4.3 Distribuciones Continuas by Heriberto Vázquez Serna

4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

4.4 Distribuciones de Probabilidad para variables aleatorias continuas 4.4.1. Distribuciones de Probabilidad . Continua 4.4.1.1. Distribución Normal 4.4.1.2. Distribución Exponencial 4.4.1.3. Distribución Weibull 4.4.2. Ejercicios Resueltos 4.4.3 Ejercicios Propuestos

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4.4.1 Introducción Caso Real: Variables Aleatorias Continuas El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en México, se especificó un espesor de pulgada para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Si las mediciones de espesor tenían una distribución normal, ¿qué porcentaje aproximado fue interior a 7/16 de pulgada? La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución normal con una media de 200 y una desviación estándar de 50. Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuántos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día? Suponga que usted es el director del programa de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de supervisión de los supervisores de la línea de producción. Debido a que el programa es autoadministrado, los supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Usted ha realizado un estudio de los participantes anteriores y tiene datos que indican que el tiempo medio que se lleva el programa es de 500 horas, y que está variable aleatoria está normalmente distribuida con una desviación estándar de 100 horas, además usted está interesado en determinar cual es la probabilidad de que un supervisor termine su programa de entrenamiento entre 550 y 650 horas. ¿Cómo calcularía usted esta probabilidad?. No se preocupe, en está sección usted adquirirá los conocimientos necesarios para dar solución al problema planteado. En la sección anterior se consideró sólo distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas. En ésta sección se estudiará una familia de distribuciones para variables aleatorias continuas. Recuerde que éstas surgen de una medición, pueden tomar un valor infinito de valores dentro de un intervalo determinado y que por lo tanto pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números reales. Así como existía, para variables discretas, una función de probabilidad, también la hay para variables continuas, la cual recibe el nombre de "Función de Densidad de Probabilidad", recibe este nombre porque calcula el área bajo la curva o la probabilidad de una variable aleatoria continua dentro de un intervalo de valores. Función de Densidad de Probabilidad: Si f es una función integrable definida para todos los valores de una variable aleatoria continua "x", se define la probabilidad de que el valor de la variable esté entre a y b como: P(a ≤ x ≤ b)

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A las funciones se les denomina funciones de densidad de probabilidad, o simplemente densidades de probabilidad. Observe y Analice: La expresión de función de densidad de probabilidad, , se llama "integral definida" y proviene del cálculo diferencial e integral. Recuerde que la integral definida es una medida del área bajo la curva f(x). En este caso el área está acotada entre a y b, y en la parte superior por f(x) y en la inferior por el eje de las abscisas. Recuerde también que la integral significa, en forma simple, una sumatoria, en este caso en lugar de sumar la probabilidad de cada valor de la variable continua "x" en el intervalo de interés, bastará con aplicar la función de densidad de probabilidad e integrar entre los valores del intervalo deseado.

4.4.1.1. Distribución Normal: La más importante de las funciones de densidad de probabilidad es la distribución normal, la cual recibe también el nombre, de distribución Gaussiana, Acampanada o Monticular (recuerde que esta distribución se trato en la sección tres en el tema de regla empírica). Aunque existen varios tipos de distribuciones continuas muchas variables tienen una distribución aproximadamente normal. En esta sección usted aprenderá a calcular probabilidades, a representarlas gráficamente y a utilizar la distribución normal en la resolución de problemas. La función de densidad de probabilidad normal es:

Donde: σ = Desviación estándar de la población ∏ = 3.1416... μ = Media aritmética de la población x = Variable aleatoria continua e = 2.71828... Su gráfica es de forma semejante al perfil de una campana :

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Así, la probabilidad de que la variable normal x esté entre a y b está dada por:

Esta integral definida es una medida del área bajo la curva de f(x) acotada a la izquierda por a y a la derecha por b:

Como se puede apreciar en la fórmula anterior, una importante característica de la distribución normal, es que dependen sólo de dos cantidades, la media poblacional μ , y la desviación de la población σ . Las probabilidades relacionadas con la distribución normal, se pueden calcular por medio de la función de densidad de probabilidad, pero, existe una tabla (Tabla de Distribución Normal) en donde se encuentran valores tabulados y por lo tanto las probabilidades asociadas a las variables suelen obtenerse a partir de esta tabla. Esta tabla corresponde a la distribución normal estándar, dicha distribución se tratará a continuación. Distribución Normal Estándar: En la sección tercera se trató como se puede calcular la distribución de un conjunto de datos, ya sea a través de Teorema de Tchebysheff o Regla Empírica. Recuerde que la regla empírica se aplica para distribuciones de forma simétrica y mesocúrtica, y es precisamente este tipo de distribución el que recibe el nombre de distribución normal. Unas de las principales características de la distribución normal estándar: a) Su forma es acampanada (simétrica y mesocúrtica) b) Al ser simétrica su distribución, sus medidas de tendencia central son iguales, y por lo tanto las tres se ubican en la parte central, siendo éstas, entonces, el eje de simetría de la distribución. c) El área bajo la curva representa la probabilidad, de aquí que, la suma de toda el área equivalga al 100% d) La curva de distribución normal es asintótica respecto al eje de las abscisas, es decir, nunca llega a tocarla. e) Al ser simétrica la curva, el área bajo la curva, respecto al eje de simetría, será del 50% por abajo de ella y el otro 50% por arriba de ella. f) Su variable aleatoria continua asociada tiene rango infinito ( -∞ < x < + ∞ )

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g) Existe una medida que determina el número de desviaciones estándar que una observación particular, de la variable aleatoria continua, se aleja por debajo o por arriba de la media. Esta medida recibe el nombre de puntuación estándar o estandarizada. Si "x" representa una observación, entonces la puntuación estándar, representada por "z", se calcula a partir de datos poblacionales: z= h) En la distribución normal estándar, a la distribución de variable x corresponde μ= 0 y σ = 1, si se sustituye estos datos en la fórmula de "z", se observa que a cada observación "x" le corresponde un valor "z". i) El gráfico para esta distribución normal estándar es:

j) Representando las observaciones con su correspondiente puntuación estándar:

Observe y Analice: La puntuación "z" es precisamente el número de desviaciones que se aleja una observación de la media, por ejemplo, cuando z=+1 indica que en esa posición se encuentra una observación que se aleja de la media +1 desviación estándar. Se había mencionado, que existe un tabla de distribución normal estándar, por medio de la cual se pueden calcular las áreas bajo la curva o la probabilidad de una determinada observación. Tabla # 10 Tabla de la Función de distribución de la variable Normal(0,1)

A continuación se indicará sus características y como debe usted manejarla. a) La primera columna (vertical) se indica el valor de "z" , la cual puede tomar valores de un entero con un decimal. b) La primera fila (horizontal) indica el segundo valor decimal que puede tomar "z". c) Cada celda, que conforma la tabla, indica el "área entre 0 y la z buscada". d) Para manejar la tabla, usted debe ubicarse en el valor de la "z" que interesa, posteriormente, obtener el dato que se encuentra en la celda correspondiente, el

