3. Teoría de la Probabilidad INDICE GENERAL DEL CAPÍTULO 3.1. Teoría de Conjuntos 3.1.1. Introducción 3.1.2. Clasificación de conjuntos y sus representaciones 3.1.2.1. Métodos para mostrarlos 3.1.2.2. Diagrama de Venn-Euler 3.1.3. Operaciones con conjuntos 3.1.4. Ejercicios 3.1.4.1. Ejercicios Resueltos 3.1.4.2. Ejercicios Propuestos 3.2 Técnicas de conteo 3.2.1. Introducción 3.2.2. Regla multiplicativa 3.2.3. Permutaciones 3.2.4. Combinaciones 3.2.5. Ejercicios 3.2.5.1. Ejercicios Resueltos 3.2.5.2. Ejercicios Propuestos
3.3 Teoría Elemental de la Probabilidad 3.3.1. Introducción 3.3.2. Postulados o Axiomas de la probabilidad 3.3.3. Operaciones con eventos 3.3.4. Tipos de eventos 3.3.4.1. Eventos mutuamente excluyentes y mutuamente no excluyentes 3.3.4.2. Eventos Independientes y dependientes 3.3.4.3. Ejercicios 3.3.4.3.1. Ejercicios Resueltos 3.3.4.3.2. Ejercicios Propuestos
3.1. Teoría de Conjuntos 3.1.1. Introducción 3.1.2. Clasificación de conjuntos y sus representaciones 3.1.2.1. Métodos para mostrarlos 3.1.2.2. Diagrama de Venn-Euler 3.1.3. Operaciones con conjuntos 3.1.4. Ejercicios 3.1.4.1. Ejercicios Resueltos 3.1.4.2. Ejercicios Propuestos
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3.1.1 Introducción: En este tema se pretende que el alumno comprenda parte de las herramientas de la estadística inductiva, las cuales permiten cuantificar el grado de incertidumbre de una respuesta dada ante un problema propuesto, esta cuantificación se lleva a cabo usando principios probabilísticos. Podemos definir un conjunto como la colección bien definida de objetos. Se verá la forma algebraica de combinar los conjuntos a fin de obtener otros. También se analizarán las técnicas para determinar el número de elementos de un conjunto y la cantidad de formas en que los elementos de un conjunto se pueden ordenar o combinar. Después de dar un significado técnico al término probabilidad, se verá la forma de aplicar sus reglas a muchas situaciones de la vida real, con objeto de calcular la probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos, que son indispensables para comprender las técnicas utilizadas en la estadística inferencial.
3.1.2. Clasificación de Conjuntos:
Conjunto Finito: Es aquel en el que el número de elementos es posible contar. Conjunto infinito: Es aquel en el que el número de elementos es prácticamente imposible contar. Conjunto unitario: Es aquel que contiene sólo un elemento. Conjunto vacío: es el que no contiene elementos. Subconjunto: Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B, entonces decimos que A es un subconjunto de B y escribimos: A B. Conjunto Universal o Universo (U): Es el conjunto de todos los elementos de interés en un análisis particular.
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Diagrama de Venn: Es una representación visual de los conjuntos que son de considerable utilidad para comprender los conceptos presentados, así como para resolver problemas relacionados con conjuntos.
3.1.2.1. Métodos para mostrarlos: Los objetos de un conjunto son sus elementos, los cuales deben ser bien definidos por lo que si se da un objeto, entonces debe ser posible determinar si éste pertenece o no a la colección (eje: los bebés recién nacidos en el Hospital General de Puebla durante el año 2008). Los elementos de un conjunto suelen denotarse mediante las letras minúsculas: a,b,c,….Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A,B,C,…. Los elementos de un conjunto pueden exhibirse de 3 maneras distintas: a) Enumeración: Consiste en enumerar todos y cada uno de los elementos de un conjunto separados por comas y entre llaves. Ejemplo: el conjunto A es el conjunto de las vocales: A={a, e, i, o, u)}. b) Descripción verbal: Expresa únicamente los requisitos que debe satisfacer un elemento para pertenecer al conjunto. Ejemplo: A= {Las vocales} c) De comprensión: Se proporciona una regla que describe la propiedad distintiva que debe cumplir un objeto x para que pueda pertenecer al conjunto. Ejemplo: A={xx es una de las vocales}. donde “” representa : tal que.
