Ευκλείδης Β 111 by demi de

111

B΄ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ

ΓΕΓΟΝΟΤΑ

Μαθηματικό περιοδικό για το ΛΥ ΚΕ ΙΟ

Ι Α Ν ΟΥΑ Ρ Ι Ο Σ - Φ Ε Β Ρ ΟΥΑ Ρ Ι Ο Σ - Μ Α Ρ Τ Ι Ο Σ 2 0 1 9 ε υ ρ ώ 3 , 5

Ο Ταξιδευτής Niels Abel (από 1802 έως 1829)

ΕΝΤΥΠΟ ΚΛΕΙΣΤΟ ΑΡ. ΑΔΕΙΑΣ 1099/96 ΚΕΜΠ.ΑΘ.

4156

ΚΕΜΠ.ΑΘ.

Αριθμός Άδειας

Ταχ. Γραφείο

ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ ΤΕΛΟΣ

ΕΚΔΟΤΩΝ

Hellenic Post

ΕΛΤΑ

Πλανήτης Ευκλείδεια Γεωμετρία: ποια η απόστασή του από το Ελληνικό Σχολείο;

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Τεύχος 111 - Ιανουάριος- Φεβρουάριος - Μάρτιος 2019 - Ευρώ: 3,50 e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ

Γενικά Θέματα Ο Ταξιδευτής - Niels Abel (από 1802 έως 1829) ........................................ 1 Μυστικά των πρώτων αριθμών μέσα από μια γεωμετρική προσέγγιση 5 Μαθηματικές Ολυμπιάδες, ....................................................................... 9 Homo Mathematicus, .................................................................................. 16 Α΄ Τάξη Άλγεβρα: Επαναληπτικά Θέματα, ............................................................ Γεωμετρία: Θέματα Γεωμτρίας, ................................................................. Πλανήτης Ευκλείδεια Γεωμετρία: ποια η απόστασή του από το Ελληνικό Σχολείο;.....................................

Γράμμα της Σύνταξης Αγαπητοί μαθητές και συνάδελφοι Η συντακτική επιτροπή του Ευκλείδη Β΄ σας εύχεται

22 25

Καλό Πάσχα

Με υγεία και δημιουργικότητα

Β΄ Τάξη Άλγεβρα: Γενικά Θέματα Άλγεβρας, ......................................................... Γεωμετρία: Ασκήσεις Επανάληψης Γεωμετρίας, ...................................... Και όμως … Συσχετίζονται, ..................................................................... Κατεύθυνση: Κωνικές Τομές, ....................................................................

32 35 41 43

Υ.Γ. Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων είναι οι συνάδελφοι:

Γ Τάξη Γενική Παιδεία: Ασκήσεις σχολικού βιβλίου, ως πηγή επαναληπτικών θεμάτων, ............................................................

Γενικά Θέματα Το Βήμα του Ευκλείδη, ............................................................................... Θέματα Εισαγωγικών Εξετάσεων για τα (Α.Ε.Ι) Παλαιοτέρων Εποχών, Ευκλείδης προτείνει ..., ..............................................................................

59 73 76

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 10 Νοεμβρίου 2018 Θαλής: Ευκλείδης: 19 Ιανουαρίου 2019 Αρχιμήδης: 23 Φεβρουαρίου 2019

Α΄ Λυκείου [Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Γ. Κατσούλης], Β΄ Λυκείου [Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης, Απ. Κακκαβάς], Γ΄ Λυκείου [Δ. Αργυράκης, Ν. Αντωνόπουλος, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς]

Εξώφυλλο:

Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr

Η έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού π πΕπιτροπή Συντακτική

ΔΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34 106 79 ÁÈÇÍÁ Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532 Fax: 210 3641025 Åêäüôçò: Ανάργυρος Φελλούρης ÄéåõèõíôÞò: Ιωάννης Τυρλής

Εκτελεστική Γραμματεία Πρόεδρος: Ôáóóüðïõëïò Ãéþñãïò Αντιπρόεδρος: Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò Μέλη: ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò Ôáðåéíüò Íéêüëáïò

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

ΕΛΤΑ Hellenic Post

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054 ISSN: 1105 - 8005

Εικαστική σύνθεση

ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò Áíôùíüðïõëïò Íßêïò ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò Βλάχος Σπύρος Γιώτης Γιάννης ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò ÊáñêÜíçò Âáóßëçò Êáôóïýëçò Ãéþñãïò Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò Êáñäáìßôóçò Óðýñïò Êïíüìçò ¢ñôé Κουλουμέντας Φώτης ÊõñéáæÞò ÉùÜííçò Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá

ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóô. Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò ËïõñéäÜò ÃéÜííçò Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò Μανιατοπούλου Αμαλία ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò ÌÞëéïò Ãåþñãéïò Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò Μπρούνζος Στέλιος Ìþêïò ΧñÞóôïò Παπαπέτρος Βαγγέλης Óßóêïõ Ìáñßá ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò ÓôñáôÞò ÃéÜííçò Ôáðåéíüò Íéêüëáïò

Ôáóóüðïõëïò Ãéþñãïò ÔæåëÝðçò ¢ëêçò Tουρναβίτης Στέργιος ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò ÔóáãêÜñçò ÁíäñÝáò ÔóáãêÜñçò Êþóôáò Τσιφάκης Χρήστος Τσουλουχάς Χάρης ÔõñëÞò ÉùÜííçò ÖáíÝëç ¢ííõ ×áñáëáìðïðïýëïõ Ëßíá ×ρéóôüðïõëïò ÈáíÜóçò ×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò Øý÷áò ÂáããÝëçò

Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50 • Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å. • Ïé óõíåñãáóßåò, [ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé. Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο εισηγητής. ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00 Tï áíôßôéìï ãéá ôá ôåý÷ç ðïõ ðáñáããÝëíïíôáé óôÝëíåôáé: (1). Ìå áðëÞ ôá÷õäñïìéêÞ åðéôáãÞ óå äéáôáãÞ Å.Ì.Å. Ôá÷. Ãñáöåßï ÁèÞíá 54 Ô.È. 30044 (2). Óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å., üðïõ õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá ôñáðåæéêÞò óõíáëëáãÞò ìå ôçí ôñÜðåæá EUROBANK (3). Ðëçñþíåôáé óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. (4). Ìå áíôéêáôáâïëÞ, óå åôáéñåßá ôá÷õìåôáöïñþí óôï ÷þñï óáò, êáôÜ ôçí ðáñáëáâÞ.

Åêôýðùóç: ROTOPRINT (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ: Ä. Ðáðáäüðïõëïò

ȜĮȤĲȐȡĮ ĲȠȣ ȞĮ ʌĮȡĮȖȐȖİȚ ȩıĮ ʌİȡȚııȩĲİȡĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȝʌȠȡȠȪıİ, ıİ ıȣȞįȣĮıȝȩ ȝİ ĲȘȞ ĮȞȣʌȠȝȠȞȘıȓĮ ĲȠȣ ȞĮ ȖȞȦȡȓıİȚ Įʌȩ țȠȞĲȐ ĲȠȣȢ ʌȚȠ įȚȐıȘȝȠȣȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ ĲȘȢ İʌȠȤȒȢ ĲȠȣ, ȒĲĮȞ ĮȞĲȚıĲȡȩĳȦȢ ĮȞȐȜȠȖȘ ĲȠȣ ȤȡȩȞȠȣ ʌȠȣ ȑȝİȜȜİ ȞĮ ȗȒıİȚ. ȅ ȈİʌĲȑȝȕȡȚȠȢ ĲȠȣ 1824 ĲȠȞ ȕȡȒțİ ıİ ȝȚĮ ȐȝĮȟĮ ȝİ ʌȡȠȠȡȚıȝȩ ĲȘ ǻĮȞȓĮ. ǼȓȤİ ȒįȘ İȟĮıĳĮȜȓıİȚ ʌĮȞİʌȚıĲȘȝȚĮțȩ įȓʌȜȦȝĮ Įʌȩ ĲȠ ʌĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȠȣ ȀȡȓıĲȚĮȞıĮȞĲ, ĲȘȢ ʌİȡȚȠȤȒȢ ʌȠȣ ȖİȞȞȒșȘțİ țĮȚ ȝȚĮ İʌȚȤȠȡȒȖȘıȘ ĲȘȢ ȃȠȡȕȘȖȚțȒȢ țȣȕȑȡȞȘıȘȢ ȖȚĮ ȞĮ İʌȚıțİĳĲİȓ ĲȘȞ ǼȣȡȫʌȘ. ǹȣĲȩ ȑȖȚȞİ ȝİ İȞȑȡȖİȚİȢ ĲȠȣ ĳȓȜȠȣ ĲȠȣ țĮȚ ʌȡȫĲȠȣ įĮıțȐȜȠȣ ĲȠȣ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, ĲȠȣ ȂȓȤĮİȜ ȋȩȜȝʌȠİ. ǹȞ țĮȚ Ș ĳȒȝȘ ĲȠȣ, ȦȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ, İȓȤİ ȒįȘ İȟĮʌȜȦșİȓ, Ș İʌȚȤȠȡȒȖȘıȘ ĮȣĲȒ İȖțȡȓșȘțİ ȝİ ȝİȖȐȜȘ įȣıțȠȜȓĮ, ȜȩȖȦ ĲȦȞ ȠȚțȠȞȠȝȚțȫȞ įȣıțȠȜȚȫȞ ʌȠȣ ĮȞĲȚȝİĲȫʌȚȗİ ĲȩĲİ Ș ȃȠȡȕȘȖȓĮ, Ș ȠʌȠȓĮ ȑȕȖĮȚȞİ Įʌȩ ȝĮțȡȠȤȡȩȞȚȠ ʌȩȜİȝȠ. ȅ ȃȚȜȢ, ȝʌȒțİ ıĲȘȞ ȐȝĮȟĮ, țȐșȚıİ ıĲȘ șȑıȘ ĲȠȣ, ĲĮțĲȠʌȠȓȘıİ ĲȘȞ ĲıȐȞĲĮ ĲȠȣ țĮȚ ʌİȡȓȝİȞİ ĮȞȣʌȩȝȠȞĮ ȞĮ ȟİțȚȞȒıİȚ. ȈĲȘȞ ȐȝĮȟĮ įİȞ ȣʌȒȡȤİ țĮȞȑȞĮȢ ȐȜȜȠȢ İʌȚȕȐĲȘȢ. Ȉİ ȜȓȖȠ ȑȕȖĮȜİ Įʌȩ ĲȘȞ ĲıȐȞĲĮ ĲȠȣ ĲȘȞ İȡȖĮıȓĮ ĲȠȣ «ʌİȡȓ ĲȘȢ ȜȪıȘȢ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ ʌȑȝʌĲȠȣ ȕĮșȝȠȪ» țĮȚ ĲȘȞ țȠȓĲĮȟİ ȝİ ʌİȡȘĳȐȞȚĮ. ǼȓȤİ įȫıİȚ ĮʌȐȞĲȘıȘ ıİ ȑȞĮ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ʌȠȣ ĲȑșȘțİ Įʌȩ ʌȠȜȪ ʌĮȜȚȐ țĮȚ İȓȤİ ĳȑȡİȚ ıİ ĮįȚȑȟȠįȠ ĲȠȣȢ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȣȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ. ǻİįȠȝȑȞȠȣ ȩĲȚ İȓȤĮȞ ȕȡİșİȓ ĮȜȖİȕȡȚțȠȓ ĲȪʌȠȚ ȖȚĮ ĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ ĲȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ ȝȑȤȡȚ țĮȚ ĲİĲȐȡĲȠȣ ȕĮșȝȠȪ, Ș ʌȡȩțȜȘıȘ ȞĮ ȕȡİșİȓ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȠȢ ĲȪʌȠȢ țĮȚ ȖȚĮ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ʌȑȝʌĲȠȣ ȕĮșȝȠȪ, ȒĲĮȞ ȝİȖȐȜȘ. ȅ ǱȝʌİȜ İȓȤİ įȫıİȚ ĲȘȞ ȠȡȚıĲȚțȒ ĮʌȐȞĲȘıȘ: ȉȑĲȠȚȠȢ ĲȪʌȠȢ įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ. ȋȐȚįİȥİ ĲȘ ĳĲȘȞȒ ȑțįȠıȘ țĮȚ ȤĮȝȠȖȑȜĮıİ. Ȃİ ĲȘȞ țĮșȠįȒȖȘıȘ ĲȠȣ ȋȩȜȝʌȠİ İȓȤİ ĮȞĮțĮȜȪȥİȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ıĲȘȞ ȘȜȚțȓĮ ĲȦȞ įȑțĮ ʌȑȞĲİ ȤȡȩȞȦȞ. ǻȚĮȕȐȗȠȞĲĮȢ ĲĮ ȕȚȕȜȓĮ ĲȦȞ ȃİȪĲȦȞĮ, ǵȧȜİȡ, ȁĮȖțȡȐȞȗ țĮȚ īțȐȠȣȢ, İȓȤİ țĮĲĮĳȑȡİȚ ȞĮ įȫıİȚ ĮʌȐȞĲȘıȘ, İțİȓ ʌȠȣ ȠȚ ȝİȖȐȜȠȚ ĮȣĲȠȓ ıȠĳȠȓ įİȞ İȓȤĮȞ țĮĲĮĳȑȡİȚ. ǼȓȤİ įȫıİȚ ĮȡțİĲȐ ȤȡȒȝĮĲĮ, ıİ ıȤȑıȘ ȝİ ĮȣĲȐ ʌȠȣ İȓȤİ ıĲȘ įȚȐșİıȒ ĲȠȣ, ȖȚĮ ȞĮ ĲȣʌȫıİȚ ȜȓȖĮ ĮȞĲȓĲȣʌĮ ĲȘȢ İȡȖĮıȓĮȢ ĲȠȣ țĮȚ İȓȤİ ĲĮȤȣįȡȠȝȒıİȚ ȝİȡȚțȐ, ȑȞĮ İȓȤİ ʌȡȠȠȡȚıȝȩ ĲȠȞ ıʌȠȣįĮȓȠ īțȐȠȣȢ. ǲĲıȚ Ș ĳȒȝȘ ĲȠȣ ĲĮȟȓįİȣİ ʌȡȚȞ Įʌȩ ĮȣĲȩȞ ıĲĮ ȝİȖȐȜĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ țȑȞĲȡĮ ĲȘȢ ǼȣȡȫʌȘȢ ʌȠȣ İțİȓȞȘ ĲȘȞ İʌȠȤȒ ȒĲĮȞ ĲȠ ǺİȡȠȜȓȞȠ țĮȚ ĲȠ ȆĮȡȓıȚ. ǼʌȚȗȘĲȠȪıİ ĲȘȞ ĮȞĮȖȞȫȡȚıȘ țĮȚ ȝȚĮ ʌĮȞİʌȚıĲȘȝȚĮțȒ șȑıȘ. ǳĲĮȞ ȕȑȕĮȚȠȢ ȩĲȚ ĲȠ ȐȟȚȗİ, ĮȜȜȐ ĲȠ ȒșİȜİ țĮȚ ȖȚĮ ȕȚȠʌȠȡȚıĲȚțȠȪȢ ȜȩȖȠȣȢ. ȆȓıȦ ĲȠȣ ȐĳȘȞİ ȑȟȚ ĮįȑȡĳȚĮ, ĲȘ ȝȘĲȑȡĮ ĲȠȣ țĮȚ ȝȚĮ ĮȡȡĮȕȦȞȚĮıĲȚțȚȐ. ǵȜȠȚ ĲȠȣȢ Įʌȩ ĮȣĲȩȞ ʌİȡȓȝİȞĮȞ. ȅ ȕȒȤĮȢ ĲȠȣ ʌȞȓȖȘțİ ıĲȠ ʌȡȩıĲĮȖȝĮ ĲȠȣ ĮȝĮȟȐ, ĮȜȜȐ ʌĮȡ’ ȠȜȓȖȠ ȞĮ ʌȞȚȖİȓ țĮȚ Ƞ ȓįȚȠȢ, ȩȤȚ ĲȩıȠ Įʌȩ ĲȠ ȕȒȤĮ ĲȠȣ ʌȠȣ ĲȠȞ ĲĮȜĮȚʌȦȡȠȪıİ Įʌȩ ĲȩĲİ ʌȠȣ șȣȝȩĲĮȞ ĲȘ ȗȦȒ ĲȠȣ, ĮȜȜȐ įȚȩĲȚ ȝİ ĲȠ ȟİțȓȞȘȝĮ ĲȘȢ ȐȝĮȟĮȢ ȝʌȒțİ ȝȑıĮ ȝȚĮ țĮȜȠȞĲȣȝȑȞȘ țĮȚ ȩȝȠȡĳȘ ȞȑĮ, ĮȜȜȐ ȩȤȚ ȞİĮȡȒ, ȖȣȞĮȓțĮ țĮȚ țȐșȚıİ ĮțȡȚȕȫȢ ĮʌȑȞĮȞĲȓ ĲȠȣ. ȅ ǱȝʌİȜ ȑțĮȞİ ȞĮ ıȘțȦșİȓ İȣȖİȞȚțȐ ȖȚĮ ȞĮ ȤĮȚȡİĲȒıİȚ țĮȚ ȞĮ ȕȠȘșȒıİȚ ĲȘ ȖȣȞĮȓțĮ, ĮȜȜȐ İțİȓȞȘ ȝİ ȑȞĮ ȞİȪȝĮ țĮȚ ȑȞĮ ȤĮȝȩȖİȜȠ ĲȠȞ țȐșȚıİ ıĲȘ șȑıȘ ĲȠȣ. ȀĮșȫȢ ȑȕȖĮȗİ ĲȠ țĮʌȑȜȠ ĲȘȢ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/1

ͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲ ȅ ȉĮȟȚįİȣĲȒȢ Niels Abel (Įʌȩ 1802 – ȑȦȢ 1829) -------------------------------------------------------------------------

ĲȠȞ țȠȓĲĮȗİ İʌȓȝȠȞĮ, İȞĲȣʌȦıȚĮıȝȑȞȘ, ȖȚĮĲȓ Ƞ ȃȚȜȢ ȒĲĮȞ ȑȞĮȢ ʌȠȜȪ ȩȝȠȡĳȠȢ ȐȞĲȡĮȢ. ȋĮȝȒȜȦıİ ĲĮ įȚțȐ ĲȠȣ ȝȐĲȚĮ, țȐĲȦ Įʌȩ ĲȠ įȚİȚıįȣĲȚțȩ ȕȜȑȝȝĮ ĲȘȢ țĮȚ ȩĲĮȞ ĲȘȞ țȠȓĲĮȟİ ȟĮȞȐ, ĮȣĲȒ, ıĮȞ ȞĮ ȟĮĳȞȚȐıĲȘțİ, ȑțȜİȚıİ ĲĮ įȚțȐ ĲȘȢ. ǹȣĲȩ İʌĮȞĮȜȒĳĲȘțİ ȝİȡȚțȑȢ ĳȠȡȑȢ. ǵʌȠĲİ Ƞ ȃȚȜȢ İȓȤİ ȤĮȝȘȜȦȝȑȞĮ ĲĮ ȝȐĲȚĮ ĲȠȣ, ĮȣĲȒ ĲȠȞ țȠȓĲĮȗİ țĮȚ ȩĲĮȞ ĲȘȞ țȠȚĲȠȪıİ ĮȣĲȩȢ, ĮȣĲȒ ĲĮ ȑțȜİȚȞİ ıĮȞ ȞĮ țȠȚȝȩĲĮȞ. ǳĲĮȞ ȑȞĮ ʌĮȚȖȞȓįȚ ĮȞĮȝȠȞȒȢ țĮȚ ĮȣĲȩ ĲȠȣ ȑįȦıİ ȝȚĮ ȚįȑĮ. ǲȕȖĮȜİ ȑȞĮ ıȘȝİȚȦȝĮĲȐȡȚȠ Įʌȩ ĲȘȞ ĲıȐȞĲĮ ĲȠȣ țĮȚ ıȘȝİȓȦıİ: ĬĮ ȖȡȐĳȦ 1 țȐșİ ĳȠȡȐ ʌȠȣ ĲĮ ȝȐĲȚĮ ĲȘȢ İȓȞĮȚ ĮȞȠȚȤĲȐ țĮȚ –1 țȐșİ ĳȠȡȐ ʌȠȣ șĮ țȜİȓȞİȚ ĲĮ ȝȐĲȚĮ ĲȘȢ. ȂİĲȐ ıțȑĳĲȘțİ: ĬĮ ĮșȡȠȓıȦ ĲĮ 1 țĮȚ –1 țĮȚ ĮȞ ĲȠ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ İȓȞĮȚ 1, ĲȩĲİ șĮ ĲȘȢ ȝȚȜȒıȦ, ĮȞ İȓȞĮȚ –1, ĲȩĲİ șĮ ĮĳȠıȚȦșȫ ıĲȠ įȚȐȕĮıȝĮ țĮȚ ĮȞ İȓȞĮȚ ȝȘįȑȞ, șĮ ıȣȞİȤȓıȦ ȞĮ țĮĲĮȖȡȐĳȦ. ǲȖȡĮȥİ ȜȠȚʌȩȞ: 1–1+1–1+1–1+1–… ȆĮȡĮĲȘȡȫȞĲĮȢ ĮȣĲȩ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ, ȟȑȤĮıİ ıİ ȜȓȖȠ ĲȘ ȖȣȞĮȓțĮ. ȀĮșȫȢ ȑıțȣȥİ ʌȐȞȦ ıĲȠ ıȘȝİȚȦȝĮĲȐȡȚȠ, ȠȚ ȝʌȠȪțȜİȢ ĲȦȞ ȝĮȜȜȚȫȞ ĲȠȣ ȑțȡȣȥĮȞ ĲȠ ʌȡȩıȦʌȩ ĲȠȣ, ĮȜȜȐ ĲȫȡĮ ȜȓȖȠ ȞȠȚĮȗȩĲĮȞ ȖȚĮ ĲȘȞ İȝĳȐȞȚıȒ ĲȠȣ. ǹȞĮȡȦĲȒșȘțİ, ıȤİįȩȞ ȝİ ĲȡȩȝȠ, ʌȩıȠ ȑțĮȞİ ĮȣĲȩ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ, ĮȞ ıȣȞİȤȚȗȩĲĮȞ İʌ’ ȐʌİȚȡȠ. ȈțȑĳĲȘțİ: ǹȞ ȖȡȐȥȠȣȝİ ĮȣĲȩ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ȑĲıȚ: S=(1–1)+(1–1)+(1–1)+…, ĲȩĲİ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ȝȘįȑȞ. ǹȞ ȩȝȦȢ ĲȠ ȖȡȐȥȠȣȝİ S=1+(–1+1)+(–1+1)+(–1+1)+…, ĲȩĲİ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ 1. ǹȞ ȖȡȐȥȠȣȝİ S=1–(1–1+1–1+1–1+….), ĲȩĲİ ȑȤȠȣȝİ S=1–S, ȐȡĮ 2S=1, ıȣȞİʌȫȢ S=1/2. ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ ȜȠȚʌȩȞ Ș ʌȡĮȖȝĮĲȚțȒ ĲȚȝȒ ĲȠȣ ĮșȡȠȓıȝĮĲȠȢ; ȈĮĲĮȞȚțȑȢ İʌȚȞȠȒıİȚȢ İȓȞĮȚ ĮȣĲȑȢ ȠȚ ĮʌİȚȡȠıİȚȡȑȢ, ıțȑĳĲȘțİ țĮȚ įȚțĮȚȠȜȩȖȘıİ ĲȠȞ ǵȧȜİȡ, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ, ȤȡȩȞȚĮ ʌȡȚȞ, ȩĲĮȞ ȝİȜȑĲȘıİ țȐʌȠȚİȢ Įʌȩ ĮȣĲȑȢ, İȓȤİ țȐȞİȚ ıȠȕĮȡȐ ȜȐșȘ. ǹȜȜȐ ȑȕĮȜİ ıĲȩȤȠ ĲȘȢ ȗȦȒȢ ĲȠȣ ȞĮ ȟİțĮșĮȡȓıİȚ ĲĮ ʌȡȐȖȝĮĲĮ țĮȚ ıİ ĮȣĲȩ ĲȠ ʌİįȓȠ. ȃĮ ȕȡİȚ ĲȚȢ ıȣȞșȒțİȢ ȖȚĮ ĲȠ ʌȩĲİ ȝȚĮ ıİȚȡȐ ıȣȖțȜȓȞİȚ țĮȚ ʌȩĲİ ĮʌȠțȜȓȞİȚ. ǹȞĮțȠȣĳȚıȝȑȞȠȢ ıȒțȦıİ ĲȠ țİĳȐȜȚ ĲȠȣ, ȑıʌȡȦȟİ ȝİ ĲȠ ȤȑȡȚ ĲȚȢ ȝʌȠȪțȜİȢ ĲȠȣ țĮȚ țȠȓĲĮȟİ ʌȐȜȚ ĲȘ ȖȣȞĮȓțĮ ĮʌȑȞĮȞĲȓ ĲȠȣ. ǼȓȤİ ĲȫȡĮ țȜİȚıĲȐ ĲĮ ȝȐĲȚĮ ĲȘȢ țĮȚ ĳĮȚȞȩĲĮȞ ȞĮ țȠȚȝȐĲĮȚ İȜĮĳȡȐ. ȋĮȜȐȡȦıİ țĮȚ ĮȣĲȩȢ țĮȚ ĮĳȑșȘțİ ȞĮ ĮʌȠȜĮȝȕȐȞİȚ ĲȠ ĲȠʌȓȠ. ǼȓȤİ ȝȚĮ ȐįȠȜȘ ĮȖȐʌȘ ȖȚĮ ĲȘ ĳȪıȘ țĮȚ ĲȘ ȗȦȒ. ȈțİĳĲȩĲĮȞ ȩĲȚ ĲȠ įȫȡȠ ĲȘȢ ȗȦȒȢ İȓȞĮȚ İȣʌȡȩıįİțĲȠ, ĮȜȜȐ Ș ĮșĮȞĮıȓĮ, ĮȞ ȣʌȒȡȤİ, įİ șĮ İȓȤİ țĮȞȑȞĮ ȞȩȘȝĮ. ȉȠ ȟȐĳȞȚĮıȝȐ ĲȠȣ Įʌȩ ĲȠ ıĲĮȝȐĲȘȝĮ ĲȘȢ ȐȝĮȟĮȢ ĲȠȣ ȑĳİȡİ ʌȐȜȚ ȑȞĮ țȪȝĮ ȐıȤȘȝȠ ȕȒȤĮ. Ǿ ȖȣȞĮȓțĮ ȐȞȠȚȟİ ĲĮ ȝȐĲȚĮ, ȑȕȖĮȜİ ȑȞĮ ĮȞĮıĲİȞĮȖȝȩ țĮȚ ıȘțȫșȘțİ. ȀĮșȫȢ Ƞ ȕȒȤĮȢ ĲȠȣ ıȣȞİȤȚȗȩĲĮȞ, İțİȓȞȘ ȑȕȖĮȜİ ȑȞĮ ȝĮȞĲȒȜȚ Įʌȩ ĲȘȞ ĲıȐȞĲĮ ĲȘȢ țĮȚ ĲȠȣ ĲȠ ȑĲİȚȞİ ȝİ ȑȞĮ ȤĮȝȩȖİȜȠ. ǹȣĲȩȢ ĲȠ ʌȒȡİ ĮȝȒȤĮȞĮ, ȝȘ ȑȤȠȞĲĮȢ ĲȚ ȐȜȜȠ ȞĮ țȐȞİȚ țĮȚ Ș ȖȣȞĮȓțĮ ȕȖȒțİ ȕȚĮıĲȚțȐ Įʌȩ ĲȘȞ ȐȝĮȟĮ. ȅȪĲİ «İȣȤĮȡȚıĲȫ» įİȞ ʌȡȩȜĮȕİ ȞĮ ĲȘȢ ʌİȚ, ĮȜȜȐ ȩĲĮȞ țȠȓĲĮȟİ ĲȠ ȝĮȞĲȒȜȚ ĲȘȢ İȓįİ ʌȐȞȦ ĲȠȣ ȝȚĮ ıĲĮȖȩȞĮ ĮȓȝĮ Įʌȩ ĲȠ ıĲȩȝĮ ĲȠȣ. ǲȝİȚȞİ ȝİȡȚțȑȢ ȘȝȑȡİȢ ıĲȘȞ ȀȠʌİȖȤȐȖȘ, ȩʌȠȣ ıȣȞĮȞĲȒșȘțİ ȝİ ĲȠȣȢ ȞĲȩʌȚȠȣȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ țĮȚ ȝİĲȐ ıȣȞȑȤȚıİ ȖȚĮ ĲȘ īİȡȝĮȞȓĮ. ȈțȠʌȩȢ ĲȠȣ ȒĲĮȞ ȞĮ İʌȚıțİĳșİȓ ʌȡȫĲĮ ĲȠȞ īțȐȠȣȢ, ȞĮ ȝȐșİȚ Įʌȩ ʌȡȫĲȠ ȤȑȡȚ ĲȘȞ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘ ĲȘȢ İȡȖĮıȓĮȢ ĲȠȣ. ǵĲĮȞ ȩȝȦȢ ȑȝĮșİ, ȝȑıȦ țȐʌȠȚȠȣ ĲȡȓĲȠȣ, ȩĲȚ Ƞ ȝİȖȐȜȠȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ įİȞ İȓȤİ țĮĲĮįİȤĲİȓ ȞĮ ȡȓȟİȚ ȠȪĲİ ȝȚĮ ȝĮĲȚȐ ıĲȘ įȚĮĲȡȚȕȒ ĲȠȣ, șİȦȡȫȞĲĮȢ ȩĲȚ ȒĲĮȞ ĮțȩȝĮ ȝȚĮ ȐȜȜȘ, ĮȞȐȟȚĮ ȜȩȖȠȣ, İȡȖĮıȓĮ, Įʌȩ ĲȚȢ ʌȠȜȜȑȢ ʌȠȣ ȜȐȕĮȚȞİ, ıĲİȞĮȤȦȡȒșȘțİ ȣʌİȡȕȠȜȚțȐ, ĮȜȜȐ įİȞ ĮʌȠȖȠȘĲİȪĲȘțİ. ǳĲĮȞ ʌȠȜȪ ıȓȖȠȣȡȠȢ ȖȚĮ ĲȠȞ İĮȣĲȩ ĲȠȣ. ȆİȓıȝȦıİ ȩȝȦȢ țĮȚ ȝȓıȘıİ ĲȠȞ īțȐȠȣȢ, ȜȩȖȦ țĮȚ ĲȠȣ ȞİĮȡȠȪ ĲȘȢ ȘȜȚțȓĮȢ ĲȠȣ. ǱȜȜĮȟİ ȜȠȚʌȩȞ ʌȡȠȠȡȚıȝȩ. ǻİȞ ʌȒȖİ ıĲȠ īțȑĲȚȖțİȞ, ȩʌȠȣ ȑȝİȞİ ĲȩĲİ Ƞ īțȐȠȣȢ, ĮȜȜȐ ıĲȠ ǺİȡȠȜȓȞȠ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/2

Ǽțİȓ Ș ĮȚıȚȩįȠȟȘ ĳȪıȘ ĲȠȣ ĲȠȞ įȚțĮȓȦıİ. īȞȫȡȚıİ ȑȞĮ ȝȘȤĮȞȚțȩ ĲȠ İʌȐȖȖİȜȝĮ, ĮȜȜȐ İȡĮıĲȒ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ıȤİįȓĮȗİ İțİȓȞȘ ĮțȡȚȕȫȢ ĲȘȞ İʌȠȤȒ ȞĮ İțįȫıİȚ ȑȞĮ ʌİȡȚȠįȚțȩ ȝİ țĮșĮȡȐ İȡİȣȞȘĲȚțȩ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȠ. ȉȠ ȩȞȠȝȐ ĲȠȣ ȒĲĮȞ ȁİȠʌȩȜįȠȢ ȀȡȑȜİ țĮȚ ȑȝİȜȜİ ȞĮ ȖȓȞİȚ Ƞ «ĮĲȗȑȞĲȘȢ» ĲȠȣ țĮĲȐ țȐʌȠȚȠ ĲȡȩʌȠ. ǼȓȤİ įȘȝȠıȚİȪıİȚ țȐʌȠȚȠ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ȐȡșȡȠ, ĲȠ ȠʌȠȓȠ țĮĲȐ ıȪȝʌĲȦıȘ Ƞ ǱȝʌİȜ İȓȤİ įȚĮȕȐıİȚ. ȉȠȞ İʌȚıțȑĳĲȘțİ ıĲȠ ȖȡĮĳİȓȠ ĲȠȣ. ȆĮȡĮțĮȜȫ, İȓʌİ Ƞ ȀȡȑȜİ, ȕȜȑʌȠȞĲĮȢ ĲȠȞ ȞİĮȡȩ ȐȞĲȡĮ ȞĮ ȝʌĮȓȞİȚ įȚıĲĮțĲȚțȐ. ȉȚ șĮ șȑȜĮĲİ; ȃĮ ıȣȗȘĲȒıȠȣȝİ ȖȚĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, İȓʌİ Ƞ ǱȝʌİȜ, ȝİ ĲĮ ıʌĮıĲȐ īİȡȝĮȞȚțȐ ĲȠȣ. ȉȚ ĮțȡȚȕȫȢ İȞȞȠİȓĲİ, ĮȖĮʌȘĲȑ țȪȡȚİ; ȆĮȡĮțĮȜȫ țĮșȓıĲİ. ǼȓȝĮȚ Įʌȩ ĲȘ ȃȠȡȕȘȖȓĮ, İȓʌİ ĲĮʌİȚȞȐ. ǲȤȦ įȚĮȕȐıİȚ țĮȚ ȝʌȠȡȫ ȞĮ ȚıȤȣȡȚıĲȫ ȩĲȚ ȑȤȦ țĮĲĮȞȠȒıİȚ, ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ țȜĮııȚțȠȪȢ, ȃİȪĲȦȞĮ, ǵȧȜİȡ, ȁĮȖțȡȐȞȗ, īțȐȠȣȢ. ȅȚ įȚțȑȢ ȝȠȣ İȡȖĮıȓİȢ ʌȡȠȢ ĲȠ ʌĮȡȩȞ, ĮĳȠȡȠȪȞ ĲȘȞ ĮʌȩįİȚȟȘ ĲȠȣ įȣȦȞȣȝȚțȠȪ șİȦȡȒȝĮĲȠȢ, ĲȘȞ ĮʌȩįİȚȟȘ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ ʌȑȝʌĲȠȣ ȕĮșȝȠȪ įİȞ İʌȚȜȪİĲĮȚ ĮȜȖİȕȡȚțȐ țĮȚ… ǹ, İȓıĲİ Ƞ țȪȡȚȠȢ ǱȝʌİȜ! ȋĮȓȡȠȝĮȚ ʌȠȜȪ ʌȠȣ ıĮȢ ȖȞȦȡȓȗȦ. ǲʌİıİ țĮȚ ıĲĮ įȚțȐ ȝȠȣ ȤȑȡȚĮ Ș İȡȖĮıȓĮ ıĮȢ, ĮȜȜȐ ȠȝȠȜȠȖȫ ȩĲȚ įİȞ țĮĲȐȜĮȕĮ ʌȠȜȜȐ ʌȡȐȖȝĮĲĮ. ǹȖĮʌȫ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, ĮȜȜȐ įİȞ ȝʌȠȡȫ ȞĮ ȚıȤȣȡȚıĲȫ ȩĲȚ ĲĮ țĮĲȑȤȦ ʌȜȒȡȦȢ. ǲȤȦ įȚĮȕȐıİȚ țĮȚ İȖȫ ĲȘ įȚțȒ ıĮȢ įȘȝȠıȚİȣȝȑȞȘ İȡȖĮıȓĮ țĮȚ șĮ ȝȠȣ İʌȚĲȡȑȥİĲİ ȞĮ ıĮȢ ʌȦ ȩĲȚ ʌİȡȚȑȤİȚ țȐʌȠȚĮ ȜȐșȘ. ȅ ȀȡȑȜİ ıȐıĲȚıİ, ĮȜȜȐ įİȞ ʌȡȠıȕȜȒșȘțİ. ǳĲĮȞ țȪȡȚȠȢ țĮȚ Ƞ ȞİĮȡȩȢ ĮʌȑȞĮȞĲȓ ĲȠȣ İȓȤİ ȝİȞ țȐʌȠȚĮ ȑʌĮȡıȘ ȩĲĮȞ ȝȚȜȠȪıİ ȖȚĮ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ, ĮȜȜȐ ȒĲĮȞ ıȣȝʌĮșȘĲȚțȩȢ țĮȚ ıȣȞİıĲĮȜȝȑȞȠȢ. Ȉİ ĲȚ șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮ ȞĮ ıĮȢ İȟȣʌȘȡİĲȒıȦ; Ǽȓʌİ ĲİȜȚțȐ. ĬĮ ȒșİȜĮ ȞĮ ȝİ ıȣȝʌİȡȚȜȐȕİĲİ ıĲȠȣȢ ıȣȞİȡȖȐĲİȢ ĲȠȣ ʌİȡȚȠįȚțȠȪ ʌȠȣ ıțȠʌİȪİĲİ ȞĮ İțįȫıİĲİ. ĬĮ İʌȚșȣȝȠȪıĮ ȞĮ ıȣȝȝİĲȐıȤȦ țĮȚ ıĲĮ ȑȟȠįĮ ĲȘȢ ȑțįȠıȘȢ, ĮȜȜȐ ĲĮ ʌİȞȚȤȡȐ ȠȚțȠȞȠȝȚțȐ ȝȠȣ įİȞ ȝȠȣ ĲȠ İʌȚĲȡȑʌȠȣȞ. ȆȠȜȪ İȣȤĮȡȓıĲȦȢ, ȃȚȜȢ. ǻȚĮȚıșȐȞȠȝĮȚ ȩĲȚ șĮ įȘȝȠıȚİȪıİȚȢ ʌȠȜȜȑȢ İȡȖĮıȓİȢ. ǵıȠ ȖȚĮ ĲĮ ȠȚțȠȞȠȝȚțȐ, ȝȘȞ ĮȞȘıȣȤİȓȢ, ȑȤȦ İȖȫ ȝȚĮ ıȤİĲȚțȒ İȣȤȑȡİȚĮ. ǹȞ ȝİ ĲȚȝȠȪıİȢ ȝİ ĲȘ ĳȚȜȓĮ ıȠȣ, șĮ ȒȝȠȣȞ İȣĲȣȤȒȢ. ȉȘȞ ȑȤİĲİ, țȪȡȚİ. ȉȘ ĳȚȜȓĮ ȝȠȣ, ĮȜȜȐ țĮȚ ĲȘȞ İȣȖȞȦȝȠıȪȞȘ ȝȠȣ. ǲĲıȚ ȐȡȤȚıİ ȝȚĮ ȝĮțȡȩȤȡȠȞȘ ıȣȞİȡȖĮıȓĮ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ įȪȠ ĮȞįȡȫȞ, Įʌȩ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ȦĳİȜȒșȘțĮȞ țĮȚ ȠȚ įȪȠ. ȅ ǱȝʌİȜ ȕȡȒțİ ȑȞĮ ȕȒȝĮ ȖȚĮ ȞĮ țȐȞİȚ ȖȞȦıĲȩ ĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ țĮȚ ĲȠ ʌİȡȚȠįȚțȩ ĲȠȣ ȀȡȑȜİ ĮʌȑțĲȘıİ țȪȡȠȢ, ȜȩȖȦ ĮțȡȚȕȫȢ ĲȦȞ İȡȖĮıȚȫȞ ĲȠȣ ǱȝʌİȜ. ȈĲĮ ʌȡȫĲĮ țȚȩȜĮȢ ĲİȪȤȘ ĲȠȣ įȘȝȠıȚİȪĲȘțĮȞ ʌȠȜȜȑȢ ıʌȠȣįĮȓİȢ İȡȖĮıȓİȢ țĮȚ Ƞ ȀȡȑȜİ ȩȤȚ ȝȩȞȠ įİ įȑȤĲȘțİ ĮȝȠȚȕȒ, ĮȜȜȐ ĲȠ ĮȞĲȓșİĲȠ, ʌȡȠıʌȐșȘıİ ȞĮ ȕȠȘșȒıİȚ ȠȚțȠȞȠȝȚțȐ ĲȠȞ ǱȝʌİȜ. ǲȝİȚȞİ ʌȐȞȦ Įʌȩ ȤȡȩȞȠ ıĲȘ īİȡȝĮȞȓĮ. Ǽțİȓ ȑȕĮȜİ ĲĮ șİȝȑȜȚĮ ȖȚĮ ĲȠ ʌȚȠ ıʌȠȣįĮȓȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ, ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȩȝȦȢ ȠȜȠțȜȒȡȦıİ ıĲȠ ȆĮȡȓıȚ. Ǿ ĳȒȝȘ ĲȠȣ ȒĲĮȞ ȒįȘ İțİȓ, ȩĲĮȞ ȑĳĲĮıİ ıĲȠ ȆĮȡȓıȚ. ǲĲıȚ ȠȚ ıʌȠȣįĮȓȠȚ īȐȜȜȠȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ, ĲȠȣ ĳȑȡșȘțĮȞ ȝİ İȣȖȑȞİȚĮ, ĮȜȜȐ țĮȚ ȝİ țȐʌȠȚĮ ĮʌĮȟȓȦıȘ. ȀĮĲȐ ĲȘȞ ʌĮȡĮȝȠȞȒ ĲȠȣ ıĲȠ ȆĮȡȓıȚ, ĲİȜİȚȠʌȠȓȘıİ ĲȘȞ įȚĮĲȡȚȕȒ ĲȠȣ ȖȚĮ ĲȚȢ ȣʌİȡȕĮĲȚțȑȢ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ, įȘȜĮįȒ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ ȖİȞȚțȩĲİȡȘȢ ȝȠȡĳȒȢ Įʌȩ ĲȚȢ ȖȞȦıĲȑȢ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȑȢ, İțșİĲȚțȑȢ țĮȚ ȜȠȖĮȡȚșȝȚțȑȢ. ǲĲıȚ ȐȞȠȚȟİ ȑȞĮ ȞȑȠ țȜȐįȠ ıĲȘȞ ĮȞȐȜȣıȘ. ȊʌȑȕĮȜİ ĲȘȞ İȡȖĮıȓĮ ĮȣĲȒ ıĲȘȞ ǹțĮįȘȝȓĮ. ȀȡȚĲȑȢ ȠȡȓıĲȘțĮȞ ȠȚ ȁİȖțȑȞĲȡ țĮȚ ȀȦıȪ. ȅȚ ıȣȞșȒțİȢ ȗȦȒȢ ĲȠȣ țĮȚ ĲȠ țȜȒȝĮ ĲȠȣ ȆĮȡȚıȚȠȪ ȤİȚȡȠĲȑȡİȥĮȞ ĲȘȞ țĮĲȐıĲĮıȘ ĲȘȢ ȣȖİȓĮȢ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/3

ĲȠȣ. ǻȚĮȖȞȫıĲȘțİ ĳȣȝĮĲȓȦıȘ. ĭȠȕȚıȝȑȞȠȢ Įʌȩ ĮȣĲȒ ĲȘȞ İȟȑȜȚȟȘ, ȑĳȣȖİ ȖȚĮ ĲȘ ǺȚȑȞȞȘ ĮȞĮșȑĲȠȞĲĮȢ ıİ ȐȜȜȠȞ ĲȘȞ ʌĮȡȠȣıȓĮıȘ ĲȘȢ İȡȖĮıȓĮȢ. Ǿ įȚĮĲȡȚȕȒ ĲȠȣ įİȞ ȑȖȚȞİ țĮĲĮȞȠȘĲȒ țĮȚ ıȣȞİʌȫȢ įİȞ ĮȞĮȖȞȦȡȓıĲȘțİ Ș ĮȟȓĮ ĲȘȢ. ȅ ȀȦıȪ ȝȐȜȚıĲĮ įİȞ ĮıȤȠȜȒșȘțİ țĮșȩȜȠȣ, ĮĳȠȪ ȑȤĮıİ ĲȠ įȚțȩ ĲȠȣ ĮȞĲȓȖȡĮĳȠ. ǼȟȠȣșİȞȦȝȑȞȠȢ ıȦȝĮĲȚțȐ țĮȚ ȥȣȤȠȜȠȖȚțȐ, Ƞ ǱȝʌİȜ ĮʌȠĳȐıȚıİ ȞĮ ȖȣȡȓıİȚ ıĲȘȞ ʌĮĲȡȓįĮ ĲȠȣ, ȤȦȡȓȢ țĮșȩȜȠȣ ȤȡȒȝĮĲĮ ȖȚĮ ĲȘȞ ȠȚțȠȖȑȞİȚȐ ĲȠȣ. īȚĮ ȞĮ ĮȞĮșĮȡȡȒıİȚ ȜȓȖȠ İʌȚıțȑĳĲȘțİ ĲȘ ĳȓȜȘ ĲȠȣ ȝİ ĲĮ ʌȩįȚĮ, ȝȑıĮ ıĲȠ ȃȠȡȕȘȖȚțȩ ȤİȚȝȫȞĮ, ȝİ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ȠȚ ĮȚȝȠʌĲȪıİȚȢ ĲȠȣ ȞĮ ȖȓȞȠȣȞ ıȣȤȞȩĲİȡİȢ. Ǿ İȡȖĮıȓĮ ĲȠȣ ȑĳĲĮıİ țȐʌȠȚĮ ıĲȚȖȝȒ ıĲĮ ȤȑȡȚĮ ĲȠȣ īȚĮțȩȝʌȚ, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ĲȘȞ ĮȞȑįİȚȟİ ȖȚĮ ȞĮ ĲȘȞ İʌİțĲİȓȞȠȣȞ ĮȡȖȩĲİȡĮ Ƞ ǺȐȧİȡıĲȡĮȢ țĮȚ Ƞ ȇȓȝĮȞ. Ǿ īĮȜȜȚțȒ ǹțĮįȘȝȓĮ ʌȡȠıʌȐșȘıİ ȞĮ įȚȠȡșȫıİȚ ĲĮ ʌȡȐȖȝĮĲĮ, ȕȡĮȕİȪȠȞĲȐȢ ĲȠȞ, Ƞ ȀȡȑȜİ țĮĲȩȡșȦıİ ȞĮ ĲȠȣ İȟĮıĳĮȜȓıİȚ ȝȚĮ șȑıȘ țĮșȘȖȘĲȒ ıĲȠ ǺİȡȠȜȓȞȠ țĮȚ Ƞ ȋȩȜȝʌȠİ İȟȑįȦıİ țȐʌȠȚĮ ȑȡȖĮ ĲȠȣ. ǹȜȜȐ ȩȜĮ ĮȣĲȐ ȑȖȚȞĮȞ ʌȠȜȪ ĮȡȖȐ. Ǿ ĳȣȝĮĲȓȦıȘ İȓȤİ ȞȚțȒıİȚ ĲȠȞ ǱȝʌİȜ, ıİ ȘȜȚțȓĮ ȝȩȜȚȢ İȓțȠıȚ İʌĲȐ ȤȡȩȞȦȞ. ȉȠ ȩȞȠȝȐ ĲȠȣ ʌȒȡĮȞ țĮȚ ȝȐȜȚıĲĮ İȟİȜȜȘȞȚıȝȑȞȠ, ȠȚ «ĮȕİȜȚĮȞȑȢ» ȠȝȐįİȢ, ȠȚ «ĮȕİȜȚĮȞȑȢ» ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ, ĲȠ «șİȫȡȘȝĮ ǱȝʌİȜ», Ƞ «țȡĮĲȒȡĮȢ ǱȝʌİȜ», ıĲȘ ıİȜȒȞȘ țĮȚ ĲȠ «įȚİșȞȑȢ ȕȡĮȕİȓȠ ǱȝʌİȜ». ȆİȡȚȝȑȞȠȣȝİ ĮțȩȝȘ ĲȘ ıȣȖȞȫȝȘ ĲȠȣ īțȐȠȣȢ țĮȚ ĲȠȣ ȀȦıȪ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/4

¦ÎÌÍÂÃǷ ÍÒÆ ÉÊəÍÒÆ ºÊÂÁÅəÆ ÅȐÌº ºÉȿ ÅÂº ¼¾ÒÅ¾ÍÊÂÃȘ ÉÊÈÌȐ¼¼ÂÌÀ ȂĮȡȓȞȠȢ ȈʌȘȜȚȩʌȠȣȜȠȢ - ǼȡİȣȞȘĲȒȢ

ıĲȦ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ țȐșİĲİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǺ = ȇ1 țĮȚ ǹī = ȇ2 ȩʌȠȣ ȇ1 țĮȚ ȇ2 įȪȠ ȖȞȦıĲȠȓ įȚĮįȠȤȚțȠȓ ʌȡȫĲȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİ ȇ1 t 7 ıȤ. 1. ǲȤİȚ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ Ƞ İʌȩȝİȞȠȢ ʌȡȫĲȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ

ȇ3 İȓȞĮȚ ʌȐȞĲĮ ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ Įʌȩ ĲȘȞ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ Ǻī = Ȁ = P12 P22 ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ. Ǿ ĮʌȩįİȚȟȘ ȑȤİȚ ȖȓȞİȚ ıĲȘȞ İȡȖĮıȓĮ «ȉȡȓȖȦȞĮ, ĲİĲȡȐȖȦȞĮ țĮȚ ʌȡȫĲȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ» ĲȠȣ ȂĮȡȓȞȠȣ ȈʌȘȜȚȩʌȠȣȜȠȣ ıĲȠ ĲİȪȤȠȢ 108 ĲȠȣ Ǻǯ ǼȣțȜİȓįȘ ĲȘȢ Ǽ.Ȃ.Ǽ. ǻȪȠ ʌİȡȚȜȘʌĲȚțȐ ȜȩȖȚĮ ȖȚ’ ĮȣĲȒ: Į) ȅȚ ʌİȡȚĲĲȠȓ ʌȡȫĲȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ĮȞȐ ĲȡİȚȢ įȚĮįȠȤȚțȠȓ, ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ʌȜİȣȡȑȢ ıțĮȜȘȞȫȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ (ȣʌĮțȠȪȠȣȞ ıĲȘȞ ĲȡȚȖȦȞȚțȒ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ). ȕ) Ȃİ ĲȠȞ ĲȪʌȠ ĲȠȣ ǳȡȦȞĮ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ țȐșİ ĲȡȚȖȫȞȠȣ (ĮȞ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ĲȚȢ ĲȡİȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ, ʌȠȣ İįȫ İȓȞĮȚ ȠȚ ĲȡİȚȢ įȚĮįȠȤȚțȠȓ ʌȡȫĲȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ). ǹȞ İȟȚıȫıȠȣȝİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĮȣĲȩ ȝİ ĲȠ ȚıȠįȪȞĮȝȠ İȝȕĮįȩ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ʌȜİȣȡȐȢ Į, ʌȡȠțȪʌĲİȚ ĲİȜȚțȐ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ĲȪʌȠȢ ʌȠȣ Įʌȩ ȝȓĮ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ȝİ ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ țĮȚ ȖȚĮ ȇ1 t 7, ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȞĮ ȚıȤȪİȚ ʌȐȞĲĮ Ș ĮȞȚıȩĲȘĲĮ ȇ3< P12 P22 . ȉȠ ȇ3, įȘȜĮįȒ Ƞ ĲȡȓĲȠȢ țĮĲȐ ıİȚȡȐ įȚĮįȠȤȚțȩȢ ʌȡȫĲȠȢ, ȞĮ İȓȞĮȚ ʌȐȞĲĮ (țĮȚ ȩȤȚ ȐȜȜȠĲİ ȞĮȚ țĮȚ ȐȜȜȠĲİ ȩȤȚ), ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ ĲȘȢ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ ȇ1, ȇ2 įȚĮįȠȤȚțȠȪȢ ʌȡȫĲȠȣȢ. ǲıĲȦ Ǻǻ = ȇ3. ȉȠ ȠʌȠȓȠ Ǻǻ > ȇ2 > ȇ1 țĮĲȐ ĲĮ ȖȞȦıĲȐ. ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȠ ȇ3 țĮĲ’ ĮȡȤȐȢ ȐȖȞȦıĲȠ țĮȚ ĲȠ ǻ țȐʌȠȣ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ Ǻ țĮȚ ī țĮȚ ĳȣıȚțȐ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ

ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ. ȅȚ ȠȟİȓİȢ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ İȓȞĮȚ ǹǺī =ĳ țĮȚ ǹīǺ = Ȧ. ǼȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȑȢ ȝȑıȦ ĲȦȞ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ ĲȠȣȢ ȝȚĮȢ țĮȚ ȠȚ țȐșİĲİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȇ1 țĮȚ ȇ2 İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȑȢ. ȅȡȓȗȠȣȝİ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ ıĲȘȞ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ ǺǼ=ǹǺ=ȇ1. ĭȑȡȞȠȣȝİ țĮȚ ĲȘȞ ǹǼ. ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺǼ İȓȞĮȚ

ȚıȠıțİȜȑȢ. ȅȚ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ ǼǹǺ țĮȚ AEB İȓȞĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ ȓıİȢ, EAB AEB 90 ĳ / 2 țĮȚ ĳȣıȚțȐ ȖȞȦıĲȑȢ. ȅȡȓȗȠȣȝİ İʌȓıȘȢ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ǽ ıĲȘȞ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ īǽ=ǹī=ȇ2. ȅȚ ȖȦȞȓİȢ

ǽǹī Aǽī 90 Ȧ / 2 țĮȚ ȐȡĮ ȖȞȦıĲȑȢ. ǼʌȓıȘȢ ĳȑȡȞȠȣȝİ ĲȠ țȐșİĲȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ ǼǾ ʌȡȠȢ ĲȘȞ İȣșİȓĮ ǹī (ȪȥȠȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǼī ıĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹī), țĮșȫȢ țĮȚ ĲȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ ǻǾ (ȕȜȑʌİ ıȤȒȝĮ). ȅȚ ʌİȡȚııȩĲİȡİȢ ȖȦȞȓİȢ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȞĲĮȚ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȑȢ țĮȚ İȪțȠȜĮ ȣʌȠȜȠȖȓȗȠȞĲĮȚ (ıȘȝİȚȫȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ ıȤȒȝĮ), ȖȚĮĲȓ İțĳȡȐȗȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȚȢ ȖȞȦıĲȑȢ ȖȦȞȓİȢ ĳ țĮȚ Ȧ. ǹȣĲȑȢ ʌȠȣ įİȞ İȓȞĮȚ İȟ’ ĮȡȤȒȢ ȖȞȦıĲȑȢ ĮȜȜȐ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĲȚȢ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĮȡȖȩĲİȡĮ (ȝİ ĲȠȞ ȞȩȝȠ ĲȦȞ ȘȝȚĲȩȞȦȞ țĮȚ ȖȞȦıĲȑȢ ʌȜİȣȡȑȢ) İȓȞĮȚ Ș țĮĲ’ ĮȡȤȐȢ ȐȖȞȦıĲȘ

E'+ = y țĮȚ Ș İȟ’ ĮȣĲȒȢ

İȟĮȡĲȫȝİȞȘ ǻǾǼ =90–(y–Ȧ) țĮșȫȢ țĮȚ Ș +'* =180–y țĮȚ Ș *+' =y–Ȧ (ȕȜȑʌİ ıȤȒȝĮ). ȉȫȡĮ șĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ țȐʌȠȚĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ ʌȠȣ ȝĮȢ İȓȞĮȚ ȤȡȒıȚȝĮ ıĲȘȞ ʌȠȡİȓĮ ĲȘȢ İȡȖĮıȓĮȢ. ǲȤȠȣȝİ Ǽī = Ȁ – ȇ1 (1) ȩʌȠȣ Ȁ İȓȞĮȚ Ș ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ Ǻī. ĭȣıȚțȐ Ǽǻ = ȇ3 – ȇ1 (2) ȐȡĲȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ (ȇ3 țĮȚ ȇ1 ʌȡȫĲȠȚ ț.Ȝʌ). ǻī = Ȁ – ȇ3 (3) ǼʌȓıȘȢ ǼǾ = Ǽī ȘȝȦ ǼǾ = =(Ȁ – ȇ1)

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/5

P1 EH K

P12 (4), K

Ǿī = Ǽī ıȣȞȦ Ǿī = (Ȁ –ȇ1)

P2 P P Ǿī = ȇ2 – 1 2 (5). K K

PP · P1P2 § ȈȣȞİȤȓȗȠȣȝİ ǹǾ = ȇ2 – Ǿī ǹǾ = ȇ2 ¨ P2 1 2 ¸ AH (6). K K ¹ © ȈĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǼī ʌȜİȣȡȑȢ, ȪȥȘ, ȖȦȞȓİȢ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȐ. ȈĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǿǻī ȚıȤȪİȚ: 5 5 ·5 § 52 1 2 ¸ 1 ¨ Ǿī Ǿǻ P . ¹. Șȝ(180 – y) = Șȝy, ȘȝȦ = 1 +' © (7). K KPy Șȝ 180 y ȘȝȦ K P3 +* ȖȚĮĲȓ ǻī = Ȁ – ȇ3. ǹʌȩ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǿǻī İʌȓıȘȢ ȑȤȠȣȝİ: KP 180 y KP y Z

+* KPy

K P3 PP · § K P3 KPy ¨ P2 1 2 ¸ (ȘȝyıȣȞȦ – ȘȝȦıȣȞy) K – P3 = KP y Z

K ¹ ©

PP · PP ·P § PP ·P § § = ¨ P2 1 2 ¸ (ıȣȞȦ – ȘȝȦıĳy) ĲİȜȚțȐ ȇ3 = Ȁ ¨ P2 1 2 ¸ 2 ¨ P2 1 2 ¸ 1 ıĳy K ¹ K ¹K © K ¹K © © P P ȖȚĮĲȓ ıȣȞȦ = 2 țĮȚ ȘȝȦ = 1 . ǹʌȩ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǾǼǻ ȑȤȠȣȝİ: K K P2 P1 1 5 3 51 (' (+ K VXQ y Z

KPy KP ª¬90 y Z ¼º KPy

(8)

§ § P12 · § P2 P1 · P12 · § P2 P1 · , ȇ VXQ KP P y y P – ȇ = 1 ¨ 1 ¨ 1 ¸¨ ¸ ¨ VMy ¸ ĲİȜȚțȐ ¸ 3 K ¹© K K¹ K ¹© K K¹ © © § P2 · P § P2 · P ȇ3 = ȇ1 + ¨ P1 1 ¸ 1 ¨ P1 1 ¸ 2 VMy (9) K ¹K © K ¹K ©

53 51 KPy

ǹʌȩ ĲȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ (8) țĮȚ (9) ʌȡȠțȪʌĲȠȣȞ: Į) ǹĳȠȪ ȠȚ ȩȡȠȚ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤȠȣȞ ĲȘȞ ıĳy țĮȚ ıĲȚȢ įȪȠ İȟȚıȫıİȚȢ § PP ·P P2 · P § İȓȞĮȚ ȓıȠȚ, ȚıȤȪİȚ: K ¨ P2 1 2 ¸ 2 P1 ¨ P1 1 ¸ 1 . ȀȐȞȠȞĲĮȢ ĲȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ: K ¹K K ¹K © © 3 3 2 K P1 P1K K P1 P2 K P1 0 (10) ȕ) ǹȞ Ƞ ȇ3 İȓȞĮȚ įȓįȣȝȠȢ ʌȡȫĲȠȢ ȝİ ĲȠȞ ȇ2, įȘȜĮįȒ ȇ3 = ȇ2 + 2, ʌȡȠțȪʌĲİȚ ıȤȑıȘ ʌȠȣ įȓȞİȚ ĲȘȞ ıĳy ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȦȞ ȇ1, ȇ2. Ȗ) ȉȠ ʌȚȠ ıȘȝĮȞĲȚțȩ ȩȝȦȢ Įʌ’ ȩȜĮ, İȓȞĮȚ ȞĮ ȕȡİșİȓ ȝȚĮ ıȤȑıȘ ʌȠȣ ȞĮ įȓȞİȚ ĲȠȞ ȇ3 ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȦȞ ȖȞȦıĲȫȞ ȝİȖİșȫȞ ȇ1, ȇ2 țĮȚ Ȁ țĮșȫȢ țĮȚ ȝİ ĲȠȣȢ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ĲȦȞ ȖȞȦıĲȫȞ ȖȦȞȚȫȞ ĳ țĮȚ Ȧ Ȓ ĲȦȞ ȣʌȠʌȠȜȜĮʌȜĮıȓȦȞ ĲȠȣȢ ĳ/2 ț.Ȝʌ. Ȃİ ȖȞȦıĲȐ ȝİȖȑșȘ, ȝİ ȜȓȖĮ ȜȩȖȚĮ. īȚĮĲȓ ȝİ ĲȘȞ ȐȖȞȦıĲȘ ȖȦȞȓĮ y ĲȦȞ ıȤȑıİȦȞ (8) țĮȚ (9) Ȓ țĮȚ ȝİ ȐȜȜİȢ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȕȡİșȠȪȞ țĮȚ ȞĮ ĲȘȞ ʌİȡȚȑȤȠȣȞ įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ ʌȡȠțȠʌȒ. ǻİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȠȡȚıĲİȓ, ĮȞ ĲȠ ȇ3 İȓȞĮȚ ȐȖȞȦıĲȠ. ǼʌȓıȘȢ țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıİ İʌĮȜȒșİȣıȘ ȖȞȦıĲȫȞ ıȤȑıİȦȞ. ȉȠ ȩȜȠ ȗȒĲȘȝĮ įİȞ İȓȞĮȚ ȝȩȞȠ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĮȜȜȐ țĮȚ ĳȚȜȠıȠĳȚțȩ. Ǿ İȪȡİıȘ įȘȜĮįȒ İȞȩȢ ʌȡȫĲȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ Įʌȩ ĲȠȞ ȖȞȦıĲȩ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȩ ĲȠȣ Ȓ ĲȠȣȢ įȪȠ ȖȞȦıĲȠȪȢ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠȪȢ ĲȠȣ. ǻİȞ ĲȠ ȑȤİȚ ʌİĲȪȤİȚ țĮȞİȓȢ ȝȑȤȡȚ ĲȫȡĮ. ǹʌȩ ĲȠȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȩ ĲȠȣ ȝȐȜȜȠȞ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȠ țĮȚ Ƞ ʌȚșĮȞȩȢ ȜȩȖȠȢ İȓȞĮȚ ȩĲȚ ȑȞĮ ĲȑĲȠȚȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖİȦȝİĲȡȚțȠʌȠȚȘșİȓ. Ȃİ ĲȠȣȢ įȪȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠȪȢ ĲȠȣ ȩȝȦȢ ĲȠ ʌȡȐȖȝĮ ĮȜȜȐȗİȚ, ȖȚĮĲȓ Ș ȖİȦȝİĲȡȚțȠʌȠȓȘıȘ İȓȞĮȚ İĳȚțĲȒ. ȀĮȚ ʌȐȜȚ įİȞ İȓȞĮȚ ıȓȖȠȣȡȠ ĮȞ șĮ ȕȡİșİȓ. Ǽįȫ ĮȢ ʌȠȪȝİ ȝİȡȚțȐ ȜȩȖȚĮ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ʌȡȫĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ. ȀĮĲ’ ĮȡȤȐȢ ȠȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȑȤȠȣȞ ĮȣĲȩ ʌȠȣ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȠȞȠȝȐıȠȣȝİ «țĮȜȒ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ ıȣȝʌİȡȚĳȠȡȐ»: ȠȚ ȐȡĲȚȠȚ İȞĮȜȜȐııȠȞĲĮȚ ʌȐȞĲĮ ȝİ ĲȠȣȢ ʌİȡȚĲĲȠȪȢ, ĲĮ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚĮ ĲȠȣ ʌȑȞĲİ İȝĳĮȞȓȗȠȞĲĮȚ ʌȐȞĲĮ țȐșİ ʌȑȞĲİ ĮȡȚșȝȠȪȢ, Ș ĮțȠȜȠȣșȓĮ ĭȚȝʌȠȞȐĲıȚ ĮțȠȜȠȣșİȓ ȝȚĮ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ įȚĮįȚțĮıȓĮ ț.Ȝʌ. ǹȞĲȓșİĲĮ ȠȚ ʌȡȫĲȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ ȠȚ ʌȚȠ ʌİȡȓİȡȖȠȚ Įʌ’ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, İȓȞĮȚ ȝİȖȐȜȠȢ ȝʌİȜȐȢ: İȝĳĮȞȓȗȠȞĲĮȚ ȩʌȠȣ șȑȜȠȣȞ, ĮʌȡȠİȚįȠʌȠȓȘĲĮ, ȝİ ȝȚĮ ĳĮȚȞȠȝİȞȚțȐ ȤĮȠĲȚțȒ ȝȠȡĳȒ, țĮȚ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ĮțȠȜȠȣșȠȪȞ țĮȞİȞȩȢ İȓįȠȣȢ țĮȞȩȞĮ. ȀĮȚ ĲȠ ȤİȚȡȩĲİȡȠ Įʌ’ ȩȜĮ İȓȞĮȚ ȩĲȚ țĮȞİȓȢ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĲȠȣȢ ĮȖȞȠȒıİȚ: ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ĲȘȞ ȠȣıȓĮ ĲȘȢ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒȢ țĮȚ, ȦȢ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ȠȜȩțȜȘȡȘȢ ĲȘȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. ȈĲȘȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩĲȘĲĮ ȠȚ ʌȡȫĲȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ įİȞ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ țȐʌȠȚĮ ʌİȡȓʌȜȠțȘ ȑȞȞȠȚĮ ʌȠȣ ĮʌĮȚĲİȓ ȤȡȩȞȚĮ ıʌȠȣįȫȞ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/6

ıĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ. ǹȞĲȓșİĲĮ, įȚįȐıțȠȞĲĮȚ ıĲĮ ıȤȠȜİȓĮ, Įʌȩ ĲĮ ʌȡȫĲĮ ȝĮșȒȝĮĲĮ. ǼȓȞĮȚ ȠȚ ĮțȑȡĮȚȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȠȣ įȚĮȚȡȠȪȞĲĮȚ ȝȩȞȠ ȝİ ĲȠȞ İĮȣĲȩ ĲȠȣȢ țĮȚ ĲȘȞ ȝȠȞȐįĮ. ǿıȤȪİȚ ȓıȦȢ ĮȣĲȩ ʌȠȣ ȑȤİȚ İȚʌȦșİȓ: ȉȠ ʌȚȠ İȪțȠȜȠ ıĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ İȓȞĮȚ țĮȚ ĲȠ ʌȚȠ įȪıțȠȜȠ Įʌ’ ȩȜĮ. ǵʌȠȚȠȢ șİȜȒıİȚ ȞĮ ĮıȤȠȜȘșİȓ ȝİ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ, ȤȦȡȓȢ ȞĮ ȑȤİȚ țĮȜȒ ıȤȑıȘ ȝĮȗȓ ĲȠȣȢ, İȓȞĮȚ ȤĮȝȑȞȠȢ, ĮĳȠȪ ʌȐȞĲĮ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ İțİȓ țĮȚ ʌĮȡĮȝȠȞİȪȠȣȞ, ȑĲȠȚȝȠȚ ȞĮ ȟİʌȡȠȕȐȜȜȠȣȞ ĲȘȞ ʌȚȠ ĮȞĮʌȐȞĲİȤȘ ıĲȚȖȝȒ. ǵĲĮȞ İȝĳĮȞȓȗȠȞĲĮȚ, ĲȠ țȐȞȠȣȞ ȝİ ĮȞĮʌȩĳİȣțĲȠ țĮȚ ĮȝİȓȜȚțĲȠ ĲȡȩʌȠ, ıȘȝĮįİȪȠȞĲĮȢ ĲȘȞ ʌİȡȚȠȤȒ ĲȠȣȢ țĮȚ țȐȞȠȞĲĮȢ İʌȓįİȚȟȘ įȪȞĮȝȘȢ. Ǿ İʌȚȡȡȠȒ ĲȠȣȢ įİȞ ʌİȡȚȠȡȓȗİĲĮȚ ȝȩȞȠ ıĲȠȞ ȚįȚĮȓĲİȡȠ țȩıȝȠ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. ȅȚ ʌȡȫĲȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ʌĮȓȗȠȣȞ țĮșȠȡȚıĲȚțȩ ȡȩȜȠ ıĲȘȞ țĮșȘȝİȡȚȞȒ ȗȦȒ: ıĲȘȞ ʌȡȠıĲĮıȓĮ ʌȠȣ ĮʌĮȚĲİȓ Ƞ ʌȡȠıȦʌȚțȩȢ ȝĮȢ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒȢ, ıĲȚȢ ĲȡĮʌİȗȚțȑȢ ıȣȞĮȜȜĮȖȑȢ, ıĲȘȞ țȚȞȘĲȒ ĲȘȜİĳȦȞȓĮ, ıĲȘȞ țȡȣʌĲȠȖȡĮĳȓĮ. ǼȓȞĮȚ ȠȚ ĮțȡȠȖȦȞȚĮȓȠȚ ȜȓșȠȚ ĲȘȢ ĮıĳȐȜİȚĮȢ ıĲȘȞ ʌȜȘȡȠĳȠȡȚțȒ. ȂİȖȐȜȠȚ țĮĲȐ țĮȚȡȠȪȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ĮȜȜȐ țĮȚ ʌȞİȣȝĮĲȚțȠȓ ȐȞșȡȦʌȠȚ ȑʌİıĮȞ ıĲĮ įȓȤĲȣĮ ĲȠȣȢ. ȅ ǼȣțȜİȓįȘȢ, Ƞ Fermat, o Euler, o Gauss, o Riemann, o Ramanujan İȓȞĮȚ ȝİȡȚțȐ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲĮ İȞȩȢ ȝĮțȡȪ țĮĲĮȜȩȖȠȣ įȚȐıȘȝȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ, ʌȠȣ ĮıȤȠȜȒșȘțĮȞ ȝĮȗȓ ĲȠȣȢ. ǹȞİȟĮȡĲȒĲȠȣ İʌȠȤȒȢ, ĲȠ șȑȝĮ ĲȦȞ ʌȡȫĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ʌĮȡĮȝȑȞİȚ ıĲȘȞ ʌȡȫĲȘ ȖȡĮȝȝȒ ĲȘȢ İȡİȣȞȘĲȚțȒȢ įȡĮıĲȘȡȚȩĲȘĲĮȢ. Ǿ ʌȠȜȪ ȑȟȣʌȞȘ ĮʌȩįİȚȟȘ ĲȠȣ ǼȣțȜİȓįȘ ȩĲȚ ĲȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȠȣȢ İȓȞĮȚ ȐʌİȚȡȠ, ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȖȓȞİȚ țĲȒȝĮ țȐșİ ʌȞİȣȝĮĲȚțȠȪ ĮȞșȡȫʌȠȣ. ǲȤȠȣȞ ĮĳȒıİȚ ĮĲȑȜİȚȦĲĮ ȓȤȞȘ İȚțĮıȚȫȞ ıĲȘȞ ȚıĲȠȡȚțȒ ʌȠȡİȓĮ ĲȘȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. Ǿ ȚıĲȠȡȓĮ ĲȦȞ ʌȡȫĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ȑȤİȚ ıȣȞįİșİȓ ȝİ ʌĮĲĮȖȫįİȚȢ ĮʌȠĲȣȤȓİȢ, ĮʌȠĲȣȤȓİȢ șĮȣȝȐıȚİȢ ʌȠȣ ȖȑȞȞȘıĮȞ ȞȑİȢ șİȦȡȓİȢ, ȞȑĮ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲĮ, ȞȑĮ ȠȡȩıȘȝĮ ʌȠȣ ıȘȝĮĲȠįȩĲȘıĮȞ ĲȠ ʌȡȚȞ țĮȚ ĲȠ ȝİĲȐ. ȆȠȜȜȠȓ ȐȞșȡȦʌȠȚ ȑȤȠȣȞ ʌȐșİȚ İȝȝȠȞȒ ȝĮȗȓ ĲȠȣȢ, ȝİ ĲȘȞ țĮȜȒ țĮȚ țĮțȒ ȑȞȞȠȚĮ ĲȠȣ ȩȡȠȣ. Ǿ ıȪȖȤȡȠȞȘ ȝİȜȑĲȘ ĲȦȞ ʌȡȫĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ țĮȚ Ș İȟȑȜȚȟȒ ĲȠȣȢ ȠȚțȠįȠȝİȓĲĮȚ ıİ ĲȡİȚȢ ȐȟȠȞİȢ, ıİ ĲȡİȚȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ țȜȐįȠȣȢ: ıĲȠȣȢ ȝȚȖĮįȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, ıĲȘȞ ȝȠįȚĮțȒ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ Ȓ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ ĲȠȣ ȡȠȜȠȖȚȠȪ țĮȚ ıĲȘȞ ĮȞĮȜȣĲȚțȒ șİȦȡȓĮ ĲȦȞ ıȣȞĮȡĲȒıİȦȞ. Ǿ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ʌȡȠıĳȑȡİȚ ʌȠȜȜȐ țĮȚ ĮʌĮȚĲİȓ ȝİȖĮȜȪĲİȡİȢ ȖȞȫıİȚȢ ȖȚĮ ȞĮ țĮĲĮıĲİȓ įȣȞĮĲȒ Ș ʌȡȠıȑȖȖȚıȒ ĲȠȣȢ. Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ȗȒĲĮ ĲȠȣ Riemann, Ș ĮȞĮʌĮȡȐıĲĮıȒ ĲȠȣȢ ıİ ȤȫȡȠ ĲİııȐȡȦȞ įȚĮıĲȐıİȦȞ ț.Ȝʌ ȕȐȗİȚ ıİ țȐʌȠȚĮ ĲȐȟȘ ĲȘȞ ȤĮȫįȘ ĮțȠȜȠȣșȓĮ ĲȦȞ ʌȡȫĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ. ǱȡĮȖİ Ș ǼȣțȜİȓįİȚĮ īİȦȝİĲȡȓĮ ʌȠȣ ȠȟȪȞİȚ ĲȠȞ ȞȠȣ țĮȚ İȓȞĮȚ ʌȞİȣȝĮĲȚțȒ țĮĲȐțĲȘıȘ ĲȦȞ ǹȡȤĮȓȦȞ ǼȜȜȒȞȦȞ (ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ įȣıĲȣȤȫȢ ȖȚĮ įȚȐĳȠȡȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ĲĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȤȡȩȞȚĮ, ʌȡȠıʌĮșȠȪȞ ȞĮ ĲȘȞ «ʌİȡȚșȦȡȚȠʌȠȚȒıȠȣȞ» ıĲȘȞ ȂȑıȘ Ǽțʌ/ıȘ țĮȚ ȩȤȚ ȝȩȞȠ, ıĲȘȞ ȤȫȡĮ ȝĮȢ țĮȚ įȚİșȞȫȢ) țĮȚ Ș ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȓĮ, ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮʌȠțĮȜȪȥȠȣȞ ĲȠ ȝİȖȐȜȠ ȝȣıĲȚțȩ ĲȦȞ ʌȡȫĲȦȞ; ǻȘȜĮįȒ ĲȘȞ İȪȡİıȘ ĲȠȣ İʌȩȝİȞȠȣ ʌȡȫĲȠȣ; ǹȢ ĲȠ ʌȡȠıʌĮșȒıȠȣȝİ ıĲȘȞ İȡȖĮıȓĮ ĮȣĲȒ ȑıĲȦ țĮȚ ıĲȠ ĲȑȜȠȢ ĲȘȢ. ȉȠ ʌȠȜȪ ʌȠȜȪ ıĲȘ ȤİȚȡȩĲİȡȘ ʌİȡȓʌĲȦıȘ, ȞĮ ȑȤȠȣȝİ ĲȘȞ ĮȡȞȘĲȚțȒ ȜȪıȘ ȩĲȚ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ įİȞ ȜȪȞİĲĮȚ. ȀȐĲȚ ĲȘȡȠȣȝȑȞȦȞ ĲȦȞ ĮȞĮȜȠȖȚȫȞ ȝİ ĲȠȞ ĲİĲȡĮȖȦȞȚıȝȩ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ȝİ țĮȞȩȞĮ țĮȚ įȚĮȕȒĲȘ. Ǽʌȓ ĲȠ ȑȡȖȠȞ ȜȠȚʌȩȞ. ĭȑȡȞȠȣȝİ ĲȘȞ ǻĬ țȐșİĲȠ ıĲȘȞ ǹǺ țĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠ ıĲȘȞ ǹī ıȤ. 1. ǹȣĲȒ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ǹǼ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ țĮȚ ĲȘȞ ǼǾ ıĲȠ ȁ (ȕȜȑʌİ ıȤȒȝĮ). ȈȤȘȝĮĲȓȗİĲĮȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȂǼǻ. ĭȑȡȞȠȣȝİ İʌȓıȘȢ ĲȚȢ țĮșȑĲȠȣȢ Ȃȃ țĮȚ ǻǿ ıĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹī. ȆȡȚȞ ȩȝȦȢ țĮĲĮȜȒȟȠȣȝİ țȐʌȠȣ ıĲȠ ʌȚȠ ʌȐȞȦ İȡȫĲȘȝĮ, ĮȢ ĮȞĮĳȑȡȠȣȝİ țĮȚ ĲȠȪĲȠ: ǹʌȩ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ĬǺǻ, ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲȘȞ ĲȡȚȖȦȞȚțȒ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ țĮȚ ȐȜȜİȢ ıȣȞįȚĮıĲȚțȑȢ ıȤȑıİȚȢ Įʌȩ ĲȠ ıȤȒȝĮ, ʌȡȠțȪʌĲİȚ ʌȠȜȪʌȜȠțȘ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ ȝİ ĲȠ ȇ3 țĮȚ ȖȞȦıĲȐ ȝİȖȑșȘ. ǹʌȜȫȢ ĮȞĮĳȠȡȐ ȖȓȞİĲĮȚ țĮȚ įİȞ ĮȞĮȜȪİĲĮȚ ĲȠ șȑȝĮ, ȖȚĮ ȞĮ ȝȘȞ ʌȜĮĲȚȐıȠȣȝİ ȝİ ıȤȑıİȚȢ ȩȤȚ įȪıțȠȜİȢ, ĮȜȜȐ ʌȠȜȜȑȢ. ǼȟȐȜȜȠȣ Ș ĮȞȚıȩĲȘĲĮ ĮȣĲȒ, įİȞ ıȣȞĮȖȦȞȓȗİĲĮȚ ĲȘȞ ĮʌȜȒ țĮȚ ĲȩıȠ ȤȡȒıȚȝȘ ȇ3 < P12 P22 ȝİ ȇ1 t 7, ʌȐȞȦ ıĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ıĲȘȡȓȗİĲĮȚ İȞ ʌȠȜȜȠȓȢ Ș ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ İȡȖĮıȓĮ. ȈȓȖȠȣȡĮ ĲȠ ȕĮıȚțȩ șȑȝĮ İȓȞĮȚ, ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ ȚıȩĲȘĲĮ ĲȠȣ ȇ3 ȝİ ȖȞȦıĲȐ ȝİȖȑșȘ țĮȚ ȩȤȚ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ. ȀȐʌȠȚȠȚ șĮ ʌȡȩĲİȚȞĮȞ İĳ’ ȩıȠȞ ĮȞĮĳİȡȩȝĮıĲİ ıİ ʌȡȫĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, ȞĮ ıȣȞįİșİȓ Ș įȚĮįȚțĮıȓĮ ȝİ ĲȠ ȗȒĲȘȝĮ ĲȘȢ įȚĮȚȡİĲȩĲȘĲĮȢ, ȝȚĮȢ țĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ǻ İȓȞĮȚ țȐʌȠȚȠ Įʌȩ ĲĮ ȐʌİȚȡĮ ıȘȝİȓĮ ȝİĲĮȟȪ Ǽ țĮȚ ī. ǳ țĮȜȪĲİȡĮ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣ Ǽǯ (įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ ıĲȠ ıȤȒȝĮ ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ ǺǼǯ= ȇ2 +2) țĮȚ ĲȠȣ ī. ȆȚșĮȞȩȞ ȐȜȜȠȚ ȞĮ ȒșİȜĮȞ ĲȠ ȖİȦȝİĲȡȚțȩ ıȤȒȝĮ ʌȚȠ ʌİȡȓʌȜȠțȠ ȕȐȗȠȞĲĮȢ țĮȚ ȐȜȜĮ ıĲȠȚȤİȓĮ ı’ ĮȣĲȩ. ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ ĲȠ ȇ3 ȞĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ țĮȚ Įʌȩ ĲȚȢ įȪȠ țĮĲİȣșȪȞıİȚȢ ĲȘȢ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮȢ Ǻī (ıȘȝİȓĮ ǻ țĮȚ ǻǯ ț.Ȝʌ). ȉȠ «įȣȞĮĲȩ ȤĮȡĲȓ» ĲȘȢ İȡȖĮıȓĮȢ İȓȞĮȚ ȩĲȚ ĲȠ ǻ ȣʌȐȡȤİȚ (İȓȞĮȚ ĮȞĮȝĳȚıȕȒĲȘĲȠ ȖİȖȠȞȩȢ) ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣ Ǻ țĮȚ ī Ȓ ĲȠȣ ī țĮȚ Ǻ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ). ǼȓȞĮȚ įİįȠȝȑȞȠ ĮȣĲȩ, İȓȞĮȚ ȐȖȞȦıĲȠȢ ȋ ʌȠȣ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȚıĲİȓ ȝȑıĮ Įʌȩ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ įȚĮįȚțĮıȓİȢ ȝȚĮȢ ȖİȦȝİĲȡȚțȒȢ țĮĲĮıțİȣȒȢ. ȈȣȞİȤȓȗȠȣȝİ ĲȘȞ ʌȡȠıʌȐșİȚĮ ȝİ ĲȘȞ İȟȒȢ ĮʌȜȒ įȚĮįȚțĮıȓĮ: ǹʌȩ 5 3 51 '0 M· M § ĲȠ ȞȩȝȠ ĲȦȞ ȘȝȚĲȩȞȦȞ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȂǼǻ: KP ¨ 90 ¸ VXQ . ǼȪțȠȜĮ ʌȡȠțȪʌĲİȚ M M· 2¹ 2 § © KP ¨ 90 ¸ KP 2 2¹ © M + ȇ1 (11) 2 ǹȞ ĳȑȡȠȣȝİ ĲȘ įȚȤȠĲȩȝȠ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ĳ (įİȞ ĲȠ țȐȞĮȝİ ıĲȠ ıȤȒȝĮ) țĮȚ İĳĮȡȝȩıȠȣȝİ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ ĲȘȢ

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52 M M , İȪțȠȜĮ țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıĲȘ ıȤȑıȘ HM 2 2 . 51 (12) ǼʌİȚįȒ ȑȤȠȣȝİ ʌȠȜȜȑȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ʌȡȐȟİȚȢ țĮȚ ȖȚĮ ȞĮ ȝȘȞ ʌȜĮĲȚȐıȠȣȝİ, ĮȞĮĳȑȡȠȣȝİ ĲȘȜİȖȡĮĳȚțȐ ĲĮ ĮțȠȜȠȣșȠȪȝİȞĮ ȕȒȝĮĲĮ: ȊʌȠȜȠȖȓȗȠȣȝİ ĲĮ ĲȝȒȝĮĲĮ ǻȁ țĮȚ ȁȂ (ʌȠȣ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ĲȠ ǻȂ), ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȠȣ ȁǼ, ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĲȝȒȝĮ ĲȠȣ ȖȞȦıĲȠȪ ǼǾ. ǼʌȓıȘȢ ĲȠ ȁǾ = Ȃȃ ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ

įȚȤȠĲȩȝȠȣ țĮȚ ĲȠ ıȣȞįȚȐıȠȣȝİ ȝİ ĲȘȞ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȘȢ

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/8

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22018

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/9

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2018

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(1)

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(p q)q q ʌĮȓȡȞȠȣȝİ: x p . pq p ǼʌİȚįȒ ĲȠ ĮȡȚıĲİȡȩ ȝȑȜȠȢ İȓȞĮȚ ȡȘĲȩȢ, șĮ ʌȡȑʌİȚ ĲȠ ȓįȚȠ ȞĮ ȚıȤȪİȚ țĮȚ ȖȚĮ ĲȠ įİȟȓ ȝȑȜȠȢ. ǼʌȚʌȜȑȠȞ (p q, p) 1 , ȠʌȩĲİ șĮ ʌȡȑʌİȚ Ƞ ĮȡȚșȝȘĲȒȢ țĮȚ Ƞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıĲȒȢ ĲȠȣ țȜȐıȝĮĲȠȢ ȞĮ İȓȞĮȚ ĲȑȜİȚİȢ p

ȀĮȚ ȣȥȫȞȠȞĲĮȢ țĮȚ ĲĮ įȪȠ ȝȑȜȘ ıĲȘȞ

įȣȞȐȝİȚȢ. ǱȡĮ ʌȡȑʌİȚ p q D p NDL p b p , D, b ` * , D ! 1 ǹȞ ȩȝȦȢ b t 2 , ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ b p t 2 p ! p , ȠʌȩĲİ ʌȡȑʌİȚ b 1 , ȐȡĮ p 1 țĮȚ q D 1 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲĮ ȗİȪȖȘ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/11

1 · § * ȜȪıİȦȞ įȓȞȠȞĲĮȚ ʌĮȡĮȝİĲȡȚțȐ (x, y) ¨ D D 1 , ¸, D ` , D ! 1 . D 1 ¹ © ȆȡȩȕȜȘȝĮ 4 ĬİȦȡȠȪȝİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ Q u P , ȝİ Q d P , ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȣʌȠįȚĮȚȡȠȪȝİ ȝİ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ İȣșİȓİȢ ʌȡȠȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ıİ QP ȝȠȞĮįȚĮȓĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ. ǹȡȤȚțȐ ĲȠʌȠșİĲȠȪȝİ Įʌȩ ȑȞĮ ȝĮȪȡȠ ʌȚȩȞȚ ıİ ȃ ȝȠȞĮįȚĮȓĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ʌȡȠıʌĮșȠȪȝİ ȞĮ ȖİȝȓıȠȣȝİ ĲȠȞ ʌȓȞĮțĮ ȝİ ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ İțĲİȜȫȞĲĮȢ ĲȘȞ ʌĮȡĮțȐĲȦ İʌȚĲȡİʌȩȝİȞȘ țȓȞȘıȘ: ǹȞ ȑȞĮ țİȞȩ ȝȠȞĮįȚĮȓȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ȑȤİȚ țȠȚȞȒ ʌȜİȣȡȐ ȝİ įȪȠ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȝȠȞĮįȚĮȓĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ țĮĲİȚȜȘȝȝȑȞĮ ȝİ ȝĮȪȡȠ ʌȚȩȞȚ, ĲȩĲİ ĲȠʌȠșİĲȠȪȝİ țĮȚ ıİ ĮȣĲȩ ĲȠ ȝȠȞĮįȚĮȓȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ȑȞĮ ȝĮȪȡȠ ʌȚȩȞȚ. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ İȜȐȤȚıĲȘ įȣȞĮĲȒ ĲȚȝȒ ĲȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ ȃ ĲȦȞ ȝĮȪȡȦȞ ʌȚȠȞȚȫȞ ʌȠȣ ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ ȞĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ıİ ȝȓĮ ĮȡȤȚțȒ ĲȠʌȠșȑĲȘıȘ, ȑĲıȚ ȫıĲİ ȝİĲȐ Įʌȩ ʌİʌİȡĮıȝȑȞȠ ʌȜȒșȠȢ įȚĮįȠȤȚțȫȞ İĳĮȡȝȠȖȫȞ ĲȘȢ İʌȚĲȡİʌȩȝİȞȘȢ țȓȞȘıȘȢ ȞĮ ȖİȝȓıİȚ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȝİ ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ. ȁȪıȘ ǹȡȚșȝȠȪȝİ ĲȚȢ ȖȡĮȝȝȑȢ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ Įʌȩ ĲȠ 1 ȝȑȤȡȚ ĲȠ Q țĮȚ ĲȚȢ ıĲȒȜİȢ Įʌȩ ĲȠ 1 ȝȑȤȡȚ ĲȠ P .

ȈȤȒȝĮ 2(Į) ȈȤȒȝĮ 2(ȕ) ȈȤȒȝĮ 2(Ȗ) īȚĮ Q P ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ İȓȞĮȚ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ Q u Q , İȞȫ ȖȚĮ Q P ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ȑȞĮ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ Q uQ țĮȚ Įʌȩ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ Q u P Q . ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ įȪȠ įȚʌȜĮȞȐ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ĲȘȢ ȓįȚĮȢ ȖȡĮȝȝȒȢ Ȓ ĲȘȢ ȓįȚĮȢ ıĲȒȜȘȢ ȝİ ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ įİȞ įȓȞȠȣȞ ĲȘȞ įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ ʌȜȒȡȦıȘȢ țȐʌȠȚȠȣ ȐȜȜȠȣ ȝȠȞĮįȚĮȓȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ. ǵĲĮȞ ȩȝȦȢ İȓȞĮȚ įȚĮįȠȤȚțȐ ıĲȘȞ ȓįȚĮ ȝİȖȐȜȘ Ȓ ȝȚțȡȒ įȚĮȖȫȞȚȠ ĲȩĲİ įȓȞȠȣȞ ĲȘ įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ ʌȜȒȡȦıȘȢ įȪȠ ȝȠȞĮįȚĮȓȦȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ, ȩʌȦȢ ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ıȤȒȝĮĲĮ. ǲĲıȚ ȖȚĮ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ȝİ Q P , ĮȞ ĲȠʌȠșİĲȒıȠȣȝİ ıĲȘ țȪȡȚĮ įȚĮȖȫȞȚȠ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ Q ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ, ĲȩĲİ İȓȞĮȚ İȪțȠȜȠ ȞĮ įȚĮʌȚıĲȫıȠȣȝİ ȩĲȚ ȝİ įȚĮįȠȤȚțȑȢ țȚȞȒıİȚȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȖİȝȓıȠȣȝİ ĲȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ȝİ ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ. ǹȞ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ Q P , ĲȩĲİ ıĲȠ Q u Q ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ĲȠʌȠșİĲȠȪȞİ ȟĮȞȐ ıĲȘ įȚĮȖȫȞȚȠ ĲĮ Q ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ, ȠʌȩĲİ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȖİȝȓıȠȣȝİ ĲȠ Q u Q ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ȝİ ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ. ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ įȚĮțȡȓȞȠȣȝİ įȪȠ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ: x ǹȞ P Q ʌİȡȚĲĲȩȢ, įȘȜĮįȒ ĮȞ ȠȚ P, Q İȓȞĮȚ Ƞ ȑȞĮȢ ȐȡĲȚȠȢ țĮȚ Ƞ ȐȜȜȠȢ ʌİȡȚĲĲȩȢ, ĲȠʌȠșİĲȠȪȝİ ıĲȘȞ ĲȠȝȒ ĲȘȢ Q 1 ıĲȒȜȘȢ ȝİ ĲȘ Q ȠıĲȒ ȖȡĮȝȝȒ ȑȞĮ ȝĮȪȡȠ ʌȚȩȞȚ. Ȃİ ĮȣĲȩ ĲȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ȝʌȠȡȠȪȝİ ʌȜȑȠȞ ȞĮ ȖİȝȓıȠȣȝİ ĲȘ (Q 1) ıĲȒȜȘ ȝİ ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ. ȀȐȞȠȣȝİ ĲȠ ȓįȚȠ țĮȚ ȖȚĮ ĲĮ ȝȠȞĮįȚĮȓĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ Q, Q 3 ,.... , Q, Q 2N 1 țĮȚ ıĲĮȝĮĲȐȝİ ȩĲĮȞ: Q 2N 1 P P Q

2 N 1. ǲĲıȚ

P Q 1 2 ȉȩĲİ İȓȞĮȚ İȪțȠȜȠ ȞĮ ȖİȝȓıȠȣȝİ ĲĮ İȞįȚȐȝİıĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ĲȘȢ Q ȠıĲȒȢ ȖȡĮȝȝȒȢ ȝİ ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȩȜİȢ ĲȚȢ ıĲȒȜİȢ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ. ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ıȣȞȠȜȚțȐ ıĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ P Q 1 P Q 1 ĮȣĲȒ Ƞ ȚțĮȞȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȝĮȪȡȦȞ ʌȚȠȞȚȫȞ İȓȞĮȚ . Q 2 2 ǹȞ P Q ȐȡĲȚȠȢ, ĲȠʌȠșİĲȠȪȝİ ıĲȘȞ ĲȠȝȒ ĲȘȢ Q 2N ıĲȒȜȘȢ ȝİ ĲȘ Q ȠıĲȒ ȖȡĮȝȝȒ ȑȞĮ ȝĮȪȡȠ P Q ʌȚȩȞȚ, ȖȚĮ N 1, 2,..., . Ȃİ ĮȣĲȐ ĲĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ʌȜȑȠȞ ȞĮ ȖİȝȓıȠȣȝİ ĲȘ (Q 1) ıĲȒȜȘ 2 ȝİ ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȩȜİȢ ĲȚȢ ıĲȒȜİȢ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ. ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ıȣȞȠȜȚțȐ ıĲȘȞ P Q P Q ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĮȣĲȒ Ƞ ȚțĮȞȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȝĮȪȡȦȞ ʌȚȠȞȚȫȞ İȓȞĮȚ Q . 2 2

ȑȤȠȣȝİ ĲȠʌȠșİĲȒıİȚ ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ ıĲĮ ȝȠȞĮįȚĮȓĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ Q, Q 2N 1 , ȖȚĮ N 1, 2...,

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/12

īȚĮ ĲȚȢ įȪȠ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȖȡȐȥȠȣȝİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ĲȦȞ ȝĮȪȡȦȞ ʌȚȠȞȚȫȞ ʌȠȣ « P Q 1» ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒıĮȝİ ıĲȘȞ İȞȚĮȓĮ ȝȠȡĳȒ « ». 2 ¬ ¼ ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ƞ İȜȐȤȚıĲȠȢ įȣȞĮĲȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ 1 ʌȚȠȞȚȫȞ ʌȠȣ ĮʌĮȚĲİȓĲĮȚ ȖȚĮ ĲȠ ȖȑȝȚıȝĮ ĲȠȣ ʌȓȞĮțĮ ȝİ « P Q 1» (1) ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ İȓȞĮȚ: 1d« ». 2 ¬ ¼ ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ șĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ƞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ĮȡȚșȝȩȢ 1 İȓȞĮȚ țĮȚ ĮȞĮȖțĮȓȠȢ ȖȚĮ ȞĮ ȚıȤȪİȚ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ. ǿıȠįȪȞĮȝĮ, Įȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ « P Q 1» (2) 1t« » 2 ¬ ¼ ȅȞȠȝȐȗȠȣȝİ ȝȓĮ ʌȜİȣȡȐ İȞȩȢ ȝȠȞĮįȚĮȓȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ĮıʌȡȩȝĮȣȡȘ, ĮȞ İȓȞĮȚ ʌȜİȣȡȐ İȞȩȢ ȝȩȞȠ ȝȠȞĮįȚĮȓȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ʌȠȣ ȑȤİȚ ȝĮȪȡȠ ʌȚȩȞȚ. īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ĮıʌȡȩȝĮȣȡİȢ İȓȞĮȚ ȩȜİȢ ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ ȝȠȞĮįȚĮȓȦȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ ʌȠȣ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ įİįȠȝȑȞȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ. ȊʌȠșȑĲȠȣȝİ ȩĲȚ ȝȓĮ ĮȡȤȚțȒ ĲȠʌȠșȑĲȘıȘ ȝĮȪȡȦȞ ʌȚȠȞȚȫȞ ıĲĮ ȝȠȞĮįȚĮȓĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ʌİȡȚȑȤİȚ ȃ ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ. ȉȩĲİ Ƞ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ įȣȞĮĲȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ĮıʌȡȩȝĮȣȡȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ İȓȞĮȚ 4ȃ. Ȉİ țȐșİ țȓȞȘıȘ ʌȠȣ İțĲİȜȠȪȝİ, ĮȞ ĲȠ ȝȠȞĮįȚĮȓȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ȑȤİȚ țȠȚȞȒ ʌȜİȣȡȐ ȝİ N t 2 ȝȠȞĮįȚĮȓĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ȝĮȪȡĮ ʌȚȩȞȚĮ, ĲȩĲİ ıĲȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ĮȣĲȩ ĲȠʌȠșİĲİȓĲĮȚ ȝĮȪȡȠ ʌȚȩȞȚ țĮȚ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞĲĮȚ 4 N ĮıʌȡȩȝĮȣȡİȢ ʌȜİȣȡȑȢ. ǼʌİȚįȒ 4 N d N , Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ĲȦȞ ĮıʌȡȩȝĮȣȡȦȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ įİȞ ĮȣȟȐȞİȚ. ǵȝȦȢ ıİ țȐșİ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ Ȓ ȓıȠȢ Įʌȩ ĲĮ ĮıʌȡȩȝĮȣȡİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ʌȠȣ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ıĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ, ĮțȩȝĮ țĮȚ ȩĲĮȞ ȩȜĮ ĲĮ ȝȠȞĮįȚĮȓĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ĮʌȠțĲȒıȠȣȞ ȝĮȪȡȠ ʌȚȩȞȚ, țĮȚ ıȣȞȠȜȚțȐ İȓȞĮȚ 2 Q P , įȘȜĮįȒ ʌȡȑʌİȚ: 41 t 2 Q P 1 t

ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ Ƞ 1

P Q « P Q 1» . ǼʌİȚįȒ Ƞ ȃ İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ, ʌȡȑʌİȚ 1 t « » . ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ƞ ȗȘĲȠȪȝİȞȠȢ 2 2 ¬ ¼

« P Q 1» « ». 2 ¬ ¼

2ȠȢ ĲȡȩʌȠȢ: ĬĮ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ȩȜȦȞ ĲȦȞ ȝĮȪȡȦȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ «ȝĮȪȡȘ ʌİȡȚȠȤȒ». Ǿ ȕĮıȚțȒ ʌĮȡĮĲȒȡȘıȘ İȓȞĮȚ ȩĲȚ ĮȞ ȑȞĮ Ȝİȣțȩ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ȑȤİȚ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ įȪȠ ȝĮȪȡĮ ȖİȚĲȠȞȚțȐ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ, ĲȩĲİ ȝİĲȐ ĲȘȞ İʌȚĲȡİʌȩȝİȞȘ țȓȞȘıȘ Ș ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ ĲȘȢ ȝĮȪȡȘȢ ʌİȡȚȠȤȒȢ įİȞ ȝİȚȫȞİĲĮȚ, ȩʌȦȢ ĳĮȓȞİĲĮȚ țĮȚ ıĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ.

ȈĲȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ıȤȒȝĮ ĮȣĲȩ Ș ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ ĲȘȢ ȝĮȪȡȘȢ ʌİȡȚȠȤȒȢ ʌĮȡĮȝȑȞİȚ ȓıȠ ȝİ 8 ȝİĲȐ ĲȚȢ įȪȠ țȚȞȒıİȚȢ.

ȈĲȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ıȤȒȝĮ Ș ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ ıĲȘȞ ĮȡȤȒ İȓȞĮȚ 12 țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȖȓȞİĲĮȚ 10, įȘȜĮįȒ ȝİȚȫȞİĲĮȚ țĮĲȐ 2. ǹȞ ȜȠȚʌȩȞ ȑȤȠȣȝİ ıĲȘȞ ĮȡȤȒ 1 ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ, ĲȩĲİ Ș ĮȡȤȚțȒ ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ ĲȘȢ ȝĮȪȡȘȢ ʌİȡȚȠȤȒȢ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȠȜȪ 41 . (ǼȓȞĮȚ ĮțȡȚȕȫȢ 41 ȩĲĮȞ įİȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ȖİȚĲȠȞȚțȐ ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ). ǹȞ ȜȠȚʌȩȞ ıĲȠ ĲȑȜȠȢ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȑȤİȚ ȝȩȞȠ ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ, Ș ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ ĲȘȢ ȝĮȪȡȘȢ ʌİȡȚȠȤȒȢ İȓȞĮȚ Ș ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ, įȘȜĮįȒ 2P 2Q . ȅʌȩĲİ Įʌȩ ĲȘ ȕĮıȚțȒ ʌĮȡĮĲȒȡȘıȘ ıĲȘȞ ĮȡȤȚțȒ șĮ ȑȤȠȣȝİ: 4 1 t DUFLNȒ SHUȓPHWUR9 t WHOLNȒ SHUȓPHWUR9 2P 2Q P Q ª P Q º « P Q 1» țĮȚ ĮĳȠȪ Ƞ 1 İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ, șĮ ȑȤȠȣȝİ 1 t « » « » . ĬĮ 2 « 2 » ¬ 2 ¼ « P Q 1» ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ʌȐȞĲĮ ȖȓȞİĲĮȚ ȝİ « » ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ, ȠʌȩĲİ ĮȣĲȒ șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ Ș İȜȐȤȚıĲȘ ĲȚȝȒ. ¬ 2 ¼

ǲʌİĲĮȚ ȩĲȚ, 1 t

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/13

īȚĮ ĲȠ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ, ĲȠʌȠșİĲȠȪȝİ Q ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ıĲȘȞ țȪȡȚĮ įȚĮȖȫȞȚȠ ĲȠȣ Q u Q ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ʌȐȞȦ ĮȡȚıĲİȡȐ. ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ʌȠȣ ȝȑȞİȚ ĮĳȒȞȠȣȝİ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ ıĲȒȜȘ ȐįİȚĮ, ıĲȘ įİȪĲİȡȘ ȕȐȗȠȣȝİ țȐʌȠȣ ȑȞĮ ȝĮȪȡȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ, ĮĳȒȞȠȣȝİ ĲȘȞ İʌȩȝİȞȘ ıĲȒȜȘ ȐįİȚĮ țȠț, ȝȑȤȡȚ ȞĮ ĳĲȐıȠȣȝİ ıĲȘȞ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ıĲȒȜȘ « P Q 1» ȩʌȠȣ ȕȐȗȠȣȝİ ȠʌȦıįȒʌȠĲİ ȑȞĮ ȝĮȪȡȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ. ȉȠʌȠșİĲȠȪȝİ ȝİ ĮȣĲȩȞ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ ȐȜȜĮ « » 2 ¬ ¼ « P Q 1» « P Q 1» ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ, ȠʌȩĲİ ıȣȞȠȜȚțȐ Q « » « » , ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ ʌȜȒșȠȢ. 2 2 ¬ ¼ ¬ ¼ ȈĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ ĳĮȓȞİĲĮȚ ĲȠ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ıİ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ 5 u 10 , ȩʌȠȣ ĲȠʌȠșİĲȒıĮȝİ 5 ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ıĲȘȞ țȪȡȚĮ įȚĮȖȫȞȚȠ ĲȠȣ 5 u 5 ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ, ĮĳȒıĮȝİ ȝȓĮ ıĲȒȜȘ țİȞȒ, ıĲȘȞ İʌȩȝİȞȘ ȕȐȜĮȝİ ȑȞĮ ȝĮȪȡȠ țĮȚ ıĲȘȞ ıȣȞȑȤİȚĮ ĲȠʌȠșİĲȒıĮȝİ țĮȚ ıĲȘȞ ĲİȜİȣĲĮȓĮ. ȂȑȞİȚ ȞĮ įȚțĮȚȠȜȠȖȒıȠȣȝİ ȩĲȚ ȝİ ĲȘȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ĲȠʌȠșȑĲȘıȘ ʌȠȣ ʌȡȠĲİȓȞĮȝİ, ȝİĲȐ Įʌȩ ʌİʌİȡĮıȝȑȞİȢ țȚȞȒıİȚȢ, ȩȜȠ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ șĮ ȑȤİȚ ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ. ȆȡȐȖȝĮĲȚ, ıĲȘȞ ĮȡȤȒ Ș țȪȡȚĮ įȚĮȖȫȞȚȠȢ ĲȠȣ Q u Q , ȕȒȝĮ-ȕȒȝĮ țȐȞİȚ ȝĮȪȡĮ ȩȜĮ ĲĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ĲȠȣ Q u Q ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȦȞ ȝĮȪȡȦȞ ʌȠȣ ȑȤȠȣȝİ ĲȠʌȠșİĲȒıİȚ ıİ ıĲȒȜȘ ʌĮȡȐ ıĲȒȜȘ, țȐȞȠȣȞ ȩȜİȢ ĲȚȢ ȣʌȩȜȠȚʌİȢ ıĲȒȜİȢ ȝĮȪȡİȢ.

ȅȚ ȜȪıİȚȢ ĲȦȞ ĮıțȒıİȦȞ ĲȠȣ ĲİȪȤȠȣȢ 110 ī44. Ǿ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ $̂ ĲȠȣ ȠȟȣȖȫȞȚȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȝİ $% z $* ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ ĲȠȣ C 2 , R ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǻ. Ǿ İȣșİȓĮ ǹǻ ĲȑȝȞİȚ ȖȚĮ įİȪĲİȡȘ ĳȠȡȐ ĲȠȣȢ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣȢ țȪțȜȠȣȢ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ȅǻǺ țĮȚ ȅǻī ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ȃ țĮȚ Ȃ, ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: %1 0* $' . (ȅȣțȡĮȞȓĮ, 2016) ȁȪıȘ ȊʌȠșȑĲȠȣȝİ ȩĲȚ $% $* . (ǹȞȐȜȠȖĮ İȡȖĮȗȩȝĮıĲİ țĮȚ ȖȚĮ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ȝİ $% ! $* ) ǹʌȩ ĲȠ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ Ǻȃȅǻ țĮȚ ĲȘ ıȤȑıȘ İʌȓțİȞĲȡȘȢ-İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ȑȤȠȣȝİ: ˆ ˆ ˆ ˆ %1' %2' 2 %$' 2 %$1 (1) ǼʌȓıȘȢ Įʌȩ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǻǹȃ (ıȤȑıȘ İȟȦĲİȡȚțȒȢ ȖȦȞȓĮȢ ȝİ ĲȚȢ ĮʌȑȞĮȞĲȚ İıȦĲİȡȚțȑȢ) ȑȤȠȣȝİ ˆ $%1 ˆ ˆ %1' %$1 (2) ǹʌȩ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ (1) țĮȚ (2) ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ: ˆ ˆ %1 $1 %$1 $%1 (3) ȅȝȠȓȦȢ, ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ: *0 $0 (4)

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/14

ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș ıȤȑıȘ ʌȠȣ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȖȓȞİĲĮȚ:

%1 0* $' $1 $0 $' $1 $0 $1 1' $0 1' $1 10 10 0' $1 0'. ǹʌȩ ĲĮ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞĮ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡĮ Ǻȃȅǻ țĮȚ īȅȂǻ țĮȚ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȦȞ țȪțȜȦȞ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ Ǻȅǻ țĮȚ īȅǻ, ȑȤȠȣȝİ:

ˆ ˆ ˆ 21 20 1'2 0*2 (Į) 1%2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 180D 012 ˆ ˆ $12 ˆ ˆ . '12 2%' 2*' 201 180D 201 '02 (ȕ) 012 ˆ ˆ 2'$ (Ȗ) ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȅǻ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ȝİ $2 2' țĮȚ 2$' ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹȅȃ țĮȚ ȅȂǻ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȠʌȩĲİ șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ $1 0'. ǹ53. ȂȓĮ ĮțȡȓįĮ ıĲȑțİĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ 0 ĲȠȣ ȐȟȠȞĮ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ. Ǿ ĮțȡȓįĮ țȐȞİȚ 2016 ʌȘįȒȝĮĲĮ ıĲȘ șİĲȚțȒ țĮĲİȪșȣȞıȘ. ȉȠ ʌȡȫĲȠ ʌȒįȘȝĮ ȑȤİȚ ȝȒțȠȢ 1, İȞȫ țȐșİ İʌȩȝİȞȠ ʌȒįȘȝĮ İȓȞĮȚ N ` ĳȠȡȑȢ ȝĮțȡȪĲİȡȠ Įʌȩ ĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ ʌȒįȘȝĮ. ȊʌȐȡȤȠȣȞ ĲȡȪʌİȢ ıİ țȐșİ ıȘȝİȓȠ ĲȠȣ ȐȟȠȞĮ ȝİ ıȣȞĲİĲĮȖȝȑȞȘ 2016O , O ` . ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȠ N ȖȚĮ ĲȠ ȠʌȠȓȠ Ș ĮțȡȓįĮ șĮ țȐȞİȚ ȩȜĮ ĲĮ ʌȘįȒȝĮĲĮ ĲȘȢ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ʌȑıİȚ ıİ țȐʌȠȚĮ ĲȡȪʌĮ. (ȅȣțȡĮȞȓĮ, 2016) ȁȪıȘ ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ İțĳȫȞȘıȘ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ, ȠȚ ıȣȞĲİĲĮȖȝȑȞİȢ ʌȠȣ șĮ ʌĮĲȒıİȚ Ș ĮțȡȓįĮ İȓȞĮȚ: D1 1, D Q

1 N N 2 ..._ N Q 1 , Q

2,3,..., 2016 .

ȆȡȑʌİȚ ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıȠȣȝİ İțİȓȞĮ ĲĮ N ȖȚĮ ĲĮ ȠʌȠȓĮ Ƞ DQ įİȞ įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ȝİ ĲȠ 2016.

ǲıĲȦ ȩĲȚ N, 2016 G ! 1. ȉȩĲİ țȐșİ ıȣȞĲİĲĮȖȝȑȞȘ DQ ȑȤİȚ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 1 modulo G , ȠʌȩĲİ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ

įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ȝİ ĲȠ 2016. ǱȡĮ ȩȜĮ ĲĮ N ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ N, 2016 G ! 1 ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ȜȪıȘ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ. ǲıĲȦ N, 2016 1. ĬĮ İȟİĲȐıȠȣȝİ ȩȜĮ ĲĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ ĲȠȣ DQ modulo 2016. ǹȞ ȑȞĮ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȣʌȩȜȠȚʌȠ İȓȞĮȚ 0, ĲȩĲİ ĲȠ N įİȞ İȓȞĮȚ ȜȪıȘ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ. ǹȞ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ ȣʌȠȜȠȓʌȦȞ įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ ĲȠ 0, ĲȩĲİ įȪȠ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȣʌȩȜȠȚʌĮ ĲĮȣĲȓȗȠȞĲĮȚ. ǲıĲȦ ȩĲȚ ĮȣĲȐ ĲĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ ĮĳȠȡȠȪȞ ĲȚȢ ıȣȞĲİĲĮȖȝȑȞİȢ DP țĮȚ D O , P ! O. ȉȩĲİ 2016 D P D O , ȩʌȠȣ

DP D O

1 N N

... NP 1 1 N N2 ... NO 1

NO 1 N N2 ... NP O 1

NO DP O ,

ȠʌȩĲİ ĲȠ 2016 įȚĮȚȡİȓ ĲȠ D P O , ĲȠ ȠʌȠȓȠ ĮȞĲȓțİȚĲĮȚ ıĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ ȝĮȢ.

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ ǹ54. ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ȩȜİȢ ĲȚȢ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıİȢ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ f : \ o \ ʌȠȣ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ ĲȚȢ ıȣȞșȒțİȢ: (Į) f x 2 y 2 f y x 2 f x yf y y, ȖȚĮ țȐșİ x, y \ (ȕ) Ș İȟȓıȦıȘ y 2 f y

t ȑȤİȚ ȜȪıȘ ȖȚĮ țȐșİ t \.

ǹ55. (Į) ȃĮ İȟİĲȐıİĲİ ĮȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ șİĲȚțȠȓ ĮțȑȡĮȚȠȚ x, y , z ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ: x 3 y3 z 3 2016. (ȕ) ȃĮ İȟİĲȐıİĲİ ĮȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ șİĲȚțȠȓ ĮțȑȡĮȚȠȚ x, y, z, t ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ: x 3 y 3 z 3 t 3 2016. ī45. Ǿ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ %̂ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȝİ $% ! %* ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ. ȉȠ ıȘȝİȓȠ ȃ ĮȞȒțİȚ ıĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹǺ ȑĲıȚ ȫıĲİ Ș ȃȀ ȞĮ İȓȞĮȚ țȐșİĲȘ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ǹǺ. ǲıĲȦ ȇ ĲȠ ȝȑıȠȞ ĲȠȣ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ȃǺ. ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ İȣșİȓĮ H ʌȠȣ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ ĲȠ ȇ țĮȚ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ Ǻī țĮȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ ǺȀ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȉ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș İȣșİȓĮ ȃȉ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȠȣ İȣșȪȖȡĮȝȝȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ǹī. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/15

HOMO MATHEMATICUS Ǿ Homo Mathematicus İȓȞĮȚ ȝȚĮ ıĲȒȜȘ ıĲȠ ʌİȡȚȠįȚțȩ ȝĮȢ, ȝİ ıțȠʌȩ ĲȘȞ ĮȞĲĮȜȜĮȖȒ ĮʌȩȥİȦȞ țĮȚ ĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ʌȡȠȕȜȘȝĮĲȚıȝȠȪ ʌȐȞȦ ıĲĮ İȟȒȢ șȑȝĮĲĮ: 1) ȉȚ İȓȞĮȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, 2) ȆȡȑʌİȚ Ȓ ȩȤȚ ȞĮ įȚįȐıțȠȞĲĮȚ, 3) ȆȠȚȠȚ İȓȞĮȚ ȠȚ țȜȐįȠȚ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țĮȚ ʌȠȚȠ ĲȠ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ ĲȠȣ țĮșİȞȩȢ, 4) ȆȠȚİȢ İȓȞĮȚ ȠȚ İĳĮȡȝȠȖȑȢ ĲȠȣȢ, 5) ȆȠȚİȢ İʌȚıĲȒȝİȢ Ȓ țȜȐįȠȚ İʌȚıĲȘȝȫȞ ĮʌĮȚĲȠȪȞ țĮȜȒ ȖȞȫıȘ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȖȚĮ ȞĮ ȝʌȠȡȑıİȚ țȐʌȠȚȠȢ ȞĮ ĲȠȣȢ ıʌȠȣįȐıİȚ. ıȣȞĲĮțĲȚțȒ İʌȚĲȡȠʌȒ: ȀİȡĮıĮȡȓįȘȢ īȚȐȞȞȘȢ, ǺȜȐȤȠȢ ȈʌȪȡȠȢ, ȂĮȞȚĮĲȠʌȠȪȜȠȣ ǹȝĮȜȓĮ, ȂȒȜȚȠȢ īȚȫȡȖȠȢ, ȂʌȡȠȪȗȠȢ ȈĲȑȜȚȠȢ

I. ĲȚ İȓȞĮȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ; ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ Ƞ ĭȡĮȖțȓıțȠȢ ȀĮȜĮȕȐıȘȢ İȓȞĮȚ țĮșȘȖȘĲȒȢ ıĲȠ ʌĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȠȣ ǹȚȖĮȓȠȣ, țȚ İȓȞĮȚ Įʌȩ ĲȠȣȢ İȝʌȞİȣıĲȑȢ ĲȘȢ ȚįȑĮȢ ȖȚĮ ȞĮ ȖȡĮĳĲİȓ ȑȞĮ ıȣȜȜȠȖȚțȩ ȕȚȕȜȓȠ (Įʌȩ ĲȘȞ ǼȂǼ) ȝİ ĲȓĲȜȠ "ȈțȑȥİȚȢ ȖȚĮ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, 100 ȤȡȩȞȚĮ Įʌȩ ĲȘȞ ȓįȡȣıȘ ĲȘȢ ǼȂǼ". ȈțȠʌȩȢ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ȑțįȠıȘȢ İȓȞĮȚ Ȟ’ ĮʌİȚțȠȞȚıĲȠȪȞ ȠȚ ĮʌȩȥİȚȢ ĲȘȢ

ǼȂǼ ıȤİĲȚțȐ ȝİ ĲȠ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ ĲȘȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ ȝĮȢ, įȘȜ. ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ. īȚĮĲȓ, ȩȜȠȚ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ, ȩĲȚ Ș "ĮȜȒșİȚĮ" įİȞ İȓȞĮȚ țȐĲȚ įȠıȝȑȞȠ (ȐʌĮȟ įȚĮ ʌĮȞĲȩȢ), ĮȜȜȐ țĮĲĮțĲȚȑĲĮȚ ȝİ ĮıĲĮȝȐĲȘĲȠ ʌȡȠȤȫȡȘȝĮ. ǼȝİȓȢ, ıĮȢ ʌĮȡĮșȑĲȠȣȝİ (ȝİ ȐįİȚĮ ĲȠȣ ıȣȖȖȡĮĳȑĮ), ĮʌȩıʌĮıȝĮ Įʌȩ ĲȠ «ǼȚıĮȖȦȖȚțȩ ȈȘȝİȓȦȝĮ» ĲȠȣ ȕȚȕȜȓȠȣ.

"ǼȚıĮȖȦȖȚțȩ ȈȘȝİȓȦȝĮ", ĲȠȣ ĭȡĮȖțȓıțȠȣ ȀĮȜĮȕȐıȘ «...ȉĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ İȓȞĮȚ ıȣȞȣĳĮıȝȑȞĮ ȝİ ĲȘȞ İʌȚȞȠȫȞĲĮȢ ȞȑĮ ĮȞĲȚțİȓȝİȞĮ ȤȐȡȘ ıİ ĮȣĲȑȢ ĲȚȢ ĮʌȩįİȚȟȘ. ǹȟȚȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲȘȞ ȚțĮȞȩĲȘĲĮ ĲȠȣ ȚįȚȩĲȘĲİȢ, ıȣȤȞȐ İʌĮȞȑȡȤİĲĮȚ ıİ ʌĮȜȚȐ ĮȞșȡȫʌȠȣ ȞĮ įȚĮĲȣʌȫȞİȚ ȣʌȠșȑıİȚȢ țĮȚ ȞĮ İȡȦĲȒȝĮĲĮ, İȞȫ ĲĮȣĲȩȤȡȠȞĮ İʌȚȞȠİȓ țĮȚȞȠȪȡȖȚİȢ ıȣȞȐȖİȚ ıȣȝʌİȡȐıȝĮĲĮ, ĲȘȞ ȠįȘȖȠȪȞ ʌȑȡĮ Įʌȩ ȣʌȠșȑıİȚȢ, įȚĮĲȣʌȫȞİȚ İȚțĮıȓİȢ țĮȚ ĮȞĮȗȘĲȐ ĲȚȢ ĲȠȣȢ ʌİȡȚȠȡȚıȝȠȪȢ ĲȘȢ ʌĮȡĮĲȒȡȘıȘȢ, ĲȘȢ ĮʌȠįİȓȟİȚȢ ĲȠȣȢ. Ǿ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ ıțȑȥȘ țĮȚ İȝʌİȚȡȓĮȢ, ĲȘȢ İȡȝȘȞİȣĲȚțȒȢ ĮȚĲȚȠțȡĮĲȓĮȢ. Ǿ įȡĮıĲȘȡȚȩĲȘĲĮ țĮșĮȣĲȒ įȓȞİȚ ȗȦȒ țĮȚ ȞȩȘȝĮ ĲȣʌȚțȒ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ ıțȑȥȘ, İȜİȪșİȡȘ Įʌȩ ĲȠȣȢ ıĲȘȞ ȞȠȘĲȚțȒ țĮĲĮıțİȣȒ țĮȚ ıĲȠȣȢ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȢ ʌİȡȚȠȡȚıȝȠȪȢ ĲȦȞ ıȣȞșȘțȫȞ, ĲȦȞ ĮȚıșȒıİȦȞ țĮȚ ĲȘȢ, ȝȑıĮ ıĲȚȢ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞİȢ ıȣȞșȒțİȢ ʌȠȣ ĲȦȞ ȣʌȠțİȚȝİȞȚțȠĲȒĲȦȞ, ȠȡȓȗİȚ țĮȚ ȠȡȓȗİĲĮȚ Įʌȩ ıȣȝȕĮȓȞİȚ, ȝİ ĲȚȢ ȚıȤȣȡȑȢ ȣʌȠțİȚȝİȞȚțȩĲȘĲİȢ ʌȠȣ ĲȘȞ ĮʌȠįİȚțĲȚțȒ įȚĮįȚțĮıȓĮ. ȈĲȠ ȞȠȘĲȚțȩ İʌȓʌİįȠ, İʌȚțȠȚȞȦȞȠȪȞ țĮȚ įȚĮȜȑȖȠȞĲĮȚ ȖȚĮ ȞĮ ĲȘȞ ıĲȠ ȑįĮĳȠȢ ȝȚĮȢ ȜȠȖȚțȒȢ ȝİ ĮʌȠțȜİȚıȝȩ ĲȠȣ įȚĮȝȠȡĳȫȞȠȣȞ. Ȃİ ĲȘ įȚĮȓıșȘıȘ țĮȚ ĲȘȞ ĲȡȓĲȠȣ, ȝİ țĮȜȐ ȠȡȚıȝȑȞĮ ȞȠȘĲȚțȐ ĮȞĲȚțİȓȝİȞĮ ĮȣıĲȘȡȩĲȘĲĮ, ĮȜȜȐ țĮȚ ȝİ ĲȘ įȘȝȚȠȣȡȖȚțȒ țĮȚ țĮȜȐ ȠȡȚıȝȑȞİȢ ıȤȑıİȚȢ ȐȡȞȘıȘȢ, įȚȐȗİȣȟȘȢ, İȜİȣșİȡȓĮ ʌȠȣ ʌȡȠıĳȑȡİȚ Ș İȞĮȜȜĮȖȒ ĲȘȢ țĮȚ țĮĲȐ ıȣȞȑʌİȚĮ ıȪȗİȣȟȘȢ țĮȚ ıȣȞİʌĮȖȦȖȒȢ. İʌȠʌĲİȓĮȢ ȝİ ĲȘ ȜȠȖȚțȒ...» ȄİįȚʌȜȫȞȠȞĲĮȢ ĲȚȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ ĲȦȞ ıȤȑıİȦȞ țĮȚ ǿǿ. "ǼȣțȜİȓįİȚĮ īİȦȝİĲȡȓĮ, ĮȖȐʌȘ ȝȠȣ" ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ ıȣȞİȤȓȗȠȣȝİ ȝİ ȝȚĮ ĮțȩȝĮ ʌİȡȓʌĲȦıȘ İʌȓʌİįȘȢ ĲȠȝȒȢ ʌȡȓıȝĮĲȠȢ. ȈĲȠ İʌȩȝİȞȠ șĮ ʌĮȡȠȣıȚȐıȠȣȝİ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ İʌȓʌİįȘȢ ĲȠȝȒȢ ʌȣȡĮȝȓįȦȞ ĲȠȝȒ ʌȡȓıȝĮĲȠȢ ȝİ İʌȓʌİįȠ ȈȣȞİȤȓȗȠȣȝİ, ȝİ: iii. ĲȡȓĲȘ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĲĮ įȠıȝȑȞĮ ıȘȝİȓĮ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ʌȐȞȦ ıİ ĲȡİȚȢ ȑįȡİȢ (ȩȤȚ ʌȐȞȦ ıĲȚȢ ĮțȝȑȢ ĲȠȣȢ) ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ǻȓȞİĲĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜİʌȓʌİįȠ ǹǺīǻ.ǼǽǾĬ [ǹǼ||Ǻǽ||īǾ||ǻĬ] țĮȚ ĲȡȓĮ ıȘȝİȓĮ Ȁ,ȁ,Ȃ ıĲĮ İıȦĲİȡȚțȐ ĲȦȞ İįȡȫȞ ǺīǽǾ, ǹǺǽǼ, ǹǻĬǼ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ıȤİįȚĮıĲİȓ Ș ĲȠȝȒ ĲȠȣ įȠıȝȑȞȠȣ ʌĮȡĮȜ/įȠȣ ȝİ ĲȠ İʌȓʌİįȠ ʌ { (Ȁ,ȁ,Ȃ) ĮʌȐȞĲȘıȘ ǹʌȩ ĲĮ Ȁ,ȁ,Ȃ ĳȑȡȠȣȝİ İȣșİȓİȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ĮțȝȒ ǹǼ, ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȚȢ ĮțȝȑȢ ǽǾ,ǽǼ,ǼĬ ıĲĮ Ȁ1,ȁ1,Ȃ1, ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȅȚ İȣșİȓİȢ (Ȁ,Ȃ),( Ȁ1,Ȃ1) ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ Ȁ2 țĮȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ (ȁ,Ȃ),(ȁ1,Ȃ1) ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ Ȃ2. ǹȣĲȐ ĲĮ ıȘȝİȓĮ Ȁ2,Ȃ2, İȓȞĮȚ ĲĮ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ ĲȠȣ (Ȇ) țĮȚ ĲȘȢ ȑįȡĮȢ ǼǽǾĬ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/16

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ HOMO MATHEMATICUS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ǿ İȣșİȓĮ (Ȁ2,Ȃ2) ĲȠȣ (Ȇ), ĮȞȒțİȚ ıĲȠ İʌȓʌİįȠ ĲȘȢ ȑįȡĮȢ ǼǽǾĬ țĮȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȚȢ İȣșİȓİȢ (Ǿ,Ĭ),(ǽ,Ǽ),(Ĭ,Ǽ) ıĲĮ Ĭ1,ȁ2,Ǽ1 ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. Ǿ İȣșİȓĮ (Ǽ1,Ȃ) ĲȠȣ (Ȇ), ȕȡȓıțİĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ ȑįȡĮ ǹǻĬǼ țĮȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ĮțȝȒ ǹǼ ıĲȠ ȇ țĮȚ ĲȘ ǻĬ ıĲȠ Ȉ.

Ǿ İȣșİȓĮ (ȁ,ȇ,ȁ2) ĲȠȣ (Ȇ), ȕȡȓıțİĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ ȑįȡĮ ǹǺǽǼ țĮȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ĮțȝȒ Ǻǽ ıĲȠ ȃ țĮȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ (ǹ,Ǻ) ıĲȠ Ǻ1. ȉȑȜȠȢ, Ș İȣșİȓĮ (ȃ,Ȁ) ĲȠȣ (Ȇ), ȕȡȓıțİĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ ȑįȡĮ ǺīǾǽ țĮȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ĮțȝȒ īǾ ıĲȠ ȉ țĮȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ (Ǻ,ī) ıĲȠ ī1. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ȃȉȈȇ İȓȞĮȚ Ș ȗȘĲȠȪȝİȞȘ ĲȠȝȒ.

ıȤȩȜȚȠ ĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ, ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ 03, İȓȞĮȚ İĳĮȡȝȠȖȒ ĲȘȢ ʌȡȩĲĮıȘȢ 02, ĲȘȢ §893. ȀĮȚ ı’ ĮȣĲȩ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ (ȩʌȦȢ țĮȚ ıĲȠ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ 2), ȕĮıȚțȒ İʌȚįȓȦȟȘ ȒĲĮȞ Ș İȪȡİıȘ țȠȚȞȫȞ ıȘȝİȓȦȞ, ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ (Ȇ) țĮȚ ĲȦȞ ĮțȝȫȞ ĲȠȣ įȠıȝȑȞȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜİʌȚʌȑįȠȣ. ȀĮȚ ʌȐȜȚ, ȩʌȦȢ țĮȚ ıĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ, ĮȣĲȩ ĲȠ ʌİĲȪȤĮȝİ, ȝİ ĲȠ ȞĮ ĳȑȡȠȣȝİ, Įʌ’ ĲĮ įȠıȝȑȞĮ ıȘȝİȓĮ, İȣșİȓİȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ʌȡȠȢ ĲȚȢ ĮțȝȑȢ. [ʌȘȖȒ: «ĬİȦȡȓĮ ȉȠȝȫȞ ĲȦȞ ȈĲİȡİȫȞ», īȚȐȞȞȘ ȀİȡĮıĮȡȓįȘ] (ıĲȠ İʌȩȝİȞȠ, "ĲȠȝȑȢ ʌȣȡĮȝȓįȦȞ")

ǿǿǿ. ǹȣĲȩ ĲȠ ȟȑȡĮĲİ; 1) ĲȚ İȓȞĮȚ ĲȠ "țȣțȜȠıȑȕȚĮȞ" (cyclocevian) ĲȡȓȖȦȞȠ; 2) ĲȚ İȓȞĮȚ Ƞ "ȕĮșȝȩȢ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ" (Ȓ ĲȠ "elo" ) ıĲȠ ȈțȐțȚ;

(ȠȚ ĮʌĮȞĲȒıİȚȢ, ıĲȠ ĲȑȜȠȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ)

ǿV. «ȅȚ ıȣȞİȡȖȐĲİȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ ȖȡȐĳȠȣȞ-İȡȦĲȠȪȞ» 1Ƞ șȑȝĮ. ȅ Ȁ. ȀĮȡĮșİȠįȦȡȒ ʌȡȠȜȠȖȓȗİȚ ȕȚȕȜȓȠ ĲȠȣ ȃİȓȜȠȣ ȈĮțİȜȜĮȡȓȠȣ ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ Įʌȩ ĲȠȞ ĳȓȜȠ ǹȞĲȡȑĮ ȋĮĲȗȘʌȠȜȐțȘ ȜȐȕĮȝİ ȑȞĮ, ıȤİįȩȞ ȟİȤĮıȝȑȞȠ, țİȓȝİȞȠ ĲȠȣ ȝİȖȐȜȠȣ ȀȦȞıĲĮȞĲ. ȀĮȡĮșİȠįȦȡȒ. ǼȓȞĮȚ Ƞ ʌȡȩȜȠȖȠȢ ʌȠȣ ȑȖȡĮȥİ Ƞ Ȁ. ȀĮȡĮșİȠįȦȡȒ (1873 –1950), ıĲȠ ȕȚȕȜȓȠ ĲȠȣ ȃİȓȜȠȣ ȈĮțİȜȜĮȡȓȠȣ: «ȈĲȠȚȤİȓĮ ǹȞĮȜȣĲȚțȒȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ» (ĲȩȝȠȢ ʌȡȫĲȠȢ, įİȪĲİȡȘ ȑțįȠıȘ, ǹșȒȞĮ 1932). ȁȩȖȦ ȑȜȜİȚȥȘȢ ȤȫȡȠȣ, șĮ ĲȠ ʌĮȡȠȣıȚȐıȠȣȝİ ıİ įȣȠ ıȣȞȑȤİȚİȢ. ǼʌȓıȘȢ, ʌȡȠıʌĮșȒıĮȝİ ȞĮ ĮʌȠįȫıȠȣȝİ ıĲȘȞ ĮʌȜȒ ǻȘȝȠĲȚțȒ ȖȜȫııĮ, ĲĮ ȝȑȡȘ ʌȠȣ țȡȓȞĮȝİ įȘȝȠıȚİȪıȚȝĮ, ȖȚĮ ȞĮ ‘ȞĮȚ İȪȜȘʌĲĮ Įʌȩ ĲĮ ȞȑĮ ʌĮȚįȚȐ. «ǹʌȩ ĲȘȞ İȪȡİıȘ ĲȘȢ ǹȞĮȜȣĲȚțȒȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ Įʌȩ ĲȠȞ ȀĮȡĲȑıȚȠ (1596—1650) ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȤȡȠȞȠȜȠȖȘșİȓ Ș İʌȠȤȒ Ș ȠʌȠȓĮ ȤȦȡȓȗİȚ ĲĮ ȞİȫĲİȡĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ Įʌȩ ĲȘȞ İʌȚıĲȒȝȘ ĲȦȞ ĮȡȤĮȓȦȞ. ǹȣĲȠȓ İȓȤĮȞ ĳȑȡİȚ ĲȘ īİȦȝİĲȡȓĮ țĮĲȐ ĲȘȞ ǹȜİȟĮȞįȡȚȞȒ ʌȡȠ ʌĮȞĲȩȢ ʌİȡȓȠįȠ ıİ ĲȑĲȠȚĮ ĮțȝȒ, ȫıĲİ țĮȚ ıȒȝİȡĮ ĮțȩȝȘ įȚįĮıțȩȝĮıĲİ ʌȠȜȜȐ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȞȐȖȞȦıȘ ĲȦȞ țȦȞȚțȫȞ ĲȠȝȫȞ ĲȠȣ ǹʌȠȜȜȫȞȚȠȣ (ʌİȡȓ ĲȠ 240-190 ʌ.ȋ.) țĮȚ ĲȘȢ ʌȡĮȖȝĮĲİȓĮȢ ʌİȡȓ ıĳĮȓȡĮȢ țĮȚ țȣȜȓȞįȡȠȣ ĲȠȣ ǹȡȤȚȝȒįȘ (ʌİȡȓ ĲĮ 287-212 ʌ. ȋ.). ȆȡȠȢ ĲȠȪĲȠȚȢ İȓȤĮȞ ĮȞĮʌĲȪȟİȚ ıȣıĲȘȝĮĲȚțȐ ȝİșȩįȠȣȢ, ĲȦȞ ȠʌȠȓȦȞ ĲĮ ȜȓȖĮ ıȦȗȩȝİȞĮ ȜİȓȥĮȞĮ įİȓȤȞȠȣȞ, ȩĲȚ ĮȣĲȑȢ ĮʌȑȕȜİʌĮȞ ıİ ȝİȖȐȜȠ ȕĮșȝȩ ıĲȠȞ ȓįȚȠ ıțȠʌȩ ʌȡȠȢ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ țĮȚ Ș īİȦȝİĲȡȓĮ ĲȠȣ Descartes. ȈĲȠ įȚȐıȘȝȠ ȕȚȕȜȓȠ ĲȠȣ «Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum» (Copenhagen 1886) įȠțȓȝĮıİ Ƞ ǻĮȞȩȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ Ǿ. G. Zeuthen (1839 — 1919) Ȟ’ ĮȞĮıȣȞĲȐȟİȚ ĲȚȢ ȝİșȩįȠȣȢ ĮȣĲȑȢ, ȝİ ĲȠ ȕȚȕȜȓȠ ĮȣĲȩ, ȦȢ țĮȚ įȚĮ ĲȠȣ ıȣȖȖȡȐȝȝĮĲȠȢ ĲȠȣ ȉ. L. Heath, «Apollonius of Perga» (Cambridge 1896), ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌȐȡȠȣȝİ ȝȚĮ ȚįȑĮ ĲȦȞ ȤĮȝȑȞȦȞ ĮȣĲȫȞ ȝİșȩįȦȞ ĲȘȢ ǼȜȜȘȞȚțȒȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ. ǲț ĲȘȢ ȝİȜȑĲȘȢ ĲĮȪĲȘȢ — ĲȘȞ ȠʌȠȓĮȞ ȠȣįİȓȢ İȞįȚĮĳİȡȩȝİȞȠȢ įȚĮ ĲȘȞ ʌȡȩȠįȠȞ ĲȘȢ ĮȞșȡȦʌȚȞȒȢ ıțȑȥİȦȢ İʌȚĲȡȑʌİĲĮȚ Ȟ' ĮȝİȜȒıİȚ—įȚįĮıțȩȝİșĮ ȠʌȠȓĮȞ ĲİȡĮıĲȓĮȞ ʌȡȩȠįȠȞ İıȒȝĮȞİȞ Ș İʌȚȞȩȘıȚȢ ȣʌȩ ĲȠȣ Descartes ĲȘȢ ȚįȑĮȢ ĲȠȣ «ȐȟȠȞȠȢ» įȘȜĮįȒ ĲȘȢ ȚįȑĮȢ ĲȘȢ ĮʌİȚțȠȞȓıİȦȢ ĲȦȞ ıȘȝİȓȦȞ ȝȚĮȢ İȣșİȓĮȢ İʌȓ ĲȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ

(șİĲȚțȫȞ țĮȚ ĮȡȞȘĲȚțȫȞ) ĮȡȚșȝȫȞ. Ǿ ȚįȑĮ ĲȠȣ ȐȟȠȞȠȢ țĮĲȑıĲȘ ıȒȝİȡȠȞ țȠȚȞȩ țĲȒȝĮ ȠȜȠțȜȒȡȠȣ ĲȘȢ ĮȞșȡȦʌȩĲȘĲĮȢ" ĲȘȞ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ įȚĮȡțȫȢ, ȩʌȦȢ ĲȠ įȚĮʌȚıĲȠȪȞ ĲĮ įȚĮȖȡȐȝȝĮĲĮ, ĲĮ ȠʌȠȓĮ ıȣȞĮȞĲȫȝİȞ țĮȚ ıİ ĮȣĲȑȢ ĮțȩȝȘ ĲȚȢ İĳȘȝİȡȓįİȢ. Ǿ ȝȑșȠįȠȢ ĲȠȣ Descartes İʌȑĲȡİȥİ ȩʌȦȢ ȐȝĮ ĲȘ İȝĳĮȞȓıİȚ ĮȣĲȒȢ, Ƞ ȜȠȖȚıȝȩȢ ĲȦȞ ȐʌİȚȡȠıĲȫȞ İĳĮȡȝȠıĲİȓ İȚȢ ʌĮȞĲȩȢ İȓįȠȣȢ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ĲȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ țĮȚ ĲȘȢ ȂȘȤĮȞȚțȒȢ țĮȚ ıȣȞİĲȑȜİıİȞ ȠȣıȚȦįȑıĲİȡȠȞ ʌĮȞĲȩȢ ȐȜȜȠȣ ȝȑıȠȣ İȚȢ ĲȘȞ ĲĮȤİȓĮȞ ĲİȜİȚȠʌȠȓȘıȚȞ ĲȘȢ ǹȞĮȜȪıİȦȢ țĮĲȐ ĲȠȪȢ ȘȡȦȚțȠȪȢ įȚ' ĮȣĲȒȞ ȤȡȩȞȠȣȢ ĲȠȣ įİțȐĲȠȣ ȠȖįȩȠȣ ĮȚȫȞȠȢ. ǹȞĲȚıĲȡȩĳȦȢ, ĮȚ įȚȐĳȠȡȠȚ ʌȡȩȠįȠȚ ĲȘȢ țȣȡȓȦȢ ȜİȖȠȝȑȞȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ țĮĲȐ ĲȠȪȢ ĲİȜİȣĲĮȓȠȣȢ ĮȚȫȞĮȢ İʌȑįȡĮıĮȞ ıʌȠȣįĮȓȦȢ İʌȓ ĲȘȢ ǹȞĮȜȣĲȚțȒȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ țĮȚ ıȣȞȑĲİȚȞĮȞ İȚȢ ĲȠ ȞĮ ȜȐȕȦıȚȞ ȐʌȡȠıįȩțȘĲȠȞ ȐȞȐʌĲȣȟȚȞ ĮȚ ĮȞĮȜȣĲȚțȐ! ȝȑșȠįȠȚ. ǳįȘ ȩ Desargues (1593—1662) İȓȤİ ʌȡȠ ʌȠȜȜȠȪ İȡȝȘȞİȪıİȚ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮȞ ĲȦȞ İȚȢ ĲȠ ȐʌİȚȡȠȞ İȣȡȚıțȠȝȑȞȦȞ ıȘȝİȓȦȞ țĮȚ İȣșİȚȫȞ țĮȚ ĲȠȞ ȤİȚȡȚıȝȩ ĮȣĲȫȞ. ȅȚ ǿįȑİȢ ĮȣĲȑȢ ĲȠȣ Desargues ȑȝİȚȞĮȞ ȩȝȦȢ ıȤİįȩȞ ĮʌĮȡĮĲȒȡȘĲȠȚ, ȝȑȤȡȚȢ ȩĲȠȣ Ș ʌȜİȚȐȢ ĲȦȞ ȖİȦȝİĲȡȫȞ, ȠȚ ȠʌȠȓȠȚ ȜȓȖȠ ȝİĲȐ ĲȘȞ ȖĮȜȜȚțȒ İʌĮȞȐıĲĮıȘ ıȣȞĮșȡȠȓıșȘțĮȞ ʌİȡȓ ĲȠȞ G. Monge (1746—1818), ĮȞȑʌĲȣȟĮȞ ıȣıĲȘȝĮĲȚțȫȢ ĲȚȢ ȑȞȞȠȚİȢ ĮȣĲȑȢ țĮȚ ʌȡȠʌĮȡĮıțİȪĮıĮȞ ĲȠ ȑįĮĳȠȢ İȚȢ ĲȠȞ Poncelet (1788—1867) Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ȠȜȓȖȠȞ ĲȚ ĮȡȖȩĲİȡĮ İĳİȪȡİ ĲȘȞ ʌȡȠȕȠȜȚțȒ īİȦȝİĲȡȓĮ. ǼȓȞĮȚ ĮȣĲȒ Ș İʌȠȤȒ țĮĲȐ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ İĳİȣȡȑșȘțİ Ș

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/17

ĮȡȤȒ ĲȘȢ įȣĮįȚțȩĲȘĲĮȢ, ȝİ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ įȚʌȜĮıȚȐȗȠȞĲĮȞ ĲĮ șİȦȡȒȝĮĲĮ ĲȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ, įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȞ įİ ȠȚ ıİȜȓįİȢ ĲȦȞ ȕȚȕȜȓȦȞ, ȩʌȦȢ İțĲİșȠȪȞ ȑĲıȚ İț ʌĮȡĮȜȜȒȜȠȣ ĲĮ įȓįȣȝĮ șİȦȡȒȝĮĲĮ. Ǿ İĳĮȡȝȠȖȒ ĲȘȢ ĮȡȤȒȢ ĲȘȢ įȣĮįȚțȩĲȘĲĮȢ ıĲȘȞ ǹȞĮȜȣĲȚțȒ īİȦȝİĲȡȓĮ ȑįİȚȟİ ȩĲȚ, ĲĮ ıȪȝȕȠȜĮ ĲȘȢ ĲİȜİȣĲĮȓĮȢ ĲĮȪĲȘȢ įȪȞĮȞĲĮȚ įȚĮĳȠȡȠĲȡȩʌȦȢ ȞĮ İȡȝȘȞİȣșȠȪȞ țĮȚ ȩĲȚ ĲĮ ĮȣĲȐ ıȪȝȕȠȜĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİȞĮ țĮĲĮȜȜȒȜȦȢ įȪȞĮȞĲĮȚ ȞĮ ʌĮȡĮıĲȒıȠȣȞ İȞĲİȜȫȢ įȚȐĳȠȡĮ

ȖİȦȝİĲȡȚțȐ ĮȞĲȚțİȓȝİȞĮ, ʌ. Ȥ. ıȘȝİȓȠȞ Įĳ' İȞȩȢ Ȓ İȣșİȓĮ Įĳ' İĲȑȡȠȣ ıĲȠ İʌȓʌİįȠ, Ȓ ʌȐȜȚ ıȘȝİȓȠȞ Įĳ' İȞȩȢ Ȓ İʌȓʌİįȠ Įĳ' İĲȑȡȠȣ ıĲȠȞ ȤȫȡȠ ĲȦȞ 3 įȚĮıĲȐıİȦȞ. Ǿ ĲȑĲȠȚĮ İʌȑțĲĮıȘ ĲȠȣ ıȣȝȕȠȜȚıȝȠȪ İȓȤİ ȦȢ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ĲȘȞ ĮțȩȝȘ ʌİȡȚııȩĲİȡȘ ȖİȞȓțİȣıȘ ĲȘȢ ȀĮȡĲİıȚĮȞȒȢ ȝİșȩįȠȣ ĲȦȞ ıȣȞĲİĲĮȖȝȑȞȦȞ țĮȚ ȤȡȘıȓȝİȣıİ ȦȢ ĮĳİĲȘȡȓĮ țĮȚ ȐȜȜȘȢ ĮțȩȝȘ ʌȡȠȩįȠȣ ĲȘȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ» [ıĲȠ İʌȩȝİȞȠ, ĲȠ įİȪĲİȡȠ ȝȑȡȠȢ]

2Ƞ șȑȝĮ. Ǿ Mona Lisa ĲȠȣ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ Da Vinci ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ Įʌȩ ĲȘ ĳȓȜȘ īȚȫĲĮ ǽȫĲȠȣ, ȜȐȕĮȝİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȦȝĮ ȝİ ĲȠȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ĲȓĲȜȠ țĮȚ ıĮȢ ĲȠ ʌĮȡȠȣıȚȐȗȠȣȝİ. Ǿ ī. ǽȫĲȠȣ İȓȞĮȚ ĮʌȩĳȠȚĲȠȢ ĲȠȣ ȉȝȒȝĮĲȠȢ ǼĳĮȡȝȠıȝȑȞȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ĲȠȣ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ ȀȡȒĲȘȢ ȉȠ ȩȞİȚȡȠ ĲȠȣ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ Robert Bosch įİȞ ȒĲĮȞ ʌȠĲȑ ȞĮ ȖȓȞİȚ țĮȜȜȚĲȑȤȞȘȢ. ȍıĲȩıȠ, ʌȡȚȞ 16 ʌİȡȓʌȠȣ ȤȡȩȞȚĮ, ȐȡȤȚıİ ȞĮ ĮȞĮȗȘĲȐ ĲȡȩʌȠȣȢ ȫıĲİ ȞĮ ʌȡȠıİȜțȪıİȚ ĳȠȚĲȘĲȑȢ ıĲȘȞ ȑȡİȣȞĮ ʌȠȣ ĮĳȠȡȐ ĲȘȞ ȕİȜĲȚıĲȠʌȠȓȘıȘ ʌȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ, ĲȠȞ ĲȠȝȑĮ ĲȘȢ İȚįȚțȩĲȘĲȐȢ ĲȠȣ. Ǿ ȕİȜĲȚıĲȠʌȠȓȘıȘ İȓȞĮȚ Ș ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ ĮȞĮȗȒĲȘıȘ ȖȚĮ ĲȘȞ İȪȡİıȘ ĲȠȣ țĮȜȪĲİȡȠȣ ĲȡȩʌȠȣ ȞĮ țȐȞİĲİ țȐĲȚ: İȓĲİ ʌȡȩțİȚĲĮȚ ȖȚĮ ĲȠȞ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩ ĲȘȢ ıȣȞĲȠȝȩĲİȡȘȢ ĮʌȩıĲĮıȘȢ ȝİĲĮȟȪ įȪȠ ıȘȝİȓȦȞ, İȓĲİ ȖȚĮ ĲȠȞ țĮȜȪĲİȡȠ įȣȞĮĲȩ ĲȡȩʌȠ ĲȠʌȠșȑĲȘıȘȢ ĲȦȞ ȡȠȪȤȦȞ ıĮȢ ıİ ȝȓĮ ȕĮȜȓĲıĮ. ȉȠ İȪȡȠȢ ĲȦȞ İĳĮȡȝȠȖȫȞ ĲȘȢ șİȦȡȓĮȢ ȕİȜĲȚıĲȠʌȠȓȘıȘȢ İȓȞĮȚ İȟĮȚȡİĲȚțȐ ȝİȖȐȜȠ. “ǳșİȜĮ ȞĮ ʌİȓıȦ ĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ ȝȠȣ ȩĲȚ ĲȠ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ ʌȠȣ įȚįȐıțȦ İȓȞĮȚ ȩȝȠȡĳȠ țĮȚ ȝİ ʌȐȡĮ ʌȠȜȜȑȢ İĳĮȡȝȠȖȑȢ”, ĮȞĮĳȑȡİȚ Ƞ Bosch, țĮșȘȖȘĲȒȢ ıĲȠ Oberlin College ıĲȠ ȅȤȐȚȠ. “Ǿ ĮʌȠıĲȠȜȒ ȝȠȣ ȒĲĮȞ ȞĮ ĲȠȣȢ ĮʌȠįİȓȟȦ ȩĲȚ ıȤİįȩȞ ȠʌȠȚȠįȒʌȠĲİ ʌİįȓȠ țȚ ĮȞ ıțİĳĲİȓ țĮȞİȓȢ, ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȕȡİșȠȪȞ İĳĮȡȝȠȖȑȢ ȕİȜĲȚıĲȠʌȠȓȘıȘȢ.” ǲĲıȚ, o Bosch ȝʌȒțİ ıĲȘȞ įȚĮįȚțĮıȓĮ ĮȞĮȗȒĲȘıȘȢ ʌĮȡĮįİȚȖȝȐĲȦȞ ʌȠȣ ĳĮȚȞȠȝİȞȚțȐ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ıȣȞįȑıİȚ țȐʌȠȚȠȢ ȝİ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ. ȀĮȚ țĮĲȑȜȘȟİ ıĲȘȞ İȚțĮıĲȚțȒ ĲȑȤȞȘ. ȂʌȠȡİȓ ȞĮ ȝȘȞ ȣʌȒȡȤİ țȐʌȠȚĮ ʌȡȠĳĮȞȒȢ ıȪȞįİıȘ ȝİĲĮȟȪ ĲȘȢ ȕİȜĲȚıĲȠʌȠȓȘıȘȢ țĮȚ ĲȦȞ İȚțĮıĲȚțȫȞ, ȩȝȦȢ Ƞ Bosch ıțȑĳĲȘțİ ȩĲȚ ĮțȡȚȕȫȢ ĮȣĲȩ ȑȥĮȤȞİ! ǹȞ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ įİȓȟİȚ ıĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ ĲȠȣ ʌȫȢ ȠȚ ȝȑșȠįȠȚ ȕİȜĲȚıĲȠʌȠȓȘıȘȢ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ʌĮȡȐȖȠȣȞ ĲȑȤȞȘ, ĲȩĲİ ȓıȦȢ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ ĲȠȣȢ ʌİȓıİȚ ȩĲȚ Ƞ ĲȠȝȑĮȢ ĲȘȢ ȕİȜĲȚıĲȠʌȠȓȘıȘȢ ȕȡȓıțİȚ İĳĮȡȝȠȖȒ ʌĮȞĲȠȪ. ȅ ıĲȩȤȠȢ ĲȠȣ ĮȣĲȩȢ ĲȠȪ “ȑȖȚȞİ İȝȝȠȞȒ”, ĮȞĮĳȑȡİȚ. ȀĮȚ ĮʌȑįȦıİ țĮȡʌȠȪȢ: ȅ Bosch İȓȞĮȚ ʌȜȑȠȞ ȖȞȦıĲȩȢ ıĲȠȣȢ țȪțȜȠȣȢ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țĮșȫȢ țĮȚ ıİ İțİȓȞȠȣȢ ĲȘȢ “ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ ĲȑȤȞȘȢ”, ȖȚĮ ĲĮ ȖȡĮȝȝȚțȐ ĲȠȣ ıȤȑįȚĮ, ĲĮ ȥȘĳȚįȦĲȐ țĮȚ ĲĮ ȖȜȣʌĲȐ ʌȠȣ įȘȝȚȠȣȡȖİȓ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ȜȪıİȚȢ ʌȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ ȕİȜĲȚıĲȠʌȠȓȘıȘȢ. ȅȡȖĮȞȫȞİȚ İʌȓıȘȢ ȝĮșȒȝĮĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ ĲȑȤȞȘȢ ıİ ȖțĮȜİȡȓ țĮȚ ıȣȞȑįȡȚĮ țĮȚ ȑȤİȚ įȫıİȚ įȚĮȜȑȟİȚȢ ȑȤȠȞĲĮȢ ȦȢ

țȠȚȞȩ ʌĮȚįȚȐ įȘȝȠĲȚțȠȪ ıȤȠȜİȓȠȣ, ȝȑȤȡȚ țĮȚ İȞȒȜȚțİȢ ȝİ ĮȞȒıȣȤȠ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ʌȞİȪȝĮ, ıĲȠ Museum of Math ıĲȘ ȃȑĮ ȊȩȡțȘ. ȉȠ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ ȑȡȖȠȣ ĲȠȪ Bosch ʌȡȠȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ Traveling Salesman Problem (TSP), ȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ ʌȚȠ ȖȞȦıĲȐ țĮȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ ȝİȜİĲȘȝȑȞĮ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲĮ ıĲȘȞ ȑȡİȣȞĮ ȕİȜĲȚıĲȠʌȠȓȘıȘȢ. ǵʌȦȢ ȩȜĮ ĲĮ țĮȜȐ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ, İȓȞĮȚ İȪțȠȜȠ ȞĮ ĲĮ įȚĮĲȣʌȫıİȚ țĮȞİȓȢ țĮȚ įȪıțȠȜȠ, ȓıȦȢ ĮįȪȞĮĲȠ – ȞĮ Ȝȣșİȓ. ĭĮȞĲĮıĲİȓĲİ ȑȞĮȞ ĲĮȟȚįȚȫĲȘ Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İʌȚıțİĳșİȓ țȐșİ ʌȩȜȘ ıİ ȝȚĮ įİįȠȝȑȞȘ ȜȓıĲĮ ȝȩȞȠ ȝȚĮ ĳȠȡȐ țĮȚ ȑʌİȚĲĮ ȞĮ İʌȚıĲȡȑȥİȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ İțțȓȞȘıȘȢ. ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș ıȣȞĲȠȝȩĲİȡȘ įȚĮįȡȠȝȒ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮțȠȜȠȣșȒıİȚ; ǼȐȞ İʌȚıȘȝȐȞİĲİ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞİȢ ʌȩȜİȚȢ ıİ ȑȞĮ ȤȐȡĲȘ, șĮ įİȓȤȞȠȣȞ ȩʌȦȢ ȑȞĮ ʌĮȗȜ dot-to-dot ʌȠȣ ıĮȢ ȗȘĲȐ ȞĮ İȞȫıİĲİ ȩȜİȢ ĲȚȢ ĲİȜİȓİȢ ȫıĲİ ȞĮ ıȤİįȚȐıİĲİ ĲȘ ıȣȞĲȠȝȩĲİȡȘ ʌȚșĮȞȒ ȖȡĮȝȝȒ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ. īȚĮ ȝȚĮ ȝȚțȡȒ ȜȓıĲĮ ʌȩȜİȦȞ, ĲȠ TSP İȓȞĮȚ İȪțȠȜȠ ȞĮ İʌȚȜȣșİȓ: ĮʌȜȐ ȝʌȠȡİȓĲİ ȞĮ ȝİĲȡȒıİĲİ ȩȜİȢ ĲȚȢ ʌȚșĮȞȑȢ įȚĮįȡȠȝȑȢ țĮȚ ȞĮ İʌȚȜȑȟİĲİ ĲȘ ıȣȞĲȠȝȩĲİȡȘ. ǵıȠ ȩȝȦȢ Ș ȜȓıĲĮ ĮȣȟȐȞİĲĮȚ, ĲȩıȠ ĮȣȟȐȞİĲĮȚ țĮȚ Ș įȣıțȠȜȓĮ İʌȓȜȣıȘȢ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ. ȈțİĳĲİȓĲİ ĲȫȡĮ ĲȠ İȟȒȢ ʌȡȩȕȜȘȝĮ: ǺȡİȓĲİ ĲȠ ıȣȞĲȠȝȩĲİȡȘ įȚĮįȡȠȝȒ ȫıĲİ ȞĮ ĲĮȟȚįȑȥİĲİ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/18

ȝİĲĮȟȪ 10 ʌȩȜİȦȞ. ǴıȦȢ ĮțȠȪȖİĲĮȚ țȐĲȚ ĮʌȜȩ. ȍıĲȩıȠ, ĮʌĮȚĲİȓ ĲȘ ıȪȖțȡȚıȘ İțĮĲȠȞĲȐįȦȞ ȤȚȜȚȐįȦȞ ʌȚșĮȞȫȞ įȚĮįȡȠȝȫȞ. Ǿ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ ĲȠȪ ȞĮ ĮțȠȜȠȣșȒıİȚ țĮȞİȓȢ ĲȠ ıȣȞĲȠȝȩĲİȡȠ ȝȠȞȠʌȐĲȚ țĮșȓıĲĮĲĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ ȩĲĮȞ Ƞ țĮĲȐȜȠȖȠȢ ĲȦȞ ʌȩȜİȦȞ ĳĲȐȞİȚ ĲȚȢ İțĮĲȠȞĲȐįİȢ Ȓ ĲȚȢ ȤȚȜȚȐįİȢ. ȅȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ įİȞ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ȜȪıȠȣȞ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ įĮʌĮȞȫȞĲĮȢ țȐʌȠȚȠ İȪȜȠȖȠ ȤȡȠȞȚțȩ įȚȐıĲȘȝĮ ȖȚĮ țȐșİ įİįȠȝȑȞȠ ĮȡȚșȝȩ ʌȩȜİȦȞ țĮȚ įİȞ ȖȞȦȡȓȗȠȣȞ ĮȞ țȐʌȠȚĮ ȐȜȜȘ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ʌȠĲȑ ȞĮ ȑȤİȚ țĮȜȪĲİȡȘ ĮʌȩįȠıȘ. ȅȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ İȓȞĮȚ ȦıĲȩıȠ ıİ șȑıȘ ȞĮ İȜȑȖȟȠȣȞ ĮȞ țȐʌȠȚĮ ȜȪıȘ İȓȞĮȚ țĮȜȪĲİȡȘ Įʌȩ țȐʌȠȚĮ ȐȜȜȘ. ǱȜȜȦıĲİ ıİ ʌȠȜȜȐ ʌİįȓĮ, Įȡțİȓ ȞĮ ȑȤȠȣȝİ ȝȚĮ ʌȠȜȪ țĮȜȒ ȜȪıȘ- țȚ ĮȢ ȝȘȞ İȓȞĮȚ ʌȐȞĲȠĲİ Ș ȕȑȜĲȚıĲȘ. ȉȠ TSP ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȡȠțĮȜȑıİȚ ıİ ʌȠȜȜȠȪȢ ʌȠȞȠțȑĳĮȜȠ. ǵȝȦȢ ȖȚĮ ĲȠȞ Bosch, ĮʌȠĲİȜİȓ țĮȜȜȚĲİȤȞȚțȒ ȑȝʌȞİȣıȘ. īȚĮ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıİȚ ĲȚȢ İȚțȩȞİȢ ĲȠȣ, Ƞ Bosch ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓ ȑȞĮ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȩ ʌȡȩȖȡĮȝȝĮ ȖȚĮ ȞĮ ȝİĲĮĲȡȑȥİȚ ȑȞĮ ıȤȑįȚȠ (Ȓ ȗȦȖȡĮĳȚțȒ Ȓ ĳȦĲȠȖȡĮĳȓĮ) ıİ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ Įʌȩ ĲİȜİȓİȢ. ȂʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȘșȠȪȞ ȝĮȪȡİȢ ĲİȜİȓİȢ ȝİ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ ʌȣțȞȩĲȘĲĮ įȘȝȚȠȣȡȖȫȞĲĮȢ ʌȚȠ ıțȠĲİȚȞȑȢ ʌİȡȚȠȤȑȢ ıİ ȑȞĮ ıȤȑįȚȠ, İȞȫ ȠȚ ʌȚȠ ĳȦĲİȚȞȑȢ ʌİȡȚȠȤȑȢ ĮʌȠĲȣʌȫȞȠȞĲĮȚ ȝİ ĲİȜİȓİȢ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ȝİȖĮȜȪĲİȡİȢ ĮʌȠıĲȐıİȚȢ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ. ȅȚ ȖțȡȚ ĮʌȠȤȡȫıİȚȢ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞĲĮȚ ȝİ ȝȚĮ ĲİȤȞȚțȒ ʌȠȣ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ ȘȝȚĲȠȞȚțȒ. O Bosch ıȣȞİȡȖȐıĲȘțİ ĮȡȤȚțȐ ȝİ ĲȠȞ ȝĮșȘĲȒ ĲȠȣ Adrianne Herman țĮȚ ĮȡȖȩĲİȡĮ ȝİ ĲȠȞ Craig Kaplan, ȑȞĮȞ İȚįȚțȩ ıĲĮ computer graphics, ıĲȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȠȣ Waterloo, ıĲȠȞ ȀĮȞĮįȐ, ȑȤȠȞĲĮȢ ıĮȞ ıĲȩȤȠ ĲȘ ȕİȜĲȓȦıȘ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘȢ. ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĲȘ ıțȣĲȐȜȘ ʌȒȡĮȞ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ. Ǽįȫ, Ƞ Bosch ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓ ȑȞĮȞ ĮȜȖȩȡȚșȝȠ ʌȠȣ İȞĲȠʌȓȗİȚ ȝȚĮ ȕȑȜĲȚıĲȘ, ȝȘ İʌȚțĮȜȣʌĲȩȝİȞȘ TSP įȚĮįȡȠȝȒ ȝȑıĮ Įʌȩ ĲȚȢ ĲİȜİȓİȢ. ȅ

ĮȜȖȩȡȚșȝȠȢ įİȞ ȕȡȓıțİȚ ĮʌĮȡĮȚĲȒĲȦȢ ĲȘȞ țĮȜȪĲİȡȘ įȚĮįȡȠȝȒ – ȩȝȦȢ Ș įȚĮįȡȠȝȒ ʌȠȣ ȕȡȓıțİȚ İȓȞĮȚ ʌȠȜȪ țĮȜȒ. ǲʌİȚĲĮ, ĮȞĮȜĮȝȕȐȞİȚ ĲȠ ıȤİįȚĮıĲȚțȩ țȠȝȝȐĲȚ ȝȑıȦ ĲȠȣ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ. ȈĲȩȤȠȢ ĲȠȣ Bosch İȓȞĮȚ ĲĮ ȖȡĮȝȝȚțȐ ıȤȑįȚĮ ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲȠȣȞ ȞĮ ȑȤȠȣȞ ȦȢ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ȝȚĮ ʌİȚıĲȚțȒ ĮȞĮʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȠȣ ʌȡȠĲȪʌȠȣ. ȀĮĲȐ țĮȞȩȞĮ, ȠȚ ȖİȦȝİĲȡȚțȑȢ ȕȑȜĲȚıĲİȢ įȚĮįȡȠȝȑȢ TSP ʌȠĲȑ įİȞ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȠȞ İĮȣĲȩ ĲȠȣȢ, ʌȡȐȖȝĮ ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ȠȚ İȚțȩȞİȢ ĲȠȣ Bosch ʌİȡȚȜĮȝȕȐȞȠȣȞ ȝȓĮ ȝȩȞȠ ȖȡĮȝȝȒ ʌȠȣ ĲİȜİȚȫȞİȚ İțİȓ Įʌ’ ȩʌȠȣ ȟİțȓȞȘıİ- țȐĲȚ ʌȠȣ ȠȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ȠȞȠȝȐȗȠȣȞ țȜİȚıĲȒ țĮȝʌȪȜȘ. ǲȞĮ Įʌȩ ĲĮ ʌȡȫĲĮ țȠȝȝȐĲȚĮ ĲȠȣ Bosch ȒĲĮȞ ȑȞĮ ĮȞĲȓȖȡĮĳȠ ʌȠȣ ʌȡȠȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ TSP ĲȘȢ ȂȠȞȐ ȁȓȗĮ ĲȠȣ ȁİȠȞȐȡȞĲȠ ȃĲĮ ǺȓȞĲıȚ. ȅ Bosch ȑȤİȚ İʌȓıȘȢ ĮȞĮʌĮȡȐȖİȚ ȑȡȖĮ ĲȠȣ Andy Warhol. ȆȜȑȠȞ, ʌȡȠıʌĮșİȓ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıİȚ ȑȡȖĮ ȝİ ĲȘȞ ȓįȚĮ ʌȠȚȩĲȘĲĮ ȝȑıȦ ĲȘȢ ĲȑȤȞȘȢ TSP, ĮȜȜȐ ȝİ ȩȜȠ țĮȚ ȜȚȖȩĲİȡİȢ ĲİȜİȓİȢ. ǼʌȚșȣȝİȓ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıİȚ ȑȡȖĮ ĲȑȤȞȘȢ ʌȠȣ İȟĮȡĲȫȞĲĮȚ ȜȚȖȩĲİȡȠ Įʌȩ ȖȡȒȖȠȡȠȣȢ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȑȢ țĮȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ Įʌȩ ĲȘ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ ȝȠȞĲİȜȠʌȠȓȘıȘ. ǹȣĲȒ Ș İʌȚșȣȝȓĮ, ĮȞĮĳȑȡİȚ Ƞ Bosch, İȓȞĮȚ țĮșȠȜȚțȒ. “ȆȠȚȠ İȓȞĮȚ ĲȠ țĮȜȪĲİȡȠ ʌȠȣ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ țȐȞȠȣȝİ ȕȐıİȚ ĲȦȞ ʌİȡȚȠȡȚıȝȫȞ ʌȠȣ ȑȤȠȣȝİ; ǹȣĲȩ ĮʌȠĲİȜİȓ ȑȞĮ șİȝİȜȚȫįİȢ ĮȞșȡȫʌȚȞȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ.” ȅ Bosch ĮȞĮĳȑȡİȚ ȩĲȚ ȠȚ ʌȡȠıʌȐșİȚȑȢ ĲȠȣ ȑȤȠȣȞ ĮʌȠįȫıİȚ ıĲȘȞ ĲȐȟȘ. ȉȠ TSP art ʌĮȡȑȤİȚ ȑȞĮȞ ĲȡȩʌȠ ȖȚĮ ȞĮ ĮȡȤȓıİȚ țĮȞİȓȢ ȞĮ ȕȜȑʌİȚ ĲȘȞ ȕİȜĲȚıĲȠʌȠȓȘıȘ ȝİ ȐȜȜȘ ȝĮĲȚȐ. ȂȐȜȚıĲĮ, ʌȠȜȜȠȓ Įʌȩ ĲȠȣȢ ʌȡȫȘȞ ȝĮșȘĲȑȢ ĲȠȣ ĮȟȚȠʌȠȓȘıĮȞ ĲȘ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ ȝȑșȠįȠ ȖȚĮ ĲȘ įȘȝȚȠȣȡȖȓĮ įȚțȫȞ ĲȠȣȢ ȑȡȖȦȞ ĲȑȤȞȘȢ. ȉȡİȚȢ Įʌȩ ĮȣĲȠȪȢ, ʌĮȡȠȣıȓĮıĮȞ ʌȡȦĲȩĲȣʌĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ȑȡȖĮ ĲȑȤȞȘȢ ıĲȠ Jyväskylä, ıĲȘ ĭȚȞȜĮȞįȓĮ, ıĲȘȞ İĲȒıȚĮ ȖȚȠȡĲȒ ĲȘȢ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȝİ ĲȚȢ ĲȑȤȞİȢ. [ʌȘȖȒ: pnas.org]

3Ƞ șȑȝĮ. ǲȞĮ ȜȠȖȠĲİȤȞȚțȩ ĳĮȡȝĮțİȓȠ ȐȞȠȚȟİ ıĲȘ ĭȜȦȡİȞĲȓĮ ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ Įʌȩ ĲȘȞ ǼȜȑȞȘ Ǽ. ȃĮȞȠʌȠȪȜȠȣ ȜȐȕĮȝİ ĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ İȞįȚĮĳȑȡȦȞ ıȘȝİȓȦȝĮ țĮȚ ıĮȢ ĲȠ ʌĮȡȠȣıȚȐȗȠȣȝİ. ȆȡȚȞ Įʌȩ ʌİȡȓʌȠȣ įȪȠ ȝȒȞİȢ, ıĲȚȢ 8 ǻİțİȝȕȡȓȠȣ Ǿ ȚįȚȠțĲȒĲȡȚĮ, Elena Molini, İȡȖĮȗȩĲĮȞ 2018, ȐȞȠȚȟİ ıĲȘȞ ʌȩȜȘ ĲȘȢ ĭȜȦȡİȞĲȓĮȢ ıĲȘȞ ʌĮȜȚȩĲİȡĮ ıİ ȝİȖȐȜȘ ĮȜȣıȓįĮ ȕȚȕȜȚȠʌȦȜİȓȦȞ. ǿĲĮȜȓĮ, ȑȞĮ ȕȚȕȜȚȠʌȦȜİȓȠ įȚĮĳȠȡİĲȚțȩ Įʌȩ ȩȜĮ Ĳ’ Ǽțİȓ ʌĮȡĮĲȒȡȘıİ ʌȦȢ ȠȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠȚ ʌİȜȐĲİȢ ȐȜȜĮ. ȆȡȩțİȚĲĮȚ ȖȚĮ ȑȞĮ ȜȠȖȠĲİȤȞȚțȩ ĳĮȡȝĮțİȓȠ, İʌȑȜİȖĮȞ ȕȚȕȜȓĮ ĮȞȐȜȠȖĮ ȝİ ĲȘ ıȣȞĮȚıșȘȝĮĲȚțȒ ȩʌȠȣ ȠȚ ʌİȜȐĲİȢ ʌȘȖĮȓȞȠȣȞ ȖȚĮ ȞĮ șİȡĮʌİȣĲȠȪȞ ȝİ ĲȠȣȢ țĮĲȐıĲĮıȘ. ǲĲıȚ ȖİȞȞȒșȘțİ Ș ȚįȑĮ ĲȠȣ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȦȞ ȕȚȕȜȓȦȞ. ȈĲȠ «Piccola Farmacia ȜȠȖȠĲİȤȞȚțȠȪ ĳĮȡȝĮțİȓȠȣ. Ȃİ ȕĮıȚțȐ ȩʌȜĮ ĲȘȞ Letteraria» (= ȝȚțȡȩ ȜȠȖȠĲİȤȞȚțȩ ĳĮȡȝĮțİȓȠ), ĮȖȐʌȘ ĲȘȢ ȖȚĮ ĲȘ ȜȠȖȠĲİȤȞȓĮ, ĲȘȞ İȣĮȚıșȘıȓĮ ĲȘȢ ȩʌȦȢ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ, ĲĮ ȕȚȕȜȓĮ įİȞ İȓȞĮȚ ȤȦȡȚıȝȑȞĮ țĮȚ ĲȘȞ ĲȐıȘ ĲȘȢ ʌȡȠȢ ĲȘ ȥȣȤȠȜȠȖȓĮ, Ș Elena țĮĲȐ İȓįȠȢ Ȓ țĮĲȐ ıȣȖȖȡĮĳȑĮ. ǹȞĲȓșİĲĮ, ʌȡȠĲİȓȞİȚ ıİ țȐșİ ʌİȜȐĲȘ ȟİȤȦȡȚıĲȐ ĲȠ ȕȚȕȜȓȠ țĮĲȘȖȠȡȚȠʌȠȚȠȪȞĲĮȚ ȝİ ȕȐıȘ ĲȘȞ ıȣȞĮȚıșȘȝĮĲȚțȒ ʌȠȣ ʌȚıĲİȪİȚ ȩĲȚ șĮ ĲĮȚȡȚȐȗİȚ ıĲȘȞ įȚȐșİıȒ ĲȠȣ. Ǿ țĮĲȐıĲĮıȘ ĲȠȣ ĮȞĮȖȞȫıĲȘ. ȓįȚĮ ȣʌȠıĲȘȡȓȗİȚ ʌȦȢ įİȞ İʌȚȜȑȖİȚ ĲȠ ȓįȚȠ ȕȚȕȜȓȠ ȖȚĮ țȐșİ ĮȞĮȖȞȫıĲȘ. ǹțȠȪİȚ ȝİ ʌȡȠıȠȤȒ ȩ, ĲȚ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/19

ȑȤȠȣȞ ȞĮ ĲȘȢ ʌȠȣȞ țĮȚ ıĲȘȞ ıȣȞȑȤİȚĮ țȐȞİȚ ĲȚȢ įȚțȚȑȢ ĲȘȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ. ȉȠ ȕȚȕȜȚȠʌȦȜİȓȠ İȓȞĮȚ ȑȞĮȢ ȝȚțȡȩȢ ȤȫȡȠȢ, ȝȩȜȚȢ 35 ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȫȞ ȝȑĲȡȦȞ. ȀȐșİ ȕȚȕȜȓȠ ȤĮȡĮțĲȘȡȓȗİĲĮȚ Įʌȩ ȑȞĮ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠ ȤȡȫȝĮ. ȈĲȘȞ İȓıȠįȠ ȣʌȐȡȤİȚ ȑȞĮ ȣʌȩȝȞȘȝĮ ʌȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ țȐșİ ȤȡȫȝĮ ıİ ȝȚĮ ıȣȞĮȚıșȘȝĮĲȚțȒ țĮĲȐıĲĮıȘ, ȩʌȦȢ șȜȓȥȘ, İȖțĮĲȐȜİȚȥȘ, ȐȖȤȠȢ, ĮȝȘȤĮȞȓĮ Ȓ ĮȖȐʌȘ ȤȦȡȓȢ ĮȞĲĮʌȩțȡȚıȘ. ǵʌȦȢ ĮȞĮĳȑȡİȚ Ș ȓįȚĮ Ș Elena, Ƞ ıțȠʌȩȢ İȓȞĮȚ ȞĮ țĮȜȣĳșȠȪȞ ȠȚ ĮȞȐȖțİȢ ȩȜȦȞ ĲȦȞ ʌİȜĮĲȫȞ. ȆȠȜȜȠȓ İȓȞĮȚ ĮȣĲȠȓ ʌȠȣ įİȞ ȞȚȫșȠȣȞ ȐȞİĲĮ ȝİ ĲȠ ȞĮ ĲȘȢ įȚȘȖȘșȠȪȞ ĲȘȞ ʌȡȠıȦʌȚțȒ ĲȠȣȢ ȚıĲȠȡȓĮ. ȉȠ ȣʌȩȝȞȘȝĮ ĲȠȣȢ ȕȠȘșȐ ȞĮ țȚȞȘșȠȪȞ ıĲȠ ȕȚȕȜȚȠʌȦȜİȓȠ ĲȘȢ, ȤȦȡȓȢ ȞĮ ĮȚıșĮȞșȠȪȞ ʌȓİıȘ. ȈĲȠ ȜȠȖȠĲİȤȞȚțȩ ĳĮȡȝĮțİȓȠ ĲĮ ȕȚȕȜȓĮ İȓȞĮȚ ʌȡȠıİȖȝȑȞĮ ȑȞĮ ʌȡȠȢ ȑȞĮ. ǵȜĮ ıȣȞȠįİȪȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ įȚțȩ ĲȠȣȢ, ȝȠȞĮįȚțȩ, ȑȖȤȡȦȝȠ ĳȣȜȜȐįȚȠ, ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȞ «ĮıșİȞȒ» ʌȡȠțİȚȝȑȞȠȣ ȞĮ İʌȚĲȪȤİȚ Ș șİȡĮʌİȓĮ ĲȠȣ. ȈĲȠ

ȝʌȡȠıĲȚȞȩ ȝȑȡȠȢ ĮȞĮȖȡȐĳȠȞĲĮȚ Ƞ ĲȓĲȜȠȢ țĮȚ Ƞ ıȣȖȖȡĮĳȑĮȢ ĲȠȣ ȕȚȕȜȓȠȣ, țĮșȫȢ țĮȚ Ș įȚȐșİıȘ ĲȠȣ «ĮıșİȞȒ». ȈĲȠ ʌȓıȦ ȝȑȡȠȢ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ʌȜȘȡȠĳȠȡȓİȢ, ȩʌȦȢ İȞįİȓȟİȚȢ, ʌȡȠĲİȚȞȩȝİȞİȢ įȩıİȚȢ țĮȚ ʌȚșĮȞȑȢ ĮȞİʌȚșȪȝȘĲİȢ İȞȑȡȖİȚİȢ. ȈĲȠȣȢ ȝȩȜȚȢ įȪȠ ȝȒȞİȢ ȜİȚĲȠȣȡȖȓĮȢ ĲȠȣ ĲȠ «Piccola Farmacia Letteraria» ȑȤİȚ ȖȞȦȡȓıİȚ ʌȡȦĲȠĳĮȞȒ İʌȚĲȣȤȓĮ. ǱȞșȡȦʌȠȚ Įʌȩ ȩȜȘ ĲȘȞ ǿĲĮȜȓĮ, Įʌȩ ȝĮțȡȚȞȑȢ ʌİȡȚȠȤȑȢ ȩʌȦȢ Ș ȉİȡȖȑıĲȘ, Ș ǺİȞİĲȓĮ țĮȚ ĲȠ ȈʌȠȜȑĲȠ, ȑȡȤȠȞĲĮȚ ıĲȘ ĭȜȦȡİȞĲȓĮ ȖȚĮ ȞĮ ĲȠ İʌȚıțİĳșȠȪȞ. īȚĮ ĮȣĲȩȞ ĲȠȞ ȜȩȖȠ Ș Elena Molini ĮʌȠĳȐıȚıİ ȞĮ ĮȞȠȓȟİȚ țȚ ȑȞĮ ȘȜİțĲȡȠȞȚțȩ țĮĲȐıĲȘȝĮ ȝȑıĮ ıĲȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ȝȑȡİȢ. Ǽțİȓ Ƞ ʌİȜȐĲȘȢ șĮ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ıȣȝʌȜȘȡȫȞİȚ ȝȚĮ ĳȩȡȝĮ ȝİ ȕĮıȚțȐ ıĲȠȚȤİȓĮ ĲȘȢ ıȣȞĮȚıșȘȝĮĲȚțȒȢ ĲȠȣ țĮĲȐıĲĮıȘȢ, ıĲȘȞ ȠʌȠȓĮ Ș Elena șĮ ĮʌĮȞĲȐ ȝİ ĲȡİȚȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ȕȚȕȜȓȦȞ ȦȢ «șİȡĮʌİȓĮ». ĭȣıȚțȐ, Ș įȚĮįȚțĮıȓĮ ĮȣĲȒ șĮ İȓȞĮȚ İȞĲİȜȫȢ įȦȡİȐȞ țĮȚ ȤȦȡȓȢ țĮȞȑȞĮ ʌİȡȚȠȡȚıȝȩ ĮȖȠȡȐȢ. [ȆȘȖȒ: maxmag.gr]

4Ƞ șȑȝĮ. Ƞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ George Bernard Dantzig Ƞ ȐȞșȡȦʌȠȢ ʌȠȣ İȞȑʌȞİȣıİ ȑȞĮȞ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȣȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ ĮıĲȚțȠȪȢ «ȝȪșȠȣȢ» ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ Ș țĮȜȒ ĳȓȜȘ ǼȣĮȖȖ. ȁȫȜȘ, ȝĮȢ ȑıĲİȚȜİ ĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ȕȚȠȖȡĮĳȚțȩ ıȘȝİȓȦȝĮ ĲȠȣ ĮȞșȡȫʌȠȣ, ʌȠȣ İȞȑʌȞİȣıİ ȑȞĮȞ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȣȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ ĮıĲȚțȠȪȢ «ȝȪșȠȣȢ» «ȈĮȞ ıȒȝİȡĮ, ĲȠ 1914, ȖİȞȞȚȑĲĮȚ Ƞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ George Bernard Dantzig Ƞ ȐȞșȡȦʌȠȢ ʌȠȣ İȞȑʌȞİȣıİ ȑȞĮȞ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȣȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ ĮıĲȚțȠȪȢ «ȝȪșȠȣȢ». īİȞȞȒșȘțİ ıĲȠ ȆȩȡĲȜĮȞĲ ĲȠȣ ǵȡİȖțȠȞ. ȅȚ ȖȠȞİȓȢ ĲȠȣ, ĲȠȞ ȠȞȩȝĮıĮȞ George Bernard ʌȡȠȢ ĲȚȝȒ ĲȠȣ ȉȗȠȡĲȗ ȂʌȑȡȞĮȡȞĲ ȈȦ, ĲȠȣ ǿȡȜĮȞįȠȪ ıȣȖȖȡĮĳȑĮ. ȅ ʌĮĲȑȡĮȢ ĲȠȣ Tobias Dantzig ȒĲĮȞ īİȡȝĮȞȩȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ĲȘȢ ǺĮȜĲȚțȒȢ țĮȚ Ș ȝȘĲȑȡĮ ĲȠȣ, Anja Dantzig īĮȜȜȓįĮ ȖȜȦııȠȜȩȖȠȢ. O George Bernard Dantzig ȣʌȒȡȟİ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ įȚĮȝİĲȡȒȝĮĲȠȢ ȝİ ʌİȡȖĮȝȘȞȑȢ ıĲȘȞ ıĲĮĲȚıĲȚțȒ, ıĲȘȞ İʌȚıĲȒȝȘ ĲȦȞ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȫȞ, ĲȘȞ ȠȚțȠȞȠȝȚțȒ İʌȚıĲȒȝȘ ĮȜȜȐ țȣȡȓȦȢ ıĲȘȞ İʌȚȤİȚȡȘıȚĮțȒ ȑȡİȣȞĮ. īȞȦıĲȩȢ ȖȚĮ ĲȘȞ İȡȖĮıȓĮ ĲȠȣ ıĲȠ ȖȡĮȝȝȚțȩ ʌȡȠȖȡĮȝȝĮĲȚıȝȩ țĮȚ İȚįȚțȩĲİȡĮ ȖȚĮ ĲȘȞ įȘȝȚȠȣȡȖȓĮ ĲȠȣ ĮȜȖȠȡȓșȝȠȣ Simplex, İȞȩȢ ĮȜȖȩȡȚșȝȠȣ ȖȚĮ ĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ ʌȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ ȖȡĮȝȝȚțȠȪ ʌȡȠȖȡĮȝȝĮĲȚıȝȠȪ. ȉȠ 1939, İȞȫ ȒĲĮȞ ȝİĲĮʌĲȣȤȚĮțȩȢ ĳȠȚĲȘĲȒȢ ıĲȠ Berkeley ʌȡȦĲĮȖȦȞȓıĲȘıİ ıĲȠ İȟȒȢ ʌİȡȚıĲĮĲȚțȩ: ȀĮșȣıĲİȡİȓ ıİ ȑȞĮ ȝȐșȘȝĮ, ȩĲĮȞ ĳĲȐȞİȚ, Ƞ țĮșȘȖȘĲȒȢ Jerzy Neyman İȓȤİ ȒįȘ ȖȡȐȥİȚ ıĲȠȞ ʌȓȞĮțĮ įȣȠ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ıĲĮĲȚıĲȚțȒȢ, Ƞ Dantzig ȣʌȠșȑĲİȚ ȩĲȚ ĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȒĲĮȞ ȝȚĮ İȡȖĮıȓĮ ıĲȠ ıʌȓĲȚ țĮȚ ĲĮ ıȘȝİȚȫȞİȚ. Ǿ ĮȜȒșİȚĮ İȓȞĮȚ ȩĲȚ ĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȩʌȦȢ Ƞ ȓįȚȠȢ ȝİĲȑʌİȚĲĮ ȑȜİȖİ

«ĳȐȞȘțĮȞ ȞĮ İȓȞĮȚ ȜȓȖȠ ʌȚȠ įȪıțȠȜĮ Įʌȩ ĲȠ ıȣȞȘșȚıȝȑȞȠ», ĮȜȜȐ ȜȓȖİȢ ȝȑȡİȢ ĮȡȖȩĲİȡĮ ȑįȦıİ ȠȜȠțȜȘȡȦȝȑȞİȢ ȜȪıİȚȢ țĮȚ ĲȚȢ ʌĮȡȑįȦıİ ȩʌȦȢ ʌȓıĲİȣİ țĮșȣıĲİȡȘȝȑȞĮ ıĲȠȞ Neyman. ǲȟȚ İȕįȠȝȐįİȢ ĮȡȖȩĲİȡĮ, ʌȡȦȓ, țȐʌȠȚȠȢ ȤĲȣʌȠȪıİ ȝİĲ’ İʌȚĲȐıİȦȢ ĲȘȞ ʌȩȡĲĮ ĲȠȣ Dantzig, ȩĲĮȞ ȐȞȠȚȟİ ĲȘȞ ʌȩȡĲĮ İȓįİ țĮĲİȞșȠȣıȚĮıȝȑȞȠ ĲȠ "țĮșȘȖȘĲȒ Neyman, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ĲȠȣ İȓʌİ ȩĲȚ ĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ʌȠȣ İȓȤİ ȜȪıİȚ ȒĲĮȞ įȪȠ Įʌȩ ĲĮ ʌȚȠ įȚȐıȘȝĮ ȐȜȣĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ıĲȘȞ ıĲĮĲȚıĲȚțȒ. ǼȓȤİ ʌȡȠİĲȠȚȝȐıİȚ ȝȓĮ Įʌȩ ĲȚȢ ȜȪıİȚȢ ĲȠȣ ȖȚĮ įȘȝȠıȓİȣıȘ ıİ ȑȞĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ʌİȡȚȠįȚțȩ. ǵʌȦȢ İȓʌİ Ƞ Dantzig ıİ ȝȚĮ ıȣȞȑȞĲİȣȟȘ ĲȠȣ 1986, ıĲȠ Journal College Mathematics: "ǲȞĮ ȤȡȩȞȠ ĮȡȖȩĲİȡĮ, ȩĲĮȞ ȐȡȤȚıĮ ȞĮ ĮȞȘıȣȤȫ ȖȚĮ ĲȠ ʌȠȚȠ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ĲȠ șȑȝĮ ĲȘȢ įȚĮĲȡȚȕȒȢ ȝȠȣ, Ƞ Neyman ĮʌȜȫȢ ıȘțȫșȘțİ țĮȚ ȝȠȣ İȓʌİ ȞĮ ȠȜȠțȜȘȡȫıȦ ĲĮ įȪȠ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȞĮ ĲĮ ıȣȡȡȐȥȦ țĮȚ șĮ ĲĮ įİȤȩĲĮȞ ĲȘȞ įȚĮĲȡȚȕȒ ȝȠȣ". ǹȣĲȒ Ș ȚıĲȠȡȓĮ ȐȡȤȚıİ ȞĮ İȟĮʌȜȫȞİĲĮȚ țĮȚ ʌȒȡİ įȚĮıĲȐıİȚȢ ȝİ ĲȠ ȩȞȠȝĮ ĲȠȣ Dantzig ıȚȖȐ-ıȚȖȐ ȞĮ ĮĳĮȚȡİȓĲĮȚ țĮȚ ĲĮ ȖİȖȠȞȩĲĮ ȞĮ ĮȜȜȐȗȠȣȞ, ĮȜȜȐ Ș ȕĮıȚțȒ ȚıĲȠȡȓĮ ʌĮȡĮȝȑȞİȚ ȝİ ĲȘ ȝȠȡĳȒ ĮıĲȚțȠȪ ȝȪșȠȣ țĮȚ ȑȝʌȞİȣıȘ ȖȚĮ ĲȘȞ İȚıĮȖȦȖȚțȒ ıțȘȞȒ ıĲȘȞ İȟĮȓȡİĲȘ ĲĮȚȞȓĮ Good Will Hunting. [ʌȘȖȒ: mathhmagic.blogspot.com/2017/07/blog-post_ 25.html]

V. İȚįȒıİȚȢ – İȚįȘıȠȪȜİȢ 1Ș. ıĲȚȢ 18 ǻİțȑȝȕȡȘ 2018, ıĲĮ ʌȜĮȓıȚĮ ĲȦȞ ıȣȞİįȡȚȐıİȦȞ ĲȘȢ ıȣȞĲĮțĲȚțȒȢ İʌȚĲȡȠʌȒȢ ĲȠȣ ʌİȡȚȠįȚțȠȪ "ǼȣțȜİȓįȘȢ Ǻǯ ", ʌȡĮȖȝĮĲȠʌȠȚȒșȘțİ įȚȐȜİȟȘ ĲȠȣ ȝȑȜȠȣȢ ĲȘȢ İʌȚĲȡȠʌȒȢ țĮȚ ıȘȝĮȞĲȚțȠȪ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/20

ȝȠȣıȚțȠȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ, ȃȓțȠȣ ǹȞįȡȠȣȜĮțȐțȘ, ȝİ șȑȝĮ "ǹʌ' ĲȠȞ ȆȣșĮȖȩȡĮ ıĲȠ țȜĮȕȚȑ". ȉȠȞ ȃȓțȠ, ȤĮȡĮțĲȘȡȓȗȠȣȞ: Ș įȚĮȣȖȒȢ ȖȞȫıȘ, Ș ıȦıĲȒ İțĳȠȡȐ ȜȩȖȠȣ, Ƞ ʌİʌİȚȡĮȝȑȞȠȢ įȐıțĮȜȠȢ. ǼȓȞĮȚ ĮʌȓıĲİȣĲȠ, ĮȜȜȐ ȝĮȢ İȞșȠȣıȓĮıİ ȩȜȠȣȢ. ȆȡȠıȦʌȚțȐ ʌȚıĲİȪȦ ȩĲȚ ȝʌȠȡİȓĲİ ȞĮ ĲȠȣ ȗȘĲȒıİĲİ ȣȜȚțȩ ĲȘȢ įȚȐȜİȟȒȢ ĲȠȣ, ıĲȘ įȚİȪșȣȞıȘ "nikandros7@yahoo.com". 2Ș. Įʌȩ ĲȘ ĳȓȜȘ ǹȖȖİȜȚțȒ ȁȫȜȘ, ĮȜȓİȣıĮ ĲȘȞ ʌĮȡĮțȐĲȦ "ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ ĮʌȩįİȚȟȘ", ȝİ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ĮʌĮȞĲȐ ıĲȠ ĳȚȜȠıȠĳȚțȩ İȡȫĲȘȝĮ: Ș țȩĲĮ ȑțĮȞİ Ĳ’ ĮȕȖȩ Ȓ Ĳ’ ĮȕȖȩ ĲȘȞ țȩĲĮ; ǼȞĲȣʌȦıȚĮțȩ... 3Ș. Įʌȩ ʌȠȜȪ țĮȚȡȩ, ʌȜȘȡȠĳȠȡȘșȒțĮȝİ ȩĲȚ Ƞ īȚȫȡȖȠȢ ǻȐııȚȠȢ (ȠȝȩĲȚȝȠȢ țĮșȘȖȘĲȒȢ ıĲȠ ʌĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȘȢ ȆȐĲȡĮȢ țĮȚ ĮȞĲİʌȚıĲȑȜȜȦȞ ȝȑȜȠȢ ĲȘȢ ǹțĮįȘȝȓĮȢ ǹșȘȞȫȞ), ȕȡȓıțİĲĮȚ, ʌȡȠȤȦȡȘȝȑȞĮ, ıĲȘ ıȣȖȖȡĮĳȒ ĲȠȣ ʌȡȫĲȠȣ ĲȩȝȠȣ

ȕȚȕȜȓȠȣ ȝİ șȑȝĮ ĲȠȞ "ȀȜĮıȝĮĲȚțȩ ȁȠȖȚıȝȩ". īȞȦȡȓȗȠȞĲĮȢ, ĲȘȞ ʌȠȚȩĲȘĲĮ țȚ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȒ İȖțȣȡȩĲȘĲĮ ĲȠȣ ț. ǻȐııȚȠȣ, ĮȞĮȝȑȞȠȣȝİ ĲȘ ıȪȞĲȠȝȘ ȑțįȠıȒ ĲȠȣ.

watch?v=wM-x3pUcdeo] 4Ș. ȅ ĳȓȜȠȢ ȉȐțȘȢ (;) Įʌȩ ĲȘȞ ȁȐȡȚıĮ, ȝĮȢ ȕ) «Mathematical PI» (The PI song with lyrics!) ʌȡȠĲİȓȞİȚ ȞĮ ȥȐȟȠȣȝİ ĲĮ ȜȒȝȝĮĲĮ: Į) «Song from ʌ!» (with Sheet Music/HQ [https://www.youtube.com/watch?v =VWGGTb5pY2U Download) [https://www.youtube.com/ ȂĮȢ įȚĮȕİȕĮȚȫȞİȚ ȩĲȚ șĮ ĮțȠȪıȠȣȝİ ĲȠ ĲȡĮȖȠȪįȚ ĲȠȣ ȖȞȦıĲȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ "ʌ" (!!) Vǿ. ǹʌȐȞĲȘıȘ ıĲȠ "ĮȣĲȩ ĲȠ ȟȑȡĮĲİ;" 1) įȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī, ıĲȠ ȠʌȠȓȠ ĲĮ ǹǹǯ,ǺǺǯ,īīǯ ʌİȡȞȠȪȞ Įʌȩ ĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ (ĮȣĲȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩ ȦȢ "ıȘȝİȓȠ Ceva", ĲȠ įİ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǯǺǯīǯ ȦȢ "ĲȡȓȖȦȞȠ Ceva "). ȅ ʌİȡȓțȣțȜȠȢ (C), ĲȠȣ ǹǯǺǯīǯ ĲȑȝȞİȚ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ Ǻī,īǹ,ǹǺ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ǹǯǯ,Ǻǯǯ,īǯǯ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǯǯǺǯǯīǯǯ İȓȞĮȚ ĲȠ "țȣțȜȠıȑȕȚĮȞ" (cyclocevian) ĲȡȓȖȦȞȠ, ȝİ ĲȡȓȖȦȞȠ ĮȞĮĳȠȡȐȢ ĲȠ ǹǺī, ıİ ıȤȑıȘ ȝİ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ. ȉȠ ıȘȝİȓȠ ȁ İȓȞĮȚ "țȣțȜȠıȑȕȚĮȞ ıȣȗȣȖȑȢ" ĲȠȣ Ȁ (cyclocevian conjugate). 2) ıİ ȖİȞȚțȑȢ ȖȡĮȝȝȑȢ, Ƞ ȕĮșȝȩȢ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ İȓȞĮȚ ȑȞĮȢ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ įİȓȤȞİȚ ĲȘ įȣȞĮȝȚțȩĲȘĲĮ İȞȩȢ ıțĮțȚıĲȒ ıİ ıȤȑıȘ ȝİ ȐȜȜȠȣȢ ıțĮțȚıĲȑȢ ıİ ȝȚĮ įİįȠȝȑȞȘ ȤȡȠȞȚțȒ ʌİȡȓȠįȠ. ǵıȠ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ Ƞ ȕĮșȝȩȢ, ĲȩıȠ ȚıȤȣȡȩĲİȡȠȢ İȓȞĮȚ șİȦȡȘĲȚțȐ Ƞ ʌĮȓțĲȘȢ. ǹȢ įȠȪȝİ ȑȞĮ ʌȠȜȪ ĮʌȜȩ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ: ǲȞĮȢ ʌĮȓțĲȘȢ ĮȖȦȞȓȗİĲĮȚ ȖȚĮ ʌȡȫĲȘ ĳȠȡȐ ıİ ȑȞĮ ĲȠȣȡȞȠȣȐ țĮȚ ĮȞĲȚȝİĲȦʌȓȗİȚ ĲȡİȚȢ ʌĮȓțĲİȢ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ȕĮșȝȠȪȢ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ 1.300, 1.400 țĮȚ 1.500. ȅ ʌĮȓțĲȘȢ țİȡįȓȗİȚ ĲȠȞ ʌȡȫĲȠ, ĳȑȡȞİȚ ȚıȠʌĮȜȓĮ ȝİ ĲȠȞ įİȪĲİȡȠ țĮȚ ȤȐȞİȚ Įʌȩ ĲȠȞ ĲȡȓĲȠ. ȉİȜȚțȩ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ 1,5/3, įȘȜĮįȒ 50%. ȅ ȕĮșȝȩȢ ʌȠȣ șĮ ĲȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȘșİȓ İȓȞĮȚ 1.400, ĮțȡȚȕȫȢ ȩıȠ Ƞ ȝȑıȠȢ ȩȡȠȢ ĲȦȞ ĮȞĲȚʌȐȜȦȞ ʌȠȣ ıȣȞȐȞĲȘıİ, ĮĳȠȪ ĲȠ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ 50% įȘȜȫȞİȚ ȩĲȚ ȑʌĮȚȟİ ʌİȡȓʌȠȣ ȩʌȦȢ Ƞ ȝȑıȠȢ ĮȞĲȓʌĮȜȠȢ ʌȠȣ ıȣȞȐȞĲȘıİ. ȅ ȕĮșȝȩȢ 1.400 șĮ ĮțȠȜȠȣșİȓ ĲȠȞ ʌĮȓțĲȘ ĲȠȣ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲȠȢ ȝȑȤȡȚ ȞĮ ĮȖȦȞȚıĲİȓ ȟĮȞȐ. ǵĲĮȞ țİȡįȓȗİȚ, Ƞ ȕĮșȝȩȢ șĮ ĮȣȟȐȞİĲĮȚ, İȞȫ ȩĲĮȞ ȤȐȞİȚ, șĮ ȝİȚȫȞİĲĮȚ. ȉȠ ʌȩıȠ șĮ ĮȣȟȐȞİĲĮȚ Ȓ șĮ ȝİȚȫȞİĲĮȚ İȟĮȡĲȐĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĮȞĲȚʌȐȜȠȣȢ ĲȠȣ. ǹȞ įȘȜĮįȒ țİȡįȓıȠȣȝİ țȐʌȠȚȠȞ ȚıȤȣȡȩ ʌĮȓțĲȘ, șĮ ʌȐȡȠȣȝİ ʌİȡȚııȩĲİȡİȢ ȝȠȞȐįİȢ Įʌȩ ȩ,ĲȚ ĮȞ țİȡįȓıȠȣȝİ țȐʌȠȚȠȞ ʌȚȠ ĮįȪȞĮȝȠ. ȉȠ ıȪıĲȘȝĮ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪ elo įȚĮȝȠȡĳȫșȘțİ Įʌȩ ĲȠȞ ȅȪȖȖȡȠ țĮșȘȖȘĲȒ ǯǹȡʌĮȞĲ ǯǼȜȠ țĮȚ

ȣȚȠșİĲȒșȘțİ Įʌȩ ĲȘȞ ȆĮȖțȩıȝȚĮ ȈțĮțȚıĲȚțȒ ȅȝȠıʌȠȞįȓĮ (FIDE) ĲȠ 1970. ȀȐșİ ȝȒȞĮ Ș FIDE įȘȝȠıȚİȪİȚ ʌȓȞĮțİȢ ȩʌȠȣ ĳĮȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ ȕĮșȝȠȓ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ȩȜȦȞ ĲȦȞ ıțĮțȚıĲȫȞ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ĮȖȦȞȚıĲİȓ ıİ İʌȓıȘȝȠ ĲȠȣȡȞȠȣȐ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȝȚĮ ĳȠȡȐ ıĲȘ ȗȦȒ ĲȠȣȢ. ǲȞĮȢ ʌȠȜȪ ĮȡȤȐȡȚȠȢ ıțĮțȚıĲȒȢ ȑȤİȚ elo ȖȪȡȦ ıĲȠ 1.000, Ƞ ȚıȤȣȡȩĲİȡȠȢ ǲȜȜȘȞĮȢ ʌĮȓțĲȘȢ (ī. ȆĮʌĮȧȦȐȞȞȠȣ) ȑȤİȚ 2.640, İȞȫ Ƞ ʌĮȖțȩıȝȚȠȢ ʌȡȦĲĮșȜȘĲȒȢ (ȂȐȖțȞȠȣȢ ȀȐȡȜıİȞ) ȑȤİȚ 2.845. Ǿ FIDE įİȞ İȓȞĮȚ Ș ȝȩȞȘ ʌȠȣ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓ ȕĮșȝȠȪȢ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ. ȈȤİįȩȞ ȩȜİȢ ȠȚ İșȞȚțȑȢ ȠȝȠıʌȠȞįȓİȢ ȑȤȠȣȞ ĲȠ įȚțȩ ĲȠȣȢ ıȪıĲȘȝĮ ʌȠȣ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓĲĮȚ ȖȚĮ ȞĮ ıȣȖțȡȓȞİȚ ĲȘ įȣȞĮȝȚțȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ʌĮȚțĲȫȞ ĲȠȣȢ. īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ, Ș ǼȜȜȘȞȚțȒ ȈțĮțȚıĲȚțȒ ȅȝȠıʌȠȞįȓĮ țĮȚ Ș ȅȝȠıʌȠȞįȓĮ ĲȦȞ ǾȆǹ (USCF) ȑȤȠȣȞ țȜȓȝĮțĮ țĮȚ ĲȡȩʌȠ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪ ʌĮȡȩȝȠȚȠ ȝİ ĲȘȢ FIDE, İȞȫ Ș ǹȖȖȜȓĮ įȚĮĳȑȡİȚ ʌȐȡĮ ʌȠȜȪ.

ʌȡȠĮȖȖİȜȓĮ ıİ İʌȩȝİȞȠ ĲİȪȤȠȢ șĮ įȘȝȠıȚİȪıȠȣȝİ ıȘȝİȓȦȝĮ ȖȚĮ ĲȘ ıȤȑıȘ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țĮȚ ȈțĮțȚȠȪ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/21

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ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ

ƧŅƮƷƭƩƬƲƷ ȊʌİȪșȣȞȠȚ ĲȐȟȘȢ: ȋȡ. ȁĮȗĮȡȓįȘȢ, ȋȡ. ȉıȚĳȐțȘȢ, ī. ȀĮĲıȠȪȜȘȢ

Ʃ ĴǈĴǇǃ ĸǅǆƼ ĲƽĂĴĸĴ

ȰŅƮƷƭƩȻƲƷ

ȃȓțȠȢ ȀȣȡȚĮțȓįȘȢ, 7Ƞ ī.Ǽ.ȁ. ȃ. ȈȝȪȡȞȘȢ

ǱıțȘıȘ 1. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ: x 5 x 4 3x 18. (1)

x 2 3x 4 , ȞĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ

ǱıțȘıȘ 5. AȞ f (x) İȟȓıȦıȘ f (x)

f ( x ).

ȁȪıȘ: ǹȞ 3x 18d0, įȘȜĮįȒ xd6, ĲȩĲİ Ș (1) İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ, ĮĳȠȪ x 5 x 4 >0.

ȁȪıȘ: H İȟȓıȦıȘ ȖȓȞİĲĮȚ x2 3x 4

ǹȞ 3x 18>0, įȘȜĮįȒ x>6, ȠʌȩĲİ x 5>0 țĮȚ x 4>0, ȑȤȠȣȝİ: 1 x 5+x 4=3x 18 x=9

ǻ= 7<0, ȐȡĮ x2 3x+4>0, ȖȚĮ țȐșİ x R. EʌȓıȘȢ 2 x x2 .ǲĲıȚ Ș İȟȓıȦıȘ ȖȓȞİĲĮȚ 2 2 x 3x+4=x 3 x +4 x x x t 0.

ʌȠȣ İȓȞĮȚ įİțĲȒ ĲȚȝȒ, ĮĳȠȪ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ ĲȠȣ 6.

x 3 x 4 . 2

TȠ ĲȡȚȫȞȣȝȠ x2 3x+4 ȑȤİȚ Į=1>0 țĮȚ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ

_x_ xt0 țĮȚ _x_ +xt0. ǱȡĮ _ _x_ x_ = _x_ x țĮȚ _ _x_

ǱıțȘıȘ 6. ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ x2 D2 , x z 1, x z D °° 2 x (D 1)x D f (x) ® x 1 1, ° 1, x D °̄

+x_ = _x_ +x țĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ ȖȓȞİĲĮȚ

ǹ. ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȘșİȓ Ƞ ĲȪʌȠȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ.

ǱıțȘıȘ 2. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ: x x x x x 6. (1) ȁȪıȘ: ǹĳȠȪ x d x d x , ȚıȤȪİȚ:

_x_ x + _x_ +x = x+6 2_x_ =x+6.

Ǻ. ǹȞ f( 1)=4 ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ Į.

AȞ x+6<0, įȘȜĮįȒ x< 6, ĲȩĲİ Ș (1) İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ

ī. īȚĮ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Į ʌȠȣ ȕȡȒțĮĲİ ıĲȠ Ǻ’

ĮĳȠȪ 2_x_t0. AȞ x+6t0, įȘȜĮįȒ xt 6, ĲȩĲİ (1) 2x =x+6 Ȓ

İȡȫĲȘȝĮ ȞĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ f( 1)+f(0)+f(1)= f (x) .

2x = x 6 x=6 Ȓ x= 2 (įİțĲȑȢ ĲȚȝȑȢ).

ȁȪıȘ: A. IıȤȪİȚ: x2 D2

ǱıțȘıȘ 3. NĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f (x)

x 2 Dx x D

ǱıțȘıȘ 4. NĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ x 6 14 x .

ȁȪıȘ: īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș f ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ 14 x t 0 țĮȚ x+6 t 14 x . ǻȘȜĮįȒ x d 14 ,

x(x D ) (x D )

(x D )(x 1)

ȝİ xzĮ țĮȚ xz1 ȑȤȠȣȝİ: x 2 D2 x 2 (D 1)x D

x x 2.

ȁȪıȘ: īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș f ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ x+2 t 0 țĮȚ xt x 2 , įȘȜĮįȒ x t 2 , x t 0 , x 2 t x 2 țĮȚ ĲİȜȚțȐ x t 2. ǱȡĮ Df=[2,+ f).

f (x)

(x D )(x D ) NDL x 2 ( D 1)x D

(x D)(x D) (x D)(x 1)

x D , ȠʌȩĲİ x 1

x D , x z D, x z 1 ° . f (x) ® x 1 x 1 1, ° x D ¯ 1,

Ǻ. AȞ Į= 1, ĲȩĲİ f( 1)=f(Į)=1 z 4. ǹȞ Į z 1 ĲȩĲİ 1 D f( 1)=4 1 1

4 D 1 8 D

7 ,

İʌȠȝȑȞȦȢ Ș ȝȩȞȘ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Į İȓȞĮȚ ĲȠ 7.

x+6 t 0 , (x+6)2 t14–x, țĮȚ ĲİȜȚțȐ 2 d x d 14.

ī. ǹȞ x=1 ĲȩĲİ f( 1)+f(0)+f(1)=4+7–1=10z f (1) ,

ǱȡĮ Df=[ 2,14].

ĮĳȠȪ f (1) ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/22

1 1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ǹȞ x= 7 ĲȩĲİ f( 1)+f(0)+f(1)=4+7– 1=10z f ( 7) , ĮĳȠȪ f( 7) =f( Į) = _+1_=1.

2D 2 DE 3E2

ǹȞ x z 1 țĮȚ x z 7 șĮ ȑȤȠȣȝİ: f(–1)+f(0)+f(1)= x 7 x 7 x 7 = f (x) 4+7 1= =10 =10 x 1 x 1 x 1 x 7 Ȓ = 10 x 7=10x 10 Ȓ x 1 1 17 x 7= 10x+10 x= Ȓ x (ǻİțĲȑȢ ĲȚȝȑȢ). 3 11

ǲĲıȚ ĲȠ țȜȐıȝĮ ȖȓȞİĲĮȚ: (D E).(2D 3E) . (D 3E).(D E)

ǱȡĮ ȠȚ ȝȠȞĮįȚțȑȢ ȜȪıİȚȢ İȓȞĮȚ ȠȚ 1 17 x1 NDL x2 . 3 11

ȐWRSR, DMRȪ D z E.

2D(D E) 3E(D E) (D E)(2D 3E).

5 4

8D 12E 5D 15E 3D 3E 0

3(D E) 0 D E 0 D

ȁȪıȘ: DE D E E D D.E

y½ 2 ¾ (2x – 1) = 1 ¿ 2x 1 1 Ȓ 2x 1 1 x 1 Ȓ x

(2x 1) 4 y 1

(ǻİțĲȑȢ ĲȚȝȑȢ).

ǱıțȘıȘ 8. ǹ. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ȖȚĮ ʌȠȚİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȦȞ Į,ȕ 2D 2 DE 3E 2 țĮȚ ıĲȘ D 2 2DE 3E 2

ıȣȞȑȤİȚĮ ȞĮ ĲȠ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİĲİ. Ǻ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲȠ țȜȐıȝĮ Ȁ įİȞ ȝʌȠȡİȓ 5 ȞĮ ʌȐȡİȚ ĲȘȞ ĲȚȝȒ . 4 ȁȪıȘ: ǹ. ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ: D 2 2DE 3E2 D 2 3DE DE 3E2 D(D 3E) E(D 3E) (D 3E)(D E) ǱȡĮ ĲȠ țȜȐıȝĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ ȖȚĮ țȐșİ D, E R ȝİ ǼȟȐȜȜȠȣ:

2D 3E 5 , șĮ İȓȤĮȝİ: 4 D 3E E

ȖȚĮ țȐșİ Į,ȕ \ .

ȁȪıȘ: īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș (1) ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ 1 2x 1 z 0, įȘȜĮįȒ x z . ȉȩĲİ 2 4 (2x 1) y ½ (2x 1) 4 y ½° ° (1) 1 ¾ ¾ y 2 ° y 2 1 2y °¿ y ¿ 4 (2x 1) y ½° (2x 1) 4 y ½° ¾ ¾ y 2 2y 1 0 °¿ (y 1) 2 0 °¿

D z 3E NDL D z E.

Ǻ. ǹȞ ȓıȤȣİ Ȁ=

2D 3E . D 3E

ǱıțȘıȘ 9. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ DE D E E D DE t 0 ,

ǱıțȘıȘ 7. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ 1 (2x 1)4 2 (1). (2x 1)4

ȠȡȓȗİĲĮȚ ĲȠ țȜȐıȝĮ .

2D2 3DE 2DE 3E2

D E D E E D DE

E ( D D) E( D D) ( D D)( E E) 6ȪPMZQD PH WKQ VFȑVK x d x d x LVFȪRXQ D D t 0 NDL E E t 0 VXQHSȫ9 DE D E E D DE t 0, JLD NȐTH D, E \.

ǱıțȘıȘ 10. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1 1 ǹ. x t 2, JLD NȐTH x z 0 țĮȚ x d 2, x x ȖȚĮ țȐșİ x<0. 2x 2 1 2 , ȖȚĮ țȐșİ x R. B. 1 d 2 x 1 1 2x 2 1 ī. x > 2 , ȖȚĮ țȐșİ x z 0. x x 1

ȁȪıȘ: ǹ. ǹĳȠȪ x 0, șĮ ȚıȤȪİȚ _x_>0. ȈȣȞİʌȫȢ 2 2 Įȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ: x 1t 2 x , Ȓ x 2 x 1t 0, Ȓ ( x 1) t 0, SRX LVFȪHL JLD NȐTH x z 0. īȚĮ x<0 2

1 1 t 2, įȘȜĮįȒ x d 2 . x x 2 Ǻ. ǹĳȠȪ x 1 ! 0 , Įȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ x 2 1 d 2x 2 1 2x 2 2,

Ș ıȤȑıȘ ȖȓȞİĲĮȚ x

Ȓ x 2 1 2x 2 1 d 0 2x 2 2 2x 2 1 ,

Ȓ 3x 2 d 0 3 , ʌȠȣ ȚıȤȪȠȣȞ. 2x 2 1 2 țĮȚ ī. ȆȡȠĳĮȞȫȢ 1 d 2 x 1 1 1 2x 2 1 , ȖȚĮ țȐșİ x z 0. x t2 x > 2 x 1 x x

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/23

____________________________________

ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ

___________________________________

ǱıțȘıȘ 11. ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ x x x x f (x) . x x x x

țĮȚ Į>ȕ x ( x 1)>0 x z 0 țĮȚ

A. NĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ țĮȚ ȞĮ

ǱıțȘıȘ 13. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ x 2 4 7 _x 1_<12.

x >1 x< 1 Ȓ x>1.

ĮʌȜȠʌȠȚȒıİĲİ ĲȘȞ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f(x). B. NĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ f(x)>0. ī. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ĮțȑȡĮȚİȢ ȜȪıİȚȢ ĲȘȢ ĮȞȓıȦıȘȢ f (x) t 3 . ȁȪıȘ: A. īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș f ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ x t 0, x x z 0 țĮȚ x+ x z 0 .

ȁȪıȘ: ǲȤȠȣȝİ: x 2 4 7 7<_x 2_ 4<7 3< _x 2_<11 _x 2_<11 11<x – 2<11 10<x –1<12 12<x – 1<12 _x 1_<12.

Ȃİ x t 0 ȑȤȠȣȝİ: x x 0 x x ǱıțȘıȘ 14. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ 2 2 x x x x 0 x(x 1) 0 x 0 Ȓ x 1. x 1 x d1 . țĮȚ x+ x 0 x 0 , ǱUD Df (0,1) (1, f) . ȁȪıȘ: x 1 x d 1 1 d x 1 x d 1 ȉȩĲİ: x 1 d x 1 d x 1 x 1 d x 1 x x x x (x x ) 2 (x x ) 2 f (x) NDL x 1 d x 1. x x x x (x x )(x x ) ĬĮ ȜȪıȠȣȝİ ʌȡȫĲĮ ĲȘȞ x 1 d x 1 . ǹȞ x<1 x 2 2x x ( x ) 2 x 2 2x x ( x ) 2 ĮȜȘșİȪİȚ įȚȩĲȚ ĲȠ ʌȡȫĲȠ ȝȑȜȠȢ İȓȞĮȚ ĮȡȞȘĲȚțȩ țĮȚ x 2 ( x )2 2 x 2 2( x ) 2 x2 x

2 x 2 2x x2 x

2x(x 1) x(x 1)

2x 2 . x 1

ĲȠ įİȪĲİȡȠ șİĲȚțȩ Ȓ ȝȘįȑȞ. ǹȞ x t 1 ĲȩĲİ x+1>0 x 1 =x+1.

B. ȈĲȠ Df ȑȤȠȣȝİ 2x+2>0, ȠʌȩĲİ f(x)>0 x 1>0

ǲĲıȚ Ș ĮȞȓıȦıȘ ȖȓȞİĲĮȚ x 1 d x+1 0x d 2, ʌȠȣ

x>1. ī. ǲȤȠȣȝİ: Df =

ĮȜȘșİȪİȚ ȖȚĮ țȐșİ x R īȚĮ ĲȘȞ įİȪĲİȡȘ ĮȞȓıȦıȘ, ĮĳȠȪ

^2,3, 4,...`

$ . ȈĲȠ ǹ ȜȠȚʌȩȞ

ȑȤȠȣȝİ: f (x) t 3 f (x) t 3 Ȓ f (x) d 3 . ǹĳȠȪ x A șĮ ȑȤȠȣȝİ x – 1>0, ȠʌȩĲİ f (x) t 3 2x 2 t 3 2x 2 t 3x 3 x d 5 x ^2,3, 4,5` x 1

x 1 t x+1 ȖȚĮ

țȐșİ x R, șĮ ȑȤȠȣȝİ: x 1 d x+1 x 1 = x+1 x 1 t 0 x t 1 . ȈȣȞİʌȫȢ x 1 x d 1 x t 1.

2x 2 d 3 2x 2 d 3x 3 x 1 1 5x d 1 x d (ĮįȪȞĮĲȘ) 5

ǱıțȘıȘ 15. NĮ ıȣȞĮȜȘșİȪıİĲİ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ: x 2 4x 6 6 NDL x 4 5x 3 x 2 x 20 0

ȉİȜȚțȐ ıĲȠ ǹ ȑȤȠȣȝİ: _f(x)_t3 x {2,3,4,5}.

ȁȪıȘ: ȈĲȠ ǽ ȑȤȠȣȝİ:

țĮȚ f x d 3

VWR VȪQROR WZQ DNHUDȓZQ DULTPȫQ .

_x2 – 4x – 6_ < 6 6< x2 – 4x – 6 < 6

ǱıțȘıȘ 12. ȃĮ ıȣȖțȡȓȞİĲİ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į=x2 x țĮȚ ȕ= x x , ȖȚĮ ĲȚȢ įȚȐĳȠȡİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ x R. ȁȪıȘ: ǲȤȠȣȝİ: Į–ȕ=x2 x–( x x )=x2 – x =

6< x2 – 4x – 6 țĮȚ x2 – 4x – 6 < 6 x2 – 4x >0 țĮȚ x2 – 4x – 12<0 x(x – 4)>0 țĮȚ (x – 6)(x+2)<0 x ( f,0) (4,+f) țĮȚ x ( 2,6) x ( 2,0) (4,6) x = 1 Ȓ x=5.

= x 2– x = x ( x –1) ǱȡĮ: Į=ȕ x =0 Ȓ x =1 x=0 Ȓ x=–1 Ȓ x=1. Į<ȕ x ( x 1)<0 x z 0 țĮȚ x <1 1<x<0 Ȓ 0<x<1

ȂȩȞȠ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 5, ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ ĲȘȞ x 4 5x 3 x 2 x 20 0. ǱȡĮ ȠȚ ıȤȑıİȚȢ ĮȣĲȑȢ ıȣȞĮȜȘșİȪȠȣȞ ȝȩȞȠ ȖȚĮ x=5.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/24

ƧŅƮƷƭƩƬƲƷ

ƳǋǊǀǇƾĂĴĸĴ ıĶǐĂĶĸǋȽĴǌ ȀȠıʌİȞĲȐȡȘȢ īȚȫȡȖȠȢ, ȀĮȥȐȜĮȢ ȃȚțȩȜĮȠȢ. 1o ȆİȚȡĮȝĮĲȚțȩ īǼȁ ǹșȒȞĮȢ «īİȞȞȐįİȚȠ»

ȆȡȩȕȜȘȝĮ 1 ǼȟȦĲİȡȚțȐ İȞȩȢ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ ǹǺīǻ țĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ įȪȠ ȚıȩʌȜİȣȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺǼ țĮȚ ǹǻǽ. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ īǼǽ İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ.

ȁȪıȘ ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǼǽ țĮȚ ǻǽī. ǲȤȠȣȞ:

n = ǽǹǻ n + ǻǹǺ n + ǺǹǼ n = 60Ƞ + īǻǾ n + 60Ƞ ǽǹǼ n țĮȚ ǺǹǼ n İȓȞĮȚ ȖȦȞȓİȢ (ȖȚĮĲȓ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ ǽǹǻ n țĮȚ ȚıȠʌȜİȪȡȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ țĮȚ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ ǻǹǺ

n (ȖȚĮĲȓ n = 120Ƞ + Ǻǹǻ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ ǹǺ) + ĬǺī n İȓȞĮȚ İȟȦĲİȡȚțȒ ĲȠȣ ȚıȠʌȜİȪȡȠȣ Ș ȖȦȞȓĮ ǼǺĬ n İȓȞĮȚ İȞĲȩȢ İțĲȩȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǼǹǺ țĮȚ Ș ȖȦȞȓĮ ĬǺī țĮȚ İʌȓ ĲĮ ĮȣĲȐ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ Ǻī țĮȚ ǹǻ ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ǹǺ) = ȖȦȞ. ǽǹǼ (ȕȜ. ʌĮȡĮʌȐȞȦ). ǼʌȓıȘȢ: Ǻī = ǹǻ (ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȑȢ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ)=ǹǽ (ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ȚıȠʌȜİȪȡȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǽǹǻ) țĮȚ ǼǺ = ǹǼ (ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ȚıȠʌȜİȪȡȠȣ ǹǺǼ). ǺȐıİȚ ĲȠȣ ȆīȆ ȑȤȠȣȝİ ĲȡȚȖ. ǹǼǽ = ĲȡȚȖ. ǼǺī, ȠʌȩĲİ Ǽī = Ǽǽ (2). ǹʌȩ (1) țĮȚ (2) ȑȤȠȣȝİ: Ǽī= Ǽǽ = ǽī, įȘȜ. ĲȠ īǼǽ ȚıȩʌȜİȣȡȠ. ȆȡȩȕȜȘȝĮ 2 ǼȟȦĲİȡȚțȐ ĲȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ ǹǺīǻ țĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ ĲĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ǹǺĬǾ, ǺīǼǽ, ǻīȂȁ țĮȚ ǹǻȀǿ. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ: Į) ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȣȞ ĲĮ țȑȞĲȡĮ ĲȦȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ İȓȞĮȚ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ. ȕ) ȅȚ įȚĮȖȫȞȚİȢ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ĮȣĲȠȪ įȚȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ ȝİ ĲȚȢ įȚĮȖȫȞȚİȢ ĲȠȣ ĮȡȤȚțȠȪ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ ǹǺīǻ.

n İȓȞĮȚ ȓıİȢ ȦȢ İȞĲȩȢ İțĲȩȢ țĮȚ İʌȓ ĲĮ ĮȣĲȐ ĲȦȞ īǻǾ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ ǹǺ, ǻī ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ǹǻ, n= ȩʌȠȣ ǻǾ Ș ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ ǹǻ)=120Ƞ + īǻǾ n + Ǿǻǽ n (İĳ’ ȩıȠȞ Ș Ǿǻǽ n İȟȦĲİȡȚțȒ ȖȦȞȓĮ īǻǾ n . ǼʌȓıȘȢ ĲȠȣ ȚıȠʌȜİȪȡȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǽǹǻ) = īǻǽ ȑȤȠȣȞ: ǹǽ = ǹǻ = ǻǽ (Įʌȩ ĲȠ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ǹǽǻ) țĮȚ Ǽǹ = ǹǺ (Įʌȩ ĲȠ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ǹǺǼ) = ǻī (ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ ǹǺīǻ). ǺȐıİȚ ĲȠȣ țȡȚĲȘȡȓȠȣ ȆīȆ ȑȤȠȣȝİ ĲȡȚȖ. ǹǼǽ = ĲȡȚȖ. ǻīǽ, ȠʌȩĲİ Ǽǽ = ǽī (1). ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǼǽ țĮȚ n = ǼǺĬ n (ȩʌȠȣ Ĭ Ș ǼǺī. ǹȣĲȐ ȑȤȠȣȞ: ǼǺī ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/25

_______________________________ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ ______________________________

ȁȪıȘ Į) ǲıĲȦ ĲĮ țȑȞĲȡĮ ĲȦȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ ǹǺĬǾ, ǺīEZ, īǻȁȂ țĮȚ ǹǻȀǿ, ȉ, Ȉ, ȇ, Ȇ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǺȈȉ țĮȚ ǹȆȉ. ǲȤȠȣ-ȝİ: ǹȆ = ǺȈ (ȝȚıȐ įȚĮȖȦȞȓȦȞ ĲȦȞ ȓıȦȞ ĲİĲȡĮ-ȖȫȞȦȞ ǹǻȀǿ țĮȚ ǺīǼǽ) țĮȚ ȉǺ = ȉǹ (ȝȚıȐ ĲȦȞ įȚĮȖȦȞȓȦȞ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ǹǺĬǾ). ǼʌȓıȘȢ:

n = ȉǺǹ n + ǹǺī n + īǺȈ n =45Ƞ+ ǹǺī n +45Ƞ ȉǺȈ (İĳ’ȩıȠȞ Ș įȚĮȖȫȞȚȠȢ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ įȚȤȠĲȠȝİȓ ĲȘ

n= ȖȦȞȓĮ ĲȘȢ țȠȡȣĳȒȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȠȡșȒ) = 90Ƞ + ǹǺī

n (ȠȚ ȖȦȞȓİȢ ǹǺī n țĮȚ Ǿǹǿ n İȓȞĮȚ ȓıİȢ 90Ƞ + Ǿǹǿ ȖȚĮĲȓ İȓȞĮȚ ȠȟİȓİȢ țĮȚ ȑȤȠȣȞ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ țȐșİĲİȢ, ǹǾ țȐșİĲȘ ıĲȘȞ ǹǺ țĮȚ ǹǿ țȐșİĲȘ ıĲȘȞ ǹǻ, ȠʌȩĲİ țĮȚ ıĲȘȞ ʌĮȡȐȜȜȘȜȒ ĲȘȢ Ǻī) = ȖȦȞ. Ȇǹȉ. ǱȡĮ, Įʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ ȆīȆ, ȑȤȠȣȝİ ĲȡȓȖ. ǺȈȉ = ĲȡȚȖ. ǹȆȉ, ȠʌȩĲİ Ȇȉ = ȉȈ (1). Ȃİ İȞĲİȜȫȢ ȩȝȠȚȠ ĲȡȩʌȠ ȑȤȠȣȝİ ĲȡȚȖ. ǺȈȉ = ĲȡȚȖ. Ȇǻȇ, ȠʌȩĲİ ȉȈ = Ȇȇ (2) țĮȚ ĲȡȚȖ. īȈȇ = ĲȡȚȖ. ǺȈȉ, ȠʌȩĲİ ȉȈ = Ȉȇ (3). ǲĲıȚ, Įʌȩ (1), (2) țĮȚ (3): Ȇȉ = ȉȈ = Ȇȇ = ȇȈ. ǱȡĮ ĲȠ ȉȈȇȆ İȓȞĮȚ ȡȩȝȕȠȢ.

n = Ȇȉǹ n + ǹȉȈ n= ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȑȤȠȣȝİ: ȆȉȈ n + ǹȉȈ n (Įʌȩ ĲĮ ȓıĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹȆȉ țĮȚ ǺȈȉ) = ȈȉǺ n = 90Ƞ (ȠȚ įȚĮȖȫȞȚİȢ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ĲȑȝȞȠ-ȞĲĮȚ ǹȉǺ țȐșİĲĮ). ǱȡĮ, ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ȉȈȇȆ İȓȞĮȚ ȡȩȝȕȠȢ ȝİ ȝȓĮ ȠȡșȒ ȖȦȞȓĮ, ȠʌȩĲİ İȓȞĮȚ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ. ȕ) ȅȚ įȚĮȖȫȞȚİȢ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ȉȈȇȆ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ȝȑıȠ. ȉȠ ȓįȚȠ ȚıȤȪİȚ țĮȚ ȖȚĮ ĲȚȢ įȚĮȖȫȞȚİȢ ĲȠȣ ĮȡȤȚțȠȪ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ ǹǺīǻ. ĬĮ įİȓȟȠȣȝİ ĲȫȡĮ ȩĲȚ ĲȠ ǺȈǻȆ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ȆȡȐȖȝĮĲȚ, ǺȈ = Ȇǻ (ȝȚıȐ įȚĮȖȦȞȓȦȞ

ʌĮȡĮʌȐȞȦ, țȠȚȞȩ ȝȑıȠ ȝİ ĲȘȞ ȉȇ țĮȚ Ș Ǻǻ țȠȚȞȩ ȝȑıȠ ȝİ ĲȘȞ ǹī. ǼȞ ĲȑȜİȚ, țĮȚ ȠȚ ĲȑııİȡȚȢ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ȝȑıȠ ĲȠ ȅ. ȆȡȩȕȜȘȝĮ 3 ǲıĲȦ Ǽ, ǻ, ǽ ĲȡȓĮ ĲȣȤĮȓĮ ıȘȝİȓĮ İıȦĲİȡȚțȐ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǺ, Ǻī, īǹ, İȞȩȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ ȠȚ ĲȡİȚȢ țȪțȜȠȚ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȚȢ ĲȡȚȐįİȢ ıȘȝİȓȦȞ (ǹ, ǽ, ǻ), (Ǻ, Ǽ, ǻ) țĮȚ (ī, Ǽ, ǽ) įȚȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ. ȁȪıȘ ǲıĲȦ ȩĲȚ ȠȚ țȪțȜȠȚ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȚȢ ĲȡȚȐįİȢ ıȘȝİȓȦȞ (Ǻ, Ǽ, ǻ) țĮȚ (ī, Ǽ, ǽ) ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ*. ȉȩĲİ, ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǺǼȂǻ İȓȞĮȚ

n = 180Ƞ - ǹǺī n İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ, ȐȡĮ: ǻȂǼ (1) (ȠȚ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮĲȚțȑȢ). ǵȝȠȚĮ ıĲȠ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ n = 180Ƞ – ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ īǼȂǽ șĮ ȑȤȠȣȝİ: ǼȂǽ n (2). Ȃİ ʌȡȩıșİıȘ ĲȦȞ (1) țĮȚ (2) ǹīǺ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ: n + ǼȂǽ n = 360Ƞ – ( ǹǺī n + ǹīǺ n) ǻȂǼ n = 360Ƞ – ( ǹǺī n + ǹīǺ n) 360Ƞ – ǻȂǽ

n = ǹǺī n + ǹīǺ n ǻȂǽ n = 180Ƞ – Ǻǹī n ǻȂǽ (ȐșȡȠȚıȝĮ ȖȦȞȚȫȞ ĲȡȚȖȫ-ȞȠȣ ǹǺī) n + Ǻǹī n = 180Ƞ. ǻȂǽ ǻȘȜĮįȒ, ıĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǻȂǽ ȠȚ įȪȠ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮĲȚțȑȢ, ȠʌȩĲİ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ. ǱȡĮ, Ƞ țȪțȜȠȢ ʌȠȣ ȠȡȓȗİȚ Ș (ǹ, ǽ, ǻ) įȚȑȡȤİĲĮȚ İʌȓıȘȢ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ.

n ĲȦȞ ȓıȦȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ ǹǻȀǿ țĮȚ ǺīǼǽ) țĮȚ ȆǻǺ n + ǹǻǺ n = 45Ƞ + ǹǻǺ n (Ș įȚĮȖȫȞȚȠȢ = Ȇǻǹ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ įȚȤȠĲȠȝİȓ ĲȘ ȖȦȞȓĮ ĲȘȢ țȠȡȣĳȒȢ) = n = 45Ƞ + ǻǺī n (ȖȚĮĲȓ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ ǹǻǺ n țĮȚ 45Ƞ + ǹǻǺ n İȓȞĮȚ ȓıİȢ ȦȢ İȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜǻǺī ȜȒȜȦȞ ǹǻ țĮȚ Ǻī ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ǻǺ) = n + ǻǺī n = ǻǺȈ n , ȠʌȩĲİ Ȇǻ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ĲȘȢ ȈǺī ǺȈ, İĳ’ ȩıȠȞ ȑȤȠȣȞ ĲȚȢ İȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ. ȈȣȞİʌȫȢ ĲȠ ǺȈǻȆ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ĮĳȠȪ ȑȤİȚ įȪȠ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȑȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ țĮȚ ȓıİȢ. ǱȡĮ, ȠȚ įȚĮȖȫȞȚȑȢ ĲȠȣ ȆȈ țĮȚ Ǻǻ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ȝȑıȠ, ȑıĲȦ ȅ. ǹȜȜȐ Ș ȆȈ ȑȤİȚ, ȩʌȦȢ İȓįĮȝİ

ǹĳȒȞİĲĮȚ ıĲȠȞ ĮȞĮȖȞȫıĲȘ ȞĮ ĲȡȠʌȠʌȠȚȒıİȚ İȜĮĳȡȐ ĲȘ ȜȪıȘ ıĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ʌȠȣ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ İȓȞĮȚ İȟȦĲİȡȚțȩ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī. *

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/26

_______________________________ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ ______________________________

ȆȡȩȕȜȘȝĮ 4 ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȝȒȢȢ ĲȦȞ ʌİȡȚĳİȡİȚȫȞ, ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ȤȠȡįȑȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ İȓȞĮȚ țȠȡȣĳȑȢ ȐȜȜȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ İȖȖȡȐȥȚȝȠȣ ıİ țȪțȜȠ.

n + ǹǺǽ n + īǺǽ n + īǻĬ n = ǹǻĬ n + īǻĬ n = n + īǺǽ n + ǹǻĬ ǹǺǽ n + īǻǹ n = 180Ƞ ǹǺī (İĳ’ȩıȠȞ ĲȠ ĮȡȤȚțȩ ĲİĲȡȐ-ʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ȠȚ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮĲȚțȑȢ). n + ĬǾǽ n = 180Ƞ, įȘȜĮįȒ, ȠȚ ǹʌȠįİȓȟĮȝİ ȩĲȚ ĬǼǽ įȪȠ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ ǼǽǾĬ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮĲȚțȑȢ, ȠʌȩĲİ ĮȣĲȩ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ. ȆȡȩȕȜȘȝĮ 5 Ȉİ ȘȝȚțȪțȜȚȠ țȑȞĲȡȠȣ ȅ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ʌȐȞȦ ıĲȘ įȚȐȝİĲȡȠ ǹǺ įȪȠ ıȘȝİȓĮ ī țĮȚ ǻ ȫıĲİ īȅ=ȅǻ. ǻȪȠ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ȘȝȚİȣșİȓİȢ ȝİ ĮȡȤȑȢ ĲĮ ī, ǻ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȠ ȘȝȚțȪțȜȚȠ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ Ǽ, ǽ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ 1 ĲȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ Ǽǽ İȓȞĮȚ țȐșİĲȠ ıĲĮ īǼ țĮȚ ǻǽ.

ȁȪıȘ ǲıĲȦ ĲȠ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıĲȠȞ țȪțȜȠ (C) ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ. īȡȐĳȠȣȝİ țȪțȜȠȣȢ (C1), (C2), (C3) țĮȚ (C4), ȝİ ĲȣȤĮȓĮ ĮțĲȓȞĮ, ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ȦȢ ȤȠȡįȑȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǺ, Ǻī, īǻ țĮȚ ǻǹ, ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ, ĲȠȣ ǹǺīǻ. ȅȚ țȪțȜȠȚ ĮȣĲȠȓ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ, Ƞ țĮșȑȞĮȢ ȝİ ĲȠȞ įȚʌȜĮȞȩ ĲȠȣ, ıĲĮ ıȘȝİȓĮ Ǽ, ǽ, Ǿ țĮȚ Ĭ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ıȤȘȝĮĲȚȗȩȝİȞȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǼǽǾĬ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ. ĭȑȡȠȣȝİ ĲȚȢ țȠȚȞȑȢ ȤȠȡįȑȢ ǹǼ, Ǻǽ, īǾ țĮȚ ǻĬ ĲȦȞ ĲİȝȞȩȝİȞȦȞ țȪțȜȦȞ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺǽǼ İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıĲȠȞ țȪțȜȠ (C1), ȠʌȩĲİ Ș İȟȦĲİȡȚțȒ ĲȠȣ ȖȦȞȓĮ İȓȞĮȚ ȓıȘ

n = ǹǺǽ n (1). ȝİ ĲȘȞ ĮʌȑȞĮȞĲȚ İıȦĲİȡȚțȒ, įȘȜ. ȂǼǽ ǵȝȠȚĮ ıĲȠ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǼĬǻ ȑȤȠȣȝİ

n = ǹǻĬ n (2), ȂǼĬ

ǻīǾĬ ȑȤȠȣȝİ

n= ĬǾȁ

ıĲȠ

İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ

n īǻĬ

(3) țĮȚ ıĲȠ

n = īǺǽ n (4). İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ īǺǽǾ ȑȤȠȣȝİ ȁǾǽ

ȁȪıȘ ǹʌȩ ĲȠ țȑȞĲȡȠ ȅ ĲȠȣ ȘȝȚțȣțȜȓȠȣ ĳȑȡȠȣȝİ ȘȝȚİȣșİȓĮ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ʌȡȠȢ ĲȚȢ īǼ țĮȚ ǻǽ, ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȠ ĲȝȒȝĮ Ǽǽ ıĲȠ Ǿ. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ īǻǽǼ İȓȞĮȚ ĲȡĮʌȑȗȚȠ țĮȚ Ș ȅǾ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ʌȡȠȢ ĲȚȢ ȕȐıİȚȢ Įʌȩ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ īǻ, ȐȡĮ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ ĲȠȣ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ. ȈȣȞİʌȫȢ ĲȠ Ǿ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ ĲȠȣ Ǽǽ. ǹĳȠȪ ĲȠ Ǿ ȝȑıȠ ĲȘȢ ȤȠȡįȒȢ Ǽǽ, ĲȠ ȅǾ İȓȞĮȚ ĮʌȩıĲȘȝȐ ĲȘȢ, įȘȜĮįȒ ȅǾ țȐșİĲȘ ıĲȠ Ǽǽ. Ǽĳ’ ȩıȠȞ ȠȚ īǼ țĮȚ ǻǽ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ĲȘȢ ȅǾ șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ ĮȣĲȑȢ țȐșİĲİȢ ıĲȠ Ǽǽ.

ȈȣȞİʌȫȢ:

n + ĬǾǽ n = ĬǼȂ n + ȂǼǽ n + ȁǾǽ n + ĬǾȁ n= ĬǼǽ (Įʌȩ (1), (2), (3) țĮȚ (4)) = ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/27

_______________________________ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ ______________________________

ƳǇĴǈƾĸǃǌ ƩǍǆǇĶȽĵĶǅĴ ıĶǐĂĶĸǋȽĴ: ǊǅĴ ǃ Ĵ ǓķĸĴķƾ ĸǊǍ Ĵ Ǔ ĸǊ ƩǇǇǃǈǅǆǓ ƵǎǊǇĶȽǊ; ȈțȠĲȓįĮȢ ȈȦĲȒȡȘȢ, 2Ƞ īǼȁ ȀĮȡįȓĲıĮȢ

«…İȓȞĮȚ ıȘȝĮȞĲȚțȩ ȞĮ İȝʌȜĮțȠȪȞ ȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ ıİ ĮʌȠįİȚțĲȚțȑȢ įȚĮįȚțĮıȓİȢ, ȞĮ ʌȡȠıʌĮșȠȪȞ ȞĮ İȞĲȠʌȓȗȠȣȞ ĲȘ ȕĮıȚțȒ ĮʌȠįİȚțĲȚțȒ ȚįȑĮ, ȝȑıȦ ʌİȚȡĮȝĮĲȚıȝȠȪ țĮȚ įȚİȡİȪȞȘıȘȢ, țĮȚ ȞĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȞ ȝİĲĮıȤȘȝĮĲȚıȝȠȪȢ țĮȚ ĮȞĮʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ, ʌȠȣ ȣʌȠıĲȘȡȓȗȠȣȞ ĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ȖİȦȝİĲȡȚțȫȞ ıȣȜȜȠȖȚıȝȫȞ» (ȅįȘȖȓİȢ ȖȚĮ ĲȘ įȚįĮıțĮȜȓĮ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ıĲȚȢ ǹǯ, Ǻǯ ĲȐȟİȚȢ ǾȝİȡȒıȚȠȣ īǼȁ, ȊȆǼĬ 2018-2019). Ǿ țĮșȘȝİȡȚȞȒ įȚįĮțĲȚțȒ ʌȡĮțĲȚțȒ ȩȝȦȢ ĮʌȑȤİȚ Įʌȩ ĲȘȞ İțʌȜȒȡȦıȘ ĲȦȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ įȚįĮțĲȚțȫȞ ıĲȩȤȦȞ. Ǿ ȝİȖȐȜȘ ʌȜİȚȠȥȘĳȓĮ ĲȦȞ ıȘȝİȡȚȞȫȞ ȝĮșȘĲȫȞ ʌȠȣ ĮȡȤȓȗȠȣȞ ȞĮ įȚįȐıțȠȞĲĮȚ ĲȘȞ ǼȣțȜİȓįİȚĮ īİȦȝİĲȡȓĮ ıİ ȘȜȚțȓĮ 15–16 İĲȫȞ, įİȞ įȚĮșȑĲİȚ ĲĮ ȖȞȦıĲȚțȐ İĳȩįȚĮ ʌȠȣ ĮʌĮȚĲȠȪȞĲĮȚ ȖȚĮ ĲȘȞ țĮĲĮȞȩȘıȘ ĲȘȢ ĮȟȚȦȝĮĲȚțȒȢ șİȝİȜȓȦıȘȢ țĮȚ ĲȘȢ ĮʌȠįİȚțĲȚțȒȢ įȚĮįȚțĮıȓĮȢ. (ĬȦȝĮǸįȘȢ,2014). Ǿ ĮȞİʌȐȡțİȚĮ ĲȠȣ įȚįĮțĲȚțȠȪ ȤȡȩȞȠȣ ȖȚĮ ĲȘȞ ȠȜȠțȜȒȡȦıȘ ĲȘȢ ȪȜȘȢ ȑȤİȚ ȗȠĳİȡȑȢ İʌȚʌĲȫıİȚȢ: Ș țĮȜȜȚȑȡȖİȚĮ ĲȠȣ ʌĮȡĮȖȦȖȚțȠȪ ıȣȜȜȠȖȚıȝȠȪ ȠįİȪİȚ ʌȡȠȢ ĲĮ ȩȡȚĮ ĲȠȣ ĮįȪȞĮĲȠȣ, İȞȫ ıȘȝĮȞĲȚțȐ țİĳȐȜĮȚĮ ȩʌȦȢ ǼȖȖȡȐȥȚȝĮ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡĮ țĮȚ ȅȝȠȚȩĲȘĲĮ (Ș ȕȐıȘ ĲȘȢ Ǽ.ī.) ĮʌĮȟȚȫȞȠȞĲĮȚ. ȉĮ İʌȚıĲȘȝȠȜȠȖȚțȐ țĮȚ įȚįĮțĲȚțȐ İȝʌȩįȚĮ ĲȘȢ Ǽ.ī. İȓȞĮȚ ʌȠȜȪ ȖȞȦıĲȐ ıİ țĮșȑȞĮȞ ʌȠȣ ȑȤİȚ ĮıȤȠȜȘșİȓ İȞİȡȖȐ ȝİ ĲȠ ȝȐșȘȝĮ. ȊʌȐȡȤİȚ ȩȝȦȢ țĮȚ ʌȚȠ «ıțȜȘȡȩ» İȝʌȩįȚȠ: Ș ĮʌȠıȪȞįİıȘ ĲȠȣ ȝĮșȒȝĮĲȠȢ Įʌȩ ĲȘ įȚĮįȚțĮıȓĮ İȚıĮȖȦȖȒȢ ıĲĮ ǹǼǿ (ĮțȩȝĮ țĮȚ ıĲĮ ȆȠȜȣĲİȤȞİȓĮ!) ĮĳĮȚȡİȓ ȠȣıȚĮıĲȚțȐ ĲȠ țȪȡȠȢ ĲȘȢ Ǽ.ī ĮȜȜȐ ĳȣıȚțȐ țĮȚ ĲȠ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ ĲȦȞ ȝĮșȘĲȫȞ. ȅȚ ȣʌİȪșȣȞȠȚ ȖȚĮ ĲȘȞ ȚıȤȪȠȣıĮ țĮĲȐıĲĮıȘ, ȓıȦȢ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ĮȞĮȡȦĲȘșȠȪȞ ĲȠ ȖȚĮĲȓ Ș Ǽ.ī. ĮʌȠĲİȜİȓ ĮȞĮʌȩıʌĮıĲȠ țȠȝȝȐĲȚ ȩȜȦȞ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ǻȚĮȖȦȞȚıȝȫȞ ıĲȠȞ ʌȜĮȞȒĲȘ, ĮȜȜȐ țĮȚ ȖȚĮĲȓ Ș Ǽ.ī. ȣʌȒȡȟİ ĲȠ șİȦȡȘĲȚțȩ ȣʌȩȕĮșȡȠ ĮȞȐʌĲȣȟȘȢ ĲȠȣ ǹʌİȚȡȠıĲȚțȠȪ ȁȠȖȚıȝȠȪ. (İȣĲȣȤȫȢ ıĲȘȞ ǿıĲȠȡȓĮ ĲȠȣ ǹʌİȚȡȠıĲȚțȠȪ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȒ Ș ĮʌȩįİȚȟȘ ĲȠȣ 1Ƞȣ ĬİȝİȜȚȫįȠȣȢ ĬİȦȡȒȝĮĲȠȢ ĲȠȣ ȅȜȠțȜȘȡȦĲȚțȠȪ ȁȠȖȚıȝȠȪ Įʌȩ ĲȠȞ Barrow ȝİ ȤȡȒıȘ ǵȝȠȚȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ!) ȉĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȠįȘȖȠȪȞ ĮȞĮʌȩĳİȣțĲĮ ıĲȠ İȡȫĲȘȝĮ ĮȞ ĮȣĲȩ ʌȠȣ įȚįȐıțİĲĮȚ ıĲȠ ȁȪțİȚȠ İȓȞĮȚ Ș ʌȡĮȖȝĮĲȚțȒ Ǽ.ī. Ȓ țȐʌȠȚȠ ıĲȡİȕȜȩ ĮȞĲȓȖȡĮĳȩ ĲȘȢ. ȅ ȕĮıȚțȩȢ ȩȝȦȢ ıĲȩȤȠȢ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ȝȚțȡȒȢ ĮȞĮĳȠȡȐȢ ıĲȘȞ Ǽ.ī. İȓȞĮȚ Ș ĮȞȐįİȚȟȘ (ĮȡțİĲȐ ĳȚȜȩįȠȟȠ ĮȣĲȩ) ĲȘȢ ȝȚțȡȒȢ ȑȦȢ ĲİȡȐıĲȚĮȢ įȣȞĮȝȚțȒȢ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİȚ ȑȞĮ ȖİȦȝİĲȡȚțȩ ıȤȒȝĮ (ĮʌȜȩ Ȓ ıȪȞșİĲȠ) ıİ ȝȚĮ ȐıțȘıȘ (ĲȠ șİȦȡȘĲȚțȩ ʌİįȓȠ İȓȞĮȚ ʌİȡȓʌȠȣ Ș ȪȜȘ ʌȠȣ įȚįȐıțİĲĮȚ ıĲȘȞ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ). ǹʌĮȡĮȓĲȘĲȘ ʌȡȠȨʌȩșİıȘ ȖȚĮ ĲȘȞ ĮȞĮțȐȜȣȥȒ ĲȘȢ İȓȞĮȚ Ș ȐȡȚıĲȘ ȖȞȫıȘ ȅȡȚıȝȫȞ, ĬİȦȡȘȝȐĲȦȞ țĮȚ ȆȠȡȚıȝȐĲȦȞ țĮȚ țȣȡȓȦȢ Ƞ İȪıĲȠȤȠȢ ıȣȞįȣĮıȝȩȢ ĲȠȣȢ, țȐĲȚ įȪıțȠȜȠ, ȩȤȚ ȝȩȞȠ ȖȚĮ ĲȠȞ ȝȑıȠ ȝĮșȘĲȒ. ǺĮıȚțȒ İʌȚįȓȦȟȘ EDTP ȩ9 DXWHQ ȑ UJHLD9 ıĲȘȞ įȚĮįȚțĮıȓĮ İʌȓȜȣıȘȢ ȝȚĮȢ ȐıțȘıȘȢ İȓȞĮȚ ĲȠ țȜȐıȝĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ȩıȠ įȣȞĮĲȩȞ EDTP ȩ9 NDTRG ȒJKVK9 ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ ĲȠȣ 1, ȑĲıȚ Ƞ ȡȩȜȠȢ ĲȠȣ įĮıțȐȜȠȣ ĳĮȞĲȐȗİȚ țȠȝȕȚțȩȢ. ǹȢ įȠȪȝİ ȩȝȦȢ ȝİȡȚțȐ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲĮ ȝȑıȦ ĲȦȞ ȠʌȠȓȦȞ Ș įȚįĮıțĮȜȓĮ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ ʌȐİȚ ȜȓȖȠ ʌȚȠ țȐĲȦ Įʌȩ ĲȘȞ ĲȣʌȠʌȠȚȘȝȑȞȘ İĳĮȡȝȠȖȒ ĮʌȜȫȞ (ʌȠȜȜȫȞ İȓȞĮȚ ĮȜȒșİȚĮ) ʌȡȠĲȐıİȦȞ ĲȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ, ʌȠȣ ĮĳȠȡȠȪȞ țȣȡȓȦȢ ĲȠ ıȘȝĮȞĲȚțȩĲİȡȠ (ȖȚĮ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ) țİĳȐȜĮȚȠ, ĮȣĲȩ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȦȞ. 1Ƞ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ Ȉİ ĲȡȓȖȦȞȠ ABC ȠȚ įȚȤȠĲȩȝȠȚ ĲȦȞ ȖȦȞȚȫȞ A,B ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȚȢ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȑȢ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ D,E ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǲıĲȦ F,P ȠȚ ʌȡȠȕȠȜȑȢ ĲȠȣ C ıĲȚȢ İȣșİȓİȢ AD țĮȚ BE ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǹʌȠįİȓȟĲİ ȩĲȚ Ș PF İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ĲȘȢ AB. Ȃİ ȝȚĮ ʌȡȫĲȘ ĮȞȐȖȞȦıȘ ĮĳȠȪ ĮȞĮȗȘĲȠȪȝİ ʌĮȡĮȜȜȘȜȓĮ İȣșİȚȫȞ, Ș ıȣȞȒșȘȢ ʌȡĮțĲȚțȒ İȓȞĮȚ Ș İȪȡİıȘ ȓıȦȞ ȖȦȞȚȫȞ (İȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ – İȞĲȩȢ İțĲȩȢ țĮȚ İʌȓ ĲĮ ĮȣĲȐ).

ˆ Ǿ ĮʌȩįİȚȟȘ ĲȘȢ ȚıȩĲȘĲĮȢ AFP

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/28

BÂD įİȓȤȞİȚ ȞĮ

_______________________________ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ ______________________________

İȓȞĮȚ ȝȚĮ țĮȜȒ İʌȚȜȠȖȒ. ǹȜȜȐ ĮȣĲȩ įİȞ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐ Ș țĮĲȐȜȘȟȘ ȝȚĮȢ ıİȚȡȐȢ ıȣȜȜȠȖȚıȝȫȞ – țȓȞȘıȘȢ ȖȦȞȚȫȞ. Ǿ ıȤİįȓĮıȘ ĲȘȢ CH įȘȝȚȠȣȡȖİȓ ʌȡȩıșİĲĮ ıĲȠȚȤİȓĮ, ĮĳȠȪ ĲȠ CFHP İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ țĮȚ ȐȡĮ ˆP. +F̂P +C ˆ $ țȐĲȚ ȝȐȜȜȠȞ İȪțȠȜȠ ĮĳȠȪ ǲĲıȚ Įȡțİȓ +ĈP 2 cˆ cˆ ˆ ˆ ˆ +CP ECP 900 CEP , ĮȜȜȐ CÊP 2 2 İȟȦĲİȡȚțȒ ıĲȠ BEC ĲȡȓȖȦȞȠ… EȓȞĮȚ ȩȝȦȢ ȐȡĮȖİ Ș ʌĮȡĮʌȐȞȦ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ, ĮȣĲȒ ʌȠȣ İȓȤİ țĮĲȐ ȞȠȣ Ƞ șİȝĮĲȠįȩĲȘȢ ; (Ș ȐıțȘıȘ İȓȞĮȚ Įʌȩ ǻȚĮȖȦȞȚıȝȩ ıİ ȂȩıȤĮ țĮȚ ǺȠıȞȓĮ (1999)). ȆȚșĮȞȩȞ țȐʌȠȚȠȢ ȝĮșȘĲȒȢ ȞĮ ȝȘȞ ʌȡȩıİȤİ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ, ĮȜȜȐ ĲȠ ȖİȖȠȞȩȢ ȩĲȚ BP,AF İȓȞĮȚ ıȣȖȤȡȩȞȦȢ įȚȤȠĲȩȝȠȚ țĮȚ țȐșİĲİȢ ıİ ĲȝȒȝĮĲĮ, ȑĲıȚ Ș ĮȞȐțȜȘıȘ ĲȘȢ İĳĮȡȝȠȖȒȢ 2 ıİȜ. 61 ıȤȠȜ. ǺȚȕȜ. įİȓȤȞİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ İȞĲİȜȫȢ ĳȣıȚȠȜȠȖȚțȒ. ȃĮȚ, ĮȜȜȐ įİȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ĲȡȓȖȦȞĮ ıĲĮ ȠʌȠȓĮ ȠȚ BP,AF İȓȞĮȚ ıȣȖȤȡȩȞȦȢ įȚȤȠĲȩȝȠȚ țĮȚ ȪȥȘ. ǹȜȜȐ ȝȒʌȦȢ șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮȝİ ĮȣĲȩ ȞĮ ĲĮ İȝĳĮȞȓıȠȣȝİ İȪțȠȜĮ; Ǿ ĮʌȜȒ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȦȞ ȘȝȚİȣșİȚȫȞ CR ,CF ȝȑȤȡȚ ȞĮ ĲȝȒıȠȣȞ ĲȘȞ (ʌȡȠȑțĲĮıȘ) ǹǺ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞ ȝȚĮ ȞȑĮ (ĲȘȞ ʌȠșȠȪȝİȞȘ) țĮĲȐıĲĮıȘ, ȠʌȩĲİ țĮȚ Ș țȓȞȘıȘ ĮȣĲȒ ĮʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ țĮĲĮȜȣĲȚțȒ ȖȚĮ ĲȘ ȜȪıȘ. Ǿ ıĲȠȚȤİȚȫįȘȢ İĳĮȡȝȠȖȒ ȜȑİȚ ȩĲȚ P,F İȓȞĮȚ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ CI,CK, ȐȡĮ PF // KI. ǲĲıȚ, ĮȞĮțĮȜȪȥĮȝİ ĲȘȞ ȑȞĲİȤȞĮ țȡȣȝȝȑȞȘ ȠȝȠȡĳȚȐ ĲȠȣ ıȤȒȝĮĲȠȢ ĲȘȢ ȐıțȘıȘȢ, ȩʌȦȢ șĮ ĮȞĮțȐȜȣʌĲİ țȐʌȠȚȠȢ ĲĮ ȝȣıĲȚțȐ ıĲȠȚȤİȓĮ İȞȩȢ įȚȐıȘȝȠȣ ʌȓȞĮțĮ ȗȦȖȡĮĳȚțȒȢ.