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cual será precisamente el área entre 0 y la "z" de interés. Analice los siguientes ejemplos: Ejemplo 1.- Para una variable aleatoria con distribución normal estándar calcular: a) P(0< z < 2.57), área o probabilidad entre z=0 y z=2.57 1)

Es importante que usted realice una representación gráfica del área buscada, en el siguiente gráfico se representa la distribución para z:

2) Ubíquese en la primera columna con z = 2.5 ( primer entero con primer decimal)

y en la primera fila con el valor de 0.07 (segundo decimal), posteriormente observe el dato que se encuentra en la celda que ocupa la posición de z = 2.57, el valor encontrado es de 0.4949, el cual es el área o probabilidad entre 0 y la z buscada. Así, P(0< z < 2.57) = 0.4949 b) P(0.87< z < 1.28), el área entre z=0.87 y z=1.28 1) El área deseada se muestra en el siguiente gráfico para la distribución z

2) Como el área buscada es P(0.87< z < 1.28), entonces se tendrá que calcular el

área correspondiente a cada valor límite de z y posteriormente restarlas Para z = 1.28, ubíquese en la primera columna en z=1.2 y en la primera fila en 0.08, el área Correspondiente a z = 1.28 es P( 0 ≤ z ≤ 1.28) = 0.3810 Para z = 0.87, ubíquese en la primera columna en z=0.8 y en la primera fila en 0.07, el área correspondiente a z = 0.87 es P( 0 ≤ z ≤ 0.87) = 0.3078 Por lo tanto: P(0.87< z < 1.28) = P(0 ≤ z ≤ 1.28) - P( 0 ≤ z ≤ 0.87) =0.3810 - 0.3078 = 0.0732 c) P(z > 1.55), el área a la derecha, o por arriba de z=1.55 1) El área deseada se muestra en el siguiente gráfico para la distribución z

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Como el área a buscar es la mayor z = 1.55, entonces, al área de 0.50, correspondiente a la probabilidad de la mitad de la distribución, se le restará el área encontrada de P ( 0 ≤ z ≤ 1.55 ) El área de z = 1.55 es P( 0 ≤ z ≤ 1.55 ) = 0.4394 (tabla) P(z > 1.55) = 0.5 - P ( 0 ≤ z ≤ 1.55 )= 0.50 - 0.4394 = 0.0606 2)

d) P(z > -0.65) , el área a la derecha , o por arriba de z= - 0.65 1) El área deseada se muestra en el siguiente gráfico para la distribución z

2) Como el área a encontrar es a la derecha de z = -0.65, es decir, P(z > -0.65),

entonces al área de P(0 ≤ z ≤ 0.65) se le sumará 0.50, correspondiente a la probabilidad de la área derecha, respecto a z=0 P(z > -0.65) = P(0 ≤ z ≤ 0.65) + 0.50 El área correspondiente a z = -0.65 es P(0 z 0.65)=0.2422 ( tabla) P(z > -0.65) = P(0 ≤ z ≤ 0.65) + 0.50 = 0.2422 + 0.5 = 0.7422 e) Con base al inciso d) calcule P(z < -0.65), o sea, el área a su izquierda, o menor a z=-0.65 P(z < -0.65) = 1 - P(z > -0.65)= 1 - 0.7422= 0.2578 ( Por medio de complemento) O bien, P(z < -0.65) = 0.5 - P(0 ≤ z ≤ 0.65)= 0.5 - 0.2422=0.2578 Ejemplo 2.- Hallar los valores de z para la distribución normal estándar mostrada en cada uno de los siguientes diagramas: a)

Se pide el valor de z si P(0 ≤ z ≤ z) es de 0.4590 1) Buscar el valor de z, en tablas, correspondiente a esta área, por lo tanto usted

tendrá, ahora, que entrar de forma inversa en la tabla, es decir, primero busque el área y posteriormente la z correspondiente. El valor del área para la Tabla es de 0.4590 Por lo tanto el valor de z obtenido a partir de la Tabla es z= 1.74 Observe y Analice: En éste caso el área dada, es entre 0 y la z buscada, por lo que usted puede entrar directamente a tablas a buscar su z correspondiente, en el caso que no se le esté dando esta área, usted tendrá primero que encontrarla, para después, entrar en tabla y buscar su z, analice el siguiente ejemplo. b)

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Se pide el valor de z, si el área a su derecha, o por arriba de ella es de 0.05 1) En éste caso no se puede ir directamente a tabla a buscar el área de 0.05, puesto que esta área no es entre 0 y la z buscada, por lo tanto se tiene que buscar primero ésta área: P ( 0 ≤ z ≤ +z )= 0.5 - 0.05 = 0.45 Buscar en tabla la z correspondiente: El valor de z obtenido a partir de la Tabla es z= 1.645 c)

El valor a encontrar de z, es teniendo en base que su área a la izquierda es de 0.7673 Recuerde, que hay que calcular primero el área entre 0 y la z buscada: P ( 0 ≤ z ≤ +z ) = 0.7673 - 0.50= 0.2673 El valor de +z, obtenido a partir de la Tabla es de z =0.73 EJEMPLO 3.- Dado que una variable aleatoria X tiene una distribución normal con media de 6.4 y desviación estándar de 2.7, encontrar: a) P(x >2.0) Este ya es un problema de aplicación, en donde se tiene que aplicar la fórmula de la puntuación estándar: μ= 6.4 σ = 2.7 .x = variable aleatoria continua 1) El diagrama para la variable x es

2) El valor de z ( puntuación estándar ) calculado a partir del valor de x es:

z = (2.0 - 6.4)/2.7 = - 1.63 3) El diagrama para la variable z es

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4) Calcular el área bajo la curva:

P(x >2.0) = P(x > -1.63) = 0.5 + P ( -1.63 ≤ z ≤ 0 )= 0.50 +0.4484 = 0.9484 b) P(x < 7.2) 1) El diagrama para la variable x es

El valor de z calculado a partir del valor de x es:

z = (7.2 - 6.4)/2.7 = 0.30 3) El diagrama para la variable z es

4) Calcular el área bajo la curva:

P(x < 7.2) = P(z < 0.3) = 0.5 +P( 0 ≤ z ≤ 0.3) = 0.50 + 0.1179 = 0.6179 c) P(4.0 < x < 5.0) 1) El diagrama para la variable x es

2) Los valores de z calculados a partir de cada valor de x son:

Para x1 = 4 : z1 = (4.0 - 6.4)/2.7 = - 0.89 Para x2 = 5.0: z2 = (5.0 - 6.4)/2.7 = - 0.52 3)

El diagrama para la variable z es

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4) Buscando la probabilidad o área bajo la curva:

P(4.0 < x < 5.0) = P(- 0.89< z < - 0.52) = P( -0.87 ≤ z ≤ 0) - P( -0.52 ≤ z ≤ 0 )=0.3133 - 0.1985 = 0.1148 Ejemplo 4.- En una distribución normal con una desviación estándar de 5.0, la probabilidad de que una observación elegida al azar exceda 21 es de 0.14. Encontrar la media de la distribución. SOLUCIÓN: σ= 5.0 P ( x > 21 )= 0.14 μ= ? Se aconseja realizar el gráfico de distribución normal, por lo tanto, el diagrama para la variable x es:

