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1. CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 1. En las siguientes funciones, cuyas gráficas se dan, calcula los valores pedidos:
+¿
x →2 f ( x)d x → 5+¿ f ( x ) e a ¿ f ( 2 ) b ¿ lim f ( x ) c ¿ lim lim f ( 5 ) ¿
x →−5
¿
x →−5+¿ f (x ) g x → 2−¿ f (x )h x →−2,5+¿ f ( x )i x →−6−¿ f ( x ) f ¿ lim lim lim f (−5 ) j ¿ lim ¿ ¿
¿
¿
¿
x → 5−¿ f ( x ) l x → 3+¿ g ( x ) k ¿ lim lim f ( x ) m ¿ g ( 1 ) n ¿ lim g ( x ) ñ ¿ lim ¿ ¿
x →− 2,5
x→1
¿
x → 2−¿ g ( x) q x → 3−¿ g ( x) r x → 2+¿ g (x ) o ¿ g ( 2 ) p ¿ lim lim g ( 2,5 ) s ¿ lim ¿ ¿
¿
¿
S :a ¿ 1 ; b ¿ ∄ ; c ¿ 2 ; d ¿ 3 ; e ¿ 2 ; f ¿−1 ; g ¿ 1 ; h ¿ 1,5 ; i ¿ ∄ ; j ¿−1 ; k ¿ 3 l ¿ 1,5 ; m¿−2 ; n ¿−2 ; ñ ¿−2 ; o ¿ 0 ; p ¿ 0 ; q ¿ ∄ ; r ¿ ∄ ; s ¿ ∄
2. Identifica cada una de las tres expresiones siguientes con su gráfica correspondiente: x → 1+ ¿ g ( x )=3 b a ¿ ∄ lim lim g ( x)=3 c ¿ g ( 1 )=3 ¿
x→ 1
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S :a ¿ 1ª b ¿ 3ª c ¿ 2ª 3. Representa gráficamente funciones que satisfagan las siguientes condiciones: a ¿ lim f ( x )=−2 ; f ( 2 ) =5 ; Dom ( f )=R ; ℑ ( f )=(−2,+∞ ) x→2
b ¿ lim g ( x ) =4 ; g ( x ) estrictamente creciente en (−∞ , 1 ) ; ℑ ( g )=(−∞ , 4 ) x →1
x → 2+¿ h ( x ) =5 ; h ( 2 )=3 ; Dom ( h )=[ 0,3 ] x → 2−¿ h ( x )=3 ; lim ¿ ¿
c ¿ lim ¿ ¿
d ¿ lim t ( x )=lim t ( x )=lim t ( x ) x→−1
x→ 0
x →1
e ¿ l ( x ) >0, ∀ x> 2 ; l ( x ) ≤ 0, ∀ x< 2 ; ∄ lim l ( x ) x →2
+¿
x → 3 j ( x)=−2 ; j ( 0 )=0 x → 2−¿ j( x)=0 ; lim ¿ ¿
f ¿ Dom ( j )= R−¿ 2,3 ¿ ; ℑ ( j )=R ; lim ¿ ¿
2. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 4. Si
lim f ( x ) =2 y lim g ( x )=5 , calcula: x→ a x→ a a ¿ lim ( 3f ( x ) ) b ¿ lim ( f ( x ) g ( x ) ) c ¿ lim ( f ( x ) + g ( x ) ) d ¿ lim x→a
x→ a
x→a
2
e ¿ lim ( f ( x) ) f ¿ lim ( f ( x)) x→a
g (x)
x→a
x→a
f (x) g (x)
g ¿ lim √ f ( x ) + g ( x ) +2 x→a
2 S :a ¿ 6 ; b ¿ 10 ; c ¿ 7 ; d ¿ ; e ¿ 8 ; f ¿ 32 ; g ¿ 3 5 5. Sabiendo que x ⟶ a de:
lim f ( x ) =−3
y
x→ a
lim g ( x )=0 , calcula los límites cuando x→ a
a ¿ 2f −3g b ¿ ( 3f )2 c ¿ ( fg ) d ¿ ( f + g ) e ¿
g f
S :a ¿−6 ; b ¿81 ; c ¿ 0 ; d ¿−3 ; e ¿ 0
3. CÁLCULO DE LÍMITES. INDETERMINACIONES 6. Calcula los límites siguientes: a ¿ lim 2 b ¿ lim x−5 c ¿ lim x→0
x →+∞
x →−3
1 d ¿ lim x 5 e ¿ lim (−7 ) 2 x→−∞ x →−∞ x
