Objetivo: Europa 2.010
LOS FRACTALES. PRIMEROS PASOS Plazo de entrega: 3 de marzo de diciembre de 2009 Desarrollo del trabajo: 1. Cuestiones históricas Realiza la ficha de trabajo nº1 Haz un Power Point que recoja algunos breves aspectos sobre la historia, desarrollo y aportaciones de los fractales al campo de las matemáticas. Elabora un Power Point en el que aparezcan los aspectos más relevantes tanto de la biografía como de las aportaciones al campo de los fractales de alguno de estos personajes (elegir uno): Gastón Julia, W. sierpinski, N. Koch, B. Mandelbrot. (puedes incluirlo en el Power Point anterior o hacer uno nuevo) 2. Estudio central • Realiza la ficha de trabajo nº2 3. Para hacer. Dimensión fractal de Suances, Tagle, Cortiguera, Hinojedo, Puente Avios y Ongayo. Objetivo: calcular la dimensión fractal de alguna de estas localidades • • •
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Encuentra con Google Earth la población correspondiente. Copia la imagen y llévala a un programa de dibujo. (Por ej: Copiar la imagen con Impr. Pantalla y el programa de dibujo puede ser Photoshop) Una vez que tengas la imagen de la población rodea con alguna herramienta de dibujo el contorno de la localidad. (hay que guardar la imagen en formato .bmp con una profundidad de 2 colores. Es necesario para el programa) Con el contorno de esta imagen, en clase usaremos el programa Fractalayse para calcular la dimensión fractal.
4. ¿Sabrías encontrarlo?
Se puede tratar de un objeto, situación o personaje relacionado con el campo de las matemáticas. Trabajo realizado por los alumnos de 4º ESO
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Las pistas aparecerán sucesivamente en el blog de aula. Se calificará en función del número de la pista con la que se encuentre la solución. Cuando se crea conocer la respuesta hay que comunicarlo en clase al profesor
Notas de interés: No se valorará la información que sea copiada y pegada sin más, sin ningún tipo de filtro e interpretación. Las matemáticas no están reñidas con una buena presentación: texto organizado, sin faltas de ortografía, imágenes que enriquecen el contenido, bibliografía… Estos enlaces te pueden resultar de interés: http://www.arrakis.es/~sysifus/intro.html
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FICHA Nº 1. 1. Visualiza los siguientes videos: http://www.youtube.com/watch?v=NSabHFIMMV4 http://www.youtube.com/watch?v=V4j9F4C_IxA http://www.youtube.com/watch?v=NSabHFIMMV4
2. Responde a las preguntas que aparecen a continuación: 1. ¿Por qué la geometría de Euclides no sirve para describir determinados fenómenos naturales? 2. ¿Qué propiedad cumplen algunos fenómenos naturales como las montañas, las nubes, los relámpagos..? 3. ¿Cómo nombró Mandelbrot a esta propiedad de repetición de los objetos en menor escala? 4. ¿Por qué existen las dimensiones fraccionarias entre uno y dos? 5. ¿Cómo se conoce a la curva que presentó Koch? 6. ¿Qué son los monstruos matemáticos? 7. ¿Cómo se relaciona la dimensión con la rugosidad?. Ejemplo de Marte y la Tierra 8. Gastón Julia utilizó para crear números fractales los números complejos, pero… ¿Qué es el número complejo i, base de todos los demás complejos? (Esta información no está contenida en el video) 9. Construye una sucesión de diez números fractales a partir de la operación 1 comenzando con el número 1. 10. ¿Cómo se llamaba el primer matemático que creó un sistema para realizar previsiones meteorológicas? 11. ¿Qué se conoce como “efecto mariposa”? 12. Pon algún ejemplo de sistemas caóticos en situaciones reales.
Conclusión: la geometría fractal intenta describir fenómenos caóticos alejados de las regularidades de la geometría más conocida por nosotros.
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FICHA Nº 2.
NUESTROS PRIMEROS FRACTALES Vamos a ir construyendo en papel diferentes fractales para ir familiarizándonos con estas estructuras. Haremos una reproducción de estos tres ejemplos simples para construir en una cartulina, ordenador…
1. POLVO DE CANTOR O CONJUNTO DE CANTOR Se trata de dividir un segmento, sucesivamente, en tres partes y eliminar la parte central de cada uno de ellos. Esta estructura se puede prolongar indefinidamente pero nosotros nos encontramos con la limitación de nuestras herramientas de dibujo
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2. COPO DE NIEVE DE KOCH
Tenemos que dibujar un triángulo equilátero y dividir cada lado en tres segmentos iguales. En cada uno de estos segmentos centrales dibujaremos un nuevo triángulo equilátero. Hacedlo como muestra el dibujo:
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3. TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
Tenemos que hacer el proceso inverso al caso anterior. Los triángulos se van eliminando. Dibuja en primer lugar un triángulo equilátero y señala en cada lado su punto medio. De esta forma habrás marcado los vértices del primer triángulo. Elimina este triángulo central y en cada uno de los tres restantes repite la misma operación.
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4. ASPAS DE VICSEK
Se construye dividiendo un cuadrado en nueve partes iguales eliminando aquellos cuadrados que no forman parte de la diagonal. El proceso es el siguiente:
Quedaría finalmente un conjunto de la siguiente forma:
Puedes construir un fractal que se te ocurra a partir de un proceso repetitivo como los ejemplos anteriores. Trabajo realizado por los alumnos de 4º ESO
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CALCULO DE LAS DIMENSIONES DE UN FRACTAL.
Teniendo en cuenta que la dimensión de un punto es cero, la de una recta uno y la del plano dos, debe tener alguna coherencia con esto la dimensión de un fractal. Es decir, parece lógico pensar que el Polvo de Cantor es algo más que un punto pero algo menos que una recta (parece una recta con “agujeros”). En este sentido se utiliza la siguiente fórmula para calcular la dimensión de un conjunto fractal:
donde S es el número de elementos en los que se descompone el elemento de una etapa hacia la siguiente y K es el factor de escala entre elementos de la figura en etapas consecutivas. Ejemplo. Por ejemplo en el caso del Conjunto de Cantor tenemos que: Paso 1. Paso 2. S=2 es el número de trozos con los que me quedo en el paso siguiente (Paso2) K= 3 que son los trozos en los que divido el primer segmento para construir el fractal (Paso1)
Ejercicios: 1. Construye los cuatro fractales anteriores. Puedes hacerlo con ayuda del ordenador, en una cartulina o con cualquier otro material que estimes oportuno. Realiza al menos seis pasos en cada uno de ellos.
2. Calcula la dimensión de cada uno de los conjuntos fractales anteriores poniéndolos en referencia con las dimensiones de un punto, una recta y un plano.
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