Para determinar el valor z que corresponde a la variable x=21, recuerde que hay que encontrar primero el área entre 0 y la z buscada: P( 0 ≤ z ≤ +z )= 0.50 - 0.14 = 0.36 Buscando el valor de +z que corresponde a esta área en tabla: z = 1.08 Para calcular m, bastará con despejarla de la fórmula de puntuación estándar: z= 1.08 = 5.4 = 21 – μ μ= 21 - 5.40 μ= 15.60 Ejemplo 5.- El tiempo de espera x en cierto banco está distribuido en forma normal, aproximadamente con media y desviación estándar iguales a 3.7 y 1.4 minutos, respectivamente. Hallar la probabilidad de que un cliente seleccionado aleatoriamente tenga que esperar: a) menos de 2 minutos b) más de 6 minutos Solución: Vázquez, H. 2009

a) menos de 2 minutos Datos .x = tiempo de espera ( min ) μ= 3.7 min σ= 1.4 min .P (x < 2) = ? Realizando el diagrama para la variable x es:

Calcular la puntuación estándar que corresponde a la variable z = (2 - 3.7)/1.4 = -1.21 El diagrama para la variable z es:

Calcular el área o probabilidad P(x < 2) = P(z < -1.21) = 0.5 - P( -1.21 ≤ z ≤ 0)= 0.5 - 0.3869 = 0.1131 b) más de 6 minutos P(x > 6) = ? 2) El diagrama para la variable x es:

Calculando la puntuación estándar z = (6 - 3.7)/1.4 = 1.64 El diagrama para la variable z es:

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Calculando el área bajo la curva: P(x > 6) = P(z > 1.64) = 0.5 - P( 0 ≤ z ≤ 1.64)= 0.50 - 0.4495 = 0.0505 Ejemplo 6.- Se sabe que el tiempo promedio requerido para terminar un examen es de 70 minutos con una desviación estándar de 12 minutos. Cuánto tiempo debe asignarse si se desea que el 90 % de los estudiantes tengan suficiente tiempo para terminar el examen? (Suponga que el tiempo requerido para terminar el examen tiene una distribución normal). Solución: x = tiempo requerido para terminar el examen ( min ) μ= 70 min = 12 min x=? En este problema se pide calcular el valor de la variable x, por lo tanto: El diagrama para la variable x es:

El diagrama para la variable z es:

Calculando z P( 0 ≤ z ≤ +z )= 0.9 - 0.5 = 0.4 Buscando la z correspondiente en tabla: z = 1.285 Calculando la variable x: z= 1.285 = x - 70 = 15.42 x = 15.42 + 70 = 85.42 min Aproximación de la Distribución Binomial a la Normal:

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En la sección anterior se habló de la distribución binomial como una distribución de probabilidad para una variable "x" definida como el número de éxitos observados en "n" ensayos independientes repetidos. Ahora se verá cómo las probabilidades binomiales pueden ser razonablemente estimadas por medio de una distribución normal, a pesar de que esta distribución es para variables aleatorias continuas. En los casos analizados, en distribución binomial, se trató de calcular la probabilidad para la variable "x" con una "n" pequeña, ¿Pero que pasará si "n" es grande"?, el cálculo de las probabilidades no sería imposible, pero sí laborioso, es aquí donde la distribución normal es de gran ayuda. Para poder aproximar una distribución binomial a normal se tendrá que transformar el cálculo de la probabilidad de una variable discreta, en una distribución de probabilidad normal para una variable continua, para esto hay que considerar lo siguiente: En una distribución binomial en cada ensayo se observa 0 ó 1 éxito con probabilidad "q " y "p" respectivamente, por lo tanto cada uno de los "n" ensayos se puede considera como una observación independiente compuesto de un ensayo, y el número total "x" de éxitos en "n" ensayos vendría a ser la suma de estas "n" observaciones independientes. Esto es, transformar el valor de la variable discreta en un intervalo de valores, para sí poderla trabajar como una variable continua, esto se logra aplicando un factor de corrección de continuidad, el cual consiste en sumar o restar 0.5 a los límites según sea el caso. Por ejemplo: Sea "x" una variable y "k" un valor predeterminado, entonces: Si se busca P(x = k), aplicando el factor: P(k - 0.5 ≤ x ≤ k + 0.5) Si se busca P(x ≥ k), aplicando el factor: P(x ≥ k - 0.5) ; Si se busca P(x ≤ k), aplicando el factor: P(x ≤ k + 0.5) ; Si se busca P(k1 ≤ x ≤ k2 ), aplicando el factor: P(k1 -0.5 ≤ x ≤ k +0.5) Si se busca P(x < k ), aplicando el factor: P(x ≤ k - 0.5) Entonces, si "n" es suficientemente grande, la variable binomial "x" tendrá una distribución aproximadamente normal con: μ= np y σ = Si se sustituye estos valores en la fórmula de tipificación de la distribución normal estándar se tendría lo siguiente: z= Esta distribución está definida por la distribución normal estándar, y los parámetros de dicha distribución son la media y su desviación estándar. En éste caso, esta media y desviación estándar dependen de los valores de n y p de la distribución binomial inicial, por lo que de esta manera, la distribución normal es una buena aproximación a la binomial. Ejemplo 7.- Para ejemplificar la aproximación binomial a la normal, suponga que se quiere saber la probabilidad de obtener 5, 6,7, u 8 caras en diez lanzamientos de una moneda no alterada. Solución: Trabajando el problema como distribución binomial y haciendo uso de su tabla para encontrar esta probabilidad, se tendría: Donde: x = cara, x=5, x= 6, x= 7, x= 8 n = 10 Vázquez, H. 2009

p=0.5, q = 1-p = 1 - 0.5 = 0.5 P( x=5 )=P( 5, 10, 0.5)=0.246 P( x=6 )= P( 6, 10, 0.5)=0.205 P( x=7 )= P( 7, 10, 0.5)=0.117 P( x=8 )= P( 8, 10, 0.5)=0.044 P(5 ≤ x ≤ 8) = P(x = 5)+P(x = 6)+P(x = 7)+P(x = 8). = 0.246+ 0.205+ 0.117+0.044 =0.612 Utilizando la aproximación de la distribución normal a la binomial se tendría: La media es np = (10)(1/2)=5 La desviación estándar es

= 1.581.

