COLEGIO MIRAFLORES GUIA FINAL MATEMร TICAS III
ENRIQUE TROYO DEL VALLE Pรกgina 1 Enrique Troyo del Valle
Guía para examen final. Terceros. En esta guía hay ejercicios y desarrollo de algunos temas similares a lo que se ha hecho en clase. El orden no es perfectamente lógico y es porque no te pongo en la mano un libro de texto para explicar el tema; más bien me he permitido tomar en cuenta que ya hemos visto todo en clase, por lo que te doy algunos ejercicios con ejemplos y en ocasiones encontrarás el desarrollo de alguna(s) parte(s) del tema. Es una guía pensada para que intelectualmente puedas recorrer los contenidos del año y pases por los puntos que seguramente te preguntaré en examen final.
TEMA. Ecuación lineal. Función lineal. Sistemas de ecuaciones lineales. HABILIDADES. H1. Cambiar una ecuación de su forma general y a su forma pendiente-ordenada al origen
a su forma ordinaria .
H2. Realizar la gráfica de una ecuación lineal en su forma general , en su forma ordinaria o en su forma pendiente-ordenada al origen . Puede hacerlo en una tabla en la que dos puntos son suficientes; o bien pueden sustituirse EJERCICIO. Simplifique, grafique, y exprese las otras dos formas de las siguientes ecuaciones, de acuerdo al ejemplo siguiente: Ejemplo: construir la representación gráfica de la ecuación, 3x 1 = x + 3 - Se resuelve la ecuación.
-
Se representa la solución de la ecuación mediante una función lineal, igualando a cero la solución algebraica y sustituyendo posteriormente el cero por .
-
Se construye una tabulación asignándole valores arbitrarios a la variable independiente (x) que se sustituyen en la función lineal para obtener los valores de la variable dependiente (y), y así formar puntos de pares ordenados que al unirlos en el plano, dan lugar a una línea recta. y = x 2
y
P(x,y)
1
y = 1 2
3
P1(1,3)
0
y=02
2
P2(0,2)
1
y=12
1
P3(1,1)
2
y=22
0
P4(2,0)
3
y=32
1
P5(3,1)
4
y=42
2
P6(4,2)
5
y=52
3
P7(5,3)
x
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- Se grafican los puntos P(x,y) en el plano cartesiano uniendo cada uno de ellos.
La solución o raíz de la ecuación es el valor de la abscisa (x) en la intersección de la recta con el eje de las abscisas del plano, es decir x = 2 ; las coordenadas del punto solución S(x,y) correspondiente a dicha intersección, es S(2,0).
EJERCICIO. Simplificar, resolver y graficar: 1. 2. 3.
EJERCICIO. Resuelva los siguientes problemas: 1. Hace 5 años la edad de una persona era el triple de la de otra, y dentro de 5 años será el doble. Halla las edades de cada una de las personas. 2. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro mide 80 m. y la altura es de la base. 3. Un jurado está compuesto por hombres y mujeres. El número de mujeres es igual al doble de hombres menos 4. Con dos mujeres menos el jurado tendría el mismo número de hombres que de mujeres. ¿Cuántos hombres y mujeres habría en el jurado? 4. En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. Halla el número de conejos y de gallinas.
Determinar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos EJEMPLO. Diga las tres formas de la ecuación que pasa por . Grafique.
y
. y por
Usando la fórmula
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Sustituyendo, tenemos
Simplificando…
forma general forma ordinaria forma ordenada al origen-pendiente
Ejercicio. Grafique y halle las 3 formas de las ecuaciones de las rectas que pasan por A y B, por A y C, por B y C ( y , respectivamente).
EJEMPLO. Grafique a la ecuación en la ecuación , .
Tenemos que si
Del mismo modo, si
entonces de donde Hay un punto
. Sustituyendo separadamente
, .
,
entonces
,
por lo que
.
