MyMatLab 2021 Tarea 2 Derivadas de varias variables. Universidad santo tomas 19_04_2021 Contenido Ejercicio 1: primera derivada parcial en X SOLUCIONADO.....................................................................................................3 EJERCICIO 1.1: primera derivada parcial en X SOLUCIONADO...............................................................................................4 EJERCICIO 1.2: primera derivada parcial en X SOLUCIONADO...............................................................................................5 EJERCICIO 2: primera derivada parcial en X, luego en: Y SOLUCIONADO..............................................................................6 EJERCICIO 2.1 : primera derivada parcial en X, luego en: Y SOLUCIONADO...........................................................................7 EJERCICIO 2.2 : primera derivada parcial en X, luego en: Y SOLUCIONADO...........................................................................8 EJERCICIO 3: La derivada parcial de f con respecto a Q : SOLUCIONADO..............................................................................9 EJERCICIO 3.1: : La derivada parcial de f con respecto a P : SOLUCIONADO........................................................................10 Ejercicio 4:Costo marginal: SOLUCIONADO.........................................................................................................................11 Ejercicio 4: Costo marginal SOLUCIONADO.........................................................................................................................12 EJERCICIO 4.2: costo marginal: SOLUCIONADO...................................................................................................................13 Ejercicio 5: productividad marginal: SOLUCIONADO...........................................................................................................14 EJERCICIO 5.1: Productividad Marginal: SOLUCIONADO.....................................................................................................16 Ejercicio 6: Funciones de demanda: SOLUCIONADO...........................................................................................................19 Ejercicio 7: los puntos críticos: SOLUCIONADO....................................................................................................................21 EJERCICIO 7.1: los puntos críticos: SOLUCIONADO..............................................................................................................23 Ejercicio 8: Las dimensiones de una caja: L, W, H : SOLUCIONADO....................................................................................25 EJERCICIO 8.1: : Las dimensiones de una caja: L, W, H : SOLUCIONADO.............................................................................28 EJERCICIO 8.2: : Las dimensiones de una caja: L, W, H : SOLUCIONADO.............................................................................31 EJERCICIO 8.3: : Las dimensiones de una caja: L, W, H : SOLUCIONADO.............................................................................34 EJERCICIO 9.1: Puntos críticos. los extremos relativos de la función. SOLUCIONADO. EXPLICO el profesor Google meet.................................................................................................................................................................................... 37 EJERCICIO 9.2: Puntos críticos. los extremos relativos de la función.
SOLUCIONADO..........................................39
EJERCICIO 10 : método de multiplicadores de Lagrange: puntos críticos : SOLUCIONADO.................................................42 EJERCICIO 10.1: método de multiplicadores de Lagrange: puntos críticos:10.1: SOLUCIONADO........................................46 EJERCICIO 11.1 : método de multiplicadores de Lagrange: La función a maximizar: SOLUCIONADO.................................49 EJERCICIO 11.2 : método de multiplicadores de Lagrange: La función a maximizar: SOLUCIONADO.................................55 EJERCICIOS DEL LIBRO.........................................................................................................................................................62 Ejercicio 1 pagina 801 libro Haeussler 13 edicion................................................................................................................62 Ejercicio 2 pagina 801 libro Haeussler 13 edicion................................................................................................................66 Ejercicio 3 pagina 801 libro Haeussler 13 edición: minimización de costos.........................................................................68 EJERCICIO 14: Puntos críticos. SOLUCIONADO.................................................................................................................70 LIBRO Haeussler 13 edicion: EJERCICIO 1 capitulo 17.7 : método de multiplicadores de Lagrange: puntos críticos : SOLUCIONADO.................................................................................................................................................................... 72
LIBRO Haeussler 13 edicion: EJERCICIO 3 capitulo 17.7 : método de multiplicadores de Lagrange: puntos críticos : SOLUCIONADO.................................................................................................................................................................... 75 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CON 3 VARIABLES:........................................................................................................78 LIBRO Haeussler 13 edicion: EJERCICIO 7 capitulo 17.7 : método de multiplicadores de Lagrange: puntos críticos : SOLUCIONADO.................................................................................................................................................................... 78 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CON DOS RESTRICCIONES.............................................................................................82
Ejercicio 1: primera derivada parcial en X SOLUCIONADO. Determine
Cx(x,y) si C(x,y)= 5x2 + 4xy - 5y2 + 9x - 9y - 2
Para determinar la primera derivada parcial con respecto a
Cx ( X , Y )=
X, mantenga a Y constante y derive con respecto X.
∂ C( x , y) ∂ = =[5 x 2 +4 xy−5 y 2+ 9 x−9 y−2] ∂x ∂x
Para determinar la derivada, derivamos cada término.
Cx ( X , Y )=
∂ =[5 x 2 +4 xy−5 y 2+ 9 x−9 y−2] ∂x
Cx ( X , Y )=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [5 x2 ]+ [4 xy ]− [5 y 2]+ [9 x ]− [9 y ]− [2] ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
Derive los términos con respecto a X, todo lo que tiene solo la letra y tiene el valor de cero 0
Respuesta: Cx ( X , Y )=10 x+ 4 y −0+9−0−0
EJERCICIO 1.1: primera derivada parcial en X SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 1: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab.
Determine
Cx(x,y) si C(x,y)= 3x2 + 4xy - 9y2 + 7x - 5y - 2
Para determinar la primera derivada parcial con respecto a
Cx ( X , Y )=
X, mantenga a Y constante y derive con respecto X.
∂ C(x , y) ∂ = =[3 x 2 +4 xy−9 y 2 +7 x−5 y−2] ∂x ∂x
Para determinar la derivada, derivamos cada término.
Cx ( X , Y )=
∂ 2 2 =[3 x +4 xy−9 y +7 x−5 y−2] ∂x
Cx ( X , Y )=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [3 x2 ]+ [4 xy ]− [9 y 2 ]+ [7 x ]− [5 y ]− [2] ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
Derive los términos con respecto a X, todo lo que tiene solo la letra y tiene el valor de cero 0
Respuesta: Cx ( X , Y )=6 x +4 y−0+7−0−0
EJERCICIO 1.2: primera derivada parcial en X SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 1: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab.
Determine
Cx(x,y) si C(x,y)= 8x2 + 8xy - 5y2 + 4x - 8y - 5
Para determinar la primera derivada parcial con respecto a
Cx ( X , Y )=
X, mantenga a Y constante y derive con respecto X.
∂ C( x , y) ∂ = =[8 x2 +8 xy−5 y 2 + 4 x−8 y−5 ] ∂x ∂x
Para determinar la derivada, derivamos cada término.
Cx ( X , Y )=
∂ =[8 x2 +8 xy−5 y 2 + 4 x−8 y−5 ] ∂x
Cx ( X , Y )=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 [8 x ]+ [8 xy ]− [5 y ]+ [4 x ]− [8 y ]− [5 ] ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
Derive los términos con respecto a X, todo lo que tiene solo la letra y tiene el valor de cero 0
Respuesta: Cx ( X , Y )=16 x +8 y−0+ 4−0−0
Cx ( X , Y )=16 x +8 y +4
EJERCICIO 2: primera derivada parcial en X, luego en: Y SOLUCIONADO. ∂z ∂z
Para la función z= f(x,y)= 5x3 + y2 + xy, determine ∂ x , ∂ y , f x (−5,3 ) y f y (−5, 3) La derivada parcial de z con respecto a X: es la derivada de z obtenida tratando a X como una variable y a Y como una constante. Derive z= f(x,y)= 5x3 + y2 + xy, con respecto a x. Trate a Y como una constante. Los términos que tiene solo la letra Y tiene el valor de cero 0.
Respuesta: Derivada parcial con respecto a X. ∂z =15 x 2+ y ∂x
La derivada parcial de z con respecto a Y: es la derivada de z obtenida tratando a Y como una variable y a X como una constante. Derive z= f(x,y)= 5x3 + y2 + xy, con respecto a Y. Trate a X como una constante. Los términos que tiene solo la letra X tiene el valor de cero 0.
Respuesta: Derivada parcial con respecto a Y. ∂z =2 y + x ∂y
Sustituya x = - 5 y y=3 y evalúe para determinar fx en el punto dado.
fx(-5,3) = 15x2 + y , cuando x=-5 y=3 fx(-5,3) = 15(-5)2 + (3) ,
Respuesta: Derivada parcial con respecto a X. en el punto fx(-5,3) = 375+3 = 378
Sustituya x =-5 y y=3 y evalúe para determinar fy en el punto dado.
fy(-5,3) = 2y + x , cuando x=-5 y=3 fy(-5,3) = 2(3) + (-5) ,
Respuesta: Derivada parcial con respecto a Y. en el punto fy(-5,3)=
6-5 = 1
EJERCICIO 2.1 : primera derivada parcial en X, luego en: Y SOLUCIONADO. ∂z ∂z
Para la función z= f(x,y)= 9x3 + 2y2 - 9 xy, determine ∂ x , ∂ y , f x (−3,1 ) y f y (−3, 1) La derivada parcial de z con respecto a X: es la derivada de z obtenida tratando a X como una variable y a Y como una constante. Derive z= f(x,y)= 9x3 + 2y2 - 9 xy, con respecto a x. Trate a Y como una constante. Los términos que tiene solo la letra Y tiene el valor de cero 0.
Respuesta: Derivada parcial con respecto a X. ∂z =27 x 2−9 y ∂x
La derivada parcial de z con respecto a Y: es la derivada de z obtenida tratando a Y como una variable y a X como una constante. Derive z= f(x,y)= 9x3 + 2y2 - 9 xy, con respecto a Y. Trate a X como una constante. Los términos que tiene solo la letra X tiene el valor de cero 0.