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1 g x 10 1 x → 0−¿ 13 i x −¿ 3 x→0 x 1 f ¿ lim lim 10 h¿ lim lim x 6 j ¿ lim ¿ ¿ x →−∞ x ¿ x→−1 ¿ 1 x → 0+¿ 7 m x 1 x → 0−¿ 7 n x 1 k ¿ lim 6 l ¿ lim lim lim x 6 ñ ¿ lim x ¿ ¿ x →−∞ x →0 x x →1 x → 0+¿
1 S :a ¿ 2 ; b ¿ 0 ; c ¿ ; d ¿−∞ ; e ¿−7 ; f ¿+ ∞ ; g ¿ 0 ; h ¿−∞ ; 9 i ¿1 ; j ¿ 0 ; k ¿+ ∞ ; l ¿+ ∞ ; m ¿−∞; n ¿+∞ ; ñ ¿1 7. Considera la función: 2x−1 si x <−1 f ( x )= −3 si−1 ≤ x <2 x +1 si x ≥ 2 Calcula: x →−1−¿ f ( x ) b x →−1+¿ f ( x ) c f ( x) d a ¿ lim lim lim ¿ lim
{
¿
¿
x →−1
¿
−¿
x → 2 f ( x) +¿
x →2 f (x) f e ¿ lim lim f ( x) g ¿ lim f ( x) h ¿ lim f ( x ) ¿
x→ 2
x →−∞
x→+ ∞
Comprueba los resultados obtenidos por medio de la gráfica. S :a ¿−3 b ¿−3 c ¿−3 d ¿−3 e ¿ 3 f ¿ ∄ g ¿−∞ h ¿+∞ 8. Calcula los límites siguientes:
2 c ¿ lim ( 4 x 4−7x+ 5 ) x →+∞ x →−∞ 3 x −5x+ 2 x→−∞ 2 x 2−7x+5 5 2 ( ) ( ) d ¿ lim −3 x +2x−4 e ¿ lim −x +3x−2 f ¿ lim 2 x→−∞ x →+∞ x →+ ∞ −2 x + 4x−3 3 √ x 2+ 7 h ¿ lim √ x 4−3 x 2 +2 i ¿ lim √ x +3 g ¿ lim 3 2x x →+ ∞ x →−∞ x →+∞ √ 2x−5 4 x 2+ 5 √ 5 2 3 x −2x+ 1 −x −5x+1 −2 j ¿ lim k ¿ lim l ¿ lim 4 2 3 x →−∞ 7 x −2 x x →+∞ x→−∞ 2 x −3 1− x 3 a ¿ lim ( 2x 3−7x +2 ) b ¿ lim
2
1 2 S :a ¿+ ∞ b ¿ 0 c ¿+ ∞ d ¿+ ∞e ¿−∞ f ¿−1 g ¿ h ¿+∞i ¿ √ j ¿−∞ k ¿ 0 l ¿ 0 2 2 9. Calcula los límites siguientes: tEma 5.- lÍmItES y coNtINUIdad
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x 2 −9 5 x 2−13x−6 ¿
x 3−1 x 2+ x b ¿ lim c ¿ lim ¿ 3 2 3 2 x → 1 x + 2 x −3x x → 0 x −2 x + x x →3 4 4 2 2 x −1 x −3 x x −5x+ 6 d ¿ lim 3 e ¿ lim 2 f ¿ lim 2 x→−1 x +1 x →0 x → 2 x −4x+ 4 x +x 2 √ 1−x−1 h ¿ lim x −1 i ¿ lim √ x− √3 g ¿ lim 2 2x x →0 x→ 1 √ x−1 x →3 x −9 3− √5+ x 2− x−√ 2+ x x +2−2 j ¿ lim k ¿ lim √ l ¿ lim √ 2 x → 4 2− √ 8− x x →0 x→ 2 √ 2x−2 x +x a ¿ lim
3 6 1 1 2 2 1 S :a ¿ b ¿ 1 c ¿ d ¿ 0 e ¿ 0 f ¿ ± ∞ g ¿− h ¿ 4 i ¿ j ¿− k ¿− √ l ¿ 4 17 4 6 3 2 2 10. Dada la función f ( x )=2 x 2 +1 , calcula el siguiente límite: f ( x )− f (2) lim x−2 x→ 2 S :8 11. Calcula los límites siguientes: x 2 +1 2+ x x +5 a ¿ lim b ¿ lim 2 c ¿ lim x → 1 x−1 x →0 x x → 3 ∣x−3∣ 2 2 x +2x 2 1 1 1 d ¿ lim 3 ⋅ e ¿ lim ⋅ √ x 2 +1 f ¿ lim 2 − 2 3 x +2 x + 2 x→ 0 x x →+∞ x+ 1 x →0 x
(
)
(
[ (
)
)]
S :a ¿ No existe : ∓ ∞ b ¿+ ∞ c ¿+∞ d ¿+ ∞ e ¿ 2 f ¿ No existe: ± ∞
12. Calcula los límites siguientes: ( √ 9 x 2 +2x−3−3x ) b a ¿ lim ¿ lim x→∞
x →∞
[ √ x ( √ x +3−√ x ) ] ¿ c ¿ lim
x→ ∞
(
x 2 +2 x 2+1 − x +1 x
)
1 3 S :a ¿ b ¿ c ¿−1 3 2 13. Calcula los límites siguientes: 5x−2 3x 2x−7 a ¿ lim b ¿ lim 2x x →+∞ 5x +3 x →+∞
2
3 x +1 2x
3x x +5
4x
( ) ( ) c ¿ lim ( ) 5 2 x −6x 4−3x d ¿ lim ( 1+ ) e ¿ lim f ¿ lim ( ( 2 x − x−5 ) 2x 5−3x ) x
x→+ ∞
2
x →+∞
2 x
x 2 +1 g ¿ lim ( 1+3x ) h ¿ lim x+1 x →0 x →1 −3
S :a ¿ e b ¿ e
−21 4
x →+∞
2
x 2
2
( )
2
x−3
x →+∞
2
x +3 x−1
i ¿ lim
x →−∞
(
4 x 2−2 2 x 2 +1
)
x+3
1 3
c ¿+∞ d ¿+∞ e ¿ 0 f ¿ e g ¿ e 6 h ¿ e 2 i ¿ 0
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14. Calcula a y b para que se cumpla la siguiente igualdad: x 2+ 2 lim ax +b− =0 x +2 x→+ ∞ S :a=1 b=−2 15. Halla los siguientes límites: 2 4−( x +2 ) 1 3 2 x 2 +5 a ¿ lim b ¿ lim − c ¿ lim 2 x→0 x→ 1 x−1 x →+∞ 3 x −5 x3 x 3−1
(
)
(
(
)
5
∣x −2∣ 3−√ 5+ x f ¿ lim g ¿ lim ( x−2 ) x −9 h ¿ lim x −2 x → 4 1− √ 5−x x→ 2 x →3 x →+∞ 2
e ¿ lim
−7
S :a ¿−∞ b ¿ No existe : ± ∞ c ¿ 0 d ¿ e 2 e ¿−
)
x+2
d ¿ lim
x→ +∞
(√ ) x −2 x+ 5
x
x √ x − x −√ x 4−1 4
3
5
1 f ¿ No existe : ± 1 g ¿ e 6 h ¿−2 3
f ( x )=√ 2x+ 3 , calcula: f ( x+ h )− f ( x) lim h h→0
16. Siendo
S:
1 √ 2x +3
17. Calcula el valor de a que haga cierta la siguiente igualdad: ax 3+5 x 2 lim =e 6 2 x→ ∞ 3x+5 x S :a=−10
(
)
4. LÍMITES Y CONTINUIDAD 18. Se da la función:
{
2
x +1 si x< 0 f ( x )= 3−3x si 0 ≤ x <3 −2x si x ≥ 3
Calcula:
x → 0−¿ f (x )b x → 0+¿ f (x )c a ¿ lim lim lim f (x )d ¿ lim f ( x )e ¿ f ( 0 ) f ¿ f ( 1 ) g ¿ f (3) ¿
¿
x →1
x →3
A la vista de los resultados obtenidos, estudia la continuidad de la función. S :a ¿ 1 b ¿ 3 c ¿ 0 d ¿−6 e ¿ 3 f ¿ 0 g ¿−6
19. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: 2 a ¿ f ( x )= 2 b ¿ f ( x )=√ 4−x 2 c ¿ f ( x )=e 2x−3 x −9 d ¿ f ( x ) =x ⋅ ln ( 2x +6 ) e ¿ f ( x )=3 sen( x+ π ) f ¿ f ( x )=tg 2x 20. Estudia la continuidad de las siguientes funciones definidas a trozos:
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{
x 2−4 si x< 2 a ¿ f ( x )= x −2 si 2 ≤ x ≤ 4 b ¿ g ( x )= 5 si x > 4
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{
5 si x ≤ 0 x−5 √ x +1 si 0< x ≤ 3 x−1 si x >3
21. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
presenta una discontinuidad de salto finito
S :a ¿ Continua en R−{ 0 } . En x=0
b ¿ Continua en R− { 0 } . En x =0 presenta una discontinuidad de salto finito c ¿ Continua en R−Z. En los enteros existen discontinuidades de salto finito d ¿ Continu a en R 2
x −9 en x=3 . En caso de f ( x )= 2x−6 presentar discontinuidad evitable, redefínela para que sea continua en x=3 .
