Archivo: Clase30 Autor: M.Sc. Jorge Hernández Fecha: 05/05/06
Clase # 30.
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Fecha: 30/05/2000
Continuación Unidad III: Derivada. Objetivo # 1: -
Introducción. Concepto de derivada. Función diferenciable. Ejemplos.
Contenido. 1. Introducción. Muy a menudo necesitamos hacer comparaciones entre dos cantidades numéricas, por ejemplo, el costo de algún producto en el mercado, de acuerdo a su marca, contra otra marca del mismo producto. Concretamente podemos comparar el precio de la mayonesa Kraft contra el precio de la mayonesa Mavesa. Este criterio de comparación lo usamos de acuerdo a una regla matemática muy antigua, usamos proporciones. Una proporción es la razón o cociente entre dos cantidades comparadas. Por ejemplo, al comparar el peso de un boxeador peso completo con 80 kilogramos de peso contra el peso de un boxeador de peso medio de 40 kilogramos de peso, decimos que el peso completo es el doble o 2 veces del peso del boxeador de peso medio. Estas cifras la conseguimos dividiendo el peso del boxeador de peso completo entre el peso del boxeador de peso medio: 80 Kg 8 = =2 40 Kg 4 Aquí la comparación hecha fue: el peso completo respecto al peso medio. Pero, a veces queremos comparar al revés, es decir, comparar el peso medio respecto al peso completo, de esta forma nuestra cifra de comparación queda como 40 Kg 4 1 = = 80 Kg 8 2 Y decimos que el peso del boxeador de peso medio es la mitad o un medio del peso del boxeador de peso completo.
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Ahora, nuestro ejemplo es un ejemplo momentáneo ya que en el transcurso del tiempo los pesos de los boxeadores pueden cambiar, si tuviéramos una función que relacionara los pesos de los boxeadores en el tiempo podríamos obtener esas proporciones en cualquier instante, aún en el futuro, en forma determinística, ó probable. Aunque parezca clara la idea, vamos a seguir ejemplificando. Pensemos en el gasto de una persona durante el tiempo. Aquí se quiere medir: el gasto en bolívares de una persona respecto a la cantidad de horas o minutos o segundos en que los gasta. Imaginemos a una persona en un casino y la forma en que introduce monedas en una máquina tragamonedas, de la siguiente manera, se contabilizado que cada 5 minutos la persona introduce 25 monedas en la máquina, luego comparando el número de monedas respecto al tiempo queda que
25 =5 5 Podemos afirmar que cada 1 minuto que pasa la persona introduce 5 monedas, o lo que es lo mismo: el gasto de la persona es 5 veces superior al tiempo que tarda en hacerlo. Esto nos da la idea de la velocidad con que gasta su dinero. Queremos conceptualizar esta idea de comparación en una forma mucho más general entre cantidades distintas que de una forma u otra estén relacionadas por medio de una función. 2. Concepto de Derivada. Definición: Sea f una función continua en el punto x = a. La cantidad definida por medio de la siguiente expresión
f ( x) − f (a ) x−a Se denomina tasa de variación media. Si tomamos el límite de esa expresión cuando x se aproxima al valor a entonces obtenemos un valor numérico, cuando existe, Lim x→a
f ( x) − f (a) x−a
A este límite lo llamamos derivada de la función f en el punto x = a y lo denotamos por f ( x) − f (a) x→a x−a Lo que acabamos de definir, es precisamente la idea que desarrollamos en la introducción. Tenemos dos variables relacionadas por medio de una función, es f ' (a ) = Lim
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decir la variable y depende de la variable x por medio de la función f de la siguiente forma y = f ( x) . Por lo tanto, podemos comparar los valores de la variable y = f ( x ) con respecto a los valores de la variable x. Los valores de f ( x) − f (a ) x−a
Corresponden a la idea de proporción media y los valores de la derivada corresponden a las proporciones instantáneas. 3. Función diferenciable. Definición: decimos que una función f es diferenciable en un punto x = a si existe f ' (a).
Definición: decimos que una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en cada punto del mismo.
Definición: decimos que una función es diferenciable si es diferenciable en cada punto de su dominio.
4. Ejemplos. 4.1 Encuentre la derivada de la función f ( x) = 3x + 5 en el punto x = 2. Solución: Usando la definición de derivada tenemos que
Lim x→2
= Lim x →2
f ( x) − f (2) (3x + 5) − (3.2 + 5) 3 x + 5 − 11 3x − 6 = Lim = Lim = Lim x→2 x→2 x→2 x−2 x−2 x−2 x−2
3( x − 2) = 3. x−2
Es decir, f ' (2) = 3. 4.2 Encuentre la derivada de la función f ( x) = 3x + 5 en el punto x = a. Solución: Usando la definición de derivada tenemos que
(3 x + 5) − (3.a + 5) 3 x − 3a 3( x − a) f ( x) − f (a) = Lim = Lim = Lim x →a x→a x →a x→a x−a x−a x−a x−a Calculando este límite nos damos cuenta que f ' (a) = 3. Lim
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4.3 Encuentre la derivada de la función f ( x) = x 2 − 6 x en el punto x = a. Solución: Vamos a usar la definición de derivada. Para este fin construimos primero la tasa de cambio promedio f ( x) − f (a) x 2 − 6 x − (a 2 − 6a) x 2 − a 2 − 6( x − a ) = = x−a x−a x−a ( x − a)( x + a) − 6( x − a) ( x − a)( x + a − 6) = = x−a x−a Ahora, tomamos límite cuando x se aproxima al valor a. Lim x →a
f ( x) − f (a) ( x − a )( x + a − 6) = Lim = Lim ( x + a − 6) = 2a − 6 x → a x →a x−a x−a
En consecuencia el valor de la derivada es f ' (a) = 2a − 6.
