PRESENTACIÓN La Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) es organizada cada año por el Ministerio de Educación desde el año 2004 y es una competencia abierta a todos los estudiantes de Educación Secundaria de Instituciones Educativas Estatales y Particulares de todo el Perú. En este año 2012 se ha puesto de manifiesto un grave problema con respecto a la continuidad de la ONEM, y es por eso que a todos aquellos que estamos involucrados y comprometidos con el desarrollo de esta Olimpiada nos corresponde velar por su vigencia, porque estamos seguros que nuestros jóvenes estudiantes merecen un espacio en el que puedan poner a prueba su talento e ingenio. El Instituto de Ciencias y Educación Matemática (ICEM) reúne a un grupo de docentes en el área de Matemática y desde el año 2009, aporta proponiendo soluciones a las preguntas de la ONEM, claro que, como siempre cualquier crítica o sugerencia es bienvenida escribiendo al correo electrónico: icemaqp@gmail.com . Es importante manifestar que año tras año se van sumando más docentes en esta causa cuyo interés es la difusión de la Matemática y el apoyo a los estudiantes. También queremos invitarlos al I Concurso de Matemática de Arequipa (I COMAT – AQP), evento a llevarse a cabo el 18 de Noviembre y del cual obtendrán mayor información en la siguiente dirección: www.icemperu.org, dicho concurso tiene como meta brindar a los estudiantes problemas interesantes que despierten el placer de razonar. EQUIPO DIRECTIVO
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA IX ONEM 2012
PRIMERA FASE – NIVEL 1
SOLUCIONARIO
Elaborado por un equipo de docentes en el área de Matemática integrantes del Instituto de Ciencias y Educación Matemática del Perú. (ICEM PERÚ) Responsables: José Choque Rivera Juan Mamani Cayani Wilder Quispe Ccallisaya
josechoque@gmail.com xmesias8@gmail.com wilde_16@hotmail.com
Este material se puede copiar, distribuir y comunicar libremente, pero no puede utilizarse con fines comerciales.
ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ
IX OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA ONEM 2012 Primera Fase – Nivel 1 29 de Agosto de 2012
01. Cuando viajé de Lima a Huancayo en bus me informaron que servían la cena justo a la mitad del viaje. Si salí de Lima a las 06:00 pm y llegué a Huancayo a las 11:20 pm, ¿a qué hora sirvieron la cena? A) 08:10 pm
B) 08:50 pm
C) 08:20 pm
D) 08:40 pm
E) 08:45 pm
RESOLUCIÓN
De acuerdo a los datos, tenemos:
El tiempo total de viaje es: 11 : 20 06 : 00 05 : 20 05 : 20 02 : 40 Hasta la mitad del viaje transcurre: 2 De modo que sirvieron la cena a las: 06 : 00 02 : 40 08 : 40pm .
∴ Clave:
D
02. Tengo 11 naranjas y 13 manzanas. ¿Cuántas frutas debo comer como mínimo para que el número de manzanas sea el doble del número de naranjas? A) 7
B) 6
C) 5
D) 3
E) 9
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Para que el número de manzanas sea el doble de otro número, necesariamente debe ser un número par, como son 13 manzanas lo mínimo sería comerse una y así quedarían 12 manzanas. Entonces el número de naranjas debe ser 6, para cumplir la condición del problema, y para ello debe comerse 5. Finalmente el número de frutas que debe comerse como mínimo es: 1 5 6.
∴ Clave:
B
03. En el colegio, Laura tiene cada mañana 6 clases de 1 hora pedagógica cada una. Además tiene dos recreos de 20 minutos cada uno. Si se sabe que 1 hora pedagógica equivale a 45 minutos y que las clases de Laura empiezan a las 08:00 a.m. ¿a qué hora terminan sus clases? A) 01:20 pm
B) 12:30 pm
C) 02:40 pm
D) 02:10 pm
E)01:10 pm
RESOLUCIÓN
Calculamos el tiempo total del horario:
ttotal 6(1 hora pedagógica) 2(1 recreo) ttotal 6( 45 min ) 2( 20 min) ttotal 270 min 40 min 310 min 5horas10min
Como las clases comienzan a las 08 : 00am , terminarían a las: 08 : 00 05 : 10 13 : 10 01 : 10pm .
∴ Clave:
E
04. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplo de la suma de sus dígitos? A) 2012
B) 2013
C) 2014
D) 2015
E) 2016
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En cada caso sea “S” la suma de los dígitos: A. 2012 S 5 ; no es múltiplo de 5 porque termina en 2. B. 2013 S 6 ; no es múltiplo de 6 porque no es múltiplo de 2. C. 2014 S 7 ; no es múltiplo de 7 porque deja residuo 3 al dividir entre 7. D. 2015 S 8 ; no es múltiplo de 8 porque no es múltiplo de 2. E. 2016 S 9 ; si es múltiplo de 9 porque la suma de sus cifras es 9.
∴ Clave:
E
05. Dos equipos de fútbol, a modo de entrenamiento, pactaron en jugar 8 partidos durante el verano. En cada partido, el equipo ganador recibe 3 puntos y el perdedor 0 puntos. En caso de empate cada equipo recibe 1 punto. Luego de los 8 partidos los dos equipos suman 22 puntos, ¿cuántos partidos terminaron en empate? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
RESOLUCIÓN Suponiendo que no hubieron empates, entonces en cada partido hubo un ganador que recibió 3 puntos, en los ocho partidos se hubieran acumulado: 3 8 24 puntos como máximo. Al reemplazar un partido con ganador por un partido empatado, se disminuye 3 puntos pero se agrega 2 (1 para cada equipo), es decir el acumulado se reduce en 1 punto. Para que al final el puntaje acumulado alcance los 22 puntos, el máximo puntaje disminuye 2 puntos por ello tuvo que haber 2 partidos empatados.
∴ Clave:
B
06. En un salón de clase, el 70% aprobó matemáticas, el 80% aprobó comunicación y el 60% aprobó ambos cursos. ¿Qué porcentaje no aprobó ninguno de los dos cursos? A) 10%
B) 20%
C) 30%
D) 40%
E) 50%
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Si el 80% aprobó comunicación y el 60% aprobó ambos cursos entonces el 80% 60% 20% aprobó sólo comunicación.
Nos apoyamos en un gráfico:
Luego podemos observar que: 70% 20% x 100%
x 10%
De modo que un 10% no aprobó ninguno de los dos cursos.
∴ Clave:
A
07. Los números de tres dígitos a7 b , b8a y 9ac tienen suma 2012. Calcula el valor de b. A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
RESOLUCIÓN
Por el dato: a7b b8a 9ac 2012 , podemos separar en cada caso los dígitos conocidos, obteniendo:
a0b 70 b0a 80 900 ac 2012 a0b b0a ac 962
Si colocamos dicha suma en forma vertical: a 0b
b0a ac 962 INVITACIÓN AL 1° PRIMER CONCURSO DE MATEMÁTICA DE AREQUIPA 2012 - COMAT AQP Domingo 18 de Noviembre - INSCRIPCIONES en:
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Observando las cifras de las decenas, se puede asegurar que: a 6 , luego en las cifras de las centenas: a b 9 entonces necesariamente
en las cifras de las unidades: b a c 12 , que implica que: c 3 . Y ahora ya podemos asegurar que: a 1 6 a 5 .
Finalmente como: a b 9 5 b 9 b 4 .
∴ Clave:
B
08. Considere todos los números naturales que usan exclusivamente los dígitos 0, 1 y 2, estos números son ordenados de menor a mayor para formar una lista infinita: 1, 2,10,11,12,..., 2010, 2011, 2012, a, b, c, d,... Calcula el valor de d a . A) 81
B) 88
C) 80
D) 89
E) 82
RESOLUCIÓN
Por condición sólo se pueden usar los dígitos 0, 1 y 2 entonces continuando la serie, a, b, c y d toman los siguientes valores: 1, 2, 10, 11, 12,..., 2010, 2011, 2012, a , b , c , d ,... 2020 2021 2022 2100
De modo que: a 2020 , d 2100 y entonces: d a 80 .
∴ Clave:
C
09. Los números del 1 al 8 deben ser ubicados en los círculos (un número en cada círculo) de tal forma que la suma de los números de tres círculos alineados sea siempre 14. ¿Cuál es el número que debe ser ubicado en el círculo que está marcado con una x?
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A) 1
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
RESOLUCIÓN
Representamos con letras los valores que debe colocarse en cada círculo.
Por
condición:
a 7 b 14 a b 7 ,
este resultado indica que ni “a” ni “b” pueden tomar el valor de 8. Una conclusión similar se logra con el par: c, d y el par: e, f. Por lo tanto “x” es el único que puede tomar el valor de 8. Una forma de distribuir los demás números sería: a 2 ; b 5 ; c 4 ;
d 3; e 1 y f 6.
∴ Clave:
E
10. ¿Cuántos días martes, como máximo, puede haber en 60 días consecutivos? A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
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En 60 días consecutivos hay 8 semanas completas y 4 días más. En 8 semanas habrán 8 martes y para maximizar de los 4 días que quedan, uno debe ser martes. Por lo tanto máximo tendremos 9 martes.