22. Estudia la continuidad de la función
S : f es continua definiendo f ( 3 )=3 23. Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua en todos los puntos: ax + 2 si x ≤ 1 f ( x )= 2 ax −2 si x>1 S :a=2
{
24. Determina el parámetro a para el cual cada una de las siguientes funciones es continua en su dominio de definición: a x 2−2 si x ≤ 1 e x−2 si x< 2 a ¿ f ( x )= b ¿ f ( x )= 4 si x> 1 a +ln( x−1)si x ≥ 2 x
{
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{
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S :a ¿ a=6 b ¿ a=1
{
2 f ( x )= x + 2 si x ≤ 1 sea continua en ℝ. mx+ m si x >1
25. Halla el valor de m para que S :m=
3 2
26. Calcula, si los hay, los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y clasifícalos: x 2−4 x −3 a ¿ f ( x )= b ¿ f ( x )= x−2 si x ≠ 2 x −1 0 si x=2
{
{
x 2−4 x 2 −4 c ¿ f ( x )= x−2 si x ≠ 2 d ¿ f ( x )= x−2 4 si x=2 S :a ¿ Disc.de salto inf.en x=1 ; b ¿ Disc.evitable en x=2 ; c ¿ Continua en R ; d ¿ Disc.evitable en x=2
5. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS 27. Representa gráficamente las funciones que satisfagan las siguientes condiciones: a ¿ Asíntota vertical en x=−2 ; lim f ( x )= lim f ( x ) =2 x →−∞
x → 3+¿ g ( x )=−∞ ; lim g ( x )=+ ∞
x →+∞
x→+ ∞
−¿
x → 3 g ( x )=−∞ ; lim ¿ ¿
b ¿ lim g ( x )=1 ; lim ¿ ¿
x →1 +¿
x → 2 h ( x )=−1 x → 2−¿ h ( x )=2 ; lim ¿ ¿
+¿
x →−2 h ( x )=+∞ ; lim ¿ ¿
−¿
x →−2 h ( x )=−∞ ; lim ¿ ¿
c ¿ h (−4 )=2 ; lim ¿ +¿
¿
x → 3 t( x)=+ ∞ x → 3−¿ t( x)=lim ¿ ¿
x → 0+¿ t ( x)=−∞ ; lim t (x )=2 ; lim ¿ ¿
x→2
d ¿ t ( 0 )=1 ; lim ¿ ¿
28. En las siguientes funciones, cuyas gráficas se dan, calcula los valores pedidos:
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−¿
x →−1 f ( x ) b +¿ x →−1 f ( x ) h −¿ x → 2 g ( x )i +¿ x→2 g( x) a ¿ lim lim lim lim ¿ ¿
¿
¿
¿
¿
¿
x→1
x → 1+¿ f ( x ) d x → 1−¿ f ( x ) j c ¿ lim lim lim g ( x ) k ¿ lim g ( x ) x→2
e ¿ lim f ( x ) f ¿ lim f ( x ) l ¿ lim g ( x ) m¿ lim g ( x ) x →+∞
x →−∞
x →+∞
x →− ∞
g ¿ Ecuaciones de las asíntotas n ¿ Ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales , si existen. horizontales y verticales , si existen. S :a ¿−∞ b ¿+ ∞c ¿−∞d ¿+ ∞e ¿−1 f ¿−1 g ¿ A.V. : x=−1, x =1 ; A.H. : y=−1 h ¿+ ∞ i ¿+ ∞ j ¿ 4 k ¿+∞ l ¿+ ∞ m¿ 0 n ¿ A.V. : x=2 ; A.H.: y =0 29. Calcula todas las asíntotas de las siguientes funciones: 3 3 3 2x −1 1 4x 3 x −1 ( ) ( ) ( ) a ¿ f ( x )= b ¿ f x = c ¿ f x = d ¿ f x = 2 2 3 2 x x −4 x −1 x −1 S :a ¿ x=0 A.V. ; y=2x b ¿ x=2, x=−2 A.V. c ¿ x =1 A.V. ; y=4 A.H.
