LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN SEXTO DE PRIMARIA EN NUEVO LEÓN
Armando Loera Varela
Agosto, 2012.
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ÍNDICE PÁGINA Introducción 3 1. Descripción de la muestra 4 2. Comparación de las lecciones de matemáticas de Nuevo 31 León con resultados del estudio TIMSS video 1999 y 1995. 3. Diferencias en las lecciones de matemáticas por diversos 98 tipos de escuelas de Nuevo León. 4. Flujos pedagógicos de lecciones de matemáticas 114
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INTRODUCCIÓN. Uno de los debates más relevantes actualmente se refiere a la mejora del desempeño pedagógico de los docentes como una de las claves estratégicas para la mejora de la calidad de la educación. Sin embargo, la discusión debe ser estructurada con base en buen conocimiento sobre qué es lo que efectivamente los docentes hacen, o no hacen, en sus aulas. A pesar de los avances en la investigación pedagógica, todavía faltan evidencias sobre las estrategias efectivas para configurar oportunidades de aprendizaje. Especialmente, falta investigación cualitativa y mixta que tenga posibilidad de sentar bases substantivas en la promoción de políticas educativas, particularmente en la formación de maestros y en la actualización de los docentes en servicio. El Banco Interamericano de Desarrollo (BID) ha impulsado el estudio BIDvideos con el propósito de avanzar en el conocimiento sobre los desempeños pedagógicos de los docentes en América Latina, especialmente en la identificación de los métodos de enseñanza de las matemáticas y la ciencia en primaria, la comparación de aspectos relevantes del desempeño de docentes de la región con docentes de países desarrollados y la identificación de brechas entre los desempeños de los docentes al interior de los sistemas educativos. El estudio BIDvideos ha seguido la estrategia de definición de muestra, desarrollo de trabajo de campo y codificación de los estudios TIMSS videos de 1995 (matemáticas) y 1999 (matemáticas y ciencias) en países desarrollados. La investigación de campo se ha realizado en Paraguay, República Dominicana y el estado mexicano de Nuevo León, específicamente en escuelas participantes en el Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo (SERCE), que implementó el Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación (LLECE), de la Oficina Regional para América Latina de la UNESCO. Entre los objetivos, en consecuencia, se encuentra la comparación de los desempeños pedagógicos de los profesores de sexto grado de los tres sitios del estudio con los docentes de países como Australia, Hong Kong, Japón, Estados Unidos, Alemania, Suiza, Holanda y la República Checa. Debe tomarse en cuenta que el estudio TIMSS video se efectuó en octavo grado (el equivalente en nuestra región a octavo grado). La base del estudio consiste en registros en video de las lecciones de matemáticas y ciencias, los que se complementan con videos de aula, de escuela y entrevistas registradas también en video de los docentes sobre sus lecciones. Se complementa la información con encuestas a los directores de las escuelas y de los docentes participantes. En este documento se presentan los desempeños pedagógicos de los docentes de Nuevo León en sus lecciones de matemáticas. En la sección primera se describe la muestra de maestros, aulas y escuelas participantes. En la segunda sección se comparan los resultados con los obtenidos por los estudios TIMSS videos, inicialmente se muestran los resultados comparados con el estudio 1999, más sistemático y completo, y posteriormente los resultados con el estudio 1995. En la tercera sección se comparan los desempeños de los docentes en escuelas de diverso estrato (urbanas o rurales), con diversa gestión (estatal, no estatal de congregaciones religiosas y no estatales particulares) y las escuelas agrupadas por nivel en los desempeños en el examen de matemáticas de SERCE de Nuevo León (bajo, medio y alto), así como de los resultados del examen censal ENLACE. En la cuarta sección se presenta un estudio exploratorio sobre los flujos pedagógicos-modelos de enseñanzaque se aprecian en lecciones de matemáticas.
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1. DESCRIPCIÓN DE LA MUESTRA. Las escuelas participantes en este estudio fueron seleccionadas de las que participaron en el estudio SERCE. En ese estudio participaron países y el tamaño de la muestra se definió para que estas fueran representativas a ese nivel. Sin embargo OREALC-UNESCIO recibió la solicitud del gobierno del estado mexicano de Nuevo León de participar en el estudio con una muestra del tamaño de un país y seleccionada de manera independiente de la muestra nacional de México. Debido a que nuestro estudio se centró tanto en lecciones de matemáticas como de ciencias de sexto grado y México no participó en el estudio de ciencias sino únicamente en matemáticas decidimos centrarnos en Nuevo León para obtener la comparación mexicana respecto a Paraguay y República Dominicana, los otros participantes. El estudio SERCE realizó su trabajo de campo en el año 2005, con una muestra efectiva de Nuevo León de 156 escuelas. De esas escuelas dieciocho ya no estaban en servicio para septiembre de 2010, cuando iniciamos el trabajo de campo para el estudio BIDvideos, por lo que la muestra seleccionable de escuelas quedó en 138 escuelas. Entre esas 138 escuelas se seleccionaron 100 de manera aleatoria ya que siguiendo las recomendaciones formuladas en los estudios TIMSS video 1995 y 1999 se definió ese como el tamaño idóneo para realizar estudios comparativos basados en videos de lecciones. El resto de las escuelas quedaron como sustitutas para casos de alguna dificultad para realizar el estudio de caso. Debido a que a una escuela en donde se realizó trabajo de campo le faltó el resultado de matemáticas en la prueba SERCE (aunque si muestra el de ciencia) se decidió aumentar en una escuela el tamaño de la muestra del estado, con el propósito de que se cumpliera el criterio de tamaño de muestra. Esta escuela también fue seleccionada de manera aleatoria dentro del grupo de escuelas participantes en SERCE. Tabla 1. Muestra general del estudio BIDvideos en Nuevo León Sitio
Nuevo León
MUESTRA SERCE EN SEXTO GRADO CON DATOS DE CIENCIA Y MATEMÁTICAS
ESCUELAS DEL ESTUDIO SERCE SELECCIONABLES PARA EL 2010
MUESTRA ESTUDIO BIDVIDEOS
COBERTURA DEL ESTUDIO BIDVIDEOS RESPECTO A LA MUESTRA SERCE SELECCIONABLE
156
138
101
73.19%
Al comparar nuestra muestra con la de SERCE resulta que tenemos -1.24% escuelas públicas en nuestro estudio, por lo que se presenta una sobre-representación en esa misma dimensión de escuelas privadas en nuestra muestra con relación a la efectivamente trabajada por aquel estudio. Clasificación interna de las escuelas. Para identificar modalidades diferentes de enseñar las matemáticas se han conformado cuatro agrupamientos de escuela, según su estrato, tipo de gestión y nivel de desempeño
5 mostrado en la prueba de matemáticas de SERCE1, relativo a los promedios obtenidos solo por escuelas de Nuevo León. Si bien los resultados de SERCE se obtuvieron en el 2005, y nuestro trabajo de campo registrando en videos los desempeños pedagógicos de los docentes de matemáticas de sexto grado son de 2010, en general es difícil que una escuela cambie en poco tiempo su nivel de desempeño. Sin embargo, de manera adicional usaremos los resultados de la prueba Enlace que aplica la Secretaría de Educación Pública de México de manera censal. La prueba Enlace en ese ciclo escolar examinó a los alumnos del sexto grado en español, matemáticas y geografía. En nuestro estudio consideramos el promedio general de matemáticas del sexto grado, que incluirá en todos los casos los grupos cuyas lecciones se han videograbado, aunque no necesariamente sólo ese grupo ya que las escuelas pueden tener varios grupos de sexto grado. Debe considerarse que si bien los resultados de ENLACE corresponden al mismo ciclo escolar que cuando filmamos las lecciones varios meses pasaron entre uno y otro evento (el registro en video se realizó entre septiembre y diciembre de 2010, la aplicación de la prueba ENLACE ese ciclo se aplicó en abril). Sin embargo son los mejores datos obtenibles sobre los desempeños de los docentes en su práctica pedagógica y los desempeños de los alumnos en cuanto a logro académico. Por su estrato, de las 101 escuelas, 76 (75.2%) son escuelas urbanas y 25 son escuelas rurales (24.8%). Según la clasificación elaborada por SERCE, considerando el tipo de gestión, existen en esta muestra 88 escuelas (87.1%) que son estatales de gobierno local (siguiendo la nomenclatura de SERCE), 2 escuelas (2.0%) no estatales de congregación religiosa, 2 escuelas (2.0%) no estatales de organismos no gubernamentales y 9 escuelas (8.0%) no estatales particulares. El nivel de desempeño en la prueba SERCE de matemáticas para sexto grado se estableció en tres niveles, a partir de su media (552.51) y desviación estándar (43.16) a nivel escuela. De nuestra muestra de 101 escuelas, SERCE reportó los resultados del sexto de ciencias pero no de matemáticas, por lo que los resultados corresponden a 100 escuelas. a) bajo logro relativo SERCE: con promedio por escuela del mínimo, 449.37, a 530.68 (menos de una desviación estándar a partir de la media obtenida por la muestra de sexto grado de Nuevo León). En este grupo se ubican 32 escuelas. b) medio logro relativo SERCE: corresponde a una desviación estándar a partir de la media, es decir, están escuelas cuyos promedios fueron de 531.32 a 573.78. A esta clasificación corresponden 42 escuelas de la muestra. c) alto logro relativo SERCE: se ubican escuelas cuyo rendimiento promedio fue de 579.78 a 708.89 (máximo puntaje promedio en SERCE por escuelas de Nuevo León en matemáticas del sexto grado). Un total de 26 escuelas se agrupan en esta categoría. 1
La coordinación del estudio SERCE amablemente compartió su base de aprovechamiento escolar. Sobre ella hemos estimado los promedios de las escuelas participantes en nuestro estudio. La clasificación de las escuelas por los niveles de logro es responsabilidad nuestra.
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La primera vez que se aplicó la prueba Enlace fue en el ciclo escolar 2006-2007, que es el más cercano a la aplicación de la prueba por SERCE. Si se toma en cuenta el promedio de matemáticas de sexto grado en este grupo de escuelas podemos examinar qué tan consistentes son los resultados de un examen con los resultados del otro y si efectivamente podemos distinguir con cierta claridad a las escuelas participantes por sus niveles de desempeño. La media en Enlace por escuela en el ciclo 2006-2007 en este grupo de 100 escuelas de Nuevo León tuvo una media de 514.05, con una desviación estándar de 31.56. De esta manera los tres grupos por desempeño quedarían conformados de la manera siguiente: a) bajo logro ENLACE 2006-2007: con un mínimo de 350.81 a 478.17. En este grupo se ubican 33 escuelas. b) medio logro ENLACE 2006-2007: con un mínimo de 482.56 a 545.21. En este grupo se ubican 41 escuelas. c) Alto logro ENLACE 2006-2007: con un mínimo de 545.79 a 695.00 En este grupo se ubican 26 escuelas. Al comparar los niveles de desempeño en ambos exámenes por este grupo de escuelas (la comparación fue posible en 99) tenemos que el coeficiente de correlación en la agrupación de escuelas por nivel nos permite obtener un Tau-b de Kendall de .28 (Spearman=.31, en ambos p=<.001, bilateral). La asociación de los resultados de la prueba de matemáticas de SERCE con los de la prueba de Matemática de ENLACE correspondientes al ciclo 20062007 es más baja que los que obtuvieron la prueba de matemáticas de SERCE con los resultados generales de la escuela según ENLACE. Tabla 2.
Bajo logro ENLACE 2006-2007 sexto grado matemáticas Medio logro ENLACE 2006-2007 sexto grado matemáticas Alto logro ENLACE 2006-2007 sexto grado matemáticas
Bajo logro relativo SERCE en matemáticas sexto grado 14
Medio logro relativo SERCE en matemáticas sexto grado 13
Alto logro relativo SERCE en matemáticas sexto grado 5
13
22
6
5
6
15
7
Nivel de desempeño en 2010. El estudio SERCE desarrolló su trabajo de campo en el 2005, en el ciclo escolar 2006-2007 se aplica por primera vez la prueba censal ENLACE por la Secretaría d Educación Pública. Tanto SERCE como ENLACE estiman el desempeño en matemáticas en un rango de 200 a 800 puntos con una media de 500 puntos (aplican el modelo Rasch). La correlación entre ambos exámenes (considerando medias de escuelas) es de .48. Cuando se asocia el desempeño de SERCE con los resultados de la prueba de matemáticas ENLACE en el ciclo escolar 2010-2011, que es cuando se realiza el trabajo de campo de BIDvideos, la asociación se ha reducido a .26. Por lo que se considera importante contar con el desempeño de ENLACE en la consideración de los desempeños de los maestros. Se mantiene el referente del nivel de desempeño de SERCE con el propósito de mantener en el análisis de los resultados de Nuevo León equiparación con los de Paraguay y República Dominicana. Tabla 3 Correlaciones entre los resultados de SERCE matemáticas y resultados de la prueba Enlace para sexto de matemáticas (Pearson) SERCE ENLACE ENLACE ENLACE ENLACE ENLACE Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas Matemáticas sexto grado sexto grado sexto grado sexto grado sexto grado sexto grado 2005 2007-2007 2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 (99 escuelas) (100 escuelas) (100 escuelas) (100 escuelas) (100 escuelas) 1 .48** .31** .44** .40** .26** **La correlación es significativa al nivel .01 (bilateral)
Considerando la agrupación de escuelas en los tres niveles de desempeño en el ciclo escolar 2010-2011, se obtiene un Tau_b de Kendall de .19 (Spearman =.22, en ambos p=.02, bilateral). Es decir, se da una asociación baja, aunque significativa, entre los resultados de SERCE obtenidos en el 2005 y los desempeños de los alumnos en la prueba ENLACE en el 2010-2011, cuando se realizó el estudio de campo de este estudio. Tabla 4. Bajo logro relativo Medio logro relativo Alto logro relativo SERCE en SERCE en SERCE en matemáticas sexto matemáticas sexto matemáticas sexto grado grado grado Bajo logro ENLACE 11 18 4 2010-2011 matemáticas sexto grado Medio logro ENLACE 2010-2011 matemáticas sexto grado Alto logro ENLACE 2010-2011 matemáticas sexto grado
14
21
8
7
3
14
8
Características de las escuelas. En las escuelas urbanas de esta muestra son más frecuentes los niveles altos y medios en las pruebas SERCE y ENLACE. El ámbito rural se asocia más a nivel medio y bajo en SERCE y en ENLACE. Tabla 5. Estrato Nuevo León
Nivel de logro relativo en SERCE Matemáticas
Bajo 24 (31.5%)
Urbano 76 (75.25%) Medio 31 (40.7%)
Nivel de logro en sexto grado ENLACE Matemáticas 2010-2011
23 (30.2%)
33 (43.4%)
Alto 21 (27.6%)
20 (26.3%)
Bajo 8 (33.3%)
Rural 25 (24.75%) Medio 11 (45.8%)
Total
Alto 5 (20.8%)
10 (40.0%)
11 (44.0%)
4 (16.0%)
100 Faltaron datos de 1 escuela rural 101
Por su nivel de desempeño promedio en la prueba de matemáticas del estudio SERCE y el promedio de sexto de ENLACE es más frecuente encontrar a las escuelas estatales en el nivel bajo y medio. Todas las escuelas ubicadas en el nivel bajo son estatales. Las escuelas no estatales tienden a ser de alto nivel, con la excepción de dos escuelas particulares que se ubican en el nivel medio. Tabla 6. Tipo de gestión Nuevo León
Estatal, gobierno local
No estatal, congregación religiosa
Nivel de logro relativo en SERCE matemáticas
31 35.6%
88 (75.0%) Medi o 42 48.2%
2 (8.3%) Medi o 0
33 37.5%
41 46.5%
Nivel de logro en matemáticas sexto grado ENLACE 2010-2011
Bajo
Alto
Bajo
14 15.9 %
0
14 15.9 %
0
1 50%
No estatal, particulares 9 (14.5%)
Alto
Bajo
2 100%
1 11.1 %
1 50%
0
No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0%)
Medi o 0
Alto
bajo
medio
Alto
8 88.8 %
0
0
2 100%
1 11.1%
8 88.8 %
0
1 50.0 %
1 50.0 %
Total 100
101
9
Características de los docentes. Los docentes participaron de manera voluntaria en el estudio, sin recibir un pago (como fue el caso de TIMSS). Entre las características de los docentes que se toman en cuenta para su caracterización están su género, edad, máximo nivel de escolaridad, años de experiencia docente, experiencias como docentes del sexto grado, número de cursos de capacitación recibidos y estimación del nivel de dificultad en la enseñanza de la matemática. A excepción del género (que se registró por observación directa del video), el resto de los datos se han obtenido de la encuesta aplicada. En Nuevo León encontramos que 6 docentes de ciencias no enseñaban matemáticas en el mismo grado (4 escuelas públicas y 2 privadas). Por lo que la caracterización de esta sección corresponde a los docentes de matemáticas. Los docentes de matemáticas de Nuevo León se comparan siguiendo cuatro criterios: a) estrato de la escuela: distinguiendo entre urbanas y rurales. La clasificación se basa en los datos del SERCE, confirmada en el trabajo de campo con los funcionarios de la Secretaría de Educación de Nuevo León. b) tipo de gestión, considerando la clasificación de SERCE: considerando estatales del gobierno nacional, no estatales pertenecientes a una escuela religiosa y no estatales pertenecientes a particulares. La ubicación de cada escuela en su tipología correspondiente se tomó de los datos de SERCE y se confirmó con los funcionarios de la Secretaría de Educación del gobierno del estado de Nuevo León. c) nivel de logro relativo SERCE, considerando los resultados de sexto grado en la prueba aplicada para matemáticas por SERCE. Esta estimación se basa en cálculos propios, con base en la base de datos proporcionada por la coordinación técnica del estudio SERCE. d) nivel de logro promedio en Enlace 2010-2011, con el promedio de matemáticas para el o los grupos de sexto grado de la escuela. Las lecciones fueron registradas a inicios de ese ciclo escolar (entre los meses de agosto y diciembre de 2010), mientras que la prueba Enlace se aplicó en abril, hacia fines del mismo ciclo escolar.
10
Género de los docentes. En las lecciones de matemáticas de nuestro estudio participan 52 maestras (51.5%) y 49 maestros (48.5%) de Nuevo León. En esta muestra la mayor parte de los maestros laboran en escuelas urbanas, aunque proporcionalmente más maestras se desempeñan en el ámbito rural. Tabla 7. Género Nuevo León
Estrato
Masculino 49 (48.5%) Urbano 39 (79.5%)
Femenino 52 (51.5%) Rural 10 (20.4%)
Urbano 37 (71.1%)
Total
Rural 15 (28.8%)
101
Los maestros varones trabajan preferentemente en escuelas estatales. En las escuelas no estatales se encuentran con mayor frecuencia a maestras. Tabla 8. Género Nuevo León Tipo de gestión
Estatal gobierno local
47 (95.9%)
Masculino 49 (48.5%) No estatal, No estatal, congregación organismo no religiosa gubernamental
0
0
No estatal, particulares
Estatal gobierno nacional
2 (4.0%)
41 (78.8%)
Femenino 52 (51.5%) No estatal, No estatal, congregación organismo no religiosa gubernamental
2 (3.8%)
Total
No estatal particulares
2 (3.8%)
7 (13.4%)
101
Si se considera el nivel de logro obtenido por la escuela en la prueba SERCE, es más frecuente encontrar maestras en las escuelas que obtuvieron alto nivel de logro relativo. Tabla 9. Género Nuevo León Nivel de logro relativo en SERCE matemáticas Nivel de logro en matemáticas sexto grado ENLACE 2010-2011
Bajo logro relativo 17 (34.6%) 15 (30.6%)
Masculino 49 (48.5%) Medio logro relativo
Alto logro relativo
23 (46.9%) 26 (53.0%)
9 (18.3%) 8 (16.3%)
Bajo logro relativo 15 (28.8%) 18 (34.6%)
Femenino 52 (51.5%) Medio logro relativo
Total
Alto logro relativo
19 (36.5%) 18 (34.6%)
17 (32.6) 16 (30.7%)
101 101
11
Edad de los docentes. Los maestros videograbados promedian poco menos de cuarenta años de edad en esta muestra de Nuevo León (con una desviación estándar de 1056). El docente más joven dijo tener 21 años y el mayor de 62 años. Dos docentes de matemáticas no proporcionaron el dato de su edad. Tabla 10. Edad de los docentes Sitio
Promedio en años
Nuevo León (99)
39.6
Desviación estándar 10.5
Mínimo
Máximo
21
62
De los docentes participantes en el estudio, los docentes urbanos son mayores que los rurales. Tabla 11. Edad Estrato (99)
Urbano 75 (75.7%) 41.0 (10.3)
Rural 24 (24.2%) 35.2 (10.1)
Los maestros más jóvenes en promedio son los que laboran en escuelas no estatales, de congregaciones religiosas. Los maestros de mayor edad son los que laboran en escuelas no estatales de organismos no gubernamentales. Tabla 12. Edad Estatal, gobierno local
Tipo de gestión (99)
86 (86.8%) 39.7 (10.5)
No estatal, congregación religiosa 2 (2.0%) 29.0 (1.4)
No estatal, particulares 9 (9.0%) 37.4 (7.9)
No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0%) 56.0 (0)
Tomando en cuenta la edad, es menor en los docentes cuyos alumnos obtienen los niveles medios en la prueba de matemáticas de SERCE y en el nivel bajos si se considera el desempeño en la prueba de matemáticas de ENLACE.
12
Tabla 13. Edad Resultados en SERCE sexto grado matemáticas (99)
Nivel de logro en sexto grado matemáticas ENLACE 2010-2011 (99)
Bajo 31 (31.3%) 40.9 (10.4) Bajo 32 (32.3%) 38.2 (11.4)
Medio 41 (41.4%) 38.2 (10.1) Medio 43 (43.4%) 40.8 (10.8)
Alto 26 (26.2%) 40.8 (10.9) Alto 24 (24.2%) 39.3 (9.3)
Mayor nivel de escolaridad. Uno de los docentes de Nuevo León declara tener como máximo nivel de escolaridad la primaria. La mayor parte, 47.5%) son egresados de escuelas normales. Un porcentaje alto (11.9%) reporta tener estudios de posgrado. Tabla 14. Máximo nivel de escolaridad Nuevo León (101) Primaria Técnica no universitaria Pedagógica no universitaria Universitaria Posgrado Total
% 1.0 1.0 47.5 38.6 11.9 100
Al informar sobre su máximo nivel de escolaridad destaca que los egresados de universidad (probablemente la Universidad Pedagógica Nacional) es relativamente más frecuente en el área rural y los maestros normalistas en el área urbana. El alto grado de maestros rurales con posgrado (casi igual que los maestros urbanos) puede darse debido a que las zonas rurales del estado de Nuevo León son relativamente cercanas a grandes centros urbanos. Tabla 15. Nivel de escolaridad por estrato Nuevo León (101)
Primaria Técnica no universitaria Pedagógica no universitaria Universitaria Posgrado Total
Urbano 76 (75.2%) 1.3% 0% 51.3% 35.5% 11.8% 100%
Rural 25 (24.8%) 0 4.0% 36.0% 48.0% 12.0% 100%
En las escuelas estatales dominan son los maestros normalistas y en las escuelas no estatales particulares los maestros con estudios universitarios.
