Profesor: Javier Velรกsquez Espinoza.
Prof. Lic. Gerardo Tocto Gallo
POLINOMIOS Dados el número natural n y los n+1 números reales o
complejos a0,a1,…,an (los llamados coeficientes) se define el polinomio p en la variable x como la función que hace corresponder al valor que tome x el valor p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn Se dice que los polinomios p y q son idénticos si
p( x ) q ( x ), x
POLINOMIOS Se dice que el grado del polinomio p es n cuando an es
distinto de cero. El polinomio idénticamente nulo 0 carece de grado. Todos sus coeficientes valen cero y se verifica que 0( x ) 0, x Dos polinomios p y q son idénticos cuando coinciden sus coeficientes, esto es, p-q=0. A veces se habla del polinomio p(x), entendiendo que se refiere al polinomio p
POLINOMIOS La suma de los polinomios p y q es el polinomio r de
modo que
r ( x ) p( x ) q ( x ) n
m
max( n , m )
i 0
j 0
k 0
i j a x b x i j
k c x k
Sumar polinomios equivale sumar los coeficientes que
afectan a la misma potencia de x.
POLINOMIOS El producto de los polinomios p y q es el polinomio s
de modo que
m n i j s( x ) p( x )q ( x ) a i x b j x i 0 j0 n
m
nm
i j k a b x d x i j k i 0 j 0
k 0
Nótese que el grado del polinomio suma r es a lo sumo
el máximo de n y m.
POLINOMIOS Análogamente el grado del polinomio producto s es a
lo sumo m+n. El cociente de dos polinomios no siempre es otro polinomio. Cuando el cociente f/g del polinomio f y el polinomio g es otro polinomio se dice que g divide a f o que f es múltiplo de g. La división por el polinomio nulo no está permitida.
POLINOMIOS En general la división de un polinomio f dividendo por
un polinomio g divisor origina un polinomio cociente q y un polinomio resto r, de modo que 1º f=qg+r, o lo que es lo mismo,
f ( x ) q ( x )g ( x ) r ( x ), x 2ºEl grado de r es menor que el grado de g o bien r es
nulo.
Nota: f/g es un polinomio si y sólo si r=0.
POLINOMIOS Ejemplo: ( x 3 2 x 2 x 1) /( x 2 3x 2) x 3 2x 2 x 1 x 2 3x 2 x 3 3x 3 2 x x 1 (cociente) x 2 x 1 x 2 3x 2 2 x 3 (resto)
POLINOMIOS El máximo común divisor de f y g (abreviadamente
m.c.d.) es el divisor común de mayor grado con an=1. El mínimo común múltiplo de f y g (abreviadamente m.c.m.) es el múltiplo común de menor grado con an=1. Se dice que f y g son primos entre sí si el máximo común divisor es el polinomio constante unidad.
POLINOMIOS El algoritmo euclidiano permite obtener el mcd de f y g
de un modo sencillo:
1º f=qg+r 2º g=q´r+r´ 3º r=q´´r´+r´´ … hasta que el resto sea nulo. El último resto no nulo es el m.c.d. de f y g.
POLINOMIOS Ejemplos: El m.c.d. de x4-3x2+2 y x4+x3-x-1 es x2-1 El m.c.m de x2-9 y x2-5x+6 es (x-3)(x+3)(x+2) Los polinomios 8x3-10x2-x+3 y 2x3-5x2-x+6 son primos entre sí.
POLINOMIOS El teorema fundamental del Álgebra afirma que todo
polinomio p de grado n tiene al menos un cero, esto es, la ecuación p(x)=0 admite al menos una solución (real o compleja). Teorema: Es a un cero de p si y sólo si p(x) es divisible por x-a.
POLINOMIOS Se justifica el teorema ya que siendo p(x)=q(x)(x-a)+r
con r polinomio constante o nulo, si p(x) es divisible por x-a debe ser r nulo, esto es, p(x)=q(x)(x-a) por lo que p(a)=q(a)(a -a) =0 y a es un cero de p; recíprocamente, si a es un cero de p es p(a)=0, luego 0=q(a)(a -a)+r y de aquí r=0, esto es, p(x) es divisible por x-a .
POLINOMIOS Si a es un cero de p el polinomio p se puede factorizar
de la forma
p(x)=q(x)(x-a) donde (x-a) es un factor lineal y el grado de q una unidad inferior al grado de p. Se podría volver a factorizar q y así sucesivamente hasta llegar a la descomposición en factores lineales de p p(x)=an(x-a1) (x-a2) (x-a3)... (x-an)
POLINOMIOS Los n ceros obtenidos (repetidos o no) a1,a2,a3... an
son ceros del polinomio p de grado n. Cuando los coeficientes del polinomio p son reales y p posee un cero imaginario de la forma a=a+ib entonces también el conjugado a-ib es un cero de p. En este caso se pueden agrupar los dos factores lineales (x-(a+ib))(x(a-ib)) en un factor cuadrático de la forma (x2+cx+d).
POLINOMIOS Si a1,a2,a3... ak son los ceros distintos del polinomio
p de grado n, con multiplicidades respectivas m1,m2,m3... mk se puede factorizar p de la forma:
p( x ) a n ( x 1 ) ( x 2 ) ...( x k ) m1
m2
mk
Se puede probar que si a es un cero de p de
multiplicidad m, mayor que la unidad, también a es un cero de las derivadas sucesivas, hasta el orden de derivación m-1.
POLINOMIOS La regla de Ruffini se puede utilizar para: 1º Hallar p(b), donde p es un polinomio y b un valor numérico cualquiera 2º Hallar el cociente y el resto de la división del polinomio p(x) y el polinomio x-b. 3º Transformar un polinomio p(x) en un polinomio q(y), mediante la sustitución y=x-b. En este caso hay que apoyarse en el desarrollo de Taylor.
POLINOMIOS Ejemplo: División de p(x)=5x4+10x3+x-1 por x+2. Aquí se
tiene b=-2.
10 0 1 1 10 0 0 2 2 5 0 0 1 3 5
El cociente de la división de p(x) por (x+2) es 5x3+1 y el resto -3, precisamente el valor de p(-2). Se tiene p(x)= (5x3+1 )(x+2)-3
POLINOMIOS Ejemplo: El desarrollo de Taylor del polinomio
p(x)=5x4+10x3+x-1 en x=-2 es
2 1 1 dp 2 d p p( x ) p(2) ( x 2) ( x 2) 2 1¡ dx x 2 2¡ dx x 2 3 4 1 d p 1 d p 3 4 ( x 2) 3 ( x 2) 4 3¡ dx x 2 4¡ dx x 2
Los valores de p y de sus derivadas son calculables por
Ruffini en x=-2, llegando a p(x)=5(x+2)4 -30(x+2)3 +60(x+2)2 -39(x+2)-3