P(5 ≤ x ≤ 8) = P(4.5 ≤ x ≤ 8.5) ( por el factor de corrección de continuidad) Obteniendo las puntuaciones tipificadas , z, para cada valor del intervalo: Z1 =( 4.5-5)/1.581 =-0.32 Z2 =( 8.5 - 5) / 1.581 = 2.21 Graficando el área bajo la curva de distribución normal:

Buscando los valores de z en la tabla de distribución normal tenemos que: P(4.5 ≤ x ≤ 8.5)= P( -0.32 ≤ z ≤ 2.21 ) = P ( -0.32 ≤ z ≤ 0 ) + P ( 0 ≤ z ≤ 2.21 )= 0.1255 + 0.4864 = 0.6116 Si se compara los resultados que se obtuvieron por ambos métodos, se puede apreciar que el error aproximado es menor del 1%. Esta aproximación permite resolver el problema que se presenta cuando se tienen que utilizar grandes tablas de distribución binomial. Cabe hacer notar que ésta aproximación es bastante buena cuando np ≥ 5 y nq ≥ 5. Ejemplo 8.- Si el 20% de los diodos fabricados en cierta planta son defectuosos, ¿Cuáles son las probabilidades de que en un lote de 100, aleatoriamente escogidos para revisión: a) Por lo menos 15 están defectuosos? b) Exactamente 15 están defectuosos? Solución: p=0.20, n=100, q=0.80 P(x 15)=? Utilizando la aproximación: Este experimento tiene una distribución binomial, para resolverlo se deben calcular los parámetros μ , y σ : μ = (100) (.20) = 20 y σ = =4

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Tipificando los valores y aplicando el factor de corrección: P(x ≥ 15)=P(x ≥ 14.5) Tipificando : z = (14.5 - 20)/ 4 = -1.13. Graficando:

Calculando el área bajo la curva, según tabla de distribución normal: P(z ≥ 1.13) = 0.5 + 0.1292 = 0.6292 Por lo tanto la probabilidad de que de 100 diodos por lo menos 15 estén defectuosos es de 0.6292. b) La probabilidad de que exactamente 15 estén defectuosos, aplicando el factor de corrección de continuidad formando un intervalo: P(x=15)=P(14.5 ≤ x ≤ 15.5) Tipificando ambos valores : Z1 = (14.5 - 20)/4 = - 1.38 y z2 = (15.5 - 20) / 4 =-1.13.

Buscando en las tablas el área correspondiente para éstos valores: P(-1.38 ≤ z ≤ 0 ) = 0.4162 y P( -1.13 ≤ z ≤ 0 ) = 0.3708, La probabilidad buscada es: P(14.5 ≤ x ≤ 15.5) = P( -1.38 ≤ z ≤ -1.13 ) = P(-1.38 ≤ z 1 0 ) - P( -1.13 ≤ z1 ≤ 0 ) = 0.4162 - 0.3708 = 0.0454. Ejemplo 9.- Si una variable aleatoria tienen una distribución binomial con n=20 y p=0.60, con la aproximación normal , determínese las probabilidades de que asuma: a) El valor 14 b) Un valor menor que 12 SOLUCIÓN: El valor de la media y la desviación estándar es: μ = (60)(.20)= 12 σ= = 1.54 Aplicando el factor de corrección buscamos : P(x = 14)=P(13.5 ≤ x ≤ 14.5) : Vázquez, H. 2009

Tipificando ambos valores y graficando: Z1 = (13.5 - 12) / 1.54 = 0.97 y z2 = (14.5 -12) / 1.54 = 1.62

Calculando el área bajo la curva: P(13.5 ≤ x ≤ 14.5) = P(0.97 ≤ z ≤ 1.62) Buscando éstos valores en la tabla de distribución normal la probabilidad es : P( 0 ≤ z ≤ 1.62 ) = 0.4474 P(0 ≤ z ≤ 0.97) = 0.3340 P(0.97 z 1.62)= P( 0 ≤ z ≤ 1.62 ) - P(0 ≤ z ≤ 0.97 ) = 0.1134 b) P(x < 12 ) = P(x ≤ 11.5) (Aplicando el factor de corrección) Tipificando este valor z = (11.5 - 12) / 1.54 = - 0.32 Buscando el área de este valor en la tabla de distribución normal : P(- 0.32 ≤ z ≤ 0 ) =0.1255 P(x < 12 ) = P(x ≤ 11.5)= P(z ≤ -0.32 ) = 0.5 - 0.1255 = 0.3745

Ejemplo 10.- Un fabricante sabe que en promedio, 2% de los tostadores eléctricos que produce requerirán reparación en los 90 días siguientes a su venta. Determínese la probabilidad de que entre 1200 tostadores al menos 31 requieran reparación en los primeros 90 días después de su venta. Solución: La media y desviación estándar para ésta distribución son : μ = np = (1200)(.02) = 24 σ= = = 4.84 P(x ≥ 31) = P(x ≥ 30.5) (Aplicando el factor de corrección) Tipificando : z = (30.5 - 24) / 4.84 = 1.34.

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P(x ≥ 31) = P(x ≥ 30.5) = P(z ≥ 1.34 ) Buscando en la tabla de distribución normal P(0 ≤ z ≤ 1.34) = 0.4099 P(z ≥ 1.34 ) = 0.5 - 0.4099 = 0.0901 La probabilidad buscada es: P(x < 45 ) =P(x ≤ 44.5 ) =P( z ≤ 0.90) = 0.5 - 0.3159 = 0.1841

4.4.1.2. Distribución Exponencial: En el estudio realizado sobre la distribución Poisson, se definió una variable aleatoria como el número de fallas en determinada longitud de un alambre de cobre. La distancia entre las fallas es otra variable aleatoria que a menudo es de interés. Sea la variable aleatoria X la longitud desde un punto de inicio de alambre hasta el sitio donde se encuentra una falla. Como es de esperarse, la distribución de X puede obtenerse a partir de conocer la distribución del número de fallas. La clave para obtener esta relación es el siguiente concepto. La distancia hasta la primera falla es mayor que 3 milímetros si y sólo si no hay fallas en esos 3 mm -simple, pero suficiente para el análisis de la distribución de X. En general, sea la variable aleatoria "N" el número de fallas en "x" mm de alambre, si el número promedio de fallas es por mm, entonces "N" tiene una distribución Poisson con media x. Supóngase que la longitud del alambre es mayor que el valor de "x". Ahora bien,

La obtención de la distribución de X depende sólo de la hipótesis de que el número de fallas sigue un proceso Poisson. Asimismo, el punto de partida para medir X no importa, ya que la probabilidad del número de fallas en un intervalo de un proceso Poisson depende solo de la longitud del intervalo y no de la posición. El resultado siguiente se aplica para cualquier proceso Poisson.

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Definición: La variable aleatoria X que es igual a la distancia entre ocurrencias sucesivas de un proceso Poisson con media >0, tiene una distribución exponencial con parámetro . La función de densidad de probabilidad de X es Fx(x; ) =

, para 0<= x <α

Para facilitar la aplicación de la fórmula, a continuación se expone las integrales ya realizadas:

Si la variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetro l, entonces

Es importante utilizar unidades consistentes en el cálculo de probabilidades, medias y varianzas de variables aleatorias exponenciales. El ejemplo que sigue ilustra la conversión de utilidades. Ejemplo: En una red de computadoras grande, el acceso de los usuarios al sistema puede modelarse como un proceso Poisson con una media de 25 accesos por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accesos en un intervalo de seis minutos?. Solución: Sea X el tiempo en horas desde el inicio del intervalo hasta que se presenta el primer acceso. Entonces X tiene una distribución exponencial con =25 accesos por hora. El interés recae en la probabilidad de que X sea mayor que seis minutos. Dado que el valor de 𝜆 está dado en accesos por hora, es necesario expresar todas las unidades de tiempo en horas. Esto es 6 minutos =0.1 horas, la probabilidad pedida:

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¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta el siguiente acceso esté entre 2 y 3 minutos? Después de convertir todas las unidades a horas,

