------
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ---------
Λύ ση
'Εχουμε: x = 2- 1 0 , y = 4-8 = ( 22 )-8 = 2 -�-6 = ( 23 ) -6 = 2 - 18 • Ο αριθμητής του κλάσματος γίνεται: . 4 Α = χ2 • / • z6 • 2 182 = ( 2-ιο )2 . ( Τ 16) • ( Τ18 )6 • 2 182 = 2-2ο 2-64 2 -1 os • 2 1 s2 = τι ο. Ο παρανομαστής του κλάσματος γίνεται: 1 Π = 3 · ( 1 3 · 22 · 3 3 + 42 · 93 )-1 = 3 · ( 1 3 · 2 2 · 33 + 24 · 36 )- 1 = 3 · [ 22 · 3 3· ( 13 + 22 · 33 )J•
•
Άρα έχουμε Π ρόβλη μα 2 Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α οι αριθμοί 3 και -3 είναι λύσεις της ανίσωσης �J,- 5α + 2 < α(χ - 3) + 2 ( α - 1) . Λύση
Ο αριθμός 3 είναι λύση της δεδομένης ανίσωσης, αν ισχύει ότι
16 4 · 3- Sα + 2 < α ( 3- 3) + 2 (α - 1 ) � 12 - S α + 2 < 2 α - 2 � 1 6 < 7α � α > - .
7
Ο αριθμός -3 είναι λύση της δεδομένης ανίσωσης, αν ισχύει ότι
4 · (-3) - 5α + 2 < α ( -3 - 3 ) + 2 (α - 1 ) � -12 - 5 α + 2 < -6α + 2α - 2 � -8 < α � α > -8 . Επομένως οι αριθμοί 3 και -3 είναι λύσεις της ανίσωσης , όταν συναληθεύουν οι ανισώσεις 16 ' 16 α > - και α > -8 , δηλαδη όταν α > -.
7
7
Π ρόβλημα 3 Αν το εμβαδόν Ε του χωρίου ΑΒΔΓ του διπλανού σχήματος
ισούται με το
_.!.._ του εμβαδού του κυκλικού δακτυλίου που ορίζεται 12
από τους κύκλους (Ο,α) και (Ο,β) , Ο < β < α , να βρείτε τη γωνία
{
�
)
αι = ΑόΒ και την τιμή της παράστασης: Σ = 2ημ'αι - συν2αι ' . Λύση
Το εμβαδόν του χωρίου ΑΒΔΓ ισούται με τη διαφορά των εμβαδών των κυκλικών τομέων ( 2 Ρ2 ) ω __.:..._ .
ω ω α ΑΒ και Ο , ΓΔ , δηλαδή είναι Ε ( ΑΒΔΓ ) = πα 2 · - - πβ2 · - = ....:...._ Ο, ( ..-) { )
_
2π
.-
2π
2
Το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου που ορίζεται από τους κύκλους (Ο, α) και (Ο, β) , Ο < β < α , ισούται με Ε ( Ο, β, α) = π ( α 2 - β2 ) , οπότε, σύμφωνα με την υπόθεση, έχουμε:
Ε ( ΑΒΔΓ )
( α 2 - Ρ2 ) ω 1 1 ω=π = � � = 12 6. Ε (Ο, β, α) 2π ( α 2 - β2 ) u
π 1 ' ημω = ημ6" = 2 και Επειδη' ειναι
συ ν
π 1 ' 2 ω = σu v 3 = 2 , εχουμε
Σ = ( 2 ημ2ω -�συv2ω )3 = (2 ( � ) 2 -�·�J3 = ( � - i) 3 = ( i) 3 = shΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 86 τ.2/33