Respuesta: Derivada parcial con respecto a Y. ∂z =0+ 4 y −9 x ∂y
Sustituya x = - 3 y y=1 y evalúe para determinar fx
en el punto dado.
fx(-3,1) = 27x2 - 9 y , cuando x=-3 y=1 fx(-3,1) = 27(-3)2 - 9 (1) , fx(-3,1) = 27(9) - 9
Respuesta: Derivada parcial con respecto a X. en el punto fx(-3,1) = 243 – 9 = 234
Sustituya x = - 3 y y=1 y evalúe para determinar fy
en el punto dado.
fy(-3,1) = 4y - 9 x , cuando x=-3 y=1 fy(-3,1) = 2(1) - 9 (-3) ,
Respuesta: Derivada parcial con respecto a Y. en el punto fy(-3,1)= fy(-3,1)=
2+27 29
EJERCICIO 2.2 : primera derivada parcial en X, luego en: Y SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 2: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab. ∂z ∂z
Para la función z= f(x,y)= 9x3 - 4y2 + 2xy, determine ∂ x , ∂ y , f x ( 2, 6 ) y f y (2, 6) La derivada parcial de z con respecto a X: es la derivada de z obtenida tratando a X como una variable y a Y como una constante. Derive z= f(x,y)= 9x3 - 4y2 + 2xy, con respecto a x. Trate a Y como una constante. Los términos que tiene solo la letra Y tiene el valor de cero 0.
Respuesta: Derivada parcial con respecto a X. ∂z =27 x 2+ 2 y ∂x
La derivada parcial de z con respecto a Y: es la derivada de z obtenida tratando a Y como una variable y a X como una constante. Derive z= f(x,y)= 9x3 - 4y2 + 2xy, con respecto a Y. Trate a X como una constante. Los términos que tiene solo la letra X tiene el valor de cero 0.
Respuesta: Derivada parcial con respecto a Y. ∂z =−8 y +2 x ∂y
Sustituya x =2 y y=6 y evalúe para determinar fx en el punto dado.
fx(2,6)= 27x2 + 2y , cuando x=2 y=6 fx(2,6)= 27(2)2 + 2(6) ,
Respuesta: Derivada parcial con respecto a X. en el punto fx(2,6)= 120
Sustituya x =2 y y=6 y evalúe para determinar fy en el punto dado.
fy(2,6)= - 8y + 2x , cuando x=2 y=6 fy(2,6)= - 8(6) + 2(2) ,
Respuesta: Derivada parcial con respecto a Y. en el punto fy(2,6)= - 44
EJERCICIO 3: La derivada parcial de f con respecto a Q : SOLUCIONADO. Sea f(J ,Q )= 3 √ JQ . Determine Calcule
∂f ∂Q
∂f ∂Q ∂f
La derivada parcial de f con respecto a Q, ∂Q , es la derivada de f obtenida tratando a Q, como una variable y a J como una constante.
f(J ,Q ) = 3 √ JQ . f(J ,Q ) = 3 (JQ) ½ ∂f 3 = ∂Q 2
(JQ) ½-1 . J
∂f 3 = ∂Q 2
(JQ) -½ . J
∂f 3 J = . ∂Q 2 √ JQ
Respuesta:
√
∂f 3 J = . ∂Q 2 Q
EJERCICIO 3.1: : La derivada parcial de f con respecto a P : SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 3: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab.
Sea f(C ,P )= 11 √CP . Determine Calcule
∂f ∂P
∂f ∂P ∂f
La derivada parcial de f con respecto a P, ∂ P , es la derivada de f obtenida tratando a P, como una variable y a C como una constante.
f(C ,P ) = 11 √CP . f(C ,P ) = 11 (CP) ½ ∂ f 11 = ∂P 2
(CP) ½-1 . C
∂ f 11 = ∂P 2
(CP) -½ . C
∂ f 11 C = . ∂ P 2 √CP
Respuesta:
√
∂ f 11 C = . ∂P 2 P
Ejercicio 4:Costo marginal: SOLUCIONADO. Determine el costo marginal indicado en el nivel de producción dado. c= 8x + 0.2 y2 + 6y + 700;
∂C ∂y
, x=10 , y =60
Para determinar el costo marginal indicado, determine la derivada parcial de C con respecto a Y,
∂c / ∂y. Esta derivada parcial se obtiene tratando a Derive
Y como una variable y a X como una constante.
∂C ∂y
.
c=
8x + 0.2 y2 + 6y + 700
con respecto a
Y. Trate a X como una constante. . Los términos que
tiene solo la letra X tiene el valor de cero 0.
∂c/∂y= 0 + 0.4 y + 6 + 0 ∂c/∂y=
0.4 y + 6
Ahora, evalúe
∂C ∂y
. para los valores dados de X y Y. x=10 , y =60
∂C ¿ =0.4 y +6 ∂ y (10,60) ∂C ¿ =0.4 (60)+6 ∂ y (10,60) ∂C ¿ =24+ 6 ∂ y (10,60) ∂C ¿ =30 ∂ y (10,60)
Respuesta: Por lo tanto, el costo marginal es de
$30.
Ejercicio 4: Costo marginal SOLUCIONADO. Determine el costo marginal indicado en el nivel de producción dado. c=6x+0.6y2+2y+650;
∂C ∂y
, x=40 , y =50
Para determinar el costo marginal indicado, determine la derivada parcial de C con respecto a Y,
∂C ∂y
.
∂c / ∂y. Esta derivada parcial se obtiene tratando a
Y como una variable y a X como una constante.
Derive
c=
6x + 0.6y2 + 2y +650
con respecto a
tiene solo la letra X tiene el valor de cero 0.
Y. Trate a X como una constante. . Los términos que
∂c/∂y= 0 + 1.2y + 2 + 0 ∂c/∂y=
1.2y + 2
Ahora, evalúe
∂C ∂y
. para los valores dados de X y Y. x=40 , y =50
∂C ¿ =1.2 y +2 ∂ y (40,50) ∂C ¿ =1.2(50)+2 ∂ y (40,50) ∂C ¿ =60+ 2 ∂ y (40,50) ∂C ¿ =62 ∂ y (40,50)
Respuesta: Por lo tanto, el costo marginal es de
$62.
EJERCICIO 4.2: costo marginal: SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 4: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab. Determine el costo marginal indicado en el nivel de producción dado. c=6x+0.6y2+2y+650;
∂C ∂y
, x=40 , y =50
Para determinar el costo marginal indicado, determine la derivada parcial de C con respecto a Y,
∂C ∂y
.
∂c / ∂y. Esta derivada parcial se obtiene tratando a
Y como una variable y a X como una constante.
Derive
c=
6x + 0.6y2 + 2y +650
con respecto a
tiene solo la letra X tiene el valor de cero 0.
Y. Trate a X como una constante. . Los términos que
∂c/∂y= 0 + 1.2y + 2 + 0 ∂c/∂y=
1.2y + 2
Ahora, evalúe
∂C ∂y
. para los valores dados de X y Y. x=40 , y =50
∂C ¿ =1.2 y +2 ∂ y (40,50) ∂C ¿ =1.2(50)+2 ∂ y (40,50) ∂C ¿ =60+ 2 ∂ y (40,50) ∂C ¿ =62 ∂ y (40,50)
Respuesta: Por lo tanto, el costo marginal es de
$62.
Ejercicio 5: productividad marginal: SOLUCIONADO. Determine las funciones de productividad marginal ;
∂P ∂x
y
∂P ∂y
P = 100 x0.76 y0.24 Para determinar ∂P∂x,
; derive P = 100 x0.76 y0.24 con respecto a X tratando a Y como una
∂P ∂x
constante y sacándola de la derivada, como se muestra a continuación.
∂P ∂ = ( 100 x0.76 y 0.24 ) =100 y 0.24 ∂ ( x 0.76 ) ∂x ∂ x ∂x Derive con respecto a x.
∂P ∂ 0.76 =100 y 0.24 (x ) ∂x ∂x 0.76 x 0.76−1 ∂P =100 y 0.24 . ¿ ∂x
)
=
=
0.76 x−0.24 ∂P =100 y 0.24 . ¿ ∂x
)
Respuesta: ∂P =76 x−0.24 y 0.24 ∂x
Para determinar ∂P∂y,
; derive P = 100 x0.76 y0.24 con respecto a Y tratando a X como una
∂P ∂y
constante y sacándola de la derivada, como se muestra a continuación.
∂P ∂ = ( 100 x 0.76 y 0.24 )=100 x 0.76 ∂ ( y 0.24 ) ∂y ∂y ∂y Derive con respecto a y.
∂P ∂ 0.24 =100 x 0.76 (y ) ∂y ∂y 0.24 y 0.24−1 ∂P =100 x 0.76 .¿ ∂y
)
0.24 y−0.76 ∂P =100 x 0.76 .¿ ∂y
)
=
=
Respuesta: ∂P =24 x 0.76 y−0.76 ∂y
EJERCICIO 5.1: Productividad Marginal: SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 5: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab.
Determine las funciones de productividad marginal ;
∂P ∂x
y
∂P ∂y
P = 100 x0.68 y0.32 Para determinar ∂P∂x,
; derive P = 100 x0.68 y0.32 con respecto a X tratando a Y como una
∂P ∂x
constante y sacándola de la derivada, como se muestra a continuación.
∂P ∂ = ( 100 x0.68 y 0.32 )=100 y 0.32 ∂ ( x 0.68 ) ∂x ∂ x ∂x Derive con respecto a x.
∂P ∂ 0.68 =100 y 0.32 (x ) ∂x ∂x
=
=
0.68−1
0.68 x ∂P =100 y 0.32 .¿ ∂x
)
0.68 x−0.32 ∂P =100 y 0.32 .¿ ∂x
)
Respuesta: ∂P =68 x−0.32 y 0.32 ∂x
Para determinar ∂P∂y,
; derive P = 100 x0.68 y0.32 con respecto a Y tratando a X como una
∂P ∂y
constante y sacándola de la derivada, como se muestra a continuación.
