ICEM Solucionario ONEM 2012-F1-N3 by Instituto de Ciencias

PRESENTACIÓN La Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) es organizada cada año por el Ministerio de Educación desde el año 2004 y es una competencia abierta a todos los estudiantes de Educación Secundaria de Instituciones Educativas Estatales y Particulares de todo el Perú. En este año 2012 se ha puesto de manifiesto un grave problema con respecto a la continuidad de la ONEM, y es por eso que a todos aquellos que estamos involucrados y comprometidos con el desarrollo de esta Olimpiada nos corresponde velar por su vigencia, porque estamos seguros que nuestros jóvenes estudiantes merecen un espacio en el que puedan poner a prueba su talento e ingenio. El Instituto de Ciencias y Educación Matemática (ICEM) reúne a un grupo de docentes en el área de Matemática y desde el año 2009, aporta proponiendo soluciones a las preguntas de la ONEM, claro que, como siempre cualquier crítica o sugerencia es bienvenida escribiendo al correo electrónico: icemaqp@gmail.com . Es importante manifestar que año tras año se van sumando más docentes en esta causa cuyo interés es la difusión de la Matemática y el apoyo a los estudiantes. También queremos invitarlos al I Concurso de Matemática de Arequipa (I COMAT – AQP), evento a llevarse a cabo el 18 de Noviembre y del cual obtendrán mayor información en la siguiente dirección: www.icemperu.org, dicho concurso tiene como meta brindar a los estudiantes problemas interesantes que despierten el placer de razonar. EQUIPO DIRECTIVO

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA IX ONEM 2012

PRIMERA FASE – NIVEL 3

SOLUCIONARIO

Elaborado por un equipo de docentes en el área de Matemática integrantes del Instituto de Ciencias y Educación Matemática del Perú. (ICEM PERÚ) Responsables: José Choque Rivera Juan Mamani Cayani Wilder Quispe Ccallisaya

josechoque@gmail.com xmesias8@gmail.com wilde_16@hotmail.com

Este material se puede copiar, distribuir y comunicar libremente, pero no puede utilizarse con fines comerciales.

ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ IX OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA ONEM 2012 Primera Fase – Nivel 3 29 de Agosto de 2012

01. Un tonel lleno de vino tiene un peso de 265 kg. Cuando está hasta la mitad de su capacidad pesa 160 kg. ¿Cuánto pesa el tonel vacío? A) 40kg. Resolución:

B) 45kg.

C) 50kg.

D) 55kg.

E) 60kg.

Sean los pesos del: Tonel: T Vino: V Conforme a las condiciones se pueden plantear el siguiente sistema de ecuaciones:  T  V  265   1 T  2 V  160 

Restando: V=210 Luego: T=55

Rpta: D)55

02. Un alumno dio un examen que consistía de 3 partes. En la primera parte había 25 preguntas y él contestó correctamente el 60%; en la segunda parte había 30 preguntas y él contestó correctamente el 70%; en la tercera parte había 45 preguntas y él contestó correctamente el 80%. ¿Qué porcentaje del total de preguntas del examen contestó correctamente el alumno? A) 68% Resolución:

B) 70%

C) 72%

D) 74%

E) 76%

Basta determinar el total de preguntas correctamente contestadas, ya que se ve que el total preguntas es 100: INVITACIÓN AL 1° PRIMER CONCURSO DE MATEMÁTICA DE AREQUIPA 2012 - COMAT AQP Domingo 18 de Noviembre - INSCRIPCIONES en:

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1°Parte: 2°Parte: 3°Parte:

preguntas correctas

60 (25)  15 100

preguntas correctas

70 (30)  21 100

80 (45)  36 100

preguntas correctas

Sumando tenemos 72 preguntas correctas, que representa el 72% del total Rpta: C)72% 03. Juan tiene en su maletín tres monedas de 2 soles y muchas monedas de 5 soles. Si quiere pagar una cuenta sin recibir vuelto, ¿Cuál de las siguientes cantidades no podría pagar? A) 35 Resolución:

B) 36

C) 37

D) 38

E) 39

Analicemos el total de dinero con que cuenta Juan: Si tiene tres monedas de S/.2 y “x” monedas de S/.5 0