13
Tabla 16. Nivel de escolaridad por tipo de gestión (101) Nuevo León (101)
Estatal, gobierno local
No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0%) 50.0%
No estatal, particular
88 (87.1%) 0
No estatal, congregación religiosa 2 (2.0%) 0
1.1%
0
0
0
50.0%
0
50.0%
33.3%
36.4%
50.0%
0
66.7%
Posgrado
12.5%
50.0%
0
11.9%
Total
100%
100%
100%
100%
Primaria Técnica no universitaria Pedagógica universitaria Universitaria
no
9 (8.9%) 0
La educación universitaria está asociada con resultados altos tanto en la prueba de SERCE como en la prueba ENLACE. Sin embargo el posgrado de los docentes es más frecuente cuando los estudiantes resultan con desempeños medios. Tabla 17. Nivel de escolaridad por nivel de logro académico SERCE Nuevo León (101)
Bajo Medio 29 43 (28.7%) (42.5%) Primaria 0 0 Técnica no universitaria 0 0 Pedagógica no universitaria 53.1% 50.0% Universitaria 40.6% 31.0% Posgrado 6.3% 19.0% Total 100% 100% Nivel de escolaridad por nivel de logro académico ENLACE Bajo Medio Primaria 0 2.3% Técnica no universitaria 0 2.3% Pedagógica no universitaria 45.5% 56.8% Universitaria 45.5% 22.7% Posgrado 9.0% 15.9% Total 100% 100%
Alto 29 (28.7%) 3.8% 3.8% 38.5% 46.2% 7.7% 100% Alto 0 0 33.3% 58.3% 8.3% 100%
14
Años de experiencia docente. La experiencia docente promedio de quienes participan en el estudio con casi dieciséis años, con un rango que va de docentes en su primer año a docentes con 34 años de experiencia. Tabla 18. Años de experiencia docente Sitio
Promedio
Nuevo León (100)
15.7
Desviación estándar 10.6
Mínimo
Máximo
1
34
Por estrato. Los docentes de escuelas urbanas declaran contar con mayor experiencia docente que los rurales. Tabla 19. Años de experiencia docente Estrato (100)
Urbano 76 17.5 (10.5)
Rural 24 10.1 (9.2)
Tipo de gestión. Los docentes que declaran mayor antigüedad son los de las escuelas no estatales de organismos no gubernamentales y los de las escuelas estatales. Tabla 20. Años de experiencia docente Estatal, gobierno local
Tipo de gestión (100)
No estatal, congregación religiosa 2 5.00 (4.2)
87 16.3 (10.7)
No estatal, organismo no gubernamental 2 27.5 (3.5)
No estatal, particulares 9 9.7 (6.7)
En promedio, los maestros con más antigüedad se encuentran en el nivel bajo de logro relativo según los resultados de SERCE: Si se consideran los resultados de ENLACE es mayor la antigüedad en el nivel medio. Tabla 21. Años de experiencia docente Resultados en SERCE sexto grado matemáticas
Nivel de logro en sexto grado matemáticas ENLACE 2010-2011
Bajo 32 17.0 (11.2) Bajo 33 14.7
Medio 42 14.3 (10.3) Medio 43 16.8
Alto 26 16.5 (10.6) Alto 24 15.1
15 (10.8)
(11.1)
(9.5)
Experiencia como docentes del sexto grado. En promedio los docentes que participan en el estudio han sido asignados poco más de cinco veces al sexto grado. Tabla 22. Años de experiencia como docente de sexto grado Sitio
Promedio
Nuevo León (101)
5.4
Desviación estándar 5.6
Mínimo
Máximo
1
21
Por estrato. Los docentes de las escuelas urbanas señalan haber sido asignados más veces al sexto grado durante su carrera. Tabla 23 Años de experiencia como docente de sexto grado Estrato
Urbano 76 (75.2%) 5.9 (5.9)
Rural 25 (24.7%) 3.7 (4.3)
Por tipo de gestión. Los maestros de las escuelas estatales son las que tienen docentes con mayor experiencia en la enseñanza en sexto grado. Tabla 24. Años de experiencia como docente de sexto grado Estatal, gobierno local 88 (87.1%) 5.7 (5.8)
Tipo de gestión
No estatal, congregación religiosa 2 (2.0%%) 1.5 (.7)
No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0) 1.5 (.7)
No estatal, particulares 9 (8.9%) 3.6 (3.5)
A diferencia de los resultados de SERCE, la mayor experiencia en la enseñanza de sexto está asociada a mejores desempeños en ENLACE (medio y alto). Tabla 25. Años de experiencia como docente de sexto grado Resultados en SERCE sexto grado matemáticas (100)
Nivel de logro en sexto grado matemáticas ENLACE 2010-2011
Bajo 32 (32.0%) 6.0 (6.1) Bajo 33 (33.6%) 4.0
Medio 42 (42.0%) 5.2 (5.6) Medio 44 (40.5%) 6.1
Alto 26 (26.0%) 5.0 (4.9) Alto 24 (25.7%) 5.8
16 (4.5)
(6.0)
(6.0)
Número de cursos de capacitación para la enseñanza de las matemáticas. El grupo de maestros cuyas lecciones de matemáticas fueron registradas en video han recibido en promedio 2.6 cursos de capacitación sobre la enseñanza de las matemáticas, ya sea en su proceso de formación o como parte de los cursos de actualización. Un 24.0% de los docentes señalan no haber recibido nunca algún curso de capacitación. Por otra parte uno de los docentes afirmó haber recibido 25 cursos. Cinco docentes no respondieron esta pregunta. Tabla 26. Número de cursos de capacitación para la enseñanza de las matemáticas Sitio Nuevo León (96)
Promedio
Desviación estándar 4.5
3.3
Mínimo (34 casos) 0
Máximo (1 caso) 25
Los docentes de escuelas urbanas han recibido más cursos de capacitación en la enseñanza de las matemáticas que los docentes de las escuelas rurales. Tabla 27. Número de cursos de capacitación para la enseñanza de las matemáticas Estrato
Urbano 73 (76.0%) 3.7 (4.7)
Rural 23 (23.9%) 2.0 (3.8)
Son los maestros de las escuelas estatales y los de escuelas no estatales particulares quienes han recibido más cursos de capacitación para la enseñanza de las matemáticas. Tabla 28. Número de cursos de capacitación para la enseñanza de las matemáticas Estatal, gobierno local
Tipo de gestión
83 (86.4%) 3.4 (4.7)
No estatal, congregación religiosa 2 (2.0%) .5 (.7)
No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0%) 2.0 (2.8)
No estatal, particulares 9 (9.3%) 3.4 (3.6)
Los docentes que declaran haber recibido más cursos de capacitación en la enseñanza de las matemáticas laboran en escuelas que obtuvieron mejores resultados en la prueba SERCE de matemáticas. Por otra parte, los docentes cuyos alumnos obtuvieron los mejores resultados en la prueba ENLACE han recibido en promedio 4.2 cursos de capacitación para la enseñanza de las matemáticas, en contraste con los docentes cuyos alumnos se ubican en los niveles medio y bajo, que en promedio han recibido tres cursos de capacitación.
17
Tabla 29. Número de cursos de capacitación para la enseñanza de las matemáticas Resultados en SERCE sexto grado matemáticas (95)
Bajo 31 (32.6%) 3.0 (4.2) Bajo 28 (29.1%) 3.1 (5.1)
Nivel de logro en sexto grado matemáticas ENLACE 2010-2011 (96)
Medio 38 (40.0%) 3.5 (5.1) Medio 44 (45.8%) 3.0 (4.2)
Alto 26 (27.3%) 3.6 (4.1) Alto 24 (25.0%) 4.2 (4.4)
Nivel de dificultad para la enseñanza de las matemáticas en sexto grado. Se solicitó a los docentes que calificaran el nivel de dificultad que les representa la enseñanza de las matemáticas en un rango de 1 (menor grado de dificultad) a 10 (máximo grado de dificultad). Un grupo conformado por el 10% de docentes de la muestra calificó en 1 el grado de dificultad, es decir mínimo. La correlación entre número de cursos de capacitación y nivel de dificultad en la enseñanza de la matemáticas resulta en r=-.28 (p=.005). Es decir, a más cursos se afirma tener menos dificultad en la enseñanza de este tema. El nivel de dificultad declarado para la enseñanza de matemáticas (4.8) es mayor que el de ciencias (4.1) Tabla 30. Nivel de dificultad para la enseñanza de las matemáticas en sexto grado. Sitio
Promedio
Nuevo León (100)
4.8
Desviación estándar 2.6
Mínimo
Máximo
1
10
Por estrato. Los maestros de escuelas urbanas señalan un mayor grado de dificultad en la enseñanza de las matemáticas que los de las escuelas rurales. Tabla 31. Nivel de dificultad para la enseñanza de las matemáticas en sexto grado. Estrato
Urbano 75 (75.0%) 4.9 (2.7)
Rural 25 (25.0%) 4.4 (2.3)
Por tipo de gestión. Los docentes que señalan tener más dificultad para la enseñanza de las matemáticas son los que laboran en escuelas no estatales de congregaciones religiosas y particulares.
18
Tabla 32. Nivel de dificultad para la enseñanza de las matemáticas en sexto grado. Estatal, gobierno local
Tipo de gestión
87 (87.0%) 4.8 (2.6)
No estatal, congregación religiosa 2 (2.0%) 5.0 (2.8)
No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0%) 4.5 (3.5)
No estatal, particulares 9 (9.0%) 5.0 (2.8)
Por nivel de logro en SERCE. Los maestros que declaran tener mayor dificultad en la enseñanza de las matemáticas laboran en escuelas que obtuvieron resultados relativamente altos y bajos en la prueba de matemáticas de SERCE. Los alumnos de los docentes que declararon menos dificultad para la enseñanza de las matemáticas obtuvieron mejor desempeño que los que declararon mayor dificultad. Tabla 33. Nivel de dificultad para la enseñanza de las matemáticas en sexto grado. Resultados en SERCE sexto grado matemáticas (99)
Nivel de logro en sexto grado matemáticas ENLACE 2010-2011 (100)
Bajo 32 (32.3%) 5.3 (2.3) Bajo 33 (33.0%) 4.8 (2.7)
Medio 41 (41.4%) 4.0 (2.5) Medio 43 (43.0%) 4.9 (2.6)
Alto 26 (26.2%) 5.4 (2.8) Alto 24 (24.0%) 4.5 (2.4)
19
Características del aula. Los datos sobre el aula que nos interesan son el tamaño del grupo de alumnos, la disponibilidad y uso de recursos didácticos para la enseñanza de la matemática, la presencia de equipamiento y mobiliario. Los datos se obtuvieron de la encuesta. Tamaño del grupo. En promedio los maestros indicaron una matrícula de 26.5 alumnos por grupo de sexto grado. Esta cantidad de alumnos puede variar de los alumnos efectivamente presentes en la sesión en la que se videograbó la clase de matemáticas ya que se refiere a alumnos matriculados en el grado. El rango va de 5 alumnos hasta 45 en los grupos de este nivel. Tabla 34. Número de alumnos Sitio Nuevo León (101)
Promedio
Desviación estándar 8.4
26.5
Mínimo
Máximo
5
45
Por estrato. En las escuelas urbanas el número de alumnos matriculados en los grupos superan a los de escuelas rurales. Tabla 35. Número de alumnos Estrato
Urbano 76 (75.2%) 27.1 (7.8)
Rural 25 (24.7%) 25.0 (9.4)
Por tipo de gestión. Los grupos que mayor cantidad de alumnos tienen en promedio, están en las escuelas no estatales de organismos no gubernamentales. Las escuelas no estatales de congregaciones religiosas son las que manifiestan contar con los grupos más pequeños. Tabla 36. Número de alumnos Estatal, gobierno local
Tipo de gestión
88 (87.1%) 26.9 (8.2)
No estatal, congregación religiosa 2 (2.0%) 22.5 (6.3)
No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0%) 34.5 (7.7)
No estatal, particulares 9 (8.9%) 21.8 (9.3)
Los grupos más numerosos se asocian con desempeños medios en los resultados de las pruebas SERCE y de la prueba ENLACE.
20
Tabla 37. Número de alumnos. Resultados en SERCE sexto grado matemáticas (100)
Nivel de logro en sexto grado matemáticas ENLACE 2010-2011 (101)
Bajo 32 (32.0%) 24.4 (8.2) Bajo 33 (32.6%) 26.6 (9.3)
Medio 42 (42.0%) 28.9 (8.4) Medio 44 (43.5%) 27.3 (7.2)
Alto 26 (26.0%) 25.6 (8.0) Alto 24 (23.7%) 25.1 (9.1)
Disponibilidad y uso de recursos didácticos para la enseñanza de las matemáticas. A través de una encuesta se preguntó a los docentes sobre la disponibilidad de una lista de recursos didácticos para a enseñanza de las matemáticas, con base en la lista del cuestionario aplicado en el estudio SERCE relativo al mismo concepto. Los docentes con disponibilidad de los diez recursos didácticos para la enseñanza de las matemáticas listados en el numeral anterior expresaron a través de la misma encuesta el nivel de frecuencia de su uso, considerando los siguientes niveles de frecuencia: 0) nunca. 1) algunas clases. 2) la mayoría de las clases. 3) todas las clases. El libro de texto de los alumnos domina como el material para la enseñanza de las matemáticas, tanto en su disponibilidad como en su uso.
Tabla 38. Disponibilidad de recursos para la enseñanza de las matemáticas Disponibilidad Frecuencia de uso Libro de texto para matemáticas 99.0% 2.5 Calculadoras 93.1% 1.1 Cuaderno de trabajo para matemáticas 77.8% 2.0 Material manipulativo del medio 72.0% 1.1 Geoplanos con ligas 55.7% .6 Tangramas 49.0% .6 Material multibase 28.6% .48 Ábacos 17.2% .21 Regletas cuisinier 15.3% .18 Bloques lógicos 14.4% .28
21
Además 62.4% docentes señalaron en el cuestionario contar con computadoras disponibles para sus alumnos de sexto grado, con un promedio de 3.8 computadoras por grupo. Se sumaron los recursos didácticos y su uso con el fin de compararlos, tomando en cuenta únicamente el número de diversos tipos de recursos y la frecuencia de su uso. Resultó que los docentes cuyas lecciones de matemáticas fueron registradas en video cuentan con un promedio de 5.1 de los recursos que se listaron por nuestro cuestionario, siguiendo la pauta del cuestionario de SERCE, sobre la lista de once recursos identificados en la anterior tabla. Tabla 39. Número de recursos didácticos disponibles para la enseñanza de las matemáticas Sitio Nuevo León (96)
Promedio
Desviación estándar 1.9
5.1
Mínimo
Máximo
1
10
La frecuencia de uso de los recursos didácticos resultó con una media de .8 en 71 de los docentes. Ninguno de los recursos didácticos listados se usa en todas las clases. Tabla 40. Frecuencia de uso de los recursos didácticos disponibles para la enseñanza de las matemáticas Sitio Nuevo León (71)
Promedio
Desviación estándar .3
.8
Mínimo
Máximo
0
2
Por estrato. Los docentes de las escuelas urbanas señalan que cuentan con más recursos didácticos disponibles y mencionan usarlos con mayor frecuencia. Tabla 41. Recursos para la enseñanza de las matemáticas Estrato
Urbano 71 casos (73.9%) 5.3 (2.0)
Rural 25 casos (26.0%) 4.5 (1.5)
Frecuencia de uso de los recursos para la enseñanza de las matemáticas Urbano 52 casos (73.2%) .8 (.3)
Rural 19 casos (26.7%) .7 (.2)
22
Por tipo de gestión. Las escuelas con más recursos para la enseñanza de las matemáticas son las no estatales de organismos no gubernamentales y las particulares. El mayor uso de los recursos se presenta en las escuelas no estatales particulares y en las estatales. Tabla 42. Recursos para la enseñanza de las matemáticas Estatal, gobierno local
Tipo de gestión
84 (87.5%) 5.0 (1.9)
No estatal, congregación religiosa 2 (2.0%) 3.5 (.7)
No estatal, de organismo no gubernamental 2 (2.0%) 6.5 (3.5)
No estatal, particulares 8 (8.3%) 6.2 (1.3)
Frecuencia de uso de los recursos para la enseñanza de las matemáticas Estatal, gobierno local 60 (84.5%) .8 (.3)
No estatal, congregación religiosa 2 (2.8%) .6 (.1)
No estatal, de organismo no gubernamental 2 (2.8%) .7 (.2)
No estatal, particulares 7 (9.8%) .9 (.1)
Por resultados en logro de SERCE. Las escuelas que en la prueba SERCE de sexto de matemáticas obtuvieron mayor puntaje promedio son en las que se ubican los docentes que en nuestro estudio declaran contar con más recursos para la enseñanza: El uso declarado de los recursos es muy semejante en los tres niveles. En cuanto a los niveles de logro en sexto grado también es mayor en las aulas en las que los docentes señalan más recursos didácticos para la enseñanza de las matemáticas. El uso declarado es mayor en los niveles medio y alto de los niveles de logro.
23
Tabla 43. Recursos para la enseñanza de las matemáticas
Resultados en SERCE sexto grado matemáticas
Bajo 30 (31.5%) 4.9 (2.1)
Medio 41 (43.1%) 5.1 (1.4)
Alto 24 (25.2%) 5.4 (2.3)
Frecuencia de uso de los recursos para la enseñanza de las matemáticas
Nivel de logro en sexto matemáticas grado ENLACE 2010-2011
Bajo Medio Alto 23 29 18 (32.8%) (40.2%) (25.0%) .8 .8 .8 (.3) (.2) (.2) Bajo Medio Alto 31 42 23 (32.2%) (43.7%) (23.9%) 4.8 4.9 6.0 (1.7) (1.7) (2.1) Frecuencia de uso de los recursos para la enseñanza de las matemáticas Bajo Medio Alto 22 31 18 (30.9%) (43.6%) (25.3%) .7 .8 .9 (.2) (.2) (.3)
Equipamiento y mobiliario del aula. Como complemento del trabajo de campo se obtuvieron videos de las aulas sin lecciones (por lo tanto sin alumnos), que tuvieron el propósito de identificar los recursos disponibles en el aula el día del registro de las lecciones. No se considera la calidad de los recursos, solamente su presencia en el aula en el que se registró en video la lección. Los videos de aula han sido codificados de manera que se pueda hacer una auditoría de 18 elementos que conforman el equipamiento o mobiliario del aula. Estos deben ser recursos de aula, independientemente de los que los docentes llevan a sus lecciones. Se pudieron analizar 101 videos de aula. La tabla 44 muestra el resultado del inventario de recursos en las aulas de sexto grado que conformaron la muestra para el estudio.
24
Tabla 44. Equipamiento y mobiliario de aula Pizarra Mesabancos para alumnos Sillas para alumnos Mesas para el docente Afiches Libro de texto en el aula Computadora en el aula para el docente Pantallas Proyector Biblioteca de aula Material de referencia Juegos de geometría Libreros en el aula Televisión Globo terráqueo Computadoras en el aula para alumnos Plantas Material para experimentos
100$ 100% 100% 100% 95.0% 90.1% 83.2% 80.2% 78.2% 71.3% 51.5% 22.8% 13.9% 12.9% 7.9% 6.9% 3.0% 5.0%
Como se observa, se consideran diferentes recursos a los considerados como didácticos en la encuesta. En el video se considera más el nivel de enriquecimiento pedagógico del ambiente del aula. La media de equipamiento y mobiliario de aula es de 8.0, con un mínimo de 6 y un máximo de 14, de los 18 elementos listados en el inventario. Tabla 45. Equipamiento y mobiliario de aula Sitio
Promedio
Nuevo León (101)
12.9
Desviación estándar 1.8
Mínimo
Máximo
8
16
Por estrato. En los videos de aula se detectan más recursos didácticos en las escuelas rurales que en las escuelas urbanas. Tabla 46. Equipamiento y mobiliario de aula Estrato
Urbano 76 (75.2%) 12.8 (1.7)
Rural 25 (24.7%) 13.1 (2.0)
Por tipo de gestión. Las aulas de las escuelas no estatales de ONG´s y escuelas estatales muestran más equipamiento y mobiliario en las aulas de las lecciones de matemáticas registradas en video.
25
Tabla 47. Equipamiento y mobiliario de aula Estatal, gobierno local
Tipo de gestión
88 (87.1%) 13.0 (1.8)
No estatal, congregación religiosa 2 (2.0%) 12.0 (1.4)
No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0%) 14.5 (.7)
No estatal, particulares 9 (8.9%) 12.1 (1.0)
Por nivel de logro académico. En las aulas que se observaron más equipamiento y mobiliario son las que habían obtenido resultados medios en el SERCE. De forma interesante, en la consideración de los resultados de matemáticas en ENLACE se obtiene una relación lineal negativa, de manera que hay mayor equipamiento y mobiliario en las aulas que obtienen más bajos rendimientos en matemáticas. Tabla 48. Equipamiento y mobiliario de aula Resultados en SERCE sexto grado matemáticas
Nivel de logro en sexto grado en matemáticas ENLACE 2010-2011 (101)
Bajo 32 (28.7%) 12.7 (1.7) Bajo 33 (32.6%) 13.0 (1.9)
Medio 42 (42.5%) 13.1 (1.8) Medio 44 (43.5%) 12.9 (1.9)
Alto 26 (28.7%) 12.6 (1.7) Alto 24 (23.7%) 12.7 (1.3)
26
Características de la escuela. De la escuela hemos considerado datos de las encuestas, diarios de campo de las investigadoras de campo y de los videos tomados en escuelas y aulas, que fueron codificados de acuerdo a un inventario de atributos y recursos. Los datos son sobre aspectos del contexto de la escuela y la calidad de su infraestructura. El clima organizacional en la escuela y la identificación de cambios recientes. Contexto e infraestructura de la escuela. En los videos de escuela se han considerado catorce aspectos sobre características del contexto y la calidad de la infraestructura, que se presentan en la tabla 46: Tabla 49. Contexto e infraestructura de la escuela (97) Servicio eléctrico en el vecindario de la escuela Patio de la escuela Se observa transporte público cerca de la escuela Barda o cerca Escuela luce limpia Escuela luce con mantenimiento adecuado Se observa pavimento frente a la escuela Escuela luce ordenada Existe jardín El nombre de la escuela aparece en su frente Se identifica a la dirección o a las oficinas administrativas Se identifica a biblioteca de escuela Se identifica aula de cómputo Se identifica laboratorio
96.0% 96.0% 96.0% 94.1% 91.1% 90.1% 90.1% 87.1% 75.2% 59.4% 27.7% 7.9% 6.9% 1.0%
En varios casos no se recibieron videos de escuela, o habiéndolos recibido no se pudo identificar la característica. En Nuevo León, durante el tiempo de trabajo de campo se presentó un incremento de la violencia que impidió que en algunas escuelas sus directivos no permitieran que se filmara fuera de la escuela, como lo indicaba el protocolo de levantamiento de datos, ya que podría interpretarse mal por vecinos o padres de familia, especialmente en zonas urbanas. Por lo tanto existe una probable limitación de datos para estas zonas. El promedio de atributos del contexto y de la infraestructura de la escuela resultó de 9.5, de los 14 considerados en el inventario realizado al video de escuela. Tabla 50. Contexto y calidad de la infraestructura de la escuela Sitio (88)
Promedio 9.5
Desviación estándar 1.3
Mínimo
Máximo
5
14
27
Por estrato. Las escuelas urbanas (a diferencia de las aulas) muestran mejor contexto y calidad de la infraestructura que las rurales. Tabla 51. Contexto y calidad de la infraestructura de la escuela Estrato (97)
Urbano 72 (74.2%) 9.5 (1.3)
Rural 25 (25.7%) 9.7 (1.6)
Por tipo de gestión. Las escuelas estatales muestran mejor calidad de la infraestructura y contexto que las escuelas no estatales, aunque las particulares se ubican de manera muy cercana y con menor variación. Tabla 52. Equipamiento y mobiliario de aula Estatal, gobierno local 84 (86.6%) 9.6 (1.4)
Tipo de gestión (97)
No estatal, congregación religiosa 2 (2.0%) 9.0 (0)
No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0%) 9 (0)
No estatal, particulares 9 (9.2%) 9.5 (.7)
Por nivel de resultados en SERCE. El contexto con más servicios urbanos y la mejor infraestructura de la escuela es mayor con los resultados bajos que se obtuvieron en SERCE, pero es mayor en los logros medios y altos de ENLACE.