En el ejemplo, la probabilidad de que no haya accesos en 6 min es 0.082, sin importar el momento en que inicia el intervalo. Un proceso Poisson supone que los eventos se presentan de manera uniforme en el intervalo observado; esto es, no hay acumulación de eventos. Si los accesos están modelados mediante un proceso Poisson, la probabilidad de que el primer acceso (pasado el mediodía) ocurra después de las 12:06 pm, es la misma que la probabilidad de que ocurra (pasadas las 3 de la tarde) después de las 3:06 pm. Y si algún usuario se da de alta a las 2:22 pm, la probabilidad de que el siguiente acceso ocurra después de las 2:28 pm sigue siendo 0.082. El punto de partida para la observación del sistema no importa. Sin embargo, si durante el día existen periodos de mucho uso, como justo después de las 8:00 am, seguidos por periodos de bajo uso, entonces el proceso Poisson no constituye un modelo apropiado par el cálculo de probabilidades. Tal vez lo más razonable sea modelar periodos de mucho uso y los de poco uso con proceso Poisson separados, utilizando un valor grande de 𝜆 para los períodos de gran demanda, y un valor más pequeño para otras circunstancias. Así esto puede utilizarse una distribución exponencial con el correspondiente valor de para calcular las probabilidades de acceso al sistema durante periodos de mucha y poca demanda. Propiedad de la carencia de memoria: Una más interesante propiedad de una variable aleatoria exponencial , es la que tiene que ver con probabilidades condicionales. Ejemplo: Sea X el tiempo entre las detecciones de una partícula rara por un contador Geiger; supóngase que X tiene una distribución exponencial con una media de 1.4 minutos. La probabilidad de detectar una partícula durante el lapso de 30 segundos que transcurren desde que se enciende el contador es

En el cálculo anterior se han convertido todas las unidades de tiempo a minutos. Ahora, supóngase que se enciende el contador Geiger y transcurren tres minutos sin detectar partícula alguna ¿Cuál es la probabilidad de detectar una partícula en los 30 segundos siguientes?. Dado que y han transcurrido 3 minutos, la impresión que se tiene es que "se ha esperado bastante". Esto es, la probabilidad de detección en los siguientes 30 seg. debe ser mayor que 0.5. Sin embargo, para una distribución exponencial, esto no es cierto. La probabilidad pedida puede expresarse como la probabilidad condicional de que P(X<3.5 | X >3 ). A partir de la definición de probabilidad condicional. P(X<3.5 | X > 3 ) = P (3 < X < 3.5)/ P(X >3) Donde Vázquez, H. 2009

Después de esperar tres minutos sin detectar una partícula, la probabilidad de detectar una en los 30 segundos siguientes es la misma que la de detectarla 30 segundos después de haber encendido el contador. El hecho de haber esperado 3 minutos sin detectar una partícula no cambia la probabilidad de detección en los 30 seg. siguientes. Este ejemplo ilustra la propiedad de la carencia de memoria de una variable aleatoria exponencial. De hecho, la distribución exponencial es la única distribución continua que tiene esta característica Propiedad de la carencia de memoria: Para una variable aleatoria exponencial X, La propiedad de la carencia de memoria no es sorprendente si se considera el desarrollo de un proceso Poisson. En dicho desarrollo, se supuso que un intervalo puede subdividirse en intervalos independientes más pequeños. Estos subintervalos son similares a los ensayos Bernoulli independientes, característicos de un proceso binomial; el conocimiento de resultados previos no tiene efecto sobre las probabilidades de los eventos en subintervalos futuros. Una variable aleatoria exponencial es el análogo continuo de una variable aleatoria geométrica, y las dos comparten una similar propiedad de carencia de memoria. La distribución exponencial se emplea con frecuencia en estudios de confiabilidad como modelo para el tiempo transcurrido hasta la falla de un dispositivo. Por ejemplo, el tiempo de vida de un chips puede modelarse como una variable aleatoria exponencial con una media de 40 000 horas. La propiedad de la carencia de memoria de la distribución exponencial implica que el dispositivo no se desgasta. Esto es , sin importar cuanto tiempo haya trabajado el dispositivo, la probabilidad de que falle en las siguientes 1000 horas es la misma que la probabilidad de que falle durante las primeras 1000 horas de operación. El tiempo de vida útil "L" de un dispositivo con fallas provocadas por golpes aleatorios puede modelarse de manera apropiada como una variable aleatoria exponencial. Sin embargo, la probabilidad de que el dispositivo, sufra un desgaste mecánico lento (por ejemplo, en los cojinetes), puede modelarse mejor con una distribución tal que P(L< t + ∆ t | L > t) aumente a medida que se incremente t. En la práctica a menudo se emplean distribuciones como la Weibull para modelar el tiempo de falla de este tipo de dispositivos.

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4.4.1.3. Distribución Weibull: Tal como ya se mencionó, esta distribución se emplea a menudo para modelar el tiempo hasta presentarse una falla en muchos sistemas físicos diferentes. Los parámetros de la distribución proporcionan mucha flexibilidad para modelar sistemas en los que el número de fallas aumenta con el tiempo (por ejemplo, el desgaste), disminuye con el tiempo (en algunos semiconductores), o permanece constante (fallas provocadas por causas externas al sistema). La variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad

Tiene una distribución Weibull con parámetro de escala α ›0 y parámetro de forma β›0 Donde. X = Variable tiempo a la falla α = Parámetro de Escala= refleja el tamaño de las unidades en que se mide la variable x β = Parámetro de forma = Su valor determina la forma de la distribución Facilitando las integrales:

Por otra parte también se tiene lo siguiente: Si X tiene una distribución Weibull con parámetros d y b, entonces

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Ejemplo: El tiempo de falla (en horas) del cojinete de una flecha está modelado de manera satisfactoria por una variable aleatoria Weibull con β = ½ y δ = 5000 horas. Calcúlese el tiempo promedio de falla. Del resultado anterior E(X)= 5000 Г [1+ (1/0.5)] = 5000 Г [3] =5000 * 2! = 10000 horas Determínese la probabilidad de que el cojinete dure al menos 6000 horas

En consecuencia, el 30.1 % de todos los cojinetes tendrán una duración al menos de 6000 horas.