2Ƞ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ Ȉİ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ABCD ĲȠ Ǽ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ ĲȘȢ AD țĮȚ F İȓȞĮȚ ĲȠ ȓȤȞȠȢ ĲȘȢ țĮșȑĲȠȣ Įʌȩ ĲȠ Ǻ ıĲȘȞ CE. ǹʌȠįİȓȟĲİ ȩĲȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ABF İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ.

ȉĮ ȕĮıȚțȐ ıĲȠȚȤİȓĮ İȓȞĮȚ : ʌĮȡĮȜ/ȝȝȠ, ȝȑıȠ ʌȜİȣȡȐȢ, țĮșİĲȩĲȘĲĮ. ǱȡĮ, ȜȠȖȚțȐ Ș ıțȑȥȘ ʌȐİȚ ıİ ĲȝȒȝĮ ʌȠȣ İȞȫȞİȚ įȪȠ ȝȑıĮ ʌȜİȣȡȫȞ (ȠȚ įȚĮȖȫȞȚİȢ ʌĮȡĮȜ/ȝȝȠȣ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ȝȑıȠ) Ȓ įȚȐȝİıȠȢ ʌȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıĲȘȞ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ (țĮȚ ĲĮ įȪȠ ĳĮȓȞİĲĮȚ įȪıțȠȜȠ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȘșȠȪȞ). ǲĲıȚ, ĮȞĮʌȩĳİȣțĲĮ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ıȘȝİȚȫıȠȣȝİ țȐʌȠȚȠ ȝȑıȠ. ȉȠ ȝȑıȠ Ȃ ĲȘȢ BC ĳĮȓȞİĲĮȚ ĲĮȚȡȚĮıĲȩ. ǹȜȜȐ ʌȦȢ șĮ ıȤİĲȚıĲİȓ ȝİ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ABF ;

ȆȡȠĳĮȞȫȢ AECM ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ (ȖȚĮĲȓ;) ȐȡĮ ǹȂ țȐșİĲȘ ıĲȘȞ BF (ȖȚĮĲȓ;) ǷıĲİ ǹȇ ȪȥȠȢ ıĲȠ ABF, ȠʌȩĲİ ĮȞ İȓȞĮȚ țĮȚ įȚȐȝİıȠȢ Ȓ įȚȤȠĲȩȝȠȢ, ĲİȜİȚȫıĮȝİ. ǹȜȜȐ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ BCF İȓȞĮȚ Ȃ ȝȑıȠ BC țĮȚ Ȃȇ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıĲȘȞ FC … ǹȢ įȠȪȝİ ȩȝȦȢ ĲȫȡĮ ȝȚĮ ȐȜȜȘ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ. ȈȣȤȞȐ ĲȑĲȠȚȠȣ İȓįȠȣȢ ıȤȒȝĮĲĮ «ĮȜȜȐȗȠȣȞ İʌȓʌİįȠ» țȐȞȠȞĲĮȢ paralleogramm transformation, įȘȜĮįȒ ʌȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȘȞ CE țĮĲȐ ȓıȠ ĲȝȒȝĮ (ȞȑȠ ʌĮȡĮȜ/ȝȝȠ ĮĳȠȪ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚİȢ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ) Ȓ ʌȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȘȞ CE ȝȑȤȡȚ ȞĮ ĲȝȒıİȚ ĲȘȞ BA (ıȘȝİȓȠ S). ȅȚ įȪȠ İȞȑȡȖİȚİȢ įİȞ İȓȞĮȚ įȪıțȠȜȠ ȞĮ ıȣȝʌİȡȐȞȠȣȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝİȢ. ǼʌȚȜȑȖȠȞĲĮȢ ĲȘȞ įİȪĲİȡȘ, įȚĮʌȚıĲȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ASE,CED İȓȞĮȚ ȓıĮ (ȖȚĮĲȓ;) ȠʌȩĲİ AS = CD = AB. ǷıĲİ AF įȚȐȝİıȠȢ ʌȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıĲȘȞ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ.

ȀĮȚ ıĲȚȢ įȪȠ ʌȡȠıİȖȖȓıİȚȢ ĮʌĮȚĲȒșȘțİ Ș ĮȣĲİȞȑȡȖİȚȐ ȝĮȢ, Ș ȠʌȠȓĮ ȣʌĮȖȠȡİȪșȘțİ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/29

_______________________________ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ ______________________________

ʌȡȦĲȓıĲȦȢ Įʌȩ ĲȘȞ ȖȞȫıȘ ĲȦȞ ȕĮıȚțȫȞ șİȦȡȘȝȐĲȦȞ, ȫıĲİ ĲȠ ıȤȒȝĮ ȞĮ ĮʌȠțĲȒıİȚ ȝȚĮ ȐȜȜȘ ȣʌȩıĲĮıȘ. ȅȚ țȚȞȒıİȚȢ ȝĮȢ ȝȠȚȐȗȠȣȞ ȝİ ĲȘȞ ıȣȝʌȜȒȡȦıȘ İȞȩȢ ȖİȦȝİĲȡȚțȠȪ puzzle . (ıȘȝİȓȦıȘ: Ș ȐıțȘıȘ İȓȞĮȚ Įʌȩ įȚĮȖȦȞȚıȝȩ ıĲȘ ȂȠȜįĮȕȓĮ) 3Ƞ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ˆ 400 țĮȚ Ǽ ĲȠ ȝȑıȠ ĬİȦȡȠȪȝİ ȡȩȝȕȠ ABCD ȝİ % ĲȘȢ BC. ǹȞ F ĲȠ ȓȤȞȠȢ ĲȘȢ țĮșȑĲȠȣ Įʌȩ ĲȠ ǹ ʌȡȠȢ ĲȘȞ DE, ȣʌȠȜȠȖȓıĲİ ĲȘȞ ȖȦȞȓĮ DF̂C . ĬĮ įȠțȚȝȐıȠȣȝİ ĮȞ ĲȠ ĲİȜİȣĲĮȓȠ ĲȑȤȞĮıȝĮ ĳĮȞİȓ ȤȡȒıȚȝȠ. ȆȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȘȞ DE ȝȑȤȡȚ ȞĮ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ ǹǺ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ R. ǹʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ ī – Ȇ – ī ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ EBR, ECD İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȠʌȩĲİ Ǻ ȝȑıȠ ĲȘȢ AR. ǲĲıȚ FBR, FBC, FAB ȚıȠıțİȜȒ ĲȡȓȖȦȞĮ (ȖȚĮĲȓ; Įȡțİȓ ȞĮ ȟȑȡȠȣȝİ ĲȚ İȓȞĮȚ ȡȩȝȕȠȢ)

ǹȜȜȐ

ĲȩĲİ

y x

x (140 y)

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CF̂E

İȟȦĲİȡȚțȒ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ DFC. ǷıĲİ y x ˆ 1100 . ǲĲıȚ DFC

700 .

ǹȢ įȠȪȝİ ĲȫȡĮ ȝȚĮ ȐȜȜȘ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ ʌȡȠıʌĮșȫȞĲĮȢ ȞĮ İțȝİĲĮȜȜİȣĲȠȪȝİ ĲȚȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ ĲȦȞ įȚĮȖȦȞȓȦȞ ĲȠȣ ȡȩȝȕȠȣ (įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ, ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ țȐșİĲĮ țĮȚ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞ ĲȚȢ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ȖȦȞȓİȢ). ǹȞ Ȁ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ AC, BD ĲȩĲİ CD § AB · ȀǼ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıĲȘȞ ǹǺ İȞȫ .( ¨ ¸ 2 © 2 ¹ CD § AB · 0 ˆ ˆ .( ¨ ¸ . ǲĲıȚ EKC ECK 70 . 2 © 2 ¹ l . ȆȡȠĳĮȞȫȢ Įȡțİȓ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĲȘȞ ȖȦȞȓĮ F

Ǿ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȐıțȘıȘ İȓȞĮȚ Įʌȩ ȂȠıȤȠȕȓĲȚțȘ ȅȜȣȝʌȚȐįĮ ĲȠȣ 1997. ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ Ș ıĲȠȚȤİȚȫįȘȢ İʌȑȝȕĮıȘ ȝĮȢ ıĲȠ ıȤȒȝĮ, ıȣȞįȣĮȗȩȝİȞȘ țĮȚ țĮșȠįȘȖȠȪȝİȞȘ Įʌȩ ĲȘ ȖȞȫıȘ ĲȦȞ ȚįȚȠĲȒĲȦȞ, ĳȦĲȓȗİȚ ĲȠ ȝȠȞȠʌȐĲȚ ĲȘȢ ȜȪıȘȢ. ǼȣĲȣȤȫȢ ȖȚĮ İȝȐȢ ĲȠ ıȤȒȝĮ įİȞ ȑȤİȚ ȐȜȜĮ țȡȣȝȝȑȞĮ ȝȣıĲȚțȐ. ǹțȠȜȠȣșȠȪȞ ĲȫȡĮ țȐʌȠȚĮ șȑȝĮĲĮ ȖȚĮ İȟȐıțȘıȘ ĲȦȞ ȝĮșȘĲȫȞ ȩıȠȞ ĮĳȠȡȐ ĲȚȢ İʌİȡȤȩȝİȞİȢ İȟİĲȐıİȚȢ ĲȠȣ ǿȠȣȞȓȠȣ, ĮȜȜȐ țĮȚ ȖȚĮ ĮȣĲȠȪȢ ʌȠȣ ĲȠȣȢ ĮȖȖȓȗİȚ Ș ȠȝȠȡĳȚȐ ĲȘȢ Ǽ.ī. Ș ȜȪıȘ ĲȦȞ ȠʌȠȓȦȞ ıĲȘȡȓȗİĲĮȚ ıĲȠ 5Ƞ țİĳȐȜĮȚȠ ĲȘȢ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ. ȅ ȕĮșȝȩȢ İʌȚĲȣȤȠȪȢ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘȢ ĮȞĲȚȝİĲȫʌȚıȘȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ șĮ ĮʌĮȞĲȒıİȚ İȞ ȝȑȡİȚ ıĲȠ İȡȫĲȘȝĮ ĲȠȣ ĲȓĲȜȠȣ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ȝȚțȡȒȢ ĮȞĮĳȠȡȐȢ ıĲȘȞ Ǽ.ī. ȆȡȠĲİȚȞȩȝİȞȠ 1 ˆ ĬİȦȡȠȪȝİ ȡȩȝȕȠ ǹǺīǻ ȫıĲİ %$' 600 . ǹʌȩ ĲȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ Ȉ ıĲȘȞ įȚĮȖȫȞȚȠ ǹī ĳȑȡȞȠȣȝİ ȈǼ//ǹǻ, Ȉǽ//ǹǺ. ǹʌȠįİȓȟĲİ ȩĲȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǻǼǽ İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ [ȃȠȡȕȘȖȓĮ 2005] (ȣʌȩįİȚȟȘ: ĮʌȠįİȓȟĲİ ʌȡȫĲĮ ȩĲȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȈǼ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ ȩĲȚ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǻǼ,Ǻǻǽ İȓȞĮȚ ȓıĮ)

«ĭĮȓȞİĲĮȚ» ȞĮ İȓȞĮȚ Fl1 700 (ʌȠȜȪ șĮ ȝĮȢ ȕȩȜİȣİ…) ǹȞ ĮȣĲȩ İȓȞĮȚ ĮȜȒșİȚĮ, ĲȩĲİ ʌȡȠĳĮȞȫȢ ĲȠ KFCE șĮ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ (ȐȡĮ Įȡțİȓ ĮȣĲȩ). ȆȦȢ ȩȝȦȢ ; ȀĮȝȚȐ ĳȠȡȐ, Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ ȝʌȡȠıĲȐ ıĲĮ ȝȐĲȚĮ ȝĮȢ, ĮȜȜȐ įİȞ ĲȘ ȕȜȑʌȠȣȝİ ȖȚĮĲȓ Ș ʌȡȠıȠȤȒ ȝĮȢ İıĲȚȐȗİĲĮȚ ıİ țȐʌȠȚȠ ȐȜȜȠ țȠȝȝȐĲȚ ĲȠȣ ıȤȒȝĮĲȠȢ. ȀȠȚĲȐȗȠȞĲĮȢ ʌȡȠıİțĲȚțȐ, ĮȡȖȐ Ȓ ȖȡȒȖȠȡĮ șĮ ʌĮȡĮĲȘȡȒıȠȣȝİ ȩĲȚ AKFD İȖȖȡȐȥȚȝȠ ˆ (ȖȚĮĲȓ;) ȐȡĮ FKC AD̂F (İȟȦĲİȡȚțȒ = ĮʌȑȞĮȞĲȚ ˆ AD̂F (ȖȚĮĲȓ;). ǷıĲİ Ș İıȦĲİȡȚțȒ). ǹȜȜȐ DEC FC ĳĮȓȞİĲĮȚ Įʌȩ ĲȚȢ ĮʌȑȞĮȞĲȚ țȠȡȣĳȑȢ Ȁ țĮȚ Ǽ ȣʌȩ ȓıİȢ ȖȦȞȓİȢ, ȑĲıȚ ʌȡȐȖȝĮĲȚ KFCE İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ. ȉİȜȚțȐ DF̂C 1800 Fl 1100 .

ȆȡȠĲİȚȞȩȝİȞȠ 2 ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺīǻ ȝİ ǹǺ//īǻ țĮȚ ǹǺ>īǻ,ȫıĲİ ǹī țȐșİĲȘ ıĲȘȞ Ǻǻ. ǲıĲȦ Ǽ, ȇ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ įȚĮȖȦȞȓȦȞ ǹī, Ǻǻ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ İȞȫ ĳȑȡȞȠȣȝİ ǼȂ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıĲȘȞ Ǻǻ (Ȃ İʌȓ ĲȘȢ Ǻǹ).

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/30

_______________________________ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ ______________________________ ǻ

ȅ Ǽ

ȇ Ǿ

ǹʌȠįİȓȟĲİ ȩĲȚ : Į) ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȂī İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ %' ȕ) 0( 2 Ȗ) ĲȠ ĲȝȒȝĮ īȂ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȘȞ įȚȐȝİıȠ ĲȠȣ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ ǹǺīǻ. į) ĮȞ İȓȞĮȚ Ǿ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ īȂ,Ǻǻ ĲȩĲİ ĲȠ ȅ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ ĲȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ǻǾ. (ȣʌȠįİȓȟİȚȢ: Į) ĲȚ İȓȞĮȚ Ș ǼȂ ȖȚĮ ĲȠ ĲȝȒȝĮ ǹī; ȕ) ǼȇǺȂ ʌĮȡĮȜ/ȝȝȠ $% '* Ȗ) īȂ=Ȃǹ=ǹǺ–ȂǺ= $% (5 $% ... 2 ˆ … į) īȅ ȪȥȠȢ țĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ '*+ ȆȡȠĲİȚȞȩȝİȞȠ 3

ĬİȦȡȠȪȝİ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ǹǺīǻ țȑȞĲȡȠȣ ȅ. ǲıĲȦ ȇ ĲȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ ıĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹǺ. Ǿ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ˆ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ Ǻī ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ. ȖȦȞȓĮȢ 5'* ǹʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ǹ ĳȑȡȞȠȣȝİ țȐșİĲȘ ıĲȘȞ ǻǼ Ș ȠʌȠȓĮ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ īǻ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȃ (ǹȃ ? ǻǼ). ȉȑȜȠȢ ĮȢ İȓȞĮȚ ǹȃ ŀ ǻȇ = {Ǿ},ǻǺ ŀ ǹȃ = {S}, ǹī ŀ ǻǼ = {ǽ}, ǹȃ ŀ ǻǼ = {Ȃ}. ǹʌȠįİȓȟĲİ ȩĲȚ : Į) ȇǹ = ȇǾ ȕ) ǻȃ = Ǽī Ȗ) ǻȇ = ȇǹ + Ǽī į) SZ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ĲȘȢ (ȣʌȠįİȓȟİȚȢ: Į) ǻȂǾ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ (ȖȚĮĲȓ;) ˆ (ȖȚĮĲȓ;) ˆ ˆ ˆ țĮȚ '1+ 5$+ ȐȡĮ '+1 '1+ ȕ) ıȪȖțȡȚıȘ țĮĲȐȜȜȘȜȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ Ȗ) ȐȝİıȘ ıȣȞȑʌİȚĮ ĲȦȞ Į) țĮȚ ȕ) į) ĲȠ S İȓȞĮȚ ȠȡșȩțİȞĲȡȠ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǽ. ȆȡȠĲİȚȞȩȝİȞȠ 4 ǻȓȞİĲĮȚ țȣȡĲȩ ʌİȞĲȐȖȦȞȠ ǹǺīǻǼ ıĲȠ ȠʌȠȓȠ İȓȞĮȚ ˆ ˆ . %̂ 'ˆ 900 , İȞȫ $*% (*' ǹȞ Ȃ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ǹǼ, ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ ȂǺ = Ȃǻ. (ȂĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ǻȚĮȖȦȞȚıȝȩȢ, ȇȦıȓĮ 1987)

(ȣʌȩįİȚȟȘ: ȞĮ ʌȐȡİĲİ ĲĮ ȝȑıĮ ȇ,ȃ ĲȦȞ įȚĮȖȦȞȓȦȞ ǹī țĮȚ Ǽī ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ țĮȚ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȂȇǺ,Ȃǻȃ İȓȞĮȚ ȓıĮ) īȚĮ ĲȚȢ 2 ĮıțȒıİȚȢ ʌȠȣ ĮțȠȜȠȣșȠȪȞ įİȞ įȓȞȠȞĲĮȚ ȣʌȠįİȓȟİȚȢ… ȆȡȠĲİȚȞȩȝİȞȠ 5 ǲıĲȦ ĲȡȓȖȦȞȠ ABC țĮȚ Ș įȚȐȝİıȠȢ AD. ȆȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȘȞ AD țĮĲȐ ĲȝȒȝĮ DN = AD İȞȫ ıĲȘȞ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ ǹǺ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ıȘȝİȓȠ S ȫıĲİ BS = BC. Ǿ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ‫ܤܣ‬෠‫ ܥ‬ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ NC ıĲȠ ıȘȝİȓȠ P. ǹʌȠįİȓȟĲİ ȩĲȚ : Į) ǹǺȃC ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ȕ) BP // SC Ȗ) ĲĮ ıȘȝİȓĮ S,D,P İȓȞĮȚ ıȣȞİȣșİȚĮțȐ.

ȆȡȠĲİȚȞȩȝİȞȠ 6 ĬİȦȡȠȪȝİ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ ABC (AB=AC) ȫıĲİ %ÂC 1000 . Ǽʌȓ ĲȘȢ BC șİȦȡȠȪȝİ ıȘȝİȓȠ Ǽ ȫıĲİ BE = BA. ȀĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ ĲȫȡĮ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ BED İȟȦĲİȡȚțȐ ĲȠȣ ABC. ǹʌȠįİȓȟĲİ ȩĲȚ: Į) ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ABC, ABD İȓȞĮȚ ȓıĮ țĮȚ ȩĲȚ AD=BC ˆ ȕ) ACD BD̂C Ȗ) ABCD ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ į) ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ İȓȞĮȚ ĲȠ ȑȖțİȞĲȡȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ADC

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/31

ƨŅ ƮƷƭƩƬƲƷ ɉʋɸʑɽʐʆʉɿ ʏɳʇɻʎ: Ȳ. Ⱦɲʌʃɳʆɻʎ, ɇ. ȿʉʐʌʀɷɲʎ, ɍʌ. Ɉʍɿʔɳʃɻʎ

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ĲƽĂĴĸĴ ƟǇǁĶǀǋĴǌ ȈʌȪȡȠȢ īȚĮȞȞĮțȩʌȠȣȜȠȢ

ĬȑȝĮ 1 : ǲıĲȦ ȑȞĮ ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȪıĲȘȝĮ 2x2 ȝİ ĮȖȞȫıĲȠȣȢ x,y țĮȚ D,Dx ,Dy ȠȚ ȠȡȓȗȠȣıİȢ ʌȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȠȪȞ ıĲȠ ıȪıĲȘȝĮ. ǻİȤȩȝĮıĲİ ȩĲȚ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȘȞ x, y 1, 0

țĮȚ ȚıȤȪİȚ D x Șȝ 2 ș 2D y

1 D ȖȚĮ țȐʌȠȚĮ ȖȦ9

§ 3ʌ · ȞȓĮ ș ¨ ʌ, ¸ . © 2 ¹

§ 1 · Șȝ2x ¨ ıĳș ¸ Șȝx 2Șȝx ıȣȞx 2Șȝx © 2 ¹

i. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ: İĳș

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ii. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/41

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ȈȘȝİȓȦıȘ: Ǽįȫ ȖȚĮ İțİȓȞȠȣȢ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ʌȚȠ İȟİȚįȚțİȣȝȑȞȘ ȖȞȫıȘ ĮȞĮĳȑȡȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ıĲȠ ȠʌȠȓȠ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİĲĮȚ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ İȜȐȤȚıĲȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ ıȣȝȝİĲȡȠįȚĮȝȑıȦȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ABC įȘȜĮįȒ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȣ Lemoine. ǹȣĲȩ İȓȞĮȚ ıȣȞȑʌİȚĮ ĲȠȣ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ıȣȝȝİĲȡȠįȚĮȝȑıȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ȦȢ ȖİȦȝİĲȡȚțȠȪ ĲȩʌȠȣ ıȘȝİȓȦȞ (ıȣȝȝİĲȡȚțȒ ȘȝȚİȣșİȓĮ ĲȘȢ ȘȝȚİȣșİȓĮȢ ʌȠȣ ȠȡȓȗİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘ įȚȐȝİıȠ ĲȡȚȖȫȞȠȣ, ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȘ įȚȤȠĲȩȝȠ ʌȠȣ ȐȖİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ȓįȚĮ țȠȡȣĳȒ) țĮȚ ȕȑȕĮȚĮ ĲȘȢ ıȤȑıȘȢ 1 , ĮĳȠȪ ĮʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ

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ǼʌİȚįȒ P İȓȞĮȚ İȟȦĲİȡȚțȩ ıȘȝİȓȠ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ. ii. ǲıĲȦ 6, 7 ĲĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȝȒȢ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ P. ȝİ ĲȠȞ țȪțȜȠ. (ȈȤ.1)

ȈȤ.1 Ǿ İȜȐȤȚıĲȘ ĮʌȩıĲĮıȘ ıȘȝİȓȠȣ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ Įʌȩ ĲȠ P İȓȞĮȚ P6 P. U 13 2 țĮȚ Ș ȝȑȖȚıĲȘ ĮʌȩıĲĮıȘ İȓȞĮȚ P7 P. U 13 2 . ȕ. ǹʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ P įȚȑȡȤȠȞĲĮȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ K1 : x 6 x 6 0 țĮȚ K2 : y 6 O x 6 O x y 6 6O 0

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Ș İȣșİȓĮ K1 İȓȞĮȚ ȜȪıȘ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ. ǹȞĮȗȘĲȠȪȝİ ȜȪıȘ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ İȣșİȚȫȞ K2 .

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ȈȤ.2 ĬȑȝĮ 2Ƞ ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/43

_______________________________ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ Ǻǯ ȁȣțİȓȠȣ ______________________________

i. ȉȠ ȖİȦȝİĲȡȚțȩ ĲȩʌȠ ĲȦȞ țȑȞĲȡȦȞ ĲȦȞ țȪțȜȦȞ ȝİ İȟȓıȦıȘ ĲȘȞ (1). ii. ǹʌȩ ĲȠȣȢ țȪțȜȠȣȢ ȝİ İȟȓıȦıȘ ĲȘȞ (1) ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ İțİȓȞȦȞ ʌȠȣ İĳȐʌĲȠȞĲĮȚ ıĲoȞ ȐȟȠȞĮ xfx . ȁȪıȘ Į. i. ǹȡȤȚțȐ Ș (1) ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȑȤİȚ ĲȘ ȖİȞȚțȒ ȝȠȡĳȒ İȟȓıȦıȘȢ țȪțȜȠȣ.īȚĮ ĲȠ ȜȩȖȠ ĮȣĲȩ ĮʌĮȚĲȠȪȝİ: 2

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Ȝ2 4Ȝ 4 " 0 Ȝ 2 " 0 Ȝ 2 } 0 Ȝ } 2 .ǱȡĮ Ș (1) İȓȞĮȚ İȟȓıȦıȘ țȪțȜȠȣ ȩĲĮȞ ȝ ! 1 țĮȚ Ȝ R _2a . ii. Ǿ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ ȠȚțȠȖȑȞİȚĮȢ ĲȦȞ țȪțȜȦȞ İȓȞĮȚ O 1 x 2 y2 x y O 0 ȝİ O R ^2` . 2 4 ǹȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȠȚ țȪțȜȠȚ ĲȘȢ ȠȚțȠȖȑȞİȚĮȢ įȚȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ ȑȞĮ ȝȩȞȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ. ȅȚ țȪțȜȠȚ įȚȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ 6 x 0 , y 0 ĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠ ĮȞ ȖȚĮ țȐșİ O R ^2` ȚıȤȪİȚ:

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/52

_______________________________ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ īǯ ȁȣțİȓȠȣ ______________________________

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ǱıțȘıȘ 2Ș: ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȝİ ĲȪʌȠ f x x3 . i) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ıȘȝİȓĮ ĲȘȢ ȖȡĮĳȚțȒȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ĲȘȢ f ıĲĮ ȠʌȠȓĮ ȠȚ İĳĮʌĲȩȝİȞİȢ İȓȞĮȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ. ǲıĲȦ ıȘȝİȓȠ 0 D, D3 , D z 0 ĲȘȢ ȖȡĮĳȚțȒȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ Cf

ĲȘȢ f ıĲȠ ȠʌȠȓȠ ĳȑȡȠȣȝİ ĲȘȞ İĳĮʌĲȩȝİȞȘ ĲȘȢ. ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș İĳĮʌĲȩȝİȞȘ ĲȑȝȞİȚ ĲȘ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ f țĮȚ ıİ ȐȜȜȠ ıȘȝİȓȠ ȃ İțĲȩȢ ĲȠȣ Ȃ. iii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș țȜȓıȘ ıĲȠ ıȘȝȑȚȠ ȃ ĲȘȢ Cf İȓȞĮȚ ĲİĲȡĮʌȜȐıȚĮ Įʌȩ ĲȘȞ țȜȓıȘ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ. iv) Ǿ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ xǯx ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǻ. ȅ ȡȣșȝȩȢ ȝİĲĮȕȠȜȒȢ ĲȘȢ ĲİĲȝȘȝȑȞȘȢ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ Ȃ įȓȞİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȞ ĲȪʌȠ Dc t D t . ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ȡȣșȝȩ ȝİĲĮȕȠȜȒȢ ĲȘȢ ĲİĲȝȘȝȑȞȘȢ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ ǻ ĲȘ ȤȡȠȞȚțȒ ıĲȚȖȝȒ țĮĲȐ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ ȑȤİȚ ĲİĲȝȘȝȑȞȘ –3. v) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ f ĲȘȞ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ țĮȚ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ xǯx. ȁȪıȘ: i) ǲıĲȦ 0 1 x 1 , x13 , 0 2 x 2 , x 32 įȪȠ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ıȘȝİȓĮ ĲȘȢ ȖȡĮĳȚțȒȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ĲȘȢ f. ȅȚ İĳĮʌĲȩȝİȞİȢ ıĲĮ Ȃ1 , Ȃ2’İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ 2 2 2 2 °f c x1 f c x 2 °3x1 3x 2 ° x x 2 ® ® ® 1 ¯° x1 z x 2 ¯° x1 z x 2 ¯° x1 z x 2 x1 x 2 z 0 .

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ǼȓȞĮȚ: f c 2D 3 2D 12D2 4 3D2 4f c D

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2 §2 · D . ǱȡĮ ' ¨ D,0 ¸ . 3 3 © ¹ Ǿ ĲİĲȝȘȝȑȞȘ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ ǻ ȦȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ĲȠȣ 2 D t ȠʌȩĲİ ȤȡȩȞȠȣ İȓȞĮȚ x t

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ii) ǲȤȠȣȝİ f c x 3x 2 , ȠʌȩĲİ f c D 3D 2 . Ǿ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘȢ ĲȘȢ Cf ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ İȓȞĮȚ y D 3 3D 2 x D y 3D 2 x 2D3 īȚĮ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĲȠ ȐȜȜȠ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ İțĲȩȢ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ İʌĮĳȒȢ, ȜȪȞȠȣȝİ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ: ° y x 3 ° y x 3 ® 3 ® 2 3 2 3 °¯ y 3D x 2D °¯ x 3D x 2D 0 ° y x 3 ® 2 2 2 °̄ x x D 2D x D x 0

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g x g x0

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x o f

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/54

M x

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_______________________________ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ īǯ ȁȣțİȓȠȣ ______________________________

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1· 1 1 § 2 e > x @ 1 d ³ M x dx d ¨ 2 ¸ > x @ 1 1 e¹ ©

1 1· § 2 e d ³ M x dx d 2 ¨ 2 ¸ 1 e¹ © 1 1 1 2 e d ³ M x dx d 2 2 1 e Ș ǱıțȘıȘ 4 : ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȝİ ĲȪʌȠ f x 2x 3 Dx 2 6x 5 .

i) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Į ȖȚĮ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ \ . īȚĮ Į=–1 ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ 4 3 2 2x 3x 7x x 5 0 ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȝȚĮ ȡȓȗĮ xo ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ (–1,1). iii) ȃĮ ȝİȜİĲȒıİĲİ ĲȘȞ țȣȡĲȩĲȘĲĮ ĲȘȢ f țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ıȘȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ. iv) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȠȣ ȕ ȫıĲİ Ș İȣșİȓĮ y=10x+ȕ ȞĮ İĳȐʌĲİĲĮȚ ıĲȘ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ f c . v) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ f ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ xǯx țĮȚ ĲȚȢ İȣșİȓİȢ x=–1, x=1 ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȘȢ ĲȚȝȒȢ ĲȠȣ İȡȦĲȒȝĮĲȠȢ (ȕi). ȁȪıȘ: i) Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ \ ȦȢ ʌȠȜȣȦȞȣȝȚțȒ f c x 6x2 2Dx 6 2 3x2 Dx 3

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/55

_______________________________ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ īǯ ȁȣțİȓȠȣ ______________________________

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§ 2pS S · 2p 1 , p ]* , ĲȩĲİ KP3 x T KP3¨ x ¸ KP 3x 2pS S KP 3x S KP3x zKP3x 3 ¹ © S . ȖȚĮ țȐʌȠȚȠ x , ʌ.Ȥ. ȖȚĮ x 2 2pS 2S , p ]* İȓȞĮȚ ʌİȡȓȠįȠȚ ĲȘȢ f ȝİ ȕĮıȚțȒ ʌİȡȓȠįȠ ĲȘȞ ȉ0 = ǱȡĮ ȝȩȞȠ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȉ= 3 3 x 2. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x HM İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ țĮȚ ȞĮ ȕȡİșİȓ Ș ȕĮıȚțȒ ĲȘȢ ʌİȡȓȠįȠȢ. 3 ȁȪıȘ ȆİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ ĲȠ ǹ={ x \ ȝİ x z 3kS , k ] }. x

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/60

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S İȓȞĮȚ İʌȓıȘȢ ȕĮıȚțȒ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ 2

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ǿįȚȩĲȘĲİȢ ʌİȡȚȠįȚțȫȞ ıȣȞĮȡĲȒıİȦȞ ǹȞ Ƞ x 0 ĮȞȒțİȚ ıĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ȝȚĮȢ ʌİȡȚȠįȚțȒȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ȝİ ʌİȡȓȠįȠ T ĲȩĲİ ıĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ĮȞȒțȠȣȞ țĮȚ ȩȜȠȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ x 0 QT , Q ] .

ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ȝȚĮȢ ʌİȡȚȠįȚțȒȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ʌİȡȚȑȤİȚ șİĲȚțȠȪȢ țĮȚ ĮȡȞȘĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȠıȠįȒʌȠĲİ ȝİȖȐȜȠȣȢ țĮĲ’ ĮʌȩȜȣĲȘ ĲȚȝȒ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȠȡȚıȝȩ, țĮȚ ĲȘȞ ȚįȚȩĲȘĲĮ ĮȣĲȒ ʌ.Ȥ. Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x ln x

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T ȐȖȞȦıĲȠȢ, x ʌĮȡȐȝİĲȡȠȢ, ȑȤİȚ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȝȚĮ șİĲȚțȒ ȜȪıȘ T1 ȖȚĮ țȐșİ x \ .

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/62

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ǹȣĲȒ Ș ȚįȚȩĲȘĲĮ İȓȞĮȚ ȝȚĮ ĮȞĮįȚĮĲȪʌȦıȘ ĲȠȣ ȠȡȚıȝȠȪ. ȆȡȐȖȝĮĲȚ, ȩĲĮȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ, ĲȩĲİ ȣʌȐȡȤİȚ T1 z 0 , ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ f x T1 f x ȖȚĮ țȐșİ x \ țĮȚ ĮȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ T1 İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ ĲȘȢ (1) ȖȚĮ țȐșİ x \ . ȍȢ ıȣȞȑʌİȚĮ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ȚįȚȩĲȘĲĮȢ ȑȤȠȣȝİ ĲȠ ĮțȩȜȠȣșȦ. ǹȞ ȕȡȠȪȝİ įȪȠ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ x , ʌ.Ȥ. x D, x E , ȫıĲİ ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ f D T f D țĮȚ f E T f E

ȞĮ ȝȘȞ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȒ șİĲȚțȒ ȜȪıȘ, ĲȩĲİ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ: ǲıĲȦ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x x 3 x . ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ.

ȆȡȐȖȝĮĲȚ, ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ, ĮȞ İʌȚȜȑȟȠȣȝİ D 0 țĮȚ E

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İȓȞĮȚ ȠȚ șİĲȚțȑȢ ȜȪıİȚȢ ĲȦȞ (1) țĮȚ (2) ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ, įȘȜĮįȒ ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ (1) țĮȚ (2) įİȞ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȒ șİĲȚțȒ ȜȪıȘ, ȠʌȩĲİ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ ıȤȩȜȚȠ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x x 3 x įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ.

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īİȞȚțȩĲİȡĮ Ș f x D ȑȤİȚ ĲȠ ʌȠȜȪ ĲȡİȓȢ ȡȓȗİȢ ȠʌȩĲİ įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. ǹȞ ȖȚĮ ȝȚĮ ʌİȡȚȠįȚțȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȝİ ʌİȡȓȠįȠ T ıİ ĲȣȤĮȓȠ įȚȐıĲȘȝĮ > D, D T @ ĲȠȣ ʌİįȓȠȣ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ȚıȤȪİȚ Ș ĮȞȓıȦıȘ f x d M (1) ( M ! 0 ) ĲȩĲİ ĮȣĲȒ Ș ĮȞȓıȦıȘ ȚıȤȪİȚ țĮȚ ȖȚĮ țȐșİ x A , ȩʌȠȣ A ĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f .

ȆȡȐȖȝĮĲȚ, ȑıĲȦ f ʌİȡȚȠįȚțȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ȝİ ʌİȡȓȠįȠ T țĮȚ ȑıĲȦ ȩĲȚ ȚıȤȪİȚ Ș (1) ȖȚĮ țȐșİ x A , D d x d D T . ȉȩĲİ ȜȩȖȦ ĲȘȢ f x QT f x , Q ] , ĮȣĲȒ Ș ĮȞȓıȦıȘ șĮ ȚıȤȪİȚ țĮȚ ıİ țȐșİ įȚȐıĲȘȝĮ ªD ¬ QT, D Q 1 T ¼º , Q ] . ǵȝȦȢ, țȐșİ ĲȚȝȒ ĲȠȣ x ĮȞȒțİȚ ıİ ȑȞĮ Įʌȩ ĮȣĲȐ ĲĮ įȚĮıĲȒȝĮĲĮ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ Ș ĮȞȓıȦıȘ (1) ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ țȐșİ ĲȚȝȒ ĲȠȣ x . ǹʌȩ İįȫ ʌȡȠțȪʌĲİȚ, ȩĲȚ ĮȞ ȝȚĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ʌȠȣ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ \ țĮȚ ȩȤȚ ĳȡĮȖȝȑȞȘ įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ: ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x x2 VXQx įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. ȁȪıȘ Ǿ įȠıȝȑȞȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ \ . ǹȞ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ įİȞ İȓȞĮȚ ĳȡĮȖȝȑȞȘ, ĲȩĲİ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ ȚįȚȩĲȘĲĮ 5, ʌĮȡĮʌȐȞȦ, įİȞ șĮ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. ȆȡȐȖȝĮĲȚ, ĮȞ ȖȚĮ țȐșİ ĮȡȚșȝȩ M ! 0 İʌȚȜȑȟȠȣȝİ ȦȢ x 0 WR 2 2 > M @ S ([Ȃ] İȓȞĮȚ ĲȠ ĮțȑȡĮȚȠ ȝȑȡȠȢ

ĲȠȣ Ȃ), șĮ ȑȤȠȣȝİ: x 0 2 VXQx 0

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ǼʌȠȝȑȞȦȢ, Ș įȠıȝȑȞȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ įİȞ İȓȞĮȚ ĳȡĮȖȝȑȞȘ țĮȚ ıȣȞİʌȫȢ įİȞ İȓȞĮȚ țĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. ǲıĲȦ ȝȚĮ ʌİȡȚȠįȚțȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f : A o \ ȝİ ʌİȡȓȠįȠ T . ǹȞ Ș f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ A , ĲȩĲİ țĮȚ Ș f c İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ȝİ ĲȘȞ ȓįȚĮ ʌİȡȓȠįȠ. ȆȡȐȖȝĮĲȚ, Įʌȩ ĲȘȞ f x T f x ȖȚĮ țȐșİ x A , ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ țĮȚ f c x T f c x ȖȚĮ țȐșİ 6.

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ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ: ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ țȐșİ ʌȠȜȣȦȞȣȝȚțȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. ȆȡȐȖȝĮĲȚ, ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ʌȡȫĲȠȣ ȕĮșȝȠȪ P1 x D1x D0 , D1 z 0 İȓȞĮȚ İȓĲİ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ, İȓĲİ

ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ıİ ȩȜȠ ĲȠ \ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/63

ȊʌȠșȑĲȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȕĮșȝȠȪ Q ! 1

P x DQ x Q DQ 1x Q 1 ! D1x D0 , DQ z 0 İȓȞĮȚ

ʌİȡȚȠįȚțȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ. ǹʌȩ ĲȘȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȚįȚȩĲȘĲĮ 6 ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ țĮȚ ĲȠ . P c x

șĮ İȓȞĮȚ

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\ . ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ țĮȚ ȩĲȚ T \* İȓȞĮȚ ȝȓĮ ʌİȡȓȠįȩȢ ĲȘȢ. ȉȩĲİ Ƞ T șĮ İȓȞĮȚ

ʌİȡȓȠįȠȢ țĮȚ ĲȘȢ įİȪĲİȡȘȢ ʌĮȡĮȖȫȖȠȣ ĲȘȢ f cc x 2 KPx . Ȉİ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ, Ƞ T șĮ İȓȞĮȚ

ʌİȡȓȠįȠȢ țĮȚ ĲȠȣ ĮșȡȠȓıȝĮĲȠȢ f x f cc x 2 x 2 , ȐĲȠʌȠ, ȖȚĮĲȓ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ x 2 İȓȞĮȚ ʌȠȜȣȦȞȣȝȚțȒ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ țĮȚ įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. ȀĮșȠȡȚıȝȩȢ ʌİȡȚȩįȠȣ ĮșȡȠȓıȝĮĲȠȢ, įȚĮĳȠȡȐȢ țĮȚ ȖȚȞȠȝȑȞȠȣ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȫȞ ıȣȞĮȡĲȒıİȦȞ. x ǹȞ Ƞ ĲȪʌȠȢ ȝȚĮȢ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȒȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ȝİ ĲȘȞ ȤȡȒıȘ ȖȞȦıĲȫȞ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȫȞ ıȤȑıİȦȞ ĮʌȜȠȣıĲİȪİĲĮȚ, ĲȩĲİ İȪțȠȜĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĲȘȞ ʌİȡȓȠįȠ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ. ; ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ: ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f x KPx VXQx . ȁȪıȘ

S S· S· §S · § § 2 VXQ ¨ x ¸ ȖȚĮ țȐșİ x \ . ǼȓȞĮȚ f x KPx VXQx KPx KP ¨ x ¸ 2 KP VXQ ¨ x ¸ 4 4¹ 4¹ ©2 ¹ © © ǼȪțȠȜĮ ʌȜȑȠȞ įȚĮʌȚıĲȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 2S . ǹȣĲȩ ĲȠ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ıȣȝĳȦȞİȓ ȝİ ĲȠ ȩĲȚ ĮȞ T İȓȞĮȚ Ș ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȦȞ ıȣȞĮȡĲȒıİȦȞ f țĮȚ g , ĲȩĲİ Ƞ T İȓȞĮȚ ʌİȡȓȠįȠȢ țĮȚ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f g. ; ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f x

HM2 x

ȁȪıȘ 1 2 1 1 ȖȚĮ țȐșİ x ĲȠȣ ʌİįȓȠȣ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ĮȣĲȒȢ. 2 VXQ x 1 VXQ 2x ǻȚĮʌȚıĲȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ Ș ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ VXQ 2x , įȘȜĮįȒ S . ǱȡĮ, ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ HM2 x

ǼȓȞĮȚ f x

İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ S . ǻȚĮʌȚıĲȫȞȠȣȝİ (ȩʌȦȢ țĮȚ ıĲȘȞ ȐıțȘıȘ 4) ȩĲȚ ĮȞ T İȓȞĮȚ ʌİȡȓȠįȠȢ ȝȚĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f ĲȩĲİ Ƞ T İȓȞĮȚ İʌȓıȘȢ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ f 2 . T1 Q1 _ ȝİ ȅȡȚıȝȩȢ: ȅȚ șİĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ T1 țĮȚ T2 ȜȑȖȠȞĲĮȚ ıȪȝȝİĲȡȠȚ ȩĲĮȞ T2 Q 2

Q1 , Q2 `* , Q1 , Q2 1 .

Ȉİ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ȣʌȐȡȤİȚ T0 ! 0 ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ T1

Q1T0 , T2

Q 2 T0 .

ĬĮ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ ǼȜȐȤȚıĲȠ ȀȠȚȞȩ ȆȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ « Ǽ.Ȁ.Ȇ ª¬ T1, T2 º¼ » ĮȣĲȫȞ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ T Ǽ.Ȁ.Ȇ ª¬Q1, Q 2 º¼ T0 ǿıȤȪİȚ ĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ĬİȫȡȘȝĮ ǿ ǲıĲȦ ȠȚ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ f , g ȝİ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȠ \ . ǹȞ T1 ! 0 , T2 ! 0 İȓȞĮȚ ȠȚ ʌİȡȓȠįȠȚ ĲȦȞ f țĮȚ g

ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ țĮȚ ȠȚ T1 , T2 İȓȞĮȚ ıȪȝȝİĲȡȠȚ, ĲȩĲİ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ h x f x g x , x \ , İȓȞĮȚ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/64

Ǽ.Ȁ.Ȇ ª¬ T1, T2 º¼

ʌİȡȚȠįȚțȒ ȝİ ʌİȡȓȠįȠ T

ǹʌȩįİȚȟȘ ǹȞ T Ǽ.Ȁ.Ȇ ª¬ T1, T2 º¼ , ĲȩĲİ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ĳȣıȚțȠȓ k , m , ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ T k T1 țĮȚ T m T2 . īȚĮ țȐșİ x \ , İȓȞĮȚ h x T f x T g x T f x kT1 g x mT2 f x g x h x

ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ ǲıĲȦ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ . f ,g : \ o \ .. ǹȞ 2S İȓȞĮȚ ȝȓĮ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ f țĮȚ 0,6 S ȝȓĮ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ g , ȞĮ ȕȡİșİȓ ȝȓĮ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ f g . ȁȪıȘ

T1 T2

10 _ , ȐȡĮ ȠȚ T1 ,T2 İȓȞĮȚ ıȪȝȝİĲȡȠȚ. ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ T0 ! 0 ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ 3 S T1 10T0 țĮȚ T2 3T0 , Įʌȩ ȩʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ T0 . 5 ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ, Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ T Ǽ.Ȁ.Ȇ >3,10@ T0 30 T0 6S İȓȞĮȚ ȝȓĮ ʌİȡȓȠįȠȢ ǼȓȞĮȚ

ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f g . ǹȞĲȓıĲȠȚȤİȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ șİȦȡȒȝĮĲȠȢ ȚıȤȪȠȣȞ ȖȚĮ ĲȘȞ įȚĮĳȠȡȐ țĮȚ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ įȪȠ ʌİȡȚȠįȚțȫȞ ıȣȞĮȡĲȒıİȦȞ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȠȡȚıȝȑȞİȢ ıĲȠ \ .

ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

VXQ 3Sx KP2Sx İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ.

ǹʌȩįİȚȟȘ ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ȠȚ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ f1 x VXQ3Sx țĮȚ f 2 x KP2Sx ȑȤȠȣȞ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȠ \ țĮȚ

İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȑȢ ȝİ ʌİȡȚȩįȠȣȢ T1 ǼʌİȚįȒ

T1 T2

2 țĮȚ T2 3

1 ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ.

2 , Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f , ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ, șĮ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. ȂȓĮ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ İȓȞĮȚ Ƞ 3

ĮȡȚșȝȩȢ 2. 1.

ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

3x x VXQ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘ ȕĮıȚțȒ ĲȘȢ 2 3

ʌİȡȓȠįȠ. ȁȪıȘ

ȉȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ ĲȠ \ . Ǿ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ KP ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ VXQ

x İȓȞĮȚ T2 3

ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ, İʌİȚįȒ T

Ǽ.Ȁ.Ȇ > 2,9@ T0

3x İȓȞĮȚ T1 2

4S țĮȚ Ș ʌİȡȓȠįȠȢ 3

6 S . T1 T2

2 Ș f șĮ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ țĮȚ ȝȓĮ ʌİȡȓȠįȩȢ ĲȘȢ șĮ İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 9

2S 12 S . ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ƞ 12S İȓȞĮȚ Ș İȜȐȤȚıĲȘ șİĲȚțȒ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ 3

f. ǲıĲȦ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ʌİȡȓȠįȠȢ T ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ 0 T 12S (i). ȉȩĲİ ȖȚĮ țȐșİ x R șĮ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/65

3 x T 3x x KP VXQ . ǼȚįȚțȐ ȖȚĮ x 0 țĮȚ x T ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ x T VXQ 2 3 2 3 3T T 3T T KP VXQ 1 (1), țĮȚ KP VXQ 1 (2). 2 3 2 3 T T ǹĳĮȚȡȫȞĲĮȢ ĲȘȞ (1) Įʌȩ ĲȘȞ (2) ʌĮȓȡȞȠȣȝİ 2VXQ 2 VXQ 1 T 6Sk , k ] , ȠʌȩĲİ 3 3 i 0 6Sk 12 S o k 2 k 1

ȚıȤȪİȚ KP

ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ șİĲȚțȒ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ f ȝȚțȡȩĲİȡȘ ĲȠȣ 12S , ĮȣĲȒ șĮ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ 6S , ȠʌȩĲİ ȖȚĮ țȐșİ x \ șĮ ȚıȤȪİȚ f x 6S f x (3). ǼȚįȚțȐ ȖȚĮ x

5S , Įʌȩ ĲȘȞ (3), șĮ ȑȤȠȣȝİ f S f 5S , ʌȠȣ įİȞ ȚıȤȪİȚ, ĮĳȠȪ f S 1, f 5S 1

İʌȠȝȑȞȦȢ Ƞ 6S įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ f . ǱȡĮ Ƞ 12S İȓȞĮȚ Ș İȜȐȤȚıĲȘ șİĲȚțȒ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ f . 2.

ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș İȜȐȤȚıĲȘ șİĲȚțȒ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f x

VXQ 4 x KPx

ȁȪıȘ ȉȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f İȓȞĮȚ ĲȠ \ . Ǿ f İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ İʌİȚįȒ ȖȚĮ țȐșİ x \ ȑȤȠȣȝİ: f x 2S VXQ4 x 2S KP x 2S VXQ4 x KPx f x .

ȂȚĮ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 2S , Ƞ ȠʌȠȓȠȢ İȓȞĮȚ țĮȚ Ș İȜȐȤȚıĲȘ șİĲȚțȒ ʌİȡȓȠįȠȢ. ȆȡȐȖȝĮĲȚ, ȑıĲȦ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ʌİȡȓȠįȠȢ T ĲȘȢ f ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ 0 T 2S . ȉȩĲİ ȖȚĮ țȐșİ x \ , șĮ ȚıȤȪİȚ T VXQ 4 x T KP x T VXQ 4 x KPx (1) ȖȚĮ țȐșİ x R . ǼȚįȚțȐ ȖȚĮ x ȑȤȠȣȝİ: 2 T T T T T T T T § · § · § · 1 VXQ 4 KP VXQ 4 ¨ ¸ KP ¨ ¸ KP KP ¨ ¸ KP KP 0 2 2 2 2 2 © 2¹ © 2¹ © 2¹ T 2kS , k ] 0 2kS 2S 0 k 1 ,ȐĲȠʌȠ. ǱȡĮ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȑȤİȚ ȕĮıȚțȒ ʌİȡȓȠįȠ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ T0 x

2S .