Tabla 53. Contexto y calidad de la infraestructura de la escuela Resultados en SERCE sexto grado matemáticas (97)
Nivel de logro en sexto grado matemáticas ENLACE 2010-2011 (97)
Bajo 31 (32.2%) 9.8 (1.6) Bajo 32 (32.9%) 9.0 (1,8)
Medio 41 (42.7%) 9.4 (1.2) Medio 42 (43.3%) 9.8 (1.1)
Alto 24 (25.0%) 9.3 (1.2) Alto 23 (23.7%) 9.7 (.7)
28
Clima organizacional de la escuela. Para identificar el nivel del clima organizacional de la escuela se consideraron algunos de los rasgos formulados en el estudio SERCE. Es necesario considerar que en ese estudio este factor resultó fuertemente asociado a los niveles de logros académicos de los alumnos. Los directivos de los alumnos fueron los informantes sobre este tema. Para distinguir diferentes niveles de clima organizacional de la escuela se solicitó a los directores que calificaran a sus escuelas en cuatro categorías (mal, regular, bien y muy bien) respecto a los siguientes aspectos: Tabla 54. Clima organizacional de la escuela Autoevaluación del directivo (101) Concepto Participación de los padres de familia Trabajo en equipo del personal docente Comunicación entre los docentes Colaboración de los profesores en actividades que propone la dirección Entusiasmo de los profesores Orgullo de los profesores por pertenecer a la escuela Relaciones entre los profesores Relaciones entre profesores y estudiantes Relaciones entre estudiantes Relaciones entre profesores y padres de familia Comunicación con las autoridades educativas fuera de la escuela
Mal 4.0%
Regular 36.0% 2.0% 2.0% 4.0%
Bien 41.0% 33.7% 39.6% 23.0%
Muy bien 19.0% 64.4% 58.4% 73.0%
Promedio 2.7 3.6 3.5 3.6
3.0% 1.0%
32.7% 43.6%
64.4% 55.4%
3.6 3.5
1.0% 1.0% 3.0% 5.1%
38.6% 29.7% 60.4% 55.6%
60.4% 69.3% 36.6% 39.4%
3.6 3.6 3.3 3.3
7.0%
41.0%
52.0%
3.4
Según los directivos el aspecto del clima organizacional de la escuela con mejor puntaje se presenta en la relación entre profesores y estudiantes, en cambio el más bajo se da en cuanto a la participación de los padres de familia. Considerando los cuatro niveles de cada aspecto del clima organizacional en un indicador compuesto se obtiene un promedio de 3.5 (en un rango posible de 1 a 4). Varios directores no contestaron todas las preguntas. Específicamente, en cinco casos no se contó con información sobre cada una de las dimensiones consideradas, por lo que la estimación se basa en 93 escuelas. Tabla 55. Clima organizacional de la escuela Sitio Nuevo León (97)
Promedio 3.4
Desviación estándar .3
Mínimo
Máximo
2
4
29
Por estrato. Los directivos califican igual el nivel de clima organizacional en escuelas urbanas y rurales. Tabla 56. Clima organizacional de la escuela Estrato (97)
Urbano 73 (75.2%) 3.5 (.3)
Rural 24 (24.7%) 3.4 (.4)
Por tipo de gestión. Los directivos que autocalifican mejor su clima organizacional son las escuelas no estatales particulares, y los relativamente más bajos las escuelas no estatales de congregaciones religiosas. Tabla 57. Clima organizacional de la escuela Estatal, gobierno nacional
Tipo de gestión (97)
84 (86.6%) 3.4 (.3)
No estatal, congregación religiosa 2 (2.0%) 3.2 (0)
No estatal, organismo no gubernamental 2 (2.0%) 3.5 (.6)
No estatal, particulares 9 (9.2%) 3.8 (.2)
Por nivel de resultados en SERCE, el mejor nivel de clima organizacional se muestra en las escuelas que obtuvieron alto nivel relativo en la prueba de matemáticass de SERCE. Cuando se consideran los resultados de la prueba ENLACE para el desempeño escolar general del sexto grado los resultados son más claros ya que se muestra una relación lineal: a mejor clima escolar le corresponde mejor desempeño general en esta prueba. Es importante recordar que los resultados de ENLACE corresponden al mismo ciclo escolar de la autoevaluación de los directivos escolares al clima organizacional de su escuela. Tabla 58. Clima organizacional de la escuela Resultados en SERCE sexto grado matemáticas (96)
Nivel de logro en sexto grado ENLACE 20102011 (97)
Bajo 30 (31.2%) 3.4 (.3) Bajo 31 (31.9%) 3.3 (.4)
Medio 40 (41.6%) 3.4 (.4) Medio 43 (44.3%) 3.4 (.3)
Alto 26 (27.0%) 3.6 (.3) Alto 23 (23.7%) 3.6 (.3)
30
Criterio para designar al docente de sexto grado. Según los directivos el criterio dominante consiste en su propia decisión, en la que toma en cuenta la experiencia previa de los docentes. Le sigue el acuerdo que toman los docentes al inicio del ciclo escolar. Tabla 59. Criterio para designar docente en el sexto grado (según declaración de los directivos) (101) Directivo decido con base en la experiencia Acuerdo entre los docentes Directivo decide con base en solicitud del docente Directivo decide con base en darle continuidad al docente con el mismo grupo (mismo maestro que en quinto grado) Otro Total
% 61.4 13.9 9.9 8.9 5.0 100.0
Cambios recientes en las escuelas. En el cuestionario a los directivos se les preguntó sobre aspectos de la escuela que según su criterio o información (si han llegado recientemente) ha mejorado en sus escuelas a partir de la participación en el estudio SERCE. La mayor parte de los directivos perciben que sus escuelas han mejorado en la mayor parte de los rasgos cuestionados. Especialmente señalan que se ha mejorado en la calidad pedagógica de los docentes, la calidad del edificio escolar, la calidad del clima de aprendizaje y la cantidad de docentes. En los rasgos que la mayor parte considera que se han mantenido igual se encuentra la cantidad de recursos didácticos disponibles, la preparación de los docentes (tanto en ciencias como en matemáticas), la cantidad de alumnos y la calidad de los logros (matemáticas y ciencias). Tabla 60. PERCEPCIÓN DE CAMBIOS EN LA ESCUELA Ha Se ha Ha POR DIRECTIVOS (2005-2010) empeorado mantenido mejorado (96) igual Ha habido cambios con relación a la cantidad de alumnos Ha habido cambios con relación a la cantidad de aulas Ha habido cambios con relación a la cantidad de docentes Ha habido cambios con relación a la calidad del edificio del centro escolar Ha habido cambios con relación a la cantidad de recursos de enseñanza Ha habido cambios con relación a la calidad del mobiliario escolar Ha habido cambios con relación a la preparación de la calidad pedagógica de los docentes Ha habido cambios con relación a la preparación de los docentes en Ciencias Ha habido cambios con relación a la preparación de los docentes en Matemáticas Ha habido cambios con relación a la calidad de los logros de los alumnos de sexto en Ciencias Ha habido cambios con relación a la calidad de los logros de los alumnos de sexto en Matemáticas
7.9% 2.0% 4.0% 7.9%
52.5% 77.0% 61.0% 22.8%
39.6% 21.0% 35.0% 69.3%
5.0%
59.4%
35.6%
8.9%
51.5%
39.6%
25.7%
74.3%
44.6%
54.5%
45.5%
54.5%
1.0%
53.5%
45.5%
1.0%
46.5%
52.5%
1.0%
31 Ha habido cambios con relación a la calidad del clima de aprendizaje
25.7%
74.3%
2. COMPARACIÓN DE LAS LECCIONES DE MATEMÁTICAS DE NUEVO LEÓN CON RESULTADOS DEL ESTUDIO TIMSS VIDEO 1999. En la presente sección se compara características de la muestra de lecciones de matemáticas de Nuevo León con los resultados del estudio TIMSS video 19992 así como de resultados del estudio TMSS video 19953. Debe recordarse que en nuestro estudio participaron sextos grados, mientras que en ambos estudios TIMSS videos participaron octavos grados (segundo de secundaria). Algunas características de las lecciones son probablemente más atribuibles a la estructura de la secundaria que a aspectos pedagógicos. En esta sección se consideran primero las variables del estudio TIMSS video 1999 y posteriormente la comparación de las lecciones de matemáticas de Nuevo León con los del estudio TIMSS video 1995. Es necesario tomar la comparación con precaución debido a que no siempre se puede realizar de manera adecuada. El punto más importante a considerar radica en el hecho de que en los reportes del estudio TIMSS video no se identifica siempre el porcentaje de lecciones en que ocurren los eventos considerados en su análisis.
2
Hiebert, James, et al., 2003, Teaching Mathematics in Seven Countries: Results From the TIMSS 1999 Video Study, NCES, US Department of Education, Washington, DC. 3 Los datos del reporte TIMSS video 1995 son tomados del reporte: Stigler, J. W., et al., 1999, The TIMSS Videotape Classroom Study: Methods and Findings from an Exploratory Research Project on Eight.Grade Mathematics Instruction in Germany, Japan, and the United States, NCES, Washington, D.C.
32
A. COMPARACIÓN DE LAS LECCIONES DE NUEVO LEÓN CON LAS LECCIONES DE MATEMÁTICAS DE TIMSS VIDEO 1999. Muestra de lecciones. En el estudio TIMSS video 1999 participaron escuelas que participaron en el estudio TIMSS-R. El tamaño de la muestra de lecciones de matemáticas en el estudio TIMSS video 1999 resultó como se muestra en la siguiente tabla4. Tabla 58. TIMSS VIDEO 1999 País
Australia Estados Unidos Holanda Hong Kong Japón República Checa Suiza Total
Número de lecciones de matemáticas registradas en video 87 83 78 100 50 100 140 638
Los videos de las lecciones de Japón fueron los mismos que fueron analizados en el estudio TIMSS video 1995. La muestra de lecciones de matemáticas de Nuevo León es de 101, con escuelas participantes en el estudio SERCE, que fueron seleccionadas de manera aleatoria, como ya se indicó en la sección anterior. Los resultados que se presentan a continuación siguen los lineamientos establecidos por los estudios TIMSS videos, tanto en 1995 como 1999. Algunos resultados se presentan por la tasa de las lecciones, y otros por la duración de los segmentos dedicados a cierta actividad. En este último caso no debe inferirse que esas actividades se ejecutan en todas las lecciones sino en algunas. .
4
Los datos del tamaño de la muestra corresponden al artículo: Givvin, Karen Bogard, et al., “Are There National Patterns of Teaching? Evidence from the TIMSS 1999 Video Study”, Comparative Education Review, Vol. 49, No. 3, August, 2005, p. 319.
33
Duración promedio de las lecciones. En el estudio de TIMSS video 1999 (p.37) el rango de la duración promedio de las lecciones de matemáticas resultaron con un máximo de 51 minutos, correspondientes a las lecciones de Estados Unidos, y un mínimo de 41 minutos, de las lecciones de Hong Kong. En algunos países el tiempo empleado para la lección es más homogéneo entre el total de sus lecciones videograbadas, que en otros. Por ejemplo, en Japón y la República Checa, existe muy poca desviación estándar y el tiempo marcado por la clase que duró menos comparado con la clase que duró más tiempo, es reducido entre sí. En otros países se registraron clases con tiempos de poco más de 18 minutos hasta clases de más de dos horas. El promedio del tiempo de la lección de matemáticas de la muestra de Nuevo León se ubica por encima de los participantes en el estudio TIMSS video 1999 con una hora de duración. La lección más breve resultó de 23 minutos con 10 segundos, y la de mayor duración de una hora con 42 minutos y 26 segundos. La variación de la duración de la lección es mayor en Nuevo León que la de cualquiera de los participantes del estudio TIMSS. Tabla 59. Media
Mediana
Mínimo
Máximo
Sitio de la escuela
Desviación estándar
Horas/minutos/segundos Australia
0:47:00
0:45:00
0:28:00
1:30:00
0:13:00
República Checa
0:45:00
0:45:00
0:41:00
0:50:00
0:01:00
Hong Kong
0:41:00
0:36:00
0:26:00
1:31:00
0:14:00
0:50:00
0:50:00
0:45:00
0:55:00
0:02:00
Holanda
0:45:00
0:45:00
0:35:00
1:10:00
0:07:00
Suiza
0:46:00
0:45:00
0:39:00
1:05:00
0:03:00
Estados Unidos
0:51:00
0:46:00
0:33:00
1:59:00
0:17:00
Nuevo León
1:00:03
0:59:07
0:23:10
1:42:26
0:17:28
Japón
5
Figura 1.
5
Los datos de las lecciones de Japón corresponden a los resultados del estudio de 1995.
34 Tiempo dedicado a la instrucción de matemáticas. En el análisis del tiempo de la lección se distinguió el tiempo dedicado efectivamente a la instrucción de matemáticas, y el tiempo dedicado a otras actividades, como la organización de la lección (ordenar a los alumnos, distribuir material, entre otras actividades). Se asumen que mientras más tiempo se dedica a la instrucción más oportunidades se ofrece a los alumnos para aprender el contenido de la lección. En el grupo de países del estudio TIMSS video 1999 las lecciones de Japón y la República Checa son las que obtuvieron el más alto promedio de tiempo dedicado a instrucción. Los promedios más bajos los obtuvieron Australia, Holanda y Estados Unidos. En la muestra de Nuevo León (101 lecciones) el tiempo dedicado a la instrucción fue de 89% del tiempo de la lección, que lo ubicaría por debajo de los participantes de los participantes del estudio TIMSS 1999. Además, en 81.2% de esas clases se dedicó algún segmento a organizar la clase, estos segmentos duran en promedio 3.3% del tiempo de la lección. En 14% de las lecciones se presentan actividades que no se relacionan con la enseñanza o la organización de actividades, a los que se dedica un 3.3% del tiempo de esas lecciones. En el 19% de las lecciones la clase fue interrumpida por alguna fuente externa o se dedican a otras actividades, lo que representa un promedio en esas clase del 3% del tiempo. El tiempo dedicado a organizar la clase de matemáticas o a actividades que no se dedican ni a la enseñanza ni a la organización resultan de 8%, varias veces más frecuentes que los mostrados en las lecciones de TIMSS video 1999. Figura 2.
35 Tiempo dedicado a problemas en trabajo privado. Para el estudio TIMSS video 1999 la lección de matemática se entiende a partir de la centralidad de los procesos de formulación y solución de problemas, especialmente cuando se trabaja de manera privada. Por lo que se enfoca la atención al tiempo a distinguir como se usa el tiempo cuando los alumnos trabajan de manera individual o en pequeños grupos (trabajo privado). Especialmente si el tiempo se dedica a problemas o a otras actividades Las lecciones de matemáticas correspondientes a los países del estudio TIMSS obtuvieron resultados que van de Holanda, con el máximo tiempo dedicado a problemas, con 91% del tiempo, a Australia, que obtuvo el menor porcentaje de ese grupo con 81% del tiempo. El 75% de las lecciones de matemáticas de Nuevo León muestran segmentos centrados en problemas, que se lleva en total un 53% del tiempo. El resultado ubica a estas lecciones por debajo del mínimo de TIMSS video 1999. igura 3.
36 Problemas independientes, concurrentes y de sólo respuesta. Como la clase de matemáticas se caracteriza por el trabajo con problemas, en el estudio de TIMSS video 1999 (p.43) se plantea como uno de sus propósitos conocer cuál es la naturaleza de los problemas que se manejan en la lección de matemáticas. Se trató de precisar cómo el tipo de problemas planteados en clase se relaciona con la organización de la lección. Estos tipos de problemas son considerados sólo si los segmentos duran más de 45 segundos y fueron tratados de tres maneras diferentes de acuerdo con el rol que jugaron en la lección: 1) Problemas independientes. Se presentaron como problemas simples y que se trabajaron en tiempos claramente definidos. Son problemas que fueron tratados de manera pública o privada. 2) Problemas con solamente respuesta. En este caso se trata de problemas de los que solamente la solución es compartida. Generalmente se trata de problemas que fueron encargados como tarea previamente o como parte de un examen. 3) Problemas concurrentes, en los que se formulan varios problemas relacionados, en los que la solución de uno sirve para resolver el resto. En Japón, República Checa, Hong Kong y Estados Unidos la mayor parte del tiempo se dedicó a problemas independientes. En cambio, en Holanda, Australia y Suiza la mayor parte del tiempo se dedicó a problemas concurrentes. En los países participantes del estudio TIMSS video 1999 muy poco tiempo se dedica a problemas en los que solo se presenta solución, con esta forma de estrategia las lecciones de Estados Unidos obtienen 3%. No se identifican segmentos de tiempo con esta estrategia en Australia, la República Checa, Hong Kong o Japón. Los resultados de las lecciones en que se presentan segmentos de Nuevo León muestran que sobresale el tiempo dedicado a los problemas independientes con 71% del tiempo (en el 57% de las lecciones muestran segmentos dedicados a problemas independientes). Esto lo ubica por encima de los participantes en TIMSS. Los segmentos dedicados a problemas concurrentes en Nuevo León se presentan en el 10% de las lecciones y se llevan el 11% de las clases, en fuerte contraste con TIMSS. El tiempo dedicado a resolver solo problemas es mayor en Nuevo León de lo reportado en las lecciones de los participantes en el estudio TIMSS video, con un 10%. Los segmentos que muestran esta actividad se llevan el 18% del tiempo.
37 Figura 4.
38 Propósito de la lección. Los problemas de matemáticas junto con segmentos en donde no se trabaja con problemas, pueden ser empleados con diferentes finalidades (TIMSS video 1999, p.49). En general se consideran tres propósitos diferentes: 1) Revisión de contenido ya visto. El tiempo de la clase se dedicó al reforzamiento de contenido previamente visto, o algo que ya se aprendió en clases anteriores. 2) Práctica de nuevo contenido. En este tiempo de la lección se dedicó a practicar con contenido recientemente incorporado, o bien contenido nuevo introducido en la lección actual. 3) Introducción de nuevo contenido. Esta parte de la lección se dedicó a tratar contenido nuevo que no había sido trabajado en lecciones anteriores. En los países del TIMSS se distinguen dos grupos de resultados, según sea la mayor frecuencia en la formulación de propósitos de la lección. Entre los países que destacan por que en sus lecciones se trata de introducir contenido nuevo se encuentra la República Checa, Estados Unidos y Australia. Entre los países que destacan porque en sus lecciones se trata de practicar nuevo contenido destacan Japón, Hong Kong, Suiza y Holanda. Los resultados de Nuevo León muestran que en estas lecciones se dedica la mayor parte del tiempo a contenido nuevo con 57% del tiempo (segmentos con este tipo de práctica se presenta en el 46.5% de las lecciones), más que lo mostrado por los participantes del TIMSS. Introducir contenido nuevo se lleva el 15% del tiempo (en 43.5% de las lecciones), menos que lo mostrado por los participantes del TIMSS. La revisión de contenido ya visto se lleva el 28% del tiempo (en 53.4% de las lecciones), por encima de Japón y Hong Kong y por debajo del resto de los participantes del TIMSS video 1999. Figura 5.
39 Cambios en el propósito de la lección. El estudio TIMSS video 1999 considera su en la lecciones de matemáticas se hicieron actividades solamente de revisión de contenido ya visto o si la lección se dedica a varios propósitos, no sólo a revisar lo anterior sino a practicar con nuevos contenidos. Esta situación pedagógica, señala, podría aumentar o reducir las oportunidades del estudiante de tener más claras las temáticas nuevas que va a aprender (p.52). Las lecciones de Hong Kong mostraron el mayor promedio del estudio TIMSS, con una media de 3 cambios. En Japón y Holanda, en contraparte, solamente se presentó un cambio de propósito, mientras que en el resto de los países, se dio un promedio de 2 cambios por lección. Los resultados de los análisis de las lecciones de Nuevo León muestran que se presentaron en promedio dos cambios, que lo ubica en la media del grupo TIMSS. Los cambios en las lecciones fueron identificados en el 67.3% de las lecciones. Figura 6.
40 Tiempo en interacción pública, privada o el estudiante presenta información. Las oportunidades de aprendizaje pueden estructurarse para todo el grupo, que en la terminología del estudio TIMSS video 1999 se denomina “interacción pública”, para un alumno en particular o se les organiza para trabajar en pequeños grupo, a los que se le llama “interacción privada”, o si se abre la oportunidad para que los estudiantes tomen un rol activo y presenten información al resto. En las lecciones del estudio TIMSS video 1999 dominó la interacción pública en el tiempo de la lección, con la excepción de Holanda, en que denominó la interacción privada. El mayor tiempo de presentación de la información por parte de los estudiantes se dio en las lecciones de la República Checa. En las lecciones de Nuevo León se identificó en el 100% de las lecciones mayor tiempo a interacción pública 67%. En 89.1% de las lecciones se identificaron segmentos con interacción privada, que duran el 26% del tiempo de la lección. En ambas actividades dentro del rango del estudio TIMSS video 1999. En el 45.5% de las lecciones se identificó que el estudiante presenta información, con un promedio de 7% del tiempo de la lección. Figura 7.
41 Cambios de interacción Los cambios de interacción son los que los docentes propician en el ambiente de aprendizaje de los alumnos (TIMSS video 1999, p.53), ofreciendo diferentes clases de experiencias de aprendizaje a los estudiantes. Existen lecciones en donde los estudiantes pueden interactuar públicamente con el maestro en discusiones o con otros compañeros. La interacción puede darse también de manera privada cuando los estudiantes trabajan en pequeños grupos, por ejemplo. En una misma lección se pueden presentar segmentos con ambos tipos de interacción. Así como el maestro introduce cambios en el propósito de la lección, también ofrece al estudiante cambios en la forma de interactuar con la finalidad de ofrecer diversas experiencias de aprendizaje. En el estudio TIMSS 1999 las lecciones de Japón mostraron mayor promedio de cambios por lección de matemáticas, con 8 por lección. Por otra parte, en Holanda los cambios mostraron el menor promedio con 3 por lección. El número de cambios de interacción en las lecciones de Nuevo León es de tres, igual que Holanda, que es la que muestra menos cambios en las lecciones estudiadas por el TIMSS video 1999. Estos cambios se presentan en 97% de las lecciones. Figura 8.
42 Tipo de trabajo en interacción privada. Como ya se indicó, se entiende en el estudio TIMSS video 1999 como interacción privada a la oportunidad de aprendizaje en que se estructura la actividad para los alumnos en lo individual o para que interactúen en pare o en pequeños grupos. Por lo que es importante distinguir una modalidad de trabajo de la otra, considerando únicamente segmentos con interacción privada. En los países participantes en TIMSS domina el tiempo dedicado al trabajo individual, llegando a 95% del tiempo en interacción privada en Hong Kong. El mínimo lo obtuvieron las lecciones de Australia. En las lecciones de Nuevo León cuando se trabaja de manera privada casi es el mismo tiempo el que se dedica a trabajo individual (49% del tiempo en 72.2% de las lecciones) que el que se dedica a trabajo de pares o pequeños grupos (51% del tiempo en 52.4% de las lecciones), presentando un equilibrio que contrasta con los resultados de TIMSS video 1999. Se dedica menos tiempo al trabajo individual y mucho más al trabajo en grupo. Figura 9.
43 Tarea para la casa. El hecho de que el maestro decida o no encargar tarea para la casa, puede tener incidencia en la manera en cómo se organiza la clase. Por ejemplo, el maestro puede revisar la tarea en clase posibilitando que los estudiantes tengan retroalimentación sobre los temas (Reporte TIMSS video 1999, pp. 56-57), por lo que es tomado como un elemento para caracterizar a las lecciones. Del grupo de participantes de TIMSS las lecciones de la República Checa fueron las que mostraron más frecuencia en que se encarga tarea para la casa, con 78%. En contraste, en Japón, esta práctica es mucho menos frecuente, con apenas 36% de las lecciones en que realiza. En las lecciones de Nuevo León se encontró que en 37% de ellas se encarga tarea, que la ubica más o menos al mismo nivel de Japón, pero menos que el resto de las lecciones estudiadas en TIMSS video 1999.
Figura 10.
44 Problemas asignados como tarea para la casa. En las tareas encargadas para resolver en casa se considera el número de problemas por lección de matemáticas. En el grupo de países del TIMSS video 1999 el máximo número promedio de matemáticas a ser asignados como tareas lo obtiene Holanda, con diez. Japón no aparece. El número promedio de problemas que se encargan como tarea que resultó en Nuevo León de 3, dentro del rango de las lecciones de TIMSS video 1999 (el rango va de 1 a 20 problemas). Figura 11.
45 Problemas de tarea revisados o discutidos en la lección. Para precisar el rol de la tarea encargada para la casa, el estudio TIMSS video 1999 (p.58) registró el número de problemas revisados, corregidos o discutidos durante la clase. En Holanda más problemas en promedio fueron discutidos o corregidos durante la lección, con un promedio de doce. En contraste, en Japón, Hong Kong y República Checa prácticamente no se revisaron o se discutieron durante la clase problemas que se hayan encargado de tarea para la casa. En las lecciones de Nuevo León el promedio resultante es de dos problemas revisado o discutido en la lección, pero corresponde únicamente al 9.9% de las lecciones. Figura 12.
46 Planteamiento del propósito de la clase. Formular el propósito de la lección, se señala en el reporte de TIMSS video 1999 (p.59) permite considerar un aspecto de la enseñanza que permite a los estudiantes a encontrar más fácilmente los puntos clave de la lección de matemáticas. En el grupo de lecciones de los países participantes en el TIMSS el rango va de un mínimo que obtiene Holanda con un 21% de las lecciones a 91% de las lecciones que obtiene la República Checa. En 82% de las lecciones de Nuevo León los docentes formulan el propósito de la clase, que las ubicaría en segundo lugar entre los participantes del TIMSS, después de la República Checa.
Figura 13.
47 Resúmenes de la lección. Un apoyo adicional para que los estudiantes puedan reconocer las ideas claves de la lección, se relaciona con la elaboración de resúmenes de la clase (reporte TIMSS video 1999, p.60). Varios o un resumen de toda la lección se apreciaron en un porcentaje menor a la enunciación de propósitos. En Japón el 28% de las lecciones contenían resúmenes. Por otra parte, en Holanda no se registró la elaboración de resumen alguno en el transcurso de la lección. En el 36% de las lecciones de Nuevo León registró la elaboración de por lo menos un resumen de la clase, una tasa mayor, por mucho, que las lecciones del TIMSS 1999. Figura 14.
48 Interrupciones externas a la clase. Al contrario del efecto esperado por la formulación de los objetivos o la elaboración de resúmenes de clase, las interrupciones externas a la clase, pueden romper con la secuencia o el flujo de las dinámicas de aprendizaje y enseñanza (Reporte TIMSS video 1999, p.61). Las interrupciones externas pueden ser anuncios públicos para los alumnos, la búsqueda de personas, el que el maestro sea requerido por alguna cuestión, etc. son ejemplos de interrupciones externas. En el grupo de lecciones de TIMSS video 1999 las interrupciones externas ocurren en aproximadamente en un tercio de las lecciones de matemáticas en Holanda, en al menos una ocasión. En Japón ocurrieron el menor número de interrupciones (9%). En Nuevo León se presentaron interrupciones en el 29% de las lecciones, que lo ubicaría en el mismo nivel que las lecciones de Estados Unidos, entre los participantes del grupo de TIMSS video 1999. Figura 15.
49
Actividades no relacionadas con las matemáticas. Además de las interrupciones se pueden presentar en clase otras actividades que implique ausencia de oportunidades para aprender matemáticas. Se trata de lapsos en los que se desarrollan otro tipo de actividades, sobre todo cuando la actividad matemática ya comenzó. Una actividad no relacionada con las matemáticas se da cuando al menos por 30 segundos se desarrolla una actividad que no se relaciona con la enseñanza y el aprendizaje de matemáticas. Las actividades no relacionadas con las matemáticas se encuentran dentro de la lección de matemáticas cuando la lección ha comenzado. No se consideran tales actividades no relacionadas con las matemáticas las que se hacen al principio o al final de la lección. Se trata más bien de actividades que interrumpen el flujo de la clase ya comenzada (Reporte TIMSS video 1999, p. 62). Este tipo de actividades se dio en mayor grado en Holanda con 23%. En Japón no se registraron actividades de este tipo. En un 33% de las lecciones de matemáticas de Nuevo León se presenta al menos un segmento con actividad no relacionada con las matemáticas. Este porcentaje es mayor que las de los participantes en el estudio TIMSS video 1995. Usualmente pueden ser cantos, narrar de manera cómica, realizar juegos motivadores (no relacionados con el tema) o situaciones creadas por indisciplina. Figura 16.
50 Anuncios públicos no relacionados con las actividades matemáticas en desarrollo. Existen otras formas en las que el maestro puede interrumpir la dinámica de la lección de matemáticas (TIMSS video 1999, p. 63) y esta puede darse cuando los alumnos están trabajando de manera privada. La interrupción puede darse mediante anuncios sobre otras actividades o hechos no relacionados con la actividad matemática. Holanda sobresale entre los países participantes en el que se registraron más interrupciones debidas a anuncios no relacionados con actividades matemáticas. Este tipo de situaciones se dio en menor grado en la República Checa. En el caso de Nuevo León un 29% de las lecciones mostraron segmentos de anuncios públicos no relacionado con actividades para aprender matemáticas. Después de Holanda se ocuparía el segundo lugar por tasa de frecuencia en las lecciones de TIMSS video 1999. Figura 17.
51 Temas de matemáticas. En el estudio TIMSS video 1999 (p.68) fueron seleccionadas las temáticas de la lección de matemáticas, a partir de la muestra de lecciones de los países participantes. Los temas se dividieron en 5 categorías: 1) Número. Números, fracciones, decimales, porcentajes, proporciones, etc.; 2) Geometría. Medidas (áreas y perímetros), Geometría plana, Geometría de tres dimensiones (volúmenes); 3) Estadística. Representación de datos, gráficos, probabilidad; 4) Álgebra. Ecuaciones lineales, igualdades y desigualdades, ecuaciones cuadráticas o de más grado, etc. Los temas de geometría prevalecieron más en Japón que en cualquier otro país participante. Temas relacionados con álgebra estuvieron presentes en la República Checa, Hong Kong, Holanda y Estados Unidos. En las lecciones de matemáticas de Nuevo León encontramos tres temas dominantes: geometría, al que 48% de las lecciones se dedican (segundo después que Japón, en la comparación con las lecciones con TIMSS), números, al que se dedica 42% de las lecciones (igual que Suiza, que es el que dedica mayor porcentaje a este tema en el grupo TIMSS) y 6% a estadística (igual que el porcentaje obtenido por las lecciones de Estados Unidos). Figura 18.
52 Nivel de complejidad. Generalmente en el currículum de estudios oficial, los temas se van ordenando de acuerdo con su complejidad. Los temas elementales que sirven para comprender otros se ponen antes. La comprensión de un tema es necesaria para entender otro que sigue más adelante (Reporte TIMSS video 1999, pp. 69-70). La complejidad de las matemáticas en este estudio, depende de muchos factores, entre otros la capacidad de los estudiantes y su experiencia en la temática. Una tipo de complejidad que puede medirse independientemente de las características de los estudiantes, se trata de la complejidad del procedimiento, o el número de pasos que se requiere para resolver un problema. En el estudio de TIMSS video 1999 se desarrolló un esquema para tratar de apreciar este tipo de complejidad: 1) Baja complejidad. Se emplean procedimientos convencionales. El estudiante no necesita de detenerse en muchos pasos o decisiones. No contiene sub-problemas. 2) Complejidad media. Se emplean procedimientos convencionales, pero se necesitan más de cuatro pasos o decisiones para que el estudiante resuelva el problema. Es posible que al menos tenga un sub-problema. 3) Alta complejidad. Se emplean procedimientos convencionales, se requieren más de cuatro pasos o decisiones y contiene más de un sub-problema. En Australia alrededor de las tres cuartas partes de las lecciones de matemáticas se manejaron problemas de baja complejidad. En los países TIMSS dominan la baja complejidad. Una excepción es Japón, cuyo porcentaje es más alto en problemas de complejidad media e incluso problemas de complejidad alta. En las lecciones de Nuevo León dominan (94%) los problemas de baja complejidad, en mayor porcentaje que las de cualquiera del TIMSS. Es necesario recordar que todas las lecciones corresponden al nivel de primaria, mientras que las de aquel estudio a secundaria. Únicamente el 1% de los problemas fueron identificados como de alta complejidad, menos que los resultados obtenidos por los participantes de TIMSS. Figura 19.
53 Pruebas de los problemas. Aspectos que tienen que ver con la resolución de problemas hacen de las matemáticas, un área distintiva de las demás ciencias (Reporte TIMSS video 1999, p.73). Uno de los aspectos que caracteriza a las clases de matemáticas es el razonamiento adicional que debe hacerse, llamado “prueba” de la solución del problema. Una prueba en matemáticas es algo más que enumerar casos, se trata más de una demostración que implica probar la validez de todos los casos. Las pruebas “demostrativas” de este tipo implican procedimientos deductivos. En este estudio, se clasifica como prueba de este tipo, cuando el maestro o el alumno verifican el procedimiento y el resultado de un problema. En el caso de Japón el 26% de los problemas de las lecciones de matemáticas contuvieron “pruebas” de este tipo, mientras que en el resto de los países de esta muestra tasas muy bajas, llegando a no detectarse en Australia, Holanda y Estados Unidos. En las lecciones de Nuevo León se formularon 1274 problemas en total. Sólo en 158 (12%) problemas incluyeron prueba. La realización de pruebas como actividad específica se ubicaría en el segundo nivel por su frecuencia en las lecciones de TIMSS video 1999, después de Japón. Figura 20.
54 El 38% de las lecciones en Japón contienen al menos una prueba de las soluciones de los problemas de matemáticas. De igual manera que en la anterior caracterización de las lecciones por porcentaje de problemas que incluyen pruebas, no se detecta en Australia, Holanda y estados Unidos. En las lecciones de Nuevo León el 38% de las lecciones presentaron segmentos en que se incluía al menos una prueba, lo que lo ubicaría en segundo lugar en comparación con TIMSS. Figura 21.
55 Relación entre problemas matemáticos. Existen diversos factores que afectan el desarrollo de la lección en matemáticas. Como se ha visto, las interrupciones de diferentes tipos, por ejemplo, afectan la fluidez de la lección. Otro tipo de factores también puede influir en este flujo y puede residir en el propio contenido de la lección. Entre ellos destaca el contenido que se desarrolla mediante el planteamiento de problemas a través de la lección o de la secuencia de lecciones sobre un tema. La forma en que este tipo de seguimiento en el planteamiento de los problemas puede influir en el desarrollo mismo de la lección, porque puede darle coherencia y claridad. En este punto se observa dentro de la lección como se relacionaron los problemas entre sí. En el reporte TIMSS video 1999 (p. 76) los aspectos a considerar para caracterizar a la lección fueron los siguientes: 1) Repetición. El problema planteado fue el mismo o semejante en su mayor parte. Se entiende que es un tipo de repetición del problema. Para resolverse requiere de las mismas operaciones, en lo fundamental. 2) Matemáticamente relacionado. Se relacionó al problema con otro precedente, enfatizando el aspecto matemático. Para resolverse requiere de operaciones adicionales, resaltando algunas operaciones del problema previo o bien resolviendo el problema de manera diferente al anterior. 3) Temáticamente relacionado. El problema planteado se relacionó con el anterior pero solamente desde el punto de vista de que tratan sobre el mismo tema o un tema similar. Puede ser también que se relaciona con temas de la vida cotidiana. 4) No relacionado. El problema planteado no se relacionó con el anterior. Requirió de operaciones nuevas y un replanteamiento. En la generalidad de los países participantes los problemas planteados en la lección fueron una repetición de problemas previos ya planteados. Este proceso es más notorio en Australia y Suiza. En menor grado, pero también con porcentajes importantes por lección, el resto de los países tiene en su mayoría lecciones que se caracterizaron por llevar a cabo este mismo proceso para resolver problemas. Japón es la excepción respecto a los países participantes en el TIMSS video 1999 ya que se registraron más lecciones en las que problemas planteados se relacionaron matemáticamente con otros previamente planteados. En las lecciones de Nuevo León (sólo en 96% de ellas fue posible identificar este aspecto) la repetición de los problemas con los previos es el patrón dominante (79%), con una tasa de frecuencia igual al de Hong Kong entre los que participan en el estudio TIMSS video 1999. Los problemas matemáticamente relacionados casi no aparecen (4%). En las lecciones de los países participantes en el TIMSS ocupan el segundo lugar (en Japón el tercer lugar).
56 Figura 22.
57 Contexto del problema. En este punto se observa si los problemas presentados se relacionan con la vida real o bien se usó solamente lenguaje matemático apoyado en símbolos matemáticos. En el reporte de TIMSS video 1999 (p.84) se menciona que si existe una relación apropiada entre el problema y la vida real, pueden distraer a los estudiantes de ideas y relaciones dentro de las matemáticas. Pero también presenta la opinión contraria que sostiene que tales conexiones con la vida real por parte de los problemas de matemáticas le dan relevancia y utilidad al conocimiento matemático, despertando interés de los estudiantes. Dependiendo de la posición que se tome, pueden interpretarse los siguientes resultados. En la mayor parte de las lecciones de los países participantes en el estudio TIMSS video 199 son predominantes las lecciones en que se usan lenguaje y símbolos únicamente. Sólo en Japón es más frecuente la conexión con la vida cotidiana, aunque con una frecuencia semejante (42% en comparación a 40%) a las lecciones en que se trabaja únicamente con símbolos. En el caso de las lecciones de Nuevo León predominan los problemas con base en su contextualización en la vida cotidiana, en un patrón semejante al mostrado por los participantes del estudio TIMSS video 1999, con la excepción de Holanda. Figura 23.
58 Representaciones. Un aspecto a considerar en las lecciones de matemáticas es la manera como se representa la información matemática contenida en los problemas, los que pueden contener números o bien otros símbolos convencionales. Aunque también en ocasiones pueden incluir dibujos o diagramas, tablas o gráficos (Reporte TIMSS video 1999, p. 86). Los diagramas que se incluyeron en registro contenían los elementos necesarios para resolver el problema, no así aquellos a los que les faltaba esta información (como fotos o ilustraciones). Las gráficas que se registraron como tales contuvieron despliegues de información tales como barras o líneas. Las tablas se definieron a partir de los conjuntos de números, signos o palabras que mostraron relaciones de manera comprensiva. En Japón hasta un 83% de las lecciones contuvieron problemas con dibujos o diagramas (es necesario recordar que la mayor parte de las lecciones de ese país giró en torno a temas de geometría). Las lecciones de la República Checa es la que obtuvo la menor tasa de dibujos o diagramas en los países del estudio TIMSS video 1999, aunque predominan sobre las tablas y las gráficas. En Nuevo León se usan diagramas o dibujos en 37% de los problemas (se ocuparía el segundo lugar en TIMSS, después de Japón) en el 6% se usan tablas (igual que la República Checa, el más bajo de TIMSS) y 1% gráficas (menos que los participantes del TIMSS). Figura 24.
59 Material físico o instrumentos aplicados a matemáticas. El papel de los materiales físicos o instrumentos es frecuente en las lecciones de matemáticas. Algunos se usan por los maestros para ilustrar relaciones entre objetos matemáticos o como instrumentos para medir diversos tipos de cantidades (por ejemplo los tangramas). En el reporte de TIMSS video 1999 (p. 87) se afirma que es importante considerarlos para entender la dinámica pedagógica de las lecciones. Los materiales físicos que se registraron incluyeron reglas, compases (en general juego geométrico) por una parte y por otra tangramas, bloques, etc. También, figuras geométricas, como sólidos y material para cortar. El uso de estos materiales solamente se registra cuando apoyan en la resolución de problemas, no usos de otro tipo como por ejemplo subrayar en el pizarrón una palabra con una regla). En el grupo de participantes en TIMSS 1999 Japón se detectó el mayor uso de este tipo de materiales en poco más de un tercio de los problemas de las lecciones. El menor uso en ese grupo lo representa Holanda, con apenas un 3% de los problemas en que se usa el material físico o instrumentos en la enseñanza de las matemáticas. Los docentes participantes en las lecciones de matemáticas de Nuevo León usan material físico o instrumentos en un 3% de los problemas de matemáticas que enseñan en la muestra de lecciones de nuestro estudio, un semejante a Holanda, el más bajo del grupo TIMSS. Figura 25.
60 Material físico o instrumentos aplicados a problemas de geometría. En el estudio de TIMSS video 1999 (p.88) se hizo un análisis focalizado al uso de materiales físicos instrumentos en la enseñanza de la geometría, específicamente en la enseñanza de los planos. Se trató de una muestra pequeña, por lo que TIMSS video 1999 recomienda tener precaución en la interpretación de los resultados. Con estos parámetros se puede ver que en casi la mitad de las lecciones de Suiza que tratan los planos se usan los materiales físicos o instrumentos, mientras que Estados Unidos no mostró uso de los mismos. En la muestra de lecciones de Nuevo León el 15% de los problemas se usaron instrumentos para afrontar problemas formulados. Se ubicaría dentro del rango del estudio TIMSS video 1999, entre las lecciones que muestran mayor uso (Suiza, la República Checa y Japón) y los de menor uso (Holanda, Australia y Hong Kong). Figura 26.
61 Aplicaciones. Las aplicaciones consisten en la solución de problemas semejantes a uno ya solucionado, empleando el mismo procedimiento. También puede consistir en que resuelva un problema que corresponda a un contexto diferente a los ya solucionados. Las aplicaciones son referencias concretas de la forma de aprender a resolver un problema al cambiarlo de contexto. En este sentido, más que manejo de símbolos, emplean gráficos, diagramas e incluso descripciones verbales. El reporte de resultados de TIMSS video 1999 (p. 90) resalta la importancia de las aplicaciones debido a que los estudiantes se ven en la necesidad de tomar decisiones sobre la forma de resolver este tipo de problemas. Este tipo de aplicaciones es más exigente para los estudiantes, desde el punto de vista conceptual, que los ejercicios basados en meras repeticiones de problemas. En los países participantes en el estudio TIMSS, las lecciones de Japón son las que involucran más aplicaciones, con casi tres cuartas partes de ellas con segmentos en las que se presentan esos procesos. En Estados Unidos se obtuvo la menor frecuencia de lecciones con aplicaciones dentro de los participantes en ese estudio, llegando apoco más de un tercio de las lecciones. En Nuevo León el 45% de los problemas involucran aplicaciones, un porcentaje que ubica a estas lecciones dentro del rango de los participantes en el estudio TIMSS video 1999.
Figura 27.
62 Soluciones presentadas públicamente. De acuerdo al estudio TIMSS video 1999 (p.91) la noción de soluciones presentadas públicamente consiste en solicitar a los estudiantes que sus respuestas a los problemas sean presentados al resto del grupo. La magnitud del trabajo matemático que los estudiantes llevan a cabo, puede medirse contrastando el trabajo público del privado que ellos realizaron al resolver los problemas planteados. La presentación de los resultados para toda la clase posiblemente ofrece más posibilidades de que los alumnos hayan estado trabajando con los mismos problemas y que entonces se puede discutir públicamente este problema. Por el contrario cuando el problema y su solución no son presentados públicamente entonces se elimina la posibilidad de la discusión pública y permanece solamente en el ámbito de lo privado de los alumnos. En la generalidad de los países se presentaron públicamente en mayor porcentaje las soluciones a problemas independientes. En la República Checa en poco más de tres cuartos de las lecciones de matemáticas se presentaron públicamente las soluciones a problemas concurrentes. En este último tipo de problemas, Japón y Hong Kong, tienen también un porcentaje importante (61% del total). Hacia el interior de cada país participante, resalta Holanda con un contraste importante entre el trabajo de los dos tipos de problemas. En las lecciones de Nuevo León los problemas concurrentes no llegan al 1%, muy por debajo de lo mostrado por las lecciones TIMSS. La forma principal de presentación es la de problemas independientes, con 73%. Es decir, las soluciones no se contrastan ni se discuten las razones para obtener diversos resultados o la aplicación de diversas formas de solucionarlos. Figura 28.
63 Métodos alternativos. Un modelo general de enseñanza de las matemáticas consiste en que el maestro muestra a los alumnos el método o procedimiento para resolver los problemas y después les pide a los alumnos que hagan prácticas con esto con problemas y métodos similares. Sin embargo se conoce que los alumnos pueden aprender más si se los docentes les ofrecen opciones para buscar su mejor método de solución. Los métodos de solución se pueden presentar por escrito o de manera verbal; ser presentados solamente por los maestros, en combinación con los alumnos o solamente los alumnos. En el grupo de países participantes en el TIMSS video 1999 las lecciones de Japón mostraron más situaciones en donde se involucraron métodos alternativos para la solución del problema (42%). La menor frecuencia en ese grupo lo obtienen las lecciones de la República Checa, con un 16%. En el caso de las lecciones de Nuevo León en el 13% de las mismas se identificaron segmentos de lecciones en que los docentes planteaban opciones para solucionar problemas. Figura 29.
64 Si en vez del porcentaje de lecciones se considera el porcentaje de problemas se obtienen los siguientes resultados. En promedio, en Japón, 17% de los problemas se presentaron por los docentes con opciones para su solución. Las lecciones de Australia tuvieron la menor tasa con 2% de los problemas formulados de manera que se ofreciera más de una solución. En las lecciones de Nuevo León un 4% de los problemas de las lecciones fueron presentados de manera que se ofrecían al menos un problema con más de una solución. Lo que ubica a las lecciones de Nuevo León al nivel que mostraron Hong Kong y Suiza en el estudio TIMSS video 1999. Figura 30.
65 Los estudiantes con la opción de manejar métodos alternativos de solución. Los maestros pueden ofrecer a los alumnos un cierto margen para que se ocupen de resolver los problemas por sí mismos o bien pueden darles un método y pedirles que lo sigan para futuros problemas similares. En el estudio de TIMSS video 1999 se registró el manejo de métodos alternativos de solución (p. 94) cuando el maestro explícitamente decir a los estudiantes que usen un método propio para resolver el problema o bien se les pidió a los estudiantes que escogieran de entre dos o más métodos alternativos presentados antes. Esta última opción también debe ser manejada explícitamente. Es importante notar que no se registraron las situaciones en que los alumnos trabajan con métodos alternativos, sin que se haya manejado explícitamente. En las lecciones de Estados Unidos hasta en el 45% de las lecciones de matemáticas, los estudiantes manejaron métodos alternativos para encontrar la solución al problema planteado. El porcentaje resulta importante también para Japón, en el cual se registraron situaciones como esta en poco menos del tercio de sus clases. En Holanda no hubo registros de este tipo. En Nuevo León en el 12% de las lecciones los estudiantes manejaron métodos alternativos, por debajo de lo mostrado en las lecciones de los participantes en el estudio TIMSS 1999, con la excepción de Holanda. Figura 31.
66 El porcentaje de problemas de este tipo en las lecciones de matemáticas en general en los países, es bajo. Es de resaltar el caso de Japón con un 15% de los problemas en total que se manejaron en las clases de matemáticas. En Holanda no se registraron lecciones con estas características. En las lecciones de matemáticas de Nuevo León en 4% de los problemas de las lecciones de matemáticas los alumnos tuvieron la opción de escoger entre más de un método de solución, el mismo nivel que la República Checa en el estudio TIMSS video 1999. Figura 32.
67 Participación de los estudiantes en el método de examen de problemas. En el estudio TIMSS video se trató de identificar la ocurrencia de un método al que denominaron “examen de problemas”, que requiere de cuatro condiciones: a) los alumnos tienen opción de solución de problemas. b) los diversos métodos de solución de problemas se presentan de manera pública. c) Al menos uno de los métodos de solución se presenta por un estudiante. d) se formula una crítica o análisis de un método particular o se comparan los métodos de solución. En el reporte de TIMSS video 1999 (p.95) se indica que no es muy claro si los estudiantes fueron involucrados en este tipo de método. Se explica que los datos parecen no ser congruentes por el comportamiento “raro” de los porcentajes por lección y del número de problemas por lección que fueron examinados. Con estas consideraciones, en Japón se examinaron los problemas por parte de los estudiantes en hasta un 24% de las lecciones de matemáticas. En cambio en Holanda no se registra ningún caso. En Nuevo León únicamente se detectó una lección en que se empleó el método de examinar el problema. Figura 33.
68 A nivel del porcentaje de problemas, corresponde a Japón la mayor tasa en el grupo de participantes en el estudio TIMSS video 1999. Ni en la República Checa ni en Holanda se reporta ningún registro. En las lecciones de Nuevo León se registraron 3 problemas en que se emplearon el método de examen buscado por TIMSS video 1999 (0.24%). Figura 34.
69 Resumen del problema. El docente tiene la posibilidad en su gestión pedagógica de hacer un resumen de los pasos y de cómo se resolvió un problema planteado (Reporte TIMSS video 1999, p. 96). Este proceso brinda la oportunidad a los estudiantes de repasar las etapas y procedimientos para resolver el problema. Se registró como opción de este tipo cuando el maestro incluyó en el resumen la mayoría de los pasos que llevaron a la solución o hizo una revisión crítica de las reglas matemáticas del problema. En los países participantes en TIMSS video 1999 las lecciones de Japón son las que muestran mayor ocurrencia de resúmenes, mientras que las de Estados Unidos la menor. En las lecciones de Nuevo León el 9% de los problemas fueron tratados de manera que los docentes resumieron la secuencia de etapas seguidas para su solución. Este tipo de eventos se presentó en 47.5% de las lecciones. Con ello se ubicaría en el nivel de las lecciones de Australia, dentro del rango del TIMSS. Figura 35.