Función de Densidad de Probabilidad: Si f(x) es una función integrable definida para todos los valores de una variable aleatoria continua, se define la probabilidad de que el valor de la variable esté entre a y b como:

A las funciones se les denomina funciones de densidad de probabilidad, o simplemente densidades de probabilidad. Esta integral definida es una medida del área bajo la curva de f(x) acotada a la izquierda por a y a la derecha por b:

Definición: Una función f(x) es una función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X si para cualquier intervalo de números reales [a, b] : f( x ) ≥ 0

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Función de Distribución Acumulada: La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X es: F (x) = P ( X ≤ x) =

Conceptos

Distribución Normal: La más importante de las funciones de densidad de probabilidad es la distribución normal. La función de densidad de probabilidad normal es:

Su gráfica es de forma semejante al perfil de una campana:

Así, la probabilidad de que la variable normal x esté entre a y b está dada por:

Aproximación Binomial a Normal: Características: a) Cuando "n" es grande b) np 5 y nq 5. c) Fórmula de tipificación de la aproximación binomial a la distribución normal: Vázquez, H. 2009

µ = np σ= z= Factor de corrección de continuidad: Consiste en sumar o restar 0.5 a los límites del valor buscado, convirtiendo las probabilidades discretas a continuas. Si se busca P(x = k), aplicando el factor: P(k - 0.5 ≤ x ≤ k + 0.5) Si se busca P(x ≥ k) , aplicando el factor : P(x ≥ k - 0.5) ; Si se busca P(x ≤ k) , aplicando el factor: P(x ≤ k + 0.5) ; Si se busca P(k1 ≤ x ≤ k1 ), aplicando el factor: P(k1 -0.5 ≤ x ≤ k2 +0.5) Si se busca P(x < k ), aplicando el factor: P(x ≤ k - 0.5)

Distribución de Probabilidad Exponencial: Aplicaciones: Confiabilidad: Tiempo transcurrido hasta la falla de un dispositivo, tiempo promedio entre la primera falla y la siguiente, TIEMPO DE GARANTIA DE ARTÍCULOS, ETC. Objetivo: Calcular el tiempo o espacio indeterminado entre dos eventos consecutivos:     

Tiempo de espera entre dos aviones para aterrizar Tiempo de que una unidad opere sin fallar Tiempo entre fallas de un artículo Tiempo de espera en un taller de reparación de máquinas Tiempo de espera de clientes en un cajero automático

Definición: El tiempo o espacio indeterminado entre dos eventos consecutivos en un PROCESO POISSON, se denomina variable aleatoria exponencial con λ > 0 , cuya función de densidad de probabilidad con parámetro λ es: f(x) = X= variable λ= Número promedio o valor esperado de eventos en una unidad determinada (Proceso Poisson) e = 2.71828 λ = l /µ µ = tiempo promedio entre eventos f (x) = Valor esperado y varianza Vázquez, H. 2009

E(x) = µ = 1 / λ σ 2= 1 / λ 2 • Cálculo de Probabilidades:

P ( X, λ)=

NOTA: UTILIZAR UNIDADES CONSISTENTES EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES ( IGUALES UNIDADES ).

Propiedad de Carencia de Memoria: Para una variable exponencial X:

Distribución de Probabilidad de Weibull Aplicaciones: Confiabilidad: (tiempo de envejecimiento de dispositivos, sistemas, artículos, etc. ) Objetivo: Modelar el tiempo hasta la presentación de falla, es decir, detectar el tiempo de falla en diversos sistemas (tiempo de vida útil, tiempo de caducidad, tiempo de garantía, etc.) Esta distribución considera que el tiempo de falla de un dispositivo puede modelarse en función al tiempo, por ejemplo, un dispositivo que sufra un desgaste mecánico tendrá un número de fallas que aumentará con el tiempo. Definición: La variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad

_Tiempo a la falla Tiene una distribución Weibull con parámetro de escala α > 0 y parámetro de Forma β > 0 Vázquez, H. 2009

Donde X = Variable tiempo a la falla α = Parámetro de escala= refleja el tamaño de las unidades en que se mide la variable x β = Parámetro de forma = Su valor determina la forma de la distribución • Valor Esperado (Promedio) y Varianza:

• Cálculo de Probabilidades:

4.4.2 Ejercicios Resueltos 1.- Calcular el área o probabilidad entre z= -0.34 y z = 0.62 Solución: El área pedida es: P(-0.34 < z < 0.62) Representación gráfica del área deseada para la distribución z

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Como el área buscada es P(-0.34< z < 0.62), entonces se tendrá que calcular el área correspondiente a cada valor límite de z y posteriormente sumarlas El área correspondiente a z = -0.34 es P ( -0.34 ≤ z ≤ 0 )= 0.1331 El área correspondiente a z = 0.62 es P ( 0 ≤ z ≤ 0.62 )= 0.2324 P(-0.34 < z < 0.62) = P ( -0.34 ≤ z ≤ 0 ) + P ( 0 ≤ z ≤ 0.62 )= 0.1331 + 0.2324 = 0.3655 2.- Calcular el área o probabilidad a la izquierda de z=1.30 Solución: El área pedida es: P(z < 1.30) El área deseada se muestra en el siguiente gráfico para la distribución z

El área buscada es P(z < 1.30), por lo tanto al 0.50 se le sumará el área de P(0 ≤ z ≤ 1.30) P(0 ≤ z ≤ 1.30) = 0.4032 ( tabla ) P(z < 1.30)= 0.5 + P(0 ≤ z ≤ 1.30) = 0.50 + 0.4032 = 0.9032 3.- Calcular el área a la izquierda de z= -2.57 P(z < -2.57) El área deseada se muestra en el siguiente gráfico para la distribución z

El área buscada es a la izquierda de -2,57, es decir, P(z < -2.57), por lo tanto al 0.50 se le restará el área P(-2.57 ≤ z ≤ 0) El área correspondiente a z = -2.57 es P(-2.57 ≤ z ≤ 0) =0.4949 (tabla) P(z < -2.57) = 0.5 - P(-2.57 ≤ z ≤ 0)= 0.50 - 0.4949 = 0.0051 4.- Hallar el valor de -z si el área entre -z y 0 es de 0.3980

Se pide el valor de -z si P(-z ≤ z ≤ 0) es de 0.3980 Buscar el valor de z, en tablas, correspondiente a esta área El valor del área para la Tabla es de 0.3980 Por lo tanto el valor de z obtenido a partir de la Tabla es z= -1.27 Vázquez, H. 2009

5.- Hallar el valor de z si su área a la izquierda es de 0.25

Se pide el valor de -z, si su área a la izquierda en de 0.25 Recuerde que primero tiene usted que buscar el área entre la z buscada y cero: P ( -z ≤ z ≤ 0 ) = 0.5 - 0.25 = 0.475 Una vez calculada el área, buscar la z correspondiente a esta área: El valor de z obtenido a partir de la Tabla es de z = -1.96 6.- Calcular z si su área a la derecha, o por arriba de ella es del 0.7190

Piden calcular -z si su área a la derecha, o por arriba de ella es del 0.7190 Calculando el área P ( -z ≤ z ≤ 0 ) = 0.7190 - 0.50= 0.2190 El valor de -z obtenido a partir de la Tabla es z= - 0.58 7.- Los promedios de aprovechamiento de una población de estudiantes universitarios tienen una distribución normal con media igual a 6.5 y desviación estándar igual a 1.7. Si los estudiantes que tienen un promedio de aprovechamiento menor o igual que 1.9 deben abandonar la universidad, qué porcentaje de los estudiantes deben irse? Solución: Datos x = tiempo de espera ( min ) μ = 6.5 min σ = 3.1 min P(x ≤ 1.9) = ? Graficando el diagrama para la variable x es:

Calculando la puntuación estándar para la variable dada z = (1.9 - 6.5)/3.1 = - 1.48 El diagrama para la variable z es:

