3.5. Máximo común divisor (MCD)
Indicadores de logro
Se tienen tres depósitos con alcohol industrial: uno con 16 litros, otro con 24 litros y el último con 48 litros. Se desea envasar el alcohol en galoneras de igual capacidad que contengan la mayor cantidad posible, sin que sobre alcohol. ¿Qué capacidad deben tener las galoneras?
Establece relaciones al hallar el MCD de dos o más números de dos formas: encontrando el conjunto de sus divisores y aplicando la forma abreviada.
• Para que no sobre alcohol, la capacidad de las galoneras debe ser un divisor de 16; 24 y 48: D(16) = {1; 2; 4; 8; 16} D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} D(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}
Establece relación entre el MCM y el MCD de dos o más números.
• Los divisores comunes indican la capacidad de las galoneras:
Comunicación matemática
Divisores comunes de 16; 24 y 48 = {1; 2; 4; 8}
Explica los pasos que se deben seguir para hallar el MCD de un conjunto de números, a partir de su descomposición en producto de factores primos.
16 8 4 2
-
24 12 6 3
-
48 24 12 6
2 2 2
Hallamos los divisores comunes.
MCD(16; 24 y 48) = 2 × 2 × 2 = 23 = 8
• Como se pide la mayor capacidad posible, las galoneras deben ser de 8 L cada una. El mayor de los divisores comunes de 16; 24 y 48 es 8. Es el máximo común divisor de 16; 24 y 48, y se escribe: MCD(16; 24 y 48) = 8. El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor divisor común.
Resolución de problemas Resuelve situaciones de contexto real que involucran el concepto de MCM y MCD.
Eje mplo 31 Resuelvo problemas con el MCD Raúl necesita confeccionar escarapelas. Para ello tiene tres cintas cuyas medidas son 650 cm, 875 cm y 1 000 cm, y debe cortarlas en piezas de igual tamaño y de la mayor longitud posible. a) ¿Cuánto medirá cada pieza de cinta para confeccionar cada escarapela? • Como se quiere dividir las cintas en piezas iguales de la mayor longitud posible, calculamos el mayor divisor común de 650; 875 y 1 000. MCD(650; 875 y 1 000) = 25
Otra forma de resolver
Hallamos el MCD de 650; 875 y 1 000: 650 - 875 - 1 000 130 - 175 - 200 26 - 35 - 40
5 5
MCD(650; 875; 1 000) = 52 = 25
Cada pieza de cinta debe medir 25 cm.
Posibles dificultades • En la resolución de problemas del
b) ¿Cuántas escarapelas podrá confeccionar Raúl? 650 ÷ 25 = 26 875 ÷ 25 = 35 = 101 1 000 ÷ 25 = 40
Raúl podrá confeccionar 101 escarapelas.
Realice preguntas literales acerca de situaciones problemáticas de MCM y MCD que permitan a los estudiantes identificar los datos más importantes para la comprensión y solución del problema planteado.
Calcula el MCD de 84; 60 y 72, en forma abreviada.
© Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822
• El número de escarapelas por cinta es:
MCM y MCD, realice la recreación de situaciones que faciliten la elección entre el MCM y MCD.
•
Forma abreviada para hallar el MCD de 16; 24 y 48
Razonamiento y demostración
12
Eje mplo 32 Calculo el MCD por descomposición en factores primos Calcula el MCD de 84; 60 y 72 usando la factorización prima. • Descomponemos cada número: 60 = 22 × 3 × 5 72 = 23 × 32 84 = 22 × 3 × 7 • El MCD es el producto de los factores comunes, con su menor exponente: MCD(84; 60 y 72) = 22 × 3 = 12 32
Más actividades
030_039 U01M1 32
Presente los siguientes problemas:
Inicio
2. Para hacer prácticas en el laboratorio hay que distribuir a los estudiantes en grupos. La profesora se da cuenta de que si los coloca de 2 en 2, de 3 en 3 o de 4 en 4, sobra un estudiante en todos los casos. Entonces, decide hacer grupos de 5 y observa que no sobra ninguno. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase?
Presente el recurso animación para activar los saberes previos acerca del MCD.
•
Brinde el tiempo necesario para compartir sus ideas y revisar los procesos aplicados en el cálculo del MCD de dos o más números.
•
Pregunte lo siguiente: ¿Qué diferencias encuentran al calcular el MCM y MCD?
Desarrollo
•
Induzca a los estudiantes a reconocer el mayor de los divisores comunes hallados. Motívelos a establecer la definición de MCD a través de los ejemplos propuestos. Proponga la aplicación de la forma abreviada para hallar el MCD de dos o más números.
•
Haga notar que el MCD de dos o más números se obtiene a partir de la descomposición en factores primos de dichos números. Por ejemplo: MCD (60; 48 y 36) Descomponemos los números: 60 = 22 · 3 · 5
48 = 24 · 3
32
36 = 22 · 32
Se seleccionan los factores comunes (2 y 3) con su menor exponente: 22 y 3 Entonces el MCD(60; 48 y 36) = 22 · 3 = 12
38
6/7/11 9:11:58 AM
Unidad 1 Hipervínculos / Guía metodológica Matemática 1 / Unidad 1
© Santillana S.A. Prohibida su reproducción. D.L. 822
1. Pamela y Claudia van al cine, pero no se ponen de acuerdo. Pamela va cada 5 días y Claudia cada 6 días. Si coincidieron el 24 de diciembre, ¿cuándo volverán a coincidir? ¿Cuántas veces habrá ido cada una antes de volver a coincidir?
Sesión de aprendizaje
03