SADRŽAJ PREDGOVOR ..................................................................................................................7 REPETITORIJ FORMULA ......................................................................................9 1. ARITMETIKA I ALGEBRA ................................................................................11 2. GEOMETRIJA ......................................................................................................17 3. RAVNINSKA TRIGONOMETRIJA ....................................................................22 4. ANALITIČKA GEOMETRIJA.............................................................................25
ZADATCI .........................................................................................................................31 1. DIO PRVI (Zagrijavanje i razgibavanje)...............................................................33 2. DIO DRUGI (Trening) ..........................................................................................69 3. DIO TREĆI (Utakmica).......................................................................................115
POSTUPCI RJEŠAVANJA ZADATAKA .......................................................169
Npr.
(a ± b)2 =
a 2 ± 2ab + b 2
(a ± b)3 =
a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b 3
a 2 - b 2 = (a - b )(a + b )
(
a 3 ± b3 = ( a ± b ) a 2 ± ab + b2
)
Korijeni
(n a )p = n a p , n a p = n⋅m a p⋅m , n a − p = −n a p , n m a = m n a = m⋅n a , n a ⋅ n b = n a ⋅ b m
n
n
a÷ b=
n
a n n⋅ p n ⋅b = a p ⋅ n b , am = a n , a b
Racionaliziranje nazivnika
n
b
a bn−r , b n
a r
=
p a b ±c d
=
(
p a b ∓c d 2
2
a b−c d
);
a b ≠c d ≠0
Aritmetička i geometrijska sredina
x1 + x 2 + ... + x n−1 + x n n
A( x1 ,..., x n ) =
G (x1 , ... , xn ) = n x1 ⋅ x 2 ⋅ ... ⋅ xn −1 ⋅ xn
xi > 0
i = 1, ... , n
Uvijek vrijedi da je A ≥ G . Kvadratna jednadžba − b ± b 2 − 4ac 2a c x1 ⋅ x 2 = a≠0 a
ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1,2 =
x1 + x 2 = − b 2 - 4ac > 0 2
b , a
različiti realni brojevi
b - 4ac = 0
jedan (dvostruki) realni korijen
b 2 - 4ac < 0
konjugirano kompleksni korijeni
12
c= p+ q Euklidov teorem:
a 2 = p ⋅ c, b 2 = q ⋅ c, v 2 = p ⋅ q ab = cv Iz svega slijedi a 2 + b 2 = c 2 što je Pitagorin teorem. pravokutnik P = a ⋅b
d = a2 + b2 O = 2(a + b ) paralelogram
P = a ⋅ va
O = 2(a + b )
trapez
a+c ⋅v 2 O = a+b+c+d P=
O kružnici i krugu
P = r 2π O = 2rπ l=
( )
OA ⋅ OB = OC
2
OA ⋅ OB = OC ⋅ OD
rπα 180
19
d=
a2 + b2 + c2
O = 2( ab + ac + bc )
O = 2rπ (r + v )
V = abc
V = r 2 πv O piramidi i stošcu
Oplošje O= B+ P
Volumen
1 V = ⋅ B⋅v 3 Primjeri: pravilna četverostrana piramida i stožac
O = rπ (r + s )
a -brid baze b -bočni brid h -bočna visina v -visina piramide
V=
r 2 πv 3
O = a 2 + 2ah V=
a2 ⋅v 3
O krnjoj piramidi i krnjem stošcu
Bav - velika piramida Bxy - mala piramida V = Bav - B xy Bav a 2 v 2 = = B xy x 2 y 2
21
Površina trokuta koji je određen točkama P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) i P3 ( x 3 , y 3 ) je P=
1 x1 ( y 2 − y 3 ) + x 2 ( y 3 − y1 ) + x 3 ( y1 − y 2 ) . 2
Uvjet da su tri točke na istom pravcu je x 2 - x1 y 2 - y1 = x 3 - x1 y 3 - y1
ili PΔ = 0
Pravac
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
y = kx + l Koeficijent smjera k = tg a , a l je odsječak na osi y. Implicitni (opći) oblik jednadžbe pravca Ax + By + C = 0,
k =−
A , B
l=−
C B
uz B ≠ 0
Segmentni oblik jednadžbe pravca x y + =1 m n
uz m ≠ 0 i n ≠ 0
gdje je n odsječak na y - osi, a m odsječak na x - osi. Jednadžba pravca kroz jednu točku y − y1 = k ⋅ (x − x1 )
Jednadžba pravca kroz dvije točke y − y1 =
26
y 2 − y1 ⋅ (x − x1 ) x 2 − x1
uz x1 ≠ x2
Površina segmenta parabole koji je određen točkama P1 ( x, y ) i P2 ( x, −2 ) glasi P=
4 xy . 3
Diferencijalni i integralni račun
( f ( x ) ± g ( x ) )' = f ' ( x ) ± g ' ( x ) ( f ( x ) ⋅ g ( x ) )' = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ' ( x ) '
⎛ f ( x) ⎞ f '( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g '( x) ; g ( x) ≠ 0 ⎜ ⎟ = g2 ( x) ⎝ g ( x) ⎠
( f ⎡⎣ g ( x )⎤⎦ ) = f ' ⎡⎣ g ( x )⎤⎦ ⋅ g ' ( x ) '
C = const. ( konstanta ) , C ' = 0
( xn ) = n ⋅ xn −1 '
( sin x )' = cos x ; ( cos x )' = − sin x ; ( tg x )' = ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ; F ' ( x ) = f ( x ) ∫ C ⋅ f ( x ) dx = C ⋅ ∫ f ( x ) dx