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Obteniendo el área o probabilidad: P(x ≤ 1.9) = P(z ≤ -1.48) = 0.50 - P(-1.48 ≤ z ≤ 0)= 0.50 - 0.4306 = 0.0694 Por lo tanto el porcentaje de alumnos que deben irse de la universidad es: 0.0694 x 100 = 6.94 % 8.- Los salarios anuales de los ejecutivos de mandos medios en una compañía están distribuidos normalmente, con una desviación estándar de 1200 dólares. Se tiene programado un recorte de personal que implica el despido de aquellos que ganen menos de 18,000 dólares. Si tal medida representa el 10% de los ejecutivos de mandos medios, cuál es actualmente el salario medio de este grupo de funcionarios? Solución: x = salarios anuales (dólares) σ= $ 1200 μ= ? La representación gráfica para la variable x es:

El diagrama para la variable z es:

Determinación de z: Para encontrar el valor de z, recuerde que tiene que encontrar primero el área entre 0 y la z buscada: P (-z ≤ z ≤ 0)= 0.50 - 0.10= 0.40 Buscando en tabla: z = -1.285 Determinación de μ :

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-1.285 = -1542 = 18000 - μ μ = 18000 + 1542 μ = $19542 9.- Una máquina llena frascos con cierto producto, y se tiene como resultado un peso promedio de 16 onzas por recipiente. Si no más del 5% de los frascos deben pesar menos de 15.8 onzas , a qué debe ser igual la desviación estándar de los pesos? (Suponga que hay normalidad). Solución: x = peso ( onzas ) μ = 16 onzas σ=? El diagrama para la variable x es:

El diagrama para la variable z es:

Determinación de z: Calculando el área entre 0 y la z buscada: P( -z ≤ z ≤ 0)= 0.50 - 0.05 = 0.45 Según tabla: z = -1.645 Calculando σ z= -1.645 = σ= σ = 0.122 onzas 10.- La probabilidad de que un componente electrónico falle en menos de 1000 horas de uso continuo es 0.25. Encuentre la probabilidad de que entre 200 de tales componentes menos de 45 fallen en menos de 1000 horas de uso continuo. Utilice la aproximación binomial a la normal. Solución: n = 200 Vázquez, H. 2009

p= 0.25 q= 1 - p = 1 - 0.25 = 0.75 Calculando la media y desviación estándar: μ = np = (200)(0.25) = 50 σ= = 6.12 P (x < 45 ) =P(x ≤ 44.5 ) ( Por factor de corrección de continuidad) Calculando la puntuación tipificada: z= (44.5 - 50) / 6.12 = 0.90 Buscando en la tabla de distribución normal la probabilidad es: P(x < 45 ) =P(x 44.5 ) =P( z 0.90) = 0.5 - 0.3159 = 0.1841

11.- Un ingeniero de seguridad industrial cree que 30% de todos los accidentes industriales en su planta se deben a que los empleados no siguen las disposiciones de seguridad. Si esta apreciación es correcta, calcúlese aproximadamente la probabilidad de que, entre 84 accidentes, de 20 a 30 se deban a eso. Aplique la aproximación de la distribución binomial a la normal. Solución: n = 84 p= 0.30 q= 1 - p = 1 - 0.30 = 0.70 Calculando la media y desviación estándar: μ = np = (84)(0.30) = 25.2 σ= = 4.2 P (20 ≤ x ≤ 30) = P (19.5 ≤ x ≤ 30.5) (por factor de corrección) Tipificando los valores: Z 1 = ( 19.5 - 25.2) / 4.2 = - 1.35 y z2 = ( 30.5 - 25.2) / 4.2 = 1.26 La probabilidad buscada en base a tabla de distribución normal: P ( 20 ≤ x ≤ 30 ) = P( 19.5 ≤ x ≤ 30.5) = P (-1.35 1.26) P (-1.35 1.26) = P( -1.35 ≤ z ≤ 0 ) + P(0 ≤ z ≤ 1.26) = 0.4115 + 0.3962 = 0.8077.

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12.- Si 62 % de todas las nubes impregnadas con yoduro de plata muestran un crecimiento espectacular, ¿cuál es al probabilidad de que entre 40 nubes impregnadas con yoduro de plata a los sumo 20 muestren un crecimiento espectacular. Resuelva el ejercicio aplicando la distribución normal como aproximación a la binomial. Solución: n= 40 p= 0-62 q= 1 - 0.62 = 0-38 Por lo tanto: μ = np = (40)(0.62) = 24.8 σ= =1.49 P(x ≤ 20) = P(x ≤ 20.5) Encontrando la puntuación tipificada: z = (20.5-24.8) / 1.49 = -2.88

Calculando la probabilidad o área bajo la curva: P(x ≤ 20.5) = P(z ≤ -2.88) = 0.5 -0.4973 = 0.0027. 13.- En el hangar 1 del Aeropuerto Internacional Benito Juárez de la ciudad de México llegan en promedio 4 aviones por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tiempos de más de un cuarto de hora entre llegadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tiempos menores a un décimo de hora entre llegadas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tiempos entre un décimo y un cuarto de hora entre llegadas? d) Calcular el valor esperado y la varianza. Solución: Integrando la función de densidad: P ( X, 𝜆 ) =

a) = 4 aviones por hora. P (X > ¼) P (x > 1/4)=

b) P ( X < 1/10)=

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c) P(1/10<X<¼)= d) E(x) =μ = 1 / 𝜆 = 1/ 4 = 0.25 σ 2= 1 / 𝜆 2= 1/ 4 2 = 0.0625 14.- La vida útil de un semiconductor ( en horas) es una variable que tienen distribución Weibull con =1600 y =0.5 ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor esté funcionando después de 4000 horas? Solución: α=1600 y =0.5 p(X>4000) =

4.4.3. Ejercicios Propuestos Distribución Normal: 1.- Encuentre el área bajo curva normal estándar que cae: a) entre z=0 y z= 0.87 b) entre z=-1.66 y z=0 c) a la derecha de z=0.48 d) a la derecha de z=-0.27 e) a la izquierda de z= 1.30 f) a la izquierda de z=-0.79 2.- Encuentre el área bajo curva normal estándar que cae: a) entre z=-0.70 y z=0.92 b) a la derecha de z=1.15 c) a la izquierda de z=0.22 d) entre z=0.24 y z=1.82 e) a la izquierda de z=-1.14 f) a la derecha de z=-0.76 g) entre z=-1.82 y z=-0.79 3.- Encuentre z si el área bajo curva normal estándar a) entre 0 y z es 0.1915 b) a la izquierda de z es 0.8078 c) a la izquierda de z es 0.0132 d) entre -z y z es 0.8502 4.- El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, noviembre de 1979) se Vázquez, H. 2009