3.1.2.2. Diagramas de Venn-Euler Recibe este nombre a la representación gráfica que se usan para mostrar la relación que existe entre dos o más conjuntos, mostrando a cada conjunto mediante un óvalo o círculo. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. El conjunto universal se representa como un rectángulo y dentro de el se dibujan con círculos los conjuntos que lo forman o las relaciones y operaciones que exista entre ellos. En el ejemplo podemos ver cual es la relación que existe entre los tres conjuntos: aves, seres vivos que vuelan y seres vivos que nadan:
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3.1.3 Operaciones con Conjuntos Unión de Conjuntos: La unión de dos conjuntos se denota por el símbolo U. La unión de A y B, (denotado por AUB), es cuando A y B son dos conjuntos definidos dentro del conjunto universal U, y contiene los elementos que pertenecen a A, a B, o a ambos. Representación simbólica:
AUB
Representación gráfica:
Intersección de Conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, denotado por es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B. Es decir, son los elementos comunes de A y B. Representación simbólica: A B Representación gráfica:
El complemento del conjunto A: con respecto al conjunto universal U, es el conjunto de los elementos de U que no pertenecen a A. Representación simbólica: A’ Representación gráfica:
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Diferencia de Conjuntos: Sean A y B dos conjuntos de un conjunto universal U, entonces, la diferencia entre A y B, (denotada por A-B), es el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no a B. Representación simbólicamente: B - A Representación gráfica:
3.1.4. Ejercicios 3.1.4.1 Ejercicios Resueltos: 1. En el siguiente diagrama, se han puesto los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.
En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas: a) b) c) d) e) f) g)
¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas
personas personas personas personas personas personas personas
tomaban té? Rpta. 6 personas. tomaban café? Rpta. 9 personas. tomaban té y café? Rpta. 4 personas. no tomaban ninguna bebidas? Rpta. 1 persona. no tomaban té? Rpta. 6 personas. no tomaban café? Rpta. 3 personas. tomaban por lo menos una de las dos bebidas? Rpta. 11 personas. h) ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? Rpta. 7 personas. i) ¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rpta. 5 personas. j) ¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rpta. 11 personas. Vázquez, H. 2009
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2. Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B, a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A? c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B? El dato de los 4 domingos puede colocarse directamente en el diagrama. Obviamente existieron días en que se fabricaron ambos productos, pues de lo contrario abril tendría 39 días. Luego, dado que abril sólo tiene 30 días debieron haber 9 días en que se fabricaron ambos productos. Por diferencia de este número con 15 y con 20 se obtuvieron 6 y 11 respectivamente. Rptas. a) 9 días; b) 6 días; c) 11 días. 3. En el siguiente diagrama, se han colocado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té, café o chocolate. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: las tres bebidas, sólo té, té y chocolate pero no café, etc.
T
C 3
5
6
1 4
2 7
CH
5 5
En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántas personas fueron encuestadas? Rpta. 30 personas. b) ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas tres bebidas? Rpta. 28 personas. c) ¿Cuántas personas tomaban té? Rpta. 13 personas. d) ¿Cuántas personas tomaban sólo dos de esas tres bebidas? Rpta. 9 personas. e) ¿Cuántas personas tomaban exactamente dos de esas tres bebidas? Rpta. 9 personas. f) ¿Cuántas personas tomaban menos de dos de esas tres bebidas? Rpta. 20 personas. g) ¿Cuántas personas tomaban exactamente una de esas tres bebidas? Rpta. 18 personas. h) ¿Cuántas personas tomaban sólo chocolate? Rpta. 7 personas. Vázquez, H. 2009
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i) j) k) l) m)
¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas
personas personas personas personas personas
n) o) p) q)
¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas
personas personas personas personas
r) ¿Cuántas personas s) ¿Cuántas personas
tomaban café? Rpta. 12 personas. no tomaban té? Rpta. 17 personas. tomaban las tres bebidas? Rpta. 1 persona. no tomaban las tres bebidas? Rpta. 29 personas. no tomaban ninguna de esas tres bebidas? Rpta. 2 personas. no tomaban ni té ni café? Rpta. 9 personas. no tomaban café? Rpta. 18 personas. tomaban té y café? Rpta. 4 personas. tomaban té y café pero no chocolate? Rpta. 3 personas. tomaban chocolate y café? Rpta. 3 personas. tomaban chocolate y café pero no té? Rpta. 2 personas.
4. Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes: I. Motocicleta solamente: 5 II. Motocicleta: 38 III. No gustan del automóvil: 9 IV. Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3 V. Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20 VI. No gustan de la bicicleta: 72 VII. Ninguna de las tres cosas: 1 VIII. No gustan de la motocicleta: 61 1. 2. 3. 4. 5.
¿Cuál fue el número de personas entrevistadas? ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente? ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente? ¿A cuántos le gustaban las tres cosas? ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta? Tratemos de colocar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos.
Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos (los números I), IV), V) y VII) se pueden volcar directamente: Ahora con el dato II) se puede completar la única zona que falta en el conjunto MOTO, haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10:
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Luego utilizaremos el dato VI), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto BICI, deberán sumar 72, luego 72 - (20+5+1) = 46:
Después de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, deberán sumar 9, luego 9 - (5+3+1) = 0:
Por último utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, deberán sumar 61, luego 61 - (46+0+1) = 14:
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Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas: 1. 2. 3. 4. 5.
A A A A A
99 personas. ninguna. 46 personas. 10 personas. 14 personas.