§ T · § T· ȈȣȞĲȠȝȩĲİȡĮ Ș ıȣȞİʌĮȖȦȖȒ f ¨ T ¸ f ¨ ¸ ... 7 2kS ȝĮȢ ʌĮȡȑȤİȚ ĮʌİȣșİȓĮȢ ȩȜİȢ ĲȚȢ © 2 ¹ © 2¹ ʌȚșĮȞȑȢ ʌİȡȚȩįȠȣȢ ĲȘȢ f ȝİ ȕĮıȚțȒ ʌİȡȓȠįȠ ĲȘȞ T0 2S ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș İȜȐȤȚıĲȘ șİĲȚțȒ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f x

3VXQx VXQ 2x

ȁȪıȘ ȉȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ ȩȜȠ ĲȠ \ . ǲıĲȦ T ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ įȠıȝȑȞȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ. ȉȩĲİ ȖȚĮ țȐșİ x \ . ǿıȤȪİȚ Ș ȚıȩĲȘĲĮ 3VXQ x T VXQ ª¬ 2 x T ¼º 3VXQx VXQ 2x . ǼȚįȚțȐ ȖȚĮ x 0 ȑȤȠȣȝİ 3VXQT VXQ 2T 4 . ǼʌİȚįȒ VXQT d 1 țĮȚ VXQ 2T d 1 , șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ 3VXQT VXQ 2T d 4 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ T șĮ ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ ĲȠ VXQT 1 ıȪıĲȘȝĮ: ® . ȂİĲĮȟȪ ĲȦȞ ȜȪıİȦȞ ĮȣĲȠȪ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ Ș İȜȐȤȚıĲȘ șİĲȚțȒ ȜȪıȘ İȓȞĮȚ Ƞ ¯VXQ 2T 1

2S ǼȓȞĮȚ ʌȡȠĳĮȞȑȢ ȩĲȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ . T0 İȓȞĮȚ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ȐȡĮ șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ Ș . İȜȐȤȚıĲȘ șİĲȚțȒ ʌİȡȓȠįȠȢ ĮȣĲȒȢ. ĮȡȚșȝȩȢ T0

ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

VXQ

x x VXQ , ȩʌȠȣ m , n ` * ȝİ m,n 1 İȓȞĮȚ m n

ʌİȡȚȠįȚțȒ. ǲȤİȚ İȜȐȤȚıĲȘ șİĲȚțȒ ʌİȡȓȠįȠ; ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/66

ȁȪıȘ ȉȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ ĲȠ \ . ǼȓȞĮȚ ʌȡȠĳĮȞȑȢ ȩĲȚ ȖȚĮ ĲȘȞ 2S m n İȓȞĮȚ f 2S m n 2 (1) țĮȚ

İʌİȚįȒ ȖȚĮ țȐșİ x \ , VXQ

x x d 1 , VXQ d 1 șĮ İȓȞĮȚ f x d 2 , įȘȜĮįȒ Ș f șĮ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıĲȘ ĲȚȝȒ ĲȠ 2 , m n

x °°VXn m 1 x 2S m s ĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠ ĮȞ, ® , ȩʌȠȣ s , t ] . īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ f x 2 șĮ ʌȡȑʌİȚ m s ® ¯ x 2S n t °VXQ x 1 °̄ n ǼȓȞĮȚ m,n 1 țĮȚ n | s įȘȜĮįȒ s n l, l ] .

ȈȣȞİʌȫȢ f x 2 x

n t .

2S m n l, l ] . ǼʌİȚįȒ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ țĮȚ Ș ĮʌȩıĲĮıȘ

ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ įȚĮįȠȤȚțȫȞ ıȘȝİȓȦȞ ȝİȖȓıĲȠȣ ĮȣĲȒȢ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ 2S m n , Ș İȜȐȤȚıĲȘ șİĲȚțȒ ĲȘȢ ʌİȡȓȠįȠȢ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ȝȚțȡȩĲİȡȘ ĲȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ 2S m n , ȐȡĮ ĮȣĲȩȢ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ Ș İȜȐȤȚıĲȘ șİĲȚțȒ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ įȠıȝȑȞȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ. 5.

Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȑȤİȚ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȠ \ . ǹȞ ȖȚĮ țȐșİ x \ , f x 2

f x 7 f 7 x , ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ.

f 2 x țĮȚ

ȁȪıȘ (1ȠȢ ĲȡȩʌȠȢ): ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș f ȑȤİȚ ʌİȡȓȠįȠ ĲȠ 10. ǹȡțİȓ İʌȠȝȑȞȦȢ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȖȚĮ țȐșİ x \ ȚıȤȪİȚ: f x 10 f x .

ǼȓȞĮȚ f x 10 f x 3 7 f 7 x 3 f 4 x f 4 x f 2 2 x f 2 2 x f x

2ȠȢ ĲȡȩʌȠȢ): ǲıĲȦ x1

x 2 , x2

x1 x 2 2 . ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ĲȘȢ C f 2 İȓȞĮȚ ıȣȝȝİĲȡȚțȐ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȘȞ İȣșİȓĮ x 2 įȘȜĮįȒ ĮȣĲȒ Ș

2 x . ȉȩĲİ x 0

ȝİ ıȣȞĲİĲĮȖȝȑȞİȢ x1 ,f x1 țĮȚ x 2 ,f x 2

İȣșİȓĮ İȓȞĮȚ ȐȟȠȞĮȢ ıȣȝȝİĲȡȓĮȢ ĲȘȢ Cf .

ǹȞȐȜȠȖĮ țĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ įİȪĲİȡȘ ȚıȩĲȘĲĮ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ Ș İȣșİȓĮ x 7 İʌȓıȘȢ İȓȞĮȚ ȐȟȠȞĮȢ ıȣȝȝİĲȡȓĮȢ ĲȘȢ Cf . ȋȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ ĲȫȡĮ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ: « Ǿ ıȪȞșİıȘ įȪȠ ıȣȝȝİĲȡȚȫȞ ıİ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ, İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ȝİĲĮĳȠȡȐ țĮĲȐ įȚȐȞȣıȝĮ țȐșİĲȠ ı’ ĮȣĲȠȪȢ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ, ĲȠ ȝȑĲȡȠ ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ ĲȠ įȚʌȜȐıȚȠ ĲȘȢ ĮʌȩıĲĮıȘȢ ȝİĲĮȟȪ ĮȣĲȫȞ.». ȈĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȒ ȝĮȢ, Ș ĮʌȩıĲĮıȘ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ ĮȟȩȞȦȞ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ 5, İʌȠȝȑȞ ȦȢ ĲȠ ȖȡȐĳȘȝĮ ĲȘȢ f ȝİĲĮĲȠʌȓȗİĲĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜĮ ʌȡȠȢ ĲȠ ȓįȚȠ țĮĲȐ ĲȠ įȚȐȞȣıȝĮ 10, 0 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ȝİ ʌİȡȓȠįȠ 10 . 6.

ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

VXQx KP x 2 įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ.

ȁȪıȘ ȉȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ ĲȠ \ . ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ țĮȚ ȩĲȚ T z 0 İȓȞĮȚ ȝȓĮ ʌİȡȓȠįȩȢ ĲȘȢ. ǲĲıȚ șĮ ȑȤȠȣȝİ ȖȚĮ țȐșİ x \ VXQ x T KP ª¬ 2 x T º¼ VXQx KP 2 x (1). ǹʌȩ ĲȘȞ (1)

ȖȚĮ x

0 țĮȚ x

T ȑȤȠȣȝİ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ȩĲȚ VXQT KP

1 (2) țĮȚ VXQT KP

1 (3). Ȃİ

ʌȡȩıșİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ĲȦȞ (2) țĮȚ (3) ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ VXQT 1 , ȐȡĮ ȣʌȐȡȤİȚ k ] ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ T țĮȚ ȝİ ĮĳĮȓȡİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ĲȦȞ (2) țĮȚ (3) ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ KP

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/67

2kS

0 , İʌȠȝȑȞȦȢ ȣʌȐȡȤİȚ Q ] , ĲȑĲȠȚȠ

ȫıĲİ T

SQ . ǹʌȩ ĲȚȢ T 2

(ȐĲȠʌȠ, įȚȩĲȚ

2kS țĮȚ T

2 ȐȡȡȘĲȠȢ țĮȚ

SQ , İʌİȚįȒ T z 0 șĮ İȓȞĮȚ k , Q z 0 țĮȚ 2k 2

Q 2 2

Q 2k

Q ȡȘĲȩȢ). ǱȡĮ Ș f įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. 2k

ȃĮ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ ĮȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

KPx VXQEx İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ, ĲȩĲİ Ƞ E \ İȓȞĮȚ

ȡȘĲȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. ȁȪıȘ ȉȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ İȓȞĮȚ ĲȠ \ . ǻȓȞİĲĮȚ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĮȞ T T z 0 İȓȞĮȚ ʌİȡȓȠįȩȢ ĲȘȢ, ĲȩĲİ ȖȚĮ țȐșİ x \ țĮȚ E \ ȚıȤȪİȚ Ș ȚıȩĲȘĲĮ

KP x T VXQ ªE ¬ x T ¼º

KPx VXQEx (1). ǹʌȩ ĲȘȞ (1) ȝİ x

0 țĮȚ x

T , ȑȤȠȣȝİ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ:

KPT VXQE T 1 (2) țĮȚ KPT VXQE T 1 (3). Ȃİ ʌȡȩıșİıȘ ĲȦȞ (2) țĮȚ (3), ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ VXQE T 1 țĮȚ ĲİȜȚțȐ E T 2Sk, k ] . Ȃİ ĮĳĮȓȡİıȘ ĲȦȞ (2) țĮȚ (3), ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ ȩĲȚ KPT 0 țĮȚ T QS , Q ] . ǹʌȩ ĲȚȢ ȚıȩĲȘĲİȢ E T 2Sk țĮȚ T QS ȑȤȠȣȝİ EQS 2Sk . ǼʌİȚįȒ T z 0 șĮ İȓȞĮȚ Q z 0 ȠʌȩĲİ 2k E _ . ǱȡĮ Ƞ E İȓȞĮȚ ȡȘĲȩȢ. Q

ȃĮ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

2x VXQx2 įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ.

ȁȪıȘ ȉȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ ĲȠ \ țĮȚ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ı’ ĮȣĲȩ. ȊʌȠșȑĲȠȣȝİ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ȝİ ʌİȡȓȠįȠ T ! 0 . īȚĮ țȐșİ x > 0,T@ ȑȤȠȣȝİ: 2xVXQx 2 d 2 x d 2T . ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ ȚįȚȩĲȘĲĮ 5, șĮ

ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ țĮȚ ȖȚĮ țȐșİ x \ , f x

2xVXQx 2 d 2T (1). ǹʌȩ ĲȘȞ (1) ȖȚĮ x

T2 ȑȤȠȣȝİ: f 2S

ȃĮ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

2Sk

2 2Sk VXQ 2kS

2Sk ȝİ k ` țĮȚ

2 2Sk ! 2T (ȐĲȠʌȠ). ǱȡĮ Ș f įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ.

KPx2 įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ.

ȁȪıȘ 1ȠȢ ĲȡȩʌȠ: (Ȃİ ȕȐıȘ ĲȘȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȘ ȐıțȘıȘ): Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ \ ȝİ f c x 2x VXQx 2 , x \ . ǵȝȦȢ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f c x įİȞ

İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ (ȐıțȘıȘ 8). ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ ȚįȚȩĲȘĲĮ 6 ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ țĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x KPx 2 įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. 2ȠȢ ĲȡȩʌȠȢ: Ǿ ȜȪıȘ ĮȣĲȒ įȩșȘțİ ȖȚĮ ʌȡȫĲȘ ĳȠȡȐ Įʌȩ ĲȠȞ ıȣȞȐįİȜĳȠ īȚȫȡȖȠ Ȉ. ȉĮııȩʌȠȣȜȠ ıİ ıȣȗȒĲȘıȘ ȖȚĮ ĲȚȢ ʌİȡȚȠįȚțȑȢ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ ʌȠȣ ʌȡĮȖȝĮĲȠʌȠȚȒșȘțİ ıĲĮ ȖȡĮĳİȓĮ ĲȘȢ Ǽ.Ȃ.Ǽ. ıĲȚȢ 13-11-1986, ȝİ ĲȘȞ İʌȚıȒȝĮȞıȘ ȩĲȚ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖİȞȚțİȣĲİȓ ȖȚĮ țȐșİ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ĲȘȢ ȝȠĳȒȢ Șȝg(x), ıȣȞg(x),İĳg(x), ıĳg(x), ȩʌȠȣ g(x) ĲȣȤĮȓȠ ĲȡȚȫȞȣȝȠ. ǻȪȠ ĮțȩȝȘ İȞįȚĮĳȑȡȠȣıİȢ ȜȪıİȚȢ įȩșȘțĮȞ ĲȩĲİ, ȝȚĮ Įʌȩ ĲȠȞ ǹȞĲȫȞȘ ȀȣȡȚĮțȩʌȠȣȜȠ țĮȚ ȝȚĮ Įʌȩ ĲȠȞ ĮİȓȝȞȘıĲȠ ĬȩįȦȡȠ ȀĮȗĮȞĲȗȒ. ȀĮȚ ȠȚ ĲȡİȚȢ ȜȪıİȚȢ įȘȝȠıȚİȪĲȘțĮȞ ıĲȠ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȠ ʌİȡȚȠįȚțȩ (ǼȣțȜİȓįȘȢ Ǻǯ) ĲȠȣ 1986. ȆȡȠĲȚȝȒıĮȝİ ĲȘ ȜȪıȘ ĮȣĲȒ ȜȩȖȦ ĲȘȢ ȖİȞȓțİȣıȘȢ ʌȠȣ İʌȚįȑȤİĲĮȚ. ȁȪıȘ ǹȞ Ș f ȒĲĮȞ ʌİȡȚȠįȚțȒ țĮȚ ȉ>0 ȒĲĮȞ ȝȚĮ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ, ĲȩĲİ șĮ İȓȤĮȝİ Șȝ(x+T)2=Șȝx2 ȖȚĮ țȐșİ x R (1). ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/68

ǹȞ x=0, ĲȩĲİ (1) Șȝȉ2 =0 ȉ2=Įʌ ȉ = ξȽɎ, ȩʌȠȣ Į șİĲȚțȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ. ǹȞ x=1, ĲȩĲİ 1) Șȝ(1+ȉ)2 = Șȝ1 (1+ȉ)2 = 2țʌ+1 Ȓ (1+ȉ)2 = 2Ȝʌ + ʌ – 1 1 + ȉ =ξʹɈɎ ൅ ͳ Ȓ 1 + ȉ =ඥሺʹɉ ൅ ͳሻɎ െ ͳ ȉ = –1 + ඥȾɎ ൅ ͳ Ȓ ȉ = –1 + ඥɀɎ െ ͳǡ ȩʌȠȣ Į, ȕ șİĲȚțȠȓ ĮțȑȡĮȚȠȚ ξȽɎ = –1 + ඥȾɎ ൅ ͳ (2) Ȓ ξȽɎ = –1 + ඥɀɎ െ ͳ (3).

(ȕ – ȐȡĲȚȠȢ, Ȗ – ʌİȡȚĲĲȩȢ). ǼʌȠȝȑȞȦȢ șĮ İȓȞĮȚ

ǹȜȜȐ: (2) ξȽɎ +1= ඥȾɎ ൅ ͳ Įʌ+1+2ξȽɎ = ȕʌ+1 2ξȽɎ = (ȕ Į)ʌ ସ஑

4Įʌ=(ȕ – Į)2ʌ2 (ȕ – Į)2ʌ=4Į Į = ȕ = 0 Ȓ ʌ =

ȉ=0 Ȓ ʌ Q, ʌȡȐȖȝĮ ȐĲȠʌȠ.

ሺஒି஑ሻమ

ǼʌȓıȘȢ (3) ξȽɎ +1= ඥɀɎ െ ͳ Įʌ+1+2ξȽɎ = Ȗʌ 1 2ξȽɎ =(Ȗ – Į)ʌ – 2 4Įʌ = (Ȗ – Į)2ʌ2 – 4(Ȗ – Į)ʌ + 4 (Į – Ȗ)2ʌ2 – 4Ȗʌ +4 = 0 Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ʌ İȓȞĮȚ ĮȜȖİȕȡȚțȩȢ, įȘȜĮįȒ ȡȓȗĮ ȝȘ ȝȘįİȞȚțȠȪ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ ȝİ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ıȣȞĲİȜİıĲȑȢ. ǹȣĲȩ ȩȝȦȢ İȓȞĮȚ ȐĲȠʌȠ. ǱȡĮ Ș f įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. 10. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ ȠȚ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȑȢ. a. f x 2x VXQx b. g x

h x

d. M x

ȁȪıȘ a.

e x

3x 2 x 2 x2 x 1

VXQx VXQ x 2 VXQ x 3

f x 2x VXQx , x \ , ȖȚĮ țȐșİ x \ , f c x 2 KPx ! 0 . ǱȡĮ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ \ țĮȚ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ ȚįȚȩĲȘĲĮ 3 įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ.

b. g x e x , x \ , ȖȚĮ țȐșİ x \ , g x e x d 1 ȝİ ĲȠ ȓıȠȞ ȝȩȞȠ ȖȚĮ x 2

0 . ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ

ȚįȚȩĲȘĲĮ 3 Ș g įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ.

3x 2 x 2 3x 2 x 2 D, D \ ȑȤİȚ ĲȠ ʌȠȜȪ įȪȠ ȡȓȗİȢ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ c. , x \ . Ǿ İȟȓıȦıȘ 2 x2 x 1 x x 1 Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ țȐșİ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ĲȘȞ ȜĮȝȕȐȞİȚ ĲȠ ʌȠȜȪ ȖȚĮ įȪȠ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ x , ȠʌȩĲİ țĮȚ ʌȐȜȚ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ ȚįȚȩĲȘĲĮ 3 Ș h įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ. d. M x VXQx VXQ x 2 VXQ x 3 , x \ . Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ M ȖȚĮ x 0 įȓȞİȚ ĲȘȞ ĲȚȝȒ 3. h x

ȁȪȞȠȣȝİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ VXQx VXQ x 2 VXQ x 3 °VXQx 1 ° ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ ®VXQ x 2 ° °VXQ x 3 ¯

3 (1). ǼʌİȚįȒ VXQt d 1 , Ș (1) İȓȞĮȚ

1 . Ǿ ʌȡȫĲȘ İȟȓıȦıȘ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ ȑȤİȚ ȜȪıȘ 1

2kS, k ] țĮȚ Ș įİȪĲİȡȘ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ȜȪıȘ x

2QS , Q ] . ȅȚ įȪȠ ĮȣĲȑȢ ȚıȩĲȘĲİȢ

ıȣȞĮȜȘșİȪȠȣȞ ȝȩȞȠ ȖȚĮ x 0 , Ș ȠʌȠȓĮ ĲȚȝȒ İʌĮȜȘșİȪİȚ țĮȚ ĲȘȞ ĲȡȓĲȘ İȟȓıȦıȘ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ. ǲĲıȚ ȜȪıȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ (1) İȓȞĮȚ ȝȩȞȠ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 0. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ (3) Ș M įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ. 11. ȃĮ İȟİĲĮıĲİȓ ĮȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

VXQx KP x 2

ȁȪıȘ Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ \ . ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ țĮȚ ȩĲȚ T ! 0 İȓȞĮȚ ȝȓĮ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/69

ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ. ȋȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲȠȞ ĲȪʌȠ VXQD KPE

1 ªKP D E KP E D ¼º ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ 2¬

1ª 1 KPx 2 1 KPx 2 1 º KPDx KPEx , ȩʌȠȣ D 2 1, E 2 1 . ǼȓȞĮȚ ¼ 2 2¬ D2 E2 1 cc c f x KPD x KPEx . ǼʌİȚįȒ ȣʌȠșȑıĮȝİ ȩĲȚ Ș f x

D VXQDx E VXQEx , x \ țĮȚ

2 2 2 ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȑȤİȚ ʌİȡȓȠįȠ T , ĲȩĲİ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f c țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ țĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ E2 a2 g x f cc x KPax KPE x İʌȓıȘȢ șĮ ȑȤİȚ ʌİȡȓȠįȠ T . ȈȣȞİʌȫȢ țĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ 2 2 2 2 E D KPDx (1) İʌȓıȘȢ ȑȤİȚ ʌİȡȓȠįȠ T . ǹʌȩ ĲȘȞ (1) ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ k ]* ĲȑĲȠȚȠ g x E2 f x

2 D 2 E2 2kS KPEx , ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ . Ȃİ ĮȞȐȜȠȖȘ ʌȠȡİȓĮ țĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ g x D 2 f x

ȫıĲİ T 2 a 2QS k D 2 1 . ǹȜȜȐ ĲȩĲİ, (ȐĲȠʌȠ, ȖȚĮĲȓ ȡȘĲȩȢ ȐȡȡȘĲȠȢ). ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș Q ]* ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ T E Q E 2 1 f x

įȠıȝȑȞȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. 12. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

ȁȪıȘ ȉȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f

KP x

İȓȞĮȚ ĲȠ [0, f) . ȊʌȠșȑĲȠȣȝİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ T ! 0 ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ

KP x T (1) ȖȚĮ țȐșİ x t 0 .

īȚĮ x 0 Įʌȩ ĲȘȞ (1) ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ KP T īȚĮ x ǹʌȩ

KP x įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ.

0 , Įʌȩ ȩʌȠȣ

T , Įʌȩ ĲȘȞ (1) ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ KP 2T

ĲȘȞ

KP 2T

2 kS QS, k, Q ]* Ȓ

KP T

ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ ȩĲȚ Q 2 (ȐĲȠʌȠ). k

13. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

Sk,k ] .

0 Įʌȩ ĲȘȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȘ ȚįȚȩĲȘĲĮ. QS , Q ] .

ȉİȜȚțȐ

İȓȞĮȚ

2 T

VXQ 3 x įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ.

ȁȪıȘ ȉȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ ĲȠ [0, f) . ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ țĮȚ ȩĲȚ . T \* . İȓȞĮȚ ȝȓĮ

ʌİȡȓȠįȩȢ ĲȘȢ. ǲĲıȚ șĮ ȑȤȠȣȝİ ȖȚĮ țȐșİ x t 0 , VXQ 3 x T VXQ 3 x (1). ǹʌȩ ĲȘȞ (1) ȖȚĮ x 0 țĮȚ x T ! 0 ȑȤȠȣȝİ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ VXQ 3 T VXQ0 1 (2) țĮȚ VXQ 3 2T VXQ 3 T 1 (3). ǹʌȩ ĲȘȞ (2) ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ k ]* ȝİ 3 T 2kS (3) țĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ (3) ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ O ]* ȝİ 3 2T 2OS (4). O , (ȐĲȠʌȠ). ǻȚĮȚȡȫȞĲĮȢ ĲȚȢ (3) țĮȚ (4) țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıĲȘȞ 3 2 k 14. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

ȁȪıȘ ǲȤȠȣȝİ D f

VXQSx VXQx įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ.

\ . ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ țĮȚ ȩĲȚ T z 0 İȓȞĮȚ ȝȓĮ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ. ǲĲıȚ șĮ ȑȤȠȣȝİ ȖȚĮ

țȐșİ x \ , VXQx VXQSx VXQ x T VXQ Sx ST (1). ǹʌȩ ĲȘȞ (1) ȝİ x 0 ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ

VXQT VXQST 2 . īȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ VXQt d 1 ȖȚĮ țȐșİ t \ . ȈȣȞİʌȫȢ Ș (2) İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ ĲȠ VXQT 1 ıȪıĲȘȝĮ ® . ǹʌȩ ĲȘȞ VXQT 1 , ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ k ]* ȝİ T 2kS . ǼʌȓıȘȢ Įʌȩ ĲȘȞ T 1 VXQS ¯

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/70

VXQST 1 , ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ O ]* ȝİ ST 2OS . ȈȣȞįȣȐȗȠȞĲĮȢ ĲȚȢ įȪȠ ĲİȜİȣĲĮȓİȢ ȚıȩĲȘĲİȢ ȑȤȠȣȝİ O ȩĲȚ S 2kS 2OS Ȓ S (ȐĲȠʌȠ). ǱȡĮ Ș f įİȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ. k Ȉȋȅȁǿȅ: ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ įȪȠ ʌİȡȚȠįȚțȫȞ ıȣȞĮȡĲȒıİȦȞ įİȞ İȓȞĮȚ ʌȐȞĲĮ ʌİȡȚȠįȚțȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ.

15. ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ f , g ȝİ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȠ \ . ǹȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ g İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ, ȞĮ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ țĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ h ȝİ h x

f g x İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ȝİ ĲȘȞ ȓįȚĮ ʌİȡȓȠįȠ.

ȁȪıȘ ǲıĲȦ ȉ ʌİȡȓȠįȠȢ ĲȘȢ g . ȉȩĲİ ȑȤȠȣȝİ ȖȚĮ țȐșİ x \ , g x T g x țĮȚ ȖȚĮ țȐșİ x \ ,

h x T f g x T f g x h x , įȘȜĮįȒ Ș h İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ.

ǼĳĮȡȝȠȖȑȢ ĲȘȢ ʌİȡȚȠįȚțȩĲȘĲĮȢ ıĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ İȟȚıȫıİȦȞ 1. ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ KPx

1 2

ȁȪıȘ ȈĲȘȞ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ İȟȓıȦıȘ ȗȘĲȐȝİ İțİȓȞĮ ĲĮ x \ ȖȚĮ ĲĮ ȠʌȠȓĮ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x KPx ʌĮȓȡȞİȚ ĲȘȞ

ĲȚȝȒ

1 . 2

ǼʌİȚįȒ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ ĮȣĲȒ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ȝİ ʌİȡȓȠįȠ 2S ȖȚĮ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĲĮ ȗȘĲȠȪȝİȞĮ x , ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȐʌİȚȡĮ ıĲȠ ʌȜȒșȠȢ, Įȡțİȓ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ȩıĮ Įʌ’ ĮȣĲȐ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ıİ ȑȞĮ įȚȐıĲȘȝĮ ʌȜȐĲȠȣȢ 2S țĮȚ ıİ țĮșȑȞĮ ȞĮ ʌȡȠıșȑıȠȣȝİ ĲȠ k 2S ȩʌȠȣ k ] . S 5S Ȓ x 2kS , k ] ȉİȜȚțȐ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ȜȪıİȦȞ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ įȓȞİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĲȪʌȠȣȢ: x 2kS 6 6 (ıȤȠȜȚĮıȝȩȢ – ȜȪıȘ: ıȤȠȜȚțȩ ȕȚȕȜȓȠ ǱȜȖİȕȡĮȢ ǺǯȁȣțİȓȠȣ) 3 0 2. ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ KP 2 x HM 2 x 2 ȁȪıȘ S 3 Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x KP 2 x HM2 x , ȠȡȓȗİĲĮȚ ȖȚĮ x z kS, k ] , İȓȞĮȚ ȐȡĲȚĮ țĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ȝİ 2 2 ʌİȡȓȠįȠ T S . īȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ ĮȞ ȝȚĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ g İȓȞĮȚ ȐȡĲȚĮ țĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ g x 0 ȑȤİȚ ȜȪıȘ ĲȠ

x 0 z 0 , ĲȩĲİ șĮ ȑȤİȚ țĮȚ ȦȢ ȜȪıȘ ĲȘȢ ĲȠ x 0 . Ȃİ ȕȐıȘ ĲȠȞ ıȤȠȜȚĮıȝȩ ĲȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ țĮȚ ĲȠȣ ȩĲȚ S Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ȐȡĲȚĮ, șĮ ȜȪıȠȣȝİ ĮȡȤȚțȐ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ [0, ) . 2 S İȓȞĮȚ ȜȪıȘ ĲȘȢ f x 0 . ȅȚ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ KPx țĮȚ HMx ıĲȠ ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ x 4 S įȚȐıĲȘȝĮ [0, ) İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıİȢ țĮȚ ȝȘ ĮȡȞȘĲȚțȑȢ, İʌȠȝȑȞȦȢ țĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ 2 S 3 f x KP 2 x HM2 x șĮ İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ. ȈȣȞİʌȫȢ Ș ĲȚȝȒ x İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȘȢ 4 2 S S İȟȓıȦıȘȢ ıĲȠ [0, ) . ǼʌİȚįȒ Ș f İȓȞĮȚ țĮȚ ȐȡĲȚĮ șĮ ȑȤİȚ Ș f x 0 İʌȓıȘȢ ȦȢ ȜȪıȘ ĲȘȢ ĲȠ x . ǱȡĮ 2 4 S ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ȜȪıİȦȞ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ İȓȞĮȚ x r OS , O ] 4 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/71

ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ KPx VXQx 3 HM2x 1 0

ȁȪıȘ S , ıȣȞİʌȫȢ, ȝİ 2 S įİȞ ȕȐıȘ ĲĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ, Įȡțİȓ ȞĮ ĲȘȞ ȜȪıȠȣȝİ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ ª 0, S º . ǼȓȞĮȚ ĳĮȞİȡȩ ȩĲȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ « 4» 4 ¬ ¼ S S ĮȞȒțİȚ ıĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f , ȠʌȩĲİ șİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ f ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ [0, ) . īȚĮ x [0, ) Ș f 4 4 ȖȡȐĳİĲĮȚ f x KPx VXQx 3HM2x 1 . ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ Ƞ x 0 İȓȞĮȚ ȜȪıȘ ĲȘȢ f x 0 . ĬĮ

Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

KPx VXQx 3 HM2x 1 İȓȞĮȚ ȐȡĲȚĮ țĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ȝİ ʌİȡȓȠįȠ T

ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ıİ ĮȣĲȩ ĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ Ș ĲȚȝȒ ĮȣĲȒ İȓȞĮȚ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ. 6 S 6 , x [0, ) . ǼʌİȚįȒ VXQ x KPx d 2 ȖȚĮ țȐșİ x țĮȚ t6 ǼȓȞĮȚ f c x KPx VXQx 2 VXQ 2x 4 VXQ 2 2x S S ȖȚĮ x [0, ) , șĮ İȓȞĮȚ f c x 0 ıĲȠ [0, ) . ȈȣȞİʌȫȢ Ș f ıİ ĮȣĲȩ ĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ 4 4 țĮȚ Ƞ ȝȘįȑȞ İȓȞĮȚ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ ȡȓȗĮ ĲȘȢ f x 0 ıİ ĮȣĲȩ ĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ. S , k ] 2 ǻȓȞİĲĮȚ ıȣȞȐȡĲȘıȘ g ȝİ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȠ \ ȝİ ĲȚȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ: İȓȞĮȚ ȐȡĲȚĮ, ʌİȡȚȠįȚțȒ ȝİ

ǱȡĮ ȠȚ ȜȪıİȚȢ ĲȘȢ KPx VXQx 3 HM2x 1 0 șĮ įȓȞȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȞ ĲȪʌȠ x 4.

ʌİȡȓȠįȠ T

2 țĮȚ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ > 0,1@ Ƞ ĲȪʌȠȢ ĲȘȢ İȓȞĮȚ g x

KPx VXQx . ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș

İȟȓıȦıȘ g x 1 0

ȁȪıȘ ǹȡțİȓ ȞĮ ȜȪıȠȣȝİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ > 0,1@ . Ȉİ ĮȣĲȩ ĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ Ș İȟȓıȦıȘ ȖȡȐĳİĲĮȚ KPx VXQx 1 Ȓ VXQ x VXQ

S S KP x KP 4 4

2 2

2 . ȅȚ ȜȪıİȚȢ ĲȘȢ ĲİȜİȣĲĮȓĮȢ 2

S 2kS țĮȚ x 2OS, k , O ] . ȈĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ > 0,1@ ȕȡȓıțİĲĮȚ ȝȩȞȠ Ș 2 0 . ȈȣȞİʌȫȢ ȠȚ ȜȪıİȚȢ ĲȘȢ įȠıȝȑȞȘȢ İȟȓıȦıȘȢ İȓȞĮȚ x 0 PT , P ] , įȘȜĮįȒ x 2P , P ]

įȓȞȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĲȪʌȠȣȢ x ȜȪıȘ x 5.

ǲıĲȦ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȝİ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȠ \ , ʌİȡȚȠįȚțȒ ȝİ ʌİȡȓȠįȠ T Ƞ ĲȪʌȠȢ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ f x

8 . ȈĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ > 0,8@ ,

8x x2 . ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ f 2x 16 23 5f x

ȁȪıȘ ǼȓȞĮȚ f 2x 16 f 2x 2 8 f 2x , ȠʌȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ ȖȡȐĳİĲĮȚ f 2x 23 5f x

1 .

ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ: 2 x 0 d x d 4 0 d 2x d 8 , ĲȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ (1) ȝĮȢ įȓȞİȚ 8 2x 2x 23 5 8x x2 ... x2 24x 23 0 ȝİ ĮʌȠįİțĲȒ ȡȓȗĮ ĲȘȢ ĲİȜİȣĲĮȓĮȢ x 1 x

4 d x d 8 0 d 2x 8 d 8 . Ȉİ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ Įʌȩ ĲȘȞ (1) ȑȤȠȣȝİ f 2x 8 23 5f x Ȓ

8 2x 8 2x 8 23 5 8x x 2 Ȓ ĲİȜȚțȐ ȝİĲȐ ĲȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ x 2 8x 105 0 ȝİ ȝȩȞȘ 2

ĮʌȠįİțĲȒ ȡȓȗĮ ĲȘȞ x 7 ȈȤȩȜȚȠ: ȈĲȘȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȜȪıȘ șİȦȡȒıĮȝİ ȖȞȦıĲȩ ȩĲȚ ĮȞ ȝȚĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ g x İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ȝİ T . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌȠȪȝİ 2 ȩĲȚ ȠȚ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ f x țĮȚ f 2x ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȒ ʌİȡȓȠįȠ T 8 . Ȃİ įİįȠȝȑȞȠ ĮȣĲȩ Ș ĮȡȤȚțȒ İȟȓıȦıȘ

ʌİȡȓȠįȠ T , ĲȩĲİ țĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ g 2x İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ ȝİ ʌİȡȓȠįȠ

ȑȤİȚ ĲİȜȚțȐ ĲĮ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȪȞȠȜĮ ȜȪıİȦȞ: x 1 8 O , x

7 8 k , k , O ]

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/72

¢ȐÅºÍº ÉºÄºÂÈÍȐÊÒÆ ÉÈÐəÆ ǼʌȚȝȑȜİȚĮ: īȚȫȡȖȠȢ Ȉ. ȉĮııȩʌȠȣȜȠȢ ǱȜȖİȕȡĮ Ǽ.Ȃ.Ȇ. (1950) ȆȠȜȚĲȚțȠȓ ȂȘȤĮȞȚțȠȓ ǽȒĲȘȝĮ īǯ (ǲȞĮ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ șȑȝĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒȢ ǼʌĮȖȦȖȒȢ țĮȚ ȝȚĮ ʌȡȠıʌȐșİȚĮ İȪȜȘʌĲȘȢ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘȢ) ǼʌȚȜȑȤșȘțİ Įʌȩ ĲȠȞ īȚȫȡȖȠ Ȉ. ȉĮııȩʌȠȣȜȠ. ǹȞ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ Į1,Į2,Į3,…,ĮȞ, … ȚıȤȪȠȣȞ ȠȚ ıȤȑıİȚȢ Į2 – Į1 d Į3 – Į2 d Į4 – Į3 d … d Į2Ȟ+1 – Į2Ȟ d Į2Ȟ+2 – Į2Ȟ+1 d … (Į), įİȓȟĲİ ȩĲȚ: (Ȟ+1) (Į2 +Į4 +….+ Į2Ȟ) dȞ(Į1 +Į3 +….+ Į2Ȟ+1) (ȕ), ĲȠ ȓıȠȞ ȣĳȓıĲĮĲĮȚ ȩĲĮȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ ʌȡȩȠįȠ. ǹʌȩįİȚȟȘ: īȚĮ Ȟ=1 Ș ȗȘĲȠȪȝİȞȘ ıȤȑıȘ ȖȓȞİĲĮȚ: 2Į2dĮ1+Į3 ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȐȝİıĮ Įʌȩ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ İț ĲȦȞ ıȤȑıİȦȞ (Į). ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș (ȕ) ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ Ȟ=țt1, įȘȜĮįȒ ȩĲȚ: (ț+1)( Į2 +Į4 +…+ Į2ț) dț(Į1 +Į3 +…+ Į2ț+1) (1). ǹȡțİȓ ȜȠȚʌȩȞ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ (ț+2)( Į2 +Į4 +…+ Į2ț+2) d(ț+1)(Į1 +Į3 +…+ Į2ț+3) (2) ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ıĲĮ įȪȠ ȝȑȜȘ ĲȘȢ (2) İȝʌİȡȚȑȤȠȞĲĮȚ ĲĮ įȪȠ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ȝȑȜȘ ĲȘȢ (1), įȘȜĮįȒ Ș (2) ȖȡȐĳİĲĮȚ: (ț+1)( Į2 +Į4 +…+ Į2ț)+ Į2 +Į4 +…+ Į2ț + (ț+2) Į2ț+2 d ț(Į1 +Į3 +…+ Į2ț+1) + + Į1 +Į3 +…+ Į2ț+1 + (ț+1) Į2ț+1. ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ (1) ȜȠȚʌȩȞ, Įȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ: Į2 +Į4 +…+ Į2ț + (ț+2) Į2ț+2 d Į1 +Į3 +…+ Į2ț+1 + (ț+1) Į2ț+3 Ȓ ȩĲȚ: (Į2 – Į1)+ (Į4 – Į3) + … + (Į2ț – Į2ț-1)+ (Į2ț+2 – Į2ț+1)d (ț+1)(Į2ț+3 – Į2ț+2), ʌȡȐȖȝĮ ʌȠȣ ȚıȤȪİȚ ĮĳȠȪ ȠȚ (ț+1) įȚĮĳȠȡȑȢ ĲȠȣ 1Ƞȣ ȝȑȜȠȣȢ İȓȞĮȚ ȝȚțȡȩĲİȡİȢ Ȓ ȓıİȢ ĲȘȢ įȚĮĳȠȡȐȢ Į2ț+3 – Į2ț+2=Ȧ. ȆȡȠĳĮȞȫȢ ĲȠ ȓıȠȞ ȚıȤȪİȚ ȝȩȞȠ ȩĲĮȞ ȩȜİȢ ȠȚ įȚĮĳȠȡȑȢ İȓȞĮȚ ȓıİȢ ȝİ Ȧ, įȘȜĮįȒ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į1,Į2,Į3,…,ĮȞ İȓȞĮȚ įȚĮįȠȤȚțȠȓ ȩȡȠȚ ǹȡȚșȝȘĲȚțȒȢ ȆȡȠȩįȠȣ. ǱȜȖİȕȡĮ Ȉ.Ȃ.ǹ. (1957) İʌȚȜȑȤșȘțİ Įʌȩ ĲȠȞ ıȣȞȐįİȜĳȠ ȉȘȜȑȝĮȤȠ ȂĮȜĲıĮȕȚȐ ȉȠ șȑȝĮ ʌȠȣ ʌȡȠĲİȓȞȦ ĲȑșȘțİ İʌȓıȘȢ ıĲȠ ȂȚțȡȩ ȆȠȜȣĲİȤȞİȓȠ ıĲȚȢ İȟİĲȐıİȚȢ ǱȜȖİȕȡĮȢ ĲȠ 1966. ȈȣȖțİțȡȚȝȑȞĮ ȒĲĮȞ ĲȠ ĲȡȓĲȠ șȑȝĮ. ǼʌĮȞȒȜșİ ȝİ įȡĮȝĮĲȚțȩ ĲȡȩʌȠ ĲȠ 2000 țĮȚ ĲȠ 2005 ȖȚĮĲȓ ȑʌİıİ ıĲȚȢ İȟİĲȐıİȚȢ ǹȈǼȆ ȆǼ03. ȉȠ ȓįȚȠ ĮțȡȚȕȫȢ... ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ ȑȡİȣȞȐ ȝȠȣ ʌȡȩțİȚĲĮȚ ȖȚĮ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ 14 ĲȘȢ ıİȜȓįĮȢ 236 Įʌȩ ĲȘȞ ĮȖȖȜȚțȒ ȑțįȠıȘ ĲȠȣ How to solve it ĲȠȣ G.Polya. Ȃİ ȤȡȠȞȠȜȠȖȚțȒ ıİȚȡȐ ȖȡȐĳȦ ĲȚȢ ȐȜȜİȢ ĳȠȡȑȢ ʌȠȣ ȑʌİıİ ĲȠ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȠ șȑȝĮ, ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȐȜȜĮȗİ Ș įȚĲİĲȡȐȖȦȞȘ ĮȜȜȐ Ș ȠȣıȓĮ įİȞ ȐȜȜĮȗİ... 1. ȆȅȁǿȉǿȀȅǿ ȂǾȋǹȃǿȀȅǿ ĬǼȈȈǹȁȅȃǿȀǾȈ 1958 2. ȂǹĬǾȂǹȉǿȀȅ ǹĬǾȃǹȈ 1962 3. ȈȋȅȁǾ ǿȀǹȇȍȃ 1962 4. ȈȋȅȁǾ ǿȀǹȇȍȃ 1971 5. ȈȋȅȁǾ ȃǹȊȉǿȀȍȃ ǻȅȀǿȂȍȃ 1972 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/73

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ĬȑȝĮĲĮ ʌĮȜĮȚȠĲȑȡȦȞ İʌȠȤȫȞ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ǽȒĲȘȝĮ 2ȠȞ ȃĮ ȠȡȚıșİȓ Ƞ Ȝ ȓȞĮ ĮȚ ȡȓȗĮȚ ĲȘȢ İȟȚıȫıİȦȢ x4 – (3Ȝ+5) x2 +(Ȝ+1)2 =0 (1) ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒȞ ʌȡȩȠįȠȞ țĮȚ ȞĮ İȣȡİșȠȪȞ ĮȪĲĮȚ. ȁȪıȘ: ½° x 2 y (2) ȆȡȠĳĮȞȫȢ (1) 2 ¾ 2 y 3O 5 y O 1 2 0 (3) °¿

ȆȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ ȜȠȚʌȩȞ Ș (3) ȞĮ ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ y1,y2 ȝİ y1 y2 0 țĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ: y1 , y 2 , ȞĮ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ ʌȡȩȠįȠ (ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ

y1 ,

y 2 , y 2 , y1 , ȞĮ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ

J E t 0 , – t 0 țĮȚ D D 2 , įȘȜĮįȒ: ǻ 0, (Ȝ+1) 0, 3Ȝ+5 0, y1

ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ ʌȡȩȠįȠ`0. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ: Įz0, ǻ 0, y1

y2 y2

y 2 y1

ǹȜȜȐ: ǻ 0 (3Ȝ+5)2 – 4(Ȝ+1)2 t0 (5Ȝ+7)(Ȝ+3) t0 Ȝ (Ȃ fǡ Ȃ ͵] [

3 2.

7 ,+f), (Ȝ+1)2t0 Ȝ R țĮȚ 5

5 5 7 ȩʌȠȣ: –3 < – < – . 3 3 3 7 ȉİȜȚțȐ ȜȠȚʌȩȞ ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ: Ȝ t – țĮȚ y1=9y2. 5 9 9 ½ ½ y1 (3O 5) y1 (3O 5) ° ° 10 10 y1 9y 2 y1 18 ½ ½ ° ° 1 1 ° ° ° ° (3O 5) (3O 5) ¾ y 2 2 ¾ , ǵȝȦȢ: y1=9y2 y1 y 2 3O 5 ¾ y 2 ¾ y2 10 10 ° ° y1 y 2 (O 1) 2 °¿ O 5 °¿ 9 25 ° 2 2° O{5, } (3O 5) (O 1) ° ° 100 19 ¿ ¿ 25 7 ĮĳȠȪ 5 . ĬĮ ȑȤȠȣȝİ ȜȠȚʌȩȞ ĲȩĲİ: 1 x 2, 2, 3 2, 3 2 țĮȚ ĲȚȢ ĮȞĲȓıĲȠȚȤİȢ 19 5 ĮȡȚșȝȘĲȚțȑȢ ʌȡȠȩįȠȣȢ 3 2, 2, 2, 3 2 țĮȚ 3 2, 2, 3 2 , 3 2, (Ș ʌȡȫĲȘ ĮȪȟȠȣıĮ țĮȚ Ș 3Ȝ+5 0 Ȝ –

įİȪĲİȡȘ ĳșȓȞȠȣıĮ) ȝİ įȚĮĳȠȡȑȢ Z 2 2 țĮȚ Z 2 2 ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ. ȆȡȠıȠȤȒ: Ǿ ıȤȑıȘ y1

9y 2 İȟĮıĳĮȜȓȗİȚ ʌȡȠĳĮȞȫȢ ĲȘȞ y1 y2 0 ȠʌȩĲİ Ș

J 0 İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȒ D

ĮȞİȟĮȡĲȒĲȦȢ ĲȠȣ ĮȞ ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ țȐșİ Ȝ R. ȉȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȓĮ Ǽ.Ȃ.Ȇ. (ǻȚĮ ĲȠȣȢ İȟ ĮȜȜȠįĮʌȒȢ ȣʌȠȥȘĳȓȠȣȢ 1958) țĮȚ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ȋȘȝȚțȠȪȢ – ȂİĲĮȜȜİȚȠȜȩȖȠȣȢ 1961 (ǼȟİĲĮıĲȒȢ ȀĮșȘȖȘĲȒȢ ǻ. ȋĮĲȗȘȞȚțȠȜȒȢ). ǽȒĲȘȝĮ 2ȠȞ ȉİĲȡȐȖȦȞȠȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȞ ʌİȡȓ țȪțȜȠȞ. Ǽȟ’ İȞȩȢ ȠȚȠȣįȒʌȠĲİ ıȘȝİȓȠȣ Ȃ ĲȘȢ ʌİȡȚĳİȡİȓĮȢ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ĳȑȡȠȝİȞ ĲĮȢ İȣșİȓĮȢ Ȃǹ, ȂǺ, Ȃī, Ȃǻ. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ ĲȦȞ İĳĮʌĲȠȝȑȞȦȞ ĲȦȞ ȖȦȞȚȫȞ ǹȂī țĮȚ ǺȂǻ İȓȞĮȚ ĮȞİȟȐȡĲȘĲȠȞ ĲȘȢ șȑıİȦȢ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ Ȃ İʌȓ ĲȘȢ ʌİȡȚĳİȡİȓĮȢ. ȁȪıȘ 1Ș (ǹʌȩ ĲȠȞ īȚȫȡȖȠ ȉıȚȫȜȘ – ȉȡȓʌȠȜȘ) D ǼȐȞ Į İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ, ĲȩĲİ șĮ İȓȞĮȚ: ǹī= D 2 țĮȚ ȅȂ = . ȈĲȠ 2

Ȓ ǹȂ2+Ȃī2 =

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/74

3D 2 (1). 2

ǹȞ Ǽ İȓȞĮȚ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹȂī, ĲȩĲİ ȚıȤȪİȚ: (

D 2 0+ (2). 2

ˆ M Įʌȩ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȂī ʌĮȓȡȞȠȣȝİ: ĬȑĲȠȞĲĮȢ ĲȫȡĮ $0*

ǹī2 = ǹȂ2 + Ȃī2

4( 4( Ȓ İĳĳ = 2 HMM $0 0* 2 $* 2

4 2 0+ (3) (Įʌȩ (1), (2)). D

4 2 0= (4). D D ʌĮȓȡȞȠȣȝİ: ǹʌȩ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȅǽȂ ȩʌȠȣ İȓȞĮȚ: ȅǽ=ȂǾ țĮȚ ȅȂ= 2 D2 ȂǾ2 +Ȃǽ2 = (5). 4

ˆ ȈĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǺȂǻ ĮȞ șȑıȠȣȝİ %0' Z ȩȝȠȚĮ İȓȞĮȚ: HMZ

32D 2 D2 4

8 (Įʌȩ (5)), įȘȜĮįȒ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ İĳ2ĳ +İĳ2Ȧ

İȓȞĮȚ ĮȞİȟȐȡĲȘĲȠ Įʌȩ ĲȘ șȑıȘ ĲȠȣ Ȃ ıĲȘȞ ʌİȡȚĳȑȡİȚĮ. ȁȪıȘ 2Ș (ǹʌȩ ĲȠ ȕȚȕȜȓȠ, ǱȜȖİȕȡĮ Ǻǯ ȁȣțİȓȠȣ ĲȠȣ Ĭ. ȃ. ȀĮȗĮȞĲȗȒ). Ȉİ țȐșİ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ İȝȕĮįȩȞ Ǽ ȑȤȠȣȝİ:

HM$

KP$ VXQ$

KP$ E J 2 D2 2E J 2

2EJKP$ E J 2 D2

ˆ ǹȞ ȜȠȚʌȩȞ ȅȂ=ȡ, ĲȩĲİ: $* 2U 2 țĮȚ HM$0*

2P D 2

42U 2 0. 4U2 8U2

4( D2 D2 2

8( . 4P D 2 D 2

2 2 0. , ȩʌȠȣ ȂȀ ȪȥȠȢ ĲȠȣ Ȃǹī. U

2 2 0/ ˆ ȅȝȠȓȦȢ HM%0' , ȩʌȠȣ Ȃȁ ȪȥȠȢ ĲȠȣ ȂǺǻ. U 8 8 ˆ HM2 %0' ˆ ǱȡĮ: HM2 $0* 0. 2 0/2

20 2 8 (*) 2 2 U U

(*) ǼȓȞĮȚ ʌȡȠĳĮȞȑȢ ȩĲȚ Ș ıĲĮșİȡȩĲȘĲĮ ĮȣĲȒ ȑȤİȚ ĮĳİĲȘȡȓĮ ĲȘ ıĲĮșİȡȩĲȘĲĮ ȂȀ2+Ȃȁ2(=ȡ2) țĮȚ ıĲȘ 1 1 ıȣȞȑȤİȚĮ ĲȘ ıĲĮșİȡȩĲȘĲĮ (Ȃǹī)2+(ȂǺǻ)2 = ǹī2(ȂȀ2+Ȃȁ2) = 8ȡ2 ȡ2 = 2ȡ4. 4 4 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/75

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ȅ ǼȣțȜİȓįȘȢ ʌȡȠĲİȓȞİȚ … ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

O Ευκλείδης προτείνει ...

«ȸ ʃɲʌɷɿɳ ʏʘʆ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ ɸʀʆɲɿ ʏɲ ʋʌʉɴʄɼʅɲͲ ʏɲ ʃɲɿ ʉɿ ʄʑʍɸɿʎ ʃɲɿ ʉ ʃʑʌɿʉʎ ʄʊɶʉʎ ʑʋɲʌʇɻʎ ʏʉʐ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʉʑ ɸʀʆɲɿ ʆɲ ʄʑʆɸɿ ʋʌʉɴʄɼʅɲʏɲ». Ɇ. R.