∂P ∂ = ( 100 x 0.68 y 0.32 ) =100 x 0.68 ∂ ( y 0.32 ) ∂y ∂y ∂y Derive con respecto a y.
∂P 0.68 ∂ =100 x ( y 0.32 ) ∂y ∂y 0.32 y 0.32−1 ∂P =100 x 0.68 .¿ ∂y −0.68
0.32 y ∂P =100 x 0.68 .¿ ∂y
) )
Respuesta:
=
=
∂P =32 x 0.68 y −0.68 ∂y
)
EJERCICIOS DE COMPETITIVO, COMPLEMENTARIOS, NI LO UNO NI LO OTRO : EJERCICIOS: determine si es competitivo, complementario, ni lo uno ni lo otro. Bajan precios, entonces suben ventas, se analizan las derivadas parciales:
Aumentan precios, entonces bajan ventas, se analizan las derivadas parciales:
Ejercicio 6: Funciones de demanda: SOLUCIONADO. Las funciones qA y qB son funciones de demanda para los productos A y B. Determine:
∂qA ∂ pA
;
∂ qA ∂ pB
;
∂ qB ∂ pA
;
∂ qB ∂ pB
Y si A y B son competitivos, complementarios, ni lo uno ni lo otro.
SOLUCIONADO.
4. las están dadas por:
qA = 1600 - 35 pA + 3 pB qB = 900 + 4 pA - 40 pB Entonces, los productos A y B son?
Para el producto qA: Saco la derivada parcial con respecto a pA, ahí tomo la variable pB como constante. ∂q =¿ 1600 - 35 pA + 3 pB ∂p A A
∂qA =¿ ∂ pA
0 - 35
∂qA =¿ ∂ pA
- 35
+0
Para el producto qA: Saco la derivada derivada parcial con respecto a pB, ahí tomo la variable pA como constante ∂q =¿ 1600 - 35 pA + 3 pB ∂p A
B
∂ qA =¿ ∂ pB ∂ qA =¿ ∂ pB
0- 0
+3
3
Para el producto qB: Saco la derivada parcial con respecto a pA, ahí tomo la variable pB como constante ∂q =¿ 900 + 4 pA - 40 pB ∂p B
A
∂ qB =¿ ∂ pA ∂ qB =¿ ∂ pA
0+ 4
+0
+4
Para el producto qB: Saco la derivada derivada parcial con respecto a pB, ahí tomo la variable pA como constante ∂q =¿ 900 + 4 pA - 40 pB ∂p B
B
∂ qB =¿ ∂ pB ∂ qB =¿ ∂ pB
0+ 0
- 40
- 40
Respuesta: Competitivo
Ejercicio 7: los puntos críticos: SOLUCIONADO. Determine todos los puntos críticos de la función siguiente. f(x,y) = x2 − 5xy + 6y2 + 5x − 6y + 2 ¿Cuáles son los puntos críticos? Seleccione la opción correcta y, si es necesario, llene el cuadro de respuesta para completar su elección. A. Los puntos son (Escriba un par ordenado. Utilice una coma para separar sus respuestas). B. No hay puntos . Un punto interior (a, b), en el dominio de f, es un punto crítico de f si fx(a,b)= fy(a,b)=0 o bien si fx o fy (o ambas) no existen en (a, b).
f
Determine las derivadas parciales x
y
fy
Derivada parcial en X: Los términos que tiene solo la letra Y tiene el valor de cero 0.
f(x,y)= x2 − 5xy + 6y2 + 5x − 6y + 2
fx
= 2x - 5y + 0 + 5 - 0 + 0
fx
= 2x - 5y + 5
Derivada parcial en Y: Los términos que tiene solo la letra X tiene el valor de cero 0.
f(x,y)= x2 − 5xy + 6y2 + 5x − 6y + 2
fy
= 0 - 5x + 12y + 0 - 6 + 0
fy
=
- 5x + 12y - 6
Hay muchas formas de resolver el sistema de ecuaciones. Iguale a cero cada derivada y resuelva el sistema de ecuaciones para x y y.
2x - 5y + 5 = 0 - 5x + 12y - 6 = 0
Resuelva cada ecuación para y e iguale los resultados.
2 x +5 5 x +6 = 5 12
12( 2x + 5 ) 24 x + 60 60 - 30 30
= 5 ( 5x + 6 ) = 25x + 30 = 25x - 24 x = x
Sustituya el valor de x en una de las expresiones para y.
Para esta ecuación remplazo x= 30 2x - 5y + 5 = 0 2x + 5 = 5y 2(30) + 5 = 5y 60 + 5 = 5y 65 =y 5
Y= 13
Respuesta: El punto (30,13) es el único punto crítico de f(x,y)= x2 − 5xy + 6y2 + 5x − 6y + 2
EJERCICIO 7.1: los puntos críticos: SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 7.1: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab. Determine todos los puntos críticos de la función siguiente. f(x,y)= x2 − 7xy + 12y2 + 2x − 6y + 9 Un punto interior (a, b), en el dominio de f, es un punto crítico de f si fx(a,b)= fy(a,b)=0 o bien si fx o fy (o ambas) no existen en (a, b).
f
Determine las derivadas parciales x
y
fy
Derivada parcial en X:
f(x,y)= x2 − 7xy + 12y2 + 2x − 6y + 9
fx
= 2x - 7y + 0 + 2 - 0 + 0
fx
= 2x - 7y + 2
Derivada parcial en Y:
f(x,y)= x2 − 7xy + 12y2 + 2x − 6y + 9
fy
= 0 - 7x + 24y + 0 - 6 + 0
fy
= - 7x + 24y - 6
Hay muchas formas de resolver el sistema de ecuaciones. Iguale a cero cada derivada y resuelva el sistema de ecuaciones para x y y.
2x - 7y + 2 = 0 - 7x + 24y - 6 = 0 Resuelva cada ecuación para y e iguale los resultados.
Sustituya el valor de x en una de las expresiones para y.
Respuesta: El punto (6,2) es el único punto crítico de f(x,y)= x2 − 7xy + 12y2 + 2x − 6y + 9
Ejercicio 8: Las dimensiones de una caja: L, W, H : SOLUCIONADO. Se fabrica una caja cuyo material para los lados y la tapa cuesta $0.20 por pie cuadrado y el costo para la base es de $0.25 por pie cuadrado. Determine las dimensiones de una caja que tenga un volumen de 10 pies cúbicos y el costo mínimo. LWH (Redondee a cuatro decimales). Si L es la longitud, W el ancho y H la altura, entonces el área de la superficie está dada por :
S = LW + 2LH + 2WH + LW Recuerde que el volumen de una caja es LWH. En este problema, LWH=10 pies cúbicos. Por lo tanto, remplazo en la formula H = 10/ LW. Sustituya este valor de H en la fórmula para el área de la superficie.
S = LW + 2LH S=LW +2 L(
+ 2WH
10 10 )+2W ( )+ LW LW LW
+ LW
S=LW +
20 20 + + LW W L
Para determinar la función de costo, multiplique cada área por su costo. C(L, W) = 0.20 LW +0.20 C(L, W) = 0.45 LW +
20 20 + 0.20 +0.25 LW W L
4 4 + W L
Ahora, para encontrar el volumen que minimiza el costo, determine todos los valores críticos.
Calcule CL (L,cW) tomando la derivada parcial de C con respecto a L, mantenga a W como una constante. 4
4
CL (L, W) = 0.45 LW + W + L 4 CL (L, W) = 0.45 W +0− L 4 CL(L,cW) = 0.45W - L 2
2
Calcule
CW(L,W) tomando la derivada parcial de C con respecto a W, mantenga a L como una constante.
CW (L, W) = CW (L, W) = CW(L, W)=
4 4 + W L 4 0.45 L− 2 +0 W 4 0.45L - W 2 0.45 LW +
Iguale a cero cada una de las primeras derivadas parciales, CL(L, W) y CW(L, W), esto da lugar a dos ecuaciones con dos incógnitas. Resuelva CL(L, W) para W. 4 0 = 0.45W - L2 4 W = 0.45 L2
Sustituya el valor de W en CW(L, W)=0 para obtener un valor numérico de L, L≈2.0715 pies. Utilice un valor exacto de L para determinar el valor de W. (Con el valor exacto de L evitará cualquier error intermedio de redondeo).
W=
4 0.45 L2 4
W=
4 0.45( ) 0.45
W=
4 2 0.45(2.071488337)
W=
4 0.45(4.291063932) 4 1.930978769
W=
√
2
3
= 2.071488337
W ≈ 2.0715
Respuesta: El punto crítico de C(L, W) es (2.0715, 2.0715). Para determinar si el punto crítico es un punto mínimo, calcule las segundas derivadas CLL, CWW y CLW.
L≈ 2.0715 W ≈ 2.0715 la formula H=10/ LW.
H=10 / ( (2.071488337)( 2.071488337) ). H=10 / (4.29106393). H= 2.33042438. Respuestas correctas: L, W, H
EJERCICIO 8.1: : Las dimensiones de una caja: L, W, H : SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 8: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab. Se fabrica una caja cuyo material para los lados y la tapa cuesta $0.20 por pie cuadrado y el costo para la base es de $0.55 por pie cuadrado. Determine las dimensiones de una caja que tenga un volumen de 20 pies cúbicos y costo mínimo. Si L es la longitud, W el ancho y H la altura, entonces el área de la superficie está dada por :
S = LW + 2LH + 2WH + LW Recuerde que el volumen de una caja es LWH. En este problema, LWH=20 pies cúbicos. Por lo tanto, remplazo en la formula H=20/ LW Sustituya este valor de H en la fórmula para el área de la superficie.
