2
1 +2 n 855 3 = 1- -2 5 n 513 = 1- -2
n - -512 = -2 9 n -2 = -2
ดังนั้น
n=9
ตอบ
7. เฉลยข้อ ข. แนวคิด อนุกรมเรขาคณิต 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 256
a1 1 , r = 2 และ an = 256 a r a1 Sn n สูตร r 1 Sn = 256 2-1 2-1 มี
ดังนั้น
Sn = 512 - 1 Sn = 511 Sn = 511
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 53
เล่มที่ 5 8. เฉลยข้อ ค. แนวคิด ให้ Sn แทนจานวนเงินที่สุฝากไว้ในแต่ละเดือน a1 = 50 a2 =100 a3 = 200 เนื่องจาก
a1(rn -1) Sn = r -1 8 50( 2 -1) S7 = 2-1 S7 = 50(256-1) S7 = 50(255) S7 =12,750
ดังนั้น
สุจะมีเงินฝาก 12,750 บาท
ตอบ
9. เฉลยข้อ ค. แนวคิด
จากโจทย์ จะเขียนอนุกรมเรขาคณิตได้ 2 + 6 + 18 + ... มี a1 = 2 , r =3 a1(rn -1) จาก Sn = r -1 จะได้
n Sn = 2(3 -1) = 3n -1 3-1
ดังนั้น 3n - 1 720
3n 720 + 1 3n 721 36 = 729 และ 729 > 721 ถ้าให้ จะได้ n = 6 ดังนั้น อ่านจบภายใน 6 วัน ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 54
เล่มที่ 5 10. เฉลยข้อ ก. แนวคิด ให้ an แทนจานวนเงินเดือนที่สุดาได้รับเพิ่มขึ้นในแต่ละปี a1 = 5,000 10 1 a2 = 5,000+5,000× = 5,000(1+ ) = 5,000(1.1) 100 10 10 2 a3 = 5,000(1.1)+5,000(1.1) = 5,000(1.1)(1.1) = 5,000(1.1) 100 มี a1 = 5,000 , r = 1.1 และ n = 5 an =a1r n-1 เนื่องจาก a5 = 5,000(1.1)5-1 a5 =5,000(1.4641) a5 = 7,320 ดังนั้น สุดาจะได้รับเงินเดือนเข้าปีที่ 5 คือ 7,320 บาท
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 55
เล่มที่ 5
เฉลย
แบบฝึกหัดที่ 5.1
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1. บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 2. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้
คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาหาคาตอบแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. จงหาผลบวกห้าพจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 3+6+12+24+… วิธีทา อนุกรมที่กาหนดให้มี a1 3 และ r = 2
a1(r n 1) สูตร Sn r 1 5 S 5 3(2 1) 2 1 S 5 3(32 1) ดังนั้น S 5 93
ตอบ
2. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 -2 และ r = -1 วิธีทา อนุกรมที่กาหนดให้มี a1 -2 และ r = -1 a1(1 r n ) S สูตร n 1 r
10 S10 - 2(1 - 1 ) 1 - 1 S10 - 2(1 1) 2 S10 -1(0) ดังนั้น S10 0 ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 56
เล่มที่ 5 3. ถ้าอนุกรมเรขาคณิตชุดหนึ่งมี a1 2 , r = 3 และ Sn 242 จงหาค่า n วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี a1 2 , r = 3 และ Sn 242 a1(r n 1) สูตร Sn r 1
n 1) 2(3 242 3 1 n 242 2(3 1) 2
242 (3n 1) 242 1 3n
3n 243
3n 3 5 ดังนั้น n = 5
ตอบ
4. อนุกรม 2 + 10 + 50 + ... บวกกันกี่พจน์จึงจะได้ 312 วิธีทา จากโจทย์จะได้ a1 2 , r = 5 และ Sn 312 a1(r n 1) Sn สูตร r 1 n 312 2(5 1) 5 1 n 312 2(5 1) 4 312 2 (5n 1) 5n 1 624 5n 624 1 5n 625 5n 5 4 ดังนั้น n = 4
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 57
เล่มที่ 5 5. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1 3 3 27 ... วิธีทา จากโจทย์จะได้ a1 1 และ r 3 a1(1 r n ) สูตร Sn 1 r n 1(1 3 ) Sn 1 3 n 1 3 Sn 1 3 n 1 3 Sn ดังนั้น ตอบ 1 3
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 58
เล่มที่ 5
แบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.1
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1. บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 2. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาหาคาตอบแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 2 , r = 4 และ an
วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี a1 2 , r = 4 และ an 2 243 a r a1 สูตร Sn n r -1
2 4 2 S n 243 4-1 8 4 2 243 Sn 3 8 486 S n 243 3 S n 478 243 3 ดังนั้น S n 478 729
2 243
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 59
เล่มที่ 5 2. จงผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต (-3)+ (-6)+ (-12)+ (-24)+ ... วิธีทา จากโจทย์จะได้ a1 -3 , r = 2 และ n = 10 a1(r n 1) สูตร Sn r 1 10 S10 - 3(2 1) 2 1 S10 - 3(1024 1) 2 1 ดังนั้น S10 -3(1023)
ตอบ
3. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 5 + 25 + 125 + 625 + ... วิธีทา จากโจทย์จะได้ a1 5 และ r = 5 a1(r n 1) สูตร Sn r 1
n S n 5(5 1) 5 1
n Sn 5 5 5 4
ดังนั้น
ตอบ
3 81 4. ถ้าอนุกรมเรขาคณิตชุดหนึ่งมี a1 8 , r และ an จงหาผลบวก n พจน์แรกของ 2 2 อนุกรมชุดนี้
3 81 a1 8 , r และ an 2 2 a a r Sn 1 n 1 r
วิธีทา จากโจทย์กาหนดให้มี สูตร
81 3 2 2 Sn 3 1 2 8
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 60
เล่มที่ 5 243 4 Sn 3 1 2 32 243 Sn 4 23 2 275 Sn 4 5 2 8
Sn ดังนั้น S n
275 2 4 5 55 2
ตอบ
1 5. อนุกรมเรขาคณิตมี Sn 781 , r และ n = 5 จงหาค่าของ a1 5 วิธีทา จากโจทย์จะได้ สูตร
Sn 781 , r
a1(1 r n ) Sn 1 r 1 a1(1 5 781 1 1 5
5
1 5
)
1 ) 3125 5-1 5
781
a1(1
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 61
เล่มที่ 5
781
3125 - 1 3125
a1
4 5
3124 5 3125 4
781 a1
781 625
781 a1
625 781
a1 781
ดังนั้น a1 625
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 62
เล่มที่ 5
แบบฝึกหัดที่ 5.2 การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิต นักเรียนสามรถ 1. บอกสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้ 2. ใช้รูปแบบของอนุกรมเรขาคณิตคิดคานวณแก้ปัญหาโจทย์ที่ กาหนดให้ไ ด้
คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาหาคาตอบแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. แนนตั้งใจจะออมเงินโดยวันแรกเขาเก็บไว้ 1 บาท วันที่สอง 2 บาท วันที่สาม 4 บาท วันที่สี่ 8 บาท เช่นนี้เรื่อยไปจนครบ 15 วัน แนนจะมีเงินออมทั้งหมดเท่าไร วิธีทา จากโจทย์จะได้ ในการออมเงินของแนน แทนด้วยลาดับเรขาคณิตดังนี้ 1 , 2 , 4 , 8 , … 4 a1 1, r หรือ r = 2 2 หาจานวนเงินทั้งหมดที่กรเก็บได้ 15 วัน a1(r n 1) สูตร Sn , r 1 r 1 15 Sn 1(2 1) 2 1
32768- 1 32,767 ดังนั้นเมื่อครบ 15 วัน แนนจะมีเงิน 32,767 บาท
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 63
เล่มที่ 5 2. ผลบวกของพจน์ที่ 1 และพจน์ที่ 2 ของอนุกรมเรขาคณิตเท่ากับ -8 และผลบวกของพจน์ที่ 4 และ 5 มีค่า เท่ากับ 64 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมนี้ วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า a1 a 2 8 หรือ a1 a1r 8 ..................(1) a1(1 r) 8 และ a 4 a5 64 a1r 3 a1r 4 64 ..................(2) a1r 3 (1 r) 64 (2) (1) ; r 3 8
r 2 แทนค่า r 2 ใน (1) จะได้ a1(1 2) 8 a1 1 8 a1 8 a1(1 r n ) เนื่องจาก Sn 1 r 10 ) 8(1 2 S10 1 - 2 S10 8(1 1024) 1 2 S10 8(314) ดังนั้น S10 2728
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 64
เล่มที่ 5
แบบฝึกทักษะเสริมประสบการณ์ที่ 5.2
การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิต นักเรียนสามรถ
1. บอกสู ตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิ ตได้ 2. ใช้ รูปแบบของอนุกรมเรขาคณิ ตคิดคานวณแกปัญหาโจทย์ที่กาหนดให้ ได้ คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทาหาคาตอบแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. ดิวเป็นคนงานในโรงงานแห่งหนึ่ง เธอฝากเงินกับโรงงานเป็นรายเดือนเดือนละ 100 บาท ในแต่ละปีต่อมาดิวมีรายได้มากขึ้น จึงฝากเงินเพิ่มขึ้นอีก 20% ของจานวนเงินที่เธอฝากตลอดปีที่ผ่าน มา เมื่อสิ้นปีที่ 6 ดิวมีความจาเป็นต้องลาออกจากงานเธอจึงขอถอนเงินที่เธอฝากไว้ ดิวจะมีเงินฝาก (ไม่ รวมดอกเบี้ย) เป็นเงินกี่บาท วิธีทา ให้ an แทนจานวนเงินที่บานเย็นฝากไว้ในแต่ละปี a1 100 12 1200 120 6 a 2 1200 1200 100 5 2 120 6 6 a 3 1200 1200 5 100 5