Hay un punto en
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Por dos puntos diferentes pasa una y sólo una recta. Dos puntos son suficientes para construir una recta. Graficando y uniendo con , tenemos:
FUNCIONES LINEALES.
El mismo procedimiento para la obtención de la regla de correspondencia o ecuación puede usarse para funciones lineales en las que se apliquen relaciones similares. También se puede encontrar esta regla de asociación conociendo la pendiente y la ordenada al origen. Un procedimiento es idéntico al mostrado en el ejemplo de la sección “ecuación que pasa por dos puntos”. Se coloca la ecuación en la forma ordenada al origen-pendiente y se sustituye por , quedando así:
Si quiere encontrar la regla de asociación usando pendiente y ordenada al origen, como ya se hizo durante el año escolar, revise los párrafos siguientes. El ejemplo ilustrativo será el de los costos. Mencionamos por lo pronto que el costo es la expresión cuantitativa monetaria representativa del consumo necesario de factores de la producción que se emplean para producir un bien o prestar un servicio. Los costos de producción de un bien o de prestación de un servicio tienen componentes que para ser entendidos de la manera más sencilla se les atribuirá un comportamiento lineal. Las funciones lineales son importantísimas en el análisis de fenómenos económicos. Hay costos fijos y costos variables. Los costos fijos no dependen de cuánto se produzca: la renta, el pago de servicios y/o impuestos, la depreciación, etc.). Los costos variables se asocian a la producción (insumos y mano de obra). El costo total es la suma de los costos fijos y variables.
= Si a los costos fijos los llamamos pesos y suponemos que el costo por producción de unidad es de pesos, entonces los costos totales dependen (están en relación funcional) de la cantidad de unidades producidas. El costo por producir unidades es de pesos. Entonces la función C del costo total se define así:
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EJEMPLO: El costo variable de fabricar juntas para motor es de $2 por unidad y los costos fijos por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica. ¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas para motor por día? Solución El costo total de fabricar x juntas para motor en un día es
El costo total de fabricar 25 juntas para motor por día es de $ 80.
Los ejemplos que se trabajaron en clase trataban sobre tarifas de telefonía fija tales que cobraban renta y una cantidad por cada minuto de uso de la línea. Se ocupaba más de una compañía con la finalidad de comparar costos y encontrar en cuanto tiempo éstos eran iguales. Se encontraba esto resolviendo un sistema de ecuaciones, utilizando cualquiera de los métodos (igualación, sustitución, pero sobre todo eliminación por suma y resta, determinantes). EJERCICIOS. 1. Encuentre la función del costo de las compañías A y B dado que los costos fijos de renta ascienden a $290 y $185, respectivamente; el costo por minuto de llamada es de $0.75 y de $1.10, respectivamente. Grafíquelas en el mismo plano utilizando geogebra1 o wolfram alpha2 introduciendo la ecuación en la línea correspondiente. Posteriormente encuentre por el método de igualación el tiempo en minutos en el cual los costos son los mismos en las dos compañías; diga el costo. Relacione el tiempo y el dinero con coordenadas específicas de la gráfica.
1 2
http://www.geogebra.org/cms/en/download http://www.wolframalpha.com/
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2. Los costos diarios de producción de una fábrica de componentes electrónicos, para x número de unidades, son de
Cada componente se vende en $2.35. Encuentre el punto de equilibrio3 y la facturación diaria correspondiente. Grafique en wólfram alpha o en geogebra.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Como pueden ver, ya estamos tocando el tema de Sistemas de Ecuaciones lineales. No tocaremos la teoría ni el desarrollo de cada método. Sólo los mencionaremos: igualación, sustitución, eliminación por suma y resta, determinantes y gráfico (aproximado, abordado en el apartado anterior). La única idea central a desarrollar es que a cada una de las ecuaciones y le corresponde una gráfica, una recta si es lineal. Toda gráfica está compuesta de puntos P cuyas coordenadas al ser sustituidas en la ecuación la hacen verdadera. Si las rectas se cruzan por no ser paralelas, entonces existe un punto tal que pertenece a las dos rectas; satisface entonces a ambas ecuaciones. Los valores de las coordenadas son la solución del sistema. La gráfica de una ecuación se hace en un plano o espacio con tantas dimensiones como incógnitas tiene la ecuación. No podemos graficar espacios con más de 3 dimensiones. Algo muy importante es que una ecuación no se altera en su gráfica o en sus soluciones si se le multiplica a sus dos miembros por el mismo número. Se obtiene un múltiplo de la ecuación. Como les he dicho coloquialmente en clase: “es la misma, pero disfrazada”.