S = LW + 2LH S=LW +2 L( S=LW +
+ 2WH
20 20 )+2W ( )+ LW LW LW
+ LW
40 40 + + LW W L
Para determinar la función de costo, multiplique cada área por su costo. C(L, W) = 0.20 LW +0.20 C(L, W) = 0.75 LW +
40 40 +0.20 +0.55 LW W L
8 8 + W L
Ahora, para encontrar el volumen que minimiza el costo, determine todos los valores críticos.
Calcule CL (L,cW) tomando la derivada parcial de C con respecto a L, mantenga a W como una constante. 8
8
CL (L, W) = 0.75 LW + W + L 8 0.75 W +0− CL (L, W) = L 8 CL(L,cW) = 0.75W - L 2
2
Calcule
CW(L,W) tomando la derivada parcial de C con respecto a W, mantenga a L como una constante. 8 8 + W L 8 0.75 L− 2 +0 W
CW (L, W) = CW (L, W) =
0.75 LW +
8 W2 Iguale a cero cada una de las primeras derivadas parciales, CL(L, W) y CW(L, W), esto da lugar a dos ecuaciones con dos incógnitas. Resuelva CL(L, W) para W. 8 0 = 0.75W - L2 8 W = 0.75 L2 Sustituya el valor de W en CW (L, W) =0 para obtener un valor numérico de L, L≈2.2013 pies. Utilice un valor exacto de L para determinar el valor de W. (Con el valor exacto de L evitará cualquier error intermedio de redondeo).
CW(L, W)= 0.75L -
W= W= W= W= W= W=
8 2 0.75 L 8
√ √
2
8 ) 0.75 8
0.75( 3
2
8 0.75( ) 0.75 8 0.75(2.201284833)2 3
8 0.75(4.845654914) 8 3.634241186
W ≈ 2.2013
= 2.201284832
L
≈ 2. 2013
W ≈ 2. 2013
la formula H = 20/ LW.
H= 20 / ( (2.201284832)( 2.201284832) ). H= 20 / (4.845654912). H= 4.127409063. Respuestas correctas: L, W, H Respuestas correctas: 2. 2013, 2. 2013 , 4.127409063 Respuestas correctas: 2. 2013, 2. 2013 , 4.1274
Respuesta: El punto crítico de C(L, W) es (2.2013, 2.2013). Para determinar si el punto crítico es un punto mínimo, calcule las segundas derivadas CLL, CWW y CLW.
EJERCICIO 8.2: : Las dimensiones de una caja: L, W, H : SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 8: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab. Se fabrica una caja cuyo material para los lados y la tapa cuesta $0.20 por pie cuadrado y el costo para la base es de $0.50 por pie cuadrado. Determine las dimensiones de una caja que tenga un volumen de 30 pies cúbicos y costo mínimo. Si L es la longitud, W el ancho y H la altura, entonces el área de la superficie está dada por :
S = LW + 2LH + 2WH + LW Recuerde que el volumen de una caja es LWH. En este problema, LWH=30 pies cúbicos. Por lo tanto, remplazo en la formula H = 30/ LW Sustituya este valor de H en la fórmula para el área de la superficie.
S = LW + 2LH S=LW +2 L( S=LW +
+ 2WH
30 30 )+2W ( )+ LW LW LW
+ LW
60 60 + + LW W L
Para determinar la función de costo, multiplique cada área por su costo. C(L, W) = 0.20 LW +0.20 C(L, W) = 0.70 LW +
60 60 + 0.20 +0.50 LW W L
12 12 + W L
Ahora, para encontrar el volumen que minimiza el costo, determine todos los valores críticos. Calcule CL (L,cW) tomando la derivada parcial de C con respecto a L, mantenga a W como una constante.
CL (L, W) = CL (L, W) =
12 12 + W L 12 0.70 W +0− 2 L 0.70 LW +
12 2 L
CL(L,cW) = 0.70W Calcule
CW(L,W) tomando la derivada parcial de C con respecto a W, mantenga a L como una constante. 12 12 + W L 12 0.70 L− 2 + 0 W
CW (L, W) = CW (L, W) =
0.70 LW +
12 2 W
CW(L, W)= 0.70L -
Iguale a cero cada una de las primeras derivadas parciales, CL(L, W) y CW(L, W), esto da lugar a dos ecuaciones con dos incógnitas. Resuelva CL(L, W) para W. 12 0 = 0.70W - L2 12 W = 0.70 L2 Sustituya el valor de W en CW (L, W) =0 para obtener un valor numérico de L, L≈2.2013 pies. Utilice un valor exacto de L para determinar el valor de W. (Con el valor exacto de L evitará cualquier error intermedio de redondeo).
W= W= W= W= W=
12 2 0.70 L 12
√
2
12 ) 0.70 12 0.70(2.578463979)2 0.70(
3
12 0.70(6.64847649) 12 4.653933543
= 2.578463979
W ≈ 2.5785 la formula H=30/ LW.
H= 30 / ( (2.578463979)( 2.578463979) ). H= 30 / (6.64847649). H= 4.512311963.
Respuestas correctas: L, W, H Respuestas correctas: 2. 5785, 2.5785, 4.512311963 Respuestas correctas: 2. 5785, 2.5785, 4.5123
Respuesta: El punto crítico de C(L, W) es (2.5785, 2.5785). Para determinar si el punto crítico es un punto mínimo, calcule las segundas derivadas CLL, CWW y CLW.
EJERCICIO 8.3: : Las dimensiones de una caja: L, W, H : SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 8: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab. Se fabrica una caja cuyo material para los lados y la tapa cuesta $0.20 por pie cuadrado y el costo para la base es de $0.75 por pie cuadrado. Determine las dimensiones de una caja que tenga un volumen de 15 pies cúbicos y costo mínimo. Si L es la longitud, W el ancho y H la altura, entonces el área de la superficie está dada por :
S = LW + 2LH + 2WH + LW Recuerde que el volumen de una caja es LWH. En este problema, LWH=15 pies cúbicos. Por lo tanto, remplazo en la formula H=15/ LW Sustituya este valor de H en la fórmula para el área de la superficie.
S = LW + 2LH
+ 2WH
15 15 S=LW +2 L( )+2W ( )+ LW LW LW S=LW +
+ LW
30 30 + + LW W L
Para determinar la función de costo, multiplique cada área por su costo. C(L, W) = 0.20 LW +0.20 C(L, W) = 0.95 LW +
30 30 + 0.20 +0.75 LW W L
6 6 + W L
Ahora, para encontrar el volumen que minimiza el costo, determine todos los valores críticos. Calcule CL (L,cW) tomando la derivada parcial de C con respecto a L, mantenga a W como una constante. 6
6
CL (L, W) = 0.95 LW + W + L 6 CL (L, W) = 0.95 W +0− L 6 CL(L,cW) = 0.95W - L 2
2
Calcule
CW(L,W) tomando la derivada parcial de C con respecto a W, mantenga a L como una constante.
6 6 + W L 6 0.95 L− 2 +0 W
CW (L, W) = CW (L, W) =
0.95 LW +
6 W2 Iguale a cero cada una de las primeras derivadas parciales, CL(L, W) y CW(L, W), esto da lugar a dos ecuaciones con dos incógnitas. Resuelva CL(L, W) para W. 6 0 = 0.95W - L2 6 W = 0.95 L2 Sustituya el valor de W en CW (L, W) =0 para obtener un valor numérico de L, L≈2.2013 pies. Utilice un valor exacto de L para determinar el valor de W. (Con el valor exacto de L evitará cualquier error intermedio de redondeo).
CW(L, W)= 0.95L -
W= W= W= W= W= W=
6 0.95 L2 6 0.95(
√ √
2
6 ) 0.95 8
3
2
6 0.95( ) 0.95 6 0.95(1.848456416)2 3
6 0.95(3.416791123) 6 3.245951567
= 1.848456416
W ≈ 1.8485
L
≈1. 8485
W ≈1. 8485
la formula H=15/ LW.
H= 15 / ( (1.848456416)( 1.848456416) ). H= 15 / (3.416791122).
H= 4.390083989. Respuestas correctas: L, W, H Respuestas correctas: 1.8485, 1.8485 , 4.390083989 Respuestas correctas: 1.8485, 1.8485 , 4.3901
Respuesta: El punto crítico de C(L, W) es (1.8485, 1.8485). Para determinar si el punto crítico es un punto mínimo, calcule las segundas derivadas CLL, CWW y CLW.
EJERCICIO 9.1: Puntos críticos. los extremos relativos de la función. SOLUCIONADO. EXPLICO el profesor Google meet.
Para hallar el punto critico es la primera derivada con respecto x , y con respecto a y, y luego se iguala a cero f(x,y) =xy -x +y La derivada parcial en X, todos los términos solo con letra Y, queda en cero
f(x,y) =xy - x +y fx = y - 1 +0 fx =y -1
La derivada parcial en Y, todos los términos solo con letra X, queda en cero
f(x,y) =xy - x + y fy =x -0+1 fy =x +1 ahora cada derivada la igualo a cero Remplazo fx por el cero
Remplazo fy por el cero Fy= x+1 0 = x+1 X = -1
Fx= y-1 0 = y-1 Y = 1 SOLUCION: El punto critico es: punto(x,y) = (-1,1) Adicional, si quiero saber los extremos relativos de la función. si quiero saber si es mínimo o máximo o punto de silla Se realiza la segunda deriva.
Estos valores se remplazan en la siguiente fórmula para calcular el determinante D.