∴ Clave:
C
11. José debe comprar alfajores para 5 personas, dándole a cada uno la misma cantidad de alfajores. En la panadería solo venden alfajores en cajas de 2 ó 7 unidades. ¿Cuántas cajas debe comprar José como mínimo? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
RESOLUCIÓN
Sea “x” el número de cajas de 2 unidades que compra José; y sea “y” el número de cajas de 7 unidades, el número total de cajas que compra José es: “ x y ”, cuyo valor mínimo es lo que nos piden.
Debido a que son 5 personas, y todos deben recibir la misma cantidad de alfajores, el número de alfajores que compre José debe ser múltiplo o
de 5, es decir: 2 x 7 y 5
o
Como 7 5 2 , reemplazando en la igualdad anterior: o o o o 2( x) 5 2 ( y) 5 2 x 5 2 y 5 o
o
o
2x 2y 5 2 x y 5 x y 5
Esta última expresión indica que el número de cajas que compra José es múltiplo de 5, entonces su valor mínimo es 5.
∴ Clave:
E
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ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ 12. Halla el mayor entero positivo n para el cual se cumple que 3n es un divisor del número 112266. A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
RESOLUCIÓN
Descomponemos el número 112266 en sus factores primos y obtenemos: 112266 2 36 7 11 Como 3n es un divisor de dicho número, se observa que el mayor valor de n es 6.
∴ Clave:
D
13. Sea N un número de cuatro dígitos tal que sus cuatro dígitos son distintos. Al multiplicar N por 9 se obtiene un número de 4 dígitos, que tiene los mismos dígitos de N pero en orden inverso. Calcula la suma de los cuadrados de los dígitos de N. A) 112
B) 130
C) 132
D) 146
E) 227
RESOLUCIÓN
Sea N abcd el número con sus cuatro dígitos distintos, según dato del problema: abcd
9
dcba Al tener 4 cifras y luego de multiplicarse por 9 continuar teniendo 4 cifras necesariamente: a 1 y d 9 .
1bc 9 9 9cb1
Podemos observar que: 9(bc) 8 cb , y si descomponemos obtendríamos: 9( 10b c) 8 10c b , que luego de reducir queda: 89b 8 c ; expresión en la que los únicos valores que cumplen son cuando b 0 y c 8 .
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La multiplicación resulta entonces: 1089 9 9801 .
Luego nos piden hallar: a2 b2 c 2 d2 12 02 82 92 146 .
∴ Clave: 2
D
3
14. Sean a, b y c dígitos tales que ba cb . Calcula el valor de a b c . A) 11
B) 12
C) 15
D) 18
E) 19
RESOLUCIÓN 2
3
La expresión ba cb se puede escribir así:
que ba y cb son un cubo y un cuadrado perfecto respectivamente. Ahora los únicos cubos perfectos de dos cifras son 27 y 64, entonces
3
ba cb y esto significa
ba comienza en 2 ó 6; y cb sería un cuadrado que termina en alguna de éstas dos cifras.
Como no hay ningún cuadrado que termina en 2 entonces cb sólo puede terminar en 6 y ba 64 , reemplazando en la expresión inicial se obtiene que : cb 16 .
Finalmente nos piden el valor de: a b c 4 6 1 11 .
∴ Clave:
A
15. En un concurso de matemática están participando algunos colegios con una delegación de 3 alumnos por cada colegio. Todos los alumnos participantes hicieron una cola para recoger sus credenciales. Sandra, Raúl y Tomás son alumnos del mismo colegio. Cuando todos los alumnos estaban en la cola, Sandra se dio cuenta que delante de ella había la misma cantidad de alumnos que había detrás de ella, además, Raúl y Tomás estaban algunos lugares más atrás que ella: Raúl en el lugar 19 y Tomás en el lugar 28. ¿En qué lugar estaba Sandra? A) 14
B) 17
C) 15
D) 18
E) 16
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Sea “T” el total de alumnos que participan; como son 3 alumnos por o
colegio entonces: T 3 .
Sandra
"n" alumnos
"n" alumnos
"T" alumnos
Al estar Tomás en el lugar 28, el total de alumnos es: T 28 .
Sea “n” la cantidad de alumnos que están delante de Sandra, la cantidad de alumnos que están detrás de Sandra también será “n”, y el total de alumnos es: T 2n 1 (Número impar). Al estar Raúl en el lugar 19 detrás de Sandra, entonces: n 1 19 n 18 .
Ésta última expresión al multiplicar por 2 y aumentar 1 obtendríamos: 2n 1 37 T 37 .
