Voy a
a pre n d e r
4. Potenciación de números naturales
Indicadores de logro Razonamiento y demostración
En un laboratorio se observa que una bacteria se duplica cada hora. ¿Cuál será el número de bacterias después de 5 horas?
Relaciona el cálculo de la potenciación con la multiplicación de factores iguales.
• Graficamos y completamos la tabla con el número de bacterias:
Comunicación matemática Calcula el producto y el cociente de potencias de igual base y potencia de una potencia.
Presenta ejemplos que muestran la utilidad de la potenciación en contextos reales.
Horas
Número de bacterias
Potencia
0
1
20 = 1
1
2
¿Para qué estudiamos esto? Para resolver y simplificar operaciones aplicando las propiedades de la potenciación.
21 = 2 2
2
4
2 =2×2
3
8
23 = 2 × 2 × 2
4
16
24 = 2 × 2 × 2 × 2
• Calculamos el número de bacterias después de 5 horas:
Resolución de problemas
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 bacterias
Resuelve problemas de contexto matemático y real que implican el cálculo de la potencia de un número natural.
Hay 32 bacterias.
Elementos de la potenciación Exponente
5 veces
La potenciación es la forma abreviada de una multiplicación de factores iguales. an = a × a × a × a … = b
43 = 64 Potencia Base
n veces
Eje mplo 35 Resuelvo problemas usando la potenciación
Potencias y más potencias
Ana y Diego tuvieron tres hijos. Cada uno de ellos tuvo a su vez tres hijos, y así sucesivamente. ¿Cuántos primos tiene Flavia si es tataranieta de Ana y Diego?
Juego “Descomposición de números” • Elabore tarjetas y escriba diferentes
• Graficamos el problema: Ana Diego – Número de hijos: 31 = 3 – Número de nietos: 32 = 9 – Número de bisnietos: 33 = 27 – Número de tataranietos: 34 = 81 • Flavia es tataranieta; ella y sus hermanos son 3, entonces: 81 – 3 = 78 Flavia tiene 78 primos.
números. Forme parejas de estudiantes y en una bolsa coloque 10 tarjetas. Cada jugador sacará una tarjeta y realizará la descomposición del número expresado en una suma de potencias de 2. Por ejemplo:
• 10 · 10 · 10 = 103 Se lee: 10 al cubo • 2 · 2 · 2 · 2 · 2 … 2 = 295
Hijos Nietos Bisnietos
95 veces Se lee: 2 a la 95 • 4 · 4 · 4 · 4 … 4 = 4n n veces Se lee: 4 a la n
Eje mplo 36 Resuelvo operaciones combinadas a) 32 + 53 – 72 – 19
= 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20
Calculamos las potencias.
Resolvemos la adición. 9 + 125 – 49 – 1 Resolvemos la sustracción. 134 – 49 – 1 85 – 1 = 84 Resolvemos las operaciones de los paréntesis. b) (6 + 2)3 ÷ 23 + (12 – 6)2 × 2 ÷ 3 Calculamos las potencias. 62 ×2÷3 83 ÷ 23 + Calculamos las divisiones y multiplicaciones 512 ÷ 8 + 36 ×2÷3 en el orden en el que aparecen. 64 + 72 ÷ 3 64 + 24 = 88
11 = 23 + 21 + 20 15 = 23 + 22 + 21 + 20 El jugador gana un punto por cada acierto. Si se equivoca, el otro jugador puede corregir y ganar el punto. Si el jugador acierta, seguirá sacando las tarjetas una a una. Si se equivoca, pasa el turno al otro jugador. Gana quien obtenga más puntos.
Calcula 43 × 5 – 60 ÷ (22 + 2) × 4 ÷ 8 – 10
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63 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
Jerarquía de las operaciones combinadas Para resolver las operaciones combinadas sigue este orden: 1o Signos de colección 2o Potenciación 3o Multiplicación y división 4o Adición y sustracción
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Evolución histórica de la potencia Los babilonios usaban la elevación a potencia como operación auxiliar de la multiplicación, mientras que los griegos utilizaban los cuadrados. Por su parte, Diofanto (siglo III d.C.) ideó la notación: x, xx, xxx… para expresar la primera, segunda y tercera potencias de x. Finalmente, Descartes introdujo en el siglo XVII la notación moderna x, x 2, x 3…
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Sesión de aprendizaje
030_039 U01M1 36
6/7/11 9:12:03 AM
Inicio
•
Destaque el diagrama de árbol propuesto e invite a los estudiantes a realizar la descripción y el planteamiento del problema y a reconocer cómo expresar las cantidades numéricas como potencias. Presente la relación del esquema con los datos organizados en la tabla. Utilice la barra de zoom para observar el diagrama.
Desarrollo Presente el recurso video para revisar los procesos aplicados en el cálculo de una potencia.
•
Compruebe numéricamente la equivalencia entre la multiplicación de factores iguales y la potenciación correspondiente.
•
Procure que sean los propios estudiantes quienes planteen conclusiones y descubran los criterios para multiplicar y dividir potencias de igual base.
•
Establezca la relación entre la descomposición de un número compuesto y su expresión en forma de potencia. 153 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 = 33 · 53 182 = 3 · 3 · 3 · 3 · 2 · 2 = 34 · 22
•
Motive la práctica de las operaciones combinadas con potencias para ejercitar los procesos algorítmicos de las operaciones. Refuerce con ejercicios variados.
•
Proponga a los estudiantes la creación de ejemplos para demostrar las propiedades de la potenciación.
Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1
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Información complementaria
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