D( x, y) = fxx(x,y) fyy(x,y) – ( fxy(x,y) ) 2 D( x, y) = 0 0 – ( 1 )2 D( x, y) = – 1 D= -1 Es punto silla porque el determinante D= -1
Es punto silla porque el determinante D= -1 EJERCICIO 9.2: Puntos críticos. los extremos relativos de la función. SOLUCIONADO.
Para hallar el punto critico es la primera derivada con respecto x , y con respecto a y, y luego se iguala a cero f(x,y) = -x2 -9y2 -13 La derivada parcial en X, todos los términos solo con letra Y, queda en cero
f(x,y) = - x2 -9y2 -13 fx = - 2x - 0 - 0 fx = - 2x
La derivada parcial en Y, todos los términos solo con letra X, queda en cero
f(x,y) = - x2 -9y2 - 13 fy = - 0 -18y - 0 fy = -18y
ahora cada derivada la igualo a cero
Remplazo fx por el cero
Remplazo fy por el cero Fy= -18y 0/18 = y Y = 0
Fx= -2x 0/2 = x X = 0 SOLUCION: El punto critico es: punto(x,y) = (0, 0) Adicional, si quiero saber los extremos relativos de la función. si quiero saber si es mínimo o máximo o punto de silla Se realiza la segunda deriva. Fxx= -2
fyy= -18 fxy=0
fyx=0
Estos valores se remplazan en la siguiente fórmula para calcular el determinante D.
D( x, y) = fxx(x,y) fyy(x,y) – ( fxy(x,y) ) 2 D( x, y) = -2 -18 – ( 0 ) 2 D( x, y) = 36 – 0 D= 36 Es un maximo relativo porque el determinante D=36 D>0 porque 36 > 0 fxx(x,y) >0 porque -2 < 0
Es un maximo relativo porque el determinante D=36
Para determinar f(x), resuelva la ecuación x+y=4 para y. Sustituya el resultado en la primera ecuación y simplifique. Por lo tanto, f(x)=−10x2+72x−157. Para determinar el punto crítico, resuelva f′(x)=0 para ubicar la coordenada x del punto crítico. Luego, sustituya el resultado en la ecuación x+y=4 y resuelva para y. Por lo tanto, el punto crítico es (18/5, 2/5). Finalmente, utilice la prueba de la segunda derivada para determinar que f(x) tiene un máximo relativo en (18/5, 2/5).
EJERCICIO 10 : método de multiplicadores de Lagrange: puntos críticos : SOLUCIONADO. Determine, por el método de multiplicadores de Lagrange, los puntos críticos de la función sujeta a la restricción dada. f(x,y)=x2+24y2+4; 8x−24y=32 Primero escriba la restricción dada en la forma g(x,y)=0. Reste el término constante de ambos lados para poner esta ecuación en la forma deseada. 8x−24y−32=0 Utilice f(x,y) y g(x,y) para escribir la función F(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y).
F(x,y,λ) = f (x,y) – λg (x,y) .
= x2 + 24y2 + 4 – λ (8x − 24y − 32) = x2 + 24y2 + 4 – 8x λ + 24y λ + 32 λ Determine la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con respecto a x. F(x,y,λ) = x2 + 24y2 + 4 – 8x λ + 24y λ + 32 λ Fx =2x + 0 + 0 − 8λ + 0 +0 Fx =2x − 8λ
Determine la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con respecto a y. F(x,y,λ) = x2 + 24y2 + 4 – 8x λ + 24y λ + 32 λ Fy
= 0 + 48y
Fy
= 48y + 24λ
+0-
0
+ 24λ + 0
Determine la primera derivada parcial de F(x,y,λ) = x2 + 24y2 + 4 – λ (8x − 24y
− 32)
con respecto a λ. F(x,y,λ) = x2 + 24y2 + 4 – 8x λ + 24y λ + 32 λ F(x,y,λ) = 0 + 0 + 0 – 8x + 24y + 32 Fλ= −8x + 24y + 32 Iguale a cero cada una de las derivadas y resuelva el sistema de ecuaciones resultante para X y Y. Comience con Fx=0. Fx=0. 2x− 8λ = 0 X = 8λ /2 X = 4λ Ahora, resuelva Fy=0 para y. Fy=0. 48y + 24λ =0 y=-
24 48
λ
y=-
λ
1 2
Sustituya x=4λ y y=−1/2 λ en Fλ=−8x+24y+32=0 y resuelva para λ. −8x
+ 24y
−8(4λ) + 24(−32λ - 12 λ
+ 32 = 0 1 2
λ) + 32 = 0 Sustituya = - 32
−44λ
Utilice λ=
8 11
= - 32
λ
= - 32 / - 44
λ
=
8 11
para determinar los valores de x y y. 8 11
Primero determine el valor de x. Sustituya λ en x=5λ y simplifique si es necesario.
en lugar de
X=4λ x=4(
x=
8 11 32 11
)
8
Ahora determine el valor de y. Sustituya 11 λ en y=−12λ y simplifique si es necesario.
en lugar de
Y = - 12 λ y = - 12 ( 118 ) 8 y= - 22 simplificando 4 y= - 11 Respuesta: Por lo tanto, el punto crítico de la función es (
32 4 ,− 11 11
)
EJERCICIO 10.1: método de multiplicadores de Lagrange: puntos críticos:10.1: SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 10: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab. Determine, por el método de multiplicadores de Lagrange, los puntos críticos de la siguiente función sujeta a la restricción dada.
f(x,y)=x2+20y2+7; 10x−20y=30 Primero escriba la restricción dada en la forma g(x,y)=0. Reste el término constante de ambos lados para poner esta ecuación en la forma deseada. 10x−20y−30=0 Utilice f(x,y) y g(x,y) para escribir la función F(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y).
F(x,y,λ) = f (x,y) – λg (x,y) .
= x2 + 20y2 + 7 – λ (10x − 20y − 30) Determine la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con respecto a x. Fx=2x−10λ Determine la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con respecto a y. Fy=40y+20λ Determine la primera derivada parcial de F(x,y,λ)=x2+20y2+7−λ(10x−20y−30) con respecto a λ. Fλ= −10x + 20y + 30
Iguale a cero cada una de las derivadas y resuelva el sistema de ecuaciones resultante para x y y. Comience con Fx=0. Fx=0. 2x−10λ=0 X = 5λ Ahora, resuelva Fy=0 para y. Fy=0. 40y+20λ=0 y=-
1 2
λ
Sustituya x=5λ y y=−1/2 λ en Fλ=−10x+20y+30=0 y resuelva para λ. −10x
+ 20y
−10(5λ) + 20(-
+ 30 = 0 1 2
λ) + 30 = 0 Sustituya
−50λ - 10 λ
= - 30 −60λ
= - 30
Utilice λ=
1 2
λ
= - 30 / -60
λ
=
1 2
para determinar los valores de x y y. 1 2
Primero determine el valor de x. Sustituya λ en x=5λ y simplifique si es necesario.
en lugar de
X=5λ x=5(
x=
1 2
)
5 2 1
Ahora determine el valor de y. Sustituya 2 λ en y=−12λ y simplifique si es necesario.
en lugar de
Y = - 12 λ y = - 12 ( 12 ) 1 y= − 4 Respuesta: Por lo tanto, el punto crítico de la función es (
5 1 ,− 2 4
)
EJERCICIO 11.1 : método de multiplicadores de Lagrange: La función a maximizar: SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 11.1: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab.
La función de producción de Cobb-Douglas para un artículo en particular es N(x, y)=60x0.7y0.3, donde X es el número de unidades de mano de obra y Y es el número de unidades de capital requeridas para producir N(x, y) unidades del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $80 y cada unidad de capital cuesta $120. Utilice el método de multiplicadores de Lagrange. La función a maximizar está dada por N(x,y)=60x0.7y0.3 Multiplicadores de Lagrange Todos los extremos relativos de la función z=f(x,y) sujeta a una restricción g(x,y)=0 se encontrarán en aquellos puntos (x,y) para los cuales exista un valor de λ tal que se cumpla lo siguiente, suponiendo que las derivadas parciales existen. Fx(x,y,λ)=0, Fy(x,y,λ)=0, Fλ(x,y,λ)=0 donde
F(x,y,λ) = f(x,y) – λ g(x,y) , Determine la ecuación de la restricción. Tenemos que $400,000 es el presupuesto para la producción. Utilice a X como el costo de la mano de obra y a Y como el costo del capital, configure la ecuación de la restricción. Este costo total es la suma del costo de la mano de obra y el costo del capital. $400,000 = 80x + 120y
Reescriba la restricción $400,000=80x+120y en la forma g(x,y)=0. 80x + 120y − 400,000 = 0 Por lo tanto, f(x,y) = N(x,y) = 60x0.7y0.3 y g(x,y) = 80x + 120y − 400,000. Si están presupuestados $400,000 para la producción del artículo, determine cómo debe distribuirse esta cantidad para maximizar la producción. Nuestro objetivo es maximizar N(x,y)=60x0.7y0.3 sujeta a 80x+120y−400,000=0. F(x,y, λ ) = f(x,y) - λ g(x,y) F(x,y, λ ) = 60x0.7y0.3 – λ( 80x+120y−400,000)
Determine la primera derivada parcial de F con respecto a X, los términos que no tengan la variable X queda en cero. F(x,y, λ ) = 60x0.7y0.3 – λ( 80x +120y − 400,000) F(x,y, λ ) = 60x0.7y0.3 – 80xλ - 120yλ + 400,000 λ F(x,y, λ ) = 60x0.7y0.3 – 80xλ - 0
+0
Fx(x,y, λ ) =(0.7) 60x0.7-1 y0.3 – 80 λ Fx(x,y, λ ) = 42 x-0.3 y0.3 – 80 λ
Determine la primera derivada parcial de F con respecto a Y, los términos que no tengan la variable Y queda en cero. F(x,y, λ ) = 60x0.7y0.3 – λ( 80x + 120y − 400,000) F(x,y, λ ) = 60x0.7y0.3 – 80xλ - 120yλ + 400,000 λ F(x,y, λ ) = 60x0.7y0.3 – 0
- 120 λ +
Fy(x,y, λ ) = (0.3) 60x0.7 y0.3-1
– 120 λ
0
Fy(x,y, λ ) = 18 x0.7 y-0.7 – 120 λ
Determine la primera derivada parcial de F con respecto a λ, , los términos que no tengan la variable λ queda en cero. F(x,y, λ ) = 60x0.7y0.3 – λ( 80x + 120y − 400,000) F(x,y, λ ) = 60x0.7y0.3 – 80xλ - 120yλ + 400,000 λ Fλ (x,y, λ ) = 0 Fλ (x,y, λ ) = –
–
80 x - 120y +
80 x - 120y +
400,000
400,000
Podemos determinar los puntos críticos igualando a cero todas las primeras derivadas parciales y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, como se muestra a continuación.