70 Tipos de problemas matemáticos. En la formulación de problemas de matemáticas se clasificaron en tres tipos (Reporte TIMSS video 1999, p. 99). Estos fueron: 1) Uso de procedimientos. El problema enunciado fue resuelto aplicando un procedimiento de un conjunto de procedimientos. 2) Enunciación de conceptos. Los problemas enunciados fueron nombrados por convención matemática o como un ejemplo de con concepto matemático. 3) Elaborar o hacer conexiones. Los problemas enunciados implicó la construcción de relaciones entre las ideas matemáticas, hechos o procedimientos. Por ejemplo resolver ecuaciones, fracciones, decimales, manipular símbolos algebraicos, simplificar expresiones, resolver ecuaciones, encontrar áreas o perímetros. La estrategia de análisis aplicada en TIMSS consideró que estas opciones eran mutuamente excluyentes. En nuestro estudio encontramos que en muchos de los mismos problemas podían usarse procedimientos y elaborar conexiones, al mismo tiempo, por lo que no las consideramos excluyentes. Sin embargo para darles un tratamiento semejante a TIMSS se han sumado las tres opciones y se ha visto cual es el porcentaje que le corresponde a cada quien. En los países participantes en TIMSS video 1999 las lecciones de Japón fueron las que demostraron predominancia de las conexiones en los procesos de solución de los problemas. En el resto de los países se siguen procedimientos básicamente (en Japón la relación es 51% a 41%). En las lecciones de Suiza no se registraron lecciones bajo estas categorías. En las lecciones de Nuevo León se trataron 41% de problemas en que se siguen procedimientos, en 50% de los problemas se elaboran o hacen conexiones y en 9% de los problemas se enuncian conceptos. Figura 36.
71 Procedimientos matemáticos cuando se solucionan problemas. En la caracterización de los problemas formulados en las lecciones de matemáticas se identificó (Reporte TIMSS video 1999 p. 103) si se enfatizaban sólo soluciones, se usaron fundamentalmente procedimientos, se identificaban conceptos o se realizaban conexiones. Como se hace notar en el reporte, no siempre fue posible notar que esos procesos se aplicaron durante la lección de matemáticas (datos de la figura 5.9, p. 101). En los problemas de las lecciones del grupo de países participantes en TIMSS video 1999 la tasa más alta de uso de procedimientos correspondió a Estados Unidos y la más baja a Japón. En cambio en Japón se obtuvo la mayor tasa relativa de conexiones y la identificación de conceptos. Los problemas de las lecciones de Australia mostraron la mayor tasa en la presentación de soluciones, mientras que Japón mostró la tasa menor. En los procedimientos aplicados para la solución de problemas en las lecciones de Nuevo León no consideramos excluyentes las opciones, pero para tener un marco de comparación con TIMSS se les sumó y se identifica el porcentaje que le correspondería. De cualquier forma se identifica el porcentaje de cada opción respecto al total de problemas formulados. Los problemas en los que se presentan solo soluciones representan el 11% respecto al total de soluciones (igual que Holanda), donde en su solución se usan procedimientos son 43% (ocuparía el tercer lugar en TIMSS), los que se solucionan con identificación de conceptos o definiciones serían el 13% (más que EEUUU pero menos que el resto de TIMSS) y un 33% a los que se aplican conexiones, por ejemplo, relaciones o razonamiento matemático), más que los participantes de TIMSS. Figura 37.
72 Trabajo privado. Además del trabajo público (ante todo el grupo) llevado a cabo en las lecciones de matemáticas, se registraron tiempos y actividades relacionadas con el trabajo privado (individual o en pequeños grupos (Reporte TIMSS video 1999, p. 104). Durante el trabajo privado, se pudo registrar dos tipos de actividades: 1) Repetir procedimientos que han sido demostrados antes (usualmente de manera pública) o que se han aprendido en lecciones anteriores. 2) Hacer algo más que repetir los procedimientos, como desarrollar otros nuevos o bien modificar otros que ya se han aprendido. Existieron amplias diferencias hacia el interior de países participantes en el estudio TIMSS video 1999, como República Checa, Estados Unidos, Holanda, Hong Kong, entre el porcentaje dedicado a repetir los procedimientos demostrados y el “hacer algo más” que repetir lo aprendido. En contraste, en Japón los datos se invierten. En el 65% de las clases de ese país contuvo trabajo privado con actividades nuevas o de búsqueda de nuevos procedimientos. En las lecciones de Nuevo León se identificaron 785 problemas para ser trabajados de manera privada en el 93% de las lecciones. Un 73% de los problemas se formulan para repetir los procedimientos que han sido formulados y en 1% se hace algo diferente. Un 26% de los procedimientos no fueron considerados en algunas de estas categorías. Figura 38.
73 Segmentos de lección dedicados a actividades no relacionadas con problemas matemáticos. La estrategia de análisis aplicada en el estudio TIMSS video 1999 asume que la mayor parte del tiempo de la lección de matemáticas se emplea en la presentación y el trabajo con problemas. Sin embargo se reconoce que existen actividades dentro de la clase que no necesariamente están relacionadas con temas matemáticos (Reporte TIMSS video 1999, p.106). Estas actividades no matemáticas fueron consideradas en 4 categorías: 1) Información matemática. Se presenta y se discute el nuevo material que se manejará en clase o incluso material previamente visto. 2) Información contextual. Se presentan y explican los objetivos de la lección. Este tiempo puede ser dedicado también a hacer una descripción histórica o a poner ejemplos de la vida real. 3) Actividad matemática. Se trata de poner juegos o completar otras tareas no directamente relacionadas con algún problema matemático. 4) Anuncios. Por ejemplo se anuncia la tarea, se habla de un próximo examen, etc. En las lecciones de los países participantes en el TIMSS video 1999 el tiempo de la lección en la que no se relaciona con problemas se dedica a información relacionada con la misma materia, especialmente en Japón. Las excepciones son la República Checa y Suiza. Le siguen en porcentaje del tiempo los segmentos dedicados a información del contexto (dominante tanto en la República Checa como en Suiza), anuncios y segmentos dedicados a actividades prácticas. En el caso de las lecciones de Nuevo León la mayor parte de las lecciones con segmentos en que no se presentan problemas de matemáticas los segmentos se dedican a presentar información sobre el contexto. Las lecciones de matemáticas con segmentos de anuncios son incluso más que las de Estados Unidos, el más alto del grupo TIMSS video 1999. Figura 39.
74 Recursos usados durante la lección. En el reporte de TIMSS video 1999 (p. 113) se distinguen los siguientes recursos didácticos: 1) Pizarrón. Incluye el pizarrón tradicional como los pizarrones blancos. 2) Proyector. Abarca el proyector, video y proyectores de computadoras. 3) Libros de texto / hojas de trabajo. Incluye libros de texto, hojas de revistas, hojas de trabajo, hojas de estudio, etc. 4) Material especial para matemáticas. Abarca materiales tales como papel para hacer gráficas, tablas, sólidos geométricos, reglas, cinta para medir, compases (juego geométrico) e incluso software que apoye el desarrollo de modelos en las computadoras. 5) Material objeto. Forman parte de esta categoría objetos como los dados, mondadientes, mapas, periódicos o revistas, frijoles, etc. 6) Calculadoras. Se encuentran en esta categoría las calculadoras tradicionales y las que tienen la propiedad de elaborar gráficos. En los países participantes en el estudio TIMSS video 1999 dominan las lecciones en las que se usa la pizarra, los libros de texto/hojas y el material matemático especial. En el caso de Estados Unidos, Suiza y Australia se observa uso de proyectores. En el caso de las lecciones de Nuevo León el pizarrón es el recurso dominante, seguida de libro de texto/hojas, material objeto, al nivel de lo mostrado por las lecciones de TIMSS. El material matemático especial muestra menos uso. En contraparte, el material objeto es más usado en Nuevo León. Figura 40.
75 En cuanto al empleo de calculadoras, en Holanda fue muy frecuente el uso de este recurso en las lecciones de matemáticas (se registró hasta en un 91% de las clases). En Suiza y Australia se detectó también que la calculadora se empleó en más de la mitad de las lecciones de matemáticas. En Japón, según TIMSS video 1999 (p. 115) se detectaron tan pocos casos que no se reportó el dato. En las lecciones de Nuevo León el empleo de las calculadoras se registró en el 9% de las lecciones de matemáticas. Figura 41.
76 Participación en la lección del docente o de los alumnos. La participación por docentes o alumnos en la lección fue medida en TIMSS en número de palabras expresadas (Reporte TIMSS video 1999, p.109), ya sea por maestros o alumnos. En todos los casos dominan los docentes, en las siguientes relaciones: Australia 6.83 veces, República Checa 6.61 veces, Hong Kong 9.05 veces, Japón 6.72 veces, Holanda 5.29 veces y Estados Unidos 5.79 veces. Figura 42.
En las lecciones de Nuevo León no hemos contado las palabras del docente o de los alumnos sino que hemos contado el tiempo en que participan el o la docente y los alumnos. La media de porcentaje de tiempo de la lección en que hablan los docentes es de 55.09% (desviación típica de 19.18). En cambio los alumnos (que no participan en 4 de las 101 lecciones) hablan una media de 7.12% del tiempo de la lección. Esta es una relación de 7.8 veces más, lo que ubicaría a las lecciones de Nuevo León con un nivel de participación de los alumnos en el rango de las lecciones TIMSS. Figura 43.
77 B. COMPARACIÓN CON LAS LECCIONES DE NUEVO LEÓN CON LAS DE TIMSS VIDEO 1995. En esta sección se presentan los resultados comparativos de las lecciones de matemáticas de Nuevo León con los resultados del estudio TIMSS video 1995, en el que participaron Japón, Estados Unidos y Alemania. Debe hacerse notar que la estrategia y criterios de análisis aplicados en el estudio TIMSS 1995 son diferentes a los del estudio TIMSS 1999. Tamaño de la Muestra. El estudio TIMSS video 19956 consistió en comparar las acciones pedagógicas de los docentes en el octavo grado de escuelas participantes en el estudio TIMSS. Se diseñó un muestreo aleatorio con una cuota de 100 escuelas por cada país participante. Sin embargo únicamente Alemania cumplió con la cuota. Los investigadores del estudio señalaron que la muestra de Japón a pesar de ser la mitad de lecciones que lo que inicialmente se había propuesta sería suficiente por la gran homogeneidad del país. Tabla 60. TIMSS VIDEO 1995 País
Alemania Estados Unidos Japón Total
Número de lecciones de matemáticas registradas en video 100 81 50 231
Como ya se indicó, la muestra de Nuevo León consiste en 101 lecciones de sexto grado, de escuelas participantes en el estudio SERCE.
6
Stigler, J. W., et al., 1999, The TIMSS Videotape Classroom Study: Methods and Findings from an Exploratory Research Project on Eight.Grade Mathematics Instruction in Germany, Japan, and the United States, NCES, Washington, D.C. Los datos citados en esta sección corresponden a este reporte.
78 Tiempo por modalidad de trabajo docente. En el estudio TIMSS video 1995 se distinguen tres modalidades de estrategias docentes: 1) Trabajo para todo el grupo, en la que el docente explica, presenta o desarrolla alguna actividad dirigida a todos los alumnos. 2) Trabajo de manera individual que cada estudiante desarrolla en su mesa. 3) Trabajo combinado, en la que se presentan segmentos dirigidos a todo el grupo, como otros segmentos en que el docente organiza a los alumnos para trabajar en su mesa. En los países participantes en el estudio TIMSS video 1995 dominó el trabajo para todo el grupo, con una mayor proporción del tiempo en las lecciones de Alemania. En este grupo de países Japón obtuvo la tasa más alta de trabajo individual. En este estudio las lecciones son clasificadas como pertenecientes a un tipo o a otro. En las lecciones de Nuevo León encontramos que en el 98% de las lecciones se ofrece trabajo general para todo el grupo y en 78% de las lecciones se organiza la clase para que se trabaje en el mesabanco. En el porcentaje de tiempo (considerando todas las lecciones) dedicado a cada modalidad de trabajo queda el 45% del tiempo dedicado a trabajo en general para todo el grupo y 55% del tiempo dedicado a mesabanco. Figura 44.
79 Si se considera 煤nicamente el tiempo de trabajo privado (en mesabanco), observamos que en las lecciones de Nuevo Le贸n el 55% del tiempo se emplea de manera individual, 41% a trabajo en mesa organizados en grupos o equipos y un 4% del tiempo a estrategias combinadas. Figura 45.
80 Metas de la lección para el maestro. El contenido de la lección videograbada fue calificada de acuerdo a una escala en la que el primer nivel consiste en que toda la lección tiene contendido nuevo a todo el contenido de la lección consiste en revisión. En el grupo de lecciones del estudio TIMSS 1995 obtiene mayor frecuencia en que la mayor parte del contenido es nuevo o es mitad y mitad. Alemania, obtuvo mayor frecuencia en todo es nuevo y en la mayor parte es revisión. Estados Unidos en la categoría de todo es revisión. La mayor parte de las lecciones (59%) de Nuevo León se ubican en la categoría “Todo es revisión”. El menor porcentaje lo ocupa la categoría de que todo el contenido es nuevo para los alumnos (2%). Las lecciones de TIMSS reportan más contenido nuevo en su muestra. Figura 46.
81 Temas de la lección. Por otra parte se llevó también el registro sobre el cambio de temas dentro de la lección, entre otras cosas, para determinar el número de temas (y cambios) manejados en la lección por el maestro (Reporte TIMSS video 1995, p. 47). En Estados Unidos se detectó, en promedio, un mayor número de temas manejados en la clase de matemáticas en el grupo de participantes de las lecciones de TIMSS video 1995. En las lecciones de Nuevo León se presentaron en total 209 temas, es decir en promedio 2 temas vistos por lección, semejante al de Estados Unidos, que obtuvo el máximo en el estudio TIMSS video 1995. Figura 47.
82 Conceptos y aplicaciones. En el estudio de TIMSS video 1995 (p. 48) se analizaron las lecciones con la finalidad de detectar si se manejaron conceptos, aplicaciones o ambas cosas. Las nociones por cada categoría son amplias: 1) Conceptos. En la lección solamente se presentaron enunciados, o principios, propiedades o definiciones matemáticas (como teoremas o fórmulas). También se ubica en esta categoría la enunciación de métodos mediante los cuales se resuelven problemas. Un concepto se pudo haber presentado de manera abstracta o a través de ejemplos. 2) Aplicación. Se entiende como el empleo de un procedimiento derivado de los conceptos para resolver un problema. No necesariamente los conceptos son discutidos o enunciados. Enfatiza más bien el desarrollo de habilidades para resolver un problema. 3) Ambos. Se incluyen tanto conceptos como su aplicación en la solución de un problema. En el grupo de lecciones de los países participantes en el TIMSS video 1995 la mayor parte de las lecciones de Estados Unidos contienen segmentos de aplicaciones, mientras que en Japón dominan las lecciones en que se presenta tanto la aplicación como la inclusión de conceptos. Alemania manifiesta la mayor tasa de lecciones en que se incluyen solamente conceptos. En el caso de Nuevo León la mayor parte de las lecciones incluyen tanto conceptualización como aplicaciones; en segundo lugar aplicaciones solamente y por último conceptos solamente. El porcentaje que combina es mayor que cualquiera de los participantes de las lecciones de TIMSS video 1995. El porcentaje de aplicaciones es semejante a Japón y el de conceptualización es mayor que el de Estados Unidos pero menor que en Alemania y Japón. Figura 48.
83 Enunciación y desarrollo de conceptos. En las lecciones en donde se presentaron conceptos, estos se pudieron haber desarrollado o enunciados solamente (Reporte TIMSS video 1995, p. 50). Se entiende que un concepto se expresó solamente cuando no se explicó, desarrolló o aplicó. En ocasiones la enunciación de conceptos, sin desarrollarlos, se refiere a recordar conceptos previamente vistos o como un apoyo para que el estudiante tenga más elementos para resolver un problema. Por otra parte, un concepto fue desarrollado cuando solamente es explicado por el maestro solamente o en colaboración con sus estudiantes, con la finalidad de mejorar la comprensión del propio concepto. También se desarrolla un concepto cuando se deriva en pruebas o experimentos. Tanto en Japón como en Alemania la mayor parte de los temas de las lecciones fueron desarrollados, en contraste a Estados Unidos, que son básicamente enunciados. En el caso de los temas de las lecciones de Nuevo León sigue un Patrón semejante a Alemania, en el que casi las tres cuartas partes de los temas usan conceptos que fueron desarrollados, en contraste al patrón dominante al de Estados Unidos. Figura 49.
84 Incremento de la complejidad en las aplicaciones. Si se trabaja con más de un problema en el estudio TIMSS video 1995 (p. 52) se consideró si el o los problemas subsiguientes tienen el mismo grado de dificultad, o la incrementan, o se reduce, en el transcurso de la lección. El incremento de la complejidad en los problemas subsiguientes puede ser que se presente en el procedimiento o bien en el nivel conceptual. El aumento en la dificultad significa que el problema requiere de operaciones adicionales a las del problema anterior. El aumento en la complejidad conceptual se refiere a la incorporación de mayor información matemática. En general en los países participantes los problemas subsiguientes planteados permanecen con el mismo nivel de complejidad o bien lo disminuyen. Esto es más notorio en Alemania. La brecha es más reducida en Japón, en donde casi en la mitad de las lecciones, los problemas subsiguientes aumentaron en complejidad. En el caso de las lecciones de Nuevo León domina la permanencia del nivel de complejidad. La menor tasa lo obtienen lecciones que aumentan su complejidad, a un nivel semejante a Alemania, y por debajo de Japón y Estados Unidos.
Figura 50.
85 Métodos alternativos de solución. Como se ha explicado previamente, los métodos alternativos de solución, posibilitan concebir procedimientos alternos para resolver problemas, más allá de que el maestro prescriba el método que lleva a la solución. En este caso el maestro puede dar un método para encontrar la solución a un problema y pedirles a los alumnos que los apliquen en problemas similares. El maestro también puede, no solamente ofrecer un método específico de solución, sino que puede proponer otro u otros adicionales a los alumnos. Por su parte los estudiantes pueden encontrar cierta libertad que les permita buscar procedimientos alternativos de solución diferentes de los que el maestro propone (Reporte TIMSS video 1995, p.54). En el caso de Japón, los datos indican que los estudiantes trabajan más con métodos alternos para solucionar problemas, que Alemania y Estados Unidos. En el caso de los Estados Unidos, los datos se invierten y es el lugar en donde se presentan más casos de lecciones en las que el maestro presenta a los estudiantes diferentes métodos para solucionar un problema. En las lecciones de Nuevo León los métodos alternativos presentados por docentes es de 4%, menor que lo identificado en las lecciones del estudio TIMSS video 1995. En cambio las lecciones en que los alumnos presentan son el 14%, el mismo nivel que el mostrado en las lecciones de Alemania (14%). Figura 51.
86 Principios, propiedades y definiciones. En el estudio TIMSS video 1995 se reúnen en una sola categoría los principios y las propiedades, como nociones diferentes a las definiciones. Las definiciones son enunciaciones con contenido matemático que permiten entender un término, seguidas por sus características o propiedades. Una enunciación que no conforma una definición completa fue codificada en este estudio como principio o propiedad. La información matemática manejada en la lección que no se codificó como definición, se ubicó como principio o propiedad. Los promedios entre Alemania, Estados Unidos y Japón son semejantes en lo que se refiere al número de principios y propiedades enunciados en la clase. En Nuevo León el número de principios o propiedades son menores a las lecciones de los participantes TIMSS 1995 con .7. En cambio en el número de términos definidos llega a ser mayor que Alemania y Japón (1.3). Figura 52.
87 Estructura de la lección. En el reporte TIMSS video 1995 (p.63) se estudia la estructura de la lección a través de nodos y enlaces. En este caso se trata de elaborar una caracterización general del desarrollo de la lección, entre los países participantes. Con ese fin se tomaron las siguientes nociones: (1) Motivación. Se aplicó cuando en la tarea o situación se usó para promover que los alumnos ofrecieran principios, propiedades o una definición. 2) Ilustración. De alguna forma se ejemplificó un principio general que después se explicó. 3) Razonamiento deductivo. Se registró el empleo de razonamiento de lo general a lo particular o se desarrollaran aplicaciones en la lección. 4) Complejidad. Cuando se detectó aumento en la dificultad del problema. Adicionalmente se incluye la categoría de razonamiento inductivo. En las lecciones del TIMSS video 1995 la presentación de ilustraciones durante la lección comparte porcentajes muy semejantes los países participantes. En cuanto a la motivación de los alumnos destacan las lecciones de Japón, en contraste a las de Estados Unidos. En el aumento de la complejidad de los problemas destacan las lecciones de Japón. En la aplicación del razonamiento deductivo destacan las lecciones de Japón. En el caso de las lecciones de Nuevo León el porcentaje de lecciones en que se presentan ilustraciones coincide con Japón, que obtiene el mayor porcentaje en el grupo TIMSS. Las lecciones con segmentos en donde se motiva a los alumnos es el 60%, más alto que los obtenidos en las lecciones de TIMSS. En el incremento en complejidad se presenta en el 12%, menos que Alemania pero más que Japón o Estados Unidos. En la identificación de razonamiento deductivo se ubicaría en segundo lugar, después de Japón. Figura 53.
88 Organización del grupo de alumnos. Al considera su organización los autores del reporte TIMSS video 1995 señalan que pareciera como que las clases videograbadas tuvieran más similitudes que diferencias al considerar especialmente la estructura de su organización (p. 71). Los datos muestran que el arreglo del grupo o de la clase por filas es común en las aulas en las que se videograbaron las lecciones. Así predomina la estructura por filas en los tres países, de manera por particular en Japón. En Alemania sobresale como una forma peculiar de organización la de U con filas. En el caso de las lecciones de matemáticas de Nuevo León se manifiesta casi en el mismo nivel la organización por filas y la organización por grupos (en este aspecto en un nivel mayor al mostrado por las lecciones TIMSS 1995). Las lecciones con forma de “U” se manifiestan en un nivel semejante al de Alemania con 4%. Figura 54.
89 Tarea para la casa. Se acepta en el reporte de TIMSS video 1995 (p. 83) que la relevancia pedagógica de la tarea para la casa es un tema a debate entre especialistas. Unos creen que la tarea ayudará a mejorar el rendimiento de los estudiantes. Otros no lo aceptan. De cualquier forma encargar tarea para la casa es una práctica que se da más frecuentemente en unos lugares más que en otros. En Estados Unidos y Alemania es más frecuente que los maestros propicien que los alumnos compartan trabajando en la tarea para la casa (37% y 38% respectivamente). En Japón no hubo registro de esta práctica, aunque compartir la tarea se dio en el 10% de las clases de matemáticas. En la cuarta parte de las lecciones de matemáticas de Estados Unidos se trabajó con la tarea encargada para la casa. En 11% de las lecciones de Nuevo León se trabajó en tarea. No se observó que se compartiera la tarea. Figura 55.
90 Explicaciones o demostraciones. Las clases en las que se emplea la forma más tradicional de enseñanza consisten en que en ellas los docentes hablan o hacen demostraciones (Reporte TIMSS video 1995, p. 84). En los países participantes en el TIMSS en la mayor parte de las clases de Japón contienen segmentos en las que los docentes explican o demuestran. En el caso de Alemania y Estados Unidos pocas de sus lecciones contienen segmentos con estas estrategias. En el caso de Nuevo León en casi todas las lecciones (94%) se presentaron segmentos en que el docente enfatiza la explicación o la demostración, a un nivel mayor que el mostrado por las lecciones de matemáticas de TIMSS video 1995. Figura 56.
91 Uso de la pizarra por los alumnos. La pizarra se emplea de muchas formas y para varios fines. Un procedimiento usual es que los alumnos pasen a la pizarra a realizar ejercicios frente al grupo. En Alemania y Japón los alumnos usaron el pizarrón en el 60% de las lecciones, mientras que en Estados Unidos el porcentaje es menor, llegando al 47% de las lecciones. En 67% de las lecciones de Nuevo León se identificaron segmentos en que los alumnos acuden a la pizarra a realizar ejercicios, más frecuentemente que en cualquiera de los países participantes en el estudio TIMSS video 1995. Figura 57.