T  3(2)  x(5)  6  5 0

 1  5  5  5 1 0

T  5 1

Se ve que Juan tiene un múltiplo de 5 más un sol Observando las alternativas, puede pagar 35 pues es 5 (múltiplo de 5), puede pagar 36 pues es 5 1 , puede pagar 37 pues es 5 2 , No puede pagar 38 pues es 5 3 y necesitaría una moneda de S/.1 mas, Si puede pagar 39 pues es 5 4 , es decir S/.35 mas dos monedas de S/.2 Rpta: D)38 0

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ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ 04. Calcula el valor de:

tan 35 · tan55 · tan60 · tan65 cot 25 · cot 40 · cot 45 · cot 50 A)

B) 1

2 2

3 3

Resolución:

Recordemos que:

Tan35°=Cot55° Cot40°=Tan50° Cot25°=Tan65° TanX.CotX=1 Remplazando y ordenando

Además que:  1

..............  3

Cot 55.Tan55 . Tan60 . Tan65 (1)( 3)Tan65   3 Tan65.Tan50.Cot 50 . Cot 45 Tan65.(1).(1) ...........................  1

..........  1

Rpta: C)

05. ¿Qué dígito debemos borrar del número 43620 para que el número de 4 dígitos que quede sea múltiplo de 105? A) 4 Resolución:

B) 3

C) 6

Primero descomponemos al número:

D) 2

105 3 35 5 7 7 1

E) 0

Se ve que

0 3 ....0.... 0 : 105  5 0 7 

Observando el número 43620: 0

-El dígito 0 tiene que quedarse pues sólo así podrá ser 5 (múltiplo de 5) -Si borramos el dígito 4, resultaría:

3620  3, pues 3  6  2  0  3

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-Si borramos el dígito 3, resultaría: Luego concluimos que: el dígito 3.

4620  105 ,

4620  3 y también 4620  7

por ende diremos que se debe borrar

Rpta: B)3 06. Don José tiene en su corral patos y conejos. Al contarlos se dio cuenta de que la cantidad de conejos menos la cantidad de patos es igual a la mitad del total de animales en su corral. ¿Cuál es la razón entre el número de conejos y el número de patos?

3 2 Resolución: A)

B) 2

5 2

D) 3

E) 4

Sea:

C: número de conejos P: número de patos De la condición del problema se plantea lo siguiente: CP

CP 2

Luego: 2C - 2P = C+P C = 3P La razón entre el número de Conejos y el número de Patos, resulta ser: C 3 P

Rpta: D)3

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07. Un triángulo rectángulo tiene ángulos agudos θ y  . Si sen   tan 

1 , 3

calcula el valor de cot  . 2 4 Resolución:

C) 2 2

D) 2

E) 4

Veamos la siguiente ilustración: Tomemos en cuenta la condición:

Sen.Tan 

1 3





Al ser  y



complementarios: Tan 

Remplazando en la condición:

Sen  Cos

Sen Cos

Cos .

Sen 1  Cos 3

3 1

Sen 

Resolviendo el Triángulo Rectángulo Rpta: C) 2

1 3

 x

x2 2.

Luego

Cot 

2 2 1

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ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ 08. Sea ABC un triángulo recto en B y sea D el pie de la perpendicular trazada desde B hacia la hipotenusa AC. Si BC  2 AD , halla tan C  cos A .

1 4 Resolución: A)

1 2

C) 1

D) 2

E) 4

Podemos plantear el siguiente gráfico: Nos piden:

E  TanC . CosA

Del gráfico se tiene Para TanC en el triángulo ABC Para CosA en el Triángulo ABD  m a E    2a   m

E

1 2

Rpta: B)

1 2

09. Coloca los dígitos 4, 5, 7, 8 en los cuadraditos de la figura (usando cada dígito exactamente una vez) de tal forma que el cociente sea un número entero. ¿Cuál es la suma de los dígitos de este cociente?

 A) 5 Resolución:

B) 4

C) 6

D) 8

E) 9

En el recuadro del divisor, no puede ubicarse el dígito 5, pues el numeral resultante con los dígitos restantes no terminarían ni en 0 ni en 5. De la misma forma no puede INVITACIÓN AL 1° PRIMER CONCURSO DE MATEMÁTICA DE AREQUIPA 2012 - COMAT AQP Domingo 18 de Noviembre - INSCRIPCIONES en:

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ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ ser divisor 4 pues los números 578, 758; no son divisibles entre 4. Finalmente se prueba que:

Produce un cociente entero de 122. Nos piden la suma de dígitos de dicho cociente: S  1 2  2  5

