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Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Administración y Contaduría Departamento de Técnicas Cuantitativas.

16/04/2008

Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández

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Investigación de Operaciones. Preliminares. y Ecuaciones Lineales. y Una ecuación lineal es aquella ecuación que contiene

todas sus variables elevadas a la potencia 1. Ejemplos de estas son las siguientes:

3 x + 5 = 1; y − 1 = 0; 2 x − 5 y = 4; −x + 2 y − 6z = 3 16/04/2008

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Clase # 1. Ecuaciones Lineales. y La forma general de una ecuación lineal es: y Con una variable y Con dos variables

a1 x1 + b = 0 a1 x1 + a2 x2 + b = 0 n

y Con más de una variable

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∑a x +b = 0 i =1

i i

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Clase # 1. Ecuaciones Lineales. y Gráfica de las ecuaciones Lineales y Las ecuaciones lineales de una variable tienen como

gráfica una recta horizontal o vertical. Las que tienen dos variables tienen como gráfica una recta inclinada. Y las ecuaciones lineales con más de una variable tienen como gráficas planos (3 variables) o hiperplanos.

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Clase # 1. Ecuaciones Lineales. y Variable 

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x1

y Variable

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x2

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Clase # 1. Ecuaciones Lineales. y Dos variables

y Dos variables

y Pendiente  positiva

y Pendiente negativa

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Clase # 1. Ecuaciones Lineales. y Para obtener la gráfica de 

y Para obtener la gráfica de 

una ecuación lineal con  una variable basta con  despejar la variable y  determinar el punto de  corte con el eje, luego  proceder  a graficar una  recta horizontal (caso eje   y) o vertical (caso eje x)

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una ecuación lineal con  dos variables, procedemos  obteniendo el punto de  corte con el eje x haciendo  a y = 0,  luego el punto de  corte con el eje y  haciendo  x= 0. Trazamos después la  recta que los une.

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Clase # 1. Ecuaciones Lineales. y La gráfica de una ecuación 

lineal con más de una  variable, corresponde a  dibujos como los de un  plano (caso de tres  variables) o el de un  hiperplano (más de tres  variables, no graficable).

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Inecuaciones Lineales. y Una inecuación de tipo lineal es la que tiene todas

sus variables con grado 1. El símbolo de desigualdad puede ser < , > , ≥ , ≤ . Ejemplo de estas son:

3x − 1 ≤ 2; 2 y + 3 > 0;

4 x − 5 y + 1 < 2; x − y + 2z ≥ 5 16/04/2008

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Inecuaciones Lineales. y La forma general de un desigualdad o inecuación lineal

es: Con una variable

a1 x1 + b > 0

Con dos variables

a1 x1 + a2 x2 + b ≤ 0 n

Con más de dos variables

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∑a x +b ≥ 0 i =1

i i

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Inecuaciones Lineales. y A diferencia de las ecuaciones lineales, las gráficas de

las inecuaciones son regiones determinadas por la gráfica de la ecuación implícita. Por ejemplo, la región correspondiente a la desigualdad

3 x1 + 2 x2 < 3 está determinada por la gráfica de la ecuación

3 x1 + 2 x2 = 3 16/04/2008

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Inecuaciones Lineales. y Inecuación  tipo  x1 < a

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y Inecuación tipo x1 > a

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Inecuaciones Lineales. y Inecuaciones tipo

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x2 < b

y Inecuaciones tipo x2 > b

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Inecuaciones Lineales. y Inecuación tipo

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a1 x1 + a2 x2 + b > 0

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Inecuaciones Lineales. y Para graficar estas regiones seguimos estos pasos: 1. Graficamos la recta 2. Despejamos la segunda variable 3. Revisamos el sentido de la desigualdad, si es >,

graficamos la región por encima de la recta, si es <, graficamos la región por debajo de la recta.

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Clase # 1. Final. y En la próxima clase estudiaremos los sistemas de

ecuaciones lineales y los de inecuaciones lineales.

y Gracias por su atención. y

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Jorge E. Hernández H.

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Ecuaciones e inecuaciones Lineales