92 Uso del proyector. En el 100% de las lecciones de matemáticas en Japón los estudiantes emplearon el proyector en algún momento de la clase. Su empleo resultó ser mayor que en Alemania y esta mayor que Estados Unidos. En un 29% de las lecciones de Nuevo León en que se tuvo presente un proyector los alumnos lo usaron. La acción de este tipo más frecuente se realizó con el equipo del programa ENCICLOMEDIA. Figura 58.
93 Permanencia de la información en el pizarrón. En el reporte del estudio TIMSS videos 1995 (p.95) se comenta la relevancia del potencial efecto que la permanencia de la información en el pizarrón puede tener en la comprensión de la lección por parte de los estudiantes. Expresa el estudio que si la información es borrada deja de estar disponible para el estudiante. La información en el pizarrón que no es borrada, continúa como un recurso constante para los estudiantes a través de la lección. En Japón, en el 83% de las lecciones de matemáticas la información escrita en el pizarrón permaneció hasta el final de la clase. En Alemania el porcentaje resulta ser también importante. En Estados Unidos, en casi la mitad de las lecciones la información permaneció hasta el final y en la otra mitad fue borrada antes de que terminara la clase. En Nuevo León en el 15% del total de las lecciones, lo escrito o dibujado en el pizarrón continuó hasta el final de la lección. Figura 59.
94 Manejo de material objeto. El material objeto fue caracterizado previamente como el tipo de material que puede ser manipulado por el maestro o por los estudiantes. En estas estimaciones se consideran solo las lecciones en donde se usa material objeto. En Japón se observa que en algunas lecciones predomina la manipulación de objetos solamente por los maestros y en otras ocurre la combinación de ambos en el manejo de objetos de este tipo. En Estados Unidos se les facilita con mayor frecuencia el manejo de estos materiales a los estudiantes. En las lecciones de Nuevo León domina el uso conjunto del material objeto, tanto por docentes como por alumnos, le sigue el uso sólo por parte de los alumnos y finalmente por parte de docentes únicamente. Figura 60.
95 Coherencia de la lección. Uno de los indicadores para medir la coherencia de la lección está dada por los enlaces o relaciones que el maestro hace con ideas o experiencias de otras lecciones (TIMSS video 1995, p.117). Estos enlaces se analizan hacia el interior de la lección y entre las lecciones. Los enlaces son referencias explícitas que hace el maestro a ideas o eventos de la lección o de otras lecciones. La referencia debe ser concreta y debe ser relativa a la actual actividad. En Japón, en la mayoría de las lecciones se hace mención mediante enlaces, de ideas o eventos de otras lecciones. En Estados Unidos los porcentajes son menores pero aun relativamente altos. En Nuevo León el 47% de las lecciones se relaciona el tema tratado con temas vistos en otras lecciones, un menor porcentaje que el mostrado por las lecciones del TIMSS video 1995. Figura 61.
96
De la misma forma, en Japón los maestros establecen más conexiones o enlaces dentro de la misma lección. Los porcentajes del resto de los países son más parecidos entre sí. En las lecciones de Nuevo León dos terceras partes de las lecciones de matemáticas los maestros hacen enlaces con ideas o eventos (por ejemplo contextualizando o con definiciones), más que en las lecciones de Alemania o Estados Unidos. Sólo menos que en Japón. Figura 62.
97 Tiempo dedicado a prácticas rutinarias, aplicaciones o invención de nuevas situaciones. En el estudio TIMSS video 1995 entre las actividades de las lecciones se distinguieron tres, en las que se consideró el tiempo dedicado: 1) Procedimientos de práctica rutinaria, en la que los estudiantes ejercitan los algoritmos que les permiten solucionar los problemas. 2) Aplicación de conceptos, en la que los alumnos se dedican a memorizar o trabajar en las definiciones de los temas vistos. 3) Pensar o inventar nuevas situaciones, en la que los docentes solicitan a los alumnos que reflexionen sobre estrategias innovadoras o propias para enfrentar un problema. En las lecciones de Estados Unidos y Alemania, entre los países participantes en el estudio TIMSS video 1995, domina el tiempo dedicado a la práctica rutinaria de los procedimientos. En cambio en Japón la mayor parte del tiempo se dedica a la aplicación de los conceptos. En las lecciones de este país una proporción importante de tiempo (15%) se dedica a pensar o inventar soluciones innovadoras. En Nuevo León el 67% del tiempo de las lecciones se dedica a la aplicación de los conceptos (en segmentos correspondientes a 69 lecciones), en el 30% del tiempo se aplican conceptos (en segmentos correspondientes a 34 lecciones) y en 3% del tiempo se da tiempo para inventar nuevas situaciones (únicamente en 11 lecciones), la práctica dominante en Japón, según el estudio TIMSS video 1995.
Figura 63.
98 3. DIFERENCIAS EN LAS LECCIONES DE MATEMÁTICAS POR DIVERSOS
TIPOS DE ESCUELAS DE NUEVO LEÓN. En esta sección se identifican las diferencias en la enseñanza de las matemáticas correspondientes a diferentes tipos de escuelas de la muestra correspondiente al estado mexicano de Nuevo León. Se contrastan las características de las lecciones considerando los criterios de análisis aportados por el estudio TIMSS video 1999, pero con relación a escuelas con los siguientes criterios: a) Comparación por el estrato (urbano o rural) de la escuela. El grupo de lecciones correspondientes a escuelas urbanas es de 75.2% y el de lecciones en escuelas rurales de 24.8%. b) Comparación por el tipo de gestión en la escuela (estatal, gobierno local; no estatal, de congregación religiosa; no estatal, particular). El segmento correspondiente a lecciones de escuelas estatales es de 87.1%, el de no estatales religiosas de 2%, el de no estatales de organismo no gubernamental 2% y el de no estatales privadas de 8.9%. c) Comparación por nivel de logro en matemáticas, dentro del estudio SERCE. La prueba se SERCE se aplicó en el año 2005 y el trabajo de campo de nuestro estudio se realizó en el año 2010, por lo que si bien son las mismas escuelas, los docentes (y obviamente los alumnos) son diferentes. Sin embargo por otros estudios se cuenta con indicios de que los niveles promedio de desempeño de las escuelas suele sostenerse a lo largo de varios ciclos escolares. Se consideran tres niveles de desempeño promedio de las escuelas en la prueba SERCE: alto, medio y bajo relativos a la muestra de Nuevo León, bajo los criterios descritos en la sección 1. Una de las escuelas de la muestra no tiene resultados para Matemáticas en la base de SERCE pero si en la de ciencia. Por lo que el tamaño de la muestra por este motivo será de 100 lecciones. El grupo de lecciones correspondientes a escuelas de bajo promedio rendimiento relativo en SERCE es de 32%, de lecciones de nivel medio es de 42% y de lecciones en escuelas de nivel alto relativo es de 26%. d) Comparación por nivel de logro en la prueba ENLACE en el ciclo 2010-2011, el mismo ciclo escolar en el que se realizó el trabajo de campo del estudio BIDvideos, aunque con algunos meses de diferencia. Nuestro trabajo de campo se realizó entre septiembre y diciembre de 2010 y la prueba se aplicó en el mes de abril de 2011. Por otra parte, el resultado corresponde al promedio en matemáticas de los grupos de sexto grado de la escuela. En muchas de las escuelas, especialmente las urbanas, existen dos o más grupos de sexto grado, por lo que no se debe interpretar que el promedio de matemáticas corresponde exactamente al grupo que se filmó, aunque sin duda al manos la inmensa mayoría de esos alumnos presentaron el examen ENLACE y esos resultados reflejan en buena medida sus desempeños en matemáticas. Siempre hay que mantener en mente que conocemos de los desempeños de los docentes por una única lección de matemáticas, de las aproximadamente 170 o 180 que reciben los alumnos en un ciclo escolar (por no hablar de las que han recibido en toda su historia escolar). Por lo que no es posible ligar de manera causal un desempeño en una lección a los resultados en un examen estandarizado. Sin embargo es el mejor dato disponible sobre el nivel de logro de los alumnos con el fin de asociarlo a los desempeños pedagógicos de sus docentes. Como se explicó en la sección 1 de este reporte,
99 se consideran los desempeños en ENLACE en tres grupos: bajo desempeño en matemáticas ENLACE, con el 32.7% de las lecciones, medio desempeño en matemáticas ENLACE, con el 43.6% de las lecciones, y alto desempeño en matemáticas ENLACE con 23.8% de las lecciones. Las comparaciones entre los diversos tipos de escuela de Nuevo León se desarrollan siempre y cuando existan suficientes datos. Por lo que algunas variables con bajo nivel de ocurrencia no se contrastan las diferencias internas. Duración de la lección de matemáticas. Las lecciones fueron registradas en video por dos cámaras, una enfocada de manera preferente sobre el docente y la otra a los alumnos. Ambos registros son considerados en la codificación ya que el programa usado, Videograph, permite que se encadenen de manera que se observan los eventos de manera contemporánea. El registro sobre el que se hace la codificación es sobre la cámara que sigue al docente. En muy pocos casos se presentaron problemas de edición o de grabación en la cámara del docente, sólo en esa circunstancia se basa el conteo en la cámara de alumnos. El conteo de la duración de la lección de matemáticas inicia cuando explícitamente el o la docente indica que inicia, y deja de considerarse cuando el mismo docente indica a los alumnos o los investigadores de campo que en ese momento termina la lección. La duración de las lecciones de matemáticas de sexto grado registradas en video es de una hora. De las registradas en video la lección más breve duró alrededor de diecisiete minutos y medio. La lección de mayor duración es una hora y cuarenta y dos minutos. Tabla 61 Duración de la lección de matemáticas Sitio
Promedio
Nuevo León (101)
01:00:03
Desviación estándar 00:17:28
Mínimo
Máximo
00:23:10
01:42:26
El promedio de duración de las lecciones de matemáticas en escuelas rurales es mayor que las lecciones en escuelas urbanas, por poco más de dos minutos. Por tipo de gestión la duración de la lección es mayor en las escuelas estatales que en las no estatales. La duración de la clase de matemáticas es mayor en las lecciones de las escuelas que obtuvieron resultados medios en SERCE. La asociación de los resultados de matemáticas de ENLACE con la duración de la clase es lineal negativa: la mayor duración de la lección se asocia a menor nivel en los desempeños en ENLACE.
100
Tabla 62. . Duración de la lección de matemáticas Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 76 de 76 lecciones (100%) 25 de 25 lecciones (100%) 00:59:09 01:02:46 (00:17:20) (00:17:55) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares 88 de 88 lecciones religiosa gubernamentales 2 de 2 lecciones 2 de 2 lecciones 9 de 9 lecciones (100%) (100%) (100%) (100%) 01:00:43 00:57:12 00:44:15 00:57:34 (00:17:00) (00:14:00) (00:04:13) (00:23:48) Bajo Medio Alto 32 de 32 lecciones 42 de 42 lecciones 26 de 26 lecciones (100%) (100%) (100%) 00:58:41 01:01:24 00:59:17 (00:20:34) (00:16:33) (00:15:29) Bajo Medio Alto 33 de 33 lecciones 44 de 44 lecciones 24 de 24 lecciones (100%) (100%) (100%) 01:02:32 00:59:14 00:58:08 (00:15:41) (00:16:02) (00:22:09)
Porcentaje del tiempo del tiempo efectivamente dedicado a la instrucción del tema. Los docentes señalaron lo que ellos consideran la lección de matemáticas indicando a los investigadores de campo cuando iniciaba y cuando terminaba. Pero es claro que en ese tiempo suceden diversos tipos de eventos. Se entiende por tiempo efectivamente dedicado a instrucción del tema al que emplea el docente a generar oportunidades de aprendizaje en sus alumnos. Por lo que se elimina el tiempo en que se organizan los eventos de la clase, el de las interrupciones y el dedicado a otras actividades fuera de la enseñanza, como pasar lista de alumnos presentes o a narrar algún evento del día. El porcentaje de tiempo dedicado a la instrucción de matemáticas es de casi el 96%. Tabla 63. Tiempo de la lección efectivamente dedicado a instrucción Sitio Nuevo León (101)
Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento
Promedio 00:57:32 95.73%
Desviación estándar 00:16:49 4.88
El porcentaje de la lección efectivamente dedicada a la instrucción de matemáticas es mayor en las escuelas urbanas, y en las escuelas no estatales de congregaciones religiosas. Con relación a los niveles de logro en SERCE la mayor efectividad en el uso del tiempo al dedicarlo a instrucción se asocia a los desempeños más altos. La relación entre tiempo efectivamente dedicado a la enseñanza y nivel de logro se muestra por la relación lineal
101 positiva al considerar los resultados de ENLACE: mientras mayor sea el tiempo que en la lección se dedica a enseñar más es el nivel de aprendizaje de los alumnos según los resultados de la prueba ENLACE. Tabla 64. Porcentaje del tiempo de la lección dedicado a instrucción Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 76 de 76 lecciones (100%) 25 de 25 lecciones (100%) 96.01% 94.89% (5.12) (4.02) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 88 de 88 lecciones 2 de 2 lecciones 2 de 2 lecciones 9 de 9 lecciones (100%) (100%) (100%) (100%) 95.51% 98.70% 93.48% 97.75% (5.06) (1.5) (6.59) (2.14) Bajo Medio Alto 32 de 32 lecciones 42 de 42 lecciones 26 de 26 lecciones (100%) (100%) (100%) 95.70% 95.00% 97.05% (3.30) (6.47) (3.16) Bajo Medio Alto 33 de 33 lecciones 44 de 44 lecciones 24 de 24 lecciones (100%) (100%) (100%) 93.81% 96.21% 97.50% (5.53) (4.98) (3.26)
Porcentaje del tiempo en que se presentan interrupciones. En 19 lecciones de matemáticas se presentaron interrupciones, las que en promedio tienen una duración de alrededor del .80% del tiempo de la lección. Tabla 65 Tiempo de la lección en que se presentan interrupciones Sitio Nuevo León (19)
Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento
Promedio 00:00:26 .79%
Desviación estándar 00:00:47 1.21
Las lecciones de las escuelas rurales presentan más interrupciones y éstas duran mayor tiempo. Llama la atención que dieciocho de las diecinueve escuelas (94.7%) son escuelas públicas (estatales). Si se toman en cuenta los resultados de las pruebas de matemáticas de SERCE y ENLACE resultan relaciones lineales negativas con la duración de las interrupciones y el nivel de logro de los alumnos: a más interrupciones menos aprendizaje.
102
Tabla 66. Porcentaje del tiempo de la lección en que se presentan interrupciones Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 12 de 76 lecciones (15.79%) 7 de 25 lecciones (28.0%) .46% 1.35% (.58) (1.79) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 18 de 88 lecciones 0 de 8 lecciones 1 de 2 lecciones 0 de 14 lecciones (20.45%) (0%) (50.0%) (0%) .81% .40% (1.24) Bajo Medio Alto 4 de 32 lecciones 11 de 42 lecciones 3 de 26 lecciones (12.50%) (26.19%) (11.54%) 1.81% .63% .22% (2.29) (.70) (.18) Bajo Medio Alto 8 de 33 lecciones 10 de 44 lecciones 1 de 24 lecciones (24.24%) (22.73%) (4.17%) 1.31% .41% .40% (1.70) (.52)
Porcentaje de tiempo dedicado a problemas. En el 74.2% de las lecciones fue posible identificar segmentos dedicados a formular o a resolver problemas. La duración promedio de estos segmentos resultó de poco más de 38 minutos, es decir alrededor del 64% del tiempo de la lección. Tabla 67. Tiempo de la lección dedicado a problemas Sitio Nuevo León (75)
Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento
Promedio 00:38:13 63.98%
Desviación estándar 00:20:17 28.26
El tiempo dedicado a problemas es mayor en escuelas rurales y en las escuelas no estatales, especialmente las de organismos no gubernamentales. Al tomar en cuenta los resultados de los alumnos en pruebas estandarizadas de matemáticas obtenemos que no se presentan relaciones lineales entre el tiempo dedicado a problemas y aprendizaje, pero sin duda, el nivel de desempeño en ambos exámenes está asociado a la mayor duración del tiempo dedicado a problemas.
103
Tabla 68. Porcentaje del tiempo de la lección dedicado a problemas Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 55 de 76 lecciones (72.37%) 20 de 25 lecciones (80.00%) 63.26% 65.94% (27.95) (29.74) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 62 de 88 lecciones 2 de 2 lecciones 2 de 2 lecciones 9 de 9 lecciones (70.45%) (100%) (100%) (100%) 61.26% 77.42% 77.88% 76.60% (29.35) (14.36) (6.83) (21.33) Bajo Medio Alto 20 de 32 lecciones 32 de 42 lecciones 22 de 26 lecciones (62.50%) (76.19%) (84.62%) 65.86% 62.48% 67.17% (23.55) (30.84) (26.82) Bajo Medio Alto 23 de 33 lecciones 30 de 44 lecciones 22 de 24 lecciones (69.70%) (68.18%) (91.67%) 63.96% 60.27% 69.04% (29.61) (26.42) (29.75)
Tiempo dedicado a problemas independientes. En 56.4% de las lecciones se dedican segmentos de la lección de matemáticas a problemas independientes. Esos segmentos duran poco menos de 29 minutos, prácticamente la mitd del tiempo de la lección. Tabla 69. Tiempo dedicado a problemas independientes Sitio Nuevo León (57)
Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento
Promedio 00:28:47 49.27%
Desviación estándar 00:20:18 31.13
Los problemas independientes son más frecuentemente trabajados en escuelas rurales que en urbanas; en escuelas no estatales, aunque los segmentos dedicados a estos problemas duran más en las estatales; y en escuelas de bajo y alto desempeño en el examen de matemáticas SERCE, con mayor duración de los segmentos en el nivel medio.
104
Tabla 70. Porcentaje del tiempo de la lección dedicado a problemas independientes Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 45 de 76 lecciones (59.21%) 12 de 25 lecciones (48.0%) 49.15% 49.72% (30.07) (36.31) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 47 de 88 lecciones 1 de 2 lecciones 2 de 2 lecciones 7 de 9 lecciones (53.41%) (50.0%) (100%) (77.78%) 45.80% 87.58% 64.71% 62.69% (30.90) (11.84) (32.77) Bajo Medio Alto 17 de 32 lecciones 21 de 42 lecciones 18 de 26 lecciones (53.13%) (50.00%) (69.23%) 45.69% 45.41% 59.69% (29.26) (32.25) (29.94) Bajo Medio Alto 18 de 33 lecciones 23 de 44 lecciones 16 de 24 lecciones (54.55%) (52.27%) (66.67%) 44.12% 49.65% 54.53% (34.20) (28.39) (32.40)
Tiempo dedicado a problemas concurrentes. Los problemas concurrentes son más complejos y se presentan en sólo 9.9% de la muestra. En esas lecciones se les dedica casi 27 minutos en promedio. Tabla 71. Tiempo dedicado a problemas concurrentes Sitio Nuevo León (10)
Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento
Promedio 00:26:59 50.00%
Desviación estándar 00:22:55 31.61
Los problemas concurrentes se presentaron más frecuentemente en las lecciones de escuelas urbanas, aunque la única lección que presentó este tipo de segmento en una escuela rural duró casi el doble del tiempo promedio de aquellas. Por tipo de gestión se presenta proporcionalmente en más escuelas no estatales de congregaciones religiosas y particulares. La asociación con SERCE no es clara en cuanto que se presenta una lección del nivel medio con una duración de tiempo extraordinario. Pero la relación resulta más clara considerando los resultados de ENLACE ya que se presentan más lecciones con problemas concurrentes, y duran más tiempo, en las escuelas que obtienen mejor nivel de aprendizaje de matemáticas en sus alumnos.
105
Tabla 72. Porcentaje del tiempo de la lección dedicado a problemas concurrentes Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 9 de 76 lecciones (11.84%) 1 de 25 lecciones (4.0%) 46.44% 82.11% (31.32) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 5 de 88 lecciones 1 de 2 lecciones 1 de 2 lecciones 3 de 9 lecciones (5.68%) (50.0%) (50.0%) (33.33%) 46.63% 66.94% 25.86% 58.03% (42.40) (18.50) Bajo Medio Alto 4 de 32 lecciones 1 de 42 lecciones 5 de 26 lecciones (12.50%) (2.38%) (19.23%) 43.58% 94.37% 46.27% (32.55) (30.06) Bajo Medio Alto 2 de 33 lecciones 3 de 44 lecciones 5 de 24 lecciones (6.06%) (6.82%) (20.83%) 42.48% 49.40% 53.38% (56.03) (44.69) (20.56)
Tipo de interacción. Las interacciones pueden ser públicas, es decir, dirigidas a todos los estudiantes al mismo tiempo (como en las exposiciones, explicaciones y demostraciones), privadas (se organiza a los alumnos para que trabajen de manera individual, en pares o pequeños grupos) o se ofrece la oportunidad a los alumnos de presentar información. La interacción pública es la dominante, se presenta en todas las lecciones y es el tipo de interacción que dura más tiempo de la lección (alrededor de 60% en promedio). La interacción privada se presenta en el 89.1% de las lecciones analizadas, con una duración de casi una cuarta parte de esas lecciones. Finalmente las lecciones en las que estudiantes presentan información son el 45,5% de la muestra, a lo que se dedica menos del 14% del tiempo de la lección en promedio.
106
Tabla 73. Tipos de interacción Nuevo León Interacción pública (101)
Interacción privada (90)
Estudiante información (46)
presenta
Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento
Promedio 0:34:33 60.36%
Desviación estándar 0:15:21 23.56
0:15:12 23.29%
0:17:07 22.23
0:07:50 13.84%
0:06:34 11.63
Las interacciones públicas se presentan más frecuentemente en lecciones de matemáticas de escuelas urbanas y no estatales de congregaciones religiosas. Se relacionan de manera lineal positiva con los niveles de desempeño alto, esto es más claro si se consideran los resultados de ENLACE. Tabla 74. Porcentaje del tiempo de la lección dedicado a interacción pública Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 76 de 76 lecciones (100%) 25 de 25 lecciones (100%) 61.78% 56.05% (22.74) (25.90) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 88 de 88 lecciones 2 de 2 lecciones 2 de 2 lecciones 9 de 9 lecciones (100%) (100%) (100%) (100%) 58.54% 80.36% 51.96% 75.61% (23.51) (8.72) (.15) (22.32) Bajo Medio Alto 32 de 32 lecciones 42 de 42 lecciones 26 de 26 lecciones (100%) (100%) (100%) 58.20% 58.73% 66.98% (23.10) (22.76) (24.58) Bajo Medio Alto 33 de 33 lecciones 44 de 44 lecciones 24 de 24 lecciones (100%) (100%) (100%) 53.05% 59.70% 71.63% (22.52) (23.22) (22.12)
107
La interacción privada es más frecuente en lecciones de escuelas rurales y se les dedica más tiempo. En escuelas no estatales, especialmente de organismos no gubernamentales y de congregaciones religiosas. Por nivel de logro en SERCE y en la prueba ENLACE se asocia más al nivel medio de desempeño. Tabla 75. Porcentaje del tiempo de la lección dedicado a interacciones privadas Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 67 de 76 lecciones (88.16%) 23 de 25 lecciones (92.0%) 20.80% 30.53% (20.11) (26.70) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 78 de 88 lecciones 2 de 2 lecciones 2 de 2 lecciones 8 de 9 lecciones (88.64%) (100%) (100%) (88.89%) 23.40% 14.57% 33.26% 21.87% (22.89) (1.80) (20.89) (20.10) Bajo Medio Alto 28 de 32 lecciones 38 de 42 lecciones 23 de 26 lecciones (87.50%) (90.48%) (88.46%) 22.68% 25.96% 19.06% (22.50) (22.88) (21.42) Bajo Medio Alto 30 de 33 lecciones 41 de 44 lecciones 19 de 24 lecciones (90.91%) (93.18%) (79.17%) 23.23% 26.11% 17.29% (23.15) (23.89) (16.00)
Por su parte, la presentación de información por los estudiantes es más frecuentemente encontrada en las lecciones de escuelas urbanas, aunque duran más tiempo en las lecciones de las escuelas rurales. Por tipo de gestión se presenta con mayor frecuencia en lecciones de escuelas no estatales de organismos no gubernamentales y en escuelas estatales. Este tipo de práctica es más frecuente en escuelas que obtuvieron bajos niveles tanto en los resultados de la prueba del estudio SERCE como en los resultados de la prueba ENLACE.