Revisando las gráficas, tenemos:
3
El punto de equilibrio, en términos de contabilidad de costos, es aquel punto de actividad (volumen de ventas) donde los ingresos totales son iguales a los costos totales, es decir, el punto de actividad donde no existe utilidad ni pérdida. (http://www.crecenegocios.com/el-punto-de-equilibrio/, consultado el 5 de mayo de 2011)
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Ejercicio. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones/funciones lineales. Uno por cada método. Grafique únicamente los de dos variables (2 a mano, 3 a computadora).
EJERCICIO. Encuentre las ecuaciones y la intersección de sus gráficas, las rectas , que pasa por y , y la recta , con y . Grafique por computadora y coloque el punto sobre la gráfica en la posición de la solución.
Los problemas regularmente se presentan de manera verbal y describen relaciones que pueden ser escritas en formato matemático como ecuaciones. A cada ecuación le corresponde una gráfica, y el punto donde se cortan estas tiene coordenadas que son la solución del sistema. PROBLEMAS. Procedimiento: Definir variables, plantear ecuaciones, resolver por un método diferente cada vez. Grafique cuatro que Ud. escoja, nombre los ejes adecuadamente con la variable utilizada: 1. Un mecánico gana $45 por cada cambio de aceite y $100 por cada cambio de balata. Si necesita $705 diarios y tiene que hacer el triple de cambios de aceite que de balatas, entonces ¿cuántos servicios de cada tipo debe hacer? 2. Juan Topo abrió una tienda y le invirtió $5000.00 para poder abrir. Además compró metros cuadrados de alfombra a un costo de $8.00/m. El vende al público cada metro a $18.00 cada metro cuadrado. ¿Cuántos metros cuadrados de alfombra debe vender para recuperar el monto de su inversión inicial y su compra de material? 3. Si eres el director de RRHH y debes hacer los horarios de los trabajadores, se deben cumplir ciertas condiciones. Tres trabajadores deben acumular 110 horas de trabajo semanales. El trabajador A debe trabajar 5 horas más que el trabajador B y éste a su vez debe trabajar 15 horas más que el trabajador C. ¿Cuántas horas debe trabajar cada uno? Página 8 Enrique Troyo del Valle
4. Los costos de renta de auto por un día de dos proveedores se describen por las ecuaciones en las que c es el costo en dólares y n es el número de kilómetros recorridos A: B: Describe cada plan verbalmente. ¿Cuántos kilómetros se recorren en ambos planes para que se pague lo mismo por cualquiera? ¿Cuánto se pagaría en dicho caso ? ¿Cuál plan escogerías si necesitas manejar unos 90 km? 5. Un cargamento de 20 televisiones pesa 880kg. Algunas pesan 5okg y otras 30kg ¿Cuántas hay de cada tipo? 6. Tu examen tiene 100 aciertos en 29 preguntas. Las de opción múltiple valen 2 aciertos, y los problemas 5aciertos. ¿Cuántas preguntas de cada tipo hay? 7. Se te presentan dos ofertas de trabajo en ventas en EU. La opción A te ofrece un salario anual de 30,000USD y un bono del 1%de tus ventas. La otra opción te da sueldo fijo de 24,000 anuales y un bono del 2%de tus ventas del año. ¿Cuánto tienes que vender para ganar lo mismo con cualquier trabajo? Por otra parte, si tú crees que puedes vender de 500,000 a 800,000 de mercancía en un año, ¿cuál trabajo te conviene? En la pista de atletismo corres y trotas durante hora y media. El trote es a 4 mi/h y el sprint a 6 mi/h. Al final sabes que recorriste 7 millas. ¿Cuánto tiempo corriste y cuánto tiempo trotaste? 8.
