A. Konsep Turunan Untuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah kedua adalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanika terlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
1. Garis Singgung Amati Gambar 8.1. Misalkan A adalah suatu titik tetap pada grafik y = f( f(x) dan B adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang grafik y = f( f(x). Misalkan, titik A berkoordinat (a, f( f a)) maka titik B berkoordinat (a + Δx, f( f a + Δx)). Garis yang melalui A dan B mempunyai
y
f a $xx f a . Garis ini memotong $xx
f(a)
grafik di dua titik A dan B yang berbeda. Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f( f x) mendekati titik A maka nilai Δxx semakin kecil. Jika nilai Δx mendekati nol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya, garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-x) adalah garis yang melalui A(a, f( f a)) dengan gradien
O
gradien (kemiringan)
m AB lim
$xl0
f a $xx $xx
f a
f(a +
)
y = f(x) B(a + , f(a + ))
A(a, f(a))
a
a+
x
Gambar 8.1
y
...(1) f (a +
Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak boleh tegak lurus sumbu-x? Tentukan gradien garis singgung pada kurva a. f( f x) = x2 di titik dengan absis 2 b. f( f x) = x3 di titik dengan absis 3 Jawab: 2 f $xx f $xx 2 2 a. m lim lim $xl0 $xl0 $xx $xx 2 4 $ $x lim lim 4 $x 4 $xl0 $xl0 $x Jadi, gradien garis singgung kurva f( f x) = x2 di titik dengan absis x = 2 adalah m = 4.
A(a, f(a))
f(a)
O
Contoh 8.1
y = f(x) B(a + , f(a + ))
)
a
a+
x
Gambar 8.2
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
195