GEOMETRIA Y TRIGINOMET RIA EUCLIDIANA Felix
Euclides 8 siglos iv-III a.c) matemático griego. Los elementos constituyen el tratado de geometría que después de dos milenios conservan su valor. Los elementos de Euclides están constituidos por trece libros. En el primero de los elementos se introducen los términos o definiciones, los postulados y las nociones comunes. Los términos mencionan los entes de que ha de ocuparse la geometría: punto, recta, figura, etc. Considerados como definiciones, pueden ser criticadas desde el punto de vista lógico. Los postulados establecen la existencia de los términos:
“Hay una recta que pasa por dos puntos “, etc. Las nociones comunes se refieren a la igualdad o desigualdad de las magnitudes o cosas, “Dos cosas iguales a una tercera cosa son iguales entre sí”, etc. A partir de estos elementos se deducen una multitud de teoremas. El primer libro se cierra con la demostración del teorema de Pitágoras y de su reciproco. El libro II contiene 10 preposiciones sobre “Algebra Geométrica “y la solución de triángulos acutángulos y obtusángulos con el teorema de Pitágoras. El libro III, comprende el estudio de la circunferencia y sus propiedades. El IV libro se refiere a la inscripción y circunscripción de polígonos a una circunferencia. Los libros V y VI son un estudio sobre la teoría del máximo común divisor (mediante el algoritmo de las diversiones sucesivas). En el libro VIII se exponen propiedades de las proporciones continuas y de las progresiones geométricas. En el libro IX figuran tres de los más importantes teoremas de toda la Aritmética. El primero de ellos “La serie de los números primos es ilimitada”, el segundo da “La suma de los términos de una progresión geométrica” y el tercer teorema, es una fórmula para calcular “Los números perfectos” (caracterizados por que resultan iguales a la suma de sus divisores). En el libro x hay numerosas preposiciones sobre los irracionales, y se dan métodos geométricos para resolver ciertas ecuaciones de segundo grado y bicuadradas. En el libro XI está dedicado al estudio de los cuerpos redondos, destacando la esfera, cilindro y cono. El libro XII incluye los siguientes teoremas: *Dos círculos están entre sí como los cuadrados construidos sobre respectivos diámetros. *Una pirámide es equivalente a la tercera parte de un prisma de igual base y altura.
*Un cono es equivalente a la tercera parte de un cilindro de igual base y altura. *Dos esferas están entre sí como los cubos construidos sobre sus respectivos diámetros. El libro XIII de los elementos están totalmente dedicado a los poliedros regulares, (da la construcción de los poliedros regulares: Tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro):
Es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que
estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides. También es común (abusando del lenguaje) decir que una geometría es euclidiana si no es no euclidiana, es decir, si en dicha geometría se verifica el quinto postulado de Euclides. Ésta denominación está cada vez más en desuso, debido a la pérdida de interés que va teniendo el tema de la posibilidad de trazar paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma. En ocasiones los matemáticos usan las expresiones geometría euclídea o geometría euclidiana para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia son sinónimos de geometría plana o de geometría clásica. Euclides asumió que todos sus postulados o axiomas era autoevidentes y por tanto hechos que no requerían demostración. Sin embargo, resultó que el quinto postulado —si bien es compatible con los otro cuatro— en cierto modo es independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados. Las geometrías donde el quinto postulado no es válido se llaman geometrías no euclidianas. Una limitación del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era válido, es decir, para Euclides y los
geómetras posteriores hasta el siglo XVIII pasó inadvertida la posibilidad de geometrías no euclidianas, hasta el trabajo de Nikolái Lobachevski, Gauss y Riemann. Si bien durante el siglo XIX se consideró a las geometrías no euclidianas un artefacto matemáticamente interesante e incluso con cierto interés práctico pero limitado, como es el caso de la trigonometría esférica usada en astronomía, en cierto modo se admitió que la geometría del espacio físico era euclidiana y, por tanto, las geometrías no euclidianas eran tan sólo un artificio abstracto útil para ciertos problemas, pero en modo alguno descripciones realistas del mundo. Sin embargo, el trabajo de Albert Einstein hizo ver que entre las necesidades de la física moderna están las geometrías no euclidianas para describir, por
ejemplo, el espacio-tiempo curvo. Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más:
Dos circunferencias cuyos centros estén separados por una distancia menor a la suma de sus radios, se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción).
Dos triángulos con dos lados iguales y los ángulos comprendidos también iguales, son congruentes (afirmación equivalente al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explícitamente).
En este tema se hablan se angulos etc.