a1(r n 1) เนื่องจาก Sn r 1 6 6 1200( 1) 5 S6 6 1 5 46656 - 156255 S 6 1200 15625 1200 31031 5 11,915.90 15625 ดังนั้น ดิวจะมีเงินฝาก (ไม่รวมดอกเบี้ย) 11,915.90 บาท S6
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 65
เล่มที่ 5 2. แบคทีเรียกลุ่มหนึ่งขยายพันธุ์โดยเพิ่มขึ้น 20% ในแต่ละชั่วโมง ถ้าเดิมมีแบคทีเรีย 1,000 ตัว จงหาสูตรที่ใช้ในการหาจานวนแบคทีเรียในเวลา t ชั่วโมง และเมื่อเวลาผ่านไป 10 ชั่วโมง จะมีแบคทีเรียทั้งหมดกี่ตัว วิธีทา จากโจทย์จะได้ แบคทีเรียเพิ่มขึ้นในแต่ละชั่วโมง 20% แสดงว่ามีจานวนแบคทีเรียใน แต่ละชั่วโมง 120% ของทั้งหมด เริ่มต้น มีแบคทีเรีย 100 ตัว 1 ชั่วโมง มีแบคทีเรีย 120 100 ตัว 100 2 ชั่วโมง มีแบคทีเรีย 120 120 100 ตัว 100 100 t ชั่วโมง มีแบคทีเรีย
120 100
t
100 ตัว
t ดังนั้น จานวนแบคทีเรียในเวลา t ชั่วโมง = 120 100 ตัว 100 10 120 เมื่อเวลาผ่านไป 10 ชั่วโมง จะมีแบคทีเรีย = 100 ตัว 100
ตอบ
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 66
เล่มที่ 5
บรรณานุกรม กนกวลี อุษณกรกุล และคณะ. คณิตศาสตร์ O – NET & Pre O–NET ม. 4 – 6. กรุงเทพฯ : ภูมิบัณฑิต. มปป. กนกวลี อุษณกรกุล และรณชัย มาเจริญทรัพย์. คณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6 เล่ม 3. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์เดอะบุคส์ จากัด, 2554. จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. คณิตศาสตร์ ม. 6 ค 015. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์ พ.ศ. พัฒนา จากัด, 2546. เจริญ ภูภัทรพงศ์ และศรีลัดดา ภูภัทรพงศ์. คณิตศาสตร์พื้นฐานเข้ม ม.5 เล่ม 2. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์ SCIENCE CENTER, มปป. ชุมพล วงศ์มติกุล(Math House). เตรียมสอบ O – Net คณิตศาสตร์ ม. 4 – 5 – 6. นนทบุรี : ธิงค์ บียอนด์, 2556. ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. หนังสือ 1000 TEST IN MATH 3. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์แม็ค จากัด, 2542. ธนวัฒน์(สันติ) สนทราพรพล. แบบฝึกหัดทักษะและวิ ธีคิดเร็ว คณิตศาสตร์ พื้น ฐาน ม. 4 – 6 เล่ม 3. กรุงเทพฯ : ธรรมบัณฑิต, มปป. นงนุช สุขวารี และ พัชรี หิรัญมาศสุวรรณ. คณิตศาสตร์.(คู่มืออบรมครูวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ โลก ดาราศาสตร์ และอวกาศ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย). กรุงเทพฯ : มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์, มปป. นพพร แหยมแสง. คณิตศาสตร์ ม. 5. กรุงเทพฯ : สถาบันพัฒนาคุณภาพวิชาการ(พว.), 2548. ปกรณ์ พลาหาญ. รวมสูตร กฎ ทฤษฎี คณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : สุวีริยาสาส์น, 2553. ศุภกิจ เฉลิมวิสุตม์กุล. หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ พื้น ฐาน ม.5 ภาคเรียนที่ 1. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์แม็ค จากัด, 2554. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 5 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.ลาดพร้าว, 2552. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.ลาดพร้าว, 2552. อัมพร ม้าคะนอง. ทักษะและกระบวนการทางคณิ ตศาสตร์:การพัฒนาเพื่ อพั ฒนาการ. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2554.
โดย นายจเร หินแก้ว โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41 67