especificó un espesor de de pulgada para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Si las mediciones de espesor tenían una distribución normal, ¿qué porcentaje aproximado fue interior a de pulgada? 5.- Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida normalmente con una media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida normalmente con una media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas. a) ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor que 9,000 horas? b) ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5,000 horas? 6.- La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución normal con una media de 200 y una desviación estándar de 50. a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores? b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores? c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuántos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día? 7.- La comisión de aeropuertos metropolitanos está considerando establecer límites para el nivel de contaminación por ruido cerca de un aeropuerto local. En la actualidad el nivel de ruido por despegue de jets en una zona residencial cercana la aeropuerto tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 100 decibeles y una desviación estándar de 6 decibeles. a) ¿Qué probabilidad hay de que un jet escogido al azar generará un nivel de ruido mayor que 108 decibeles en esta zona residencial? b) ¿Qué probabilidad hay de que un jet escogido al azar generará un nivel de ruido de por lo mucho 100 decibeles? 8.- En una tienda de descuento la demanda diaria de acumuladores por automóvil se calcula mediante una distribución normal con media de 50 acumuladores que tienen una desviación estándar de 10. En dos días consecutivos se venden 80 y 75 acumuladores respectivamente. Si estos días son típicos, ¿qué tan probable es, bajo las suposiciones dadas, vender 80 o más y 75 o más acumuladores? 9.- Se encontró que un grupo de calificaciones de exámenes finales en un curso de estadística elemental estaba normalmente distribuido con una media de 73 y una desviación estándar de 8. a) ¿Cuál es la calificación del examen final si sólo el 5% de los estudiantes que pasaron la prueba tuvieron calificaciones más altas? 10.- La directora de una pequeña subestación postal está tratando de cuantificar la variación en la demanda semanal de cilindros postales. Ha decidido suponer que esta demanda está distribuida normalmente. Ella sabe en promedio se adquieren Vázquez, H. 2009

100 cilindros semanalmente y que el 90% de las veces la demanda semanal esta por debajo de 115. ¿Cuál es la desviación estándar de esta distribución? 11.- El tiempo necesario para dar servicio a un automóvil en la estación de servicios Miller está distribuido normalmente con media de 4.5 minutos y desviación estándar s = 1.1 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil seleccionado aleatoriamente requiera a.1) Entre 3.5 y 5.6 minutos de servicio? a.2) Cuando mucho 3.5 minutos de servicio? b) ¿Cuál es el tiempo de servicio de modo que sólo el 5% de todos los automóviles requieran más tiempo? 12.- Una máquina puede regularse de manera que sirva un promedio determinado de onzas de refresco por vaso. Si las onzas que vacía por vaso están distribuidas normalmente con una desviación estándar de 0.2 onzas, obtenga la media que asegura que el 99% de las veces la máquina llene vasos de 6 onzas sin que se derrame líquido. 13.- Suponga que una distribución normal en particular tiene una media igual a 70 y que el 90º centil es igual a 84. Calcule la desviación estándar. a) Si el fabricante está dispuesto a reponer sólo el 0.5% de los refrigeradores, ¿Cuál es el periodo de garantía que debe ofrecer? 14.- Se cree que el tiempo necesario para terminar un examen de aprovechamiento académico es de 150 minutos, y que su desviación estándar es igual a 20 minutos. Si se desea dar el tiempo suficiente para que lo termine el 80% de los examinados, ¿Cuándo debe darse por concluido el examen? (Suponga que los tiempos necesarios para terminar el examen están distribuidos normalmente.) 15.- El departamento de mantenimiento de un gran complejo industrial tiene instrucciones de sustituir las lámparas eléctricas antes de que se fundan. Se sabe que la vida útil de éstas está distribuida normalmente con duración media igual a 900 horas y una desviación estándar igual a 75 horas . ¿Cuándo deben ser reemplazadas las lámparas de modo que no más del 10% se fundan estando en uso? 16.- El fabricante de un medicamento asegura que sólo el 5% de los pacientes que lo utilizan experimentan efectos colaterales. Los doctores de un gran hospital universitario han utilizado el producto en el tratamiento de 250 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que 15 o menos de ellos experimenten efectos colaterales? 17.- Suponga que 5% de los ladrillos de adobe que un fabricante embarca tiene imperfecciones. Use la distribución normal para obtener una aproximación de la probabilidad binomial de que entre 150 ladrillos embarcados por este fabricante por lo menos ocho tengan imperfecciones. a) Calcule la media aritmética b) Calcule la desviación estándar. 18.- Los registros de servicio señalan que el 50% de automóviles nuevos de una sola marca requerirán algún tipo de reparación durante el periodo de garantía de 90 días. Para una muestra aleatoria de n=12 de automóviles nuevos, use la distribución binomial para determinar la probabilidad de que durante el periodo de garantía requieran reparaciones Vázquez, H. 2009

a) 8 ó 9; b) no más de 2 Use la aproximación binomial a la distribución normal para determinar la probabilidad aproximada de que requerirán reparación dentro del periodo de garantía de 90 días c) 8 ó 9; d) no más de 2 Distribución Exponencial: 1.- El tiempo de duración de un ensamble mecánico en una prueba de vibración tiene una distribución exponencial con media de 400 horas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble falle durante la prueba en menos de 100 horas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble trabaje durante más de 500 horas antes de que falle? c. Si el ensamble se ha probado durante 400 horas sin falla alguna, ¿Cuál es la probabilidad de que falle en las siguientes 100 horas? 2.- Suponga que X tiene una distribución exponencial con = 2. Calcule lo siguiente. a. P(X<= 0) b. P(X>=2) c. P(X<=1) d. P(1 < X < 2) e. Encuentre el valor de x tal que P(X <x) = 0.05 3.- El tiempo entre llegadas de mensajes electrónicos a una computadora tiene una distribución exponencial con media de dos horas. a. ¿ Cuál es la probabilidad de que la computadora no reciba mensajes en un periodo de dos horas? b. Si la computadora no ha recibido ningún mensaje en las últimas cuatro horas, Cuál es la probabilidad de recibir un mensaje en las dos horas siguientes? c. ¿Cuál es el tiempo esperado entre el quinto y sexto mensaje? 4.- El tiempo entre arribos de los taxis a un cruce muy concurrido tiene una distribución exponencial con media de 10 min. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que esté en el cruce tenga que esperar más de una hora para tomar un taxi? b. Suponga que la persona ya espero una hora; ¿Cuál es la probabilidad de que llegue uno en los siguientes 10 min? 5.- La distancia que hay entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución exponencial con media de 5 millas a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que hay dos grietas en un tramo de 10 millas? c. Cuál es la desviación estándar de la distancia ente las grietas? Distribución Weibull: 1.- Suponga que X tiene una distribución Weibull con =0.2 y =100 horas. Vázquez, H. 2009

Calcule lo siguiente: a. P(X< 10 000 ) b. P(X > 5000) 2.- Suponga que la vida útil de cierta clase de baterías (en horas) es una variable aleatoria que tiene una distribución Weibull con α = 100 y β = 0.5. Calcular: a) La probabilidad de que la batería dure más de 300 horas b) La probabilidad de que la batería dure menos de 300 horas c) La probabilidad de que la batería dure entre 250 y 350 horas d) La vida promedio de esa batería 3.- El tiempo de falla (en horas) del cojinete de una flecha está modelado satisfactoriamente por una variable aleatoria Weibull, con α = 5000 y β= 0.5. a) Determinar la probabilidad de que el cojinete dure al menos 6000 horas b) Calcular el tiempo promedio de falla 4.- La duración en horas de una broca de taladro que se emplea en una operación de fabricación tiene una distribución Weibull α = 100 y β = 2. Calcule la probabilidad de que una broca de taladro fallará antes de 8 horas de uso.

Vázquez, H. 2009