∫ ( f ( x ) ± g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx b
∫
b
f ( x ) dx = F ( x ) I = F ( b ) − F ( a ) a
a b
a
∫
f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
b
c
b
a
c
a
∫
a
b
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
∫x 30
n
dx =
1 n +1 x +C n +1
1 cos2 x
19. Navedite mjere nekog središnjeg šiljastog kuta i njemu pripadnog obodnoga kuta.
Odgovor: središnji kut = _____________°, obodni kut = ________________° 20. Dijete visine 120 cm stoji ispred reflektora na udaljenosti od 2 m. Kolika je visina njegove sjene na zidu koji je od reflektora udaljen 7.5 m?
Odgovor:_____________________________metara 21.
y
1 0 1
x
a) U koordinativnom sustavu nacrtan je pravac p. Odredite mu jednadžbu. Odgovor:_____________________________ b) U istom koordinativnom sustavu nacrtajte pravac y = 2 x + 4 . c) Pravac p i pravac y = 2 x + 4 sijeku se u točki A. Na grafu označite točku A i napišite njezine koordinate. Odgovor: A(__________, __________) d) Odredite koordinate točke B u kojoj pravac y = 2 x + 4 siječe os apscisa. Odgovor: B(__________, __________) e) Izračunajte površinu trokuta ABC.
38
41. Odredite koeficijente a, b, c kvadratne funkcije f ( x ) = ax 2 + bx + c čiji je graf prikazan na slici.
y
1 0 1
x
Odgovor: a = _________, b = _________, c = _________ 42. Napišite 5 kao umnožak nekih dvaju kompleksnih brojeva kojima su i realni i imaginarni dijelovi različiti od 0.
Odgovor:_____________________________ 43. Odmorišta A i B nalaze se na dvama susjednim brežuljcima. Put između njih prikazan je na slici: A
B
68° 20 m
16 m 45°25' 27 m
Koliki put treba prijeći da bi se iz mjesta A stiglo do mjesta B? (Zaokružite konačan rezultat na cijeli broj metara). Odgovor:_____________________________ m 44. Ukupan broj dijagonala konveksnoga deseterokuta dan je formulom n ( n − 3) . Za konveksne mnogokute odredite: d (n) = 2
45
79. Kad je pećnica uključena 5 minuta doseći će temperaturu 55 °C. Kad je uključena 10 minuta temperatura će joj biti 87 °C. Pretpostavimo da temperatura pećnice linearno ovisi o vremenu.
a) Odredite linearnu funkciju koja opisuje kako temperatura pećnice ovisi o vremenu. Odgovor:_____________________________ b) Kolika je temperatura pećnice nakon pola sata? Odgovor:_____________________________ c) Kolač treba staviti u pećnicu kada joj je temperatura 175 °C. Koliko minuta nakon uključenja pećnice treba u nju staviti kolač (vrijeme zaokružite na cijeli broj)? Odgovor:_____________________________ 0.05 = 0.1 A: 0.2 B: 0.5 C: 2 D: 5
80.
⎡ 19 ⎤ 81. Koliko je prirodnih brojeva u intervalu ⎢ 2, ⎥ ? ⎣ 3⎦ A: 3 B: 4 C: 5 D: 6
82. ( x + 1)( x − 2 ) =
A: x 2 − 2 B: x 2 − x − 2 C: x 2 − 3x − 2 D: x 2 + x − 2
56
100. Odredite površinu i opseg lika sa slike.
Odgovor: Površina je _____________________________ Opseg je _____________________________ 101. Turistički autobus za razgledavanje grada uveo je novi način plaćanja karata. Prvi putnik koji uđe u autobus plaća 83 kn, a svaki sljedeći 3 kn manje.
a) Koliko je svoju kartu platio osmi putnik? Odgovor:_____________________________ kn b) Odredite formulu C(n) za cijenu (u kunama) koju je platio n-ti putnik. Odgovor: C(n) = _____________________________ c) Koji je po redu ušao putnik koji je platio 32 kn? Odgovor:_____________________________ d) Koliki je najveći mogući broj putnika koji pri ulasku u autobus moraju platiti kartu? Odgovor:_____________________________ 102. Na kojoj je slici prikazan kompleksan broj –2 + i?
A: 61
1) Koja je od ovih funkcija linearna? Odgovor: _________________________ 2) Neka je x0 realan broj za koji je f ( x0 ) = g ( x0 ) . Kolika je vrijednost f ( x0 ) ?