30. Calcula las asíntotas oblicuas de las siguientes funciones: x 2 +1 −2 x 5 +3x x 3 x 3−1 ( ) ( ) ( ) ( ) a¿ f x = b¿ f x = 4 3 c¿ f x = 3 d¿f x= 2 x −2 x − x +1 x −1 x −1 S :a ¿ y= x+ 2 b ¿ y=−2x−2 c ¿ No tiene d ¿ y=3x
6. PROBLEMAS 31. Sea P (t) el porcentaje de personas, de una determinada ciudad, afectadas por un cierto tipo de enfermedad al cabo de un tiempo t, medido en meses:
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{
t 2 si 0 ≤ t ≤ 5 P ( t )= 100t−250 si t> 5 t+ 5 a) Estudia la continuidad de la función P ( t ) . b) ¿En algún momento el porcentaje de personas afectadas podría valer 50? c) ¿Cuál es la tendencia de esta enfermedad? S :a ¿ Continua en su dom inio ; b ¿ Al cabo de 10 meses ; c ¿ Afectará a toda la población.
32. Las conclusiones de un estudio demográfico establecen que el número de habitantes de una determinada población de una especie protegida vendrá dado, en los próximos años, por la siguiente función: 15.000t +10.000 f ( t )= 2t+ 2 siendo t el número de años transcurridos. a) ¿Cuál es el tamaño actual de la población? b) Si esta función fuese válida indefinidamente, ¿se estabilizaría el tamaño de la población? S :a ¿ f ( 0 )=5.000 habit. ; b ¿ Sí , en torno a los 7.500 hab. 33. El número de individuos, en millones, de una población viene dado por la función: 18+t 2 f ( t )= ( t+ 3 )2 donde t es el tiempo medio en años desde t=0 . Calcula la población inicial y el tamaño de la población a largo plazo, cuando el tiempo tiende a infinito. S :2 millones , y un millón , resp. 34. El rendimiento (medido de 0 a 100) de cierto producto en función del tiempo de uso (x en años) viene dado por la siguiente expresión: 3x f ( x )=8,5+ , x≥ 0 1+ x 2 Por mucho que pase el tiempo, ¿puede llegar a ser el rendimiento inferior al que el producto tenía cuando era nuevo? S : No 35. Se ha investigado el tiempo T, en minutos, que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento x, en días, obteniéndose: 300 si 0 ≤ x ≤ 30 x +30 T ( x )= 1125 + 2 si x> 30 ( x−15 )( x−5 )
{
a) Justifica que la función T es continua en todo su dominio.
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b) ¿Se puede afirmar que cuanto más se entrene un deportista menor será el tiempo en realizar la prueba? ¿Algún deportista tardará más de 10 minutos en finalizar la prueba? c) Aunque un deportista se entrene suficientemente, ¿será capaz de hacer la prueba en menos de 3 minutos? ¿Y en menos de 2 minutos? S :b ¿ Sí ; No ; c ¿ Sí ; No 36. La temperatura (en grados centígrados) de un trozo de metal sumergido en una solución durante 9 horas viene dada por: 20 T ( t ) =10+ −5t , 0 ≤ t ≤ 9 1+t Halla: a) La temperatura inicial del metal. b) ¿A cuánto tiende la temperatura del metal al final del proceso? S :a ¿ 30 ℃ ; b ¿−33 ℃ 37. Las pérdidas o ganancias de una empresa, expresadas en centenas de miles de euros cuando han transcurrido t años vienen reflejadas por la función: 2t−4 f ( t )= t +2 a) ¿Gana dinero la empresa en los dos primeros años? b) ¿Cuánto gana el quinto año? c) ¿Existe límite para las ganancias? En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite? S :a ¿ No ; b ¿19.000 € aprox. ; c ¿ Sí , 200.000 € 38. El precio en € de x litros de aceite comprados en una almazara viene dado por la función: 3x si 0 ≤ x ≤ 20 P ( x )= √ a x 2 + 2000 si x> 20
{
a) Determina el valor de la constante a para que la función P ( x ) sea continua. b) Si se comprasen muchísimos litros de aceite, ¿a cuánto saldría aproximadamente el precio de cada litro? S :a ¿ a=4 ; b ¿ 2 €
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