–
42 x-0.3 y0.3 – 80 λ = 0 Ecuación 1 18 x0.7 y-0.7 – 120 λ = 0 Ecuación 2 80 - 120y + 400,000= 0 Ecuación 3
En la Ecuación 1 despejo despeja la variable λ. Resuelva la ecuación 42x−0.3y0.3−80λ=0 para λ. Se despeja la variable λ. 42 x-0.3 y0.3 – 80 λ = 0 42 x-0.3 y0.3 = 80 λ 42 x −0.3 y 0.3 =λ 80
Bajo la variables x-0.3 al denominador y simplifico los números: 21 y 0.3 =λ 40 x 0.3
En la Ecuación 2 despejo despeja la variable λ. Resuelva la ecuación 18 x0.7 y-0.7 – 120 λ = 0 para λ. Se despeja la variable λ. 18 x0.7 y-0.7 18 x0.7 y-0.7
– 120 λ = 0 = 120 λ
0.7
−0.7
18 x y 120
=λ
Bajo la variables y-0.7 al denominador y simplifico los números: 3 x 0.7 =λ 20 y 0.7
Igualo las dos ecuaciones 1 y 2, donde despeje la variable λ Utilizando las dos ecuaciones anteriores, tenemos λ ecuación 1 = λ ecuación 2 21 y 0.3 3 x 0.7 = 40 x 0.3 20 y 0.7
21y0.3 (20y0.7) = 3x0.7 (40x0.3) 21(20)y0.3+0.7 = 3(40)x0.7+0.3 420y = 120 x 420y /120 = x 7 y=x 2
Resuelva la ecuación para x en términos de y.
x=
7 y 2
Sustituyendo
−80x −80(
x=
7 y 2
en lugar de x en la ecuación
−120y + 400,000 =0, se obtiene 7 y 2
)
−120y + 400,000 =0.
−280y −400y
−120y + 400,000 =0. +400,000 = 0. +400,000 = 400y 400,000 / 400 = y 1000 = y
Resuelva esta ecuación para y para determinar el valor de y.
y = 1000 Ahora, sustituya y=1,000 en lugar de y en la ecuación 7 x= 2 y para determinar el valor de x.
x=
7 y 2
x= x=
7 (1000) 2 3500
Respuesta: La función N(x,y)=60x0.7y0.3 tiene un punto crítico en (3,500, 1,000). Cómo la función tiene un único punto crítico, suponemos que este punto debe ser el máximo. Así, la producción deberá ser máxima cuando se utilicen: 3,500 unidades de mano de obra y 1,000 de capital.
EJERCICIO 11.2 : método de multiplicadores de Lagrange: La función a maximizar: SOLUCIONADO. DE AYUDA DEL PUNTO 11.1: Es un ejercicio similar o parecido explicado paso a paso por la plataforma mymatlab.
La función de producción de Cobb-Douglas para un artículo en particular es N(x, y)=80x0.7y0.3, donde X es el número de unidades de mano de obra y Y es el número de unidades de capital requeridas para producir N(x, y) unidades del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $40 y cada unidad de capital cuesta $120. Utilice el método de multiplicadores de Lagrange. La función a maximizar está dada por N(x,y)=80x0.7y0.3 Multiplicadores de Lagrange Todos los extremos relativos de la función z=f(x,y) sujeta a una restricción g(x,y)=0 se encontrarán en aquellos puntos (x,y) para los cuales exista un valor de λ tal que se cumpla lo siguiente, suponiendo que las derivadas parciales existen. Fx(x,y,λ)=0, Fy(x,y,λ)=0, Fλ(x,y,λ)=0 donde
F(x,y,λ) = f(x,y) – λ g(x,y) , Determine la ecuación de la restricción. Tenemos que $400,000 es el presupuesto para la producción. Utilice a X como el costo de la mano de obra y a Y como el costo del capital, configure la ecuación de la restricción. Este costo total es la suma del costo de la mano de obra y el costo del capital. $400,000 = 40x + 120y
Reescriba la restricción $400,000=40x+120y en la forma g(x,y)=0. 40x + 120y − 400,000 = 0 Por lo tanto, f(x,y) = N(x,y) = 80x0.7y0.3 y g(x,y) = 40x + 120y − 400,000. Si están presupuestados $400,000 para la producción del artículo, determine cómo debe distribuirse esta cantidad para maximizar la producción. Nuestro objetivo es maximizar N(x,y)=80x0.7y0.3 sujeta a 40x+120y−400,000=0. F(x,y, λ ) = f(x,y) - λ g(x,y) F(x,y, λ ) = 80x0.7y0.3 – λ( 40x+120y−400,000)
Determine la primera derivada parcial de F con respecto a X, los términos que no tengan la variable X queda en cero. F(x,y, λ ) = 80x0.7y0.3 – λ( 40x + 120y − 400,000) F(x,y, λ ) = 80x0.7y0.3 – 40xλ - 120yλ + 400,000 λ F(x,y, λ ) = 80x0.7y0.3 – 40xλ
-0
+0
Fx(x,y, λ ) =(0.7) 80x0.7-1 y0.3 – 40 λ Fx(x,y, λ ) = 56 x-0.3 y0.3 – 40 λ
Determine la primera derivada parcial de F con respecto a Y, los términos que no tengan la variable Y queda en cero. F(x,y, λ ) = 80x0.7y0.3 – λ( 40x + 120y − 400,000) F(x,y, λ ) = 80x0.7y0.3 – 40xλ - 120yλ + 400,000 λ F(x,y, λ ) = 80x0.7y0.3 – 0
- 120 λ +
Fy(x,y, λ ) = (0.3) 80x0.7 y0.3-1
– 120 λ
0
Fy(x,y, λ ) = 24 x0.7 y-0.7 – 120 λ
Determine la primera derivada parcial de F con respecto a λ, , los términos que no tengan la variable λ queda en cero. F(x,y, λ ) = 80x0.7y0.3 – λ( 40x + 120y − 400,000) F(x,y, λ ) = 80x0.7y0.3 – 40xλ - 120yλ + 400,000 λ Fλ (x,y, λ ) = 0 Fλ (x,y, λ ) = –
–
40 x - 120y +
40 x - 120y +
400,000
400,000
Podemos determinar los puntos críticos igualando a cero todas las primeras derivadas parciales y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, como se muestra a continuación.
–
56 x-0.3 y0.3 – 40 λ = 0 Ecuación 1 24 x0.7 y-0.7 – 120 λ = 0 Ecuación 2 40 - 120y + 400,000= 0 Ecuación 3
En la Ecuación 1 despejo despeja la variable λ. Resuelva la ecuación 56x−0.3y0.3 − 40λ =0 para λ. Se despeja la variable λ. 56 x-0.3 y0.3 – 40 λ = 0 56 x-0.3 y0.3 = 40 λ 56 x−0.3 y 0.3 =λ 40
Bajo la variables x-0.3 al denominador y simplifico los números: 7 y 0.3 =λ 5 x 0.3
En la Ecuación 2 despejo despeja la variable λ. Resuelva la ecuación 24 x0.7 y-0.7 – 120 λ = 0 para λ. Se despeja la variable λ. 24 x0.7 y-0.7 24 x0.7 y-0.7
– 120 λ = 0 = 120 λ
0.7
24 x y 120
−0.7
=λ
Bajo la variables y-0.7 al denominador y simplifico los números: 1 x 0.7 =λ 5 y 0.7
Igualo las dos ecuaciones 1 y 2, donde despeje la variable λ Utilizando las dos ecuaciones anteriores, tenemos λ ecuación 1 = λ ecuación 2 7 y 0.3 1 x 0.7 = 5 x 0.3 5 y 0.7
7 y0.3 (5 y0.7) = 1 x0.7 (5 x0.3) 7 (5) y0.3+0.7 = 1(5) x0.7+0.3 35y = 5 x 35y /5 = x 7 y=x
Resuelva la ecuación para x en términos de y.
x=
7y
Sustituyendo
−40x −40(
x=
7y
en lugar de x en la ecuación
−120y + 400,000 =0, se obtiene 7y
)
−120y + 400,000 =0.
−280y −400y
−120y + 400,000 =0. +400,000 = 0. +400,000 = 400y 400,000 / 400 = y 1000 = y
Resuelva esta ecuación para y para determinar el valor de y.
y = 1000 Ahora, sustituya y=1,000 en lugar de y en la ecuación x= 7 y para determinar el valor de x.
x= x= x=
7y
7(1000)
7000
Respuesta: La función N(x,y)=60x0.7y0.3 tiene un punto crítico en (7000, 1,000). Cómo la función tiene un único punto crítico, suponemos que este punto debe ser el máximo. Así, la producción deberá ser máxima cuando se utilicen: 7,000 unidades de mano de obra y 1,000 de capital.
EJERCICIOS DEL LIBRO Ejercicio 1 pagina 801 libro Haeussler 13 edicion Ejercicios del libro de LIBRO Haeussler, E. (2015), Matemáticas para administración y economía. PEARSON: Mexico. Décimo tercera edición. PAGINA 801 esta el ejercicio. Encuentre los puntos críticos para z = f (x, y) = 3x − y + 6 sujeta a la restricción x2 + y2 = 4. Solución: La restricción se escribe como g(x, y) = x2 + y2 − 4 = 0 y se construye la función F(x, y, ) = f (x, y) − λ g(x, y) F(x, y,) = 3x − y + 6 − λ (x2 + y2 − 4) Determine la primera derivada parcial de F con respecto a X, los términos que no tengan la variable X queda en cero. F(x,y, λ ) = 3x − y + 6 − λ (x2 + y2 − 4 ) F(x,y, λ ) = 3x - y + 6 – x2 λ – y2 λ + 4 λ Fx (x,y, λ ) = 3 - 0 Fx(x,y, λ ) = 3
+ 0 - 2x λ – 0
- 2x λ
+0
Determine la primera derivada parcial de F con respecto a Y, los términos que no tengan la variable Y queda en cero. F(x,y, λ ) = 3x − y + 6 − λ (x2 + y2 − 4 ) F(x,y, λ ) = 3x - y + 6 – x2 λ – y2 λ + 4 λ – 2y λ + 0
Fy (x,y, λ ) = 0 - 1 + 0 - 0 Fy(x,y, λ ) = -1
- 2y λ
Determine la primera derivada parcial de F con respecto a λ, , los términos que no tengan la variable λ queda en cero. F(x,y, λ ) = 3x − y + 6 − λ (x2 + y2 − 4 ) F(x,y, λ ) = 3x - y + 6 – x2 λ – y2 λ + 4 λ Fy (x,y, λ ) = 0 - 0 + 0 – Fλ (x,y, λ ) = –
x2 – y2 + 4
x2 – y2 + 4
Al hacer Fx = Fy = Fβ = 0, resulta: 3 − 2x λ = 0 −1 − 2y λ = 0 −x2 − y2 + 4 = 0
(12) (13) (14)
A partir de las ecuaciones (12) y (13), es posible expresar x y y en términos de λ. Después se sustituyen los valores de x y y en la ecuación (14) y se despeja λ. Al conocer λ, es posible encontrar x y y. Para comenzar, a partir de las ecuaciones (12) y (13), se tiene
Ecuación 12 en términos de λ. Ecuación 13 en términos de λ. 3 1 X= 2 λ Y= 2 λ
Al sustituir en la ecuación (14), se obtiene
−x2 − y2 + 4 = 0 (14) 3 1 - ( 2 λ )2 – ( 2 λ )2 + 4 = 0 9 1 - 4λ – 4λ +4 =0 2
2
–
10 4 λ2
=-4
–
10 4 λ2
=-4
-
10 10 10 16
= - 4 ( 4λ ¿ = -16 λ = λ
λ
=
λ
= +-
2
2
2
√
10 16
√ 10 4
Con estos valores de λ, se puede encontrar a x y y. Cuando calculo x , y con el símbolo positivo. Si λ = √ 10 /4, entonces:
Remplazo λ = 3 X= 2 λ X=
3/1 √ 10 ) 2( 4
=
√ 10
/4
3 √ 10 5
Remplazo λ = 1 Y= 2 λ X=
1/ 1 √ 10 ) 2( 4
=-
√ 10
/4
√ 10 5
Ahora con el negativo Si λ = - √ 10 /4, entonces:
Remplazo λ = 3 X= 2 λ X=
3/1 −√ 10 2( ) 4
=-
√ 10
3 √ 10 5
/4
Remplazo λ = 1 Y= 2 λ X=
1/1 −√ 10 2( ) 4
=
/4
√ 10
√10 5
Así, los puntos críticos de f, sujetos a la restricción, son (3 √ 10 /5,− √ 10 /5) y (−3 √ 10 /5,_ √ 10 /5). Observe que los valores de λ no aparecen en la respuesta; son sólo un medio para obtener la solución.
Ejercicio 2 pagina 801 libro Haeussler 13 edicion Ejercicios del libro de LIBRO Haeussler, E. (2015), Matemáticas para administración y economía. PEARSON: Mexico. Décimo tercera edición. PAGINA 801 esta el ejercicio.
Encuentre los puntos críticos para z = f (x, y, z) = xyz, donde xyz diferente de cero, sujeta a la restricción x + 2y + 3z =36 Solución: F(x, y, ) = f (x, y) − λ g(x, y) F(x, y,) = xyz − λ (x + 2y + 3z -36 ) Determine la primera derivada parcial de F con respecto a X, los términos que no tengan la variable X queda en cero. F(x,y, λ ) = xyz − λ (x + 2y + 3z -36 ) F(x,y, λ ) = xyz – x λ – 2y λ – 3z λ + 36 λ Fx (x,y, λ ) = yz - λ Fx(x,y, λ ) = yz -
– 0
– 0
+ 0
λ
Determine la primera derivada parcial de F con respecto a Y, los términos que no tengan la variable Y queda en cero. F(x,y, λ ) = xyz − λ (x + 2y + 3z -36 ) F(x,y, λ ) = xz – 0 – 2 λ – 3z λ + 36 λ Fy (x,y, λ ) = xz - 0 Fy(x,y, λ ) = xz
– 2λ– 0
+0
- 2 λ
Determine la primera derivada parcial de F con respecto a Z, los términos que no tengan la variable Z queda en cero. F(x,y, λ ) = xyz − λ (x + 2y + 3z - 36 )
– 0 – 2 λ – 3z λ + 36 λ
F(x,y, λ ) = xz
FZ (x,y, λ ) = xy - 0 – 0
– 3λ +0
- 3 λ
FZ (x,y, λ ) = xy
Determine la primera derivada parcial de F con respecto a λ, , los términos que no tengan la variable λ queda en cero. F(x,y, λ ) = xyz − λ (x + 2y + 3z -36 ) F(x,y, λ ) = xyz – x λ – 2y λ – 3z λ + 36 λ x – 2y – 3z
Fy (x,y, λ ) = 0 – Fλ (x,y, λ ) = –
x – 2y – 3z
+ 36
+ 36
Al hacer Fx = Fy = Fβ = 0, resulta: yz -
λ
xz - 2 λ
=0 =0 =0
xy - 3 λ – x – 2y – 3z + 36 = 0
Puesto que no es posible expresar directamente a x, y Yy z sólo en términos de λ, no se puede seguir el procedimiento usado en el ejemplo 1. Sin embargo, observe que los productos yz, xz y xy pueden expresarse como múltiplos de λ. Esto sugiere que, por observación de los cocientes de las ecuaciones, es posible obtener una relación entre dos variables que no contengan a λ. (Las λ se cancelarán). Para hacerlo, el sistema anterior se escribe como: yz xz
=λ =2 λ
(15) (16)
(17) + x + 2y + 3z - 36 = 0 (18) xy
=3 λ
Ahora remplazo y, z , en la ecuación 19 + x + 2y + 3z - 36 = 0 (19) x
x
x + 2( 2 ) + 3( 3 ) - 36 = 0 x+ x + x - 36 =0 3x = 36 x
= 36 /3
x
= 12
Ejercicio 3 pagina 801 libro Haeussler 13 edición: minimización de costos. Suponga que una empresa ha recibido un pedido por 200 unidades de su producto y desea distribuir su fabricación entre dos de sus plantas, planta 1 y planta 2. Sean q1 y q2 las producciones de las plantas 1 y 2, respectivamente, y suponga que la función de costo total está dada por c = f (q1, q2) = 2q2
q1q2 + q2 2 + 200. ¿Cómo debe distribuirse la producción para minimizar los costos? Solución: Se minimiza c = f (q1, q2), dada la restricción q1 + q2 = 200. Se tiene F(q1, q2, _) = 2q2 1 + q1q2 + q2 2 + 200 − _(q1 + q2 − 200) _F _q1 = 4q1 + q2 − _ = 0 (19) 1+
___________ __________ _F _q2 = q1 + 2q2 − _ = 0 (20) _F __ = −q1 − q2 + 200 = 0 (21)
EJERCICIO 14: Puntos críticos. SOLUCIONADO. Para hallar el punto critico es la primera derivada con respecto x , y con respecto a y, y luego se iguala a cero f(x,y) = xy -10x +5y La derivada parcial en X, todos los términos solo con letra Y, queda en cero
f(x,y) = xy -10x +5y fx = y - 10 - 0 fx = y - 10
La derivada parcial en Y, todos los términos solo con letra X, queda en cero
f(x,y) = xy -10x +5y fy = x -0 +5 fy = x+5
ahora cada derivada la igualo a cero
Remplazo fx por el cero
Remplazo fy por el cero Fy= x+5 -5 = x x = -5
Fx= y- 10 10 = y y = 10 SOLUCION: El punto critico es: punto(x,y) = (-5, 10)
EJERCICIO 13: Puntos críticos. SOLUCIONADO
la derivada parcial en x es : 18 -14x -y remplazando x=10 y =4 18 -14x -y 18 -14(10) -(4) 18-140-4 18-144 Respuesta= -126
LIBRO Haeussler 13 edicion: EJERCICIO 1 capitulo 17.7 : método de multiplicadores de Lagrange: puntos críticos : SOLUCIONADO. Determine, por el método de multiplicadores de Lagrange, los puntos críticos de la función sujeta a la restricción dada. f(x,y)=x2+4y2+6 ; 2x-8y=20 PASO 1: Primero escriba la restricción dada en la forma g(x,y)=0. Reste el término constante de ambos lados para poner esta ecuación en la forma deseada. 2x-8y-20=0 PASO 2: Utilice f(x,y) y g(x,y) para escribir la función F(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y).
