[E-Book] Matemática Básica by EAD UNIFACS

MATEMÁTICA BÁSICA Autor - M aria Amélia Pinho Barbosa

SUMÁRIO AULA 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS....................................................................................... 7 1 Conjuntos numéricos................................................................................ 7 2 Conjunto dos números naturais (IN)......................................................... 8 3 Conjunto dos números inteiros (Z)............................................................ 8 4 Conjunto dos números racionais (Q)........................................................10 5 Conjunto dos números irracionais (Ir)......................................................11 6 Conjunto dos números reais (IR).............................................................12 7 Intervalos...............................................................................................13 Síntese.....................................................................................................14 Leituras indicadas......................................................................................15 Site indicado.............................................................................................15 Referência................................................................................................15 AULA 2 - FUNÇÃO AFIM (PARTE 1).................................................................................... 17 1 Noção intuitiva de função.......................................................................17 2 O plano cartesiano..................................................................................19 3 Produto cartesiano.................................................................................20 4 Funções..................................................................................................21 4.2 Definição.............................................................................................22 5 Função afim (função de PRIMEIRO grau)..................................................23 6 Sobre funções crescentes e decrescentes.................................................24 Conclusão..................................................................................................26 Síntese.....................................................................................................26 Leituras indicadas......................................................................................26 Site indicado.............................................................................................27 Referência................................................................................................27 AULA 3 - FUNÇÃO AFIM (PARTE 2).................................................................................... 29 1 Função afim...........................................................................................29 2 Estudo do sinal da função afim................................................................31 3 Estudo do sinal pela análise do gráfico....................................................32 Síntese.....................................................................................................37 Leituras indicadas......................................................................................37 Referência................................................................................................37

AULA 4 - FUNÇÃO QUADRÁTICA........................................................................................ 39 1 Introdução ao estudo da função quadrática.............................................39 2 Máximos e mínimos e a imagem de uma função quadrática.....................45 3 Estudo do sinal da função quadrática.......................................................46 Síntese.....................................................................................................50 Leituras indicadas......................................................................................50 Sites indicados..........................................................................................50 Referência................................................................................................50 AULA 5 - SISTEMAS LINEARES 2 X 2.................................................................................. 51 1 Introdução ao estudo dos sistemas lineares 2 x 2.....................................51 Síntese.....................................................................................................61 Agora tente você!......................................................................................61 Leituras indicadas......................................................................................61 Site indicado.............................................................................................61 Referências...............................................................................................61 AULA 6 - FUNÇÃO EXPONENCIAL....................................................................................... 63 1 Introdução ao estudo da função exponencial...........................................63 2 Revisão de potenciação..........................................................................64 Síntese.....................................................................................................73 Sites indicados..........................................................................................73 Leituras indicadas......................................................................................73 Referências...............................................................................................73 AULA 7 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA....................................................................................... 75 1 Preliminares...........................................................................................75 2 Logaritmo de um número.......................................................................76 3 Consequências da definição de logaritmo................................................77 4 Propriedades operatórias........................................................................77 5 Mudança de base....................................................................................78 Agora tente você! .....................................................................................82 Síntese.....................................................................................................82 Leituras indicadas......................................................................................82 Referências...............................................................................................82

AULA 8 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 1)................................................................. 83 1 Situação-problema..................................................................................83 2 Taxa de variação.....................................................................................88 3 Derivada de uma função em um ponto....................................................93 Síntese.....................................................................................................94 Leituras indicadas......................................................................................94 Sites indicados..........................................................................................94 Referências...............................................................................................94 AULA 9 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 2)................................................................. 95 1 A função derivada..................................................................................95 2 Cálculo da Derivada (Regras de derivação)..............................................96 3 Interpretação geométrica da derivada.....................................................98 Para você tentar!.....................................................................................101 Síntese...................................................................................................102 Leituras indicadas....................................................................................102 Sites indicados........................................................................................102 Referências.............................................................................................102

AULA 1 Conjuntos Numéricos Autora: Maria Amélia Pinho Barbosa. Adaptado por Benedito Ikeda

Olá! Seja bem-vindo(a) ao curso de Matemática Básica I. Um dos objetivos deste curso é abordar, em nível superior, tópicos que fazem parte dos Ensinos Fundamental e Médio, a fim de fundamentar e consolidar conteúdos que surgirão no contexto do curso ou da profissão. O curso está dividido em nove aulas. Nesta primeira aula, faremos uma revisão dos Conjuntos Numéricos. Bom estudo!

1 CONJUNTOS NUMÉRICOS De todas as formas de vida conhecidas na Terra, a espécie humana é a única que desenvolveu um procedimento sistemático para armazenar informações e transmiti-las de uma geração para outra. Uma parte considerável dessas informações envolve quantidades e grandezas. Desta forma, há necessidade de uma linguagem para tratar de quantidades, grandezas e suas relações. Essa linguagem faz parte da Matemática que, em suas fases iniciais de desenvolvimento, foi motivada pela necessidade de contar e medir. Não podemos definir um ponto de partida histórico para a necessidade de contar ou medir, pois esses anseios se fundem com a própria história

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do homem. Acredita-se que durante o desenvolvimento das civilizações a linguagem utilizada para contar e medir teve três fases principais: » » a enumeração; » » a numeração; » » o número. Embora a teoria dos conjuntos seja bem geral, aqueles que encontramos em matemática elementar são os conjuntos numéricos, ou seja, de números. Os números são um dos objetos principais de que se ocupa a matemática e eles fazem parte da nossa vida diária: estão presentes em jornais, revistas, outdoors, mercados, farmácias, padarias, nas contas de água, de luz e de telefone etc.

2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (IN) Embora as formas de representar as quantidades tenham sido diferentes ao longo da história, todas surgiram da necessidade de ordenar ou contar um certo número de objetos utilizando a sequência 0, 1, 2, 3, 4, 5 etc. Esses números são chamados de números naturais e são usados nas contagens, nos códigos e nas orientações. Desde a Antiguidade, muitos sistemas de numeração foram utilizados. Hoje utilizamos o sistema de numeração com dez símbolos, que é derivado do sistema indo-arábico. O conjunto dos números naturais é infinito e ordenado e é representado por: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}. O sucessor de um número natural é aquele que vem imediatamente depois dele. Por exemplo, o sucessor de 1 é 2, de 7 é 8 etc. Se o sucessor é o número que vem depois, como se chama o que vem antes?

É importante observar que o zero é o único número natural que não tem antecessor, logo não é sucessor de nenhum outro. Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*, do qual excluímos o zero: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...} ou IN* = IN-{0} Em IN, a soma e o produto de dois números naturais resultam sempre em um número natural. O mesmo não ocorre com a subtração. Por exemplo, a subtração 4 - 5 não é possível em IN. Por esse motivo, é necessário ampliar o conjunto IN introduzindo os números negativos. Vejamos como se apresenta este novo conjunto chamado conjunto dos números inteiros, aqueles mesmos que você já ouviu falar na escola.

3 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) Vejamos alguns exemplos do cotidiano em que os números naturais não são suficientes para representar as situações reais.

AULA 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

1º exemplo Quando dizemos que determinado fato ocorreu no ano 257, ficamos sem saber se esse fato ocorreu no ano 257 após o nascimento de Cristo ou antes. Isto é, o número natural 257 não foi suficiente para representar essa situação. Podemos, então, utilizar o símbolo a.C. (antes de Cristo), para identificar fatos que ocorreram antes do nascimento de Cristo, e d.C. (depois de Cristo), para os que ocorreram depois do nascimento de Cristo. » » 257 a.C.: ano 257 antes do nascimento de Cristo. » » 257 d.C.: ano 257 depois do nascimento de Cristo.

2º exemplo Quando falamos que a temperatura ambiente de uma determinada cidade é de 10 °C, não identificamos se esta temperatura está acima ou abaixo de zero. Para representarmos esta situação, podemos utilizar os símbolos + e -. Assim, teremos:

−10 ºC

+10 ºC

Os números precedidos pelo sinal + são chamados de números inteiros positivos (+1, +2, ...), já os precedidos pelo sinal - são chamados de números inteiros negativos (-1, -2, ...). Para visualizar melhor essas situações, podemos utilizar a reta numérica, na qual nosso referencial é o número zero. Os números negativos ficarão à esquerda do zero e os números positivos ficarão à direita.

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto IN*, do conjunto dos opostos dos números de IN* e o zero. Esse conjunto é denotado pela letra Z (inicial da palavra Zahl, que significa número em alemão). Esse conjunto é representado por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Exemplos de subconjuntos do conjunto Z » » Conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} 9

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» » Conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} » » Conjunto dos números inteiros não positivos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} » » Conjunto dos números inteiros positivos: Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...} » » Conjunto dos números inteiros negativos: Z*- = {..., -4, -3, -2, -1} O conjunto Z corresponde ao conjunto IN.

4 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) O surgimento dos números racionais está diretamente ligado à noção de medidas. Medir significa comparar duas grandezas do mesmo tipo: dois comprimentos, duas superfícies, duas massas etc. Vejamos um exemplo. Tendo como unidade de medida o segmento CD, qual é a medida do segmento AB? A

Inicialmente, é necessário verificar quantas vezes o segmento CD “cabe” no segmento AB. Note que CD “cabe” duas vezes e meia em AB, isto é, a medida de AB é duas vezes e meia a medida de CD. Os números racionais são também usados para representar quantidades não inteiras e relações, tais como as que aparecem nos problemas envolvendo escalas e na divisão de uma pizza, por exemplo. Número racional é todo número que pode ser escrito na forma p , com p e q inteiros e q ≠ 0. O conjunto dos q números racionais é indicado por Q.

p   ; p ∈ Z e q ∈ Z * q 

Frequentemente usamos p/q para significar a divisão de p por q. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em latim: ratio = razão, divisão, quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Exemplos de números racionais:

1 − 3 5 10 , , , 2 4 −8 2

Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q- o conjunto dos números racionais negativos. O zero é também um número racional. Até agora vimos que IN ⊂ Z ⊂ Q.

AULA 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

Os números racionais podem ser representados por meio de fração ou notação decimal. Considere um quadrado de área 30 e veja as representações da parte sombreada em cada caso. Todo número inteiro é racional. Veja o último exemplo.

35 = 35 1

35 = 8,75 4

35 =7 5

Nos casos anteriores, para expressar as frações em notação decimal, dividimos o numerador pelo denominador e obtivemos o resultado final com um número finito de casas decimais: 35 : 1 = 35 35 : 4 = 8,75 35 : 5 = 7 Agora, considere outras frações do mesmo quadrado: 35 = 1 ,6666... 3

3 5 = 5,8333... 6

3 5 = 3,8888... 9

3 5 = 3,1818... 1

Observe que na sua notação decimal – neste caso chamamos de forma decimal periódica – um algarismo ou um grupo de algarismos repete-se infinitamente. A esses números chamamos dízimas periódicas e a fração que gerou a dízima é chamada de geratriz. O período de uma dízima é o algarismo ou um grupo de algarismos que se repete na dízima periódica. O que acontece no caso de uma dízima não periódica?

Neste caso, assim como no periódico, temos uma infinidade de algarismos à direita da vírgula e assim só nos é possível escrever a representação decimal até certa casa decimal. Porém, diferentemente do que acontece no caso periódico, não há repetição indefinidamente de determinado grupo de algarismos e, assim, o número em questão não pode ser obtido como uma fração p com q ≠ 0. Esses números que não podem ser obtidos q como frações são chamados irracionais.

5 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (IR) O conjunto Ir dos números irracionais é o conjunto dos números reais que não são racionais: Ir = R – Q. Falaremos dos números reais mais adiante. A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada aos fatos de natureza geométrica e de natureza aritmética. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.

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Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritmética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos – racionais – para raízes quadradas de outros números, como a raiz quadrada de 2. Veja o seguinte exemplo tirado de Frid. Euclides provou que o número positivo, cujo quadrado é 2, isto é, o número positivo x que satisfaz a equação a seguir não é racional.

x 2 = 2, (1) Euclides argumentou da seguinte forma: suponhamos que o número x satisfazendo (1) seja racional. Então, existem inteiros positivos p e q, primos entre si, tais que: 2 2 p2 = 2. ou seja p = 2q . (2) 2 q 2 p Portanto é par e p também é par, daí p pode ser escrito na forma p = 2k. Deste modo:

(2k ) 2 = 2q 2 ⇔ 2k 2 = q 2 ⋅ (3) Pela mesma razão anterior, concluímos que q também deve ser par. Mas isso nos leva a uma contradição, pois p e q são primos entre si por hipótese! Assim, a suposição de que x = p nos leva a uma contradição e, q portanto, deve ser descartada, considerada falsa. Chegamos à conclusão que número irracional.

2 , que é como representamos o número positivo, cujo quadrado é 2, é um

Exemplos de números irracionais:

2 = 1, 4142135..., e = 2,718281828459045..., (pi ): π = 3,141592653589793238462643..., a = 0, 10100100010000...,

3 = 1, 7320508... E se nós juntássemos todos os conjuntos numéricos vistos até agora, o que obteríamos? Veja o conjunto a seguir.

6 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (IR) Da reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, obtemos o conjunto dos números reais (IR). IR = Q ∪ Ir = {x; x ∈ Q ou x ∈ IR} = {x; x é racional ou x é irracional}

AULA 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

Com o conjunto dos números reais, a reta fica completa, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real corresponde um único ponto da reta. Desta forma, dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. Veja a seguir, a reta real com alguns números reais para exemplificar.

O seguinte diagrama relaciona os conjuntos numéricos estudados até aqui.

Existem outros números, além dos reais: os números complexos.

Quando, por exemplo, não conseguimos afirmar o nosso peso e dizemos: “O meu peso está entre 55 e 65 kg”, estamos usando um intervalo de pesos que variam de 55 a 65 kg. Veja outro exemplo.

7 INTERVALOS Certos subconjuntos de IR, determinados por desigualdades, têm grande importância na Matemática: são os intervalos. Observe o exemplo: A Meteorologia informa que hoje a temperatura mínima em Salvador será de 26 °C e a máxima de 34 °C. Sendo T uma temperatura registrada em um momento qualquer do dia, podemos escrever que T está dentro do intervalo 26 °C–34 °C e podemos representar essa variação por: 26 °C ≤ T ≤ 34 °C. A notação de intervalo precisou ser utilizada, pois não é possível enumerar todos os valores que estão entre 26 e 34, visto que são infinitos. Na reta real, teremos a seguinte representação.

As marcas fechadas nas extremidades da representação do intervalo na reta significam que 26 e 34 pertencem ao intervalo de temperaturas, que também pode ser representado da seguinte forma: [26, 34].

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De maneira geral, sendo a e b números reais quaisquer, a < b, tem-se: a) Intervalo aberto (a, b) = {x ∈ IR; a < x < b}

b) Intervalo fechado [a, b] = {x ∈ IR; a ≤ x ≤ b} c) Intervalo fechado à esquerda [a, b) = {x ∈ IR; a ≤ x ≤ b} d) Intervalo fechado à direita (a, b] = {x ∈ IR; a < x ≤ b} e) Semirreta esquerda, fechada, de origem b (-∞, b] = {x ∈ IR; x ≤ b} f) Semirreta esquerda, aberta, de origem b (-∞, b) = {x ∈ IR; x < b} g) Semirreta direita, fechada, de origem a [a, +∞] = {x ∈ IR; x ≥ a} h) Semirreta direita, aberta, de origem a (a, +∞] = {x ∈ IR; x > a} i) Reta real (-∞, +∞) = IR Observações: 1) -∞ e +∞ não são números reais, apenas fazem parte das notações de intervalos ilimitados. 2) Existem outras formas de se representar intervalos. Por exemplo: (a, b] = ]a, b]; (a, b) = ]a, b[. Vejamos um resumo do que foi estudado nesta aula.

SÍNTESE Nesta aula, aprendemos que o nosso sistema de numeração possui 10 algarismos e o conjunto dos números naturais não é suficiente para representar determinadas situações, como uma temperatura abaixo de 0 °C. Vimos também que é preciso ampliar o conjunto dos números inteiros para o conjunto dos números racionais para resolver problemas, tais como: qual a distância entre Salvador e Vitória da Conquista? Depois, verificamos que todos os números estudados não serviam para resolver problemas, assim como: qual a diagonal de um quadrado de lado 1?, ou seja, precisávamos de outros tipos de números, neste caso, os irracionais.