108
Tabla 76. Porcentaje del tiempo de la lección dedicado a presentación de información por estudiantes Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 37 de 76 lecciones (48.68%) 9 de 25 lecciones (36.0%) 13.09% 16.94% (9.74) (17.90) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 41 de 88 lecciones 1 de 2 lecciones 2 de 2 lecciones 2 de 9 lecciones (46.59%) (50.0%) (100%) (22.22%) 14.15% 9.96% 14.59% 8.66% (11.71) (20.54) (10.46) Bajo Medio Alto 19 de 32 lecciones 14 de 42 lecciones 12 de 26 lecciones (59.38%) (33.33%) (46.15%) 15.37% 12.80% 13.25% (13.58) (10.37) (10.66) Bajo Medio Alto 18 de 33 lecciones 17 de 44 lecciones 11 de 24 lecciones (54.55%) (38.64%) (45.83%) 15.91% 11.43% 14.18% (13.04) (12.12) (8.16)
Tiempo que docente y alumnos hablan. Una manera de identificar que tan tradicional o frontal es la manera de enseñar es identificar que tanto dominan los docentes en los intercambios verbales durante las lecciones. En las lecciones de matemáticas de Nuevo León los docentes hablan en promedio 32 minutos y medio, es decir, 55% del tiempo de la lección. En cambio los estudiantes hablan en promedio cuatro minutos y medio, es decir, poco más del 7% del tiempo de la lección, y no se les permite participan en todas las lecciones (se identificó participación de los alumnos en 97% de las lecciones). Tabla 77. Tiempo en que se habla Nuevo León Docente (101)
Alumnos (98)
Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento
Promedio 0:32:39 54.99%
Desviación estándar 0:14:22 19.11
0:04:28 7.17%
0:04:36 6.53
109 Se encuentra que los docentes hablan más en lecciones de escuelas urbanas y no estatales particulares de congregaciones religiosas. Tanto si se consideran los resultados de la prueba de Matemáticas de SERCE como los de la prueba ENLACE resulta una relación lineal positiva: mientras más habla el docente mayor es el nivel de logro académico de los alumnos. Tabla 78. Porcentaje del tiempo de la lección en que habla el docente Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 76 de 76 lecciones (100%) 25 de 25 lecciones (100%) 58.28% 45.00% (17.34) (21.07) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 88 de 88 lecciones 2 de 2 lecciones 2 de 2 lecciones 9 de 9 lecciones (100%) (100%) (100%) (100%) 54.78% 48.64% 55.91% 58.28% (19.95) (.64) (6.56) (14.44) Bajo Medio Alto 32 de 32 lecciones 42 de 42 lecciones 26 de 26 lecciones (100%) (100%) (100%) 53.44% 56.07% 56.32% (19.85) (19.35) (17.78) Bajo Medio Alto 33 de 33 lecciones 44 de 44 lecciones 24 de 24 lecciones (100%) (100%) (100%) 52.17% 54.93% 58.99% (18.95) (20.17) (17.32)
Es más frecuente encontrar que hablen los alumnos en las lecciones de matemáticas de las escuelas rurales. Siguiendo esta medida parece ser que la participación de los alumnos es mayor en las lecciones de las escuelas no estatales particulares y de congregaciones religiosas. Si se considera el aprendizaje de los alumnos, estimado por SERCE y por ENLACE, el que hablen los alumnos se relaciona con el nivel alto de desempeño, aunque no de manera lineal.
110 Tabla 79. Porcentaje del tiempo de la lección en que habla el alumno Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 73 de 76 lecciones (96%) 25 de 25 lecciones (100%) 6.48% 9.17% (6.14) (7.31) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 86 de 88 lecciones 2 de 2 lecciones 2 de 2 lecciones 8 de 9 lecciones (97.7%) (100%) (100%) (88.8%) 6.64% 10.12% 5.53% 12.46% (6.24) (10.28) (3.83) (7.84) Bajo Medio Alto 31 de 32 lecciones 41 de 42 lecciones 25 de 26 lecciones (96.8%) (97.6%) (96.1%) 7.14% 6.28% 8.94% (7.03) (5.71) (7.03) Bajo Medio Alto 32 de 33 lecciones 43 de 44 lecciones 23 de 24 lecciones (96.9%) (97.7%) (95.8%) 5.97% 6.18% 10.68% (5.84) (5.41) (8.19)
Tipo de práctica. La práctica pedagógica que desarrollan los docentes en las lecciones de matemáticas puede consistir en desarrollo o aplicación conceptual, práctica rutinaria o mecánica en la solución de problemas o promover que los estudiantes piensen o inventen modalidades de solución alternativas y propias. En la mayor parte de las lecciones se dedica más tiempo al manejo conceptual de los temas, siguiendo la aplicación rutinaria. En once lecciones (10.8%) se encontró que los alumnos desarrollaran su propia solución, y a ello se dedicó menos de ocho minutos en promedio. Tabla 80. Tipos de interacción Nuevo León Práctica rutinaria (34)
Aplicación de conceptos (69)
Estudiante inventa alternativas (11)
piensa o nuevas
Criterio Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento Tiempo % con relación a la duración de la lección en lecciones en las que se presenta el evento
Promedio 0:29:00 44.32%
Desviación estándar 0:27:34 34.36
0:31:00 50.54%
0:19:06 28.40
0:07:50 14.67%
0:13:15 26.31
111
Es más frecuente encontrar práctica rutinaria en lecciones de escuelas urbanas, aunque los segmentos duran más tiempo en las escuelas rurales. No es posible comparar por tipo de gestión porque todos los casos corresponden a escuelas estatales. Si se considera las estimaciones de logro académico, el tiempo dedicado a práctica rutinaria está asociado a bajos logros académicos. Tabla 81. Porcentaje del tiempo en práctica rutinaria Estrato
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano 27 de 76 lecciones (35.53%) 37.62% (28.26) Bajo Medio 11 de 32 lecciones 19 de 42 lecciones (34.38%) (45.24%) 45.19% 44.62% (29.18) (39.37) Bajo Medio 17 de 33 lecciones 14 de 44 lecciones (51.52%) (31.82%) 46.39% 42.11% (34.11) (38.83)
Rural 7 de 25 lecciones (28.0%) 70.18% (45.30) Alto 4 de 26 lecciones (15.38%) 40.51% (28.78) Alto 3 de 24 lecciones (12.5%) 42.90% (17.45)
Es más frecuente encontrar el manejo conceptual de las lecciones en las escuelas rurales y en escuelas no estatales particulares. Si se considera el logro académico, tanto por SERCE como por ENLACE se presenta una paradoja: mientras existan más lecciones de matemáticas aumenta el nivel de desempeño de los alumnos, pero no sucede así si se considera en vez de lecciones el porcentaje del tiempo, ya que resulta que mientras más porcentaje del tiempo de la lección se dedica a la aplicación de conceptos más baja el nivel de desempeños.
112 Tabla 82. Porcentaje del tiempo de la lección en aplicación de conceptos Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 48 de 76 lecciones (63.16%) 21 de 25 lecciones (84.0%) 42.89% 68.03% (26.48) (25.15) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 58 de 88 lecciones 2 de 2 lecciones 1 de 2 lecciones 8 de 9 lecciones (65.91%) (100%) (50.0%) (88.8%) 54.78% 48.64% 55.91% 61.75% (19.95) (.64) (6.56) (27.44) Bajo Medio Alto 20 de 32 lecciones 29 de 42 lecciones 19 de 26 lecciones (62.50%) (69.05%) (73.08%) 54.39% 49.28% 47.80% (26.88) (29.48) (29.94) Bajo Medio Alto 20 de 33 lecciones 30 de 44 lecciones 19 de 24 lecciones (60.61%) (68.18%) (79.17%) 52.21% 52.09% 46.34% (29.11) (27.88) (29.56)
Número de problemas por lección. En una lección promedio de matemáticas en Nuevo León se formulan y resuelven en promedio casi trece problemas. En sólo una lección de matemáticas no se formularon problemas. Al menos en el 68% de las lecciones en que se formulan problemas, el docente usa una conexión con la vida cotidiana para contextualizarlo. El promedio de este tipo de problemas es alto (13.40). Tabla 83. Número de problemas tratados en la lección Nuevo León Número de problemas en la lección (100) Número de problemas en cuya formulación se usa conexión con la vida cotidiana (68)
Criterio Problemas
Promedio 12.74
Desviación estándar 10.17
Problemas
13.40
11.29
Los segmentos con problemas son más frecuentes de ser encontradas en las lecciones de matemáticas de las escuelas urbanas y con un mayor promedio de problemas examinados. Lo mismo sucede con los problemas contextualizados. Las escuelas no estatales revisan más problemas en sus lecciones, aunque del tipo de la vida cotidiana disminuye en las no estatales particulares. Por nivel de logro el número de problemas se asocia al nivel medio de desempeño en SERCE y ENLACE. Si se consideran los problemas de la vida cotidiana un gran número de este tipo de problemas se asocia a bajos niveles en SERCE y nivel medio en ENLACE.
113
Tabla 84. Problemas tratados por lección en general Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 76 de 76 lecciones (100%) 24 de 25 lecciones (96.0%) 13.46 10.46 (10.62) (8.36) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 87 de 88 lecciones 2 de 2 lecciones 2 de 2 lecciones 9 de 9 lecciones (98.86%) (100%) (100%) (100%) 12.30 11.00 16.00 16.67 (10.35) (11.31) (4.24) (9.23) Bajo Medio Alto 31 de 32 lecciones 42 de 42 lecciones 26 de 26 lecciones (96.88%) (100%) (100%) 12.94 13.24 11.96 (11.26) (10.40) (8.76) Bajo Medio Alto 33 de 33 lecciones 43 de 44 lecciones 24 de 24 lecciones (100%) (97.73%) (100%) 12.09 13.26 12.71 (8.86) (11.60) (9.42)
Problemas con relación a la vida cotidiana Estrato
Tipo de gestión
Nivel de logro en SERCE
Nivel de logro en ENLACE
Urbano Rural 58 de 76 lecciones (76.32%) 10 de 25 lecciones (40.0%) 14.26 8.40 (11.33) (10.18) Estatal, gobierno No estatal, No estatal, de No estatal, local congregación organismos no particulares religiosa gubernamentales 59 de 88 lecciones 1 de 2 lecciones 2 de 2 lecciones 6 de 9 lecciones (67.05%) (50.0%) (100%) (66.67%) 13.58 19 16.0 9.83 (11.80) (4.24) (7.96) Bajo Medio Alto 20 de 32 lecciones 30 de 42 lecciones 18 de 26 lecciones (62.50%) (71.43%) (69.23%) 14.95 14.00 10.67 (13.29) (11.68) (7.79) Bajo Medio Alto 23 de 33 lecciones 30 de 44 lecciones 15 de 24 lecciones (69.70%) (68.18%) (62.50%) 11.91 15.37 11.73 (9.77) (13.05) (9.61)
114 4. FLUJOS PEDAGÓGICOS DE LAS LECCIONES DE MATEMÁTICAS DE NUEVO LEÓN. Los modelos de enseñanza de matemáticas correspondientes a Nuevo León se derivan del análisis de 40 mapas de clases de matemáticas a grupos de sexto grado de escuelas primarias y sus respectivas narrativas. La revisión de videograbaciones permitió recuperar información puntual del tipo de problemas matemáticos planteados. A partir de las narrativas fue posible identificar los casos en los cuales se utilizó el libro de texto del alumno, material que apoyó el análisis realizado, pues permitió establecer relaciones con las actividades que se presentaron durante las clases, con los ejercicios específicos que se plantearon y en algunos casos con el manejo de información presentada en el pizarrón electrónico. En el programa de Matemáticas de sexto grado se desarrollan tres ejes temáticos: Sentido numérico y pensamiento algebraico (estudio de la aritmética y el álgebra), Forma, espacio y medida (estudio de la geometría y la medición) y Manejo de la información (interpretación de información, además de aleatoriedad y proporcionalidad). Los ejes se encuentran subdivididos a su vez en temas y subtemas, asociados a conocimientos y habilidades que se pretende logren los alumnos. Además es necesario mencionar que el programa se encuentra dividido en cinco bloques que se desarrollan durante el ciclo escolar. Tabla 85. Ubicación de los contenidos de las clases de acuerdo al programa de matemáticas de sexto grado (2010-2011). Ubicación de los casos de acuerdo al Contenido de programa de matemáticas de sexto grado (2010-1011). Casos la clase que analizados define el Bloque y Conocimientos y Tema Subtema docente Eje habilidades 19DPR0050C
19DPR0060J
19EPR0710U
19EPR0274J
19DPR16320
19DPR0793U 19DPRO288N 19DPR0049N
Leo y escribo números. Escritura y dictado de números enteros hasta el billón Lectura y escritura de números naturales hasta el billón. Los números naturales.
BI. Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Significado y uso de los números.
Fracciones como reparto
BI. Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Fracciones decimales en la recta numérica Números decimales Resolución de problemas
Números naturales.
1.1. Lectura, escritura y comparación de números de diferentes cantidades de cifras.
Significado y uso de los números
Números fraccionarios
1.2. Utilizar fracciones para expresar el cociente de la división de una medida entera entre un número natural.
BI. Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Significado y uso de los números.
Números decimales.
1.3. Comparar, ordenar y encuadrar números decimales.
B. I Sentido
Estimación y cálculo
Números naturales
1.4. Realizar las operaciones con
115 mediante cálculo mental y escrito.
19DPR1572O 19DPR1624F 19DPR0892U 19EPR0330L 19DPR0592X 19DPR1368F 19EPR0159S 19EPR0234I 19EPR0629T 19EPR0740O 19EPR0682O
Cuadriláteros y sus diagonales. Cuadriláteros Cuadriláteros Paralelogramos Partes del círculo Partes de la circunferencia Elementos del círculo Elementos de la circunferencia El círculo y sus elementos La circunferencia y sus elementos Trazos geométricos
numérico y pensamiento algebraico.
B.I Forma, espacio y medida.
B.I Forma, espacio y medida.
mental
Figuras.
Figuras
números naturales con diferentes recursos: mental, con algoritmo o con calculadora. Figuras planas.
1.5 Clasificar cuadriláteros.
Figuras planas.
1.6. Trazar e identificar circunferencias y sus elementos: radio, diámetro y centro. Distinguir puntos interiores a la circunferencia: definir círculo.
1.7. Identificar, definir y trazar rectas paralelas, secantes y perpendiculares en el plano. Identificar ángulos rectos, agudos y obtusos. 1.8. Describir rutas, la más corta, la más larga, equivalentes, para ir de un lugar a otro. Calcular, de manera aproximada, la distancia de un punto a otro, con ayuda de un mapa.
19EPR0777B
Los ángulos y su nomenclatura
B.I Forma, espacio y medida.
Figuras.
Líneas y ángulos.
19DPR1016C
Descripción de rutas.
B.I Forma, espacio y medida.
Ubicación espacial.
Representació n.
Perímetro y área. Perímetro y área de polígonos. Perímetro y área Perímetro y área de polígonos
B.I Forma, espacio y medida.
Medida.
Unidades.
1.9. Analizar cómo varía el perímetro y el área de los polígonos, en función de la medida de los lados.
B.I Manejo de la información
Análisis de la información.
Relaciones de proporcionali dad
1.10. Calcular el porcentaje de cantidades mediante diversos
19DPR0074M 19DPR1051I 19EPR0078H 19DPR0667X 19DPR0744L T 19DPR0764Z 19EPR0398S
Porcentaje Porcentaje Porcentajes
116 19DPR1215B 19DPRO301R
Porcentajes Porcentajes
19DPR02700
Porcentajes
19EPR0231L
Uso de información de tablas y gráficas
19DPR1690E
19DPR0432J 19DPR0247N
19DPR0015X
La división.
Construcción de prismas y pirámides. Los poliedros. Prismas y pirámides. Cálculo de superficies laterales y totales.
B.I Manejo de la información B. II Sentido numérico y pensamiento algebraico. B. II Forma, espacio y medida.
procedimientos (aplicando la correspondencia “por cada 100, n”, aplicando una fracción, usando como base el 10%). 1.11. Resolver problemas con base en la información dada en una tabla. 2.3. Conocer y usar las relaciones entre los elementos de la división de números naturales.
Representaci ón de la información
Tablas
Significado y uso de las operaciones.
Multiplicació n y división.
Figuras
Cuerpos
2.4. Construir y armar desarrollos planos de prismas y pirámides.
Medida.
Estimación y cálculo
2.5. Calcular superficies laterales y totales de prismas y pirámides.
Medida
Estimación y cálculo.
Representaci ón de la información.
Medidas de tendencia central.
B. II Forma, espacio y medida.
19DPRO372L
Prismas cuadrangulares
B. II Forma, espacio y medida.
19EPR0015W
Prismas y pirámides
B. II Forma, espacio y medida.
19DPR0837A
Volumen de prismas y cubos.
19DPR1342Y
Promedios
B. II Forma, espacio y medida.
B.II Manejo de la información
2.6. Calcular el volumen de prismas rectos construidos con cubos. 2.10. Resolver problemas que involucren el uso de la media (promedio) y la mediana.
117 En la Tabla 86 se pueden observar los siguientes aspectos relativos a la distribución de las clases de Matemáticas de Nuevo León: En un total de 32 clases (75%) se presentaron contenidos correspondientes al Bloque I y en 8 clases (25%) a contenidos del Bloque II. En el Eje temático Forma, espacio y medida se agruparon 23 casos (57.5%), de los cuales 14 (35%) correspondieron al tema Figuras. En el Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico, se presentaron 9 casos (22.5%), 7 (17.5%) ubicados en el tema Significado y uso de los números. El Eje Manejo de la información se conformó por 8 casos (20%), de los cuales 6 (15%) correspondieron al tema Análisis de la información, en donde los alumnos trabajaron específicamente con el cálculo de porcentajes. Tabla 86. Distribución de clases de acuerdo al programa de matemáticas de sexto grado (2010-2011). Eje Tema Subtema No. de casos Bloque Bloque I II Significado y uso de los números. (7 casos). Sentido numérico y pensamiento algebraico. (9 casos)
Forma, espacio y medida.
Estimación y cálculo mental. (1 caso). Significado y uso de las operaciones. (1 caso). Figuras. (14 casos).
(23 casos) Ubicación espacial. (1 caso). Medida. (8 casos). Manejo de la información. (8 casos)
40 casos
Análisis de la información. (6 casos). Representación de la información. (2 caso).
Números naturales.
4
0
1
0
2
0
1
0
0
1
11
0
Líneas y ángulos. Cuerpos Representación.
1 0
0 2
1
0
Unidades.
4
0
Estimación y cálculo
0
4
Relaciones de proporcionalidad.
6
0
1
0
0
1
32
8
Números fraccionarios Números decimales. Números naturales
Multiplicación y división. Figuras planas.
Tablas. Medidas de tendencia central.
118 Estrategia de análisis La identificación de los modelos de enseñanza de Nuevo León, se basó en una estrategia de tipo inductivo. Inicialmente se analizaron cada uno de los 40 mapas elaborados a partir de narrativas y videograbaciones de clases de matemáticas. El análisis diacrónico de los mapas consistió en identificar y hacer un seguimiento de los segmentos presentados en cada clase. Posteriormente análisis sincrónico permitió focalizar en la definición de las acciones realizadas por los docentes y los alumnos. El análisis de mapas se apoyó a su vez, en la lectura de las narrativas correspondientes con el propósito de identificar información específica, principalmente tipos de problemas matemáticos presentados e interacciones entre alumnos y docentes. En las clases de matemáticas de Nuevo León, fue necesario revisar los usos que durante las clases se les dieron a los libros de texto del alumno, pues estos materiales resultaron importantes para entender la dinámica de algunas clases. Modelos identificados De los análisis descritos, se derivaron cuatro modelos, algunos incluso con variantes. También fue posible identificar diferentes formas de asociar la práctica pedagógica con los libros de texto del alumno. Modelo 1 con dos variantes. El primer modelo tiene como característica principal, un énfasis en el manejo de definiciones o conceptos matemáticos durante la clase. A pesar de su sencillez, el modelo presenta dos variantes, al considerar las actividades en las que participan los alumnos durante la clase y los materiales de apoyo que se presentan, principalmente el libro de texto de matemáticas en el que se solicitan una participación específica de los alumnos. Modelo 1. Variante 1. En esta primera variante el docente asume un papel central en la clase para la presentación de conceptos matemáticos. Figura 69. Representación del Modelo 1 (Variante 1) Momento 1
Momento 2
El docente define o establece características de conceptos matemáticos, puede realizar preguntas a los alumnos.
Los alumnos hacen representaciones (gráficas y/o en tercera dimensión) de los conceptos presentados.
Momento 3 (Opción A) El docente menciona nuevamente la información presentada de manera inicial. Usa como apoyo las representaciones de los alumnos.
(Opción B) El docente revisa las representaciones de los alumnos que sirven de ejemplos a los conceptos presentados.
119 Momento 1. En este momento se enfatizan conceptos. El docente inicia con la presentación de definiciones, características de conceptos matemáticos que puede asociar a ejemplos. Los plantea de manera directa o incluso puede solicitar a los alumnos que los recuerden y mencionen ante el grupo. Momento 2. En el segundo momento, el docente presenta una actividad a los alumnos donde le solicita formas específicas de representación gráfica o tridimensional de determinados conceptos. Momento 3. Finalmente, el docente cierra la clase, en este momento se detectaron dos opciones. En la opción A, hace una revisión de las producciones de los alumnos, para verificar si las representaciones corresponden a los conceptos que presentó. En la opción B, enfatiza nuevamente los conceptos iniciales, al relacionarlos con las representaciones que elaboraron los alumnos. En algunos casos el docente puede brindar información adicional. Ejemplo de la Variante 1 (Caso 19ERPR0015W) Momento 1 El docente cuestiona a los alumnos qué es un prisma y qué es una pirámide. Presenta información adicional y ejemplos al explicar que hay pirámides triangulares y cuadrangulares. Momento 2 Los alumnos elaboran prismas a partir de tres bases que se presentan en el libro de matemáticas del alumno.
Momento 3
(Fragmento del ejercicio presentado en el libro de texto de matemáticas del alumno, p.52). A partir de los prismas elaborados, el docente explica características de las caras de prismas triangulares y cuadrangulares.
Modelo 1. Variante 2. En la segunda variante del Modelo 1, el docente otorga un papel más activo a los alumnos. En ella se identificaron dos grandes momentos. Aunque en esta variante el énfasis se presenta nuevamente en el trabajo con conceptos. Se presentan actividades iniciales donde los alumnos realizan representaciones de los conceptos a trabajar durante la clase. Es común observar que el docente coordina las actividades al seguir como guía las actividades del libro de texto del alumno.
120 Figura 70. Representación del Modelo 1 (Variante 2). Momento 1
Momento 2 Opción A El docente presenta al grupo definiciones o conceptos, relacionados directamente con las representaciones de los alumnos.
Los alumnos realizan representaciones de conceptos bajo la guía del docente o de instrucciones del libro de texto.
Opción B El docente promueve a partir de preguntas que los alumnos presenten de manera grupal un concepto relacionados con su representación.
Momento 1. Los alumnos realizan una actividad grupal (representación física de un concepto) que dirige el docente de acuerdo a las indicaciones puntuales que se presentan en su libro de texto. Momento 2. En este segundo momento, el docente tiene como propósito establecer una relación entre las actividades realizadas por los alumnos y el concepto central de la clase. En los casos analizados se observaron dos opciones. En la primera (opción A), el docente establece de manera directa una relación entre las actividades de los alumnos y el concepto básico de la clase, en la segunda (opción B) plantea preguntas para que participen en la definición o establecimiento de características del concepto. Ejemplo de la Variante 2 (Caso 19EPR0159S) Los alumnos leen, bajo la dirección de la maestra, la primera actividad de la lección del Momento 1 libro de texto, que indica cómo jugar a la Rayuela circular. El grupo sale al patio de la escuela organizado en equipos y colocan una ficha que sirve como centro, pues colocan en ella el extremo de una vara, en el otro extremo de la vara colocan otra ficha. Repiten esta actividad al girar la vara, hasta marcar la circunferencia.