F(x,y,λ) = f (x,y) – λg (x,y) .
= x2 + 4y2 + 6 – λ (2x - 8y
– 20)
= x2 + 4y2 + 6 – 2x λ +8y λ + 20 λ PASO 3: Determine
la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con
respecto a x. F(x,y,λ) = x2 + 4y2 + 6 – 2x λ +8y λ + 20 λ Fx = 2x + 0 +0 – 2λ + 0 +0 Fx = 2x − 2λ PASO 4: Determine
la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con respecto a y. F(x,y,λ) = x2 + 4y2 + 6 – 2x λ +8y λ + 20 λ
Fy Fy
= 0 + 8y +0 – 0 +8λ + 0 = 8y + 8 λ PASO 5: Determine la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con respecto a λ.. F(x,y,λ) = x2 + 4y2 + 6 – 2x λ +8y λ + 20 λ F(x,y,λ) = 0 + 0 +0 – 2x +8y + 20 Fλ= – 2x +8y + 20
PASO 6: Igualo
a cero cada una de las derivadas y resuelva el sistema de ecuaciones resultante para X y Y. PASO 7: Comience
con Fx=0.
Fx=0. 2x − 2λ = 0 2λ = 2x λ = x ecuación 1 PASO 8: Ahora,
resuelva Fy=0 para y.
Fy=0. 8y + 8 λ = 0 8λ = - 8y λ = -8y/8 λ = - y ecuación 2
PASO 9: igualo
ecuación 1 con ecuación 2 λ = x ecuación 1 λ = -y ecuación 2 x = -y x = -y x=-y
PASO 10: EN LA ECUACION restricción remplazo los valores
2x-8y =20 2x-8y -20=0 remplazo los valores x=-y 2x - 8y - 20 = 0 2(-y) - 8y - 20 = 0 -2y - 8y -20 = 0 -10y -20 = 0 y = 20 y = 20/-10 y= -2 PASO 11: Para la ecuación
x=-y remplazo y=
-2
x= -y x= - (-2) x= 2
Respuesta: Por lo tanto, el punto crítico de la función es (
2 ,−2
)
LIBRO Haeussler 13 edicion: EJERCICIO 3 capitulo 17.7 : método de multiplicadores de Lagrange: puntos críticos : SOLUCIONADO. Determine, por el método de multiplicadores de Lagrange, los puntos críticos de la función sujeta a la restricción dada. f(x,y)=x2 + y2 + z2 ; 2x + y -z = 9 PASO 1: Primero escriba la restricción dada en la forma g(x,y)=0. Reste el término constante de ambos lados para poner esta ecuación en la forma deseada. 2x + y -z - 9=0 PASO 2: Utilice f(x,y) y g(x,y) para escribir la función F(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y).
F(x,y,λ) = f (x,y) – λg (x,y) .
= x2 + y2 + z2 – λ (2x + y
-z - 9)
= x2 + y2 + z2 – 2x λ – y λ + z λ + 9 λ PASO 3: Determine
la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con
respecto a x. F(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 – 2x λ – y λ + z λ + 9 λ
Fx Fx
= 2x + 0 +0 = 2x − 2λ
– 2λ
– 0
+0 +0
PASO 4: Determine
la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con respecto a y. F(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 – 2x λ – y λ + z λ + 9 λ Fy = 0 + 2y +0 – 0 – λ +0 +0 Fy = 2y – λ PASO 5: Determine
la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con respecto a z. F(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 – 2x λ – y λ + z λ + 9 λ Fz = 0 +0 + 2z – 0 – 0 + λ + 0 Fz = 2z + λ PASO 6: Determine
la primera derivada parcial de F(x,y,λ)
con respecto a λ.. F(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 – 2x λ – y λ + z λ + 9 λ F(x,y,λ) = 0 + 0
+0 – 2x – y + z – 2x – y + z +9
Fλ= PASO 7: Igualo
+9
a cero cada una de las derivadas parciales y resuelvo el sistema de ecuaciones resultante para X y Y. PASO 8: Comience
con Fx=0.
Fx=0. 2x − 2λ = 0
2λ = 2x λ = x ecuación 1 PASO 9: Ahora,
resuelva Fy=0 para y.
Fy=0. 2y – λ = 0 λ = 2y ecuación 2 PASO 10: Ahora,
resuelva Fz=0 para z. Fz=0. 2z + λ = 0 λ = -2z ecuación 3
PASO 11: igualo
ecuación 1 con ecuación 2 λ = x ecuación 1 λ = 2y ecuación 2 x =2y
PASO 12: igualo
ecuación 2 con ecuación 3 λ = 2y ecuación 2 λ = -2z ecuación 3
-2z =2y z =2y /-2 z= -y PASO 13: EN LA ECUACION restricción remplazo los valores
2x + y -z = 9 2x + y -z - 9 = 0 remplazo los valores x=2y,
z=-y
2x + y -z - 9 = 0 2 (2y) +y -(-y) -9 = 0 4y
+y +y 6y y Y
=9 =9 = 9/6 =3/2
PASO 14: remplazo el valor encontrado de y, encuentro X, Z
X=2Y x= 2(3/2) z=-Y z=- 3/2
=3
Respuesta:
Por lo tanto, el punto crítico de la función es (
3 3 3 , ,− 2 2
)
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CON 3 VARIABLES: Para resolver este ejercicio 7, vi el siguiente video: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CON 3 VARIABLES (Ej 3) https://www.youtube.com/watch?v=AWeNePyNz9k LIBRO Haeussler 13 edicion: EJERCICIO 7 capitulo 17.7 : método de multiplicadores de Lagrange: puntos críticos : SOLUCIONADO. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CON 3 VARIABLES Libro: Matemáticas para administración y economía.
Editorial: PEARSON: Mexico. Décimo tercera edición. Autor: Haeussler, E. (2015), capítulo 17.7 Multiplicadores de Lagrange ejercicio 7 pagina: 805
Determine, por el método de multiplicadores de Lagrange, los puntos críticos de la función sujeta a la restricción dada. f(x,y)=xyz; x+y+z=1 PASO 1: Primero escriba la restricción dada en la forma g(x,y)=0. Reste el término constante de ambos lados para poner esta ecuación en la forma deseada. X+ y +z -1=0 PASO 2: Utilice f(x,y) y g(x,y) para escribir la función F(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y).
F(x,y,λ) = f (x,y) – λg (x,y) .
= xyz – λ (x + y+z-1) = xyz – x λ – y λ – z λ + λ PASO 3: Determine la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con respecto a x. F(x,y,λ) = xyz – x λ – y λ – z λ + λ Fx = yz – λ – 0 − 0 +0 Fx =yz − λ PASO 4: Determine la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con respecto a y. F(x,y,λ) = xyz – x λ – y λ – z λ + λ Fy = xz – 0 – λ − 0 + 0 Fy = xz − λ
PASO 5: Determine
la primera derivada parcial de F(x,y,λ) con respecto a z. F(x,y,λ) = xyz – x λ – y λ – z λ + λ Fz = xy – 0 – 0 − λ + 0 Fz = xy − λ PASO 6: Determine
la primera derivada parcial de F(x,y,λ)
con respecto a λ.. F(x,y,λ) = xyz – λ (x + y+z-1) con respecto a λ. F(x,y,λ) = xyz –
xλ – yλ –zλ+ λ
F(x,y,λ) = 0
–
x
Fλ= –
– y
x
función Restricción Restricción igualada a cero multiplicadores de Lagrange
Derivada parcial respecto a X
– y
–z + 1
–z + 1
f (x,y) g (x,y) g (x,y) =0 F(x,y,λ) F(x,y,λ)
xyz x+y+z=1 x+y+z-1 =0 f (x,y) – λg (x,y) .
F(x,y,λ)
xyz – x λ – y λ – z λ + λ yz − λ xz −λ xy −λ – x – y –z + 1
Fx Derivada parcial respecto a Y Fy Derivada parcial respecto a Z Fz Derivada parcial respecto a λ Fλ
xyz – λ (x + y
+z
- 1)
PASO 7: Igualo
a cero cada una de las derivadas y resuelva el sistema de ecuaciones resultante para X y Y. PASO 8: Comience
con Fx=0.
Fx=0. yz – λ = 0 λ = yz ecuación 1 PASO 9: Ahora,
resuelvo: Fy=0 para y.
Fy=0. xz – λ = 0 λ = xz ecuación 2 PASO 10: Ahora,
resuelvo: Fz=0 para z. Fz=0. xy − λ = 0 λ = xy ecuación 3
PASO 11: igualo
ecuación 1 con ecuación 2: λ = yz ecuación 1 λ =λ λ = xz ecuación 2 yz =xz y =x x=y
.. PASO 12: igualo
ecuación 2 con ecuación 3: λ = xz ecuación 2 λ =λ λ = xy ecuación 3 xz= xy z=y
PASO 13: Ahora
en la ecuación de restricción: x+y+z=1 x+y+z-1 =0 remplazo los valores obtenidos x=y, z=y x +y +z -1 = 0 (y) +y +(y) -1 = 0 3y -1 = 0 3y = 1 Y =1/3
PASO 14: Teniendo el valor de la variable Y, la remplazo los respectivos valores:
X=Y x =1/3 z=Y z =1/3
Respuesta: Por lo tanto, el punto crítico de la función es (
1 1 1 , , 3 3 3
)
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MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CON DOS RESTRICCIONES Para resolver los demás ejercicios , les recomiendo ver el siguiente video que explica muy bien los procedimientos: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CON DOS RESTRICCIONES https://www.youtube.com/watch?v=G9TWDQmzNPw