AULA 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

Assim, juntando todos os números estudados, temos o conjunto dos números reais os quais têm correspondência biunívoca com os pontos da reta real. Por fim, vimos que a resolução de muitos problemas é uma infinidade de pontos que não podem ser listados. Por esse motivo, utilizamos os intervalos limitados ou ilimitados, a depender da situação. Na próxima aula começaremos nossos estudos com uma noção intuitiva de funções. Veremos o plano cartesiano, produto cartesiano, definição geral de funções e chegaremos à função afim, e, em seus casos especiais, como as funções linear e constante. Assim, teremos a oportunidade de explorar um dos conceitos mais importantes da Matemática: o conceito de função.

LEITURAS INDICADAS DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005. v. 1. LAGES, Elon L. et al. A matemática no Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, Coleção do professor de Matemática, 2004. v. 1. ______. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2004. (Coleção do Professor de Matemática).

SITE INDICADO http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/conicas/animadas/index.html

REFERÊNCIA FLEMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A. São Paulo: Pearson, 2006.

AULA 2 Função Afim (Parte 1) Autora: Maria Amélia Pinho Barbosa. Adaptado por Benedito Ikeda

Olá! Nesta aula, começaremos nossos estudos com uma noção intuitiva de funções. Veremos o plano cartesiano, o produto cartesiano, a definição geral de funções e chegaremos à função afim e em seus casos especiais, como as funções linear e constante. O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. É muito comum expressarmos fenômenos biológicos, físicos e cotidianos por meio de funções. Isso torna o seu estudo no Ensino Médio de grande importância.

1 NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO A ideia de função existe quando relacionamos duas grandezas variáveis. Vejamos alguns exemplos. 1º) Quantidade de quilos de feijão e preço a pagar. Se em determinado supermercado o preço do feijão é R$ 2,00, qual o valor a ser pago na compra de 1, 2, 4, 6, 8, 10 ou 100 quilos de feijão? Observe a tabela.

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QUANTIDADE (KG)

VALOR A PAGAR (R$)

2,00

4,00

8,00

12,00

16,00

10 .. .

20,00 .. .

100

200

Percebemos que o preço a pagar é = R$ 2,00 vezes a quantidade de quilos comprados. Podemos dizer então que o valor a ser pago é dado em função da quantidade de quilos comprados. Então, causar o valor a ser pago v da seguinte maneira: v = 2,00 · q, no qual q é a quantidade de quilos de feijão comprados. Deste exemplo, retiramos ainda a noção de variável dependente e variável independente. Note que, para encontrarmos o valor de v, arbitramos o valor de q. Assim, dizemos que v é a variável dependente, ou seja, ele depende de um valor arbitrado em q para ser determinado. 2º) Pense em um quadrado e em sua área. A tabela a seguir relaciona a medida do lado de uma região quadrada (l) e a sua área (A = l²): Lado (cm)

1,5

3,5

Área (cm²)

2,25

12,25

l²

Note que a área da região quadrada é dada em função da medida do seu lado, isto é, a área depende da medida do lado. A cada valor dado para o lado corresponde apenas um valor para a área. Dizemos então que a área é função do lado e escrevemos: Área = lado ∙ lado A = l ∙ l = l² que é a fórmula matemática da função, lei da função ou regra da função. Como depende da medida do lado, a área é variável dependente, e a medida do lado, como não depende de nada, é chamada de variável independente. 1º) Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90 km/h. Veja a tabela que relaciona o tempo t (em horas) e a distância d (em quilômetros). Tempo (h)

00,5

11,5

Distância (km)

990

1135

1180

2270

3360

990t

Veja que a distância percorrida é dada em função do tempo, isto é, a distância percorrida depende do intervalo de tempo. A cada intervalo de tempo considerado corresponde um único valor para a distância percorrida. Então, dizemos que a distância percorrida é função do tempo, e escrevemos: distância = 90 ∙ tempo, simbolicamente, d = 90t Chegou a hora de começar a juntar as primeiras peças do quebra-cabeça! Na aula 1, estudamos os conjuntos IN, Z, Q, IR etc. Agora vamos estudar noções de função usando esses conhecimentos. Para tanto, precisaremos relembrar alguns conceitos. 18

AULA 2 - FUNÇÃO AFIM (PARTE 1)

2 O PLANO CARTESIANO 2.1 PAR ORDENADO Chama-se par ordenado todo conjunto binário que leva em consideração a ordem e a natureza de seus elementos.

Abscissa, ou antecedente (x,y) Ordenada, ou consequente

2.2 IGUALDADE DE PARES ORDENADOS A igualdade entre dois pares ordenados (a,b) e (c,d) ocorre da seguinte forma:

(a,b) = (c,d) ⇔

a=c b=d

2.3 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL O plano cartesiano é determinado por dois eixos perpendiculares: um horizontal (eixo das abscissas, Ox) e um vertical (eixo das ordenadas, Oy).

x 0

0: (0,0), origem do sistema cartesiano

2.4 QUADRANTES O plano cartesiano é dividido em quatro regiões distintas, chamadas de quadrante, em que:

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x 2º Q

x<0 y>0

1º Q

x>0 y>0 y

3º Q

x<0 y<0

4º Q

x>0 y<0

3 PRODUTO CARTESIANO Dados dois conjuntos não vazios A e B, definimos como produto cartesiano de A por B, e representamos A x B ao conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y), em que: x ∈ A e y ∈ B .

AxB = {( x, y ) / x ∈ A e y ∈ B}

3.1 PROPRIEDADES a) Se A≠B, então A x B ≠ B x A (não comutativa) b) N(A x B) = N(A) · N(B), em que: N(A x B: número de elementos de A x B N(A): número de elementos de A N(B): número de elementos de B c)

A =AxA

3.2 REPRESENTAÇÃO Considerando os conjuntos A = {2, 4} e B = {1, 3, 5}, podemos representar A x B dos seguintes modos: a) Forma listável: A x B = {(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5)} b) Diagrama de flechas (Diagrama de Venn):

AULA 2 - FUNÇÃO AFIM (PARTE 1)

2° 4°

°1 °3 °5

c) Gráfico cartesiano:

4 FUNÇÕES 4.1 NOÇÃO DE FUNÇÃO VIA CONJUNTOS Observe os diagramas a seguir.

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Percebe-se que:

» » o diagrama 1 não satisfaz a condição (1); » » o diagrama 5 não satisfaz a condição (2); » » os diagramas 2, 3 e 4 representam uma função.

4.2 DEFINIÇÃO Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento x ∈ A a um único elemento y ∈ B. Usamos a seguinte notação:

f: A → B (Lê-se: f é uma função de A em B.) O conjunto A chama-se domínio da função e o conjunto B, contradomínio da função. Para cada x ∈ A, o elemento y ∈ B chama-se imagem de x pela função f ou o valor assumido pela função f no ponto x ∈ A e o representamos por f(x) (lê-se: f de x). Assim y = f(x). O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem de f (Im(f)). Note que uma função f pode ser expressa como um conjunto de pares, isto é, f é um subconjunto de AxB. Finalmente, concluindo a aula 2, o estudo da função afim.

AULA 2 - FUNÇÃO AFIM (PARTE 1)

5 FUNÇÃO AFIM (FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU) 5.1 NOÇÃO INTUITIVA DA FUNÇÃO AFIM Veja o exemplo a seguir. Exemplo Numa assistência técnica especializada no reparo de celulares, o salário fixo mensal de um técnico é de R$ 500,00. Além disso, ele recebe de comissão R$ 30,00 por reparo concluído com sucesso. a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse técnico em função do número x de aparelhos reparados. y = salário fixo + comissão y = 500 + 30x b) Quanto ele ganhará no final do mês se reparou 6 aparelhos? y = 500 + 30x, em que x = 6 y = 500 + 30×6 = 500 + 180 = 680 Ele ganhará R$ 680,00 c) Quantos celulares ele reparou se no final do mês ele recebeu R$ 800,00? y = 500 + 30x, em que y = 800 800 = 500 + 30x → 30x = 800 - 500 ⇒ 30x = 300 ⇒ x = 10 Ele reparou 10 aparelhos. A relação anterior, y = 500 + 30x, definida por uma equação do 1º grau, é denominada função afim, sendo definida por: y = f(x) = ax + b, com a, b ∈ IR e a ≠ 0

5.2 GRÁFICOS DA FUNÇÃO AFIM a) Dada uma função determinada por f(x) = x + 1, podemos construir o gráfico das seguintes formas: » » atribuindo valores reais para x, assim vamos obter seus valores correspondentes para y; » » transferindo os dados para o plano cartesiano e obtendo o gráfico; » » a expressão y = ax + b é comumente chamada equação da reta, ou função da reta.

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O conjunto dos pares ordenados determinados é: f = {(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}

Y=F(X)=X+1

-2

-1

b) Dada uma função determinada por f(x) = -x + 1, o seu gráfico é: O conjunto dos pares ordenados determinados é: f= {(-2,3),(1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}

Y=F(X)=-X+1

-2

-1

Note que os gráficos são crescentes e decrescentes, respectivamente, o que é caracterizado por:

⇔ função crescente y = -x + 1 (a < 0); em que a = -1 ⇔ função decrescente y = x + 1 (a > 0); em que a = 1

6 SOBRE FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES Como vimos, uma função f(x) = ax + b cresce quando a > 0. Dada a função f(x) = 2x + 1 (a = 2):

AULA 2 - FUNÇÃO AFIM (PARTE 1)

-1

Note que, quando os valores de x crescem, os valores de y também crescem. Também vimos que uma função f(x) = ax + b decresce quando a<0. Dada a função f(x) = -3x + 2 (a = -3):

-3

-2

-1

Note agora que, quando x cresce, y decresce. Vejamos agora os casos da função f(x) = ax + b quando b = 0 ou a = 0. Uma operadora de telefonia celular oferece, entre outros, dois planos de conta. a) O plano A não tem assinatura e o valor do minuto é R$ 1,20. O valor a ser pago mensalmente depende apenas da quantidade de minutos falados pelo cliente. Chamando de “f” esse valor, temos: f(x) = 1,20x, logo, a = 1,20 e b = 0

MATEMÁTICA BÁSICA

b) O plano B tem uma assinatura de R$ 500,00 sem limite de minutos. O valor a ser pago mensalmente pelo cliente independe da quantidade de minutos falados. A conta é fixa e o valor a ser pago, constante. f(x) = 500, logo, a = 0 e b = 500 Vejamos como ficam os gráficos dos planos A e B.

CONCLUSÃO O gráfico do plano A representa uma função linear f(x) = ax. O gráfico dessa função é uma reta não vertical que passa pela origem. Nesse caso, em que x ∈ IR+, o gráfico parte da origem. O gráfico do plano B representa uma função constante f(x) = b. O gráfico correspondente é uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto (0,b). Neste caso, em que x ∈ IR+, o gráfico parte do ponto (0,b). Observação: é comum encontrar, em textos de Matemática Aplicada, referência à função linear ou função afim simplesmente como função da reta ou função linear para ambos os casos.

SÍNTESE Concluída esta aula, você deve ser capaz de perceber a importância da ferramenta função para a Matemática e o quanto ela é utilizada pelas ciências. Vimos ainda, que o Plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares: O eixo Ox (das abscissas) e o eixo Oy (das ordenadas). É importante lembrar que existem inúmeras situações que podem ser modeladas em termos de funções afins. Todo e qualquer evento que apresente variação uniforme em função de algum parâmetro x pode ser expresso da forma f(x) = ax + b. Na próxima aula, continuaremos estudando a função afim e suas aplicações.

LEITURAS INDICADAS DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005. v. 1.

AULA 2 - FUNÇÃO AFIM (PARTE 1)

LAGES, Elon L. et al. A matemática no Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, Coleção do professor de Matemática, 2004. v. 1. ______. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2004. (Coleção do Professor de Matemática).

SITE INDICADO http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/conicas/animadas/index.html

REFERÊNCIA DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005. v. 1.

AULA 3 Função Afim (parte 2)

lá! Na aula anterior, iniciamos o estudo das funções e vimos um pouco de função de 1o grau, aprendendo que o seu gráfico é uma reta. Vimos, também, a diferença entre função crescente (a > 0) e decrescente (a < 0). Nesta aula, aprenderemos mais sobre a função afim e, ao finalizá-la, você deverá estar apto para resolver problemas que envolvem a função do 1o grau. Vamos lá!

Você sabia que o número do seu sapato é uma função do comprimento do seu pé, em centímetros? Pois é, os fabricantes de sapatos brasileiros usam a fórmula N =

5 c + 28 , na qual c é o comprimento do pé, em 4

centímetros, para fabricar calçados na numeração que encontramos nas lojas. Para descobrir que número calça + uma pessoa com 24 cm de comprimento de pé, deve-se fazer N = 5 24 28 = 37. Interessante, não é? 4

1 FUNÇÃO AFIM Algumas observações importantes podem ser feitas a partir do gráfico da função do 1o grau y = ax + b.

MATEMÁTICA BÁSICA

a) O ponto em que o gráfico corta o eixo Ox mostra o valor de x tal que f(x) = 0. Nesse caso, x é chamado de zero, ou raiz da função do 1o grau (geometricamente: a raiz da função f(x) = ax + b é a abscissa do ponto de interseção do gráfico da função com o eixo 0x). Observe os gráficos das funções y = 2x, y = 2x + 3, y = 3x, y = 3x+ 3:

0 é a raiz ou o zero da função.

-3/2 é a raiz ou o zero da função

0 é a raiz ou o zero da função.

-1 é a raiz ou o zero da função

Para calcular o valor da raiz da função, devemos ter f(x) = 0.

Observe:

Faça y = 0 para y = 2x + 3 e terá x = -3/2.

Faça y = 0 para y = 3x + 3 e terá x = -1.

AULA 3 - FUNÇÃO AFIM (PARTE 2)

b) Na função de 1o grau f(x) = ax + b, “a” é chamado coeficiente angular, declividade ou inclinação, porque determina a inclinação da reta, e “b” é chamado coeficiente linear ou interpto-y, porque o ponto (0,b) determina a intersecção da reta com o eixo Oy. Exemplo Os gráficos de y = 2x e y = 2x + 3 são retas paralelas, pois ambas têm declividade 2. A primeira passa pela origem visto que b = 0, já a segunda intercepta o eixo Oy em (0,3). y 6 5 4

y=2x+3

y=2x

2 1

−3

−2

x 1

−1

−1 −2 −3

2 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO AFIM Vamos conhecer agora o significado de estudar o sinal de uma função f de domínio D(f) Ì IR, ou seja, vamos descobrir para quais valores de x Î D(f) temos f(x) < 0, f(x) = 0 ou f(x) > 0. Vejamos. Um comerciante gastou R$ 95,00 na compra de uma caixa com latas de leite em pó. Como cada lata será vendida por R$ 5,00, ele deseja saber quantas latas devem ser vendidas para que haja lucro no final da venda. Note que o resultado final (receita - despesa) é dado em função do número x de latas de leite vendidas e a lei da função é f(x) = 5x -95. Não haverá lucro nem prejuízo se 19 latas forem vendidas (para x = 19, tem-se f(x) = 0). Haverá lucro se mais de 19 latas forem vendidas (para x > 19, tem-se f(x) > 0). Haverá prejuízo se menos que 19 latas forem vendidas (para x < 19, tem-se f(x) < 0). Observe o seguinte gráfico.

MATEMÁTICA BÁSICA

3 ESTUDO DO SINAL PELA ANÁLISE DO GRÁFICO Vejamos como fazer o estudo do sinal pela análise do gráfico: a>0

a>0

(r é a raiz da função)

x = r → f(x) = 0

x < r → f(x) < 0

x < r → f(x) > 0

x > r → f(x) > 0

x > r → f(x) < 0

Exemplos 1) Dada a função f: IR → IR tal que f(x) = - 3x + 1: a) determine a raiz dessa função f e o seu significado geométrico; b) construa o gráfico de f; c) estude o sinal da função f. a) –3x + 1 = 0 Þ -3x = -1 Þ x = 1/3 (raiz de f) Se 1/3 é a raiz de f, então o gráfico de f intersecta o eixo Ox em (1/3, 0).

b) X 0 1

Y 1 -2

AULA 3 - FUNÇÃO AFIM (PARTE 2)

c) f(x) = -3x + 1 a = -3 < 0 (função decrescente) x = 1/3 → f(x) = 0

x > 1/3 → f(x) < 0

x < 1/3 → f(x) > 0

2) Estudaremos o sinal da função f(x) = 4x - 1. Raiz da função: 4x - 1 = 0 Þ 4x = 1 Þ x = 1/4 Sinal de a: a = 4 > 0 Þ f(x) é crescente - f(x) = 0 para x = 1/4. - f(x) > 0 para x > 1/4 (à direita de x = 1/4 o gráfico está acima do eixo 0x). - f(x) < 0 para x < 1/4 (à esquerda de x = 1/4 o gráfico está abaixo do eixo 0x). X 0 6

Y 4 -1

Estude o sinal da função y = −

1 x + 2. 2

Vamos determinar para que valores de x a função é positiva (maior que zero) ou negativa (menor que zero), mas vamos descobrir, antes, a raiz da função fazendo f(x) = 0: −

1 x + 2 = 0 , daí x = 4. 2

Observe o gráfico e note que: y > 0 quando x < 4 y = 0 quando x = 4 y < 0 quando x > 4

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Exercícios resolvidos Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(-1,3) e é paralela à reta y= -2x -4 . Solução: A equação procurada tem a forma y = ax + b, em que devemos determinar a declividade “a” e o coeficiente linear ou intercepto-y, “b”. Como a reta procurada é paralela à reta y=-2x-4, elas têm a mesma declividade a = -2. Logo, a equação procurada tem a forma: y=-2x+b Para determinar “b”, basta lembrar que a reta passa pelo ponto P(-1,3), isto é, as coordenadas de P satisfazem a equação anterior: 3=-2(-1)+b → b=1 Assim, a equação procurada é y=-2x+1. Graficamente, temos: y=-2x+1

y=-2x-4

5 4 3 2 1

−6

−5

−4

−3

−2

−1

x 1

−2 −3 −4 −5 −6 −7

2. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos P(-1,1) e Q(4,2). Solução: Como no exercício anterior, devemos determinar os coeficientes “a” e “b” da equação de uma reta y = ax + b. Visto que conhecemos dois pontos por onde passa a reta, basta substituir as coordenadas desses pontos na equação. 1=a(-1)+b 2=a(4)+b, Assim, obtemos um sistema de duas equações a duas incógnitas.

− a + b = 1  4 a + b = 2

AULA 3 - FUNÇÃO AFIM (PARTE 2)

Ao resolver o sistema por substituição, obtemos da primeira equação b = 1 + a. Ao substituir b na segunda equação, temos, 4a + (1 + a) = 2, onde a = Logo, a equação da reta procurada é y =

1 6 eb = . 5 5

1 6 x+ . 5 5 y 4

Q(4,2)

P(-1,1)

x −7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

Observação: o cálculo da declividade de uma reta que passa por dois pontos conhecidos pode ser generalizado. Vejamos, sejam P (x1, y1) e Q (x2, y2) os pontos dados, substituindo as coordenadas na equação da reta, temos o sistema:

 y1 = ax 1 + b   y 2 = ax 2 + b Ao multiplicar a primeira equação por -1 e somar à segunda equação, temos:

y 2 − y1 = ax 2 − ax 1 = a ( x 2 - x1 ) 3. A companhia telefônica de Vera Cruz cobra uma taxa de R$ 40,00 pela assinatura de um telefone fixo, mais R$ 1,20 por minuto falado. a) Expresse a fórmula (função) da fatura mensal em função dos minutos falados “q”. b) Supondo que foram utilizados 75 minutos no último mês, qual será o total a pagar? c) Se a fatura foi de R$ 70,00, quantos minutos foram utilizados? Solução: a) F(q) = 40 + 1,20q = 1,20q + 40 b) F(75) = 1,20(75) + 40 = 130 reais c) Fazendo F(q) = 70 no item a, chega-se a: 70=1,20q+40.

⇒ q5=

70 − 40 = 2 min 12. 0

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F(x10)

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

q(x10)

1 −2

−1

4. A fábrica de bolsas Kibag tem um custo fixo mensal de R$ 4.000,00 e um custo de produção de R$ 2,00 por unidade. Cada bolsa é vendida por R$ 6,00. expresse o custo total mensal C da empresa como função da quantidade “q” produzida; expresse a receita total mensal R da empresa em como função da quantidade “q” vendida esboce o gráfico das funções C e R num mesmo sistema de eixos. Solução: a) O custo total é obtido pela soma de um custo fixo, ou seja, o custo resultante de despesas fixas como aluguel, prestações, manutenção etc., que não depende da produção “q”, mais um custo variável, resultante do custo de produção unitário multiplicado pela quantidade “q” produzida, em símbolos: C= 2q + 4.000 reais b) A receita é obtida pelo produto da quantidade vendida pelo preço unitário de venda: R= 6q reais C/R (x1.0000)

7 6 5 4 3 2 1

q(x1.000) 1

−1

AULA 3 - FUNÇÃO AFIM (PARTE 2)

Observe que nos dois exemplos anteriores restringimos o domínio das funções, isto é, consideramos apenas valores positivos para x, simbolicamente, D(f)={X ∈R, ≥ 0} = R+. Isso porque os contextos dos problemas não admitem x negativo. No final desta aula, você deve ser capaz de perceber que o cálculo da raiz de uma função afim (interseção do seu gráfico com o eixo Ox) e o estudo do sinal desta função são necessários para a resolução de problemas que envolvem tal função. O estudo do sinal de uma função afim não exige sua representação gráfica. O conhecimento da raiz da função, e do efeito do sinal do coeficiente angular sobre seu crescimento ou decrescimento são suficientes. Enquanto o coeficiente linear b, na função afim y = ax + b, indica o valor inicial da função (avaliado em x = 0), a declividade a determina o seu crescimento ou decrescimento. Na próxima aula veremos mais um tipo de função: a função quadrática. Até lá!

SÍNTESE Nesta aula, estudamos a função afim com mais detalhes, procurando priorizar o seu aspecto gráfico. Isso porque, no estudo de funções e nas suas aplicações, a visualização gráfica é de suma importância. Caso queira se aprofundar no assunto, você pode pesquisar a profusão de análises gráficas de funções em revistas e seções especializadas em finanças e negócios.

LEITURAS INDICADAS DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005. v. 1. LAGES, Elon L. et al. A matemática no Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2004. v. 1 (Coleção do professor de Matemática) ______. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2004. (Coleção do Professor de Matemática)

REFERÊNCIA DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005.

AULA 4 Função Quadrática Autora: Maria Amélia Pinho Barbosa. Adaptado por Benedito Ikeda

De acordo com o que vimos nas aulas anteriores, podemos dizer que o conceito de função é uma generalização da noção de Fórmula Matemática. Funções descrevem relações matemáticas entre dois objetos, x e y = f(x). O objeto x é chamado de argumento da função f, e o objeto y, que depende de x, é chamado imagem de x pela função f. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar cada valor do argumento x a uma única imagem pela função f. Isso pode ser feito através de uma fórmula ou regra de associação, de um gráfico ou de uma simples tabela de correspondência. Nesta aula, definiremos a função quadrática. Veremos algumas situações em que esta função se aplica e iniciaremos o estudo do seu gráfico.

1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Vamos iniciar nosso estudo com uma situação-problema, o qual será modelado com uma nova fórmula matemática: a função quadrática, ou função de 2º grau.

MATEMÁTICA BÁSICA

Um fazendeiro, que está reorganizando a sua horta, deseja ampliar uniformemente a área de uma plantação de alface, que tem dimensões 3 x 3 (em metros). Desejando alcançar uma área total de 25 m2, qual deverá ser o valor da ampliação do terreno?

1.1 MODELO MATEMÁTICO Chamemos a ampliação de x: as novas dimensões são (3 + x) x (3 + x). Consequentemente, a nova 2 área (A) será (3+x) . Percebemos que a área é um produto notável que resulta num trinômio do 2º grau, 2

A = 9 + 6x + x . 2

Se A é uma função de x, então: f(x) = x + 6x + 9. Desta forma, o problema foi modelado através de uma função quadrática.

a) Exercício I) Agora, o fazendeiro deseja reduzir uniformemente a sua plantação de abóbora, que tem dimensões 7 x 7. Determine o modelo matemático que descreve essa situação. Conceito

f : IR → IR

Uma função chama-se quadrática quando existem números reais a, b e c, com a 2 tais que f(x) = ax + bx + c. para todo x ∈ IR.

≠ 0,

Como vimos na introdução desta aula, a função quadrática pode ser identificada por um trinômio do 2º grau. Denomina-se função quadrática a função que transforma x em: 2

ax + bx + c. a) Exemplos de funções quadráticas 2

f(x) = x + 100x, em que a = 1, b = 100 e c = 0. 2

f(x) = 3x - 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1. 2

f(x) = x + 4, em que a = 1, b = 0 e c = 4. b) Exemplos de funções não quadráticas 40

AULA 4 - FUNÇÃO QUADRÁTICA

f(x) = 2x f(x) = 2

x 3

f(x) = x + 2x + x + 1 c) Exercício 2

II. Seja f(x) uma função tal que f(x) = (m2 - 4)x - (m + 2)x - 1. Determine os possíveis valores de m para que f(x) seja uma função quadrática. d) Exemplo Num torneio de vôlei, cada clube vai jogar duas vezes com outro, em turno e returno. Assim, o número p de partidas é dado em função do número x de clubes participantes. Sabe-se que um clube não pode jogar contra ele próprio, então deveremos excluí-lo. Desse modo, o número p de partidas é dado por: 2

p(x) = x(x - 1) = x - x, que é uma função quadrática, em que a = 1 , b = -1 e c = 0. Assim, se o torneio tem 10 participantes, o número de partidas será dado por: 2

p(10)= 10 - 10 = 100 - 10 = 90 partidas e) Notação - Um ponto P de coordenadas (x,y) será denotado por P(x,y) Construção do gráfico da função quadrática A função quadrática tem como gráfico uma curva denominada parábola, lugar geométrico descrito por um ponto que se move no plano, de maneira que sua distância a uma reta fixa (diretriz) do plano é sempre igual à sua distância a um ponto fixo (foco), não situado sobre a reta. Para mais detalhes sobre a construção e as propriedades geométricas da parábola, acesse: <http://www. mat.ufrgs.br/~calculo/conicas/animadas/index.html>.

Vejamos um exemplo para se ter uma primeira ideia do formato dessa curva denominada parábola. Exemplo: 2 Construir o gráfico da função y = f(x) = x − x − 2

MATEMÁTICA BÁSICA

O conjunto dos pares ordenados determinados é: f = {(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}

-2

-1

raiz

-2

int-y

-2

1/2

-9/4

vértice

raiz

2 y=f(x)= x − x − 2

Para a construção da parábola, algumas propriedades e alguns pontos do gráfico são fundamentais: a) concavidade da parábola A concavidade de uma parábola é determinada pelo sinal de “a”. Desta maneira: I. Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.

II. Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.

Então, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola que pode aparecer com concavidade voltada para cima ou para baixo, a depender do sinal de “a”. No exemplo anterior, temos a = 1 > 0, logo, a concavidade da parábola é voltada para cima.

AULA 4 - FUNÇÃO QUADRÁTICA

b) Intersecções com o eixo Ox (raízes ou zeros da função) Raízes ou zeros de uma função quadrática são as abscissas dos pontos de intercessão da parábola com o eixo-x, cujas ordenadas y são 0 ((x’,0) e (x’’,0)), e são determinadas pela resolução da equação do segundo grau, ax² + bx + c = 0. No exemplo anterior, vamos calcular as intersecções com o eixo Ox (raízes), ou seja, vamos resolver a equação: x² - x - 2 = 0 Temos a=1, b=-1 e c=-2 e , ∆ = b² - 4ac = (-1)² - 4(1)(-2)=9>0 logo, a concavidade é voltada para cima e existem duas raízes: −b ± ∆ −(−1) ± 9 1 ± 3 x= = = ⇒ x ' = −1 e x '' = 2 2a 2(1) 2 Logo, as intersecções da parábola com o eixo-x são: (-1,0) e (2,0). c) Intersecção com o eixo Oy (eixo das ordenadas) Uma função intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,y), ou seja, sobre o eixo-y todos os pontos têm abcissa x=0. 2 Dada a função quadrática f(x) = ax + bx+ c, a intercessão com o eixo Oy acontecerá quando x = 0. Logo, 2

f (x) = ax + bx + c 2

f (0) = a.0 + b.0 + c =c, então, y = c. Assim, concluímos que a função intercepta o eixo Oy no ponto (0,c). No nosso exemplo, a parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0,-2). Dessa relação, surgem três observações importantes: 1) c > 0 ⇒ a parábola intercepta o eixo Oy acima da origem; 2) c = 0 ⇒ a parábola passa na origem (0,0); 3) c < 0 ⇒ a parábola intercepta o eixo Oy abaixo da origem. d) Coordenadas do vértice O vértice de uma parábola é o seu ponto extremo, isto é, o ponto mais alto ou mais baixo, a depender do sinal de “a”. Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima e, consequentemente, tem ponto mínimo. Se a < 0, a parábola em a concavidade voltada para baixo e, consequentemente, tem ponto máximo. Vejamos como calcular as coordenadas do vértice. e) A abcissa do vértice (xv) Observemos que a parábola é simétrica em relação a uma reta vertical que passa pelo seu vértice. Com base nesse fato, é possível mostrar que a abcissa do vértice da parábola é dada por: xv = − No nosso exemplo,

b 2a

y = x 2 − x − 2 , temos, a=1, b=-1 e c=-2, logo, a abcissa do vértice é

MATEMÁTICA BÁSICA

Como, nesse caso, temos as duas raízes, x’=-1 e x’’= 2, pois ∆ >0, e sabendo que o x v é o ponto médio do segmento x' x' ' , podemos também calcular o x v através da média aritmética de x’ e x’’, isto é,

xv =

x'+ x' ' − 1 + 2 1 = = 2 2 2

II) A ordenada do vértice (yv) O y v nada mais é que a imagem do x v , ou seja: Se f(x) = ax

+ bx + c, então y v = f ( x v ) = f ( −

 b2 −b −b  + c = a 2  + b y v = a  2a   2a   4a

yv =

b ) . Logo, 2a

 b2  − +c⇒  2a

b2 b2 − (b 2 − 4ac ) b 2 − 2b 2 + 4ac − + c ⇒ yv = = 4a 2 2a 4a 4a

Como ∆= b

- 4ac, temos:

yv = No nosso exemplo, lembrando que

yv =

−∆ 4a

∆ = 9 , temos:

−∆ −9 9 = =− 4a 4(1) 4

Observe que, ao lado do gráfico, além das raízes e do vértice, construímos uma tabela auxiliar, atribuindo valores arbitrários a x e calculando a imagem y=f(x). É evidente que, quanto mais valores atribuirmos à x, mais preciso será o gráfico. Vejamos outro exemplo.

Exemplo 2 Construa o gráfico da função y = −2 x − 4 x + 6 .

Solução:

» » a = -2 < 0 ⇒ a parábola tem a concavidade voltada para baixo ( ) . 2 » » Temos ∆ = (−4) − 4(−2)(6) = 64 > 0 , logo, teremos duas raízes distintas, que são x’ = -3 e x’’

= 1 (confira!).

» » As coordenadas do vértice são:

xv = −

b −4 −∆ −64 =− =-1 e yv = = =8 . 2a 2(−2) 4a 4(−2)

» » A parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0,6). » » Atribuímos alguns valores arbitrários para x e calculamos y = f(x), conforme você pode observar na tabela.

AULA 4 - FUNÇÃO QUADRÁTICA

Ao lançar esses resultados no plano cartesiano, vamos obter o seguinte gráfico. V(-1,8)

y 8 7 6 5 4

-3

-2

-1

-11

raiz

2 1

vértice raiz

−5

−4

−3

−2

−1

x 1

−2 −3

2 MÁXIMOS E MÍNIMOS E A IMAGEM DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA A ideia de máximos e mínimos de uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c está diretamente ligada ao sinal do coeficiente se:

» » a > 0, a parábola tem concavidade para cima e o gráfico terá um ponto mínimo; » » a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e o gráfico terá um ponto máximo. Observe os gráficos: 1) f(x) = x² - 3x + 2 2) f(x) = - x² + 3x - 2

» » No gráfico 1 ,temos a > 0 e o vértice da função V ( xv , y v ) é o ponto de mínimo porque possui a menor ordenada de todo o gráfico. Concluímos que a imagem desta função tem início no mais infinito: IM (f) = [yv, +∞], cujo yv é também chamado de valor mínimo da função.

y v e vai até

MATEMÁTICA BÁSICA

» » No gráfico 2, temos a < 0 e o vértice da função V ( xv , y v ) é o ponto de máximo porque possui a maior ordenada de todo o gráfico. Concluímos que a imagem desta função tem início em menos infinito e vai até o y v : Ι Μ ( f ) = − ∞, y v , cujo y v é também chamado de valor máximo da função.

]

3 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Estudar o sinal de uma função f(x) é estabelecer os valores de x para os quais f(x) < 0, f(x) = 0 e f(x) > 0. O estudo do sinal de uma função quadrática é feito sobre o seu gráfico e está diretamente relacionado ao coeficiente a e ao discriminante ∆. a>0

a<0

D>0

−−− −−− +++ +++ +++ − + + ++ + + +++

+++ +++ − +++ + + ++ + +

− +++ − − −

D=0

+ ++ + + +++++ + ++ + + +++++

−−− + −−− + +

−−− + − −−−− −

−−− − −−−− −

−−−

−−−− −−−−− −−−− −−−−− −−−− − −−−−−− −

−−−−− − −−−−−−−− −

−−−−

−−−−−

+ ++ + + +++++ + +++ ++++ + + + + ++ ++ ++ + + + ++ + +

+++++ −−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−

+++++++++++ +++++++++++

D<0

−−−−−−−−−−− − −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− − −−−−−−−−−−−

+++++++++++ + + ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ + + +++++++++++

Lembre-se de que as interseções com o eixo Ox são os pontos (x’,0) e (x’’,0). Observe a tabela a seguir para verificar os intervalos nos quais a função quadrática é positiva e/ou negativa:

AULA 4 - FUNÇÃO QUADRÁTICA

∆

∆>0 ∆ = 0 ( x’ = x’’)

POSITIVA

NEGATIVA

a>0

]-∞, x’ [ ∪ ]x’’, +∞[

]x’, x’’[

a<0

]x’, x’’[

]-∞, x’ [ ∪ ]x’’, +∞[

a>0

IR - {x’}

a<0

IR - {x’}

Exercícios resolvidos 2

1) Esboce o gráfico da função f ( x) = y = x + 3 x , evidenciando as raízes, o vértice e a intersecção com o eixo-y (intercepto-y). Determine Im(f) e estude o sinal da função f. Solução: Temos a = 1, b = 3 e c = 0, logo, ∆=b² - 4ac = 3² - 4 (1) (0) = 9>0, então, a concavidade é voltada para cima e existem duas raízes.

» » vamos calcular as raízes: x² + 3x = 0 ⇒ x(x+3) = 0 ⇒ x=0 ou (x+3)=0 ⇒ x’=0 ou x”=-3.

» » vamos determinar o vértice V da parábola:

xv =

x'+ x' ' 0 + (−3) 3 −∆ −9 9 = = − e yv = = =− 2 2 2 4a 4(1) 4.

» » o intercepto-y é dado por (0,c)=(0,0). » » vamos construir uma tabela com alguns valores além dos já calculados.

eixo de sim etria

f ( x) = x 2 + 3x X

-3

-3/2

-9/4 (V)

-1

-2

- Sinal de f

-4

∞ - Im(f)=[ y v ,+ f(x)>0 :

-3/2 −5

−4

−3

−2

−1

−1 −2

V(-3/2,-9/4)

-9/4

−3

9  9   [ =  − ,+ ∞  =  y ∈ R, y ≥ −  4  4  

]− ∞,−3[ ∪ ]0,+∞ [ = {x ∈ R, x < −3}∪ {x ∈ R, x > 0} 47

MATEMÁTICA BÁSICA

f(x)<0 :

]− 3,0[ = {x ∈ R,−3 < x < 0}

2) O custo mensal C de uma empresa para produzir q unidades de certo produto é dado por C (q ) = q 2 − 40q + 500 reais. Determine o nível de produção mensal que minimiza o custo da empresa. Solução:

» » observe que a função custo C é uma parábola com concavidade voltada para cima, logo, tem um ponto de mínimo;

» » a parábola não intercepta o eixo-x, isto é, não tem raízes, pois,<0; ∆= b² - 4ac = (-40)² - 4.1.500 = -400<0

» » as coordenadas do vértice são:

qv = −

b − 40 ∆ − 400 =− = 20 e C v = − =− = 100 ; 2a 2 4a 4

» » o intercepto -y é dado pelo ponto (0,500). Visualizando o problema: 9

Cx100

8 7 6 5 4 3 2 1

V(20,100) 1

qx10 4

−1

C (q ) = q 2 − 40q + 500 » » concluímos, então, que o nível de produção que minimiza o custo da empresa é q = 100 unidades, para o qual o custo é R$ 100,00.

» » note que a natureza do problema limita o domínio da função custo C ao conjunto dos números reais positivos,

R+ .

3) Uma papelaria adquire cadernos a R$ 10,00 a unidade. Estima-se que, se cada caderno for vendido por p reais, a papelaria venderá (50-p) cadernos por mês. a) Expresse o lucro mensal como função do preço e construa o gráfico correspondente.

AULA 4 - FUNÇÃO QUADRÁTICA

b) Determine o preço ótimo de venda, isto é, o preço que proporciona maior lucro.

Solução: a) o lucro unitário é dado por preço de venda menos preço de compra, ou seja, (p-10 ). O lucro mensal será dado por: Lucro = lucro unitário x demanda, simbolicamente, L = (p - 10)(50 - p)= -p² + 60p - 500, que corresponde à função quadrática

y = ( x − 10)(50 − x) = − x 2 + 60 x − 500 . 2 2 » » ∆ = b − 4ac = (60) − 4( −1)(−500) = 1.600 > 0 ⇒ a parábola tem concavidade voltada para baixo ( ) ; a parábola tem duas raízes distintas:

» » para achar as raízes, basta igualar a 0 a forma fatorada da função,

(p - 10)(50 - p)=0 ⇒ ( p − 10) = 0 ou (50 − p ) = 0 ⇒ p ' = 10 ou p ' ' = 50 ; » » as coordenadas do vértice são:

xv =

x'+ x' ' 10 + 50 − ∆ − 1.600 = = 30 e y v = = = 400; 2 2 4a 4(−1)

» » concluímos, então, que o preço ótimo de venda é R$ 30,00 cujo lucro máximo é R$ 400,00; » » o contexto do problema limita o domínio da função, pois a variável independente p é o preço do produto que deve ficar entre R$ 10,00 e R$ 50,00. Logo, D(L)= [10,50].

Agora tente você! A fábrica de sapatos K-Shoes calcula que a relação entre o preço “p” de determinado tipo de tênis e a quantidade “q” comercializada é dada por p = -2q + 200 reais. Logo, a receita mensal R é dada por: R= preço x quantidade comercializada = p x q =(-2q + 200)q Qual a quantidade comercializada que proporciona receita máxima? Visualize o problema graficamente. (Resposta: q = 50 pares)

MATEMÁTICA BÁSICA

Esperamos que esta aula tenha servido para solidificar o conceito de função e mostrar a importância da representação gráfica de uma função no processo de análise de um problema.

SÍNTESE Vimos, nesta aula, que a função quadrática pode ser útil na modelagem de problemas do cotidiano. Fizemos um estudo detalhado dessa função, cujo gráfico é uma figura geométrica denominada parábola. Estudamos suas raízes, o vértice, a concavidade e o sinal. E, o mais importante, usamos a parábola para modelar alguns problemas da área de Economia e Negócios.

LEITURAS INDICADAS DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005. v. 1. LAGES, Elon L. et al. A matemática no Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2004. v. 1. (Coleção do professor de Matemática). ______. et al. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2004. (Coleção do Professor de Matemática).

SITES INDICADOS http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/conicas/animadas/index.html

REFERÊNCIA DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005.

AULA 5 Sistemas Lineares 2 x 2 Autor: Benedito Ikeda

Nesta aula estudaremos um assunto já visto no curso secundário, porém daremos um enfoque diferenciado, procurando identificar situações que podem ser modeladas por sistemas lineares. Daremos ênfase também à visualização e análise gráfica dos problemas. Não fizemos a generalização do estudo para sistemas de m equações e n incógnitas por achar que foge do escopo do curso.

1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS SISTEMAS LINEARES 2 X 2 O problema a seguir é uma situação típica do nosso cotidiano. Observe como podemos, de forma simples, modelá-lo usando um par de equações.

PROBLEMA Um terreno de 8.000 m² deve ser dividido em dois lotes. O lote maior deverá ter 1.000 m² mais que o lote menor. Calcule a área de cada lote.

MATEMÁTICA BÁSICA

Chamando x e y as áreas dos lotes maior e menor, respectivamente, obtemos o seguinte sistema de duas equações lineares com duas incógnitas:

{

x + y = 8 .000 x − y = 1 .000

Para solucionar o problema, devemos determinar valores para x e y que satisfaçam as duas equações simultaneamente. Ou seja, o conjunto solução S do sistema é o conjunto dos pares ordenados (α, β), tais que α e β tornam verdadeiras as duas equações simultaneamente. Notação: S={(α1, β1) (α2, β2)...} No exemplo anterior, S = {(4.500,3.500)} (confira!). Na sequência, veremos como identificar se o sistema tem soluções ou não e como determiná-las.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Nesta aula nos limitaremos ao estudo de sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas, as quais chamaremos sistemas 2 x 2.

Definição 1: chamamos equação linear nas incógnitas x e y a uma equação do tipo ax + by = c, em que a, b e c são números reais. Os números a e b são chamados coeficientes e o número c é chamado termo independente da equação

Escrevendo a equação ax + by = c na forma y = − b x + c, vamos obter uma função afim e, como vimos na aula 2, podemos representá-la geometricamente por uma reta. Isso nos leva a concluir que todo ponto (x,y) da reta é uma solução da equação ax + by = c, ou seja, ela admite infinitas soluções. Exemplo A equação x + y = 1 representa uma equação com duas incógnitas x e y. Como já vimos anteriormente, esta equação pode ser escrita y = - x + 1 e é representada graficamente por uma reta no plano. Todos os pontos desta reta satisfazem à equação, por exemplo, (-1,2), (0,1), ( 1 , 1 ), (1, 0) etc.

2 2

y 2

(1/2,1/2)

x −1

−1

AULA 5 - SISTEMAS LINEARES 2 X 2

Observação: Uma equação linear não pode ter produtos, raízes, senos ou exponenciais de suas variáveis. Todas elas aparecem com expoente 1 ou zero. Tendo em vista essas considerações, temos que as equações a seguir não são lineares. 1) x2 + y = 2

2) xy + z = 1

3) sen(x) + y + xz = 0

Definição 2: Um sistema S de duas equações lineares com duas incógnitas x e y é um conjunto de equações lineares, apresentadas da seguinte forma:

{

ax + by = c , em que a, b, c, d, f e g são números reais dx + ef = g

Uma solução do sistema S é um par ordenado (α, β) que é solução das duas equações desse sistema.

Exemplo Dado o sistema

2x + 3y = 13 2 .5 + 3 .1 = 13 , o par (5,1) é uma solução do sistema, pois, 3x − 5y = 10 3 .5 − 5 .1 = 10

{

Interpretação geométrica dos sistemas lineares 2 x 2 Cada equação de um sistema linear em duas incógnitas é representada por uma reta, logo, o sistema é representado geometricamente por duas retas. Vejamos a representação geométrica do sistema

{

3 x − y = 10 2x + 5y = 1 4

y 3x-y=10

3 2x+5y=1

2 1 x

−4

−3

−2

−1

−1 P(3,-1) −2 −3 −4 −5

MATEMÁTICA BÁSICA

Observe que as retas se interceptam no ponto P(3,-1). Isso significa que a solução do sistema é S={(3,1)}. (Verifique!)

SOLUÇÕES DE SISTEMAS LINEARES 2 X 2 Solucionar um sistema linear consiste em encontrar valores para as incógnitas (x, y) que satisfaçam as equações do sistema. Quanto à solução, os sistemas lineares se classificam em possível e impossível, como podemos ver a seguir. a) Possível: ou seja, admite solução. Neste caso, o sistema possível pode ser: » » Determinado: quando admite uma única solução (1 valor para cada incógnita). Geometricamente: as retas que representam as equações no plano cartesiano são concorrentes e se interceptam num único ponto (x, y), que é a solução única do sistema. » » Indeterminado: quando admite infinitas soluções (infinitos valores para cada incógnita). Geometricamente: as retas que representam as equações no plano cartesiano são coincidentes e têm infinitos pontos em comum e, portanto, infinitas soluções. b) Impossível: ou seja, não admite solução. Geometricamente: as retas que representam equações no plano cartesiano são paralelas, isto é, não se interceptam. Neste caso, S = φ. Existe uma regra prática para classificar um sistema em relação às suas soluções. Dado o sistema,

{

ax + by = c dx + ey = f

a b ≠ -> o sistema é possível e determinado. d e a b c - Se = = -> o sistema é possível e indeterminado. d e f a b c = ≠ -> o sistema é impossível. - Se d e f - Se

Observe os gráficos referentes a cada sistema:

{

x+ y =3 1 1 ≠ -> 2x − y = 0 2 −1

Sistema possível e determinado, com gráfico de retas concorrentes no ponto P(1, 2). S={(1,2)}

{6 x + 2y =10 -> 6 = 2 = 10 3x + y = 5

Sistema possível e indeterminado, com o gráfico de retas coincidentes. S={... (-1,8), ..., (0,5), ...., (1,2), ...} ou S = {(x,y) ∈ R², y = -3x + 5}

AULA 5 - SISTEMAS LINEARES 2 X 2

3x+y = 5 6x+2y=10

{3 x + y = 9 -> 33 = 11 ≠ 79 3x + y = 7

Sistema impossível, com gráfico de retas paralelas. Não há pares (x,y) que satisfaçam as duas equações simultaneamente S = φ. 3x+y = 7

3x+y=9

Métodos de resolução de um sistema 2 x 2 Dado um sistema possível e determinado, existem três métodos práticos para solucioná-lo. No entanto, apenas dois deles são relevantes nesta aula, como podemos ver a seguir. 1) Método da Adição: consiste em obter uma terceira equação com apenas uma incógnita através da soma algébrica dos termos das duas outras equações. Desta maneira, encontra-se o valor de uma das incógnitas, substitui-se em uma das equações do sistema para obter o valor da segunda incógnita.

MATEMÁTICA BÁSICA

Observe:

3x + y = 5 3x + y = 5 22 Dado , faz-se: + 8 x − y = 17 → x = = 2, substituindo em: 3x + y = 5, tem-se: 11 8 x − y = 17 11x + 0 = 22

{

3 . 2 + y = 5 → 6 + y = 5 → y = 5 - 6 → y = -1. Solução do sistema: x = 2 e y = -1. S = {(2, -1)} (conjunto solução) Exercícios resolvidos pelo método da adição a)

{

x + 3y =1 → + 4 y − x = -22

x + 3y =1 − x + 4 y = -21 0 + 7 y = -22

→ 7 y = -21 → y =

-21 → y = −3 7

substituindo na 1ª equação:

x + 3 y = 1 → x + 3 . (−3) = 1 → x − 9 = 1 → x = 1 + 9 → x1= 0, logo, S = {(10, -3)} b)

→

{

4x + 3y = 7 6 y − 84x = 4641 ª x²

8 x + 6 y = 14 8 x + 6 y = 14 → − 8 x + 6 y = 46 60 → 12y = 60 → y = + → y =5 − 8x + 6 y = 6 06+ 12y = 60 12

Substituindo na 1ª equação:

4 x + 3 y = 7 → 4 x + 3 . 5 = 7 → 4x + 15 = 7 → x = S = {(-2, 5)}

7 - 15 → x = −2, logo, 4

Observação: Note que no item b houve a necessidade de multiplicar a primeira equação por 2 para se obter uma terceira equação com apenas uma incógnita.

2) Método da substituição: consiste em isolar uma das incógnitas em uma equação para substituíla na outra. Desse modo, obtém-se uma equação com apenas uma incógnita. Ao se substituir a incógnita encontrada na equação de incógnita isolada, encontra-se o valor da segunda incógnita.

{

3x + y = 5 Dado o sistema 8x − y = 17, isola-se o valor de uma das incógnitas. Dá-se preferência a de Observe:

menor coeficiente, nesse caso o y da 1ª equação.

3x + y = 5 → y = 5 - 3x Substituindo o y encontrado na segunda equação: 8x - y = 17 → 8x - (5 - 3x) = 17 → 8x - 5 + 3x = 17 → 11x = 17 + 5 → x = 22/11 → x = 2. De volta à 1ª equação, encontra-se o valor de y: y = 5 - 3x → y = 5 - 3(2) → y = -1. Logo, S={(2,-1)}

AULA 5 - SISTEMAS LINEARES 2 X 2

Exercícios resolvidos pelo método da substituição

{3 x + y = 7

a) 5 x + 5 y = 5

Isolando o y em 3x + y = 7, tem-se: y = 7 - 3x, substituindo em 5x + 5y = 5, tem-se: 5x + 5(7 - 3x) = 5 → 5x + 35 - 15x = 5 → 5x - 15x = 5 - 35 → -10x = -30 → x = 30/10 → x=3 Substituindo em y = 7 - 3x, tem-se: y = 7 - 3(3) → y = 7 - 9 → y = -2

{4x + y = 0

b) x + y = 3

Isolando o y em x + y = 3, tem-se: y = 3-x, substituindo-se em 4x + y = 0, tem-se: 4x + (3 - x) = 0 → 4x + 3 - x = 0 → 4x - x = -3 → 3x = -3 → x = - 3/3 → x = -1 Substituindo em y = 3 - x, tem-se: y = 3 - (-1) → y = 3 + 1 → y = 4. Logo, S={(-1,4)}. Observação: qualquer sistema linear 2 x 2 pode ser resolvido por qualquer dos métodos anteriores. Dependendo do sistema um método oferece maior comodidade que o outro. Exercícios resolvidos 1) Determine o ponto de intersecção das retas y = 2x - 3 e y = - 6x + 5.

{

y = 2x − 3 Observe que o problema se resume em resolver o sistema de equações lineares, y = −6 x + 5, no Resolução:

qual as equações são dadas na forma funcional (funções). Queremos encontrar um par de números (x,y) que satisfaça simultaneamente às duas equações . Para encontrar o x, basta resolver a equação 2x-3=-6x+5, uma vez que o y é comum às duas equações, 2x – 3 = -6x + 5 → 8x = 8 → x = 1 Substituindo esse valor em qualquer das equações, na primeira, por exemplo, obtemos: y = 2(1) – 3 → y = -1. Logo, a intersecção das duas retas ocorre no ponto P(1,-1).

MATEMÁTICA BÁSICA

Visualizando o problema, temos: y 6 5 4

y=2x-3

y=-6x+3

3 2 1 −1

−1

x 1

P(1,-1)

−2 −3 −4

2) Lembra-se do exercício resolvido da aula 3? A fábrica de bolsas Kibag tem um custo fixo mensal de R$ 4.000,00 e um custo de produção de R$ 2,00 por unidade. Cada bolsa é vendida por R$ 6,00: a) expresse o custo total mensal C da empresa como função da quantidade “q” produzida; b) expresse a receita total mensal R da empresa em como função da quantidade “q” vendida; c) esboce o gráfico das funções C e R num mesmo sistema de eixos; d) determine o ponto de equilíbrio da empresa; e) expresse o lucro da empresa como função da quantidade “q” produzida e vendida; f) quantas bolsas devem ser produzidas e vendidas, por mês, para que a empresa tenha um lucro de R$ 8.000,00? Na aula 3, resolvemos os itens a, b e c. d) Observe que função custo total C = 2q + 4.000 e a função receita R = 6q são equações lineares.

AULA 5 - SISTEMAS LINEARES 2 X 2

C/R (x1.000)

7 6

PE(1.000,6.000)

5 4 3 2 1

q(x1.000) 1

−1

{

C = 2 q + 4 .000 A intersecção dessas retas é o ponto obtido pela solução do sistema, R = 6 q , ou equivalentemente, y = 2 x + 4 .000 . y = 6x

{

Em Economia, esse ponto é de suma importância e é denominado ponto de equilíbrio (PE). De fato, esse ponto determina o nível de produção “q” para o qual a empresa não tem prejuízo nem lucro. Neste caso, para obter o ponto de equilíbrio, conforme o exercício anterior, basta fazer R = C, ou seja, R = C → 6q = 2q + 4.000 → 4q = 4.000 → q = 1.000 Substituindo esse valor na segunda equação, obtemos: R = 6q→ R = 6(1.000) → R = 6.000 Logo, o ponto de equilíbrio é PE(1.000,6.000). Veja gráfico anterior. e) O lucro L é obtido subtraindo o custo da receita, isto é: L = R-C → → L = 6q-(2q + 4.000) → L = 4q – 4.000, que é a função que expressa o lucro como função da quantidade comercializada “q”. f) Para obter um lucro de R$ 8.000,00, basta substituir esse valor na equação anterior: 4q – 4.000 = 8.000 → 4q = 12.000 → q = 3.000 Logo, para se obter um lucro de R$ 8.000,00, deve-se produzir e vender 3.000 bolsas. 3) Siga o modelo anterior para resolver o problema. Uma empresa produz canetas esferográficas a um custo de R$ 0,50 a unidade, e as vende a R$ 1,30. O custo fixo mensal da empresa é de R$ 3.000,00 mensais.

MATEMÁTICA BÁSICA

a) Expresse o custo total mensal C da empresa como função da quantidade “q” produzida. b) Expresse a receita total mensal R da empresa em como função da quantidade “q” vendida. c) Esboce o gráfico das funções C e R num mesmo sistema de eixos. d) Determine o ponto de equilíbrio da empresa. e) Expresse o lucro da empresa como função da quantidade “q” produzida e vendida. f) Quantas bolsas devem ser produzidas e vendidas, por mês, para que a empresa tenha um lucro de R$ 2.000,00? 4) A academia de ginástica Fitwell cobra uma taxa anual de R$ 250,00 mais uma taxa de utilização de equipamentos de R$ 1,20 por hora. Já sua concorrente Boaforma cobra uma taxa anual de R$ 150,00 e uma taxa de utilização de equipamentos de R$ 1,60 por hora. Ache um critério de escolha de academias. Analise o problema graficamente. Resolução: Chamemos F e B, os custos nas academias Fitwell e Boaforma, respectivamente, e chamemos “h” o número de horas utilizadas. Então, em reais, temos: F = 250 + 1,20h

B = 150 + 1,60h

Observe que são duas equações lineares. Fazendo F = B, obtemos o ponto de intersecção das duas retas (ponto de equilíbrio), F = B →1,60h + 150 = 1,20h + 250 → 0,40h = 100→ h = 250 horas Substituindo em F, vem, F = 250 + 1,20(250)= 550 reais Graficamente: B/F(x100) 8 7

Boaforma

F/B (x100)

Fitwell

P(250,550)

5 4 3 2 1

h(x100) −1

−1

Analisando o gráfico, podemos notar que, para uma utilização de 250 horas anuais, é indiferente a escolha da academia, pois em ambas o custo será de R$ 550,00. No entanto, para uma utilização anual 60

AULA 5 - SISTEMAS LINEARES 2 X 2

maior que 250 horas, a escolha mais barata é a Fitwell, e para uma utilização menor que 250 horas anuais, a escolha correta é a Boaforma. Assim chegamos ao final da aula 5, para obter uma generalização para sistemas de maiores dimensões, isto é, sistemas de m equações lineares com n incógnitas, podemos nos reportar a algumas indicações sugeridas logo a seguir.

SÍNTESE Nesta aula vimos os sistemas de equações lineares 2 x 2, discutimos suas soluções, fizemos a representação gráfica, os métodos de resolução e, principalmente, estudamos problemas modelados por sistemas lineares.

AGORA TENTE VOCÊ! A locadora de carros Locakar aluga um carro popular por R$ 40,00 ao dia, mais R$ 0,40 por quilometro rodado. Já a sua concorrente, Alucar cobra por um veículo similar uma diária de R$ 50,00 mais R$ 0,30 por quilômetro rodado. Determine um critério para escolher uma das locadoras. Analise o problema graficamente.

LEITURAS INDICADAS DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005. v. 1. LAGES, Elon L. et al. A matemática no Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2004. v. 1. (Coleção do professor de Matemática) ______. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2004. (Coleção do professor de Matemática)

SITE INDICADO http://www.youtube.com/watch?v=wLbnBWa9qkQ

REFERÊNCIAS DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. Ática, 2005. v. 2. MUROLO, Afrânio; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: Thomson, 2004. WINTERLE, Paulo; STEINBRUCH, Alfredo. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1987.

AULA 6 Função Exponencial Autora: Maria Amélia Pinho Barbosa. Adaptado por Benedito Ikeda.

eja bem-vindo à aula 6! As funções exponenciais são de particular importância nas aplicações da ciência, da engenharia e da economia dos negócios. Analisaremos, nesta aula, a classe de funções e discutiremos alguns modelos exponenciais de crescimento e decaimento.

A função exponencial tem uma forte relação com os logaritmos, assunto de estudo da nossa próxima aula. Elas são denominadas funções inversas uma da outra.

1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Ao lançarmos uma moeda, quantos resultados possíveis nós temos? Sabemos que temos dois: cara ou coroa. Agora, se lançarmos 2, 3, 4 etc., moedas diferentes entre si, os resultados possíveis serão 4, 8, 16 etc. Ou seja, o número de resultados possíveis é dado em função do número de moedas lançadas. 1 moeda ⇒ 2¹ = 2 resultados possíveis 2 moedas ⇒ 2² = 4 resultados possíveis

MATEMÁTICA BÁSICA

3 moedas ⇒ 2³ = 8 resultados possíveis Generalizando: n moedas ⇒ 2n resultados possíveis. Podemos então escrever: f (n) = número de resultados possíveis Assim, f(n) = 2n ou y = 2n , com n = 1, 2, 3, ... (lei da função) A lei anterior é de uma função exponencial, que estudaremos nesta aula.

2 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO

2.1 POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL Dado um número real a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número na que é igual ao produto de n fatores iguais a: Notação: an = na

}

an = a ∙ a ∙ a ∙...∙ a = na

n fatores Assim, 3² = 3 ∙ 3 = 9 4³ = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 256

25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32 0³ = 0 ∙ 0 ∙ 0 = 0 (-1)² = (-1) (-1) = 1 (-2)³ = (-2) (-2) (-2) = -8 3

 1  1  1  1 1   =     =  2  2  2  8 2 Desta definição decorrem muitas propriedades fundamentais das potências de expoente natural. Vejamos. Propriedades Dados a e b reais e m e n naturais, as seguintes propriedades são válidas: a) am an = am+n (propriedade fundamental) b)

am = a m n(para a ≠ 0 e m > n) n a

c) (am)n = am

AULA 6 - FUNÇÃO EXPONENCIAL

d) (ab)m = am + bm m

a m (para b ≠ 0)   = m b b

e)  a 

Convenção:

a0 = 1

Vejamos a razão para essa convenção, a¹ = a0+1 = a0 a¹ (pela propriedade fundamental), logo, a0 deve ser igual a 1, para que a propriedade fundamental permaneça válida.

2.2 POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO Aqui, estenderemos a noção de potência an para n ∈ Z e a ∈ IR, a ≠ 0, mantendo válida a propriedade fundamental. Daí para n ∈ Z*, temos:

−n 1 = a 0 = a − n + n = a − n .a n ⇒ a =

1 ;a≠0 an

Exemplos:

2−3 = (-3)-3 =

1 1 = 23 8

1 1 =− 3 27 (−3) −1

1 2 3   = = 2 3 2 3

2.3 POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL Usando a propriedade d), temos: a = a¹ = a

1 ⋅n n

 1 =  a n  ,  

logo, faz sentido escrever para n ≥ 2: 1

an = n a

MATEMÁTICA BÁSICA

m ; m, n ∈ IN*) podemos escrever: n

Assim, para todo x racional ( x = x

a =a

m n

1 n

= (a ) m =

( a)

= n am

Exemplos: 2

3 5 = 5 32 = 5 9 1

8 3 = 3 81 = 3 8 = 3 2 3 = 2 3 = 2 1 (−4) 2

−

2 3

= =

(− 2)5

− 4 não está definido em IR 1 0

2 3

1 3

1 0

não está definido em IR

= 5 − 23 = 5 − 8

3 2  8 3 3 8 3 2 2 = =3   =   = 3 27 3 3  27  3

2.4 POTÊNCIA COM EXPOENTE IRRACIONAL Para caracterizar uma potência de base real e expoente irracional, por exemplo 2 as aproximações racionais do número irracional 2 ,

, consideramos

1; 1,4; 1,41; 1,414; ... e definimos as potências, 2¹; 21,4; 21,41; 21,414; ... À medida que: 1; 1,4; 1,41; 1,414; ... se aproxima de 2¹; 21,4; 21,41; 21,414; ... se aproxima de 2

2 2

Assim, a potência 2 2 é obtida por aproximação de racionais. Esse procedimento pode ser generalizado para potências de expoente irracional, logo, as propriedades vistas são mantidas. Lembrando que o conjunto dos números reais IR é a reunião do conjunto dos racionais Q e o conjunto dos irracionais (Ir), chegamos às potências com expoentes reais, mantidas as propriedades vistas anteriormente.

AULA 6 - FUNÇÃO EXPONENCIAL

Resumo das propriedades da potenciação m n m+n 1. Produto de potências de mesma base: a .a = a

am m−n 2. Quociente de potências de mesma base: n = a a m n m.n =a 3. Potência de potência: a

( )

n n 4. Potência de um produto: (a.b ) n = a n .b n

a a   = n , para b ≠ 0 b 5. Potência de um quociente:  b  0 6.Potência de expoente nulo: a = 1, para a ≠ 0

1 an = n am =

−n 7. Potência de expoente negativo: a =

8. Potência de expoente racional: a n

( a) n

Você se lembra como resolver equações nas quais a incógnita aparece no expoente? A seguir, faremos um breve estudo das equações que tem essa característica: as equações exponenciais. Equações exponenciais São exemplos de equações exponenciais:

2 x = 128 4 x = 32 2 x .3 = 3 x .2 2 2 x = 2 x + 12 Na resolução de equações exponenciais, faremos uso de um princípio fundamental, ax = ay ⇒ x = y, ou seja, se duas potências são iguais, então os expoentes também são iguais. Com isso, tentaremos, de algum modo, reduzir os membros da equação a potências de mesma base a (a > 0, a ≠ 1). Exemplos: Resolva as equações: a) 3x-1 = 81 Resolução: Fatorando 81, temos 81 = 34, logo, 3x-1 = 34 ⇒ x-1 ⇒ x=5, logo, o conjunto solução é S={5} 2

b) 5 x ⋅ 5 − 4 x = 3125 Resolução: Como 3125 = 55, temos

− 4x

= 5 5 ⇔ x 2 − 4 x = 5 ⇔ x 2 − 4 x − 5 = 0 ⇔ x = 5 ou x = −1

Logo, o conjunto solução é S = {-1, 5} (verifique!)

MATEMÁTICA BÁSICA

c) 2x.3 = 3x.2 Resolução:

2x 2 2 2 2x.3 = 3x.2 ⇒ x = ⇒   = ⇒ x = 1 ⇒ S = {1} 3 3 3 3 d) 22x = 2x + 12 Resolução: 22x = 2x + 12 ⇒ 22x - 2x - 12 = 0 ⇒ (2x)² - 2x - 12 = 0 , fazendo y = 2x, temos, y² - y - 12 = 0 ⇒ y’ = 4 ou y” = -3, logo,

2x = 4 ou 2x = -3 ⇒ 2x = 2² ou 2x = -3, mas esta segunda opção é impossível, pois 2 > 0 para todo x real. Concluímos, então, que x=2 é a solução, ou seja, S={2}

Função Exponencial Vamos supor que você tomou emprestado R$ 1.000,00 de um agiota, a juros de 5% ao mês. Vamos acompanhar, mês a mês, a evolução de débito (montante):

» » Após 1 mês, representando o montante por M(1), temos: M(1)= 1.000 +

5 .1000=1000 + 0,05(1.000)= 1.000(1+0,05)=1.000.1,05=1.050 reais 100

» » Após 2 meses, representando o montante por M(2), temos: M(2)= M(1) +

5 .M(1) =1.050+0,05(1.050)=1.050(1+0,05)=1.102,50 reais 100

» » Após 3 meses, chamando o montante de M(3), temos: M(3)= M(2) + 5 .M(2)=1.102,50+0,05(1.102,50)=1.102,50(1+0,05)=1.157,625 reais 100 Para sabermos o montante de determinado mês, devemos tomar o montante do mês anterior e multiplicá-lo pelo fator 1,05. Podemos melhorar esse processo criando uma fórmula que nos fornece o montante da dívida em um mês qualquer, sem recorrer ao mês anterior. Vejamos:

» » M(1)=1.000.1,05=1.050 reais » » M(2)=M(1).1,05=1.000.1,05.1,05=1.000 (1,05)² =1.102,50 reais (substituindo M(1)) » » M(3)=M(2).1,05=1.000.1,05.1,05.1,05=1.000 (1,05)³ =1.157,625 reais (substituindo M(2)) » » M(4)=M(3).1,05=1.000 (1,05)4 =1.215,50 reais Continuando o raciocínio, para calcular o montante da dívida após x meses, chegamos à fórmula desejada:

M(x) = 1000 . (1,05)x Obtivemos, assim, o montante da dívida M como função do tempo x. Note que o valor inicial do empréstimo pode ser obtido fazendo x=0. Vamos esboçar o gráfico dessa função.

AULA 6 - FUNÇÃO EXPONENCIAL

1.000

1.629

2.653

4.322

7.040

7040

4322

2653

1629

1000

Observe que na função M a variável independente x aparece como expoente. A esse tipo de função damos o nome de função exponencial. Vamos defini-la formalmente. Definição Dado um número real a ( a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base a uma função f de IR em IR*+ definida por: f(x) = ax ou y = ax

De uma forma geral, o gráfico cartesiano de uma função exponencial f de base a, a > 0 e a ≠ 1, e de domínio IR:

» » está acima de Ox, pois ax > 0 para todo x ∈ IR; » » tem Im(f) = IR*+ e corta Oy em (0, 1), pois a0 = 1; » » o número a é denominado base da função exponencial. Se a>1, a função é crescente e se 0<a<1, a função é decrescente.

Vamos ver os gráficos de duas funções exponenciais, uma crescente (a=2) e outra decrescente (a= 1 ). O formato da curva se mantém para outras bases. 2

MATEMÁTICA BÁSICA

1 −4

−3

−2

−1

x 1

−1 −2 −3

y = 2x (curva exponencial crescente)

x −3

−2

−1

1 y= 2

(curva exponencial decrescente)

Exemplo 1: Esboce o gráfico das funções y = 2x, y = 3x e y = 10x. Para quais valores de x é válido 2x > 3x > 10x ?

Do gráfico anterior, concluímos que as funções são crescentes para todos os valores de x. Para x < 0, temos 2x > 3x > 10x. Em x = 0, temos, 2x = 3x = 10x = 1 e para x > 0, temos 2x > 3x > 10x . Exemplo 2: Esboce o gráfico das funções y = 2-x, y = 3-x e y = 10-x . Para quais valores de x é válido 2-x > 3-x > 10-x?

AULA 6 - FUNÇÃO EXPONENCIAL

Do gráfico anterior, concluímos que as funções são decrescentes para todos os valores de x. Para x < 0, temos 2-x < 3-x < 10-x. Em x = 0, temos, 2-x = 3-x = 10-x = 1 e para x > 0, temos, 2-x > 3-x > 10-x. Exemplo 3: Um trator tem seu valor depreciado pela função V(x) = 125.000(0,91)x, em que x representa o tempo de uso do trator em anos. a) Calcule o valor do trator após 1, 2 e 4 anos de uso. b) Por quanto o trator foi comprado? c) Esboce o gráfico de V. Resolução: 1 a) V (1) = 125 .000 ( 0 ,91) = 113 .750 ,00 reais

V ( 2 ) = 125 .00 ( 0 ,91) 2 = 103 .512 ,00 reais V ( 4 ) = 125 .00 ( 0 ,91) 4 = 85 .718 ,70 reais b) para saber o preço de compra, basta fazer x=0, V(0) = 125.000(0,91)0 = 125.000,0 reais c)

V(R$) 125.000

113.750,00

103.512,00

85.718,70

1 2

x(anos)

MATEMÁTICA BÁSICA

Vimos que um empréstimo de R$ 1.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, evolui segundo a fórmula, M(x) =1.000.(1,05)x, em que x representa o tempo em meses. Observe que essa fórmula nada mais é que uma função exponencial do tipo y = b.ax com b>0, ou seja, multiplicamos o segundo membro por um número positivo. Esse fato não altera o formato da curva, que continua sendo exponencial, conforme mostra o gráfico. Ainda, essa fórmula pode ser generalizada para um capital qualquer C, em vez de R$ 1.000,00 e uma taxa de i , em vez de 5%= 5 = 0,05 ,

100

M(x) = C (1 + i)x Essa fórmula é denominada fórmula dos juros compostos, ou juros sobre juros, e é utilizada no mercado para calcular o montante M de uma dívida contraída (capital) com taxa de juros (i) acumulados, isto é, que incidem sobre o montante do período anterior e não sobre o capital inicial. No exemplo do trator, note que não se trata de uma taxa de juros, mas de uma taxa de depreciação, ou seja, o montante M decresce com o tempo, por isso consideramos a taxa de depreciação i negativa, i=-9%=-0,09, V(x) = 125.000(0,91)x = 125.000(1-0,09)x Vamos supor agora que queremos saber após quanto tempo o montante da dívida será duplicado. Para responder a essa questão, devemos fazer M(x)= 2.000 na fórmula anterior, M(x) = 1.000 . (1,05)x ⇒ 1.000 (1,05)x = 2.000 ⇒ (1,05)x = 2 Essa última equação exponencial não pode ser reduzida a uma igualdade de potências de mesma base, logo, ainda não temos ferramentas para resolvê-la. A ferramenta chama-se logaritmo e vamos estudá-la na próxima aula.

AGORA TENTE VOCÊ! Um capital de R$ 200.000,00 é aplicado a uma taxa de juros compostos de 12% ao ano durante três anos. Qual o montante no final da aplicação?

AULA 6 - FUNÇÃO EXPONENCIAL

SÍNTESE Nesta aula estudamos uma função um pouco mais complexa que a função quadrática vista na aula anterior. Uma característica importante de seu gráfico é que ele se situa inteiramente acima do eixo-x, em outras palavras, é uma função positiva em seu domínio. Na próxima aula vamos estudar a função logarítmica, que guarda estreita relação com a função exponencial.

SITES INDICADOS http://www.youtube.com/watch?v=7_T2JGEqZgg

LEITURAS INDICADAS DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. Ática, 2005. KATIA, Cristina S. S.; ROKU, K., Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. LAGES, Elon L. et al. A matemática no Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2004. v. 1. (Coleção do professor de Matemática) ______. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2004. (Coleção do professor de Matemática)

REFERÊNCIAS MUROLO, Afrânio; BONETTO, Giácomo, Matemática aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: Thomson, 2004.

AULA 7 Função Logarítmica Autora: Maria Amélia Pinho Barbosa. Adaptado por Benedito Ikeda.

sta aula veremos o importante conceito de logaritmos. Os logaritmos têm ampla aplicação em Física, Engenharia, Biologia, Economia etc. Antes de estudar a função logarítmica, faremos uma breve revisão nas propriedades dos logaritmos que vimos no curso médio. Em seguida definiremos a função logarítmica e analisaremos seu gráfico. Vamos também modelar alguns problemas do nosso contexto diário.

1 PRELIMINARES Na América Latina, a população cresce a uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina dobrará se a taxa de crescimento continuar a mesma? Nessas condições podemos construir a seguinte tabela.

MATEMÁTICA BÁSICA

TEMPO

POPULAÇÃO

Início

1 ano

P1 = P0 + 0,03 P0 = (1+0,03) = P0 (1,03)

2 anos

P2 = P1 + 0,03 P1 = P1 (1+0,03) = P1(1,03)(1,03) = P0 (1,03)2

3 anos

P3 = P2 + 0,03 P2 = P2(1+0,03) = P2 (1,03) = P0 (1,03)² (1,03) = P0 (1,03)³

------x anos

-------------------------------------------------------------Px = P0 (1,03)x

Observe que na última linha desta tabela obtivemos uma função exponencial Px que permite avaliar a população da América Latina daqui a x anos, conhecendo-se a população atual e mantida a taxa de crescimento anual de 3%. Assim, supondo que a população atual da América Latina é de 250 milhões de habitantes, mantida a mesma taxa de crescimento anual, daqui a cinco anos a população será de: P5 = 250 (1,03)5 = 289,81 milhões de habitantes. Suponhamos agora que desejamos saber após quanto tempo essa população será duplicada. Para isso, basta fazer Px = 2P0 na fórmula anterior:

2 P0 = P0 (1,03) x ⇒ 2 = (1,03) x Não é possível resolver esta última equação transformando-a em uma equação de potências de mesma base, como fizemos na aula anterior. Para resolvê-la, necessitamos do conceito de logaritmo e suas propriedades.

2 LOGARITMO DE UM NÚMERO Considere as seguintes questões. A que número x se deve elevar: a) o número 2 para se obter 8? b) o número 3 para se obter Respostas:

1 ? 81

a) 2 x = 8 ⇔ 2 x = 2 3 ⇔ x = 3 (obs.: o símbolo "⇔" significa “equivale a”) Dizemos que 3 é o logaritmo de 8 na base 2 e denotamos log 2 8 = 3 b)

3x =

1 1 ⇔ 3 x = 4 ⇔ 3 x = 3 − 4 ⇔ x = −4 81 3

c) O valor - 4 chama-se logaritmo do número

1 1 = −4 . na base 3 e é representado por log 3 81 81

Definição: Dados os números reais positivos a e b, com b ≠ 1, chama-se logaritmo de a, na base b, o número real c que deve ser o expoente de b para que a potência seja igual ao número a.

log b a = c ⇔ b c , com a > 0, b > 0 e b ≠ 1

AULA 7 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Desta forma, temos: FORMA LOGARÍTMICA

c : logaritmo  log b a = c b : base do logaritmo a : logaritmando 

FORMA EXPONENCIAL

a : potência  b = a b : base da potência c : expoente  c

Observação: Quando a base do logaritmo for 10, podemos omiti-la. Assim, log 5 é o logaritmo de 5 na base 10. Os logaritmos na base 10 são chamados logaritmos decimais ou de Briggs – homenagem ao matemático Henry Briggs (1561-1631).

3 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO Para qualquer a > 0 e a ≠ 1, temos: i)

log a 1 = 0 , pois a 0 = 1

ii)

log a a = 1

1 , pois a = a

n n n iii) log a a = n , pois a = a

iv) a

log a N

= N , com N > 0. Note que log a N = x ⇔ a x = N ⇔ a log a N = N .

v) log a x = log a y ⇔ x = y , com x > 0 e y > 0. Exemplos: a)

log 5 1 = 0 ; log 3 1 = 0 ; log 8 1 = 0 ; log π 1 = 0 log 2 1024 = log 2 210 = 10

b) log 27 = log  2  2 2 3

3 3 

−3

= −3

5 log5 2 = 2 ; 2 log 2 π = π

d) Resolver a equação

log 3 (2 x + 1) = log 3 7

Primeiro temos de verificar a condição de existência, ou seja, o primeiro membro da equação só existe para 2x + 1 > 0 ⇒ x > − S = {3}.

1 1 . Como x = 3 satisfaz a condição de existência, pois 3 > − , então 2 2

4 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Além das propriedades imediatas vistas aqui, o cálculo de logaritmos possui as propriedades operatórias, que têm por objetivo facilitar os cálculos mais extensos.

MATEMÁTICA BÁSICA

4.1 LOGARITMO DE UM PRODUTO Numa mesma base positiva, o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números.

log a (b ⋅ c) = log a b + log a c se a > 0, a ≠ 1, b > 0 e c > 0 Exemplo:

log 2 4.8 = log 2 4 + log 2 8 = 2 + 3 = 5 4.2 LOGARITMO DE UM QUOCIENTE Numa mesma base positiva, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números.

log a

b = log a b − log a c c

se a > 0, a ≠ 1, b > 0 e c > 0 Exemplo:

8 log 2   = log 2 8 − log 2 2 = 3 − 1 = 2 2 4.3 LOGARITMO DE UMA POTÊNCIA Numa mesma base positiva, o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

log a b m = m ⋅ log a b se a > 0, a ≠ 1, b > 0 e c > 0 Exemplo:

log 2 4 5 = 5 log 2 4 = 5.2 = 10

5 MUDANÇA DE BASE Quando conhecemos os logaritmos de todos os números positivos em certa base a, temos um sistema de logaritmos em base a. Os matemáticos John Napier (1550-1617) e Henry Briggs (1561-1631) fizeram, no século XVI, cálculos de logaritmos com base 10 para auxiliar em cálculos comerciais, de navegação e astronomia. Eles organizaram os logaritmos decimais em tabelas para serem consultadas, hoje disponíveis em calculadoras científicas. Algumas vezes, entretanto, temos a necessidade de calcular logaritmos em bases que não estão numa tabela ou não podem ser calculadas com o auxílio da tecla log (encontrada nas calculadoras científicas, esta tecla faz

AULA 7 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA

o cálculo de qualquer logaritmo em base 10). Nessas situações, necessitamos fazer uma mudança de base no logaritmo a ser calculado. Para escrever (omitiremos a demonstração) o de base:

log b N =

log b N usando logaritmos na base a, realizamos a mudança

log a N log a b

Na fórmula anterior, fazendo N = a, temos um caso importante:

log b a =

log a a 1 = log a b log a b

Então, quando existirem os logaritmos envolvidos, podemos escrever:

log b a =

1 log a b

ou log b a ⋅ log a b = 1

Função logarítmica Para todo x ∈ IR, x > 0, existe um único logaritmo em uma base a positiva e diferente de 1. Assim, temos a seguinte definição. Definição: A função f, de IR+* em IR, que a todo número x > 0 associa o logaritmo de x, numa base a (a > 0 e a ¹ 1), é denominada função logarítmica de base a.

f : IR

* +

→ IR

x → y = log a x, a > 0 e a ≠ 1

Gráfico da função logarítmica Vamos esboçar os gráficos de duas funções logarítmicas:

MATEMÁTICA BÁSICA

1) f ( x) = log 2 x /2

f ( x) = log 1 x x

2) 1

Concluímos que a função f ( x) = log a x , x > 0, a > 0 e a ≠ 1 assume todos os valores reais, ou seja, Im(f) = IR, tem o gráfico cortando Ox em (1,0) e apresenta um desses aspectos: a>1

0 < a <1

Função crescente em A função logarítmica de base a 1) de base a.

* +

Função decrescente em

R+*

x y = log a x é a função inversa da função exponencial y = a (a > 0, a ≠ x

O domínio de y = log a x é (0, ∞), a imagem de y = a . A imagem de y = log a x é (-∞,∞), o domínio x x de y = a . O gráfico de y = log a x pode ser obtido refletindo-se o gráfico de y = a na reta y = x. Veja as figuras a seguir.

AULA 7 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Observação: Vimos funções exponenciais e logarítmicas em uma base a positiva e diferente de 1. Na prática, a base mais comumente usada é o número irracional e = 2,71828..., chamada de base natural, ou neperiana. Os logaritmos com base e possuem aplicações tão importantes que as calculadoras científicas possuem tecla especial para essa operação. Denotamos o log e por ln. Assim, em vez de y = log e x , escrevemos simplesmente y= lnx. Exemplos: 1. Situação-problema da introdução da aula Na América Latina, a população cresce a uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina dobrará se a taxa de crescimento continuar a mesma? Resolução: Vimos que a resposta é dada por,

2 P0 = P0 (1,03) x ⇒ 2 = (1,03) x

Aplicando logaritmo decimal a ambos os membros da ultima equação, temos:

log 2 = log(1,03) x ⇒ log 2 = x log 1,03 ⇒ x = usando uma calculadora científica obtemos,

log 2 , log 1,03

0,30103 = 23,44 0,01284

Logo, a população será duplicada em, aproximadamente, 23 anos e meio. Observação: Poderíamos, alternativamente, ter usado a base e=2,71828... para obter o mesmo resultado. 2. Determinando o tempo Fernanda investiu 1000 dólares em uma aplicação que rende 5,25% de juros compostos ao ano. Quanto tempo será necessário para que seu saldo atinja R$ 2.500? Resolução: Vimos na aula anterior que a quantidade de dinheiro na aplicação em um dado tempo x (montante), em anos, é dada pela fórmula:

M ( x) = C (1 + 0,0525) x = C (1,0525) x reais, em que C representa o capital aplicado, logo, M ( x) = 1.000(1,0525) x , fazendo M(x)=2.500, 2.500 = 1.000(1,0525) x ⇒ 2,5 = (1,0525) x , aplicando ln , ln 2,5 , usando uma calculadora, temos: ln 2,5 = ln(1,0525) x ⇒ ln 2,5 = x ln(1,0525) ⇒ x = ln 1,0525 0,91629 x= ≅ 17,9 anos 0,0051 Fernanda terá um montante de R$ 2.500,00, após 17 anos e 11 meses.

MATEMÁTICA BÁSICA

AGORA TENTE VOCÊ! Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi contraído a uma taxa de 5% ao mês. Após quanto tempo o montante da dívida será de R$ 40.000,00?

SÍNTESE Vimos nesta aula o conceito de logaritmo e algumas aplicações. Notamos a relação desse conceito com o de potência, bem como a relação entre os gráficos das funções exponencial e logarítmica. Ficou claro que, os dois conceitos se aplicam em fenômenos que envolvem crescimento e decaimento de valores, em geral, em função do tempo.

LEITURAS INDICADAS DANTE, L R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005. FINNEY, R., WEIR; M., GIORDANO, F. Cálculo de George B. Thomas Jr. São Paulo: Addison Wesley, 2002. v. 1. KATIA, C. S.S.; ROKU, K. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. LAGES, E. L. et al. A matemática no Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2004. v. 1. , (Coleção do professor de Matemática) _____. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2004. (Coleção do professor de Matemática)

REFERÊNCIAS DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005. v. 1. KATIA, Cristina S. S.; ROKU, K. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. MUROLO, Afrânio; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. São Paulo: Thomson, 2004.

AULA 8 Introdução ao Cálculo (parte 1) Autora: Benedito H. Ikeda.

eja bem-vindo(a) à aula 8.

O cálculo diferencial e integral é uma das maiores realizações do intelecto humano. As ideias do cálculo foram desenvolvidas por Newton e Leibniz há 300 anos, de maneira independente, inspirados por problemas de astronomia. Desde então, o cálculo vem demonstrando seu poder, ao iluminar questões em quase todas as áreas do conhecimento humano, sobretudo em matemática, ciências físicas, engenharia e ciências sociais e biológicas. Nesta aula, não pretendemos, evidentemente, ministrar um curso de Cálculo, mas, apenas dar uma ideia de alguns conceitos, de maneira informal e intuitiva. Esperamos com isso que você possa sentir a potencialidade do cálculo.

1 SITUAÇÃO-PROBLEMA Deseja-se construir um curral como mostra a figura a seguir. Determine as dimensões do curral que demandam a menor quantidade de cerca.

MATEMÁTICA BÁSICA

200 m²

y Observe que, neste problema, devemos achar os valores de x e y, de modo que o perímetro P = 3y + 4x seja o menor possível, ou seja, para que a quantidade de cerca gasta seja a menor possível. A resolução desse problema envolve o conhecimento de cálculo diferencial, mais precisamente, de derivadas. Não pretendemos, aqui, fazer um estudo de cálculo, mas apenas dar algumas noções que mostrem o potencial dessa ferramenta largamente utilizada em quase todas as áreas do conhecimento. Limite de uma função (ideia intuitiva) Na linguagem cotidiana, referimo-nos ao limite de uma velocidade, ao limite de peso de uma pessoa, ao limite da resistência humana ou peça mecânica, ao limite da paciência etc. Essas expressões sugerem que o limite é uma cota, que pode não ser atingida em alguns casos ou, em outros, pode ser atingida e mesmo ultrapassada. Exemplo 1: Consideremos uma mola presa no teto que se romperá apenas se colocarmos na outra extremidade um peso de 10 kg ou mais. Para determinarmos o quanto a mola se distenderá sem se romper, penduramos pesos cada vez maiores e medimos o comprimento da mola para cada peso colocado. Dessa forma, podemos definir o comprimento “y” da mola, como função do peso colocado “x”. Chamando de “f” essa função, temos, y=f(x). Se o comprimento y da mola se aproxima (tende) de um valor L, à medida que o peso x tende para 10, dizemos que “o limite de f(x), quando x tende para 10 é L”, e denotamos,

lim f ( x) = L

x →10

Note que, nesse exemplo, não explicitamos sentença matemática que define a função f, isso poderia ser feito por um físico, usando métodos empíricos. Consequentemente, não podemos calcular o valor de L. Exemplo 2:

( x 2 + 1) Ache o lim x →1 Solução: Vamos resolver a questão através de uma análise do gráfico da função y = x² + 1 e de uma tabela contendo valores para x próximos de 1.

AULA 8 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 1)

6 5 4 3 2

(1,2)

1 x −1

−2

−3

−1 −2

x tende para 1 →

← x tende para 1

0,900

0,990

0,999

1,001

1,010

1,100

1,810

1,980

1,998

2,002

2,020

2,200

f(x) rende para 2 → ← f(x) tende para 2

Analisando a tabela e o gráfico, verificamos que, quando x se aproxima de 1 ( x → 1 ), tanto pela esquerda (por valores menores) quanto pela direita (por valores maiores), f(x) se 2 aproxima de 2( f ( x) → 2 ). Concluímos, então, que, lim( x + 1) = 2 . x →1

Exemplo 3: 2 Ache o lim x − 1 x →1

x −1

f ( x) =

x 2 − 1 ( x + 1)( x − 1) = = x +1 x −1 ( x − 1)

Solução: Note que » » a função f(x)=

x2 −1 12 − 1 0 = , que não está definida para x=1, pois, se x=1, teríamos f(1)= x −1 1−1 0

é uma indeterminação;

» » podemos fazer a simplificação,

f ( x) =

x 2 − 1 ( x + 1)( x − 1) = = x + 1 e construir o gráfico dessa reta, resguardada a condição x −1 ( x − 1)

que f não é definida para x=1.

MATEMÁTICA BÁSICA

← x tende para 1 →

x tende para 1

0,900 0,990

0,999

F(X)

1,900 1,990

1,999

← f(x) tende para 2 →

1,001 1,010

1,1

2,001 2,010

2,1

(1,2)

f(x) tende para 2 −3

−2

−1

−1 −2

Este gráfico de f, sugere que f(x) → 2, quando x → 1, tanto pela esquerda como pela direita. A tabela reforça essa conclusão. Logo, concluímos que:

lim x →1

x2 −1 = lim( x + 1) = 2 x − 1 x →1

A função f não é definida para x=1, isto é f é descontínua para x=1, mas seu limite é igual a 2. Isso significa que o limite depende apenas de valores de x próximos de 1 e não do valor de f em 1. Exemplo 4:

lim f ( x)  x + 1, se x < 2 e determine x→2 .  x + 2, se x ≥ 2

Esboce o gráfico da função f(x)=  Solução: 6

5 4 3 2 1 −3

−2

−1

x 1

−2 −3

Neste exemplo, quando x → 2 , pelo lado esquerdo, f(x) → 3, e quando x → 2 pelo lado direito, f(x) → 4. Dizemos, neste caso, que a função não tem limite quando x tende para 2, pois os limites laterais, à esquerda e à direita não coincidem. Logo, não existe o lim f ( x) . x→ 2

Note, ainda, que o gráfico da função dá um “salto” em x=1. Dizemos que a função f é descontínua em x=2.

AULA 8 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 1)

Exemplo 5:

1 Consideremos a função exponencial f:IR → IR, definida por f ( x) =   , vista na aula 6. 2 X

Y = F(X)

-2

-1

1/2=0,5

1/4=0,25

1/8=0,125

1/16=0,062

1/32=0,031

-----------

1/1.024=0,00097

y 7 6 5 4 3 2 1 x −3

−2

−1

1 y=  2

Observe que, à medida que aumentamos o valor de x, sua imagem f(x) se aproxima de 0. Em outras palavras, quando x tende para infinito (x → ∞ ), sua imagem f(x) tende para 0 ( f ( x) → 0 ). Denotamos esse fato por:

1 lim f ( x) = lim   = 0 x→+ ∞ x→+ ∞ 2

Vimos, na aula 6, que a função exponencial é sempre positiva, isto é, para todo x real f(x)>0, no entanto, o limite de f(x), quando x → 0 é igual a 0. Definição De um modo geral, temos:

Se f(x) → L , quando x → a , pela esquerda e pela direita, escrevemos: Que se lê: “o limite de

lim f ( x) = L x→a

f(x), quando x tende para a é L”.

MATEMÁTICA BÁSICA

Não estudaremos aqui as propriedades operatórias dos limites nem as técnicas de resolução de limites, mas, nos casos mais simples, o limite procurado L é dado por f(a). Vejamos um exemplo:

lim( x 3 − 4 x + 1) = 2 3 − 4(2) + 1 = 5 = f (2) x→2

Vamos tentar esse método (substituição direta) para o caso a seguir:

3 x 2 − 4 x − 4 3(2) 2 − 4(2) − 4 0 lim = = x←2 x−2 2−2 0

que é uma indeterminação!

No entanto, isso não significa que esse limite não exista, temos de usar técnicas algébricas para sair dessa indeterminação.

2 TAXA DE VARIAÇÃO Veremos aqui o importante conceito de taxa de variação, analisando a taxa de variação média (TVM) e a taxa de variação instantânea (TVI). Essas análises nos permitirão entender o conceito de derivada, que tem grande aplicação nas mais variadas áreas do conhecimento, em particular nas áreas de administração, economia e contabilidade.

2.1 TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA (TVM) Consideremos a função custo C = q² + 2q + 5, em reais, para a produção de uma quantidade q de camisetas, cujo gráfico é dado a seguir. C 125

∆C

∆q

q 5

AULA 8 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 1)

Observe no gráfico anterior que uma variação na quantidade de camisetas produzidas determina uma variação no custo de produção. Por exemplo, para uma variação de 5 para 10 camisetas produzidas, corresponde uma variação de R$ 40,00 para R$ 125,00 no custo de produção. Em outras palavras, para uma variação de 5 unidades no eixo-q, corresponde uma variação de 85 unidades no eixo-C. Consideremos, agora, a razão ou o quociente entre essas variações: variação em C 85 = = 17 reais / camiseta variação em q 5

A esse quociente damos o nome de Taxa de Variação Média (TVM) de C em relação a q, no intervalo [5,10]. Chamando a variação em C de ∆C, e a variação em q de ∆q, temos,

variação em C

TVM = variação em q = [ ] 5,10

C (10) − C (5) ∆C 85 = = = 17 reais / camiseta 10 − 5 ∆q 5

Observações:

» » note que a TVM depende do intervalo de variação de q, ∆q; » » é importante considerar a unidade da TVM, que no caso foi de reais/camiseta.

Calcule você! A TVM da função custo anterior, para um nível de produção entre 10 e 15 camisetas.

Vamos considerar um outro exemplo. Suponhamos que numa indústria de alimentos a quantidade Q de alimentos produzidos, em toneladas, depende do número x de horas trabalhadas pelo grupo de operários, segundo a lei “Q=x²” e que o instante do início do expediente da fábrica é representado por x=0. Vamos determinar a TVM para o intervalo de tempo entre x=3 e x=4(3 ≤ x � 4) e também para o intervalo de x=4 e x=5(4 � x � 5)

MATEMÁTICA BÁSICA

26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −4

−3

−2

−1 −1

x 1

Q=x²

= TVM [ ]

∆Q Q(4) − Q(3) 16 − 9 = = = 7ton / h ∆x 4−3 1

= TVM [ ]

∆Q Q(5) − Q(4) 25 − 16 = = = 9ton / h ∆x 5−4 1

3,4

4,5

O conceito de TVM pode ser generalizado para uma função y=f(x) qualquer, num dado intervalo [a,b].

∆y

= = TVM ∆x [ ] a ,b

f (b) − f (a ) b−a

Exemplo: 3 A TVM da função y = f ( x) = 3 x + 1 , no intervalo [-1,1] é,

∆y

= = TVM ∆x [ ] −1,1

f (1) − f (−1) 4 − (−2) 6 = = =2 1 − (−1) 1+1 3

AULA 8 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 1)

Agora tente você! Calcule a TVM das funções a seguir nos intervalos indicados.

a ) y = 2 x − 1, nos intervalos [0,1] , [ −1, 0] , [ 2,5] , [ −100,150]. b) z = t , nos intervalos [0,1] , [ −2,3] , [ 4,17 ]

c) P = 2 z 2 + z , nos intervalos [-2,-1] , [1;1, 05] , [3;3, 2] , [ 2, 9;3] d )C (q ) = q 2 + 400, nos intervalos [1,5] , [ 2; 2,1] , [ 2; 2, 01]

Uma outra forma de expressar a TVM é chamando o comprimento do intervalo [a,b]=b-a de h, ou seja, h=b-a, o que nos leva a b=a+h, e então, temos que:

= TVM TVM [ ] [ ] a ,b

a ,a + h

f ( a + h) − f ( a ) h

Essa forma de expressar a TVM é bastante prática para o que vamos estudar a seguir.

2.2 TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA (TVI) Vimos, no caso da indústria de alimentos, a variação da produção para intervalos de tempo. A TVM foi útil para analisar o comportamento da produção, pois, quando dizemos que a TVM da produção Q é de 5 ton/h no intervalo [3,4], significa dizer que a produção Q está variando a uma taxa de 5 ton/h, ou seja, em uma hora são produzidas 5 ton de alimentos, em média, no período de tempo considerado.

Questão: É possível calcular a taxa de variação da produção para um instante específico, em vez de num intervalo de tempo? Por exemplo, qual a taxa de variação da produção Q exatamente às 3h? Em outras palavras, com que velocidade está variando a produção Q às 3h? A essa taxa daremos o nome de Taxa de Variação Instantânea (TVI) da produção Q. Nossa questão anterior passa a ter, agora, o seguinte enunciado: “Qual é a TVI da produção Q, no instante x=3?” Para calcular essa TVI, usaremos a seguinte ideia: calcularemos várias TVM para intervalos de tempo [3,b]=[3,3+h] muito pequenos, ou seja, para valores de h muito pequenos.

3+h 0

Considerando x=3, a TVM da produção Q no intervalo [3,3+h] é dada por: 91

MATEMÁTICA BÁSICA

TVM [ ] 3, 3 + h

Q (3 + h) − Q (3) h

Fazendo h=0,1; o intervalo considerado é [3,3+0,1]=[3;3,1] , logo: 2

TVM = Q(3,10) ,−1 Q(3) = 3,1 0,−1 3

[3;3;01]

0,61 = 6,1 0,1

Fazendo h=0,01; o intervalo considerado é [3 ;3+0,01]=[3;3,01], logo:

TVM

[3;3;01]

Q (3,01) − Q(3) 3,012 − 3 2 0,0601 = = = 6,01 0,01 0,01 0,01

Fazendo h=0,001; o intervalo considerado é [3;3+0,001]=[3;3,001], logo:

TVM

[3;3,001]

Q (3,001) − Q(3) 3,0012 − 3 2 0,006001 = = = 6,001 0,001 0,001 0,001

Observe que, à medida que nos aproximamos de 3 no eixo-x, o h se aproxima de 0 (simbolicamente, h→0) e a TVM se aproxima de 6 (simbolicamente TVM→6). Em outras palavras, quando h→0, a TVM→6 (leia-se: quando h tende para 0, a TVM tende para 6). Podemos considerar também o intervalo [3-h, 3] e, usando o mesmo raciocínio, concluir que, quando h→0, a TVM→6. Conforme vimos:

= TVI = 6 ton/h para x=3 Taxa de Variação Instantânea de Q = limhTVM →0 x =3

Isso nos diz que, após 3 horas de trabalho, a produção de alimentos cresce a uma taxa de 6 ton/h. Taxa de Variação Instantânea= TVI = lim TVM = lim x =3

h →0

[3:3+ h]

h →0

de Q em x=3

Q (3 + h) − Q (3) =6 h

De um modo geral, dada uma função y=f(x), a TVI de f em x=a é definida como:

Taxa de Variação Instantânea de f= TVI = lim TVM = lim x=a

h →0

em x=a

[ x,x+h ]

h →0

f ( x + a) − f ( x) h

Como exemplo, vamos calcular a TVI da função f ( x) = 2 x 2 + 1 , para x=2. Vejamos as etapas para calcular a TVI. 1) Calcular a TVM da função para o intervalo [2, 2+h]: f ( x + h) − f ( x) f (2 + h) − f (2) [2(2 + h) 2 + 1] − 9 [2(4 + 4h + h 2 ) + 1] − 9 = = = = [ 2,2+h ] h h h h 8 + 8h + 2h 2 + 1 − 9 8h + 2h 2 h(8 + 2h) = = = = 8 + 2h h h h

TVM =

AULA 8 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 1)

2) Calcular o

lim TVM

h →0 [ 2 , 2 + h ]

lim TVM = lim(8 + 2h) = 8 h →0

[ 2,2+h ]

h →0

Observe que, quando fazemos h→0, o mesmo ocorre com 2h, isto é, 2h→0 e (8+2h) →8. 3) Logo, pela definição de TVI, temos:

TVI = 8 x= 2

Observe que, enquanto a TVM de uma função é calculada num intervalo [a,b], a TVI é calculada para um determinado valor de x.

3 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO Dada uma função y=f(x), a TVI dessa função para x=a, recebe o nome de derivada da função f no ponto P(a,f(a)) e é denotada por f’(a). Em outras palavras, a derivada de uma função y=f(x) no ponto de abcissa x=a é dada por:

f ′(a ) = lim h →0

f ( a + h) − f ( a ) h

Exemplos: 1) Calcular a derivada da função f(x)= y = x² +1, no ponto P(2,5). Solução: Usando a fórmula anterior, temos:

[(

) ]

[( 2 + h) 2 +1] − 5 4 + 4h + h 2 + 1 − 5 f (2 + h) − f (2) = lim = lim = h →0 h →0 h →0 h h h 4h + h 2 h( 4 + h) = lim = lim = lim(4 + h) = 4 h →0 h →0 h →0 h h f ' (2) = lim

Logo, a derivada da função f(x)= x² +1, no ponto P(2,5) é f’(2)=4. 2) O custo C, em reais, para se beneficiar uma quantidade q, em toneladas, de trigo é dado por, C (q) = q 2 + 400 : a) determine a TVM do custo para o intervalo [1,6]; b) determine a TVI do custo para q=2 ou equivalentemente C’(2). Solução: a) TVM = [1,6]

C (6) − C (!) 436 − 401 35 = = = 7reais/ton 6 −1 5 5

MATEMÁTICA BÁSICA

[

]

(3 + h ) + 400 − 409 = lim (9 + 6h + h 2 ) + 400 − 409 = C (3 + h) − C (2) = lim h →0 h →0 h →0 q=2 h h h 2 (6 h + h ) h (6 + h ) = lim = lim = lim(6 + h) = 6reais / ton h →0 h → 0 h →0 h h

TVI = C ' (3) = lim

Este resultado nos diz que a um nível de produção q=2 ton, o custo está crescendo a uma taxa de 6 reais/ton. Nos dois exemplos anteriores, trabalhamos com funções simples (quadráticas). Para funções mais complexas, teríamos cálculos mais complicados. Num curso de Cálculo são utilizadas fórmulas que permitem o cálculo de derivadas de funções mais complexas de forma mais rápida. Veremos algumas delas na próxima aula. Vamos tentar? Calcule a derivada da função f(x) = 2x² - 1 no ponto de abcissa x=1 (veja o exemplo 1). Na próxima aula, veremos como calcular essa derivada de modo mais rápido, usando fórmulas de derivação.

SÍNTESE Nesta aula, tentamos sintetizar alguns conceitos do cálculo diferencial, mais especificamente, limites e derivadas. Os conceitos foram dados, na maioria das vezes, de modo intuitivo ou gráfico, dada a natureza do nosso curso, que se utiliza do cálculo como ferramenta para solução dos problemas do contexto. No entanto, procuramos manter o rigor matemático dos conceitos emitidos.

LEITURAS INDICADAS DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005. FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R. Cálculo de George B. Thomas Jr. São Paulo: Addison Wesley, 2002. v. 1. KATIA, Cristina S. S.; ROKU, K. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. LAGES, Elon L. et al. A matemática no Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2004. v. 1. (Coleção do professor de Matemática) ______. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2004. (Coleção do professor de Matemática)

SITES INDICADOS www.ajudamatematica.com/viewforum.php?f=120

AULA 8 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 1)

REFERÊNCIAS DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005. v. 1. FLEMING, Diva M.; GONÇALVES, Mirian B. Cálculo A. São Paulo: Pearson, 2007. KATIA, Cristina S. S.; ROKU, K. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. MUROLO, Afrânio; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. Thomson, São Paulo: 2004.

AULA 9 Introdução ao Cálculo (parte 2) Autora: Benedito H. Ikeda.

eja bem-vindo(a) à aula 9.

Dando continuidade à aula anterior, vamos estudar uma nova função: a função derivada. Dada uma função f, veremos algumas regras para calcular a sua derivada f’ sem fazer uso da definição. Veremos também algumas aplicações na área de economia e administração, fazendo, sempre que possível, a visualização gráfica do problema.

1 A FUNÇÃO DERIVADA Vimos, na aula anterior, como calcular a derivada de uma função y=f(x) num ponto P(a,f(a)) e o resultado foi um número f’(a). Podemos transformar esse número f’(a) em uma função, simplesmente substituindo “a” por uma variável “x”, e teremos:

MATEMÁTICA BÁSICA

Dada uma função y=f(x), a função derivada de f é definida como: f ' ( x) = lim h →0

f ( x + h) − f ( x ) h

Exemplo: Calcular a função derivada ou simplesmente derivada da função f(x)=x² + 1. Solução: f ( x + h) − f ( x ) = lim h →0 h →0 h h 2 (2 xh + h ) h( 2 x + h) = lim = lim = lim(2 x + h) = 2 x h →0 h →0 h →0 h h f ' ( x) = lim

[( x 2 + 2 xh + h 2 ) + 1] − ( x 2 + 1) = h →0 h

= lim

Logo, a derivada da função f(x) = x² + 1 é a função f’(x)=2x. Obtivemos assim uma fórmula que nos permite calcular a derivada da função f para qualquer valor de x. Por exemplo, f’(2)=2.2=4, f’(4)=2.4=8, f’(1)=2.1=2 etc. Notação: Além da notação f’(x) para função derivada de f(x), são também usadas:

dy df d , , (f ). dx dx dx

2 CÁLCULO DA DERIVADA (REGRAS DE DERIVAÇÃO) Pelo exemplo anterior, podemos prever que o cálculo da derivada de uma função usando a definição pode ser trabalhoso e exigir recursos mais complexos. Devido a isso, os textos de cálculo trazem fórmulas prontas que facilitam esse processo. Vejamos algumas dessas fórmulas. 1) Função constante: f(x) = k (constante) ⇒ f’(x)=0 (a derivada de uma constante é 0) Ex.: y = -5 ⇒ y’=

dy =0 dx

2) Função de 1º grau: f(x)=ax + ⇒ f’(x)=a

df Ex.: f(x) = 5x-2 ⇒ f’(x)= dx =5 3) Função potência:

f ( x) = x n , n ∈ IR ⇒ f ′( x) = nx n −1 dy 3 = 3x 2 Ex.: y = x ⇒ dx 1

−1

f ( x) = x 4 ⇒ f ' ( x) = x 4 = x 4) Constante x função: f(x)=k.g(x) ⇒ f’(x)=k.g’(x)

−

3 4

AULA 9 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 2)

−2 −2 −2 −1 ) = −10 x −3 Ex.: f ( x) = −5 x ⇒ f ' ( x) = −5( x )' = −5(−2 x

5) Soma ou diferença de funções: f(x)=g(x) ± h(x) ⇒ f’(x)=g’(x) ± h’(x) Ex.:

′ ′ ′ f ( x) = −2 x 5 + 3 x 2 − 4 ⇒ f ' ( x) = − 2 x 5 + 3 x 2 − (4)' = −2 x 5 + 3 x 2 − (4)' = 4 == −−22((55xx44)) ++33((22xx)) −−00 == −−10 10 xx 4 ++ 66xx

(

) ( )

( )

6) Produto de funções: f(x)= g(x).h(x) ⇒ f’(x)=g’(x).h(x)+g(x).h’(x) Ex.:

f ( x) = (2 x − 8)(5 x 6 + 3 x) ⇒ f '(x) = (2 x − 8)' (5 x 6 + 3 x) + (2 x − 8)(5 x 6 + 3 x)' = = (2x)′ − (8)′  (5 x 6 + 3 x) + (2 x − 8)  5x6 ′+ 3x ′  = 2(5 x 6 + 3 x) + (2 x − 8)(30 x 5 + 3) =     6 = 10 x + 6 x + 60 x 6 + 6 x − 240 x 5 − 24 = 70 x 6 − 240 x 5 + 12 x − 24

( ) ( )

7) Quociente de funções:

 g ( x)  g ' ( x ) h( x ) − g ( x ) h' ( x )  ⇒ f ' ( x) = f ( x) =  (h( x) )2  h( x )  Ex.:

′ x3 + 3 x 3 + 3 (2 x − 4) − ( x 3 + 3)( 2 x − 4)′ 3x 2 (2 x − 4) − ( x 3 + 3)( 2) y= ⇒ y' = = = 2x − 4 (2 x − 4)2 (2 x − 4)2

(

)

6 x 3 − 12 x 2 − 2 x 3 − 6 4 x 3 − 12 x 2 − 6 = (2 x − 4)2 (2 x − 4)2

8) Potência de função: n n −1 g ( x) = ( f ( x) ) ⇒ g ′( x) = n( f ( x) ) . f ′( x) Ex.: g(x) = (3x4 + 2x - 1)3 g’(x) = 3(3x4 + 2x - 1)2 (3x4 + 2x - 1)’ = 3 (3x4 + 2x - 1) (12x3 + 2)

MATEMÁTICA BÁSICA

3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA Dada uma função y=f(x), a sua derivada f’(a) num ponto P(a,f(a)), geometricamente, representa a inclinação ou declividade da reta que tangencia o gráfico de f nesse ponto. A demons tração desse fato pode ser encontrada em Fleming (2007). Assim, a reta que tangencia a curva no ponto P(a,f(a)) tem sua equação definida por: Y = f’(a)x + b ou y – f(a) = f’(a)(x – a) Exemplos: 1) Determine a equação da reta tangente à parábola f(x)= y= x² + 1 nos pontos de abcissa a = 1 e a = -2. Solução: Já vimos que f’(x)=y’= 2x, logo: » » para a = 1, temos, f(a)=f(1)=2 ⇒ P(1,2) » » f’(a)=f’(1)=2.1=2= inclinação da reta tangente que passa por P(1,2). » » A equação da reta tangente é dada por: y=f’(a)x+b, isto é, y=2x+b. » » Substituindo o ponto P(1,2) na equação, obtemos: 2=2(1)+b ⇒ b=0. » » Logo, a equação da reta tangente “r” é y=2x. » » para a=-2, temos f(a)=f(-2)=5 ⇒ P(-2,5). » » f’(a)=f’(-2)=2(-2)=-4=inclinação da reta tangente que passa por P(-2,5). » » A equação da reta tangente é dada por y=f’(a)x+b=-4x+b. » » Substituindo P(-2,5) na equação anterior, vem: 5=-4(-2)+b ⇒ b=-3. » » Logo, a equação da reta “s” é y=-4x-3. Veja a representação gráfica a seguir.

100

AULA 9 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 2)

8 7 6 5 4 3 2 1 −4

−3

−2

−1

x 1

−2 −3 −4 −5

Retas tangentes à parábola. 2) Deseja-se cercar uma área retangular junto a um muro. Para cercar os três lados, dispõe-se de 100 m de tela. Quais as dimensões da área retangular que proporcionam a maior área? muro

Solução: A área é dada pela fórmula A= x.y, ou seja, uma função com duas variáveis: x e y. Para y reduzi-la uma função de uma variável vamos usar a relação:

x + x + y = 100 ⇒ 2 x + y = 100 ⇒ y = 100 − 2 x Substituindo na fórmula da área, temos:

A = x. y = x(100 − 2 x) = −2 x 2 + 100 x Logo, a função área A é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Para resolver o problema, poderíamos simplesmente determinar o xv = −

b e acharíamos o valor de x que nos daria a área A 2a

máxima, mas, a título de ilustração, vamos utilizar derivada.

Dessa forma, o problema se resume em determinar o ponto mais alto da curva. Nesse ponto, a reta tangente é horizontal, ou seja, tem inclinação 0. 101

MATEMÁTICA BÁSICA

Lembrando que a derivada num ponto de abcissa x = a é a inclinação da reta tangente à curva no ponto P(a,f(a)). Para resolver o problema, basta derivar a função A e igualar essa derivada a 0,

A = −2 x 2 + 100 x ⇒ A′ = (−2 x 2 )′ + (100 x)′ = −4 x + 100 Fazendo A′ = −4 x + 100 = 0 ⇒ x = 25 , logo, para x=25m, temos A = 1.250 m 2 , que é a maior área que pode ser obtida com os 100 m de tela. Veja o gráfico a seguir. A (25,1.250) 1.250

x 10

3) Uma aplicação interessante ocorre na área de economia e negócios, em que a função derivada é denominada “função marginal”. Vejamos um exemplo. Em uma indústria, o custo para produzir q unidades de um tipo de aparelho é dado por C (q ) = 3q 2 + 5q + 1.000 reais. Qual o custo na produção de 50 aparelhos? Qual o custo na produção do 51º aparelho? Qual o custo marginal (derivada) para q = 50? Solução: » » Para a primeira questão, basta substituir 50 na função custo, e temos:

C (50) = 3(50) 2 + 5(50) + 1.000 = 8.750,00 reais » » - Para determinar o custo de produção do 51º aparelho, basta fazer:

C (51) − C (50) = 3(51) 2 + 5(51) + 1.000 − 8.750 = 308,00 reais

» » - Para a terceira pergunta, derivamos a função custo, achamos a função custo marginal C’(q) =6q + 5 e calculamos C’(50)=6(50)+5= 305,00. Observe que esses dois últimos valores são bastante próximos e, por isso, o custo marginal para q=50 é aceito pelos economistas como valor aproximado para a produção do 51º aparelho. De um modo geral, o custo marginal para uma quantidade q é aceito como o custo para a produção da (q+1)-ésima unidade. De maneira análoga, podemos definir receita marginal e lucro marginal.

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AULA 9 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 2)

3 4) O lucro resultante da venda de q unidades de certo artigo é dado por L(q ) = 0,0002q + 10q reais.

a) Ache o lucro marginal (derivada) para um nível de comercialização q = 50 unidades. b) Compare o resultado obtido com o aumento do lucro obtido na venda da 51ª unidade. Solução: a) vamos calcular o lucro marginal, ou seja, a derivada de L,

L′ =

dL = 3(0,0002q 2 ) + 10 dq  dL   = 0,0006(50) 2 + 10 = 11,50 reais por unidade. dq   q =50

Para q=50, temos, L ′(50) = 

b) O lucro obtido na venda da 51ª unidade é dado por L(51) - L(50), isto é, o lucro obtido na venda de 51 unidades, menos o lucro obtido na venda de 50 unidades, L (51) - L (50) = [0,0002 (51)³ + 10(51)] - [0,002 (50)³ + 10(50)³] = 536,53 - 525 = 11,53 Note que o lucro marginal para 50 unidades foi de L’(50)=11,50 reais por unidade e o lucro efetivo obtido pela venda da 51ª unidade foi R$ 11,53. A diferença entre os valores encontrados é muito pequena, mas o lucro marginal L’ foi mais simples para se calcular, por isso os economistas aceitam esse resultado como satisfatório.

PARA VOCÊ TENTAR! A função custo para a produção de determinado produto é dada por:

C (q ) = 2q 2 + 50q + 100 reais, determine: a) o custo médio unitário de produção CM (q ) = unidades;

C (q ) , para um nível de produção de q q

b) o nível de produção que minimiza o custo médio: c) o custo de produção da 41ª unidade; d) o custo marginal para um nível de produção q=40; e) visualize o problema graficamente. Assim, chegamos ao final desta aula e também de nossa disciplina. Infelizmente, deixamos de abordar o conceito de integração, que é a operação inversa da derivação ou diferenciação e que também encontra inúmeras aplicações em quase todas as áreas do conhecimento. Aconselhamos que você empreenda uma pesquisa sobre o assunto, afinal todo conhecimento pode ser construído. Siga a metodologia utilizada nas aulas. Com certeza, você obterá sucesso.

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MATEMÁTICA BÁSICA

SÍNTESE Nesta aula estudamos um outro tipo de função, a derivada. Vimos como aplicar essa função em áreas como a economia e a administração, sempre visualizando o problema graficamente. Espero que tenha gostado do nosso curso. Sucesso!

LEITURAS INDICADAS DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005. FINNEY, Ross L; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R. Cálculo de George B. Thomas Jr. São Paulo: Addison Wesley, 2002. v. 1. KATIA, Cristina S. S.; ROKU, K. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999 v. 1. LAGES, Elon L. et al. A matemática no ensino médio. Rio de Janeiro: SBM, 2004. v. 1. (Coleção do professor de Matemática) ______. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2004. (Coleção do professor de Matemática)

SITES INDICADOS www.ajudamatematica.com/viewforum.php?f=120

REFERÊNCIAS DANTE, Luis R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2005. v. 1. FLEMING, D. M.; GONÇALVES M. B. Cálculo A. São Paulo: Pearson, 2007. KATIA, Cristina S. S.; ROKU, K. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1999. v. 1. MUROLO, A; BONETTO, G. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. São Paulo: Thomson, 2004.

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