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Clase # 31. Continuación Unidad III: Derivada. Objetivo # 2: -
Introducción. Interpretación geométrica de la derivada. Técnicas de diferenciación. Ejemplos.
Contenido. 1. Introducción. En esta clase intentamos mostrar la interpretación geométrica de la derivada, haremos una comparación de ésta cantidad con la pendiente de una recta que tendrá una característica particular con respecto a la curva de la cual obtenemos la derivada. Por otra parte, daremos unas cuantas reglas básicas para calcular derivadas sin necesidad de calcular el límite que aparece en la definición de derivada. 2. Interpretación geométrica de la derivada. Consideremos una función f diferenciable punto x = a. Hemos dicho que la tasa o razón de cambio promedio de la función la conseguimos por medio de la expresión
f ( x) − f (a ) . x−a Recordemos la ecuación de la pendiente entre dos puntos de una recta. Sean (x1 , y1 ) y (x 2 , y 2 ) puntos de una recta, entonces la pendiente entre ellos está definida por medio de y − y1 m= 2 . x 2 − x1 Ahora, si los puntos que consideramos en el plano son (x, f ( x) ) y (a, f (a ) ) entonces por ellos pasa una recta que tiene como pendiente a
f ( x) − f (a ) . x−a
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Observemos el gráfico.
Cuando tomamos el límite de esta razón de cambio cunado x se aproxima al valor a entonces obtenemos una recta que es tangente a la curva de la función en el punto (a, f (a) ). Observe la figura.
Ahora, daremos una ecuación de la recta que pasa por un punto de la curva y es tangente a ella.
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Definición: Sea f una curva diferenciable en el punto x = a. Entonces, la ecuación de la recta que es tangente a la curva de f en el punto (a, f (a ) ) está dada por la expresión y − f (a ) = f ' (a)( x − a)
Ejemplo: Sea f ( x) = 1 / x . Consideremos el punto x = 1. Daremos la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función en el punto indicado. Nótese que x =1 ⇒
1 f (1) = = 1 1
Por lo tanto el punto indicado es (1,1) . Busquemos la derivada de f en x=1. La razón de cambio de esta función en x = 1 es
1− x − ( x − 1) f ( x) − f (1) (1 / x) − 1 = = x = x −1 x −1 x − 1 x( x − 1) Al tomar límite cuando x se aproxima a 1, tenemos que − ( x − 1) −1 f ( x) − f (1) = Lim = Lim = −1 x → 1 x → 1 x −1 x( x − 1) x Entonces sustituyendo este valor en la ecuación mostrada en la definición queda que
f ' (1) = Lim x →1
y − 1 = −( x − 1) Esta es la ecuación buscada. Véase el gráfico.
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3. Técnicas de diferenciación o derivación. A continuación damos una serie de derivadas de funciones básicas o conocidas y algunas propiedades que se deducen de las propiedades de los límites. 3.1 Derivada de la función constante:
Sea f ( x) = k entonces f ' ( x) = 0 para toda x. 3.2 Derivada de la función identidad:
Sea f ( x) = x entonces f ' ( x) = 1 para toda x. 3.3 Derivada del producto de la función identidad por una función constante:
Sea f ( x) = kx entonces f ' ( x) = k para toda x. 3.4 Derivada de una función potencial:
Sea f ( x) = x n ( n es un entero positivo ), entonces, f ' ( x) = nx n −1 . 3.5 Derivada de una función radical:
Sea f ( x) = n x m , entonces, como f se puede escribir como una función potencial entonces, f ( x) = x m / n y así su derivada es f ' ( x) = (n / m) x ( n / m ) −1 .
3.6 La derivada de una suma de funciones:
Sean f y g funciones diferenciables. Entonces,
(f
± g )' ( x) = f ' ( x) ± g ' ( x)
3.7 La derivada de un producto de funciones:
Sean f y g funciones diferenciables. Entonces,
( f .g )' ( x) =
f ' ( x) g ( x) + g ' ( x) f ( x).
3.8 La derivada de un cociente o división de funciones:
Sean f y g funciones diferenciables. Entonces,
( f / g )' ( x) =
f ' ( x) g ( x) − g ' ( x) f ( x) . ( g ( x)) 2