Momento 2
La maestra les indica a los equipos que van a realizar otro trazo. Pide que a un metro de cordón le anuden en un extremo una vara y en el otro un gis. Usan la vara como eje, estiran el cordón y trazan una circunferencia con el gis. La maestra explica que con los trazos que hicieron formaron una circunferencia y que la figura que observan se llama círculo. Agrega que la circunferencia está formada por puntos, que cada ficha representa un punto y que cada punto está a la misma distancia del centro. La maestra ejemplifica lo anterior en el trazo de uno de los equipos. Posteriormente una de las conclusiones que se enfatiza en el aula es: “Una circunferencia son todos los puntos que están a una distancia igual al centro”.
121
Modelo 2. En el segundo modelo, el énfasis se centra en la presentación de procedimientos para resolver algoritmos o problemas. Este modelo presenta dos momentos. Figura 71. Representación del Modelo 2. Momento 1 El docente presente un algoritmo o procedimiento para resolver un problema. Uno o varios alumnos aplican el procedimiento ante el grupo. Momento 2
Aplicación de procedimientos de manera individual: • En el aula. • Como tarea extraescolar.
Los alumnos aplican el procedimiento mostrado de manera individual. Aplicación de procedimientos por un alumno (modelaje ante el grupo).
Momento 1. En el primer momento el docente presenta un algoritmo o procedimiento para resolver un problema matemático. Es un procedimiento convencional, incluso puede ser una fórmula específica. Momento 2. A partir de la presentación del procedimiento, se observa un segundo momento que puede tener dos opciones: a) En la primera opción, un alumno utiliza el procedimiento expuesto y sirve como modelo al grupo. El docente observa en esta actividad una reafirmación de su propia exposición. Luego el resto de los alumnos del grupo aplicarán el procedimiento mostrado. b) La segunda opción es que todos los alumnos apliquen de manera inmediata el procedimiento explicado. En una siguiente etapa algunos alumnos demuestran como llevaron a cabo dicho procedimiento.
122 Ejemplo del Modelo 2 (Caso 19DPR0744L) Momento 1 Después de comentar con los alumnos en relación a situaciones de ahorro y descuentos al realizar acciones de compra de productos, el docente informa al grupo que les va a enseñar el procedimiento para obtener un descuento: “…voy a enseñarles un procedimiento para que sepan cómo hacer el descuento del producto y saber cuánto es lo que van a pagar”. Plantea la necesidad de calcular el 15% de descuento de un celular que cuesta 2500 pesos. El docente escribe la multiplicación 2500 x 15 y la resuelve. Señala como marcar el punto decimal y obtiene 375 pesos como resultado, “...eso es lo que se va a descontar”, dice el docente. A continuación solicita a los alumnos que establezcan el procedimiento para saber el costo del celular. Edson señala que hay que restar 2500 y 375 pesos, docente aclara que hay que poner el punto decimal y acomodar bien la cantidad para no equivocarse al restar. Escribe en pizarrón: 2500.00 – 375.00, lo resta y dice que con eso se dan cuenta de cuánto van a pagar. En este caso el docente pregunta a los alumnos si conocen otro procedimiento para resolver el problema planteado. Un niño participa, comenta que el divide el precio entre 100 y el resultado lo multiplica por el tanto por ciento. El docente le pide que aplique el procedimiento, el alumno pasa al pizarrón y divide 2500 entre 100, luego multiplica el resultado por 15 y obtiene 375. El docente señala que él les enseñó un procedimiento y que el niño otro, pero que con él se usaron sólo tres operaciones, qué cuál les pareció más práctico, a lo que varios alumnos responden que el procedimiento del profesor. Pregunta al grupo: ¿Cuántas operaciones utilicé yo? Los alumnos contestan a coro que dos. Momento 2 El docente entrega a cada uno de los alumnos una hoja con problemas para calcular descuentos de diferentes productos, les indica: “…para ver cuánto aprendieron del tema” y señala: “Van a hacer las operaciones y van a poner el costo total que pagarían por el artículo que viene aquí dibujado, señala unos tenis (…) pongan las operaciones y no resuelvan los problemas por razonamiento, tienen 15 minutos para resolver el ejercicio…”
123 Modelo 3. El Modelo 3 se identifica como una combinación de las principales acciones que se realizan en el Modelo 1, donde el docente presenta conceptos de manera general o acompañados de ejemplos (énfasis en conceptos) y el Modelo 2, en el cual el docente explica los procedimientos que el alumno debe seguir principalmente para efectuar un algoritmo, en uno de los casos para resolver problemas. Este tercer modelo se puede presentar gráficamente como una secuencia entre los modelos 1 y 2. Figura 72. Representación del Modelo 3 Momento Modelo 1 1 Definición de conceptos
Momento 2
Modelo 2 Presentación de procedimientos específicos para realizar un algoritmo o resolver un problema.
Momento 1 Los conceptos se plantean por el docente a partir de definiciones, en algunas ocasiones acompañados de representaciones gráficas o la presentación de situaciones, que sirven como ejemplos. Momento 2 Los procedimientos son dados a conocer por el docente. Una característica básica es que son se presentan como los procedimientos válidos o más efectivos. Ocasionalmente en esta etapa se mencionan nuevamente los conceptos planteados de manera inicial. Ejemplo del Modelo 3 (Caso 19EPR0231L) Momento 1 El maestro informa al grupo que el tema a tratar en la clase son las tablas que contienen información para resolver problemas. Menciona ejemplos: croquis, tablas de precios y de frecuencias. El maestro comenta que la información de tablas se grafica y luego se utiliza para responder preguntas. Guía la observación de una serie de tablas contenidas en el libro y la definición de sus características: cantidades, información y doble entrada, el grupo las anota. Momento 2 El maestro recupera un problema del libro de texto: Si conserva la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá Daniel en 3 minutos? Luego explica y realiza el procedimiento para encontrar la respuesta, convierte el tiempo recorrido a segundos, luego divide la distancia recorrida entre el total de segundos y finalmente multiplica la distancia recorrida cada segundo por el total de segundos de tres minutos. Posteriormente los alumnos resuelven problemas y el maestro les solicita que expliquen el procedimiento utilizado.
124
Modelo 4. En clases de matemáticas de Nuevo León, el Modelo 4 se define a partir de las características que presentan las acciones realizadas por los alumnos, donde muestran expresiones de sus conocimientos en relación al tema de la clase y confrontan ideas. Al trabajar con problemas matemáticos realizan distintos procedimientos para obtener un resultado, que en algunos casos exponen y/o contrastan. El maestro dirige la clase y promueve la participación de los alumnos. Figura 73. Representación del Modelo 4.
Momento 1 El docente presenta problemas matemáticos.
Momento 2 Los alumnos deciden (de manera individual o en equipo) el procedimiento que van a utilizar para resolver los problemas planteados, incluso si los realizan por escrito o con cálculos mentales. Momento 3 El docente promueve que los alumnos confronten procedimientos y resultados obtenidos
Momento 4 El docente solicita a los alumnos que elaboren conclusiones.
El docente presenta conclusiones y/o procedimientos formales como una alternativa. Momento 1. En este momento el docente presenta al grupo problemas matemáticos que pueden ser orales, escritos o incluso consistir en retos (al trazar figuras geométricas a partir de indicaciones escritas). Momento 2 Los alumnos resuelven los problemas planteados. Es frecuente que para la solución de dichos problemas se solicite la conformación de equipos de alumnos. Las estrategias de solución que se aplican pueden resultar muy variadas. Momento 3. El docente solicita a los alumnos que presenten los resultados obtenidos y el procedimiento de solución aplicado. En algunos casos no espera a que los alumnos hayan concluido,
125 monitorea el trabajo que realizan y los cuestiona en relación a las actividades que realizan, para que en caso de presentarse algún error en el procedimiento lo observen y modifiquen. Momento 4. En la parte final, se observaron dos tipos de cierre, en algunos casos el docente pide a los alumnos que establezcan las conclusiones a las que llegaron después de haber presentado los procedimientos de solución que utilizaron, en otros casos es el mismo docente quien concluye acerca de los procedimientos observados. Ejemplo del Modelo 4 (Caso 19DPR0837A) Momento 1 A partir de una actividad del libro de texto, los alumnos forman equipos de trabajo de tres integrantes. La consigna es elaborar prismas con base cuadrangular o rectangular, con cubos.
Momento 2 Momento 3
Momento 4
(Fragmento del ejercicio presentado en el libro de texto de matemáticas del alumno, p.58). Los alumnos proceden a elaborar los prismas solicitados, acuerdan cuál es el largo, el ancho y la altura. Los alumnos concluyen acerca de los procedimientos para construir los prismas solicitados.
A partir de indicaciones del docente y la actividad señalada en el libro de texto, los alumnos plantean diferentes procedimientos para obtener el volumen de un prisma.
(Fragmento del ejercicio presentado en el libro de texto de matemáticas del alumno, p.58). El docente indica a varios alumnos que señalen procedimientos o formas de obtener el volumen de prismas.
126 Kelly establece que se puede contar de uno en uno (se refiere a los cubos utilizados). Leobardo establece que él multiplicaría ancho y alto 3 veces. Un tercer alumno, multiplica el alto por el ancho y por largo y le da 72. El docente cuestiona al grupo: ¿Cuál método les gusta más? Los alumnos comentan acerca del procedimiento que les parece más sencillo y por qué, el docente concluye que los tres procedimientos son correctos. Posteriormente presenta la fórmula: largo X altura X ancho, para representar el procedimiento planteado por uno de los alumnos.
El uso de los libros de texto del alumno. El uso del libro de texto del alumno se presenta de manera recurrente en las clases de matemáticas de Nuevo León. En la mayoría de los casos los alumnos cuentan con dicho material, e incluso el docente lo proyecta en el pizarrón electrónico, hubo casos donde se utilizaron fotocopias del libro y únicamente en un caso se detecta el uso de un libro de una editorial privada. A continuación se presentan algunos ejemplos del uso del libro de texto del alumno durante las clases de matemáticas. a) El libro de texto presenta las matemáticas asociadas a situaciones concretas que permiten observar su funcionalidad. Los docentes deciden si agregan a este tipo de situaciones, otras donde se observa el uso de la matemática sin un contexto. En el Caso 19EPR0274J el docente hace uso del libro de texto para la lectura y comparación de cantidades. El ejercicio hace referencia a la franja del eje volcánico que cruza algunas entidades del centro del país
La maestra anota en el pizarrón el título del ejercicio: ¿Cómo se leen? Abajo anota una serie de números que les pide a los alumnos que escriban y anoten cómo se leen. Indica que posteriormente van a pasar a leer frente a sus compañeros. Después de un tiempo, pasa al frente a Juan Carlos, que lee: Cuatro millones, ciento ochenta y siete mil, doscientos tres. Luego le pide a Carlos que lea el siguiente número. El alumno lee: Cuatrocientos ochenta y seis millones, ciento noventa y siete mil, quinientos treinta y cinco. M.- A ver Janeth, léemelo tú por favor también… Janeth.- Cuatrocientos ochenta y seis millones ciento noventa y siete mil, quinientos treinta y cinco. M.- Excelente Janeth, muy bien y rápido. A ver léemelo Laisha. Laisha.- Cuatrocientos ochenta y seis millones ciento noventa y siete mil, quinientos treinta y cinco.
La docente del Caso 19DPR0060J hace una actividad diferente y dicta y solicita la escritura de números sin un contexto.
127 M.- Excelente, ahora voy a dictar unos números y ustedes los van a escribir ahí… La maestra dicta los siguientes números: M.- 115, 208, 120. (Lo repite cinco o seis veces). Le pide a Felipe que pase a escribirlo, el alumnos pregunta que si con número y lo anota en el pizarrón. M.- A ver, listos, vamos a ver. El que sigue 3, 145, 209, 124.
b) Las actividades de las clases se asocian a las presentadas en el libro de texto. En algunos casos los docentes realizan actividades de las planteadas en el libro de texto de manera puntual. Un ejemplo de esto se observa en el Caso 19DPR1368F Actividad observada en la clase
Actividad propuesta en el libro de texto.
El docente indica a los alumnos que saquen unos círculos de cartón que encargó de tarea, les pide que lo doblen a la mitad y marquen con su lápiz, la línea del doblez que se formó. Señala que esa línea pasa de un punto de la circunferencia a otro, pasa por el centro, y les pregunta por el nombre que recibe. Un niño dice que es el ecuador, el docente se ríe y dice que no, otro alumno responde que es el diámetro. El docente traza el diámetro en un círculo que se encuentra en el pizarrón y enfatiza que va de un punto a otro pasando por el centro, y le pide a una niña que escriba la palabra diámetro. Posteriormente el docente indica a los alumnos que observen la página 24 del libro de texto que ahí viene la actividad que acaban de hacer y lee las instrucciones y la información que ahí se presenta.
c) El docente realiza cambios a las actividades planteadas en el libro de texto. Si bien, se puede presentar una relación entre la información y las actividades que se presentan en el libro de texto y las clases observadas, también es posible afirmar que los docentes realizan variaciones a las actividades, hacen ampliaciones, contextualizan o realizan diferentes énfasis. En el mismo Caso 19DPR1368F se observa como el docente, después de haber permitido a los alumnos identificar de manera práctica el diámetro de un círculo, antes de observarlo en una representación gráfica y leer su definición, al continuar con la actividad del libro que plantea una interrogante para que los alumnos reflexionen en tormo al número de diámetros de una circunferencia, no les permite responder.
128 Actividad observada en la clase
Actividad propuesta en el libro de texto.
El docente lee en voz alta una pregunta del libro: ¿Cuántos diámetros tiene una circunferencia?, y es él mismo quien responde, al señalar que es un número infinito de diámetros. Luego solicita a los alumnos que escriban la respuesta en la línea correspondiente. De manera adicional informa que la circunferencia mide 360 grados.
Otro ejemplo de los cambios que los docentes pueden hacer a las actividades presentadas en el libro de texto se presenta en los casos 19DPR1368F y 19EPR0159S. Actividad observada en la clase Inicialmente los docentes aplican con sus alumnos las actividades sugeridas en el libro de texto: Salir al patio de la escuela. Colocar una taparrosca en el suelo y marcar su contorno con gis y establecer que es el centro. Usar una vara como medida para que cada alumno coloque una taparrosca a la misma distancia del centro, sin que queden espacios entre las taparroscas.
Actividad propuesta en el libro de texto.
Posteriormente en las clases se presentan dos situaciones diferentes. A partir de la comparación de estos casos es posible observar como los docentes reinterpetan los propósitos de las actividades del libro de texto y generan diferencias significativas en el sentido de la clase, aún y cuando utilicen como apoyo el mismo material e incluso lleven a cabo actividades similares.
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Cuestionamientos que se presentan en el libro de texto.
Actividades observadas en las clases Caso 19DPR1368F
Caso 19EPR0159S
Después de hacer la actividad con las taparroscas en el patio, el docente les pide a los alumnos que pasen el aula, donde solicita a una alumna que lea el libro de texto de matemáticas. Ella lee: ¿Qué figura han formado las taparroscas colocadas en el suelo? y responde que una circunferencia. El docente, pregunta: ¿A qué equipo no le salió la circunferencia? Los alumnos no responden. Luego explica en el pizarrón lo que debieron haber hecho en la cancha, dibuja un punto y marca las taparoscas que debieron colocar. Luego menciona: Al final formaron una...(hace una pausa, los alumnos no responden), él completa la frase: …circunferencia y escribe la palabra circunferencia en pizarrón. Luego pregunta si es lo mismo un círculo que una circunferencia, algunos alumnos responden que si, otros que no. El docente les indica que ellos mismos se van a dar cuenta si andan mal, se voltea a pizarrón y les dice: la circunferencia es esto...(traza una circunferencia), cuestiona: ¿Conocen el perímetro de un cuadrado? Y él responde: El perímetro es lo que mide por fuera una figura geométrica (señala con su dedo como el contorno de algo). Informa al grupo: Se le llama circunferencia al perímetro del círculo (lo remarca en el dibujo), a lo que está por fuera. Luego señala el área y establece: A lo que está por dentro se le llama...Hace una pausa, los alumnos no responden, una niña dice: Área. El maestro dice: Si, es el área de la circunferencia, pero como le llamamos a lo de adentro, (los alumnos permanecen callados). Él responde: el círculo es lo de adentro, el perímetro es la circunferencia.
Cuando los alumnos concluyen la actividad con las taparroscas, la maestra les dice que van a comprobar que la distancia entre el centro y cada ficha es la misma. Utilizan el palo de madera. Empieza a medir en el equipo que terminó primero, otro equipo hace lo mismo y reacomoda algunas fichas. La maestra les pregunta qué figura se formó, cada equipo responde que un círculo, la maestra replantea la pregunta: ¿Qué se forma con las puras fichas?, ¿qué está delineado con las fichas? Los alumnos insisten que es un círculo, la maestra les pide que lo comenten al interior de cada equipo antes de responder. Luego le entrega a cada equipo un metro de hilo para que hagan un segundo círculo, atan un extremo del hilo al palo de madera para usarlo como eje del círculo y en el otro extremo atan un gis para trazar el círculo, a cada equipo que la maestra les entrega el hilo les da las indicaciones y el equipo se pone a trabajar en ello. Al terminar les pregunta, cómo se llama la línea que trazaron, el grupo responde que circunferencia, luego les pregunta por la figura que formaron, el grupo responde que un círculo. La maestra entonces explica que la circunferencia pequeña está formada por puntos, en donde cada taparrosca es un punto y que cada punto está a la misma distancia del centro, mientras les explica les ejemplifica con los trazos de uno de los equipos. Después les pide que pasen al salón, cada equipo recoge su material, pasa al salón y se acomodan en su lugar. Les pide que lean el libro en la página 23, les dice que ya hicieron la actividad del patio, que a continuación van a contestar las preguntas del libro y que tienen que escribir el concepto de circunferencia con sus propias palabras y relacionándolo con la actividad realizada en el patio. Luego les propone hacer la definición entre todos.
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Resulta interesante observar como la realización de actividades del libro de texto y las conclusiones que se plantean, dependen de los conceptos matemáticos de los propios docentes y las formas como conciben que aprendan los alumnos. Caso 19DPR0592X 19DPR1368F 19EPR0234I 19EPR0159S 19EPR0629T 19EPR0774O
Definición que plantea el docente La circunferencia es la orilla, el contorno. El círculo es lo de adentro, el perímetro es la circunferencia. Circunferencia: es una línea curva que termina en el punto donde inició. Circunferencia, son todos los puntos que están a una distancia igual al centro. La circunferencia es una línea cerrada cuyos puntos se encuentran a la misma distancia del centro. La circunferencia es una serie de puntos.
En la siguiente tabla, se recuperan fragmentos de seis clases donde además de ubicar los diferentes conceptos de circunferencia, es posible observar las diferentes estrategias de enseñanza que presentan y el papel que les otorgan a los alumnos en el aprendizaje de dicho concepto.
Caso 19DPR0592X
Concepto de circunferencia que se presenta como válido por los docentes El maestro establece: La circunferencia es la orilla, el contorno. Cuestiona a los alumnos ¿están de acuerdo? Señala el pizarrón y pregunta: ¿Qué es lo que está dibujado ahí?, ¿un círculo o una circunferencia?
Los alumnos responden que un círculo y una circunferencia. Él señala la figura y vuelve a preguntar: ¿Es un círculo o circunferencia? Algunos responden: Círculo. El docente acepta la respuesta como válida. Explica que si extrae la base y deja sólo el contorno tendría una circunferencia. Al plantear lo anterior cubre la superficie del círculo para que los alumnos observen el perímetro.
131 19DPR1368F
19EPR0234I
19EPR0159S
19EPR0629T
El docente explica a los alumnos: La circunferencia es esto... y presenta un trazo en el pizarrón.
Cuestiona a los alumnos qué si conocen el perímetro de un cuadrado, a lo que él mismo responde: El perímetro es lo que mide por fuera una figura geométrica (señala con su dedo como el contorno de algo). Se le llama circunferencia al perímetro del círculo (lo remarca en el dibujo), a lo que está por fuera. Lo que está por dentro se le llama... Hace una pausa, traza una cuadrícula dentro de la figura, los alumnos no responden y finalmente una niña dice, área. El maestro afirma: Si, es el área de la circunferencia, pero como le llamamos a lo de adentro, él responde: El círculo es lo de adentro, el perímetro es la circunferencia. El maestro indica a sus alumnos que van a anotar en su cuaderno la definición de circunferencia, escribe la palabra en el pizarrón y pregunta quién le puede ayudar a encontrar una definición. Una alumna responde: Es el contorno de un círculo, el maestro repite la respuesta y dice que es correcta, que si dijera que es el contorno de una figura podría ser de un rombo o un cuadrado, pero que de un círculo está correcto y dicta al grupo el concepto: Circunferencia: es una línea curva que termina en el punto donde inició. La maestra propone a los alumnos unificar una definición de circunferencia e inicia una serie de cuestionamientos: Ma.- ¿Qué es la circunferencia? Ao.- Es una línea que rodea al círculo. Ma.- ¿Cómo está esa línea en relación al centro? As.- No responden. Ma.- ¿Qué fue lo que pusieron en el patio a partir del punto central? As.- (A coro) Fichas. M.- Y si no fueran fichas, ¿qué serían? As.- (A coro) Puntos. M.- ¿Cómo están esos puntos? As.- Separados. Ma.- (Dibuja en el pizarrón una línea curva a partir de puntos unidos). Si yo pongo muchos puntitos así, cómo están esos puntos, qué se formaría. Ao.- Una circunferencia. Ma.- Entonces, ¿qué es la circunferencia? Son todos los puntos… que están… As.- Alrededor del círculo. Ma.- Que están ¿a qué…? Aa.- A la misma distancia. Ma.- ¿Cómo es esa distancia? Aa.- Igual. La maestra anota la definición en el pizarrón: Circunferencia, son todos los puntos que están a una distancia igual al centro. Al acomodar las taparroscas, la maestra plantea algunas preguntas: Ma.- ¿Qué parece eso? Ao.- Una rueda. Aa.- Una llanta. Ao.- Un círculo. Ma.- ¿Así tendrán los círculos muchos puntitos? As.- (A coro) Noo, siii. Cuando terminan de formar la figura, la maestra les pide que se sienten en su lugar. Ma.- ¿Qué formaron con las tapa roscas, qué les representa, cómo se lo imaginan si lo
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19EPR0774O
estuvieran haciendo en un cuaderno o un papel? Aa.- La raya. Ma.- ¿Cuál raya? Ao.- El radio. (…) Ma.- ¿Qué será todo lo que va por la orilla? As.- (Varios contestan a la vez). El contorno, el perímetro, la línea. Ao.- El perímetro o contorno. Ma.- ¿Se le llamará perímetro? Aa.- Es la circunferencia. Ma. Es la circunferencia. El perímetro, el contorno, la orilla, la línea de un círculo se llama circunferencia. (…) Ma.- Entonces, la circunferencia está llena, ¿de qué cosa? As.- Líneas, de puntos. Ma.- De puntos. La circunferencia es una línea que está compuesta por… As. (A coro) Puntos. Ma.- Pero, ¿cómo tiene que ser esa línea? Ao.- Redonda. Ma.- ¿Qué más? Ao.- Cerrada. Ma.- Circular o cerrada. Entonces la circunferencia es una línea cerrada cuyos puntos se encuentran a la misma… As.- (A coro) distancia. Ma.- A la misma distancia, ¿de dónde? As.- A la misma distancia del centro. Los alumnos trazan una circunferencia a partir de la unión de varios puntos. La maestra cuestiona: Ma.- ¿Cómo se llama esa línea que se formó? Ao.- Es un círculo. Ma. Un círculo, ¿será un círculo? Cuestiona a una alumna. Aa.- Si. Ma.- ¿Crees que es un círculo? Ao.- Si. Ma.- Ahora van a ver cómo se le llama realmente a esa parte. Entrega a cada niño una hoja que contiene información y les pide que lean. Ma.- Van a leer los conceptos para comprender lo que hicieron. Ustedes dijeron que era un círculo. El grupo lee en silencio la hoja; la maestra le pide a un niño que lea la información, el niño lee. Ma.- Alguien me puede explicar lo que acaba de leer su compañero. Aa.- La circunferencia son una serie de puntos a la misma distancia del centro. Ma.- ¿Qué fue entonces lo que hicieron? As.- (A coro) Una circunferencia. Ma.- La circunferencia es una serie de puntos (…) están aprendiendo que esa línea que hicieron está formada por muchos puntitos y que esa línea es la circunferencia.