9.
Se invierten $250,000.00 en tres fondos de inversión cuyas tasas de
interés anuales son, respectivamente 5%, 7% y 9% En el primer instrumento se pone el doble de dinero que en el segundo. Los rendimientos después de un año son de $17,700.00 Diga cuánto se depositó en cada fondo.
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CRECIMIENTO EXPONENCIAL Es aquel que se describe con una ecuación o función en la cual la variable actúa como exponente. Sirve para describir cosas tan comunes e importantes como los intereses bancario (compuesto), el crecimiento de las poblaciones de cualquier especie, el crecimiento económico de un país, etc. EJEMPLO En una cuenta hay un capital de $25,000.- Se invierte a un rédito anual del 7%. Sólo se consideran capitalizaciones anuales para simplificar y eliminar la variable n4 convirtiéndola en 1. Calcular y graficar el monto alcanzado cuando el tiempo t es igual a
Datos:
Fórmula:
4
tiempo Monto 0 25000 1 26750 3 30626.08 5 35063.79 -2 49178.78 15 68975.79 20 96742.11
La fórmula del interés compuesto es
. Simplificando con
, queda así:
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PROBLEMAS. 1. Una cuenta tiene recursos por $50,000. Cada mes tiene rendimientos del 0.6% por concepto de intereses. Diga el monto después de 1, 5, 10, 15, 20 años. Extra: diga la tasa de interés anual. Grafique. 2. Un coche se compra en la agencia por $275,000.- Cada año pierde el 20% de su valor5. Diga su costo cada 2 años, hasta 10 de antigüedad. Grafique. 3. Compare el Producto Interno Bruto (en adelante PIB) de EEUU y China con los siguientes datos:
Si cada año crecen al 2.5% y 9%, calcule sus PIB dentro de 1, 5, 10, 15, 20 años. Grafique. 4. Las bacterias se reproducen muy rápido, siempre que tengan alimento suficiente. En un instante determinado sembramos 50 bacterias en un cultivo. Estas bacterias se reproducen, duplicandose cada 25 minutos. Haga una tabla donde hayan 10 valores bien distribuidos y que el mayor dato se aproxime a 10 millones de bacterias. Grafique.
5
En problemas de devaluación la tasa se resta del 1 que es el 100%
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ECUACION DE SEGUNDO GRADO. El grado de una ecuación depende del mayor exponente al que esté elevada la variable. Se asocia a cada grado de la variable un término constante que se multiplica. Se les nombra típicamente Cuando se ordenan por grado y se igualan a cero tenemos la forma general de la ecuación de segundo grado:
La solución de la ecuación son los valores que se le pueden dar a la variable para que al ser sustituidos por ésta, hagan verdadera a la ecuación. Por ejemplo, sí es solución de , pero no lo es. Veamos:
Hay varios métodos para resolver la ecuación de segundo grado: fórmula general aplica siempre, factorización sólo da soluciones que sean enteros o fracciones, completar cuadrados aplica siempre. Revísalos en tu cuaderno y estúdialos por favor. Por teorema fundamental del Álgebra se sabe que la ecuación de segundo grado puede tener hasta dos soluciones reales diferentes, dos soluciones reales iguales (también se podría decir que es una solución), o bien dos soluciones complejas diferentes. Revisa las ideas relativas al discriminante. Relaciónalas con la forma de la gráfica cuando se iguala la forma general con , quedando del siguiente modo . Entonces se puede saber si la gráfica corta (2 puntos), toca (1 punto) o no (0 puntos) al eje x. No olvides que al hacer la gráfica de una ecuación de segundo grado la dirección en la que abre la gráfica llamada parábola depende del signo del coeficiente cuadrático. Si es positivo, abre hacia arriba; si es negativo, hacia abajo. Como ejercicio de aplicación te puede servir el siguiente
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EJERCICIO. Relacione las siguientes gráficas con las ecuaciones tomando en cuenta el valor del discriminante y el signo del coeficiente cuadrático. Ecuaciones:
Resuelve las siguientes ecuaciones. Una por cada método. Anota la comprobación sustituyendo 1 de los valores. Grafica al sustituir en lugar de 0 en la forma general de la ecuación. EJEMPLO. Resolver, comprobar y graficar: , completando cuadrados
Aplicando raíz a ambos miembros de la ecuación
Comprobación. Sustituir 7 en la ecuación original.