Rpta: A)5

10. Si a, b, c, d son enteros positivos tales que 2a  b , 3b  c y 4c  d , encontrar el menor valor posible de d. A) 25 Resolución:

B) 29

C) 37

D) 39

E) 41

Observando las tres desigualdades, al primero le multiplicamos por 12; al segundo le multiplicamos por 4, al tercero mantenemos tal como está; resulta lo siguiente: 24a  12b ; 12b  4c ; 4c  d

Por transitividad, obtenemos la siguiente relación conveniente para lograr el mínimo valor para d. 24a < 12b < 4c < d min = ?? Se ve que los valores mínimos

Son las que se indican, iniciando de a=1. Luego el valor mínimo de d=41. Rpta: E)41 INVITACIÓN AL 1° PRIMER CONCURSO DE MATEMÁTICA DE AREQUIPA 2012 - COMAT AQP Domingo 18 de Noviembre - INSCRIPCIONES en:

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   bc 

11. Si a, b, c, d son dígitos tales que aba A) 16 Resolución:

B) 8

, calcula el valor de a  b  c

C) 15

D) 12

E) 18

Observando se tiene que aba , es un número cúbico: aba  125; 216; 343; 512;729

Pero como, aba es un número capicúa, el único valor que cumple es: aba =343…..(  ) Y que también, bc es número cuadrático:

bc  16; 25; 36; 49;64;81

De (  ), se ve que b=4, entonces necesariamente: Es claro que a=3; b=4; c=9 luego:

bc =49

a  b  c  16

Rpta: A)16

12. En una reunión cada persona saludó a por lo menos 2 hombres y a por lo menos 3 mujeres. ¿Cuántas personas había como mínimo en esa reunión? A) 8 Resolución:

B) 4

C) 6

D) 7

E) 5

Conforme a las condiciones del problema, una persona que saluda por lo menos a 2 hombres y por lo menos 3 mujeres, esa persona puede ser Mujer o puede ser Hombre. 1°Caso: Si el que saluda es Hombre, entonces el mínimo número de hombres debe ser 3, para que salude por lo menos a 2 hombres. INVITACIÓN AL 1° PRIMER CONCURSO DE MATEMÁTICA DE AREQUIPA 2012 - COMAT AQP Domingo 18 de Noviembre - INSCRIPCIONES en:

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2°Caso: Si el que saluda es Mujer, el mínimo número de Mujeres debe ser 4, para saludar a por lo menos a 3 Mujeres. Luego sumamos el mínimo número de personas en la reunión: 3+4=7 personas Rpta: D)7

13. En la figura mostrada, el cubo más grande tiene 5 m de arista y el más pequeño tiene 3 m de arista y están pegados formando un nuevo sólido. Un artista quiere pintar este sólido (incluyendo a la base del cubo grande), para lo cual utiliza tarros de pintura. Si cada tarro alcanza para pintar 1 m 2 de superficie, ¿cuántos tarros de pintura necesitará el artista?

A) 170 Resolución:

B) 179

C) 186

D) 195

E) 204

Es sabido que los cubos tienen 6 caras, en total. Parte I: En el cubo pequeño, el artista sólo pintará 5 caras de 3m de arista. AL=5(3)2 =45m2

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Parte II: En el cubo grande, pintará las 6 caras, de 5m de arista, menos el área de una cara del cubo pequeño pegado en la parte superior del cubo grande: Al=6(5)2 - 32 =150 – 9 = 141m2 Finalmente AT =141+45 = 186m2 Rpta: C)186

14. En la siguiente figura se muestra un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6cm y 8cm. En la altura relativa a la hipotenusa se han marcado dos puntos cuya distancia es x. Si la suma de las áreas de las regiones sombreadas es 19 cm2, calcula el valor de x.