Odgovor: _________________________
506. 1) Zadani su kompleksni brojevi z1 = 2i i z2 = 2 − 3i. Koliki je realni dio kompleksnoga broja koji je rezultat dijeljenja broja z1 brojem z2?
Odgovor: _________________________ 2) Zadani su kompleksni brojevi z1 = (a + 5)(2 − i) i z2 = 3− 2bi, za a , b ∈ » . Odredite b tako da brojevi z1 i z2 budu jednaki. Odgovor: _________________________
4.9 ⎞ ⎛ 507. Ulaganjem 2 000.00 kn u banku nakon n godina dobiva se 2000 ⋅ ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ kuna. 1) Koliki je iznos na računu nakon 4 godine?
n
Odgovor: _________________________ kn 2) Za koliko bi godina iznos na tom računu narastao od 2 000.00 kn na 10 000.00 kn? Odgovor: _________________________
508.
1) Ako je α + β =
3π π 1 , 0 < β ≤ i sin β = koliko je cos α ? 4 2 3
163
20.
x
1.2
2
5.5 7.5
reflektor
dijete
zid
120 cm = 1.2 m Iz sličnosti trokuta dobivamo omjer: 1.2 x = 2 7.5
⇒
21.
2 x = 1.2 ⋅ 7.5 ⇒
x = 4.5 m
y A (0, 4)
1 B (–2, 0)
C (4, 0) 0 1
x
a) Pravac očito prolazi točkama (0, 4) i (4, 0) pa možemo upotrijebiti jednadžbu pravca kroz dvije točke: y −y y − y1 = 2 1 ⋅ ( x − x1 ) x2 − x1
y−4 =
0−4 ⋅ ( x − 0) 4−0
⇒
y = −x + 4
177
44.
a) d ( n ) = b) 119 =
n1,2 =
n ( n − 3) 2
n ( n − 3) 2
d (10 ) =
⇒ ⇒
10 ⋅ (10 − 3) = 35 2
n 2 − 3n − 238 = 0
3 ± 32 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −238 ) 2 ⋅1
=
3 ± 31 2
Važan je samo pozitivan n ⇒ n = 17 pa vidimo da je riječ o 17-erokutu. Na analogan način nalazimo (rješavajući sličnu kvadratnu jednadžbu) necjelobrojna rješenja za n što znači da NE postoji n-terokut koji bi imao 185 dijagonala. c)
n ( n − 3) < 50 2
n1,2 =
3 ± 409 2
⇒ ⇒
n 2 − 3n − 100 < 0 pozitivan n ≈ 11.6
To znači da 11-erokut ima manje, a 12-erokut više od 50 dijagonala. Naravno, svi n-terokuti "manji" od 11 zadovoljavaju uvjet zadatka. 45. U sendviču je 23 (po masi) osnovna dijela od čega su njih 20 ugljikohidrati, a 3 su bjelančevine. Ako je ugljikohidrata 87.6 grama, onda je taj osnovni dio 87.6 : 20, a to je 4.38. Bjelančevina tada mora biti 3 · 4.38 = 13.14 grama.
Odgovor: B 1 1 ⎛ ⎞3
1 ⎛ 12 ⎞ 3
1
2
⎛ ⎛ 1 ⎞2 ⎞ 3 ⎛ 1 ⎞ 3 1 46. ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ ≠ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ 3 ⎝9⎠ ⎝ 3⎠ ⎝3 ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠
Odgovor: B
185
507. 4
4.9 ⎞ ⎛ 1) 2000 ⎜ 1 + ⎟ ≈ 2421.76 kn ⎝ 100 ⎠ n
4.9 ⎞ ⎛ 2) 2000 ⎜ 1 + ⎟ = 10000 ⎝ 100 ⎠
(1 + 0.049 )n = 5 n=
log5 ≈ 33.644 godina što je približno 33 godine, 7 mjeseci i 22 dana. log1.049
508.
2 2 . 3 3π 3π 2 2 2 2 1 ⎛ 3π ⎞ cos α = cos ⎜ − β ⎟ = cos cos β + sin sin β = − ⋅ + ⋅ = 4 4 2 3 2 3 ⎝ 4 ⎠ 2 2 =− + . 3 6 2) cos2 x = sin 4 x + cos2 x ⋅ sin 2 x 1) β je iz prvog kvadranta pa je cos β = 1 − sin 2 β =
cos2 x − cos2 x ⋅ sin 2 x = sin 4 x
)
(
cos2 x ⋅ 1 − sin 2 x = sin 4 x cos4 x = sin 4 x
⇒ tg 4 x = 1
tg x1 = 1 ⇒ x1 = tg x2 = −1 ⇒
π 4
x2 =
+ kπ 3π + kπ 4
Zajedno napišemo rješenja: x =
π
π
+ k ⋅ ; k ∈» 4 2
509.
150
450
α
200
1800
313