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Graficando:
Como se ve, los valores de la coordenada de x de los puntos en los que corta la gráfica corta al eje x, son los valores de las soluciones halladas. Resolver, comprobar y graficar. Puede hacer la gráfica manualmente o bien usar geogebra (hay que igualar con y) o wolfram|alpha (se puede introducir sin igualar con y). Usar un método diferente para cada ecuación. –
a) b)
–
c) –
–
d)
–
d) e)
–
– –
Para algunos casos en que se quiere obtener coeficientes enteros para ecuaciones cuadráticas con coeficientes fraccionarios o decimales se usa el principio que afirma que si una ecuación es múltiplo de otra, entonces sus soluciones son las mismas. El otro efecto que produce la multiplicación de una ecuación en su forma general puede ser la expansión, compresión o reflexión del resto de su gráfica en el sentido vertical, pero conservando los puntos donde corta al eje x. EJEMPLO: Resuelva
–
para eliminar los denominadores 5 y 3, se le
aplica a toda la ecuación la operación contraria, que es multiplicarla por el mcm de los denominadores, como se muestra:
La ecuación ya tiene coeficientes enteros que son mucho más sencillos de factorizar o para sustituir en ecuación general. Se redujo a una forma que ya se sabe como manejar. Página 14 Enrique Troyo del Valle
Se aplicaría la misma técnica si los coeficientes son decimales
Y como todos los coeficientes son múltiplos de 5, entonces se puede simplificar antes de aplicar cualquier otro método:
PROBLEMAS. Grafique siempre que sea posible. 1. La base de un rectángulo es mayor que su altura por 4 unidades. Halle sus dimensiones si su área es de 96 unidades cuadradas.
2. Si la medida del lado de un cuadrado es disminuida en 2 y el otro es aumentado en 2, entonces el área del rectángulo es de 32 unidades cuadradas. Halle el lado del cuadrado original.
3. El jardín de Joe mide 4 por 6 metros. Quiere duplicar su área aumentando la misma medida al largo y al ancho. ¿Cuánto debe ser esta medida?
4. Después de t segundos, una pelota lanzada al aire desde el piso alcanza una altura h dada por la ecuación – . a. Cuál es la altura de la bola 3 segundos después del lanzamiento? b. Diga el número de segundos que la bola lleva en el aire cuando alcanza la altura de 224m. c. ¿Después de cuánto tiempo la bola caerá de Nuevo al piso (h=0)?
5. Se lanza una roca desde lo alto de un edificio. La distancia en pies entre la roca y el piso después de t segundos del lanzamiento está dada por la ecuación descrita abajo. ¿Después de cuánto tiempo la roca se encontrará a 370 pies del piso?
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TRIGONOMETRÍA. Las razones trigonométricas relacionan los lados de un triángulo rectángulo. Los lados perpendiculares son llamados catetos (Del lat. cathĕtus, y este del gr. κάθετος, perpendicular)6; el lado opuesto al ángulo recto, siempre el mayor en longitud, es llamado hipotenusa. El truco mnemotécnico para recordar la definición de las 3 razones trigonométricas iniciales es SohCahToa:
S
SENO
O H
OPUESTO HIPOTENUSA
C
COSENO
A H
ADYACENTE HIPOTENUSA
T
TANGENTE
O A
OPUESTO ADYACENTE
Tenga en cuenta que y cambian su lugar cuando el ángulo de referencia tiene su vértice en o en . La hipotenusa no varía por la referencia del ángulo.
6 http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=cateto, consultado el 12 de mayo de 2011. Página 16 Enrique Troyo del Valle
No olvidar tampoco que al acomodar las 6 razones trigonométricas del triángulo rectángulo como se muestra, las razones del mismo renglón son recíprocas.
EJERCICIO: Diga las 6 razones trigonométricas para los triángulos siguientes, para cada ángulo agudo. Si sólo se dan 2 medidas de longitud, calcule Ud. la tercera por Pitágoras. Si la raíz no es entera, déjela indicada. Aunque se debería, no les enseñé a racionalizar denominador, así que no se molesten en hacerlo. Pueden dejar raíz indicada en el denominador. Si sólo se da una longitud y ángulo entonces despeje de la correspondiente función trigonométrica. Los valores de las funciones con 4 decimales de precisión; los de longitudes y ángulos con 2 decimales. Calcule los ángulos con función inversa como se ha visto en clase. EJEMPLO Resuelva el siguiente triángulo: El lado conocido es la hipotenusa, que aparece en seno y coseno. Se plantean estas razones con respecto a B que es al ángulo de medida conocida, para luego despejar realizando las operaciones indicadas, como se muestra enseguida:
El ángulo A por suma y resta El triángulo está resuelto porque se conoce la medida de cada ángulo y lado.
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EJEMPLO. En el siguiente sólo se mostrará cómo conocer ángulo desconocido en presencia de dos lados conocidos Se conocen los catetos, y estos se relacionan en tangente.
Resuelve los siguientes triángulos.
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PROBLEMAS. Haga los correspondientes diagramas. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla? Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70° (Hint: triángulos isósceles). Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°. La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita . De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.
Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio. Calcule x e y en el siguiente triángulo
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El mástil de un velero se halla unido a la proa y a la popa por dos cables que forman con la cubierta ángulos de 45° y 60°, respectivamente. Si el barco tiene una longitud de 100 m, ¿cuál es la altura del mástil?
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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS. Representemos al triángulo
:
Para resolver estos triángulos se usan la ley de senos
y la ley de cosenos
que es una generalización del teorema de Pitágoras. La ley de cosenos se puede escribir de tres maneras, dependiendo del ángulo buscado, y (obviamente) es válida en todos los casos. Lo único que debe hacerse es un intercambio de letras. Observe:
LEY DE SENOS Se aplica cuando se conoce un lado, su ángulo opuesto y cualquier otra medida, sea lado o ángulo. Por ejemplo: En este triángulo se conocen lado y ángulo opuestos B y b, además del ángulo A. Sustituyendo en los datos conocidos:
tenemos
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En todo triรกngulo se cumple que
de donde
Sustituyendo nuevamente en ley de senos, para las medidas C, tenemos:
El triรกngulo estรก resuelto. EJERCICIOS. Resuelva los siguientes triรกngulos:
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LEY DE COSENOS Existen 2 casos: CASO 1. Cuando se conocen dos lados y el รกngulo comprendido entre estos.
Se toma la fรณrmula Sustituyendo:
de
donde
Con este dato se puede usar ley de senos y se obtienen lados y รกngulos faltantes
Por sumas y restas se obtiene
El triรกngulo estรก resuelto.
CASO 2. Cuando se conocen las longitudes de los tres lados y se quiere conocer el valor de los รกngulos.
En este caso de la fรณrmula se despeja la funciรณn relativa al รกngulo, asรญ:
posteriormente se sustituye y se opera, obteniendo que . Teniendo la medida de C, por ley de senos o de cosenos se obtienen las faltantes, que son: , El triรกngulo estรก resuelto.
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EJERCICIO. Resuelva los siguientes triรกngulos.
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VECTORES Y SUMA DE VECTORES Definición: Un vector es una magnitud física que tiene módulo y dirección. Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Para escribirlo en su forma polar se debe anotar su longitud también llamada modulo del vector, la "punta de flecha" que indica su dirección, y también el ángulo¸ que determina su dirección. Estos elementos se escriben en un paréntesis donde los valores se separan con punto y coma. Llamemos al valor del módulo, y al ángulo que define su dirección. El vector se puede representar gráficamente como muestra la figura. Note además que la punta del vector llega, de acuerdo con la siguiente figura, hasta el hasta un punto en el plano cartesiano . Para obtener las componentes y , y dado que las componentes con el vector forman un triángulo rectángulo, se usan las siguientes fórmulas, obtenidas por trigonometría:
Observe que e están en orden alfabético; igual que y . Los ángulos de ó pueden incrementarse respectivamente en dependiendo de la dirección del vector. Esto se determina de acuerdo con el valor que arroje la calculadora al introducir el valor; si es negativo, se agregan los dichos . Revisemos las componentes del vector
Con las componentes del vector, podemos escribir el vector en su forma cartesiana, es decir, anotando cuáles son las coordenadas del plano cartesiano que alcanza cuando su punto de aplicación es en el origen. Aquí no se anota ni el módulo ni el ángulo, sino el resultado de la longitud o módulo de las componentes. En general se anota:
En particular se ejemplifica:
La primera notación es de la forma polar, donde se anotan dentro del paréntesis, separados por punto y coma el módulo o longitud y el ángulo o dirección; la segunda es la forma cartesiana, donde se anotan dentro del paréntesis, separados por coma, los valores de las componentes de x e y.
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SUMA DE VECTORES. El PROCEDIMIENTO para la suma de dos vectores , tales que y , es el siguiente. Observe conforme se desarrolla la imagen.
,
1. Se hace la gráfica y se traslada cualquiera de los vectores para que manteniendo su dirección se aplique desde la punta del otro vector. es el vector trasladado al final de es la suma de . 2. Transformar cada ángulo a la notación cartesiana. 3. Sumar las coordenadas cartesianas de cada eje separadamente. 4. Transformar de la notación cartesiana a la notación polar el resultado de la suma. De acuerdo con el siguiente procedimiento:
La explicación. Si x e y son perpendiculares, el módulo del vector es la hipotenusa, por eso se calcula como tal:
Por la misma perpendicularidad x e y son considerados como catetos adyacente y opuesto, respectivamente. Entonces para saber el ángulo que forman se les relaciona en tangente y se aplica función inversa:
EJEMPLO. Halle es vector suma de
, y
1. Graficar. Se muestra imagen a la derecha. 2. Pasar cada vector a notación cartesiana:
3. Sumar coordenadas en forma cartesiana:
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4. Pasar a coordenadas polares
Como ven el resultado de la operación tangente inversa es un ángulo negativo. Eso requiere interpretación o al menos arreglo. Súmele 180 o alguno de sus múltiplos al ángulo; todo depende de su diagrama. Tendremos en este caso Un ángulo que corresponde perfectamente con lo que la imagen muestra. EJERCICIOS. Dados los siguientes vectores, realice las sumas indicadas. Dibuje cada gráfica con el vector suma en sus dos formas:
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PROBLEMAS. Los problemas con distancias inaccesibles pueden resolverse por sistemas de ecuaciones trigonométricas o por leyes de senos y cosenos. Resolver los siguientes por los dos métodos: 1. Se miden los ángulos de elevación de la pirámide roja de Egipto desde dos puntos de observación que distan 136m. En la imagen se muestran los ángulos obtenidos. Calcule la medida de su altura y su base.
2. Resolver el siguiente triángulo.
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