De modo que: 28 T 37 , además el único número impar y múltiplo de 3 que se encuentra en dicho intervalo es: T 33 . El valor para “T” se cumple cuando n 16 , y eso significa que delante
de Sandra hay 16 alumnos, entonces Sandra está en el lugar 17.
∴ Clave:
B
16. Una lata de café cuesta S/.10 y se vende a S/.14, es decir, ganando el 40% (sobre el precio de costo). En cambio, una lata de cocoa se vende ganando el 20%. Si la cantidad total de latas de café vendidas es el doble de las de cocoa, y se sabe que la ganancia total fue del 36%, ¿a cuánto se vendió cada lata de cocoa? A) S/.5,00
B) S/.5,40
C) S/.5,80
D) S/.6,00
E) S/.7,20
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Sea “x” el precio de costo de cada lata de cocoa, como se vende ganando el 20%, el precio de venta se puede expresar como 1, 2 x .
Si representamos con “y” el número de latas de cocoa vendidas, entonces el número de latas de café sería “2y”, con estos datos podemos llenar la siguiente tabla:
Nro de latas vendidas
Precio de costo lata (S/.)
Ganancia por lata en %
Café
2y
10
40%
Cocoa
y
x
20%
Ganancia por lata en soles 40 (10) 4 100 20 x x 100 5
El costo total “ Ctotal ” se obtiene:
Precio de una Nro de latas Precio de una Nro de latas Ctotal lata de cocoa de cocoa lata de café de café Ctotal 10 2y x y 20y xy y 20 x
La ganancia total “ Gtotal ” se obtiene:
Ganancia en Nro de latas Ganancia en Nro de latas Gtotal una lata de café de café una lata de cocoa de cocoa
xy x x Gtotal 4 2 y y 8y y8 5 5 5 Si la ganancia total fue del 36%, sobre el precio de costo, entonces: Gtotal 36%(Ctotal ) x 36 y8 y 20 x 5 100 De esta última igualdad se obtiene: x 5 , que es el precio de costo de una lata de cocoa. Para hallar a cuánto se vende la lata de cocoa: 1, 2 x 1, 2 5 6 .
∴ Clave:
D
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ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ 17. En clase de matemática, el profesor ha pedido a sus alumnos que encuentran n números enteros cuya suma es 0 y cuyo producto sea n. Después de varios minutos algunos de sus alumnos dijeron lo siguiente: Ana dice: Yo creo que no existe un número n con esas propiedades. Beatriz dice: Yo creo que sí existe y que dicho número es par. Carlos dice: Yo en cambio, creo que n debe ser impar. David dice: Yo creo que n puede ser par y que también puede ser impar. ¿Cuál de ellos tiene razón? A) Ana D) David
B) Beatriz E) Ninguno tiene razón.
C) Carlos
RESOLUCIÓN
Podemos representar los números que pidió el profesor como:
a1 ; a2 ; a3 ;...; an , por las condiciones: a1 a2 a3 ... an 0 I a1 a2 a3 ... an n II
Una solución al problema se podría dar con los números: 2; 1;1; 2 pues: 2 1 1 2 0 y 2 1 1 2 4 , en donde n 4
que es un número par. Si “n” fuera impar, por la ecuación (II), todos los números tendrían que ser impares. En la ecuación (I) para que el resultado sea cero (que es un número par) tendrían que sumarse un cantidad par de números impares, pero eso no puede ser ya que estamos considerando “n” impar. O sea que no hay solución en este caso. Por lo tanto quien tiene razón es Beatriz.
∴ Clave:
B
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ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ 18. Andrés le dice a Raquel que él ha escrito en su cuaderno 5 enteros positivos distintos y también le dice la suma de esos 5 números. Con esa información Raquel puede saber con seguridad qué números escribió Andrés. ¿Cuántos valores puede tomar la suma de los números de Andrés? A) 1
B) 5
C) 2
D) 4
E) 3
RESOLUCIÓN Sean los cinco números positivos, enteros y distintos: a,b,c,d y e , ordenados de manera creciente, de modo que: a b c d e , y a b c d e S . Por condición al conocer el valor de S, Raquel debe saber con seguridad que números escribió Andrés. Podemos notar que necesariamente a 1 , ya que en otro caso: a 1,b,c,d,e 1 , serían otros números con la misma suma. Al ser números diferentes, los valores mínimos que pueden tomar serían: 1 2 3 4 5 siendo la suma de ellos: S 15 , que será el primer valor que Andrés le puede decir a Raquel. Si Andrés le dice a Raquel el número S 16 , del mismo modo ella puede saber con seguridad que los números de Andrés son: 1 2 3 4 6 16 , no hay otros que sumen lo mismo. Pero para valores S 16 ya no se puede saber con seguridad los números de Andrés, por ejemplo si S 17 los números pueden ser: 1 2 3 5 6 17 o también 1 2 3 4 7 17 . Por ello llegamos a la conclusión que son 2 los valores, para S, que Andrés podría decirle a Raquel.