1 cm 2 Resolución: A)

B) 1cm

C) 2cm

5cm

1 cm 5

Es dato del problema que el área sombreada es 19cm2. También el área Total es: A



(6)(8)  24cm2 2

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Luego el área blanca se puede saber, mediante una diferencia; área Total menos el área sombreada ABlanca  24cm2  19cm2  5cm2 ABlanca  A1  A2  5

Los dos triángulos de base “x” y de alturas h1 y h2 respectivamente. De la gráfica, se ve que: h1+ h2 = 10 ABlanca 

x.h1 x.h2  5 2 2

ABlanca 

6 x

h2 10

x ( h1  h2 )  5 2

x (10)  5 . 2

Luego finalmente

x1

Rpta: B)1cm

15. Para cada entero positivo n sea f (n) el menor entero positivo tal que n  f (n) es múltiplo de 6. Por ejemplo, f (2)  3 y f (9)  2 . Calcula el valor de la suma 100

S  f (1)  f (2)  f (3)  f (4)    f (99)  f (100)   f (n) n 1

A) 345

B) 357

C) 347

D) 356

E) 350

Resolución:

Nos piden:

100

S  f (1)  f (2)  f (3)  f (4)    f (99)  f (100)   f (n) n 1

Dado un “n” necesitamos identificar un f(n) que sea el menor número entero/ n. f (n)  6 0

Así cuando n  1  1. f (n)  6, el menor entero f (n) que cumple es f (n)  6

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ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ Si Si Si Si Si Si

n 1 n2 n 3 n 4 n 5 n6

f (1)  6  f (2)  3  f (3)  2   suman 21 f (4)  3 f (5)  6   f (6)  1 

Si n  7  Si n  8  Si n  9  Si n  10  Si n  11  Si n  12 

f (7)  6  f (8)  3   f (9)  2   suman 21 f (10)  3 f (11)  6   f (12)  1

Se logra identificar que este ciclo de valores se repite en grupos de 6, luego hasta el f(96) hay 16 grupos de 6. Entonces se logra plantear lo siguiente. S  f (1)  f (2)  ...  f (6)    f (91)  ...  f (96)  f (97)  f (98)  f (99)  f (100) 1 grupo

16 grupo

Como los valores de cada grupo suman 21, se tiene: S  21  21  21  ....  21  f (97)  f (98)  f (99)  f (100) 16 veces

S  21(16)  (6  3  2  3)  350

Rpta: E)350

16. Si a y b son números reales diferentes tales que: a2  1  b b 2  1  a,

calcula el valor de a3  b3 . A) 2

B) 1

C) 0

D) 1

E) 2

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Restando y sumando las dos condiciones del problema, tenemos:

 a2  1  b  2 b  1  a 2 2

a2  b 2   ( a  b )  a  b  2  a  b sumando

restando

Resolviendo, recordemos que a-b≠0, pues son reales diferentes, obtendremos: Aplicando () : a2  b 2  2  1  a2  b 2  1....( )

( a  b )( a  b )  ( a  b )  0

Im por tan te

( a  b )  a  b  1  0 ab  0 Solución absurda

Sabemos que : ( a  b )  a  b  2 ab 2

1 de (  )

 a  b  1.......( )

1 de (  )

( 1)  1  2 ab  ab  0.......() 2

Solución válida

Re cordar

Finalmente, podemos disfrutar las dos opciones para llegar al resultado, veamos: POR

POR SUMA DE CUBOS a 3  b 3  ( a  b ) ( a 2  b 2  ab ) 1 por (  ) 1 por (  )

a 3  b 3  ( 1)(1  0) a 3  b 3  1

0 por (  )

BINOMIO

CUBO

( a  b )  a  b  3 a b( a  b ) 3

1

( 1)2  a 3  b 3  3(0)( 1) 1  a 3  b 3  0 a 3  b 3  1

Rpta: B)-1

17. Algunas de las casillas de un tablero de 4  4 deben ser pintadas. En la figura se muestra dicho tablero y los números que representan la cantidad de casillas que deben estar pintadas en la respectiva fila o columna. Halla el mayor valor posible de a  b .

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A) 4 Resolución:

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Para maximizar el valor de “a+b”, sin dejar de cumplir las condiciones, convenientemente 3

x x

b=2

a=4

Tenemos que lograr el valor de: ( a  b)max  2  4  6 Rpta: C)6

18. Un triángulo acutángulo cumple que sus ángulos están en progresión aritmética, además, los pies de sus alturas son los vértices de un triángulo rectángulo. Halla el mayor ángulo del triángulo inicial. Nota: Tenga en cuenta que en cualquier triángulo sus tres alturas pasan por un mismo punto. A) 75

B) 45

C) 80

D) 60

E) 85

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Ilustrando gráficamente, tenemos: Sumamos los ángulos en P.A. (x  r )  x  (x  r )  180

3x  180 x  60..........( )

Se ve que el cuadrilátero AQPB, es Inscriptible: Pues sus diagonales forman ángulos inscritos Correspondientes a un arco capaz, es decir: AQB  APB  90