HALMOS

ǼʌȚȝȑȜİȚĮ: īǿȍȇīȅȈ ȉȇǿǹȃȉȅȈ - ȃǿȀȅȈ ǹȃȉȍȃȅȆȅȊȁȅȈ – īǿǹȃȃǾȈ ȁȅȊȇǿǻǱȈ

ǹȈȀǾȈǾ 304(ȉǼȊȋȅȊȈ 105 ) ǹȞ Į,ȕ, Ȗ R,Įȕ ȕȖ ȖĮ 1 0 (1) țĮȚ Į ! 1,

ĬȦȝȐȢ ȉıȐțĮȢ – ȆȐĲȡĮ, īȚȫȡȖȠȢ ǻİȜȘıĲȐșȘȢ –

ȕ ! 1, Ȗ ! 1 (2), ĲȩĲİ ȞĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑ-

ĲİȡȓȞȘ.

ıȘ:

ȀȐĲȦ ȆĮ ĲȒıȚĮ, ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȂĮȞȦȜȩʌȠȣȜȠȢ - ȀĮ-

1 1 1 ! 0. Į 1 ȕ 1 Ȗ 1 (ǻȚȠȞȪıȘȢ īȚȐȞȞĮȡȠȢ – ȆȪȡȖȠȢ.)

ȁȊȈǾ ( ǻȒȝȠȢ ȆĮʌĮįȩʌȠȣȜȠȢ – ǲįİııĮ ) ǼȓȞĮȚ:

Į ! 1 Į ! 1 Į2 1 ! 0

Į 2 1 Į 2 ( 1) Į 2 Įȕ ȕȖ ȖĮ

țĮȚ

Į(Į ȕ)

Ȗ(Į ȕ) (Į ȕ)(Į Ȗ). (3)

ȠȝȠȓȦȢ,

ȕ 2 1 (ȕ Į)(ȕ Ȗ)

(4)

țĮȚ

Ȗ 2 1 (Ȗ Į)(Ȗ ȕ) (5). ȈȣȞİʌȫȢ, ȑȤȠȣȝİ : 1 1 1 Į 1 ȕ 1 Ȗ 1 Į 1 ȕ 1 Ȗ 1 Į2 1 ȕ2 1 Ȗ2 1

Į 1 ȕ 1 Ȗ 1 (Į ȕ)(Į Ȗ) (ȕ Į)(ȕ Ȗ) (Ȗ Į)(Ȗ ȕ) (Į 1)(ȕ Ȗ) (ȕ 1)(Į Ȗ) (Ȗ 1)(Į ȕ) (Į ȕ)(ȕ Ȗ)(Ȗ Į) 2(Įȕ ȕȖ ȖĮ) 2(Į ȕ Ȗ) 2( 1) 2(Į ȕ Ȗ) (Į ȕ)(ȕ Ȗ)(Ȗ Į) (Į ȕ)(ȕ Ȗ)(Ȗ Į) 2(Į ȕ Ȗ 1) (6). ǵȝȦȢ, Įʌȩ ĲȚȢ (2) İȓȞĮȚ (Į ȕ)(ȕ Ȗ)(Ȗ Į) Į 2 ȕ 2 Ȗ 2 ! 3 (Į ȕ Ȗ) 2 2(Įȕ ȕȖ ȖĮ) ! 3 (Į ȕ Ȗ) 2 2( 1) ! 3 (Į ȕ Ȗ) 2 ! 1 Į ȕ Ȗ ! 1 (7). ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ įȪȠ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ: 1) ǹȞ Į ȕ ! 0 , ĲȩĲİ ȕ Ȗ ! 0 țĮȚ Ȗ Į ! 0 (ȜȩȖȦ ĲȦȞ ıȤȑıİȦȞ (3),(4),(5). ) ĲȩĲİ, 2(Į ȕ Ȗ) ! 0 Į ȕ Ȗ ! 0 . ǹʌȩ ĲȘȞ (7) ȑȤȠȣȝİ Į ȕ Ȗ ! 1 țĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ (6) ʌȡȠțȪʌĲİȚ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ. 2) ǹȞ

Į ȕ 0 , ĲȩĲİ șĮ İȓȞĮȚ

ȕ Ȗ 0, Ȗ Į 0 țĮȚ ȝİ ʌȡȩıșİıȘ șĮ ȑȤȠȣȝİ 2(Į ȕ Ȗ) 0 Į ȕ Ȗ 0

țĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ (7)

Į ȕ Ȗ 1 Į ȕ Ȗ 1 2 țĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ (6) ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ. ȁȪıȘ ȑıĲİȚȜĮȞ: ǺĮıȓȜİȚȠȢ ȁĮȖȠȖȚȐȞȞȘȢ – ǹȖȓĮ ȆĮȡĮıțİȣȒ, ǹȞĲȫȞȘȢ ǿȦĮȞȞȓįȘȢ – ȋȠȜĮȡȖȩȢ,

ǹȈȀǾȈǾ 305 ( ȉǼȊȋȅȊȈ 105 ) ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȩȜĮ ĲĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȝİ ȝȑĲȡĮ ʌȜİȣȡȫȞ ĮțİȡĮȓȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, ĮȞ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣȢ țĮȚ Ș ʌİȡȓȝİĲȡȩȢ ĲȠȣȢ İțĳȡȐȗȠȞĲĮȚ ȝİ ĲȠȞ ȓįȚȠ ĮȡȚșȝȩ. (ǼȣȡȚʌȓįȘȢ ȀĮııȑĲĮȢ – ǽȦȖȡȐĳȠȣ). ȁȊȈǾ (ǻȚȠȞȪıȘȢ īȚȐȞȞĮȡȠȢ – ȆȪȡȖȠȢ ) ǲıĲȦ x,y țĮȚ z ĲĮ ȝȒțȘ ĲȦȞ țĮșȑĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ țĮȚ ĲȘȢ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮȢ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ. ȉȩĲİ z 2 x 2 y 2 1 țĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ, xy x y x 2 y 2 Ȓ 2

xy 2x 2y

2 x 2 y 2 . Ȃİ ĲİĲȡĮȖȦȞȚıȝȩ ĲȘȢ

ĲİȜİȣĲĮȓĮȢ

(xy 2x 2y) 2

4(x 2 y 2 ) . ȂİĲȐ

Įʌȩ ʌȡȐȟİȚȢ țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ x 2 y 2 4xy(x y) 8xy 0 țĮȚ ȜȩȖȦ xy z 0 ıĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ xy 4(x y) 8 0 țĮȚ ĲȑȜȠȢ ıĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ (x 4)(y 4) 8 ȝİ ĮțİȡĮȓȠȣȢ ʌĮȡȐȖȠȞĲİȢ Įʌȩ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ȑȤȠȣȝİ ĲȚȢ ȜȪıİȚȢ : (x, y) (5,12) țĮȚ (x, y) (6,8) . ȊʌȐȡȤȠȣȞ ȜȠȚʌȩȞ įȪȠ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ

ĲȡȓȖȦȞĮ

ȝİ

ʌȜİȣȡȑȢ

(5,12,13), (6,8,10) .

ȁȪıȘ ȑıĲİȚȜĮȞ: ǻȘȝȒĲȡȚȠȢ ȀĮȡĮȕȩĲĮȢ – ȁȠȣıȚțȐ, ǿȦȐȞȞȘȢ ǹȞįȡȒȢ – ǹșȒȞĮ, ǹȞĲȫȞȘȢ ǿȦĮȞȞȓįȘȢ – ȋȠȜĮȡȖȩȢ, ĬȦȝȐȢ ȉıȐțĮȢ – ȆȐĲȡĮ, ǺĮıȓȜİȚȠȢ ȁĮȖȠȖȚȐȞȞȘȢ,

- ǹȖȓĮ

ȆĮȡĮıțİȣȒ,

īİȫȡȖȚȠȢ

ȉıȚȫȜȘȢ – ȉȡȓʌȠȜȘ, īȚȫȡȖȠȢ ǻİȜȘıĲȐșȘȢ – ȀȐĲȦ ȆĮĲȒıȚĮ, ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȂĮȞȦȜȩʌȠȣȜȠȢ - -ȀĮĲİȡȓȞȘ. ǹȈȀǾȈǾ 306 (ȉǼȊȋȅȊȈ 105) ȈȘȝİȓȠ ȅ İıȦĲİȡȚțȩ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ǹǺīǻ ȕȜȑʌİȚ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǻ,ǻī,īǺ,Ǻǹ ȣʌȩ ȖȦȞȓİȢ Ȟ,Ȧ,ı,ĳ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ Ƞ ȜȩȖȠȢ k ĲȦȞ įȚĮıĲȐıİȦȞ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ: x 2 ȘȝȞ Șȝı xȘȝ(Ȟ ı) ȘȝȦ Șȝĳ 0

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/76

(ǹșĮȞȐıȚȠȢ Ĭ. ȉȡȚȐȞĲȘȢ – ǹșȒȞĮ). ȁȊȈǾ ( ǺĮıȓȜİȚȠȢ ȁĮȖȠȖȚȐȞȞȘȢ – ǹȖȓĮ ȆĮȡĮıțİȣȒ)

ıȣȞȞ ıȣȞı 2 1 1 ) 2 2ȘȝȞ 2Șȝı 4Șȝ Ȟ 4Șȝ 2 ı 1 1 2 ıȣȞ(Ȧ ĳ) (4) 2ȘȝȞ 2Șȝı

ǼʌİȚįȒ ıȣȞȞ ıȣȞı 2 (x ) 2ȘȝȞ 2Șȝı (

ıȣȞȞ ıȣȞı 2 ) 2ȘȝȞ 2Șȝı

( ȋȦȡȓȢ

ȕȜȐȕȘ

AB īǻ

ĲȘȢ

ǹǻ

x țĮȚ

ȖİȞȚțȩĲȘĲĮȢ,

ȑıĲȦ

Ǻī 1 ȠʌȩĲİ k

x ȅȞȠ-

ȝȐȗȠȣȝİ Ȁ,ȁ ĲĮ țȑȞĲȡĮ ĲȦȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȑȞȦȞ țȪțȜȦȞ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ȅǹǻ,ȅǺī ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ ȝİ ĮȞĲȓıĲȠȚȤİȢ ĮțĲȓȞİȢ R1 , R 2 . Ǿ įȚȐțİȞĲȡȠȢ Ȁȁ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ ȝȑıĮ Ȃ,ȃ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǻ țĮȚ Ǻī (țȠȚȞȒ ȝİıȠțȐșİĲȠȢ ĲȦȞ ǹǻ,Ǻī)

ǹǻ

2R1Șȝ(ǹȅǻ) 1 2R1ȘȝȞ R1

ǲȤȠȣȝİ: 1 2ȘȝȞ

1 . 2Șȝı

Ǻī 2R 2 Șȝ(Ǻȅī) 1 2R 2 Șȝı R 2

ǹțȩȝȘ: ȠʌȩĲİ

ȀȂ

1 ǹȀǻ 2 ıȣȞȞ R 1ıȣȞȞ 2ȘȝȞ

1 2ȂȀǻ ȂȀǻ 2

ǹȅǻ

(1).

ȅȝȠȓȦȢ,

ıȣȞı īȁȃ ı ȠʌȩĲİ, ȁȃ R 2 ıȣȞı (2). ȉȩĲİ, 2Șȝı ıȣȞȞ ıȣȞı Ȁȁ Ȃȃ ȂȀ ȁȃ x (3). 2ȘȝȞ 2Șȝı

ǹțȩȝȘ, Ȁȅǻ

ʌ ȅȀǻ 2

ʌ ȅǹǻ ȅǹǺ . ȅ2

ȝȠȓȦȢ, ȁȅī ȅǺǹ . ȀĮĲȐ ıȣȞȑʌİȚĮ, İȓȞĮȚ:

Ȁȅǻ ǻȅī ȁȅī ȅǹǺ Ȧ ȅǺǹ

Ȁȅȁ

Ȧ ʌ ĳ ıȣȞ(Ȁȅȁ) ıȣȞ(ʌ Ȧ ĳ)

ıȣȞ(Ȧ ĳ) ıȣȞ(Ȁȅȁ)

ıȣȞ(Ȧ ĳ)

ǹʌȩ ĲȠȞ ȞȠȝȠ ĲȠȣ ıȣȞȘȝȚĲȩȞȠȣ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ȁȅȁ ȑȤȠȣȝİ:

Ȁȁ2

ȅȀ 2 ȅȁ2 2ȅȀ ȅȁ ıȣȞ(Ȁȅȁ) Ȓ

x 2 2x(

ıȣȞȞ ıȣȞı ) 2ȘȝȞ 2Șȝı

ıȣȞȞ ıȣȞı ıȣȞȞ 2 ) ( ) 2ȘȝȞ 2Șȝı 2ȘȝȞ

ıȣȞı 2 ıȣȞȞ ıȣȞı ) 2 2Șȝı 2ȘȝȞ 2Șȝı

x 2 4x

ıȣȞ 2 Ȟ ıȣȞ 2 ı ıȣȞȞ ıȣȞı 2 2 2 4ȘȝȞ Șȝı 4Șȝ Ȟ 4Șȝ ı

Șȝ(Ȟ ı) 4ȘȝȞȘȝı

(5) Ș (4) įȓȞİȚ

Șȝ(Ȟ ı) ıȣȞ 2 Ȟ ıȣȞ 2 ı ıȣȞȞ ıȣȞı 2 2 2 4ȘȝȞȘȝı 4Șȝ Ȟ 4Șȝ ı 4ȘȝȞ Șȝı 1 1 2ıȣȞ(Ȧ ĳ) 2 2 4Șȝ Ȟ 4Șȝ ı 4ȘȝȞ Șȝı

x 2 4x

Șȝ(Ȟ ı) ıȣȞ 2 Ȟ 1 ıȣȞ 2 ı 1 4ȘȝȞȘȝı 4Șȝ 2 Ȟ 4Șȝ 2 ı

ıȣȞȞ ıȣȞı 2ıȣȞ(Ȧ ĳ) 0 4ȘȝȞ Șȝı 4ȘȝȞ Șȝı Șȝ(Ȟ ı) 1 1 ıȣȞȞ ıȣȞı 2 x 2 4x 4ȘȝȞȘȝı 4 4 4ȘȝȞ Șȝı ıȣȞȦ ıȣȞĳ ȘȝȦȘȝĳ 2 2 0 4ȘȝȞȘȝı 4ȘȝȞȘȝı 2

4ȘȝȞ Șȝı x 2 4xȘȝ(Ȟ ı) 2ȘȝȞ Șȝı 2ıȣȞȞ ıȣȞı 2ıȣȞȦ ıȣȞĳ 2ȘȝȦ Șȝĳ 0

4ȘȝȞ Șȝı x 2 4xȘȝ(Ȟ ı) 2ıȣȞ(Ȟ ı) 2ıȣȞȦ ıȣȞĳ 2ȘȝȦ Șȝĳ 0 (6) ǼʌİȚįȒ Ȟ ı ĳ Ȧ 2ʌ ıȣȞ(Ȟ ı) ıȣȞ(Ȧ ĳ) ȠʌȩĲİ Ș (6) ȖȡȐĳİĲĮȚ: 4ȘȝȞ Șȝı x 2 4xȘȝ(Ȟ ı) 2ıȣȞ(Ȧ ĳ)

2ıȣȞȦ ıȣȞĳ 2ȘȝȦ Șȝĳ 0 4ȘȝȞ Șȝı x 2 4xȘȝ(Ȟ ı) 4ȘȝȦȘȝĳ 0 ȘȝȞ Șȝı x 2 x Șȝ(Ȟ ı) ȘȝȦȘȝĳ 0 ȁȪıȘ ȑıĲİȚȜĮȞ: īȚȫȡȖȠȢ

ȉıȚȫȜȘȢ – ȉȡȓʌȠȜȘ,

ǻȘȝȠȢ ȆĮʌĮįȩʌȠȣȜȠȢ - ǲįİııĮ, ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȂĮȞȦȜȩʌȠȣȜȠȢ - -ȀĮĲİȡȓȞȘ.

ǹȈȀǾȈǾ 307 (ȉǼȊȋȅȊȈ 105 ) Į ȕ Ȗ ǹȞ Į,ȕ, Ȗ ! 0 țĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ 3

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/77

ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ x 2 x 1 x x 2 1 x 2 x 2 5 1 5 1 ȩʌȠȣ x [ , ] ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ: 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 d Ȟ Ȟ Ȟ , 2 Į Į 3 ȕ ȕ 3 Ȗ Ȗ 3 Į ȕ Ȗ ȖȚĮ țȐșİ Ȟ ȃ* .

1 1 1 Ȟ Ȟ t 1 Ȟ ȞĮ 1 Ȟ Ȟȕ 1 Ȟ ȞȖ Ȟ Į ȕ Ȗ 3 3Ȟ Ȟ(Į ȕ Ȗ) 3 3Ȟ 3Ȟ 3 .

ĮʌİįİȓȤșȘ Ș ĮʌȠįİȚțĲȑĮ ȝİ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ȞĮ ȚıȤȪİȚ ȝȩȞȠ ȖȚĮ Į ȕ Ȗ 1 .

ȁȪıȘ İıĲİȚȜĮȞ: ǺĮıȓȜȘȢ (īȚȫȡȖȠȢ ȃȚțȘĲȐțȘȢ – ȈȘĲİȓĮ ).

ȉİȜȚțĮ

ȁĮȖȠȖȚȐȞȞȘȢ – ǹȖȓĮ

ȆĮȡĮıțİȣȒ, ǹȞĲȫȞȘȢ ǿȦĮȞȞȓįȘȢ – ȋȠȜĮȡȖȩȢ, ǻȘ-

ȁȊȈǾ (ǻȚȠȞȪıȘȢ īȚȐȞȞĮȡȠȢ - ȆȪȡȖȠȢ )

ȝȒĲȡȘȢ ȂĮȞȦȜȩʌȠȣȜȠȢ - ȀĮĲİȡȓȞȘ.

ǹʌȩ ĲȠ ʌȡȫĲȠ ȝȑȜȠȢ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ ȝİ İĳĮȡȝȠȖȒ

ǹȈȀǾȈǾ 308. (ȉǼȊȋȅȊȈ 105 ) ȅȟȣȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ (O, R) .

ĲȘȢ ĮȞȚıȩĲȘĲĮȢ ǹȂ t īȂ , ȑȤȠȣȝİ:

x2 x 1 x x2 1

(x 2 x 1) 1

x2 x x x2 2 (x x 2 1) 1 d x 1 ȉȩ 2 2 Ĳİ, x 2 x 2 d x 1 (x 1) 2 d 0 x 1 . İʌȠĮ ȕ Ȗ 1 Į ȕ Ȗ 3. ȝȑȞȦȢ, 3 3 f (x) , x R ȑȤİȚ Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ 2 x x 3 (x 2 x 3)(5x 3 5x 4) f cc(x) 0 țĮȚ ıȣȞİ(x 2 x 3) 4

ȅȚ İȣșİȓİȢ ǹȅ,Ǻȅ,īȅ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ Ǻī,īǹ,ǹǺ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ǻ,Ǽ,ǽ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ țĮȚ ĲȠȞ țȪțȜȠ (O, R) ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ǻ1 , Ǽ1 , ǽ1 ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ 1 1 1 6 t . ǻǻ1 ǼǼ1 ǽǽ1 R

ȚıȤȪİȚ

ıȤȑıȘ:

(īȚȫȡȖȠȢ ǹʌȠıĲȠȜȩʌȠȣȜȠȢ – ȂİıȠȜȩȖȖȚ ).

ȁȊȈǾ (ǻȒȝȠȢ ȆĮʌĮįȩʌȠȣȜȠȢ – ǲįİııĮ )

ʌȫȢ İȓȞĮȚ țȠȓȜȘ. ǱȡĮ, Ș ȖȡĮĳȚțȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘ șĮ ȕȡȓıțİĲĮȚ țȐĲȦ Įʌȩ ĲȘȞ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȘȢ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȝİ ĲİĲȝȘȝȑȞȘ 1. Ǿ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ İĳĮʌĲȠȝȑ4 x ȞȘȢ ĲȘȢ Cf ıĲȠ x 0 1 İȓȞĮȚ y , ȠʌȩĲİ 3 3 4 x d . ǹʌȩ ĲȘȞ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȖȚĮ 2 3 x x 3 x Į,ȕ, Ȗ țĮȚ ʌȡȩıșİıȘ ȑȤȠȣȝİ: 3 3 3 4 Į 2 2 d 2 3 Į Į 3 ȕ ȕ 3 Ȗ Ȗ 3

4 ȕ 4 Ȗ 3 3

12 (Į ȕ Ȗ) 12 3 3 . ǹȡțİȓ 3 3 1 1 1 ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ Ȟ Ȟ Ȟ t 3 . Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ Į ȕ Ȗ

ĬİȦȡȠȪȝİ ĲĮ ȪȥȘ ǹȀ

ȣȕ , īȂ

ȣ Ȗ ĲȠȣ

ĲȡȚȖȫȞȠȣ. ǹʌȩ ĲȚȢ ĲİȝȞȩȝİȞİȢ ȤȠȡįȑȢ ǹǻ1 , Ǻī

xȞ 1 cc g (x) Ȟ(Ȟ 1) !0. , x ! 0 ȑȤİȚ x 2( Ȟ 1) xȞ ǱȡĮ Ș g İȓȞĮȚ țȣȡĲȒ ıĲȠ (0, f) țĮȚ Ș Cg șĮ ȕȡȓ-

ȑȤȠȣȝİ: ǹǻ ǻǻ1

ıțİĲĮȚ ȩȤȚ țȐĲȦ Įʌȩ ĲȘȞ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȘȢ ıĲȠ x1 1 ʌȠȣ ȑȤİȚ İȟȓıȦıȘ: y 1 Ȟ Ȟx . ǼʌȠȝȑȞȦȢ, 1 t Ȟ 1 Ȟx , ȖȚĮ țȐșİ x ! 0 . īȚĮ İȓȞĮȚ xȞ x Į,ȕ, Ȗ țĮȚ ʌȡȩıșİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ȑȤȠȣȝİ:

ǻǻ1 d

g(x)

ȣĮ , Ǻȁ

(ǻǺ ǻī)

ǹʌȩ

ǻǺ ǻī 4ǹǻ ǻǻ1 2

Ǻī

4ǻǺ ǻī d

Į 4ǹǻ ǻǻ1 d Į 2 2

ȕ2 Ȗ2 Į2 Į2 , ǽǽ1 d . ȩȝȠȚĮ ǼǼ1 d d 4ȣȕ 4ȣ Ȗ 4ǹǻ 4ȣĮ ĲȚȢ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/78

ĮȞȚıȩĲȘĲİȢ

ĮȣĲȑȢ

ʌĮȓȡȞȠȣȝİ:

1 4ȣ t 2Į ° ° ǻǻ1 Į °° 1 4ȣȕ t 2 ® ° ǼǼ1 ȕ ° 1 4ȣ Ȗ ° t 2 Ȗ °̄ ǽǽ1 1 1 ǻǻ1 ǼǼ1

8Ǽ Į3

8Ǽ Ȗ3

§ 2Ȟ 1· ț 2Ȟ 1 ț (5 2) ț ¸ ( 1) 7 ț ¹ 0

2Ȟ 1

¦ ¨©

ț 2Ȟ 1

(1).

ǹʌȩ ĲȘȞ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ Cauchy ȑȤȠȣȝİ: 1 1 1 1 1 1 3 3 3 t 3 3 3 3 3 3 ĮȕȖ Į ȕ Ȗ Į ȕ Ȗ

3 (2). 4ǼR

ǹʌȩ ĲȚȢ (1),(2) ȑȤȠȣȝİ ĲİȜȚțȐ. 1 1 1 3 t 8Ǽ ǻǻ1 ǼǼ1 ǽǽ1 4ǼR

6 . R

§ 2Ȟ 1· ț 2Ȟ 1 ț (5 2) ț ¸ [1 ( 1) ]7 ț ¹ 0

¦ ¨©

(Ĳ) ǹȞ İȓ-

ȞĮȚ ț

2Ȝ 1 , Ƞ ʌĮȡȐȖȠȞĲĮȢ 1 ( 1) ț İȓȞĮȚ 0 ǹȞ

1 1 1 1 t 8Ǽ( 3 3 3 ) ǽǽ1 Į ȕ Ȗ

2Ȝ Ƞ

(5 2) 2Ȝ

50Ȝ

ȁȪıȘ ȑıĲİȚȜĮȞ: ǹȞĲȫȞȘȢ ǿȦĮȞȞȓįȘȢ – ȋȠȜĮȡȖȩȢ, ǺĮıȓȜȘȢ ȁĮȖȠȖȚȐȞȞȘȢ – ǹȖȓĮ ȆĮȡĮıțİȣȒ, ǻȘȝȒʌȠȣȜȠȢ – ȀĮȜĮȝȐĲĮ.

– ǹȖȓĮ ȆĮȡĮıțİȣȒ, ǻȚȠȞȪıȘȢ īȚȐȞȞĮȡȠȢ – ȆȪȡȖȠȢ, ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȀĮȡĲıĮțȜȒȢ – ǹȖȡȓȞȚȠ, īȚȫȡȖȠȢ ȉıȚȫȜȘȢ – ȉȡȓʌȠȜȘ, ǿȦȐȞȞȘȢ ǹȞįȡȒȢ – ǹșȒȞĮ, ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȂĮȞȦȜȩʌȠȣȜȠȢ - -ȀĮĲİȡȓȞȘ.

ǹȈȀǾȈǾ 309 (ȉǼȊȋȅȊȈ 105 ) ǲıĲȦ y (7 5 2) 2Ȟ 1 , Ȟ ȃ țĮȚ ǹ

ǹȈȀǾȈǾ 310 (ȉǼȊȋȅȊȈ 105) ȅ ʌĮȡİȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȢ țȪțȜȠȢ ȝȘ ȚıȠıțİȜȠȪȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī İĳȐʌĲİĲĮȚ ıĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹǺ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ī1 țĮȚ ıĲȚȢ ʌȡȠİțĲȐıİȚȢ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ īǹ,īǺ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ

Ǻ1 , ǹ1

ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ. ȅȚ İȣșİȓİȢ

ǹǹ1 , ǺǺ1 ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıİ ıȘȝİȓȠ Ȁ. ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ

ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ ȕȡȓıțİĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȠȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ

> y@ ĲȠ Įțȑ-

ȡĮȚȠ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ y. ȍȢ ȖȞȦıĲȩȞ ȚıȤȪİȚ y

A ș ȝİ

0 ș 1 . ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ ȚıȤȪİȚ: ș(ǹ ș) 1 .

(ȀȦȞ/ȞȠȢ ȃİȡȠȪĲıȠȢ – īȜȣĳȐįĮ ).

țȪțȜȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī, ȩĲĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠȞ ȩĲĮȞ, ȠȚ ĮțĲȓȞİȢ ĲȦȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȦȞ țȪțȜȦȞ ıĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺī țĮȚ ǹ1Ǻ1ī1 İȓȞĮȚ ȓıİȢ. (ǻȚȠȞȪıȘȢ īȚȐȞȞĮȡȠȢ – ȆȪȡȖȠȢ).

ȁȊȈǾ (ǻȒȝȠȢ ȆĮʌĮįȩʌȠȣȜȠȢ – ǲįİııĮ )

ȁȊȈǾ (ĬȦȝȐȢ ȉıȐțĮȢ – ȆȐĲȡĮ ) ǹȡțİȓ ȞĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ :

(5 2) ț

ĲȡȘȢ ȂĮȞȦȜȩʌȠȣȜȠȢ – ȀĮĲİȡȓȞȘ, īȚȐȞȞȘȢ ǾȜȓȠ-

ȞȘȢ ǿȦĮȞȞȓįȘȢ – ȋȠȜĮȡȖȩȢ, ǺĮıȓȜȘȢ ȁĮȖȠȖȚȐȞȞȘȢ

1 ș y

ʌĮȡȐȖȠȞĲĮȢ

İȓȞĮȚ ĳȣıȚțȩȢ țĮȚ ȐȡĮ ȩȜȠȢ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ.

ȁȪıȘ ȑıĲİȚȜĮȞ: ĬȦȝȐȢ ȉıȐțĮȢ – ȆȐĲȡĮ, ǹȞĲȫ-

ș(ǹ ș) 1 șy 1 ș

¦ ¨© ț

8Ǽ țĮȚ ȝİ ʌȡȩıșİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ȕ3

§ 2Ȟ 1· 2Ȟ 1 ț (5 2) ț ¸7 ț ¹ 0

2Ȟ 1

(7 5 2) 2Ȟ 1

1 (7 5 2)2Ȟ 1

( 7 5 2) 2Ȟ 1 ș (5 2 7) 2Ȟ 1 2Ȟ 1 2Ȟ 1 (7 5 2) ( 7 5 2)

īȚĮ ȞĮ ĮȜȘșİȪİȚ ĲȠ ĲİȜİĲĮȓȠ Įȡțİȓ ȞĮ ȚıȤȪȠȣȞ įȪȠ ʌȡȐȖȝĮĲĮ: 1) 0 (5 2 7) 2Ȟ 1 1 2) Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ

(5 2 7) 2Ȟ 1 (5 2 7) 2Ȟ 1 İȓȞĮȚ ĳȣıȚțȩȢ. ǼȓȞĮȚ 0 (5 2 7) 2Ȟ 1 1 0 5 2 7 1 7 8 7 5 2 8 2 1, 4 2 1,6 ʌȠȣ 5 5

ȚıȤȪİȚ. īȚĮ ĲȘȞ ĮʌȩįİȚȟȘ ĲȠȣ 2) ȑȤȠȣȝİ: 2Ȟ 1 2Ȟ 1 2Ȟ 1 (5 2 7) (5 2 7) (7 5 2)

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/79

ȉȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ ĮȞȒțİȚ ıĲȠȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȩĲĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠ ȩĲĮȞ

īǺȀ ǻǹī Ȓ ĲȡȚȖ.īǼǺ | ĲȡȚȖīǻǹ Ȓ

Į ȕ

y (1). x

ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ īǹǹ1 țĮȚ īǺǺ1 ȑȤȠȣȞ ĲȘ ȖȦȞȓĮ ī (īǹǹ1 ) īǹ1 īǹ Ĳȕ ȕ țȠȚȞȒ ȠʌȩĲİ: (2). (īǺǺ1 ) īǺ1 īǺ ĲĮ Į 1 ǹǹ1 x (īǹǹ1 ) 2 ǹǹ1 x ǹțȩȝȘ, (3). (īǺǺ1 ) 1 BB y BB1 y 1 2 ǹǹ1 x ȕ țĮȚ ȜȩȖȦ ĲȘȢ ǹʌȩ ĲȚȢ (2),(3) ȑȤȠȣȝİ BB1 y Į ǹǹ1 1 ǹǹ1 ǺǺ1 (4). (1) ǺǺ1 ǹȜȜȐ, Įʌȩ ĲȠ ȞȩȝȠ ĲȦȞ ıȣȞȘȝȚĲȩȞȦȞ ıĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ *$$1 , *$$ 2 ȑȤȠȣȝİ:

$$12

W2 E2 2WEVXQ* țĮȚ

%%12

W2 D 2 2WDVXQ*

ǹʌ’ ĮȣĲȑȢ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ: W2 D 2 2WDVXQ* W2 E2 2WEVXQ*

D 2 E2

2WDVXQ* 2WEVXQ* Ƚ zȾ

(D E)(D E) 2W(D E)VXQ*

D E 2W 1

2W J VXQ* 2W

VXQ*

J J J * VXQ* 1 VXQ* 2KP2 2W 2W D E J 2

2RKP* 2R(KP$ KP% KP*)

* * 2KP VXQ 2 2 $ % * 4VXQ VXQ VXQ 2 2 2

1 $ % 4VXQ VXQ 2 2

2KP 2

* 2

* 2KP 2 2

* 2

* $ % 1 4KP VXQ VXQ 2 2 2

* $ % 4RKP VXQ VXQ 2 2 2

R UJ

ȁȪıȘ ȑıĲİȚȜİ İʌȓıȘȢ Ƞ ǺĮıȓȜȘȢ ȁĮȖȠȖȚȐȞȞȘȢ –

ǹȖȓĮ ȆĮȡĮıțİȣȒ. ȆȡȠĲİȚȞȩȝİȞĮ ĬȑȝĮĲĮ 328. ǲıĲȦ Į, ȕ, Ȗ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȚıȤȪİȚ Ƚ Ⱦ ɀ ͳ . ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ 5 2 D 2 E2 J 2 D3 E3 J 3 t 9

(īȚȫȡȖȠȢ ǹʌȠıĲȠȜȩʌȠȣȜȠȢ - ȂİıȠȜȩȖȖȚ) 329. ȅ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȢ țȪțȜȠȢ İȞȩȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī

İĳȐʌĲİĲĮȚ ıĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ Ǻī, īǹ, ǹǺ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ȁ, Ȃ, ȃ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǹȞ Ȝ, ȝ, Ȟ İȓȞĮȚ ĲĮ ȝȒțȘ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ȁȂȃ țĮȚ Į, ȕ, Ȗ ĲĮ ȝȒțȘ ĲȠȣ ĮȡȤȚțȠȪ ĲȡȚȖȫȞȠȣ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ D(W D) O2

E( W E) P2

J (W J ) Q2

(īȚȫȡȖȠȢ ȉıȚȫȜȘȢ – ȉȡȓʌȠȜȘ) 330. ĬİȦȡȠȪȝİ ȠȟȣȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȖȖİȖȡĮȝ-

ȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ țĮȚ ȑıĲȦ R, r ȠȚ ĮțĲȓȞİȢ ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țĮȚ ĲȠȣ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ. ǹȞ Ȝƶ İȓȞĮȚ Ș ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ ȖȦȞȓĮ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ, Ȃ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ Ǻī țĮȚ ȋ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ İĳĮʌĲȠȝȑȞȦȞ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ıĲĮ Ǻ, ī ȞĮ t ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ (ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȀĮȡĲıĮțȜȒȢ - ǹȖȡȓȞȚȠ) 331. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ıİ țȐșİ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ț-

ıȤȪİȚ ɒ t ͸ ɏ ʹ ɏ ɏʹ ȝİ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ȞĮ ȚıȤȪİȚ ĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠ ĮȞ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ. (ȃȚțȘĲȐțȘȢ īȚȫȡȖȠȢ - ȈȘĲİȓĮ) 332. Ȃİ ȓ Ȕ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ĲȠ țȜĮıȝĮĲȚțȩ ȝȑȡȠȢ İȞȩȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ x, ȖȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ 5½ 1 {5} 0, ® ¾ , {S} S 3 ¯2¿ 2 ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ȝȚțȡȩĲİȡȠ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩ ĮȡȚșȝȩ x ȖȚĮ 1 ½ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪȠȣȞ x ! 1 NDL {x} ® ¾ 1 ¯x ¿ (ȃȓțȠȢ Ĭ. ǹȞĲȦȞȩʌȠȣȜȠȢ – ǴȜȚȠȞ)

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 111 Ĳ.3/80

ǼȁȁǾȃǿȀǾ ȂǹĬǾȂǹȉǿȀǾ ǼȉǹǿȇǼǿǹ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ (ǼȜİȣșİȡȓȠȣ ǺİȞȚȗȑȜȠȣ) 34 106 79 ǹĬǾȃǹ ȉȘȜ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

13Ƞ ȂǹĬǾȂǹȉǿȀȅ ȀǹȁȅȀǹǿȇǿȃȅ ȈȋȅȁǼǿȅ 21 27 ǿȠȣȜȓȠȣ 2019 H ȵʄʄɻʆɿʃɼ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɼ ȵʏɲɿʌɸʀɲ ɷɿʉʌɶɲʆʙʆɸɿ ʃɲɿ ʔɹʏʉʎ ʏʉ 13o ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʊ Ⱦɲʄʉʃɲɿʌɿʆʊ ɇʖʉʄɸʀʉ ɶɿɲ ʅɲɽɻʏɹʎ ȳʐʅʆɲʍʀʉʐ ʃɲɿ ȿʐʃɸʀʉʐ. Ɉʉ ʍʖʉʄɸʀʉ ɽɲ ʋʌɲɶʅɲʏʉʋʉɿɻɽɸʀ ʍʏɻ ȿɸʋʏʉʃɲʌʐɳ Ʌɿɸʌʀɲʎ ʍʏʉ ɂɸʆʉɷʉʖɸʀʉ «BOɀO OLYMPUS GRAɁD RESORT» (ʋʌʙɻʆ «OLYMPIAN BAY») 4 ɲʍʏɹʌʘʆ, ʋʄɼʌʘʎ ɲʆɲʃɲɿʆɿʍʅɹʆʉ. Ɉʉ ʇɸʆʉɷʉʖɸʀʉ ɴʌʀʍʃɸʏɲɿ 2Km ɲʋʊ ʏʉʆ ȵɽʆɿʃʊ Ȱʐʏʉʃɿʆɻʏʊɷʌʉʅʉ Ȱɽɻʆʙʆ – Ⱥɸʍʍɲʄʉʆʀʃɻʎ ʃɲɿ 1000 ʅɹʏʌɲ ɲʋʊ ʏɻʆ ɲʆʏʀʍʏʉɿʖɻ ʍɿɷɻʌʉɷʌʉʅɿʃɼ ɶʌɲʅʅɼ. ȴɿɲɽɹʏɸɿ ɶɼʋɸɷɲ ʅʋɳʍʃɸʏ, ʏɹʆɿʎ, ɴʊʄɸʁ, ɴɿɴʄɿʉɽɼʃɻ, ʐʋɸʌʍʑɶʖʌʉʆʉ ɶʐʅʆɲʍʏɼʌɿʉ ʃɲɿ ɲʀɽʉʐʍɲ ɻʄɸʃʏʌʉʆɿʃʙʆ ʐʋʉʄʉɶɿʍʏʙʆ. ȸ ɷɿɲʅʉʆɼ ɽɲ ɸʀʆɲɿ ʍɸ ɷʀʃʄɿʆɲ (ʅɸ ɸʋɿɴɳʌʐʆʍɻ 40 €) ʃɲɿ ʏɸʏʌɳʃʄɿʆɲ ʃʄɿʅɲʏɿɺʊʅɸʆɲ ɷʘʅɳʏɿɲ. Ɉʉ Ⱦɲʄʉʃɲɿʌɿʆʊ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʊ ɇʖʉʄɸʀʉ ɶɿɲ ʅɲɽɻʏɹʎ ȳʐʅʆɲʍʀʉʐ ʃɲɿ ȿʐʃɸʀʉʐ, «ȵʀʆɲɿ ʃɳʏɿ ʋɸʌɿʍʍʊʏɸʌʉ ɲʋʊ ɹʆɲ Ⱦɲʄʉʃɲɿʌɿʆʊ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʊ ʍʖʉʄɸʀʉ». ȵʀʆɲɿ ʍʖɸɷɿɲʍʅɹʆʉ ʆɲ ɷɸʀʇɸɿ ʍʏʉʐʎ ʅɲɽɻʏɹʎ ʏɻʆ ʉʅʉʌʔɿɳ ʏʘʆ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ ɸʆʆʉɿʙʆ ʃɲɿ ʆɲ ʉɷɻɶɼʍɸɿ ʏɻ ʍʃɹʗɻ ʏʉʐʎ ʍɸ ʆɹʉʐʎ ɷʌʊʅʉʐʎ. ɇʏʉ Ⱦɲʄʉʃɲɿʌɿʆʊ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʊ ʍʖʉʄɸʀʉ ʉɿ ʅɲɽɻʏɹʎ ɽɲ ɹʖʉʐʆ ʏɻ ɷʐʆɲʏʊʏɻʏɲ ʆɲ ɲʍʖʉʄɻɽʉʑʆ ʅɸ ʏɲ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ʏʉʐ ʍʖʉʄɸʀʉʐ ɲʄʄɳ ʃɲɿ ʅɸ ɽɹʅɲʏɲ ʋɹʌɲ ɲʋʊ ʏɻʆ ɷɿɷɲʃʏɹɲ ʑʄɻ, ɸʆʙ ʋɲʌɳʄʄɻʄɲ ɽɲ ɲʆɲʋʏʑʇʉʐʆ ʏɻʆ ɿʃɲʆʊʏɻʏɳ ʏʉʐʎ ʍʏɻʆ ɸʋʀʄʐʍɻ ʋʌʉɴʄɻʅɳʏʘʆ, ʃɳʏɿ ʋʉʐ ɽɲ ʏʉʐʎ ɴʉɻɽɼʍɸɿ ʍɸ ʃɳɽɸ ʏʉʅɹɲ ʋʉʐ ɽɲ ɸʋɿʄɹʇʉʐʆ ʆɲ ɲʍʖʉʄɻɽʉʑʆ. ȳʆʙʍɻ ʃɲɿ ʗʐʖɲɶʘɶʀɲ ɽɲ ʍʐʆɷʐɲʍʏʉʑʆ ʅɹʍɲ ɲʋʊ ʅɲɽɼʅɲʏɲ ʋʉʐ ʃɳʆʉʐʆ ɹʅʋɸɿʌʉɿ ɷɳʍʃɲʄʉɿ ʃɲɿ ʃɲɽɻɶɻʏɹʎ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ, ʅɸ ʋʉʄʑʖʌʉʆɻ ɸʅʋɸɿʌʀɲ ʍʏɲ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ʏʘʆ ɷɿɸɽʆʙʆ ɷɿɲɶʘʆɿʍʅʙʆ. Ɉɲ ʅɲɽɼʅɲʏɲ ɶʀʆʉʆʏɲɿ ʍɸ 5 ɷɿɷɲʃʏɿʃɹʎ ʙʌɸʎ ʍɸ ʍʑɶʖʌʉʆɸʎ, ɸʇʉʋʄɿʍʅɹʆɸʎ ʅɸ ʊʄɲ ʏɲ ɲʋɲɿʏʉʑʅɸʆɲ ɸʋʉʋʏɿʃɳ ʅɹʍɲ ɲʀɽʉʐʍɸʎ ʍʏʉ ȳʐʅʆɳʍɿʉ ȿɸʋʏʉʃɲʌʐɳʎ ʃɲɿ ʏɸʄʉʑʆ ʐʋʊ ʏɻʆ ɸʋɿʍʏɻʅʉʆɿʃɼ ɸʋʉʋʏɸʀɲ ʏɻʎ ȵʋɿʏʌʉʋɼʎ ȴɿɲɶʘʆɿʍʅʙʆ ʏɻʎ ȵɀȵ. Ƀɿ ʅɲɽɻʏɹʎ, ʏʉʆ ɸʄɸʑɽɸʌʉ ʖʌʊʆʉ ʏʉʐʎ, ʅʋʉʌʉʑʆ ʆɲ ʏʉʆ ɲʔɿɸʌʙʍʉʐʆ ʊʋʘʎ ɲʐʏʉʀ ɽɹʄʉʐʆ, ʅɸ ɲɽʄʉʋɲɿɷɿɹʎ ʍʏɿʎ ʍʑɶʖʌʉʆɸʎ ɸɶʃɲʏɲʍʏɳʍɸɿʎ ʏʉʐ ɂɸʆʉɷʉʖɸʀʉʐ ʐʋʊ ʏɻʆ ɸʋʀɴʄɸʗɻ ɶʐʅʆɲʍʏʙʆ. Ȱʃʊʅɻ ʉɿ ʅɲɽɻʏɹʎ ʏɿʎ ɲʋʉɶɸʐʅɲʏɿʆɹʎ ʙʌɸʎ ʅʋʉʌʉʑʆ ʆɲ ʃʉʄʐʅʋɼʍʉʐʆ ʍʏɻ ɽɳʄɲʍʍɲ ɼ ʍʏɿʎ ʋɿʍʀʆɸʎ ʏʉʐ ʇɸʆʉɷʉʖɸʀʉʐ, ɸʔ’ ʊʍʉʆ ʏʉ ɸʋɿʏʌɹʋʉʐʆ ʉɿ ɶʉʆɸʀʎ ʏʉʐʎ ʃɲɿ ʅɸ ʏɻʆ ɸʋʀɴʄɸʗɻ ʃɲɿ ʔʌʉʆʏʀɷɲ ʏʉʐ ʋʌʉʍʘʋɿʃʉʑ ɲʍʔɲʄɸʀɲʎ ʋʉʐ ɷɿɲɽɹʏɸɿ ʏʉ ɂɸʆʉɷʉʖɸʀʉ. Ɉɲ ɶɸʑʅɲʏɲ ʏʘʆ ʋɲɿɷɿʙʆ ʋʌʘʀ, ʅɸʍɻʅɹʌɿ, ɴʌɳɷʐ ɽɲ ɸʋɿʄɸɶʉʑʆ ɲʋʊ ʏʉ ɸɿɷɿʃʊ ʋʌʉʍʘʋɿʃʊ ʏʉʐ ɂɸʆʉɷʉʖɸʀʉʐ ʃɲɿ ɽɲ ɲʆʏɲʋʉʃʌʀʆʉʆʏɲɿ ʍʏɿʎ ʍʘʅɲʏɿʃɹʎ ʃɲɿ ʋʆɸʐʅɲʏɿʃɹʎ ʏʉʐʎ ɲʆɳɶʃɸʎ. Ʉʄʉɿ ʉɿ ʅɲɽɻʏɹʎ ɽɲ ɹʖʉʐʆ ʋʄɼʌɻ ɲʍʔɳʄɸɿɲ. Ƀɿ ʖʙʌʉɿ ɷɿɲʅʉʆɼʎ ɽɲ ʔʐʄɳʍʍʉʆʏɲɿ ʊʄʉ ʏʉ 24ʘʌʉ ɲʋʊ ʏɿʎ ʐʋɻʌɸʍʀɸʎ ɲʍʔɲʄɸʀɲʎ ʏʉʐ ɂɸʆʉɷʉʖɸʀʉʐ, ɲʄʄɳ ʃɲɿ ɲʋʊ ɳʏʉʅɲ ʋʉʐ ɽɲ ɲʆɼʃʉʐʆ ʍʏɻʆ ʉʌɶɲʆʘʏɿʃɼ ɸʋɿʏʌʉʋɼ ʏʉʐ ɀ.Ⱦ. ɇ. Ɉʉ ʃʊʍʏʉʎ ʍʐʅʅɸʏʉʖɼʎ ɶɿɲ ʃɳɽɸ ʅɲɽɻʏɼ ɲʆɹʌʖɸʏɲɿ ʍʏʉ ʋʉʍʊʆ ʏʘʆ 480€. Ɉɻ ʔʊʌʅɲ ʍʐʅʅɸʏʉʖɼʎ ʅʋʉʌɸʀ ʆɲ ʏɻ ɴʌɸɿ ʉ ʃɳɽɸ ɸʆɷɿɲʔɸʌʊʅɸʆʉʎ ʍʏɻʆ ɿʍʏʉʍɸʄʀɷɲ ʏɻʎ ȵʄʄɻʆɿʃɼʎ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɼʎ ȵʏɲɿʌɸʀɲʎ (ɸɷʙ ʍɸ ʅʉʌʔɼ word). ȳɿɲ ʏɻ ʍʐʅʅɸʏʉʖɼ ʃɳɽɸ ʅɲɽɻʏɼ ɸʀʆɲɿ ɲʋɲʌɲʀʏɻʏɻ ɻ ʍʐʅʋʄɼʌʘʍɻ ʏʉʐ ȴȵȿɈȻɃɉ ɇɉɀɀȵɈɃɍȸɇ ɀȰȺȸɈȸ ʃɲɿ ɻ ʃɲʏɳɽɸʍɻ 100€ ʍʏʉʐʎ ʋɲʌɲʃɳʏʘ ʄʉɶɲʌɿɲʍʅʉʑʎ: Ɉʌɳʋɸɺɲ: ALPHA, ʄʉɶɲʌɿɲʍʅʊʎ ʊʗɸʘʎ 10 100 200 20 19 988 ȻȲȰɁ GR86 0140 1010 1010 0200 2019 988 ȵȺɁȻȾȸ Ɉʌɳʋɸɺɲ, ʄʉɶɲʌɿɲʍʅʊʎ ʊʗɸʘʎ 080/48002300 ȻȲȰɁ GR87 0110 0800 0000 0804 8002 300 Ɉʌɳʋɸɺɲ EUROBANK, ʄʉɶɲʌɿɲʍʅʊʎ ʊʗɸʘʎ 0026.0201.94.0201575138 IBAN GR9002602010000940201575138 (ʋʌʉʍʉʖɼ ʋʌɹʋɸɿ ʆɲ ɲʆɲɶʌɳʔʉʆʏɲɿ ʍʏʉ ɹʆʏʐʋʉ ʏɻʎ Ɉʌɳʋɸɺɲʎ ʏʉ ɸʋʙʆʐʅʉ, ʊʆʉʅɲ ʃɲɿ ʋɲʏʌʙʆʐʅʉ ʏʉʐ ʃɲʏɲɽɹʏɻ). ȵʋɸɿɷɼ ʉ ɲʌɿɽʅʊʎ ʏʘʆ ɽɹʍɸʘʆ ɸʀʆɲɿ ʍʐɶʃɸʃʌɿʅɹʆʉʎ ɽɲ ʋɲʌɲʃɲʄʉʑʍɲʅɸ ʉɿ ʅɲɽɻʏɹʎ ʋʉʐ ɸʆɷɿɲʔɹʌʉʆʏɲɿ ʆɲ ɸɶɶʌɲʔʉʑʆ ɹɶʃɲɿʌɲ. Ƀɿ ɸɶɶʌɲʔɹʎ ʇɸʃɿʆʉʑʆ 1 Ȱʋʌɿʄʀʉʐ 2018 ʃɲɿ ʏɸʄɸɿʙʆʉʐʆ 31 ɀɲʂʉʐ 2019. ȵʄɳʏɸ ʆɲ ʅɳɽʉʐʅɸ, ʆɲ ʋɸɿʌɲʅɲʏɿʍʏʉʑʅɸ ʃɲɿ ʆɲ ɷɿɲʍʃɸɷɳʍʉʐʅɸ! ɉʋʉɶʌɲʅʅʀɺʉʐʅɸ ʏɻʆ ɸʋɿʏʐʖʀɲ ʃɲɿ ʏɻʆ ɲʋɼʖɻʍɻ ʋʉʐ ɹʖɸɿ ʍʏʉʐʎ ʅɲɽɻʏɹʎ ʉ ɽɸʍʅʊʎ ɲʐʏʊʎ.

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