∴ Clave:
C
19. Al sumar tres números de dos dígitos cada uno, se obtuvo como resultado un número de 3 dígitos, como se muestra a continuación:
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ONG ICEM PERÚ: INSTITUTO DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA DEL PERÚ Si los 9 dígitos empleados son diferentes y ninguno es igual a cero, determine el mayor valor que puede tomar el número de 3 dígitos y dé como respuesta el producto de esos 3 dígitos. A) 12
B) 20
C) 24
D) 40
E) 50
RESOLUCIÓN
Como la idea es encontrar el mayor valor de la suma, los 7 valores que se ubican en las cifras de las decenas en los sumandos deben ser lo mayor posible, iniciamos 8 considerando a los números 7, 8 y 9; cuya suma es 24, 9 entonces la suma aparecería como en el costado derecho, siempre y cuando la suma de las cifras de las unidades sea 2 4 menor que 10. Nótese que los números que faltan usar pertenecen al conjunto: 1, 3 , 5 , 6 ; la suma de los tres menores debería dar el mayor, pero esto no se cumple. La otra posibilidad es que los dígitos de las unidades en los sumandos tengan una suma mayor que 10, y tendríamos la suma del costado, los dígitos que faltan ahora pertenecen al conjunto: 1, 3 , 4 , 6 , y la suma de tres
7 8 9
de ellos debe ser igual a una decena más el cuarto; pero ello tampoco se cumple. De modo que tendremos que disminuir una unidad en las cifras de las decenas, los números usados ahora son: 6, 8 y 9 cuya suma es 23, los dígitos que faltan colocar pertenecen al conjunto: 1, 4 , 5 , 7 , y la suma de los tres
2 5
menores debe dar el mayor, pero una vez más no se
2 3
cumple. Ahora probamos con el otro caso, cuando los dígitos en las unidades tienen una suma mayor a 10, y tendremos la suma de la derecha, los números que faltan pertenecen al conjunto: 1, 3 , 5 , 7 , otra vez sumando tres de ellos debemos obtener una decena más el cuarto; y esto ahora si se cumple con los números: 1 5 7 13 .
6
8 9
6
8 9 2 4
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Finalmente sin importar el orden en el que se coloquen los dígitos 1, 5 y 7 en las unidades, el mayor resultado que podemos obtener en la suma es 243; y el producto de sus tres dígitos es 24.
∴ Clave:
C
20. ¿De cuántas formas se pueden ordenar los números 1,2, 3, 4, 5,6,7,8,9 en una fila de tal forma que los números 1,2, 3, 4, 5,6,7 , aparezcan en ese orden pero en cambio, los números 1,2, 3, 4, 5,6,7,8 no aparezcan en ese orden? Ejemplo: Una forma de ordenar los números 1,2, 3, 4, 5,6,7,8,9 de tal forma que se cumplan las condiciones requeridas es 129384567. A) 63
B) 56
C) 64
D) 55
E) 72
RESOLUCIÓN
Lo primero que podemos notar es que el número 7 sólo puede ubicarse en los dos últimos lugares, ya que antes de él deben ubicarse por lo menos 7 números incluyendo al 8. Si el 7 aparece penúltimo, el último número obligatoriamente debe ser el 9:
7 9 , y como el número 8 puede ubicarse en
cualquiera de los demás lugares, aquí tenemos 7 formas de ordenar los números.
Si el 7 aparece último:
7 tanto el 8 como el 9 podrían
ubicarse en cualquiera de los demás lugares, si queremos colocar primero al número 9, tendremos 8 formas de escoger su ubicación, luego de eso para colocar al número 8 nos quedan 7 formas de ubicarlo. De modo que tendremos: 8 7 56 formas de colocar en este caso a los números 8 y 9. Una vez colocados los números 7, 8 y 9 a todos los demás números les queda una única ubicación de manera correlativa.
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Finalmente sumamos los resultados en cada caso y obtenemos: 7 56 63 formas de colocar los números con las condiciones dadas.
∴ Clave:
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D B E E B A B C E C
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A
E D D A B D B C C A
Agradecemos la atención que se le brinde a este pequeño aporte a la educación matemática.
"La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles"
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