3.1.4.2. Ejercicios Propuestos 1. Un domingo 325 personas se detuvieron en un puesto de periódicos. De ellos: 185 compraron el New York Times, 150 compraron el Washington Post y 95 compraron los dos periódicos. Contestar las siguientes preguntas y elaborar un diagrama de Venn - Euler. a) b) c) d)
¿Cuantas ¿Cuantas ¿Cuantas ¿Cuantas
personas personas personas personas
no compraron ningún periódico? compraron el New York Times y no compraron el Post.? compraron el Post y no el NY Times? compraron al menos un periódico.?
2. Todos los alumnos de nuevo ingreso de la licenciatura de Comercio Internacional, compraron boletos para los encuentros de fútbol de este fin de semana, de ellos 92 compraron para el encuentro América - Pumas, 75 para el encuentro Atlas - Necaxa y 10 para ambos encuentros. Usando los diagramas de Venn, determinar cuántos estudiantes forman el grupo de los alumnos de nuevo ingreso de la licenciatura de comercio internacional. 3. Se llevó a cabo una investigación con 1,000 personas para determinar qué interés hay en conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas ven las noticias en forma regular por televisión, 300 personas regularmente escuchan las noticias por la radio, y 275 personas, por lo regular se enteran de las noticias a través de ambos medios, la TV y la radio. a) Constrúyase un diagrama de Venn que resuma los resultados de la investigación. b) ¿Cuántos de los investigados ven las noticias sólo por TV? c) ¿Cuántos escuchan las noticias sólo por la radio? d) ¿Cuántos investigados no escuchan las noticias ni por la radio ni por TV? e) ¿Cuántos investigados escucharon las noticias en la radio o las vieron por T.V? 4. Se llevó a cabo una investigación de 500 compradores para determinar su actitud de compra en relación con dos gaseosas. Se encontró que durante el mes anterior, 250 compraron de la marca A, 200 compraron de la marca B, y 100 compraron de ambas marcas, A y B. a) Constrúyase un diagrama de Venn que resuma los resultados de la investigación. b) ¿Cuántos investigados compraron sólo de la marca A? c) ¿Cuántos investigados compraron sólo de la marca B? d) ¿Cuántos investigados no compraron ninguna de las dos marcas? e) ¿Cuántos investigados compraron las marcas A o B? f) ¿Cuántos investigados compraron las marcas A y B?
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5. La empresa publicitaria ART. S.A. entrevista por medio de su gerencia de investigación a 2500 personas para apreciar el impacto de los programas televisados dirigidos por: Noticiero CNN (C), Noticiero Tv azteca (A), Noticieros Televisa (T) Al tabular los resultados del muestreo se concluyó que: 850 personas observan el programa CNN 930 personas observan el programa de Azteca 990 personas observan el programa Televisa 220 personas observan el programa CNN y Azteca 200 personas observan el programa CNN y Televisa 260 personas observan el programa Azteca y Televisa 100 personas observan el programa CNN, Azteca y Televisa Se pide: a) ¿Cuántas personas observan sólo el programa de CNN, sólo el programa de Azteca, sólo el programa Televisa? b) ¿Cuántas personas observan sólo los programas de CNN y de Azteca, sólo los programas de CNN y de Televisa, sólo los programas de Azteca y de Televisa? c) ¿Cuántas personas observan el programa de Azteca, el de televisa o ambas? d) ¿Cuántas personas observan al menos uno de los 3 programas? e) ¿Cuántas personas no observan ninguno de los tres programas ?. f) ¿Cuántas personas observan dos programas? 6. Se interrogó a un grupo 1000 personas si habían comprado tres marcas diferentes de yogurt. Se obtuvieron los siguientes datos: 175 personas compraron de la marca A. 220 compraron de la marca B 150 compraron de la marca C. 50 compraron de las marcas A y B. 75 compraron de las marcas A y C. 60 compraron de las marcas B y C. 20 compraron de las tres marcas. a) Constrúyase un diagrama de Venn que resuma los resultados de la investigación. b) Cuántas personas compraron sólo la marca A? ¿Sólo la marca B? ¿Sólo la C? c) ¿Cuántas personas compraron sólo las marcas A y B? d) ¿Cuántas personas compraron sólo las marcas A y C? e) ¿Cuántas personas compraron sólo las marcas B y C? f) ¿Cuántas personas no compraron de ninguna de las tres marcas? g) ¿Cuántas personas compraron por lo menos dos marcas? 7. En un edificio de apartamentos de 200 familias, 180 tienen televisión (T), 150 tienen automóvil propio (C). Hay 14 familias que no tienen televisión pero sí automóvil propio. Calcular la probabilidad de que una familia seleccionada al azar: a) No tenga ni televisión ni auto propio. b) Tenga auto y televisión. c) Tenga televisión pero no tenga auto. d) Tenga televisión o no tenga automóvil. e) No tenga televisión pero sí auto. f) No tenga automóvil o no tenga televisión.
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