Luego por la propiedad de cuadrilátero inscriptible se cumple que: BAQ  QPC  (x  r )

El cuadrilátero AOPC, también es un cuadrilátero inscriptible, pues: APC 

COA  90

Luego por la propiedad de ser, iscriptible se debe cumplir que: OAC  OPB  (x  r )

También en el lado BC, se forma un ángulo llano con centre en P, donde , como OPQ  90

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Definitivamente:

(x  r )  (x  r )  90 ,

que:

recordemos que ya conocemos

x  60

2x  2r  90 x  r  45 60  r  45 r  15

Finalmente, nos piden dar como respuesta la medida del mayor ángulo del triángulo inicial, ABC ABC  (x  r ) ABC  (60  15)  75

Rpta: A)75°

19. Sean a, b, c las raíces de la ecuación x3  3x2  5x  7  0 . Sea P( x ) un polinomio cúbico tal que

P( a)  b  c ,

P(b)  c  a ,

P(c )  a  b

P(a  b  c )  16 . Halla P(0) . A) 17 Resolución:

B) 11

C) 14

D) 14

E) 10

En la ecuación: Conforme a los propiedades de Cardano para las ecuaciones de grado superior, se tiene: a  b  c  3 ab  bc  ca  5 abc  7

Importante del primer resultado se tiene, que:

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ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ a  b  3  c  P( a)  3  a P( x )  3  x   b  c  3  a ......  ...... P(b )  3  b .....  .... P( x )  x  3  0 c  a  3  b P(c )  3  c 

En el P(x), polinomio cúbico: Es fácil comprobar que se puede formar un polinomio, con raíces de la ecuación original a,b,c Q(x)  P(x)  x  3  Q( a)  P( a)  a  3  0  bc  Q(b )  P(b )  b  3  0 ....pues..... a  b  c  3  ac Q(c )  P(c )  c  3  0   a b 

Luego se puede establecer que: Q(x)  P(x)  x  3  k(x  a)(x  b)(x  c) , es un polinomio de 3° grado, con raíces a,b,c: (Recordemos que P( a  b  c )  16 ) Si : x  a  b  c  P( a  b  c )  a  b  c  3  K( 3  a)( 3  b)( 3  c ) 3

3

  16  3  3   k 27  9( a  b  c )  3( ab  bc  ca)  abc  7  3 5  2k

Rescatando el resultado de que: P(x)  x  3  2(x  a)(x  b)(x  c) Si : x  0  P(0)  0  3  2(0  a)(0  b)(0  c) P(0)  3  2 ( a b c ) 7

P(0)  3  14 P(0)  11

Rpta: B)11

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ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ 20. Sea ABCD es un cuadrilátero convexo con ABC  BCD , AB  6 y CD  8 . Se sabe que existe un punto P en el lado BC tal que BAP  PAD y PDA  PDC . Halla BC. A) 4 3

B) 10

48 7

D) 8 3

E) 14

Resolución:

Es posible ilustrar el enunciado como sigue: En el cuadrilátero, la suma de ángulos interiores Es 360°: 2  2  2  360

      180......()

Luego en triangulo APD, () se cumple, ya tiene    , entonces necesariamente: APD  

El ángulo exterior del triángulo ABP, es APC     Pero del Gráfico, se ve que: APC  APD  DPC  

      DPC



 Simplificando

DPC  

En el ángulo plano BPC , se cumple que mide 180°, como ya existe    Como se ve en la figura  Necesariamente BPA   Conforme a la semejanza de los triángulos: ABP

APD

PCD

6 b m ab     m ......( ) b c a c 8 a n ab     n ......( ) a c b c

De ( ) y ( ) se concluye que:

mn

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ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ También por semejanza se puede saber que: m 6   m.n  48 8 n

Pero como m  n tenemos lo siguiente:

 m2  48 m4 3

Finalmente para concluir con el problema nos piden: x  mn  8 3

Rpta: D) 8 3

01 02 03 04

D C

05 06 07 08 09 10

D C D C B A E

11 12 13 14

A D

15 16 17 18 19 20

C B B C A B D

Agradecemos la atención que se le brinde a este pequeño aporte a la educación matemática.

"La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles" INVITACIÓN AL 1° PRIMER CONCURSO DE MATEMÁTICA DE AREQUIPA 2012 - COMAT AQP Domingo 18 de Noviembre - INSCRIPCIONES en: