Conte´ udo Pref´ acio & Agradecimentos
ix
1 Considera¸ c˜ oes Preliminares 1.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . 1.2 Requisitos B´ asicos . . . . 1.3 Descri¸c˜ ao dos Cap´ıtulos . 1.4 Nota¸c˜ ao . . . . . . . . . . 1.5 Notas Bibliogr´ aficas . . .
. . . . .
1 1 9 13 17 18
. . . . . . . . . . . . . . .
19 19 21 22 24 28 31 31 33 34 37 43 43 44 49 50
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
2 Fundamentos de Sistemas de Controle 2.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modelagem Matem´ atica e Perspectivas . . 2.2.1 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Motor de Corrente Cont´ınua . . . 2.2.3 Pˆendulo Invertido . . . . . . . . . 2.3 Sistemas de Controle com Realimenta¸c˜ ao 2.3.1 Estrutura B´ asica . . . . . . . . . . 2.3.2 Fun¸c˜ ao de Transferˆencia em Malha 2.3.3 Sensibilidade . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Crit´erios de Desempenho . . . . . 2.4 Classes de Controladores e Discretiza¸c˜ ao . 2.4.1 Classes de Controladores . . . . . 2.4.2 Discretiza¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . 2.5 Notas Bibliogr´ aficas . . . . . . . . . . . . 2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
3 Fundamentos Matem´ aticos 3.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Princ´ıpio da Varia¸c˜ ao do Argumento . . . . 3.3 Matrizes e Determinantes . . . . . . . . . . 3.4 Crit´erios de Estabilidade . . . . . . . . . . . 3.4.1 Caracteriza¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Crit´erio de Routh-Hurwitz . . . . . . 3.4.3 Crit´erio de Nyquist . . . . . . . . . . 3.4.4 Crit´erio de Lyapunov . . . . . . . . 3.5 Lugar das Ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Redu¸c˜ ao de Modelos via Polos Dominantes 3.7 Notas Bibliogr´ aficas . . . . . . . . . . . . . 3.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
65 65 65 75 81 81 84 89 96 103 111 115 116
4 Fundamentos de Projeto 4.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Crit´erios de Desempenho . . . . . . . 4.3 Aloca¸c˜ ao de Polos . . . . . . . . . . 4.4 Controladores Cl´assicos . . . . . . . 4.4.1 Atraso e Avan¸co . . . . . . . 4.4.2 PID . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Regra de Ziegler-Nichols . . . 4.5 Projeto via Lugar das Ra´ızes . . . . 4.6 Projeto via Resposta em Frequˆencia 4.7 Notas Bibliogr´ aficas . . . . . . . . . 4.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
123 123 123 134 139 140 140 142 143 148 156 157
. . . . . . . . . .
169 169 170 179 183 190 200 202 213 217 218
. . . . . . . . . . .
5 Projeto via Representa¸ c˜ ao de Estado 5.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Realimenta¸c˜ ao de Estado . . . . . . . 5.2.1 Controlabilidade . . . . . . . . 5.3 Regulador Linear Quadr´ atico . . . . . 5.4 Observador de Estado . . . . . . . . . 5.4.1 Observabilidade . . . . . . . . . 5.5 Projeto de Servomecanismos . . . . . . 5.6 Projeto Final . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Notas Bibliogr´ aficas . . . . . . . . . . 5.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
vii 6 Sistemas N˜ ao Lineares 6.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Equa¸c˜ oes Diferenciais N˜ ao Lineares . . . . . . . . . 6.2.1 Lineariza¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Classes Especiais de Sistemas N˜ ao Lineares 6.3 Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Solu¸c˜ oes Peri´ odicas . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Lineariza¸c˜ ao Harmˆ onica . . . . . . . . . . . 6.4.2 Crit´erio de Popov . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Crit´erio de Persidiskii . . . . . . . . . . . . 6.5 Notas Bibliogr´ aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Robustez 7.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . 7.2 Normas . . . . . . . . 7.2.1 Classe H2 . . . 7.2.2 Classe H∞ . . 7.3 Estabilidade Robusta . 7.4 Desempenho Robusto 7.5 Notas Bibliogr´ aficas . 7.6 Exerc´ıcios . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
225 225 225 232 234 235 244 251 252 265 276 278 279
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
285 285 285 288 292 296 306 308 309
8 Modelagem e Ensaios Pr´ aticos 8.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Sistema Torcional . . . . . . . . . . . . 8.3 Amplificador Eletrˆ onico Realimentado 8.4 Notas Bibliogr´ aficas . . . . . . . . . . 8.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
313 313 313 326 333 334
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
A Desigualdades Matriciais Lineares
337
Bibliografia
343
´Indice
347
Cap´ıtulo 1
Considera¸c˜ oes Preliminares 1.1
Introdu¸c˜ ao
Place Wilson, centro de Toulouse, Fran¸ca, ao descer por uma escada rolante chega-se a uma esta¸c˜ ao de metrˆ o completamente cercada por vidros. Ao contr´ ario de muitas outras, o passageiro apenas percebe, atrav´es deles, a existˆencia de uma linha f´errea. O trem chega, um pequeno silvo avisa a abertura das portas, duas, a da esta¸c˜ ao e a do trem, entra-se e a composi¸c˜ ao se p˜ oe em marcha. Um trem pequeno, apenas dois vag˜ oes modernos, amplos e absolutamente idˆenticos. Nota´ completamente se os passageiros e mais ningu´em. O trem n˜ ao tem condutor! E autom´ atico. Um sistema centralizado controla a opera¸c˜ ao de todos os trens do metrˆ o de Toulouse. O objetivo central deste livro ´e estudar os chamados sistemas de controle autom´ aticos. Em s´ıntese, deseja-se fazer com que um determinado objeto ou dispositivo se comporte de maneira previamente estabelecida, sem que seja necess´ aria a interven¸c˜ ao de algum agente externo. Como no mundo real, incertezas e imprecis˜ oes est˜ ao sempre presentes. A dificuldade maior est´ a em desenvolver um mecanismo de controle que mesmo diante de circunstˆ ancias adversas ou desconhecidas, seja capaz de atuar de maneira satisfat´ oria. Isto ´e, levando em conta diversos aspectos relevantes como por exemplo custos reduzidos de opera¸c˜ ao, simplicidade de implementa¸c˜ ao, desempenho, conforto, seguran¸ca etc.. Vamos ilustrar o que acabamos de afirmar atrav´es de um piloto autom´ atico, dispositivo j´ a bastante comum nos autom´ oveis atuais. Enquanto o piloto autom´ atico estiver em opera¸c˜ ao, para que o autom´ ovel percorra uma certa distˆ ancia, deseja1
Cap´ıtulo 2
Fundamentos de Sistemas de Controle 2.1
Introdu¸c˜ ao
Este cap´ıtulo tem por objetivo estabelecer os contornos dos problemas e das t´ecnicas que ser˜ ao abordados neste livro. O objetivo central ´e o de projetar controles para sistemas dinˆ amicos de tal forma que eles passem a se comportar segundo especifica¸c˜ oes previamente estabelecidas. Iniciamos com um exemplo bastante simples, por´em elucidativo. Um corpo de massa m = 1 [kg] move-se em um ambiente com coeficiente de atrito viscoso b = 2 [Ns/m], sob a a¸c˜ ao de uma for¸ca externa com intensidade u(t) [N]. Em rela¸c˜ ao a um referencial inercial, a posi¸c˜ ao do m´ ovel em qualquer instante de tempo, denotada x(t), pode ser calculada atrav´es da solu¸c˜ ao da equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem m¨ x(t) + bx(t) ˙ = u(t)
(2.1)
sujeita ` as condi¸c˜ oes iniciais x(0) e x(0) ˙ dadas. Considerando que em t = 0 [s] o m´ ovel se encontra em repouso na posi¸c˜ ao x(0) = 10 [m], deseja-se trazˆe-lo para a posi¸c˜ ao x = 0 atrav´es da a¸c˜ ao da for¸ca externa com intensidade adequada. Duas estrat´egias s˜ ao adotadas, a saber: a) Aplicamos uma for¸ca u(t) = −4 [N] durante os primeiros 5 [s], o que faz com que o m´ ovel atinja a velocidade de −2 [m/s], na posi¸c˜ ao 1 [m], em t = 5 [s]. Em seguida, adota-se u(t) = 0 [N] e o m´ ovel, devido a a¸c˜ ao do atrito viscoso, 19
Cap´ıtulo 3
Fundamentos Matem´ aticos 3.1
Introdu¸c˜ ao
Este cap´ıtulo ´e inteiramente dedicado a expor detalhadamente todas as ferramentas matem´ aticas que ser˜ ao utilizadas nos cap´ıtulos seguintes. Os t´ opicos ser˜ ao tratados de maneira precisa, com a preocupa¸c˜ ao de dar ˆenfase aos aspectos te´ oricos realmente importantes para os desenvolvimentos futuros. Embora sejam bastante conhecidos, pretendemos expˆ o-los de forma diversa, tendo em vista os nossos pr´ oprios objetivos. V´ arios exemplos num´ericos ser˜ ao resolvidos com o intuito de ilustrar os conceitos e as manipula¸c˜ oes alg´ebricas introduzidas. Este cap´ıtulo requer alguns conhecimentos b´ asicos de fun¸c˜ oes de vari´ aveis complexas e de matrizes.
3.2
Princ´ıpio da Varia¸ c˜ ao do Argumento
Antes de estudarmos o chamado princ´ıpio da varia¸c˜ ao do argumento, resultado central no estudo de sistemas de controle, ´e preciso recordar alguns conceitos b´ asicos de fun¸c˜ oes de vari´ aveis complexas. Seja f (z) : D ⊂ C → F ⊂ C uma fun¸c˜ ao que leva elementos de um subconjunto dos n´ umeros complexos para elementos de um outro ´ importante salientar que D, o dom´ınio de subconjunto dos n´ umeros complexos. E f (z), ´e um subconjunto aberto de C, sendo F sua imagem ou contra-dom´ınio. O conceito de limite ´e de particular importˆ ancia. Para z0 ∈ D, calcular o limite f0 = lim f (z) z→z0
65
(3.1)
Cap´ıtulo 4
Fundamentos de Projeto 4.1
Introdu¸c˜ ao
O objetivo central deste cap´ıtulo ´e discutir e analisar alguns procedimentos j´ a bem estabelecidos e que foram propostos para projetar, com sucesso, diversos sistemas de controle. Crit´erios de desempenho ser˜ ao tratados novamente, por´em, dando maior ˆenfase ` aqueles expressos no dom´ınio da frequˆencia. Em seguida, os controladores cl´ assicos ser˜ ao analisados sem muitos detalhes, mas deixando clara as regras de projeto para cada um deles. Este cap´ıtulo termina com dois projetos de interesse pr´ atico, que foram inclu´ıdos para ilustrar as dificuldades que se deve enfrentar quando se deseja fazer projetos de controle para sistemas reais.
4.2
Crit´ erios de Desempenho
No Cap´ıtulo 2, tivemos a oportunidade de tratar alguns crit´erios de desempenho a partir da resposta temporal de um sistema de controle cuja fun¸c˜ ao de transferˆencia em malha fechada tivesse sido aproximada por seus polos dominantes, de tal forma a ser escrita como F (s) = Fap (s) + Q(s), sendo Q(s) a parte desprezada e Fap (s) a fun¸c˜ ao de transferˆencia correspondente aos polos dominantes. Considerando Fap (s) uma fun¸c˜ao de transferˆencia est´ avel, de primeira ou de segunda ordem, com Fap (0) = 0, os crit´erios de desempenho expressos em termos do valor de pico m´ aximo e do tempo de estabiliza¸c˜ ao da resposta ao degrau unit´ ario, foram convertidos em um conjunto Ω ⊂ C. Se todos os polos de F (s), que s˜ ao ra´ızes 123
Cap´ıtulo 5
Projeto via Representa¸c˜ ao de Estado 5.1
Introdu¸c˜ ao
At´e agora, projetamos controladores, traduzindo as especifica¸c˜ oes de projeto nas posi¸c˜ oes em que os polos dominantes do sistema em malha fechada devem ser alocados, o conjunto Ω. Inicialmente, fixamos a estrutura do controlador e calculamos posi¸c˜ oes adequadas para seus polos, a fim de respeitar o desempenho durante o transit´ orio. Por fim, o ajuste do ganho atrav´es do lugar das ra´ızes permitiu melhorar a solu¸c˜ ao mantendo o comportamento em regime permanente. Entretanto, com essa t´ecnica, n˜ ao temos atua¸c˜ ao eficaz sobre a posi¸c˜ ao dos polos n˜ ao dominantes em malha fechada, o que pode levar a comportamentos da sa´ıda controlada que n˜ ao s˜ ao exatamente os especificados. Essa dificuldade na aloca¸c˜ ao de todos os polos de um sistema de controle em malha fechada pode ser contornada aumentando-se o n´ umero de parˆ ametros do controlador, isto ´e, aumentando a sua complexidade. Neste cap´ıtulo, abordamos o projeto de controladores no contexto de espa¸co de estado e estudamos como alocar convenientemente os polos de um sistema em malha fechada, como uma alternativa a resolu¸c˜ao das equa¸c˜ ` oes Diofantinas. O ponto central ´e a solu¸c˜ ao de um problema de controle ´ otimo, denominado problema linear quadr´ atico, cujo crit´erio ´e ajustado atrav´es de um lugar das ra´ızes espec´ıfico, sim´etrico em rela¸c˜ ao ao eixo imagin´ ario do plano complexo. 169
Cap´ıtulo 6
Sistemas N˜ ao Lineares 6.1
Introdu¸c˜ ao
Neste cap´ıtulo, propomos um breve estudo de alguns t´ opicos envolvendo sistemas dinˆ amicos n˜ ao lineares. Nos restringimos ao estudo de sistemas a tempo cont´ınuo, descritos por equa¸c˜ oes diferenciais n˜ ao lineares com coeficientes invariantes no tempo. Como o nome deixa claro, uma equa¸c˜ ao n˜ ao linear se caracteriza por n˜ ao obedecer o Princ´ıpio da Superposi¸c˜ ao, isto ´e, a partir de condi¸c˜ oes iniciais nulas, se duas fun¸c˜ oes s˜ ao solu¸c˜ oes, ent˜ ao a soma de ambas n˜ ao ser´ a necessariamente uma solu¸c˜ ao. Como n˜ ao ´e poss´ıvel ter ferramentas e resultados te´ oricos que sejam v´ alidos para qualquer sistema n˜ ao linear, algumas classes mais importantes s˜ ao identificadas e estudadas com maiores detalhes. Ademais, tenta-se aplicar os v´ arios resultados v´ alidos para sistemas lineares, adotando-se aproxima¸c˜ oes no espa¸co de estado ou no espa¸co de frequˆencias, sendo que esta u ´ltima aproxima¸c˜ ao resulta em uma t´ecnica bastante conhecida, denominada lineariza¸c˜ ao harmˆ onica. V´ arios exemplos ilustrativos s˜ ao resolvidos e comentados.
6.2
Equa¸c˜ oes Diferenciais N˜ ao Lineares
Geralmente, ao modelarmos um sistema dinˆ amico real, obtemos um modelo n˜ ao linear. Por exemplo, ao modelarmos um m´ ovel qualquer em movimento de rota¸c˜ ao, ´e comum fazermos uso de fun¸c˜ oes trigonom´etricas para expressar sua posi¸c˜ ao em rela¸c˜ ao a um referencial inercial escolhido. De fato, como sabemos, a equa¸c˜ ao dife225
Cap´ıtulo 7
Robustez 7.1
Introdu¸c˜ ao
Todo e qualquer sistema dinˆ amico est´ a sujeito a incertezas dos mais variados tipos. Por exemplo, os diversos sensores ao fazerem medidas das vari´ aveis de interesse com uma certa precis˜ ao necessariamente finita, introduzem erros. Da mesma forma, quando elaboramos um modelo matem´ atico de um fenˆ omeno f´ısico, como um circuito el´etrico, ele certamente depender´ a de parˆ ametros tais como resistˆencias, capacitˆ ancias e indutˆ ancias, cujos valores tamb´em s´ o s˜ ao especificados dentro de uma precis˜ ao considerada aceit´ avel pelo projetista. Esse tipo de imprecis˜ ao, existente nos componentes dos sistemas de controle caracteriza a chamada incerteza param´etrica. Em um contexto mais geral podemos certamente incluir os atrasos introduzidos na malha de controle devido a necessidade de transmitir seus sinais ` a distˆ ancia. Esses s˜ ao os objetos de estudo deste cap´ıtulo.
7.2
Normas
Quando se deseja calcular o tamanho ou amplitude de alguma entidade matem´ atica S, elemento de um espa¸co linear S, lan¸ca-se m˜ ao do conceito de norma que ´e uma fun¸c˜ ao real denotada por k · k com as seguintes propriedades b´ asicas: • kSk ≥ 0 para todo S ∈ S e kSk = 0 se e somente se S = 0 ∈ S. • kαSk = |α|kSk para todo escalar α e todo S ∈ S. 285
Cap´ıtulo 8
Modelagem e Ensaios Pr´ aticos 8.1
Introdu¸c˜ ao
Neste cap´ıtulo, consideramos dois projetos de cunho pr´ atico de sistemas de controle, a saber: o controle de posi¸c˜ ao de um sistema mecˆ anico torcional e o projeto de amplificadores eletrˆ onicos realimentados. Nos dois casos, nosso objetivo principal ´e desenvolver projetos completos que come¸cam pela obten¸ca˜o dos respectivos modelos matem´ aticos, passam pelos projetos propriamente ditos e terminam com a valida¸c˜ ao em laborat´ orio de cada uma das solu¸c˜ oes propostas. A maior diferen¸ca a ser notada entre ambos ´e que a modelagem do sistema mecˆ anico torcional ´e pass´ıvel de ser feita no dom´ınio do tempo, permitindo-nos escrever suas equa¸co˜es diferenciais em fun¸c˜ ao dos seus parˆ ametros para, enfim, obtermos a fun¸c˜ ao de transferˆencia desejada. Por sua vez, a modelagem matem´ atica de circuitos eletrˆ onicos ´e feita de forma mais natural atrav´es da sua resposta em frequˆencia, o que tamb´em leva ` a sua fun¸c˜ ao de transferˆencia como resultado da etapa de modelagem.
8.2
Sistema Torcional
Um sistema mecˆ anico torcional ´e constitu´ıdo por trˆes discos met´ alicos interligados entre si por duas hastes de tor¸c˜ ao, sendo que o disco inferior tem o seu eixo conectado a um servomotor atrav´es de um sistema de correia e engrenagens. A Figura 8.1 mostra de forma esquem´ atica o sistema torcional em considera¸c˜ ao onde ao relacionados os deslocamentos angulares dos discos denotados por θ1 , θ2 e θ3 est˜ 313