Pembahasan Soal 3 Diketahui cos(A – B) = dan 5 7 . Tentukan cos A . cos B = 25 nilai tan A . tan B Jawab: cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B sin A sin B = cos (A – B) – cos A cos B 3 7 = 5 25 15 7 8 = 25 25 sin A sin B tan A tan B = cos A cos B 8 8 = 25 7 7 25 Ebtanas 1998
Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus cos (α + β), yaitu cos(α – β) = cos (α + (–β – )) = cos α cos(–β – ) – sin α sin(–β – ) = cos α cos β + sin α sin β cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Contoh 3.1 1. 2.
Hitunglah cos 75°. cos A B 1 tan A tan B . Buktikan cos A cos B
Jawab: 1. cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30° ¤ 1 ´µ ¤ 1 ´µ ¤ 1 ´µ ¤ 1 ´µ = ¥¥¥ 2 µ ¥ 3µ ¥ 2 µ ¥ µ ¦ 2 µ¶ ¥¥¦ 2 µ¶ ¥¥¦ 2 µ¶ ¥¥¦ 2 µ¶ 1 1 1 6 2 2 3 1 4 4 4 cos A B cos A cos B sin A sin B co c s A cos B =
2.
cos A cos B
cos A cos B 1 tan A tan B
cos A cos B
sin A sin B cos A cos B
2. Rumus untuk sin (α ± β) Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang sudut komplemen. Anda dapat menentukan rumus sin (α β) dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut komplemen berikut. cos (90° – α) = sin α dan sin (90°– α) = cos α
Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut komplemen, diperoleh sin (α + β) = cos [90° – (α + β)] = cos [(90° – α) – β] = cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β = sin α · cos β + cos α · sin β sehingga
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Rumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β), yaitu sin (α – β) = sin (α + (–β – )) = sin α cos (–β – ) + cos α sin (–β – ) = sin α · cos β – cos α · sin β
78
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam