Fundamentos de cálculo by EAD UNIFACS

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Autor – Dr. Alessandro Ferreira Alves

Universidade Anhembi Morumbi

Universidade Salvador

Janes Fidelis Tomelin Diretor de EaD

Adriano Lima Barbosa Miranda Diretor de Educação Corporativa e Novos Projetos

Fabiano Prado Marques Diretor Acadêmico – Escola de Engenharia e Tecnologia

Rafael Gonçalves Bezerra de Araújo Diretor da Escola de Engenharia e TI

Francisco Carlos Damante Revisor Técnico

Alex Soares Caldas Revisor Técnico

Universidade Potiguar

Rede Laureate Internacional de Universidades

Barney Vilela Coordenador Geral do Núcleo de Coordenação a Distância Catarina de Sena Pinheiro Diretora da Escola de Engenharia e Ciências Exatas Raimundo Cícero Araújo Montenegro Revisor Técnico

Daniella Loureiro Koncz Coordenadora de Novos Negócios André Torres Gregório Designer Instrucional

FabriCO Projeto educacional Projeto gráfico Autoria do conteúdo Revisão ortográfica e gramatical

SUMÁRIO AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS......................................................................................... 5 INTRODUÇÃO........................................................................................................... 5 OBJETIVOS................................................................................................................ 6 1.1 Conjuntos numéricos.................................................................................... 6 1.2 Razão........................................................................................................... 8 1.3 Proporção..................................................................................................... 9 1.4 Propriedades básicas da Álgebra............................................................... 13 1.5 Potenciação com expoentes inteiros......................................................... 15 1.6 Notação científica...................................................................................... 17 1.7 Radiciação.................................................................................................. 18 1.8 Racionalização de denominadores............................................................ 20 1.9 Potência de expoente racional.................................................................. 21 1.10 Técnicas de fatoração e polinômios........................................................ 22 1.11 Fatoração................................................................................................. 22 1.12 Simplificação de expressões fracionárias................................................ 24 1.13 Regras operacionais................................................................................. 25 1.14 Equações.................................................................................................. 27 1.15 Equações do segundo grau...................................................................... 30 1.16 Inequações............................................................................................... 33 CONCLUSÃO........................................................................................................... 35 AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES............................................................... 37 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 37 OBJETIVOS.............................................................................................................. 38 2.1 Noção intuitiva de função.......................................................................... 38 2.2 Teoria dos conjuntos.................................................................................. 39 2.3 Intervalos: subconjuntos especiais do conjunto dos números reais......... 47 2.4 Funções...................................................................................................... 47 2.4.1 Par ordenado.......................................................................................... 48 2.5 Domínio, contradomínio e conjunto imagem............................................ 60 CONCLUSÃO........................................................................................................... 70 AULA 3 – FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES..................................................... 38 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 71 OBJETIVOS.............................................................................................................. 72 3.1 Função polinomial...................................................................................... 72 3.2 Função identidade..................................................................................... 73

3.3 Função linear............................................................................................. 74 3.4 Função afim............................................................................................... 74 3.5 Como resolver um sistema de duas equações lineares............................ 78 3.6 Coeficientes da função afim e equação fundamental da reta.................. 83 3.7 Equação fundamental da reta.................................................................... 85 3.8 Crescimento e decrescimento.................................................................... 87 CONCLUSÃO........................................................................................................... 91

AULA 1 Cálculos algébricos

Dr. Alessandro Ferreira Alves

INTRODUÇÃO Sabemos que a necessidade de apresentar modelos que permitam explicar e compreender o mundo físico tem sido uma das grandes motivações para o desenvolvimento da Matemática. Podemos dizer que números foram criados para contar e medir, ao passo que desigualdades foram introduzidas para comparar grandezas e as funções matemáticas foram inventadas para expressar dependência ou relação entre coisas. É evidente que muitos problemas importantes e significativos da Engenharia, por mais complexos que sejam e formulados em termos matemáticos, exigem quase sempre procedimentos e cálculos que passam por operações e propriedades básicas. De outra forma, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. Estes são apenas alguns

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

exemplos de situações envolvendo um modelo matemático que, certamente, aparecerão na sua vida acadêmica e/ou profissional em Engenharia. Nossa primeira aula tem como objetivo apresentar alguns conceitos, regras e resultados básicos da Matemática elementar, desde a explicação simples sobre razões e proporções até a resolução de equações e inequações do primeiro grau. Sem dúvida, estes aspectos teóricos contribuirão para a sua sólida formação como Engenheiro, podendo ser aplicados, por exemplo, nos problemas da Física.

OBJETIVOS Os objetivos de aprendizagem desta aula são: » » Conhecer os principais produtos notáveis. » » Entender problemas simulados envolvendo as equações do primeiro grau. » » Entender problemas simulados envolvendo as equações do segundo grau. » » Compreender os principais métodos para fatoração envolvendo polinômios. » » Compreender e aplicar os conceitos e as propriedades envolvendo razões e proporções. » » Interpretar e resolver sistemas de equações do primeiro grau. » » Entender problemas simulados envolvendo as inequações do primeiro grau.

1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Os conjuntos numéricos são muito importantes para os nossos propósitos e possuem uma denotação universalmente aceita. Qualquer número que resulte de uma contagem de unidades é chamado de número natural. Indicamos por IN o conjunto dos números naturais. Veja a seguir: IN = {0, 1, 2, 3, 4,...} Como a operação da subtração nem sempre é possível em IN, foi criado o conjunto dos números inteiros. Neste conjunto, a diferença 3 - 5 é representada por -2. Além disso, denotamos por Z o conjunto dos números inteiros e por Z* o conjunto dos inteiros não nulos. Acompanhe: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} Saiba que, de outro modo, a divisão nem sempre é possível em Z. Por exemplo, não existe número inteiro que represente o quociente -3 ÷ 2. Desta forma, nasceu o conjunto dos números racionais. Aqui o quociente é indicado −3 ou -1,5. Denota-se o conjunto dos números racionais por Q e por

2 Q* o conjunto dos racionais não nulos.

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

1.1.1 Conjunto dos números racionais Chamamos de número racional todo número que pode ser escrito na forma p em que p e q são

q números inteiros, com q ≠ 0, ou seja, Q = {x / x = p ; p ∈ Z, q ∈ Z e q ≠ 0} (PAIVA, 1999).

q Segundo Paiva (1999), um número racional é aquele que você pode escrever na forma de fração. Nessa definição, encaixam-se todos os números naturais, inteiros, decimais e também as dízimas periódicas. Exemplos de números racionais: 1) 0,7222222222... 2) 1 = 0,3333333...

3 3) 0,584444444...

1.1.2 Dízima periódica Paiva (1999, p. 1) afirma que “dízimas periódicas são números racionais cuja representação decimal é infinita. São originadas da divisão entre 2 números inteiros, sendo que a fração que a caracteriza é a fração geratriz.” Entre os números decimais existem as dízimas não periódicas, que são números com infinitas casas decimais e não periódicos. Esses números são chamados de irracionais, e o conjunto formado por eles é representado por I. Os dois números irracionais mais importantes são π = 3,14... e e = 2,71... (constante de Euler). Por fim, qualquer número racional ou irracional é chamado de número real. Indica-se por ℜ o conjunto dos reais. Desta maneira, temos a relação de inclusão entre os conjuntos numéricos citados. Veja na figura a seguir.

Figura 1 - Relação de inclusão entre os principais conjuntos numéricos. Fonte: PAIVA, 1999.

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Note que todo número natural é um número inteiro, que, por sua vez, é um número racional. Observe que não temos um número que seja racional e irracional ao mesmo tempo. Quando unimos o conjunto dos racionais com o conjunto dos irracionais encontramos o conjunto dos números reais.

1.2 RAZÃO Para que você entenda inicialmente o conceito de razão entre dois números, vamos considerar a seguinte situação: imagine que o preço de determinado produto tivesse um aumento de R$ 1,00. Esse aumento foi baixo ou elevado? Qual é a sua interpretação? Para responder, precisamos de mais informações. Um dado importante é o preço do produto antes do referido aumento, mas como relacionar o aumento e o preço inicial? Uma forma possível é dividir um pelo outro. Vamos admitir, como exemplo, duas possibilidades. 1a possibilidade: o preço inicial era de R$ 20,00. Assim, temos:

aumento 1 real 1 = = preço 20 reais 20 2a possibilidade: o preço inicial era de R$ 2,00. Assim, temos:

aumento 1 real 1 = = preço 2 reais 2

Perceba que responder se o aumento foi baixo ou elevado é uma questão que envolve subjetividade, porém podemos afirmar que na 1a possibilidade houve um aumento relativo menor do que na 2a possibilidade, pois podemos escrever:

1 1 < 20 2

Essa forma de relacionar números é o que chamamos de razão. Então, o que é razão? Chamamos de razão de um número a para um número b, com b ≠ 0, ao quociente de a para b, ao qual indicamos por a .

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

Veja alguns exemplos: 1) Em uma competição esportiva participam 500 atletas, dos quais há 100 moças e 400 rapazes. Assim: a) A razão do número de moças para o número de rapazes é 100

400 b) A razão do número de rapazes para o número de moças é 400

100

1 = 0,25. 4

4 = 0,25. 1

2) A razão do número 1 para o número 5 é:

6 1 2 = 1 ÷5 = 1×6 = 3 5 2 6 2 5 5 6

Observe que aqui usamos a regra básica que diz: na divisão entre duas frações conservamos a primeira (no caso 1 ) e multiplicamos pelo inverso da segunda (no caso 6 ).

1.2.1 Razão entre duas grandezas A razão de duas grandezas, dadas em certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda. Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. Contrariamente, se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Exemplo: Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso é:

160 km 160 km = 80 km/h = 2h 2 h

1.3 PROPORÇÃO O conceito de proporção tem uma importância muito grande, não apenas na matemática, como também no nosso cotidiano. Empregamos proporções no dia a dia, embora sem utilizar símbolos matemáticos. Por exemplo, quando falamos que uma estátua tem a cabeça muito grande, não estamos nos referindo à medida absoluta da cabeça. Em uma estátua, a cabeça pode ser muito grande mesmo que meça a metade, um quarto ou um décimo da cabeça verdadeira. Ou seja, ela é muito grande proporcionalmente ao conjunto da própria estátua. Dados quatro números (15, 3, 20 e 4), como a razão entre os dois primeiros números (15 e 3) é igual à razão entre os dois números (20 e 4), isto é:

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

15 e 20 , =5 =5 3 4 dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, formam uma proporção, que expressamos mediante a igualdade das duas razões:

15 20 = 3 4 Então, o que é proporção? Em geral, dados em certa ordem quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, falamos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d). Ou seja, uma proporção nada mais é que a igualdade entre duas razões. Simbolicamente, representamos uma proporção por:

a c = b d Em que: a, b, c e d: termos da proporção a e c: antecedentes b e d: consequentes a e d: extremos b e c: meios

Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Esta é uma propriedade fundamental das proporções.

1.3.1 Grandezas proporcionais É interessante ressaltar que a maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia a dia ligam duas grandezas relacionadas de tal forma que quando uma delas varia, como consequência, varia também a outra. Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo gasto numa construção depende do número de operários empregados. A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de uma delas em relação à outra. Segundo esta lei, as grandezas relacionadas podem ser direta ou indiretamente proporcionais. 10

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

Diretamente Proporcionais

Indiretamente Proporcionais

Grandezas

Figura 2 - Tipos de grandezas. Fonte: FERREIRA, 2013.

1.3.2 Grandezas diretamente proporcionais Veja o seguinte exemplo: uma barra de alumínio de 100 cm3 de volume pesa 270 g. Nas mesmas condições, uma barra de 200 cm3 pesará 450 g e uma de 300 cm3, 810 g. Podemos então escrever o quadro 1 da seguinte forma: VOLUME (CM3)

100

200

300

500

MASSA (G)

270

540

810

1.350

Quadro 1 - Grandezas diretamente proporcionais.

Fonte: FERREIRA, 2013.

Ao examinar este quadro, podemos perceber claramente que a grandeza massa depende da grandeza volume, pois aumentando uma (volume) a outra (massa) também aumenta. Além disso, notamos que:

270 540 810 1350 = 2,7 = = = 100 200 300 500

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Curiosidade! O valor 2,7 corresponde à massa específica do Alumínio, expressa em g/cm3.

Chamando de x a grandeza volume e y a grandeza massa, temos:

y = 2,7 x Ou y = 2,7 · x Dizemos, neste caso, que as sequências de números 100, 200, 300, 500 e 270, 540, 810, 1350 são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são diretamente proporcionais e 2,7 é a razão ou o coeficiente de proporcionalidade.

1.3.3 Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando os valores correspondentes x e y são expressos por uma lei do tipo y = k · x, em que k é um número real constante, diferente de zero.

Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.

1.3.4 Grandezas inversamente proporcionais Vejamos este exemplo: uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos então escrever o quadro 2 da seguinte maneira:

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

VELOCIDADE (KM/H)

100

200

300

400

TEMPO (H)

Quadro 2 - Grandezas inversamente proporcionais.

Fonte: FERREIRA, 2013.

Perceba que a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que, aumentando a velocidade, o tempo diminui. Porém, agora temos: 12 × 100 = 6 × 200 = 4 × 300 = 3 × 400 = 1.200 Ou:

12 6 4 3 = 1.200 = = = 1 1 1 1 100 200 300 400 Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos: y · x = 1.200 Ou y = 1.200 · 1

x Dizemos, neste caso, que as sequências de números (100, 200, 300, 400) e (12, 6, 4, 3) são inversamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são inversamente proporcionais e 1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade. Então, o que são grandezas inversamente proporcionais? Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais quando os valores correspondentes x e y são expressos por uma lei do tipo y = k · 1 , em que k é um número real constante, diferente de zero.

x Pergunta: O comprimento de uma barra de ferro e seu preço são grandezas diretamente proporcionais? Por quê? Resposta: Sim, porque, se multiplicarmos o comprimento da barra por um número diferente de zero, o preço fica multiplicado por esse número.

1.4 PROPRIEDADES BÁSICAS DA ÁLGEBRA Sabemos que a Álgebra é a parte da matemática que envolve o uso de letras e outros símbolos para representar números reais. Segundo Demana e Kennedy (2009, p. 7), uma variável é uma letra ou um símbolo (por exemplo, x, y, z, t, φ, θ) que representa um número real não específico. Além disso, uma constante é uma letra ou um símbolo (por exemplo, -2, 0, 3 , π) que representa

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

um número específico, e uma expressão algébrica é a combinação de variáveis e constantes envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão, potências e raízes.

Constante

Álgebra Variável

Expressão Algébrica

Figura 3 - Tipos de grandezas. Fonte: FERREIRA, 2013.

Antes de trabalhar com potenciação e radiciação, vamos fazer uma breve revisão com relação a algumas das propriedades das operações aritméticas básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão, representadas pelos símbolos +, -, × (ou ·) e (÷ ou /), respectivamente.

Adição

Subtração

Multiplicação

Divisão

Figura 4 - Operações aritméticas fundamentais. Fonte: FERREIRA, 2013.

Desta forma, definimos: » » a - b = a + (-b), em que (-b) é o inverso aditivo de b. » » a = a · 1 , b ≠ 0, 1 é o inverso multiplicativo de b.

Assim, temos as seguintes propriedades associadas: 14

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

P1) Propriedade comutativa: Adição: u + v = v + u (a ordem dos fatores não altera a soma) Multiplicação: u · v = v · u (a ordem dos fatores não altera o produto) P2) Propriedade associativa: Adição: (u + v) + w = u + (v + w) Multiplicação: (u · v) · w = u · (v · w) P3) Propriedade do elemento neutro: Adição: u + 0 = u Multiplicação: u · 1 = u P4) Propriedade do elemento inverso: Adição: u + (-u) = 0 Multiplicação: u ·

1 = 1, com u ≠ 0 u

P5) Propriedade distributiva:

u.( v + w) = u.v + u.w (u + v). w = u.w + v.w

Multiplicação com relação à adição: 

Multiplicação com relação à subtração: u.( v − w) = u.v − u.w

 (u − v). w = u.w − v.w

Veja a seguir alguns exemplos que ilustram a aplicação destas propriedades: a) 2 + 3 = 3 + 2 = 5 b) 4 · 5 = 5 · 4 = 20 c) (4 + 3) + 2 = 4 + (3 + 2) = 9 d) (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 e) 8 + 0 = 8 = 0 + 8 f) 3 · 1 = 1 · 3 = 3 g) 2 · 1 = 1

2 1.5 POTENCIAÇÃO COM EXPOENTES INTEIROS Em diversas situações envolvendo cálculos algébricos, percebemos a repetição de alguns fatores. Assim, a notação com expoentes é muito útil para diminuir a escrita destes. Por exemplo, se considerarmos: (-4) · (-4) · (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = (-4)6 e (3 · x - 5) · (3 · x - 5) · (3 · x - 5) = (3 · x - 5)3 15

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

1.5.1 Enésima potência de a Considere a um número real, uma variável ou uma expressão algébrica e n um inteiro positivo. Então: an = a .a .a .a. a...  a n vezes

Em que n é o expoente, a é a base e an é a enésima potência de a (lemos: “a elevado a n”) (DEMANA; KENNEDY, 2009, p. 9). Veja estes exemplos. 1) (-5)4, a base é -5. 2) -74, a base é 7, já que -74 = (-1) · 74. 3) 32, a base é 3 e o expoente é 2.

1.5.2 Propriedades da potenciação Sendo a e b números reais, m e n inteiros, temos: P1) am · an = am+n P2) a m = am-n

an P3) a0 = 1 P4) a-n = 1

an P5) (a · b)m = am · bm P6) (am)n = am · n m

am   = m b b

P7)  a 

Exemplos 1) 83 · 84 = 83 + 4 = 87 2) x10 = x10 - 4 = x6

x4 3) 50 = 1 (qualquer número não nulo elevado a zero é igual a 1) 4) y-3 = 1

y3 5) (2 · x)5 = 25 · x5 = 32 · x5 6) (x2)3 = x2 · 3 = x6

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

7)  x 

x7 . =   y7  y

8) 22.3−2 = 22.21 = 23 = −1

2 .3

3 .3

8 243

1.6 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Em diversas situações do cotidiano do engenheiro, aparecem números muito grandes ou demasiado pequenos. Desta maneira, a notação científica auxilia na escrita destes números por meio do uso de potências de 10. Saiba que todo número A, não nulo, pode ser representado em uma das seguintes formas: A = c · 10m ou A = -c · 10m com 1 ≤ c < 10 e m um inteiro, conforme A seja positivo ou negativo. Essa forma de escrever um número é chamada de notação científica. Exemplo: a distância entre a Terra e o Sol é de, aproximadamente, 149.597.870,691 quilômetros. Em notação científica, esta distância pode ser escrita como 149.597.870,691 km ≅ 1,5 · 108 km. Para escrever um número em notação científica, devemos observar as seguintes regras: R1) Multiplicar um número por 10p, p > 0, é o mesmo que deslocar a vírgula para a direita de p ”casas” decimais. Se p é negativo, desloca-se para a esquerda. 0,00037 · 104 = 3,7 2.500 · 10-3 = 2,5 R2) O valor de um número não se altera ao ser multiplicado por 10p · 10-p.

Notação científica

Reescrever números muito grandes

Padronização de escrita de números

Reescrever números muito pequenos

Potências de 10

Figura 5 - A importância da notação científica. Fonte: FERREIRA, 2013. 17

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Exercício Vamos simplificar a seguinte expressão: . Solução: Neste caso, temos: =

9,25 × 1010 = 92.500.000.000

1.7 RADICIAÇÃO Considere o seguinte problema: qual é a medida do lado de um quadrado com 5 cm2 de área? Para resolver, vamos supor que a medida do lado do quadrado seja x (x > 0).

x Figura 6 - O quadrado de lado x e área 5 cm2. Fonte: FERREIRA, 2013.

Sabemos que a área deste quadrado é dada por x2, e pelo enunciado devemos ter: x2 = 5 Nessas condições, o problema estará resolvido somente quando determinarmos o valor positivo de x que torne verdadeira a sentença x2 = 5. O número x, não negativo, cujo quadrado é igual a 5, será indicado por 2 5 , que devemos ler “raiz quadrada de cinco”. Portanto, o lado do quadrado mede x = 2 5 cm.

1.7.1 Raiz enésima de a Vamos supor a sentença xn = a, em que n é um natural não nulo e a ≥ 0. O valor não negativo que satisfaz esta igualdade será indicado por n a , e devemos ler “raiz enésima de a”. As nomenclaturas utilizadas para esta simbologia são dadas por: n

a : radical

n: índice do radical 18

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

a: radicando Veja no quadro a seguir algumas nomenclaturas da raiz enésima. LEITURA

RADICAL

ÍNDICE

RADICANDO

Raiz quinta de 4

Raiz cúbica de 8

Raiz quadrada de 9

Quadro 3 - Algumas nomenclaturas da raiz enésima.

Fonte: FERREIRA, 2013.

Devido à raiz quadrada de um número não negativo a, isto é, muito utilizada, padronizou-se escrever apenas a .

a ser

Exercício Vamos calcular a medida da aresta de um cubo de volume 64 cm3, sendo x a medida da aresta do cubo, conforme figura a seguir:

Figura 7 - O cubo de aresta x. Fonte: FERREIRA, 2013.

Então, sabemos que o volume de um cubo de aresta x é dado por: x3 = 64 e x > 0 Pela definição de raiz, temos que: x=

64 19

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

x = 4, pois 43 = 64 e 4 ≥ 0. Solução: a aresta do cubo mede 4 cm. Existem dois valores de x que tornam verdadeira a sentença x2 = 25: 5 ou -5. O valor positivo 5 é indicado por 25 , e o valor negativo -5 é indicado por - 25 . Assim: x2 = 25 ⇒ x = ± 5

1.7.2 Propriedades dos radicais Sendo a e b números reais não negativos, e os índices números naturais não nulos, temos: P1)

a . n b = n a.b

P2)

a na = b b

P3)

a mp = n a m m

P4) ( n a ) = a n m

P5)

a = nm a

Exemplos

2. 3 5 = 3 2.5 = 3 10

8 58 5 = = 2 5 4 P2 4

59 = 27 ÷9 a 9÷9 = 3 5 P3

4) ( 3 2)12 = 3 212 = 3 3 212÷3 = 24 P4

3 4

2 = 3.4 2 = 12 2 P5

1.8 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Em alguns casos, podemos evitar a divisão por números irracionais, minimizando os possíveis erros propagados pelos cálculos em questão. Segundo Demana e Kennedy (2009), racionalização é o processo de reescrever frações contendo radicais, de modo que o denominador fique sem esses radicais. Exemplos: 20

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

2 2 2 3 6 = = = . 3 3 3 3 3

2) 1

x2 = y3

x 3 (| x | é o módulo de x que aprenderemos mais adiante). x

x 2 .y 2 5

x 2 .y 2 y

1.9 POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL Já sabemos calcular potências do tipo 52 ,86 , 4−2 , isto é, potências que envolvem expoentes inteiros. Mas como podemos trabalhar com expoentes racionais (frações), ou seja, como interpretar, por exemplo, a potência 3

75 ? Bem, vamos chamar a potência de x, logo:

x = 75

Elevando à quinta potência ambos os membros da igualdade, temos que: 3

x5 = (7 5 )5 Daí,

x 5 = 73 E pela definição de raiz, segue que: x=

Isso nos sugere a definição relacionada à potenciação envolvendo números racionais ou fracionários, como segue.

1.9.1 Expoentes racionais

Considere um número real a > 0, m e n inteiros com n > 0. Neste caso, definimos a n = n a m . Note que para a = 0 deve ter m > 0. Exemplos 2

1) 5 3 = 3 52 1

2) 90,5 = 9 2 = 9 3) 6

−0,1

−1 10

= 10 6−1 21

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

1.10 TÉCNICAS DE FATORAÇÃO E POLINÔMIOS Quando trabalhamos com cálculos algébricos, percebemos que o desenvolvimento de um produto requer apenas mão de obra e, portanto, não nos cria grandes dificuldades. O que pode causar problemas é a passagem no sentido contrário. Como fatorar? Isto é, como passar da forma desenvolvida para a forma fatorada? Neste sentido, vamos trabalhar com algumas identidades fundamentais (produtos notáveis) que são ferramentas indispensáveis para as técnicas de fatoração associadas aos polinômios. Polinômios Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma: an · xn + an-1 · xn-1 + an-2 · xn-2 + ... + a1 · x + a0 em que n é um inteiro não negativo e an ≠ 0. Os números an-1, ..., a1, a0 são todos reais conhecidos como coeficientes. De outro modo, o grau do polinômio é n e o coeficiente principal é o número an. Veja que polinômios com um, dois e três termos são ditos monômios, binômios e trinômios, respectivamente. Um polinômio escrito com as potências de x na ordem decrescente está na forma padrão. Além disso, para somarmos ou subtrairmos polinômios, nós somamos ou subtraímos termos semelhantes usando a propriedade da distributiva (DEMANA; KENNEDY, 2009).

1.10.1 Adição e subtração de polinômios Veja alguns exemplos: 1) (3x + 4) + (7x - 10) = (3x + 7x) + (4 - 10) = 10x - 6 2) (2x + 5) - (3x - 1) = (2x - 3x) + (5 - (-1)) = -x + 6 3) (2x3 - 3) + (5x3 + x2 + x - 2) = (2x3 + 5x3) + x2 + x + (-3 - 2) = 7x3 + x2 + x - 5

1.10.2 Produtos notáveis Segundo Demana e Kennedy (2009), os polinômios que aparecem frequentemente e com certa regularidade nos cálculos algébricos são chamados de produtos notáveis.

1.11 FATORAÇÃO Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la numa outra equivalente que esteja na forma de produto. 6 x 2 + 8 x → 2 x.(3 x + 4) Por exemplo:

fatorando

x − 9 → ( x + 3).( x − 3) fatorando

Primeiro caso de fatoração: fator comum em evidência

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

Quando existe um fator que é comum a todas as parcelas, então este fator comum deve ser colocado em evidência. Exemplo: 1) 4 x + 6 = 2.(2 x + 3) 2) 8 x 2 − 4 x = 4 x.(2 x − 1) Segundo caso de fatoração: agrupamento É uma aplicação repetida do primeiro caso. Exemplos: 3 2 2 2 1) x + 2 x + 2 x + 4 = x .( x + 2) + 2.( x + 2) = ( x + 2).( x + 2) 2) xy + 1 − x − y = xy − x + 1 − y = x.( y − 1) + 1.(1 − y ) = x.( y − 1) − 1.( y − 1) = ( y − 1).( x − 1)

Terceiro caso de fatoração: diferença de dois quadrados

a 2 − b 2 = (a − b).(a + b) Exemplos: 2 2 2 1) 4.x − 9 = (2 x) − 3 (As bases são 2x e 3).

4.x 2 − 9 = (2 x + 3).(2 x − 3) 2 2 2 2) x − 1 = x − 1 (As bases são x e 1).

x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1) Quarto caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 Exemplos: 2 2 1) x + 2 x + 1 = ( x + 1) 2 2 2) x − 6 x + 9 = ( x − 3)

Quinto caso de fatoração: soma de cubos

a 3 + b3 = (a + b).(a 2 − ab + b 2 ) Exemplos: 3 3 3 1) x + 8 = x + 2 (as bases são x e 2).

x3 + 8 = ( x + 2).( x 2 − 2 x + 4) 3 3 3 2) x + 1 = x + 1 (as bases são x e 1).

x 3 + 1 = ( x + 1).( x 2 − x + 1) Sexto caso de fatoração: diferença de cubos

a 3 − b3 = (a − b).(a 2 + ab + b 2 ) Exemplos: 3 3 3 1) x − 64 = x − 4 (as bases são x e 4).

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x 3 − 64 = ( x − 4).( x 2 + 4 x + 16) 3 3 3 2) x − 1 = x − 1 (as bases são x e 1).

x3 − 1 = ( x − 1).( x 2 + x + 1) Sétimo caso de fatoração: cubo perfeito

a 3 + 3.a 2 .b + 3.a.b 2 + b3 = (a + b)3 a 3 − 3.a 2 .b + 3.a.b 2 − b3 = (a − b)3 Exemplos: 3 2 3 1) 8a + 36a + 54a + 27 = (2a + 3) 3 2 3 2) x − 3.x + 3 x + 1 = ( x − 1)

1.12 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS Neste ponto, vamos trabalhar com a simplificação envolvendo as expressões fracionárias e nos familiarizar com as expressões racionais.

1.12.1 Expressão fracionária Denominamos expressão fracionária um quociente envolvendo duas expressões algébricas (DEMANA; KENNEDY, 2009). Exemplos: 1)

x +1

x 2) x + 2 x + 1 x 2 +1 2

x. y 2 2+ x

x−2 2x + 3

1.12.2 Expressão racional Denominamos expressão racional um quociente envolvendo dois polinômios (DEMANA; KENNEDY, 2009). Exemplos: 1) 7 x − 2

2x + 3 2)

x x+4

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

3x + 1 x − 2x + 3 2

4) x 2 + 2 x + 1

x 3 − 5x + 4 5) 2 x 3 − x 2 + 1

5x 2 − x − 3

Figura 8 - Expressão fracionária e expressão racional. Fonte: FERREIRA, 2013

1.13 REGRAS OPERACIONAIS A seguir, listamos as principais regras operacionais envolvendo frações. Para isso, considere u, v, w e z como números reais quaisquer, variáveis ou expressões algébricas. Todos os denominadores são considerados como não nulos, isto é, diferentes de zero. Veja a seguir:

u w u+w + R1) v v = v

u w u.z + v.w + = v.z v z u w u.w R3) . = v z v.z u u z u w R4) ÷ = v = . (conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da v z v w w z R2)

segunda) R5) Para subtração, substituímos “+” por “-” em (1) e (2).

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1.13.1 Multiplicação e divisão de expressões racionais = ( x + 1).( x − 1) ( x + 4) = ( x + 1).( x − 1) . ( x + 4) = x − 1 ,

. ( x + 4).( x − 4) ( x + 1)

( x + 4).( x − 4) ( x + 1)

x−4

sendo que devemos ter x ≠ -4, x ≠ -1 e x ≠ 4. = ( x + 2 ).( x − 2 ) . ( x + 5).( x − 5) = x + 2 , sendo que

( x + 5)

devemos ter x ≠ -5 e x ≠

(x − 2)

x −5

(2 x − 3).( x + 7) ( x − 2).( x 2 + 2 x + 4) 2 x − 3 = . x ( x − 2).( x + 7) x.( x 2 + 2 x + 4)

, sendo que devemos ter x ≠ 2, x ≠ -7 e x ≠ 0.

1 2 = 1 = 1 x 2 = x , sendo que devemos ter x ≠ 0. ÷ . x x x2 2 x 2 2 x2 x3 x7 x3 x4 3 . 2+ x 5) x ÷ 4 = x + 1 = ( x + 1) (2 + x) = ( x + 1).(2 + x) , sendo que nesta situação ( x + 1) x 2+ x x4 4)

devemos ter x ≠ -1 e x ≠ -2.

1.13.2 Simplificação de frações compostas Segundo Demana e Kennedy (2009), uma fração composta ou fração complexa é uma fração na qual os numeradores e denominadores podem eles mesmos conter frações. Vamos simplificar as frações compostas a seguir?

1 2x + 1 x = x a) = 2 x + 1 · x = 2 x + 1 , com x ≠ -1. x +1 x +1 x x +1 x +1 x x 7 3.( x + 2) − 7 3 x − 1 b) 3 − = = = , em que devemos ter x ≠ 3, x ≠ -2 x+2 x+2 x+2 x−4 1 ( x − 3) − 1 1− x −3 x −3 x −3 2−

e x ≠ 4.

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1 1 b2 − a2 − (b − a ).(b + a ) a.b a.b b+a b2 − a2 a 2 .b 2 a2 b2 2 2 2 (a.b) c) 1 1 = b − a = a .b · (b − a ) = · (b − a ) = a.b , em − a.b a b que devemos ter a ≠ 0, b ≠ 0 e a ≠ b.

1.14 EQUAÇÕES Agora vamos estudar as equações de 1o grau e de 2o grau com uma variável e as equações que se reduzem a elas. Comumente chamamos as variáveis de incógnitas e os valores que satisfazem as equações de raízes. Além disso, resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, isto é, o conjunto de suas raízes. Segundo Demana e Kennedy (2009), quando queremos encontrar uma solução de uma equação em x queremos encontrar todos os valores de x para os quais a equação é verdadeira ou, ainda, todas as soluções da equação. O nosso ambiente de estudo para a resolução das equações será o conjunto dos números reais. Cabe ressaltar que a resolução de equações é um aparato amplamente utilizado para a interpretação de modelagens dentro da Engenharia.

1.14.1 Equações do primeiro grau ou equação linear em x Segundo Demana e Kennedy (2009), uma equação linear em x pode ser escrita na forma: ax + b = 0 com a e b números reais e a ≠ 0. Exemplos: 1) x + 2 = 0 2) 3x - 4 = 0 3) 7x -

3 =0 4

4) 2z - 6 = 0 (equação linear na variável z)

Uma equação linear em uma variável tem exatamente uma solução. Por exemplo, 2x - 8 = 0 tem como solução x = 4, ou seja, o seu conjunto solução é S = {4}.

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1.14.1.1 Equações equivalentes Duas ou mais equações são ditas equivalentes quando elas apresentam o mesmo conjunto solução, isto é, se têm as mesmas soluções. Para obter equações equivalentes, devemos utilizar algumas operações que podem: » » combinar termos semelhantes; » » simplificar frações; » » remover símbolos por meio de agrupamento; » » aplicar a mesma operação em ambos os lados da equação. Exercícios 1) Vamos resolver a equação: 3x - 2 = 4x + 9 Solução: Neste caso, temos: 3x - 2 = 4x + 9 3x - 4x = 9 + 2 -x = 11 Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade anterior, vem: x = -11 portanto, a solução da equação linear anterior é x = -11 ou o seu conjunto solução é S = {-11}. 2) Vamos resolver a equação: 2 · (3x - 3) + 3 · (x - 1) = 5x + 3 Solução: Neste caso, temos: 2 · (3x - 3) + 3 · (x - 1) = 5x + 3 6x - 6 + 3x - 3 = 5x + 3 9x - 9 = 5x + 3 9x - 5x = 3 + 9 4x = 12 x=3 Portanto, a solução da equação linear anterior é x = 3 ou, ainda, o seu conjunto solução é S = {3}. Você pode averiguar se os cálculos estão corretos substituindo o valor x = 3 e encontrando uma identidade, como segue: 2 · (3(3) - 3) + 3 · ((3) - 1) = 5(3) + 3 2 · (9 - 3) + 3 · (3 - 1) = 15 + 3 2 · (6) + 3 · (2) = 18 12 + 6 = 18 28

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18 = 18 (Verdadeiro) Agora este:

5x − 2 x. = 2+ 8 4 Solução: Quando estivermos diante de equações lineares com frações, devemos tomar um cuidado maior com os cálculos, já que são comuns alguns enganos, principalmente na caracterização do mínimo múltiplo comum envolvendo os denominadores. Inicialmente, note que os denominadores são 8, 1 e 4 e o mínimo múltiplo comum é 8.

5x 2 x = + 8 4 Assim, vamos multiplicar os membros da igualdade anterior por 8, resultando em:

x  5x − 2   8.   = 8.  2 +  4  8   Ou seja,

5x − 2 x = 8.2 + 8. 8 4

Ou 5x - 2 = 16 + 2x 5x - 2x = 16 + 2 3x = 18 x=6 Portanto, x = 6 é a solução da equação linear do exemplo ou S = {6}.

Sejam a e b dois números reais, se a.b = 0 então a = 0 ou b = 0.

4) Se uma empresa comercializa um produto em que a cada venda sobram R$ 2,50, quantos produtos deverá vender para juntar uma sobra de R$ 6.250,00? Solução: Neste caso, podemos escrever: 2,5 · x = 6.250 Ou seja

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x = 6250

2,5 x = 2500 A empresa deverá vender 2.500 unidades do referido produto. 5) Uma empresa é composta por três departamentos: o primeiro faturou R$ 80.000,00 e o segundo faturou três quintos do primeiro. Quanto deverá faturar o terceiro, se o faturamento total precisa ser o dobro dos dois primeiros departamentos? Solução: Vamos denotar o faturamento do terceiro departamento de x, assim, de acordo com o enunciado, podemos escrever:

3 .(80000) + x = 2 · (80000 + 3 · 80000) 5 faturamento total 5

80000 +

80.000 + 48.000 + x = 160.000 + 96.000 x = 256.000 - 12.8000 x = 128.000 Portanto, o investimento do terceiro departamento deve ser igual a 128.000.

1.15 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU Já vimos as equações do primeiro grau, não é mesmo? Então podemos dar um passo mais adiante, trabalhando agora com as equações do segundo grau, ou equações quadráticas, nas quais aparece o quadrado da incógnita, como, por exemplo, 2.x 2 − 5 x + 2 = 0 . As raízes dessas equações nem sempre são obtidas de maneira tão cômoda quanto nas equações do 1o grau. Chamamos de equação do segundo grau aquela que pode ser escrita na forma:

a .x 2 + bx + c = 0 Em que a, b e c são números reais com a ≠ 0. Os números a, b e c são os coeficientes. Exercício Qual a soma dos coeficientes da equação 5 x 2 + 2 x − 5 = 0 ? Solução: Neste caso, temos a = 5, b = 2 e c = -5, logo a soma a + b + c é dada por 5 + 2 + (-5) = 2.

1.15.2 Raiz de uma equação do 2o grau Um número r será chamado de raiz, ou solução da equação a .x 2 + bx + c = 0 , se, e somente se, a igualdade a .r 2 + br + c = 0 for uma sentença verdadeira. Exercício: Verifique se o número r = 2 é uma raiz da equação quadrática 2 x 2 − 5 x + 2 = 0 ? 30

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Solução: Substituindo x por 2, temos: 2.(2) 2 − 5.(2) + 2 = 8 − 10 + 2 = 0 .

1.15.3 Conjunto solução de uma equação do 2o grau 2 Resolver a equação do 2o grau a .x + bx + c = 0 no conjunto universo dos números reais significa obter o conjunto de todas as raízes reais dessa equação. O conjunto das raízes é chamado de conjunto solução, ou conjunto verdade da equação quadrática em questão. Exemplo: Considerando o conjunto universo como o conjunto dos números reais, o conjunto solução 2 da equação x = 4 é S = {2, -2}.

O matemático indiano Bhaskara (séc. XII) foi um dos primeiros que estudou a equação do 2o grau de modo geral, isto é, incluindo casos em que as raízes são números irracionais. Já os gregos e babilônios, ao contrário, não consideravam a existência desse tipo de números.

Fórmula resolutiva (Fórmula de Bhaskara): Tendo como universo o conjunto ℜ dos números reais, podemos provar que a equação a .x 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) com b 2 − 4.a.c ≥ 0 possui duas raízes, que indicaremos por x1 e x2 . Estas podem ser obtidas pelas fórmulas:

x1 = − b + ∆ e x2 = −b − ∆ 2.a 2.a A expressão b 2 − 4.a.c , normalmente indicada pela letra grega ∆ (delta maiúscula), é chamada de discriminante da equação. Importante: além disso, com relação ao discriminante ∆ podemos ter três situações distintas, que são: 1) Delta maior que zero ( ∆ > 0): duas raízes reais e distintas (

≠

x x 2) Delta igual a zero ( ∆ = 0): duas raízes reais e iguais ( 1 = 2 ). 3) Delta menor que zero ( ∆ < 0): não existem raízes reais.

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Figura 9 - Quadro-resumo para as situações envolvendo o discriminante de uma equação do segundo grau. Fonte: FERREIRA, 2013.

Tendo como universo o conjunto ℜ dos números reais, podemos provar que a equação a .x 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) com b 2 − 4.a.c ≥ 0 possui duas raízes, que indicaremos por x1 e x2 .

Exercício (Fórmula de Bhaskara): Vamos resolver as seguintes equações do segundo grau, considerando o conjunto universo ℜ . a) x2 + 3x + 2 = 0 b) -x2 + 6x - 9 = 0 c) x2 + 4x + 9 = 0 Solução: Neste caso, temos: a) Aqui, a = 1, b = 3 e c = 2, desta forma:

∆ = b2 - 4 · a · c ∆ = 32 - 4 · (1) · (2) ∆ =9-8 ∆ =1 Logo, as raízes são:

x1 = − b + ∆ = − 3 + 1 = − 2 = -1 2.a 2.( 1) 2 x2 = − b − ∆ = − 3 − 1 = − 4 = -2 2.a 2.( 1) 2

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Note que se substituirmos os valores de x encontrados, obviamente a equação nos levará a 0 = 0. b) Aqui, temos a = -1, b = 6 e c = -9, desta forma:

∆ = b2 - 4 · a · c ∆ = 62 - 4 · (-1) · (-9) ∆ = 36 - 36 ∆ =0 Logo, as raízes são:

x1 = − b + ∆ = − 6 + 0 = − 6 = 3 2.a 2.( −1) −2 x2 = − b − ∆ = − 6 + 0 = − 6 = 3 2.a 2.( −1) −2 c) Aqui, temos a = 1, b = 4 e c = 9, desta forma:

∆ = b2 - 4 · a · c ∆ = 42 - 4 · (1) · (9) ∆ = 16 - 36 ∆ = -20 Logo, como não podemos extrair a raiz de -20, ou seja, não existem raízes reais, isso significa que não existe um único número real que substituindo x na equação a torne igual a zero.

Nas aulas subsequentes sobre funções, vamos discutir mais uma vez aspectos teóricos relacionados às equações de 1o e 2o graus.

1.16 INEQUAÇÕES Bem, já trabalhamos com as equações, que, como vimos, tratam-se da igualdade entre expressões. Agora vamos estudar as inequações, que representam desigualdades entre expressões matemáticas. Elas também são do 1o grau e do 2o grau. Preste atenção aos sinais a seguir, pois eles separam dois membros de uma inequação: > Maior ≥ Maior ou Igual < Menor ≤ Menor ou Igual

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Diferentemente do que ocorre com as equações, quando queremos resolver uma determinada inequação não estamos buscando um valor que a satisfaça, mas um conjunto de valores ou intervalo que a atenda.

1.16.1 INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU, OU INEQUAÇÃO LINEAR EM X É uma inequação que pode ser escrita na forma: ax + b < 0 ou ax + b > 0 ou ax + b ≥ 0 ou ax + b ≤ 0 com a e b números reais e a ≠ 0. Exercício: Vamos resolver a inequação do 1o grau: 2x + 4 > 0. Solução: Precisamos isolar x, como fizemos com as equações. Para tal: 2x + 4 > 0 2x > -4 x > −4

Portanto, temos: x > -2 Se tomarmos qualquer valor real maior que -2 e o colocarmos no lugar de x, encontraremos um resultado maior que 0. Ao resolvemos inequações, é importante tomar cuidado quando o coeficiente que multiplica x for negativo. Neste caso, devemos multiplicar os dois membros por -1, o que nos obriga a inverter o sinal de desigualdade.

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Exemplo -x ≥ 4 Multiplicando por (-1), segue que: -x · (-1) ≥ 4 · (-1) Ou seja, x ≤ -4 Exercício Numa indústria de tênis, cada funcionário produz em média 200 tênis por dia. Considerando que há 5.000 tênis prontos em estoque, quantos funcionários deverão trabalhar para que, ao final de 10 dias, possam ser entregues mais de 20.000 tênis? Solução: Note que, de acordo com o enunciado, podemos escrever: Produção média por funcionário/dia = 200 Estoque Atual = 5.000 Dias disponíveis = 10 Meta a ser atingida > 20.000 Ou, ainda, podemos visualizar a situação da seguinte forma:

Ou seja, em símbolos, temos: 10.200 · x + 5.000 > 20.000 2.000x + 5.000 > 20.000 2.000x > 20.000 - 5.000 x > 15.000 ÷ 2.000 x > 7,5 Portanto, é necessário pelo menos oito funcionários trabalhando para que ao final de 10 dias haja mais de 20.000 tênis em estoque.

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CONCLUSÃO Nesta primeira aula trabalhamos com a descrição dos conjuntos numéricos e visualizamos como conjunto universo, para os nossos propósitos, o conjunto dos números reais. Na sequência, vimos os aspectos relacionados às proporções, grandezas proporcionais, potenciação e radiciação, fatoração, polinômios e produtos notáveis, assim como a parte relacionada às equações e inequações. Na próxima aula vamos estudar toda a teoria acerca das funções, tais como domínio, contradomínio, conjunto imagem, crescimento e decrescimento.